人教版九年级数学上册：探解圆中最值问题的三种 基本思路

探解圆中最值问题的三种基本思路 圆中探求最值是近几年中考的一个凸显亮点，背景丰富有创意，解法灵活有创新，可谓八仙过海，各显其能，是一个值得深思和探究的好课题.下面就结合2019年的考题，向大家推荐这类最值的探解基本思路，供学习时借鉴.

一、直径是圆中最长的弦为依据求最值

1.探求三角形中位线的最大值

例1 （2019年东营）如图1，AC 是⊙O 的弦，AC=5，点B 是⊙O 上的一个动点，且∠ABC=45°，

若点M 、N 分别是AC 、BC 的中点，则MN 的最大值是 ．

解析：因为点M ，N 分别是BC ，AC 的中点，所以MN=2

1AB ，所以当弦AB 取得最大值时，MN 就取得最大值，因为直径是圆中最大的弦，所以当弦AB 是直径时，AB 最大，如图1，连接 AO 并延长交⊙O 于点B ′，连接CB ′，因为AB ′是⊙O 的直径，所以∠ACB ′=90°．

因为∠ABC=45°，AC=5，所以∠AB ′C=45°，所以AB ′=2255 =52，所以MN 的最大 值为最大MN =225．所以应该填．

点评：当线段是圆的某条弦时，熟记直径是圆中最大的弦是解题的关键.

2.探求圆上动点到定弦的最大值

例2（2019•广元）如图2，△ABC 是⊙O 的内接三角形，且AB 是⊙O 的直径，点P 为⊙O 上

的动点，且∠BPC=60°，⊙O 的半径为6，则点P 到AC 距离的最大值是 ．

解析：如图2，过O 作OM ⊥AC 于M ，延长MO 交⊙O 于P ，则此时，点P 到AC 的距离最大，且点P 到AC 距离的最大值=PM ，因为OM ⊥AC ，∠A=∠BPC=60°，⊙O 的半径为6，

所以OP=OA=6，所以OM=23OA ＝2

3×6＝33，所以PM=OP+OM=6+33，所以点P 到AC 距离的最大值是6+33，所以答案为6+33．

点评：圆上动点到定弦距离的最大值就是垂直平分线弦的直径的两个端点到弦的距离，这是垂径定理的应用，也是直径是圆中最大的弦的应用.此法也是用于在拱形中计算最值.

2.探求圆上动点与线段上动点构成线段的最大值与最小值的和 例3（2019•玉林）如图3，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=4，BC=3，点O 是AB 的三等分点，半圆O 与AC 相切，M ，N 分别是BC 与半圆弧上的动点，则MN 的最小值和最大值之和是（ ）

A ．5

B ．6

C ．7

D ．8

解析：如图3，设⊙O 与AC 相切于点D ，连接OD ，作OP ⊥BC 垂足为P 交⊙O 于F ，

此时垂线段OP 最短，PF 最小值为OP ﹣OF ，因为AC=4，BC=3，所以AB=5.因为点O 是AB 的

三等分点，所以OB=

32×5=310，因为∠OPB=90°，所以OP ∥AC ，所以3

2==AB OB AC OP , 所以OP=38.因为⊙O 与AC 相切于点D ，所以OD ⊥AC ，所以OD ∥BC ，所以3

1==AB OA BC OD , 所以OD=1，所以MN 最小值为OP ﹣OF=38﹣1=35； 如图3，当N 在AB 边上时，M 与B 重合时，MN 经过圆心，经过圆心的弦最长，所以MN 最大值=310+1=313，所以MN 长的最大值与最小值的和是35+3

13=6．所以选B ． 点评：单边切圆动点线段的最值问题，求解时，需要分开，一是动线段的最小值，依据圆心这个定点到定线段的垂线段最短，在此基础上，确定动点线段的最小值；二是动点线段的最大值，依据直径是圆中最大的弦确定求解.解答后，要熟记问题的背景特点，继而灵活准确计算最值的和.

二、定弦的弦心距最短，探求线段的最大值

例4 （2019•嘉兴）如图4，在⊙O 中，弦AB=1，点C 在AB 上移动，连结OC ，过点C 作CD ⊥OC 交⊙O 于点D ，则CD 的最大值为 ．

解析：如图4，连接OD ，在直角三角形OCD 中，2

22OC OD CD -=,因为圆的半径是定值，要想使得CD 长最大，只需满足OC 的长度最小，因为AB 是圆的弦，所以O 到弦AB 的最短距离是弦AB 的弦心距，所以当OC ⊥AB 时，OC 最短，此时点D 恰好与点B 重合，所以41422

22==-=AB OC OD CD ,所以CD 的最大值为21. 点评：此类最值的特点有五：一是有圆的定弦；二是动点之一必须在定弦上；三是能构造出直角三角形；四是等式有特点：动线段的平方和时定值即2

22-动线段半径动线段=；五是运用点到直线的距离中以垂线段为最短，构造最长值.

三、三角形的三点一线时第三边最大，探求最大值

1.探求直角三角形斜边长的最大值

例5（2019年湖北鄂州）如图5，在平面直角坐标系中，已知C （3，4），以点C 为圆心的圆 与y 轴相切．点A 、B 在x 轴上，且OA=OB ．点P 为⊙C 上的动点，∠APB=90°，则AB 长 度的最大值为 ．

解析：如图5，连接OC,OP,PC ，当点O,P,C 三点不共线时，则OC+PC ＞OP ；当点O,P,C 三点共线时，OC+PC=OP ，综上所述OP ≤OC+PC ，且当点O,P,C 三点共线时，PO 取得最大值，所以连接OC 并延长，交⊙C 上一点P ，以O 为圆心，以OP 为半径作⊙O ，交x 轴于A 、B ，此时AB 的长度最大，过点C 作CD ⊥x 轴，垂足为D ，因为C （3，4），所以OC=5， 因为以点C 为圆心的圆与y 轴相切，所以⊙C 的半径为3，所以OP=OC+PC=5+3=8，

因为∠APB=90°，AO=OB ，所以PO 是直角三角形PAB 斜边上的中线，所以AB 长度的最大值为16，所以应该填16．

点评：准确构造含有动点，且有一条定线段的动态三角形是解题的关键，利用动态三角形的存在性和三点一线型，综合确定线段的最值是解题的核心，这种确定最值的思想非常重要，