工程力学第13章(应力状态分析)

x
sin 21
即τmax 、τmin作用面上
1

x
y
2
3.

max min


x
y
2


(
x

2
y
)2

2 x
max

max
min
2
例：讨论圆轴扭转时的应力状态，并分析铸铁试件受扭时的 破坏现象。
解：圆轴扭转时横截面边缘处切应力最大
T M
1 114.6MPa 2 0 3 50.9MPa
x 63.7MPa y 0 x 76.4MPa
主应力作用面的方位角
0

1 2
arctan(

2 x x
y
)

1 2
arctg( 2 76.4) 63.7

56.31o

33.69o
单元体任意部分平衡
由截面法和平衡条件可求 得任意方位面上的应力，即 点在任意方位的应力。
二、应力状态的分类
1.主平面 单元体上无切应力的平面。
2.主应力 作用在主平面上的正应力。
3.应力状态的分类 任何点的应力状态总可找到三对互相垂直的主平 面构成的六面体，作用三对主应力，且有：
1 2 3
（按代数值大小排序）
·三向应力状态 ·二向应力状态 ·单向应力状态
三个主应力都不等于零。 两个主应力不等于零。 只一个主应力不等于零。
§13-2 平面应力状态应力分 析的解析法
一、任意斜截面上的正应力和切应力
Fn 0 : F 0 :
dA ( xdAcos )sin ( xdAcos )cos ( ydAsin )cos ( ydAsin )sin 0
单元体
转向相同
例：一薄壁圆筒受扭转和拉伸同时作用如图。已知圆筒的平 均直径d = 50mm，壁厚t = 2mm，外力偶M = 600N·m，拉力F
= 20kN。薄壁管截面的抗扭系数可近似取为WP= πd2t / 2。试用
图解法求过点D 指定斜截面上的应力、点的主应力和主方向及 最大切应力。
解：⑴ 求D 点在横截面上的正应力、切应力
CH sin(20 2) CH sin 20 cos 2 CH cos 20 sin 2
(CDsin20)cos 2 (CDcos 20)sin2


x

2
y
sin
2

x
cos
2
2.确定主应力的大小及主平面的方位 A、B点对应的横坐标分别表示对应主平面上的主应力。
tan 21


x 2 x
y
tan
20



2 x x
y
即τmax 、τmin 作用面是互相垂直的面，为α1截面和
α1+90o截面，且α1=α0+45o 。
2. ( x y )cos 21 2 x sin 21 0
1

x

2
y
x

2
y
cos 21


DF CF

2 x x y
x y 0 45o
x y x y
0 45o
x 0 0 45o
x 0 0 45o
3.确定最大切应力的大小及作用平面的位置 K、J点对应的纵坐标表示最大、最小切应力。
⑴ 最大（小）切应力

max min
2
x
y
2
cos 2
x sin 2


x
y
2
sin 2
x
cos 2

(


x
2

y
)2


2


(
x

2
y
)2

2 x
⑴ 以σ 、τ为横、纵坐标轴，则上式表示以
(
x


y
，0)
2
为圆心，
(
x
2

y
)2
为 x2 半径的应力圆。
⑵ 应力圆上一点坐标对应单元体某斜截面的应力值，所
d 0 d
( x y )cos 21 2 x sin 21 0
解得：
tan 21


x 2 x
y
可确定两个相互垂直
的截面 1,1 90
代入平面应力状态下任意斜截面上切应力表达式
max min




(
x

2
y
)2

2 x
1.
⑴ A、B点对应正应力的极值

max min


OC
CA

x
y
2


(
x

2
y
)2

2 x
⑵ CA、CB夹角为180o，所以两主平面的夹角为90o。
⑶ σmax作用面方位角度α0
tan0


FD BF


x
x min

x max y
tan 20
解：⑴ 求C 点所在截面的剪力、弯矩 F
FS 2 50kN M Fl 25kN m
8 ⑵ 求C 点在横截面上的正应力、切应力
C

M Iz
y

25103 600103 / 4 200 6003 1012 / 12
1.04MPa
C

3FS 2bh
(1
4 y2 h2


CK



(
x

2
y
)2

2 x
⑵ CK、CJ夹角为180o，所以τmax 、τmin作用面的夹 角为90o；同时τmax作用面的外法线可由σ1作用面的外法
线逆时针转45o 得到。
⑶ 由应力圆可知
max

max
min
2
1

x
y
2
应力圆
点面对应 夹角两倍
x y
1 33.69o 3 56.31o
Байду номын сангаас
D 点最大切应力
max

1
3
2

114.6 (50.9) 2

82.75MPa
§13-3 平面应力状态应力分
一、应力圆方程
析的图解法


x
y
2
x
y
2
cos 2
x
sin 2

x
y
2.
tan 20



2 x x
y
即σmax 、σmin 作用面是互相垂直的面，为α0截面和 α0+90o截面。
3. σmax作用面方位角度α0
x y 0 45o
x y 0 45o
x y
x 0 x 0
0 45o 0 45o
4.
D

FN A

F
dt


20 103 50 2106

63.7MPa
x
cos 2


x
y
2
x
y
2
cos 2
x
sin 2


x
y
2
sin 2
x
cos 2
⑴ σx 、τx 是法线与x 轴平行的面上的正应力与切应力，即x
面上的正应力与切应力；σy 、τy 是法线与y 轴平行的面上的正应 力与切应力，即y 面上的正应力与切应力。
第十三章 应力状态分析 §13-1 引言
一、应力状态的概念
1. 点的应力状态 过受力构件内一点所作各截面上的应力情况，即
过受力构件内一点所有方位面上的应力总体。
2. 一点应力状态的描述 以该点为中心取无限小正六面体（单元体）为研
究对象，单元体三对互相垂直的面上的应力可描述 一点应力状态。
单元体三对面的应力已知 ，单元体平衡
x 76.4MPa


x
y
2
x
y
2
cos 2
x
sin 2
63.7 63.7 cos 240o (76.4) sin 240o 22
50.3MPa


x
y
2
sin 2
x
cos 2
63.7 sin 240o (76.4) cos 240o 2
二、主应力及主平面位置
求与z 轴平行所有截面上的最大（小）正应力及方位


x
y
2
x
y
2
cos 2
x
sin 2
d 0 d

x

2
y
(2 sin
20 )

x (2cos
20 )

0
解得：

x

2
y
sin
20

x
cos
20

0
tan 20



2 x x
y
可确定两个相互垂直
的截面 0 ,0 90
代入平面应力状态下任意斜截面上正应力表达式，得：
max min


x
y
2


(
x

2
y
)2

2 x
1.

x

2
y
sin
20

x
cos
20

0
0 0
即σmax 、σmin 作用面上τ = 0，即α0截面为主平面，σmax、 σmin为主应力。
H点横坐标
OC CH cos(20 2) OC CH cos 20 cos 2 CH sin20 sin2
OC (CDcos 20 )cos 2 (CDsin 20)sin 2

x

2
y

x

2
y
cos 2
x
sin 2
H点纵坐标
)

3 50103 2 200 600106
(1
4 1502 106 6002 106
)
0.469MPa
C 1.04MPa C 0.469MPa
⑶ 作出C 点的应力状态图
x 1.04MPa y 0 x 0.469MPa
40o

max min


x
y
2


(
x

2
y
)2

2 x
max min x y
即对于同一点互相垂直面上的正应力之和是常量。
三、最大切应力及其作用平面的位置
求与z 轴平行所有截面上的最大切应力及方位


x
y
2
sin 2
x
cos 2
D

FN A

F
dt


20 103 50 2106

63.7MPa
D
T
WP

M
d2t / 2


2 (600) 502 2 109

76.4MPa
D 63.7MPa D 76.4MPa
⑵ 作出D点的应力状态图 x 63.7MPa y 0 120o


x
y
2
x
y
2
cos 2
x
sin 2
1.04 1.04 cos 80o 0.469 sin 80o
2
2
1.07MPa


x
y
2
sin 2
x
cos 2
1.04 sin 80o 0.469 cos 80o 2
0.59MPa
⑵ 正应力：拉应力为正，压应力为负；切应力：对单元体 内任意点的矩顺时针为正，反之为负。
⑶ 斜截面角度：从x 轴正向转到斜截面外法线所转过的角度， 逆时针转为正，顺时针转为负。
例：矩形截面简支梁在跨中作用集中力F。已知F =100kN，l = 2m ，b = 200mm ，h = 600mm ，α =40o，求离支座l /4 处截面C点 在斜截面n-n上的应力。
有斜截面的应力值对应一个确定的应力圆。
二、应力圆的作法
建立σ-τ坐标系
在σ-τ坐标系中找到D(σx
,τx )和E(σy ,τy )两点
连接DE与横坐标轴交于 C 点，以点C 为圆心、CD 半径作圆
三、应力圆的应用
1. 确定单元体斜截面上的应力
以CD为基线，沿与α角转向相同方向转2α到新半
径CH，则H 点坐标表示截面α的σα、τα 。
10.7MPa
x 63.7MPa y 0 x 76.4MPa ⑶ 求D 点的主应力和主方向及最大切应力

max min


x

2
y


(
x

2
y
)2

2 x
63.7 2
63.7 (
)2

(76.4)2
2

114.6MPa 50.9MPa
例：一薄壁圆筒受扭转和拉伸同时作用如图。已知圆筒的平 均直径d = 50mm，壁厚t = 2mm，外力偶M = 600N·m，拉力F
= 20kN。薄壁管截面的抗扭系数可近似取为WP= πd2t / 2。试用
解析法求过点D 指定斜截面上的应力、点的主应力和主方向及 最大切应力。
解：⑴ 求D 点在横截面上的正应力、切应力
dA ( xdAcos )cos ( xdAcos )sin ( ydAsin )cos ( xdAsin )sin 0
平面应力状态下任意斜截面上应力表达式


x
y
2

x
y
2
cos 2
x
sin 2


x
y
2
sin 2
WP WP
作应力状态图
x y 0
x
max min


x
y
2


(
x
y
2
)2


2 x


0

1 2
arctan(

2 x x
y
)

45o

45o
圆轴扭转时表面各点σmax所在平面连成倾角为45o的螺旋面， 由于铸铁抗拉强度低，所以试件沿此螺旋面断裂破坏。