第2讲函数与映射的概念复习.docx

第2讲函数与映射的概念

★知识梳理

1.函数的概念

(1)函数的定义：设A、B是两个非空的数集,如果按照某种对应法则于，对于集合A中的每一个数x ,在集合B中都冇唯一确定的数和它对应,那么这样的对应叫做从4到B的一个函数，通常记为y = /(x),x G A

(2)函数的定义域、值域

在函数y = /(x),x G A中，x叫做口变量，x的取值范碉A叫做y = /0)的定义域；与x的值和对应的y值叫做函数值，函数值的集介｛f(x)卜e A｝称为函数y = f(x)的值域。

(2)函数的三要素：定义域、值域和对应法则

2.映射的概念:设A、B是两个集合，如果按照某种对应法则/,对于集合A中的任意元素，在集合B小都有唯-确泄的元素与Z对应,那么这样的单值对应叫做从A到B的映射，通常记为f : A — B

★重、难点突破

重点：掌握映射的概念、函数的概念，会求函数的定义域、值域

难点：求函数的值域和求抽象两数的定义域

重难点：1・关于抽象函数的定义域

求抽象函数的定义域，如果没冇弄清所给函数Z间的关系，求解容易出错误问题1：已知函数y = /(x)的定义域为[a, b],求y = /(x + 2)的定义域.

问题2：己知y = /(x + 2)的定义域是[d, b],求函数y = f (x)的定义域.

1.求值域的几种常用方法

(1 )配方法：对于(可化为)'、二次函数型〃的函数常用配方法，如求函数y = -sin2兀一2cosx + 4, 变为y = - sin? x-2cosx + 4 = (cosx-1)2 + 2解决.

(2)基本函数法：一些由基木函数复合而成的函数可以利用基本函数的值域来求，如函数y = log j (-x2 + 2x + 3)就是利用函数y = log丨u和u = -x2 + 2兀+ 3的值域来求.

2 2

2JC + 1

(3)判别式法：通过对二次方程的实根的判别求值域。如求函数/ 的值域

兀'―2兀+ 2

山)，=严+1得y/—2(y + i)x + 2y — l = 0,若y = 0 ,则得 % = 所以y = 0 x - 2x + 2 2 是函数值域中的一个值；若y ^0 ,则由△ = [—2(y + l)『—4y(2y —1)» 0得

3 — Vo 3 + J13 口+&矿卡估一+ Vi~3

--------- < y < ------------ J=Ly工0,故所求值域是[ -------- , ------- ]

0T 3

(4)分离常数法：常用来求'、分式型〃函数的值域。如求断数『= 的值域,因为

cos x +1

y =-―———-=2 --------- : ----- , 而cosx +1 w (0,2], 所以-------- :---- e (一00,——J, 故COSX+ 1 cos X +1 cos X +1 2

y € (-00,--]

(6)利用函数的单调性求求值域：如求函数,V =2X4-X12+2(XG［-1,2］)的值域

因y = 8x3 4-2x = 2x(4/-1),故函数)‘，=2x4-x2 + 2(x G［-1,2］)在(-1--)上递减、

2

在(-丄,0)上递增、在(0,丄)上递减、在(丄,2)上递增，从而可得所求值域为［匕,30］

2 2 2 8

(7)图象法：如果函数的图彖比较容易作出，则町根据图彖直观地得出函数的值域(求某些分段函数的值域常用此法)。

★热点考点题型探析

考点一：判断两函数是否为同一个函数

1 f(x) = ",

X-1 x < 0;

3 f(x) = 2n^lx2n+X , g(X)= (2%y7)2“T (nGN*).

4f (x) = 厶 +1 , g(兀)=J兀2 +x ； (5) f(x) = x2 -2%-l, g(t) = t2 -2r-l

■ ［新题导练］

1. (2009•佛山)下列函数中与函数y = x相同的是()

___ 2

A ,y = (7x )2； B.y =看;C.y =A/P~ ; D. y= —

X

2.(09年重庆南开中学山函数y = 0.1，8(2x-1)的图彖相同的函数是()

A.y = 2^ - 1 (x > —) ；

B. y = —-—；

C. y = —-— (x > —) ；

D. y =1 —-—I

丿 2 • 2x-l ' 2x-l 2 ' 2x-l

考点二：求函数的定义域、值域

题型1：求有解析式的函数的定义域3 r

⑸利用基本不等式求值域「如求函数尸齐的值域

3

当％= 0时・，y = 0；当XH O时，y = ------ ,若x〉(), “ 4

x + -

X 则x + — > 2Jx-— = 4

X X

若x<0,则x + - = -(-x+ 4

X 丿2”(三)" 3 3

从而得所求值域是［-打

［例1］试判断以下各组函数是否表示同一函数？

［例2］. （08年湖北）函数/（切=丄ln （7x 5 6-3x + 2 + 7-%2-3x + 4）的定义域为（） x

A. (-oo,-4) U [2,+oo) ;

B. (―4,0) U (0,1) ；

C.

题型2：求抽象函数的定义域 ［例3］ （2006 •湖北）设f （x ）=临尹丄，则/（守］+ ［的定义域为（）

A. （-4,0）U （0,4）；

B. （-4-l ）U （l,4）；

C. （―2,—1）U （1,2）；

D. （―4,—2）U （2,4） 题型3；求函数的值域

［例 4］已知函数 y = x 2 - 4ax 4- 2a 4- 6（a e R ）,若 y > 0恒成立，求/（a ） = 2 - g+ 3| 的 值域.

4.定义在/?上的函数y = f （x ）的值域为山,创，则函数y = f （x-l ）的值域为（

A ・［a —1，/? —1］；

B ・［ci^b ］ ； C- ［tz + l,b + l ］； D.无法确定

5. （2008江西改）若函数y = /（x ）的定义域是［1,3］,则函数g ⑴二上竺 的定义域是 x-l

5 I

6. （2008江西理改）若函数y = /（x ）的值域是［—,3］,则函数F （兀）= /（兀）+ — 的值域

6 f （兀）

是 _________ 考点三：映射的概念

［例5J （06陕西）为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文T 密文（加密），接 收方由密文T 明文（解密），已知加密规则为：明文。，仇c,d 对应密文

o + 2b,2b + c,2c + 3d,4d.例如，明文1,2,3,4对应密文5,7,18,16.当接收方收到密文 14,9,23,28时，则解密得到的明文为（）

A. 7,6,1,4：

B. 6,4,1,7；

C. 4,6,1,7；

D. 1,6,4,7

7.集合4={3, 4}, B={5, 6, 7},那么可建立从A 到3的映射个数是 _________________,从3到 4的映射个数是 __________ .

备选例题：（03年上海）已知集合M 是满足下列性质的函数/（兀）的全体：存在非零常数T , 对任意"R,有/（x + T ） = 7/（兀）成立。（1）函数f （x ） = x 是否属于集合M ?说明理由;

（2）设函数f （x ） = a x （a>0,a^l ）的图象与y 二兀的图象有公共点，证明:

/(x) -a x G M

[,-4,0)U(0,l];D. [-4,0) U (0,1)

3・（2008安徽文、理）函数/（兀）= J 兀-2-1 log 2(x-l) 的定义域为