概率论与数理统计第一章 第4节 等可能概型(古典概型)

§4 等可能概型(古典概型)
一、复习排列和组合
二、概率的古典定义 三、小结 思考题
一、复习排列和组合
排列
10 没有重复元素的排列(不放回抽样)
m An n(n 1)(n 2)(n m 1)
20 有重复元素的排列(有放回抽样) 从n个不同的元素中有放回地抽取m个元素, 则不同的排列种数有 n m 种. 事实上, 说明 n × n × n× ×n
(3)
（ A3=―两次取得的球为红白各一” ; 5红3白）
k 5 3 3 5 15 . P(A3)= 2 8 32 n
(4) A4=―第二次取得红球”.
k 5 5 3 5 5 . P(A4)= 2 8 8 n
补充结论: 将r个不同的球放入n个不同的盒子中(r≤ n, 不限制盒子中球的个数),则不同的放法种数 有 m
n
m
排列都有顺序
组合 10 没有重复元素的组合(不放回抽样) n! m Cn m! ( n m )! 推广 将n个不同的元素分成k(k≥2)组,它们分别 含有m1, m2,…, mk个元素(m1+ m2+…+ mk=n),则 不同的分法种数有
n! 种. m1 ! m2 !mk !
解 每一种取法看作一基本事件,由对称性知
每一种取法出现的可能性都相同,故属古典概型.
(1)
A1=―两次都取得红球”; （5红3白）
k A52 5 P(A1)= 2 . n A8 14
2 k C5 5 或 P(A1)= 2 . n C 8 14
(2) A2=―第一次取得红球”,第二次取得白 球”; 1 1 A5 A3 15 k . P(A2)= 2 A8 56 n
n
7
∵P(A)很小, 故认为接待时间是有规定的. ―概率很小的事件在一次试验中实际上几乎是 不发生”——实际推断原理
例 5 在1~2000的整数中随机地取一数,问取 到的整数既不能被6整除,又不能被8整除的概 率是多少? (随机取数问题) (P.13 例6) 解 设A=―取到的数能被6整除”, B=―取到的数能被8整除” 则所求概率为
(3)
（ A3=―两次取得的球为红白各一” ; 5红3白）
1 1 k C5 C 3 15 P(A3)= . 2 n C8 28
(4)
A4=―第二次取得红球”.
1 1 1 1 A4 A3 A5 5 k A5 . P(A4)= 2 n A8 8
或 P(A4)=
1 A5 A7
1
2 A8
事实上,
1
2
3

n
n × n × n × × n nr
r个
(放球问题或分房问题) 说明 分房问题也有顺序
例如: 10 r个人的生日分布问题 r个人—r个球, 一年365天—365个盒子 r 则r个人的生日分布情况有 365 种. 20 r个人的性别分布问题 r个人—r个球, 男 女 则r个人的性别分布情况有 2 种. 30 同时掷r颗骰子问题
(P.13 例7)
20 有重复元素的组合(有放回抽样) (略)
二、概率的古典定义
古典概型的特点:
10 样本空间S={e1, e2,… ,en}; 20 设事件A S且A= ｛ ei1 , ei2 ,, eik｝ 即
1 P (e1 ) P (e2 ) P (en ) . n
5 . 8
例2 若将上题改为有放回地取两次,求上述 事件的概率.（5红3白） 解 (1) A1=―两次都取得红球”;
k 52 25 . P(A1)= 2 64 n 8
(2) 白球”; A2=―第一次取得红球”,第二次取得
k 51 31 15 . P(A2)= 2 8 64 n
故所求概率为
3 83 333 250 ) . P( A B ) 1 ( 2000 2000 2000 4
三、小结
1.古典概型的特点:
(1) 样本空间S={e1, e2,… ,en};
1 (2) P (e1 ) P (e2 ) P (en ) . n
2.古典概型中事件A概率的计算公式
古典概型中事件A概率的计算公式
例1 一口袋中有5个红球和3个白球,每次取出 一个球不放回,连取二次,求下列事件的概率: (1) A1=―两次都取得红球”; (2) A2=―第一次取得红球,第二次取得白球”;
(3) A3=―两次取得的球为红白各一”;
(4) A4=―第二次取得红球”. (摸球问题或抽签问题)
A {ei1 } {ei2 } {eik }
P ( A) P[{ei } {ei } {ei }] 1 2 k
k P(ei1 ) P(ei2 ) P(eik ) . n
k A所 含 基 本 事 件 数 P ( A) . n S所 含 基 本 事 件 总 数
r
r颗骰子—r个球, 6个点子—6个盒子
则点数出现的情况有 6r 种.
例3 某班有30名学生,试求至少有二人生日 相同的概率(一年按365天计算). 解 A=―至少有二人生日相同”
A ―30人生日全不相同”
P( A )
30 A365
365
30
0.294
P( A) 1 P( A ) 1 0.294 0.706.
P( A B ) P ( A B) 1 P ( A B)
=1–[P(A)+P(B)–P(AB)]
2000 333 334 , 6
333 . ∴P(A)= 2000
2000 250 , 8 2000 83 84 , 24
250 . ∴P(B)= 2000 83 . ∴P(AB)= 2000
k A所 含 基 本 事 件 数 P ( A) . n S所 含 基 本 事 件 总 数
注意 n、 k的一致性
3.古典概型的三大主要类型: (1) 摸球问题 (2) 分房问题 (3) 随机取数问题
例 4 某接待站在某一周曾接待过12次来访, 已知所有这12次接待都是在周二和周四进 行的,问是否可以推断接待时间是有规定的? 解 假定接待时间没有规定,即一周7天每天 都接待来访者(接待时间具有随机性). A=―12次接待都是在周二和周四”小概率事件 k 212 P( A) 12 0.000 0003 (P.14 例8)