第三章_二自由度系统

T 0
i 0 (i 1 ~ n) 除非 x
所以，M 正定
二自由度系统振动 /质量矩阵和刚度矩阵的正定性质
• 质量矩阵和刚度矩阵的正定性质
n 阶方阵 A 正定 是指对于任意的 n 维列向量 y，总有 yT Ay 0 成立
并且等号仅在
y0
时才成立
如果 y 0 时，等号也成立，那么称矩阵 A 是半正定的。 1 T 势能： V X KX 2
优点：分别考虑了人与车、车与 车轮之间的相互耦合，模 型较为精确.
m m 轮
k3 c3 k3
m轮
c3
问题：如何描述各个质量之间的相互耦合效应？
二自由度系统振动
3.2运动微分方程
二自由度系统振动 / 运动微分方程
• 运动微分方程
例1：双质量弹簧系统，两质量分别受到激振力。 不计摩擦和其他形式的阻尼。
x1、x2 速度 x 1、x 2
k2(x2-x1)
1、 2 加速度 x x
F2(t) k3x2
m2
受力分析：
k1x1
F1(t)
m1
k2(x1-x2)
1 c1 x
1 x 2 ) c1 ( x
2 x 1 ) c2 ( x
2 c3 x
二自由度系统振动 / 运动微分方程 k1x1
振动问题中主要讨论 K 阵正定的系统及 K 阵半 正定的系统，前者称为正定振动系统，后者称为半 正定振动系统 。
பைடு நூலகம் 二自由度系统振动 / 耦合
• 耦合与坐标变换
矩阵中非零的非对角元元素称为耦合项。
m11 M m21 m12 m22
质量矩阵中出现耦合项称为惯性耦合。
k11 刚度矩阵或柔度矩阵中出现耦合项称为弹性耦合。 K k21 以两自由度系统为例:
c11 c12 c1 c2 [C] c21 c22 c2
c2 c2 c3
多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程
例2：两自由度系统
摆长 l，无质量，无阻尼做微摆动
k1
m1 x k2

求： 质量矩阵、刚度矩阵和 运动微分方程
m2
二自由度系统振动 /质量矩阵和刚度矩阵的正定性质
1 k1 k2 c2 x 2 k2 c2 c3 x
k2 x1 F1 (t ) k2 k3 x2 F2 (t )
可统一表示为： MX
质 量 矩 阵 加 速 度 向 量
KX F (t ) CX
二自由度系统振动 / 运动微分方程
k1
c1
F1(t)
m1
k2
c2
F2(t)
m2
k3
c3
x1 c1 c2 m1 0 0 m 2 x2 c2
1 k1 k2 c2 x 2 k2 c2 c3 x
3.3不同坐标系下的运 动微分方程
内容回顾
自由度与广义坐标
m11 [M ] m21
m12 m1 m22 0
0 m2
二自由度系统振动 / 能量法
2. 刚度矩阵的形成
系统的势能可写为
1 1 1 2 2 U k1 x1 k2 ( x2 x1 ) k3 x2 2 2 2 2 k2 x1 k1 k2 1 {x1 , x2 } k2 k3 x2 2 k2 1 T x Kx 2
k11 [K ] k 21
k12 k1 k 2 k 22 k 2
k2 k 2 k3
二自由度系统振动 / 能量法
3. 阻尼矩阵的形成
线性阻尼（黏滞阻尼）的耗能函数可写为
1 1 1 2 2 1 c2 ( x 2 x 1 ) c3 x 2 2 ET c1 x 2 2 2 1 c2 x c1 c2 1 1 , x 2 } {x 2 c1 c2 x 2 c2 1 T Cx x 2
m11 M m21 m12 m22
m11 M 0 0 m22
k12 k22
存在惯性耦合
不存在惯性耦合
二自由度系统振动 /质量矩阵和刚度矩阵的正定性质
m11 耦合 M m21
m12 m22
m11 非耦合 M 0
不出现惯性耦合时，一个坐标上 产生的加速度只在该坐标上引起 惯性力.
出现惯性耦合时，一个坐标上 产生的加速度还会在别的坐标 上引起惯性力.
同理，不出现弹性耦合时，一个坐标上产生的位移只 在该坐标上引起弹性恢复力；而出现弹性耦合时，一个坐 标上产生的位移还会在别的坐标上引起弹性恢复力. 耦合的表现形式取决于坐标的选择
1 T X KX 2
二自由度系统振动 /质量矩阵和刚度矩阵的正定性质
• 质量矩阵和刚度矩阵的正定性质
n 阶方阵 A 正定 是指对于任意的 n 维列向量 y，总有 yT Ay 0 成立
并且等号仅在
y0
时才成立
如果 y 0 时，等号也成立，那么称矩阵 A 是半正定的。 动能：T
1 T X MX 2
0 m22
如果系统仅在第一个坐标上产生加速度
m11 0 1 m11 0 x 1 x 0 m22 0 m11 m 21
1 0, 2 0 x x
1 1 m11 m12 x x 1 m22 0 m21 x
• 质量矩阵和刚度矩阵的正定性质
n 阶方阵 A 正定 是指对于任意的 n 维列向量 y，总有 yT Ay 0 成立。
并且等号仅在
y0
时才成立。
如果 y 0 时，等号也成立，那么称矩阵 A 是半正定的。 根据分析力学的结论，对于定常约束系统：
1 T 动能： T X MX 2
势能： V
对于仅具有稳定平衡位置的系统，势能在平衡位置上取极小值。
当各个位移 xi (i 1 ~ n) 不全为零时， V > 0 对于具有随遇平衡位置的系统，存在刚体位移。 对于不全为零的位移 xi (i 1 ~ n) 存在 V ＝ 0
K 正定
K 半正定
二自由度系统振动 /质量矩阵和刚度矩阵的正定性质
[C] 即为所求的阻尼矩阵，也是对称矩阵。
二自由度系统振动 / 能量法
2 D 2 D cij c ji i x j x j x i x
2 D 2 D c11 2 c1 c2 1x 1 x 1 x 2 D 2 D c12 c21 1x 2 x 2x 1 x 2 D 2 D c22 2 c2 c3 2x 2 x 2 x
k2 x1 F1 (t ) k2 k3 x2 F2 (t )
如同在单自由度系统中所定义的，在多自由度系统中 也将质量、刚度、位移、加速度及力都理解为广义的。
二自由度系统振动 / 运动微分方程
x1 c1 c2 m1 0 0 m 2 x2 c2
[K] 即为所求的刚度矩阵，也是对称矩阵。
二自由度系统振动 / 能量法
2U 2U kij k ji xi x j x j xi
2U 2U k11 2 k1 k2 x1x1 x1 2U 2U k12 k21 k2 x1x2 x2x1 2U 2U k22 2 k2 k3 x2x2 x2
F1(t)
m1
k2(x1-x2)
k2(x2-x1)
2 x 1 ) c2 ( x
F2(t)
m2
k3x2
1 c1 x
建立方程：
1 m1 x
1 x 2 ) c1 ( x
2 m2 x
2 c3 x
1 k2 ( x1 x2 ) c2 ( x 1 x 2 ) x1 F1 (t ) k1 x1 c1 x m1 2 x 1 ) k3 x2 c3 x 2 x1 F2 (t ) k2 ( x2 x1 ) c2 ( x m2
第三章
二自由度系统
1
3.1 引言
二自由度系统振动
例子：轿车行驶在路面上会产生上下振动。
m
k 要求：对轿车的上下振动进行动力学建模。 分析：人与车、车与车轮、车轮与地面之间的运动存在耦合。 建模方法1： 将车、人等全部作为一个质量考虑，并考虑弹性和阻尼。 优点：模型简单； 缺点：模型粗糙，没有考虑人与车、车与车轮之间 的相互影响。 c
[M]即为所求的质量矩阵，显然为对称矩阵。
二自由度系统振动 / 能量法
2 ET 2 ET mij m ji i x j x j x i x
2 ET 2 ET m11 m1 2 1x 1 1 x x 2 ET 2 ET m12 m21 0 1x 2 x 2x 1 x 2 ET 2 ET m22 m2 2 2x 2 2 x x
F1(t)
m1
k1 c1
k2 c2
F2(t)
m2
k3
c3
试建立系统的运动微分方程。
二自由度系统振动 / 运动微分方程
解：
k1 c1
F1(t)
m1
x1 k2 c2 F2(t)
m2
x2 k3 c3
建立坐标：
x1 , x2 的原点分别取在 m1 , m2 的静平衡位置。
设某一瞬时： m1、m2上分别有位移
二自由度系统振动
m人
k1 c1
m车
k2 建模方法2：
车、人的质量分别考虑，并考虑各 自的弹性和阻尼。 c2
优点：模型较为精确，考虑了人与车之间的耦合；
缺点：没有考虑车与车轮之间的相互影响。
二自由度系统振动
m人
k1 c1
m车
建模方法3： k2
c2
k2
c2
车、人、车轮的质量分别考 虑，并考虑各自的弹性和阻尼。
矩阵形式：
1 k1 k2 k2 x1 F1 (t ) x1 c1 c2 c2 x m1 0 0 m c c c k k k x x x F ( t ) 2 2 3 2 2 2 3 2 2 2 2
刚 度 矩 阵 位 移 向 量 刚 度 矩 阵 位 移 向 量 激 励 力 向 量
作用力方程
若系统有 n 个自由度，则各项皆为 n 维矩阵或列向量
二自由度系统振动 / 运动微分方程
式中：
m11 [M ] m21
m12 m1 m22 0
0 m2
k2 k11 k12 k1 k 2 [K ] k k k k k 22 21 2 2 3 c11 c12 c1 c2 c2 [C] c c c c c 21 22 2 2 3
F1 (t ) {F (t )} F2 (t )
x1 {x} x2
二自由度系统振动 / 能量法
• 用能量法确定振动系统的[M]、[K]、[C]
1. 质量矩阵的形成, 系统的动能可以表示为
1 1 2 2 ET m1 x1 m1 x2 2 2 1 m1 0 x 1 1 , x 2 } {x 2 2 0 m2 x 1 T Mx x 2