态矢量和力学量的表示

G p
G p
'
=
δ
(
G p
−
pG ' )
任意态矢G α 在G动量表象中的投影系数为：
ψα ( p) = p α
高等量子力学
③、动量算符的本征矢在坐标表象中的表示
首先动量表象中：
G p
G p
'
=
δ
(
G p
−
G p
'
)
在坐标表象中，动量空间的归一化条件表示为：
∫ G
p
G p
'
=
GG px
G x
G p
'
i =1
i =1
∑ ∑ N
=i
i =1
iα
=
⎛ ⎜⎝
N i =1
i
i
⎞ ⎟⎠
α
∑ 显然
：⎜⎝⎛
N i =1
i
i
⎞ ⎟⎠
=
Iˆ,
⎛ ⎜
N
∑
i
ij
⎝ i, j=1
j
⎞ ⎟
=
Iˆ
⎠
定义Pˆi = i i 算符对任意状态矢 α 的作用为：
Pˆi α = i i α = Ci i
算符Pˆi 为对 i 轴的投影算符。
α α ≥0
高等量子力学
2、力学量算符
力学量算符：在量子力学中，所有物理量都是用作用于态 矢量的算符进行表示的，是一种操作。
线性算符：Aˆ αi = βi ,
( ) Aˆ C1 α1 + C2 α2 = Aˆ C1 α1 + Aˆ C2 α2
厄密算符： Aˆ † = Aˆ
= C1 β1 + C2β α2
G dx
由
δ
(
G p

−
G p
'
)函数的Fourier逆变换有：
( ) ∫ δ
(
G p
−
G p
'
)
=
1
2π = 3
e dxG −i
(
G p
−
pG '
G )⋅x
/=
( ) ∫ = 1
2π = 3
G G G e e dx −ip⋅x
/=
ipG '
G ⋅x
/=
( ) ∫( ) = 1 2π = 3
G G G e e dx ip⋅x
N
N
∑ ∑ α =
α (B) i
bi
=
β F b (B) (B)
ij
j
i
i =1
i ,i =1
显然：α
( i
B)
=
F β (B) (B) ij j
采用矩阵表示： α
↔
(α1( B )
,",α
(B) N
)T
β
↔
( β1( B )
,",
β
(B) N
)T
则：
⎡⎢⎢α1#( B )
⎤ ⎥ ⎥
=
⎡ ⎢ ⎢
F (B 1,1 #
/=
*
G ip
'
G ⋅x
/=
比较得：xG
G p
=
( ) G
p
G x
*
=
1
2π =
eG G ip⋅x
/=
3/2
高等量子力学
④、动量算符在坐标表象中的表示
∫ G
pxx' =
G x
G p
G x
'
=
GG G dp x pˆ p
G p
G x
'
GG G G
= ∫ dpp x p
G p
G x
'
( ) ∫ = 1
α = α1 1 + α2 2 + ""+ αN N
这里αi 为 α 在 i 轴上的投影。
在 { i }空间上，可用分解系数Ci 对 α 进行唯一表示，令：
⎛ C1 ⎞
ψα ↔⎜⎜ # ⎟⎟,ψα† ↔(C1 " CN)
⎜⎝CN ⎟⎠
这里：Ci = i α
高等量子力学
N
N
所以：α = ∑Ci i = ∑ i α i
态矢量：在量子力学中，描述微观粒子的状态使
用态矢量ψα ，态矢量为复矢量，其共轭态同
样描述同一个微观态，记为：ψ
α
,ψ
† α
，利用
Dirac表示方法表示为：α , α 。
ψα ↔ α
ψ
† α
↔
α
α = ( α )†
α β = ( β α )†
α β = 0 ⇒ α and β are orthogonal
G x
}张成连续的表象空
间。坐标表象的完全性条件为：
∫
G x
G x
G dx
=
Iˆ
,
( ) ∫ ∫G dx
'
G dx
G x
'
G x
'
G x
G x
= Iˆ
对于分立表象，正交归一条件表示为： i j = δij
N
N
则：i = ∑ j ∑ j i = δij j = i
j =1
j =1
对于连续表象，正交归一条件表示为： x x' = δ (x − x')
)
" %
F (B 1, N #
)
⎤ ⎥ ⎥
⎡ ⎢ ⎢
β (B 1 #
)
⎤ ⎥ ⎥
⎢⎣α
(B N
)
⎥⎦
⎢⎣
FN(
B) ,1
"
F (B) N ,N
⎥⎦
⎢⎣β
(B) N
⎥⎦
一般记为：α = F β
高等量子力学
5、坐标表象与动量表象
①、坐标表象{
G x
}
G GG
xˆ x = x x
由于坐标为连续取值，所以由 {
∫ ∫ 则： x' = dx x x x' = dx x δ (x − x' ) = x'
高等量子力学
任意ψ态α矢(xG)α= 在xG α坐标表象中的投影系数为：
②
、动量表象{
G p
}
G GG pˆ p = p p
显然动量空间也是连续表象空间，动量表象的完全性条
件为：
∫
G p
G p
G dp
=
Iˆ
动量表象的正交归一条件：
高等量子力学
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扬州大学
高等量子力学
第一章 量子力学的一般描述
§1.1 态矢量和力学量的表示 §1.2 矩阵力学表示 §1.3 么正变换的一般理论 §1.4 绘景理论 §1.5 对称性和守恒定律 §1.6 密度算符号 §1.7 路径积分表示
高等量子力学
§1.1 态矢量和力学量的表示
1、态矢量
算符的对易子：⎡⎣ Aˆ, Bˆ ⎤⎦ = Aˆ Bˆ − BˆAˆ
所有力学量算符为线性厄密算符。
高等量子力学
3、态矢量的矩阵表示
如果厄密算符A有N个本征矢，由这N个本征矢量:
{ 1 , 2 ,"", N }
可以构成一个N维正交完全集，由这N个本征矢量张成的 复空间称为Hilbert空间，在Hilbert空间中，任意一个态矢 量 α 可以表示为：
完全性条件可由投影算符表示为：⎛⎜⎝
N
∑
i =1
Pˆi
⎞ ⎟⎠
=
Iˆ
高等量子力学
4、算符的矩阵表示
对于任意算符Fˆ ，一般存在：
α = Fˆ β
设存在B表象空间{ bi } 。在B表象空间中，任意态矢 α , β
可以分别表示为：
N
∑ α =
α (B) i
bi
i =1
N
∑ β =
β (B) i
bi
i =1
2π = 3
G dp
pGeipG⋅xG
/=
e
−
G ip⋅
G x
'
/=
∫ =
1
2π =
G dp
pGeipG⋅(
G x
−
G x
'
)
/
=
∫ =
1
2π =
⎛⎜⎝
−i=∇
dpGeipG⋅(
G x
−
G x
'
)/=
⎞⎟⎠
∫ ( ) ⎛
= −i=∇ ⎜⎜⎝
1
2π =
3
dpGeipG⋅(
则：
α
( i
B
)
=
bi α
=
bi
Fˆ β
N
N
∑ ∑ = bi Fˆ bj bj β = bi Fˆ bj
j =1
j =1
bj β
N
∑ =
bi
Fˆ
bj
β (B) j
j =1
高等量子力学
N
N
∑ ∑ 则：α =
α (B) i
bi
=
bi
Fˆ bj
β (B) j
bi
i =1
i ,i =1
令：Fij(B) = bi Fˆ bj ，则：