1.1 空间向量及其运算(精炼)(原卷版)
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5．（2020·四川阆中中学高二月考（理）） 为空间任意一点, 三点不共线,若 = ,则 四点（）
A．一定不共面B．不一定共面
C．一定共面D．无法判断
6．（2019·建瓯市第二中学高二月考）已知 、 、 三点不共线，对平面 外的任一点 ，下列条件中能确定点 与点 、 、 一定共面的是（）
A． B．
C． D．
1．（2020·涟水县第一中学高二月考） 是空间四点，有以下条件：
① ；② ；
③ ；④ ，
能使 四点一定共面的条件是______
2．（2019·江苏海安高级中学高二期中（理））设空间任意一点 和不共线三点 ，且点 满足向量关系 ，若 四点共面，则 ______．
3．（2020·全国高二课时练习）对于空间任意一点 和不共线的三点 ， ， ，有如下关系： ，则（）
（2）求异面直线 与 所成角的余弦值．
5．（2020·全国高二课时练习）如图，三棱柱 中，底面边长和侧棱长都相等， ，则异面直线 与 所成角的余弦值为_____________
6.如图，已知线段AB⊥平面α，BC⊂α，CD⊥BC，DF⊥平面α，且∠DCF＝30°，D与A在α的同侧，若AB＝BC＝CD＝2，求A，D两点间的距离．
A． B．
C． D．
5．（2020·陕西王益.高二期末（理））如图，在空间四边形ABCD中，E，M，N分别是边BC，BD，CD的中点，DE，MN交于F点，则 （）
A． B． C． D．
6．（2019·江苏省苏州实验中学高二月考）平行六面体 中， ，则实数x，y，z的值分别为( )
A． B． C． D．
②空间任意两个单位向量必相等；
③对于非零向量 ，由 ，则 ；
④在向量的数量积运算中 .
其中假命题的个数是（）
A．1B．2C．3D．4
4．（2019·长宁.上海市延安中学高二期中）给出以下结论：
①空间任意两个共起点的向量是共面的；
②两个相等向量就是相等长度的两条有向线段表示的向量；
③空间向量的加法满足结合律： ；
7．（2020·西夏.宁夏育才中学高二期末（理））已知 为空间任意一点，若 ，则 四点（）
A．一定不共面B．一定共面C．不一定共面D．无法判断
【题组四空间向量的数量积】
1．（2020·山东新泰市第一中学高一期中）如图，平行六面体 中， ， ， ，则 （）
A． B． C． D．
2．（2020·四川遂宁.高三三模（理））如图，平行六面体 中， ， ， ， ， ，则 的长为_____．
1.1 空间向量及其运算（精炼）
【题组一概念的辨析】
1．（2020·辽宁沈阳.高二期末）在下列结论中：①若ຫໍສະໝຸດ 量 共线，则向量 所在的直线平行；
②若向量 所在的直线为异面直线，则向量 一定不共面；
③若三个向量 两两共面，则向量 共面；
④已知空间的三个向量 ，则对于空间的任意一个向量 总存在实数x，y，z使得 .
其中正确结论的个数是()
A．0B．1C．2D．3
2（2019·全国高二）下列说法中正确的是（ ）
A．若 ，则 ， 的长度相等，方向相同或相反
B．若向量 是向量 的相反向量，则
C．空间向量的减法满足结合律
D．在四边形 中，一定有
3．（2020·陕西新城.西安中学高二期末（理））给出下列命题：
①若空间向量 满足 ，则 ；
9．（2020·江苏省如东高级中学高一月考）在四面体 中， 、 分别是 、 的中点，若记 ， ， ，则 ______.
10．（2020·全国高二课时练习）已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，若点F是侧面CD1的中心，且 则m，n的值分别为()
A． ，－ B．－ ，－ C．－ ， D． ，
【题组三空间向量的共面问题】
A．四点 ， ， ， 必共面B．四点 ， ， ， 必共面
C．四点 ， ， ， 必共面D．五点 ， ， ， ， 必共面
4．（2020·宁阳县第四中学高二期末）对于空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，有如下关系： ，则（）
A．四点O，A，B，C必共面B．四点P，A，B，C必共面
C．四点O，P，B，C必共面D．五点O，P，A，B，C必共面
2．（2020·全国高二）在四面体 中，点 在 上，且 ， 为 中点，则 等于（）
A． B．
C． D．
3（2020·山东章丘四中高二月考）如图所示，在空间四边形 中， ，点 在 上，且 为 中点，则 （）
A． B．
C． D．
4．（2020·山东德州.高二期末）如图，平行六面体 中， 与 的交点为 ，设 ， ， ，则下列选项中与向量 相等的是（）
3．（2020·全国高二课时练习）如图， 分别是四面体 的棱 的中点， 是 的三等分点．（1）用向量 ， ， 表示 和 ．（2）若四面体 的所有棱长都等于1，求 的值．
4.．（2020·全国高二课时练习）如图，三棱柱 中，底面边长和侧棱长都等于1， ．
（1）设 ， ， ，用向量 ， ， 表示 ，并求出 的长度；
7．（2020·湖北黄石.高二期末）如图，已知空间四边形 ，其对角线为 ， 分别是对边 的中点，点 在线段 上， ，现用基向量 表示向量 ，设 ，则 的值分别是（）
A． B．
C． D．
8．（2020·全国高二课时练习）在正方体ABCD－A1B1C1D1中，已知下列各式：①( ＋ )＋ 1；②( ＋ )＋ ；③( ＋ )＋ ；④( ＋ )＋ .其中运算的结果为 的有___个.
④首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量.
请将正确的说法题号填在横线上：__________.
【题组二空间向量的线性运算】
1．（2020·辽宁沈阳.高二期末）如图，在正方体 中，点 分别是面对角线A1B与B1D1的中点,若 =a, =b, =c,则 =（）
A． B．
C． D．
A．一定不共面B．不一定共面
C．一定共面D．无法判断
6．（2019·建瓯市第二中学高二月考）已知 、 、 三点不共线，对平面 外的任一点 ，下列条件中能确定点 与点 、 、 一定共面的是（）
A． B．
C． D．
1．（2020·涟水县第一中学高二月考） 是空间四点，有以下条件：
① ；② ；
③ ；④ ，
能使 四点一定共面的条件是______
2．（2019·江苏海安高级中学高二期中（理））设空间任意一点 和不共线三点 ，且点 满足向量关系 ，若 四点共面，则 ______．
3．（2020·全国高二课时练习）对于空间任意一点 和不共线的三点 ， ， ，有如下关系： ，则（）
（2）求异面直线 与 所成角的余弦值．
5．（2020·全国高二课时练习）如图，三棱柱 中，底面边长和侧棱长都相等， ，则异面直线 与 所成角的余弦值为_____________
6.如图，已知线段AB⊥平面α，BC⊂α，CD⊥BC，DF⊥平面α，且∠DCF＝30°，D与A在α的同侧，若AB＝BC＝CD＝2，求A，D两点间的距离．
A． B．
C． D．
5．（2020·陕西王益.高二期末（理））如图，在空间四边形ABCD中，E，M，N分别是边BC，BD，CD的中点，DE，MN交于F点，则 （）
A． B． C． D．
6．（2019·江苏省苏州实验中学高二月考）平行六面体 中， ，则实数x，y，z的值分别为( )
A． B． C． D．
②空间任意两个单位向量必相等；
③对于非零向量 ，由 ，则 ；
④在向量的数量积运算中 .
其中假命题的个数是（）
A．1B．2C．3D．4
4．（2019·长宁.上海市延安中学高二期中）给出以下结论：
①空间任意两个共起点的向量是共面的；
②两个相等向量就是相等长度的两条有向线段表示的向量；
③空间向量的加法满足结合律： ；
7．（2020·西夏.宁夏育才中学高二期末（理））已知 为空间任意一点，若 ，则 四点（）
A．一定不共面B．一定共面C．不一定共面D．无法判断
【题组四空间向量的数量积】
1．（2020·山东新泰市第一中学高一期中）如图，平行六面体 中， ， ， ，则 （）
A． B． C． D．
2．（2020·四川遂宁.高三三模（理））如图，平行六面体 中， ， ， ， ， ，则 的长为_____．
1.1 空间向量及其运算（精炼）
【题组一概念的辨析】
1．（2020·辽宁沈阳.高二期末）在下列结论中：①若ຫໍສະໝຸດ 量 共线，则向量 所在的直线平行；
②若向量 所在的直线为异面直线，则向量 一定不共面；
③若三个向量 两两共面，则向量 共面；
④已知空间的三个向量 ，则对于空间的任意一个向量 总存在实数x，y，z使得 .
其中正确结论的个数是()
A．0B．1C．2D．3
2（2019·全国高二）下列说法中正确的是（ ）
A．若 ，则 ， 的长度相等，方向相同或相反
B．若向量 是向量 的相反向量，则
C．空间向量的减法满足结合律
D．在四边形 中，一定有
3．（2020·陕西新城.西安中学高二期末（理））给出下列命题：
①若空间向量 满足 ，则 ；
9．（2020·江苏省如东高级中学高一月考）在四面体 中， 、 分别是 、 的中点，若记 ， ， ，则 ______.
10．（2020·全国高二课时练习）已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，若点F是侧面CD1的中心，且 则m，n的值分别为()
A． ，－ B．－ ，－ C．－ ， D． ，
【题组三空间向量的共面问题】
A．四点 ， ， ， 必共面B．四点 ， ， ， 必共面
C．四点 ， ， ， 必共面D．五点 ， ， ， ， 必共面
4．（2020·宁阳县第四中学高二期末）对于空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，有如下关系： ，则（）
A．四点O，A，B，C必共面B．四点P，A，B，C必共面
C．四点O，P，B，C必共面D．五点O，P，A，B，C必共面
2．（2020·全国高二）在四面体 中，点 在 上，且 ， 为 中点，则 等于（）
A． B．
C． D．
3（2020·山东章丘四中高二月考）如图所示，在空间四边形 中， ，点 在 上，且 为 中点，则 （）
A． B．
C． D．
4．（2020·山东德州.高二期末）如图，平行六面体 中， 与 的交点为 ，设 ， ， ，则下列选项中与向量 相等的是（）
3．（2020·全国高二课时练习）如图， 分别是四面体 的棱 的中点， 是 的三等分点．（1）用向量 ， ， 表示 和 ．（2）若四面体 的所有棱长都等于1，求 的值．
4.．（2020·全国高二课时练习）如图，三棱柱 中，底面边长和侧棱长都等于1， ．
（1）设 ， ， ，用向量 ， ， 表示 ，并求出 的长度；
7．（2020·湖北黄石.高二期末）如图，已知空间四边形 ，其对角线为 ， 分别是对边 的中点，点 在线段 上， ，现用基向量 表示向量 ，设 ，则 的值分别是（）
A． B．
C． D．
8．（2020·全国高二课时练习）在正方体ABCD－A1B1C1D1中，已知下列各式：①( ＋ )＋ 1；②( ＋ )＋ ；③( ＋ )＋ ；④( ＋ )＋ .其中运算的结果为 的有___个.
④首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量.
请将正确的说法题号填在横线上：__________.
【题组二空间向量的线性运算】
1．（2020·辽宁沈阳.高二期末）如图，在正方体 中，点 分别是面对角线A1B与B1D1的中点,若 =a, =b, =c,则 =（）
A． B．
C． D．