东南大学数学分析
东南大学 2002 年数学分析试题解答
东南大学2002年数学分析试题解答一、叙述定义(5分+5分=10分)1．()+∞=−∞→x f x lim ． 解：M x f E x E M >−<∀>∃>∀)( , ,0 ,0．2．当+→a x 时，)(x f 不以A 为极限．解：二、计算（9分×7=63分）1．求曲线210 ),1ln(2≤≤−=x x y 的弧长． 解：dx x f s ∫+=βα 2)]('[1∫∫∫−=−++−=−+=−−+=21 0 210 22210 22213ln )11111(11)12(1dx x x dx x x dx x x ． 2．设x y z e x g z y x f u y sin ,0),,( ),,,(2===，g f ,具有一阶连续偏导数，0≠∂∂z g ，求dxdu ． 解：由0),,(2=z e x g y 得02321=++dz g dy g e dx xg y，从而 xz z f x y y f x f dx du ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂+∂∂==32121)cos 2(cos f g e x xg f x f y ⋅++⋅+． 3．求∫dx xx 2ln ( 解：令dt e dx e x x t t t === , ,ln ，∫=dx x x 2)ln (∫⋅dt e e t t t 22=∫=−dt e t t 2t t te e t −−−−22C e t +−−2 C xx x +++−=2ln 2)(ln 2． 4．求()20lim x a x a xx x −+→()0>a ． 解：()20lim x a x a xx x −+→22222220)]()(ln 2ln 1[)}(]11)[(ln 2ln 1{lim xx o a x a x x o a a x a x x +++−+++++=→ 12a a+=． 5．计算第二型曲面积分∫∫++S dxdy z dzdx y dydz x ,222其中S 是曲面22y x z +=夹于0=z 与1=z 之间的部分，积分沿曲面的下侧解：记222),,(,),,(,),,(z z y x R y z y x Q x z y x P ===，θθsin ,cos r y r x ==，则2r z =，且,10≤≤r πθ20≤≤．∫∫++S dxdy z dzdx y dydz x 222=∫∫++S dxdydz z y x )(2 πθθθπ=++=∫∫dr r r r r d 2 0 10 2)sin cos (2． 6．求常数λ，使得曲线积分22 0, L x x r dx r dy r y yλλ−==∫v 滑闭曲线L 成立．解：7．在曲面)0,0,0(,14222>>>=++z y x z y x 上求一点，使过该点的切平面在三个坐标轴上的截距的平方和最小．解：设14),,(222−++=z y x z y x F ，则2,2,2z z F y y F x x F =∂∂=∂∂=∂∂，所求切平面方程为： 0)(2)(2)(2=−+−+−z Z z y Y y x X x ， 求得在三个坐标轴上的截距分别为:,44 ,444 ,444222222222zz y x Z y z y x Y x z y x X ++=++=++= )1161161()44(2222222222z y x z y x Z Y X d ++++=++==2221611z y x ++． 令)14(1611),,(222222−+++++=z y x zy x z y x P λ，则由 02132,022,022333=+−=∂∂=+−=∂∂=+−=∂∂λλλz zz P y y y P x x x P ,,14222=++z y x 解得==y x ,16,2,21==λz =min d 16． 三、证明题（6分+7分+7分+7分=27分）1．判定级数∑∫∞=+1 0 1sin n n dx xx π的敛散性． 解：原级数为正项级数，据积分中值定理， 0sin (sin )ln 1ln 11nx dx x n n n ππππξ⎛⎞⎛⎞=+≤+⎜⎟⎜⎟+⎝⎠⎝⎠∫， 又级数1ln 1n n n ππ∞=⎛⎞+⎜⎟⎝⎠∑收敛，所以原级数收敛． 2．设)(x f 在区间[2,0]上具有二阶连续导数，且对一切]2,0[∈x ，均有 1)('' ,1)(<<x f x f ，证明：对一切]2,0[∈x ，成立2)('<x f ． 解：,)0(2)('')0)((')()0(2x f x x f x f f −+−+=ξ 2)2(2)('')2)((')()2(x f x x f x f f −+−+=η， ])('')2)((''[21)('2)0()2(22x f x f x f f f ⋅−−+=−ξη， ])('')2)((''[21)0()2()('222x f x f f f x f ⋅−−−−=ξη， ])('')2)((''[21)0()2(21)('22x f x f f f x f ⋅−−+−=ξη ++≤)0(21)2(21f f 22)(''21)2()(''21x f x f ⋅+−⋅ξη 2221)2(211x x +−+≤2)1(2+−≤x ， '()2f x ≤．3．证明积分∫∞+− 0 dy xe xy 在),0(+∞上不一致收敛．4．证明函数x x x f ln )(=在),1[+∞上一致连续． 证明：x x x x x xx f 22ln ln 21)('+=+=，1)(' ,1 ,021ln 21)(''max ===−−=x f x x x x x f 由拉格郎日中值定理，1212121212,[1,), , ()()'()x x x x f x f x f x x x x δξ∀∈+∞−<−=⋅−≤−。
数值分析第七章打印版(东南大学)
这是一个 n 次多项式， 根据代数基本定理， 它有 n 个根。
λ 是 A 的特征值当且仅当它是其特征多项式的零点。 A 的特征值的个数为 n。
求一个矩阵特征值的问题转化为求其特征多项式的零点。 求相应的特征向量问题转化为求齐次方程组的非零解问题。
李元庆 (版权本人所有)
Introduction to Numerical Analysis Chapter 7: Eigenvalue 2012 Problems 年 5 月 14 日
max a1 x1 + ∑ ai
i =2
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Introduction to Numerical Analysis Chapter 7: Eigenvalue 2012 Problems 年 5 月 14 日
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归一化幂法的收敛性（3）
从而
k →∞
lim uk =
x1 . max(x1 )
Ax = λ x → By = λ y , x = Ty .
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Introduction to Numerical Analysis Chapter 7: Eigenvalue 2012 Problems 年 5 月 14 日
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幂法（Power iteration） （1）
从而当 k 充分大， 有
k vk ≈ a1 λ1 x1 , k +1 vk +1 ≈ a1 λ1 x1 ≈ λ1 vk .
由上式知 vk +1 = Avk ≈ λ1 vk 。该式说明 vk 是 λ1 对应的近似 特征向量， vk 和 vk +1 近似线性相关。 所以
λ1 = lim (vk +1 )i , k →∞ (vk )i
东南大学2005年数学分析
东南大学2005年数学分析一、判断题（正确的证明，否则给出反例.每小题8分，共32分）1、设函数f 在区间(),a b 内可导，则f 在(),a b 上严格单调递增当且仅当对任何(),x a b ∈，()0f x '>.2、对[],a b 上的连续函数f ，积分()baf x dx ⎰为正当且仅当f 在[],a b 恒为正.3、若级数21n n u ∞=∑和21n n v ∞=∑都收敛，则级数21()n n n u v ∞=+∑也收敛.4、设L 是平面定向光滑曲线，(,)f x y 在L 上连续，则(,)(,)LLf x y dx f x y dx ≤⎰⎰.二、计算题（每小题7分，共56分）1、求极限213sin coslim(1cos )ln(1)x x x x x x →+++.2、记()V t是曲线21y x=+在[]0,x t ∈上的弧段绕x 轴旋转所得到的体积，试求常数c ，使lim ()2()t V t V c →+∞=.3、设()x x t =是由方程21sin 0x tst eds ---=⎰所确定，试求值22t d x dt=.4、设()f u 为可微函数，(0)0f =，(0)0f '≠.记t D 为圆心在原点，半径为t 的圆. 若0t +→时，~tkD f d at σ⎰⎰，试求常数a 和k 的值.5、已知曲面224z x y =--上点P 处的切平面平行于平面2210x y z ++-=，求点P 的坐标及过该点的法线方程.6、求幂级数1(1)nn n x ∞=-∑的收敛域与和函数.7、计算曲线积分222222()()()LI y z dx z x dy x y dz =-+-+-⎰，其中L 为平面1x y z ++=被三个坐标平面所截三角形的边界，并且若从x 轴正向看去为逆时针方向. 8、计算2()axdydz z a dxdy∑++⎰⎰其中∑为下半球面z =的上侧，a 为大于零的常数.三、（10分）若数列{}21321n n a a a a a a --+-++- 有界，则称{}n a 为有界变差数列，证明有界变差数列一定是收敛的数列. 四、（10分）设悬链线方程为1()2xxy e e-=+，它在区间[]0,t 上的一段弧长和曲边梯形的面积分别记为()s t 和()A t .该曲边梯形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积、侧面积和x t =处的端面积（即截面积）分别记为()V t ，()S t 与()F t . 证明：（1）()()s t A t =，0t ∀>；（2）()2()S t V t =，0t ∀>；（3）()lim1()t S t F t →+∞=.五、（10分）若f 在()0,+∞上连续，且对任何0a >，积分()ax xf t dt ⎰与()0,x ∈+∞无关，证明()c f x x=，()0,x ∈+∞，其中c 为常数.六、（10分）证明正数项级数1n ∞=∑收敛.七、（10分）令[]:0,1f R →为连续的，满足(0)(1)0f f ==.假设f ''在()0,1内存在，且具有20f f f '''++≥.证明对所有01x ≤≤，有()0f x ≤成立. 八、（12分）设积分()f x dx +∞-∞⎰绝对收敛，证明函数()()cos g f x xdx αα+∞-∞=⎰在(),-∞+∞上一致连续.。
数值分析东南大学第一章
李元庆 (版权本人所有)
Introduction to Numerical Analysis Chapter 1: Introduction 2014 年 9 月 11 日
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Q12： 如何衡量误差的大小？
误差的意义与其度量或者计算的量的大小有关系！ 比如人口普查时的误差 1 的意义要远远小于一个房间里人数 的误差 1 的意义（点名？） 。 设 x 是 x ∗ 的某个近似值， 则： 绝对误差 Absolute error e = x ∗ − x（真实值减去近似值）. 相对误差 Relative error er = 误差可正可负。
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Introduction to Numerical Analysis Chapter 1: Introduction 2014 年 9 月 11 日
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Q6： 拿到一个问题， “好”问题还是“坏问题？
一个“好”问题（well-posed ）的要求： 解存在、 唯一、 并连续 依赖于数据。 （传统意义？）
xk +1 = φ (xk )
极限是否存在时， 我们通常会取极限。 理由3： 随着科技的发展， 问题的规模越来越大， 理论求解往往 无能为力， 通常会借助计算机完成某些研究。此时， The error can not be avoided！ （记住这句话？） 理由n：……
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Introduction to Numerical Analysis Chapter 1: Introduction 2014 年 9 月 11 日
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Introduction to Numerical Analysis Chapter 1: Introduction 2014 年 9 月 11 日
东南大学数学分析试题解答
东南大学 数学分析试题解答 一、叙述定义(5分+5分=10分) 1.()+∞=-∞→x f x lim .解：设.)(,,0,0,0E M x f x E M >-<>∃><∀就有时则当δδ 2.当.)(,为极限不以时A x f a x +→解：设.)(,,0,0E A x f a x E >->->∃>∀时使得当δδ 二、计算（9分×7=63分）1． 求曲线210),1ln(2≤≤-=x x y 的弧长。
解：=+=⎰dx x f s βα2)]('[1⎰⎰⎰-=-++-=-+=--+2102102221022213ln )11111(11)12(1dx x x dx x x dx x x 2． 设都具有一阶连续与且己知g f x y z e x g z y x f u y ,sin ,0),,(),,,(2===偏导数，.,0dxduz g 求≠∂∂ 解：由xzz f x y y f x f dx du dz g dy g e dx xg z e x g yy∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂+∂∂==++=从而知,02,0),,(3212=32121)cos 2(cos f g e x xg f x f y ⋅++⋅+ 3.求⎰dx xx 2)ln (解：令⎰====dx x x dt e dx e x x t tt2)ln (,,,ln 则⎰⋅dt e et tt 22=⎰=-dt e t t 2t t te e t ----22 C e t+--2C xx x +++-=2ln 2)(ln 2 4.求()2lim x a x a xxx -+→()0>a解：()2lim xa x a x xx -+→==22222220)]()(ln 2ln 1[)}(]11)[(ln 2ln 1{lim xx o a x a x x o a a x a x x +++-+++++=→ =aa21+ 5.计算第二型曲面积分⎰⎰++Sdxdy z dzdx y dydz x ,222其中S 是曲面22y x z +=夹于0=z 与1=z 之间的部分，积分沿曲面的下侧。
东南大学工科数学分析习题课
Байду номын сангаасn→∞
6．设当 x
≥ 1 时， f ( x) 满足 f ′( x) =
1 ，且 f (1) = 1 ，令 x + f 2 ( x)
2
an ≤ an = f (n)(n = 1, 2,L) ，证明：数列 {an } 收敛，且 lim n →∞
可导，且
f ′ > 0 ，则
[
]
（A） F (0) 是 F ( x) 的极小值 （C） F (0) 不是极值，但点 (0, F (0)) 是曲线
（B） F (0) 是 F ( x) 的极大值
y = F ( x) 的拐点 y = F ( x) 的拐点
；
π
（D） F (0) 不是极值，点 (0, F (0)) 也不是曲线 （6） F ( x) =
∫
x −1
sgn tdt =
（7）设
f ∈ C[0, π ] ，且满足 f ( x) = cos 2 x + ∫ 0 f (t )dt ，则 f ( x) =
；
（8）设 A =
∫
1 0
ln(1 + x)dx, B = ∫
arctan x dx ，则 A, B 的大小关系为 0 1+ x
1
。
2．求下列极限： （1） lim ⎜ 2 n →∞
∫
0 x2
(
t ∫ cos u 2du dt ，则 F ′( x) =
0 x 2 x2
t
)
， F ′′( x) =
；
（2） 将 x → 0 时的无穷小量 α
= ∫ cos u du, β = ∫ tan t dt , γ = ∫
东南大学2001年数学分析
一起考研社区 4万份考研真题全部免费下载 考研人的成功俱乐部一起考研社区 4万份考研真题全部免费下载 考研人的成功俱乐部东南大学数学分析2001一.(6*3)1. 2. 3.当时, 是x 的几阶无穷小量?)21(1sinsin lim 2230x Ln x x x +→4432lim y x y x y x ++∞→∞→0→x dt t e x t 20)1(--⎰二.(8*2)1.,求n=0,1,2,……..2sin )(x x f =),0()(n f 2,设由定义为x,y 的隐函数,其中a,b,c 均为常数,为连续可微δ0),(=--δδϕb cy a cx ϕ函数,求x ∂∂δ三.(8*2)1. 2. dx x x x x 240)cos sin cos sin (⎰+-π⎰10dt dx te t x ⎰-221四.(10*2)1.计算I=,其中L 为圆周+=2,取逆时针方向.⎰+-L y x ydx xdy 22322)1(-x 2y 2.计算曲面积分J=,此处S 是圆柱面dxdy y dx xyd xdyd S δδδδ++⎰⎰122=+y x 此处S 是椭圆柱面，三个坐标平面及旋转抛物面所围立体在122=+y x 222y x --=δ第一卦限部分的外侧面。
五.（10）计算曲线上由点（0，0）到点（）那段弧段饶直线y=x 旋转后所得22x y =21,21的旋转体的体积。
六．（8）判断级数，在[0，]上是否一致收敛，并且证明你得出的结x x n n n n n sin 1sin .)1(1+-∑∞=π论。
七．（6）设二元函数在平面区域G 内对x 连续，对y 关于x 一致连续，证明),(y x f 在区域G 内是二元连续函数。
),(y x f 八．（6）设 在[0，1]上二阶连续可导，记，)(x f |)(|max ]1,0[0x f M x ∈=|)(|max ']1,0[1x f M x ∈=，，证明|)(|max "]1,0[1x f M x ∈= 201212M M M +≤。
东南大学2002——2009数学分析试题(缺03)
3.求 (
ln x 2 ) dx x
t t
解：令 t ln x, 则x e , dx e dt , (
t2 ln x 2 ) dx 2t e t dt = t 2 e t dt t 2 e t 2te t x e
2e t C
(ln x) 2 2 ln x 2 C x
f ' ( x)
1 1 1 1 f (2) f (0) [ f ' ' ( )(2 x) 2 f ' ' ( ) x 2 ] f (2) f (0) 2 2 2 2 1 1 1 (2 x) 2 x 2 2 2
( x 1) 2 2
，
1 1 f ' ' ( ) (2 x) 2 f ' ' ( ) x 2 2 2
和发散，并证明 F ( p) 在 p > 0 上连续． 五、(本题满分 12 分) 证明级数
å
¥
(- 1)n- 1 ( n n - 1) 条件收敛．
n= 1
六、(本题满分 12 分) 设函数项级数
å
¥
un ( x) 在区间 I 上一致收敛于 f ( x) ，且对每个 n ， un ( x) 在上 I 上一
解 ：
f ' ' ( ) (0 x ) 2 , 2 f ' ' ( ) f (2) f ( x) f ' ( x)(2 x) ( 2 x) 2 2 1 f (2) f (0) 2 f ' ( x) [ f ' ' ( )(2 x) 2 f ' ' ( ) x 2 ] 2 1 2 f ' ( x) f (2) f (0) [ f ' ' ( )(2 x) 2 f ' ' ( ) x 2 ] 2 f (0) f ( x) f ' ( x)(0 x)
东南大学_数值分析_第六章_常微分方程数值解法
第六章 常微分方程数值解法——RK 4法、AB 4法******（学号） *****（姓名）上机题目要求见教材P307,23题。
一、算法原理题目要求采用RK 4法和AB 4法求解最简单的常微分方程初值问题(,),()y f x y a x by a η'=≤≤⎧⎨=⎩ (1)为求解式(1)，采用离散化方法，就是寻求解)(x y 在区间],[b a 上的一系列点<<<<<n x x x x 321上的近似值 ,,,,21n y y y 。
记1(1,2,)i i i h x x i -=-=表示相邻两个节点的间距，称为步长。
求微分方程数值解的主要问题：(1) 如何将微分方程(,)y f x y '=离散化,并建立求其数值解的递推公式; (2) 递推公式的局部截断误差、数值数n y 与精确解)(n x y 的误差估计； (3) 递推公式的稳定性与收敛性. a) Runge-Kutta 方法基本思想：通过在1[,]i i x x +多预报几个点求斜率，并将其加权平均作为k *的近似值，以此构造更高精度的计算公式。
如果每步计算四次函数 的值，完全类似的，可以导出局部截断误差为)(5h O 的四阶Runge-Kutta 公式(RK 4)：1123412132431(22),6(,),(,),221(,),22(,).n n n n n n n n n n y y k k k k k f x y h h k f x y k h k f x h y k k f x h y hk +⎧=++++⎪⎪=⎪⎪⎪=++⎨⎪⎪=++⎪⎪=++⎪⎩ (2)b) Adams 显式公式Runge-Kutta 方法是单步法，计算1+n y 时，只用到n y ， 而已知信息1-n y 、2-n y 等没有被直接利用。
可以设想如果充分利用已知信息1-n y ，2-n y ，…来计算1+n y ，那么不但有可能提高精度，而且大大减少了计算量，这就是构造所谓线性多步法的基本思想。
东南大学数学分析答案
七
.证明：因为 ，所以 。又因为 ，又因为 时， 收敛 时， 收敛.所以 在 上收敛
（1）因为 在 上连续，所以 连续.
（2）因为 ，
当 时， 收敛， 单调递减趋于 所以 收敛
当 存在，当 时，因为 发散，所以 不存在
所以 在 不可导.又因为
而 ，所以
八
（ ）因为 是调和函数，所以
一
1.解：设
2.
解：设
二
1．
解：
2．
解：由
=
3.
解：令 =
4.
解： ==
=
三
解：设 ,则 ,故所求切平面方程为：
,求得在三个坐标轴上的截距分别为:
=
令
则 , 解得 16
四
证明：由已知 收敛， 收敛.又因为 ，所以 在
上一致收敛.又因为 在 上连续，所以有界.所以 在 上一致收敛.
五
证：任意 .则过 切平面方程为 .因为 是 次齐词的，所以 ，又因为 ，且 ，所以 .所以 上所有平面过
东南大学_数值分析_第七章_偏微分方程数值解法-推荐下载
1 h2
1 2
2u
2 8
x
2
( xi , tk
4u x 2t 2
u( xi1, tk
h2 12
4u x4
表示为
(ik
)
)+
2u x2
( xi ,ik )
, tk
2u( xi , tk
)
u( xi1, tk1) 2u( xi , tk1) u( xi1, tk1)
h2 12
4u x4
将式(4)(5)(6)分别代入式(3)，略去高阶小量，用 uik 代替 u(xi , tk ) 并化简得
r 2
r 1 r 2
r 2
r 2
1 r
u1k u2k
uMk 12
k 1
uM 1
1 1
MERGEFORMAT (8) Crank-Nicolson 格式的截断误差为 R O( 2 h2 ) ，具有较高的精度。
Crank_Nicolson格式完整代码
function U=Crank_Nicolson(f,a,x0,xn,dx,t0,tm,dt,g,s0,sn)
A=inv(A); B=r/2*[zeros(1,N-1);eye(N-2,N-2),zeros(N-2,1)]+r/2* ...
r 2
f
f
r 2
1 r
x1
,
xM 1, tk
tk
f
r 2
r 2
2
f
2
1 r
r 2
x2, tk
xM 2 , tk
r 2
r 2
tk
2
1
r 2
2
tk
r
东南大学 数值分析 考试要求
第一章绪论误差的基本概念：了解误差的来源，理解绝对误差、相对误差和有效数的概念，熟练掌握数据误差对函数值影响的估计式。
机器数系：了解数的浮点表示法和机器数系的运算规则。
数值稳定性：理解算法数值稳定性的概念，掌握分析简单算例数值稳定性的方法，了解病态问题的定义，学习使用秦九韶算法。
第二章非线性方程解法简单迭代法：熟练掌握迭代格式、几何表示以及收敛定理的内容，理解迭代格式收敛的定义、局部收敛的定义和局部收敛定理的内容。
牛顿迭代法：熟练掌握Newton迭代格式及其应用，掌握局部收敛性的证明和大范围收敛定理的内容，了解Newton法的变形和重根的处理方法。
第三章线性方程组数值解法（1）Guass消去法：会应用高斯消去法和列主元Guass消去法求解线性方程组，掌握求解三对角方程组的追赶法。
（2）方程组的性态及条件数：理解向量范数和矩阵范数的定义、性质，会计算三种常用范数，掌握谱半径与2- 范数的关系，会计算条件数，掌握实用误差分析法。
（3）迭代法：熟练掌握Jacobi迭代法、Guass-Seidel迭代法及SOR方法，能够判断迭代格式的收敛性。
（4）幂法：掌握求矩阵按模最大和按模最小特征值的幂法。
第四章插值与逼近（1）Lagrange插值：熟练掌握插值条件、Lagrange插值多项式的表达形式和插值余项。
（2）Newton插值：理解差商的定义、性质，会应用差商表计算差商，熟练掌握Newton插值多项式的表达形式，了解Newton型插值余项的表达式。
（3）Hermite插值：掌握Newton型Hermite插值多项式的求法。
（4）高次插值的缺点和分段低次插值：了解高次插值的缺点和Runge现象，掌握分段线性插值的表达形式及误差分析过程。
（5）三次样条插值：理解三次样条插值的求解思路，会计算第一、二类边界条件下的三次样条插值函数，了解收敛定理的内容。
（6）最佳一致逼近：掌握赋范线性空间的定义和连续函数的范数，理解最佳一致逼近多项式的概念和特征定理，掌握最佳一致逼近多项式的求法。
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东南大学2007年数学分析
一、判断题（正确的证明，否则给出反例.每小题6分，共24分）
1、若数列{}n a 收敛于0，则必定存在正数α，使对一切充分大的n ，有1n a n α≤
. 2、若级数1n n a
∞=∑和1n n b ∞=∑皆收敛，则级数1n n n a b ∞=∑必收敛.
3、函数2
()f x 在[],a b 上Riemann 可积当且仅当()f x 在[],a b 上Riemann 可积. 4、若二元函数(,)z f x y =在点00(,)x y 的两个偏导数00(,)x f x y '，00(,)y f x y '都存在，则(,)z f x y =在点00(,)x y 必连续.
二、计算题（每小题7分，共56分）
5
~n
ax （0x →），求a 和n . 6、求函数122(6)()(4)arctan x x x e f x x x +-=
-的所有渐近线. 7
、求积分1
1[ln(()]x f x dx -++⎰，其中，()f x 满足2()arcsin f x x '=，(0)0f =.
8、求幂级数21
1(1)2n
n n x n ∞=+-∑的和函数的极值. 9、数量场222u x yz y =-+在点(1,2,1)M -沿什么方向的方向导数达到最大值？并求此最大值.
10、设()z f u =可微，而(,)u u x y =是由方程()()x
y u u p t dt ϕ=+⎰确定的函数，
其中()p t ，()u ϕ'连续且()1u ϕ'≠，求()()z z p y p y x y
∂∂+∂∂. 11、设函数()f t 满
足()1D f t f dxdy =+⎰⎰，其中由D 为圆环222244a x y t ≤+≤，0a >为常数，求()f t .
12、计算曲面积分(2)S x z dydz zdxdy ++⎰⎰，其中S 为曲面22z x y =+（01z ≤≤），其法
向量与z 轴正向的夹角为锐角.
三、证明题（6小题，共70分）
13、（10
分）证明()f x =[)0,+∞上一致连续.
14、（12分）设()f x 在[]0,1上二次可微，且(0)(1)0f f ==，证明：存在()0,1ξ∈，使
得()cos ()sin 0f f ξξξξ'''+=.
15、（12分）证明级数111(1)(1)n n n e n ∞
-=⎡⎤--+⎢⎥⎣⎦∑条件收敛. 16、（12分）设()f t 为连续函数，证明
11()()()()1b
y b n
n a a a dy y x f x dx b x f x dx n +-=-+⎰⎰⎰. 17、（12分）设(,)u x y ，(,)v x y 是D 上的连续可微函数，D 是由分段光滑闭曲线围成的平面区域，D ∂表示其正向边界.证明
D D D v u u dxdy uvdy u dxdy x
x ∂∂∂=-∂∂⎰⎰
⎰⎰⎰. 18、（12分）证明积分 01cos x e xdx x
α-+∞-⎰ 关于[]0,1α∈一致收敛，并由此计算积分
01cos x e xdx x
-+∞
-⎰.。