5.1点的运动学(滚动)

d d 2 2 dt dt
§6-3 定轴转动刚体上点的运动 定轴转动刚体上点的速度和加速度 1、点的速度 速度的大小： v OP R 速度的分布规律： v OP, v与R成正比 2、点的加速度 切向加速度大小： at R R 法向加速度大小： an R R
x OC CB r cos l 2 r 2 sin 2
将φ=ωt 代入上式得 令λ= r/l，将上式的根式展 开，有
r x r cos t l 1 sin 2 t l
2
y
O
1 2 2 1 4 4 1 sin t 1 sin t sin t 2 8
2 2
v v x v
r (1 cos t ) sin t 2r sin
t
2
vx r(1 cost ) v y r sin t
v 2r sin
t
2
ax r sin t
2
ay r 2 cos t
a a 2 x a 2 y r 2
2 2
2 加速度的大小：a at2 an R 2 4 at R 加速度的方向： tan an R 2 2
P
v
O

S
at P a n a
O

S
例:直径为d 的轮子作匀速转动，每分钟转数为n 。求轮缘上各点速度和加速度
R
d 2

n
30
v
2
2
2
2
a ax a y az
2
2
2
曲柄连杆机构中曲柄 OA 和连杆 AB 的长度分别
为 r和 l。且 l>r，角 =ωt，其中ω是常量。滑块B可 沿轴Ox作往复运动，试求滑块B的运动方程，速度 和加速度。
y
A
O

l
B
x
C
运动演示 2/23
解: 考虑滑块 B 在任意位置，由几何关系得滑块 B 的坐标
•选滑道上O‘点作为弧坐标的原点， 并以O'D为正向。则B点在任一瞬时的弧坐标
+s ω O R φ θ A R O'
D
C B s
s R
π s 2 R sin 2 πt 40
•这就是B点的自然形式的运动方程。
ds π 2 vt cos 2πt dt 20
-s E
dvt π3 at sin 2πt dt 10
描述点 在空间的位置随时间的变化。
设点M沿轨迹运动，t 瞬时在 M点，用r (t)来描述。 t t 瞬时在 M 点， 用 r t t 描述。 在 时间间隔 t 内，点M 的位移为 r ，即矢径在 t 内的增量。
r r (t t ) r (t )
r v t
•第五章 点的运动 •研究任务：研究点在空间运动的几何性质，即点相对于某坐标系 运动的运动方程、运动轨迹、速度和加速度。
书137页 5- 2 直角坐标法 •当点的运动轨迹为已知直线或为未知时， 用直角坐标法描述点的运动规律。 1．点的运动方程和轨迹方程 •取直角坐标系，点 在运动过程中，坐标 （1）运动方程
en
密切面 法 面 M
+s
切线
速度 加速度
vs e t
eb
et
a se t s t a t a n e
at se t an s 2
d( s et ) av dt 分解为两项
副法线
e t en eb
反映速度大小的变化
en
et , en , eb 自然轴系
•第六章 刚体的基本运动 §6-2 刚体绕定轴的转动（简称定轴转动） 1．定义 •刚体在运动过程中，其上有且只有一条直线始终固定不动时， 称刚体绕定轴转动，该固定直线称为轴线或转轴。
f (t ) (t )
d dt
•不在轴线上的各点均作圆周运动；圆周所在平面垂直转轴； 圆心均在轴线上；半径为点到转轴的距离。
x f 1 (t ) x (t ) y f 2 (t ) y (t ) z f 3 (t ) z (t )
y x，
， 随时间而变化。
z
x f 1 (t ) x (t ) y f 2 (t ) y (t ) z f 3 (t ) z (t )
教材题5-7P154
π2 cos 2 π t v 2 20 π4 an cos 2 2πt 0.1 40
2
例：已知点的运动方程，求点任意时刻的速度、 加速度的大小和运动轨迹的曲率半径。
运动方程: x R cos t , y R sin t , z ut 解：
(trihedral axes on a curve)

反映速度方向的变化
an恒指向曲线凹侧
速度、加速度矢量在密切面内
运动演示
•销钉B可沿半径等于R 的固定圆弧滑道DE 和摆杆的直槽中滑动， AO=R=0.1m。已知摆杆的转角 试求销钉在t1=1/4 s 和 t2=1 s 时的加速度。
π sin 2π t （时间以s计， φ以rad计）， 8
书P137
•称为点 的运动轨迹的参数方程。 •消去式中的参数 t ，可得到点的轨迹方程 —空间曲线方程：
f ( x, y, z ) 0
t
P138．点的速度
v
dr dx dy dz i j k dt dt dt dt
dx dt dy vy dt dz vz dt vx x y z
vx x vy y vz z
v x 2 y 2 z R 2 2 u 2 const. 2 s
2 a x y z 2 2 2 R
ax x ay y az z
v vx v y vz
2
2
2
P138．点的加速度
a ax i a y j az k
dv d r d x d y d z a 2 2 i 2 j 2 k dt dt dt dt dt
d 2x ax 2 x dt d2y a y 2 y dt 2 d z az 2 z dt
由于轮子作匀速转动，所以
nd
60
0
a 0
2 2 2 2 d n n d 2 a a n R 2 2 30 1800
§6-4 轮系的传动比 齿轮传动 机械中常用齿轮传动机构，以达到传递转动和变速的目的。 图7-6所示为一对外接（啮合）齿轮。图7-7为一对内接齿轮。 （1）齿轮传动特点 ①两轮接触点的速度大小、方向相同。 ②两轮接触点的切向加速度大小、方向相同。
什么是运动学？
• 运动学：研究物体运动的几何性质的科学。
• 点的运动学
– 点的运动方程（轨迹）
– 点的速度 – 点的加速度
– 点的复合运动
• 刚体的运动学
– 刚体的平动（刚体上点的速度和加速度） – 刚体的定轴转动（刚体角速度和角加速度、其上点的速度和加速度） – 刚体的平面运动（刚体角速度和角加速度、其上点的速度和加速度） – 刚体的定点运动和一般运动（不讲）

M’ T MM ' s
T’
•曲率(curvature)
k lim s 0 s
•曲率半径(radius curvature) 1 k
MTT” 极限位置所在的平面称为 密切面(osculating plane)
以点M为坐标原点，并跟随点M一起运动的直角坐标系，称为 自然轴系。 2、速度与加速度 主法线
荡木用两条等长的钢索平行
l
吊起，如图所示。钢索长为长l，单
B
φ
l A M
O
（+）
位为 m 。当荡木摆动时钢索的摆动 π 规律为 0 sin t ，其中 t 为时 4 间，单位为 s ；转角 φ0 的单位为 rad ， 试求当t=0和t=2 s时，荡木的中点M
的速度和加速度。
• A点的运动方程为 s 0l sin
a at an
v s const.
s 0
at s, an
s wenku.baidu.com2

s 2 u2 R 2 a R
矢径法—描述点在空间运动的基本方法（推导公式时用）
*用矢径
r xi yj zk
点的运动方程—----矢量形式
r r (t )
2 2
A

l
B
x
C
略去λ4以及更高阶项，并利用关系
sin 2 t 1 cos 2t 2
2
则
r x r cos t l 1 sin 2 t l
可表示为
2 x l 1 r cos t cos 2t 4 4

在 t 内点M的平均速度为
r 的极限位置为曲线在 当 t 0 时， M点处的切线。此时 的极限即为
v lim
r dr t 0 t dt
v dv d 2 r a lim t 0 t dt dt
§6-1 刚体的平行移动（简称平动或移动） 1．定义 •刚体在运动过程中，其上任一条直线始终与其初始位置保持平行， 称为平动 1）刚体上各点轨迹的形状相同。 2）同一瞬时，刚体上各点的速度 和加速度完全相同。 •因此，平动刚体的运动学问题， 归结为点的运动学来处理， •即刚体上任何一点的运动，就可 代表刚体上其它各点的运动。
π t • A点的速度 4
v
ds π π l0 cos t dt 4 4
• A点的加速度
dv π2 π at l0 sin t dt 16 4
an
v π π 2 l0 cos 2 t l 16 4
2
2
•代入t = 0和t = 2， 就可求得这两瞬时A点的 速度和加速度，亦即点M 在这两瞬时的速度和加速度。
y
D
x OA OH AH 弧MH AH r r sin x r (t sin t )
y AM r r cos
C M φ H x
y r (1 cost )
O A
vx r(1 cost )
2 2 y
v y r sin t
an a 2 at2 r 2 sin
t
2
§5-3 自然坐标法
点的运动轨迹为已知曲线
•坐标原点O—在已知轨迹上任选一点。 •弧坐标s—沿轨迹从O到点M的弧长。 •坐标正方向—指定坐标原点O的某一侧为正向。
z O x
-0
r
s M
+
y
1、 弧坐标形式
的运动方程
s s(t )
曲线的几何性质 T” M
滑块B的速度和加速度为
v
dx r sin t sin 2t , dt 2
y
A
d2 x a 2 r 2 cos t cos 2t dt
O

l
B
x
C
轨迹演示
•半径是 r 的车轮沿固定水平轨道滚动而不滑动（如图）。轮缘上一点M， 在初瞬时与轨道上的O点叠合；在瞬时t 半径MC与轨道的垂线HC 组成交角 φ=ωt，其中ω 是常量。试求M点的运动方程，速度和加速度。 解：考虑车轮在任意瞬时位置，因车轮滚动而不滑动， 故有OH=弧MH 。在图示瞬时动点M 的坐标为
平移刚体的运动特性：
B B 0 A0
刚体上所有点的 •运动轨迹相同
rB
O
rA
rB rA rAB
rAB
•速度相同
vB v A aB a A
•加速度相同
r B r A r AB
=
r rA B
0
平移刚体的动画演示
刚体的直线平移 刚体的曲线线平移
O1
O2
当t = 2n时
vx 0
vy 0
ax 0
ay r
2
•这表示，当M点接触轨道时，它的速度等于零，而加速度垂直于轨道。
•这是轮子沿固定轨道滚而不滑的特征。
• M点的切向加速度和法向加速度 •注意，尖点
由v 2r sin
t
2
dv t 2 at r cos dt 2