一元四次方程的解法
一元四次方程的简易解法
一元四次方程的简易解法1 一元四次方程一元四次方程是指其根式仅含一个未知数的四次多项式方程，可用来表示多种物理现象。
它的求解法有多种，如完全分式、旋转方程、因式分解的方法等，下面简单介绍其中一种——完全分式的求解方法。
2 完全分式的求解方法完全分式法是根据四次多项式设立的等价完全分式来破解的一种方法，它要求认识多项式的分式解，大体上可分为两类：一是二项式分式解，二是特殊二次分式解。
首先，将给出的四次多项式按次数划分为不同项，例如：将$ax^4+bx^3+cx^2+dx+e$拆解为$ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=A(x-n_1)(x-n_2)(x-n_3)(x-n_4)$，其中，A为比系数，$n_1, n_2, n_3, n_4$为多项式的根。
其次，分解四次同类多项式，即两边各分解成一样的分解过后的乘积，让等号两边的因式一一对应，全部求出，从而求出根$n_1, n_2, n_3, n_4$。
最后，确定多项式的特点，即求出多项式根的绝对值，此方法可表示多项式在x轴上分布的特点，从而确定x轴上根式表达式各因式正负。
3 求解步骤因此，求解一元四次方程的全部步骤如下：（1）将四次多项式转换成等价的完全分式；（2）利用完全分式将双边同时分解；（3）将乘积拆解成相互对应的因式，求出多项式的根$n_1, n_2, n_3, n_4$；（4）根据求出的根的绝对值确定多项式的特点，从而确定乘积中每一项的系数正负。
4 总结最终，通过完全分式的方法，我们可以求出一元四次方程的根，这一方法虽然比较复杂，但是一旦掌握了，就会发现其实比较容易理解，有助于我们更好地理解四次多项式方程，掌握数学现象。
解方程公式
解方程公式
解方程公式的概念是指通过数学运算找出方程中未知数的值。
在数学中，方程是用来描述两个表达式相等的等式。
解方程公式是指一般用来解一元一次方程、一元二次方程、一元三次方程和一元四次方程的公式。
以下是几个常见的解方程公式：
1. 一元一次方程的解公式：
对于形如 ax + b = 0 的一元一次方程，解公式为：x = -b/a
2. 一元二次方程的解公式：
对于形如 ax^2 + bx + c = 0 的一元二次方程，解公式为：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)
3. 一元三次方程的解公式：
一般来说，一元三次方程没有通用的解公式，需要使用数值方法或近似解法来找到方程的解。
4. 一元四次方程的解公式：
类似于一元三次方程，一元四次方程也没有通用的解公式，需要使用数值方法或近似解法来找到方程的解。
需要注意的是，解方程公式只适用于特定类型的方程，对
于其他类型的方程可能需要使用不同的方法来解决。
因此，在解方程时需要根据方程的类型选择适当的解法。
一元四次方程的实数根(c语言)
一、概述一元四次方程是指形如ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0的方程，其中a、b、c、d为常数且a≠0。
求解一元四次方程的实数根是一个复杂而有挑战性的数学问题。
在本文中，我们将使用C语言编写程序来求解一元四次方程的实数根。
二、一元四次方程的解法1. 一元四次方程求解的通用方法是使用求根公式。
然而，由于一元四次方程的求根公式比较复杂，因此我们可以利用数值计算的方法来逼近方程的实数根。
2. 在C语言中，我们可以利用二分法、牛顿迭代法等数值计算方法来求解一元四次方程的实数根。
在本文中，我们将介绍如何使用牛顿迭代法来求解一元四次方程的实数根。
三、C语言求解一元四次方程的实现1. 首先我们需要定义一个函数来计算一元四次方程f(x)及其导数f'(x)的值。
2. 然后我们可以利用牛顿迭代法来逼近方程的实数根。
牛顿迭代法的公式为x = x - f(x)/f'(x)。
3. 我们可以编写一个循环来迭代计算x的值，直到满足精度要求或者达到最大迭代次数。
四、C语言求解一元四次方程的实例1. 我们以方程x^4-5x^3+3x^2+7x+9=0为例，来演示如何使用C语言求解一元四次方程的实数根。
2. 首先我们编写一个函数来计算方程f(x)及其导数f'(x)的值。
3. 然后我们利用牛顿迭代法来逼近方程的实数根，设定初始值和迭代次数。
4. 最后我们输出求解得到的实数根，以及求解的精度和迭代次数。
五、结论一元四次方程的求解是一个复杂而有挑战性的数学问题。
通过使用C语言编写程序，我们可以利用数值计算方法来求解一元四次方程的实数根，从而得到精确的结果。
这为解决实际问题提供了重要的数学工具和理论支持。
六、参考文献1. 《数值分析》2. 《C语言程序设计》以上就是本文关于使用C语言求解一元四次方程的实数根的解决思路及实现方法。
希望通过本文的介绍，读者可以学到如何使用计算机编程来解决复杂的数学问题，提高自己的编程和数学水平。
一元四次方程韦达定理
一元四次方程韦达定理
韦达定理（Vieta's formulas）是一个用于求解一元多次方程的
定理，其中最常见的是一元二次方程和一元三次方程。
但是并没有具体的一元四次方程的韦达定理。
一般来说，一元四次方程的求解可以通过多种方法来实现，但没有一个特定的公式可以直接求解。
常用的方法包括因式分解、配方法、求根公式等。
具体的求解方法往往与方程的形式和系数有关，而不是一个通用的定理。
如果你有具体的一元四次方程，可以将方程的形式和系数提供出来，这样可以得到更具体和准确的解答。
一元四次方程的解
一元四次方程的解
一元四次方程：$ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e=0$
一元四次方程的解：
一、精确解
1. u型公式法
u型公式法是一种通用的求多项式方程的技巧，它可以用来解决一元四
次方程。
u型公式有三种形式，可以用来求解不同形式的四次方程，具
体方法如下：
（1）如果某个系数在各项式中有相同的幂次，则可以用原形公式求解；（2）如果某项式为 x^3 或 x^2，其余的式中的系数有相同的幂次，则
可以用变形公式求解；
（3）如果某项式为 x^4 或 x^2，其余的式中的系数有相同的幂次，则
可以用变种公式求解。
2. 二进制展开或分解法
二进制展开或分解法可以将四次方程化解成二项式的乘积，也就是将
四次多项式变成二次多项式乘积，再利用二次多项式求解方法，求出
一元四次方程的解。
此法可以求得某一元四次方程的四个不同的根，
是一种有效求解四次方程的方法。
二、近似解
1. 精选根法
精选根法可以快速求得一元四次方程的近似解，这是一种重要的数值
近似解法。
它是基于近似求解四次方程的一种迭代求解方法，它的实
用技术主要是精选一个初始的近似值，解可以用此近似值来开始迭代。
2. 牛顿迭代法
牛顿迭代法是一种非线性方程组的迭代求解方法。
它的主要思想是使
用连续的多项式去猜测方程的解，然后利用一定的算法不断改进，当
迭代次数越多，猜测的解也越精确。
牛顿迭代法可以有效地求解一元
四次方程。
一元四次方程解法
一元四次方程解法
一元四次方程解法是一种针对一般类型一元四次方程组求解时使用的
解法，由卢比安·贝尔把它们收集整理成之前方程公式。
解四次方程主
要包括三个步骤：
1. 化简：首先将四次方程的式子化简成一位数的平方乘积形式，具体
方法是先代入x=0将系数带出，再化成二次因式，利用二次因式分解
完成化简步骤；
2. 逆因式：接下来要将四次方程的右端的各个因式按乘法法则相互求逆，得到左端各个式子；
3. 求根：最后将四个算式换成原来四次方程形式，再分别求出x的值，进而解出方程组。
以上便是一元四次方程组求解时所使用的解法，使用此方法可以求解
出一元四次方程组的解，成功解决四次方程组存在的难题。
一元四次方程求根公式笛卡尔法
一元四次方程是指形式为ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0的方程，其中a、b、c、d、e为实数且a≠0。
一元四次方程的求根问题是代数学中的重要问题之一，其解的存在性和求解方法一直备受关注。
而笛卡尔在16世纪提出了一元四次方程的求根公式，被称为笛卡尔法，成为了解决一元四次方程的重要方法之一。
二、笛卡尔法的描述笛卡尔法是一种较为复杂的求根方法，其描述如下：1. 将一元四次方程ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0转化为y^4+py^2+qy+r=0的方程，令x^2=y。
2. 令y=z+u/z，其中u是待定常数，z是变数，代入原方程中得到关于z的方程。
3. 再次变形，得到关于z的代数方程，求解该方程得到z的值。
4. 根据y=z+u/z和x^2=y，解出x的值得到一元四次方程的解。
三、笛卡尔法的优缺点1. 优点：a. 笛卡尔法能够有效地求解一元四次方程的根，为代数方程的求解提供了一种新的思路和方法。
b. 笛卡尔法的解法相对严谨，能够得到准确的根值。
2. 缺点：a. 笛卡尔法求解过程繁琐，需要经过多次复杂的变形和代数运算，b. 笛卡尔法难以直观地解释，不易理解和掌握。
四、使用笛卡尔法求解一元四次方程的示例为了更直观地展示笛卡尔法的具体求解过程，我们选取一个具体的一元四次方程进行求解。
设一元四次方程为2x^4-3x^3+4x^2-5x+6=0。
1. 根据笛卡尔法的描述，首先将方程转化为y^4+py^2+qy+r=0的形式，得到y^4-3y^2+4y-5=0。
2. 令y=z+u/z，代入等价方程中得到z^4+u^2/z^2-3z^2-2u+4+u^2/z^2-5=0。
3. 化简合并同类项得到z^4+z^2(u^2-3)+(-2u+4+u^2/z^2-5)=0。
4. 求解得到z的值，再根据y=z+u/z和x^2=y，解出x的值。
5. 最终得到一元四次方程的解。
五、总结笛卡尔法作为一种传统的求根方法，对于一元四次方程的解法具有一定的重要性。
欧拉 方法解一元四次方程
欧拉方法解一元四次方程在数学领域中，方程是一种用来描述数学关系的等式。
解方程是求得使等式成立的未知数的值的过程。
在本文中，我们将探讨欧拉方法，一种解一元四次方程的数学方法。
第一部分：方程的分类与定义一元四次方程是指只有一个未知数，并且该未知数的最高次数是四次的方程。
一元四次方程的一般形式为ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e = 0，其中a、b、c、d、e是已知常数。
第二部分：欧拉方法的介绍欧拉方法是一种基于欧拉公式的解代数方程的方法。
它基于欧拉公式e^(ix) = cos(x) + isin(x)，其中e表示自然对数的底，i表示虚数单位。
欧拉方法的核心思想是将一元四次方程转化为一个关于复数的一元方程，并通过计算复数的实部和虚部找到方程的解。
第三部分：具体步骤1. 将一元四次方程的形式转化为关于复数的一元方程。
设y = x^2，我们可以将四次方程转化为二次方程：ay^2 + by + cx + d = 0。
2. 将方程的形式转化为复数的形式。
设y = u + iv，其中u和v是实数，则方程变为：a(u^2-v^2) + (2au + b)iv + cx + d = 0。
3. 计算方程的实部和虚部。
将复数方程分离为实部和虚部部分得到两个方程，然后分别求解实部和虚部的方程。
4. 解方程求得u和v的值。
5. 计算x的值。
将u和v的值带入y = u + iv，得到两个解，然后将解代回原始方程，求解出x的值。
假设我们要解方程2x^4 + 3x^3 - 4x^2 - 5x + 6 = 0。
1. 将方程转化为二次方程：y^2 + 3y - 4x - 5 + 6 = 0。
2. 将方程转化为复数形式：(u^2 - v^2) + (2u + 3)iv - 4x - 5 + 6 = 0。
3. 分离实部和虚部部分：(u^2 - v^2) - 4x - 5 + 6 = 0和(2u + 3)v = 0。
4. 解实部和虚部方程：我们假设解得u = 1和v = 0。
(完整版)含参一元四次方程解法
(完整版)含参一元四次方程解法
引言
一元四次方程是数学中的一种多项式方程，形式为ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e = 0。
解一元四次方程的方法有很多种，本文将介绍
一种完整的解法。
解法步骤
下面是解一元四次方程的步骤：
1. 将一元四次方程写成标准形式：ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e
= 0。
2. 通过代换，将一元四次方程转化为一元三次方程，得到新的
方程f(y) = 0。
3. 求解一元三次方程f(y) = 0，得到三个根y1，y2，y3。
4. 将一元四次方程的解表示成关于y1，y2，y3的多项式形式，得到四个关于y的一次方程。
5. 解这四个一次方程，得到x的值。
注意事项
在解一元四次方程时，需要注意以下几点：
1. 一元四次方程可能有复数解，需要考虑复数运算。
2. 可能存在多组解，需要进行全面的讨论。
3. 需要检验解的有效性，确保解满足原方程。
结论
本文介绍了一种完整的解一元四次方程的方法，通过将一元四
次方程转化为一元三次方程，再进一步求解得到一元四次方程的解。
在解题过程中需要注意一些细节，如复数解的情况和解的有效性的
检验。
解一元四次方程是数学中的一项重要内容，对于提高解方程的
能力和培养逻辑思维非常有帮助，希望本文对您有所帮助。
解一元四次方程
解一元四次方程一元四次方程是指最高次项为四次方且只含有一个未知数的方程。
解一元四次方程的过程需要使用代数方法，如因式分解、配方法或者公式法等。
本文将介绍解一元四次方程的一种常用方法——代数方法。
首先，假设我们有一个一元四次方程：$ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0$我们的目标是求出该方程的解。
代数方法的基本思路是将一元四次方程转化为二次方程，然后再解二次方程得到解。
首先，我们可以考虑将一元四次方程进行因式分解或者配方法，以尽可能简化方程。
如果我们能够将一元四次方程因式分解为两个二次方程的乘积，那么我们就可以分别解这两个二次方程，找到解的值。
如果因式分解或者配方法无法得到方程的因式，我们可以尝试使用公式法解一元四次方程。
根据公式法，一元四次方程的解可以通过求根公式来获得。
常用的求根公式有笛卡尔方法和费拉里方法。
对于笛卡尔方法，我们首先需要将一元四次方程转化为特殊形式。
即：将一元四次方程变换为以下形式：$(x^2+px+q)^2=m$然后，我们可以通过求解二次方程来得到解。
对于费拉里方法，我们需要将一元四次方程变换为双二次方程组的形式。
即：$x^4+ax^2+b=(x^2+px+q)^2$我们可以将该双二次方程组化简为$2y^2+py+q=0$的形式，然后求解$y$，再带回原方程求解$x$。
需要注意的是，一元四次方程可能有多个实数解或者复数解。
因此，在解方程时，我们需要根据具体的系数情况来判断解的形式。
总之，解一元四次方程是一个相对复杂的问题，我们可以运用代数方法，如因式分解、配方法或者公式法等，来解决这个问题。
根据具体的系数情况和方程形式，选择合适的解法，求得方程的解。
一元四次方程的求根公式
1 一元四次方程的求根公式-完整(2012-01-1214:42:01)转载▼分类：统计与编程我以前发过了此文，但文中有缺少部分，此次经过更正2013.06.02一元三次方程求解，中国的范盛金推导的求根公式较为合理，简明实质上B2-4AC>0时情况可以作为一个通用公式，因为一般实数均可用复数形式表述。
按下述方法可以简明地判断重根。
与三次方程不同的是，四次方程求解需要复数运算支持，因为中间数据均会出现复数。
我已经发表的复数系统可作为计算的工具使用。
关于四次方程求解程序我暂时无时间写，不过可利用QR 方法求任意实数多项式方程的所有根（QR程序我也已发表于博客中，可以引用)。
一元四次方程一般式：ax4+bx3+cx2+dx+e=0（a≠0,a,b,c,d,e∈R）p=-(3b2-8ac)q=3b4+16a2c2-16ab2c+16a2bd-64a3er=-(b3-4abc+a2d)2A=p2-3qB=pq-9rC=q2-3pr若A=B=0y1=y2=y3=-p/3=-q/p=-3r/qx1=1/4a(-b+√y1+√y2+√y3)X3=1/4a(-b+√y1-√y2-√y3)X2=1/4a(-b-√y1+√y2-√y3)X4=1/4a(-b-√y1-√y2+√y3)若B2-4AC=0y1=-p+ky2=y3=-k/2k=B/AA<>0///新补充x1=1/4a(-b+√y1+√y2+√y3) X3=1/4a(-b+√y1-√y2-√y3) X2=1/4a(-b-√y1+√y2-√y3) X4=1/4a(-b-√y1-√y2+√y3)若B2-4AC<0T=(2Ap-3B)/(2A1.5)y1=-1/3(p+2Acos(1/3ArccosT))y2=-1/3(p+2Acos(1/3ArccosT+2π/3))y3=-1/3(p+2Acos(1/3ArccosT-2π/3))x1=1/4a(-b+√y1+√y2+√y3)X2=1/4a(-b-√y1+√y2-√y3)X3=1/4a(-b+√y1-√y2-√y3)X4=1/4a(-b-√y1-√y2+√y3)若B2-4AC>0令。
怎么解一元四次方程
怎么解一元四次方程一元四次方程是指一个形如$ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0$ 的方程，其中$a,b,c,d,e$ 是常数。
解决这类方程的方法有多种，具体取决于方程的特征和具体的数值。
下面将介绍几种常见的解法。
1.因式分解法如果方程的一个或多个系数为零，则可以使用因式分解法。
例如，对于方程$x^4+4x^2+4=0$，可以将其写成$(x^2+2)(x^2+2)=0$ 的形式，解得$x^2=-2$ 或$x^2=2$，因此$x=\pm \sqrt{2}$ 或$x=\pm i\sqrt{2}$。
2.秦久分式法如果方程的系数$a,b,c$ 均不为零，则可以使用秦久分式法。
这种方法的基本思想是将方程转化为两个一元三次方程的形式，分别解决。
例如，对于方程$x^4+2x^3+3x^2+4x+5=0$，可以使用如下步骤解决：(1) 将方程转化为$x^4+2x^3+(3-t)x^2+(4-tx)+(5-t^2)=0$ 的形式。
(2) 将方程化为$(x-t)(x^3+px^2+qx+r)=0$ 的形式，其中$p=2+t,q=3-t,r=5-t^2$。
(3) 将方程化为$(x-t)(x^3+(2+t)x^2+(3-t)x+(5-t^2))=0$ 的形式，其中$p=2+t,q=3-(4) 解出$x^3+(2+t)x^2+(3-t)x+(5-t^2)=0$ 的根$r_1,r_2,r_3$。
(5) 则有$x=t,r_1,r_2,r_3$ 是方程$x^4+2x^3+3x^2+4x+5=0$ 的根。
秦久分式法的优点是可以通过解决一元三次方程来解决一元四次方程，解决起来相对容易。
但是，秦久分式法并不能解决所有一元四次方程，存在一些极少数情况无法使用。
3.剩余定理法剩余定理法是一种通用的解决一元四次方程的方法。
该方法的基本思想是将方程的系数与某个多项式的系数作比较，然后使用剩余定理来求解。
例如，对于方程$x^4+ax^3+bx^2+cx+d=0$，可以使用如下步骤解决：(1) 将$x$ 看作是未知数，将多项式$x^4+ax^3+bx^2+cx+d$ 看作是已知的多项式。
一元四次方程求根公式(精度高)
目录前言一·一元三次方程求根公式二·笛卡尔待定系数法结合一元三次方程韦达定理三·费拉里配方法 四·误差计算方法 五·两个求根公式精度对比 六·计算器使用注意事项附录一·一元四次方程有一三重根时的另一种求根公式附录二·一元四次方程有一对重根时的另一种求根公式附录三·43x x 取第一种算法的证明过程附录四·费拉里配方法的详细计算过程前言该文档是在word2003编辑的，如果用更高版本的word 浏览或编辑，某些数学公式可能无法正常显示。
一元四次方程有两种解法，一种是笛卡尔待定系数法，一种是费拉里配方法。
两种解法都需要求解一元三次方程。
因此先介绍一元三次方程的解法。
在求根公式计算过程中，经常会发生相近数相减，因此精度会随之下降，这里给出两个数发生相近数相减的判定条件：将两个数写成a+b 的形式，在判断是否发生相近数相减前，先计算两个中间变量b a i +，b a d +：1·0≥ab0=+b a i ，b a d +=12·0<ab⎩⎨⎧≠+-+=+-=+0))),(int(lg(max int(lg 015b a b a b a b a i b a b a b a d b a ++=+计算出b a i +，b a d +后，再判断a+b 是否发生相近数相减。
判定标准如下：1·0=+b a i 或者1-=+b a i 并且31≥+b a d ，a+b 不发生相近数相减。
2·1-<+b a i 或者1-=+b a i 并且31<+b a d ，a+b 发生相近数相减。
下面推导一元三次方程和一元四次方程的求根公式。
一·一元三次方程求根公式一·一 求根公式一元三次方程)0,0,,,(023≠≠∈=+++d a R d c b a d cx bx ax ，求根公式由塔塔利亚首次提出，由卡尔丹诺于1545年在《重要的艺术》上第一次发表。
如何解一元四次方程
如何解一元四次方程一元四次方程是数学中的一种常见方程，其形式为ax^4+bx^3+cx^2 +dx+e=0。
解这种方程的方法有多种，下面将介绍一些常用的方法。
1.代数运算代数运算是解一元四次方程的基本方法。
通过对方程进行整理和化简，将其转化为更容易解决的形式。
通常需要进行移项、合并同类项、提取公因子等运算。
2.因式分解因式分解是一种常用的解方程的方法。
通过对方程进行因式分解，将多项式转化为几个整式的乘积形式。
这样可以更方便地找到根，特别是当方程可以分解为几个线性因子或二次因子时。
3.消元法消元法是一种通过消除一些变量来简化方程的方法。
在一元四次方程中，可以通过消去三次项、二次项、一次项等来简化方程，使其更容易求解。
4.替换法替换法是通过将方程中的某个变量替换为另一个变量的表达式来简化方程的方法。
这种方法通常用于解决一些特定形式的一元四次方程。
5.分解因式法分解因式法是将一元四次方程分解为几个一元二次方程或一元一次方程的方法。
通过找到这些因式，可以更容易地找到方程的根。
6.迭代法迭代法是通过不断迭代来逼近方程的根的方法。
这种方法通常用于解决一些难以找到精确解的方程，可以通过迭代来得到近似解。
7.数值方法数值方法是通过数值计算来求解一元四次方程的方法。
这种方法通常用于解决一些无法找到精确解的方程，但可以通过数值计算得到近似解。
常用的数值方法包括牛顿法、梯度法等。
8.符号计算符号计算是通过计算机代数系统来进行符号运算的方法。
这种方法可以用于解决一些符号形式的一元四次方程，可以得到精确解。
常用的符号计算系统包括Mathematica、Symbolic Math Toolbox等。
一元四次方程怎么解
一元四次方程怎么解
一元四次方程是一类常见的方程，其求根难度较高，但掌握其解法可以比较有效地求解曲线。
以下是一元四次方程求根的常见方法：
1、完全平方因式法：首先将一元四次方程化为完全平方式，如1 2x^4+3x^3+5x^2+7x+6=0可以化为(2x^2+x+3)^2-10x-15=0，然后采用完全平方因式法计算，此时此方程的根为：
x1=1+√2(-3+√3)，x2=1+√2(-3-√3)，x3=1-√2(-3+√3)，x4=1-√2(-3-√3)。
2、求根公式：对于一元四次方程，可以设置一个求根公式，如aX^4+bX^3+cX^2+dX+e=0，其求根公式为：X1=[2(2d-b^2)+√(-4(2d -b^2)^2+4(b^3-3bd+18c))]/6，X2=[2(2d-
b^2)-√(-4(2d -b^2)^2+4(b^3-3bd+18c))]/6，X3=[-2(2d-b^2)+√(-4(2d -
b^2)^2+4(b^3-3bd+18c))]/6，X4=[-2(2d-b^2)-√(-4(2d -b^2)^2+4(b^3-3bd+18c))]/6，X1∙X2∙X3∙X4=e-cd+bd^2-4ac。
3、分解因式法：将一元四次方程分解为两个二次方程求解，如x4+4x3+4x2+4x+2=0可以
化为(x2+2x+1)=(x2+2x+2)，然后将两个二次方程独立求解，其根为：x1=-1+i，x2=-1-i，x3=1+i，x4=1-i。
以上就是求解一元四次方程的常见方法，读者可以结合不同的实例进行实践，从而掌握解
决四次方程的技巧。
一元四次方程的解法
4a 2 3a
b2
4c
b3 a3
4bc a2
8d a
2a 2 3a
4 b2 2c
4a 2 3a
b2
4c
b3 a3
4bc a2
8d a
2a 2 3a
4
b2 2c 4a 2 3a
Xu Wen, Tongji University, Shanghai. All rights reserved.
令
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一元四次方程的解法
1 2
c2 3bd 12ae 2c3 9bcd 27ad
2
27b 2 e
72ace
并记
3 21
3 2 431 223a来自 2 431 2233 2a
则有
x1
b 4a
1 2
x2
b 4a
1 2
x3
b 4a
1 2
x4
b 4a
1 2
b2 2c 1
4a 2 3a
2
b2 2c 1
4a 2 3a
2
b2 2c 1
4a 2 3a
2
b2 2c 1
4a 2 3a
2
b2
4c
b3 a3
4bc a2
8d a
2a 2 3a
4 b2 2c
4a 2 3a
b2
4c
b3 a3
4bc a2
8d a
2a 2 3a
4 b2 2c
x2
b 2a
2
x
b2 4a 2
c a
x
2
d a
x
e a
此时，两边再同时加上 y x2 b x 1 y 2 得 2a 4
解一元四次方程的公式
解一元四次方程的公式
一元四次方程是指以一元多项式为未知数的四次方程。
一般原形为：$$ ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e = 0 $$
解一元四次方程的方法比较耗时，普遍使用的是庞加莱数分解的方法，它把一般的次方均不超过2的一元多项式化为特殊二次多项式与线性多项式的乘积。
例如一般形式的一元四次方程为：ax4+bx3+cx2+dx+e=0，用庞加莱数分解法则有：
a= e/s ,
p = (c+sb)/s ,
q = (b-pa)/s
解得：
x1 = (-p+√(p^2-4aq))/2a
x2 = (-p-√(p^2-4aq))/2a
由上解得，（a+p)(a+q)(x+r)(x+s) = (a+p)(a+q)(x1+r)(x1+s) = 0,
即：
(r-x1)(s-x1)(a+p)(a+q) = 0,
由此解得：
x1 = r ,
x2 = s ,
将x1,x2代入原方程，余式为0，
即得：
ax4+bx3+cx2+dx+e=0的根是x1=r, x2=s ,
即一元四次方程的解为：
x1 = (-p+√(p^2-4aq))/2a ,
x2 = (-p-√(p^2-4aq))/2a ,
以上就是一元四次方程的解法，庞加莱数分解法不仅具有解题步骤清晰，且所用数学知识较少的特点，被业内普遍采用。
在具体解题时，庞加莱数分解法的解题步骤更为明晰，更加透彻、深入的认知思维，能够更为从容的解出一般形式的四次方程。
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一元三次方程的一般形式是
x3+sx2+tx+u=0
如果作一个横坐标平移y=x+s/3，那么我们就可以把方程的二次项消
去。
所以我们只要考虑形如
x3=px+q
的三次方程。
假设方程的解x可以写成x=a-b的形式，这里a和b是待定的参数。
代入方程，我们就有
a3-3a2b+3ab2-b3=p(a-b)+q
整理得到
a3-b3 =(a-b)(p+3ab)+q
由二次方程理论可知，一定可以适当选取a和b，使得在x=a-b的同时，
3ab+p=0。
这样上式就成为
a3-b3=q
两边各乘以27a3，就得到
27a6-27a3b3=27qa3
由p=-3ab可知
27a6 + p3 = 27qa3
这是一个关于a3的二次方程，所以可以解得a。
进而可解出b和根x。
费拉里发现的一元四次方程的解法和三次方程中的做法一样，可以用一个坐标平移来消去四次方程一般形式中的三次项。
所以只要考虑下面形式的一元四次方程：x4=px2+qx+r
关键在于要利用参数把等式的两边配成完全平方形式。
考虑一个参数
a，我们有(x2+a)2 = (p+2a)x2+qx+r+a2
等式右边是完全平方式当且仅当它的判别式为0，即
q2 = 4(p+2a)(r+a2)
这是一个关于a的三次方程，利用上面一元三次方程的解法，我们可以
解出参数a。
这样原方程两边都是完全平方式，开方后就是一个关于x
的一元二次方程，于是就可以解出原方程的根x。
最后，对于5次及以上的一元高次方程没有通用的代数
解法(即通过各项系数经过有限次四则运算和乘方和开
方运算)，这称为阿贝耳定理
一元四次求根公式
对于一般一元四次方程：
ax4+bx3+cx2+dx+e=0
设方程的四根分别为：
x1=(-b+A+B+K)/(4a)
x2=(-b-A+B-K)/(4a)
x3=(-b+A-B-K)/(4a)
x4=(-b-A-B+K)/(4a)
(A,B,K三个字母足以表示任意三个复数，根据韦达定理：
方程四根之和为-b/a,所以当x1，x2，x3的代数式为原
方程的三根时，那么x4形式的代数式必是方程的第四个
根。
)
将这四个代数式代入到韦达定理中可整理得：
x1+ x2+ x3+ x4= -b/a
x1x2 +x1x3+ x1x4+ x 2 x3 + x2x4+ x3
x4=(1/8a2)(3b2-A2-B2-K2)=c/a
x1x2x3 +x1x2x4+ x1 x3 x4+ x2 x3 x4=
(1/16a3)(-b3+bA2+bB2+Bk2+2ABK)= -d/a
x1x2 x3 x4=(1/256a4)(b4+
A4+B4+K4-2b2A2-2b2B2-2b2K2-2A2B2-2A2K2-2B2K2-8bA
BK)=e/a
整理后为：
A2+B2+K2=3b2-8ac————————————————
记为p
A2B2+A2K2+B2K2=3b4+16a2c2-16ab2c+16a2bd-64a3e—
—记为q
A2B2K2=(b3-4abc+8a2d)2—————————————
—记为r
由此可知：A2，B2，K2是关于一元三次方程
y3-py2+qy-r=0的三根
从而可解得±y11/2,±y21/2,±y31/2是A，B，K的解。
若y11/2, y21/2, y31/2是A，B，K的一组解（A，B，K
具有轮换性，所以在代入时无须按照顺序）
那么另外三组为
（ y11/2,- y21/2,- y31/2
（- y11/2, y21/2,
-y31/2
（-y11/2,- y21/2, y31/2
从而将以上任意一组解代入到所设代数式中，均可解得
原四次方程的四根。
由这种方法来解一元四次方程，只需求界一个一元三次
方程即可，而费拉里的公式则需先解一个三次方程，再
转化成两个复杂的一元二次方程，并且若要以其系数来
表示它的求根公式的话，其形式也是相当复杂的。
我的
求解方法尽管在推导公式的过程中有一定的计算量，但
如果要运用于实际求根，尽用结论在计算上绝对要比费
拉里公式简便。
那么我下面再介绍一下有关一元三次方
程的改进公式：
对于一般三次方程：
ax3+bx2+cx+d=0
设方程的三根分别为：
x1=(-b+A+B)/(3a)
x2=(-b+wA+w2B)/(3a)
x3=(-b+w2A+wB)/(3a)
则
A3+B3=-2b3+9abc-27a2d————记为p
A3B3=(b2-3ac)2—————
———记为q
则A3，B3是关于一元二次方程：
y2-py+q=0的两根。