人教版九年级数学上册：探解圆中最值问题的三种 基本思路
推荐人教版九年级数学上册：期末难点突破突破二圆中的最值问题
第5题图第8题图突破二圆中的最值问题【方法归纳】解决最值问题常用的方法有：特殊位置与极端位置法，几何公理（定理）法，数形结合法等. 一、利用垂线段最短求最值1. {2013?咸宁）如图，在沁AAOB 中，OA=OB = 3V 29 0O 的半径为1，点J 3是边上的动点，过点P 作?0的一条切线PQ （点Q 为切点），则PQ 的最小值为2#?【解析】连 PO 、OQ ，M PQ= VP02-OQ z ，要使 PQ 最小，只需 PO 最小，:.OP ±AB 9 :.OP=39 :.PQ=2^2.2.如图，AABC 中，ZBAC =60°, ZABC =A 5\ AB = 2诉，D 是线段BC J;的一个动点，以AD 为直径画00分别交AB 、AC 于￡：、F ，连接EF ，则线段EF 的最小值为^ ?【解析】作直径EM ，连MF, ZM= 60% EF=^EM=^AD .要使 EF 最小，只需使 AD 最小，故 AD 丄BC.. /.AD=2, EF=^S.二、利用两点之间线段最短求最值3.如图，A 是半圆上一个三等分点，点B 是^?的中点，尸是直径MiV 上一动点，0O 的半径为1，则AP+RP 的最小值为在.【解析】取点B 关于MiV的对称点S 7,连AB/!MN 于P ，.:.AP+BP=AB f =^[2.4.如图，BC 为?0的直径，BC=4#，P 为上一动点，M 为的中点，设APAM 的周长为w ，则m 的取值范围是2V5+2<m<6+2V51【解析】PA<AC, PM<CM ,而 CM = 2v^"，AC=4，/. PA + PM < 4 + 2^5 ,作点 iVf 关于 BC 的对麻点 N ，?则 PM= PN ，??? PA + PM =PA -\- PN ^ AN ,易求 AN = 2#，A PA + PM > 2^5 , /. 2V5 + 2 < m < 6 + 2V5三、利用直径是圆中最长的弦求最值5.（2013 ?陳西）如图，AB 是00的一条弦，点C 是00上一动点，且ZACB = 30°，点E.F 分别是AC 、BC 的中点，直线与0O 交于G 、H 两点，若?0的半径为7,则GE+FH 的最大值为1Q. 5 ..【解析】连OA 、OB ，AOAB 为等边△，AB = 7, ￡F=yAB = 3. 5, /.GE+FH = GH-3. 5.要使 GE+RH ?最大，只需麄_*參參參?GH 取最大值，故 GH 为直径，/-GH= 14,:.GE +FH =10.5.?- …? ? ?6.如图，AJB 为00的直径，点C 为?0上异于A 、B 的一动点，弦AD=5v^"，ZACD=60%CA 、CB 焉关于:C 的一元二次方程JC 2— m:c + rz = 0的两根，则m 的最大值为10^2【解析】易求AB=10，作ZACB 的平分线交OO 于E ，证CA+CB=V^CE ，当CE 为直径时，CA+CB 最大.四、利用特殊位置与极端位置求最值7.如图，A （4, 0），_B （0, 4），？C 的圆心坐标为（一2, 0），半径为2, D 是?C 上一个动点，线段 DA 交:y 轴于E ，设AARE 的面积为S ，则S 的取值范围是8—2在<S<8+2在.【解析1直线AD 在x 轴上方与?C 相切时/ S 最小.直线AD 在o ：轴下方与0C 相切时，S 最大.8.如图，AB 为0O 的直径，（：为半圆的中点，？C 的半径为2,AB = S 9点P 是直径AB 上的一动点， ,PM 与?C 相切于M ，则PM 的取值范围为273<PM<277 ??【解析】PM = VPC2 - CM2 = VPC2 - 4，当PC最小时，PM有最小值，此时PC丄AB，F与0重合；当PC最大时，PM有最大值，此时P与A或B重合. ??。
圆中最值问题10种求法
圆中最值的十种求法在圆中求最值是中考的常见题型，也是中考中的热点、难点问题，有的学生对求最值问题感到束手无策,主要原因就是对求最值的方法了解不多,思路不够灵活.现对在圆中求最值的方法，归纳如下：一、利用对称求最值1．如图:⊙O的半径为2,点A、B、C在⊙O上,OA⊥OB，∠AOC=60°,P是OB上一动点，求PA+PC的最小值.[分析]:延长AO交⊙O于D,连接CD交⊙O于P,即此时PA+PC最小,且PA+PC的最小值就等于弦CD的长.解：延长AO交⊙O于D,连接CD交OB于P连接PA,过O作OE⊥CD，垂足为E在△OCD中，因为∠AOC=60°所以∠D=∠C=30°在Rt△ODE中 cos30°=即DE=2×cos30°= 所以CD=2DE=2即PA+PC的最小值为2.二、利用垂线段最短求最值2．如图:在直角坐标系中，点A的坐标为（－3，－2）,⊙A的半径为1,P为x轴上一动点，PQ切⊙A于点Q,则PQ长度的最小值为 .[分析]：连接AQ、PA，可知AQ⊥PQ. 在Rt△PQA中，PQ=,求PQ的最小值转化为求PA的最小值，根据垂线段最短易求PA的最小值为2。
解:连接PA、QA因为PQ切⊙A于点Q 所以PQ⊥AQ在Rt△APQ中，PQ2=PA2－AQ2即PQ=又因为A(－3,－2） ,根据垂线段最短。
所以PA的最小值为2所以PQ的最小值=三、利用两点之间线段最短求最值3．如图：圆锥的底面半径为2，母线PB的长为6,D为PB的中点,一只蚂蚁从点A出发，沿着圆锥的侧面爬行到点D，则蚂蚁爬行的最短路程为( )A．B．2 C．3 D．3［分析］：因为圆锥的侧面是曲面蚂蚁从A爬行到点D，不好求爬行的最小值,要把立体图形展开为平面图形，再利用两点之间线段最短来解决问题.解：圆锥的侧面展开图如图2,连接AB根据题意得:弧AC的长为2πr=2π·2=4π,PA=6因为4π= 所以n=120°即∠APB=60°又因为PA=PB所以△PAB是等边三角形因为D为PB中点所以AD⊥PB PD=DB=3在Rt△PAD中，AD=，故选C。
新人教版九年级上册数学17.圆中的最值问题
拔高专题 圆中的最值问题图(1)探究点一：点与圆上的点的距离的最值问题例1：如图，A 点是⊙O 上直径MN 所分的半圆的一个三等分点，B 点是弧AN 的中点，P 点是MN 上一动点，⊙O 的半径为3，求AP+BP 的最小值。
解：作点A 关于MN 的对称点A ′，连接A ′B ，交MN 于点P ，连接OA ′，AA ′． ∵点A 与A ′关于MN 对称，点A 是半圆上的一个三等分点， ∴∠A ′ON=∠AON=60°，PA=PA ′，∵点B 是弧AN 的中点，∴∠BON=30°，∴∠A ′OB=∠A ′ON+∠BON=90°，又∵OA=OA ′=3， ∴A ′．∵两点之间线段最短，∴PA+PB=PA ′+PB=A ′．【教师总结】解决此题的关键是确定点P 的位置．根据轴对称和两点之间线段最短的知识，把两条线段的和转化为一条线段，即可计算。
探究点二：直线与圆上点的距离的最值问题例2：如图，在Rt△AOB中，，⊙O的半径为1，点P是AB边上的动点，过点P作⊙O的一条切线PQ（点Q为切点），求切线PQ的最小值解：连接OP、OQ．∵PQ是⊙O的切线，∴OQ⊥PQ；根据勾股定理知PQ2=OP2-OQ2，∴当PO⊥AB时，线段PQ最短，∵在Rt△AOB中，OA=OB=3 ，∴OA=6，∴OP=•OA OBAB=3，∴．【变式训练】如图，在平面直角坐标系中，以坐标原点O为圆心，2为半径画⊙O，P是⊙O是一动点且P在第一象限内，过P作⊙O切线与x轴相交于点A，与y轴相交于点B．求线段AB的最小值．解：（1）线段AB长度的最小值为4，理由如下：连接OP，∵AB切⊙O于P，∴OP⊥AB，取AB的中点C，∴AB=2OC；当OC=OP时，OC最短，即AB最短，此时AB=4．【教师总结】结合切线的性质以及辅助线的作法，利用“垂线段最短”是解决此类问题的关键。
人教版九年级数学上册：探解圆中最值问题的三种 基本思路
探解圆中最值问题的三种基本思路圆中探求最值是近几年中考的一个凸显亮点，背景丰富有创意，解法灵活有创新，可谓八仙过海，各显其能，是一个值得深思和探究的好课题.下面就结合2019年的考题，向大家推荐这类最值的探解基本思路，供学习时借鉴.一、直径是圆中最长的弦为依据求最值1.探求三角形中位线的最大值例1 （2019年东营）如图1，AC 是⊙O 的弦，AC=5，点B 是⊙O 上的一个动点，且∠ABC=45°，若点M 、N 分别是AC 、BC 的中点，则MN 的最大值是 ．解析：因为点M ，N 分别是BC ，AC 的中点，所以MN=21AB ，所以当弦AB 取得最大值时，MN 就取得最大值，因为直径是圆中最大的弦，所以当弦AB 是直径时，AB 最大，如图1，连接 AO 并延长交⊙O 于点B ′，连接CB ′，因为AB ′是⊙O 的直径，所以∠ACB ′=90°．因为∠ABC=45°，AC=5，所以∠AB ′C=45°，所以AB ′=2255 =52，所以MN 的最大 值为最大MN =225．所以应该填．点评：当线段是圆的某条弦时，熟记直径是圆中最大的弦是解题的关键.2.探求圆上动点到定弦的最大值例2（2019•广元）如图2，△ABC 是⊙O 的内接三角形，且AB 是⊙O 的直径，点P 为⊙O 上的动点，且∠BPC=60°，⊙O 的半径为6，则点P 到AC 距离的最大值是 ．解析：如图2，过O 作OM ⊥AC 于M ，延长MO 交⊙O 于P ，则此时，点P 到AC 的距离最大，且点P 到AC 距离的最大值=PM ，因为OM ⊥AC ，∠A=∠BPC=60°，⊙O 的半径为6，所以OP=OA=6，所以OM=23OA ＝23×6＝33，所以PM=OP+OM=6+33，所以点P 到AC 距离的最大值是6+33，所以答案为6+33．点评：圆上动点到定弦距离的最大值就是垂直平分线弦的直径的两个端点到弦的距离，这是垂径定理的应用，也是直径是圆中最大的弦的应用.此法也是用于在拱形中计算最值.2.探求圆上动点与线段上动点构成线段的最大值与最小值的和例3（2019•玉林）如图3，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=4，BC=3，点O 是AB 的三等分点，半圆O 与AC 相切，M ，N 分别是BC 与半圆弧上的动点，则MN 的最小值和最大值之和是（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8解析：如图3，设⊙O 与AC 相切于点D ，连接OD ，作OP ⊥BC 垂足为P 交⊙O 于F ，此时垂线段OP 最短，PF 最小值为OP ﹣OF ，因为AC=4，BC=3，所以AB=5.因为点O 是AB 的三等分点，所以OB=32×5=310，因为∠OPB=90°，所以OP ∥AC ，所以32==AB OB AC OP , 所以OP=38.因为⊙O 与AC 相切于点D ，所以OD ⊥AC ，所以OD ∥BC ，所以31==AB OA BC OD , 所以OD=1，所以MN 最小值为OP ﹣OF=38﹣1=35； 如图3，当N 在AB 边上时，M 与B 重合时，MN 经过圆心，经过圆心的弦最长，所以MN 最大值=310+1=313，所以MN 长的最大值与最小值的和是35+313=6．所以选B ． 点评：单边切圆动点线段的最值问题，求解时，需要分开，一是动线段的最小值，依据圆心这个定点到定线段的垂线段最短，在此基础上，确定动点线段的最小值；二是动点线段的最大值，依据直径是圆中最大的弦确定求解.解答后，要熟记问题的背景特点，继而灵活准确计算最值的和.二、定弦的弦心距最短，探求线段的最大值例4 （2019•嘉兴）如图4，在⊙O 中，弦AB=1，点C 在AB 上移动，连结OC ，过点C 作CD ⊥OC 交⊙O 于点D ，则CD 的最大值为 ．解析：如图4，连接OD ，在直角三角形OCD 中，222OC OD CD -=,因为圆的半径是定值，要想使得CD 长最大，只需满足OC 的长度最小，因为AB 是圆的弦，所以O 到弦AB 的最短距离是弦AB 的弦心距，所以当OC ⊥AB 时，OC 最短，此时点D 恰好与点B 重合，所以4142222==-=AB OC OD CD ,所以CD 的最大值为21. 点评：此类最值的特点有五：一是有圆的定弦；二是动点之一必须在定弦上；三是能构造出直角三角形；四是等式有特点：动线段的平方和时定值即222-动线段半径动线段=；五是运用点到直线的距离中以垂线段为最短，构造最长值.三、三角形的三点一线时第三边最大，探求最大值1.探求直角三角形斜边长的最大值例5（2019年湖北鄂州）如图5，在平面直角坐标系中，已知C （3，4），以点C 为圆心的圆 与y 轴相切．点A 、B 在x 轴上，且OA=OB ．点P 为⊙C 上的动点，∠APB=90°，则AB 长 度的最大值为 ．解析：如图5，连接OC,OP,PC ，当点O,P,C 三点不共线时，则OC+PC ＞OP ；当点O,P,C 三点共线时，OC+PC=OP ，综上所述OP ≤OC+PC ，且当点O,P,C 三点共线时，PO 取得最大值，所以连接OC 并延长，交⊙C 上一点P ，以O 为圆心，以OP 为半径作⊙O ，交x 轴于A 、B ，此时AB 的长度最大，过点C 作CD ⊥x 轴，垂足为D ，因为C （3，4），所以OC=5， 因为以点C 为圆心的圆与y 轴相切，所以⊙C 的半径为3，所以OP=OC+PC=5+3=8，因为∠APB=90°，AO=OB ，所以PO 是直角三角形PAB 斜边上的中线，所以AB 长度的最大值为16，所以应该填16．点评：准确构造含有动点，且有一条定线段的动态三角形是解题的关键，利用动态三角形的存在性和三点一线型，综合确定线段的最值是解题的核心，这种确定最值的思想非常重要，应用也非常广泛，务必熟练驾驭，做到准确找动态三角形，准确定共线线段，确实把最值准确定出.2.探求动态三角形中位线长的最大值例6(2019年乐山）如图6，抛物线4412-=x y 与x 轴交于A,B 两点，P 是以点C(0，3）为圆心，2为半径的圆上的动点，Q 是线段PA 的中点，连结OQ.则线段OQ 的最大值是（ ） ()A 3 ()B 241 ()C 27 ()D 4解析：如图6，连接BC,PC,PB ，当点B,P,C 三点不共线时，则BC+PC ＞PB ；当点B,P,C 三点共线时，且点P 与点B 位于圆心点C 的两侧，此时BC+PC=PB ，综上所述PB ≤BC+PC ，所以当点B,P,C 三点共线时，PB 取得最大值，所以连接BC 并延长，交⊙C 上一点P ，此时PB 的值最大.因为抛物线4412-=x y 与x 轴交于A,B 两点，所以点A(-4,0)，点B(4,0),所以OA=OB=4,因为点C （0,3）,所以OC=3,PC=2,BC=5,所以PB 的最大值为：PB=PC+CB=2+5=7,因为点O 是AB 的中点，点Q 是PA 的中点，所以OQ 是三角形PAB 的中位线，所以OQ=21PB, OQ 的最大值为27，所以选C. 点评：构造动态三角形时，以PB 为核心是解题的关键，确定了PB 的最大值，问题就顺利得解.解答时，要注意，当动点位于两定点之间时，线段取最小值；当动点位于两定点之外时，线段取得最大值.一定要熟记！感兴趣的读者，不妨计算一下OQ 的最小值.。
初三最值问题的常用解法及模型
初三最值问题的常用解法及模型一、引言初三数学中最值问题一直是学生们头疼的难题。
最值问题不仅仅是考察学生对知识点的掌握程度，更重要的是考验学生解决实际问题和推理的能力。
在本文中，我们将探讨初三数学中最值问题的常用解法及模型，帮助学生们更好地理解和应对这一难点。
二、常用解法1. 图形法最值问题常常可以通过图形法来解决。
给定一个函数y = f(x)，可以通过画出其图像，然后找出函数的极值点来求解最值问题。
通过观察图像的特点，我们可以更直观地理解函数的最值点在何处，从而得到更准确的解。
2. 性质法有些最值问题可以通过利用函数的性质来解决。
关于一元二次函数的最值问题，我们可以通过一元二次函数的性质，如开口方向、顶点位置等来推导出最值点的位置，从而得到解的方法。
3. 等式法有些最值问题可以通过建立方程或不等式来解决。
通过建立关于未知数的方程或者不等式，我们可以将最值问题转化为解方程或解不等式的问题，从而得到最值点的位置。
三、常用模型1. 长方形面积最大问题给定一段定长的绳子，用这段绳子围成一个长方形，求这个长方形的面积最大是一个最值问题。
通过建立关于长方形面积的函数，然后利用导数的性质找出函数的最值点，从而求解长方形面积最大问题。
2. 等边三角形周长最小问题给定一个定长的线段，求能够围成等边三角形的线段最小是一个常见的最值问题。
通过建立关于等边三角形周长的函数，然后利用导数的性质找出函数的最值点，从而求解等边三角形周长最小问题。
3. 盒子体积最大问题给定一定面积的纸张，通过剪切和折叠，能够制成一个盒子，求使得盒子体积最大的折法是一个典型的最值问题。
通过建立关于盒子体积的函数，然后利用导数的性质找出函数的最值点，从而求解盒子体积最大问题。
四、个人观点和理解最值问题在初三数学中是一个重要的难点，但也是一个可以锻炼学生逻辑思维能力和数学推理能力的好机会。
通过多维度的解法和模型，学生们可以更好地理解和掌握最值问题的解法，并且能够将数学知识与实际问题相结合，培养出更强的数学建模能力。
初中圆的最值问题三种解法
在初中数学中，圆的最值问题可以通过三种不同的解法来求解。
以下是三种常见的解法：
1. 几何解法：
首先，确定问题中圆的相关条件，例如圆的半径或圆心坐标等。
然后，利用几何性质和定理来分析问题。
对于圆的最值问题，常常使用切线和切线长度来解决。
通过找到与切线相关的角度和长度关系，可以求得圆的最大值或最小值。
2. 代数解法：
这种方法使用代数方程和函数来解决圆的最值问题。
首先，将圆的方程转化为合适的形式，例如标准方程或一般方程。
然后，利用代数的方法，对方程进行求导或化简，找到函数的最值点。
最后，将最值点带入原始问题中，求得圆的最大值或最小值。
3. 组合解法：
这种方法结合了几何和代数的思想。
首先，利用几何性质和定理来确定问题中的几何关系。
然后，将几何关系转化为代数方程或函数。
接下来，通过代数的方法求解方程或函数的最值点。
最后，将最值点代入几何关系中，求得圆的最大值或最小值。
九年级上册圆的最值题型整理与寻找隐圆和动点路径长方法归纳
授课类型 T 能力( 圆最值 )授课日期及时段2019年教学内容（比一比！）动点运动轨迹——圆或圆弧型动点轨迹为定圆，利用三点共线方法指导：1．当动点的轨迹是定圆时，可利用“一定点与圆上的动点距离最大值为定点到圆心的距离与半径和，最小值为定点到圆心的距离与半径差”性质求解．2．试着观察“动点与其他定点连结的线段长是否为‘定值’或动点与两定点构成的角是否为直角”，这是常见判断动点轨迹是圆的条件。
Ⅰ 动点到定点的距离不变．．．．．．．．．．，则点的轨迹是圆或圆弧； 1.如图 1，在正方形 ABCD 中，边长为 2,点 E 是 AB 的中点，点 F 是 BC 边上任意一点，将△BEF 沿 EF 所在直线折叠得到△PEF ，连接 AP ，则 CP 的最小值________，AP 的最小值是_________.【变式 1】在矩形 ABCD 中，已知 AB ＝2cm ，BC ＝3cm ，现有一根长为 2cm 的木棒 EF 紧贴着矩形的边（即两个端点始终落在矩形的边上），按逆时针方向滑动一周，则木棒 EF 的中点 P 在运动过程中所围成的图形的面积_______cm 2.T 能力——圆最值检测定位【变式2】如图，一根木棒AB 长为2a，斜靠在与地面OM 垂直的墙壁ON 上，与地面的倾斜角∠ABO＝60°，若木棒沿直线NO 下滑，且 B 端沿直线OM 向右滑行，则木棒中点P 也随之运动，已知 A 端下滑到A′时，AA′)a，则木棒中点P 随之运动到P′所经过的路线长_______________．＝(323．如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3，P 是AB 边上的动点（不与点B 重合），将△BCP 沿CP 所在的直线翻折，得到△B′CP，连接B′A，则B′A 长度的最小值是________．4．如图，在□ABCD 中，∠BCD＝30°，BC＝4，CD＝3 3，M 是AD 边的中点，N 是AB 边上的一动点，将△AMN 沿MN 所在直线翻折得到△A′MN，连接A′C，则A′C 长度的最小值是________．5．如图，在四边形ABCD 中，AB＝AC＝AD，若∠BAC＝25°，∠CAD＝75°，则∠BDC＝_________°，∠DBC＝____________°．定边对定角模型定弦定角当某条边与该边所对的角是定值时，该角的顶点的轨迹是圆弧．见．直角→找．斜边（定长）→想．直径→定．外心→现．“圆”形；见．定角→找．对边（定长）→想．周角→转．心角→现．“圆”形；【一般解题步骤】①让主动点动一下，观察从动点的运动轨迹，发现从动点的运动轨迹是一段弧。
初三数学最值问题基本求法
初三数学最值问题基本求法数学最值问题，听起来是不是有点头疼？其实，它并没有你想象中的那么复杂。
咱们可以把这类问题看作是寻找一个“最佳”的答案，也就是最大值或最小值。
接下来，我就来给你讲讲怎么把这些问题搞定，让你也能轻松应对！1. 最值问题的基本概念首先，我们得搞清楚什么是最值问题。
最值问题就是在某些条件下，我们要找到一个最优解。
简单来说，就是在一堆可能的答案里，找到那个最顶尖的、最牛的或者最小的。
1.1 最大值和最小值举个例子吧，假如你要找一个班级里成绩最好的同学，或者找出一个商场里最便宜的商品，这就是在找最大值或最小值。
数学里也是这么回事，我们要在一定的条件下，找到一个变量的最大或最小值。
1.2 设定问题的条件为了找到最值，我们必须明确问题的条件。
这就像是你去打游戏的时候，得知道规则和目标，才能发挥出最好的成绩。
在数学题里，条件就是题目给定的信息，比如函数的范围、限制条件等。
2. 基本求解方法那么，如何求解最值问题呢？这儿有几个常用的方法，跟着我一步步来，保准你能搞定！2.1 代入法代入法是一种最常见的解题技巧。
比如你有一个函数，你可以将已知的条件代入到这个函数里，然后通过计算，找出最大值或最小值。
这就像是你拿到一道数学题，直接把条件带进去，然后一头扎进去计算，结果就会显现出来。
2.2 画图法有时候，画图也是个好方法。
尤其是当你面对的函数比较复杂的时候，画图可以帮助你更直观地看到函数的走势。
就像看风景一样，你能更清楚地看到山峰和谷底，进而找到函数的极值点。
3. 进阶技巧掌握了基本方法之后，咱们可以深入一点，看看更高级的技巧。
3.1 函数的导数法导数法对于那些学过一点微积分的同学来说，可能会有点复杂，但也非常有效。
通过导数，我们可以找出函数的斜率，从而判断函数的极值点。
简单来说，就是通过分析函数的“走势”，来找出它的最大值或最小值。
3.2 二次函数的最值对于二次函数，我们有一种特别的办法来找最值。
圆中最值问题的常见解法
分析：由于 都不是定值，加之平方式，所以直接用函数、均值不等式、几何法求解，都无能为力.于是考虑先设点 的坐标，先代数化，再看有没有几何意义.
解：设点 ，则
， 表示点 到定点 距离的平方,而
， 的最大
值是 ，此时点 的坐标满足 .
一.利用三角形性质求最值
众所皆知：三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，极端情况下，当三点共线时，两边之和等于第三边，两边之差等于第三边，这正是取得最值的时刻，这就是圆中解决最值问题的常用方法之一.主要模型是：求一定点与圆上动点之间距离的最大值与最小值.即有：设圆心为C，圆的半径为 ，定点为A,圆上动点为P，则 =
的最小值是 ，此时点 的坐标满足
.
评析：在几何方法受阻的情况下，可以先做代数化处理，在构造几何意义，本题的解决，得
益于构造圆外一点到圆上动点距离的最值模ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ.
相关问题：（1）已知圆 ,圆 , 分别是圆 上的动点, 为 轴上的动点,则 的最小值为（ ）A
A． B． C． D．
（2）P为双曲线 的右支上一点,M、N分别是圆 ，
解决圆中最值问题的常见方法
圆问题是高中解析几何中的重点问题，在这类问题中的最值问题又是常见题型，由于在解决过程中所需要的数学素养层次比较高，特别是对学生的直观想象素养、抽象素养、运算素养、逻辑推理素养有较高要求，所以学生在学习中常常感到比较困难.基于此，非常有必要对这类问题的常见解法做一些总结，以供参考.
.
例1.点 在椭圆 上运动，点 在圆 上运动，求 .
分析：由于有两个动点，所以需要分步完成，可以先固定点 ，这样就可以利用三角形性质求得 ，然后再利用函数法求得最终结果.
初三有关圆的最值问题专题
初三有关圆的最值问题专题初三数学中，有关圆的最值问题是一个常见的题型。
在这种问题中，通常需要求解出一些与圆相关的特征的最值，比如圆的周长、面积、半径等。
下面是一些关于圆的最值问题的参考内容。
1. 圆的周长最值问题：圆的周长公式为C=2πr，其中r为圆的半径。
要求圆的周长的最大值或最小值，可以采用以下方法：- 最大值问题：对于给定的圆心，令圆的半径r尽可能地大。
当r趋向于正无穷时，圆的周长也会趋向于正无穷。
- 最小值问题：对于给定的圆心，令圆的半径r尽可能地小。
当r趋向于0时，圆的周长也会趋向于0。
2. 圆的面积最值问题：圆的面积公式为S=πr²。
要求圆的面积的最大值或最小值，可以采用以下方法：- 最大值问题：对于给定的圆心，令圆的半径r尽可能地大。
当r趋向于正无穷时，圆的面积也会趋向于正无穷。
- 最小值问题：对于给定的圆心，令圆的半径r尽可能地小。
当r趋向于0时，圆的面积也会趋向于0。
3. 圆的半径最值问题：圆的半径是一个与圆心距离相等的线段。
要求圆的半径的最大值或最小值，可以采用以下方法：- 最大值问题：对于给定的边界条件，通过几何推导或利用数学方法求解出最大的半径。
- 最小值问题：对于给定的边界条件，通过几何推导或利用数学方法求解出最小的半径。
需要注意的是，在实际问题中，我们常常会遇到给定某些条件下求圆的最值问题。
这种情况下，需要结合所给条件进行分析，推导出适用的公式，并通过求导等方法进行解答。
总结起来，圆的最值问题是初三数学中的一个重点，需要掌握圆的周长、面积、半径等概念，并能够通过数学方法解答出相关的最值问题。
熟练掌握圆的最值问题的求解方法，对于后续数学知识的学习和应用都是有很大帮助的。
人教版初三数学《圆中三大基本定理》
1中考内容中考要求ABC圆的有关概念 理解圆及其有关概念会过不在同一直线上的三点作圆；能利用圆的有关概念解决简单问题圆的性质知道圆的对称性，了解弧、弦、圆心角的关系 能用弧、弦、圆心角的关系解决简单问题能运用圆的性质解决有关问题 圆周角了解圆周角与圆心角的关系；知道直径所对的圆周角是直角会求圆周角的度数，能用圆周角的知识解决与角有关的简单问题能综合运用几何知识解决与圆周角有关的问题 垂径定理 会在相应的图形中确定垂径定理的条件和结论 能用垂径定理解决有关问题点与圆的位置关系了解点与圆的位置关系直线与圆的位置关系了解直线与圆的位置关系；了解切线的概念，理解切线与过切点的半径之间的关系；会过圆上一点画圆的切线；了解切线长的概念能判定直线和圆的位置关系；会根据切线长的知识解决简单的问题；能利用直线和圆的位置关系解决简单问题能解决与切线有关的问题圆与圆的位置关系 了解圆与圆的位置关系 能利用圆与圆的位置关系解决简单问题弧长 会计算弧长 能利用弧长解决有关问题 扇形会计算扇形面积能利用扇形面积解决有关问题中考内容与要求1圆中三大基本定理圆锥的侧面积和全面积会求圆锥的侧面积和全面积能解决与圆锥有关的简单实际问题圆是北京中考的必考内容，主要考查圆的有关性质与圆的有关计算，每年的第20题都会考查，第1小题一般是切线的证明，第2小题运用圆与三角形相似、解直角三角形等知识求线段长度问题，有时也以阅读理解、条件开放、结论开放探索题作为新题型。
要求同学们重点掌握圆的有关性质，掌握求线段、角的方法，理解概念之间的相互联系和知识之间的相互转化，理解直线和圆的三种位置关系，掌握切线的性质和判定方法，会根据条件解决圆中的动态问题。
年份2011年2012年2013年题号20，25 8，20，25 8，20，25分值13分17分17分考点圆的有关证明，计算（圆周角定理、切线、等腰三角形、相似、解直角三角形）；直线与圆的位置关系圆的基本性质，圆的切线证明，圆同相似和三角函数的结合；直线与圆的位置关系圆中的动点函数图像，圆的基本性质(垂径定理、圆周角定理)，圆同相似和三角函数的结合；直线与圆的位置关系中考考点分析知识互联网23垂径定理反映的是经过圆心的直线和圆中弦的关系，“要求弦长，先求弦长的一半”，注意对由半径、半弦长和弦心距构成的直角三角形模型的理解和应用. 暑期知识点回顾：定 理示例剖析1. 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．2. 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.如图，AB 是O ⊙的直径，CD 是弦E DCBAO1. 若AB CD ⊥于E ，则CE DE =； AC AD =；BC BD =．2. 若CE DE =，则AB CD ⊥；AC AD =；BC BD =．【例1】 ⑴ 如图，BD 是⊙O 的弦，点C 在BD 上，以BC 为边作等边三角形△ABC ，点A 在圆内，且AC 恰好经过点O ，其中BC =12，OA =8， 则BD 的长为（ ）A ．20B ．19C ．18D ．16（2012通州一模）⑵ 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AC =3，BC =4，以点C 为 圆心，CA 为半径的圆与AB 交于点D ，则AD 的长为 ．（2013黄石）【解析】 ⑴A; ⑵518.【例2】 ⑴ 如图，AB 是O 直径，弦CD 交AB 于E ，45AEC ∠=︒，2AB =．设AE x =，22CE DE y +=．下列图象中，能表示y与x 的函数关系的是（ ）思路导航典题精练题型一：垂径定理BAO C DBA CD EBDAO C4A B C D（2012海淀期中）⑵ 如图，圆心在y 轴的负半轴上，半径为5的⊙B 与y轴的正半轴交于点()1 0，A ，过点()7 0-，P 的直线l 与 ⊙B 相交于C 、D 两点．则弦CD 长的所有可能的整数值有（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个（2013乐山）【备选1】如图，AB 是O ⊙的直径，且10AB =，弦MN 的长为8，若弦MN 的两端在圆上滑动时，始终与AB 相交，记点A B 、到MN 的距离分别为12h h ，，则12h h - 等于__________．【解析】 解法一：设AB MN 、相交于P ，过O 点作OH MN ⊥于H ，连结NO ．由垂径定理114522NH MN NO AB ====，，∴3OH =， ∵AE MN BF MN OH MN ⊥⊥⊥，，，∴AE OH BF ∥∥， ∴AE AP BF BP OH OP OH OP ==，，即1233h AP h BP OP OP ==，， ∴123h h AP BP OP--= 当P 点在O 点左侧时，AP BP <，()()2AP BP AO OP BO OP OP -=--+=当P 点在O 点右侧时，AP BP >，()()2AP BP AO OP BO OP OP -=+--= ∴126h h -=．5解法二：极端假设法⑴当N 点运动到与A 点重合时，10AE h ==，2BF h BM ==， 此时ABM △是直角三角形，226BM AB MN =-=，∴126h h -=． ⑵当MN 与AB 垂直时，12AE h AP BF h BP ====，， ∵8MN =，由垂径定理知4MP NP ==，∴3OP =，∴532538AP BP =-==+=，， ∴126h h -=．解法三：连接EO 并延长交BF 于G易证AOE BOG △≌△，∴1BG AE h ==，∴21FG h h =-， 由解法一可知3OH =， ∴2126h h OH -==，当MN 在圆心O 的另外一侧时，126h h -=， ∴126h h -=．解法四：连接BE ，作OH MN ⊥于H ，延长HO 交BE 于I 易得I 是BE 的中点，则21122HI BF h ==，11122OI AE h ==，∴()21132OH HI OI h h =-=-=，∴1226h h OH -==．解法五：延长BF 交O ⊙于G ，连接AG ，作OH MN ⊥于H 交AG 于J易证1GF AE h ==，()121122OJ BG h h ==+， ∴()()121211122OH OJ JH h h h h h =-=+-=-， ∴1226h h OH -==．【点评】 此题还有其它解法，老师在讲解时还可以引导学生拓展思路.在同圆或等圆中，弧、弦、圆心角、弦心距四个量中，只要有一组量对应相等，那么其它三组量也分别相等。
圆的最值问题求解四法
２０２３年９月上半月㊀解法探究㊀㊀㊀㊀圆的最值问题求解四法◉云南省普洱市孟连县第一中学㊀孙宝恩㊀㊀摘要:与圆有关的最值问题是近年来高考数学的热点之一,它着重考查数形结合与转化思想．求圆的最值问题 四化法 的基本思路是,利用平面几何知识,或利用圆的参数方程,或设圆上点的坐标,将其转化为函数的最值问题．关键词:化为斜率法;化为截距法;化为距离法;化为三角函数法㊀㊀与圆有关的最值问题,因为其代数式具有明显的几何意义,所以应优先考虑数形结合法．运用数形结合法求最值,既可以借助图形直观获得简捷解法,又可避免因对限制条件考虑不周造成的失误,还有利于沟通数学各个分支,深化思维,全面提高学生数学综合素质[１]．涉及与圆有关的最值问题,可借助圆的几何性质,并根据代数式的几何意义,利用数形结合思想来求解．一般情况下,求形如t ＝y －bx －a的最值问题,可转化为动直线的斜率问题;求形如t ＝a x ＋b y ＋c 的最值问题,可转化为动直线的截距问题;求形如(x －a )２＋(y －b )２的最值问题,可转化为动点到定点的距离问题．另外,还可以通过建立目标函数求最值．与圆有关的最值问题,既是高中数学中的难点问题,又是近年来高考中的热点题型,因此有必要熟悉和掌握其常用的解题思路与方法．１化为斜率法例１㊀已知实数x ,y 满足方程x ２＋y ２－４x ＋１＝０,求yx的最大值和最小值．解:原方程可化为(x －２)２＋y ２＝３,表示以(２,０)为圆心,３为半径的圆．yx 的几何意义是该圆上一点与原点连线的斜率,所以设yx＝k ,即y ＝k x ．图１当直线y ＝k x 与圆相切时,如图１,斜率k 取最大值或最小值,此时２k －０k ２＋１＝３,解得k ＝ʃ３所以yx的最大值为３,最小值为－３．思路与方法:本题中yx 的几何意义是圆上的点与原点连线的斜率,两切线的斜率为其最值,可由２k －０k ２＋１＝３求切线的斜率,也可将y ＝k x 代入圆的方程,由Δȡ０,求解k 的范围．例２㊀求y ＝１＋s i n x２＋c o s x 的最值．图２解:将原函数式变形为y ＝s i n x －(－１)c o s x －(－２),其几何意义是在直角坐标系中,动点(c o s x ,s i n x )与定点P (－２,－１)连线的斜率．动点P 的轨迹为单位圆(如图２),由图可知,k P B 最小,k P C 最大．显然,k P B ＝０．由t a n θ＝O B P B ＝１２,得t a n øB P C ＝t a n２θ＝２t a n θ１－t a n ２θ＝４３,即k P C ＝４３．故y 的最小值为０,最大值为４３．思路与方法:从本题的解题思路可以归纳 形如f (x )－ag (x )－b 的函数式,可以将其看作点(g (x ),f (x ))与点(b ,a )连线的斜率,这也是最常见的解题方法．２化为截距法例３㊀在圆O :x ２＋y ２＝１上求一点P ,使得过点P 的切线与两条坐标轴所围成的三角形面积最小．解法１:设P (x １,y １),则切线l 为x １x ＋y １y ＝１,即x １x １＋y １y １＝１,截距a ＝１x １,b ＝１y １．所以,过点P 的切线与两坐标轴所围成的三角形面积为S ＝１２a９７Copyright ©博看网. All Rights Reserved.解法探究２０２３年９月上半月㊀㊀㊀b ＝１２１x １ １y １＝１２x １y １ȡ１x ２１＋y ２１＝１１＝１,当且仅当x １＝y １＝２２时,取等号,S 的最小值为１．故所求点P 的坐标为(２２,２２),(２２,－２２),(－２２,－２２),(－２２,２２)．解法２:因为点P 在圆x ２＋y ２＝１上,可设P (c o s φ,s i n φ),所以切线l :x c o s φ＋y s i n φ＝１,其截距a ＝１c o s φ,b ＝１s i n φ．因此,过点P 的切线与两坐标轴所围成的三角形面积为S ＝１２a b ＝１２１c o s φ １s i n φ＝１s i n ２φȡ１．当s i n ２φ＝ʃ１,即φ＝ʃπ４,ʃ３４π时,S 取最小值,且最小值为１．故所求点P 的坐标为(２２,２２),(２２,－２２),(－２２,－２２),(－２２,２２)．思路与方法:本题的两种解法都是将与圆有关的求三角形的最值问题转化为直线与圆相切的截距型问题．通过设点P 的坐标,先求出截距,然后再根据三角形面积公式推出S әȡ１,最后确定点P 的位置．例４㊀设x ,y 满足y ＝－x ２－２x ,求S ＝x ＋y 的最大值和最小值．图３解:y ＝－x ２－２x ＝１－(x ＋１)２,其图象为如图３所示的半圆O ᶄ,S 的最大值与最小值分别是直线y ＝－x ＋S 和半圆O ᶄ有公共点时截距的最大值与最小值．由A (－２,０),k A D ＝－１,得D (０,－２),即S m i n ＝－２．又O ᶄB ＝B C ＝１,所以O ᶄC ＝２,得O C ＝２－１＝O D ᶄ,则点D ᶄ的坐标为(０,２－１),即S m a x ＝２－１．故S 的最大值与最小值分别为２－１,－２．思路与方法:本题是将其转化㊁变形为截距型最值问题,并对半圆㊁直线截距的几何意义进行了由 隐 到 显 的挖掘,其中紧扣 S 的最大值与最小值分别是直线y ＝－x ＋S 和半圆O ᶄ有公共点时截距S的最大值与最小值 是关键．３化为距离法例５㊀在әA B C 中,øA ,øB ,øC 所对的边分别为a ,b ,c ,且c ＝１０,c o s A c o s B ＝b a ＝４３,P 为әA B C的内切圆上的动点,求点P 到顶点A ,B ,C 的距离的平方和的最大值与最小值．解法１:由c o s A c o s B ＝b a ,得c o s A c o s B ＝s i n Bs i n A ,即s i n ２A ＝s i n２B ．在әA B C 中,因为A ʂB ,所以２A ＋２B ＝π,则A ＋B ＝π２,故әA B C 为直角三角形．图４由c ＝１０,b a ＝４３,可得a ＝６,b ＝８．建立如图４所示的平面直角坐标系,设әA B C 的内切圆圆心为O ᶄ,切点分别为D ,E ,F ,则|A D |＋|D B |＋|E C |＝１２(１０＋８＋６)＝１２,内切圆的半径r ＝|E C |＝１２－１０＝２,则内切圆O ᶄ方程为(x －２)２＋(y －２)２＝４．设圆O ᶄ上动点P 的坐标为(x ,y ),则点P 到顶点A ,B ,C 的距离的平方和为S ＝P A ２＋P B ２＋P C ２＝(x －８)２＋y ２＋x ２＋(y －６)２＋x ２＋y ２＝３[(x －２)２＋(y －２)２]－４x ＋７６＝８８－４x ．由点P 在圆上,可知,０ɤx ɤ４,于是S 的最大值为８８,最小值为８８－４ˑ４＝７２．解法２:同解法１,得әA B C 是直角三角形,其内切圆半径r ＝２．设圆上动点P 的坐标为(２＋２c o s α,２＋２s i n α)(０ɤαɤ２π),则点P 到顶点A ,B ,C 的距离的平方和为S ＝P A ２＋P B ２＋P C ２＝(２c o s α－６)２＋(２＋２s i n α)２＋(２＋２c o s α)２＋(２s i n α－４)２＋(２＋２c o s α)２＋(２＋２s i n α)２＝８０－８c o s α．因为０ɤαɤ２π,所以S 的最大值为＝８０＋８＝８８,最小值为＝８０－８＝７２．思路与方法:本题可转化为点到直线的距离型最值问题．解法１是由三角形的边㊁角关系推证出әA B C 为直角三角形,然后建立平角直角坐标系,通过设三角形内切圆,求三角形三边的长度获解;解法２在已知әA B C 为直角三角形的基础上,通过设动点坐标,利用三角函数求出最值．０８Copyright ©博看网. All Rights Reserved.２０２３年９月上半月㊀解法探究㊀㊀㊀㊀例６㊀已知实数x ,y 满足方程x ２＋y ２－４x ＋１＝０,求x ２＋y ２的最大值和最小值．图５解:x ２＋y ２－４x ＋１＝０可化为(x －２)２＋y ２＝３,它表示以C (２,０)为圆心,３为半径的圆．如图５所示,x ２＋y ２表示圆上的一点与坐标原点距离的平方．由平面几何知识可知,在坐标原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值．又因为圆心C 到原点的距离为２,所以x ２＋y ２的最大值是(２＋３)２＝７＋４３,x ２＋y ２的最小值是(２－３)２＝７－４３．思路与方法:本题中的x ２＋y ２可看作是圆上的点与原点距离的平方,所以可以借助平面几何知识,利用数形结合法快速求解．４化为三角函数法例７㊀已知圆C :(x －３)２＋(y －４)２＝１和两点A (－m ,０),B (m ,０)(m ＞０)．若圆C 上存在点P ,使得øA P B ＝９０ʎ,则m 的最大值为(㊀㊀)．A．７㊀㊀㊀㊀B ．６㊀㊀㊀㊀C ．５㊀㊀㊀㊀D．４解:设点P (x ０,y ０),则x ０＝３＋c o s θ,y ０＝４＋s i n θ{(θ为参数)．由øA P B ＝９０ʎ,得A P ң B P ң＝０,即(x ０＋m )(x ０－m )＋y ２０＝０,则m ２＝x ２０＋y ２０＝２６＋６c o s θ＋８s i n θ＝２６＋１０s i n (θ＋φ)ɤ３６(其中t a n φ＝３４)．所以０＜m ɤ６,即m 的最大值为６．故选答案:B ．思路与方法:本题是通过建立目标函数来求最值．由于øA P B ＝９０ʎ,则点P 也在以A B 为直径的圆上,因此问题还可转化为两圆有公共点,求m 的最大值,即两圆内切时,m 有最大值６．例８㊀半圆O 的直径为２,A 为直径延长线上一点,O A ＝２,B 为半圆上任意一点,以A B 为一边作等边三角形A B C ．问点B 在什么位置时,四边形O A C B的面积最大,并求这个最大值．图６解:如图６,设øA O B ＝α(０＜α＜π),在әA O B 中,又O B ＝１,O A ＝２,由余弦定理,得A B ２＝O A ２＋O B ２－２O A O B c o s α＝５－４c o s α．设四边形O A C B 的面积为S ,则㊀㊀㊀S ＝１２O A O B s i n α＋３４A B ２＝s i n α＋３４(５－４c o s α)＝５３４＋(s i n α－３c o s α)＝５３４＋２s i n (α－π３),当且仅当s i n (α－π３)＝１,即α＝５π６时,四边形O A C B的面积最大,且最大值为５３４＋２．思路与方法:本题通过运用余弦定理,将与圆有关的四边形面积的最值问题,转化为三角函数问题来求解．从解题过程不难看出,对y ＝a s i n x ＋b c o s x (a ,b ʂ０)引入辅角θ,则y ＝a ２＋b ２s i n (x ＋θ)(其中t a n θ＝ba),其最值一目了然．根据以上典例及 四化法 的运用情况,可以把与圆有关的最值问题大致归纳总结为以下几种类型:①定点与圆上的点的距离的最值题型,可将其转化为定点到圆心的距离ʃ半径 ;②定直线与圆上点的距离的最值题型,可将其转化为 圆心到直线的距离ʃ半径 ;③形如t ＝y －bx －a 的最值题型,可将其转化为动直线的斜率问题(切线处取得最值);④形如t ＝a x ＋b y ＋c 的最值题型,可将其转化为动直线的截距问题(切线处取得最值);⑤形如(x －a )２＋(y －b )２的最值问题,可将其转化为定点到圆上动点的最值问题．圆是一种很规则的图形,解答与圆有关的最值问题很适合采用数形结合法．运用 四化法 解题的关键,是在准确理解题意的基础上进行合理联想和类比,将代数式通过转化㊁变形㊁给予几何解释[２]．上述典型例题的解析可以帮助学生学会从 形 中觅 数 的思路与方法,掌握如何根据图形去寻求数量关系的技巧,能够娴熟地将几何问题代数化,通过不断加强这类题型的解题训练,最终达到触类旁通㊁举一反三㊁开阔思路㊁运用自如㊁综合提高的目的．参考文献:[１]杜超．例谈与圆有关的最值问题[J ]．理科考试研究,２０２１(９):１６Ｇ１８．[２]程会海．与圆有关的最值问题的解题策略例说[J ]．中学数学,２０２２(５):６４Ｇ６５．Z １８Copyright ©博看网. 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初三数学圆的解题技巧 一般都采用待定系数法
初三数学圆的解题技巧
一、确定圆心位置
确定圆心的位置是解题的第一步，通常根据题目给出的条件，通过分析、推理和计算来确定圆心的位置。
二、确定半径长度
确定半径的长度也是解题的重要步骤之一。
通常可以通过题目给出的条件或者利用已知的圆心和圆上一点的距离来计算半径的长度。
三、使用待定系数法
在解题过程中，我们常常需要设立一些未知数来解决问题，这就是待定系数法。
在解决圆的题目时，我们可以通过设立未知数来表示一些未知的量，然后通过已知条件建立方程来求解这些未知数。
四、应用切线的性质
切线性质是解决圆的题目时的一个重要知识点。
在解题过程中，我们可以通过分析切线的性质，结合已知条件来解决问题。
例如，切线与半径垂直的性质可以用来证明某些几何关系或者求解某些未知量。
五、熟练掌握圆的基础性质
熟练掌握圆的基础性质是解决圆的题目的基础。
在解题过程中，我们需要根据圆的基础性质来分析问题、推导结论。
例如，圆的对称性、圆的周长和面积的
计算公式等都是解题时常用的知识点。
综上所述，初三数学圆的解题技巧包括确定圆心位置、确定半径长度、使用待定系数法、应用切线的性质和熟练掌握圆的基础性质等方面。
通过不断练习和总结，我们可以提高自己的解题能力，更好地掌握圆的解题技巧。
人教版九年级上圆中常见最值问题解法探索
圆中常见最值问题解法探索最值问题成为中考的典型考题，也是各章创新考题之一.下面就把圆中常见的最值问题归纳一下，供学习时借鉴.一、直径最大弦型最大值模型1. 最值的源体是圆的弦例1 （2019年东营）如图1，AC 是⊙O 的弦，AC=5，点B 是⊙O 上的一个动点，且∠ABC=45°，若点M 、N 分别是AC 、BC 的中点，则MN 的最大值是 ．解析：因为点M ，N 分别是BC ，AC 的中点，所以MN=21AB ，所以当弦AB 取得最大值时，MN 就取得最大值，因为直径是圆中最大的弦，所以当弦AB 是直径时，AB 最大，如图1，连接 AO 并延长交⊙O 于点B ′，连接CB ′，因为AB ′是⊙O 的直径，所以∠ACB ′=90°．因为∠ABC=45°，AC=5，所以∠AB ′C=45°，所以AB ′=2255 =52，所以MN 的最大值为最大MN =225．所以应该填．点评：当线段是圆的某条弦时，熟记直径是圆中最大的弦是解题的关键.2.动点到定弦的最大值例2（2019•广元）如图2，△ABC 是⊙O 的内接三角形，且AB 是⊙O 的直径，点P 为⊙O 上的动点，且∠BPC=60°，⊙O 的半径为6，则点P 到AC 距离的最大值是 ．解析：如图2，过O 作OM ⊥AC 于M ，延长MO 交⊙O 于P ，则此时，点P 到AC 的距离最大，且点P 到AC 距离的最大值=PM ，因为OM ⊥AC ，∠A=∠BPC=60°，⊙O 的半径为6，所以OP=OA=6，所以OM=23OA ＝23×6＝33，所以PM=OP+OM=6+33，所以点P 到AC 距离的最大值是6+33，所以答案为6+33．点评：圆上动点到定弦距离的最大值就是垂直平分线弦的直径的两个端点到弦的距离，这是垂径定理的应用，也是直径是圆中最大的弦的应用.此法也是用于在拱形中计算最值. 跟踪专练（2019年杭州）如图3，已知锐角三角形ABC 内接于⊙O ，OD ⊥BC 于点D ，连接OA 。
人教版2019秋九年级数学上册专题 17.圆中的最值问题
拔高专题 圆中的最值问题图(1)探究点一：点与圆上的点的距离的最值问题例1：如图，A 点是⊙O 上直径MN 所分的半圆的一个三等分点，B 点是弧AN 的中点，P 点是MN 上一动点，⊙O 的半径为3，求AP+BP 的最小值。
解：作点A 关于MN 的对称点A ′，连接A ′B ，交MN 于点P ，连接OA ′，AA ′． ∵点A 与A ′关于MN 对称，点A 是半圆上的一个三等分点， ∴∠A ′ON=∠AON=60°，PA=PA ′，∵点B 是弧AN 的中点，∴∠BON=30°，∴∠A ′OB=∠A ′ON+∠BON=90°，又∵OA=OA ′=3， ∴A ′．∵两点之间线段最短，∴PA+PB=PA ′+PB=A ′．【教师总结】解决此题的关键是确定点P 的位置．根据轴对称和两点之间线段最短的知识，把两条线段的和转化为一条线段，即可计算。
探究点二：直线与圆上点的距离的最值问题例2：如图，在Rt △AOB 中，，⊙O 的半径为1，点P 是AB 边上的动点，过点P 作⊙O 的一条切线PQ （点Q 为切点），求切线PQ 的最小值解：连接OP 、OQ ．∵PQ 是⊙O 的切线，∴OQ ⊥PQ ；根据勾股定理知PQ 2=OP 2-OQ 2，∴当PO ⊥AB 时，线段PQ 最短，∵在Rt △AOB 中，OA=OB=3∴，∴OP=•OA OBAB=3，∴．【变式训练】如图，在平面直角坐标系中，以坐标原点O 为圆心，2为半径画⊙O ，P 是⊙O 是一动点且P 在第一象限内，过P 作⊙O 切线与x 轴相交于点A ，与y 轴相交于点B ．求线段AB 的最小值．解：（1）线段AB 长度的最小值为4， 理由如下： 连接OP ，∵AB 切⊙O 于P ， ∴OP ⊥AB ，取AB 的中点C ， ∴AB=2OC ；当OC=OP 时，OC 最短， 即AB 最短， 此时AB=4．【教师总结】结合切线的性质以及辅助线的作法，利用“垂线段最短”是解决此类问题的关键。
圆探究一种线段最值的方法
线段最值问题是计算机科学领域中的经典问题之一，它涉及到在一个数列或向量中找到一个子区间，使得该区间内的数值和达到最大或最小。
其中，最大值问题是指在一个数列中找到一段连续的子区间，使得该区间内的数值和最大；而最小值问题则是找到一段连续的子区间，使得该区间内的数值和最小。
本文将介绍一种名为“圆探究法”的线段最值求解方法。
一、圆探究法的基本思路圆探究法的基本思路是：将数列看作是一个环形的数列，然后通过对数列进行圆周遍历，同时记录每一个可能的最值。
具体来说，我们可以使用两个指针i, j分别表示当前遍历的起始点和终止点，当j到达数列的末尾时，指针i向前移动一个位置，继续以i为起点，j为终点遍历数列。
这样，我们就能够遍历所有可能的子区间，并记录每一个子区间的最大值或最小值。
二、圆探究法的实现过程1. 初始化首先，我们需要初始化指针i, j的位置。
通常情况下，我们可以将i和j都指向数列的第一个元素，即i = j = 1。
2. 圆周遍历接下来，我们需要以i为起点，j为终点，沿着数列进行圆周遍历。
具体来说，我们可以通过以下步骤实现：（1）计算当前子区间的最大值或最小值在每次遍历过程中，我们需要计算当前子区间的最大值或最小值。
这可以通过遍历整个子区间，记录其中的最大值或最小值来实现。
（2）记录最大值或最小值当计算出当前子区间的最大值或最小值后，我们需要将其记录下来。
通常情况下，我们可以使用一个变量maxvalue或minvalue 来记录当前的最大值或最小值。
（3）移动指针j在遍历完成当前子区间后，我们需要将指针j向前移动一个位置，继续遍历下一个子区间。
如果此时j已经到达了数列的末尾，则需要将指针i向前移动一个位置，并将指针j重新指向i，以便继续进行圆周遍历。
（4）结束条件当指针i回到了初始位置，即i = 1，同时j也回到了i的位置时，说明遍历已经完成。
此时，我们可以得到每一个子区间的最大值或最小值，以及最终的最大值或最小值。
圆的最值问题类型归纳
与圆相关的最值问题安阳市龙安高级中学 段可贺 高中数学中，研究最多的一种曲线是圆。
在研究圆的相关问题时，最值问题又是研究的重点和热点，现把常见的与圆相关的最值问题，总结如下。
希望对读者有些启发。
类型一、“圆上一点到直线距离的最值”问题分析：求圆上一点到直线距离的最值问题，总是转化成求圆心到定直线的距离问题来解决。
1、求圆C: (x-2)2+(y+3)2=4上的点到直线x-y+2=0的最大、最小距离.2、求圆C: (x-1)2+(y+1)2=2上的点与直线 x-y+4=0距离的最大值和最小值.3、圆222=+y x 上的点到直线02543=++y x 的距离的最小值为________________.类型二、“圆上一点到定点距离的最值”问题分析：本质是两点间距离。
涉及与圆相关的两点的距离，总是转化为圆心与定点距离问题来解决。
1.已知点P （x,y ）是圆 x 2＋y 2-2x-4y+4＝0上一点,求P 到原点的最大最小距离.2.已知圆C ：04514422=+--+y x y x 及点()3,2-Q ，若M 是圆C 上任一点，求MQ 最大值和最小值.3 .已知x,y 满足条件 x 2＋y 2-2x-4y+4＝0,求22y x +范围.4.已知x,y 满足圆 x 2＋y 2-2x-4y+4＝0,求22)2()2(+++y x 范围.5.已知x,y 满足圆 x 2＋y 2-2x-4y+4＝0,求x 2＋y 2+2x+2y 范围.6.已知圆 ()()143:22=-+-y x C ，点A （-1，0），B （1，0），点P 为圆上一动点，求22PB PA d +=的最大值和最小值及对应的P 点坐标.类型三、“过定点的弦长”问题1：已知直线:2830l mx y m ---=和圆22:612200C x y x y +-++=；（1）m R ∈时，证明l 与C 总相交。
（2）m 取何值时，l 被C 截得弦长最短，求此弦长。
圆的最值问题探究——对一堂初三数学复习课的创新实证研讨
∴ tan∠OCB= OB = 3 ， BC 3
∴ OB= 3 ·BC=2=OP。 3
∴ OB=2OB=4，∴ CP=OC−OP=2，
则CP的最小值为2。
F
A
O
M P
B
图6
3 总结 （1）最值问题常规思路：①根据已知条件得到图形
中不变的量，如推导出定角、定长；②确定变化的点的轨 迹，如见定角→找对边（定长）→想周角→转心角→现隐 圆→定轨迹→求最值；③将待求未知量最值转化为点圆 的距离最值问题[2]。
例题：如图1，在边长为 2 3 的等边∆ABC中，动点 D、E分别在边BC、AC上，且AE=CD，连接BE、AD，相 交于点P，求CP的最小值。
A
造固定三角形的情况下建立外接圆，再证明点P是圆上一 点。而点到圆的距离最值为连心线的近交点和远交点分 别为最小值和最大值时的位置。
A
1 B
2 具体解法 2.1 常规型1
如图4，过 A作OA⊥AC于A，过B作OB⊥BC于B， OA、OB交于O。
可证∠1=∠2=30°，∴ ∠AOB=180°−2∠1=120°， ∴ OA=OB。
F O
A
P M
B 图5
以O为圆心，OA长为半径作圆，则AB为圆O的弦。
①假设P在圆外，如图5，∵ ∠AOB=120°，
∴
∠AFB=
1 2
∠AOB=60°，
2021 年第 22 期
SCIENCE FANS
教育教学 4
圆的最值问题探究 *
——对一堂初三数学复习课的创新实证研讨
王伟 （福建省惠安第一中学，福建 泉州 362100）
【摘 要】圆作为特殊的几何图形，其相关知识是中考的热点、重点、难点，圆的考查在中考中占有举足轻重的位 置，其中圆的最值问题尤其重要。笔者试图通过研讨一堂初三复习课，探讨解决圆的最值问题的策略。
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探解圆中最值问题的三种基本思路 圆中探求最值是近几年中考的一个凸显亮点，背景丰富有创意，解法灵活有创新，可谓八仙过海，各显其能，是一个值得深思和探究的好课题.下面就结合2019年的考题，向大家推荐这类最值的探解基本思路，供学习时借鉴.
一、直径是圆中最长的弦为依据求最值
1.探求三角形中位线的最大值
例1 （2019年东营）如图1，AC 是⊙O 的弦，AC=5，点B 是⊙O 上的一个动点，且∠ABC=45°，
若点M 、N 分别是AC 、BC 的中点，则MN 的最大值是 ．
解析：因为点M ，N 分别是BC ，AC 的中点，所以MN=2
1AB ，所以当弦AB 取得最大值时，MN 就取得最大值，因为直径是圆中最大的弦，所以当弦AB 是直径时，AB 最大，如图1，连接 AO 并延长交⊙O 于点B ′，连接CB ′，因为AB ′是⊙O 的直径，所以∠ACB ′=90°．
因为∠ABC=45°，AC=5，所以∠AB ′C=45°，所以AB ′=2255 =52，所以MN 的最大 值为最大MN =225．所以应该填．
点评：当线段是圆的某条弦时，熟记直径是圆中最大的弦是解题的关键.
2.探求圆上动点到定弦的最大值
例2（2019•广元）如图2，△ABC 是⊙O 的内接三角形，且AB 是⊙O 的直径，点P 为⊙O 上
的动点，且∠BPC=60°，⊙O 的半径为6，则点P 到AC 距离的最大值是 ．
解析：如图2，过O 作OM ⊥AC 于M ，延长MO 交⊙O 于P ，则此时，点P 到AC 的距离最大，且点P 到AC 距离的最大值=PM ，因为OM ⊥AC ，∠A=∠BPC=60°，⊙O 的半径为6，
所以OP=OA=6，所以OM=23OA ＝2
3×6＝33，所以PM=OP+OM=6+33，所以点P 到AC 距离的最大值是6+33，所以答案为6+33．
点评：圆上动点到定弦距离的最大值就是垂直平分线弦的直径的两个端点到弦的距离，这是垂径定理的应用，也是直径是圆中最大的弦的应用.此法也是用于在拱形中计算最值.
2.探求圆上动点与线段上动点构成线段的最大值与最小值的和 例3（2019•玉林）如图3，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=4，BC=3，点O 是AB 的三等分点，半圆O 与AC 相切，M ，N 分别是BC 与半圆弧上的动点，则MN 的最小值和最大值之和是（ ）
A ．5
B ．6
C ．7
D ．8
解析：如图3，设⊙O 与AC 相切于点D ，连接OD ，作OP ⊥BC 垂足为P 交⊙O 于F ，
此时垂线段OP 最短，PF 最小值为OP ﹣OF ，因为AC=4，BC=3，所以AB=5.因为点O 是AB 的
三等分点，所以OB=
32×5=310，因为∠OPB=90°，所以OP ∥AC ，所以3
2==AB OB AC OP , 所以OP=38.因为⊙O 与AC 相切于点D ，所以OD ⊥AC ，所以OD ∥BC ，所以3
1==AB OA BC OD , 所以OD=1，所以MN 最小值为OP ﹣OF=38﹣1=35； 如图3，当N 在AB 边上时，M 与B 重合时，MN 经过圆心，经过圆心的弦最长，所以MN 最大值=310+1=313，所以MN 长的最大值与最小值的和是35+3
13=6．所以选B ． 点评：单边切圆动点线段的最值问题，求解时，需要分开，一是动线段的最小值，依据圆心这个定点到定线段的垂线段最短，在此基础上，确定动点线段的最小值；二是动点线段的最大值，依据直径是圆中最大的弦确定求解.解答后，要熟记问题的背景特点，继而灵活准确计算最值的和.
二、定弦的弦心距最短，探求线段的最大值
例4 （2019•嘉兴）如图4，在⊙O 中，弦AB=1，点C 在AB 上移动，连结OC ，过点C 作CD ⊥OC 交⊙O 于点D ，则CD 的最大值为 ．
解析：如图4，连接OD ，在直角三角形OCD 中，2
22OC OD CD -=,因为圆的半径是定值，要想使得CD 长最大，只需满足OC 的长度最小，因为AB 是圆的弦，所以O 到弦AB 的最短距离是弦AB 的弦心距，所以当OC ⊥AB 时，OC 最短，此时点D 恰好与点B 重合，所以41422
22==-=AB OC OD CD ,所以CD 的最大值为21. 点评：此类最值的特点有五：一是有圆的定弦；二是动点之一必须在定弦上；三是能构造出直角三角形；四是等式有特点：动线段的平方和时定值即2
22-动线段半径动线段=；五是运用点到直线的距离中以垂线段为最短，构造最长值.
三、三角形的三点一线时第三边最大，探求最大值
1.探求直角三角形斜边长的最大值
例5（2019年湖北鄂州）如图5，在平面直角坐标系中，已知C （3，4），以点C 为圆心的圆 与y 轴相切．点A 、B 在x 轴上，且OA=OB ．点P 为⊙C 上的动点，∠APB=90°，则AB 长 度的最大值为 ．
解析：如图5，连接OC,OP,PC ，当点O,P,C 三点不共线时，则OC+PC ＞OP ；当点O,P,C 三点共线时，OC+PC=OP ，综上所述OP ≤OC+PC ，且当点O,P,C 三点共线时，PO 取得最大值，所以连接OC 并延长，交⊙C 上一点P ，以O 为圆心，以OP 为半径作⊙O ，交x 轴于A 、B ，此时AB 的长度最大，过点C 作CD ⊥x 轴，垂足为D ，因为C （3，4），所以OC=5， 因为以点C 为圆心的圆与y 轴相切，所以⊙C 的半径为3，所以OP=OC+PC=5+3=8，
因为∠APB=90°，AO=OB ，所以PO 是直角三角形PAB 斜边上的中线，所以AB 长度的最大值为16，所以应该填16．
点评：准确构造含有动点，且有一条定线段的动态三角形是解题的关键，利用动态三角形的存在性和三点一线型，综合确定线段的最值是解题的核心，这种确定最值的思想非常重要，
应用也非常广泛，务必熟练驾驭，做到准确找动态三角形，准确定共线线段，确实把最值准确定出.
2.探求动态三角形中位线长的最大值
例6(2019年乐山）如图6，抛物线44
12-=x y 与x 轴交于A,B 两点，P 是以点C(0，3）为圆心，2为半径的圆上的动点，Q 是线段PA 的中点，连结OQ.则线段OQ 的最大值是（ ） ()A 3 ()B 241 ()
C 27 ()
D 4
解析：如图6，连接BC,PC,PB ，当点B,P,C 三点不共线时，则BC+PC ＞PB ；当点B,P,C 三点共线时，且点P 与点B 位于圆心点C 的两侧，此时BC+PC=PB ，综上所述PB ≤BC+PC ，所以当点B,P,C 三点共线时，PB 取得最大值，所以连接BC 并延长，交⊙C 上一点P ，此时PB 的值最大.因为抛物线44
12-=x y 与x 轴交于A,B 两点，所以点A(-4,0)，点B(4,0),所以OA=OB=4,因为点C （0,3）,所以OC=3,PC=2,BC=5,所以PB 的最大值为：PB=PC+CB=2+5=7,因为点O 是AB 的中点，点Q 是PA 的中点，所以OQ 是三角形PAB 的中位线，所以OQ=
21PB, OQ 的最大值为2
7，所以选C. 点评：构造动态三角形时，以PB 为核心是解题的关键，确定了PB 的最大值，问题就顺利得解.解答时，要注意，当动点位于两定点之间时，线段取最小值；当动点位于两定点之外时，线段取得最大值.一定要熟记！感兴趣的读者，不妨计算一下OQ 的最小值.。