连续系统的最优控制

第6章 连续系统的最优控制

6.1 最优化问题

6.2 最优控制的变分法求解

6.3 线性系统二次型性能指标的最优控制

1、线性系统有限时间最优状态调节系统 ◆二次型性能指标

设受控系统对平衡点的增量方程为

()()()()()x t A t x t B t u t ∆=∆+∆，00()x t x ∆=∆

简记为

()()()()()x t A t x t B t u t =+，00()x t x =

最优状态调节是指：对上述系统，在时间区间0[,]f t t t ∈，

寻求最优状态反馈控制，使初始状态偏差00()x t x =迅速衰减，且同时使二次型性能泛函

11()()[()()()()]d 22f

t t t t

f f f x u t J x t Q x t x t Q x t u t Q u t t =++⎰

*

min f x u J J J J J =++→=

式中 ()0f n n Q ⨯≥——终端加权矩阵。

()0x n n Q ⨯≥——状态加权矩阵。 ()0u r r Q ⨯>——控制加权矩阵。

三个加权矩阵均为对称矩阵，为简单，一般取为对角矩

阵。

●1()()2

t

f f f f J x t Q x t =表示对终端状态偏差即稳态控制精度的限制。当1

diag[]f f fn Q q q =，2

1

1()2n f fi i f i J q x t ==∑

●0

1()()d 2f

t t

x x

t J x t Q x t t =⎰表示对控制过程中状态偏差衰减速度的要求。当1

diag[]x x xn Q q q =，0

2

11()d 2f

t n

x xi i i t J q x t t ==∑⎰

●0

1()()d 2f

t t

u u t J u t Q u t t =⎰表示对控制过程中所消耗的能量的限制，以避免状态偏差过快衰减导致控制量超过允许数值。当

1

diag[]u u ur Q q q =，0

2

11()d 2f

t r

u ui i i t J q u t t ==∑⎰，2()i u t 可理解为功率。

实际上，在性能指标中，x J 已经对控制的稳态精度有所要求。当对稳态精度有更高的要求时，才增加f J 项。

由上可知，上述二次型性能指标的物理意义是，在整个时间区间0[,]f t t t ∈，特别是终值时刻f t t =上状态变量尽量接近于0

而又不消耗过大的控制能量。

◆f t 有限时的最优状态控制

最优状态调节器问题是始端固定、终端自由的泛函极值问

题，即0t 给定，00)x t x =（，f t 给定， )f t x （自由的泛函极值问题。

黎卡提（Riccati ）矩阵微分方程（一阶非线性矩阵微分方程）：

1

()()()()()()()()()t

t

u

x P t P t A t A t P t P t B t Q B t P t Q -++-+=0

其终值条件为

()f f P t Q =

可以证明，当矩阵(),(),(),()u x A t B t Q t Q t 的各元素在0[,]f t t 上都是t 的连续函数时，黎卡提方程在0[,]f t t 上满足终值条件的解存在且唯一。当()P t 解出后，便有最优控制为

*

1()()()()()()t

u

u t K t x t Q B t P t x t -==-

式中，1()()()t

u

K t Q B t P t -=-为时变状态反馈矩阵。

最优性能指标为

*

0001()()()2

t

J x t P t x t =

闭环系统结构如图：

⊗

x

◆()P t 的特征

*()P t 的时变性：

即使,,,u x A B Q Q 都是定常矩阵，此时黎卡提方程为定常系数矩阵微分方程，()P t 也是时变的。

*()P t 的对称性

()P t 是对称矩阵，共含有(1)/2n n +个不同的元素。

*()P t 0[,]f t t t ∈的非负定性

由于,,f u x Q Q Q 均为非负定矩阵，所以对任意的()u t 和相应

的()x t ，总有0J ≥，*

1()()()02

t

J x t P t x t =≥，因()x t 是任意的，可

知()0P t ≥。

*当f t t <<=∞，()P t 为常数矩阵

在这种情况下，在动态过程的大多数时间内，()P t 为常数矩阵，从而最优控制的时变状态反馈简化为定常状态反馈。

说明后列。 例：系统状态方程为

x x u =-+，0(0)x x =

求最优控制，使

10

222

11()()d min 22f J x t x u t =++→⎰

解：1A =-，1B =，1f Q =，1x Q =，1u Q =，00t =，10f t = 矩阵黎卡提微分方程为

2

()()2()10P t P t P t -++=，()(10)1f f P t P Q ===

对1f Q =，10f t =，解得

)

)

(21)1)(2()(2(2t t e

P t e

----+-++-=

+--

最优控制为