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【压轴题】九年级数学下期末试题(及答案)

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(完整)中考数学压轴题精选及答案

(完整)中考数学压轴题精选及答案

一、解答题1．在平面直角坐标系中，抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点(1,0)A -和点B ，与y 轴交于点C ，顶点D 的坐标为(1,4)-．(1)直接写出抛物线的解析式；(2)如图1，若点P 在抛物线上且满足，求点P 的坐标； (3)如图2，M 是直线BC 上一个动点，过点M 作MN x ⊥轴交抛物线于点N ，Q 是直线AC 上一个动点，当为等腰直角三角形时，直接写出此时点M 及其对应点Q 的坐标2．在平面直角坐标系中，二次函数22y ax bx =++的图象与x 轴交于()()3,0,1,0A B -两点，与y 轴交于点C ．（1）求二次函数的解析式；（2）点P 是直线AC 上方的抛物线上一动点，当ACP △面积最大时，求出点P 的坐标；（3）点M 为抛物线上一动点，在x 轴上是否存在点Q ，使以A C M Q 、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点Q 的坐标；若不存在，说明理由．3．在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 的半径为1．对于点A 和线段BC ，给出如下定义：若将线段BC 绕点A 旋转可以得到⊙O 的弦B ′C ′（B ′，C ′分别是B ，C 的对应点），则称线段BC 是⊙O 的以点A 为中心的“关联线段”．（1）如图，点A ，B 1，C 1，B 2，C 2，B 3，C 3的横、纵坐标都是整数．在线段B 1C 1，B 2C 2，B 3C 3中，⊙O 的以点A 为中心的“关联线段”是 ；（2）△ABC 是边长为1的等边三角形，点A （0，t ），其中t ≠0．若BC 是⊙O 的以点A 为中心的“关联线段”，求t 的值；（3）在△ABC 中，AB ＝1，AC ＝2．若BC 是⊙O 的以点A 为中心的“关联线段”，直接写出OA 的最小值和最大值，以及相应的BC 长．4．综合与探究如图，在平面直角坐标系中，点()0,10A ，点B 是x 轴的正半轴上的一个动点，连接AB ，取AB 的中点M ，将线段MB 绕着点B 按顺时针方向旋转90°，得到线段BC ．过点B 作x 轴的垂线交直线AC 于点D ．设点B 坐标是(),0t（1）当6t =时，点M 的坐标是 ；（2）用含t 的代数式表示点C 的坐标；（3）是否存在点B ，使四边形AOBD 为矩形？若存在，请求出点B 的坐标；若不存在，请说明理由；（4）在点B 的运动过程中，平面内是否存在一点N ，使得以A 、B 、N 、D 为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N 的纵坐标（不必要写横坐标）；若不存在，请说明理由．5．如图（1），在菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，点E 在边CD 上（不与点C ，D 重合），连结AE ，交BD 于点F ．（1）如图（2），若点M 在BC 边上，且DE ＝CM ，连结AM ，EM ．求证：三角形AEM 为等边三角形；（2）设DF x BF=，求tan ∠AFB 的值（用x 的代数式表示）； （3）如图（3），若点G 在线段BF 上，且FG ＝2BG ，连结AG 、CG ，DF x BF =，四边形AGCE 的面积为S 1，ABG 的面积为S 2，求12S S 的最大值．6．如图，在平面直角坐标系中，ABC 的边AB 在x 轴上，且OB OA >，以AB 为直径的圆过点C ．若点C 的坐标为()0,4，10AB =，（1）求抛物线的解析式；（2）点P 为该函数在第一象限内的图象上一点（不与BC 重合)，过点P 作PQ BC ⊥，垂足为点Q ，连接PC ．若以点P 、C 、Q 为顶点的三角形与COA 相似，求点P 的坐标；（3）若ACB ∠平分线所在的直线l 交x 轴与点E ，过点E 任作一直线l '分别交射线CA ，CB （点C 除外）于点M ，N ．则11CM CN+的是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．7．如图1，⊙I 与直线a 相离，过圆心I 作直线a 的垂线，垂足为H ，且交⊙I 于P 、Q 两点（Q 在P 、H 之间）．我们把点Q 称为⊙I 关于直线a 的“近点”，点P 称为⊙I 关于直线a 的“远点”把PQ ·QH 的值称为⊙I 关于直线a 的“特征数”．（1）如图2，在平面直角坐标系xOy 中，点E 的坐标为（0，3）．半径为1的⊙O 与两坐标轴交于点A 、B 、C 、D ．①过点E 画垂直于y 轴的直线m ，则⊙O 关于直线m 的“近点”“远点”分别是点_____和_____（填“A ”、“B ”、“C ”或“D ”），⊙O 关于直线m 的“特征数”为_____；②若直线n 的函数表达式为33y x =-+．求⊙O 关于直线n 的“特征数”；（2）在平面直角坐标系xOy 中，直线l 经过点M （1，2），点F 是坐标平面内一点，以F 5为半径作⊙F ．若⊙F 与直线l 相离，点N （1-，0）是⊙F 关于直线l 的“近点”．且⊙F 关于直线l 的“特征数”是6，求直线l 的函数表达式．8．如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A，B两点，其中A（3，0），B（－1，0），与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，直线y＝kx＋b1经过点A、C，连接CD．（1）分别求抛物线和直线AC的解析式；（2）在直线AC下方的抛物线上，是否存在一点P，使得△ACP的面积是△ACD面积的2倍，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点Q，使线段AQ绕Q点顺时针旋转90°得到线段QA1，且点A1恰好落在该抛物线上？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．9．已知：如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线y＝﹣x+b（b＞0）交x轴于点A，交y轴于点C，以OA，OC为边作矩形ABCO，矩形ABCO的面积是36．（1）求直线AC的解析式．（2）点P为线段AB上一点，点Q为第一象限内一点，连接PO，PQ，∠OPQ＝90°，且OP＝PQ，设AP的长为t，点Q的横坐标为d，求d与t的函数关系式．（不要求写出自变量t的取值范围）（3）在（2）的条件下，过点Q作QE∥PO交AB的延长线于点E，作∠POC的平分线OF 交PE于点F，交PQ于点K，若KQ＝2EF，求点Q的坐标．10．如图，平面直角坐标系中，点O为原点，抛物线交x轴于()2,05,0B两点，交y轴于点C．A-、()（1）求抛物线解析式；（2）点P在第一象限内的抛物线上，过点P作x轴的垂线，垂足为点H，连AP交y轴于点E，设P点横坐标为t，线段EC长为d，求d与t的函数解析式；（3）在（2）条件下，点M在CE上，点Q在第三象限内抛物线上，连接PC、PQ、PM，PQ与y轴交于W，若，，，求点Q的坐标．11．已知：如图1，点A（a，b），AB x⊥轴于点B2++-+=．a b a b24(8)0（1）试判断△AOB的形状，并说明理由；（2）如图2，若点C为线段AB的中点，连OC并作OD OC⊥，且OD OC=，连AD交x轴于点E，试求点E的坐标；（3）如图3，若点M为点B的左边x轴负半轴上一动点，以AM为一边作45∠=︒交MANy轴负半轴于点N，连MN，在点M运动过程中，试猜想式子OM MN ON+-的值是否发生变化？若不变，求这个不变的值；若发生变化，试求它变化的范围．12．直角三角板ABC的斜边AB的两个端点在⊙O上，已知∠BAC=30°，直角边AC与⊙O 相交于点D，且点D是劣弧AB的中点．(1)如图1，判断直角边BC所在直线与⊙O的位置关系，并说明理由；(2)如图2，点P是斜边AB上的一个动点（与A、B不重合），DP的延长线交⊙O于点Q，连接QA、QB．①AD=6，PD=4，则AB= ；PQ= ；②当点P在斜边AB上运动时，求证：QA+QB=3QD．13．如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，直径DF交BC于点G．(1)如图1，求证：∠BAD－∠BCF＝90°；(2)如图2，连接AC，当∠BAC＝∠CFD＋∠ACD时，求证：CA＝CB；(3)如图3，在（2）的条件下，AC交DF于点H，∠BAC＝∠DGB，45CGBG，AC＝9，求△CDH的面积．14．同学们学过正方形与等腰三角形发现它们都是轴对称图形，它们之间有很多相似，在正边形ABCD中，E是对角线AC上一点（不与点A、C重合），以AD、AE为邻边作平行四边形AEGD，GE交CD于点M，连接CG．(1)如图1，当12AE AC<时，过点E作EF BE⊥交CD于点F，连接GF并延长交AC于点H．求证：EB EF=；(2)在ABC中，AB AC=，90BAC∠=︒．过点A作直线AP，点C关于直线AP的对称点为点D，连接BD，CD直线BD交直线AP于点E．如图2，①依题意补全图形；②请用等式表示线段EB，ED，BC之间的数量关系，并予以证明．15．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A和点B（1，0），与y轴交于点C（0，﹣3）．(1)求抛物线的函数表达式．(2)若点P为第三象限内抛物线上一动点，作PD⊥x轴于点D，交AC于点E，过点E作AC 的垂线与抛物线的对称轴和y轴分别交于点F、G，设点P的横坐标为m．①求PE2的最大值；②连接DF、DG，若∠FDG＝45°，求m的值．16．【问题提出】如图①，在△ABC中，若AB＝8，AC＝4，求BC边上的中线AD的取值范围．【问题解决】解决此问题可以用如下方法：延长AD 到点E ，使DE ＝AD ，再连结BE （或将△ACD 绕着点D 逆时针旋转180°得到△EBD ），把AB 、AC ，2AD 集中在△ABE 中，利用三角形三边的关系即可判断．由此得出中线AD 的取值范围是__________【应用】如图②，如图，在△ABC 中，D 为边BC 的中点、已知AB ＝10，AC ＝6，AD ＝4，求BC 的长．【拓展】如图③，在△ABC 中，∠A ＝90°，点D 是边BC 的中点，点E 在边AB 上，过点D 作D F⊥DE 交边AC 于点F ，连结EF ．已知BE ＝5，CF ＝6，则EF 的长为__________.17．已知二次函数()20y x bx c a =++≠的图象与x 轴的交于A 、B （1，0）两点，与y 轴交于点()03C -，．(1)求二次函数的表达式及A 点坐标；(2)D 是二次函数图象上位于第三象限内的点，若点D 的横坐标为m ，ACD △的面积为S ，求S 与m 之间的函数关系式，并写出ACD △的面积取得最大值时点D 的坐标；(3)M 是二次函数图象对称轴上的点，在二次函数图象上是否存在点N ．使以M 、N 、B 、O 为顶点的四边形是平行四边形？若有，请写出点N 的坐标（不写求解过程）．18．如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数图像222(1)2y x a x a a =-+++的顶点为P ，点B 39(2,)16- 是一次函数5119216y x =+上一点．(1)当a ＝0时，求顶点P 坐标；(2)若a ＞0，且一次函数2y x b =-+的图象与此抛物线没有交点，请你写出一个符合条件的一次函数关系式（只需写一个，不必写出过程）；(3)作直线OC ：12y x =与一次函数5119216y x =+交于点C ．连结OB ，当抛物线与△OBC 的边有两个交点时，求a 的取值范围．19．已知O 为ABC ∆的外接圆，AC BC =，点D 是劣弧AB 上一点（不与点A ，B 重合），连接DA ，DB ，DC ．(1)如图1，若AB 是直径，将ACD ∆绕点C 逆时针旋转得到BCE ∆．若4CD =，求四边形ADBC 的面积；(2)如图2，若AB AC =，半径为2，设线段DC 的长为x ．四边形ADBC 的面积为S ． ①求S 与x 的函数关系式；②若点M ，N 分别在线段CA ，CB 上运动（不含端点），经过探究发现，点D 运动到每一个确定的位置．DMN ∆的周长有最小值t ，随着点D 的运动，t 的值会发生变化．求所有t 值中的最大值，并求此时四边形ADBC 的面积S ．20．如图，在ABCD 中，90ABD ∠=︒，5cm AD =，8cm BD =．点P 从点A 出发，沿折线AB BC -向终点C 运动，点P 在AB 边、BC 边上的运动速度分别为1cm/s 、5cm /s ．在点P 的运动过程中，过点P 作AB 所在直线的垂线，交边AD 或边CD 于点Q ，以PQ 为一边作矩形PQMN ，且2QM PQ =，MN 与BD 在PQ 的同侧．设点P 的运动时间为t （秒），矩形PQMN 与ABCD 重叠部分的面积为()2cm S ．（1）求边AB 的长．（2）当04t <<时，PQ = ，当48t <<时，PQ = ．（用含t 的代数式表示）（3）当点M 落在BD 上时，求t 的值．（4）当矩形PQMN 与ABCD 重叠部分图形为四边形时，求S 与t 的函数关系式．【参考答案】参考答案**科目模拟测试一、解答题1．(1)223y x x =--；(2)，； (3)，；，；，；，； ，；，． 【解析】【分析】（1）根据顶点的坐标，设抛物线的解析式为y ＝a （x ﹣1）2﹣4，将点A （﹣1，0）代入，求出a 即可得出答案；（2）利用待定系数法求出直线BD 解析式为y ＝2x ﹣6，过点C 作CP 1∥BD ，交抛物线于点P 1，再运用待定系数法求出直线CP 1的解析式为y ＝2x ﹣3，联立方程组即可求出P 1（4，5），过点B 作y 轴平行线，过点C 作x 轴平行线交于点G ，证明△OCE ≌△GCF（ASA），运用待定系数法求出直线CF解析式为y＝12x﹣3，即可求出P2（52，﹣74）；（3）利用待定系数法求出直线AC解析式为y＝﹣3x﹣3，直线BC解析式为y＝x﹣3，再分以下三种情况：①当△QMN是以NQ为斜边的等腰直角三角形时，②当△QMN是以MQ为斜边的等腰直角三角形时，③当△QMN是以MN为斜边的等腰直角三角形时，分别画出图形结合图形进行计算即可．(1)解：∵顶点D的坐标为（1，﹣4），∴设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2﹣4，将点A（﹣1，0）代入，得0＝a（﹣1﹣1）2﹣4，解得：a＝1，∴y＝（x﹣1）2﹣4＝x2﹣2x﹣3，∴该抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；(2)解：∵抛物线对称轴为直线x＝1，A（﹣1，0），∴B（3，0），设直线BD解析式为y＝kx+e，∵B（3，0），D（1，﹣4），∴，解得：，∴直线BD解析式为y＝2x﹣6，过点C作CP1∥BD，交抛物线于点P1，设直线CP1的解析式为y＝2x+d，将C（0，﹣3）代入，得﹣3＝2×0+d，解得：d＝﹣3，∴直线CP1的解析式为y＝2x﹣3，结合抛物线y＝x2﹣2x﹣3，可得x2﹣2x﹣3＝2x﹣3，解得：x1＝0（舍），x2＝4，故P1（4，5），过点B作y轴平行线，过点C作x轴平行线交于点G，∵OB＝OC，∠BOC＝∠OBG＝∠OCG＝90°，∴四边形OBGC是正方形，设CP1与x轴交于点E，则2x﹣3＝0，解得：x＝32，∴E（32，0），在x轴下方作∠BCF＝∠BCE交BG于点F，∵四边形OBGC是正方形，∴OC＝CG＝BG＝3，∠COE＝∠G＝90°，∠OCB＝∠GCB＝45°，∴∠OCB﹣∠BCE＝∠GCB﹣∠BCF，即∠OCE＝∠GCF，∴△OCE≌△GCF（ASA），∴FG＝OE＝32，∴BF＝BG﹣FG＝3﹣32＝32，∴F（3，﹣32），设直线CF解析式为y＝k1x+e1，∵C（0，﹣3），F（3，﹣32），∴，解得：，∴直线CF解析式为y＝12x﹣3，结合抛物线y＝x2﹣2x﹣3，可得x2﹣2x﹣3＝12x﹣3，解得：x1＝0（舍），x2＝52，∴P2（52，﹣74），综上所述，符合条件的P点坐标为：（4，5）或（52，﹣74）；(3)解：（3）设直线AC解析式为y＝m1x+n1，直线BC解析式为y＝m2x+n2，∵A（﹣1，0），C（0，﹣3），∴，解得：，∴直线AC解析式为y＝﹣3x﹣3，∵B（3，0），C（0，﹣3），∴，解得：，∴直线BC解析式为y＝x﹣3，设M（t，t﹣3），则N（t，t2﹣2t﹣3），∴MN＝|t2﹣2t﹣3﹣（t﹣3）|＝|t2﹣3t|，①当△QMN是以NQ为斜边的等腰直角三角形时，此时∠NMQ＝90°，MN＝MQ，如图2，∵MQ∥x轴，∴Q（﹣13t，t﹣3），∴|t2﹣3t|＝|t﹣（﹣13t）|，∴t2﹣3t＝±43t，解得：t＝0（舍）或t＝53或t＝133，∴，；，；②当△QMN是以MQ为斜边的等腰直角三角形时，此时∠MNQ＝90°，MN＝NQ，如图3，∵NQ∥x轴，∴Q（，t2﹣2t﹣3），∴NQ＝|t﹣|＝13|t2+t|，∴|t2﹣3t|＝13|t2+t|，解得：t＝0（舍）或t＝5或t＝2，∴M3（5，2），Q3（﹣5，12）；M4（2，﹣1），Q4（0，﹣3）；③当△QMN是以MN为斜边的等腰直角三角形时，此时∠MQN＝90°，MQ＝NQ，如图4，过点Q作QH⊥MN于H，则MH＝HN，∴H（t，），∴Q（，），∴QH＝|t﹣|＝16|t2+5t|，∵MQ＝NQ，∴MN＝2QH，∴|t2﹣3t|＝2×16|t2+5t|，解得：t＝7或1，∴M5（7，4），Q5（﹣7，18）；M6（1，﹣2），Q6（0，﹣3）；综上所述，点M及其对应点Q的坐标为：，；，；M3（5，2），Q3（﹣5，12）；M4（2，﹣1），Q4（0，﹣3）；M5（7，4），Q5（﹣7，18）；M6（1，﹣2），Q6（0，﹣3）．【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求一次函数和二次函数解析式，求一次函数与二次函数图象交点坐标，全等三角形判定和性质，正方形判定和性质，等腰直角三角形性质等，本题属于中考压轴题，综合性强，难度较大，熟练掌握待定系数法、等腰直角三角形性质等相关知识，运用数形结合思想、分类讨论思想是解题关键．2．（1）224233y x x =--+；（2）35(,)22P -（3）存在，12(1,0),(5,0)Q Q --，34(27,0),(27,0)Q Q ．【解析】【分析】（1）根据待定系数法求抛物线解析式；（2）设224(,)33P t t --根据（1）的结论求得C 的坐标，进而求得AC 的解析式，过P 作PD ⊥x 轴交AC 于点D ，进而求得PD 的长，根据12APC C A S PD x x =⋅⋅-△求得APC S 的表达式，进而根据二次函数的性质求得取得最大值时，t 的值，进而求得P 点的坐标；（3）分情况讨论，①//CM AQ ，②//AC MQ ，根据抛物线的性质以及平行四边形的性质先求得M 的坐标进而求得Q 点的坐标．【详解】（1）二次函数22y ax bx =++的图象与x 轴交于()()3,0,1,0A B -两点，则093202a b a b =-+⎧⎨=++⎩解得2343a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∴抛物线解析式为224233y x x =--+ （2）抛物线224233y x x =--+与y 轴交于点C ，令0x =，则2y = (0,2)C ∴设直线AC 的解析式为y kx b =+，由(3,0)A -，(0,2)C ，则302k b b -+=⎧⎨=⎩解得232k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩ ∴直线AC 的解析式为223y x =+， 如图，过P 作PD ⊥x 轴交AC 于点D ，设224(,)33P t t --，则2(,2)3D t t +， 2224222223333PD t t t t t ⎛⎫∴=--+-+=-- ⎪⎝⎭∴12APC C A S PD x x =⋅⋅-△212(2)323t t =⨯--⨯2239324t t t ⎛⎫=--=-++ ⎪⎝⎭ ∴当32t =-时，APC S 取得最大值，此时222423435223332322t t ⎛⎫⎛⎫--+=-⨯--⨯-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ∴35(,)22P - （3）存在，理由如下抛物线解析式为224233y x x =--+()228133x =-++ ∴抛物线的对称轴为直线1x =①如图，当//CM AQ 时，Q 点在x 轴上，//CM x 轴∴,M C 关于抛物线的对称轴直线1x =对称，(0,2)C(2,2)M ∴-2CM ∴=122AQ AQ ∴==(3,0)A -12(1,0),(5,0)Q Q ∴--②当//AC MQ 时，如图，设M 的纵坐标为n ，四边形ACQM 是平行四边形，点A ,Q 在x 轴上，则,AQ MC 的交点也在x 轴上， 202n +∴= 解得2n =-设(,2)M m -，2242233x x ∴-=--+ 解得17x =-(17,2)M ∴--A 点到C 点是横坐标加3，纵坐标加2∴M 点到Q 点也是横坐标加3，纵坐标加2 即(173,0)Q -±34(27,0),(27,0)Q Q ∴综上所述，存在点Q ，使得以A C M Q 、、、为顶点的四边形是平行四边形，Q 点的坐标为12(1,0),(5,0)Q Q --，34(27,0),(27,0)Q Q ．【点睛】本题考查了二次函数综合，待定系数法，二次函数最值，二次函数的图象与性质，平行四边形的性质，综合运用以上知识是解题的关键．3．（1）B 2C 2；（233-3）OA 最小值为1，相应的3BC =OA 最大值为2，相应的6BC =【解析】【分析】（1）结合题意，根据旋转和圆的性质分析，即可得到答案；（2）根据题意，分B C ''在x 轴上方和x 轴上方两种情况；根据等边三角形、勾股定理、全等三角形的性质，得32AD OD ==，从而完成求解； （3）结合题意，得当AC '为⊙O 的直径时，OA 取最小值；当A 、B '、O 三点共线时，OA 取最大值；根据勾股定理、等腰三角形的性质计算，即可得到答案．【详解】（1）线段B 1C 1绕点A 旋转得到的11B C ''，均不能成为⊙O 的弦∴线段B 1C 1不是⊙O 的以点A 为中心的“关联线段”；线段B 2C 2绕点A 旋转得到的22B C ''，如下图：∴线段B 2C 2是⊙O 的以点A 为中心的“关联线段”；线段B 3C 3绕点A 旋转得到的33B C ''，均不能成为⊙O 的弦∴线段B 3C 3不是⊙O 的以点A 为中心的“关联线段”；故答案为：B 2C 2；（2）∵△ABC 是边长为1的等边三角形，点A （0，t ），⊙O 的半径为1 ∴//B C x ''轴分B C ''在x 轴上方和x 轴上方两种情况：当B C ''在x 轴上方时，B C ''与y 轴相交于点D ，见下图：∵1OB OC ''==∴1122B D B C '''== ∴2232OD OB B D ''=-=∵△ABC 是边长为1的等边三角形，即△AB C ''是边长为1的等边三角形， ∴AC D OC D ''∠=∠，AD B C ''⊥ ∴AC D OC D ''△≌△∴32AD OD == ∴3AO AD OD =+=∴3t =；当B C ''在x 轴上方时，B C ''与y 轴相交于点D ，见下图：同理，3AO AD OD =+=∴()0,3A -；∴t 3=-；∴3t =或3-；（3）当AC '为⊙O 的直径时，OA 取最小值，如下图：∴OA 最小值为1，90AB C ''∠=︒ ∴223BC B C AC AB ''''==-=；当A 、B '、O 三点共线时，OA 取最大值，2OA AC '== ，如下图：作AE OC '⊥交OC '于点E ，作C F AO '⊥交AO 于点F ，如下图∵2OA AC '==∴1122OE OC '==∴2215AE AO OE - ∵11222AE OC OB C F '''⨯=⨯⨯ ∴1152C F AE '==∴2214OF OC C F ''=-=∴34B F OB OF ''=-=∴262BC B C C F B F ''''==+=∴OA 最小值为1，相应的3BC =；OA 最大值为2，相应的62BC =． 【点睛】本题考查了旋转、圆、等边三角形、勾股定理、全等三角形、等腰三角形的知识；解题的关键是熟练掌握旋转、圆周角、等腰三角形三线合一、勾股定理的性质，从而完成求解．4．（1）(3,5)M ，（2）1(5,)2C t t +；（3）(20,0)B ；（4）154或10． 【解析】 【分析】（1）利用中点坐标公式计算即可．（2）如图1中，作ME OB ⊥于E ，CF x ⊥轴于F ．证明()MEB BFC AAS ∆≅∆，利用全等三角形的性质即可解决问题．（3）如图2中，存在．由题意当CF OA =时，可证四边形AOBD 是矩形，构建方程即可解决问题．（4）分三种情形：①如图3中，当AD BD =时，以AB 为对角线可得菱形ADBN ，此时点N 在y 轴上．②如图4中，当AD AB =时，以BD 为对角线可得菱形ABND ．此时点N 的纵坐标为6．③因为BD AB ≠，所以不存在以AD 为对角线的菱形． 【详解】解：（1）如图1中，(0,10)A ，(6,0)B ，AM BM =， (3,5)M ∴，（2）如图1中，作ME OB ⊥于E ，CF x ⊥轴于F ．//ME OA ，AM BM =， 12OE EB t ∴==，152ME OA ==，90MEB CFB CBM ∠=∠=∠=︒，90MBE CBF ∴∠+∠=︒，90MBE BME ∠+∠=︒， BME CBF ∴∠=∠，()MEB BFC AAS ∴∆≅∆，5BF ME ∴==，12CF BE t ==，5OF OB BF t ∴=+=+， 1(5,)2C t t ∴+．（3）存在．如图2中，作ME OB ⊥于E ，CF x ⊥轴于F ．理由：由题意当=10CF OA =时，//OA CF ， ∴四边形AOFC 是平行四边形，90AOF ∠=︒，∴四边形AOFC 是矩形，90DAO AOB DBO ∴∠=∠=∠=︒，∴四边形AOBD 是矩形，又∵由（2）得12CF BE t ==， 即：1102t =，解得：20t =．(20,0)B ∴．（4）①如图3中，当AD BD =时，以AB 为对角线可得菱形ADBN ，此时点N 在y 轴上．AD BD =， BAD ABD ∴∠=∠，OAB ABD ∴∠=∠，OAB BAD ∴∠=∠． tan tan OAB BAD ∴∠=∠， ∴12OB BC OA BA ==，即1102t =，5t ∴=，5OB ∴=，设AN NB m ==，在Rt OBN △中，则有2225(10)m m =+-， 解得254m =， 25151044ON OA AN ∴=-=-=， ∴点N 的纵坐标为154． ②如图4中，当AD AB =时，以BD 为对角线可得菱形ABND ．此时点N 的纵坐标为10．③BD AB ≠，∴不存在以AD 为对角线的菱形． 综上所述，满足条件的点N 的纵坐标为154或10． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了矩形的判定和性质，菱形的判定和性质，翻折变换，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．5．（1）证明见解析；（23333xx；（3）194【解析】 【分析】（1）如图，连接,AC 证明,ACB ACD 都为等边三角形，可得,AC AD = 再证明,ACM ADE ≌从而可得答案；（2）如图，记,AC BD 交于点,O 设,,DFa OFb 四边形ABCD 为菱形，60,ABC ∠=︒表示33,33OA OB a b 利用,2DF ax BF a b则2,1a xb x再利用三角函数的定义可得答案；（3）如图，设,DFESn 证明,DFE BFA ∽ 2,BFAnSx 再表示2222,,33ABGAGFn nSS S x x 结合菱形的轴对称的性质可得：2=,3CBG nS x 表示,AFDn S x可得2=,BCD ABDn n S Sxx 可得2212243334,3nn n S x x x x n S x 再利用二次函数的性质可得答案.【详解】证明：（1）如图，连接,AC 菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，,60,120,60,AB BC CDAD ABC ADC BAD BCD BAC CAD ACB,ACB ACD 都为等边三角形，,AC AD ∴=,60,DE CM ACM ADE,ACM ADE ≌ ,,AMAE MAC EAD 60,MACCAECAEEADAME ∴是等边三角形（2）如图，记,AC BD 交于点,O设,,DF a OF b 四边形ABCD 为菱形，60,ABC ∠=︒,,30,ACBD OB OD a b ABO33,33OAOB a b ,2DF a x BFa b1221,a b bx a a 11,22b ax 则2,1ax bx333tan 13a b OAa AFBOFbb32331,3133xxxx（3）如图，设,DFESn四边形ABCD 是平行四边形，,DFE BFA ∽22=,BFAn DF x S BF2,BFAn SxFG ＝2BG ， 2222,,33ABGAGFn n SS S xx根据菱形的轴对称的性质可得：2=,3CBG n S x ,AFD ABFS DF x SBF2,AFDn n S x x x 2=,BCDABD n n SSxx1222224=333n n n n n nS nn x x x x x x， 2212243334,3n n n S x x x x n S x 30,a所以12S S 有最大值， 当31232x时，最大值为：1119334.424【点睛】本题考查的是菱形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，列二次函数关系式，二次函数的性质，锐角三角函数的应用，灵活运用以上知识解题是解本题的关键.6．（1）213442y xx =-++；（2）点P 的坐标为：（6，41，2）；（3）11NC MC +=【解析】 【分析】（1）根据题意，先证明AOC ∆∽COB ∆，得到AO OCCO OB=，求出点A 、B 的坐标，然后利用待定系数法，即可求出抛物线解析式；（2）根据题意，可分为两种情况：AOC ∆∽PQC ∆或AOC ∆∽CQP ∆，结合解一元二次方程，相似三角形的判定和性质，分别求出点P 的坐标，即可得到答案；（3）过点E 作EI ⊥AC 于I ，EJ ⊥CN 于J ，然后由角平分线的性质定理，得到EI =EJ ，再证明△MEI ∽△MNC ，△NEJ ∽△NMC ，得到111NC MC EI+=，然后求出EI 一个定值，即可进行判断． 【详解】解：（1）∵以AB 为直径的圆过点C ， ∴∠ACB =90°， ∵点C 的坐标为()0,4， ∴CO ⊥AB ，∴∠AOC =∠COB =90°，∴∠ACO +∠OCB =∠ACO +∠OAC =90°， ∴∠OCB =∠OAC , ∴AOC ∆∽COB ∆，∴AO OCCO OB=， ∵4CO =，10AO BO AB +==， ∴10AO OB =-， ∴1044OB OB-=， 解得：2OB =或8OB =， 经检验，满足题意， ∵OB OA >， ∴8OB =，∴点A 为（2-，0），点B 为（8，0）．设抛物线的解析式为2y ax bx c =++，把点A 、B 、C 三点的坐标代入，有44206480c a b c a b c =⎧⎪-+=⎨⎪++=⎩，解得：14324a b c ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩，∴抛物线的解析式为213442y x x =-++；（2）根据题意，如图：当AOC ∆∽PQC ∆时， ∴ACO PCQ ∠=∠， ∵90ACO OCB ∠+∠=︒， ∴90PCQ OCB ∠+∠=︒， ∴PC ⊥OC ， ∴点P 的纵坐标为4，当4y =时，有2134442x x -++=，解得：16x =或20x =（舍去）； ∴点P 的坐标为（6，4）；当AOC ∆∽CQP ∆时，则此时BC 垂直平分OP ，作PG ⊥y 轴，垂足为G ，如上图， ∴90CQP AOC ∠=∠=︒，∴AC ∥OP ， ∴∠ACO =∠POG ， ∵90PGO AOC ∠=∠=︒， ∴AOC ∆∽PGO ∆， ∴AO OCPG GO=， 设点P 为（x ，213442x x -++）， ∴PG x =，213442GO x x =-++，∴22413442x x x =-++， 解得：171x =±-， ∵点P 在第一象限， ∴171x =-，∴2134217242x x -++=-，∴点P 的坐标为（171-，2172-）；综合上述，点P 的坐标为：（6，4）或（171-，2172-）； （3）过点E 作EI ⊥AC 于I ，EJ ⊥CN 于J ，如图：∵CE 是∠ACB 的角平分线， ∴EI =EJ ，∵EI ∥CN ，EJ ∥CM ，∴△MEI ∽△MNC ，△NEJ ∽△NMC ， ∴EI ME NC MN =，EJ NE MC MN =， ∴1EI EJ ME NENC MC MN MN +=+=， ∴1EI EI NC MC +=， ∴111NC MC EI+=， ∵△ACO ∽△AEI ，∴12AI AO EI CO ==，∵AC = ∵AC AI IC AI EI =+=+，12=，解得：EI =∴111NC MC EI +==∴11NC MC+是一个定值． 【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，求二次函数的解析式，二次函数的性质，相似三角形的判定和性质，解一元二次方程，角平分线的性质定理等知识，解题的关键是熟练掌握题意，正确的作出辅助线，运用数形结合的思想进行解题．7．（1）①B ；D ；4；②1；（2）1522y x =-+或24y x =-+【解析】 【分析】（1）①根据“近点”、“远点”以及“ 特征数”的定义判断即可；②过点O 作OH ⊥直线n 于点H ，交O 于点Q ，P ．先分别求得点E 、F 的坐标，进而可求得EF 的长，再利用等积法求得OH 的长，进而即可解决问题；（2）如图，先求得“近点”N 到直线l 的距离NH AOB AHN △∽△即可求得答案． 【详解】解：（1）①由题意，点B 是O 关于直线m 的“近点”， 点D 是O 关于直线m 的“远点”， ∵点E 的坐标为（0，3）．⊙O 的半径为1， ∴OE ＝3，OB ＝OD ＝1，∴BE ＝OE －OB ＝2，DB ＝OB ＋OD ＝2，O 关于直线m 的特征数224DB BE =⋅=⨯=， 故答案为：B ；D ；4；②如图，过点O 作OH ⊥直线n 于点H ，交O 于点Q ，P ，设直线33y x =-+交x 轴于点F ，交y 轴于点E ， 令y ＝0，则x ＝3；令x ＝0，则y ＝3， ∴(3F ，0)，(0,3)E ，3OE ∴=，3OF =，22223(3)23EF OE OF ∴=+=+=，∵1122EOF S OE OF EF OH =⋅=⋅△， ∴11332322OH ⨯⨯=⨯⋅， 解得：32OH =， 12QH OH OQ ∴=-=， 又∵2PQ OQ OP =+=，O ∴关于直线n 的“特征数” 1212PQ QH =⋅=⨯=；（2）如图，设直线l 交x 轴于点A ，交y 轴于点B ，过点F 作FH ⊥直线l ，垂足为点H ，交⊙F 于N ，G ，∵⊙F 5，∴FN ＝FG 5，∴GN ＝FN ＋FG 5∵⊙F 关于直线l 的“特征数”是6， ∴GN·NH ＝6，NH ＝6， 解得：NH设直线l 的解析式是y kx b =+， ∵直线l 经过点M （1，2），∴将（1，2）代入y kx b =+，得：2k b +=， 2b k ∴=-，(2)y kx k ∴=+-，∴当0x =时，2y k =-，∴点B 坐标为（0，2－k ），|2|OB k ∴=-，当0y =时，(2)0kx k +-=， 解得：2k x k-=， ∴点A 坐标为（2k k-，0）， 2||k OA k -∴=，22|(1)||1|k k AN k k--=--=+，AB ∴2||k k-= BAO NAH ∠=∠，90AOB AHN ∠=∠=︒， AOB AHN ∴△∽△，∴NH ANOB AB=，∴|2|522|1|||k k k k k-=--+， 整理，得：22520k k ++=，解得：12k =-或2k =-，∴直线l 的解析式为1522y x =-+或24y x =-+．【点睛】本题属于圆综合题，考查了一次函数的性质，相似三角形的判定和性质运用以及勾股定理的运用，远点，近点，特征数等新定义等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．8．（1）y ＝－x 2+2x +3，y ＝-x +3；（2）存在，（－1，0）或（4，－5）；（3）存在，（1，2）或（1，－3） 【解析】 【分析】（1）将点A ，B 坐标代入抛物线解析式中，求出b ，c 得出抛物线的解析式，进而求出点C 的坐标，再将点A ，C 坐标代入直线AC 的解析式中，即可得出结论；（2）利用抛物线的对称性得出BD AD =，进而判断出ABC 的面积和ACP △的面积相等，即可得出结论；（3）分点Q 在x 轴上方和在x 轴下方，构造全等三角形即可得出结论． 【详解】（1）把(30)A ，、(10)B -，代入2y x bx c =-++， 解得2b =、3c =∴抛物线的解析式为2y x 2x 3=-++则C 点为（0，3），又(30)A ，，代入1y kx b =+， 得1k =-，13b =， ∴直线AC 的解析式为3y x =-+， （2）如图，连接BC ，∵点D 是抛物线的对称轴与x 轴的交点， ∴AD BD =， ∴2ABCACDSS=，∵2ACP ACD S S =△△，∴ACP ABC S S =△△，此时，点P 与点B 重合， 即：(10)P -，， 过B 点作PB AC ∥交抛物线于点P ，则直线BP 的解析式为1y x =--①， ∵抛物线的解析式为2y x 2x 3=-++②，联立①②解得，10x y =-⎧⎨=⎩或45x y =⎧⎨=-⎩，∴P （4，﹣5），∴即点P 的坐标为（﹣1，0）或（4，﹣5）； （3）由（1）可知，抛物线解析式为()214y x =--+ 把1x =代入直线AC 解析式3y x =-+得AC 与抛物线对称轴的交点(1,2)M ，如下图所示：22222BM AM ==+，4AB =即222BM AM AB +=则MAB △是等腰直角三角形，符合题意，M 点即为所求Q 点的一种情况，当Q 点在x 轴下方时，设Q 为(1,)m ，0m ＜， 因为线段AQ 绕Q 点顺时针旋转90°得到线段1QA 过A1作直线DQ 的垂线于E 点，则1ADQ QEA ≌ ∴2AD QE ==，1DQ EA m ==- ∴12(1)A m m --，∵点A1恰好落在抛物线2y x 2x 3=-++上， 代入，解得m=－3或2m = (舍去) ∴Q （1，－3）综上，Q 点坐标为（1,2）或（1，－3）， 【点睛】本题考查的是二次函数的综合题，涉及解析式的求解，与三角形面积有关的问题，全等三角形的判定与性质，解题的关键是利用数形结合的思想，设点坐标并结合几何图形的性质列式求解．9．（1）直线AC 的解析式为y ＝﹣x +6；（2）d =4-t ；（3）Q （212，1）． 【解析】 【分析】（1）先由解析式求出得A 、C 点的坐标，得OA =OC ，得四边形ABCO 为正方形，再根据正方形的面积求得边长，便可得b 的值；（2）过点Q 作QG ⊥AB 交AB 延长沿于点G ，证明Rt △AOP ≌Rt △GPQ （AAS ），得到AP =GQ ，进而求得结论便可；（3）过点P 作PH ⊥OF 于点H ，延长PH 交EQ 的延长线于点R ，EQ 的延长线与x 轴交于点N ，过Q 作QM ⊥x 轴于点M ．证明Rt △AOP ≌Rt △GPQ （CCS ），得PK =QR ，∠R=∠OKP，再证明∠R=∠FPR，得EP=ER，再证FE=NR，设FE=NR=k，NQ=m，在Rt△PQE中，由勾股定理列出方程，得到k与m的关系，解Rt△PQE得tan∠PEQ，进而把这个函数值运用到△OAP中，求得t的值，再运用（2）中结论得Q的纵坐标d的值，再运用到△QNM中求得NM，NQ的值，进而求得ON，便可得Q的横坐标的值．【详解】解：（1）∵直线y＝﹣x+b（b＞0）交x轴于点A，交y轴于点C，A b C b，∴(,0),(0,)∴OA=OC=b，∴矩形ABCO为正方形，∵矩形ABCO的面积是36．∴b=6，即直线AC的解析式为y＝﹣x+6；（2）如图，过点Q作QG⊥AB交AB延长沿于点G，∵∠OPQ=90°，∴∠APO+∠GPQ=90°，∵∠APO+∠AOP=90°，∴∠AOP=∠GPQ，∵在矩形ABCO，∠OAP=90°，QG⊥AB,∴∠QGP=∠OAP=90°，∵PQ=OP，∴Rt△AOP≌Rt△GPQ（AAS），∴AP=GQ，∵AP=t，∴GQ=t，∴d=4-t；（2）过点P作PH⊥OF于点H，延长PH交EQ的延长线于点R，EQ的延长线与y轴交于点N，过Q作QM⊥y轴于点M．则AP=t，QM=d，且d=6-t．∵OF 平分∠POC ， ∴∠POF =∠COF =∠PFO ， ∴PF =PO ，∵PH ⊥OF ，∠OPQ ＝90°， ∴∠OPH =∠FPH ，∠KPH =∠POH ， 在△OPK 和△PQR 中， 90OPK PQR PO QP POK QPR ∠∠︒⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝＝， ∴△OPK ≌△PQR （ASA ）， ∴PK =QR ，∠R =∠OKP ，∵∠OKP +∠POK =∠POK +∠OPH =90°， ∴∠OKP =∠OPH ， ∴∠R =∠OPH ， ∵PO =PF ，PH ⊥OF ， ∴∠OPH =∠FPH ， ∴∠R =∠FPR ， ∴EP =ER ，∵PE ∥ON ，OP ∥EN ， ∴四边形OPEN 是平行四边形， ∴EN =PO =PF ， ∴PE -PF =ER -EN ， ∴FE =NR ，设FE =NR =k ，则KQ =2FE =2k ， 又设NQ =m ，∴PK=QR=m+k，∴PQ=m+3k，∴PO=EN=PF=m+3k，∴QE=EN-QR=m+3k-m=3k，PE=PF+FE=4k+m，在Rt△PQE中，∵PE2=PQ2+QE2，∴（4k+m）2=（3k+m）2+（3k）2，∴k1=0（舍去），k2=m，∴PQ=4m，QE=3m，∴tan∠PEN=43 PQQE=，∵OP∥EN，∴∠OPA=∠PEN，∴tan∠APO=43，∵AO=6，∴AP=4.5，∴t=4.5，∴QM=d=6-t=1.5，∵PE∥OC，∴∠QNM=∠PEN，∴tan∠QNM=tan∠PEN=43，∴NM=9 tan8QMQNM=∠，∴m=NQ158 =，∴PE=ON=4k+m=5m=758，∴OM=ON+NM=212，∴Q（212，1）．【点睛】本题是一次函数与四边形的综合题，主要考查了一次函数的图象与性质，全等三角形的性质与判定，正方形的性质，旋转的性质，解直角三角形的应用，等腰三角形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，是一道综合性极强的题目，解决这类问题常用到数形结合、方程和转化等数学思想方法．构造全等三角形是解题的关键，也是问题的突破口．10．（1）；（2）；（3）【解析】 【分析】（1）由抛物线的二次项系数 再根据交点式可得抛物线为从而可得答案；（2）先画好图形，证明利用相似三角形的性质求解从而可得答案；（3）如图，过P 作轴于,K 过M 作于,N 证明即再求解则，再解方程可得 4,t = 再求解的解析式，再联立解析式解方程可得答案. 【详解】 解：（1） 抛物线交x 轴于()2,0A -、()5,0B 两点，所以可得抛物线为：（2）如图，过P 作于,H 连AP 交OC 于则，x 则令0,（3）如图，过P作轴于,K过M作于,N 由（2）得：，，轴，则轴，，即结合（1）可得：四边形为矩形，。

初三九年级下册数学压轴题训练及参考答案

初三九年级下册数学压轴题训练及参考答案

初三（下）数学压轴题训练班级姓名座号如图，在平面直角坐标系中，A（0，4），B（3，4），P为线段OA上一动点，过O，P，B三点的圆交x轴正半轴于点C，连结AB，PC，BC，设OP＝m．（1）求证：当P与A重合时，四边形POCB是矩形．（2）连结PB，求tan∠BPC的值．（3）记该圆的圆心为M，连结OM，BM，当四边形POMB中有一组对边平行时，求所有满足条件的m的值．（4）作点O关于PC的对称点O'，在点P的整个运动过程中，当点O'落在△APB的内部（含边界）时，请写出m的取值范围．初三（下）数学压轴题训练参考答案如图，在平面直角坐标系中，A（0，4），B（3，4），P为线段OA上一动点，过O，P，B三点的圆交x轴正半轴于点C，连结AB，PC，BC，设OP＝m．（1）求证：当P与A重合时，四边形POCB是矩形．（2）连结PB，求tan∠BPC的值．（3）记该圆的圆心为M，连结OM，BM，当四边形POMB中有一组对边平行时，求所有满足条件的m的值．（4）作点O关于PC的对称点O'，在点P的整个运动过程中，当点O'落在△APB的内部（含边界）时，请写出m的取值范围．解：（1）∵∠COA＝90°，∴PC是直径，∴∠PBC＝90°∵A（0，4）B（3，4），∴AB⊥y轴，∴当A与P重合时，∠OPB＝90°，∴四边形POCB是矩形（2）连结OB，（如图1）∴∠BPC＝∠BOC，∵AB∥OC∴∠ABO＝∠BOC，∴∠BPC＝∠BOC＝∠ABO，∴tan∠BPC＝tan∠ABO＝（3）∵PC为直径，∴M为PC中点①如图2，当OP∥BM时，延长BM交x轴于点N∵OP∥BM，∴BN⊥OC于N，∴ON＝NC，四边形OABN是矩形，∴NC＝ON＝AB＝3，BN＝OA＝4设⊙M半径为r，则BM＝CM＝PM＝r∴MN＝BN﹣BM＝4﹣r，∵MN2+NC2＝CM2∴（4﹣r）2+32＝r2，解得：r＝，∴MN＝4﹣∵M、N分别为PC、OC中点，∴m＝OP＝2MN＝②如图3，当OM∥PB时，∠BOM＝∠PBO∵∠PBO＝∠PCO，∠PCO＝∠MOC∴∠OBM＝∠BOM＝∠MOC＝∠MCO在△BOM与△COM中，∴△BOM≌△COM（AAS），∴OC＝OB＝＝5∵AP＝4﹣m，∴BP2＝AP2+AB2＝（4﹣m）2+32∵∠ABO＝∠BOC＝∠BPC，∠BAO＝∠PBC＝90°∴△ABO∽△BPC，∴∴PC＝，∴PC2＝BP2＝[（4﹣m）2+32]又PC2＝OP2+OC2＝m2+52，∴[（4﹣m）2+32]＝m2+52，解得：m＝或m＝10（舍去），综上所述，m＝或m＝（4）∵点O与点O'关于直线对称，∴∠PO'C＝∠POC＝90°，即点O'在圆上当O'与O重合时，得m＝0，当O'落在AB上时，则m2＝4+（4﹣m）2，得m＝当O'与点B重合时，得m＝，∴0≤m≤或m＝。

【玩转压轴题】必考3：相似三角形的综合(原卷版)-浙教版2022年初三数学期末压轴题精选汇编

【玩转压轴题】必考3：相似三角形的综合(原卷版)-浙教版2022年初三数学期末压轴题精选汇编

【玩转压轴题】必考3：相似三角形的综合（原卷版）一、单选题1．如图，C 是线段AB 上的任一点，分别以,,AB AC BC 为直径在线段AB 同侧作半圆，则这三个半圆周围成的图形被阿基米德称为“鞋匠刀形”（即图中阴影部分）．当“鞋匠刀形”的面积等于以BC 为直径的半圆的面积时，过C 作CD AB ⊥，交圆周于点D ，连结BD ，则CD 与BC 的比值为（ ）A ．12B C ．13D 2．如图，在△ABC 中，∠CAB ＝45°，以其三边为边向外作正方形，连接GC 并延长交BH 于点L ，过点C 作CK ⊥DE 于点K ．若L 为BH 中点，则GL CK 的值为（ ）A ．1B ．98C D3．如图，矩形ABCD 中，6,8AB BC ==．点E 、F 分别为边BC 、AD 上一点，连接EF ，将矩形ABCD 沿着EF 折叠，使得点A 落到边CD 上的点A '处，且2DA A C '='，则折痕EF 的长度为（ ）A ．B ．CD 4．如图，在ABC 中，AE 和BD 是高，45ABE ∠=︒，点F 是AB 的中点，BD 与FE AE､分别交于点,G H ，CAE ABD ∠=∠．有下列结论：①FD FE =；②2BH CD =；③22BD BH BE ⋅=；④43ABC BCDFS S =△四边形．其中正确的有（ ）A ．①③B ．②④C ．①②③D ．①②④5．如图，E ，F ，G ，H 分别是矩形ABCD 四条边上的点，连结EG ，HF 相交于点O ，//EG AD ，//FH AB ，矩形BFOE ∽矩形OGDH ，连结AC 交EG ，FH 于点P ，Q ．下列一定能求出BPQ ∆面积的条件是（ ）A ．矩形BFOE 和矩形OGDH 的面积之差B ．矩形ABCD 与矩形BFOE 的面积之差C ．矩形BFOE 和矩形FCGO 的面积之差D ．矩形BFOE 和矩形EOHA 的面积之差6．如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，以ABC 的各边为边分别作正方形ACDE ，正方形BCFG 与正方形ABMN ，AN 与FG 相交于点H ，连结NF 并延长交AE 于点P ，且2NF FP =．记ABC 的面积为1S ，FNH △的面积为2S ，若1221S S -=，则BC 的长为（ ）A ．6B ．C ．8D ．97．如图，将边长为6的正六边形ABCDEF 沿HG 折叠，点B 恰好落在边AF 的中点上，延长B C ''交EF 于点M ，则C M '的长为（ ）A ．1B ．65C ．56D ．958．如图，等腰Rt ABC 中，90BAC AD BC ∠=︒⊥，于D ，ABC ∠的平分线分别交AC AD 、于E F 、两点，M 为EF 的中点，延长AM 交BC 于点N ，连接DM MC 、下列结论：①DF DN =；②ABE MBN ≌；③ CMN 是等腰三角形；④AE CN =，其中正确的是（ ）A ．①②B ．①④C ．①③D ．②③9．勾股定理有着悠久的历史，它曾引起很多人的兴趣．1955年希腊发行了以勾股图为背景的邮票．所谓勾股图是指以直角三角形的三边为边向外作正方形构成，它可以验证勾股定理．在Rt ABC 中，()90,,BAC AC a AB b a b ∠=︒==<．如图所示作矩形HFPQ ，延长CB 交HF 于点G ．若正方形BCDE 的面积等于矩形BEFG 面积的3倍，则ab的值为（ ）A B C D 35210．如图，在正方形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，点E 在DC 边上，且2CE DE =，连接AE 交BD 于点G ，过点D 作DF AE ⊥，连接OF 并延长，交DC 于点P ，过点O 作⊥OQ OP 分别交AE ，AD 于点N ，H ，交BA 的延长线于点Q ，现给出下列结论：①45AFO ∠=︒；②2N P O D H H =⋅；③Q OAG ∠=∠；④OG DG =．其中正确的结论有（ ）A ．①③B ．②④C ．①②③D ．①②③④二、填空题11．如图，在矩形ABCD 中，6AB =，8AD =．连接BD ，DBC ∠的角平分线BE 交DC 于点E ，现把BCE 绕点B 逆时针旋转，记旋转后的BCE 为BC E ''△．当射线BE '和射线BC '都与线段AD 相交时，设交点分别为F ，G ．若BFD △为等腰三角形，则线段DG 长为______．12．如图，点D 是等边ABC 边BC 上一点，将等边ABC 折叠，使点A 与点D 重合，折痕为EF （点E 在边AB 上）．（1）当点D 为BC 的中点时，:AE EB =__； （2）当点D 为BC 的三等分点时，:AE EB =__．13．小明想设计一款如图1所示的喷水壶，于是他绘制了如图2所示的设计图，壶身的主视图呈矩形ABCD ，壶把手呈圆弧状，圆心O 落在AD 上，圆弧交CD 于点E ．支撑架HF 所在直线恰好经过O ．壶嘴GI 的端点I 恰好在AD 所在直线上．已知258cm,4cm,cm, 6.5cm 12AD DE AF HF FG =====，则半径AO 的长为________cm ，壶嘴GI 的长度为________cm ．14．如图，AB 是半圆O 的直径．点C 在半径OA 上，过点C 做CD AB ⊥交半圆O 于点D ．以,CD CA 为边分别向左、下作正方形,CDEF CAGH ．过点B 作GH 的垂线与GH 的延长线交于点I ，M 为HI 的中点．记正方形,CDEF CAGH ，四边形BCHI 的面积分别为123,,S S S ．（1）若:2:3AC BC =，则12S S 的值为_______；（2）若D ，O ，M 在同一条直线上，则123S S S +的值为______．15．四个全等的直角三角形如图摆放成一个风车的形状，形成正方形ABCD 和正方形IJKL ．若BF 平分∠ABK ，AF ：FK ＝5：3，风车周长为面积和是___．16．用一张正方形纸片折成一个“小蝌蚪”图案（如图1）．如图2，正方形ABCD 的边长为2，等腰直角ACE 的斜边AE 过点D ．点F 为CE 边上一点，连结AF 交CD 于点G ，将AEF 沿AF 对称得AE F '，AE '与BC 交于点H ．当//FE CD '时，E FA '∠=______︒；当点G 为CD 的中点时，则CF 的长为______．17．如图，点A C 、分别是x 轴、y 轴正半轴上的点，矩形ABCO 的边,AB BC 分别交函数ky x=（0,0,x k k >≠为常数）的图象于点,P Q ，连接PQ ． （1）若P 为AB 中点，则BQBC=___． （2）若把BPQ ∆沿PQ 翻折，点B 恰好落在x 轴上的点E ，且6,2OE EA ==，则k =___．18．如图，在ABCD 中，E 是BC 边上的中点，AP CD ⊥于点P ，将ABE △沿AE 翻折，点B 的对称点B '落在AP 上，延长EB '恰好经过点D ，若4AB =，则折痕AE 的长为________．19．如图，点A ，B 分别是反比例函数(0,0)a y a x x =>>和(0,0)by b x x=<<图象上的点，且//AB x 轴，点C 在x 轴的正半轴上，连接AC 交反比例函数(0,0)ay a x x=>>的图象于点D ，已知20BOD S =△，8COD S =△，2AD CD =，则-a b 的值为______．20．如图1是护眼台灯，该台灯的活动示意图如图2所示．灯柱6cm BC ，灯臂AC 绕着支点C 可以旋转，灯罩呈圆弧形（即弧AD 和弧EF ）．在转动过程中，AD （EF ）总是与桌面BH 平行．当AC BH ⊥时，51cm AB =．DM MH ⊥，测得42cm DM =（点M 在墙壁MH 上，且MH BH ⊥）；当灯臂AC 转到CE 位置时，FN MH ⊥，测得15cm FN =，则点E 到桌面的距离为______cm ．若此时点C ，F ，M 在同一条直线上，弧EF 的最低点到桌面BH 的距离为31cm ，则弧EF 所在圆的半径为_____cm （保留一位小数）．三、解答题 21．特例感知（1）如图，已知在Rt ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，取BC 边上中点D ，连结AD ，点E 为AB 边上一点，连结DE ，作DF DE ⊥交AC 于点F ，求证BE AF =；探索发现（2）如图，已知在Rt ABC 中，90BAC ∠=︒，3AB AC ==，取BC 边上中点D ，连结AD ，点E 为BA 延长线上一点，1AE =，连结DE ，作DF DE ⊥交AC 延长线于点F ，求AF 的长；类比迁移（3）如图，已知在ABC 中，120BAC ∠=︒，4AB AC ==，取BC 边上中点D ，连结AD ，点E 为射线BA 上一点（不与点A 、点B 重合），连结DE ，将射线DE 绕点D 顺时针旋转30°交射线CA 于点F ，当4AE AF =时，求AF 的长．22．（证明体验）（1）如图1，AD 为ABC 的角平分线，60ADC ∠=︒，点E 在AB 上，AE AC =．求证：DE 平分ADB ∠．（思考探究）（2）如图2，在（1）的条件下，F 为AB 上一点，连结FC 交AD 于点G ．若FB FC =，2DG =，3CD =，求BD 的长．（拓展延伸）（3）如图3，在四边形ABCD 中，对角线AC 平分,2BAD BCA DCA ∠∠=∠，点E 在AC上，EDC ABC ∠=∠．若5,2BC CD AD AE ===，求AC 的长． 23．（推理）如图1，在正方形ABCD 中，点E 是CD 上一动点，将正方形沿着BE 折叠，点C 落在点F 处，连结BE ，CF ，延长CF 交AD 于点G ．（1）求证：BCE CDG △△≌． （运用）（2）如图2，在（推理）条件下，延长BF 交AD 于点H ．若45HD HF =，9CE =，求线段DE 的长． （拓展）（3）将正方形改成矩形，同样沿着BE 折叠，连结CF ，延长CF ，BF 交直线AD 于G ，两点，若AB k BC =，45HD HF =，求DEEC的值（用含k 的代数式表示）．24．在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，点D 在直线AC 上，连结BD ，以BD 为边作等腰直角BDE （点E 在直线BD 右侧），连结CE ．（1）如图1，若45A ∠=︒，且点D 在AC 边上，求证：ABD CBE ∽△△； （2）如图2，若045A ︒<∠<︒，且12BC =，5CD =，求CE 的长；（3）如图3，若点D 在AC 的延长线上，BD ，CE 相交于点F ，设CDF 的面积为1S ，BEF 的面积为2S ，BCF △的面积为3S ，则2123122BC S S S =-+，请说明理由．25．如图，四边形ABCD 是矩形，20AB =，10BC =，以CD 为一边向矩形外部作等腰直角CDG ，90G ∠=︒．点M 在线段AB 上，且AM a =，点P 沿折线AD DG -运动，点Q 沿折线BC CG -运动（P ，Q 与点G 不重合），在运动过程中终保持//PQ AB ．设PQ 与AB 之间的距离为x ，四边形AMQP 的面积为y ．（1）若12a =，回答下列问题：①当点P 在线段AD 上时，若四边形AMQP 的面积为48，则x =______． ②求整个运动过程中，y 关于x 的函数解析式，并求出y 的最大值；（2）如图2，若点P 在线段DG 上时，要使四边形AMQP 的面积始终不小于50，求a 的取值范围．26．如图1，在矩形ABCD 中，动点P 沿着边AB 从点A 运动到点B ，同时动点Q 沿着边BC ，CD 从点B 运动到点D ．它们同时到达终点，若点Q 的运动路程x 与线段BP 的长，满足487y x =-+，BD 与PQ 交于点E ． （1）求AB ，BC 的长．（2）如图2．当Q 在CD 上时，求BEDE． （3）将矩形沿着PQ 折叠，点B 的对应点为点F ，连结EF ，当EF 所在直线与BCD △的一边垂直时，求BP 的长．27．如图1，在ABC 中，90A ∠=︒，当点P 从点A 出发，沿着AB 方向匀速运动到点B 时，点Q 恰好从点B 出发，沿着BC 方向匀速运动到点C ，连结PQ ，记,AP x CQ y ==，已知554y x =-+．（1）求AB和BC的长．（2）当BPQ是以PQ为腰的等腰三角形时，求x的值．（3）如图2，直线l是线段PQ的垂直平分线．①若直线l过点B，交AC于点D，请判断四边形BQDP的形状，并说明理由；②A'是点A关于直线l的对称点，若点A'落在ABC的内部，请直接写出x的取值范围．28．如图，四边形ABCD为边长等于7的菱形，其中∠B=60°，点E在对角线AC上，且AE=1，点F在射线CB上运动，连接EF，作∠FEG=60°，交DC延长线于点G．（1）当点F与B点重合时，试判断△EFG的形状，并说明理由；（2）以点B为原点，BC所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，当CF=10时，平面内是否存在一点M，使得以点M、E、F、G为顶点的四边形与菱形ABCD相似？若存在，求M的坐标，若不存在，说明理由；（3）记点F关于直线AB的轴对称点为点N，若点N落在∠EDC的内部（不含边界），求CF的取值范围．29．如图，在△ABC中，AC＝BC＝tan∠CAB＝12，P为AC上一点，PD⊥AB交AB于点E，AD⊥AC交PD于点D，连结BD，CD，CD交AB于点Q．（1）若CD⊥BC，求证：△AED∽△QCB；（2）若AB平分∠CBD，求BQ的长；（3）连结PQ并延长交BD于点M．①当点P是AC的中点时，求tan∠BQM的值②当PM平行于四边形ADBC中的某一边时，求BMDM的值．30．如图，已知AB是⊙O的弦，OB＝1，C是弦AB上的任意一点（不与点A、B重合），连接CO并延长CO交⊙O于点D，连接AD．设∠B＝α，∠ADC＝β．（1）求∠BOD的度数（用含α，β的代数式表示）；（2）若α＝30°，当AC的长度为多少时，以点A、C、D为顶点的三角形与B、C、O 为顶点的三角形相似？请写出解答过程．（3）若α＝β，连接AO，记△AOD、△AOC、△COB的面积分别为S1，S2，S3，如果S2是S1和S3的比例中项，求OC的长．。

北师大版九年级数学下册第二章 二次函数 压轴题综合复习练习题

北师大版九年级数学下册第二章 二次函数 压轴题综合复习练习题
16．如图1，直线L：y＝﹣x+1与x轴，y轴分别交于点B，点E，抛物线L1：y＝ax2+bx+c经过点B，点A（﹣3，0）和点C（0，﹣3），并与直线L交于另一点D．
（1）求抛物线L1的解析式；
（2）如图2，点P为x轴上一动点，连接AD，AC，CP，当∠PCA＝∠ADB时，求点P的坐标；
（3）如图3，将抛物线L1平移，使其顶点是坐标原点O，得到抛物线L2，将直线DB向下平移经过坐标原点O，交抛物线L2于另一点F，点M（ ，0），点N是L2上且位于第一象限内一动点，MN交L2于Q点，QR∥x轴分别交OF，ON于S，R，试说明：QS与SR存在一个确定的数量关系．
5．已知抛物线L：y＝x2+bx+c经过点A（﹣1，0）和（1，﹣2）两点，抛物线L关于原点O的对称的为抛物线L′，点A的对应点为点A′．
（1）求抛物线L和L′的表达式；
（2）是否在抛物线L上存在一点P，抛物线L′上存在一点Q，使得以AA′为边，且以A、A′、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．
∵∠ABQ＝2∠ABC，则BC是∠ABH的角平分线，则△RQB为等腰三角形，
则点C是RQ的中点，
在△BOC中，tan∠OBC＝ ＝ ＝tan∠ROC＝ ，
则设RC＝x＝QB，则BC＝2x，则RB＝ ＝ x＝BQ，
在△QRB中，S△RQB＝ ×QR•BC＝ BR•QK，即 2x•2x＝ KQ• x，解得：KQ＝ ，
11．如图，抛物线与x轴相交于点A（﹣3，0）、点B（1，0），与y轴交于点C（0，3），点D是第二象限内抛物线上一动点．F点坐标为（﹣4，0）．
（1）求这条抛物线的解析式；并写出顶点坐标；
（2）当D为抛物线的顶点时，求△ACD的面积；

2024年最新人教版初三数学(下册)期末试卷及答案(各版本)

2024年最新人教版初三数学(下册)期末试卷及答案(各版本)

2024年最新人教版初三数学(下册)期末试卷及答案(各版本)一、选择题（每题5分，共20分）1. 若a > b > 0，则下列不等式中成立的是（）A. a^2 > b^2B. a^3 < b^3C. 1/a > 1/bD. a^2 b^2 < 02. 已知函数y = 2x 3，若y = 0，则x的值为（）A. 1.5B. 1C. 2D. 33. 在直角坐标系中，点A(2, 3)，点B(2, 3)，则线段AB的中点坐标为（）A. (0, 0)B. (2, 3)C. (2, 3)D. (0, 3)4. 若一元二次方程ax^2 + bx + c = 0（a ≠ 0）有两个实数根，则判别式b^2 4ac的值为（）A. 正数B. 负数C. 0D. 不确定5. 在等差数列{an}中，已知a1 = 2，d = 3，则a5的值为（）A. 5B. 8C. 11D. 14二、填空题（每题5分，共20分）6. 若一个三角形的两边长分别为5cm和8cm，则第三边长的取值范围是______。

7. 已知函数y = x^2 4x + 3，当x = 2时，函数的最小值为______。

8. 在直角坐标系中，点P(x, y)关于x轴的对称点坐标为______。

9. 已知一元二次方程x^2 3x 4 = 0，则该方程的根的判别式为______。

10. 在等比数列{an}中，已知a1 = 2，q = 3，则a4的值为______。

三、解答题（每题10分，共30分）11. 解一元二次方程x^2 5x + 6 = 0。

12. 已知函数y = 2x 3，求当x = 1时，函数的值。

13. 在直角坐标系中，已知点A(2, 3)，点B(2, 3)，求线段AB的长度。

四、证明题（10分）14. 已知：在等腰三角形ABC中，AB = AC，底边BC上的高为AD，求证：AD垂直于BC。

五、应用题（20分）15. 已知：某工厂生产一批产品，每件产品的成本为100元，销售价格为150元。

初三数学压轴题

初三数学压轴题

初三数学压轴题一、题目示例在平面直角坐标系中，抛物线y = ax^2+bx + c(a≠0)经过A(-1,0)，B(3,0)，C(0, - 3)三点。

（1）求抛物线的解析式；（2）点M是线段BC上的点（不与B，C重合），过M作MN∥ y轴交抛物线于N，若点M的横坐标为m，请用含m的代数式表示MN的长；（3）在（2）的条件下，连接NB，NC，是否存在点m，使△ BNC的面积最大？若存在，求m的值；若不存在，说明理由。

二、题目解析1. 求抛物线的解析式- 已知抛物线y = ax^2+bx + c(a≠0)经过A(-1,0)，B(3,0)，C(0, - 3)三点。

- 把A(-1,0)，B(3,0)，C(0, - 3)分别代入y = ax^2+bx + c中，得到方程组：- a - b + c = 0 9a+3b + c = 0 c=-3- 将c = - 3代入前两个方程，得到a - b-3 = 0 9a + 3b-3 = 0- 由a - b-3 = 0可得a=b + 3，将其代入9a + 3b-3 = 0中：- 9(b + 3)+3b-3 = 0- 9b+27 + 3b-3 = 0- 12b=-24，解得b=-2- 把b = - 2代入a=b + 3，得a = 1- 所以抛物线的解析式为y=x^2-2x - 3。

2. 求MN的长（用含m的代数式表示）- 设直线BC的解析式为y=kx + d，把B(3,0)，C(0, - 3)代入可得3k + d = 0 d=-3- 解得k = 1，所以直线BC的解析式为y=x - 3。

- 因为点M在直线BC上，且横坐标为m，所以M(m,m - 3)。

- 又因为N在抛物线上，且N的横坐标为m，所以N(m,m^2-2m - 3)。

- 则MN=(m^2-2m - 3)-(m - 3)=m^2-3m。

3. 判断是否存在点m使△ BNC的面积最大并求m的值- 过N作NH⊥ x轴交BC于H。

初三压轴题数学

初三压轴题数学

初三数学压轴题举例一、如图1，已知四边形ABCD 是菱形，AB ＝4，点E 在射线CB 上，点F 在射线CD 上，且∠EAF ＝∠BAD ．（1）如图2，如果∠BAD ＝90°，求证：AE ＝AF ；（2）如图3，当点E 在CB 的延长线上时，如果∠ABC ＝60°，设DF ＝x ， AF y AE，试建立y 与x 的函数关系式，并写出x 的取值范围；（3）联结AC ，BE ＝2，当△ACE 是等腰三角形时，请直接写出DF 的长．图1 图2 图3二、已知△ABC ，过点A 作BC 的平行线l ，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，且DE //BC ，过点E 作AB 的平行线分别交直线l 、BC 于点G 、F .（1）如图1，已知S △ADE ＝4，S △EFC ＝9，求△ABC 的面积；（2）已知BC ＝8，过点D 作AC 的平行线分别交直线l 、BC 于点P 、Q ，直线FG 、PQ 交于点M ，FQ ＝2，求S △ABC ∶S △PGM 的值；（3）如图2，已知∠ABC ＝30°，∠ACB ＝90°，点N 在直线BC 上，△DEN 是以30°为 底角的等腰三角形，求AD ∶BD 的值.图1 图2 备用图三、如图1，已知△ABC ，点D 在边BC 的延长线上，过点D 作DE ∥AC ，且点A 、E 在BD 同侧，联结CE ．已知BC＝2，CD ＝1，∠ABC ＝∠ACE ．（1）求AC ·ED 的值；（2）当点E 在BA 延长线上时，求ABC DCEC C △△的值； （3）联结AE ，如果△ABC 与△ACE 相似，求ABC ACE S S △△的值． 图1四、如图1，在△ABC 中，边BC 上的高AD ＝2，tan B ＝2．直线l 平行于BC ，分别交线段AB 、AC 、AD 于点E 、F 、G ，直线l 与直线BC 之间的距离为m ．（1）当EF ＝CD ＝3时，求m 的值；（2）将△AEF 沿着EF 翻折，点A 落在两平行直线l 和BC 之间的点P 处，延长EP 交线段CD 于点Q ．①当点P 恰好为△ABC 的重心时，求此时CQ 的长；②联结BP ，在∠CBP ＞∠BAD 的条件下，如果△BPQ 与△AEF 相似，试用m 的代数式表示线段CD 的长．图1五、如图1，在四边形ABCD 中，AD //BC ，AB 5，AD ＝2，DC ＝25tan ∠ABC ＝2．点E 是射线AD 上一点，点F 是边BC 上一点，联结BE 、EF ，且∠BEF ＝∠DCB ．（1）求线段BC 的长；（2）当FB ＝FE 时，求线段BF 的长；（3）当点E 在线段AD 的延长线上时，设DE ＝x ，BF ＝y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出x 的取值范围．图1 备用图六、如图1，已知△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝6，BC＝4，D是边AB上一点（与点A、B不重合），DE平分∠CDB，交边BC于点E，EF⊥CD，垂足为点F.（1）当DE⊥BC时，求DE的长；（2）当△CEF与△ABC相似时，求∠CDE的正切值；（3）如果△BDE的面积是△DEF面积的2倍，求这时AD的长．图1七、如图1，在△ABC中，∠C＝90°，cot A＝2，点D为边AC上的一个动点，以点D为顶点作∠BDE＝∠A，射线DE交边AB于点E，过点B作射线DE的垂线，垂足为点F．（1）当点D是边AC中点时，求tan∠ABD的值；（2）求证：AD∙BF＝BC∙DE；（3）当DE∶EF＝3∶1时，求AE∶EB．图1 备用图八、已知在△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝8，点E 是射线CA 上的动点，点O 是边BC 上的动点，且OC ＝OE ，射线OE 交射线BA 于点D ．（1）如图1，如果OC ＝2，求ADE ODBS S △△的值； （2）联结AO ，如果△AEO 是以AE 为腰的等腰三角形，求线段OC 的长；（3）当点E 在边AC 上时，联结BE 、CD ，∠DBE ＝∠CDO ，求线段OC 的长．图1备用图 备用图希望大家挑战成功！。

【压轴卷】九年级数学下期末试题带答案(1)

【压轴卷】九年级数学下期末试题带答案(1)

【压轴卷】九年级数学下期末试题带答案(1)一、选择题1．小军旅行箱的密码是一个六位数，由于他忘记了密码的末位数字，则小军能一次打开该旅行箱的概率是（）A．110B．19C．16D．152．已知二次函数y＝ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，给出以下结论：①a+b+c＜0；②a﹣b+c＜0；③b+2a＜0；④abc＞0．其中所有正确结论的序号是( )A．③④B．②③C．①④D．①②③3．菱形不具备的性质是（）A．四条边都相等 B．对角线一定相等 C．是轴对称图形 D．是中心对称图形4．下列计算正确的是（）A．a2•a=a2B．a6÷a2=a3C．a2b﹣2ba2=﹣a2b D．（﹣32a）3=﹣398a5．如图，AB∥CD，AE平分∠CAB交CD于点E，若∠C=70°，则∠AED度数为( )A．110°B．125°C．135°D．140°6．甲、乙、丙三家超市为了促销一种定价相同的商品，甲超市先降价20%，后又降价10%；乙超市连续两次降价15%；丙超市一次性降价30%.则顾客到哪家超市购买这种商品更合算（）A．甲B．乙C．丙D．一样7．根据以下程序，当输入x＝2时，输出结果为（）A．﹣1B．﹣4C．1D．118．现定义一种变换：对于一个由有限个数组成的序列S0，将其中的每个数换成该数在S0中出现的次数，可得到一个新序列S1，例如序列S0：（4，2，3，4，2），通过变换可生成新序列S1：（2，2，1，2，2），若S0可以为任意序列，则下面的序列可作为S1的是A．（1，2，1，2，2）B．（2，2，2，3，3）C．（1，1，2，2，3）D．（1，2，1，1，2）9．如图，斜面AC的坡度（CD与AD的比）为1：2，AC=35米，坡顶有旗杆BC，旗杆顶端B点与A点有一条彩带相连．若AB=10米，则旗杆BC的高度为（）A．5米B．6米C．8米D．（3+5）米10．如图，AB为⊙O直径，已知为∠DCB=20°，则∠DBA为（）A．50°B．20°C．60°D．70°11．下列几何体中，其侧面展开图为扇形的是( )A．B．C．D．12．下列由阴影构成的图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．二、填空题13．如图，在菱形ABCD中，AB=5，AC=8，则菱形的面积是．14．如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，AB＝3， BC＝2，tanA＝43，则CD＝15．已知关于x的方程3x n22x1+=+的解是负数，则n的取值范围为．16．在一个不透明的袋子中有若千个小球，这些球除颜色外无其他差别，从袋中随机摸出一球，记下其颜色，这称为一次摸球试验，然后把它重新放回袋中并摇匀，不断重复上述过程．以下是利用计算机模拟的摸球试验统计表：摸球实验次数100100050001000050000100000“摸出黑球”的次数36387201940091997040008“摸出黑球”的频率（结果保留小数点后三位）0.3600.3870.4040.4010.3990.400根据试验所得数据，估计“摸出黑球”的概率是_______（结果保留小数点后一位）．17．分解因式：2x3﹣6x2+4x=__________．18．如图，边长为2的正方形ABCD的顶点A，B在x轴正半轴上，反比例函数kyx =在第一象限的图象经过点D，交BC于E，若点E是BC的中点，则OD的长为_____．19．在一次班级数学测试中，65分为及格分数线，全班的总平均分为66分，而所有成绩及格的学生的平均分为72分，所有成绩不及格的学生的平均分为58分，为了减少不及格的学生人数，老师给每位学生的成绩加上了5分，加分之后，所有成绩及格的学生的平均分变为75分，所有成绩不及格的学生的平均分变为59分，已知该班学生人数大于15人少于30人，该班共有_____位学生．20．若式子3x+在实数范围内有意义，则x的取值范围是_____．三、解答题21．某校开展了“互助、平等、感恩、和谐、进取”主题班会活动，活动后，就活动的个主题进行了抽样调查（每位同学只选最关注的一个），根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图．根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）这次调查的学生共有多少名；（2）请将条形统计图补充完整，并在扇形统计图中计算出“进取”所对应的圆心角的度数； （3）如果要在这个主题中任选两个进行调查，根据（2）中调查结果，用树状图或列表法，求恰好选到学生关注最多的两个主题的概率（将互助、平等、感恩、和谐、进取依次记为A 、B 、C 、D 、E ）．22．安顺市某商贸公司以每千克40元的价格购进一种干果，计划以每千克60元的价格销售，为了让顾客得到更大的实惠，现决定降价销售，已知这种干果销售量y （千克）与每千克降价x （元）(020)x <<之间满足一次函数关系，其图象如图所示：（1）求y 与x 之间的函数关系式；（2）商贸公司要想获利2090元，则这种干果每千克应降价多少元？ 23．数学活动课上，张老师引导同学进行如下探究：如图1，将长为的铅笔斜靠在垂直于水平桌面的直尺的边沿上，一端固定在桌面上，图2是示意图．活动一 如图3，将铅笔绕端点顺时针旋转，与交于点，当旋转至水平位置时，铅笔的中点与点重合．数学思考（1）设，点到的距离．①用含的代数式表示：的长是_________，的长是________；②与的函数关系式是_____________，自变量的取值范围是____________．活动二（2）①列表：根据（1）中所求函数关系式计算并补全表格．654 3.53 2.5210.5000.55 1.2 1.58 1.0 2.473 4.29 5.08②描点：根据表中数值，描出①中剩余的两个点．③连线：在平面直角坐标系中，请用平滑的曲线画出该函数的图象．数学思考（3）请你结合函数的图象，写出该函数的两条性质或结论．24．今年5月份，我市某中学开展争做“五好小公民”征文比赛活动，赛后随机抽取了部分参赛学生的成绩，按得分划分为A，B，C，D四个等级，并绘制了如下不完整的频数分布表和扇形统计图：等级成绩（s）频数（人数）A90＜s≤1004B80＜s≤90xC70＜s≤8016D s≤706根据以上信息，解答以下问题：（1）表中的x= ；（2）扇形统计图中m= ，n=，C等级对应的扇形的圆心角为度；（3）该校准备从上述获得A等级的四名学生中选取两人做为学校“五好小公民”志愿者，已知这四人中有两名男生（用a1，a2表示）和两名女生（用b1，b2表示），请用列表或画树状图的方法求恰好选取的是a1和b1的概率．25．某公司推出一款产品，经市场调查发现，该产品的日销售量y（个）与销售单价x （元）之间满足一次函数关系．关于销售单价，日销售量，日销售利润的几组对应值如下表：销售单价x（元）8595105115日销售量y（个）17512575m日销售利润w87518751875875（元）（注：日销售利润=日销售量×（销售单价﹣成本单价））（1）求y关于x的函数解析式（不要求写出x的取值范围）及m的值；（2）根据以上信息，填空：该产品的成本单价是元，当销售单价x=元时，日销售利润w最大，最大值是元；（3）公司计划开展科技创新，以降低该产品的成本，预计在今后的销售中，日销售量与销售单价仍存在（1）中的关系．若想实现销售单价为90元时，日销售利润不低于3750元的销售目标，该产品的成本单价应不超过多少元？26．修建隧道可以方便出行.如图：A，B两地被大山阻隔，由A地到B地需要爬坡到山顶C地，再下坡到B地.若打通穿山隧道，建成直达A，B两地的公路，可以缩短从A地i=，从B到C坡面的坡角到B地的路程.已知：从A到C坡面的坡度1:3∠=︒，42CBA45BC=公里.（1）求隧道打通后从A到B的总路程是多少公里？（结果保留根号）（2）求隧道打通后与打通前相比，从A地到B地的路程约缩短多少公里？（结果精确到0.012 1.414≈3 1.732）【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．A解析：A【解析】∵密码的末位数字共有10种可能（0、1、 2、 3、4、 5、 6、 7、 8、 9、 0都有可能），∴当他忘记了末位数字时，要一次能打开的概率是1 10.故选A.2．C解析：C【解析】试题分析：由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．解：①当x=1时，y=a+b+c=0，故本选项错误；②当x=﹣1时，图象与x轴交点负半轴明显大于﹣1，∴y=a﹣b+c＜0，故本选项正确；③由抛物线的开口向下知a＜0，∵对称轴为1＞x=﹣＞0，∴2a+b＜0，故本选项正确；④对称轴为x=﹣＞0，∴a、b异号，即b＞0，∴abc＜0，故本选项错误；∴正确结论的序号为②③．故选B．点评：二次函数y=ax2+bx+c系数符号的确定：（1）a由抛物线开口方向确定：开口方向向上，则a＞0；否则a＜0；（2）b由对称轴和a的符号确定：由对称轴公式x=﹣b2a判断符号；（3）c由抛物线与y轴的交点确定：交点在y轴正半轴，则c＞0；否则c＜0；（4）当x=1时，可以确定y=a+b+C的值；当x=﹣1时，可以确定y=a﹣b+c的值．3．B解析：B【解析】【分析】根据菱形的性质逐项进行判断即可得答案.【详解】菱形的四条边相等，菱形是轴对称图形，也是中心对称图形，菱形对角线垂直但不一定相等，故选B．【点睛】本题考查了菱形的性质，解题的关键是熟练掌握菱形的性质．4．C解析：C【解析】【分析】根据同底数幂的乘法运算可判断A；根据同底数幂的除法运算可判断B；根据合并同类项可判断选项C；根据分式的乘方可判断选项D.【详解】A、原式=a3，不符合题意；B、原式=a4，不符合题意；C、原式=-a2b，符合题意；D、原式=-278a，不符合题意，故选C．【点睛】此题考查了分式的乘除法，合并同类项，以及同底数幂的乘除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．5．B解析：B【解析】【分析】由AB∥CD，根据两直线平行，同旁内角互补可得∠CAB=110°，再由角平分线的定义可得∠CAE=55°，最后根据三角形外角的性质即可求得答案.【详解】∵AB∥CD，∴∠BAC+∠C=180°，∵∠C=70°，∴∠CAB=180°-70°=110°，又∵AE平分∠BAC，∴∠CAE=55°，∴∠AED=∠C+∠CAE=125°，故选B.【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，三角形外角的性质，熟练掌握相关知识是解6．C解析：C【解析】试题分析：设商品原价为x，表示出三家超市降价后的价格，然后比较即可得出答案．解：设商品原价为x，甲超市的售价为：x（1﹣20%）（1﹣10%）=0.72x；乙超市售价为：x（1﹣15%）2=0.7225x；丙超市售价为：x（1﹣30%）=70%x=0.7x；故到丙超市合算．故选C．考点：列代数式．7．D解析：D【解析】【分析】根据流程图所示顺序，逐框分析代入求值即可．【详解】当x＝2时，x2﹣5＝22﹣5＝﹣1，结果不大于1，代入x2﹣5＝（﹣1）2﹣5＝﹣4，结果不大于1，代入x2﹣5＝（﹣4）2﹣5＝11，故选D．【点睛】本题考查了代数式求值，正确代入求值是解题的关键．8．D解析：D【解析】【分析】根据已知中有限个数组成的序列S0，将其中的每个数换成该数在S0中出现的次数，可得到一个新序列S1，可得S1中2的个数应为偶数个，由此可排除A，B答案，而3的个数应为3个，由此可排除C，进而得到答案．【详解】解：由已知中序列S0，将其中的每个数换成该数在S0中出现的次数，可得到一个新序列S1，A、2有三个，即序列S0：该位置的三个数相等，按照变换规则，应为三个3，故A不满足条件；B、2有三个，即序列S0：该位置的三个数相等，按照变换规则，应为三个3，故B不满足条件；C、3有一个，即序列S0：该位置的数出现了三次，按照变换规则，应为三个3，故C不满D、2有两个，即序列S0：该位置的两个数相等，1有三个，即这三个位置的数互不相等，满足条件，故选D．【点睛】本题考查规律型：数字的变化类．9．A解析：A【解析】试题分析：根据CD：AD=1:2，CD=3米，AD=6米，根据AB=10米，∠D=90°可得：米，则BC=BD－CD=8－3=5米.考点：直角三角形的勾股定理10．D解析：D【解析】题解析：∵AB为⊙O直径，∴∠ACB=90°，∴∠ACD=90°-∠DCB=90°-20°=70°，∴∠DBA=∠ACD=70°．故选D．【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．11．C解析：C【解析】【分析】根据特殊几何体的展开图逐一进行分析判断即可得答案．【详解】A、圆柱的侧面展开图是矩形，故A错误；B、三棱柱的侧面展开图是矩形，故B错误；C、圆锥的侧面展开图是扇形，故C正确；D、三棱锥的侧面展开图是三个三角形拼成的图形，故D错误，故选C．【点睛】本题考查了几何体的展开图，熟记特殊几何体的侧面展开图是解题关键．12．B解析：B【解析】【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．A、是中心对称图形，不是轴对称图形，故该选项不符合题意，B、是中心对称图形，也是轴对称图形，故该选项符合题意，C、不是中心对称图形，是轴对称图形，故该选项不符合题意，D、是中心对称图形，不是轴对称图形，故该选项不符合题意．故选B．【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折沿对称轴叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180°后两部分重合．二、填空题13．【解析】【分析】连接BD交AC于点O由勾股定理可得BO=3根据菱形的性质求出BD再计算面积【详解】连接BD交AC于点O根据菱形的性质可得AC⊥BDAO=CO=4由勾股定理可得BO=3所以BD=6即可解析：【解析】【分析】连接BD，交AC于点O，由勾股定理可得BO=3，根据菱形的性质求出BD，再计算面积.【详解】连接BD，交AC于点O，根据菱形的性质可得AC⊥BD，AO=CO=4，由勾股定理可得BO=3，所以BD=6，即可得菱形的面积是12×6×8=24．考点：菱形的性质；勾股定理.14．【解析】【分析】延长AD和BC交于点E在直角△ABE中利用三角函数求得BE 的长则EC的长即可求得然后在直角△CDE中利用三角函数的定义求解【详解】如图延长ADBC相交于点E∵∠B=90°∴∴BE=∴解析：6 5【解析】【分析】延长AD和BC交于点E，在直角△ABE中利用三角函数求得BE的长，则EC的长即可求得，然后在直角△CDE中利用三角函数的定义求解．如图，延长AD、BC相交于点E，∵∠B=90°，∴4 tan3BEAAB==，∴BE=44 3AB⋅=，∴CE=BE-BC=2，225AB BE+=，∴3 sin5ABEAE==，又∵∠CDE=∠CDA=90°，∴在Rt△CDE中，sinCDECE =，∴CD=36sin255 CE E⋅=⨯=.15．n＜2且【解析】分析：解方程得：x=n﹣2∵关于x的方程的解是负数∴n﹣2＜0解得：n＜2又∵原方程有意义的条件为：∴即∴n的取值范围为n＜2且解析：n＜2且3 n2≠-【解析】分析：解方程3x n22x1+=+得：x=n﹣2，∵关于x的方程3x n22x1+=+的解是负数，∴n﹣2＜0，解得：n＜2．又∵原方程有意义的条件为：1x2≠-，∴1n22-≠-，即3n2≠-．∴n的取值范围为n＜2且3n2≠-．16．4【解析】【分析】大量重复试验下摸球的频率可以估计摸球的概率据此求解【详解】观察表格发现随着摸球次数的增多频率逐渐稳定在04附近故摸到白球的频率估计值为04；故答案为：04【点睛】本题考查了利用频率解析：4【解析】【分析】大量重复试验下摸球的频率可以估计摸球的概率，据此求解.观察表格发现随着摸球次数的增多频率逐渐稳定在0.4附近， 故摸到白球的频率估计值为0.4； 故答案为：0.4． 【点睛】本题考查了利用频率估计概率的知识，解题的关键是了解大量重复试验中某个事件发生的频率能估计概率．17．2x （x ﹣1）（x ﹣2）【解析】分析：首先提取公因式2x 再利用十字相乘法分解因式得出答案详解：2x3﹣6x2+4x=2x （x2﹣3x+2）=2x （x ﹣1）（x ﹣2）故答案为2x （x ﹣1）（x ﹣2）点解析：2x （x ﹣1）（x ﹣2）． 【解析】分析：首先提取公因式2x ，再利用十字相乘法分解因式得出答案． 详解：2x 3﹣6x 2+4x =2x （x 2﹣3x+2） =2x （x ﹣1）（x ﹣2）． 故答案为2x （x ﹣1）（x ﹣2）．点睛：此题主要考查了提取公因式法以及十字相乘法分解因式，正确分解常数项是解题关键．18．【解析】【分析】设D （x2）则E （x+21）由反比例函数经过点DE 列出关于x 的方程求得x 的值即可得出答案【详解】解：设D （x2）则E （x+21）∵反比例函数在第一象限的图象经过点D 点E ∴2x＝x+2解析：12x x 【解析】 【分析】设D （x ，2）则E （x+2，1），由反比例函数经过点D 、E 列出关于x 的方程，求得x 的值即可得出答案． 【详解】解：设D （x ，2）则E （x+2，1）， ∵反比例函数ky x=在第一象限的图象经过点D 、点E ， ∴2x ＝x+2， 解得x ＝2， ∴D （2，2）， ∴OA ＝AD ＝2，∴OD == 故答案为:本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是根据题意表示出点D、E的坐标及反比例函数图象上点的横纵坐标乘积都等于反比例系数k．19．28【解析】【分析】设加分前及格人数为x人不及格人数为y人原来不及格加分为及格的人数为n人所以72x+58y=66(x+y)75(x+n)+59(y-n)=(66+5)(x+y)用n分别表示xy得到解析：28【解析】【分析】设加分前及格人数为x人，不及格人数为y人，原来不及格加分为及格的人数为n人，所以，用n分别表示x、y得到x+y＝n，然后利用15＜n＜30，n为正整数，n为整数可得到n＝5，从而得到x+y的值．【详解】设加分前及格人数为x人，不及格人数为y人，原来不及格加分为为及格的人数为n人，根据题意得，解得，所以x+y＝n，而15＜n＜30，n为正整数，n为整数，所以n＝5，所以x+y＝28，即该班共有28位学生．故答案为28．【点睛】本题考查了加权平均数：熟练掌握加权平均数的计算方法．构建方程组的模型是解题关键．20．x≥﹣3【解析】【分析】直接利用二次根式的定义求出x的取值范围【详解】解：若式子在实数范围内有意义则x+3≥0解得：x≥﹣3则x的取值范围是：x≥﹣3故答案为：x≥﹣3【点睛】此题主要考查了二次根式解析：x≥﹣3【解析】【分析】直接利用二次根式的定义求出x的取值范围．.解：若式子3x 在实数范围内有意义，则x+3≥0，解得：x≥﹣3，则x的取值范围是：x≥﹣3．故答案为：x≥﹣3．【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握二次根式的定义是解题关键．三、解答题21．（1）280名；（2）补图见解析；108°；（3）0.1.【解析】【分析】（1）根据“平等”的人数除以占的百分比得到调查的学生总数即可；（2）求出“互助”与“进取”的学生数，补全条形统计图，求出“进取”占的圆心角度数即可；（3）列表或画树状图得出所有等可能的情况数，找出恰好选到“C”与“E”的情况数，即可求出所求的概率．【详解】解：（1）56÷20%=280（名），答：这次调查的学生共有280名；（2）280×15%=42（名），280﹣42﹣56﹣28﹣70=84（名），补全条形统计图，如图所示，根据题意得：84÷280=30%，360°×30%=108°，答：“进取”所对应的圆心角是108°；（3）由（2）中调查结果知：学生关注最多的两个主题为“进取”和“感恩”用列表法为：A B C D EA（A，B）（A，C）（A，D）（A，E）B （B ，A ）（B ，C ） （B ，D ） （B ，E ） C （C ，A ） （C ，B ）（C ，D ）（C ，E ） D （D ，A ） （D ，B ） （D ，C ）（D ，E ）E（E ，A ）（E ，B ）（E ，C ）（E ，D ）共20种情况，恰好选到“C”和“E”有2种， ∴恰好选到“进取”和“感恩”两个主题的概率是0.1．22．（1）10100y x =+；（2）商贸公司要想获利2090元，则这种干果每千克应降价9元． 【解析】 【分析】（1）根据图象可得：当2x =，120y =，当4x =，140y =；再用待定系数法求解即可；（2）根据这种干果每千克的利润×销售量=2090列出方程，解方程即可． 【详解】解：（1）设一次函数解析式为：y kx b =+，根据图象可知：当2x =，120y =；当4x =，140y =；∴21204140k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得：10100k b =⎧⎨=⎩，∴y 与x 之间的函数关系式为10100y x =+；（2）由题意得：(6040)(10100)2090x x --+=， 整理得：21090x x -+=，解得：11x =．29x =， ∵让顾客得到更大的实惠，∴9x =.答：商贸公司要想获利2090元，这种干果每千克应降价9元． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用和一次函数的应用，读懂图象信息、熟练掌握待定系数法、正确列出一元二次方程是解题的关键． 23．(1) ），，;(2)见解析；（3）①随着的增大而减小；②图象关于直线对称；③函数的取值范围是．【解析】 【分析】（1）①利用线段的和差定义计算即可．②利用平行线分线段成比例定理解决问题即可．（2）①利用函数关系式计算即可．②描出点，即可．③由平滑的曲线画出该函数的图象即可．（3）根据函数图象写出两个性质即可（答案不唯一）．【详解】解：（1）①如图3中，由题意，，，，故答案为：，．②作于．，，，，，，故答案为：，．（2）①当时，，当时，，故答案为2，6．②点，点如图所示．③函数图象如图所示．（3）性质1：函数值的取值范围为．性质2：函数图象在第一象限，随的增大而减小．【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了平行线分线段成比例定理，函数的图象等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．24．（1）14；（2）10、40、144；（3）恰好选取的是a1和b1的概率为16．【解析】【分析】（1）根据D组人数及其所占百分比可得总人数，用总人数减去其他三组人数即可得出x的值；（2）用A、C人数分别除以总人数求得A、C的百分比即可得m、n的值，再用360°乘以C等级百分比可得其度数；（3）首先根据题意列出表格，然后由表格求得所有等可能的结果与恰好选取的是a1和b1的情况，再利用概率公式即可求得答案．【详解】（1）∵被调查的学生总人数为6÷15%=40人，∴x=40﹣（4+16+6）=14，故答案为14；（2）∵m%=440×100%=10%，n%=1640×10%=40%，∴m=10、n=40，C等级对应的扇形的圆心角为360°×40%=144°，故答案为10、40、144；（3）列表如下：a1a2b1b2a1a2，a1b1，a1b2，a1a2a1，a2b1，a2b2，a2b1a1，b1a2，b1b2，b1a 1和b 1的有2种结果， ∴恰好选取的是a 1和b 1的概率为21126=． 【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，列表法或树状图法求概率，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小；概率=所求情况数与总情况数之比．25．（1）25；（2）80，100，2000；（3）该产品的成本单价应不超过65元． 【解析】分析：（1）根据题意和表格中的数据可以求得y 关于x 的函数解析式； （2）根据题意可以列出相应的方程，从而可以求得生产成本和w 的最大值； （3）根据题意可以列出相应的不等式，从而可以取得科技创新后的成本． 详解；（1）设y 关于x 的函数解析式为y=kx+b ，8517595125k b k b +⎧⎨+⎩＝＝，得5600k b ＝＝-⎧⎨⎩， 即y 关于x 的函数解析式是y=-5x+600， 当x=115时，y=-5×115+600=25， 即m 的值是25； （2）设成本为a 元/个，当x=85时，875=175×（85-a ），得a=80，w=（-5x+600）（x-80）=-5x 2+1000x-48000=-5（x-100）2+2000， ∴当x=100时，w 取得最大值，此时w=2000， （3）设科技创新后成本为b 元， 当x=90时，（-5×90+600）（90-b ）≥3750， 解得，b≤65，答：该产品的成本单价应不超过65元．点睛：本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用、不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用函数和数形结合的思想解答． 26．（1）隧道打通后从A 到B 的总路程是4)公里;（2）隧道打通后与打通前相比，从A 地到B 地的路程约缩短2.73公里. 【解析】 【分析】（1）过点C 作CD ⊥AB 于点D ，利用锐角三角函数的定义求出CD 及AD 的长，进而可得出结论．（2）由坡度可以得出A ∠的度数，从而得出AC 的长，根据AC CB AB +-即可得出缩短的距离.【详解】（1）作CD AB ⊥于点D ，在Rt BCD ∆中，∵45CBA ∠=︒，42BC =， ∴4CD BD ==. 在Rt ACD ∆中， ∵1:3CDi AD==， ∴343AD CD ==， ∴()434AB =+公里.答：隧道打通后从A 到B 的总路程是()434+公里.（2）在Rt ACD ∆中， ∵3CDi AD==， ∴30A ∠=︒，∴2248AC CD ==⨯=， ∴842AC CB +=+ ∵434AB =，∴842434 2.73AC CB AB +-=+≈（公里）.答：隧道打通后与打通前相比，从A 地到B 地的路程约缩短2.73公里. 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-坡度问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，需要熟记坡度和锐角三角函数的定义．。

【常考压轴题】2023学年九年级数学下册压轴题攻略(人教版) 反比例函数与几何图形综合(解析版)

【常考压轴题】2023学年九年级数学下册压轴题攻略(人教版) 反比例函数与几何图形综合(解析版)

反比例函数几何图形综合例1．（等腰三角形）已知反比例函数1=myx-（m为常数）的图象在第一、三象限．(1)求m的取值范围；(2)如图若该反比例函数的图象经过▱ABOD的顶点D点A B的坐标分别为（0 4）（﹣3 0）．①求出函数解析式；②【分类讨论思想】设点P是该反比例函数图象上的一点若以D O P为顶点的三角形是等腰三角形则满足条件的点P的个数为______个．AD OB例2．（直角三角形）如图 在平面直角坐标系中 直线32y kx k =++与坐标轴交于点B 与()0,1C 点A 是x 轴上一点 连接AC 且1AB = ()1,D m 是线段BC 上一点 反比例函数k y x'=的图象经过点D ．(1)求k '的值．(2)求线段AC 所在直线的函数表达式．(3)延长DO 与反比例函数k y x'=的图象在第三象限交于点F Q 是x 轴上的一点 当以F 、Q 、D 三点构成的三角形为直角三角形时 直接写出Q 点的坐标．例3．（平行四边形）如图四边形OBAC是矩形OC＝2 OB＝6 反比例函数kyx=的图象过点A．(1)求k的值．(2)点P为反比例函数图象上的一点作PD▱直线AC PE▱x轴当四边形PDCE是正方形时求点P的坐标．(3)点G为坐标平面上的一点在反比例函数的图象上是否存在一点Q使得以A、B、Q、G为顶点组成的平行四边形面积为16？若存在请求出点G的坐标；若不存在请说明理由．例4．（菱形）如图 直线y ＝ax ＋b 与反比例函数y ＝k x（x ＜0）的图象相交于点A 、点B 与x 轴交于点C 其中点A 的坐标为（-2 6） 点B 的横坐标为-6(1)试确定反比例函数的关系式；(2)求点C 的坐标；(3)点M 是x 轴上的一个动点．①若点M 在线段OC 上 且△AMB 的面积为8 求点M 的坐标；②点N 是平面直角坐标系中的一点 当以A 、B 、M 、N 四点为顶点的四边形是菱形时 请直接写出点N 的坐标【变式训练1】．如图在平面直角坐标系中已知Rt▱AOB的两直角边OA、OB分别在x轴和y轴的正半轴上A(8 0) B(0 6) 点C从原点O出发沿边OA向点A运动速度为每秒1个单位长度点D从点A出发沿边AB向点B运动速度为每秒2个单位长度．设两点同时出发运动时间为t秒（0 < t < 5）(1)当t = 时 DC ∥BO ；(2)当▱ADC 的面积为9时 求t 的值；(3)在（2）的条件下；①作射线BC 若M 是射线BC 上的一个动点 在坐标平面内是否存在点P 使以A 、B 、M 、P 为顶点的四边形是矩形？若存在 请直接写出点P 的坐标；若不存在 请说明理由．② 过点C 作直线1l ▱x 轴 过点B 作直线2l ▱y 轴 直线1l 与直线2l 交于点P 反比例函数k y x=（k >0 x >0）的图像与直线1l 、2l 分别交于点E 、F 连接EF 在y 轴上是否存在点Q 使得▱PEF 和▱QEF 全等 若存在 请直接写出相应的k 的值；若不存在 请说明理由． ▱ADC ABO ∽AD AC AB AO = AD AB AC OA = 21088t t =- 40AD DE 2t DE ADC S =的面积为9 9=2BCO ACM ∴∽▱22P Q B BOC ∽2222Q P P B Q B OB BC OC== 即222256335P Q Q B == 224P Q ∴=,22Q B =2Rt ABM 中,22BM AB =21,AM BM ⊥▱1BAM BM ∠=∠又2ABM ∠=∠12BAM BM A ∴∽▱122AM AB AM BM = 1102545AM =▱11PBQ BAO ∽11BQ BP OA AB ∴= 15810BQ = 解得14BQ =,则6OQ OB BQ =-=11Rt PQ B 中 )3,2-如图 ▱QE PE =EF EF =只能是PFQ QFE ≌B 12l l ⊥ ▱PFQ QFE ≌36k PF QF ==-,FQE ∠如图 过点E 作EG ⊥又FBQ QGE ∠=∠▱FBQ QGE ∽4【变式训练2】如图已知矩形OABC中OA＝6 AB＝8 双曲线kyx=（k＞0）与矩形两边AB BC分别交于点D E且BD＝2AD．(1)求k的值和点E的坐标；(2)点P是线段OC上的一个动点是否存在点P使▱APE＝90°？若存在求出此时点P的坐标若不存在请说明理由．经检验 m =2或m =6都是原方程的解 且符合题意▱存在要求的点P 点P 的坐标为（2 0）或（6 0）．【变式训练3】如图 抛物线L ：()()142y x t x t =---+（常数0t >）与x 轴从左到右的交点为B A 过线段OA 的中点M 作MP x ⊥轴 交双曲线k y x =（0k > 0x >）于点P 且12OA MP ⨯=．(1)求k 的值．(2)当t=1时 求AB 的长 并求直线MP 与L 的对称轴之间的距离．(3)把L 在直线MP 左侧部分的图像（含与直线MP 的交点）记为G 用t 表示图像G 最高点的坐标．(4)设L 与y 轴的交点为N 当2t =时 在x 轴上是否存在一点Q 使ONQ △与PMQ 相似 若存在 求出Q 的坐标 若不存在 请说明理由．1m 时：m 1m ＜＜时：0＜时：1m 时：m 1m ＜＜时：0＜时：-【变式训练4】如图 在平面直角坐标系中 点B D 分别在反比例函数()60y x x =-<和()0,0k y k x x =>>的图象上 AB x ⊥轴于点A DC x ⊥轴于点C O 是线段AC 的中点 3AB = 2DC =．(1)求反比例函数k y x=的表达式； (2)连接BD OB OD 求ODB △的面积；(3)P 是线段AB 上的一个动点 Q 是线段OB 上的一个动点 试探究是否存在点P 使得APQ 是等腰直角三角形？若存在 求所有符合条件点P 的坐标；若不存在 请说明理由．3⎛⎫2⎝⎭使得APQ是等腰直角三角形。

九年级数学几何模型压轴题专题练习(解析版)

九年级数学几何模型压轴题专题练习(解析版)

九年级数学几何模型压轴题专题练习（解析版）一、初三数学旋转易错题压轴题（难）1.如图 1,在 Rt∆ΛSC 中，Z4 = 90o, AB=AC f点 D, E 分别在边 AB, AC 上，AD=AE f连接DC,点M, P, N分别为DE, DC, BC的中点.（1）观察猜想：图1中，线段PM与PN的数量关系是_,位置关系是_；（2〉探究证明：把AADF绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接BD, CE,判断APMN的形状，并说明理由；（3）拓展延伸：把AADF绕点A在平面内自由旋转，若AD=4, AB=IO f请直接写出APMN面积的最人值.【答案】（I）PM=PΛ∕, PM丄PN；（2） APMN是等腰直角三角形.理由见解析；（3）49 S A.PMN⅜⅛大=.【解析】【分析】（1）由已知易得加=C利用三角形的中位线得出PM = ；CE , PN = ；BD,即可2 2得出数量关系，再利用三角形的中位线得出PM//CE得出ZDPM = ZDc4,最后用互余即可得出位置关系；（2）先判断出MBQ三AACE,得出皮） = CE,同（1）的方法得出PM=-BD i2PN = LBD t即可得出PM = PN,同（1）的方法由2ZMPN = ZDCE+ ZDCB+ ZDBC= ZACB+ ZABC ,即可得出结论；（3〉方法1：先判断出MN最人时，APMN的面积最大，进而求出AN, AM,即可得出MN最）＜=AM + AN,最后用面积公式即可得出结论.方法2：先判断出BD最大时，WMN的面积最大，而Br）最人是AB + AD = 14,即可得出结论.【详解】解：（1）•••点P, N是BC, CD的中点，.∙.PN□BD, PN = -BD,2•••点P, M是CD，DE的中点，..PM//CE9 PM=丄CE ,2∙.∙AB=AC, AD=AE^:.BD = CE ,:.PM = PN,-PN//BD f.∙. ZDPN = ZADC,'：PMIlCE.:.ZDPM = ZDCA,∙.∙ ZfiAC = 90。

中考数学复习《函数压轴题》经典题型及测试题(含答案)

中考数学复习《函数压轴题》经典题型及测试题(含答案)

中考数学复习《函数压轴题》经典题型及测试题（含答案）阅读与理解函数压轴题主要分为两大类：一是动点函数图象问题；二是与动点、存在点、相似等有关的二次函数综合题．解答动点函数图象问题，要把问题拆分，分清动点在不同位置运动或不同时间段运动时对应的函数关系式，进而确定函数图象；解答二次函数综合题，要把大题拆分，做到大题小做，逐步分析求解，最后汇总成最终答案．类型一 动点函数图象问题此类问题一般是通过分析动点在几何图形边上的运动情况，确定出有关动点函数图象的变化情况．分析此类问题，首先要明确动点在哪条边上运动，在运动过程中引起了哪个量的变化，然后求出在运动过程中对应的函数关系式，最后根据函数关系式判断图象的变化．例1 (2016·济南) 如图，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，∠B ＝90°，AB ＝AD ＝5，BC ＝4，M 、N 、E 分别是A B 、AD 、CB 上的点，AM ＝CE ＝1，AN ＝3，点P 从点M 出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线MB －BE 向点E 运动，同时点Q 从点N ，以相同的速度沿折线ND －DC －CE 向点E 运动，设△APQ 的面积为S ，运动的时间为t 秒，则S 与t 函数关系的大致图象为（ ）【分析】 由点Q 从点N 出发，沿折线NDDCCE 向点E 运动，确定出点Q 分别在ND ，DC ，CE 运动时对应的t 的取值范围，再根据t 所在的取值范围分别求出其对应的函数关系式，最后根据函数关系式确定对应的函数图象．【自主解答】过点D 作DF ⊥AB 于点F （如图1），则DF ＝BC ＝4．第15题图 A BCDM N Q∵AD ＝5，DF ＝4，∴AF ＝3．∴sin ∠A＝DF AD ＝45，MF ＝3－1＝2，BF ＝AB －AF ＝5－3＝2，DC ＝BF ＝2．∵AD ＝5，AN ＝3，∴ND ＝5－3＝2．（1）当0≤t ≤2时，点P 在MF 上，点Q 在ND 上（如图2），此时AP ＝AM ＋MP ＝1＋t ，AQ ＝AN ＋NQ ＝3＋t ．∴S ＝12AP •AQ •sin ∠A ＝12(1＋t )(3＋t )×45＝25(t ＋2)2―25．当0≤t ≤2时，S随t 的增大而增大，且当t ＝2时，S ＝6．由此可知A 、B 选项都不对．（2）当t ＝5时，点P 在MF 上，点Q 在ND 上（如图3），此时BP ＝1，PE ＝BC －BP －CE ＝4－1－1＝2．∴S ＝12AB •PE ＝12×5×2＝5．∵6＞5，∴选项D 正确．变式训练1．如图，△ABC 是等腰直角三角形，∠C ＝90°，AC ＝BC ，AB ＝4，D 为AB 上的动点，DP ⊥AB 交折线A －C －B 于点P.设AD ＝x ，△ADP 的面积为y ，则y 与x 的函数图象正确的是( )2．(2016·烟台)如图，⊙O 的半径为1，AD ，BC 是⊙O 的两条相互垂直的直径，图1 DC B A E M N QP F 图2 A B C D E M N Q P F 图3 A B C D E (Q )M N F P点P从点O出发(P点与O点不重合)，沿OCD的路线运动．设AP＝x，sin∠APB ＝y，那么y与x之间的关系图象大致是()类型二二次函数的实际问题解答此类问题时，首先要构建合理的坐标系，并写出对应的函数解析式，并利用二次函数的性质求解后续的问题．一般来说，选择的坐标系不同，得出的解析式必然不同，因此解答此类问题时，选择最恰当的坐标系往往显得尤为重要．例2 (2017·金华) 甲、乙两人进行羽毛球比赛，羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分，如图，甲在O点正上方1m的P处发出一球，羽毛球飞行的高度y（m）与水平距离x（m）之间满足函数表达式y=a（x﹣4）2+h，已知点O与球网的水平距离为5m，球网的高度为1.55m．（1）当a=﹣时，①求h的值；②通过计算判断此球能否过网．（2）若甲发球过网后，羽毛球飞行到点O的水平距离为7m，离地面的高度为m的Q处时，乙扣球成功，求a的值．【分析】（1）①将点P（0，1）代入y=﹣（x﹣4）2+h即可求得h；②求出x=5时，y的值，与1.55比较即可得出判断；（2）将（0，1）、（7，）代入y=a（x﹣4）2+h代入即可求得a、h．【自主解答】解：（1）①当a=﹣时，y=﹣（x﹣4）2+h，将点P（0，1）代入，得：﹣×16+h=1，解得：h=；②把x=5代入y=﹣（x﹣4）2+，得：y=﹣×（5﹣4）2+=1.625，∵1.625＞1.55，∴此球能过网；（2）把（0，1）、（7，）代入y=a（x﹣4）2+h，得：，解得：，∴a=﹣．变式训练3．(2017·沈阳)某商场购进一批单价为20元的日用商品，如果以单价30元销售，那么半月内可销售出400件，根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少20件，当销售单价是_____元时，才能在半月内获得最大利润．4、（2017•青岛）青岛市某大酒店豪华间实行淡季、旺季两种价格标准，旺季每间价格比淡季上涨．下表是去年该酒店豪华间某两天的相关记录：淡季旺季未入住房间数100日总收入（元）2400040000（1）该酒店豪华间有多少间？旺季每间价格为多少元？（2）今年旺季来临，豪华间的间数不变．经市场调查发现，如果豪华间仍旧实行去年旺季价格，那么每天都客满；如果价格继续上涨，那么每增加25元，每天未入住房间数增加1间．不考虑其他因素，该酒店将豪华间的价格上涨多少元时，豪华间的日总收入最高？最高日总收入是多少元？【分析】（1）根据题意可以列出相应的方程组，进而求得该酒店豪华间的间数和旺季每间的价格；（2）根据题意可以求得总收入和上涨价格之间的函数解析式，然后化为顶点式即可解答本题．【自主解答】解：（1）设淡季每间的价格为x元，酒店豪华间有y间，，解得，，∴x+x=600+=800，答：该酒店豪华间有50间，旺季每间价格为800元；（2）设该酒店豪华间的价格上涨x元，日总收入为y元，y=（800+x）（50﹣）=42025，∴当x=225时，y取得最大值，此时y=42025，答：该酒店将豪华间的价格上涨225元时，豪华间的日总收入最高，最高日总收入是42025元．类型三二次函数的综合题二次函数作为整套试卷的压轴题，往往会命制三个小问题，其中第一问求解二次函数的解析式，此问题往往利用待定系数法便可解决；第二、三问往往涉及动点问题及存在点问题，此问题需要利用全等三角形、相似三角形、平行四边形、圆等知识综合解答，计算量很大，且题目较为综合．例3 (2017·泰安) ）如图，是将抛物线y=﹣x2平移后得到的抛物线，其对称轴为直线x=1，与x轴的一个交点为A（﹣1，0），另一个交点为B，与y轴的交点为C．（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点N为抛物线上一点，且BC⊥NC，求点N的坐标；（3）点P是抛物线上一点，点Q是一次函数y=x+的图象上一点，若四边形OAPQ为平行四边形，这样的点P、Q是否存在？若存在，分别求出点P，Q的坐标；若不存在，说明理由．【分析】（1）已知抛物线的对称轴，因而可以设出顶点式，利用待定系数法求函数解析式；（2）首先求得B和C的坐标，易证△OBC是等腰直角三角形，过点N作NH⊥y 轴，垂足是H，设点N纵坐标是（a，﹣a2+2a+3），根据CH=NH即可列方程求解；（3）四边形OAPQ是平行四边形，则PQ=OA=1，且PQ∥OA，设P（t，﹣t2+2t+3），代入y=x+，即可求解．【自主解答】解：（1）设抛物线的解析式是y=﹣（x﹣1）2+k．把（﹣1，0）代入得0=﹣（﹣1﹣1）2+k，解得k=4，则抛物线的解析式是y=﹣（x﹣1）2+4，即y=﹣x2+2x+3；（2）在y=﹣x2+2x+3中令x=0，则y=3，即C的坐标是（0，3），OC=3．∵B的坐标是（3，0），∴OB=3，∴OC=OB，则△OBC是等腰直角三角形．∴∠OCB=45°，过点N作NH⊥y轴，垂足是H．∵∠NCB=90°，∴∠NCH=45°，∴NH=CH，∴HO=OC+CH=3+CH=3+NH，设点N纵坐标是（a，﹣a2+2a+3）．∴a+3=﹣a2+2a+3，解得a=0（舍去）或a=1，∴N的坐标是（1，4）；（3）∵四边形OAPQ是平行四边形，则PQ=OA=1，且PQ∥OA，设P（t，﹣t2+2t+3），代入y=x+，则﹣t2+2t+3=（t+1）+，整理，得2t2﹣t=0，解得t=0或．∴﹣t2+2t+3的值为3或．∴P、Q的坐标是（0，3），（1，3）或（，）、（，）．变式训练5．(2016·襄阳) 如图，已知点A的坐标为（﹣2，0），直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别交于点B和点C，连接AC，顶点为D的抛物线y=ax2+bx+c过A、B、C三点．（1）请直接写出B、C两点的坐标，抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）设抛物线的对称轴DE交线段BC于点E，P是第一象限内抛物线上一点，过点P作x轴的垂线，交线段BC于点F，若四边形DEFP 为平行四边形，求点P的坐标；（3）设点M是线段BC上的一动点，过点M作MN∥AB，交AC 于点N，点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段BA 向点A运动，运动时间为t（秒），当t（秒）为何值时，存在△QMN 为等腰直角三角形？解：（1）令x=0代入y=﹣x+3∴y=3，∴C（0，3），令y=0代入y=﹣x+3∴x=4，∴B（4，0），设抛物线的解析式为：y=a（x+2）（x﹣4），把C（0，3）代入y=a（x+2）（x﹣4），∴a=﹣，∴抛物线的解析式为：y=（x+2）（x﹣4）=﹣x2+x+3，∴顶点D的坐标为（1，）；（2）当DP∥BC时，此时四边形DEFP是平行四边形，设直线DP的解析式为y=mx+n，∵直线BC的解析式为：y=﹣x+3，∴m=﹣，∴y=﹣x+n，把D（1，）代入y=﹣x+n，∴n=，∴直线DP的解析式为y=﹣x+，∴联立，解得：x=3或x=1（舍去），∴把x=3代入y=﹣x+，y=，∴P的坐标为（3，）；（3）由题意可知：0≤t≤6，设直线AC的解析式为：y=m1x+n1，把A（﹣2，0）和C（0，3）代入y=m1x+n1，得：，∴解得，∴直线AC的解析式为：y=x+3，由题意知：QB=t，如图1，当∠NMQ=90°，∴OQ=4﹣t，令x=4﹣t代入y=﹣x+3，∴y=t，∴M（4﹣t，t），∵MN∥x轴，∴N的纵坐标为t，把y=t代入y=x+3，∴x=t﹣2，∴N（t﹣2，t），∴MN=（4﹣t）﹣（﹣2）=6﹣t，∵MQ∥OC，∴△BQM∽△BOC，∴，∴MQ=t，当MN=MQ时，∴6﹣t=t，∴t=，此时QB=，符合题意，如图2，当∠QNM=90°时，∵QB=t，∴点Q的坐标为（4﹣t，0）∴令x=4﹣t代入y=x+3，∴y=9﹣t，∴N（4﹣t，9﹣t），∵MN∥x轴，∴点M的纵坐标为9﹣t，∴令y=9﹣t代入y=﹣x+3，∴x=2t﹣8，∴M（2t﹣8，9﹣t），∴MN=（2t﹣8）﹣（4﹣t）=3t﹣12，∵NQ∥OC，∴△AQN∽△AOC，∴=，∴NQ=9﹣t，当NQ=MN时，∴9﹣t=3t﹣12，∴t=，∴此时QB=，符合题意如图3，当∠NQM=90°，过点Q作QE⊥MN于点E，过点M作MF⊥x轴于点F，设QE=a，令y=a代入y=﹣x+3，∴x=4﹣，∴M（4﹣a，a），令y=a代入y=x+3，∴x=﹣2，∴N（﹣2，0），∴MN=（4﹣a）﹣（a﹣2）=6﹣2a，当MN=2QE时，∴6﹣2a=2a，∴a=，∴MF=QE=，∵MF∥OC，∴△BMF∽△BCO，∴=，∴BF=2，∴QB=QF+BF=+2=，∴t=，此情况符合题意，综上所述，当△QMN为等腰直角三角形时，此时t=或或6．(2017·潍坊) 如图1，抛物线y=ax2+bx+c经过平行四边形ABCD的顶点A（0，3）、B（﹣1，0）、D（2，3），抛物线与x轴的另一交点为E．经过点E的直线l将平行四边形ABCD分割为面积相等两部分，与抛物线交于另一点F．点P在直线l上方抛物线上一动点，设点P的横坐标为t（1）求抛物线的解析式；（2）当t何值时，△PFE的面积最大？并求最大值的立方根；（3）是否存在点P使△PAE为直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．解：（1）由题意可得，解得，∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；（2）∵A（0，3），D（2，3），∴BC=AD=2，∵B（﹣1，0），∴C（1，0），∴线段AC的中点为（，），∵直线l将平行四边形ABCD分割为面积相等两部分，∴直线l过平行四边形的对称中心，∵A、D关于对称轴对称，∴抛物线对称轴为x=1，∴E（3，0），设直线l的解析式为y=kx+m，把E点和对称中心坐标代入可得，解得，∴直线l的解析式为y=﹣x+，联立直线l和抛物线解析式可得，解得或，∴F（﹣，），如图1，作PH⊥x轴，交l于点M，作FN⊥PH，∵P点横坐标为t，∴P（t，﹣t2+2t+3），M（t，﹣t+），∴PM=﹣t2+2t+3﹣（﹣t+）=﹣t2+t+，∴S△PEF =S△PFM+S△PEM=PM•FN+PM•EH=PM•（FN+EH）=（﹣t2+t+）（3+）=﹣（t﹣）+×，∴当t=时，△PEF的面积最大，其最大值为×，∴最大值的立方根为=；（3）由图可知∠PEA≠90°，∴只能有∠PAE=90°或∠APE=90°，①当∠PAE=90°时，如图2，作PG⊥y轴，∵OA=OE，∴∠OAE=∠OEA=45°，∴∠PAG=∠APG=45°，∴PG=AG，∴t=﹣t2+2t+3﹣3，即﹣t2+t=0，解得t=1或t=0（舍去），②当∠APE=90°时，如图3，作PK⊥x轴，AQ⊥PK，则PK=﹣t2+2t+3，AQ=t，KE=3﹣t，PQ=﹣t2+2t+3﹣3=﹣t2+2t，∵∠APQ+∠KPE=∠APQ+∠PAQ=90°，∴∠PAQ=∠KPE，且∠PKE=∠PQA，∴△PKE∽△AQP，∴=，即=，即t2﹣t﹣1=0，解得t=或t=＜﹣（舍去），综上可知存在满足条件的点P，t的值为1或．。

2023-2024学年数学九年级下册人教版 第二十八章 锐角三角函数压轴题经典题型(含答案)

2023-2024学年数学九年级下册人教版 第二十八章 锐角三角函数压轴题经典题型(含答案)

2023-2024学年数学九年级下册人教版第二十八章锐角三角函数压轴题经典题型1．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝3，动点P从点B出发，在边BC上以每秒3个单位长度的速度运动至点C，然后又在边CA上以每秒1个单位长度的速度运动至点A停止．当点P 不与△ABC的顶点重合时，过点P作其所在直角边的垂线交边AB于点Q，再以PQ为边作等边△PQM，且点M与△ABC的另一条直角边始终在PQ同侧．设△PQM与△ABC重叠部分的面积为S 平方单位，点P的运动时间为t秒．（1）当点P在边BC上运动时，求PQ的长（用含t的代数式表示）；（2）当点P在边BC上运动时，求S与t的函数关系式；（3）取AB的中点K，连接CK．当点M落在线段CK上时，求t的值．2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4.点D和点E分别为AC和BC的中点，连接DE.点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿AB向终点B运动，过点P作PF⊥AB，交折线AC-CB于点F，以PF为一边向PF的右侧作正方形PFGH.设点P的运动时间为t秒(t>0).（1）DE的长为 ；（2）当点F在AC边上，且DE=3PF时，求t的值；（3）当点E落在正方形PFGH的内部时，求t的取值范围；（4）当线段DE将正方形PFGH的边PF分成两部分的比为13时，直接写出t的值.3．今年第6号台风“烟花”登录我国沿海地区，风力强，累计降雨量大，影响范围大，有极强的破坏力.如图，台风“烟花”中心沿东西方向AB由A向B移动，已知点C为一海港，在A处测得C港在北偏东45°方向上，在B处测得C港在北偏西60°方向上，且AB=400+4003千米，以台风中心为圆心，周围600千米以内为受影响区域.（1）海港C受台风影响吗？为什么？（2）若台风中心的移动速度为20千米/时，则台风影响该海港持续的时间有多长？（结果保留整数，参考数据2≈1.41，3≈1.73，5≈2.24）4．如图，光从空气斜射入水中，入射光线AB射到水池的水面B点后折射光线BD射到池底点D处，入射角∠ABM=30°，折射角∠DBN=22°；入射光线AC射到水池的水面C点后折射光线CE射到池底点E 处，入射角∠ACM′=60°，折射角∠ECN′=40.5°.DE//BC，MN、M′N′为法线.入射光线AB、AC和折射光线BD、CE及法线MN、M′N′都在同一平面内，点A到直线BC的距离为6米．（1）求BC的长；(结果保留根号)（2）如果DE=8.72米，求水池的深.(参考数据：2取1.41，3取1.73，sin22°取0.37，cos22°取0 .93，tan22°取0.4，sin40.5°取0.65，cos40.5°取0.76，tan40.5°取0.85)5．如图，AB为⊙O的直径，C、D为圆上两点，∠ABD＝2∠BAC，CE⊥BD于点E．（1）求证：CE是⊙O的切线；（2）若BC＝3，BD＝7，求线段BE的长：（3）在（2）的条件下，求cos∠DCA的值．6．如图，抛物线y=m x2+(m2+3)x−(6m+9)与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，已知B(3，0)．（1）请直接写出：m= ；抛物线的解析式 ；直线BC的解析式 ；tan∠OCA= ；（2）如图1，点P是抛物线上位于直线BC上方的一点，过点P作BC的垂线垂足为点G，求线段PG的最大值；（3）如图2，Q为抛物线上一点，若∠ACQ=45°，请求出点Q的坐标．7．综合与实践如图，正方形ACBF与正方形CDGE有公共顶点C，AC=3，CD=2，连接AD，BE．（1）如图①，当点E，G在正方形ACBF内时，线段BE与AD的数量关系是 ，位置关系是 ；（2）把正方形CDGE绕点C旋转到如图②的位置，（1）中的结论还成立吗？说明理由；（3）把正方形CDGE绕点C在平面内自由旋转．①当A，E，D三点在同一条直线上时，AE的长是 ；②旋转过程中，|AE−AD|的最大值为 ．8．如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，E是对角线AC上一点．F是线段BC延长线上一点，且CF=AE，连接BE．（1）如图1，若E是线段AC上任意一点，连接EF，DF，DE，求证：△ADE≌△CDF．（2）在第（1）题的前提下，求证：BE=EF．（3）如图2，若E是线段AC延长线上一点，其他条件不变，且BE∥AF，求tan∠AFC的值．9．如图（1）如图1，在△ABC 中，∠ACB =2∠B ，CD 平分∠ACB ，交AB 于点D ，DE //AC ，交BC 于点E ．①若DE =1，BD =32，求BC 的长；②试探究AB AD −BE DE是否为定值．如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．（2）如图2，∠CBG 和∠BCF 是△ABC 的2个外角，∠BCF =2∠CBG ，CD 平分∠BCF ，交AB 的延长线于点D ，DE //AC ，交CB 的延长线于点E .记△ACD 的面积为S 1，△CDE 的面积为S 2，△BDE 的面积为S 3.若S 1⋅S 3=916S 22，求cos∠CBD 的值．10．如图（1），E ，F ，H 是正方形ABCD 边上的点，连接BE ，CF 交于点G 、连接AG ，GH ，CE =DF .（1）判断BE 与CF 的位置关系，并证明你的结论；（2）若CE =CH ，求证：∠BAG =∠CHG ；（3）如图（2），E ，F 是菱形ABCD 边AB ，AD 上的点，连接DE ，点G 在DE 上，连接AG ，FG ，CG ，∠AGD =∠BAD ，AF =AE ，DF =GF ，CD =10，CG =6，直接写出DF 的长及cos ∠ADC 的值.11．如图，直线y=−2x+10与x轴交于点A，与y轴交于点B，以OB为直径的⊙M交AB于另一点C，点D在⊙M上.分别过点O，B作直线CD的垂线段，垂足为E，F，连接OC.（1）求点A，B，C的坐标.（2）当点D在直线BC右侧时，①求证：EC⋅CF=OE⋅BF；②求证：EC=DF.（3）CD与EF的距离和是否为定值？若是，请直接写出定值；若不是，请直接写出取到最小值时直线CD的解析式.12．如图1是一种纸巾盒，由盒身和圆弧盖组成，通过圆弧盖的旋转来开关纸巾盒.如图2是其侧面简化示意图，已知矩形ABCD的长AB=16cm，宽AD=12cm，圆弧盖板侧面DC所在圆的圆心O是矩形ABCD的中心，绕点D旋转开关（所有结果保留小数点后一位）.（1）求DC所在⊙O的半径长及DC所对的圆心角度数；（2）如图3，当圆弧盖板侧面DC从起始位置DC绕点D旋转90°时，求DC在这个旋转过程中扫过的的面积.参考数据：tan36.87°≈0.75，tan53.06°≈1.33，π取3.14.13．如图，笔直的海岸线l上有A、B两个观测站，A在B的正东方向.有一艘渔船在点P处，从A 处测得渔船在北偏西60°的方向，从B处测得渔船在其东北方向，且测得B、P两点之间的距离为20海里.（1）求观测站A、B之间的距离（结果保留根号）；（2）渔船从点P处沿射线AP的方向航行一段时间后，到点C处等待补给，此时，从B测得渔船在北偏西15°的方向.在渔船到达C处的同时，一艘补给船从点B出发，以每小时20海里的速度前往C处，请问补给船能否在83分钟之内到达C处？（参考数据：3≈1.73）14．已知正方形ABCD的边长为4，△BEF为等边三角形，点E在AB边上，点F在AB边的左侧.（1）如图1，若D，E，F在同一直线上，求BF的长；（2）如图2，连接AF，CE，BD，并延长CE交AF于点H，若CH⊥AF，求证：2AE+2FH=BD （3）如图3，将△ABF沿AB翻折得到△ABP，点Q为AP的中点，连接CQ，若点E在射线BA上运动时，请直接写出线段CQ的最小值.答案解析部分1．【答案】（1）解：PQ ＝t（2）解：当0＜t≤2时，S ＝34t 2；当2＜t ＜3时，S ＝－23t 2＋93t －93．（3）解：①如图①3t ＝332，解得t ＝32；②如图②，3[3－（t －3）]＝32∙（t －3），解得t ＝5综上所述，满足条件的t 的值为32或5.2．【答案】（1）52（2）解：t =524（3）解：当点E 落在GH 上时，∵AP =3t ，PF =4t ，四边形PFGH 是正方形，∴PH =GH =PF =4t ，∠PHG =∠BHE =90°，∴BH =AB−AP−PH =5−3t−4t =5−7t . ∵cos B =BH BE =BC AB ，∴5−7t 2=45，解得t =1735；当点E 落在PF 上时，∵AP =3t ，∴BP =5−3t ，∵cos B =BP BE =BC AB ，∴5−3t 2=45，解得t =1715.综上所述，t 的取值范围是1735<t <1715.（4）解：t 的值为25或4345.3．【答案】（1）解：如下图，过点C 作 CH ⊥AB 交AB 于点H ，设 CH =x在 Rt △ACH 中， ∠A =45° ， AH =CH =x在 Rt △BCH 中， ∠B =30° ， BH =3x∴AB =(3+1)x =400+4003∴x=400，∴CH=400∵400<600，海港C受台风影响（2）解：如下图，以CP=600千米为半径画弧交AB于P、Q两点，此时台风在PQ之间时，海港受到影响，在Rt△PCH中，CP=600，CH=400∴PH=CP2−CH2=2005∴PQ=2PH=4005=205≈45（小时）则时间：t=400520答：台风影响该海港持续的时间有45小时.4．【答案】（1）解：作AF⊥BC，交CB的延长线于点F，则AF//MN//M′N′，∴∠ABM=∠BAF，∠ACM′=∠CAF，∵∠ABM=30°，∠ACM′=60°，∴∠BAF=30°，∠CAF=60°，∵AF=6米，∴BF=AF⋅tan30°=6×3=23(米)，CF=AF⋅tan60°=6×3=63(米)，3∴BC=CF−BF=63−23=43(米)，即BC的长为43米；（2）解：设水池的深为x米，则BN=CN′=x米，由题意可知：∠DBN =22°，∠ECN′=40.5°.DE =8.72米，∴DN =BN ⋅tan22°≈0.4x (米)，N′E =CN′⋅tan40.5°≈0.85x (米)，∵DN +DE =BC +N′E ，∴0.4x +8.72=43+0.85x ，解得x ≈4，即水池的深约为4米．5．【答案】（1）解：如图，连接OC ，∵∠ABD =2∠BAC ，∠COB =2∠BAC ，∴∠ABD =∠COB ，∴OC ∥DE ，∵CE ⊥BD ，∴CE ⊥OC ，∴CE 是 ⊙O 的切线.（2）解：如图，作OF ⊥BD ，设BE =x ，∵OF ⊥BD ，BD =7，∴∠OFB =90°，BF =12BD =72，∴EF =BF +BE =72+x ，O B 2=O F 2+B F 2，∵CE ⊥BD ，CE ⊥OC ，∴∠E =∠OCE =90°，∴四边形OCEF 是矩形，C E 2=B C 2−B E 2=9−x 2，∴OF =CE ，OC =EF =72+x ，∴OB =OC =72+x ，∴(72+x )2=9−x 2+(72)2，x 1=−92(舍去)，x 2=1，∴BE =1.（3）解：由(2)得x =1，∴OB =92，∴AB =2OB =9，∵∠ADB =90°，BD =7，∴cos ∠ABD =BD AB =79，∵∠DCA =∠ABD ，∴cos ∠DCA =cos ∠ABD =79.6．【答案】（1）m =−1；y =−x 2+4x−3；y =x−3；13（2）解：如图1，过点P 作PH ∥y 轴交BC 于点H ，设P(t ，−t 2+4t−3)，则H(t ，t−3)，∴PH =−t 2+4t−3−(t−3)=−t 2+3t ，∵OB =OC =3，∴∠BCO =∠CBO =45°，∵PH ∥y 轴，∴∠PHG =45°∵∠PGH =90°∴PG =PH ⋅sin ∠PHG =(−t 2+3t)×sin45°=−22(t−32)2+928，∴当t =32时，PG 的最大值为928；（3）解：如图2，过点B 作BE ⊥CB 交CQ 的延长线于点E ，过点E 作EF ⊥x 轴于点F ，则∠BFE =∠CBE =90°，∵∠CBO =45°，∴∠EBF =45°，∴BF =EF =22BE ，∵∠BCO =∠ACQ =45°，∴∠BCE =∠OCA ，∴tan ∠BCE =tan ∠OCA∴BE CB =OA OC，又可知A(1，0)，∴OA =1，C(0，−3)∴OC =3由OB =OC =3，得BC =32∴BE 32=13，∴BE =2，∴BF =EF =22×2=1，∴OF =OB +BF =3+1=4∴E(4，−1)，又C(0，−3)∴直线CE 的解析式为y =12x−3，联立方程组{y =12x−3y =−x 2+4x−3，解得：{x 1=0y 1=−3，{x 2=72y 2=−54，∴点Q 的坐标为(72，−54)．7．【答案】（1）BE=AD ；BE⊥AD（2）解：成立，理由如下：如图，∵正方形ACBF，正方形CDGE，∴BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD=90°，∴∠BCA+∠ECA=∠ECD+∠ECA，即∠BCE=∠DCA，∴△BCE≅△ACD(SAS)，∴BE=AD、∠CBO=∠CAD，∵∠BOC=∠AOE，∠OBC+∠BOC=90°∴∠OAD+∠AOE=90°，∴BE⊥AD；（3）7−2；228．【答案】（1）证明：在菱形ABCD中，∠ABC=60°，∴△ADC为等边三角形，∠DAC=∠DCA=∠ACB=60°，∴AD=CD，∠DAE=∠DCF=60°，∵CF=AE，∴△ADE≌△CDF(SAS)（2）证明：∵△ADE≌△CDF(SAS)，∴ED=FD，∠ADE=∠CDF，∵∠ADC=60°，∴∠EDF=60°，∴△EDF为等边三角形，∴EF=DE，∵AD=AB，∠DAE=∠BAE=60°，AE是公共边，∴△ABE≌△ADE(SAS)，∴BE=DE，∴BE=EF．（3）解：过A作AH⊥BF，∵BE ∥AF ，∴△BCE ∽△FCA ，∴CE AC =BC CF，设AC =1，CE =x ，可得方程x 2+x−1=0(x >0)，解得，x =5−12，∵CH =12，AH =32，∴tan ∠AFC =32：(5−12+32)=15−239．【答案】（1）解：①∵CD 平分∠ACB ，∴∠ACD =∠DCB =12∠ACB ，∵∠ACB =2∠B ，∴∠ACD =∠DCB =∠B ，∴CD =BD =32，∵DE //AC ，∴∠ACD =∠EDC ，∴∠EDC =∠DCB =∠B ，∴CE =DE =1，∴△CED∽△CDB ，∴CE CD =CD CB，∴132=32CB ，解得BC =94；②∵DE //AC ，∴AB AD =BC CE，同①可得，CE =DE ，∴AB AD =BC DE，∴AB AD −BEDE=BCDE−BEDE=CEDE=1，∴AB AD −BEDE是定值，定值为1（2）解：∵DE//AC，∴S1S2=ACDE=BCBE，∵S3S2=BECE，∴S1⋅S3S22=BCCE，又∵S1⋅S3=916S22，∴BC CE =9 16，设BC=9x，则CE=16x，∵CD平分∠BCF，∴∠ECD=∠FCD=12∠BCF，∵∠BCF=2∠CBG，∴∠ECD=∠FCD=∠CBD，∴BD=CD，∵DE//AC，∴∠EDC=∠FCD，∴∠EDC=∠CBD=∠ECD，∴CE=DE，∵∠DCB=∠ECD，∴△CDB∽△CED，∴CD CE =CB CD，∴C D2=CB⋅CE=144x2，∴CD=12x，过点D作DH⊥BC于点H，∵BD =CD =12x ，∴BH =12BC =92x ，∴cos∠CBD =BH BD =92x 12x =38．10．【答案】（1）解：BE ⊥CF ，理由：∵四边形ABCD 为正方形，∴BC =CD ，∠BCE =∠CDF =90°.∵CE =DF ，∴△BCE≌△CDF (SAS )，∴∠CBE =∠DCF .∵∠CBE +∠CEB =90°，∴∠DCF +∠CEB =90°，∴∠CGE =90°，即BE ⊥CF（2）证明：∵∠CBG =∠EBC ，∠CGB =∠ECB =90°，∴△CGB ∽△ECB ，∴CG CE =BG BC. ∵CE =CH ，BC =AB ，∴CG CH =BG AB，即CG BG =CH AB .∵∠CBG +∠BCG =90°，∠ABG +∠CBG =90°，∴∠BCG =∠ABG ，即∠HCG =∠ABG ，∴△HCG ∽△ABG ，∴∠BAG =∠CHG ；（3）解：DF =154，cos ∠ADC =81511．【答案】（1）解：令x =0，则y =10；令y =0，则0=−2x +10，解得x =5； ∴A(5，0)，B(0，10)，∴OA =5，OB =10，AB =52+52=55，作CG ⊥OB 于点G ，∵以OB 为直径的⊙M 交AB 于另一点C ，∴∠BCO =90°，∵sin ∠CBO =OA AB =OC OB ，即555=OC 10，∴OC =25，∵cos ∠BOC =OG OC =OC OB ，即OG 25=2510，∴OG =2，∴CG =OC 2−OG 2=4，∴C(4，2)；（2）证明：①∵∠BCO =90°，BF ⊥CD ，OE ⊥CD ，即∠BCO =∠BFC =∠CEO =90°， ∴∠OCE =∠CBF ，∴△OCE ∽△CBF ，∴CE BF =OE FC ，即EC ⋅CF =OE ⋅BF ；②作MN ⊥CD 于点M ，则OE ∥MN ∥BF ，且OM =BM ，∴OM BM =EN NF，∴EN =NF ，∵MN ⊥CD ，∴CN =DN ，∴EN−CN =NF−DN ，即EC =DF ；（3）解：CD 与EF 的距离和不是定值；直线CD 的解析式为y =43x−103.12．【答案】（1）解：如图，连接AC ，BD 相交于点O ，为矩形ABCD 的中心，∵AB =16，AD =12，∠BAD =90°，∴BD =AB 2+AD 2=256+144=20，∴⊙O 半径长为：OD =12BD =12×20=10.0cm ，∵tan ∠ADB =AB AD =1612≈1.33，∴∠ADB ≈53.06°，∴∠DOC =2∠ADB =2×53.06°≈106.1°；（2）解：如图，∵S 弓形DmC =S 弓形Dn C ′，∴DC 扫过的的面积：S 阴=S 扇形CD C ′=90π×162360≈201.0(c m 2).13．【答案】（1）解：过点P 作PD ⊥AB 于D 点，∴∠BDP =∠ADP =90°，在Rt △PBD 中，∠PBD =90°−45°=45°，BP =20海里，∴DP =BP·sin45°=102（海里）， BD =BP·cos45°=102（海里），在Rt △PAD 中，∠PAD =90°−60°=30°，∴AD =DP tan30°=106（海里）， ∴AB =BD +AD =(102+106)海里，∴观测站A ，B 之间的距离为(102+106)海里；（2）解：补给船能在82分钟之内到达C 处，理由：过点B 作BF ⊥AC ，垂足为F ，∴∠AFB =∠CFB =90°，由题意得：∠ABC =90°+15°=105°，∠PAD =90°−60°=30°，∴∠C =180°−∠ABC−∠PAD =45°，在Rt △ABF 中，∠BAF =30°，∴BF =12AB =(52+56)海里， 在Rt △BCF 中，∠C =45°，∴BC =BF sin45°=2(52+56)=(10+103)海里， ∴补给船从B 到C 处的航行时间=10+10320×60=30+303≈81.9（分钟）<83分钟， ∴补给船能在83分钟之内到达C 处.14．【答案】（1）解：∵△BEF为等边三角形，∴∠BEF=60°=∠AED，BF=BE，∵四边形ABCD是正方形，∴∠A=90°，AD=4，∴tan∠AED=ADAE=3，∴AE=433，∴BE=AB−AE=4−433；（2）证明：如图，延长AF，CB交于点G，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD=BC，∠ABC=∠ABG=90°，∴BD=AB2+AD2=2AB，∵CH⊥AF，∴∠CHG=∠ABG=90°，∴∠G+∠BAG=90°=∠G+∠BCH，∴∠BAG=∠BCH，∴△ABG≌△CBE(ASA)，∴BE=BG，∠G=∠BEC，∵△BEF为等边三角形，∴BE=BF=EF，∠BEF=∠BFE，∴BG=BF，∴∠G=∠BFG，∴∠BFG=∠BEC，∴∠GFE=∠CEF，∴∠HFE=∠HEF，∵CH⊥AF，∴∠HFE=∠HEF=45°，∴EH =FH ，∴EF =2FH ，∴BE =2FH ，∴BD =2AB =2AE +2BE =2AE +2FH ；（3）解：当点E 在线段AB 上时，如图，取AB 的中点N ，连接NQ ，∵将△ABF 沿AB 翻折得到△ABP ，∴∠ABF =∠ABP =60°，∵点Q 为AP 的中点，∴NQ ∥BP ，∴∠ANQ =∠ABP =60°，∴点Q 在过线段AB 的中点，且与AB 成60°角的直线上移动，∴当CQ ⊥NQ 时，CQ 有最小值，如图，延长QN ，CB 交于点H ，连接AQ ，∵点N 是线段AB 的中点，∴BN =AN =2，∵∠ANQ =60°=∠BNH ，∴tan ∠BNH =BH BN =3，∴BH =23，∴CH =23+4，∵∠H =90°−∠BNH =30°，∴CQ =12CH =2+3，HN =2BN =4，HQ =3CQ =23+3，∴NQ =23−1>2，∴∠NAQ>60°，∴此时点E不在线段AB上，∴点E在线段AB上时，CQ>2+3，当点E在线段AB的延长线上时，∵将△ABF沿AB翻折得到△ABP，∴∠ABF=∠ABP=120°，∵点Q为AP的中点，点N是线段AB的中点，∴NQ∥BP，∴∠ANQ=∠ABP=60°，∴点Q在过线段AB的中点，且与AB成60°角的直线上移动，∴当CQ⊥NQ时，CQ有最小值，同理：CQ=2−3；综上所述，CQ的最小值为2−3.。

初三数学九上九下压轴题难题提高题培优题(含答案解析)

初三数学九上九下压轴题难题提高题培优题(含答案解析)

初三数学九上压轴题难题提高题培优题一．解答题（共8小题）1．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点A（﹣3，0）、B（1，0）、C（﹣2，1），交y轴于点M．（1）求抛物线的表达式；（2）D为抛物线在第二象限部分上的一点，作DE垂直x轴于点E，交线段AM 于点F，求线段DF长度的最大值，并求此时点D的坐标；（3）抛物线上是否存在一点P，作PN垂直x轴于点N，使得以点P、A、N为顶点的三角形与△MAO相似（不包括全等）？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．2．如图，在平面直角坐标系xOy中，顶点为M的抛物线y=ax2+bx（a＞0）经过点A和x轴正半轴上的点B，AO=OB=4，∠AOB=120°．（1）求这条抛物线的表达式；（2）联结OM，求∠AOM的大小；（3）如果点C在x轴上，且△ABC与△AOM相似，求点C的坐标．3．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx+c交x轴于A（2，0），B （6，0）两点，交y轴于点．（1）求此抛物线的解析式；（2）若此抛物线的对称轴与直线y=2x交于点D，作⊙D与x轴相切，⊙D交y 轴于点E、F两点，求劣弧EF的长；（3）P为此抛物线在第二象限图象上的一点，PG垂直于x轴，垂足为点G，试确定P点的位置，使得△PGA的面积被直线AC分为1：2两部分？4．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣2，﹣4），OB=2，抛物线y=ax2+bx+c 经过点A、O、B三点．（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点M是抛物线对称轴上一点，试求AM+OM的最小值；（3）在此抛物线上，是否存在点P，使得以点P与点O、A、B为顶点的四边形是梯形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．5．已知抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A（0，1），B （4，3）．（1）求抛物线的函数解析式；（2）求tan∠ABO的值；（3）过点B作BC⊥x轴，垂足为C，在对称轴的左侧且平行于y轴的直线交线段AB于点N，交抛物线于点M，若四边形MNCB为平行四边形，求点M的坐标．6．如图1，已知抛物线的方程C1：y=﹣（x+2）（x﹣m）（m＞0）与x轴交于点B、C，与y轴交于点E，且点B在点C的左侧．（1）若抛物线C1过点M（2，2），求实数m的值；（2）在（1）的条件下，求△BCE的面积；（3）在（1）的条件下，在抛物线的对称轴上找一点H，使得BH+EH最小，求出点H的坐标；（4）在第四象限内，抛物线C1上是否存在点F，使得以点B、C、F为顶点的三角形与△BCE相似？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．7．如图，已知抛物线y=x2﹣（b+1）x+（b是实数且b＞2）与x轴的正半轴分别交于点A、B（点A位于点B的左侧），与y轴的正半轴交于点C．（1）点B的坐标为，点C的坐标为（用含b的代数式表示）；（2）请你探索在第一象限内是否存在点P，使得四边形PCOB的面积等于2b，且△PBC是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q，使得△QCO，△QOA和△QAB 中的任意两个三角形均相似（全等可作相似的特殊情况）？如果存在，求出点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由．8．如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B（1，0），C（3，0），D（3，4）．以A为顶点的抛物线y=ax2+bx+c过点C．动点P从点A出发，沿线段AB向点B运动．同时动点Q从点C出发，沿线段CD向点D运动．点P，Q的运动速度均为每秒1个单位．运动时间为t秒．过点P作PE⊥AB交AC于点E．（1）直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；（2）过点E作EF⊥AD于F，交抛物线于点G，当t为何值时，△ACG的面积最大？最大值为多少？（3）在动点P，Q运动的过程中，当t为何值时，在矩形ABCD内（包括边界）存在点H，使以C，Q，E，H为顶点的四边形为菱形？请直接写出t的值．初三数学九上压轴题难题提高题培优题参考答案与试题解析一．解答题（共8小题）1．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点A（﹣3，0）、B（1，0）、C（﹣2，1），交y轴于点M．（1）求抛物线的表达式；（2）D为抛物线在第二象限部分上的一点，作DE垂直x轴于点E，交线段AM 于点F，求线段DF长度的最大值，并求此时点D的坐标；（3）抛物线上是否存在一点P，作PN垂直x轴于点N，使得以点P、A、N为顶点的三角形与△MAO相似（不包括全等）？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：由题意可知．解得．∴抛物线的表达式为y=﹣．（2）将x=0代入抛物线表达式，得y=1．∴点M的坐标为（0，1）．设直线MA的表达式为y=kx+b，则．解得．∴直线MA的表达式为y=x+1．设点D的坐标为（），则点F的坐标为（）．DF==．当时，DF的最大值为．此时，即点D的坐标为（）．（3）存在点P，使得以点P、A、N为顶点的三角形与△MAO相似．设P（m，）．在Rt△MAO中，AO=3MO，要使两个三角形相似，由题意可知，点P不可能在第一象限．①设点P在第二象限时，∵点P不可能在直线MN上，∴只能PN=3AN，∴，即m2+11m+24=0．解得m=﹣3（舍去）或m=﹣8．又﹣3＜m＜0，故此时满足条件的点不存在．②当点P在第三象限时，∵点P不可能在直线MA上，∴只能PN=3AN，∴，即m2+11m+24=0．解得m=﹣3或m=﹣8．此时点P的坐标为（﹣8，﹣15）．③当点P在第四象限时，若AN=3PN时，则﹣3，即m2+m﹣6=0．解得m=﹣3（舍去）或m=2．当m=2时，．此时点P的坐标为（2，﹣）．若PN=3NA，则﹣，即m2﹣7m﹣30=0．解得m=﹣3（舍去）或m=10，此时点P的坐标为（10，﹣39）．综上所述，满足条件的点P的坐标为（﹣8，﹣15）、（2，﹣）、（10，﹣39）．2．如图，在平面直角坐标系xOy中，顶点为M的抛物线y=ax2+bx（a＞0）经过点A和x轴正半轴上的点B，AO=OB=4，∠AOB=120°．（1）求这条抛物线的表达式；（2）联结OM，求∠AOM的大小；（3）如果点C在x轴上，且△ABC与△AOM相似，求点C的坐标．【解答】解：（1）如图，过点A作AD⊥y轴于点D，∵AO=OB=4，∴B（4，0）．∵∠AOB=120°，∴∠AOD=30°，∴AD=OA=2，OD=OA=2．∴A（﹣2，2）．将A（﹣2，2），B（4，0）代入y=ax2+bx，得：，解得：，∴这条抛物线的表达式为y=x2﹣x；（2）过点M作ME⊥x轴于点E，∵y=x2﹣x=（x﹣2）2﹣，∴M（2，﹣），即OE=2，EM=．∴tan∠EOM==．∴∠EOM=30°．∴∠AOM=∠AOB+∠EOM=150°．（3）过点A作AH⊥x轴于点H，∵AH=2，HB=HO+OB=6，∴tan∠ABH==．∴∠ABH=30°，∵∠AOM=150°，∴∠OAM＜30°，∴∠OMA＜30°，∴点C不可能在点B的左侧，只能在点B的右侧．∴∠ABC=180°﹣∠ABH=150°，∵∠AOM=150°，∴∠AOM=∠ABC．∴△ABC与△AOM相似，有如下两种可能：①△BAC与∽△OAM，②△BAC与∽△OMA∵OD=2，ME=，∴OM=，∵AH=2，BH=6，∴AB=4．①当△BAC与∽△OAM时，由=得，解得BC=4．∴C1（8，0）．②当△BAC与∽△OMA时，由=得，解得BC=12．∴C2（16，0）．综上所述，如果点C在x轴上，且△ABC与△AOM相似，则点C的坐标为（8，0）或（16，0）．3．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx+c交x轴于A（2，0），B （6，0）两点，交y轴于点．（1）求此抛物线的解析式；（2）若此抛物线的对称轴与直线y=2x交于点D，作⊙D与x轴相切，⊙D交y 轴于点E、F两点，求劣弧EF的长；（3）P为此抛物线在第二象限图象上的一点，PG垂直于x轴，垂足为点G，试确定P点的位置，使得△PGA的面积被直线AC分为1：2两部分？【解答】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c经过点A（2，0），B（6，0），；∴，解得；∴抛物线的解析式为：；（2）易知抛物线的对称轴是x=4，把x=4代入y=2x，得y=8，∴点D的坐标为（4，8）；∵⊙D与x轴相切，∴⊙D的半径为8；连接DE、DF，作DM⊥y轴，垂足为点M；在Rt△MFD中，FD=8，MD=4，∴cos∠MDF=；∴∠MDF=60°，∴∠EDF=120°；∴劣弧EF的长为：；（3）设直线AC的解析式为y=kx+b；∵直线AC经过点，∴，解得；∴直线AC的解析式为：；设点，PG交直线AC于N，则点N坐标为，∵S△PNA ：S△GNA=PN：GN；∴①若PN：GN=1：2，则PG：GN=3：2，PG=GN；即=；解得：m1=﹣3，m2=2（舍去）；当m=﹣3时，=；∴此时点P的坐标为；②若PN：GN=2：1，则PG：GN=3：1，PG=3GN；即=；解得：m1=﹣12，m2=2（舍去）；当m=﹣12时，=；∴此时点P的坐标为；综上所述，当点P坐标为或时，△PGA的面积被直线AC分成1：2两部分．4．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣2，﹣4），OB=2，抛物线y=ax2+bx+c 经过点A、O、B三点．（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点M是抛物线对称轴上一点，试求AM+OM的最小值；（3）在此抛物线上，是否存在点P，使得以点P与点O、A、B为顶点的四边形是梯形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）由OB=2，可知B（2，0），将A（﹣2，﹣4），B（2，0），O（0，0）三点坐标代入抛物线y=ax2+bx+c，得解得：∴抛物线的函数表达式为．答：抛物线的函数表达式为．（2）由，可得，抛物线的对称轴为直线x=1，且对称轴x=1是线段OB的垂直平分线，连接AB交直线x=1于点M，M点即为所求．∴MO=MB，则MO+MA=MA+MB=AB作AC⊥x轴，垂足为C，则AC=4，BC=4，∴AB=∴MO+MA的最小值为．答：MO+MA的最小值为．（3）①若OB∥AP，此时点A与点P关于直线x=1对称，由A（﹣2，﹣4），得P（4，﹣4），则得梯形OAPB．②若OA∥BP，设直线OA的表达式为y=kx，由A（﹣2，﹣4）得，y=2x．设直线BP的表达式为y=2x+m，由B（2，0）得，0=4+m，即m=﹣4，∴直线BP的表达式为y=2x﹣4由，解得x1=﹣4，x2=2（不合题意，舍去）当x=﹣4时，y=﹣12，∴点P（﹣4，﹣12），则得梯形OAPB．③若AB∥OP，设直线AB的表达式为y=kx+m，则，解得，∴AB的表达式为y=x﹣2．∵AB∥OP，∴直线OP的表达式为y=x．由，得x2=0，解得x=0，（不合题意，舍去），此时点P不存在．综上所述，存在两点P（4，﹣4）或P（﹣4，﹣12）使得以点P与点O、A、B为顶点的四边形是梯形．答：在此抛物线上，存在点P，使得以点P与点O、A、B为顶点的四边形是梯形，点P的坐标是（4，﹣4）或（﹣4，﹣12）．5．已知抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A（0，1），B （4，3）．（1）求抛物线的函数解析式；（2）求tan∠ABO的值；（3）过点B作BC⊥x轴，垂足为C，在对称轴的左侧且平行于y轴的直线交线段AB于点N，交抛物线于点M，若四边形MNCB为平行四边形，求点M的坐标．【解答】解：（1）∵抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A（0，1），B （4，3），∴，解得，所以，抛物线的函数解析式为y=﹣x2+x+1；（2）如图，过点B作BC⊥x轴于C，过点A作AD⊥OB于D，∵A（0，1），B （4，3），∴OA=1，OC=4，BC=3，根据勾股定理，OB===5，∵∠OAD+∠AOD=90°，∠AOD+∠BOC=90°，∴∠OAD=∠BOC，又∵∠ADO=∠OCB=90°，∴△AOD∽△OBC，∴==，即==，解得OD=，AD=，∴BD=OB﹣OD=5﹣=，∴tan∠ABO===；（3）设直线AB的解析式为y=kx+b（k≠0，k、b是常数），则，解得，所以，直线AB的解析式为y=x+1，设点M（a，﹣a2+a+1），N（a，a+1），则MN=﹣a2+a+1﹣a﹣1=﹣a2+4a，∵四边形MNCB为平行四边形，∴MN=BC，∴﹣a2+4a=3，整理得，a2﹣4a+3=0，解得a1=1，a2=3，∵MN在抛物线对称轴的左侧，抛物线的对称轴为直线x=﹣=，∴a=1，∴﹣12+×1+1=，∴点M的坐标为（1，）．6．如图1，已知抛物线的方程C1：y=﹣（x+2）（x﹣m）（m＞0）与x轴交于点B、C，与y轴交于点E，且点B在点C的左侧．（1）若抛物线C1过点M（2，2），求实数m的值；（2）在（1）的条件下，求△BCE的面积；（3）在（1）的条件下，在抛物线的对称轴上找一点H，使得BH+EH最小，求出点H的坐标；（4）在第四象限内，抛物线C1上是否存在点F，使得以点B、C、F为顶点的三角形与△BCE相似？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）将x=2，y=2代入抛物线的解析式得：﹣×4×（2﹣m）=2，解得：m=4，经检验：m=4是分式方程的解．∴m的值为4．（2）y=0得：0=﹣（x+2）（x﹣m），解得x=﹣2或x=m，∴B（﹣2，0），C（m，0）．由（1）得：m=4，∴C（4，0）．将x=0代入得：y=﹣×2×（﹣m）=2，∴E（0，2）．∴BC=6，OE=2．∴S=BC•OE=×6×2=6．△BCE（3）如图1所示：连接EC交抛物线的对称轴于点H，连接BH，设对称轴与x 轴的交点为P．∵x=﹣，∴抛物线的对称轴是直线x=1．∴CP=3．∵点B与点C关于x=1对称，∴BH=CH．∴BH+EH=EH+HC．∴当H落在线段EC上时，BH+EH的值最小．∵HP∥OE，∴△PHC∽△EOC．∴，即．解得HP=．∴点H的坐标为（1，）．（4）①如图2，过点B作EC的平行线交抛物线于F，过点F作FF′⊥x轴于F′．∵BF∥EC，∴∠BCE=∠FBC．∴当，即BC2=CE•BF时，△BCE∽△FBC．设点F的坐标为（x，﹣（x+2）（x﹣m）），由，得．解得x=m+2．∴F′（m+2，0）．∵∠BCE=∠FBC．∴，得，解得：．又∵BC2=CE•BF，∴，整理得：0=16．此方程无解．②如图3，作∠CBF=45°交抛物线于F，过点F作FF′⊥x轴于F′，∵OE=OB，∠EOB=90°，∴∠EBO=45°．∵∵∠CBF=45°，∴∠EBC=∠CBF，∴当，即BC2=BE•BF时，△BCE∽△BFC．在Rt△BFF′中，由FF′=BF′，得（x+2）（x﹣m）=x+2，解得x=2m．∴F′（2m，0）．∴B F′=2m+2，∴BF=2m+2．由BC2=BE•BF，得（m+2）2=2×（2m+2）．解得．∵m＞0，∴m=2+2．综上所述，点m的值为2+2．7．如图，已知抛物线y=x2﹣（b+1）x+（b是实数且b＞2）与x轴的正半轴分别交于点A、B（点A位于点B的左侧），与y轴的正半轴交于点C．（1）点B的坐标为（b，0），点C的坐标为（0，）（用含b的代数式表示）；（2）请你探索在第一象限内是否存在点P，使得四边形PCOB的面积等于2b，且△PBC是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q，使得△QCO，△QOA和△QAB 中的任意两个三角形均相似（全等可作相似的特殊情况）？如果存在，求出点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由．【解答】解：（1）令y=0，即y=x2﹣（b+1）x+=0，解得：x=1或b，∵b是实数且b＞2，点A位于点B的左侧，∴点B的坐标为（b，0），令x=0，解得：y=，∴点C的坐标为（0，），故答案为：（b，0），（0，）；（2）存在，假设存在这样的点P，使得四边形PCOB的面积等于2b，且△PBC是以点P为直角顶点的等腰直角三角形．设点P的坐标为（x，y），连接OP．=S△PCO+S△POB=••x+•b•y=2b，则S四边形PCOB∴x+4y=16．过P作PD⊥x轴，PE⊥y轴，垂足分别为D、E，∴∠PEO=∠EOD=∠ODP=90°．∴四边形PEOD是矩形．∴∠EPD=90°．∴∠EPC=∠DPB．∴△PEC≌△PDB，∴PE=PD，即x=y．由解得由△PEC≌△PDB得EC=DB，即﹣=b﹣，解得b=＞2符合题意．∴P的坐标为（，）；（3）假设存在这样的点Q，使得△QCO，△QOA和△QAB中的任意两个三角形均相似．∵∠QAB=∠AOQ+∠AQO，∴∠QAB＞∠AOQ，∠QAB＞∠AQO．∴要使△QOA与△QAB相似，只能∠QAO=∠BAQ=90°，即QA⊥x轴．∵b＞2，∴AB＞OA，∴∠Q0A＞∠ABQ．∴只能∠AOQ=∠AQB．此时∠OQB=90°，由QA⊥x轴知QA∥y轴．∴∠COQ=∠OQA．∴要使△QOA与△OQC相似，只能∠QCO=90°或∠OQC=90°．（I）当∠OCQ=90°时，△CQO≌△QOA．∴AQ=CO=．由AQ2=OA•AB得：（）2=b﹣1．解得：b=8±4．∵b＞2，∴b=8+4．∴点Q的坐标是（1，2+）．（II）当∠OQC=90°时，△OCQ∽△QOA，∴=，即OQ2=OC•AQ．又OQ2=OA•OB，∴OC•AQ=OA•OB．即•AQ=1×b．解得：AQ=4，此时b=17＞2符合题意，∴点Q的坐标是（1，4）．∴综上可知，存在点Q（1，2+）或Q（1，4），使得△QCO，△QOA和△QAB 中的任意两个三角形均相似．8．如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B（1，0），C（3，0），D（3，4）．以A为顶点的抛物线y=ax2+bx+c过点C．动点P从点A出发，沿线段AB向点B运动．同时动点Q从点C出发，沿线段CD向点D运动．点P，Q的运动速度均为每秒1个单位．运动时间为t秒．过点P作PE⊥AB交AC于点E．（1）直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；（2）过点E作EF⊥AD于F，交抛物线于点G，当t为何值时，△ACG的面积最大？最大值为多少？（3）在动点P，Q运动的过程中，当t为何值时，在矩形ABCD内（包括边界）存在点H，使以C，Q，E，H为顶点的四边形为菱形？请直接写出t的值．【解答】解：（1）A（1，4）．由题意知，可设抛物线解析式为y=a（x﹣1）2+4∵抛物线过点C（3，0），∴0=a（3﹣1）2+4，解得，a=﹣1，∴抛物线的解析式为y=﹣（x﹣1）2+4，即y=﹣x2+2x+3．（2）∵A（1，4），C（3，0），∴可求直线AC的解析式为y=﹣2x+6．∵点P（1，4﹣t）．∴将y=4﹣t代入y=﹣2x+6中，解得点E的横坐标为x=1+．∴点G的横坐标为1+，代入抛物线的解析式中，可求点G的纵坐标为4﹣．∴GE=（4﹣）﹣（4﹣t）=t﹣．又∵点A到GE的距离为，C到GE的距离为2﹣，即S=S△AEG+S△CEG=•EG•+•EG（2﹣）△ACG=•2（t﹣）=﹣（t﹣2）2+1．的最大值为1．当t=2时，S△ACG（3）第一种情况如图1所示，点H在AC的上方，由四边形CQEH是菱形知CQ=CE=t，根据△APE∽△ABC，知=，即=，解得t=20﹣8；第二种情况如图2所示，点H在AC的下方，由四边形CQHE是菱形知CQ=QE=EH=HC=t，PE=t，EM=2﹣t，MQ=4﹣2t．则在直角三角形EMQ中，根据勾股定理知EM2+MQ2=EQ2，即（2﹣t）2+（4﹣2t）2=t2，解得，t1=，t2=4（不合题意，舍去）．综上所述，t=20﹣8或t=．。

中考数学压轴题100题(附答案)

中考数学压轴题100题(附答案)

中考数学压轴题100题（附答案）一、中考压轴题1．如图，△ABC内接于⊙O，AB＝6，AC＝4，D是AB边上一点，P是优弧BAC的中点，连接P A、PB、PC、PD．（1）当BD的长度为多少时，△P AD是以AD为底边的等腰三角形？并证明；（2）在（1）的条件下，若cos∠PCB＝，求P A的长．【分析】（1）根据等弧对等弦以及全等三角形的判定和性质进行求解；（2）过点P作PE⊥AD于E．根据锐角三角函数的知识和垂径定理进行求解．【解答】解：（1）当BD＝AC＝4时，△P AD是以AD为底边的等腰三角形．∵P是优弧BAC的中点，∴＝．∴PB＝PC．又∵∠PBD＝∠PCA（圆周角定理），∴当BD＝AC＝4，△PBD≌△PCA．∴P A＝PD，即△P AD是以AD为底边的等腰三角形．（2）过点P作PE⊥AD于E，由（1）可知，当BD＝4时，PD＝P A，AD＝AB﹣BD＝6﹣4＝2，则AE＝AD＝1．∵∠PCB＝∠P AD（在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等），∴cos∠P AD＝cos∠PCB＝，∴P A＝．【点评】综合运用了等弧对等弦的性质、全等三角形的判定和性质、锐角三角函数的知识以及垂径定理．2．如图，一次函数y＝﹣x﹣2的图象分别交x轴、y轴于A、B两点，P为AB的中点，PC⊥x轴于点C，延长PC交反比例函数y＝（x＜0）的图象于点Q，且tan∠AOQ＝．（1）求k的值；（2）连接OP、AQ，求证：四边形APOQ是菱形．【分析】（1）由一次函数解析式确定A点坐标，进而确定C，Q的坐标，将Q的坐标代入反比例函数关系式可求出k的值．（2）由（1）可分别确定QC＝CP，AC＝OC，且QP垂直平分AO，故可证明四边形APOQ是菱形．【解答】（1）解：∵y＝﹣x﹣2令y＝0，得x＝﹣4，即A（﹣4，0）由P为AB的中点，PC⊥x轴可知C点坐标为（﹣2，0）又∵tan∠AOQ＝可知QC＝1∴Q点坐标为（﹣2，1）将Q点坐标代入反比例函数得：1＝，∴可得k＝﹣2；（2）证明：由（1）可知QC＝PC＝1，AC＝CO＝2，且A0⊥PQ∴四边形APOQ是菱形．【点评】本题考查了待定系数法求函数解析式，又结合了几何图形进行考查，属于综合性比较强的题目，有一定难度．3．某公司经营杨梅业务，以3万元/吨的价格向农户收购杨梅后，分拣成A、B两类，A类杨梅包装后直接销售；B类杨梅深加工后再销售．A类杨梅的包装成本为1万元/吨，根据市场调查，它的平均销售价格y（单位：万元/吨）与销售数量x（x≥2）之间的函数关系如图；B类杨梅深加工总费用s（单位：万元）与加工数量t（单位：吨）之间的函数关系是s＝12+3t，平均销售价格为9万元/吨．（1）直接写出A类杨梅平均销售价格y与销售量x之间的函数关系式；（2）第一次，该公司收购了20吨杨梅，其中A类杨梅有x吨，经营这批杨梅所获得的毛利润为w万元（毛利润＝销售总收入﹣经营总成本）．①求w关于x的函数关系式；②若该公司获得了30万元毛利润，问：用于直销的A类杨梅有多少吨？（3）第二次，该公司准备投入132万元资金，请设计一种经营方案，使公司获得最大毛利润，并求出最大毛利润．【分析】（1）这是一个分段函数，分别求出其函数关系式；（2）①当2≤x＜8时及当x≥8时，分别求出w关于x的表达式．注意w＝销售总收入﹣经营总成本＝w A+w B﹣3×20；②若该公司获得了30万元毛利润，将30万元代入①中求得的表达式，求出A类杨梅的数量；（3）本问是方案设计问题，总投入为132万元，这笔132万元包括购买杨梅的费用+A类杨梅加工成本+B类杨梅加工成本．共购买了m吨杨梅，其中A类杨梅为x吨，B类杨梅为（m﹣x）吨，分别求出当2≤x＜8时及当x≥8时w关于x的表达式，并分别求出其最大值．【解答】解：（1）①当2≤x＜8时，如图，设直线AB解析式为：y＝kx+b，将A（2，12）、B（8，6）代入得：，解得，∴y＝﹣x+14；②当x≥8时，y＝6．所以A类杨梅平均销售价格y与销售量x之间的函数关系式为：y＝；（2）设销售A类杨梅x吨，则销售B类杨梅（20﹣x）吨．①当2≤x＜8时，w A＝x（﹣x+14）﹣x＝﹣x2+13x；w B＝9（20﹣x）﹣[12+3（20﹣x）]＝108﹣6x∴w＝w A+w B﹣3×20＝（﹣x2+13x）+（108﹣6x）﹣60＝﹣x2+7x+48；当x≥8时，w A＝6x﹣x＝5x；w B＝9（20﹣x）﹣[12+3（20﹣x）]＝108﹣6x∴w＝w A+w B﹣3×20＝（5x）+（108﹣6x）﹣60＝﹣x+48．∴w关于x的函数关系式为：w＝．②当2≤x＜8时，﹣x2+7x+48＝30，解得x1＝9，x2＝﹣2，均不合题意；当x≥8时，﹣x+48＝30，解得x＝18．∴当毛利润达到30万元时，直接销售的A类杨梅有18吨．（3）设该公司用132万元共购买了m吨杨梅，其中A类杨梅为x吨，B类杨梅为（m﹣x）吨，则购买费用为3m万元，A类杨梅加工成本为x万元，B类杨梅加工成本为[12+3（m﹣x）]万元，∴3m+x+[12+3（m﹣x）]＝132，化简得：x＝3m﹣60．①当2≤x＜8时，w A＝x（﹣x+14）﹣x＝﹣x2+13x；w B＝9（m﹣x）﹣[12+3（m﹣x）]＝6m﹣6x﹣12∴w＝w A+w B﹣3×m＝（﹣x2+13x）+（6m﹣6x﹣12）﹣3m＝﹣x2+7x+3m﹣12．将3m＝x+60代入得：w＝﹣x2+8x+48＝﹣（x﹣4）2+64∴当x＝4时，有最大毛利润64万元，此时m＝，m﹣x＝；②当x≥8时，w A＝6x﹣x＝5x；w B＝9（m﹣x）﹣[12+3（m﹣x）]＝6m﹣6x﹣12∴w＝w A+w B﹣3×m＝（5x）+（6m﹣6x﹣12）﹣3m＝﹣x+3m﹣12．将3m＝x+60代入得：w＝48∴当x＞8时，有最大毛利润48万元．综上所述，购买杨梅共吨，其中A类杨梅4吨，B类吨，公司能够获得最大毛利润，最大毛利润为64万元．【点评】本题是二次函数、一次函数的综合应用题，难度较大．解题关键是理清售价、成本、利润三者之间的关系．涉及到分段函数时，注意要分类讨论．4．已知：y关于x的函数y＝（k﹣1）x2﹣2kx+k+2的图象与x轴有交点．（1）求k的取值范围；（2）若x1，x2是函数图象与x轴两个交点的横坐标，且满足（k﹣1）x12+2kx2+k+2＝4x1x2．①求k的值；②当k≤x≤k+2时，请结合函数图象确定y的最大值和最小值．【分析】（1）分两种情况讨论，当k＝1时，可求出函数为一次函数，必与x轴有一交点；当k≠1时，函数为二次函数，若与x轴有交点，则△≥0．（2）①根据（k﹣1）x12+2kx2+k+2＝4x1x2及根与系数的关系，建立关于k的方程，求出k 的值；②充分利用图象，直接得出y的最大值和最小值．【解答】解：（1）当k＝1时，函数为一次函数y＝﹣2x+3，其图象与x轴有一个交点．当k≠1时，函数为二次函数，其图象与x轴有一个或两个交点，令y＝0得（k﹣1）x2﹣2kx+k+2＝0．△＝（﹣2k）2﹣4（k﹣1）（k+2）≥0，解得k≤2．即k≤2且k≠1．综上所述，k的取值范围是k≤2．（2）①∵x1≠x2，由（1）知k＜2且k≠1，函数图象与x轴两个交点，∴k＜2，且k≠1．由题意得（k﹣1）x12+（k+2）＝2kx1①，将①代入（k﹣1）x12+2kx2+k+2＝4x1x2中得：2k（x1+x2）＝4x1x2．又∵x1+x2＝，x1x2＝，∴2k•＝4•．解得：k1＝﹣1，k2＝2（不合题意，舍去）．∴所求k值为﹣1．②如图，∵k1＝﹣1，y＝﹣2x2+2x+1＝﹣2（x﹣）2+．且﹣1≤x≤1．由图象知：当x＝﹣1时，y最小＝﹣3；当x＝时，y最大＝．∴y的最大值为，最小值为﹣3．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点、一次函数的定义、二次函数的最值，充分利用图象是解题的关键．5．广安市某楼盘准备以每平方米6000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，房地产开发商为了加快资金周转，对价格经过两次下调后，决定以每平方米4860元的均价开盘销售．（1）求平均每次下调的百分率．（2）某人准备以开盘价均价购买一套100平方米的住房，开发商给予以下两种优惠方案以供选择：①打9.8折销售；②不打折，一次性送装修费每平方米80元，试问哪种方案更优惠？【分析】（1）根据题意设平均每次下调的百分率为x，列出一元二次方程，解方程即可得出答案；（2）分别计算两种方案的优惠价格，比较后发现方案①更优惠．【解答】解：（1）设平均每次下调的百分率为x，则6000（1﹣x）2＝4860，解得：x1＝0.1＝10%，x2＝1.9（舍去），故平均每次下调的百分率为10%；（2）方案①购房优惠：4860×100×（1﹣0.98）＝9720（元）；方案②可优惠：80×100＝8000（元）．故选择方案①更优惠．【点评】本题主要考查一元二次方程的实际应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解，属于中档题．6．我们学习了利用函数图象求方程的近似解，例如：把方程2x﹣1＝3﹣x的解看成函数y ＝2x﹣1的图象与函数y＝3﹣x的图象交点的横坐标．如图，已画出反比例函数y＝在第一象限内的图象，请你按照上述方法，利用此图象求方程x2﹣x﹣1＝0的正数解．（要求画出相应函数的图象；求出的解精确到0.1）【分析】根据题意可知，方程x2﹣x﹣1＝0的解可看做是函数y＝和y＝x﹣1的交点坐标，所以根据图象可知方程x2﹣x﹣1＝0的正数解约为1.1．【解答】解：∵x≠0，∴将x2﹣x﹣1＝0两边同时除以x，得x﹣1﹣＝0，即＝x﹣1，把x2﹣x﹣1＝0的正根视为由函数y＝与函数y＝x﹣1的图象在第一象限交点的横坐标．如图：∴正数解约为1.1．【点评】主要考查了反比例函数和一元二次方程之间的关系．一元二次方程的解都可化为一个反比例函数和一次函数的交点问题求解．7．用两种方法解答：已知m、n是关于x的方程x2+（p﹣2）x+1＝0两个实数根，求代数式（m2+mp+1）（n2+np+1）的值．【分析】本题主要是利用韦达定理来计算．已知m、n是关于x的方程x2+（p﹣2）x+1＝0两个实数根，有四个等式可供使用：m+n＝2﹣p①，mn＝1②，m2+（p﹣2）m+1＝0③，n2+（p﹣2）n+1＝0④．通过变形方法，合理地选择解题方法．【解答】解：∵m、n是x2+（p﹣2）x+1＝0的根，∴m+n＝2﹣p，mn＝1．方法一：m2+（p﹣2）m+1＝0，n2+（p﹣2）n+1＝0．即m2+pm+1＝2m，n2+pn+1＝2n．原式＝2m×2n＝4mn＝4．方法二：（m2+mp+1）（n2+np+1）＝（m2+mp）（n2+np）+m2+mp+n2+np+1＝m2n2+m2np+mpn2+mnp2+m2+mp+n2+np+1＝1+mp+np+p2+m2+n2+mp+np+1＝2+p2+m2+n2+2（m+n）p＝2+p2+m2+n2+2（2﹣p）p＝2+p2+m2+n2+4p﹣2p2＝2+（m+n）2﹣2mn+4p﹣2p2+p2＝2+（2﹣p）2﹣2+4p﹣2p2+p2＝4﹣4p+p2+4p﹣p2＝4．【点评】本题主要是通过根与系数的关系来求值．注意把所求的代数式转化成m+n＝2﹣p，mn＝1的形式，正确对所求式子进行变形是解题的关键．8．九年级（1）班课外活动小组利用标杆测量学校旗杆的高度，已知标杆高度CD＝3m，标杆与旗杆的水平距离BD＝15m，人的眼睛与地面的高度EF＝1.6m，人与标杆CD的水平距离DF＝2m，求旗杆AB的高度．【分析】利用三角形相似中的比例关系，首先由题目和图形可看出，求AB的长度分成了2个部分，AH和HB部分，其中HB＝EF＝1.6m，剩下的问题就是求AH的长度，利用△CGE∽△AHE，得出，把相关条件代入即可求得AH＝11.9，所以AB＝AH+HB＝AH+EF＝13.5m．【解答】解：∵CD⊥FB，AB⊥FB，∴CD∥AB∴△CGE∽△AHE∴即：∴∴AH＝11.9∴AB＝AH+HB＝AH+EF＝11.9+1.6＝13.5（m）．【点评】主要用到的解题思想是把梯形问题转化成三角形问题，利用三角形相似比列方程来求未知线段的长度．9．在△ABC中，AB＝BC，将△ABC绕点A沿顺时针方向旋转得△A1B1C1，使点C1落在直线BC上（点C1与点C不重合），（1）如图，当∠C＞60°时，写出边AB1与边CB的位置关系，并加以证明；（2）当∠C＝60°时，写出边AB1与边CB的位置关系（不要求证明）；（3）当∠C＜60°时，请你在如图中用尺规作图法作出△AB1C1（保留作图痕迹，不写作法），再猜想你在（1）、（2）中得出的结论是否还成立并说明理由．【分析】（1）AB1∥BC．因为等腰三角形，两底角相等，再根据平行线的判定，内错角相等两直线平行，可证明两直线平行．（2）当∠C＝60°时，写出边AB1与边CB的位置关系也是平行，证明方法同（1）题．（3）成立，根据旋转变换的性质画出图形．利用三角形全等即可证明．【解答】解：（1）AB1∥BC．证明：由已知得△ABC≌△AB1C1，∴∠BAC＝∠B1AC1，∠B1AB＝∠C1AC，∵AC1＝AC，∴∠AC1C＝∠ACC1，∵∠C1AC+∠AC1C+∠ACC1＝180°，∴∠C1AC＝180°﹣2∠ACC1，同理，在△ABC中，∵BA＝BC，∴∠ABC＝180°﹣2∠ACC1，∴∠ABC＝∠C1AC＝∠B1AB，∴AB1∥BC．（5分）（2）如图1，∠C＝60°时，AB1∥BC．（7分）（3）如图，当∠C＜60°时，（1）、（2）中的结论还成立．证明：显然△ABC≌△AB1C1，∴∠BAC＝∠B1AC1，∴∠B1AB＝∠C1AC，∵AC1＝AC，∴∠AC1C＝∠ACC1，∵∠C1AC+∠AC1C+∠ACC1＝180°，∴∠C1AC＝180°﹣2∠ACC1，同理，在△ABC中，∵BA＝BC，∴∠ABC＝180°﹣2∠ACC1，∴∠ABC＝∠C1AC＝∠B1AB，∴AB1∥BC．（13分）【点评】考查图形的旋转，等腰三角形的性质，平行线的判定．本题实质是考查对图形旋转特征的理解，旋转前后的图形是全等的．10．汽车产业的发展，有效促进我国现代化建设．某汽车销售公司2005年盈利1500万元，到2007年盈利2160万元，且从2005年到2007年，每年盈利的年增长率相同．（1）该公司2006年盈利多少万元？（2）若该公司盈利的年增长率继续保持不变，预计2008年盈利多少万元？【分析】（1）需先算出从2005年到2007年，每年盈利的年增长率，然后根据2005年的盈利，算出2006年的利润；（2）相等关系是：2008年盈利＝2007年盈利×每年盈利的年增长率．【解答】解：（1）设每年盈利的年增长率为x，根据题意得1500（1+x）2＝2160解得x1＝0.2，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）∴1500（1+x）＝1500（1+0.2）＝1800答：2006年该公司盈利1800万元．（2）2160（1+0.2）＝2592答：预计2008年该公司盈利2592万元．【点评】本题的关键是需求出从2005年到2007年，每年盈利的年增长率．等量关系为：2005年盈利×（1+年增长率）2＝2160．11．如图，在△ABC中，∠BAC＝30°，以AB为直径的⊙O经过点C．过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点P．点D为圆上一点，且＝，弦AD的延长线交切线PC于点E，连接BC．（1）判断OB和BP的数量关系，并说明理由；（2）若⊙O的半径为2，求AE的长．【分析】（1）首先连接OC，由PC切⊙O于点C，可得∠OCP＝90°，又由∠BAC＝30°，即可求得∠COP＝60°，∠P＝30°，然后根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，证得OB＝BP；（2）由（1）可得OB＝OP，即可求得AP的长，又由＝，即可得∠CAD＝∠BAC＝30°，继而求得∠E＝90°，继而在Rt△AEP中求得答案．【解答】解：（1）OB＝BP．理由：连接OC，∵PC切⊙O于点C，∴∠OCP＝90°，∵OA＝OC，∠OAC＝30°，∴∠OAC＝∠OCA＝30°，∴∠COP＝60°，∴∠P＝30°，在Rt△OCP中，OC＝OP＝OB＝BP；（2）由（1）得OB＝OP，∵⊙O的半径是2，∴AP＝3OB＝3×2＝6，∵＝，∴∠CAD＝∠BAC＝30°，∴∠BAD＝60°，∵∠P＝30°，∴∠E＝90°，在Rt△AEP中，AE＝AP＝×6＝3．【点评】此题考查了切线的性质、直角三角形的性质以及圆周角定理．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用，注意掌握辅助线的作法．12．已知⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，点O1在⊙O2上，C为⊙O2上一点（不与A，B，O1重合），直线CB与⊙O1交于另一点D．（1）如图（1），若AD是⊙O1的直径，AC是⊙O2的直径，求证：AC＝CD；（2）如图（2），若C是⊙O1外一点，求证：O1C丄AD；（3）如图（3），若C是⊙O1内的一点，判断（2）中的结论是否成立？【分析】（1）连接C01，利用直径所对圆周角等于90度，以及垂直平分线的性质得出即可；（2）根据已知得出四边形AEDB内接于⊙O1，得出∠ABC＝∠E，再利用＝，得出∠E＝∠AO1C，进而得出CO1∥ED即可求出；（3）根据已知得出∠B＝∠EO1C，又∠E＝∠B，即可得出∠EO1C＝∠E，得出CO1∥ED，即可求出．【解答】（1）证明：连接C01∵AC为⊙O2直径∴∠AO1C＝90°即CO1⊥AD，∵AO1＝DO1∴DC＝AC（垂直平分线的性质）；（2）证明：连接AO1，连接AB，延长AO1交⊙O1于点E，连接ED，∵四边形AEDB内接于⊙O1，∴∠E+∠ABD＝180°，∵∠ABC+∠ABD＝180°，∴∠ABC＝∠E，又∵＝，∴∠ABC＝∠AO1C，∴∠E＝∠AO1C，∴CO1∥ED，又AE为⊙O1的直径，∴ED⊥AD，∴O1C⊥AD，（3）（2）中的结论仍然成立．证明：连接AO1，连接AB，延长AO1交⊙O1于点E，连接ED，∵∠B+∠AO1C＝180°，∠EO1C+∠AO1C═180°，∴∠B＝∠EO1C，又∵∠E＝∠B，∴∠EO1C＝∠E，∴CO1∥ED，又ED⊥AD，∴CO1⊥AD．【点评】此题主要考查了圆周角定理以及相交两圆的性质和圆内接四边形的性质，根据圆内接四边形的性质得出对应角之间的关系是解决问题的关键．13．⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，如图（1），连接O2O1并延长交⊙O1于P点，连接P A、PB并分别延长交⊙O2于C、D两点，连接CO2并延长交⊙O2于E点．已知⊙O2的半径为R，设∠CAD＝α．（1）求CD的长（用含R、α的式子表示）；（2）试判断CD与PO1的位置关系，并说明理由；（3）设点P’为⊙O1上（⊙O2外）的动点，连接P’A、P’B并分别延长交⊙O2于C’、D’，请你探究∠C’AD’是否等于α？C’D’与P’O1的位置关系如何？并说明理由．（注：图（2）与图（3）中⊙O1和⊙O2的大小及位置关系与图（1）完全相同，若你感到继续在图（1）中探究问题（3），图形太复杂，不便于观察，可以选择图（2）或图（3）中的一图说明理由）．【分析】（1）作⊙O2的直径CE，连接DE．根据圆周角定理的推论，得∠E＝∠CAD＝α，再利用解直角三角形的知识求解；（2）连接AB，延长PO1与⊙O1相交于点E，连接AE．根据圆内接四边形的性质，得∠ABP′＝∠C′，根据圆周角定理的推论，得∠ABP′＝∠E，∠EAP′＝90°，从而证明∠AP′E+∠C′＝90°，则CD与PO1的位置关系是互相垂直；（3）根据同弧所对的圆周角相等，则说明∠C’AD’等于α；根据（2）中的证明过程，则可以证明C’D’与P’O1的位置关系是互相垂直．【解答】解：（1）连接DE．根据圆周角定理的推论，得∠E＝∠CAD＝α．∵CE是直径，∴∠CDE＝90°．∴CD＝CE•sin E＝2R sinα；（2）CD与PO1的位置关系是互相垂直．理由如下：连接AB，延长PO1与⊙O1相交于点E，连接AE．∵四边形BAC′D′是圆内接四边形，∴∠ABP′＝∠C′．∵P′E是直径，∴∠EAP′＝90°，∴∠AP′E+∠E＝90°．又∠ABP′＝∠E，∴∠AP′E+∠C′＝90°，即CD与PO1的位置关系是互相垂直；（3）根据同弧所对的圆周角相等，则说明∠C’AD’等于α；根据（2）中的证明过程，则可以证明C’D’与P’O1的位置关系是互相垂直．【点评】此题综合运用了圆周角定理及其推论、直角三角形的性质、圆内接四边形的性质．注意：连接两圆的公共弦、构造直径所对的圆周角都是圆中常见的辅助线．14．一个不透明的口袋里有红、黄、绿三种颜色的球（除颜色外其余都相同），其中红球有2个，黄球有1个，任意摸出一个黄球的概率为．（1）试求口袋里绿球的个数；（2）若第一次从口袋中任意摸出一球（不放回），第二次任意摸出一球，请你用树状图或列表法，求出两次都摸到红球的概率．【分析】（1）根据概率的求解方法，利用方程求得绿球个数；（2）此题需要两步完成，所以采用树状图法或者列表法都比较简单，解题时要注意是放回实验还是不放回实验，此题为不放回实验．【解答】解：（1）设口袋里绿球有x个，则，解得x＝1．故口袋里绿球有1个．（2）红一红二黄绿红一红二，红一黄，红一绿，红一红二红一，红二黄，红一绿，红二黄红一，黄红二，黄绿，黄绿红一，绿红二，绿黄，绿故，P（两次都摸到红球）＝．【点评】（1）解题时要注意应用方程思想；（2）列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．15．经统计分析，某市跨河大桥上的车流速度v（千米/小时）是车流密度x（辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到220辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0千米/小时；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为80千米/小时，研究表明：当20≤x≤220时，车流速度v是车流密度x的一次函数．（1）求大桥上车流密度为100辆/千米时的车流速度；（2）在交通高峰时段，为使大桥上的车流速度大于40千米/小时且小于60千米/小时，应控制大桥上的车流密度在什么范围内？（3）车流量（辆/小时）是单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，即：车流量＝车流速度×车流密度．求大桥上车流量y的最大值．【分析】（1）当20≤x≤220时，设车流速度v与车流密度x的函数关系式为v＝kx+b，根据题意的数量关系建立方程组求出其解即可；（2）由（1）的解析式建立不等式组求出其解即可；（3）设车流量y与x之间的关系式为y＝vx，当x＜20和20≤x≤220时分别表示出函数关系由函数的性质就可以求出结论．【解答】解：（1）设车流速度v与车流密度x的函数关系式为v＝kx+b，由题意，得，解得：，∴当20≤x≤220时，v＝﹣x+88，当x＝100时，v＝﹣×100+88＝48（千米/小时）；（2）由题意，得，解得：70＜x＜120．∴应控制大桥上的车流密度在70＜x＜120范围内；（3）设车流量y与x之间的关系式为y＝vx，当0≤x≤20时y＝80x，∴k＝80＞0，∴y随x的增大而增大，∴x＝20时，y最大＝1600；当20≤x≤220时y＝（﹣x+88）x＝﹣（x﹣110）2+4840，∴当x＝110时，y最大＝4840．∵4840＞1600，∴当车流密度是110辆/千米，车流量y取得最大值是每小时4840辆．【点评】本题考查了车流量＝车流速度×车流密度的运用，一次函数的解析式的运用，一元一次不等式组的运用，二次函数的性质的运用，解答时求出函数的解析式是关键．16．（1）已知一元二次方程x2+px+q＝0（p2﹣4q≥0）的两根为x1、x2；求证：x1+x2＝﹣p，x1•x2＝q．（2）已知抛物线y＝x2+px+q与x轴交于A、B两点，且过点（﹣1，﹣1），设线段AB的长为d，当p为何值时，d2取得最小值，并求出最小值．【分析】（1）先根据求根公式得出x1、x2的值，再求出两根的和与积即可；（2）把点（﹣1，﹣1）代入抛物线的解析式，再由d＝|x1﹣x2|可知d2＝（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4 x1•x2＝p2，再由（1）中x1+x2＝﹣p，x1•x2＝q即可得出结论．【解答】证明：（1）∵a＝1，b＝p，c＝q∴△＝p2﹣4q∴x＝即x1＝，x2＝∴x1+x2＝+＝﹣p，x1•x2＝•＝q；（2）把（﹣1，﹣1）代入y＝x2+px+q得1﹣p+q＝﹣1，所以，q＝p﹣2，设抛物线y＝x2+px+q与x轴交于A、B的坐标分别为（x1，0）、（x2，0）∵d＝|x1﹣x2|，∴d2＝（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1•x2＝p2﹣4q＝p2﹣4p+8＝（p﹣2）2+4当p＝2时，d2的最小值是4．【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点及根与系数的关系，熟知x1，x2是方程x2+px+q ＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q是解答此题的关键．17．如图，菱形、矩形与正方形的形状有差异，我们将菱形、矩形与正方形的接近程度称为“接近度”．在研究“接近度”时，应保证相似图形的“接近度”相等．（1）设菱形相邻两个内角的度数分别为m°和n°，将菱形的“接近度”定义为|m﹣n|，于是|m﹣n|越小，菱形越接近于正方形．①若菱形的一个内角为70°，则该菱形的“接近度”等于40；②当菱形的“接近度”等于0时，菱形是正方形．（2）设矩形相邻两条边长分别是a和b（a≤b），将矩形的“接近度”定义为|a﹣b|，于是|a﹣b|越小，矩形越接近于正方形．你认为这种说法是否合理？若不合理，给出矩形的“接近度”一个合理定义．【分析】（1）根据相似图形的定义知，相似图形的形状相同，但大小不一定相同，相似图形的“接近度”相等．所以若菱形的一个内角为70°，则该菱形的“接近度”等于|m﹣n|；当菱形的“接近度”等于0时，菱形是正方形；（2）不合理，举例进行说明．【解答】解：（1）①∵内角为70°，∴与它相邻内角的度数为110°．∴菱形的“接近度”＝|m﹣n|＝|110﹣70|＝40．②当菱形的“接近度”等于0时，菱形是正方形．（2）不合理．例如，对两个相似而不全等的矩形来说，它们接近正方形的程度是相同的，但|a﹣b|却不相等．合理定义方法不唯一．如定义为，越接近1，矩形越接近于正方形；越大，矩形与正方形的形状差异越大；当时，矩形就变成了正方形，即只有矩形的越接近1，矩形才越接近正方形．【点评】正确理解“接近度”的意思，矩形的“接近度”|a﹣b|越小，矩形越接近于正方形．这是解决问题的关键．18．如图所示，AB＝AC，AB为⊙O的直径，AC、BC分别交⊙O于E、D，连接ED、BE．（1）试判断DE与BD是否相等，并说明理由；（2）如果BC＝6，AB＝5，求BE的长．【分析】（1）可通过连接AD，AD就是等腰三角形ABC底边上的高，根据等腰三角形三线合一的特点，可得出∠CAD＝∠BAD，根据圆周角定理即可得出∠DEB＝∠DBE，便可证得DE＝DB．（2）本题中由于BE⊥AC，那么BE就是三角形ABC中AC边上的高，可用面积的不同表示方法得出AC•BE＝CB•AD．进而求出BE的长．【解答】解：（1）DE＝BD证明：连接AD，则AD⊥BC，在等腰三角形ABC中，AD⊥BC，∴∠CAD＝∠BAD（等腰三角形三线合一），∴＝，∴DE＝BD；（2）∵AB＝5，BD＝BC＝3，∴AD＝4，∵AB＝AC＝5，∴S△ABC＝•AC•BE＝•CB•AD，∴BE＝4.8．【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质，圆周角定理等知识点的运用，用等腰三角形三线合一的特点得出圆周角相等是解题的关键．19．下框中是小明对一道题目的解答以及老师的批改．题目：某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为2：1，在温室内，沿前侧内墙保留3m的空地，其他三侧内墙各保留1m的通道，当温室的长与宽各为多少时，矩形蔬菜种植区域的面积是288m2？解：设矩形蔬菜种植区域的宽为xm，则长为2xm，根据题意，得x•2x＝288．解这个方程，得x1＝﹣12（不合题意，舍去），x2＝12所以温室的长为2×12+3+1＝28（m），宽为12+1+1＝14（m）答：当温室的长为28m，宽为14m时，矩形蔬菜种植区域的面积是288m2．我的结果也正确！小明发现他解答的结果是正确的，但是老师却在他的解答中画了一条横线，并打了一个？．结果为何正确呢？（1）请指出小明解答中存在的问题，并补充缺少的过程：变化一下会怎样…（2）如图，矩形A′B′C′D′在矩形ABCD的内部，AB∥A′B′，AD∥A′D′，且AD：AB＝2：1，设AB与A′B′、BC与B′C′、CD与C′D′、DA与D′A′之间的距离分别为a、b、c、d，要使矩形A′B′C′D′∽矩形ABCD，a、b、c、d应满足什么条件？请说明理由．【分析】（1）根据题意可得小明没有说明矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为2：1的理由，所以应设矩形蔬菜种植区域的宽为xm，则长为2xm，然后由题意得，矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为2：1，再利用小明的解法求解即可；（2）由使矩形A′B′C′D′∽矩形ABCD，利用相似多边形的性质，可得，即，然后利用比例的性质，即可求得答案．【解答】解：（1）小明没有说明矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为2：1的理由．在“设矩形蔬菜种植区域的宽为xm，则长为2xm．”前补充以下过程：设温室的宽为xm，则长为2xm．则矩形蔬菜种植区域的宽为（x﹣1﹣1）m，长为（2x﹣3﹣1）m．∵，∴矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为2：1；（2）要使矩形A′B′C′D′∽矩形ABCD，就要，即，即，即2AB﹣2（b+d）＝2AB﹣（a+c），∴a+c＝2（b+d），即．【点评】此题考查了相似多边形的性质．此题属于阅读性题目，注意理解题意，读懂题目是解此题的关键．20．二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分如图所示，则a的取值范围是﹣1＜a＜0．【分析】由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点得出c的值，然后根据图象经过的点的情况进行推理，进而推出所得结论．【解答】解：抛物线开口向下，a＜0，图象过点（0，1），c＝1，图象过点（1，0），a+b+c＝0，∴b＝﹣（a+c）＝﹣（a+1）．由题意知，当x＝﹣1时，应有y＞0，∴a﹣b+c＞0，∴a+（a+1）+1＞0，∴a＞﹣1，∴实数a的取值范围是﹣1＜a＜0．【点评】根据开口判断a的符号，根据与x轴，y轴的交点判断c的值以及b用a表示出的代数式．难点是推断出当x＝﹣1时，应有y＞0．21．今年，我国政府为减轻农民负担，决定在5年内免去农业税．某乡今年人均上缴农业税25元，若两年后人均上缴农业税为16元，假设这两年降低的百分率相同．（1）求降低的百分率；（2）若小红家有4人，明年小红家减少多少农业税？（3）小红所在的乡约有16000农民，问该乡农民明年减少多少农业税？【分析】（1）设降低的百分率为x，则降低一次后的数额是25（1﹣x），再在这个数的基础上降低x，则变成25（1﹣x）（1﹣x）即25（1﹣x）2，据此即可列方程求解；（2）每人减少的税额是25x，则4个人的就是4×25x，代入（1）中求得的x的值，即可求解；（3）每个人减少的税额是25x，乘以总人数16000即可求解．【解答】解：（1）设降低的百分率为x，依题意有，25（1﹣x）2＝16，解得，x1＝0.2＝20%，x2＝1.8（舍去）；（2）小红全家少上缴税25×20%×4＝20（元）；（3）全乡少上缴税16000×25×20%＝80 000（元）．答：降低的增长率是20%，明年小红家减少的农业税是20元，该乡农民明年减少的农业税是80 000元．【点评】本题考查求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2＝b．22．如图，在矩形ABCD中，AB＝m（m是大于0的常数），BC＝8，E为线段BC上的动点（不与B、C重合）．连接DE，作EF⊥DE，EF与射线BA交于点F，设CE＝x，BF＝y．（1）求y关于x的函数关系式；（2）若m＝8，求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？（3）若y＝，要使△DEF为等腰三角形，m的值应为多少？【分析】（1）利用互余关系找角相等，证明△BEF∽△CDE，根据对应边的比相等求函数关系式；（2）把m的值代入函数关系式，再求二次函数的最大值；（3）∵∠DEF＝90°，只有当DE＝EF时，△DEF为等腰三角形，把条件代入即可．【解答】解：（1）∵EF⊥DE，∴∠BEF＝90°﹣∠CED＝∠CDE，又∠B＝∠C＝90°，∴△BEF∽△CDE，∴＝，即＝，解得y＝；（2）由（1）得y＝，将m＝8代入，得y＝﹣x2+x＝﹣（x2﹣8x）＝﹣（x﹣4）2+2，所以当x＝4时，y取得最大值为2；（3）∵∠DEF＝90°，∴只有当DE＝EF时，△DEF为等腰三角形，∴△BEF≌△CDE，∴BE＝CD＝m，此时m＝8﹣x，解方程＝，得x＝6，或x＝2，当x＝2时，m＝6，当x＝6时，m＝2．【点评】本题把相似三角形与求二次函数解析式联系起来，在解题过程中，充分运用相似三角形对应边的比相等，建立函数关系式．23．某市城建部门经过长期市场调查发现，该市年新建商品房面积P（万平方米）与市场新房均价x（千元/平方米）存在函数关系P＝25x；年新房销售面积Q（万平方米）与市场新房均价x（千元/平方米）的函数关系为Q＝﹣10；（1）如果年新建商品房的面积与年新房销售面积相等，求市场新房均价和年新房销售总额；（2）在（1）的基础上，如果市场新房均价上涨1千元，那么该市年新房销售总额是增加还是减少？变化了多少？结合年新房销售总额和积压面积的变化情况，请你提出一条合理化的建议．（字数不超过50）【分析】（1）根据“新建商品房的面积与年新房销售面积相等”作为相等关系求x的值即可；（2）分别求算出市场新房均价上涨1千元后的新建商品房面积P，年新房销售面积Q再来求算其变化的量和积压的情况．【解答】解：（1）根据题意得：25x＝﹣10，解得x1＝2，x2＝﹣（舍去），则Q＝﹣10＝50万平方米，所以市场新房均价为2千元．则年新房销售总额为2000×500000＝10亿元．（2）因为Q＝﹣10＝30万平方米，P＝25x＝75万平方米，所以市场新房均价上涨1千元则该市年新房销售总额减少了100000﹣30×（2000+1000）＝10000万元，年新房积压面积增加了45万平方米．建议：对于新房的销售应订一个合理的价格，不能过高，只有考虑成本与人们的购买力才能使利润最大．【点评】主要考查了函数在实际问题中的应用．解题的关键是理解题意能准确的找到函数中对应的变量的值，根据题意求解．24．已知：如图，在平面直角坐标系中，点P（m，m）（m＞0），过点P的直线AB 与x轴正半轴交于点A，与直线y＝x交于点B．（1）当m＝3且∠OAB＝90°时，求BP的长度；（2）若点A的坐标是（6，0），且AP＝2PB，求经过点P且以点B为顶点的抛物线的函数表达式．。

中考数学压轴题100题精选及答案(全)

中考数学压轴题100题精选及答案(全)
【024】如图，已知 为直角三角形， ， ,点 、 在 轴上，点 坐标为（ ， ）（ ），线段 与 轴相交于点 ，以 （1，0）为顶点的抛物线过点 、 ．
（1）求点 的坐标（用 表示）；
（2）求抛物线的解析式；
（3）设点 为抛物线上点 至点 之间的一动点，连结 并延长交 于点 ，连结 并延长交 于点 ，试证明： 为定值．
【008】如图所示，在直角梯形ABCD中，∠ABC=90°，AD∥BC，AB=BC，E是AB的中点，CE⊥BD。
（1） 求证：BE=AD；
（2）求证：AC是线段ED的垂直平分线；
（3）△DBC是等腰三角形吗？并说明理由。
【009】一次函数 的图象分别与 轴、 轴交于点 ，与反比例函数 的图象相交于点 ．过点 分别作 轴， 轴，垂足分别为 ；过点 分别作 轴， 轴，垂足分别为 与 交于点 ，连接 ．
（1）求证：梯形 是等腰梯形；
（2）动点 、 分别在线段 和 上运动，且 保持不变．设 求 与 的函数关系式；
（3）在（2）中：①当动点 、 运动到何处时，以点 、 和点 、 、 、 中的两个点为顶点的四边形是平行四边形？并指出符合条件的平行四边形的个数；②当 取最小值时，判断 的形状，并说明理由．
（3）在该二次函数的图象上是否存在点D，使四边形ABCD为直角梯形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由。
【007】如图1，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形ABCO是菱形，点A的坐标为（－3，4），
点C在x轴的正半轴上，直线AC交y轴于点M，AB边交y轴于点H．
（1）求直线AC的解析式；
【020】如图甲，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一动点，连结AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF。

新】人教版九年级数学下册期末试卷及答案

新】人教版九年级数学下册期末试卷及答案

新】人教版九年级数学下册期末试卷及答案九年级数学下册期末测试卷（B卷）测试时间：120分钟满分：120分一、选择题（每小题3分，共30分）1.已知 $\frac{b^5-a^b}{a^{13}+b}$ 的值是$\frac{2394}{3249}$，则 $\frac{a^2}{b^2}$ 的值是（）A。

$\frac{2394}{3249}$ B。

$\frac{3249}{2394}$ C。

$\frac{13}{5}$ D。

$\frac{5}{13}$2.如图是由4个大小相同的正方体搭成的几何体，其俯视图是（）A。

B。

C。

D。

3.如图，在△ABC中，E、F分别是AB、AC上的点，EF∥BC，且 $S_{\triangle AEF}=2$，则四边形EBCF的面积为（）A。

4 B。

6 C。

16 D。

184.在Rt△ABC中，$\angle C=90°$，若 $\sinA=\frac{3}{5}$，则 $\cos B$ 的值是（）A。

$\frac{3}{5}$ B。

$\frac{4}{5}$ C。

$\frac{5}{4}$ D。

$\frac{5}{3}$5.如图，点A（t，3）在第一象限，OA与x轴所夹的锐角为α，$\tan\alpha=\frac{3}{2}$，则t的值是（）A。

1 B。

1.5 C。

2 D。

36.反比例函数 $y=\frac{k}{x}$ 的定义域是 $x\neq 0$，则当 $x_1<x_2$ 时，有 $\frac{y_1}{y_2}$ （）A。

$1$ D。

不确定7.已知长方形的面积为20cm²，设该长方形一边长为ycm，另一边的长为xcm，则y与x之间的函数图象大致是（）A。

B。

C。

D。

8.某同学的身高为1.6米，某一时刻他在阳光下的影长为1.2米，与他相邻的一棵树的影长为3.6米，则这棵树的高度为（）。

A。

5.3米 B。

4.8米 C。

4.0米 D。

2.7米9.如图，在矩形ABCD中，E、F分别是DC、BC边上的点，且 $\angle AEF=90°$，则下列结论正确的是（）。

2023-2024学年数学九年级下册苏科版 第5章 二次函数压轴题经典题型(含答案解析).docx

2023-2024学年数学九年级下册苏科版 第5章 二次函数压轴题经典题型(含答案解析).docx

2023-2024学年数学九年级下册苏科版第5章二次函数压轴题经典题型1．如图，已知抛物线y=−1x2+bx+c交x轴于A（－3，0），B（4，0）两点，交y轴于点C，点3P是抛物线上一点，连接AC、BC．（1）求抛物线的表达式；（2）连接OP，BP，若S△BOP=2S△AOC，求点P的坐标；（3）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得∠QBA＝75°？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．2．作为武汉市菜篮子工程生产基地，我市新洲区光明村白菜丰收却面临滞销的情况，在武汉市政府的关心和帮助下，各地的订单如雪片般“飞”向光明村，千亩白菜的滞销状况得到较大改善．市政府拟采用水陆联运的方式，派出车队到田间将白菜装车后运往码头再装船销往各地，负责人统计了解装载情况，发现运送到码头的白菜量y（单位：吨）随时间x（单位：小时）的变化情况如图2所示，当0≤x≤10时，y是x的二次函数，图象经过A（0，100），顶点B（10，600）；当10＜x≤12时，累计数量保持不变．（1）求y与x之间的函数解析式；（2）在码头安装了2台传送设备，在运送白菜的同时，可将码头上的白菜直接传送到船上，大大提高了工作效率．每台传送设备每小时可传送20吨白菜到船上．码头上等待传送上船的白菜最多时有多少吨？全部白菜都传送完成需要多少时间？3．如图1，抛物线：y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝-1，且抛物线经过A（-3，0），C（0，3）两点，交x轴于另一点B．（1）求抛物线的解析式；（2）P在直线AC上方抛物线上，作PD//y轴，交线段AC于点D，作PE//x轴，交抛物线于另一点E，若2PD=PE，求点P的坐标；（3）如图2，将抛物线平移至顶点在原点，直线PQ分别与x，y轴交于E，F两点，与新抛物线交于P、Q两点，做PQ的垂直平分线MN交y轴于点N，若PQ=2MN，求证：OEOF−OFOE=4OE．4．如图，抛物y=x2−2x−3与x轴相交于A，B两点（A在B的左侧），其中直线l经过点A且与y轴相交于点C(0，12 )．（1）写出A点坐标 ；B点坐标 ；（2）如图，在抛物线上存在点M（异于点B），使得B，M两点到直线l的距离相等，求出所有满足条件的点M的横坐标．5．如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=9，P是线段AD边上的任意一点（不含端点A、D），连接PC，过点P作PE⊥PC交AB于E．（1）若DP=2，则AE= ；（2）当点P在AD上运动时，对应的点E也随之在AB上运动，求BE的取值范围；（3）在线段AD上是否存在不同于P的点Q，使得QC⊥QE？若存在，求线段AP与AQ之间的数量关系；若不存在，请说明理由．6．综合与探究如图，抛物线y=a x2+bx+c与x轴交于点A、点B，与y轴交于点C，直线y=2x−6与抛物线交于点B、点C，直线y=−12x−1与抛物线交于点A，与y轴交于点E，与直线y=2x−6交于点F．（1）求抛物线的解析式；（2）已知点M(m，n)在抛物线上，当−4≤m≤2时，直接写出n的取值范围；（3）H是直线CB上一点，若S△ECH=2S△ECF，求点H的坐标；（4）P是x轴上一点，Q是平面内任意一点，是否存在以B，C，P，Q为顶点的四边形是菱形？者存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．7．已知二次函数y=a x2+bx−4(a，b是常数，且a≠0)的图象过点(3，−1)．（1）试判断点(2，2−2a)是否也在该函数的图象上，并说明理由．（2）若该二次函数的图象与x轴只有一个交点，求该函数的表达式．（3）已知二次函数的图象过(x1，y1)和(x2，y2)两点，且当x1≤x2≤2时，始终都有y1>y2，求3a的取值范围．8．如图，灌溉车为绿化带浇水，喷水口H离地竖直高度OH为1.2m.可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形DEFG，其水平宽度DE=3m，竖直高度EF=0.5m.下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边抛物线最高点A离喷水口的水平距离为2m，高出喷水口0.4m，灌溉车到绿化带的距离OD为d（单位：m）.（1）求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程OC；（2）求下边缘抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标；（3）要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，直接写出d的取值范围.9．如图1，在平面直角坐标中，抛物线y=−1x2+bx+c与x轴交于点A(−1，0)、B(4，0)两点，2与y轴交于点C，连接BC，直线BM：y=2x+m交y轴于点M.P为直线BC上方抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线，分别交直线BC、BM于点E、F.（1）求抛物线的表达式；（2）当点P落在抛物线的对称轴上时，求△PBC的面积；（3）①若点N为y轴上一动点，当四边形BENF为矩形时，求点N的坐标；②在①的条件下，第四象限内有一点Q，满足QN=QM，当△QNB的周长最小时，求点Q的坐标.10．如图，抛物线y=1x2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B左边），与y轴交于C，直线2y =12x−2经过B 、C 两点.（1）求抛物线的解析式；（2）点P 是抛物线上的一动点，过点P 且垂直于x 轴的直线与直线BC 及x 轴分别交于点D 、M.设M(m ，0)，点P 在抛物线上运动，若P 、D 、M 三点中恰有一点是其它两点所连线段的中点（三点重合除外），请直接写出符合条件的m 的值.11．当直线y ＝kx ＋b （k 、b 为常数且k≠0）与抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a 、b 、c 为常数，且a≠0）有唯一公共点时，叫做直线与抛物线相切，直线叫做抛物线的切线，这个公共点叫做切点，其切点坐标（x ，y ）为相应方程组{y =kx +b ax 2+bx +c 的解.如将直线y ＝4x 与抛物线y ＝x 2＋4，联合得方程组{y =4x y =x 2+4，从而得到方程x 2＋4＝4x ，解得x 1＝x 2＝2，故相应方程组的解为{x 1=x 2=2y 1=y 2=8，所以，直线y ＝4x 与抛物线y ＝x 2＋4相切，其切点坐标为（2，8）.（1）直线m：y＝2x-1与抛物线y＝x2相切吗？如相切，请求出切点坐标；（2）在（1）的条件下，过点A（1，-3）的直线n与抛物线y＝x2也相切，求直线n的函数表达式，并求出直线m与直线n的交点坐标；（3）如图，已知直线y＝kx＋3（k为常数且k≠0）与抛物线y＝x2交于C、D，过点C、D分别作抛物线的切线，这两条切线交于点P，过点P作x轴的垂线交CD于点Q，试说明点Q是CD的中点.12．如图，已知抛物线y=a x2+bx+c与x轴交于A（1，0）、B（－3，0）两点，与y轴交于C （0，3）.（1）求抛物线的函数表达式：（2）设P为抛物线上一动点，点P在直线BC上方时，求△BPC面积的最大值：（3）若M为抛物线上动点，点N在抛物线对称轴上，是否存在点M、N使点A、C、M、N为平行四边形？如果存在，直接写出点N的坐标：如果不存在，请说明理由.答案解析部分1．【答案】（1）解：把A (−3，0)，B (4，0)代入 y =−13x 2+bx +c ，得{−13×(−3)2+(−3)b +c =0−13×42+4b +c =0，解得{b =13c =4，∴ 抛物线的表达式 为y =−13x 2+13x +4.（2）解：当x =0时，y =4，∴C (0，4)，∴OC =4，∵A (−3，0)，B (4，0)，∴OA =3，OB =4，∴S △AOC =12AO·OC =12×3×4=6，∵S △BOP =2S △AOC ，S △BOP =12OB·|y P |，∴12OB·|y P |=12，|y P |=6，∴当y =6时，−13x 2+13x +4=6，x 2−x +6=0，b 2−4ac =−23<0，∴方程无解，当y =−6时，−13x 2+13x +4=−6，x 2−x−30=0，x 1=6，x 2=−5，∴点P 的坐标为(6，−6)或(−5，−6).（3）解：如图，当点Q 在x 轴上方时，在对称轴上找一点F ，连接BF ，使得QF =BF ，∵∠QEB =90°，∠QBA =75°，∴∠BQE =15°，∵QF =BF ，∴∠BQE =∠QBF =15°，∴∠BFE =30°，∵A (−3，0)，B (4，0)，点E 是AB 的中点，∴E (12，0)，∴BE =12AB =72，∴EF =3BE =732，BF =2BE =7，∴QF =BF =7，∴QE =QF +FE =7+732，∴Q (12，7+732)， 作点Q′与点Q 关于x 轴对称，∴∠Q′BA =75°，∴Q′(12，−7−732)， 综上所述，Q (12，7+732)或(12，−7−732).2．【答案】（1）解：①当0≤x≤10时，∵顶点坐标为（10，600），∴设y ＝a （x －10）2+600，将（0，100）代入，得：100a+600＝100，解得a ＝-5，∴y ＝-5（x-10）2+600＝-5x 2+100x+100（0≤x≤10）②当10＜x≤12时，y ＝600（10＜x≤12），∴y 与x 之间的函数表达式为y ＝{−5x 2+100x +100(0≤x ≤10)600(10<x ≤12)（2）解：设第x 小时的等待传送上船的白菜为w 吨，由题意可得w ＝y-40x ，①0≤x≤10时，w ＝-5x 2+100x+100-40x ＝-5x 2+60x+100＝-5（x-6）2+280，100≤w≤280；当x=10时，w=200，∵-5＜0，∴当x ＝6时，w 的最大值是280；②0≤x≤10时，100≤w≤280；∵当x=10时，w=200，∴传送设备一直工作∴当x>10时，w ＝600-40x ，全部白菜都传送完成，根据题意得：600-40x ＝0，解得：x ＝15（另：0≤x≤10，一直运送；当x>10时，w=200需5小时，共需15小时）∴等待传送上船的白菜最多是280吨；全部白菜都传送完成需要15小时．3．【答案】（1）解：由题意可知： {9a−3b +c =03=c −b 2a =−1解得：{a =−1b =−2c =3∴解析式为：y =−x 2−2x +3（2）解：设直线l AC ：y=kx+p ，代入A(－3，0)，C(0，3)得k=1，p=3∴l AC ：y =x +3设P （m ，−m 2−2m +3）D （m ，m+3）∵P 在直线AC 上方∴PD=−m 2−3m∵PE ∥x 轴，∴P ，E 关于对称轴x=－1对称∴PE=2|−1−m|∵2PD=PE∴−m 2−3m =|−1−m|①当m ＜－1时，−m 2−3m =−1−m解得m 1=−1−2；m 2=−1+2∵P 在AC 上方，∴－3＜m ＜0，∴m=−1−2，点P 为（－1－2，2）②当m ＞－1时，−m 2−3m =1+m解得m 1=−2−3（舍）m 2=−2+3∴点P 为（−2+3，23）综上：P 点坐标为（－1－2，2）或（−2+3，23）（3）解：平移后的解析式为：y=−x 2设l PQ ：y =kx +b∴E 为（−b k ，0），F 为（0，b ），OE=b k，OF=-b ∴OE OF −OF OE =−1k+k 联立{y =kx +b y =−x 2x 2+kx +b =0x p +x Q =−k ，x p .x Q =b连接PN ，QN ，过N 作GH ⊥y 轴，作PG ⊥GH 于G ，作QH ⊥GH 于H∵MN ⊥PQ ，PM=MQ ，且PQ=2MN∴ΔPQN 为等腰直角三角形∴△PGN ≌△NHQ∴{PG =NH GN =QH∴{y P −y G =x Q −x P =y Q −y N即y P −y Q =x P +x Q 整理得：k （x P −x Q ）=x p +x Q即：k 2−4b =1k−1k =4b k即OE OF −OF OE =4OE 4．【答案】（1）（-1，0）；（3，0）（2）解：设直线AC 的解析式为 y =kx +b ，则 {0=−k +b 12=b ，解得： {k =12b =12 ，∴直线AC 的解析式为 y =12x +12；分类讨论：①当点M 位于直线AC 下方时，如图点 M 1 ，∵ B 、M 两点到直线l 的距离相等，∴B M 1∥AC ，∴可设直线BM 1的解析式为 y =12x +b 1 ，则 0=12×3+b 1 ，解得： b 1=−32，∴直线BM 1的解析式为 y =12x−32．联立 {y =x 2−2x−3y =12x−32，解得： x 1=−12，x 2=3 （舍），∴此时点M 的横坐标为 −12 ；②当点M 位于直线AC 上方时，如图点M 2和M 3 ，∵直线BM 1的解析式为 y =12x−32 ，直线AC 的解析式为 y =12x +12，∴12−(−32)=2∴直线M 2M 3为直线AC 向上平移2个单位得到，∴直线M 2M 3的解析式为 y =12x +52 ．联立 {y =x 2−2x−3y =12x +52 ，解得： x 1=5+1134，x 2=5−1134 ，∴此时M 的横坐标为 5+1134 或 5−1134 ．综上可知M 的横坐标为 −12 或 5+1134 或 5−1134 ．5．【答案】（1）73（2）解：由（1）得：AEDP =APDC ，∴AE•DC =AP•DP ，设AP =x ，AE =y ，∴DP =9−x ，∴6y =x(9−x)，整理得：y =−16(x−92)2+278(0<x <9)，∵−16<0，∴当x =92时，y 最大值=278，∴BE =AB−AE =218，∴此时BE 的最小值为218，又∵E 在AB 上运动，∴BE <6，∴218≤BE <6．（3）解：如图，假设存在这样的点Q ，由（1）可得：AE•DC =AP•DP ，同理可得：AQ•DQ =AE•DC ，∴AQ•DQ =AP•DP ，∴AQ(9−AQ)=AP(9−AP)，整理得：(AP−AQ)(AP +AQ−9)=0，∵Q 不同于P 点，∴AP ≠AQ ，即：P 不是AD 的中点，∴AP +AQ =9，∴当P 不是AD 的中点时，总存在这样的点Q 满足条件，此时AP +AQ =9．6．【答案】（1）解：∵直线y=2x-6与x 轴、y 轴交于点B 、点C ，∴B(3，0)，C(0，−6)，∵直线y =−12x−1与x 轴交于点A ，∴A(−2，0)，∵抛物线y =a x 2+bx +c 与x 轴交于点A 、点B ，与y 轴交于点C ，∴{0=9a +3b +c −6=c 0=4a−2b +c ，解得：{a =1b =−1c =−6，∴抛物线的解析式为y =x 2−x−6；（2）解：∵y =x 2−x−6=(x−12)2−254， ∴抛物线的对称轴为x =12，∵点M(m ，n)在抛物线上，−4≤m ≤2，∴当x =12时，抛物线有最小值−254，即n 有最小值−254；∵当m =−4时，n =(−4−12)2−254=14；当m =2时，n =(2−12)2−254=−4，即n 有最大值14．∴n 的取值范围为−254≤n ≤14；（3）解：∵直线y =−12x−1与y 轴交于点E ， ∴E(0，−1)，∵{y =−12x−1y =2x−6，即得：{x =2y =−2，∴F(2，−2)，∴E C 2=[−6−(−1)]2=25，E F 2=[2−0]2+[−2−(−1)]2=5，F C 2=[2−0]2+[−2−(−6)]2=20，∴E C 2=E F 2+F C 2∴EF ⊥BC ．设H(m ，n)．①当H 在EF 上方，∵S △ECH =2S △ECF ，∴12CH ⋅EF =2×12CF ⋅EF ，∴CH =2CF ，即F 是CH 的中点，∴{0+m 2=2−6+n 2=−2，解得：{m =4n =2，∴H(4，2)；②当H 在EF 下方，∵S △ECH =2S △ECF ，∴12CH ⋅EF =2×12CF ⋅EF ，∴CH =2CF ，设点G （m ，n ）为HC 的中点，如图，即C 是FG 的中点，∴{2+m 2=0−2+n 2=−6，解得：{m =−2n =−10，∴G(−2，−10)．∵C(0，−6)，∴设点H(j ，ℎ)，由G(−2，−10)为HC 的中点，∴{0+j 2=−2−6+ℎ2=−10，解得：{j =−4ℎ=−14，∴H(−4，−14)；综上，点H 的坐标为(4，2)或(−4，−14)；（4）解：存在一点Q 使存在以B ，C ，P ，Q 为顶点的四边形是菱形，理由如下：如图，∵B(3，0)，C(0，−6)，∴BC =62+32=35，①当BC 为菱形一边时，则P 1(3+35，0)，P 2(3−35，0)，∴Q 1(0+35，−6)，Q 2(0−35，−6)，即Q 1(35，−6)，Q 2(−35，−6)，②当BC 为菱形对角线时，则B P 3=C P 3，设P 3(n ，0)，P 3B =P 3C =3−n ，∵P 3O 2+O C 2=P 3C 2，∴(3−n)2=n 2+62，解得：n =−92，∴P 3B =3+92=152，∴Q 3(152，−6)．综上 ，点Q 的坐标为(35，−6)或(−35，−6)或(152，−6)．7．【答案】（1）解：将点(3，−1)代入解析式，得3a +b =1，∴y =a x 2+(1−3a)x−4，将点(2，2−2a)代入y =a x 2+bx−4，得4a +2(1−3a)−4=−2−2a ≠2−2a ，∴点(2，2−2a)不在抛物线图象上（2）解：∵二次函数的图象与x 轴只有一个交点，∴△=(1−3a )2+16a =0，∴a =−1或a =−19，∴y =−x 2+4x−4或y =−19x 2+43x−4（3）解：抛物线对称轴x =3a−12a ， 当a >0，3a−12a ≥23时，a ≥35；当a <0，3a−12a ≤23时，a ≥35(舍去)；∴当a ≥35满足所求；8．【答案】（1）解：如图，由题意得A(2，1.6)是上边缘抛物线的顶点，设y =a (x−2)2+1.6，又∵抛物线过点(0，1.2)，∴1.2=4a +1.6，∴a =−0.1，∴上边缘抛物线的函数解析式为y =−0.1(x−2)2+1.6，当y =0时，−0.1(x−2)2+1.6=0，解得x 1=6，x 2=−2（舍去），∴喷出水的最大射程OC 为6m ；（2）解：∵对称轴为直线x =2，∴点(0，1.2)的对称点为(4，1.2)，∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4m 得到的，∴点B 的坐标为(2，0)；（3）2≤d ≤11−19．【答案】（1）解：∵抛物线y =−12x 2+bx +c 与x 轴交于点A(−1，0)、B(4，0)两点，∴抛物线的表达式为：y =−12(x +1)(x−4)，∴y =−12x 2+32x +2（2）解：∵y =−12x 2+32x +2，∴y =−12(x−32)2+258，∴P(32，258)，∵B(4，0)，C(0，2)，∴直线BC 的表达式为：y =−12x +2，把x =32代入y =−12x +2得：y =54，∴S ΔPBC =12×(258−54)×4=154（3）解：①过点N 作NG ⊥EF 于点G ，∵y =2x +m 过点B(4，0)，∴0=2×4+m ，∴m =−8，∴直线BM 的表达式为：y =2x−8，∴M(0，−8)，设E(a ，−12a +2)，F(a ，2a−8)，∵四边形BENF 为矩形，∴ΔBEH≅ΔNFG ，∴NG =BH ，EH =FG ，∴a =4−a ，∴a =2，∴F(2，−4)、E(2，1)，∴EH =FG =1，GH =4−1=3，∴N(0，−3)；②∵QN =QM ，∴点Q 在MN 的垂直平分线上，又∵B(4，0)，N(0，−3)，∴BN =5，∴C ΔQNB =BQ +NQ +5=BQ +MQ +5，∴当点B 、Q 、M 共线时，△QNB 的周长最小，此时，点Q 即为MN 的垂直平分线与直线BM 的交点，∵N(0，−3)；M(0，−8)，∴D(0，−112)，把y =−112代入y =2x−8得：x =54，∴Q(54，−112).10．【答案】（1）解：在y =12x−2中，当x =0时，y =−2；当y =0时，x =4；∴C(0，−2)，B(4，0)，把C(0，−2)，B(4，0)代入到抛物线解析式中得{8+4b +c =0c =−2，∴{b =−32c =−2∴抛物线解析式为y=12x2−32x−2（2）解：m的值为-2或−12或111．【答案】（1）解：直线m：y=2x−1与抛物线y=x2相切，理由如下：由{y=2x−1y=x2得{x1=x2=1 y1=y2=1，∴直线m：y=2x−1与抛物线y=x2相切，切点是(1，1)（2）解：设直线n的解析式为y=mx+n，将A(1，−3)代入得：m+n=−3，∴n=−3−m，∴直线n的解析式为y=mx−3−m，由{y=mx−3−my=x2得x2−mx+m+3=0，∵直线n与抛物线y=x2相切，∴x2−mx+m+3=0有两个相等实数解，∴△=0，即(−m)2−4(m+3)=0，解得m=−2或m=6，当m=−2时，直线n的解析式为y=−2x−1，解{y=−2x−1y=2x−1得{x=0 y=−1，∴此时直线m与直线n的交点坐标是(0，−1)；当m=6时，直线n的解析式为y=6x−9，解{y=6x−9y=2x−1得{x=2 y=3，∴此时直线m与直线n的交点坐标是(2，3)；答：直线n的函数表达式为y=−2x−1，直线m与直线n的交点坐标是(0，−1)或直线n的解析式为y=6x−9，直线m与直线n的交点坐标是(2，3)；（3）解：过C作CM⊥PQ于M，过D作DN⊥PQ于N，如图：设C(m，m2)，D(n，n2)，直线PC解析式为y=kx+b，将C(m，m2)代入y=kx+b得：m2=km+b，∴b=m2−km①，∵PC与抛物线y=x2相切，∴{y=kx+by=x2有两个相同的解，即x2=kx+b有两个相等实数解，∴△=k2+4b=0②，将①代入②得：k2+4(m2−km)=0，∴k=2m，b=−m2，∴直线PC解析式为y=2mx−m2，同理可得直线PD解析式为y=2nx−n2，由2mx−m2=2nx−n2得x=m+n2，∴P的横坐标为m+n2，设直线CD解析式为y=tx+s，将C(m，m2)D(n，n2)代入得：{m2=mt+sn2=nt+s，解得{t=m+n s=−mn，∴直线CD解析式为y=(m+n)x−mn，在y=(m+n)x−mn中，令x=m+n2得y=m2+n22，∴Q(m+n2，m2+n22)，∴CM=x Q−x C=n−m2，DN=x D−x Q=n−m2，MQ=y Q−y C=n2−m22，NQ=y D−y Q=n2−m22，∴CM =DN ，MQ =NQ ，∵∠CMQ =∠DNQ =90°，∴ΔCQM≅ΔDQN (SAS )，∴CQ =DQ ，∴点Q 是CD 的中点.12．【答案】（1）解：由题意得，{a +b +c =09a−3b +c =0c =3 ，解得{a =−1b =−2c =3，∴抛物线的函数表达式为y =−x 2−2x +3；（2）解：设点M 的坐标为（x ，−x 2−2x +3），过点P 作PQ//y 轴，交直线BC 于点Q ，设直线BC 的解析式为y =mx +n ，过点B （－3，0），C （0，3）两点，∴{−3m +n =0n =3 ，解得{m =1n =3，∴直线BC 的解析式为y =x +3，∴点Q 的坐标为（x ，x +3），∴PQ =y P −y Q =−x 2−2x +3−(x +3)=−x 2−3x ，∴S ΔBPC =S ΔBPQ +S ΔQPC=12PQ ×(x +3)+12PQ ×(0−x)=32PQ =32(−x 2−3x)=−32(x +32)2+278∵−32＜0，∴S ΔBPC 有最大值，此时x =−32，S ΔBPC 的最大值为278；（3）解：∵抛物线的函数表达式为y =−x 2−2x +3=−(x +1)2+4，∴抛物线的对称轴直线为x =−1，设点M 的坐标为（t ，−t 2−2t +3），点N 的坐标为（−1，d ），（Ⅰ）当线段AC 为平行四边形的边时，则AM 与CN 为平行四边形的对角线，如图所示，由对角线互相平分可得，{t +12=−1+02d +32=−t 2−2t +3+02 ，解得{t =−2d =0 ，∴此时点N 的坐标为（−1，0）；（Ⅱ）当线段AC 为平行四边形的对角线时，则AC 与MN 为平行四边形的对角线，如图所示，由对角线互相平分可得，{t−12=1+020+32=−t 2−2t +3+d 2 ，解得{t =2d =8 ，∴此时点N 的坐标为（−1，8）；综上可得，存在点M 、N 使点A 、C 、M 、N 为平行四边形，此时点N 的坐标为（−1，8）或（−1，0）.。

一元二次方程(压轴题专练)-2021-2022学年九年级数学期中期末考试满分全攻略(人教版)解析版

一元二次方程(压轴题专练)-2021-2022学年九年级数学期中期末考试满分全攻略(人教版)解析版

第21章 一元二次方程压轴题专练一、单选题1．（2021·重庆九年级期末）如果关于x 的方程11222mx x x --=--有正数解，且关于x 的方程22210mx x --=有两个不相等的实数根，则符合条件的整数m 的值是（ ）A ．-1B ．0C ．1D ．-1或1【答案】A【分析】先由分式方程的解为正数，求解m 的范围，再由一元二次方程有两个不相等的实数根，求解m 的范围，结合m 为整数，从而可得答案．【详解】解：11222mx x x --=--， 去分母得：()1221,x mx --=-+()22,m x ∴-=因为方程有正数解，所以2,m ≠2,2x m∴=- 2m ∴-＞0, m ∴＜2, 又22,2m≠- 1,m ∴≠ 综上：m ＜2且1,m ≠关于x 的方程22210mx x --=有两个不相等的实数根，()2=224m ∴-+＞0, 且0,m ≠m ∴＞2-且0,m ≠综上：2-＜m ＜2且1m ≠且0,m ≠又因为m 为整数，1.m ∴=-故选：.A【点睛】本题考查的是分式方程的解及解分式方程，一元二次方程的定义及根的判别式，掌握以上知识是解题的关键．2．（2020·浙江九年级其他模拟）实数x 满足223132x x x x -+=-，则1x x +的值为( ) A ．3B ．0C ．3或0D ．3±【答案】A 【分析】由223132x x x x-+=-，去分母可得：43232310,x x x x -+-+=利用分组分解法可得：()()221310,x x x +-+=从而可得：2310,x x -+=从而可得答案．【详解】解：223132x x x x -+=-， 4323231,x x x x ∴-+=-43232310,x x x x ∴-+-+=()()432133220,x x x x ∴-+--++=()()()()22221131210,x x x x x ∴+--+++=()()2211320,x x x ∴+--+=()()221310,x x x ∴+-+=210,x +≠2310,x x ∴-+=0,x ≠130,x x ∴-+= 1 3.x x∴+= 经检验：13x x +=符合题意． 故选：.A【点睛】本题考查的是解分式方程，利用因式分解的方法解高次方程，分式的求值，掌握分组分解法分解因式解方程是解题的关键．3．（2021·全国九年级竞赛）用[x ]表示不大于x 的最大整数，则方程[]2230x x --=的解的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【分析】由于x≥[x]，所以可把方程x2-2[x]-3=0写成2[x]=x2-3，可得不等式2x≥x2-3，求得x的取值范围．再将x的取值范围分为5类求解即可进行选择．【详解】解：因为x≥[x]，方程变形为2[x]=x2-3，2x≥x2-3，解此不等式得：-1≤x≤3．现将x的取值范围分为5类进行求解（1）-1≤x＜0，则[x]=-1，原方程化为x2-1=0，解得x=-1；（2）0≤x＜1 则[x]=0，原方程化为x2-3=0，无解；（3）1≤x＜2，则[x]=1，原方程化为x2-5=0，无解；（4）2≤x＜3，则[x]=2，原方程化为x2-7=0，解得x=7；（5）x=3显然是原方程的解．综合以上，所以原方程的解为-1，7，3．故选：C．【点睛】本题考查了含取整函数的方程，任意一个实数都能写成整数与非负纯小数之和，即：x=[x]+{x}．解题的关键是确定x的取值范围，从而得到[x]的值．注意分情况进行讨论．4．（2020·江苏省南菁高级中学实验学校）如图，AC⊥BC，:3:4AC BC=，D是AC上一点，连接BD，与∠ACB的平分线交于点E，连接AE，若83ADES∆=，323BCES∆=，则BC＝（）A ．43B ．8C ．53D ．10【答案】B 【分析】过E 作,,EF BC EG AC ⊥⊥垂足分别为,,F G 由角平分线的性质可得：,EF EG =利用83ADE S ∆=，323BCE S ∆=可以求得,AD BC 进而求得,CDE BCD S S ∆∆的面积，利用面积公式列方程求解即可．【详解】解：如图，过E 作,,EF BC EG AC ⊥⊥垂足分别为,.F GCE 平分,ACB ∠,EF EG ∴=:3:4AC BC =，设3,4,AC x BC x ==83ADE S ∆=，323BCE S ∆=， 18132,,2323AD EG BC EF ∴•=•= 1,,4AD AD x BC ∴=∴= 2,CD AC AD x ∴=-=162,3CDE ADE S S ∆∆∴==163216.33BCD S ∆∴=+= 12416,2x x ∴••= 2,x ∴= （负根舍去）48.BC x ∴==故选B ．【点睛】本题考查的是三角形的平分线的性质，等高的两个三角形的面积与底边之间的关系，一元二次方程的解法，掌握相关知识点是解题关键．5．（2020·重庆八中九年级期中）如图，在Rt ABC 中，90ABC ∠=︒，:1:2AB BC =．点D是AC 上一点，连接BD ，将BCD △沿BD 折叠至BCD △．连接AC '，//AC BC '，AE 平分BAC '∠交BC '于点E ．若31AC '=+，则AE 的长为（ ）A ．2B ．21+C ．6D ．61+【答案】A 【分析】作EF ⊥AC ，EG ⊥AB ，通过勾股定理2,2,2AB AC BC +=，求出AB ，BC ，的长度，E 是∠BAC ，的角平分线，得出AGEF 为正方形，利用正方形性质及勾股定理即可求出答案．【详解】解：作EF ⊥AC ，EG ⊥AB ，由题得∠ABC=90°，:1:2AB BC =，//AC BC '∴∠BAC ，=90°，BC=BC ,，∴AB ：BC ，=1:2，∠AC ，B=30°，∠ABC ，=60°，又∵31AC '=+，∴222''AB AC BC +=∴222'4AB AC AB +=∴AB=313+,23'223BC AB ==+ ∵AE 是∠BAC ，的角平分线∴四边形AGEF 为正方形设AG=x ，∴FA=AG=GE=EF=xFC ,=3+1x －，C ,E=2x ∴222'EF C F C E ='+()222x 3+1x 4x +=－解得x=1或x=23﹣－ （舍去）∴x=1，即FA=AG=GE=EF=1AE 为正方形AGEF 的对角线∴AE=112+=．故选：A ．【点睛】本题主要考查折叠的性质正方形的性质及勾股定理的应用，解题关键在于做出辅助线，得出AGEF 为正方形．6．（2020·福建九年级一模）若(),a b a b <是关于方程()()()10x m x n m n --+=<的两个实数根，则实数,,,a b m n 的大小关系是（）A ．a b m n <<<B ．m n a b <<<C ．a m n b <<<D ．m a b n <<<【答案】D【分析】利用a 是关于x 的一元二次方程（x-m ）（x-n ）+1=0的根得到（a-m ）（a-n ）=-1＜0，进而判断出m ＜a ＜n ，同理判断出m ＜b ＜n ，即可得出结论．【详解】解：∵a 是关于x 的一元二次方程（x-m ）（x-n ）+1=0的根，∴（a-m ）（a-n ）+1=0，∴（a-m ）（a-n ）=-1＜0，∵m ＜n ，同理：m ＜b ＜n ，∵a ＜b ，∴m ＜a ＜b ＜n ．故选：D ．【点睛】此题主要考查了一元二次方程的解的定义，不等式的性质，判断出（a-m ）（a-n ）＜0是解本题的关键． 二、填空题7．（2021·江苏八年级期中）折纸艺术发源于中国，它是一种将纸张折成不同形状图案的艺术活动，在数学中也有不少折纸活动．如下图是将正方形纸片折叠成了领带形状的折纸过程．其步骤为：先将CD 边沿CF 折叠，D 点的对应点为D ，再将BC 沿CD '折叠，使得B 点恰好落在CF 边上的B '处折痕与AB 边交于E ．若正方形边长为3，连接EF ，则AEF 的面积=_____．【答案】23-【分析】设AE x =，3BC x =-，根据折叠的性质表示出Rt D EF '△各边，利用勾股定理列出方程，解之即可得到AE ，利用三角形面积公式计算即可．【详解】解：由折叠可得图象，∵ABCD 是正方形，EC ，FC 平分BCD ∠，∴30BCF ECF FCD ∠︒=∠=∠=．设AE x =，3BC x =-， 由折叠性质可得：3EB BE x '==-，∵90B ∠=︒，30BCE ∠=︒，∴22(3)EC BE x ==-．由折叠性质可得，E ，F 在同一水平上，∴AE AF =， ∴3FD x =-，且3D F DF x '==-，3DC D C '==，∴32ED EC D C x ''=-=-，在Rt D EF '△中，222EF D F D E ''=+，2EF x =，3D F x '=-，32D E x '=-，∴()()()2222332x x x =-+-， 解出113x =+（舍去），231x =-，∴31x =-，∴2112322AEF S AE AE x =⋅⋅==-△．故答案为：23-．【点睛】本题考查了折叠的性质，勾股定理，正方形的性质，一元二次方程，解题的关键是熟练运用折叠的性质得到相应边的关系．8．（2019·浙江八年级期末）如图，将一个等腰直角BEF 的直角顶点与正方形ABCD 的顶点B 重合，此时点E 在DC 的延长线上，点F 在边AD 上，EF 交对角线BD 于点M ，作DEF ∠的平分线EG ，交BD 于点G ，过点G 作GH EF ⊥于点H ．若3,2EH HF ==，则BD 的长为________．【答案】722【分析】过点G 作⊥GN CD 于N ，过点G 作GK AD ⊥于K ，连结FG ，利用正方形和等腰直角三角形的性质证明ABF ≌CBE △，得到AF CE =，再证明Rt EGH △≌Rt EGN △，得到3HE NE ==，同理证明2FH FK ==，DK DN =，设DK DN x ==，在Rt DEF △中，利用勾股定理求出x ，设AF CE y ==，利用AD =DC 求出y 值，得到AD ，即可得到BD ．【详解】解：过点G 作⊥GN CD 于N ，过点G 作GK AD ⊥于K ，连结FG ，∵四边形ABCD 是正方形，∴AB BC CD AD ===，90ABC ADC ∠=∠=︒，45ADB CDB ∠=∠=︒， ∵BEF 是等腰直角三角形， ∴BE BF =，90EBF ∠=︒，∴90ABC EBF ∠=∠=︒，∴ABC FBC EBF FBC ∠-∠=∠-∠，∴ABF CBE ∠=∠，在ABF 和CBE △中，BAF BCE AB BCABF CBE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴ABF ≌CBE △（ASA ），∴AF CE =，∵EG 平分DEF ∠，GH EF ⊥，GN DE ⊥，∴HG GN =，∵BD 平分ADC ∠，⊥GN CD ，GK AD ⊥，∴GN GK =，∴GH GK =， 在Rt EGH △和Rt EGN △中，GH GN GE GE=⎧⎨=⎩， ∴Rt EGH △≌Rt EGN △（HL ），∴3HE NE ==，同理Rt FGH ≌Rt FGK △，Rt DGK △≌Rt DGN △，∴2FH FK ==，DK DN =，设DK DN x ==，则2DF x =+，3DE x =+，在Rt DEF △中，222DF DE EF ，∴222(2)(3)(23)x x +++=+，∴2560x x +-=，解得11x =，26x =-（舍），∴1DK DN ==，∴3DF =，4DE =，设AF CE y ==，∴3AD y =+，4DC y =-，∵AD DC =，∴34y y +=-， ∴12y =， ∴72AD =， ∴7222BD AD ==． 故答案为：722．【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，图形中线段较多，要结合图形的性质，建立线段之间的关系． 9．（2020·哈尔滨市第五十一中学九年级月考）已知：如图，等腰直角ABC ，90BAC ∠=︒，AB AC =，点D 为ABC 外一点，45ADB ∠=︒，连接CD ，4=AD ，52CD =BC 的长为________．【答案】20 【分析】过B 作BE AD ⊥于E，过C 作CF AD ⊥交DA 的延长线于F ，由90BAC ∠=︒，AB AC =，得到90EAB FAC EAB EBA ∠+∠=∠+∠=︒，证出ABE FAC ∠=∠，推出ABE AFC ≅△△，得到AE CF =，BE AF =，设AE CF x ==，AF BE DE y ===，根据勾股定理得到1CF AE ==，3AF BE DE ===，2210AC AF CF =+=，于是得到2220BC AB AC =+=．【详解】解：过B 作BE AD ⊥于E ，过C 作CF AD ⊥交DA 的延长线于F ，90BAC ∠=︒，AB AC =，90EAB FAC EAB EBA ∴∠+∠=∠+∠=︒，ABE FAC ∴∠=∠，在ABE △与CAF 中，90ABE CAF AB ACAEB F ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩， ABE AFC ∴≅△△，AE CF ∴=，BE AF =，45ADB ∠=︒，DE BE ∴=，设AE CF x ==，4AF BE DE x ===-，在Rt CDF 中，222DF CF CD +=，即：()()2222452x x x +-+=⎡⎤⎣⎦， 解得：1x =；7x =（不合题意，舍去）．1∴==，3CF AE===，AF BE DE222223110∴=+=+=，AC AF CF22101020∴=+=+=．BC AB AC故答案为：20．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理的应用，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．三、解答题10．（2021·重庆南开中学）如图，等边△ABC中，点E是BC上一个动点，点D是射线AC上的一个动点连接DE、AE，且运动过程中始终满足AE＝DE．（1）如图1，若∠AED＝90°，AC＝1＋3，求出BE的长；（2）如图2，以DE为边，在DE的右侧作等边△DEF，延长BC至G，使得CG＝CD，连接DG，再过点F作FH//DG，交AC于点H，求证：FH＋DH＝AB；（3）如图3，在（2）问条件下，若AB＝4，连接CF、GF，当CF取得最小值时，请直接写出此时四边形DEFG的面积．【答案】（1）3－1；（2）见解析；（3）3【分析】（1）过点E作EP⊥AC于点P，设BE＝x，则CE＝13x，分别根据含30°的直角三角形和等腰直角三角形的性质以及勾股定理计算即可；（2）在线段AH上取一点M，使得HM＝HF，连接MF，根据等边三角形的判定及性质以及全等三角形的判定及性质证明即可；（3）先证明点F的运动轨迹是射线AQ，由此可得当CF⊥AQ时，CF取得最小值，再作出此时的图形，进而计算即可求得答案．【详解】（1）解：如图，过点E作EP⊥AC于点P，则∠APE＝∠CPE＝90°，∵在等边△ABC中，AC＝1＋3，∴BC＝AC＝1＋3，∠ACB＝∠BAC＝60°，∴在Rt△CPE中，∠CEP＝90°－∠ACB＝30°，设BE＝x，则CE＝1＋3－x，∴CP＝12CE＝12(1＋3－x)，∴AP＝AC－CP＝1＋3－12(1＋3－x)＝12(1＋3＋x)，∵∠AED＝90°，AE＝DE，∴∠EAP＝∠EDP＝45°，又∵∠APE＝90°，∴∠AEP＝∠EAP＝45°，∴EP＝AP＝12(1＋3＋x)，∵在Rt△CPE中，EP2＋CP2＝CE2，∴14(1＋3＋x)2＋14(1＋3－x)2＝(1＋3－x)2，解得：x1＝3－1，x2＝5＋33（不符合题意，舍去），∴BE的长为3－1；（2）证明：如图，在线段AH上取一点M，使得HM＝HF，连接MF，∵CG＝CD，∠DCG＝∠ACB＝60°，∴△CDG为等边三角形，∴∠CDG＝∠G＝60°，∵FH//DG，∴∠FHM＝∠CDG＝60°，又∵HM＝HF，∴△HFM为等边三角形，∴∠FMH＝∠B＝60°，∵△DEF为等边三角形，∴DE＝DF，∠EDF＝60°，∴∠EDC＋∠FDM＝60°，∵DE＝AE，∴∠EDC＝∠EAM，DF＝AE，又∵∠BAC＝∠BAE＋∠EAM＝60°，∴∠BAE＝∠FDM，∵∠BAE＝∠FDM，∠B＝∠FMD＝60°，AE＝DF，∴△BAE≌△MDF（AAS），∴AB＝DM，BE＝MF，又∵DM＝DH＋HM＝DH＋HF，∴AB＝DH＋HF；（3）如图，连接AF，∵∠DEG＋∠EDC＝∠ACB＝60°，∠FDM＋∠EDC＝∠EDF＝60°，∴∠DEG＝∠FDM，∵∠DEG＝∠FDM，∠G＝∠FMD＝60°，DE＝DF，∴△DEG≌△FDM（AAS），∴DG＝FM，∴DC＝FM，∵AB＝DM，AB＝AC＝4，∴DM＝AC，∴DC＋CM＝AM＋CM，∴DC＝AM，∴FM＝AM，又∵∠HMF＝60°，∴∠MAF＝∠MFA＝30°，∴点F在射线AQ上运动，且∠CAQ＝30°，∴当CF⊥AQ时，CF取得最小值，如下图，此时∠AFC ＝90°，点C 与点H 重合，则CM ＝MA ＝12AC ＝2， ∴DC ＝MA ＝2，∴BE ＝MF ＝AM ＝2，CG ＝DG ＝DC ＝2，∵∠AFC ＝90°，∠CAF ＝30°，∴CF ＝12AC ＝2，∵∠DCG ＝∠CMF ＝60°，∴CG //MF ，又∵CG ＝MF ＝2，∴四边形CGMF 为平行四边形，∴CM //GF ，∴∠BGF ＝∠ACB ＝60°，∵CD ＝CF ＝2，CE ＝CE ，DE ＝FE ，∴△DCE ≌△FCE （SSS ），∴∠DEG ＝∠FEG ＝12∠DEF ＝30°，又∵∠DGE ＝∠FGE ＝60°，∴∠GDE ＝∠GFE ＝90°，∴DE ＝2223EG DG -=，∴112232322DEG S DG DE =⋅=⨯⨯=△，同理可得：23FEG S =△，∴=43DEG FEG DEFG S S S +=△△四边形，∴当CF 取得最小值时，四边形DEFG 的面积为43．【点睛】本题考查了等边三角形的性质与判定，全等三角形的判定与性质，勾股定理，一元二次方程的解法，平行四边形的判定与性质等相关知识，第（3）问中确定点F 的运动轨迹是射线AQ 是解决本题的关键．11．（2021·黑龙江）已知：在ABCD 中，点E 在AD 上，且AE CD =，连接BE ．（1）如图1，求证：ABE CBE ∠=∠；（2）如图2，点F 在线段BE 上，且BF BC =，连接CE ，若3CED BEC ∠=∠，求证：AD CF BE +=；（3）如图3，在（2）的条件下，过点C 作CG BE ⊥，垂足为点G ，若12BE FG =，4EF =，求ABCD 的面积．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）1215【分析】（1）利用平行四边形的性质、平行线的性质、等腰三角形的性质解答；（2）由已知可以得到AD=BF ，CF=EF ，从而可以得到所证等式；（3）过点A 作AM ⊥BC 于点M ，过点E 作EH ⊥ BC ，交BC 的延长线于H ，则可以得到AM=EH ，从而得到S ABCD =2S BCE =BE ×CG ，而BE 与CG 可以通过勾股定理及已知条件求得，从而可得问题解答．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形∴//AD BC ，AB CD =∴AEB CBE ∠=∠∵AE CD =∴AB AE =∴ABE AEB ∠=∠∴ABE CBE ∠=∠（2）证明：令BEC α∠=，则3CED α∠=∴1801804AEB BEC CED α∠=︒-∠-∠=︒-∴1804CBE α∠=︒-．∵BF BC = ∴()1801804180222CBF BFC BCF α∠α︒-︒-︒-∠=∠=== ∴2ECF BFC CEF ααα∠=∠-∠=-=∴EF CF =∵四边形ABCD 是平行四边形∴AD BC =∴BF AD =∴AD CF BF EF BE +=+=．（3）解：如图，4CF EF ==令FG t =，则12BE t =∴124BC BF BE EF t ==-=-，114BG BE EF FG t =--=-，在Rt BCG 中，222CG BC BG =-在Rt CFG △中，222CG CF FG =-∴2222BC BG CF FG -=-∴()()22221241144t t t ---=-解得11t =，223t =-（舍）∴12BE =，224115CG =-=∴11121561522BCE S BE CG =⋅=⨯⨯=△过点A 作AM BC ⊥于点M ，过点E 作EH BC ⊥，交BC 的延长线于点H ．∵//AD BC∴90DAM AMB ∠=∠=︒∴90DAM AMH H ∠=∠=∠=︒∴四边形AMHE 为矩形∴AM EH = ∴21215BCE ABCD S BC AM BC EH S =⋅=⋅==平行四边形【点睛】本题考查平行四边形的综合应用，熟练掌握平行四边形的性质、平行线的性质、等腰三角形的性质及勾股定理的应用等是解题关键．12．（2021·江苏八年级期末）在正方形ABCD 中，6AB =，E 、F 分别是BC 、AB 边上的动点，以DF 、EF 为边作平行四边形EFDG ．（1）如图1，连接AE ，若AF BE =，试说明EG 与AE 的关系；（2）如图2，若E 为BC 的中点，F 在AB 边上是否存在某个位置，使得四边形EFDG 为菱形？若存在，求出AF 的长；若不存在，说明理由．（3）设BE m =，若不论F 在何位置，FG 与DE 始终不可能相等，求m 的取值范围．【答案】（1）EG AE ⊥且EG AE =，理由见解析；（2）存在，34AF =；（3）362m <≤【分析】（1）由四边形ABCD 为正方形，可得AD =AB ，∠DAF =∠ABE =90°，可证△ADF ≌△BAE （SAS ），可得DF =AE ，∠ADF =∠BAE ，先证AE ⊥DF ，由四边形EFDG 是平行四边形，可证AE ⊥EG ，且AE =EG ；（2）设AF =x ，由AB =6，可表示BF =6-x ，由点E 为BC 中点，可求BE =3，由四边形DFEG 为菱形，可得DF =EF ，由勾股定理可得()22226+=6+3x x -，解方程即可；（3）四边形EFDG 为平行四边形，由FG 与DE 相等时，可知四边形EFDG 为矩形，可得∠DFE =90°，设AF = x ，BF =6- x ，利用勾股定理()()2222226+666x x m m +-+=-+，整理得：2-660x x m +=，让△=36-24m<0即可． 【详解】解：（1）EG =AE ，且EG ⊥AE∵四边形ABCD 为正方形，∴AD =AB ，∠DAF =∠ABE =90°，在△ADF 和△BAE 中，AD BA DAF ABE AF BE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ADF ≌△BAE （SAS ），∴DF =AE ，∠ADF =∠BAE ，∵∠BAE +∠EAD =90°∴∠EAD+∠ADF =90°，∴AE ⊥DF ，∵四边形EFDG 是平行四边形，∴DF ∥EG ，DF =EG∴AE ⊥EG ，且AE =EG ，（2）设AF =x ，∵AB =6，∴AD =BC =6，∴BF =6-AF =6-x ，∵点E 为BC 中点，∴BE=11622BC =⨯=3，∵四边形DFEG 为菱形，∴DF =EF ，由勾股定理可得2222AD AF BF BE +=+，即()22226+=6+3x x -解得34x = ∴F 在AB 边上存在AF=34时，使得四边形EFDG 为菱形； （3）∵四边形EFDG 为平行四边形，FG 与DE 相等时，则四边形EFDG 为矩形，∴∠DFE =90°，设AF = x ，BF =6- x ，∴DE 2=DF 2+FE 2=CD 2+EC 2，即AD 2+AF 2+BF 2+BE 2=CD 2+EC 2，∴()()2222226+666x x m m +-+=-+，整理得：2-660x x m +=，△=36-24m <0，即m >32时方程没有实数根，即∠DFE ≠90°，FG 与DE 始终不可能相等． 又∵点E 在BC 边上，∴m ≤6，∴m 的范围是1.5≤m ≤6.【点睛】本题考查正方形性质，三角形全等判定与性质，平行四边形性质，菱形性质，勾股定理以及一元二次方程判别式，掌握以上知识是解题关键．13．（2021·安徽八年级期末）在ABCD 中，点M 为AB 的中点．（1）如图1，若90A ∠=︒，连接DM 且3BMD ADM ∠=∠，试探究AB 与BC 的数量关系；（2）如图2，若A ∠为锐角，过点C 作CE AD ⊥于点E ，连接EM ，3BME AEM ∠=∠， ①求证：2AB BC =②若EA EC =，求ED EC的值．【答案】（1）12BC AB =，理由见解答过程；（2）①见解析；②473- 【分析】（1）由3BMD ADM ∠=∠，可得2A ADM ∠=∠，45ADM ∠=︒，从而ADM ∆是等腰直角三角形，AD AM =，根据四边形ABCD 是平行四边形，M 是AB 中点，即得12BC AB =； （2）①过点M 作MN ∥AD ，分别交DC ，CE 于点N ，F ，可得四边形AMND 与MBCN 是平行四边形，根据等边对等角证明∠EMF =∠CMF ，根据∠BME =3∠AEM 推出∠NMC =∠NCM ，得到MN =NC ，可得结论；②设ED x =，EC y =，则EA y =，AD y x =-，2()CD y x =-，Rt CDE △中，222ED EC CD +=，有2224()x y y x +=-，解得473x y +=或473x y -=，即可得473ED EC -=． 【详解】解：（1）12BC AB =，理由如下： 3BMD ADM ∠=∠， 3A ADM ADM ∴∠+∠=∠，2A ADM ∴∠=∠，90A ∠=︒，45ADM ∴∠=︒，ADM ∴∆是等腰直角三角形，AD AM ∴=，四边形ABCD 是平行四边形，M 是AB 中点，AD BC ∴=，12AM AB =， 12BC AB =∴； （2）①过点M 作MN ∥AD ，分别交DC ，CE 于点N ，F ，则四边形AMND 与MBCN 是平行四边形，且AM =BM =CN =DN ，∴EF =FC ，∵AE ⊥CE ，∴MF ⊥CE ，∴EM =CM ，∴∠EMF =∠CMF ，∵∠BME =3∠AEM ，∠EMF =∠AEM ，即∠BMN =2∠EMF ，∴∠CMN =∠CMB ，∴∠NMC =∠NCM ，即MN =NC ，∴AB =2BC ；②如图：由①知：2AB BC =，2CD AD ∴=设ED x =，EC y =，则EA y =，AD y x =-，2()CD y x =-，Rt CDE ∆中，222ED EC CD +=，2224()x y y x ∴+=-，化简整理得：223830x xy y -+=， 解得473x y +=或473x y -=， DE AE <，473x y -∴=， ∴473x y -=，即473ED EC -=． 【点睛】本题考查平行四边形性质及应用，涉及矩形、等腰直角三角形、勾股定理等知识，解题的关键是作辅助线，构造等腰三角形及CE 的垂直平分线．14．（2019·浙江八年级期中）如图，已知ABC 中，908cm 6cm B AB BC ∠=︒==，，，P 、Q 是ABC 边上的两个动点，其中点P 从点A 开始向B 运动，且速度为每秒1cm ，点Q 从点B 开始沿BC CA ，方向运动，且速度为每秒2cm ．它们同时出发，设出发的时间为t 秒．（1）出发2秒后，求PQ 的长：（2）当点Q 在边BC 上运动时，出发几秒钟，PQB △能形成等腰三角形？（3）当点Q 在边CA 上运动时，求能使BCQ △成为等腰三角形的运动时间．【答案】（1）213cm ；（2）83秒；（3）6.6秒或6秒或5.5秒【分析】（1）可求得AP 和BQ ，则可求得BP ，在Rt △BPQ 中，由勾股定理可求得PQ 的长；（2）用t 可分别表示出BP 和BQ ，根据等腰三角形的性质可得到BP =BQ ，可得到关于t 的方程，可求得t ；（3）用t 分别表示出BQ 和CQ ，利用等腰三角形的性质可分BQ =B C 、CQ =BC 和BQ =CQ 三种情况，分别得到关于t 的方程，可求得t 的值．【详解】解：（1）当t =2时，则AP =2，BQ =2t =4，∵AB =8cm ，∴BP =AB -AP =8-2=6（cm ），在Rt △BPQ 中，由勾股定理可得PQ =22213BP BQ +=cm ，即PQ的长为213cm；（2）由题意可知AP=t，BQ=2t，∵AB=8，∴BP=AB-AP=8-t，当△PQB为等腰三角形时，则有BP=BQ，即8-t=2t，解得t=83，∴出发83秒后△PQB能形成等腰三角形；（3）在△ABC中，由勾股定理可求得AC=10，当点Q在AC上时，AQ=BC+AC-2t=16-2t，∴CQ=AC-AQ=10-（16-2t）=2t-6，∵△BCQ为等腰三角形，∴有BQ=B C、CQ=BC和CQ=BQ三种情况，①当BQ=BC=6时，如图1，过B作BD⊥AC，则CD=12CQ=t-3，在Rt△ABC中，求得BD=245，在Rt△BCD中，由勾股定理可得BC2=BD2+CD2，即62=（245）2+（t-3）2，解得t=6.6或t=-0.6＜0（舍去）；②当CQ=BC=6时，则2t-6=6，解得t=6；③当CQ=BQ时，则∠C=∠QBC，∴∠C+∠A=∠CBQ+∠QBA，∴∠A=∠QBA，∴QB=QA，∴CQ=12AC=5，即2t-6=5，解得t=5.5；综上可知：当运动时间为6.6秒或6秒或5.5秒时，△BCQ 为等腰三角形．【点睛】本题为三角形的综合应用，涉及勾股定理、等腰三角形的性质、等积法、方程思想及分类讨论思想等知识．用时间t 表示出相应线段的长，化“动”为“静”是解决这类问题的一般思路，注意方程思想的应用．本题考查知识点较多，综合性较强，但难度不大．15．（2021·浙江八年级期中）如图，在平面直角坐标系中，直线AB 与x 轴、y 轴分别交于点A ，B ，直线CD 与x 轴、y 轴分别交于点C ，D ，AB 与CD 相交于点E ，线段OA ，OC 的长是一元二次方程218720x x -+=的两根()OA OC >，5BE =，34AO BO =．（1）求点A ，C 的坐标；（2）M 为直线AB 上任一点，当DEM △的面积为40时，求点M 的坐标；（3）若点P 在坐标轴上，在平面内是否存在一点Q ，使以点C ，E ，P ，Q 为顶点的四边形是矩形？若存在，请写出满足条件的点Q 的个数，并直接写出位于第二象限的点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）(12,0)A ，(6,0)C -；（2）（-7，763）或（13，43-）；（3）（-6，12），（-9，94），（-3，636+）【分析】（1）先求出一元二次方程218720x x -+=的两根就可以求出OA ，OC 的值，进而求出点A ，C 的坐标；（2）求出点B 坐标，求出AB 的解析式，得到点E 坐标，再求出CE 的解析式，得到点D 坐标，利用面积法求出点D 到直线AB 的距离，设设点M 坐标为（m ，43-m +16），表示出ME ，利用△DME 的面积列出方程，求出m 值即可；（3）根据矩形的性质，画出图形，结合勾股定理，全等三角形以及坐标与图形性质求出第二象限的点Q 坐标．【详解】解：（1）218720x x -+=，16x ∴=，212x =．OA OC ，12OA ∴=，6OC =．(12,0)A ∴，(6,0)C -；（2）∵34OA OB =，OA =12， ∴OB =16，即B （0，16），设AB 的解析式为y =kx +16，将A 代入，则43k =-，则y =43-x +16，设E （x ，43-x +16），∵BE =5，∴2224161653x x ⎛⎫+-+-= ⎪⎝⎭， 解得：x =3或-3（舍），则E （3，12），同理可得：CE 的解析式为y =43x +8，令x =0，则y =8， ∴D （0，8），∴△BDE 的面积=12E BD x ⨯⨯=12，∴点D 到直线AB 的距离为1225⨯=245， 设点M 坐标为（m ，43-m +16），则ME =()224316123m m ⎛⎫-+-+- ⎪⎝⎭， ∵△DEM 的面积为40，∴()2212443161240253m m ⎛⎫⨯⨯-+-+-= ⎪⎝⎭， 解得：m =-7或m =13，()47671633-⨯-+=，44131633-⨯+=-，∴点M的坐标为（-7，763），（13，43）；（3）如图，满足条件的点Q的个数是6，其中Q1，Q2，Q5在第二象限，Q2的坐标为（-6，12）；过点E作EF⊥y轴，垂足为F，过点Q2作Q2G⊥x轴，垂足为G，可得EF∥OC，∴∠DEF=∠DCO，∵∠DEF+∠P2EF=∠DCO+∠Q2CG，∴∠P2EF=∠Q2CG，又P2E=Q2C，∠P2FE=∠Q2GC，∴△P2EF≌△Q2CG（AAS），∴P2F=Q2G，EF=CG=3，设P 2（0，a ），在△BDE 中，22222P E DE P D +=，即()()()2222231231288a a +-++-=-，解得：a =574，即P 2（0，574）， ∴Q 2（-9，57124-），即：（-9，94）； 设P 5（0，n ），连接P 5Q 5，与CE 交于点H ，在△P 5CE 中，22255CP EP CE +=，即()()()222222603123612n n ++-+-=++， 解得：n =636-或636+（舍），∴P 5（0，636-），∵H （632-+，0122+），即（32-，6）， ∴点Q 5的坐标为（-3，636+），综上：位于第二象限的点Q 的坐标为（-6，12），（-9，94），（-3，636+）．【点睛】本题考查了一次函数综合问题，勾股定理，全等三角形的判定和性质，矩形的性质，解一元二次方程，面积法，涉及的知识点较多，难度较大，解题的关键是掌握基本知识和方法，结合图形解决问题．。

数学北师大版九年级下册中考压轴题

数学北师大版九年级下册中考压轴题

函数与几何综合压轴题集合1.（2004安徽芜湖）如图①，在平面直角坐标系中，AB 、CD 都垂直于x 轴，垂足分别为B 、D 且AD 与B 相交于E 点.已知：A(-2,-6),C(1,-3) (1) 求证：E 点在y 轴上；(2) 如果有一抛物线经过A ，E ，C 三点，求此抛物线方程.(3) 如果AB 位置不变，再将DC 水平向右移动k(k>0)个单位，此时AD 与BC 相交于E ′点，如图②，求△AE ′C 的面积S 关于k 的函数解析式.[解] （1）（本小题介绍二种方法，供参考）方法一：过E 作EO ′⊥x 轴，垂足O ′∴AB ∥EO ′∥DC∴,EO DO EO BO AB DB CD DB''''==又∵DO ′+BO ′=DB ∴1EO EO AB DC ''+=∵AB=6，DC=3，∴EO ′=2又∵DO EO DB AB''=，∴2316EO DO DB AB ''=⨯=⨯=∴DO ′=DO ，即O ′与O 重合，E 在y 轴上方法二：由D （1，0），A （-2，-6） 得DA 直线方程：y=2x-2① 再由B （-2，0），C （1，-3得BC 直线方程：y=-x-2 ② 联立①②得02x y =⎧⎨=-⎩∴E 点坐标（0，-2），即E 点在y 轴上 （2）设抛物线的方程y=ax 2+bx+c(a ≠0)过A （-2，-6），C （1，-3）E （0，-2）三点，得方程组42632a b c a b c c -+=-⎧⎪++=-⎨⎪=-⎩解得a=-1,b=0,c=-2 ∴抛物线方程y=-x 2-2（3）（本小题给出三种方法，供参考）由（1）当DC 水平向右平移k 后，过AD 与BC 的交点E ′作E ′F ⊥x 轴垂足为F 。

图①图②A同（1）可得：1E F E FAB DC''+= 得：E ′F=2 方法一：又∵E ′F ∥AB E F DF AB DB '⇒=，∴13DF DB =S △AE ′C = S △ADC - S △E ′DC =11122223DC DB DC DF DC DB ∙-∙=∙ =13DC DB ∙=DB=3+k S=3+k 为所求函数解析式 方法二：∵ BA ∥DC ，∴S △BCA =S △BDA∴S △AE ′C = S △BDE ′()1132322BD E F k k '=∙=+⨯=+ ∴S=3+k 为所求函数解析式.证法三：S △DE ′C ∶S △AE ′C =DE ′∶AE ′=DC ∶AB=1∶2同理：S △DE ′C ∶S △DE ′B =1∶2,又∵S △DE ′C ∶S △ABE ′=DC 2∶AB 2=1∶4 ∴()2213992AE C ABCD S S AB CD BD k '∆==⨯+∙=+梯形 ∴S=3+k 为所求函数解析式.2. （2004广东茂名）已知：如图，在直线坐标系中，以点M （1，0）为圆心、直径AC 为22的圆与y 轴交于A 、D 两点.（1）求点A 的坐标；（2）设过点A 的直线y ＝x ＋b 与x 轴交于点B.探究：直线AB 是否⊙M 的切线？并对你的结论加以证明；（3）连接BC ，记△ABC 的外接圆面积为S 1、⊙M 面积为S 2，若421h S S =，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过B 、M 两点，且它的顶点到x 轴的距离为h .求这条抛物线的解析式.[解]（1）解：由已知AM ＝2，OM ＝1，在Rt △AOM 中，AO ＝122=-OM AM ，∴点A 的坐标为A （0，1）（2）证：∵直线y ＝x ＋b 过点A （0，1）∴1＝0＋b 即b ＝1 ∴y ＝x ＋1 令y ＝0则x ＝－1 ∴B （—1，0），AB ＝2112222=+=+AO BO在△ABM 中，AB ＝2，AM ＝2，BM ＝2222224)2()2(BM AM AB ==+=+∴△ABM 是直角三角形，∠BAM ＝90°∴直线AB 是⊙M 的切线 （3）解法一：由⑵得∠BAC ＝90°，AB ＝2，AC ＝22， ∴BC ＝10)22()2(2222=+=+AC AB∵∠BAC ＝90° ∴△ABC 的外接圆的直径为BC ，∴πππ25)210()2(221=∙=∙=BC S而πππ2)222()2(222=∙=∙=AC S421h S S =，5,4225=∴=h h 即 ππ设经过点B （—1，0）、M （1，0）的抛物线的解析式为：y ＝a （＋1）（x －1），（a≠0）即y ＝ax 2－a ，∴－a ＝±5，∴a ＝±5∴抛物线的解析式为y ＝5x 2－5或y ＝－5x 2＋5 解法二：（接上） 求得∴h ＝5由已知所求抛物线经过点B （—1，0）、M （1、0），则抛物线的对称轴是y 轴，由题意得抛物线的顶点坐标为（0，±5）∴抛物线的解析式为y ＝a （x －0）2±5又B （－1,0）、M （1,0）在抛物线上，∴a±5＝0， a ＝±5 ∴抛物线的解析式为 y ＝5x 2－5或y ＝－5x 2＋5 解法三：（接上）求得∴h ＝5因为抛物线的方程为y ＝ax 2＋bx ＋c （a≠0）由已知得⎪⎩⎪⎨⎧-===⎪⎩⎪⎨⎧==⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧±=-=+-=++5055c 0b 5544002c b a a ab ac c b a c b a 或 ＝－ 解得∴抛物线的解析式为 y ＝5x 2－5或y ＝－5x 2＋5.3.(2004湖北荆门)如图，在直角坐标系中，以点P （1，－1）为圆心，2为半径作圆，交x 轴于A 、B 两点，抛物线)0(2>++=a c bx ax y 过点A 、B ，且顶点C 在⊙P 上. (1)求⊙P 上劣弧⌒AB 的长； (2)求抛物线的解析式；(3)在抛物线上是否存在一点D ，使线段 OC 与PD 互相平分？若存在，求出点 D 的坐标；若不存在，请说明理由.[解] （1）如图，连结PB ，过P 作PM ⊥x 轴，垂足为M.在Rt △PMB 中，PB=2,PM=1, ∴∠MPB ＝60°，∴∠APB ＝120° ⌒AB 的长＝342180120ππ=⋅⋅︒︒ （2）在Rt △PMB 中，PB=2,PM=1,则MB ＝MA ＝3. 又OM=1，∴A （1－3，0），B （1＋3，0）， 由抛物线及圆的对称性得知点C 在直线则C(1，－3).点A 、B 、C 在抛物线上，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=-+-+-=++++=c b a c b a cb a 3)31()31(0)31()31(022 解之得⎪⎩⎪⎨⎧-=-==221c b a ∴抛物线解析式为222--=x x y（3）假设存在点D ，使OC 与PD 互相平分，则四边形OPCD 为平行四边形，且PC ∥OD.又PC ∥y 轴，∴点D 在y 轴上，∴OD ＝2，即D （0，－2）. 又点D （0，－2）在抛物线222--=x x y 上， 故存在点D （0，－2），使线段OC 与PD 互相平分.4.（2004湖北襄樊）如图，在平面直角坐标系内，Rt△ABC的直角顶点C（0在y轴的正半轴上，A、B是x轴上是两点，且OA∶OB＝3∶1，以OA、OB为直径的圆分别交AC于点E，交BC于点F.直线EF交OC于点Q.（1）求过A、B、C三点的抛物线的解析式；（2）请猜想：直线EF与两圆有怎样的位置关系？并证明你的猜想. （3）在△AOC中，设点M是AC边上的一个动点，过M作MN∥AB 交OC于点N.试问：在x轴上是否存在点P，使得△PMN是一个以MN为一直角边的等腰直角三角形？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由.[解] (1)在Rt△ABC中，OC⊥∴△AOC≌△COB.∴OC2＝OA·OB.∵OA∶OB＝3∶∴23.OB OB=∴OB＝1.∴OA＝3.∴A(-3,0),B(1,0).设抛物线的解析式为2y ax=+则930,0,a b ca b cc⎧-+=⎪++=⎨⎪=⎩解之，得abc⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩∴经过A、B、C三点的抛物线的解析式为：2y x=(2)EF与⊙O1、⊙O2都相切.证明：连结O1E、OE、OF.∵∠ECF＝∠AEO＝∠BFO＝90°,∴四边形EOFC为矩形.∴QE＝QO.∴∠1＝∠2.∵∠3＝∠4,∠2+∠4＝90°，∴EF与⊙O1相切.同理：EF理⊙O2相切.(3)作MP⊥OA于P，设MN＝a,由题意可得MP＝MN＝a.∵MN∥OA, ∴△CMN∽△CAO.∴.MN CNAO CO=∴3a=解之，得3.2a=此时，四边形OPMN∴MN OP==∴(P考虑到四边形PMNO此时为正方形，∴点P在原点时仍可满足△PNN是以MN为一直角边的等腰直角三角形.故x轴上存在点P使得△PMN是一个以MN为一直角边的等腰直角三角形且(0)P或(0,0).P5.（2004湖北宜昌）如图，已知点A(0，1)、C(4，3)、E(415，823)，P是以AC为对角线的矩形ABCD内部(不在各边上)的—个动点，点D在y轴，抛物线y＝ax2+bx+1以P为顶点．(1)说明点A、C、E在一条条直线上；(2)能否判断抛物线y＝ax2+bx+1的开口方向?请说明理由；(3)设抛物线y＝ax2+bx+1与x轴有交点F、G(F在G的左侧)，△GAO与△FAO的面积差为3，且这条抛物线与线段AE有两个不同的交点．这时能确定a、b的值吗?若能，请求出a、b的值；若不能，请确定a、b的取值范围．由方程组y=ax 2—6ax +1y=21x +1 得：ax 2—（6a +1）x =0 (本题图形仅供分析参考用)[解] （1）由题意，A(0，1)、C(4，3)确定的解析式为：y=21x+1.将点E 的坐标E(415，823)代入y=21x+1中，左边=823，右边=21×415+1=8， ∵左边=右边，∴点E 在直线y=21x+1上， 即点A 、C 、E 在一条直线上.（2）解法一：由于动点P 在矩形ABCD 内部，∴点P 的纵坐标大于点A 的纵坐标，而点A 与点P 都在抛物线上，且P 为顶点，故，这条抛物线有最高点，抛物线的开口向下解法二：∵抛物线y=ax 2+bx+c 的顶点P 的纵坐标为ab a 442—，且P 在矩形ABCD 内部，∴1＜a b a 442—＜3，由1＜1—a b 42得—ab 42＞0，∴a＜0，∴抛物线的开口向下.（3）连接GA 、FA ，∵S △GAO —S △FAO =3 ∴21GO ·AO —21FO ·AO=3 ∵OA=1，∴GO —FO=6. 设F （x 1,0）、G （x 2,0），则x 1、x 2为方程ax 2+bx+c=0的两个根，且x 1＜x 2， 又∵a ＜0，∴x 1·x 2=a1＜0，∴x 1＜0＜x 2， ∴GO= x 2，FO= —x 1，∴x 2—（—x 1）=6， 即x 2+x 1=6，∵x 2+x 1= —a b ∴—ab=6， ∴b= —6a,∴抛物线解析式为：y=ax 2—6ax+1, 其顶点P 的坐标为（3，1—9a ）, ∵顶点P 在矩形ABCD 内部， ∴1＜1—9a ＜3, ∴—92＜a ＜0.∴x=0或x=a a 216=6+a21. 当x=0时，即抛物线与线段AE 交于点A ， 而这条抛物线与线段AE 有两个不同的交 点，则有：0＜6+a21≤415，解得：—92≤a ＜—121 综合得：—92＜a ＜—121∵b= —6a ，∴21＜b ＜34 6.（2004湖南长沙）已知两点O(0，0)、B(0，2)，⊙A 过点B 且与x 轴分别相交于点O 、C ，⊙A 被y 轴分成段两圆弧，其弧长之比为3∶1，直线l 与⊙A 切于点O ，抛物线的顶点在直线l 上运动. （1）求⊙A 的半径；（2）若抛物线经过O 、C 两点，求抛物线的解析式；（3）过l 上一点P 的直线与⊙A 交于C 、E 两点，且PC ＝CE ，求点E 的坐标；（4）若抛物线与x 轴分别相交于C 、F 两点，其顶点P 的横坐标为m ，求△PEC 的面积关于m 的函数解析式.[解] (1)由弧长之比为3∶1，可得∠BAO ＝90º再由AB ＝AO ＝r ，且OB ＝2，得r ＝ 2 (2)⊙A 的切线l 过原点，可设l 为y ＝kx任取l 上一点(b ，kb)，由l 与y 轴夹角为45º可得： b ＝－kb 或b ＝kb ，得k ＝－1或k ＝1， ∴直线l 的解析式为y ＝－x 或y ＝x又由rC(2，0)或C(－2，0)由此可设抛物线解析式为y ＝ax(x －2)或y ＝ax(x ＋2) 再把顶点坐标代入l 的解析式中得a ＝1 ∴抛物线为y ＝x 2－2x 或y ＝x 2＋2x……6分(3)当l 的解析式为y ＝－x 时，由P 在l 上，可设P(m ，－m)(m ＞0) 过P 作PP′⊥x 轴于P′，∴O P′＝|m|，PP′＝|－m|，∴OP ＝2m 2， 又由切割线定理可得：OP 2＝PC·PE,且PC ＝CE ，得PC ＝PE ＝m ＝PP′7分∴C 与P′为同一点，即PE ⊥x 轴于C ，∴m ＝－2，E(－2，2)…8分 同理，当l 的解析式为y ＝x 时，m ＝－2，E(－2，2)(4)若C(2，0)，此时l 为y ＝－x ，∵P 与点O 、点C 不重合，∴m≠0且m≠2，当m ＜0时，FC ＝2(2－m)，高为|y p |即为－m ， ∴S ＝22(2)()22m m m m --=-同理当0＜m ＜2时，S ＝－m 2＋2m ；当m ＞2时，S ＝m 2－2m ；∴S ＝222(02)2(02)m m m m m m m ⎧-<>⎨-+<<⎩或 又若C(－2，0)，此时l 为y ＝x ，同理可得；S ＝222(20)2(20)m m m m m m m ⎧+<->---<<或4+=kx y 与函数)0,0(>>=m x xy 的图像交于A 、B 两点，且与x 、y 轴分别交于C 、D 两点． （1）若COD ∆的面积是AOB ∆的面积的2倍，求k 与m 之间的函数关系式；（2）在（1）的条件下，是否存在k 和m ，使得以AB 为直径的圆经过点)0,2(P ．若存在，求出k 和m 的值；若不存在，请说明理由．[解]（1）设),(11y x A ，),(22y x B(其中2121,y y x x ><)， 由AO B COD S S ∆∆=2，得)(2BO D AO D CO D S S S ∆∆∆-=∴21·OC ·2=OD (21·OD ·-1y 21·OD ·2y )，)(221y y OC -=， 又4=OC ，∴8)(221=-y y ，即84)(21221=-+y y y y ， 由xmy =可得y m x =，代入4+=kx y 可得042=--km y y ①∴421=+y y ，km y y -=⋅21， ∴8416=+km ，即mk 2-=． 又方程①的判别式08416>=+=∆km ， ∴所求的函数关系式为mk 2-=)0(>m ．（2）假设存在k ,m ，使得以AB 为直径的圆经过点)0,2(P ． 则BP AP ⊥，过A 、B 分别作x 轴的垂线，垂足分别为M 、N ． ∵MAP ∠与BPN ∠都与APM ∠互余，∴MAP ∠ BPN ∠=． ∴Rt MAP ∆∽Rt NPB ∆，∴NBMPPN AM =． ∴212122y x x y -=-，∴0)2)(2(2121=+--y y x x ， ∴0)2)(2(2121=+--y y y m y m ，即0)(4)(222121212=+++-y y y y y y m m ②由（1）知421=+y y ，221=⋅y y ，代入②得01282=+-m m ，∴2=m 或6，又m k 2-=，∴⎩⎨⎧-==12k m 或⎪⎩⎪⎨⎧-==316k m ， ∴存在k ,m 使得以AB 为直径的圆经过点)0,2(P ，且⎩⎨⎧-==12k m 或⎪⎩⎪⎨⎧-==316k m ． 8.（2004江苏镇江）已知抛物线2(5)5(0)y mx m x m =--->与x 轴交于两点1(,0)A x 、2(,0)B x 12()x x <，与y 轴交于点C ，且AB=6.（1）求抛物线和直线BC 的解析式.（2）在给定的直角坐标系中，画抛物线和直线BC.（3）若P 过A 、B 、C 三点，求P 的半径.（4）抛物线上是否存在点M ，过点M 作MN x ⊥轴于点N ，使MBN∆被直线BC M [解] （1）1215,m x x x m-+=2212125()436,m x x x x m -⎛⎫+-= ⎪⎝⎭解得1251,.7m m ==-经检验m=1，∴抛物线的解析式为：y =或：由2(5)5mx m x ---=1x =或5x m-=0,m > 516, 1.m m-∴-=∴= ∴抛物线的解析式为24 5.y x x =+-由2450x x +-=得125, 1.x x =-=∴A （－5，0），B （1，0），C （0，－5）. 设直线BC 的解析式为,y kx b =+则5,5,0. 5.b b k b k =-=-⎧⎧∴⎨⎨+==⎩⎩ ∴直线BC 的解析式为5 5.y x =- (2)图象略. （3）法一：在Rt AOC D 中，5,45.OA OC OAC ==∴∠=︒90BPC ∴∠=︒.又BC ==∴P的半径2PB ==法二：由题意，圆心P 在AB 的中垂线上，即在抛物线245y x x =+-的对称轴直线2x =-上，设P （－2，－h ）（h ＞0）， 连结PB 、PC ，则222222(12),(5)2PB h PC h =++=-+，由22PB PC =，即2222(12)(5)2h h ++=-+，解得h=2.(2,2),P P ∴--∴的半径PB ==法三：延长CP 交P 于点F.CF 为P 的直径，90.CAF COB ∴∠=∠=︒ 又,.ABC AFC ACF OCB ∠=∠∴D ~D,.CF AC AC BCCF BC OC OC⋅∴=∴=又AC ==5,CO BC ===∞CF ∴== P ∴（4）设MN 交直线BC 于点E ，点M 的坐标为2(,45),t t t +-则点E的坐标为(,55).t t - 若13,MEB ENB S S =D D ::则13.ME EN =::2434,45(55).3EN MN t t t ∴=∴+-=-:: 解得11t =（不合题意舍去），25,3t =540,.39M ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭ 若31,MEB ENB S S =D D ::则31.ME EN =::214,454(55).EN MN t t t ∴=∴+-=-::解得31t =（不合题意舍去），415,t =()15,280.M ∴∴存在点M ，点M 的坐标为540,39⎛⎫ ⎪⎝⎭或（15，280）.9. 如图，⊙M 与x 轴交于A 、B 两点，其坐标分别为)03(，-A 、)01(，B ，直径CD ⊥x 轴于N ，直线CE 切⊙M 于点C ，直线FG 切⊙M 于点F ，交CE 于G ，已知点G 的横坐标为3.(1) 若抛物线m x x y +--=22经过A 、B 、D 三点，求m 的值及点D 的坐标.(2) 求直线DF 的解析式.(3) 是否存在过点G 的直线，使它与（1）中抛物线的两个交点的横坐标之和等于4？若存在，请求出满足条件的直线的解析式；若不存在，请说明理由.[解] (1) ∵抛物线过A 、B 两点，∴11)3(-=⨯-m，m=3. ∴抛物线为322+--=x x y . 又抛物线过点D ，由圆的对称性知点D 为抛物线的顶点. ∴D 点坐标为)41(，-. (2) 由题意知：AB=4.∵CD ⊥x 轴，∴NA=NB=2. ∴ON=1. 由相交弦定理得：NA ·NB=ND ·NC ， ∴NC×4=2×2. ∴NC=1. ∴C 点坐标为)11(--，. 设直线DF 交CE 于P ，连结CF ，则∠CFP=90°. ∴∠2+∠3=∠1+∠4=90°. ∵GC 、GF 是切线，∴GC=GF. ∴∠3=∠4. ∴∠1=∠2. ∴GF=GP. ∴GC=GP. 可得CP=8. ∴P 点坐标为)17(-，设直线DF 的解析式为b kx y +=则⎩⎨⎧-=+=+-174b k b k 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=82785b k ∴直线DF 的解析式为：82785+-=x y (3) 假设存在过点G 的直线为11b x k y +=， 则1311-=+b k ，∴1311--=k b . 由方程组⎩⎨⎧+--=--=3213211x x y k x k y 得034)2(112=--++k x k x由题意得421=--k ，∴61-=k . 当61-=k 时，040<-=∆， ∴方程无实数根，方程组无实数解. ∴满足条件的直线不存在. 10.（2004山西）已知二次函数212y x bx c =++的图象经过点A （－3，6），并与x 轴交于点B （－1，0）和点C ，顶点为P.（1）求这个二次函数的解析式，并在下面的坐标系中画出该二次函数的图象；（2）设D 为线段OC 上的一点，满足∠DPC ＝∠BAC ，求点D 坐标； （3）在x 轴上是否存在一点M ，使以M 为圆心的圆与AC 、PC 所在（第9题图）的直线及y 轴都相切？如果存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由.[解] （1）解：∵二次函数212y x bx=+B （－1，0），得9362102b c b c ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩ 解得⎧⎪⎨⎪⎩∴这个二次函数的解析式为：212y x x =-由解析式可求P （1，－2），C （3，0） 画出二次函数的图像（2）解法一：易证：∠ACB ＝∠PCD ＝45° 又已知：∠DPC ＝∠BAC ∴△DPC ∽△BAC ∴DC PC BCAC= 易求4AC PC BC ===∴43DC = ∴45333OD =-= ∴5,03D ⎛⎫ ⎪⎝⎭解法二：过A 作AE ⊥x 轴，垂足为E. 设抛物线的对称轴交x 轴于F. 亦可证△AEB ∽△PFD 、∴PE EBPF FD=. 易求：AE ＝6，EB ＝2，PF ＝2∴23FD = ∴25133OD =+= ∴5,03D ⎛⎫ ⎪⎝⎭（3）存在.1°）过M 作MH ⊥AC ，MG ⊥PC 垂足分别为H 、G ，设AC 交y 轴于S ，CP 的延长线交y 轴于T∵△SCT 是等腰直角三角形，M 是△SCT 的内切圆圆心， ∴MG ＝MH ＝OM 又∵MC =且OM ＋MC ＝OC3,3OM OM +==得 ∴()3,0M2°）在x 轴的负半轴上，存在一点M ′ 同理OM′＋OC ＝M′C ，OM OC ''+=得3OM '= ∴M ′()3,0- 即在x 轴上存在满足条件的两个点.11.（2004浙江绍兴）在平面直角坐标系中，A （－1，0），B （3，0）. （1）若抛物线过A ，B 两点，且与y 轴交于点（0，－3），求此抛物线的顶点坐标；（2）如图，小敏发现所有过A ，B 两点的抛物线如果与y 轴负半轴交于点C ，M 为抛物线的顶点，那么△ACM 与△ACB 的面积比不变，请你求出这个比值；（3）若对称轴是AB 的中垂线l 的抛物线与x 轴交于点E ，F ，与y 轴交于点C ，过C 作CP ∥x 轴交l 于点P ，M 为此抛物线的顶点.若四边形PEMF 是有一个内角为60°的菱形，求次抛物线的解析式.[解] （1）322--=x x y ，顶点坐标为（1，－4）.（2）由题意，设y ＝a （x ＋1）（x －3即y ＝ax 2－2ax －3a ，∴ A （－1，0），B （3，0）， C （0，－3a ），M （1，－4a ），∴S △ACB ＝21×4×a 3-＝6a ，而a ＞S △ACB ＝6A 、作MD ⊥x 轴于D ， 又S △ACM ＝S △ACO ＋S OCMD －S △AMD ＝21·1·3a ＋21（3a ＋4a ）－21·2·4a ＝a ， ∴ S △ACM ：S △ACB ＝1：6.（3）①当抛物线开口向上时，设y ＝a （x －1）2＋k ，即y ＝ax 2－2ax ＋a ＋k ， 有菱形可知k a +＝k ，a ＋k ＞0，k ＜0， ∴ k ＝2a-， ∴ y ＝ax 2－2ax ＋2a ， ∴ 2=EF .记l 与x 轴交点为D ， 若∠PEM ＝60°， 则∠FEM ＝30°，MD ＝DE·tan30°＝66， ∴ k ＝－66，a ＝36， ∴ 抛物线的解析式为666326312+-=x x y .若∠PEM ＝120°，则∠FEM ＝60°，MD ＝DE·tan60°＝26， ∴k ＝－26，a ＝6， ∴抛物线的解析式为266262+-=x x y . ②当抛物线开口向下时，同理可得666326312-+-=x x y ， 266262-+-=x x y .。

中考数学压轴题考点训练数与式问题试题及答案解析

中考数学压轴题考点训练数与式问题试题及答案解析

中考数学压轴题考点训练数与式问题实数与数轴问题【例1】（2019 年大庆）实数m，n在数轴上的对应点如图所示，则下列各式子正确的是（）A．m＞n B．﹣n＞|m|C．﹣m＞|n|D．|m|＜|n|【分析】从数轴上可以看出m、n都是负数，且m＜n，由此逐项分析得出结论即可．【解析】因为m、n都是负数，且m＜n，|m|＜|n|，A、m＞n是错误的；B、﹣n＞|m|是错误的；C、﹣m＞|n|是正确的；D、|m|＜|n|是错误的．故选：C．【变式1-1】（2019 年徐州）如图，数轴上有O、A、B三点，O为原点，O A、O B分别表示仙女座星系、M87 黑洞与地球的距离（单位：光年）．下列选项中，与点B表示的数最为接近的是（）A．5×106 B．107 C．5×107 D．108【分析】先化简2.5×106＝0.25×107，再从选项中分析即可；【解析】2.5×106＝0.25×107，（5×107）÷（0.25×107）＝20，从数轴看比较接近；故选：C．【变式1-2】（2019 年枣庄）点O，A，B，C在数轴上的位置如图所示，O为原点，A C＝1，O A＝O B．若点C所表示的数为a，则点B所表示的数为（）A．﹣（a+1）B．﹣（a﹣1）C．a+1 D．a﹣1【分析】根据题意和数轴可以用含a的式子表示出点B表示的数，本题得以解决．【解析】∵O为原点，A C＝1，O A＝O B，点C所表示的数为a，∴点A表示的数为a﹣1，∴点B表示的数为：﹣（a﹣1），故选：B．【点拨】本题考查数轴，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．【考点 2】整式的求值问题【例2】（2019 年泰州）若 2a﹣3b＝﹣1，则代数式 4a2﹣6a b+3b的值为（）A．﹣1 B．1 C．2 D．3【分析】将代数式 4a2﹣6a b+3b变形后，整体代入可得结论．【解析】4a2﹣6a b+3b，＝2a（2a﹣3b）+3b，＝﹣2a+3b，＝﹣（2a﹣3b），＝1，故选：B．【点拨】本题考查代数式求值；熟练掌握整体代入法求代数式的值是解题的关键．【变式2-1】（2019 年常州）如果a﹣b﹣2＝0，那么代数式 1+2a﹣2b的值是 5 ．【分析】将所求式子化简后再将已知条件中a﹣b＝2 整体代入即可求值；【解析】∵a﹣b﹣2＝0，∴a﹣b＝2，∴1+2a﹣2b＝1+2（a﹣b）＝1+4＝5；故答案为 5．【变式2-2】（2019•济宁）已知x﹣2y＝3，那么代数式 3﹣2x+4y的值是（）A．﹣3 B．0 C．6 D．9【分析】将 3﹣2x+4y变形为 3﹣2（x﹣2y），然后代入数值进行计算即可．【解析】∵x﹣2y＝3，∴3﹣2x+4y＝3﹣2（x﹣2y）＝3﹣2×3＝﹣3；故选：A．【考点 3】分式的求值问题【例3】（2019 年内江）若2，则分式的值为﹣4 ．【分析】由2，可得m+n＝2m n；化简，即可求解；’【解析】2，可得m+n＝2m n，＝﹣4；故答案为﹣4；【点拨】本题考查分式的值；能够通过已知条件得到m+n＝2m n，整体代入的思想是解题的关键；【变式3-1】（2019 年绥化）当a＝2018 时，代数式（）的值是2019 ．【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将a的值代入化简后的式子即可解答本题．【解析】（）＝a+1，当a＝2018 时，原式＝2018+1＝2019，故答案为：2019．【变式3-2】（2019 年北京）如果m+n＝1，那么代数式（）•（m2﹣n2）的值为（）A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3【分析】原式化简后，约分得到最简结果，把已知等式代入计算即可求出值．【解析】原式•（m+n）（m﹣n）•（m+n）（m﹣n）＝3（m+n），当m+n＝1 时，原式＝3．故选：D．【考点 4】二次根式的性质与化简【例4】（2019 年绵阳）已知x是整数，当|x|取最小值时，x的值是（）A．5 B．6 C．7 D．8【分析】根据绝对值的意义，由与最接近的整数是 5，可得结论．【解析】∵，∴5，且与最接近的整数是 5，∴当|x |取最小值时，x的值是 5，故选：A．【点拨】本题考查了算术平方根的估算和绝对值的意义，熟练掌握平方数是关键．【变式4-1】（2019 年菏泽）已知x，那么x2﹣2x的值是 4 ．【分析】根据二次根式的运算以及完全平方公式即可求出答案．【解析】∵x ，∴x2﹣2x+2＝6，∴x2﹣2x＝4，故答案为：4【变式4-2】（2019 年内江）若|1001﹣a|a，则a﹣10012＝1002 ．【分析】由二次根式有意义的条件得到a≥1002，据此去绝对值并求得a的值，代入求值即可．【解析】∵a﹣1002≥0，∴a≥1002．由|1001﹣a|a，得﹣1001+a a，∴1001，∴a﹣1002＝10012．∴a﹣10012＝1002．故答案是：1002．【考点 5】数字的变化规律【例5】（2019 年河池）a1，a2，a3，a4，a5，a6，…，是一列数，已知第 1 个数a1＝4，第5 个数a5＝5，且任意三个相邻的数之和为 15，则第 2019 个数a2019 的值是 6 ．【分析】由任意三个相邻数之和都是 15，可知a1、a4、a7、…a3n+1 相等，a2、a5、a8、…a3n+2 相等，a3、a6、a9、…a3n相等，可以得出a5＝a2＝5，根据a1+a2+a3＝15 得 4+5+a3＝15，求得a3，进而按循环规律求得结果．【解析】由任意三个相邻数之和都是 15 可知：a1+a2+a3＝15，a2+a3+a4＝15，a3+a4+a5＝15，…a n+a n+1+a n+2＝15，可以推出：a1＝a4＝a7＝…＝a3n+1，a2＝a5＝a8＝…＝a3n+2，a3＝a6＝a9＝…＝a3n，所以a5＝a2＝5，则4+5+a3＝15，解得a3＝6，∵2019÷3＝673，因此a2019＝a3＝6．故答案为：6．【变式5-1】（2019 年益阳）观察下列等式：①3﹣2（1）2，②5﹣2（）2，③7﹣2（）2，…请你根据以上规律，写出第 6 个等式．【分析】第n个等式左边的第 1 个数为 2n+1，根号下的数为n（n+1），利用完全平方公式得到第n个等式右边的式子为（）2（n≥1的整数）．【解析】写出第 6 个等式为 13﹣2（）2．故答案为（）2．【点拨】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．【变式5-2】（2019 年铜仁市）按一定规律排列的一列数依次为：，，，，…（a ≠0），按此规律排列下去，这列数中的第n个数是．（n为正整数）【分析】先确定正负号与序号数的关系，再确定分母与序号数的关系，然后确定a的指数与序号数的关系．【解析】第 1 个数为（﹣1）1•，第 2 个数为（﹣1）2•，第 3 ，第 4 ，…，所以这列数中的第n个数是（﹣1）n•．故答案为（﹣1）n•．【点拨】本题考查了规律型：数字的变化类：寻数列规律：认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的方法．【考点 6】图形的变化规律【例6】（2019 年大庆）归纳“T”字形，用棋子摆成的“T”字形如图所示，按照图①，图②，图③的规律摆下去，摆成第n个“T”字形需要的棋子个数为．【分析】根据题意和图形，可以发现图形中棋子的变化规律，从而可以求得第n个“T”字形需要的棋子个数．【解析】由图可得，图①中棋子的个数为：3+2＝5，图②中棋子的个数为：5+3＝8，图③中棋子的个数为：7+4＝11，……则第n个“T”字形需要的棋子个数为：（2n+1）+（n+1）＝3n+2，故答案为：3n+2．【点拨】本题考查图形的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现题目中棋子的变化规律，利用数形结合的思想解答．【变式6-1】（2019 年天水）观察下列图中所示的一系列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第 2019 个图形中共有6058 个〇．【分析】根据题目中的图形，可以发现〇的变化规律，从而可以得到第 2019 个图形中〇的个数．【解析】由图可得，第 1 个图象中〇的个数为：1+3×1＝4，第 2 个图象中〇的个数为：1+3×2＝7，第 3 个图象中〇的个数为：1+3×3＝10，第 4 个图象中〇的个数为：1+3×4＝13，……∴第 2019 个图形中共有：1+3×2019＝1+6057＝6058 个〇，故答案为：6058．【点拨】本题考查图形的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现图形中〇的变化规律，利用数形结合的思想解答．【变式6-2】（2019 年甘肃）如图，每一图中有若干个大小不同的菱形，第 1 幅图中有 1 个菱形，第 2 幅图中有 3 个菱形，第 3 幅图中有 5 个菱形，如果第n幅图中有 2019 个菱形，则n＝1010 ．【分析】根据题意分析可得：第 1 幅图中有 1 个，第 2 幅图中有2×2﹣1＝3 个，第 3 幅图中有2×3﹣1＝5 个，…，可以发现，每个图形都比前一个图形多 2 个，继而即可得出答案．【解析】根据题意分析可得：第 1 幅图中有 1个．第 2 幅图中有2×2﹣1＝3 个．第 3 幅图中有2×3﹣1＝5个．第 4 幅图中有2×4﹣1＝7个．…．可以发现，每个图形都比前一个图形多 2个．故第n幅图中共有（2n﹣1）个．当图中有 2019 个菱形时，2n﹣1＝2019，n＝1010，故答案为：1010．【点拨】本题考查规律型中的图形变化问题，难度适中，要求学生通过观察，分析、归纳并发现其中的规律．1．（2019 年北京）在数轴上，点A，B在原点O的两侧，分别表示数a，2，将点A向右平移 1 个单位长度，得到点C，若C O＝B O，则a的值为（）A．﹣3 B．﹣2 C．﹣1 D．1【分析】根据C O＝B O可得点C表示的数为﹣2，据此可得a＝﹣2﹣1＝﹣3．【解析】∵点C在原点的左侧，且C O＝B O，∴点C表示的数为﹣2，∴a＝﹣2﹣1＝﹣3．故选：A．2.（2019 ，中，绝对值最大的数是（） A．﹣3 B．﹣0.5 D．【分析】根据绝对值的性质以及正实数都大于 0，负实数都小于 0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小判断即可．【解析】∵|﹣3|＝3，|﹣0.5|＝0.5，||，| | 且3，∴所给的几个数中，绝对值最大的数是﹣3．故选：A．3．（2019 年云南）按一定规律排列的单项式：x3，﹣x5，x7，﹣x9，x11，……，第n个单项式是（）A．（﹣1）n﹣1x2n﹣1 B．（﹣1）n x2n﹣1C．（﹣1）n﹣1x2n+1 D．（﹣1）n x2n+1【分析】观察指数规律与符号规律，进行解答便可．【解析】∵x3＝（﹣1）1﹣1x2×1+1，﹣x5＝（﹣1）2﹣1x2×2+1，x7＝（﹣1）3﹣1x2×3+1，﹣x9＝（﹣1）4﹣1x2×4+1，x11＝（﹣1）5﹣1x2×5+1，……由上可知，第n个单项式是：（﹣1）n﹣1x2n+1，故选：C．4．（2019 年黔东南州）如果 3a b2m﹣1 与 9a b m+1 是同类项，那么m等于（）A．2 B．1 C．﹣1 D．0【分析】根据同类项的定义，含有相同的字母，并且相同字母的指数也相同，列出等式，直接计算即可．【解析】根据题意，得：2m﹣1＝m+1，解得：m＝2．故选：A．5．（2019 年常德）观察下列等式：70＝1，71＝7，72＝49，73＝343，74＝2401，75＝16807，…，根据其中的规律可得 70+71+72+…+72019 的结果的个位数字是（）A．0 B．1 C．7 D．8【分析】首先得出尾数变化规律，进而得出 70+71+72+…+72019 的结果的个位数字．【解析】∵70＝1，71＝7，72＝49，73＝343，74＝2401，75＝16807，…，∴个位数 4 个数一循环，∴（2019+1）÷4＝505，∴1+7+9+3＝20，∴70+71+72+…+72019 的结果的个位数字是：0．故选：A．6．（2019 年深圳）定义一种新运算n•x n﹣1d x＝a n﹣b n，例如2x d x＝k2﹣n2，若x﹣2d x＝﹣2，则m＝（）A．﹣2 C．2 D．【分析】根据新运算列等式为m﹣1﹣（5m）﹣1＝﹣2，解出即可．【解析】由题意得：m﹣1﹣（5m）﹣1＝﹣2，2，5﹣1＝﹣10m，m，故选：B．7．（2019 年攀枝花）一辆货车送货上山，并按原路下山．上山速度为a千米/时，下山速度为b千米/时．则货车上、下山的平均速度为（）千米/时．A．（a+b）C．D．【分析】平均速度＝总路程÷总时间，设单程的路程为x，表示出上山下山的总时间，把相关数值代入化简即可．【解答】设上山的路程为x千米，则上山的时间小时，下山的时间为小时，则上、下山的平均速度千米/时．故选：D．8．（2019 年临沂）计算a﹣1 的正确结果是（）A．B．C．D．【分析】先将后两项结合起来，然后再化成同分母分式，按照同分母分式加减的法则计算就可以了．【解析】原式，，．9．（2019 年舟山）数轴上有两个实数a，b，且a＞0，b＜0，a+b＜0，则四个数a，b，﹣a，﹣b的大小关系为b＜﹣a＜a＜﹣b（用“＜”号连接）．【分析】根据两个负数比较大小，其绝对值大的反而小和负数都小于 0，即可得出答案．【解析】∵a＞0，b＜0，a+b＜0，∴|b|＞a，∴﹣b＞a，b＜﹣a，∴四个数a，b，﹣a，﹣b的大小关系为b＜﹣a＜a＜﹣b．故答案为：b＜﹣a＜a＜﹣b10．（2019 年咸宁）有一列数，按一定规律排列成 1，﹣2，4，﹣8，16，﹣32，…，其中某三个相邻数的积是 412，则这三个数的和是﹣384 ．【分析】根据题目中的数字，可以发现它们的变化规律，再根据其中某三个相邻数的积是412，可以求得这三个数，从而可以求得这三个数的和．【解析】∵一列数为 1，﹣2，4，﹣8，16，﹣32，…，∴这列数的第n个数可以表示为（﹣2）n﹣1，∵其中某三个相邻数的积是 412，∴设这三个相邻的数为（﹣2）n﹣1、（﹣2）n、（﹣2）n+1，则（﹣2）n﹣1•（﹣2）n•（﹣2）n+1＝412，即（﹣2）3n＝（22）12，∴（﹣2）3n＝224，∴3n＝24，解得，n＝8，∴这三个数的和是：（﹣2）7+（﹣2）8+（﹣2）9＝（﹣2）7×（1﹣2+4）＝（﹣128）×3＝﹣384，故答案为：﹣384．11．（2019 年湘潭）若a+b＝5，a﹣b＝3，则a2﹣b2＝15 ．【分析】先根据平方差公式分解因式，再代入求出即可．【解析】∵a+b＝5，a﹣b＝3，∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝5×3＝15，故答案为：15．12．（2019 年徐州）若a＝b+2，则代数式a2﹣2a b+b2 的值为 4 ．【分析】由a＝b+2，可得a﹣b＝2，代入所求代数式即可．【解析】∵a＝b+2，∴a﹣b＝2，∴a2﹣2a b+b2＝（a﹣b）2＝22＝4．故答案为：413．（2019 年桂林）若x2+a x+4＝（x﹣2）2，则a＝﹣4 ．【分析】直接利用完全平方公式得出a的值．【解析】∵x2+a x+4＝（x﹣2）2，∴a＝﹣4．故答案为：﹣4．【点拨】此题主要考查了公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．14．（2019 年咸宁）若整式x2+m y2（m为常数，且m≠0）能在有理数范围内分解因式，则m的值可以是﹣1 （写一个即可）．【分析】令m＝﹣1，使其能利用平方差公式分解即可．【解析】令m＝﹣1，整式为x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）．故答案为：﹣1（答案不唯一）．15．（2019 年广州）代数式有意义时，x应满足的条件是x＞8 ．【分析】直接利用分式、二次根式的定义求出x的取值范围．【解析】代数式有意义时，x﹣8＞0，解得：x＞8．故答案为：x＞8．16．（2019 年枣庄）观察下列各式：11+（1），11+（），11+（），…请利用你发现的规律，计算：，其结果为2018 ．【分析】根据题意找出规律，根据二次根式的性质计算即可．【解析】＝1+（1）+1+（）+…+1+（）＝2018+1＝2018，故答案为：2018．17.（2019 年西藏）观察下列式子第 1 个式子：2×4+1＝9＝32第 2 个式子：6×8+1＝49＝72第 3 个式子：14×16+1＝225＝152……请写出第n个式子：（2n+1﹣2）×2n+1+1＝（2n+1﹣1）2 ．【分析】由题意可知：①等号左边是两个连续偶数的积（其中第二个因数比第一个因数大 2）与 1 的和；右边是比左边第一个因数大 1 的数的平方；②第 1 个式子的第一个因数是 22﹣2，第 2 个式子的第一个因数是 23﹣2，第 3 个式子的第一个因数是 24﹣2，以此类推，得出第n个式子的第一个因数是 2n+1﹣2，从而能写出第n个式子．【解析】∵第 1 个式子：2×4+1＝9＝32，即（22﹣2）×22+1＝（22﹣1）2，第 2 个式子：6×8+1＝49＝72，即（23﹣2）×23+1＝（23﹣1）2，第 3 个式子：14×16+1＝225＝152，即（24﹣2）×24+1＝（24﹣1）2，……∴第n个等式为：（2n+1﹣2）×2n+1+1＝（2n+1﹣1）2．故答案为：（2n+1﹣2）×2n+1+1＝（2n+1﹣1）2．18．（2019 年海南）有 2019 个数排成一行，对于任意相邻的三个数，都有中间的数等于前后两数的和．如果第一个数是 0，第二个数是 1，那么前 6 个数的和是0 ，这 2019 个数的和是 2 ．【分析】根据题意可以写出这组数据的前几个数，从而可以数字的变化规律，本题得以解决．【解析】由题意可得，这列数为：0，1，1，0，﹣1，﹣1，0，1，1，…，∴前 6 个数的和是：0+1+1+0+（﹣1）+（﹣1）＝0，∵2019÷6＝336…3，∴这 2019 个数的和是：0×336+（0+1+1）＝2，故答案为：0，2．19.（2019 年安顺）如图，将从 1 开始的自然数按以下规律排列，例如位于第 3 行、第 4 列的数是 12，则位于第 45 行、第 7 列的数是2019 ．【分析】观察图表可知：第n行第一个数是n2，可得第 45 行第一个数是 2025，推出第 45行、第 7 列的数是 2025﹣6＝2019【解析】观察图表可知：第n行第一个数是n2，∴第 45 行第一个数是 2025，∴第 45 行、第 7 列的数是 2025﹣6＝2019，故答案为 2019。

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3．D
解析：D 【解析】
试题分析：根据题意，点 A、A′关于点 C 对称，设点 A 的坐标是（x，y），则
a x 0，b y 1，解得 x a，y b 2 ，∴点 A 的坐标是 (a， b 2) ．故选 D．
2
2
考点：坐标与图形变化-旋转．
4．A
解析：A 【解析】
【分析】直接根据“上加下减”、“左加右减”的原则进行解答即可． 【详解】由“左加右减”的原则可知，将直线 y=2x-3 向右平移 2 个单位后所得函数解析式为 y=2(x-2)-3=2x-7，由“上加下减”原则可知，将直线 y=2x-7 向上平移 3 个单位后所得函数解
（2）如图 2，当 6<t<10 时，DE 是否存在最小值？若存在，求出 DE 的最小值；若不存 在，请说明理由. （3）当点 D 在射线 OM 上运动时，是否存在以 D，E，B 为顶点的三角形是直角三角形？ 若存在，求出此时 t 的值；若不存在，请说明理由.
26．某校学生会发现同学们就餐时剩余饭菜较多，浪费严重，于是准备在校内倡导“光盘 行动”，让同学们珍惜粮食，为了让同学们理解这次活动的重要性，校学生会在某天午餐 后，随机调查了部分同学这餐饭菜的剩余情况，并将结果统计后绘制成了如图所示的不完 整的统计图．
【详解】
∵把 A（ 1 ，y1），B（2，y2）代入反比例函数 y= 1 得：y1=2，y2= 1 ，
2
x
2
∴A（ 1 ，2），B（2， 1 ），
2
2
∵在△ABP 中，由三角形的三边关系定理得：|AP-BP|＜AB，
∴延长 AB 交 x 轴于 P′，当 P 在 P′点时，PA-PB=AB，
即此时线段 AP 与线段 BP 之差达到最大，
【分析】
求出 AB 的坐标，设直线 AB 的解析式是 y=kx+b，把 A、B 的坐标代入求出直线 AB 的解 析式，根据三角形的三边关系定理得出在△ABP 中，|AP-BP|＜AB，延长 AB 交 x 轴于 P′， 当 P 在 P′点时，PA-PB=AB，此时线段 AP 与线段 BP 之差达到最大，求出直线 AB 于 x 轴 的交点坐标即可．
(3)如果小聪到达宾馆后，立即以 30 km/h 的速度按原路返回，那么返回途中他几点钟遇见 小慧？
23．距离中考体育考试时间越来越近，某校想了解初三年级 1500 名学生跳绳情况，从中随 机抽查了 20 名男生和 20 名女生的跳绳成绩，收集到了以下数据： 男生：192、166，189，186，184，182，178，177，174，170，188，168，205，165， 158，150，188，172，180，188 女生：186，198，162，192，188，186，185，184，180，180，186，193，178，175， 172，166，155，183，187，184． 根据统计数据制作了如下统计表：
△A′B′C，使得点 A′恰好落在 AB 上，则旋转角度为_____．
14．如图：已知 AB=10，点 C、D 在线段 AB 上且 AC=DB=2； P 是线段 CD 上的动点，分别 以 AP、PB 为边在线段 AB 的同侧作等边△AEP 和等边△PFB，连结 EF，设 EF 的中点为 G； 当点 P 从点 C 运动到点 D 时，则点 G 移动路径的长是________．
设直线 AB 的解析式是 y=kx+b， 把 A、B 的坐标代入得：
2＝
1 2
k
1 2
＝2k
b b
，
解得：k=-1，b= 5 ， 2
∴直线 AB 的解析式是 y=-x+ 5 ， 2
当 y=0 时，x= 5 ， 2
即 P（ 5 ，0）， 2
故选 D． 【点睛】 本题考查了三角形的三边关系定理和用待定系数法求一次函数的解析式的应用，解此题的
D．平均数变大，方差变大
10．如果关于 x 的分式方程 1 ax 2 1 有整数解，且关于 x 的不等式组
x2
2x
x
a
0
3
的解集为 x＞4，那么符合条件的所有整数 a 的值之和是（ ）
x 2 2(x 1)
A．7
B．8
C．4
D．5
11．如图中的几何体是由一个圆柱和个长方体组成的，该几何体的俯视图是( )
个数 x
150≤x＜170
170≤x＜185
185≤x＜190
x≥190
男生
5
8
5
2
女生
3
8
a
3
两组数据的极差、平均数、中位数、众数如表所示：
极差
平均数
中位数
男生
55
女生
43
178
b
181
184
众数 c 186
（1）请将上面两个表格补充完整：a＝____，b＝_____，c＝_____； （2）请根据抽样调查的数据估计该校初三年级学生中考跳绳成绩能得满分（185 个及以 上）的同学大约能有多少人？ （3）体育组的江老师看了表格数据后认为初三年级的女生跳绳成绩比男生好，请你结合统 计数据，写出支持江老师观点的理由． 24．如图，某地修建高速公路，要从 A 地向 B 地修一座隧道（A、B 在同一水平面上）， 为了测量 A、B 两地之间的距离，某工程师乘坐热气球从 B 地出发，垂直上升 100 米到达 C 处，在 C 处观察 A 地的俯角为 39°，求 A、B 两地之间的距离．（结果精确到 1 米） （参考数据：sin39°=0.63，cos39°=0.78，tan39°=0.81）
D．( 5 ,0) 2
2．如图，在平面直角坐标中，正方形 ABCD 与正方形 BEFG 是以原点 O 为位似中心的位
似图形，且相似比为 1 ，点 A，B，E 在 x 轴上，若正方形 BEFG 的边长为 12，则 C 点坐 3
标为（ ）
A．（6，4）
B． （6，2）
C．（4，4）
D．（8，4）
3．如图，将△ABC 绕点 C（0，1）旋转 180°得到△A'B'C，设点 A 的坐标为 (a, b) ，则点
【压轴题】九年级数学下期末试题(及答案)
一、选择题
1．如图所示，已知 A（ 1 ，y1），B(2,y2)为反比例函数 y 1 图像上的两点，动点 P(x，0)
2
x
在 x 正半轴上运动，当线段 AP 与线段 BP 之差达到最大时，点 P 的坐标是（ ）
A．( 1 ，0) 2
B．(1,0)
C．( 3 ,0) 2
x 0 ）的图象上，横坐标分别为 1，4，对角线 BD∥x 轴．若菱形 ABCD 的面积为 45 ， 2
则 k 的值为（ ）
A． 5 4
B． 15 4
C．4
D．5
6．如图，AB，AC 分别是⊙O 的直径和弦， OD AC 于点 D，连接 BD，BC，且
AB 10 ， AC 8 ，则 BD 的长为（ ）
析式为 y=2x-7+3=2x-4，
故选 A.
【点睛】本题考查了一次函数的平移，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．
5．D
解析：D 【解析】
【分析】
设 A(1，m)，B(4，n)，连接 AC 交 BD 于点 M，BM=4-1=3，AM=m-n，由菱形的面积可推
A．
B．
C．
D．
12．如图，已知⊙O 的半径是 2，点 A、B、C 在⊙O 上，若四边形 OABC 为菱形，则图中 阴影部分面积为（ ）
A． 2 π﹣2 3 3
B． 1 π﹣ 3 3
C． 4 π﹣2 3 3
D． 4 π﹣ 3 3
二、填空题
13．如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，将△ABC 绕点 C 顺时针旋转至
三、解答题
21．国家自 2016 年 1 月 1 日起实行全面放开二胎政策，某计生组织为了解该市家庭对待这
项政策的态度，准备采用以下调查方式中的一种进行调查：
A．从一个社区随机选取 1 000 户家庭调查；
B．从一个城镇的不同住宅楼中随机选取 1 000 户家庭调查；
C．从该市公安局户籍管理处随机抽取 1 000 户城乡家庭调查．
25．如图， ABC 是边长为 4cm 的等边三角形，边 AB 在射线 OM 上，且 OA 6cm ，点 D 从点 O 出发，沿 OM 的方向以 1cm/s 的速度运动，当 D 不与点 A 重合时，将 ACD 绕 点 C 逆时针方向旋转 60°得到 BCE ，连接 DE. （1）如图 1，求证： CDE 是等边三角形；
关键是确定 P 点的位置，题目比较好，但有一定的难度．
2．A
解析：A 【解析】
【分析】
直接利用位似图形的性质结合相似比得出 AD 的长，进而得出△OAD∽△OBG，进而得出 AO 的长，即可得出答案． 【详解】
∵正方形 ABCD 与正 方形 BEFG 是以原点 O 为位似中心的位似图形，且相似比为 1 ， 3
A． 2 5
B．4
C． 2 13
D．4.8
7．直线 y=﹣kx+k﹣3 与直线 y=kx 在同一坐标系中的大致图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
8．如图，四个有理数在数轴上的对应点 M，P，N，Q，若点 M，N 表示的有理数互为相反 数，则图中表示绝对值最小的数的点是（ ）
A．点 M
B．点 N
C．点 P
（1）这次被调查的同学共有
人；
（2）补全条形统计图，并在图上标明相应的数据；
（3）校学生会通过数据分析，估计这次被调查的所有学生一餐浪费的食物可以供 50 人食
用一餐．据此估算，该校 18000 名学生一餐浪费的食物可供多少人食用一餐．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
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