2019金榜e讲堂-高三人教版数学一轮复习课件：第2章第11节变化率与导数、导数的计算
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2019版数学(理)高分计划一轮高分讲义：第2章 函数、导数及其应用 2.10 导数的概念及运算
2．10导数的概念及运算［知识梳理]1．变化率与导数（1）平均变化率(2）导数2．导数的运算[诊断自测] 1．概念思辨(1)f ′(x 0）与（f （x 0））′表示的意义相同．( )（2)f ′(x 0)是函数y ＝f （x ）在x ＝x 0附近的平均变化率．（ ) （3)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．（ ) （4）曲线y ＝f （x )在点P (x 0，y 0)处的切线与过点P （x 0,y 0)的切线相同．（ ）答案 （1）× （2)× (3）× （4）×2．教材衍化(1）（选修A2－2P 6例1)若函数f (x ）＝2x 2－1的图象上一点（1，1)及邻近一点（1＋Δx,1＋Δy ），则Δy Δx 等于（ ）A ．4B ．4xC ．4＋2ΔxD ．4＋2（Δx ）2答案 C解析 Δy ＝(1＋Δy )－1＝f (1＋Δx ）－f (1）＝2(1＋Δx )2－1－1＝2（Δx )2＋4Δx ，∴错误!＝2Δx ＋4，故选C.（2）（选修A2－2P 18T 7）f （x ）＝cos x 在错误!处的切线的倾斜角为________． 答案错误!解析 f ′（x )＝（cos x )′＝－sin x ，f ′错误!＝－1， tan α＝－1，所以α＝3π4. 3．小题热身（1)（2014·全国卷Ⅱ)设曲线y＝ax－ln (x＋1）在点（0,0）处的切线方程为y＝2x,则a＝（）A．0 B．1 C．2 D．3答案D解析y′＝a－错误!,当x＝0时，y′＝a－1＝2，∴a＝3，故选D.(2）（2017·太原模拟）函数f(x）＝x e x的图象在点(1，f（1))处的切线方程是________．答案y＝2e x－e解析∵f(x)＝x e x,∴f(1)＝e,f′（x)＝e x＋x e x，∴f′（1)＝2e，∴f(x）的图象在点(1，f（1))处的切线方程为y －e＝2e(x－1),即y＝2e x－e.题型1导数的定义及应用错误!已知函数f(x)＝错误!＋1，则错误!错误!的值为（）A．－错误! B.错误! C.错误!D．0用定义法．答案A解析由导数定义，错误!错误!＝－错误!错误!＝－f′(1),而f′（1)＝错误!，故选A。
2019高三数学人教A版理一轮课件：第2章 第10节 变化率
0
fx0＋Δx－fx0 Δy lim lim Δx Δx→0 ＝ Δx→0 Δx
Δx→0
②几何意义：函数 f(x)在点 x0 处的导数 f′(x0)的几何意义是曲线 y＝f(x)在 点 (x0，f(x0)) 处的 切线斜率 ．相应地，切线方程为 y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．
fx＋Δx－fx lim Δx (2)函数 f(x)的导函数：称函数 f′(x)＝ Δx→0
[规律方法] 1.求函数导数的一般原则如下 1遇到连乘的形式，先展开化为多项式形式，再求导. 2遇到根式形式，先化为分数指数幂，再求导. 3遇到复杂分式，先将分式化简，再求导. 2.复合函数求导，应先确定复合关系，由外向内逐层求导，必要时可换元处理.
x x x x 3
1 2 2 (2)∵y＝x ＋1＋ 2，∴y′＝3x － 3. x x 1 1 (3)∵y＝x－ sin x，∴y′＝1－ cos x. 2 2
cos x ′ cos (4)y′＝ ex ＝
x′ex－cos xex′ ex2
sin x＋cos x ＝－ . ex
[基本能力自测] 1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)f′(x0)与[f(x0)]′表示的意义相同．( ) ) ) )
(2)f′(x0)是导函数 f′(x)在 x＝x0 处的函数值．( (3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点．(
(4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．( (5)函数 f(x)＝sin(－x)的导数是 f′(x)＝cos x．( )
4．复合函数的导数 复合函数 y ＝ f(g(x)) 的导数和函数 y ＝ f(u) ， u ＝ g(x) 的导数间的关系为 yx′ ＝ yu′·ux′，即 y 对 x 的导数等于 y对u 的导数与 u对x 的导数的乘积．
fx0＋Δx－fx0 Δy lim lim Δx Δx→0 ＝ Δx→0 Δx
Δx→0
②几何意义：函数 f(x)在点 x0 处的导数 f′(x0)的几何意义是曲线 y＝f(x)在 点 (x0，f(x0)) 处的 切线斜率 ．相应地，切线方程为 y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．
fx＋Δx－fx lim Δx (2)函数 f(x)的导函数：称函数 f′(x)＝ Δx→0
[规律方法] 1.求函数导数的一般原则如下 1遇到连乘的形式，先展开化为多项式形式，再求导. 2遇到根式形式，先化为分数指数幂，再求导. 3遇到复杂分式，先将分式化简，再求导. 2.复合函数求导，应先确定复合关系，由外向内逐层求导，必要时可换元处理.
x x x x 3
1 2 2 (2)∵y＝x ＋1＋ 2，∴y′＝3x － 3. x x 1 1 (3)∵y＝x－ sin x，∴y′＝1－ cos x. 2 2
cos x ′ cos (4)y′＝ ex ＝
x′ex－cos xex′ ex2
sin x＋cos x ＝－ . ex
[基本能力自测] 1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)f′(x0)与[f(x0)]′表示的意义相同．( ) ) ) )
(2)f′(x0)是导函数 f′(x)在 x＝x0 处的函数值．( (3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点．(
(4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．( (5)函数 f(x)＝sin(－x)的导数是 f′(x)＝cos x．( )
4．复合函数的导数 复合函数 y ＝ f(g(x)) 的导数和函数 y ＝ f(u) ， u ＝ g(x) 的导数间的关系为 yx′ ＝ yu′·ux′，即 y 对 x 的导数等于 y对u 的导数与 u对x 的导数的乘积．
高考数学一轮复习 第十一节变化率与导数的计算课件 新人教版
4.(文)能利用给出的基本初等函数的导数公式(gōngshì)和导 数
的四则运算法则求简单函数的导数. (理)能利用给出的基本初等函数的导数公式(gōngshì)和导 数
的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单 的复合函数(仅限于形如f(ax＋b)的复合函数)的 导数.
第三页，共47页。
第四页，共47页。
线C：y＝x3－10x＋3上，且在第二(dìèr)象限内，已知
曲线
C在点P处的切线的斜率为2，则点P的坐标为
.
第四十二页，共47页。
解析：∵y＝x3－10x＋3，∴y′＝3x2－10. 由题意，设切点(qiēdiǎn)P的横坐标为x0，且x0<0， 即 －10＝2，∴ ＝4，∴x0＝－2， ∴y0＝ －10x0＋3＝15. 故点P的坐标为(－2,15).
1.导数的概念
(1)函数f(x)从x1到x2的平均(píngjūn)变化率
函数f(x)从x1到x2的平均(píngjūn)变化率
为
，
若Δx＝x2－x1，Δy＝f(x2)－f(x1)，则平均(píngjūn)变化率可
表示 为
第五页，共47页。
(2)f(x)在x＝x0处的导数(dǎo shù)
函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是
[自主(zìzhǔ)体验]
已知f(x)＝
＋4x，则f′(1)＝
.
解析：因为f(x)＝
＋4x，所以(suǒyǐ)f′(x)＝－
因此f′(1)＝－
＋4，解得f′(1)＝2.
答案(dá àn)：2
＋4，
第三十四页，共47页。
第三十五页，共47页。
1.一质点(zhìdiǎn)沿直线运动，如果由始点起经过t秒后的位
2019届高考数学一轮复习第二章函数、导数及其应用第十节变化率与导数、导数的运算课件理
1 1 (4)因为(ln x)′＝x，所以x′＝ln x．
( ( ( (
) ) ) ) )
(5)y＝cos 3x 由函数 y＝cos u，u＝3x 复合而成． (
答案：(1)×
(2)√
(3)√
(4)×
(5)√
2．已知 f(x)＝xln x，若 f′(x0)＝2，则 x0 等于 A．e2 ln 2 C. 2 B． e D．ln 2
1． 已知函数 f(x)的导函数为 f′(x)， 且满足 f(x)＝2xf′(1)＋ln x， 则 f′(1)＝ A．－e C．1 B．－1 D．e ( )
解析：由 f(x)＝2xf′(1)＋ln x， 1 得 f′(x)＝2f′(1)＋x. 所以 f′(1)＝2f′(1)＋1，则 f′(1)＝－1.
x
导函数
n· x f′(x)＝______
cos x f′(x)＝______
n－1
－sin x f′(x)＝_______
a ln a f′(x)＝_______
x e f′(x)＝___ x
f(x)＝logax(a>0，且 a≠1) f(x)＝ln x
1 xln a f′(x)＝______ 1 x f′(x)＝_____
1 解析：设切点为(x0，y0)，则 f′(x0)＝－a· ex0＝－1， 1 ∴ex0＝a，又－a· ex0＝－x0＋1， ∴x0＝2，a＝e2.
答案：e2
课 堂 考 点突破
练透基点，研通难点，备考不留死角
考点一
导数的运算
[考什么·怎么考]
导数的运算是所有导数问题的基础，高考中直接考查 导数运算的题目较少，但凡是涉及导数的问题不用计算导 数的也极其罕见.因此，必须牢牢掌握导数的运算法则.
( ( ( (
) ) ) ) )
(5)y＝cos 3x 由函数 y＝cos u，u＝3x 复合而成． (
答案：(1)×
(2)√
(3)√
(4)×
(5)√
2．已知 f(x)＝xln x，若 f′(x0)＝2，则 x0 等于 A．e2 ln 2 C. 2 B． e D．ln 2
1． 已知函数 f(x)的导函数为 f′(x)， 且满足 f(x)＝2xf′(1)＋ln x， 则 f′(1)＝ A．－e C．1 B．－1 D．e ( )
解析：由 f(x)＝2xf′(1)＋ln x， 1 得 f′(x)＝2f′(1)＋x. 所以 f′(1)＝2f′(1)＋1，则 f′(1)＝－1.
x
导函数
n· x f′(x)＝______
cos x f′(x)＝______
n－1
－sin x f′(x)＝_______
a ln a f′(x)＝_______
x e f′(x)＝___ x
f(x)＝logax(a>0，且 a≠1) f(x)＝ln x
1 xln a f′(x)＝______ 1 x f′(x)＝_____
1 解析：设切点为(x0，y0)，则 f′(x0)＝－a· ex0＝－1， 1 ∴ex0＝a，又－a· ex0＝－x0＋1， ∴x0＝2，a＝e2.
答案：e2
课 堂 考 点突破
练透基点，研通难点，备考不留死角
考点一
导数的运算
[考什么·怎么考]
导数的运算是所有导数问题的基础，高考中直接考查 导数运算的题目较少，但凡是涉及导数的问题不用计算导 数的也极其罕见.因此，必须牢牢掌握导数的运算法则.
2015《金榜e讲堂》高三人教版数学(理)一轮复习课件：第2章第11节变化率与导数、导数的计算
10 m/s2)，则当 t＝2 s 时，它的加速度是
()
A．14 m/s2
B．4 m/s2
C．10 m/s2
D．－4 m/s2
A [由 v(t)＝s′(t)＝6t2－gt，a(t)＝v′(t)＝12t－g，
得 t＝2 时，a(2)＝v′(2)＝12×2－10＝14(m/s2)．]
4．函数y＝xcos x－sin x的导数为________． 解析 y′＝(xcos x)′－(sin x)′＝x′cos x＋x(cos x)′ －cos x ＝cos x－xsin x－cos x ＝－xsin x. 答案 －xsin x
导数的运算 [典题导入]
求下列函数的导数． (1)y＝x2sin x；(2)y＝eexx－＋11；(3)y＝ln(2x－5)．
[听课记录] (1)y′＝(x2)′sin x＋x2(sin x)′ ＝2xsin x＋x2cos x. (2)y′＝（ex＋1）′（ex－（1）ex－－1（）ex2＋1）（ex－1）′ ＝ex（ex－（1）ex－－1（）ex2＋1）ex＝（e－x－2e1x）2. (3)令 u＝2x－5，y＝ln u， 则 y′＝(ln u)′u′＝2x－1 5·2＝2x－2 5， 即 y′＝2x－2 5.
1
故 y′＝f′(u)·u′(x)＝(u2)′(3－x)′
＝12u (－ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ)＝－12u
＝－ 2
31－x＝
3－x 2x－6 .
导数的几何意义
[典题导入] (2014·济南模拟)已知函数f(x)＝mx3＋2nx2－12x的减 区间是(－2，2)． (1)试求m、n的值； (2)过点A(1，t)是否存在与曲线y＝f(x)相切的3条切线，若存 在，求实数t的取值范围；若不存在，请说明理由．
高三数学一轮复习 第二章 第十节 变化率与导数、导数的计算课件 理 新人教A版
2．函数y＝xcos x－sin x的导数为(
)
A．xsin x
C．xcos x 【解析】 【答案】
B．－xsin x
D．－xcos x f′(x)＝cos x－xsin x－cos x＝－xsin x. B
3．已知f(x)＝xln x，若f′(x0)＝2，则x0等于( A．e2 B． e ln 2 C. D．ln 2 2
原函数 f(x)＝xn(n∈Q*)
导函数 f′(x)＝_________ n·xn－1 cosx f′(x)＝__________ f′(x)＝__________ －sinx
f(x)＝sin x
f(x)＝coaxlna (a＞0)
f(x)＝ex
第十节
变化率与导数、导数的计算
1．导数的概念 (1)函数 y＝ f(x)在 x＝ x0处的导数： ①定义：称函数 y＝ f(x)在 x＝x0处的瞬时变化率
____________________为函数 y＝ f(x)在 x＝ x0处的导数，记作 f′(x0)或 y′|x＝ x0.
②几何意义：函数 f(x) 在点 x0 处的导数 f′(x0) 的几何意义 切线斜率 ． ( 瞬时速度就 是曲线 y ＝ f(x) 在点 (x ， f(x ) 处的 __________
（2x＋3）′ · （x2＋1）－2xln（2x＋3） 2x＋3 （x2＋1）2 2（x2＋1）－2x（2x＋3）ln（2x＋3） ＝ . 2 2 （2x＋3）（x ＋1）
1．本题在解答过程中常见的错误有： (1)商的求导中， 符号判定错误；(2)不能正确运用求导公式和求导法则． 2．求函数的导数的方法 (1) 连乘积的形式： 先展开化为多项式的形式 ，再 求
导；
高三数学一轮复习 2.11 变化率与导数、导数的计算课件 理 新课标
(3)函数f(x)=lnx的图象在点(e,f(e))处的切线方程是______.
【解析】f′(e)=
1 x
|x，e
1 e
∴所求的切线方程为y-f(e)=f′(e)(x-e)，
即y-lne=1 (x ，e)化简得x-ey=0.
e
答案：x-ey=0
2.基本初等函数的导数公式 (1)(c)′=_0_；(c为常数) (2)(xα)′=_α__x_α_-_1 ；(α∈Q*) (3)(sinx)′=_c_o_s_x_； (4)(cosx)′=_-_s_i_n_x_； (5)(ex)′=_e_x；
是-10ln2(太贝克/年)，则M(60)=( )
(A)5太贝克
(B)75ln2太贝克
(C)150ln2太贝克
(D)150太贝克
(2)求下列函数的导数.
①y=x2sinx； ②y= ex 1；
ex 1
【解题指南】(1)利用已知条件先确定M0,再代入t=60求解. (2)①利用积的导数法则；②利用商的导数法则或先化简分式再
(2)(2011·山东高考)曲线y=x3+11在点P(1，12)处的切线与y轴
交点的纵坐标是( )
(A)-9
(B)-3
(C)9
(D)15
(3)(2011·大纲版全国卷)曲线y=e-2x+1在点(0,2)处的切线与直
线y=0和y=x围成的三角形的面积为( )
(A) 1
(B) 1
(C) 2
(D)1
3
2
f (x)g(x) f (x)g(x)
(3)[ f x ]′=______[_g_(x_)_]2______(g(x)≠0).
g(x)
【即时应用】
2015《金榜e讲堂》高三人教版数学(理)一轮复习课件：第2章第11节变化率与导数、导数的计算-文档资料
【高手支招】 求曲线的切线方程时要注意过某点的切线问 题中此点不一定是切点，此点也可能不在曲线上，所以要先 判断再去解决，切忌盲目地认为给出点就是切点．
[体验高考] (2012·安徽高考)设定义在(0，＋∞)上的函数 f(x)＝ax＋a1x＋ b(a＞0)． (1)求 f(x)的最小值； (2)若曲线 y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为 y＝32x， 求 a，b 的值．
【错因】 上述解法中易认为P(－2，2)是曲线切线的切点， 从而导致解答中缺少一种解的可能性． 【解析】 ①当P(－2，－2)为切点时， 切线方程为y＝9x＋16； ②当P(－2，－2)不是切点时， 设切点为(a，b)，则b＝a3－3a，由于y′＝3x2－3， 所以切线的斜率k＝3a2－3，
故切线方程为 y－b＝(3a2－3)(x－a)， 又切线过点(－2，－2)， 所以－2－b＝(3a2－3)·(－2－a), 解得ab＝ ＝1－，2或ab＝ ＝－ －22， ，(舍去)，所以切线方程为 y＝－2. 综上，所求的切线方程为 y＝9x＋16 或 y＝－2. 【答案】 y＝9x＋16 或 y＝－2
导函数 f′(x)＝ 0 f′(x)＝ nxn－1 f′(x)＝ cos x f′(x)＝ －sin x f′(x)＝ axln a
f(x)＝ex f(x)＝logax f(x)＝ln x
f′(x)＝ ex
f′(x)＝
1 xln a
f′(x)＝
1 x
三、导数的运算法则
1．[f(x)±g(x)]′＝ f′(x)±g′(x) ；
5．(2014·湖北黄冈一模)已知函数f(x)＝x(x－1)(x－2)(x－3) (x－4)(x－5)，则f′(0)＝__________． 解析 f′(x)＝(x－1)(x－2)(x－3)(x－4)(x－5)＋x[(x－1) (x－2)(x－3)(x－4)(x－5)]′， ∴f′(0)＝(－1)×(－2)×(－3)×(－4)×(－5)＝－120. 答案 －120
高中数学一轮复习课件：变化率与导数
数学
高考总复习人教A版 ·(理)
【例3】 已知函数f(x)＝x3＋x－16. (1)求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线的方程； (2)直线l为曲线y＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l的
方程及切点坐标；
(3)如果曲线y＝f(x)的某一切线与直线y＝－ x ＋3垂
直，求切点坐标与切线的方程．
数学
高考总复习人教A版 ·(理)
变式迁移 1 用导数的定义求函数y＝x2＋ax＋b(a，b 为常数)的导数．
第二模块 函数、导数及其应用
第二十三页，编辑于星期日：二十三点 五分。
数学
高考总复习人教A版 ·(理)
【例 2】 求下列函数的导数： (1)y＝xx＋＋csoinsxx； (2)y＝(2x－3)5； (3)y＝ 3－x； (4)y＝ln(x＋ 1＋x2)．
【例1】 一物体在某一受力状态下的位移s(t)(单位： m)与运动时间t(单位：s)的关系为：s(t)＝t3(t>0)．
(1)利用导数的定义求s′(t)； (2)求该物体在t＝2秒时的瞬时速度v(2)．
第二模块 函数、导数及其应用
第二十页，编辑于星期日：二十三点 五分。
数学
高考总复习人教A版 ·(理)
数学
高考总复习人教A版 ·(理)
第二模块 函数、导数及其应用
第一页，编辑于星期日：二十三点 五分。
数学
高考总复习人教A版 ·(理)
考纲 要求
热点 提示
1.了解导数概念的实际背景． 2．理解导数的几何意义． 3．能根据导数定义求函数 y＝c，y＝x，y＝x2，y＝x3， y＝1x，y＝ x的导数． 4．能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的 四则运算法则求简单函数的导数．能求简单的复合函
2024年高考数学一轮复习第二章第十一讲导数与函数的单调性课件
第十一讲 导数与函数的单调性
课标要求
考情分析
1.从内容上看，主要考查函数的 1.结合实例，借助几何直观了解 单调性，利用函数的单调性求参 函数的单调性与导数的关系； 数范围以及分类讨论思想的强化 能利用导数研究函数的单调性. 应用. 2.对于多项式函数，能求不超过 2.本考点是高考必考知识点，常 三次的多项式函数的单调区间 考题型为选择题、填空题与解答
(3)特别地，在某个敬意(a，b)上若恒有 f′(x)＝0，则 f(x)在区间 (a，b)内是常数函数.
[注意]讨论函数的单调性或求函数的单调区间的实质是解不
等式，求解时，要坚持“定义域优先”原则.
2.利用导数判断函数单调性的一般步骤 (1)确定函数 f(x)的定义域，求 f ′(x). (2)在函数定义域内解不等式 f′(x)>0 或 f′(x)<0 . (3)根据结果确定 f(x)的单调区间.
综上，当 0<a<1 时，函数 f(x)在(0，1)和1a，＋∞上单调递增， 在1，1a上单调递减；
当 a＝1 时，函数 f(x)在(0，＋∞)上单调递增； 当 a>1 时，函数 f(x)在0，a1和(1，＋∞)上单调递增，在1a，1 上单调递减.
【题后反思】(1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对 不等式解集的影响进行分类讨论.
成立，所以g(1)＝－43＋a＋53≥0， g(－1)＝－43－a＋53≥0，
答案：C
解得－13≤a≤13.故选 C.
⊙构造函数解决不等式问题 对于已知 f(x)与 f′(x)的关系式，比较有关函数式解决不等式的 问题，可通过构造新的函数，创造条件，从而利用函数单调性求 解.
考向1 x 与 f(x)的综合函数 [例 4](2021 年武汉市模拟)设函数 f′(x)是奇函数 y＝f(x)(x∈R)
课标要求
考情分析
1.从内容上看，主要考查函数的 1.结合实例，借助几何直观了解 单调性，利用函数的单调性求参 函数的单调性与导数的关系； 数范围以及分类讨论思想的强化 能利用导数研究函数的单调性. 应用. 2.对于多项式函数，能求不超过 2.本考点是高考必考知识点，常 三次的多项式函数的单调区间 考题型为选择题、填空题与解答
(3)特别地，在某个敬意(a，b)上若恒有 f′(x)＝0，则 f(x)在区间 (a，b)内是常数函数.
[注意]讨论函数的单调性或求函数的单调区间的实质是解不
等式，求解时，要坚持“定义域优先”原则.
2.利用导数判断函数单调性的一般步骤 (1)确定函数 f(x)的定义域，求 f ′(x). (2)在函数定义域内解不等式 f′(x)>0 或 f′(x)<0 . (3)根据结果确定 f(x)的单调区间.
综上，当 0<a<1 时，函数 f(x)在(0，1)和1a，＋∞上单调递增， 在1，1a上单调递减；
当 a＝1 时，函数 f(x)在(0，＋∞)上单调递增； 当 a>1 时，函数 f(x)在0，a1和(1，＋∞)上单调递增，在1a，1 上单调递减.
【题后反思】(1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对 不等式解集的影响进行分类讨论.
成立，所以g(1)＝－43＋a＋53≥0， g(－1)＝－43－a＋53≥0，
答案：C
解得－13≤a≤13.故选 C.
⊙构造函数解决不等式问题 对于已知 f(x)与 f′(x)的关系式，比较有关函数式解决不等式的 问题，可通过构造新的函数，创造条件，从而利用函数单调性求 解.
考向1 x 与 f(x)的综合函数 [例 4](2021 年武汉市模拟)设函数 f′(x)是奇函数 y＝f(x)(x∈R)
高考一轮总复习数学(理)课件 第2章 函数、导数及其应用 2-11 板块一 知识梳理 自主学习ppt版本
一轮总复习·数学（理）
第2章 函数、导数及其应用 第11讲 导数在研究函数中的应用
板块一 知识梳理·自主学习
[必备知识] 考点1 函数的导数与单调性的关系 函数y＝f(x)在某个区间内可导： (1)若f′(x)＞0，则f(x)在这个区间内 单调递增 ； (2)若f′(x)＜0，则f(x)在这个区间内 单调递减 ； (3)若f′(x)＝0，则f(x)在这个区间内是 常数函数 ．
1
－
a.
∴
f′(x)
＝
1 x
－
ax
＋
a
－
1
＝
－ax2＋1＋ x
ax－x.①若
a≥0，当
0<x<1
时，f′(x)>0，f(x)
单调递增；当 x>1 时，f′(x)<0，f(x)单调递减，所以 x＝1
是 f(x)的极大值点．②若 a<0，由 f′(x)＝0，得 x＝1 或 x
＝－1a.因为 x＝1 是 f(x)的极大值点，所以－1a>1，解得－
命题角度2 根据函数的单调性求参数范围
例2 已知a≥0，函数f(x)＝(x2－2ax)ex，若f(x)在[－1,1]
上是单调减函数，则a的取值范围是(
)
A．0，34
C．34，＋∞
B.12，34 D.0，12
[解 析 ] f′(x)＝ (2x－ 2a)ex ＋ (x2 － 2ax)ex ＝ [x2 ＋ (2 － 2a)x－2a]ex，由题意知当 x∈[－1,1]时，f′(x)≤0 恒成立， 即 x2＋(2－2a)x－2a≤0 恒成立．
①当－a2≤1 时，即－2≤a＜0 时，f(x)在[1,4]上的最小
值为 f(1)，由 f(1)＝4＋4a＋a2＝8，得 a＝±2 2－2，均不符
第2章 函数、导数及其应用 第11讲 导数在研究函数中的应用
板块一 知识梳理·自主学习
[必备知识] 考点1 函数的导数与单调性的关系 函数y＝f(x)在某个区间内可导： (1)若f′(x)＞0，则f(x)在这个区间内 单调递增 ； (2)若f′(x)＜0，则f(x)在这个区间内 单调递减 ； (3)若f′(x)＝0，则f(x)在这个区间内是 常数函数 ．
1
－
a.
∴
f′(x)
＝
1 x
－
ax
＋
a
－
1
＝
－ax2＋1＋ x
ax－x.①若
a≥0，当
0<x<1
时，f′(x)>0，f(x)
单调递增；当 x>1 时，f′(x)<0，f(x)单调递减，所以 x＝1
是 f(x)的极大值点．②若 a<0，由 f′(x)＝0，得 x＝1 或 x
＝－1a.因为 x＝1 是 f(x)的极大值点，所以－1a>1，解得－
命题角度2 根据函数的单调性求参数范围
例2 已知a≥0，函数f(x)＝(x2－2ax)ex，若f(x)在[－1,1]
上是单调减函数，则a的取值范围是(
)
A．0，34
C．34，＋∞
B.12，34 D.0，12
[解 析 ] f′(x)＝ (2x－ 2a)ex ＋ (x2 － 2ax)ex ＝ [x2 ＋ (2 － 2a)x－2a]ex，由题意知当 x∈[－1,1]时，f′(x)≤0 恒成立， 即 x2＋(2－2a)x－2a≤0 恒成立．
①当－a2≤1 时，即－2≤a＜0 时，f(x)在[1,4]上的最小
值为 f(1)，由 f(1)＝4＋4a＋a2＝8，得 a＝±2 2－2，均不符
高考数学(文通用)一轮复习课件：第二章第11讲变化率与导数、导数的计算
第二章基本初等函数、导数及其应用第们讲变化率与导数、导数的计算教材回顾▼夯实基础知识梳理r1. 导数的概念⑴函数丿=/（兀）在X=Xo 处的导数称函数丿=/（兀）在x=x 0处的瞬时变化率处的导数，记作f3o)或y f\x = x^即/(xo) = Km = f (xo+Ax) —f Oo )Ax课本温故追根求源f (x 0+Ax) —f (x 0) limAx —>0Ax詈为函数 y=f(x)^x=xo（2）导数的几何意义函数/*（兀）在点可处的导数/（xo）的几何意义是在曲线J =/（x）上点P（x0,必）处的切线的斜率（瞬时速度就是位移函数啲对时间t的导数）.相应地，切线方程为丿一丿0=几切）（兀一兀0）___________________________________ •（3）函数/（兀）的导函数f &+ Ax）—f O）称函数x —为/u）的导函数.2.基本初等函数的导数公式3.导数的运算法则f(x)± g f(x)⑴［f(X)±g(X)V = _____________________________f(x)g(x)+f(x)g f(x)⑵［f(x)-g(x)r= _________________________f (兀)g (x) —/ (x) g' (x)(3Or_= ______________ 国(兀)F(g(x)H0) •汁要点整會多1.辨明三个易误点(1)利用公式求导时要特别注意不要将幕函数的求导公式(xy=nx n-1与指数函数的求导公式(a x y=a x\na混淆.(2)求曲线切线时，要分清在点P处的切线与过P点的切线的区别，前者只有一条，而后者包括了前者.(3)曲线的切线与曲线的交点个数不一定只有一个，这和研究直线与二次曲线相切时有差别.2.导数运算的技巧(1)要准确地把函数分割为基本函数的和、差、积、商及其复合运算的形式，再利用运算法则求导数；(2)对于不具备求导法则结构形式的，要适当恒等变形，转化为较易求导的结构形式，再求导数.但必须注意变形的等价性，避免不必要的运算失误.对数函数的真数是根式或者分式时，可用对数的运算性质将真数转化为有理式或整式，然后再求解比较方便；当函数表达式含有三角函数时，可优先考虑利用三角公式进行化简后再求导•双基自测,1.（选修1-1P85练习T2⑷改编）函数j=xcosx数为（A. xsin xC • xcos x解析：y f =x r cos x+x(cos 兀)'—(sin x)r=cos x x=—xsin x.—sinx的导xsinx xcosx xsin x—cos2. （2016-豫东、豫北十所名校联考）已知几r）=2e"sin x,贝||曲线加:）在点（0, /（0））处的切线方程为（B）A・ j=0 B・y=2xC. y=xD. y=—2x解析：因为/(x)= 2e v sin x,所以/(0)=0, f (x)=2e x• (sinx+ cos x),所以f(0)=2,所以曲线ZU)在点(0, /(0))处的切线方程为y=2x.(2015•高考天津卷)已知函数f(x)=axinx9 xG (0, +°°),其中"为实数，f(劝为/(兀)的导函数.若7(1)=3,则"的值为__.由于f(l)=“(l+ln 1)=偽又/(1)=3,所以a=3.解析：f (x) = x+x^J=«(l+ln x).In x4. (2016•长春质量检测)若函数心)=—,贝!| 7(2)= 1-11124解析：由f(x)=1 —In x.口 a2―得/'(2)= X5. (2014•高考江西卷)若曲线尸上点P处的切线平行于直线2x+j+l=0,则点P的坐标是f彳，2)解析：设旳)，因为所以—“x, 所以点P处的切线斜率为^=-e-x0=-2, 所以一x0=ln2,所以x0=—In 2,所以Jo=e ln2 = 2,所以点F的坐标为(-In 2, 2).典例剖析▼考点突破］名师导悟以例说法考点一导数的计算靈0求下列函数的导数：(l)j=(3x2—4x)(2x+1)； (2)j=x2sin x；In x(3)y=3V_2+；(4)J=-2—；X十1［解］⑴因为J = (3x2-4x)(2r+1)所以y f=lSx2—10x—4.(2)j f=(x2) r sin x+x2(sin x)r=2rsin x+x2cos x.(3)p=(3 Vy—(2)+e'= (3x)r e x+3x(e x)r-(2x)r =3Vln3+3V-2x ln2 = (ln3+l)-(3e)x-2x ln 2.(lnx) f (x2+l) —11 (4)y'=(x2+l)丄(x2+1) —2xlnxx(x2+l) 2 x2+l—2x2ln x x (x2+1) 2(x2+l)'导数计算的原则和方法求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简, 然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错・［跟踪训练］1•求下列函数的导数:cos X⑵尸石;(3)j=e x ln x.q f n— 1 x I n x解：(l)j —nx e +x e=x,z_1e A (n+x).—sin2x— cos2x 1 (2)y，= ~ = TIT •sin x sm x (3)j r=e v ln x+e x• -=e x("+lnx考点二导数的几何意义(高频考点)导数的几何意义是每年高考的必考内容，考查题型既有选择题也有填空题，也常出现在解答题的第(1)问中，难度偏小, 属中低档题.高考对导数几何意义的考查主要有以下三个命题角度:(1)已知切点求切线方程；(2)已知切线方程(或斜率)求切点坐标;(3)已知切线方程求参数值.(1)(2015•高考全国卷I )已知函数f(x)=ax +x+l 的图象在点(1,几1))处的切线过点(2, 7),则°=_____ (2)(2015•高考陕西卷)设曲线j=e x在点(0, 1)处的切线与曲线J=i(x>0)±点P处的切线垂直，则P的坐标为“ X［解析］(1)因为/(X)=3«X2+1,所以/(1)=3« + 1.X/(l)=«+2,所以切线方程为(«+2)=(3«+l)(x—1).因为切线过点(2, 7),所以7—@+2)=%+1,解得。
高考数学一轮总复习 2.11变化率与导数、导数的计算课件
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23
(3)∵y＝sin2x－cos2x＝－12sinx，
∴y′＝－12sinx′＝－12(sinx)′＝－12cosx. (4)y′＝ ln22xx－＋11 ′＝[ln(2x－1)－ln(2x＋1)]′＝[ln(2x－
(3)gfxx′＝
f′xgx－fxg′x [gx]2
(g(x)≠0)．
3．(理)复合函数的导数
设u＝v(x)在点x处可导，y＝f(u)在点u处可导，则复合函数
f[v(x)]在点x处可导，且f′(x)＝ f′(u)·v′(x)
.
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9
知识点三 导数的几何意义
函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在 点(x0，f(x0))处的 切线斜率 (瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t 的导数)．相应地，切线方程为 y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0) ．
听 课 记 录 (1)y′＝(x3－2x＋3)′＝(x3)′－(2x)′＋(3)′ ＝3x2－2.
(2)方法1：∵y＝(x2＋3x＋2)(x＋3)＝x3＋6x2＋11x＋6， ∴y′＝3x2＋12x＋11.
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方法2：y′＝[(x＋1)(x＋2)]′(x＋3)＋(x＋1)(x＋2)(x＋3)′ ＝[(x＋1)′(x＋2)＋(x＋1)(x＋2)′](x＋3)＋(x＋1)(x＋2) ＝(x＋2＋x＋1)(x＋3)＋(x＋1)(x＋2) ＝(2x＋3)(x＋3)＋(x＋1)(x＋2)＝3x2＋12x＋11.
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J 基础回扣·自主学习
理教材 夯基础 厚积薄发
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5
知识梳理
知识点一
导数的概念
(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数
高三数学第一轮复习《第11课时 变化率与导数、导数的计算》课件
4
3.函数f(x)的导函数
称函数f′(x)=
lim f (x0 x) f (x0 )
x0
x
为f（x）的导
函数，导函数有时也记作y′. 4.基本初等函数的导数公式
原函数 f（x）=c f(x)=xn (n∈Q*) f(x)=sin x f(x)=cos x f(x)=ax
导函数 f′(x)= 0
高三数学第一轮复习
01 双基回顾
1.函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率
f
函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率为
(
x2 ) x2
f( x1
x1
)
，
y
若Δx=x2-xx1,Δy=f（x2）-f（x1），则平均变化率
可表示为
.
2.函数y=f（x）在x=x0处的导数 （1）定义
称函数y=f（x）在x=x0处的瞬时变化率
线方程为y+1=-3(x-1)，即y=-3x+2.
10
4.若函数y=f(x)在R上可导且满足不等式xf′(x)＞-
f(x)恒成立，且常数a,b满足a＞b,则下列不等式
一定成立的是
B（
）
A.af(b)＞bf(a)
B.af(a)＞bf(b)
C.af(a)＜bf(b)
D.af(b)＜bf(a)
解析 令g(x)=xf(x),∴g′(x)=xf′(x)+f(x)＞
（ C）
A.Δx+ 1 +2 x
C.Δx+2
x
B.Δx-
1 x
-2
D.2+Δx- 1
x
解析 ∵Δy=（1+Δx）2+1-12-1=(Δx)2+2Δx,
[精品课件]2019届高考数学一轮复习 第二章 函数、导数及其应用 第10讲 变化率与导数、导数的计算课件 文
![[精品课件]2019届高考数学一轮复习 第二章 函数、导数及其应用 第10讲 变化率与导数、导数的计算课件 文](https://img.taocdn.com/s3/m/906a3d4bb7360b4c2e3f64f1.png)
考向三 求参数值
3．已知f(x)＝ln x，g(x)＝12x2＋mx＋72(m＜0)，直线l与函数f(x)， g(x)的图象都相切，且与f(x)图象的切点为(1，f(1))，则m的值为
() A．－1
B．－3
C．－4
D．－2
[解析] ∵f′(x)＝1x，∴直线l的斜率为k＝f′(1)＝1， 又f(1)＝0，∴切线l的方程为y＝x－1. g′(x)＝x＋m，设直线l与g(x)的图象的切点为(x0，y0)， 则有x0＋m＝1，y0＝x0－1，y0＝12x20＋mx0＋72， m＜0，于是解得m＝－2，故选D. [答案] D
3．(2015·高考新课标卷Ⅱ)已知曲线 y＝x＋ln x 在点(1,1)处的切 线与曲线 y＝ax2＋(a＋2)x＋1 相切，则 a＝ ________ .
[解析] 因为 y′＝1＋1x，所以 y′|x＝1＝2， 故切线的方程为 y－1＝2(x－1)，即 2x－y－1＝0. 联立2y＝x－axy－ 2＋1＝a＋0 2x＋1 ，由 Δ＝0，得 a＝8. [答案] 8
即f′(2 018)＝－(2 018＋1)＝－2 019.
[答案] －2 019
题型三 导数的几何意义(高频考点题，多角突破)
考向一 求切线方程
1．(2018·豫东、豫北十所名校联考)已知f(x)＝2exsin x，则曲线
f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为( )
A．y＝0
B．y＝2x
C．y＝x
x′＝ln
x′x－x′ln x2
x＝1x·x－x2ln
x＝1－xl2n
x .
(3)y′＝csoins
xx′＝sin
x′cos
x－sin cos2x
2019金榜e讲堂-高三人教版数学理一轮复习课件：第1章第2节命题及其关系、充分条件与必要条件
命题正确．
答案 B
[规律方法] 在判断四个命题之间的关系时，首先要分清命题的条件与结 论，再比较每个命题的条件与结论之间的关系．要注意四种 命题关系的相对性，一旦一个命题定为原命题，也就相应的 有了它的“逆命题”“否命题”“逆否命题”；判定命题为 真命题时要进行推理，判定命题为假命题时只需举出反例即 可．对涉及数学概念的命题的判定要从概念本身入手．
[互动探究] 本例条件若变为“x≥a”是“2x2－5x－3≥0 成立”的一个充分不 必要条件．则实数 a 的取值范围为________． 解析 由 2x2－5x－3≥0 得 x≤－12或 x≥3. 又“x≥a”是“2x2－5x－3≥0 成立”的一个充分不必要条件， ∴a≥3. 答案 [3，＋∞)
[规律方法] 利用充分条件、必要条件可以求解参数的值或取值范围，其 依据是充分、必要条件的定义，其思维方式是： (1)若p是q的充分不必要条件，则p⇒q且q⇒/ p； (2)若p是q的必要不充分条件，则p⇒/ q，且q⇒p； (3)若p是q的充要条件，则p⇔q.
2．(文)(2019·天津高考)设a，b∈R，则“(a－b)·a2＜0”是“a
＜b”的
()
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
A [因为a2≥0，而(a－b)a2＜0，
所以a－b＜0，即a＜b;
由a＜b，a2≥0，得到(a－b)a2≤0可以为0，
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
C [若a与b中有一个为零向量，则“|a·b|＝|a||b|”是“a∥b” 的充分必要条件；若a与b都不为零向量，设a与b的夹角为θ， 则a·b＝|a||b|cos θ，由|a·b|＝|a||b|得|cos θ|＝1，则两向量的夹 角为0或π，所以a∥b. 若a∥b，则a与b同向或反向，故两向量的夹角为0或π，则 |cos θ|＝1，所以|a·b|＝|a||b|，故“|a·b|＝|a||b|”是“a∥b”的充 分必要条件．]
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(2)几何意义：
函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点 处的(x0，f(x0)) (瞬切时线速的度斜就率是位移函数s(t)对时间t的导
数)．相应地，切线方程为
y－f(x0)＝f′(．x0)(x－x0)
2．函数 f(x)的导函数
称函数 f′(x)＝
f（x＋Δx）－f（x） Δx
(1)曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线是指P为切点，切线 斜率为k＝f′(x0)的切线，是唯一的一条切线． (2)曲线y＝f(x)过点P(x0，y0)的切线，是指切线经过P 点．点P可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线 可能有多条．
利用导数的定义求函数的导数 [典题导入]
用定义法求下列函数的导数． (1)y＝x2； (2)y＝x42.
[跟踪训练] 1．一质点运动的方程为 s＝8－3t2.
(1)求质点在[1，1＋Δt]这段时间内的平均速度； (2)求质点在 t＝1 时的瞬时速度(用定义及导数公式两种方法求 解)． 解析 (1)∵s＝8－3t2， ∴Δs＝8－3(1＋Δt)2－(8－3×12)＝－6Δt－3(Δt)2， v＝ΔΔst＝－6－3Δt.
[听课记录] (1)由题意知：f′(x)＝3mx2＋4nx－12＜0 的解集为 (－2，2)， 所以－2 和 2 为方程 3mx2＋4nx－12＝0 的两个根， 由根与系数的关系知 0＝－34mn ，－4＝－3m12， 即 m＝1，n＝0.
(2)存在满足条件的三条切线． 设点 P(x0，f(x0))是曲线 f(x)＝x3－12x 的切点， 则在 P 点处的切线方程为 y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)， 即 y＝3(x20－4)x－2x30. 因为其过点 A(1，t)， 所以 t＝3(x20－4)－2x30＝－2x30＋3x20－12， 因为有三条切线，所以方程应有 3 个实根， 设 g(x)＝2x3－3x2＋t＋12，故只要使此曲线有 3 个零点即可．
f′(x)＝ ex
f′(x)＝
1 xln a
f′(x)＝
1 x
三、导数的运算法则
1．[f(x)±g(x)]′＝ f′(x)±g′(x) ；
2．[f(x)·g(x)]′＝ f′(x)g(x)＋f(x)g′(x) ；
3．gf（（xx））′＝
f′（x）g（x）－f（x）g′（x） [g（x）]ln x 在点(e，e)处的切线与直线 x＋ay＝1 垂直，则实
数 a 的值为
()
A．2
B．－2
1 C.2
D．－12
3．(教材习题改编)某质点的位移函数是 s(t)＝2t3－12gt2(g＝
10 m/s2)，则当 t＝2 s 时，它的加速度是
()
A．14 m/s2
B．4 m/s2
(1)y＝ex·ln x；(2)y＝xx2＋1x＋x13； (3)y＝ 3－x.
解析 (1)y′＝(ex·ln x)′ ＝exln x＋ex·1x＝exln x＋1x. (2)∵y＝x3＋1＋x12，∴y′＝3x2－x23.
1
(3)设 u＝3－x，则 y＝ 3－x由 y＝u2与 u＝3－x 复合而成．
为 f(x)的导函数．
二、基本初等函数的导数公式
原函数 f(x)＝c(c为常数) f(x)＝xn(n∈Q*)
f(x)＝sin x f(x)＝cos x
f(x)＝ax
导函数 f′(x)＝ 0 f′(x)＝ nxn－1 f′(x)＝ cos x f′(x)＝ －sin x f′(x)＝ axln a
f(x)＝ex f(x)＝logax f(x)＝ln x
导数的运算 [典题导入]
求下列函数的导数． (1)y＝x2sin x；(2)y＝eexx－＋11；(3)y＝ln(2x－5)．
[听课记录] (1)y′＝(x2)′sin x＋x2(sin x)′ ＝2xsin x＋x2cos x. (2)y′＝（ex＋1）′（ex－（1）ex－－1（）ex2＋1）（ex－1）′ ＝ex（ex－（1）ex－－1（）ex2＋1）ex＝（e－x－2e1x）2. (3)令 u＝2x－5，y＝ln u， 则 y′＝(ln u)′u′＝2x－1 5·2＝2x－2 5， 即 y′＝2x－2 5.
相切，则 b 的值为
()
A．－2
B．－1
C．－12
D．1
B
设切点的坐标为a，－12a＋ln
a，依题意，对于曲线
y＝－12x
＋ln x，有 y′＝－12＋1x，
所以－12＋1a＝12，得 a＝1.
又切点1，－12 在直线 y＝12x＋b 上，
故－12＝12＋b，得 b＝－1.
【创新探究】 忽视判断点是否为切点而致误
(2019·上海徐汇摸底)已知函数f(x)＝x3－3x，过点 P( － 2 ， － 2) 作 曲 线 y ＝ f(x) 的 切 线 ， 则 切 线 的 方 程 为 __________． 【错解】 由f(x)＝x3－3x知f′(x)＝3x2－3， ∴k＝f′(－2)＝3×4－3＝9. ∴切线方程为y＋2＝9(x＋2)， ∴y＝9x＋16.
当 0＜x＜1a时，f′(x)＜0，f(x)在0，1a上递减． 所以当 x＝1a时，f(x)取最小值为 2＋b. (2)f′(x)＝a－a1x2，由题设知，f′(1)＝a－1a＝32， 解得 a＝2 或 a＝－12(不合题意，舍去)． 将 a＝2 代入 f(1)＝a＋1a＋b＝32，解得 b＝－1. 所以 a＝2，b＝－1.
课时作业
合作愉快
2011
[跟踪训练] 3．(1)(2019·新课标全国卷)曲线y＝x(3ln x＋1)在点(1，1)处的
切线方程为________． 解析 y′＝3ln x＋1＋3，所以曲线在点(1，1)处的切线斜 率为4，所以切线方程为y－1＝4(x－1)，即y＝4x－3. 答案 y＝4x－3
(2)(2014·乌鲁木齐诊断性测验)直线 y＝12x＋b 与曲线 y＝－12x＋ln x
C．10 m/s2
D．－4 m/s2
A [由 v(t)＝s′(t)＝6t2－gt，a(t)＝v′(t)＝12t－g，
得 t＝2 时，a(2)＝v′(2)＝12×2－10＝14(m/s2)．]
4．函数y＝xcos x－sin x的导数为________． 解析 y′＝(xcos x)′－(sin x)′＝x′cos x＋x(cos x)′ －cos x ＝cos x－xsin x－cos x ＝－xsin x. 答案 －xsin x
[关键要点点拨] 1．函数求导的原则 对于函数求导，一般要遵循先化简，再求导的基本原则，
求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意 求导法则对求导的制约作用，在实施化简时，首先必须 注意变换的等价性，避免不必要的运算失误．
2．曲线y＝f(x)“在点P(x0，y0)处的切线”与“过点P(x0，y0) 的切线”的区别与联系
令 g′(x)＝6x2－6x＝0，∴x＝0 或 x＝1 分别为 g(x)的极值点，当 x∈(－∞，0)和(1，＋∞)时，g′(x)＞0，g(x)在(－∞，0)和(1，＋∞) 上单调递增， 当 x∈(0，1)时，g′(x)＜0，g(x)在(0，1)上单调递减， 所以，x＝0 为极大值点，x＝1 为极小值点． 所以要使曲线与 x 轴有 3 个交点，当且仅当gg（ （01） ）＞ ＜00， ， 即tt＋ ＋1112＜＞00，，解得－12＜t＜－11.
1
故 y′＝f′(u)·u′(x)＝(u2)′(3－x)′
＝12u (－1)＝－12u
＝－ 2
31－x＝
3－x 2x－6 .
导数的几何意义
[典题导入] (2019·济南模拟)已知函数f(x)＝mx3＋2nx2－12x的减 区间是(－2，2)． (1)试求m、n的值； (2)过点A(1，t)是否存在与曲线y＝f(x)相切的3条切线，若存 在，求实数t的取值范围；若不存在，请说明理由．
[互动探究] 在本例条件下，求过点A(1，－11)且与曲线y＝f(x)相切的切 线方程． 解析 由例3知m＝1，n＝0. ∴f(x)＝x3－12x. ∴f′(x)＝3x2－12，∵f(1)＝13－12×1＝－11， ∴当A为切点时，k＝f′(1)＝－9. ∴切线方程为9x＋y＋2＝0. 当A不为切点时，设切点P(x0，f(x0))， ∴k＝f′(x0)＝3x－12.
5．(2019·湖北黄冈一模)已知函数f(x)＝x(x－1)(x－2)(x－3) (x－4)(x－5)，则f′(0)＝__________． 解析 f′(x)＝(x－1)(x－2)(x－3)(x－4)(x－5)＋x[(x－1) (x－2)(x－3)(x－4)(x－5)]′， ∴f′(0)＝(－1)×(－2)×(－3)×(－4)×(－5)＝－120. 答案 －120
【错因】 上述解法中易认为P(－2，2)是曲线切线的切点， 从而导致解答中缺少一种解的可能性． 【解析】 ①当P(－2，－2)为切点时， 切线方程为y＝9x＋16； ②当P(－2，－2)不是切点时， 设切点为(a，b)，则b＝a3－3a，由于y′＝3x2－3， 所以切线的斜率k＝3a2－3，
故切线方程为 y－b＝(3a2－3)(x－a)， 又切线过点(－2，－2)， 所以－2－b＝(3a2－3)·(－2－a), 解得ab＝ ＝1－，2或ab＝ ＝－ －22， ，(舍去)，所以切线方程为 y＝－2. 综上，所求的切线方程为 y＝9x＋16 或 y＝－2. 【答案】 y＝9x＋16 或 y＝－2
∴切线方程为 y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)， 即 y＝3(x20－4)x－2x30. ∵切线过点 A(1，－11)，代入得 2x30－3x20＋1＝0， ∴(x0－1)2(2x0＋1)＝0， ∴x0＝1 或 x0＝－12， 即 P(－12，487)．k＝f(－12)＝－445. ∴切线方程为 45x＋4y－1＝0. 所以过 A(1，－11)的切线为 9x＋y＋2＝0 或 45x＋4y－1＝0.
函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点 处的(x0，f(x0)) (瞬切时线速的度斜就率是位移函数s(t)对时间t的导
数)．相应地，切线方程为
y－f(x0)＝f′(．x0)(x－x0)
2．函数 f(x)的导函数
称函数 f′(x)＝
f（x＋Δx）－f（x） Δx
(1)曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线是指P为切点，切线 斜率为k＝f′(x0)的切线，是唯一的一条切线． (2)曲线y＝f(x)过点P(x0，y0)的切线，是指切线经过P 点．点P可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线 可能有多条．
利用导数的定义求函数的导数 [典题导入]
用定义法求下列函数的导数． (1)y＝x2； (2)y＝x42.
[跟踪训练] 1．一质点运动的方程为 s＝8－3t2.
(1)求质点在[1，1＋Δt]这段时间内的平均速度； (2)求质点在 t＝1 时的瞬时速度(用定义及导数公式两种方法求 解)． 解析 (1)∵s＝8－3t2， ∴Δs＝8－3(1＋Δt)2－(8－3×12)＝－6Δt－3(Δt)2， v＝ΔΔst＝－6－3Δt.
[听课记录] (1)由题意知：f′(x)＝3mx2＋4nx－12＜0 的解集为 (－2，2)， 所以－2 和 2 为方程 3mx2＋4nx－12＝0 的两个根， 由根与系数的关系知 0＝－34mn ，－4＝－3m12， 即 m＝1，n＝0.
(2)存在满足条件的三条切线． 设点 P(x0，f(x0))是曲线 f(x)＝x3－12x 的切点， 则在 P 点处的切线方程为 y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)， 即 y＝3(x20－4)x－2x30. 因为其过点 A(1，t)， 所以 t＝3(x20－4)－2x30＝－2x30＋3x20－12， 因为有三条切线，所以方程应有 3 个实根， 设 g(x)＝2x3－3x2＋t＋12，故只要使此曲线有 3 个零点即可．
f′(x)＝ ex
f′(x)＝
1 xln a
f′(x)＝
1 x
三、导数的运算法则
1．[f(x)±g(x)]′＝ f′(x)±g′(x) ；
2．[f(x)·g(x)]′＝ f′(x)g(x)＋f(x)g′(x) ；
3．gf（（xx））′＝
f′（x）g（x）－f（x）g′（x） [g（x）]ln x 在点(e，e)处的切线与直线 x＋ay＝1 垂直，则实
数 a 的值为
()
A．2
B．－2
1 C.2
D．－12
3．(教材习题改编)某质点的位移函数是 s(t)＝2t3－12gt2(g＝
10 m/s2)，则当 t＝2 s 时，它的加速度是
()
A．14 m/s2
B．4 m/s2
(1)y＝ex·ln x；(2)y＝xx2＋1x＋x13； (3)y＝ 3－x.
解析 (1)y′＝(ex·ln x)′ ＝exln x＋ex·1x＝exln x＋1x. (2)∵y＝x3＋1＋x12，∴y′＝3x2－x23.
1
(3)设 u＝3－x，则 y＝ 3－x由 y＝u2与 u＝3－x 复合而成．
为 f(x)的导函数．
二、基本初等函数的导数公式
原函数 f(x)＝c(c为常数) f(x)＝xn(n∈Q*)
f(x)＝sin x f(x)＝cos x
f(x)＝ax
导函数 f′(x)＝ 0 f′(x)＝ nxn－1 f′(x)＝ cos x f′(x)＝ －sin x f′(x)＝ axln a
f(x)＝ex f(x)＝logax f(x)＝ln x
导数的运算 [典题导入]
求下列函数的导数． (1)y＝x2sin x；(2)y＝eexx－＋11；(3)y＝ln(2x－5)．
[听课记录] (1)y′＝(x2)′sin x＋x2(sin x)′ ＝2xsin x＋x2cos x. (2)y′＝（ex＋1）′（ex－（1）ex－－1（）ex2＋1）（ex－1）′ ＝ex（ex－（1）ex－－1（）ex2＋1）ex＝（e－x－2e1x）2. (3)令 u＝2x－5，y＝ln u， 则 y′＝(ln u)′u′＝2x－1 5·2＝2x－2 5， 即 y′＝2x－2 5.
相切，则 b 的值为
()
A．－2
B．－1
C．－12
D．1
B
设切点的坐标为a，－12a＋ln
a，依题意，对于曲线
y＝－12x
＋ln x，有 y′＝－12＋1x，
所以－12＋1a＝12，得 a＝1.
又切点1，－12 在直线 y＝12x＋b 上，
故－12＝12＋b，得 b＝－1.
【创新探究】 忽视判断点是否为切点而致误
(2019·上海徐汇摸底)已知函数f(x)＝x3－3x，过点 P( － 2 ， － 2) 作 曲 线 y ＝ f(x) 的 切 线 ， 则 切 线 的 方 程 为 __________． 【错解】 由f(x)＝x3－3x知f′(x)＝3x2－3， ∴k＝f′(－2)＝3×4－3＝9. ∴切线方程为y＋2＝9(x＋2)， ∴y＝9x＋16.
当 0＜x＜1a时，f′(x)＜0，f(x)在0，1a上递减． 所以当 x＝1a时，f(x)取最小值为 2＋b. (2)f′(x)＝a－a1x2，由题设知，f′(1)＝a－1a＝32， 解得 a＝2 或 a＝－12(不合题意，舍去)． 将 a＝2 代入 f(1)＝a＋1a＋b＝32，解得 b＝－1. 所以 a＝2，b＝－1.
课时作业
合作愉快
2011
[跟踪训练] 3．(1)(2019·新课标全国卷)曲线y＝x(3ln x＋1)在点(1，1)处的
切线方程为________． 解析 y′＝3ln x＋1＋3，所以曲线在点(1，1)处的切线斜 率为4，所以切线方程为y－1＝4(x－1)，即y＝4x－3. 答案 y＝4x－3
(2)(2014·乌鲁木齐诊断性测验)直线 y＝12x＋b 与曲线 y＝－12x＋ln x
C．10 m/s2
D．－4 m/s2
A [由 v(t)＝s′(t)＝6t2－gt，a(t)＝v′(t)＝12t－g，
得 t＝2 时，a(2)＝v′(2)＝12×2－10＝14(m/s2)．]
4．函数y＝xcos x－sin x的导数为________． 解析 y′＝(xcos x)′－(sin x)′＝x′cos x＋x(cos x)′ －cos x ＝cos x－xsin x－cos x ＝－xsin x. 答案 －xsin x
[关键要点点拨] 1．函数求导的原则 对于函数求导，一般要遵循先化简，再求导的基本原则，
求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意 求导法则对求导的制约作用，在实施化简时，首先必须 注意变换的等价性，避免不必要的运算失误．
2．曲线y＝f(x)“在点P(x0，y0)处的切线”与“过点P(x0，y0) 的切线”的区别与联系
令 g′(x)＝6x2－6x＝0，∴x＝0 或 x＝1 分别为 g(x)的极值点，当 x∈(－∞，0)和(1，＋∞)时，g′(x)＞0，g(x)在(－∞，0)和(1，＋∞) 上单调递增， 当 x∈(0，1)时，g′(x)＜0，g(x)在(0，1)上单调递减， 所以，x＝0 为极大值点，x＝1 为极小值点． 所以要使曲线与 x 轴有 3 个交点，当且仅当gg（ （01） ）＞ ＜00， ， 即tt＋ ＋1112＜＞00，，解得－12＜t＜－11.
1
故 y′＝f′(u)·u′(x)＝(u2)′(3－x)′
＝12u (－1)＝－12u
＝－ 2
31－x＝
3－x 2x－6 .
导数的几何意义
[典题导入] (2019·济南模拟)已知函数f(x)＝mx3＋2nx2－12x的减 区间是(－2，2)． (1)试求m、n的值； (2)过点A(1，t)是否存在与曲线y＝f(x)相切的3条切线，若存 在，求实数t的取值范围；若不存在，请说明理由．
[互动探究] 在本例条件下，求过点A(1，－11)且与曲线y＝f(x)相切的切 线方程． 解析 由例3知m＝1，n＝0. ∴f(x)＝x3－12x. ∴f′(x)＝3x2－12，∵f(1)＝13－12×1＝－11， ∴当A为切点时，k＝f′(1)＝－9. ∴切线方程为9x＋y＋2＝0. 当A不为切点时，设切点P(x0，f(x0))， ∴k＝f′(x0)＝3x－12.
5．(2019·湖北黄冈一模)已知函数f(x)＝x(x－1)(x－2)(x－3) (x－4)(x－5)，则f′(0)＝__________． 解析 f′(x)＝(x－1)(x－2)(x－3)(x－4)(x－5)＋x[(x－1) (x－2)(x－3)(x－4)(x－5)]′， ∴f′(0)＝(－1)×(－2)×(－3)×(－4)×(－5)＝－120. 答案 －120
【错因】 上述解法中易认为P(－2，2)是曲线切线的切点， 从而导致解答中缺少一种解的可能性． 【解析】 ①当P(－2，－2)为切点时， 切线方程为y＝9x＋16； ②当P(－2，－2)不是切点时， 设切点为(a，b)，则b＝a3－3a，由于y′＝3x2－3， 所以切线的斜率k＝3a2－3，
故切线方程为 y－b＝(3a2－3)(x－a)， 又切线过点(－2，－2)， 所以－2－b＝(3a2－3)·(－2－a), 解得ab＝ ＝1－，2或ab＝ ＝－ －22， ，(舍去)，所以切线方程为 y＝－2. 综上，所求的切线方程为 y＝9x＋16 或 y＝－2. 【答案】 y＝9x＋16 或 y＝－2
∴切线方程为 y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)， 即 y＝3(x20－4)x－2x30. ∵切线过点 A(1，－11)，代入得 2x30－3x20＋1＝0， ∴(x0－1)2(2x0＋1)＝0， ∴x0＝1 或 x0＝－12， 即 P(－12，487)．k＝f(－12)＝－445. ∴切线方程为 45x＋4y－1＝0. 所以过 A(1，－11)的切线为 9x＋y＋2＝0 或 45x＋4y－1＝0.