2020年浙江省衢州二中高考数学一模试卷(有答案解析)

2020年浙江省衢州二中高考数学一模试卷题号一二三总分得分一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.集合M={y∈N|y=-x2+5，x∈Z}的真子集个数是（）A. 5B. 6C. 7D. 82.设i是虚数单位，则复数=（）A. -4iB. -2iC. 2iD. 4i3.已知直线m，n和平面α，m⊂α，则“n⊄α”是“n与m异面”（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4.在梯形ABCD中，AD∥BC，BC=2AB=2AD=2DC=4，AC与BD相交于O，过点A作AE⊥BD于E，则=（）A. B. C. 3 D.5.若实数x，y，对任意实数m，满足，则由不等式组确定的可行域的面积是（）A. B. C. π D.6.已知定义在R上的函数f（x）=3-|x+m|+2（m为实数）为偶函数，记a=f（log0.23），b=f（log5e），c=f（π+m），则（）A. c＜b＜aB. c＜a＜bC. a＜c＜bD. a＜b＜c7.等比数列{a n}中，a1=1，a12=8，函数f（x）=x（x-a1）（x-a2）…（x-a12），f'（0）=（）A. 212B. 215C. 218D. 2218.已知双曲线的左，右顶点是A，B，P为双曲线右支上一点，且，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.9.已知函数，设1≤x1＜x2＜…＜x n≤16，若|f（x1）-f（x2）|+|f（x2）-f（x3）|+…+|f（x n-1）-f（x n）|≤M，则M的最小值为（）A. 3B. 4C. 5D. 610.设n∈N*，a n为（x+4）n-（x+1）n的展开式的各项系数之和，c=t-7，t∈R，（[x]表示不超过实数x的最大整数）．则的最小值为（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共7小题，共36.0分）11.已知的最小正周期为2，则ω=______，函数f（x）在上的值域是______．12.直线mx+y-2=0（m∈）与圆C：x2+y2-2y-1=0相交于A，B两点，弦长|AB|的最小值为______，若三角形ABC的面积为，则m的值为______．13.袋子中装有若干个均匀的红球和白球，从中摸出一个红球的概率是，现从袋子中有放回地摸球，每次摸出一个，有2次摸到红球即停止，则恰好摸4次停止的概率p=______；若记4次之内（含4次）摸到红球的次数为ξ，则随机变量ξ的数学期望Eξ=______．14.如图，在△ABC中，AB=BC=2，∠ABC=120°，若平面ABC外的点P和线段AC上的点D，线段BC上的点Q，满足PD=DA，PB=BA，则四面体P-BCD的体积的最大值是______；当P-BCD 体积取最大值时，|PQ|min=______．15.已知平面向量，，满足，，则对任意的t∈R，的最小值记为M，则M的最大值为______．16.在数列{a n}及{b n}中，a n+1=a n+b n+，b n+1=a n+b n-，a1=1，b1=1．设，则数列{c n}的前n项和为______．17.已知函数，若方程f（x）=a有且仅有两个实数解x1，x2（x1＜x2），且x1•x2＞6，则实数a的取值范围是______．三、解答题（本大题共5小题，共74.0分）18.在△ABC中，sin（A-B）=1，．（Ⅰ）求cos B的值；（Ⅱ）若，求△ABC的面积．19.数列{a n}中，a1=1，．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设数列{b n}的前n项和为S n，且（k∈N*），求使S2n取最小值时n的值．20.如图，已知矩形BCDE所在平面与△ABE所在平面互相垂直，AB⊥AE，AB＞AE．（Ⅰ）若M为AC中点，N为BE中点，证明：MN∥平面ADE；（Ⅱ）若BE=2，DE=1，且DE与平面DAC所成角的正弦值为，求∠ABE的大小．21.已知抛物线L：y2=2px（p＞0）的焦点为F，过点M（5，0）的动直线l与抛物线L交于A，B两点，直线AF交抛物线L于另一点C，直线|AC|的最小值为4．（Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）若过点A作y轴的垂线m，则x轴上是否存在一点P（x0，0），使得直线PB与直线m 的交点恒在一条定直线上？若存在，求该点的坐标及该定直线的方程；若不存在，请说明理由．22.已知函数，其中a＞0，b∈R．（Ⅰ）当b=-3时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）当a=3且b＜0时，①若f（x）有两个极值点x1，x2（x1＜x2），求证：；②若对任意的x1∈[1，t]，都有成立，求正实数t的最大值．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：解：M={y∈N|y=-x2+5，x∈Z}，∵y∈N，x∈Z，∴y=-x2+5≥0，x∈Z∴，x∈Z，因此，当x=±2时，y=1；当x=±1时，y=4；当x=0时，y=5，∴M={1，4，5}，则M的真子集的个数是23-1=7个．故选：C．先确定集合M的元素个数，根据真子集的个数公式进行计算即可．本题主要考查集合真子集个数的判断，含有n个元素的集合，其子集的个数为2n个，真子集的个数为2n-1个，属基础题．2.答案：D解析：解：=．故选：D．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题．3.答案：B解析：解：若n⊄α，则n与m可能相交，可能异面，故充分性不成立若n与m异面，则n⊄α，即“n⊄α”是“n与m异面”的必要不充分条件，故选：B．根据空间直线位置关系结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合空间直线位置关系是解决本题的关键．4.答案：C解析：解：由梯形ABCD中，AD∥BC，BC=2AB=2AD=2DC=4，可得∠BDC=90°，∠ADC=120°，∠ADB=30°，∠DAC=30°，∠EAC=30°，由AD=2，在△ADC中，可得AC=2，在△AEO中，AE=1，所以=||||cos∠EAC=1×=3，故选：C．由解直角三角形得：∠BDC=90°，∠ADC=120°，∠ADB=30°，∠DAC=30°，∠EAC=30°，由AD=2，在△ADC中，可得AC=2，在△AEO中，AE=1，由平面向量数量积的运算得：=||||cos∠EAC=1×=3，得解．本题考查了解直角三角形及平面向量数量积的运算，属中档题．5.答案：A解析：解：实数x，y，对任意实数m，满足的可行域如图：可行域是扇形，个圆，面积为：=．故选：A．画出约束条件的可行域，然后求解可行域的面积．本题考查线性规划的应用，考查数形结合以及计算能力．6.答案：B解析：解：∵f（x）为偶函数，∴f（-x）=f（x），∴3-|-x+m|+2=3-|x+m|+2，∴|-x+m|=|x+m|；∴m=0；∴f（x）=3-|x|+2；∴f（x）在[0，+∞）上单调递减，并且a=f（|log0.23|）=f（log53），b=f（log5e），c=f（π+m）=f（π）∵0＜log5e＜log53＜π∴c＜a＜b．故选：B．根据f（x）为偶函数便可求出m=0，从而f（x）=3-|x|+2，这样便知道f（x）在[0，+∞）上单调递减，根据f（x）为偶函数，便可将自变量的值变到区间[0，+∞）上：a=f（|log0.23|），b=f（log5e），c=f （π），然后再比较自变量的值，根据f（x）在[0，+∞）上的单调性即可比较出a，b，c的大小．本题考查偶函数的定义，指数函数的单调性，对于偶函数比较函数值大小的方法就是将自变量的值变到区间[0，+∞）上，根据单调性去比较函数值大小．对数的换底公式的应用，对数函数的单调性，函数单调性定义的运用．7.答案：C解析：解：设g（x）=（x-a1）（x-a2）（x-a3）…（x-a12），∴f（x）=xg（x），∴f'（x）=g（x）+xg′（x），∴f'（0）=g（0）+0×g′（x）=g（0）=（-a1）（-a2）（-a3）…（-a12）=（a1a12）6=218故选：C．设g（x）=（x-a1）（x-a2）（x-a3）…（x-a12），对函数进行求导发现f′（0）中，含有x的项的值均为0，而常数项为a1a2a3…a12，由此求得f'（0）的值．本题考查多项式函数的导数公式，重点考查学生创新意识，综合与灵活地应用所学的数学知识、思想和方法，属于基本知识的考查．8.答案：C解析：解：∵（）=（）•（）=-=0，∴BP=BA=2a，过P作x轴的垂线PC，C为垂足，则S△ABP===，∴PC=，∴BC==，∴P（，），代入双曲线方程得：-=1，解得：=，∴e===．故选：C．由题意可知AB=BP，用表示出P点坐标，代入双曲线方程得出a，b的关系，从而可求出离心率．本题考查了双曲线的性质，属于中档题．9.答案：A解析：解：由，得f（1）=1，f（2）=0，f（16）=3．∵1≤x1＜x2＜…＜x n≤16，∴M≥|f（x1）-f（x2）|+|f（x2）-f（x3）|+…+|f（x n-1）-f（x n）|≥|f（x1）-f（x2）+f（x2）-f（x3）+…+f（x n-1）-f（x n）|=|f（x n）-f（x1）|≥|f（16）-f（2）|=|3-0|=3．则M的最小值为3．故选：A．由已知分段函数求得f（1）=1，f（2）=0，f（16）=3，再由M≥|f（x1）-f（x2）|+|f（x2）-f（x3）|+…+|f （x n-1）-f（x n）|≥|f（x1）-f（x2）+f（x2）-f（x3）+…+f（x n-1）-f（x n）|=|f（x n）-f（x1）|≥|f（16）-f （2）|=|3-0|=3，可得M的最小值．本题考查分段函数及其应用，考查绝对值不等式的解法，属中档题．10.答案：B解析：解：令x=1可得，a n=5n-2n，[]=[n-]=n-1，=1+2+…+（n-1）=，则（n-t）2+（b n+c）2的几何意义为点（n，）（n∈N*）到点（t，7-t）的距离的平方，最小值即（3，3）到y=7-t的距离d，∵d==，∴的最小值．故选：B．令x=1可得，a n=5n-2n，求出b n，则（n-t）2+（b n+c）2的几何意义为点（n，）（n∈N*）到点（t，7-t）的距离的平方，最小值即（3，3）到y=7-t的距离d的平方，然后由点到直线的距离公式求解即可得答案．本题考查了二项式定理的应用，考查了点到直线的距离公式，是中档题．11.答案：π；[-，]解析：【分析】本题主要考查两角和差的三角公式，正弦函数的周期性、定义域和值域，属于基础题．由题意利用两角和差的三角公式，正弦函数的周期性、定义域和值域，得出结论．【解答】解：∵已知=2sin（ωx-）的最小正周期为=2，则ω=π．在上，ωx-=πx-∈[-，]，sin（ωx-）∈[-，]，f（x）=2sin（ωx-）∈[-，]，故答案为：π；[-，]．12.答案：2 ±1解析：【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，属中档题．根据点到直线的距离公式和勾股定理、面积公式可得．【解答】解：圆C：x2+（y-1）2=2的圆心为（0，1）半径为，圆心到直线的距离d==，弦长|AB|=2=2≥2，（当且仅当m=0时等号成立），S△ABC=d•2=•2=，即d4-2d2+=0，解得d2=或d2=，∴=或=，解得m=±1．故答案为：2，±1．13.答案：；解析：【分析】本题考查了n次独立重复试验概率、随机变量的数学期望、相互独立事件计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．①恰好摸4次停止的情况为：前3次有一次摸到红球，第4次摸到红球，利用相互独立事件计算公式即可得出．②由题意可得：ξ的取值为：0，1，2．由n次独立重复试验概率公式P n（k）=C n k p k（1-p）n-k，即可得出．【解答】解：①恰好摸4次停止的概率p=×=．②由题意可得：ξ的取值为：0，1，2．由n次独立重复试验概率公式P n（k）=C n k p k（1-p）n-k，得P（ξ=0）==；P（ξ=1）=×=；P（ξ=2）=++=．∴随机变量ξ的数学期望Eξ=0×+1×+2×=．故答案为：；．14.答案：解析：解：由题意可知△PBD是由△ABD绕BD旋转而得到的，故当四面体P-BCD的体积最大时，平面PBD⊥平面BCD．在△ABC中，由余弦定理可得AC==2，设AD=x（0＜x＜2），则S△BCD==-，S△ABD==x，BD=，∴A到BD的距离为d==，即P到平面BCD的距离为d=．∴四面体P-BCD的体积V=S△BCD•d=•，∴当x=时，V取得最大值=．当P-BCD体积取最大值时，D为AC的中点，PD⊥平面BCD，故PD=CD=，BD=1，∴PB=2，PC=，∴cos∠PBC==，∴∠PBC为锐角，∴P到BC的距离为PB•sin∠PBC=．∴|PQ|的最小值为．故答案为：，．设AD=x，用x表示出A到BD的距离和△BCD的面积，得出棱锥的体积V关于x的函数，利用二次函数的性质可得V的最大值，再计算P到BC的距离即可．本题考查了棱锥的体积计算，函数最值的计算，属于中档题．15.答案：解析：解：由平面向量，，满足，则与的夹角为，设=（1，0），=（，），=（x，y），由，得x2+y2-（x+y）+=0，化简得+=，它表示以点（，）为圆心，以为半径的圆；又=表示圆上的点M（x，y）到点（t，0）t∈R的距离，即到直线y=0的距离；距离的最小值为M，由圆心（，）到直线y=0的距离为d=，则M的最大值为d+r=．故答案为：．由题意设=（1，0），=（，），=（x，y），化为+=，它表示圆；由表示该圆上的点M到点（t，0）的距离，即到直线y=0的距离；得出距离的最小值M，求得M的最大值为d+r．本题考查了平面向量的数量积应用问题，也考查了转化思想与数形结合应用问题，是难题．16.答案：2n+2-4解析：解：∵a n+1=a n+b n+，b n+1=a n+b n-，a1=1，b1=1．∴a n+1+b n+1=2（a n+b n），a1+b1=2．∴a n+b n=2n．另一方面：a n+1b n+1=-=2a n b n，∴a n b n=2n-1．∴==2n•=2n+1，则数列{c n}的前n项和==2n+2-4．故答案为：2n+2-4．由a n+1=a n+b n+，b n+1=a n+b n-，a1=1，b1=1．可得a n+1+b n+1=2（a n+b n），a1+b1=2．a n+1b n+1=-=2a n b n，即a n b n=2n-1．分别利用等比数列的通项公式即可得出．本题考查了数列递推关系、等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17.答案：（1，3）解析：解：x≥2时，f（x）=x+-4≥2-4=2-4，当且仅当x=时“=”成立；0＜x＜2时，f（x）=-2x+5∈（1，5）；画出函数的图象，如图所示；方程f（x）=a有且仅有两个实数解x1，x2，且x1＜x2，且x1•x2＞6，若a=1时，可得5-2x1=1，即x1=2；x2+-4=1，可得x2=3，满足x1x2=6，若a=3由5-2x1=3，即x1=1；x2+-4=3，可得x2=6，满足x1x2=6，结合图象可得当1＜a＜3时，x1•x2＞6，故答案为：（1，3）．作出函数f（x）的图象，求得x1•x2=6的两种情况a=1，a=3，结合图象可得所求a的范围．本题考查分段函数的图象和性质，考查化简运算能力和推理能力，数形结合思想，属于中档题．18.答案：解：（Ⅰ）∵0＜A＜π，0＜B＜π，∴-π＜-B＜0，∴-π＜A-B＜π，又sin（A-B）=1，∴A-B=，∵A+B+C=π，∴A=π-B-C，∴B+=π-B-C，∴C=-2B，∴sin C=sin（-2B）=cos2B，∴cos2B=，∴2cos2B-1=，∴cos B=±，∴C=-2B＞0，∴0＜B＜，∴cos B=．，sin B=，（Ⅱ）由正弦定理可得=，即AC===3，∴△ABC的面积为AB×AC sinA=××3×sin（B+）=××3×=．解析：（Ⅰ）根据-π＜A-B＜π，及sin（A-B）=1，∴A-B=，再根据内角和定理得C=-2B，再根据sin C=可得cos B；（Ⅱ）根据正弦定理求得AC，再根据面积公式可得．本题考查了正弦定理，属中档题．19.答案：解：（I）数列{a n}中，a1=1，．∴a2•a1=2，解得a2=2，a n+2•a n+1=2n+1，可得：=2．∴数列{a n}的奇数项与偶数项分别成等比数列，公比为2．∴a2k-1=2k-1，a2k=2k．∴a n=，k∈N*．（II）由（k∈N*），n=2k-1时，b n=b2k-1==，n=2k时，b n=b2k=-，S2n=（+-+……+-）-（+……+）=（-）-=（-）-1+．∴S2n+2-S2n=（-）-1+-（-）+1-=-．n=1时，S4-S2=-＜0，n=2时，S6-S4=-＜0．……，n=11时，S22-S20=-＜0，n=12时，S24-S22=-＞0，n≥12时，S2n+2＞S2n．可得：n=12时，S2n取得最小值．解析：（I）数列{a n}中，a1=1，．可得a2•a1=2，解得a2=2，a n+2•a n+1=2n+1，可得：=2．可得数列{a n}的奇数项与偶数项分别成等比数列，公比为2．即可得出a n．（II）由（k∈N*），n=2k-1时，b n=b2k-1==，n=2k-1时，b n=b2k=-，可得S2n．通过S2n+2-S2n，可得其单调性．本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式、数列的单调性、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20.答案：（I）证明：取AD的中点P，连接PE，PM，∵P，M分别是AD，AC的中点，∴PM∥CD，PM=CD，∵四边形BCDE是矩形，N是BE的中点，∴EN∥CD，EN=CD，∴PM∥EN，PM=EN，∴四边形PMNE是平行四边形，∴MN∥PE，又MN⊄平面ADE，PE⊂平面ADE，∴MN∥平面ADE．（II）解：在平面ABE上作矩形EBGF，使得A在边FG上，过E作DF的垂线EH，垂足为H，则EB⊥EF，EB⊥DE，又DE∩EF=E，∴EB⊥平面DEF，∴EB⊥EH，又EB∥CD，故CD⊥EH，又EH⊥DF，DF∩CD=D，∴EH⊥平面CDF，即EH⊥平面ACD．∴∠EDH为DE与平面ACD所成的角，即sin∠EDH=，∴tan∠EDH=，∵DE=1，∴EF=．设AF=x，则AG=2-x，于是AE2=x2+，AB2=（2-x）2+，∵AB⊥AE，∴x2++（2-x）2+=4，解得x=1±，又AB＞AE，故x=1-，∴AG=1+，∴tan∠ABE=tan∠BAG==2-，∴∠ABE=15°．解析：（I）取AD的中点P，证明四边形MNEP是平行四边形得出MN∥PE，故而结论得证；（II）在平面ABE上构造矩形EBGF，使得A在矩形边FG上，根据DE与平面DAC所成角的大小计算EF，再利用勾股定理或圆的性质计算∠ABE．本题考查了线面平行的判定，线面角的定义与作法，属于中档题．21.答案：解：（I）显然当AF⊥x轴时，|AC|取得最小值，把x=代入y2=2px可得y=±p，故2p=4，p=2，可得抛物线的方程为：y2=4x．（II）假设x轴上存在一点P（x0，0），使得直线PB与直线m的交点恒在一条定直线上．设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程为x=ty+5，联立抛物线方程y2=4x，可得y2-4ty-20=0，y1+y2=4t，y1y2=-20，直线PB的方程为y=（x-x0）即y=（x-x0），联立直线m：y=y1，可得x=x0+=x0+，由y1y2=-20，y1=y，可得y2=-，t=（y-），即有x=x0-5+（-）y2，由假设可得-=0，即x0=0，此时x=-5，可得存在定点P（0，0），定直线为x=-5．解析：（I）显然当AF⊥x轴时，|AC|取得最小值，可得2p=4，即可得到所求抛物线方程；（II）假设x轴上存在一点P（x0，0），使得直线PB与直线m的交点恒在一条定直线上．设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程为x=ty+5，联立抛物线方程，运用韦达定理，由PB的方程和直线m的方程，联立求得交点，化简可得所求定点和定直线．本题考查抛物线的方程和性质，考查直线和抛物线方程联立，运用韦达定理，考查方程思想和化简运算能力，属于中档题．22.答案：解：（I）b=-3，f（x）=，a＞0，b∈R，x＞0，∴f′（x）==，x＞0，∴当a=3时，f（x）在（-∞，+∞）上是增函数；当0＜a＜3时，f（x）的单调递增区间是（0，1），（，+∞），递减区间是（1，）；当a＞3时，f（x）的单调递增区间是（0，），（1，+∞），递减区间是（，1）；（Ⅱ）①证明：∵a=3，∴f（x）=x2+2bx+3ln x，∴f′（x）=，∵f（x）有两个极值点x1，x2，x1＜x2，∴△=4b2-36＞0，∵b＜0，∴b＜-3，∵，∴b=-（）＜-3，即，∵x1＜x2，∴0＜x1＜1＜x2，且f（x1）=x12+2bx1+3ln x1=-x12+3ln x1-3，构造函数F（x）=-x2+3ln x-3，0＜x＜1，F'（x）=-3x+=＞0，函数F（x）递增，；②当b＜-3，由①可知，f（x）的极大值为，又f（x）的极小值为，随着x2的增大而减少，故要使t取最大值，则需f（x）的极小值，又，所以，得；当b≥-3时，f（x）在[1，t]上是增函数，且，故t＜e．综上，实数t的最大值为e．解析：（Ⅰ）将b=-3代入，求导后分类讨论即可求得单调区间；（Ⅱ）①将a=3代入，由题意可得b＜-3，0＜x1＜1＜x2，表示出f（x1），再构造新函数，利用导数即可得证；②分b＜-3，及b≥-3两种情况讨论得解．本题考查利用导数研究函数的单调性及在闭区间上的最值问题，考查转化思想及分类讨论思想，属于中档题．。