量子力学期末考试试卷及答案

量子力学期末考试试卷及答案

红色为我认为可能考的题目

一、填空题：

1、波函数的标准条件：单值、连续性、有限性。

2、|Ψ（r,t）|^2的物理意义： t时刻粒子出现在r处的概率密度。

3、一个量的本征值对应多个本征态，这样的态称为简并。

4、两个力学量对应的算符对易，它们具有共同的确定值。

二、简答题：

1、简述力学量对应的算符必须是线性厄米的。

答：力学量的观测值应为实数，力学量在任何状态下的观测值就是在该状态下的平均值，量子力学中，可观测的力学量所对应的算符必须为厄米算符；量子力学中还必须满足态叠加原理，而要满足态叠加原理，算符必须是线性算符。综上所述，在量子力学中，能和可观测的力学量相对应的算符必然是线性厄米算符。

2、一个量子态分为本征态和非本征态，这种说法确切吗？

答：不确切。针对某个特定的力学量，对应算符为A，它的本征态对另一个力学量（对应算符为B）就不是它的本征态，它们有各自的本征值，只有两个算符彼此对易，它们才有共同的本征态。

3、辐射谱线的位置和谱线的强度各决定于什么因素？

答：某一单色光辐射的话可能吸收，也可能受激跃迁。谱线的位置决定于跃迁的频率和跃迁的速度；

谱线强度取决于始末态的能量差。

三、证明题。

2、证明概率流密度J 不显含时间。 四、计算题。

1、

第二题： 如果类氢原子的核不是点电荷，而是半径为

r 、电荷均匀分布的小球，计算这种效

应对类氢原子基态能量的一级修正。

解：这种分布只对0r r <的区域有影响，对0

r r ≥的区域无影响。据题意知

)()(ˆ0r U r U H -='

其中)

(0r U 是不考虑这种效应的势能分布，即

2

004ze U r r πε=-（）

)(r U 为考虑这种效应后的势能分布，在0r r ≥区域，

r Ze r U 02

4)(πε-

= 在0r r <区域，)(r U 可由下式得出，

⎰∞

-=r Edr

e r U )(

⎪⎪⎩⎪⎪⎨

⎧≥≤=⋅⋅=)( 4 )( ,4344102003003303

420r r r Ze r r r r Ze r r Ze r E πεπεπππε ⎰⎰∞

--=0

0)(r r r Edr

e Edr e r U

⎰⎰∞--=00202

30021

44r r r dr r Ze rdr r Ze πεπε

)3(84)(82203

020022

203002r r r Ze r Ze r r r Ze --=---=πεπεπε )( 0r r ≤

⎪⎩

⎪⎨⎧≥≤+--=-=')( 0 )( 4)3(8)()(ˆ00022

2030020r r r r r

Ze r r r Ze r U r U H πεπε

由于0r 很小，所以)(2ˆˆ0

22

)0(r U H H +∇-=<<'μη，可视为一种微扰，由它引起

一级修正为（基态03(0)

1/2100

30

()Z

r a Z e a ψπ-=）

⎰∞

'=τψψd H E )0(1

*

)0(1)1(1ˆ

⎰

-+--=0

00

22022

203

02303

4]4)3(8[r r a Z

dr r e r Ze r r r Ze a Z ππεπεπ

∵0a r <<，故10

2≈-r a Z e

。 ∴

⎰

⎰+--=0

00

3002404

2203030024)1(1)3(2r r rdr a e Z dr r r r r a e Z E πεπε

20

30024505030300242)5(2r a e Z r r r a e Z πεπε+--= 203002410r a e Z πε= 20

30

2452r a e Z s =

第三题

6.2 求自旋角动量在任意方向n )cos ,cos ,(cos γβα的投影 βαˆc o s ˆc o s ˆˆz

y x n S S S S ++=的本征值和本征函数。 解：在z S ˆ 表象，n S ˆ的矩阵元为 γβαcos 10012cos 002cos 01102ˆ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=ηηηi i S n ⎪

⎪⎭

⎫

⎝⎛

-+-=

γ

β

αβαγcos cos cos cos cos cos 2i i S n η

其相应的久期方程：

即：

由归一化条件得：

0cos 2

)cos (cos 2

)cos (cos 2cos 2=

--+--λ

γβαβαλγηηηηi i 0)cos (cos 4cos 4222

222=+--βαγληη0422

=-ηλ)

1cos cos cos (222=++γβα利用2η

±=λ所以n S ˆ的本征值为2η±。 设对应于2η=n S 的本征函数的矩阵表示为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=b a S n )(21χ，则 ⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-b a b a i i 2cos cos cos cos cos cos 2ηηγβαβαγb b i a =-+⇒γβαcos )cos (cos γβ

αcos 1cos cos ++=i b 22**),(12

121

b a b a b a +=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==+

χχ1cos 1cos cos 2

22=+++a i a γβα1cos 122=+a γ取 2cos 1γ+=a ，得 )

cos 1(2cos cos γβα++=i b 12

()n S χ⎛⎫ ⎪

⎪=21

2

1)cos 1(2cos cos 2cos 110)cos 1(2cos cos 012cos 1)(2

1-++++=⎪⎪⎭⎫

⎝⎛+++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=χγβ

αχγγβαγχi i S n 同理可求得 对应于2

η

-=n

S 的本征函数为 ⎪⎪⎪⎪

⎭

⎫

⎝⎛-+--=-)

cos 1(2cos cos 2cos 1)(21γβαγχi S n