苏科版九年级数学下册第七章锐角三角函数复习.docx

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苏教版九年级下册数学[锐角三角函数—知识点整理及重点题型梳理]

苏教版九年级下册数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习锐角三角函数—知识讲解【学习目标】1．结合图形理解记忆锐角三角函数定义；2．会推算30°、45°、60°角的三角函数值，并熟练准确的记住特殊角的三角函数值； 3．理解并能熟练运用“同角三角函数的关系”及“锐角三角函数值随角度变化的规律”.【要点梳理】要点一、锐角三角函数的概念如图所示，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A 所对的边BC 记为a ，叫做∠A 的对边，也叫做∠B 的邻边，∠B 所对的边AC 记为b ，叫做∠B 的对边，也是∠A 的邻边，直角C 所对的边AB 记为c ，叫做斜边．锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sinA ，即sin A aA c ∠==的对边斜边；锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cosA ，即cos A bA c ∠==的邻边斜边；锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记作tanA ，即tan A aA A b∠==∠的对边的邻边.同理sin B b B c ∠==的对边斜边；cos B aB c∠==的邻边斜边；tan B b B B a ∠==∠的对边的邻边．要点诠释：(1)正弦、余弦、正切函数是在直角三角形中定义的，反映了直角三角形边与角的关系，是两条线段的比值．角的度数确定时，其比值不变，角的度数变化时，比值也随之变化． (2)sinA ，cosA ，tanA 分别是一个完整的数学符号，是一个整体，不能写成，，，不能理解成sin 与∠A ，cos 与∠A ，tan 与∠A 的乘积．书写时习惯上省略∠A 的角的Ca b记号“∠”，但对三个大写字母表示成的角(如∠AEF)，其正切应写成“tan∠AEF”，不能写成“tanAEF”；另外，、、常写成、、．(3)任何一个锐角都有相应的锐角三角函数值，不因这个角不在某个三角形中而不存在．(4)由锐角三角函数的定义知：当角度在0°<∠A<90°间变化时，，，tanA＞0．要点二、特殊角的三角函数值(1)通过该表可以方便地知道30°、45°、60°角的各三角函数值，它的另一个应用就是：如果知道了一个锐角的三角函数值，就可以求出这个锐角的度数，例如：若，则锐角．(2)仔细研究表中数值的规律会发现：、、的值依次为、、，而、、的值的顺序正好相反，、、的值依次增大，其变化规律可以总结为：①正弦、正切值随锐角度数的增大(或减小)而增大(或减小)；②余弦值随锐角度数的增大(或减小)而减小(或增大)．要点三、锐角三角函数之间的关系如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°．(1)互余关系：，；(2)平方关系：；(3)倒数关系：或；(4)商数关系：．要点诠释：锐角三角函数之间的关系式可由锐角三角函数的意义推导得出，常应用在三角函数的计算中，计算时巧用这些关系式可使运算简便．【典型例题】类型一、锐角三角函数值的求解策略1．（2016•安顺）如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则∠ABC 的正切值是（）A．2 B．C．D．【思路点拨】根据勾股定理，可得AC、AB的长，根据正切函数的定义，可得答案．【答案】D．【解析】解：如图：，由勾股定理，得AC=，AB=2，BC=，∴△ABC为直角三角形，∴tan∠B==，故选：D．【总结升华】本题考查了锐角三角函数的定义，先求出AC、AB的长，再求正切函数．举一反三：【课程名称：锐角三角函数395948：例1（1）-（2）】【变式】在RtΔABC中，∠C=90°，若a=3，b=4，则c=，sinA=，cosA=，sinB=，cosB=．a【答案】c = 5 ，sinA = 35 ， cosA =45，sinB =45， cosB =35．类型二、特殊角的三角函数值的计算2．求下列各式的值：(1)（2015•茂名校级一模） 6tan 230°﹣sin60°﹣2sin45°；(2)（2015•乐陵市模拟） sin60°﹣4cos 230°+sin45°•tan60°；(3)（2015•宝山区一模） +tan60°﹣．【答案与解析】解：（1）原式==12(2) 原式=×﹣4×（）2+×=﹣3+3；(3) 原式=+﹣=2+﹣=3﹣2+2【总结升华】熟记特殊角的三角函数值或借助两个三角板推算三角函数值，先代入特殊角的三角函数值，再进行化简．举一反三：【课程名称：锐角三角函数 395948 ：例1（3）-（4）】【变式】在Rt ΔABC 中，∠C =90°，若∠A=45°，则∠B = ，sinA=，cosA=，sinB=，cosB=．【答案】∠B=45°，sinA=，cosA=，sinB=cosB=．类型三、锐角三角函数之间的关系3．（2015•河北模拟）已知△ABC中的∠A与∠B满足（1﹣tanA）2+|sinB﹣|=0（1）试判断△ABC的形状．（2）求（1+sinA）2﹣2﹣（3+tanC）0的值．【答案与解析】解：（1）∵|1﹣tanA）2+|sinB﹣|=0，∴tanA=1，sinB=，∴∠A=45°，∠B=60°，∠C=180°﹣45°﹣60°=75°，∴△ABC是锐角三角形；（2）∵∠A=45°，∠B=60°，∠C=180°﹣45°﹣60°=75°，∴原式=（1+）2﹣2﹣1=．【总结升华】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关键．类型四、锐角三角函数的拓展探究与应用4．如图所示，AB是⊙O的直径，且AB＝10，CD是⊙O的弦，AD与BC相交于点P，若弦CD＝6，试求cos∠APC的值．【答案与解析】连结AC，∵ AB是⊙O的直径，∴∠ACP＝90°，又∵∠B＝∠D，∠PAB＝∠PCD，∴△PCD∽△PAB，∴PC CDPA AB=．又∵ CD ＝6，AB ＝10， ∴ 在Rt △PAC 中，63cos 105PC CD APC PA AB ∠====．【总结升华】直角三角形中，锐角的三角函数等于两边的比值，当这个比值无法直接求解，可结合相似三角形的性质，利用对应线段成比例转换，间接地求出这个比值．锐角的三角函数是针对直角三角形而言的，故可连结AC ，由AB 是⊙O 的直径得∠ACB ＝90°，cos PC APC PA ∠=，PC 、PA 均为未知，而已知CD ＝6，AB ＝10，可考虑利用△PCD ∽△PAB 得PC CDPA AB=．5．通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化．类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系．我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对(sad)．如图1①，在△ABC 中，AB ＝AC ，顶角A 的正对记作sadA ，这时sadA BCAB==底边腰．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，解下列问题：(1)sad60°＝________．(2)对于0＜A ＜180°，∠A 的正对值sadA 的取值范围是_______．(3)如图1②，已知sinA ＝35，其中∠A 为锐角，试求sadA 的值．【答案与解析】(1)1； (2)0＜sadA ＜2；(3)如图2所示，延长AC 到D ，使AD ＝AB ，连接BD ．设AD ＝AB ＝5a ，由3sin 5BC A AB ==得BC ＝3a ，∴ 4AC a ==，∴ CD ＝5a-4a ＝a ，BD ==，∴ sadA BD AD == 【总结升华】(1)将60°角放在等腰三角形中，底边和腰相等，故sadA ＝1；(2)在图①中设想AB ＝AC的长固定，并固定AB 让AC 绕点A 旋转，当∠A 接近0°时，BC 接近0，则sadA 接近0但永远不会等于0，故sadA ＞0，当∠A 接近180°时，BC 接近2AB ，则sadA 接近2但小于2，故sadA ＜2；(3)将∠A 放到等腰三角形中，如图2所示，根据定义可求解．。

(完整版)苏教九年级锐角三角函数知识点及配套典型例题,推荐文档

经过 1 小时 20 分钟，又测得该轮船位于 A 的北偏东 60°，且与 A 相距8 3 km 的 C 处．
1 求该轮船航行的速度（保留精确结果）； 2 如果该轮船不改变航向继续航行，那么轮船能否正
好行至码头 MN 靠岸？请说明理由．
24、如图所示,小明在家里楼顶上的点 A 处，测量建在与小明家楼房同一水平线上相邻的电梯楼的高，在点 A 处看电梯楼顶部点 B 处的仰角为 60°，在点 A 处看这栋电梯楼底部点 C 处的俯角为 45°，两栋楼之间
A. sin A 32 4
B. cos B 1 C. tan A 2 D. tan B 2
3
4
4
6. 已知 ΔABC 中，∠C＝90，CD 是 AB 边上的高，则 CD：CB 等于（）．
A. sinA B．cosA
C．tanA
1
D．
tan A
12．如图表示甲、乙两ft坡情况，其中tan
tanβ，
90° 1 0
不存在
0
6、余弦减性：
当
0°≤ ≤90°时， (1) 正弦值随的增大(减小)而增大(减小)， (2) 余弦值随的增大(减小)而减小（增大）。
（3）正切值随的增大(减小)而增大(减小)，
8、应用举例： (1)仰角：视线在水平线上方的角；俯角：视线在水平线下方的角。
仰仰仰
仰仰
仰仰仰仰
A
邻b边
aC
正弦余弦正切
定义 sin A A的对边
斜边 cos A A的邻边
斜边 tan A A的对边
A的邻边
表达式
sin A a c
cos A b c
tan A a b
取值范围
0 sin A 1 (∠A 为锐角)

苏科版九年级下册第七章锐角三角函数基础题训练无答案.docx

九下第七章锐角三角函数基础题训练一、选择题1. .s»/：«r 的值为（）A. -B. -C.也D.匝 3 2 2 22, 如图,在平面直角坐标系中，直线y = |x + 1与〉轴交于点A,与x 轴交于点B,则 A. | B. V5 C.奕 D, 22 2 3, 在RtKABC^,AC 闾，如果把Rt A ABC 的各边的长都缩小为原来的;，则乙4的正 4 切值A.缩小为原来的:B.扩大为原来的4倍C.缩小为原来的:D.没有变化4, 在Rt 4ABC 中，各边都扩大5倍，则角A 的三角函数值（）A.扩大5倍B.缩小5倍C.不变D.不能确定5. 如图,在平面直角坐标系中，已知直线0A 过点B （3,l ）,则tana 的值是taK4B 。

的值为（9, 已知在Rt A ABC 中,出），BC = LAC = 2,则tan*的值 _________ .10, 如图,一名滑雪运动员沿着倾斜角为3（）'的斜坡，从A滑至B.已知曲=200m,这名滑雪运动员的高度下降了 m.A. 10 C. 3 D. V10 6, 在中,ZG JMI ,sinA = ^.AC = 6cm,B C 的长度为A. 6cmB. 7cmC. 8cmD. 9cm7. 如图，在 RtAABC 中，乙 C = 90°,AC = 3,BC = 4,则 sinA 的值为8. A 3A - 5 B.如图,在矩形ABC 。

中,E 是AD 边的中点,BE垂足为F,连结。

F,下列四个结论：①左AEF-LCAB-,②tan 乙曲=扼；@DF = DC ； @CF = 20F,正确的是（）A.①②③B.②③④C.①③④二、填空题D.①②④11.在△ ABC中，若/C*=9li ,BC = 12,AB = 13,则cosA =.12,在如图所示的正方形网格中八、B、C都是小正方形的顶点，经过点A作射线CD,则sin^DAB的值等于13. 如图所示,。

苏科版九年级下册数学第7章锐角函数含答案(精练)

苏科版九年级下册数学第7章锐角函数含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、在△ABC中，若三边BC、CA、AB满足BC：CA：AB=5：12：13，则cosB=（）A. B. C. D.2、正方形网格中，如图放置，则tan的值是（）A. B. C. D.23、已知α为锐角，且2sin(α－10°)＝，则α等于( )A.50°B.60°C.70°D.80°4、在Rt△ABC中，∠C = 90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，下列等式中不成立的是（）A. B. C.D.5、如图，已知锐角三角形ABC，以点A为圆心，AC为半径画弧与BC交于点E，分别以点E、C为圆心，以大于EC的长为半径画弧相交于点P，作射线AP，交BC于点D．若BC=5，AD=4，tan∠BAD= ，则AC的长为（）A.3B.5C.D.26、已知在△ABC中，∠A，∠B都是锐角，，则∠C 的度数是（）A.30°B.45°C.60°D.90°7、若，则的值为（）A.1B.C.D.28、如图，在正方形纸片ABCD中，对角线AC，BD交于点O，折叠正方形纸片ABCD，使AD落在BD上，点A恰好与BD上的点F重合.展开后，折痕DE分别交AB， AC于点E，G.连接GF.则下列结论错误的是( )A.∠AGD=112.5°B.四边形AEFG是菱形C.tan∠AED=2 D.BE=2OG9、如图1，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠ACB＝45°，延长BC到D，使CD＝AC，则tan22.5°＝（）A. B. C. D.10、如图，从A点出发的光线，经C点反射后垂直地射到B点，然后按原路返回A点.若∠AOC＝33°，OC＝1，则光线所走的总路线约为( )A.3.8B.2.4C.1.9D.1.211、如图，若△ABC和△DEF的面积分别为S1、S2，则（）A.S1= S2B.S1= S2C.S1=S2D.S1= S212、如图，活动课小明利用一个锐角是30°的三角板测量一棵树的高度，已知他与树之间的水平距离BE为9m，AB为1.5m（即小明的眼睛距地面的距离），那么这棵树高是（）A.3 mB.27 mC.（3 + ）mD.（27 + ）m13、如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，若⊙O的半径为，AC=2，则sinB的值是（）．A. B. C. D.14、下列命题中，正确的命题个数有（）①平分一条弦的直径一定垂直于弦；②相等的两个圆心角所对的两条弧相等；③两个相似梯形的面积比是1：9，则它们的周长比是1：3；④在⊙O中，弦AB把圆周分成1：5两部分，则弦AB所对的圆周角是30°；⑤△ABC中，b=3，c=5，那么sinB= ；⑥△ABC中，AD为BC边上的高，若AD=1，BD=1，CD= ，则∠BAC的度数为105°．A.1个B.2个C.3个D.4个15、如图，△ABC与△DEF都是等腰三角形，且AB=AC=3，DE=DF=2，若∠B+∠E=90°，则△ABC与△DEF的面积比为（）A.9：4B.3：2C. ：D.3 ：2二、填空题(共10题，共计30分)16、若cos A，则锐角A的度数为________．17、如图，△ABC的三个顶点分别在边长为1的正方形网格的格点上，则tan （α+β）________ tanα+tanβ．（填“＞”“=”“＜”）18、已知Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°,a－b=2，则c=________.19、若sinα=，则α=________°．20、如图，把个边长为1的正方形拼接成一排，求得，，，计算________，……按此规律，写出________（用含的代数式表示）．21、规定：sin（﹣x）=﹣sinx，cos（﹣x）=cosx，sin（x+y）=sinx•cosy+cosx•siny．据此判断下列等式成立的是________（写出所有正确的序号）①cos（﹣60°）=﹣；②sin75°= ；③sin2x=2sinx•cosx；④sin（x﹣y）=sinx•cosy﹣cosx•siny．22、如图，点D在钝角△ABC的边BC上连接AD，∠B=45°，∠CAD=∠CDA，CA：CB=5：7，则∠BAD的余弦值为________．23、一等腰三角形的两边长分别为4cm和6cm，则其底角的余弦值为________．24、如图，矩形ABCD的边AB上有一点P，且AD= ，BP= ，以点P为直角顶点的直角三角形两条直角边分别交线段DC，线段BC于点E，F，连接EF，则tan∠PEF=________．25、如图，△ABC的顶点都在方格纸的格点上，则tanA=________.三、解答题(共5题，共计25分)26、计算：2sin45°﹣3﹣2+（﹣）0+| ﹣2|+ ．27、如图，点B是双曲线y＝（k≠0）上的一点，点A在x轴上，且AB＝2，OB⊥AB，若∠BAO＝60°，求k的值．28、某班数学兴趣小组利用数学活动课时间测量位于烈山山顶的炎帝雕像高度，已知烈山坡面与水平面的夹角为30°，山高857.5尺，组员从山脚D处沿山坡向着雕像方向前进1620尺到达E点，在点E处测得雕像顶端A的仰角为60°，求雕像AB的高度．29、周末，小亮一家在东昌湖游玩，妈妈在湖心岛岸边P处观看小亮与爸爸在湖中划船（如图）.小船从P处出发，沿北偏东60°划行200米到达A处，接着向正南方向划行一段时间到达B处.在B处小亮观测妈妈所在的P处在北偏西37°方向上，这时小亮与妈妈相距多少米（精确到米）？（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈1.41，≈1.73）30、如图，小明在操场上放风筝，已知风筝线AB长100 米，风筝线与水平线的夹角α=37°，小王拿风筝线的手离地面的高AD为1.5米，求风筝离地面的高度BE（精确到0.1米）．参考答案一、单选题(共15题，共计45分)1、C2、D3、C4、D5、D6、C7、C8、C9、B10、A11、C13、A14、A15、A二、填空题(共10题，共计30分)16、17、18、19、20、21、22、23、24、三、解答题(共5题，共计25分)26、27、30、。

新苏科版九年级数学下册《7章锐角三角函数小结与思考》教案_4

锐角三角函数章复习课（1）教学设计【教材分析】本节课是苏科版数学九年级下册第七章《锐角三角函数》章复习课第1课时，主要复习内容为7.1正切——7.5解直角三角形这5节内容，梳理本章的知识网络形成框架并综合运用知识解决数学内部的问题．本节内容是对整章的复习，是碎片整体化、零散系统化的过程，构建知识网络框架完美地体现了这一过程，同时也是数学知识、技能方法以及数学思想的提升过程．此外，本节课是章复习课第1课时，为后续的第2课时教学（主要内容为锐角三角函数的应用和拓展）作一定的知识方法的储备和铺垫．就苏科版数学整体教材而言，本章是初中阶段“数与代数”部分的最后一章，一方面是接触和了解初中几何函数，另一方面为高中三角函数过渡，呈现数学知识螺旋式上升的原则，不可或缺，尤为重要．【学情分析】学生在八年级已经学习过一次函数和反比例函数，在九年级下学过二次函数，对函数的认识和理解具备一定的能力水平．在八年级上学习了勾股定理，已经比较熟悉并且能掌握直角三角形的有关性质．经历初中三年的学习，对数与代数、空间与几何这两大板块的知识技能方法的掌握已达到一定的水平，对章节复习课的形式和内容较为熟悉，为本节课复习课的展开奠定了一定的基础．【教学目标】1、在梳理并掌握本章知识点的基础上构建知识网络框架，并能综合运用本章知识点解决数学内部相关问题．2、经历构建知识框架的过程和探索解决问题的过程，培养建构能力和分析问题、解决问题的能力，进一步体会函数思想、数形结合、转化的思想方法．3、体会数学的抽象、严谨，领会求真、实事求是的科学精神，激发求知欲和探索心．【教学重点】梳理本章知识构建知识网络框架【教学难点】综合运用本章知识点解决问题【教学准备】PPT多媒体课件，实物展台【教学过程】一、复习回顾，引出课题问题1：看到课题，你有什么想法？问题2：回顾本章，你学了些什么内容？（设计意图：从课题入手，回顾本章所学，碎片化零散化的知识首先需要拾起，其次才是对知识的整理，最后构建框架．另外需要注意本节课是本章复习课的第1课时，因而明确本节课的教学目标和教学内容．复习课的引入，可以不需要情境导入，直入主题，先让学生说说看到课题有什么想法，尽可能让学生自己回顾所学内容．）二、题组训练，回顾知识1、在△ABC中，∠C=90°，∠A=45°，则BC：AC：AB=_______________在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，则BC：AC：AB=_______________2、利用计算器求解：（精确到0.01）（1）sin70°（2）cos24°12′（3）tan65°（4）sinα=0.3657，求α（5）tanα=6，求α3、在△ABC中，∠C=90°（1）已知∠A =30°，BC =8cm ，求AB 与AC 的长（2）已知∠A =60°，AC =√3cm ，求AB 与BC 的长（设计意图：从一组简单练习，回顾本章所学知识：正切、正弦、余弦的定义以及计算，特殊角的三角函数值，用计算器求非特殊角的三角函数值以及根据三角函数值求角度，解直角三角形．由学生做，学生简要讲解做法与答案，并由题目回顾相关联的知识点．单纯地从书本上知识点入手回顾所学，有些单调和枯燥，并且容易有遗漏，从学生最为熟悉的解题入手，根据题目解答回顾相关联的知识点，比较得心应手．第1题，根据解答需联系特殊角的三角函数值，三种三角函数的增减性，三角函数的定义等．第3题，根据解答需联系解直角三角形的定义和注意点．）三、梳理知识，构建框架问题：请你思考，这些知识点之间有何联系？能形成知识网络框架吗？教学注意：小组合作讨论，师生共同归纳（设计意图：碎片化、零散化的知识需整体化、系统化，形成知识网络框架，通过一系列问题寻找这几个知识点之间的联系，并适当地渗透部分到整体、一般到特殊到一般、数形结合的数学思想方法．在构建过程中，建议让学生多说说自己的想法，单一的知识点可以由学生具体给出，也可根据上述环节中的题组训练得到．）四、例题讲解，巩固提高例1、已知△ABC ，AB =2，AC =√2，∠B =30°，求BC 的长．问题1：如何画图？问题2：如何避免漏解？例 2、求证：锐角三角形的面积等于两边的长与其夹角的正弦值的乘积的一半．问题1：如何画图？问题2：如何选择？例3、不用计算器，求tan 15°的值．变式：不用计算器，求tan 22.5°的值．问题1：如何构造15°？问题2：如何借用我们已知的特殊角的三角函数值？（设计意图：三个例题的设置，巩固知识的同时，侧重方法的选择和分类、转化的数学思想方法，数形结合的渗透也是解决问题的关键．这三个例题均没有配图，需要学生根据题意自行画出图形分析和解决，画图也是数学学习的基本功，画图的准确和完整是分析问题的必备．在解题过程中，要注意一些重要的数学思想方法的渗透，分类、转化、从未知到已知等．）五、总结回顾，布置作业总结：1、本节课复习了哪些内容？2、掌握了哪些解题方法？作业：相应练习册或者书本上选择合适题目．（设计意图：总结从内容和方法两个方面回顾，复习课主要是对零散知识的整合以及对方法的归纳概括，除了建构的知识框架图以外，例题中呈现的一些解题方法和思想也需要总结回顾．作业的布置，可根据学生的具体情况分层布置，关注学生的个体差异，因材施教，以人为本．）六、板书设计锐角三角函数章复习课（1）【教学设计说明】本节课为章复习课第1课时，不必面面俱到，主要是梳理并建构知识网络框架图，并在此基础上对方法和综合和提升．在回忆零散知识点时，根据题组训练，唤起学生对本章内容的知识点的学习，然后把知识点串成线、形成面，建构框架．在例题讲解过程中，注重解题方法的归纳，注重数学思想的渗透．复习课应当以综合和提升为最终目的，不应是题目的单纯堆叠和训练，复习课不等同于习题课，解题是为了巩固方法，是为了综合运用．。

苏科版九年级下期末复习《第七章锐角三角函数》单元试卷含解析

期末复习：苏科版九年级数学下册第七章锐角三角函数一、单选题（共10题；共30分）1.在Rt △ABC 中，∠A=90°，AC=a ，∠ACB=θ，那么下面各式正确的是（）A. AB =a ·sinθ；B. AB =a ·cosθ；C. AB =a ·tanθ；D. AB =a ·cotθ. 2.在Rt △ABC 中，∠C =90º，AB =10，AC =8，则sinA 的值是（）A. 45B. 35C. 34D. 433.cos30°的值为( )A.12B.√22C.√32D.√33 4.三角形在方格纸中的位置如图所示，则tan α的值是（）A. 34B. 43C. 35D. 455.已知在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =2，BC =4，则下列结论正确的是( ) A. sinA=12 B. tanA=12 C. cosA=√55 D. sinB=2√556.在Rt △ABC 中，已知∠C=90°，AC=3，BC=4，那么∠A 的余弦值等于（）A. 35B. 45C. 34D. 437.在Rt △ABC 中，∠C=90°，cosA=12，则tanB 等于（）A. √3B. √32C. √33D. 2√3 8.在Rt △ABC 中，∠C=90°，AB=13，AC=12，则cosA=（）A. 513B. 512C. 1213D. 1259.在△ABC 中，若|sinA ﹣√32|+（1﹣tanB ）2=0，则∠C 的度数是（） A. 45° B. 60° C. 75° D. 105° 10.一个人从山下沿30°角的坡路登上山顶,共走了500m,那么这山的高度是（）m.A. 230B. 240C. 250D. 260二、填空题（共10题；共30分）11.计算：（π﹣3.14）0+2cos60°=________．12.在Rt △ABC 中，∠C=90°，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，下列式子：①a=c•sinB ，②a=c•cosB ，③a=c•tanB ，④a= ctanB ，必定成立的是________．13.如图所示，运载火箭从地面L 处垂直向上发射，当火箭到达A 点时，从位于地面R 处的雷达测得AR 的距离是40km ，仰角是30°，n 秒后，火箭到达B 点，此时仰角是45°，则火箭在这n 秒中上升的高度是________km ．14.如图，某数学兴趣小组为了测量河对岸l1的两棵古树A、B之间的距离，他们在河这边沿着与AB平行的直线l2上取C、D两点，测得∠ACB=15°，∠ACD=45°，若l1、l2之间的距离为50m，则古树A、B之间的距离为________ m．15.计算：cot44°•cot45°•cot46°=________16.已知√3＜cosA＜sin70°，则锐角A的取值范围是________217.如图，在下列网格中，小正方形的边长均为1，点A、B、O都在格点上，则∠AOB的正弦值是________．18.在Rt△ABC中，∠C=90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C对边，如果2b=3a，则tanA=________．19.在△ABC中，∠C=90°，AB=8，sinA= 3，则BC的长是________．420.某水库堤坝的横断面如图所示，迎水坡AB的坡度是1︰√3，堤坝高BC＝50m，则AB＝________m．三、解答题（共8题；共60分）21.计算|√2−2|−2cos45∘+(−1)−2+√8．22.如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE是BC边上的中线，∠C=45°，sinB=2，AD=4．3（1）求BC的长；（2）求tan∠DAE的值．23.如图，为了求某条河的宽度，在它的对岸岸边任意取一点A，再在河的这边沿河边取两点B、C，使得∠ABC=45°，∠ACB=30°，量得BC的长为40m，求河的宽度（结果保留根号）．24.如图，在航线l的两侧分别有观测点A和B，点B到航线l的距离BD为4km，点A位于点B北偏西60°方向且与B相距20km处．现有一艘轮船从位于点A南偏东74°方向的C处，沿该航线自东向西航行至观测点A的正南方向E处．求这艘轮船的航行路程CE的长度．（结果精确到0.1km）（参考数据：√3≈1.73，sin74°≈0.96，cos74°≈0.28，tan74°≈3.49）25.如图，电线杆CD上的C处引拉线CE，CF固定电线杆，在离电线杆6米的B处安置测角仪（点B，E，D在同一直线上），在A处测得电线杆上C处的仰角为30°，已知测角仪的高AB=1.5米，BE=2.3米，求拉线CE的长，（精确到0.1米）参考数据√2≈1.41，√3≈1.73．26.如图,一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向,距离灯塔80海里的A处,它沿正南方向航行一段时间后,到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处,这时,海轮所在的B处距离灯塔P有多远?(结果用非特殊角的三角函数表示即可)27.如图所示，某小组同学为了测量对面楼AB的高度，分工合作，有的组员测得两楼间距离为40米，有的组员在教室窗户处测得楼顶端A的仰角为30°，底端B的俯角为10°，请你根据以上数据，求出楼AB的高度．（精确到0.1米）（参考数据：sin10°≈0.17，cos10°≈0.98，tan10°≈0.18，√2≈1.41，√3≈1.73）28.某市在地铁施工期间，交管部门在施工路段设立了矩形路况警示牌BCEF（如图所示），已知立杆AB的高度是3米，从侧面D点测到路况警示牌顶端C点和底端B点的仰角分别是60°和45°，求路况警示牌宽BC的值．答案解析部分一、单选题1.【答案】C【考点】锐角三角函数的定义【解析】【分析】本题可以利用锐角三角函数的定义求解．因为：tanθ=ABAC =ABa,所以AB=a·tanθ.故选C.2.【答案】B【考点】锐角三角函数的定义【解析】【分析】根据题意画出图形，由勾股定理求出BC的长，再由锐角三角函数的定义进行解答即可．【解答】如图所示：∵Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，AB=10，∴BC=√AB2−AC2=√102−82=6，∴sinA=BCAB =610=35．故答案为：B．3.【答案】C【考点】特殊角的三角函数值【解析】【解答】解：cos30°= √32．故答案为：C．【分析】根据特殊锐角的三角函数值即可得出答案。

九年级数学下册锐角三角函数期末复习学案苏科

第七章《锐角三角函数》班级姓名复习目标：1、归纳、总结本章知识，使知识成体系。

2、掌握锐角三角函数的知识，并能灵活运用。

复习重点、难点：灵活运用锐角三角函数的知识解决问题。

复习过程：知识点一：锐角三角函数的定义(1).在Rt△ABC中，∠C=90o,AB=c.BC=a.AC=b。

正弦: sinA＝∠A的对边斜边＝余弦: cosA＝∠A的邻边斜边＝正切: tanA＝∠A的对边∠A的邻边＝(2).特殊角的三角函数值：计算：(1)sin245°＋cos30°·tan60° (2)tan45°＋2sin45°－2cos60°知识点二：解直角三角形直角三角形的常用关系:(1)三边之间的关系：；(2)锐角之间的关系：；(3)边角之间的关系：。

如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝45°，AC＝23，求AB的长．如图，已知四边形ABCD中，∠ABC＝90°，∠ADC＝90°，AB＝6，CD＝4，BC的延长线与AD的延长线交于点E.(1)若∠A＝60°，求BC的长；(2)若sinA＝45，求AD的长．知识点三：解直角三角形的应用仰角、俯角、坡度、坡角和方向角:(1)仰、俯角：视线在水平线上方的角叫做仰角.视线在水平线下方的角叫做俯角．(2)坡度：坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度(或者叫做坡比)，用字母i表示．坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用α表示，则有i＝tanα.(3)方向角：平面上，通过观察点Ο作一条水平线(向右为东向)和一条铅垂线(向上为北向)，则从点O出发的视线与水平线或铅垂线所夹的角，叫做观测的方向角．如图，小王在长江边某瞭望台D处，测得江面上的渔船A的俯角为40°，若DE＝3 m，CE＝2 m，CE平行于江面AB，迎水坡BC的坡度i＝1∶0.75，坡长BC＝10 m，则此时AB的长约为(参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84) ( )A．5.1 m B.6.3 m C．7.1 m D.9.2 m如图，“中海海监50”正在南海海域A处巡逻，岛礁B上的中国海军发现点A 在点B的正西方向上，岛礁C上的中国海军发现点A在点C的南偏东30°方向上，已知点C在点B的北偏西60°方向上，且B，C两地相距150海里．(1)求出此时点A到岛礁C的距离；(2)若“中海海监50”从A处沿AC方向向岛礁C驶去，当到达点A′时，测得点B在A′的南偏东75°的方向上，求此时“中国海监50”的航行距离．(结果保留根号)课后作业：1．在Rt△ABC中，∠C ＝90°，AC ＝12，BC ＝5，则sinA的值为( )A.512B.125C.1213D.5132．关于x的一元二次方程x2－2x＋sinα＝0有两个相等的实数根，则锐角α等于( )A．15°B．30°C．45°D．60°3．如图，在△ABC中，cosB＝22，sinC＝35，AC＝5，则△ABC的面积是( )A.21/ 2 B．12 C．14 D．214．小明利用测角仪和旗杆的拉绳测量学校旗杆的高度．如图4，旗杆PA的高度与拉绳PB的长度相等．小明将PB拉到PB′的位置，测得∠PB′C＝α(B′C为水平线)，测角仪B′D的高度为1m，则旗杆PA的高度为( )A.11－sinαm B.11＋sinαm C.11－cosαm D.11＋cosαm5．如图，长4 m的楼梯AB的倾斜角∠ABD为60°，为了改善楼梯的安全性能，准备重新建造楼梯，使其倾斜角∠ACD为45°，则调整后的楼梯AC的长为( ) A．23m B．26m C．(23－2)m D．(26－6．如图，半径为3的⊙A 经过原点O 和点C(0，2)，B 是y 轴左侧⊙A 优弧上一点，则ta n ∠OBC 为( ) A.13 B ．2 2 C.24 D.223 7．在△ABC 中，如果∠A，∠B 满足|tanA －1|＋⎝ ⎛⎭⎪⎫cosB －122＝0，那么∠C＝___ _．8．如图，△ABC 内接于⊙O，AO ＝2，BC ＝23，则∠BAC 的度数为___ _．9．如图，6个形状、大小完全相同的菱形组成网格，菱形的顶点称为格点．已知菱形的一个角(∠O )为60°，A ，B ，C 都在格点上，则tan ∠ABC 的值是___ _．10．计算： 2cos45°·sin45°－2sin30°·tan45°＋6·tan60°.11．如图，AB 是⊙O 的直径，D ，E 为⊙O 上位于AB 异侧的两点，连结BD 并延长至点C ，使得CD ＝BD ，连结AC 交⊙O 于点F ，连结AE ，DE ，DF. (1)证明：∠E＝∠C；(2)若∠E＝55°，求∠BDF 的度数；(3)设DE 交AB 于点G ，若DF ＝4，cosB ＝23，E 是AB ︵的中点，求EG·12．在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即a sinA ＝b sinB ＝csinC，利用上述结论可以求解如下题目，如：在△ABC 中，若∠A ＝45°，∠B ＝30°，a ＝6，求b. 理解应用：如图，甲船以每小时30 2 海里的速度向正北方航行，当甲船位于A 1处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B 1处，且乙船从B 1处按北偏东15°方向匀速直线航行，当甲船航行20 min 后到达A 2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B 2处，此时两船相距10 2 海里．(1)判断△A 1A 2B 2的形状，并给出证明；(2)乙船每小时航行多少海里？中考数学模拟试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．下列选项中，可以用来证明命题“若a2＞b2，则a＞b“是假命题的反例是（）A．a＝﹣2，b＝1 B．a＝3，b＝﹣2 C．a＝0，b＝1 D．a＝2，b＝1【答案】A【解析】根据要证明一个结论不成立，可以通过举反例的方法来证明一个命题是假命题．由此即可解答.【详解】∵当a＝﹣2，b＝1时，（﹣2）2＞12，但是﹣2＜1，∴a＝﹣2，b＝1是假命题的反例．故选A．【点睛】本题考查了命题与定理，要说明数学命题的错误，只需举出一个反例即可，这是数学中常用的一种方法．2．如图，将一正方形纸片沿图（1）、（2）的虚线对折，得到图（3），然后沿图（3）中虚线的剪去一个角，展开得平面图形（4），则图（3）的虚线是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】本题关键是正确分析出所剪时的虚线与正方形纸片的边平行.【详解】要想得到平面图形(4)，需要注意(4)中内部的矩形与原来的正方形纸片的边平行，故剪时，虚线也与正方形纸片的边平行，所以D是正确答案，故本题正确答案为D选项. 【点睛】本题考查了平面图形在实际生活中的应用，有良好的空间想象能力过动手能力是解题关键.3．如图，⊙O 是等边△ABC 的外接圆，其半径为3，图中阴影部分的面积是（）A．πB．32πC．2πD．3π【答案】D【解析】根据等边三角形的性质得到∠A=60°，再利用圆周角定理得到∠BOC=120°，然后根据扇形的面积公式计算图中阴影部分的面积即可．【详解】∵△ABC 为等边三角形，∴∠A=60°，∴∠BOC=2∠A=120°，∴图中阴影部分的面积=2 1203360π⨯=3π．故选D．【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心、圆周角定理及扇形的面积公式，求得∠BOC=120°是解决问题的关键．4．如图，AB是⊙O的直径，点E为BC的中点，AB=4，∠BED=120°，则图中阴影部分的面积之和为（）A ．1B ．32C ．3D ．23【答案】C【解析】连接AE ，OD ，OE ．∵AB 是直径， ∴∠AEB=90°．又∵∠BED=120°，∴∠AED=30°．∴∠AOD=2∠AED=60°． ∵OA=OD ．∴△AOD 是等边三角形．∴∠A=60°．又∵点E 为BC 的中点，∠AED=90°，∴AB=AC ． ∴△ABC 是等边三角形，∴△EDC 是等边三角形，且边长是△ABC 边长的一半2，高是3．∴∠BOE=∠EOD=60°，∴BE 和弦BE 围成的部分的面积=DE 和弦DE 围成的部分的面积．∴阴影部分的面积=EDC 1S =23=32∆⋅⋅．故选C ． 5．如图，田亮同学用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，发现剩下树叶的周长比原树叶的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是（）A．垂线段最短B．经过一点有无数条直线C．两点之间，线段最短D．经过两点，有且仅有一条直线【答案】C【解析】用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，发现剩下树叶的周长比原树叶的周长要小，∴线段AB的长小于点A绕点C到B的长度，∴能正确解释这一现象的数学知识是两点之间，线段最短，故选C．【点睛】根据“用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，发现剩下树叶的周长比原树叶的周长要小”得到线段AB的长小于点A绕点C到B的长度，从而确定答案．本题考查了线段的性质，能够正确的理解题意是解答本题的关键，属于基础知识，比较简单．6．如图，△OAB∽△OCD，OA：OC＝3：2，∠A＝α，∠C＝β，△OAB与△OCD的面积分别是S1和S2，△OAB与△OCD的周长分别是C1和C2，则下列等式一定成立的是()A．32OBCD=B．32αβ=C．1232SS=D．1232CC=【答案】D【解析】A选项，在△OAB∽△OCD中，OB和CD不是对应边，因此它们的比值不一定等于相似比，所以A选项不一定成立；B选项，在△OAB∽△OCD中，∠A和∠C是对应角，因此αβ=，所以B选项不成立；C选项，因为相似三角形的面积比等于相似比的平方，所以C选项不成立；D 选项，因为相似三角形的周长比等于相似比，所以D 选项一定成立. 故选D.7．函数228y x x m =--+的图象上有两点()11,A x y ，()22,B x y ，若122x x <<-，则（） A ．12y y < B ．12y y >C ．12 y y =D ．1y 、2y 的大小不确定【答案】A【解析】根据x 1、x 1与对称轴的大小关系，判断y 1、y 1的大小关系．【详解】解：∵y=-1x 1-8x+m ，∴此函数的对称轴为：x=-b2a =-()-82-2⨯=-1，∵x 1＜x 1＜-1，两点都在对称轴左侧，a ＜0， ∴对称轴左侧y 随x 的增大而增大， ∴y 1＜y 1．故选A ．【点睛】此题主要考查了函数的对称轴求法和函数的单调性，利用二次函数的增减性解题时，利用对称轴得出是解题关键．8．如图，一把矩形直尺沿直线断开并错位，点E 、D 、B 、F 在同一条直线上，若∠ADE ＝125°，则∠DBC 的度数为（）A ．125°B ．75°C ．65°D ．55°【答案】D【解析】延长CB ，根据平行线的性质求得∠1的度数，则∠DBC 即可求得．【详解】延长CB ，延长CB ，∵AD ∥CB,∴∠1=∠ADE=145，∴∠DBC=180−∠1=180−125=55.故答案选：D.【点睛】本题考查的知识点是平行线的性质，解题的关键是熟练的掌握平行线的性质.9．二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图像如图所示，下列结论正确是( )A ．0abc >B ．20a b +<C ．30a c +<D ．230ax bx c ++-=有两个不相等的实数根【答案】C 【解析】观察图象：开口向下得到a ＜0；对称轴在y 轴的右侧得到a 、b 异号，则b ＞0；抛物线与y 轴的交点在x 轴的上方得到c ＞0，所以abc ＜0；由对称轴为x=2b a-=1，可得2a+b=0；当x=-1时图象在x 轴下方得到y=a-b+c ＜0，结合b=-2a 可得 3a+c ＜0；观察图象可知抛物线的顶点为（1，3），可得方程230ax bx c ++-=有两个相等的实数根，据此对各选项进行判断即可.【详解】观察图象：开口向下得到a ＜0；对称轴在y 轴的右侧得到a 、b 异号，则b ＞0；抛物线与y 轴的交点在x 轴的上方得到c ＞0，所以abc ＜0，故A 选项错误；∵对称轴x=2b a-=1，∴b=-2a ，即2a+b=0，故B 选项错误；当x=-1时， y=a-b+c ＜0，又∵b=-2a ，∴ 3a+c ＜0，故C 选项正确；∵抛物线的顶点为（1，3），∴230ax bx c ++-=的解为x 1=x 2=1，即方程有两个相等的实数根，故D 选项错误，故选C.【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax 2+bx+c（a≠0）的图象，当a ＞0，开口向上，函数有最小值，a ＜0，开口向下，函数有最大值；对称轴为直线x=2b a-，a 与b 同号，对称轴在y 轴的左侧，a 与b 异号，对称轴在y 轴的右侧；当c ＞0，抛物线与y 轴的交点在x 轴的上方；当△=b 2-4ac ＞0，抛物线与x 轴有两个交点．10．如图，菱形ABCD 中，E. F 分别是AB 、AC 的中点，若EF=3，则菱形ABCD 的周长是（）A ．12B ．16C ．20D ．24【答案】D 【解析】根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出AD ，再根据菱形的周长公式列式计算即可得解.【详解】E 、F 分别是AC 、DC 的中点，∴EF 是ADC 的中位线，∴2236AD EF ==⨯=，∴菱形ABCD的周长44624==⨯=．AD故选：D.【点睛】本题主要考查了菱形的四边形都相等，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，求出菱形的边长是解题的关键.二、填空题（本题包括8个小题）11．如图，长方体的底面边长分别为1cm 和3cm，高为6cm．如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B，那么所用细线最短需要_____cm．【答案】1【解析】要求所用细线的最短距离，需将长方体的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果．【详解】解：将长方体展开，连接A、B′，∵AA′=1+3+1+3=8（cm），A′B′=6cm，根据两点之间线段最短，AB′=22+=1cm．86故答案为1．考点：平面展开-最短路径问题．12．如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是12，腰AB的垂直平分线EF分别交AB，AC于点E、F，若点D为底边BC的中点，点M为线段EF上一动点，则△BDM 的周长的最小值为_____．【答案】2【解析】连接AD交EF与点M′，连结AM，由线段垂直平分线的性质可知AM＝MB，则BM+DM＝AM+DM，故此当A、M、D在一条直线上时，MB+DM有最小值，然后依据要三角形三线合一的性质可证明AD为△ABC底边上的高线，依据三角形的面积为12可求得AD的长．【详解】解：连接AD交EF与点M′，连结AM．∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，∴AD⊥BC，∴S△ABC＝12BC•AD＝12×4×AD＝12，解得AD＝1，∵EF是线段AB的垂直平分线，∴AM＝BM．∴BM+MD＝MD+AM．∴当点M位于点M′处时，MB+MD有最小值，最小值1．∴△BDM的周长的最小值为DB+AD＝2+1＝2．【点睛】本题考查三角形的周长最值问题，结合等腰三角形的性质、垂直平分线的性质以及中点的相关属性进行分析.13．有公共顶点A ，B 的正五边形和正六边形按如图所示位置摆放，连接AC 交正六边形于点D ，则∠ADE 的度数为（）A ．144°B ．84°C ．74°D ．54°【答案】B 【解析】正五边形的内角是∠ABC=()521805-⨯=108°，∵AB=BC ，∴∠CAB=36°，正六边形的内角是∠ABE=∠E=()621806-⨯=120°，∵∠ADE+∠E+∠ABE+∠CAB=360°，∴∠ADE=360°–120°–120°–36°=84°，故选B ．14．中国的《九章算术》是世界现代数学的两大源泉之一，其中有一问题：“今有牛五，羊二，值金十两.牛二，羊五，值金八两。

苏教科版初中数学九年级下册7锐角三角函数单元复习

；
cosB= tanA =
；； tanB =
；cotA =
A
；cotB =
。
6．图中角可以看作是点 A 的
也可看作是点 B 的
角；
角，
B
C
（1）
7． sin2 A cos2 A
，tan A•cotA =
； sin A
。
cos A
8．（1）坡度（或坡比）是坡面的
高度（ h ）和
长度（ l ）的比。记作 i ，即 i
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重点知识精选
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锐角三角函数单元复习
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一、知识点回顾
1．锐角∠A 的三角函数（按右图 Rt△ABC 填空） c
∠A 的正弦：sinA =
，
∠A 的余弦：cosA = 2．锐角三角函数值，都是
的长。
D 36 3 海里/小时
A
求 AB
B
C
37．如图，河对岸有铁塔 AB，在 C 处测顶 A 的仰角为 30°，向塔前进 14 米到达 D 处测得 A 的仰角为 45°，求铁塔 AB 的
C
得塔
A
D，在
高。
D
B
第 43 题图
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38．如图，已知两座高度相等的建筑物 AB、CD 的水平距离 BC＝60 米，在建筑物 CD 上有一铁塔 PD，在塔顶 P 处观察建筑物的底部 B 和
。
13．已知 Rt△ ABC 中，若 C 900 , cos A 5 , BC 24 ，则 AC _______ 。 13

苏科版九年级数学下册锐角三角函数复习

初中数学试卷金戈铁骑整理制作锐角三角函数复习一、：1. 在 Rt △ ABC 中，假如各度都大3 倍 , 那么角 A 的各个三角函数 ⋯⋯⋯ ()A ．都小1B ．都不C．都大 3 倍D ．没法确立3°的是⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（）A.1 B.2 C.32223. 已知 Rt △ ABC 中，∠ C=90°， tanA=4， BC=8， AC 等于⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（）3A ． 6B． 32C． 10D． 1234. 如所示，△ABC 的点是正方形网格的格点， sinA 的 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯（）A ．1B ．5 C ．10 D ．2 525105ACB第 4第 5第 65. 如，从气球C 得地面 A 、B 两点的俯角分 30 o 、 45 o, 假如此气球C 的高度 CD 100 米，点A 、 D 、B 在同一条直上， A 、 B 两点的距离是米 B.200 3米C.220 3米 D. 100( 3 1)米⋯⋯（）6. 如， Rt △ ABC , ∠ C =900, AB 6 ,cos B 2 ,BC 的 ⋯⋯⋯⋯⋯ ( )3B.2 5C.18 3D.12 313137．小明在学 “ 角三角函数”中，假如将将如所示的矩形片ABCD 沿点 B 的直折叠，使点 A 落在上的点 E ，原后，再沿点 E的直行折叠，使点A 落在上的点F ，BCBC就能够求出角的正切．角的正切是⋯⋯（）A ．3 1B． 2 1C． D． 58. 某刻海上点P 有一客，得灯塔 A 位于客 P 的北偏 30°方向，且相距20 海里 . 客以60 海里 / 小的速度沿北偏西 60 ° 方向航行 2小到达 B，那么 tanABP3⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（）A. 1C.5 D.2 5255DC FEA B(第7 )第 8第 99. 如，某水堤横断面迎水坡 AB 的坡比 ( 也叫坡度 ) 是 1∶ 3 ，堤高 BC 50 m ，迎水坡面AB 的度是⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（）A ． 100mB ． 1003 mC ． 150mD ． 503 m10. 如，在塔 AB 前得平川上一点C ，出看塔的仰角30°，从 C 点向塔底 B 走 100米抵达 D 点，出看塔的仰角45°，塔 AB 的高 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯（） A ．50 3米B．100 3米C． 100 米D． 100米3 1 31ACAC P BPDDB第 10第 14 题图①E第 14二、填空：第 1511.2 cosB=.在 Rt △ ABC 中，∠ ACB=90， sinB=712. 若 3 tan 2 1 ，= ,13. 在△ ABC 中，若 | tan A 1|( 3 cos B)2 0 ， ∠ C 的度数．214. 如 ①，在同样的小正方形成的网格中，点 A 、 B 、 C 、 D 都在些小正方形的点上， AB 、 CD 订交于点 P ， tan ∠ APD 的是．（友谊提示：将 CD 平移到 ② BE 的地点 )15.如，王英同学从 A 地沿北偏西 60o 方向走 100m 到 B 地，再从 B 地向正南方向走 200m 到 C 地，此王英同学离A 地 _________．16. 如，某公园进口原有三台，每台高18cm ，深 30cm ，B方便残疾人士，将台改斜坡，台的起点A ，斜30坡的开端点 C ，斜坡 BC 的坡度 i 1:5 ， AC的度是 cm ．18 CA三解答：第16题17. 算： (1) 4sin 60 (2) 1 ( 2009 2008)0(2)tan 2 60 4sin 30cos 45（ 3） cos245°+tan30 ·°sin60 °（ 4）1|1 2| 21sin 4518.已知：如图，在 Rt △ABC中，∠BAC =90 °，点D在BC边上，且△ABD是等边三角形。

九年级数学下册第七章锐角三角函数复习苏科版

锐角三角函数一、知识要点：锐角三角函数的定义，特殊角的三角函数值，锐角三角函数的应用。

二、例题选讲：1、一等腰三角形的两边长分别为4cm 和6cm ，则其底角的余弦值为________．2、如图所示，△ABC 中，∠ACB=90°，CD⊥AB 于点D ，若BD ：AD=1：4，则tan∠BCD 的值是3、如图所示，已知⊙O 的半径为5cm ，弦AB 的长为8cm ，P•是AB•延长线上一点，•BP=2cm ，则tan∠OPA 等于4、如图，在ABC 中，AD 是边BC 上的高，E 为边AC 的中点，BC =14，AD=12， SinB=45.求：（1）线段DC 的长；（2）t an ∠EDC 的值。

5、已知，如图△ABC 中，∠ C=90°，A D 平分∠BAC，CD= 3 ，BD=2 3 ，求平分线AD 的长，AB ，AC 的长，△ABC 的外接圆的面积，内切圆的面积。

6．如图，在电线杆上的C 处引拉线CE 、CF 固定电线杆，拉线CE 和地面成60°角，在离电线杆6米的B 处安置测角仪，在A 处测得电线杆上C 处的仰角为30°，已知测角仪高AB 为1.5米，求拉线CE 的长（结果保留根号）。

EDCBA开放式训练：1、在Rt△ABC 中，∠C＝90°，下列各式中一定正确的是（） (A)sinA ＝sinB (B)sinA ＝cosB (C)tanA ＝tanB (D) )cosA ＝cosB2、如图，菱形ABCD 中，点E 、F 在对角线BD 上，BE =DF =14BD ，若四边形AECF 为正方形，则tan∠ABE =_________． 3、在Rt△ABC 中，∠C=90°，cosB=23 ，则a:b:c= .4、若 3 tan 2α－4tan α＋ 3 ＝0，则α＝ 5、已知sina=1213 , a 为锐角，则cosa ＝，tana ＝，6、等腰三角形的腰长为2cm ，面积为1 cm 2，则顶角的度数为 7、已知正六边形的面积为3 3 cm 2，则它的外接圆半径为 8、在Rt△ABC 中，∠C＝900，∠A、∠B 的对边分别是a 、b ，且满足022=--b ab a ，则tanA 等于。

苏科版九年级数学下册期末复习《第七章锐角三角函数》单元试卷含解析

苏科版九年级数学下册期末复习《第七章锐角三角函数》单元试卷一、单选题（共10题；共30分）1.在Rt△ABC中，∠A=90°，AC=a，∠ACB=θ，那么下面各式正确的是（）A. ；B. ；C. ；D. .2.在Rt△ABC中，∠C=90º，AB=10，AC=8，则sinA的值是（）A. B. C. D.3.cos30°的值为( )A. B. C. D.4.三角形在方格纸中的位置如图所示，则tan的值是（）A. B. C. D.5.已知在Rt△中，∠C=90°，AC=2，BC=4，则下列结论正确的是( )A. sinA=B. tanA=C. cosA=D. sinB=6.在Rt△ABC中，已知∠C=90°，AC=3，BC=4，那么∠A的余弦值等于（）A. B. C. D.7.在Rt△ABC中，∠C=90°，cosA=，则tanB等于（）A. B. C. D.8.在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13，AC=12，则cosA=（）A. B. C. D.9.在△ABC中，若|sinA﹣|+（1﹣tanB）2=0，则∠C的度数是（）A. 45°B. 60°C. 75°D. 105°10.一个人从山下沿30°角的坡路登上山顶,共走了500m,那么这山的高度是（）m.A. 230B. 240C. 250D. 260二、填空题（共10题；共30分）11.计算：（π﹣3.14）0+2cos60°=________．12.在Rt△ABC中，∠C=90°，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，下列式子：①a=c•sinB，②a=c•cosB，③a=c•tanB，④a= ，必定成立的是________．13.如图所示，运载火箭从地面L处垂直向上发射，当火箭到达A点时，从位于地面R处的雷达测得AR的距离是40km，仰角是30°，n秒后，火箭到达B点，此时仰角是45°，则火箭在这n秒中上升的高度是________km．14.如图，某数学兴趣小组为了测量河对岸l1的两棵古树A、B之间的距离，他们在河这边沿着与AB平行的直线l2上取C、D两点，测得∠ACB=15°，∠ACD=45°，若l1、l2之间的距离为50m，则古树A、B之间的距离为________ m．15.计算：cot44°•cot45°•cot46°=________16.已知＜cosA＜sin70°，则锐角A的取值范围是________17.如图，在下列网格中，小正方形的边长均为1，点A、B、O都在格点上，则∠AOB的正弦值是________．18.在Rt△ABC中，∠C=90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C对边，如果2b=3a，则tanA=________．19.在△ABC中，∠C=90°，AB=8，sinA= ，则BC的长是________．20.某水库堤坝的横断面如图所示，迎水坡AB的坡度是1︰，堤坝高BC＝50m，则AB＝________m．三、解答题（共8题；共60分）21.计算．22.如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE是BC边上的中线，∠C=45°，sinB=，AD=4．（1）求BC的长；（2）求tan∠DAE的值．23.如图，为了求某条河的宽度，在它的对岸岸边任意取一点A，再在河的这边沿河边取两点B、C，使得∠ABC=45°，∠ACB=30°，量得BC的长为40m，求河的宽度（结果保留根号）．24.如图，在航线l的两侧分别有观测点A和B，点B到航线l的距离BD为4km，点A位于点B北偏西60°方向且与B相距20km处．现有一艘轮船从位于点A南偏东74°方向的C处，沿该航线自东向西航行至观测点A的正南方向E处．求这艘轮船的航行路程CE的长度．（结果精确到0.1km）（参考数据：≈1.73，sin74°≈0.96，cos74°≈0.28，tan74°≈3.49）25.如图，电线杆CD上的C处引拉线CE，CF固定电线杆，在离电线杆6米的B处安置测角仪（点B，E，D在同一直线上），在A处测得电线杆上C处的仰角为30°，已知测角仪的高AB=1.5米，BE=2.3米，求拉线CE的长，（精确到0.1米）参考数据≈1.41，≈1.73．26.如图,一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向,距离灯塔80海里的A处,它沿正南方向航行一段时间后,到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处,这时,海轮所在的B处距离灯塔P有多远?(结果用非特殊角的三角函数表示即可)27.如图所示，某小组同学为了测量对面楼AB的高度，分工合作，有的组员测得两楼间距离为40米，有的组员在教室窗户处测得楼顶端A的仰角为30°，底端B的俯角为10°，请你根据以上数据，求出楼AB的高度．（精确到0.1米）（参考数据：sin10°≈0.17，cos10°≈0.98，tan10°≈0.18，≈1.41，≈1.73）28.某市在地铁施工期间，交管部门在施工路段设立了矩形路况警示牌BCEF（如图所示），已知立杆AB的高度是3米，从侧面D点测到路况警示牌顶端C点和底端B点的仰角分别是60°和45°，求路况警示牌宽BC的值．答案解析部分一、单选题1.【答案】C【考点】锐角三角函数的定义【解析】【分析】本题可以利用锐角三角函数的定义求解．因为：,所以.故选C.2.【答案】B【考点】锐角三角函数的定义【解析】【分析】根据题意画出图形，由勾股定理求出BC的长，再由锐角三角函数的定义进行解答即可．【解答】如图所示：∵Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，AB=10，∴BC=，∴sinA=．故答案为：B．3.【答案】C【考点】特殊角的三角函数值【解析】【解答】解：cos30°= ．故答案为：C．【分析】根据特殊锐角的三角函数值即可得出答案。

苏科版九年级数学下册第七章《锐角三角函数》复习学案

第七章《锐角三角函数》复习学案【学习目标】1．理解锐角三角函数的定义，会用锐角三角函数值解决实际问题，能运用相关知识解直角三角形，会用解直角三角形的有关知识解决某些实际问题.2．运用数形结合、分类讨论思想和数学建模思想解决问题,提升思维品质，形成数学素养. 3．解直角三角形有关知识解决实际应用问题，提升分析问题、解决问题的能力．【重点难点】重点：从实际问题中提炼图形，将实际问题数学化，将抽象问题具体化．难点：运用解直角三角形的知识灵活、恰当地选择关系式解决实际问题．【新知准备】根据自己的理解构思出本章的知识架构【课堂探究】一、自主探究1.如右图，在Rt △ABC 中，∠C 为直角，则∠A 的锐角三角函数为(∠A 可换成∠B )：2.30°、45°、60°特殊角的三角函数值：30° 45° 60° sinA cosA tanA锐角三角函数值的性质，锐角三角函数的大小比较：在︒<<︒900A 时，随着角A 的增大，正切值和正弦值越来越大，而余弦值越来越小. 即：tan A 和A sin 是增函数，A cos 减函数。

3、解直角三角形方法：Rt △ABC （∠C =90°）的边、角之间有哪些关系： (1)边角之间关系：如果用α∠表示直角三角形的一个锐角，那上述式子就可以写成.(2)三边之间关系 (3)锐角之间关系∠A+∠B=90°．a2 +b2 =c2 (勾股定理) 以上三点正是解直角三角形的依据．4、相关概念：（1）仰角：（2）俯角：（3）坡角：（4）坡度：二、尝试应用考点一，锐角三角函数的定义1、在Rt△ABC中，∠C=90°，a=2，sin A= 13，求cos A和tan A的值.2.如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C都在格点上，则tan∠BAC的值为（）A．2 B．C．D．第2题第3题3. 如图所示的网格是正方形网格，则sin A的值为（）A ．B ．C ．D ．4. 如图正方形网格，tan ∠BAC=，tan ∠DAE= ，则∠BAC ﹣∠DAE ＝ °（点A ，B ，C ，D ，E 是网格线交点）．考点二特殊角的三角函数值的考查 5.已知sin A =32，且∠A 为锐角，则∠A 的度数为 6.（1）2000sin 30cos 45tan 60-•；（22002302(sin 451)2-1+-7.锐角A 满足tan(A -15)o3，求∠A 的度数。

苏科版九年级下册数学第7章锐角函数含答案

苏科版九年级下册数学第7章锐角函数含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、等腰三角形的一腰长为，底边长为，则其底角为（）A. B. C. D.2、如图，⊙A过点O（0，0），C（，0），D（0，1），点B是x轴下方⊙A上的一点，连接BO，BD，则∠OBD的度数是（）A.15°B.30°C.45°D.60°3、用科学记算器计算锐角α的三角函数值时，不能直接计算出来的三角函数值是（）A. cotαB. tanαC. cosαD. sinα4、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=6，cosB= ，则BC的长为（）A.4B.2C.D.5、如图，在平面直角坐标系中，直线OA过点（2，1），则tanα的值是（）A. B. C. D.26、如图，在四边形ABCD中，，，，AC与BD交于点E，，则的值是（）A. B. C. D.7、在Rt△ABC中，各边的长度都扩大2倍，那么锐角A的正切值（）A.都扩大2倍B.都扩大4倍C.没有变化D.都缩小一半8、在△ABC中，∠C=90°，cos A=，那么sin A的值等于（）A. B. C. D.9、如图，在平面直角坐标系中，圆P经过点A （0，）、O（0，0）、B （1，0），点C在第一象限内的AB上，则∠BCO的度数为（）A.60°B.45°C.30°D.15°10、如图，在正方形ABCD中，E，F分别为AD，CD的中点，BF与CE相交于点H，直线EN交CB的延长线于点N，作CM⊥EN于点M，交BF于点G，且CM=CD，有以下结论：①BF⊥CE；②ED=EM；③tan∠ENC= ；④S四边形DEHF =4S△CHF，其中正确结论的个数为（）A.1个B.2个C.3个D.4个11、如图，在菱形ABCD中，AB=6，∠DAB=60°，AE分别交BC、BD于点E、F，若CE=2，连接CF．以下结论：①∠BAF=∠BCF；②点E到AB的距离是2 ；③S△CDF ：S△BEF=9：4；④tan∠DCF= ．其中正确的有（）A.4个B.3个C.2个D.1个12、3tan30°的值等于（）A. B.3 C. D.13、如图，△ABC内接于半径为5的⊙O，圆心O到弦BC的距离等于3，则cosA等于（）A. B. C. D.14、如图，嘉淇一家驾车从A地出发，沿着北偏东60°的方向行驶，到达B地后沿着南偏东50°的方向行驶来到C地，且C地恰好位于A地正东方向上，则下列说法正确的是（）A.B地在C地的北偏西40°方向上B.A地在B地的南偏西30°方向上C.D.∠ACB＝50°15、如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(3，4)，那么sinα的值是( )A. B. C. D.二、填空题(共10题，共计30分)16、如图，△ABC是一张直角三角形纸片，∠C=90°，两直角边AC=6cm、BC=8cm，现将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为EF，则tan∠CAE=________．17、如图，Rt ABC中，∠C＝90°，AC＝10，BC＝16．动点P以每秒3个单位的速度从点A开始向点C移动，直线l从与AC重合的位置开始，以相同的速度沿CB方向平行移动，且分别与CB，AB边交于E，F两点，点P与直线l同时出发，设运动的时间为t秒，当点P移动到与点C重合时，点P和直线l同时停止运动．在移动过程中，将 PEF绕点E逆时针旋转，使得点P的对应点M落在直线l上，点F的对应点记为点N，连接BN，当BN∥PE时，t的值为________．18、如图，某兴趣小组用无人机进行航拍测高，无人机从1号楼和2号楼的地面正中间B点垂直起飞到高度为50米的A处，测得1号楼顶部E的俯角为60°，测得2号楼顶部F的俯角为45°．已知1号楼的高度为20米，则2号楼的高度为________米(结果保留根号)．19、如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠DAB=60°，对角线AC、BD交于点O，以点A为圆心，以AO为半径画弧，交边AD于点E，交边AB于点F.则图中阴影部分的面积是________(结果保留根号和).20、如图，在中，，，，点是的重心，连接并延长交于点，则________.21、在中，，，，则的值为________.22、如图，在⊙O中，过直径AB延长线上的点C作⊙O的一条切线，切点为D．若AC=7，AB=4，则sinC的值为________．23、已知在中，AB= AC＝5，BC＝6，则tanB的值为________．24、如图，在△ABC中，AB＝AC＝，∠B＝30°，D是BC上一点，连接AD，把△ABD沿直线AD折叠，点B落在B′处，连接B'C，若△AB'C是直角三角形，则BD的长为________.25、如图，在△ABC中，若∠A=45°，AC2-BC2= AB2，则tanC=________。

苏教版九年级数学第七章三角函数知识点梳理

学习必备精品知识点第七章：锐角三角函数知识点总结一、锐角三角函数的意义：（1）一个锐角的正弦、余弦、正切就叫做这个角的三角函数。

①锐角 A 的对边与邻边的比叫做∠ A 的正切，记作tanA。

（即直角三角形中两条直角边的比）②锐角 A 的对边与斜边的比叫做∠ A 的正弦，记作 sinA。

（即直角三角形中锐角 A 所对的直角边与斜边的比）③锐角 A 的邻边与斜边的比叫做∠ A 的余弦，记作 cosA。

（即直角三角形中锐角 A 相邻的直角边与斜边的比）（2）如图，在△ ABC中 ,∠c=900tanA A的对边A的邻边sinAA的对边斜边cosAA的邻边斜边0＜sin A ＜1，0＜cos A ＜ 1二、锐角三角函数之间的关系：（1）等角（锐角）的三角函数之间的关系：如果几个锐角相等，则其三角函数值对应相等；反之，如果几个锐角的三角函数值对应相等，则这几个锐角相等。

即锐角的三角函数值只与角的度数有关；若度数相等，则其三角函数值则对应相等。

（2）同一个锐角的三角函数之间的关系①sin2A+cos2 A=1（即同一个锐角的正弦值和余弦值的平方和为1。

）sinA②tanAcosA（即同一个锐角的正切值=这个角的正弦值与该角余弦值的商。

）（3）互余两锐角之间的三角函数之间的关系①若∠ A与∠ B互为余角，则sin A= cos（90 - A ） = cosB②若∠ A与∠ B互为余角，则tan A×tan （ 90 - A ）=1即tanA×tanB= 1即：若∠ A 与∠ B 互为余角，则①∠ A 的正弦值 =∠B 的余弦值；∠ A 的余弦值 =∠B 的正弦值。

②∠ A 的正切值与∠ B 的正切值互为倒数。

三、锐角三角函数值的变化规律（或增减性）①当角度在 0---90 之间变化时，正弦值（正切值）随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）。

②当角度在 0---90 之间变化时，余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）。

(完整word版)苏科版九年级数学下册第七章《锐角三角函数》教学案

课题7.1正切(1) 自主空间学习目标知识与技能:1.理解正切的概念, 能通过画图求出一个角的正切的近似值。

能运用正切解决与直角三角形有关的简单问题。

过程与方法:1.经历探索表示物体倾斜程度, 形成正切的概念的过程, 练就创造性解决问题的能力。

1.经历探索表示物体倾斜程度，形成正切的概念的过程，练就创造性解决问题的能力。

学习重点理解并掌握正切的含义, 会在直角三角形中求出某个锐角的正切值。

学习难点计算一个锐角的正切值的方法。

教学流程预习导航观察回答: 如图某体育馆, 为了方便不同需求的观众设计了多种形式的台阶。

下列图中的两个台阶哪个更陡？你是怎么判断的？图（1）图（2）[点拨]可将这两个台阶抽象地看成两个三角形答: 图的台阶更陡, 理由合作探究一、新知探究:1.思考与探索一:除了用台阶的倾斜角度大小外, 还可以如何描述台阶的倾斜程度呢？可通过测量BC与AC的长度,再算出它们的比, 来说明台阶的倾斜程度。

（思考: BC与AC长度的比与台阶的倾斜程度有何关系？）答: _________________. 讨论: 你还可以用其它什么方法？能说出你的理由吗？答: ________________________. 2.思考与探索二:（1）如图, 一般地, 如果锐角A的大小已确定,我们可以作出无数个相似的RtAB1C1, RtAB2C2, RtAB3C3……, 那么有: Rt△AB1C1∽_____∽____……根据相似三角形的性质,得: ＝_________＝_________＝……（2）由上可知：如果直角三角形的一个锐角的大小已确定, 那么这个锐角的对边与这个角的邻边的比值也_________。

3.正切的定义如图, 在Rt △ABC 中, ∠C ＝90°, a 、b 分别是∠A 的对边和邻边。

我们将∠A 的对边a 与邻边b 的比叫做∠A_______, 记作______。

即: tanA ＝________＝__________（你能写出∠B 的正切表达式吗？）试试看.4．思考: 当锐角α越来越大时, α的正切值有什么变化？二. 例题分析:例1：⑴某楼梯的踏板宽为30cm, 一个台阶的高度为15cm, 求楼梯倾斜角的正切值。

苏科版数学九年级下册第7章锐角三角函数章末重难点题型(举一反三)(解析版)

锐角三角函数章末重难点题型【举一反三】【苏科版】【考点1 锐角三角函数定义】【方法点拨】锐角角A 的正弦（sin ）,余弦（cos ）和正切（tan ）,都叫做角A 的锐角三角函数。

正弦（sin ）等于对边比斜边，余弦（cos ）等于邻边比斜边正切（tan ）等于对边比邻边；【例1】（2019秋•工业园区校级月考）在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，3AB BC =，则sin B 的值为( )A ．12BCD 【分析】设BC 为x ，根据题意用x 表示出AB ，根据勾股定理求出BC ，运用正弦的定义解答即可．【答案】解：设BC 为x ，则AB ＝3x ，由勾股定理得，AC ＝＝＝2x ，∴sin B ＝＝＝，故选：D ．【点睛】本题考查的是锐角三角函数的定义和勾股定理的应用，在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．【变式1-1】（2019•南海区模拟）在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，若斜边AB 是直角边BC 的3倍，则tan B 的值是( )A ．B ．3C ．4D ．13【分析】根据勾股定理求出AC ，根据正切的概念计算即可．【答案】解：设BC ＝x ，则AB ＝3x ，由勾股定理得，AC ＝＝2x ，则tan B ＝＝2，故选：A ．【点睛】本题考查的是锐角三角函数的定义以及勾股定理的应用，在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．【变式1-2】（2019春•江岸区校级月考）如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，CD AB ⊥于点D ，下列各组线段的比不能表示sin BCD ∠的( )A ．BD BCB ．BC AC C ．CD BC D ．CD AC【分析】根据三角形内角和定理求出∠BCD ＝∠A ，再解直角三角形得出即可．【答案】解：∵CD ⊥AB ，∴∠CDA ＝∠CDB ＝90°，∵∠ACB ＝90°，∴∠BCD +∠ACD ＝90°，∠A +∠ACD ＝90°，∴∠BCD ＝∠A ，∴sin ∠BCD ＝sin A ＝＝＝，即只有选项C 错误，选项A 、B 、D 都正确，故选：C ．【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，能熟记锐角三角函数的定义的内容是解此题的关键，注意：在Rt △ACB 中，∠C ＝90°，则sin A ＝，cos A ＝，tan A ＝，cot A ＝．【变式1-3】（2018秋•禅城区期末）如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，CD 是斜边AB 上的高，下列线段的比值等于cos A 的值的有( )个（1）AD AC （2）AC AB （3）BD BC （4）CD BC．A ．1B ．2C ．3D ．4【分析】根据锐角三角函数关系的定义分析得出答案．【答案】解：∵在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD 是斜边AB 上的高，∴∠A +∠ACD ＝90°，∠ACD +∠BCD ＝90°，∴∠A ＝∠BCD ，∴cos A ＝＝＝，故（1），（2），（4）正确．故选：C ．【点睛】此题主要考查了锐角三角函数关系，正确把握锐角三角函数定义是解题关键．【考点2 网格中的锐角三角函数值】【方法点拨】解决此类问题的关键在于构造直角三角形，利用勾股定理求解各边的长度，有时还会运用面积法来求解关键边的长度.【例2】（2018秋•慈溪市期末）如图，A ，B ，C 是正方形网格中的格点（小正方形的顶点），则sin ACB ∠的值为( )A B C ．12 D 【分析】由勾股定理可求AC ，BC 的长，由三角形的面积公式可求BD 的长，即可求sin ∠ACB 的值．【答案】解：设小正方形的边长为1，过点B 作BD ⊥AC 于D ，过点B 作BF ⊥AE 于点F ，∵S △ABC ＝2×7﹣＝5 由勾股定理可知：AC ＝＝5， ∵AC •BD ＝5，∴BD ＝，由勾股定理可知：BC ＝＝， ∴sin ∠ACB ＝＝＝故选：A ．【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，熟练运用面积法求BD 的长是本题的关键．【变式2-1】（2019秋•柯桥区期末）由小正方形组成的网格如图，A ，B ，C 三点都在格点上，则ABC 的正切值为( )A B C ．12 D 【分析】作CD ⊥AB 于点D ，利用勾股定理计算出CD 和BD ，然后再求CD ：BD 可得答案．【答案】解：如图，作CD ⊥AB 于点D ，则CD ＝，BD ＝＝2，故tan ∠ABC ＝＝＝，故选：C ．【点睛】本题考查的是勾股定理及解直角三角形，解题的关键是明确题意，构造直角三角形，利用锐角三角函数解答问题．【变式2-2】（2019秋•泉州期末）如图，在网格图中，小正方形的边长均为1，点A 、B 、C 都在格点上，则BAC ∠ 的正切值是( )A ．12BCD ．2【分析】如图，根据勾股定理可求BD ，AD ，再根据正切的定义可求∠BAC 的正切值．【答案】解：如图，在Rt △ADB 中，AD ＝＝，BD ＝＝2，则∠BAC 的正切值是＝2．故选：D ．【点睛】此题考查了锐角三角函数的定义，勾股定理，关键是根据勾股定理求得BD ，AD ．【变式2-3】（2019•滕州市校级模拟）如图，在22⨯正方形网格中，以格点为顶点的ABC ∆的面积等于32，则sin (CAB ∠= )A B ．35 C D ．310【分析】根据勾股定理，可得AC 、AB 、BC 的长，根据三角形的面积公式，可得CD 的长，根据正弦函数的定义，可得答案．【答案】解：如图：作CD ⊥AB 于D ，AE ⊥BC 于E，由勾股定理，得AB ＝AC ＝，BC ＝．由等腰三角形的性质，得BE ＝BC ＝．由勾股定理，得AE ＝＝，由三角形的面积，得AB •CD ＝BC •AE ．即CD ＝＝．sin ∠CAB ＝＝＝，故选：B ．【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，利用了勾股定理，利用三角形的面积公式得出CD 的长是解题关键．【考点3 锐角三角函数的增减性】【方法点拨】当角度在0°～90°间变化时，正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）【例3】（2019秋•余姚市期末）已知045α<<︒，关于角α的三角函数的命题有：①0sin α<<①cos sin αα<，①sin 22sin αα=，①0tan 1α<<，其中是真命题的个数是( )A ． 1 个B ． 2 个C ． 3 个D ． 4 个【分析】根据锐角函数的正弦是增函数，余弦是减函数，正切是增函数，可得答案．【答案】解：由0＜α＜45°，得0＜sin α＜，故①正确；cos α＞sin α，故②错误；sin2α＝2sin αcos α＜2sin α，故③错误；0＜tan α＜1，故④正确；故选：B ．【点睛】本题考查了锐角函数的增减性，熟记锐角函数的正弦是增函数，余弦是减函数，正切是增函数是解题关键．【变式3-1】（2019秋•嵊州市期末）下列不等式不成立的是( )A ．sin20sin40sin70︒<︒<︒B ．cos20cos40cos70︒<︒<︒C ．tan20tan40tan70︒<︒<︒D ．sin30cos45tan60︒<︒<︒【分析】根据锐角正弦函数随角的增大而增大，余弦随角的增大而减小，正切随角的增大而增大，可得答案．【答案】解：A 、随角的增大而增大，故A 不符合题意；B 、余弦随角的增大而减小，故B 符合题意；C 、正切随角的增大而增大，故D 不符合题意；D 、sin30°＜cos45°＜tan60°，故D 不符合题意；故选：B ．【点睛】本题考查了锐角三角函数的增减性，锐角正弦函数随角的增大而增大，余弦随角的增大而减小，正切随角的增大而增大．【变式3-2】（2019秋•雁塔区校级月考）比较tan46︒，cos29︒，sin59︒的大小关系是( )A ．tan46cos29sin59︒<︒<︒B ．tan46sin59cos29︒<︒<︒C ．sin59tan46cos29︒<︒<︒D ．sin59cos29tan46︒<︒<︒【分析】根据三角函数的增减性，以及互余的两个角之间的关系即可作出判断．【答案】解：∵cos29°＝sin61°＞sin59°∴cos29°＞sin59°又∵tan46°＞tan45°＞1，cos29°＜1∴sin59°＜cos29°＜tan46°故选：D．【点睛】本题主要考查了三角函数的增减性熟记锐角三角函数的增减性是解题的关键．【变式3-3】（2019•江东区一模）如图，ABC∆是锐角三角形，4sin5C=，则sin A的取值范围是()A．30sin5A<<B．4sin15A<<C．34sin55A<<D．3sin15A<<【分析】作AH⊥BC于H，如图，根据正弦定义得到sin C＝＝，则可设AH＝4x，AC＝5x，利用勾股定理得到CH＝3x，所以sin∠HAC＝＝，由于∠HAC＜∠BAC＜90°，然后根据正弦函数为增函数即可得到sin∠BAC的范围．【答案】解：作AH⊥BC于H，如图，在Rt△ACH中，sin C＝＝，设AH＝4x，AC＝5x，所以CH＝＝3x，所以sin∠HAC＝＝，∵∠HAC＜∠BAC＜90°，∴＜sin∠BAC＜1．故选：D．【点睛】本题考查了锐角三角函数的增减性：锐角三角函数值都是正值；当角度在0°～90°间变化时，正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）；当角度在0°≤∠A ≤90°间变化时，0≤sin A ≤1，1≥cos A ≥0．【考点4 互余两角三角函数的关系】【方法点拨】互余角的三角函数间的关系：sin(90°-α)=cosα, cos(90°-α)=sinα,【例4】（2019秋•常州期末）如图，在Rt ABC ∆中，90A ∠=︒，AD BC ⊥，垂足为D ．给出下列四个结论：①sin sin B α=；①sin sin C β=；①sin cos B C =；①sin cos αβ=．其中正确的结论有．【分析】本题主要考查锐角三角函数的定义，根据∠A ＝90°，AD ⊥BC ，可得∠α＝∠B ，∠β＝∠C ，再利用锐角三角函数的定义可列式进行逐项判断．【答案】解：∵∠A ＝90°，AD ⊥BC ，∴∠α+∠β＝90°，∠B +∠β＝90°，∠B +∠C ＝90°，∴∠α＝∠B ，∠β＝∠C ，∴sin α＝sin B ，故①正确；sin β＝sin C ，故②正确；∵在Rt △ABC 中sin B ＝，cos C ＝，∴sin B ＝cos C ，故③正确；∵sin α＝sin B ，cos ∠β＝cos C ，∴sin α＝cos ∠β，故④正确；故答案为①②③④．【点睛】本题主要考查锐角的三角函数，解题的关键是熟练掌握互余两角的三角函数间的关系．【变式4-1】（2019秋•工业园区校级月考）在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，1cos 3A =，则sin B = ．【分析】根据互余两角的三角函数的关系就可以求解．【答案】解：∵在△ABC 中，∠C ＝90°，∴∠A +∠B ＝90°，∴sin B ＝cos A ＝．故答案为：．【点睛】本题考查互为余角的两角的三角函数的关系，一个角的余弦等于它余角的正弦．【变式4-2】（2019春•南关区校级期末）已知锐角α，且sin cos35α=︒，则α= 度．【分析】对于任意锐角A ，有sin A ＝cos （90°﹣A ），可得结论．【答案】解：∵sin α＝cos35°，∴α＝90°﹣35°＝55°，故答案为：55．【点睛】此题考查互余两角的三角函数，关键是根据互余两角的三角函数的关系解答．【变式4-3】（2019•荔湾区校级模拟）在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，a ，b 分别是A ∠、B ∠的对边，如果sin :sin 2:3A B =，那么:a b 等于．【分析】根据正弦的定义得到sin A ＝，sin B ＝，再由sin A ：sin B ＝2：3得到：＝2：3，然后利用比例性质化简即可．【答案】解：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ，b 分别是∠A 、∠B 的对边，c 为∠C 对的边， ∴sin A ＝，sin B ＝，∵sin A ：sin B ＝2：3，∴：＝2：3，∴a ：b ＝2：3．故答案为2：3．【点睛】本题考查了互余两角三角函数的关系：在直角三角形中，∠A +∠B ＝90°时，正余弦之间的关系为：①一个角的正弦值等于这个角的余角的余弦值，即sin A ＝（90°﹣∠A ）；②一个角的余弦值等于这个角的余角的正弦值，即cos A ＝sin （90°﹣∠A ）．也考查了锐角三角函数的定义．【考点5 特殊角三角函数值的计算】【方法点拨】解决此类问题关键在于熟记特殊角三角函数值.【例5】（2018秋•北仑区期末）计算：2sin60cos45sin30tan60︒+︒-︒︒．【分析】首先代入特殊角的三角函数值，再计算乘方，后算乘除，最后算加减即可．【答案】解：原式＝+﹣×，＝+﹣，＝．【点睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值，关键是掌握30°、45°、60°角的各种三角函数值．【变式5-1】（2018秋•兴化市期末）计算：（1）222sin30sin60sin45cos30︒+︒-︒+︒；（2）tan30tan45 tan60tan45︒+︒︒︒．【分析】（1）直接利用特殊角的三角函数值代入求出答案；（2）直接利用特殊角的三角函数值代入求出答案．【答案】解：（1）原式＝（）2+﹣（）2+（）2＝+﹣+＝+；（2）原式＝＝．【点睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．【变式5-2】（2019春•市中区校级月考）2cos30tan30cos60︒+︒︒【分析】把特殊角的三角函数值代入原式，根据二次根式的加减运算法则计算．【答案】解：原式＝2×+×﹣+1＝+1．【点睛】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．【变式5-3】（2019秋•烟台期末）计算：sin45cos30sin30(cos45sin60) 32cos60︒+︒-︒︒-︒-︒【分析】依据30°、45°、60°角的各种三角函数值，即可得到计算结果．【答案】解：原式＝﹣（﹣）＝﹣＝＝【点睛】本题主要考查了特殊角的三角函数值，其应用广泛，一是它可以当作数进行运算，二是具有三角函数的特点，在解直角三角形中应用较多．【考点6 解直角三角形】【方法点拨】解直角三角形（Rt①ABC,①C＝90°）（1）三边之间的关系：a2+b2=c2．（2）两锐角之间的关系：①A＋①B＝90°．（3）边角之间的关系（4）解直角三角形中常见类型：①已知一边一锐角．①已知两边．【例6】（2018春•临洮县期中）如图，在ABD∆中，AC BD⊥于点C，3 2BC CD =，点E是AB的中点，tan2D=，1CE=，求sin ECB∠的值和AD的长．【分析】利用已知表示出BC，CD的长，再利用勾股定理表示出AB的长，进而求出sin∠ECB的值和AD的长．【答案】解：∵AC⊥BD，∴∠ACB＝∠ACD＝90°．∵点E是AB的中点，CE＝1，∴BE＝CE＝1，AB＝2CE＝2，∴∠B＝∠ECB．∵＝，∴设BC ＝3x ，CD ＝2x ．在Rt △ACD 中，tan D ＝2，∴＝2，∴AC ＝4x ．在Rt △ACB 中，由勾股定理得AB ＝＝5x ，∴sin ∠ECB ＝sin B ＝＝．由AB ＝2，得x ＝， ∴AD ＝＝＝2x ＝2×＝．【点睛】此题主要考查了解直角三角形，正确表示出AB 的长以及锐角三角三角函数关系是解题关键．【变式6-1】（2018秋•抚宁区期末）如图，在ABC ∆中，AD 是BC 边上的高，AE 是BC 边上的中线，45C ∠=︒，1sin 3B =，1AD =．（1）求BC 的长；（2）求tan DAE ∠的值．【分析】（1）先由三角形的高的定义得出∠ADB ＝∠ADC ＝90°，再解Rt △ADC ，得出DC ＝1；解Rt △ADB ，得出AB ＝3，根据勾股定理求出BD ＝2，然后根据BC ＝BD +DC 即可求解；（2）先由三角形的中线的定义求出CE 的值，则DE ＝CE ﹣CD ，然后在Rt △ADE 中根据正切函数的定义即可求解．【答案】解：（1）在△ABC 中，∵AD 是BC 边上的高，∴∠ADB ＝∠ADC ＝90°．在△ADC 中，∵∠ADC ＝90°，∠C ＝45°，AD ＝1，∴DC ＝AD ＝1．在△ADB 中，∵∠ADB ＝90°，sin B ＝，AD ＝1，∴AB ＝＝3， ∴BD ＝＝2，∴BC ＝BD +DC ＝2+1；（2）∵AE 是BC 边上的中线，∴CE ＝BC ＝+，∴DE ＝CE ﹣CD ＝+﹣1＝﹣， ∴tan ∠DAE ＝＝＝﹣．【点睛】本题考查了解直角三角形，三角形的高、中线的定义，勾股定理，难度中等，分别解Rt △ADC 与Rt △ADB ，得出DC ＝1，AB ＝3是解题的关键．【变式6-2】（2019•临河区一模）如图，在等腰Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，6AC =，D 是AC 上一点，若1tan 5DBA ∠=．（1）求AD 的长；（2）求sin DBC ∠的值．【分析】（1）过点D 作DH ⊥AB 于点H ，根据等腰直角三角形的性质，勾股定理以及锐角三角形函数的定义即可求出答案．（2）由（1）可求出CD ＝4，根据勾股定理可求出BD 的长度，然后根据锐角三角函数的定义即可求出答案．【答案】解：（1）过点D 作DH ⊥AB 于点H ，∵等腰三角形ABC ，∠C ＝90°∴∠A ＝45°，∴AH ＝DH ，设AH＝x，∴DH＝x，∵tan∠DBA＝，∴BH＝5x，∴AB＝6x，∵AC＝6，∴由勾股定理可知：AB＝6，∴x＝，∴AH＝DH＝，∴由勾股定理可知：AD＝2；（2）由于AD＝2∴DC＝4，∴由勾股定理可知：DB＝2，∴，【点睛】本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练运用锐角三角函数以及解直角三角形，本题属于中等题型．【变式6-3】（2018秋•岳麓区校级期中）如图，已知Rt ABC∠=︒，CD是斜边AB上的中线，∆中，90ACB过点A作AE CD=．⊥，AE分别与CD、CB相交于点H、E，2AH CH（1）求sin CAH∠的值；（2）如果CD=，求BE的值．【分析】（1）由勾股定理得出AC＝＝CH，由锐角三角函数定义即可得出答案；（2）根据sin B的值，可得出AC：AB＝1：，由AB＝2，得AC＝2，设CE＝x（x＞0），则AE＝x，由勾股定理得出方程，求出CE＝1，从而得出BE．【答案】解：（1）∵AE⊥CD，∴∠AHC＝90°，∵AH＝2CH，∴由勾股定理得：AC＝＝CH，∴sin∠CAH＝＝＝；（2）∵∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，∴AB＝2CD＝2，∴∠B＝∠BCD，∵AE⊥CD，∴∠CAH+∠ACH＝90°，又∵∠ACB＝90°，∴∠BCD+∠ACH＝90°，∴∠B＝∠BCD＝∠CAH，∵sin B＝＝sin∠CAH＝＝，∴AC：AB＝1：，∴AC＝2．设CE＝x（x＞0），则AE＝x，在Rt△ACE中，由勾股定理得：x2+22＝（x）2，解得：x＝1，∴CE＝1，在Rt△ABC中，由勾股定理得：BC＝＝＝4，∴BE＝BC﹣CE＝3．【点睛】本题考查了解直角三角形，以及直角三角形斜边上的中线性质等知识，熟练掌握锐角三角函数定义和直角三角形斜边上的中线性质是解题的关键．【考点7 作垂线解斜三角形】【方法点拨】解决此类问题关键在于作垂线将斜三角形分割成两个直角三角形，进而通过解直角三角形进行求解.【例7】（2019春•南关区校级期末）如图，在ABC ∆中，30A ∠=︒，3tan 4B =，AC =AB 的长．【分析】过点C 作CD ⊥AB 于点D ，根据∠A ＝30°，tan B ＝，AC ＝6可求出AD 与BD 的长度．【答案】解：如图，过点C 作CD ⊥AB 于点D ．∵在Rt △CDA 中，∠A ＝30°，∴CD ＝AC •sin30°＝3，AD ＝AC ×cos30°＝9，在Rt △CDB 中，∵tan B ＝∴＝∴BD ＝4，∴AB ＝AD +DB ＝9+4．【点睛】本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义，本题属于中等题型．【变式7-1】（2019春•香坊区校级月考）如图，在ABC ∆中，2AB =，4AC =，120A ∠=︒，求BC 的长．【分析】根据题意，作出合适的辅助线，然后利用勾股定理即可求得BC的长，本题得以解决．【答案】解：作CD⊥AB，交BA的延长线于点D，则∠CDA＝90°，∵∠CAB＝120°，∴∠CAD＝60°，∴∠ACD＝30°，∵AC＝4，∴AD＝2，CD＝2，∵∠CDB＝90°，AB＝2，∴DB＝DA+AB＝4，∴BC＝＝2．【点睛】本题考查解直角三角形、勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．【变式7-2】（2018秋•潜山县期末）已知．在ABC∆中，BC=，135BCA∠=︒，求tan A的值．【分析】过B点作BD⊥AC交AC的延长线于D点，根据等腰直角三角形的性质得到BD＝CD＝BC，根据正切的定义计算即可．【答案】解：过B点作BD⊥AC交AC的延长线于D点，则∠BCD＝45，∴BD＝CD＝BC，设AC＝k，则BD＝CD＝k，AD＝2k，tan A＝＝．【点睛】本题考查的是解直角三角形，掌握等腰直角三角形的性质、正切的定义是解题的关键．【变式7-3】（2019•渠县一模）如图，在ABCBC=，求sin A和AB．∆中，45∠=︒，AC=10B【分析】作CD⊥AB于D，如图，利用等腰直角三角形的性质得BD＝CD＝BC＝5，再利用勾股定理计算出AD，然后利用正弦定义求sin A，利用AD+BD计算AB的长．【答案】解：作CD⊥AB于D，如图，∵∠B＝45°，∴BD＝CD＝BC＝5，在Rt△ACD中，AD＝＝＝12，∴sin A＝＝＝，AB＝BD+AD＝5+12＝17．【点睛】本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．灵活利用运用勾股定理和锐角三角函数．根据Rt△BCD是解决此题的关键．【考点8 解直角三角形的应用之坡度坡角问题】【方法点拨】坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母α表示.坡度(坡比)：坡面的铅直高度h和水平距离l 的比叫做坡度，用字母i 表示，则αtan i ==l h ，如图，坡度通常写成i=h ：l 的形式.【例8】（2019春•西湖区校级月考）如图，扶梯AB 坡比为1:2，滑梯CD 坡比为1:3．若40AE m =，30BC m =，某人从扶梯上去，经过顶部BC ，再沿滑梯滑下，共经过多少路径？（结果精确到0.1)(2 1.41m ≈，3 1.73≈，5 2.24)≈【分析】首先在直角△ABE 中根据AE ＝40m 和坡比求得AB 和BE ，然后得出CF 的长，最后在直角△CFD 中求得CD 的长即可，继而求出经过的路径＝AB +BC +CD 的长度即可．【答案】解：∵扶梯AB 的坡比为1：2，即BE ：AE ＝1：2，AE ＝40m ，∴BE ＝20m ，∴AB ＝＝＝20（m ）， ∵CF ＝BE ＝20米，CF ：DF ＝1：， ∴FD ＝CF ＝20（m ）， ∴CD ＝＝＝40（m ），∴经过的路径＝AB +BC +CD ＝20+30+40＝70+20≈114.8（m ）．答：共经过路径长114.8m ．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是熟知坡度的定义，利用坡度的知识求出三角形的边长．【变式8-1】（2019•岳麓区校级二模）今年“五一”假期，某教学活动小组组织一次登山活动，他们从山脚下A点出发沿斜坡AB 到达B 点，再从B 点沿斜坡BC 到达山顶C 点，路线如图所示，斜坡AB 的长为米，斜坡BC 的长为米，坡度是1:1，已知A 点海拔121米，C 点海拔721米（1）求B 点的海拔；（2）求斜坡AB的坡度；（3）为了方便上下山，若在A到C之间架设一条钢缆，求钢缆AC的长度．【分析】（1）根据题意和图形，可以求得点B的海波，本题得以解决；（2）根据题目中的数据可以求得AF和BF的长度，从而可以求得斜坡AB的坡度；（3）根据题目中的数据可以求得AD和CD的长度，然后根据勾股定理即可求得AC的长度．【答案】解：（1）作CD⊥AM于点D，作BE⊥CD于点E，作BF⊥AM于点F，连接AC，∵斜坡BC的长为200米，坡度是1：1，∴BE＝CE＝200米，∵A点海拔121米，C点海拔721米，∴CD＝600米，∴BF＝400米，∵121+400＝521（米），∴点B的海拔是521米；（2）∵斜坡AB的长为200米，BF＝400米，∴AF＝＝600米，∴BF：AF＝400：600＝2：3，即斜坡AB的坡度是2：3；（3）∵CD＝600米，AD＝AF+FD＝AF+BE＝600+200＝800（米），∴AC＝＝1000米，即钢缆AC的长度是1000米．【点睛】本题考查解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．【变式8-2】（2019•花都区一模）如图，水坝的横断面是梯形ABCD，背水坡AB的坡角60∠=︒，坡长BAD =，为加强水坝强度，将坝底从A处向后水平延伸到E处，使新的背水坡的坡度为1:2，求AE的20AB m长度（结果精确到1 1.414≈≈ 1.732)【分析】作BH⊥AD于H，根据正弦的定义求出BH，AH，根据正切的定义求出EH，结合图形计算，得到答案．【答案】解：作BH⊥AD于H，在Rt△ABH中，sin∠BAH＝，则BH＝AB•sin∠BAH＝20×＝10，AH＝AB＝10，在Rt△EBH中，BE的坡度为1：2，BH＝10，∴EH＝20，∴AE＝EH﹣AH＝20﹣10≈25（米），答：AE的长度约为25米．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，掌握坡度坡角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．【变式8-3】（2019•无锡一模）某小区开展了“行车安全，方便居民”的活动，对地下车库作了改进．如图，这小区原地下车库的入口处有斜坡AC长为13米，它的坡度为1:2.4⊥，为了居民行车安全，i=，AB BC 现将斜坡的坡角改为13︒，即13ADC∠=︒（此时点B、C、D在同一直线上）．（1）求这个车库的高度AB；（2）求斜坡改进后的起点D与原起点C的距离（结果精确到0.1米）．（参考数据：sin130.225︒≈︒≈，cot13 4.331)︒≈，cos130.974︒≈，tan130.231【分析】（1）根据坡度的概念，设AB＝5x，则BC＝12x，根据勾股定理列出方程，解方程即可；（2）根据余切的定义列出算式，求出DC．【答案】解：（1）由题意，得：∠ABC＝90°，i＝1：2.4，在Rt△ABC中，i＝＝，设AB＝5x，则BC＝12x，∴AB2+BC2＝AC2，∴AC＝13x，∵AC＝13，∴x＝1，∴AB＝5，答：这个车库的高度AB为5米；（2）由（1）得：BC＝12，在Rt△ABD中，cot∠ADC＝，∵∠ADC＝13°，AB＝5，∴DB＝5cot13°≈21.655（m），∴DC＝DB﹣BC＝21.655﹣12＝9.655≈9.7（米），答：斜坡改进后的起点D与原起点C的距离为9.7米．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，掌握坡度的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．【考点9 解直角三角形的应用之仰角俯角问题】【方法点拨】仰角、俯角：视线与水平线所成的角中，视线中水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角，如图.【例9】（2019秋•靖江市校级月考）如图，某大楼的顶部竖有一块广告牌CD ，小明与同学们在山坡的坡脚A 处测得广告牌底部D 的仰角为53︒，沿坡面AB 向上走到B 处测得广告牌顶部C 的仰角为45︒，已知山坡AB 的坡度，10AB =米，21AE =米，求广告牌CD 的高度．（测角器的高度忽略不计，参考数据：4tan533︒≈，cos530.60)︒≈【分析】过B 作DE 的垂线，设垂足为G ，BH ⊥AE ．在△ADE 解直角三角形求出DE 的长，进而可求出EH 即BG 的长，在Rt △CBG 中，∠CBG ＝45°，则CG ＝BG ，由此可求出CG 的长然后根据CD ＝CG +GE ﹣DE 即可求出宣传牌的高度．【答案】解：过B 作BG ⊥DE 于G ，BH ⊥AE ，Rt △ABF 中，i ＝tan ∠BAH ＝＝， ∴∠BAH ＝30°，∴BH ＝AB ＝5米； ∴AH ＝5米，∴BG ＝AH +AE ＝（5+21）米， Rt △BGC 中，∠CBG ＝45°，∴CG ＝BG ＝（5+21）米．Rt △ADE 中，∠DAE ＝53°，AE ＝21米，∴DE ＝AE ＝28米．∴CD ＝CG +GE ﹣DE ＝26+5﹣28＝（5﹣2）m ．答：宣传牌CD 高为（5﹣2）米．【点睛】此题综合考查了仰角、坡度的定义，能够正确地构建出直角三角形，将实际问题化归为解直角三角形的问题是解答此类题的关键．【变式9-1】（2018秋•宣城期末）已知如图，斜坡AP的坡度为1:2.4，斜坡AP的水平长度为24米在坡顶A 处的同一水平面上有一座古塔BC在斜坡底P处测得该塔的塔顶B的仰角为45︒，在坡顶A处测得该塔的塔顶B的仰角为60︒．求：（1）坡顶A到地面PQ的距离；（2）古塔BC的高度（结果保留根号）．【分析】（1）作AD⊥PQ于D，延长BC交PQ于E，根据坡度的概念求出AD，得到答案；（2）设BC＝x米，根据正切的定义用x表示出AC，根据等腰直角三角形的性质列式计算即可．【答案】解：（1）作AD⊥PQ于D，延长BC交PQ于E，则四边形ADEC为矩形，∴AD＝CE，∵斜坡AP的坡度为1：2.4，斜坡AP的水平长度为24米，∴AD＝10，即坡顶A到地面PQ的距离为10米；（2）设BC＝x米，在Rt△ABC中，tan∠BAC＝，即＝，解得，AC＝x，在Rt△BPE中，∠BPE＝45°，∴PE＝BE，即24+x＝x+10，解得，x＝21+7，答：古塔BC的高度为（21+7）米．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题、坡度坡角问题，掌握仰角俯角的概念、坡度坡角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．【变式9-2】（2019•邓州市二模）如图（1），在豫西南邓州市大十字街西南方，耸立着一座古老建筑-福胜寺梵塔，建于北宋天圣十年（公元1032年），当地民谚云：“邓州有座塔，离天一丈八．”学完了三角函数知识后，某校“数学社团”的刘明和王华决定用自己学到的知识测量“福胜寺梵塔”的高度．如图（2），刘明在点C处测得塔顶B的仰角为45︒，王华在高台上的点D处测得塔顶B的仰角为40︒，若高台DE高为5米，点D到点C的水平距离EC为1.3米，且A、C、E三点共线，求该塔AB的高度．（参考数据：sin400.64︒≈，︒≈，结果保留整数）cos400.77︒≈，tan400.84【分析】作DM⊥AB于M，交CB于F，CG⊥DM于G，根据矩形的性质得到CG＝DE＝5，DG＝EC＝1.3，设FM＝x米，根据正切的定义用x表示出DM、BM，结合图形列出方程，解方程得到答案．【答案】解：作DM⊥AB于M，交CB于F，CG⊥DM于G，则四边形DECG为矩形，∴CG＝DE＝5，DG＝EC＝1.3，设FM＝x米，由题意得，∠BDM＝40°，∠BFM＝∠BCA＝45°，∴∠CFG＝45°，BM＝FM＝x，∴GF＝GC＝5，∴DF＝DG+GF＝5+1.3＝6.3，在Rt△BDM中，tan∠BDM＝，∴DM＝≈，由题意得，DM﹣DF＝FM，即﹣6.3＝x，解得，x≈33.2，则BA＝BM+AM＝38.2≈38（米），答：该塔AB的高度约为38米．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．【变式9-3】（2019•碑林区校级三模）我校数学社团成员想利用所学的知识测量某广告牌的宽度（图中线段MN的长）．直线MN垂直于地面，垂足为点P，在地面A处测得点M的仰角为60︒，点N的仰角为45︒，在B处测得点M的仰角为30︒，5AB=米．且A、B、P三点在一直线上，请根据以上数据求广告牌的宽MN的长．（结果保留根号）【分析】在Rt△APN中根据已知条件得到P A＝PN，设P A＝PN＝x米，解Rt△APM得到MP＝AP•tan∠MAP＝x，然后在Rt△BPM中，根据tan∠MBP＝列方程即可得到结论．【答案】解：∵在Rt△APN中，∠NAP＝45°，∴P A＝PN，在Rt△APM中，tan∠MAP＝，设P A＝PN＝x米，∵∠MAP＝60°，∴MP＝AP•tan∠MAP＝x，在Rt△BPM中，tan∠MBP＝，∵∠MBP＝30°，AB＝5，∴＝，∴x＝，∴MN＝MP﹣NP＝x﹣x＝，答：广告牌的宽MN的长为米．【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据已知直角三角形得出AP的长是解题关键．【考点10 解直角三角形的应用之方向角问题】【方法点拨】方位角：从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角叫做方位角，如图①中，目标方向PA，PB，PC的方位角分别为是40°，135°，245°.方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角，如图②中的目标方向线OA，OB，OC，OD的方向角分别表示北偏东30°，南偏东45°，南偏西80°，北偏西60°.特别如：东南方向指的是南偏东45°，东北方向指的是北偏东45°，西南方向指的是南偏西45°，西北方向指的是北偏西45°. 【例10】（2019秋•道里区校级月考）如图，射线MN表示一艘轮船的航行路线，从M到N的走向为南偏东30︒，在M的南偏东60︒方向上有一点A，A处到M处为100海里．（1）求点A到航线MN的距离；（2）在航线MN上有一点B，且15∠=︒，若轮船的速度为50海里/时，求轮船从M处到B处所用时MAB间为多少小时？（结果保留根号）【分析】（1）过A作AH⊥MN于H．由方向角的定义可知∠QMB＝30°，∠QMA＝60°，那么∠NMA ＝∠QMA﹣∠QMB＝30°．解直角△AMH中，得出AH＝AM，问题得解；（2）先根据直角三角形两锐角互余求出∠HAM＝60°，由∠MAB＝15°，得出∠HAB＝∠HAM﹣∠MAB ＝45°，那么△AHB是等腰直角三角形，求出BH＝AH距离，然后根据时间＝路程÷速度即可求解．【答案】解：（1）如图，过A作AH⊥MN于H．∵∠QMB＝30°，∠QMA＝60°，∴∠NMA＝∠QMA﹣∠QMB＝30°．在直角△AMH中，∵∠AHM＝90°，∠AMH＝30°，AM＝100海里，∴AH＝AM＝50海里，答：点A到航线MN的距离为50海里；（2）在直角△AMH中，∵∠AHM＝90°，∠AMH＝30°，∴∠HAM＝60°，∵∠MAB＝15°，∴∠HAB＝∠HAM﹣∠MAB＝45°，∵∠AHB＝90°，∴BH＝AH＝50海里，∵MH＝AH＝50海里，∴MB＝（50﹣50）海里，∴轮船从M处到B处所用时间为：＝（﹣1）小时，答：轮船从M处到B处所用时间约为（﹣1）小时．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，含30°角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，直角三角形两锐角互余的性质，准确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．【变式10-1】（2019春•南岗区校级月考）如图，某货船以24海里/时的速度将一批重要物资从A处运往正东方向的M处，在点A处测得某岛C在北偏东60︒的方向上．该货船航行30分钟后到达B处，此时再测得该岛在北偏东30︒的方向上，（1）求B到C的距离；（2）如果在C岛周围9海里的区域内有暗礁．若继续向正东方向航行，该货船有无触礁危险？试说明理由≈．1.732)【分析】（1）证出∠BAC＝∠ACB，得出BC＝AB＝24×＝12即可；（2）过点C作CD⊥AD于点D，分别在Rt△CBD、Rt△CAD中用式子表示CD、AD，再根据已知求得BD、CD的长，从而再将CD于9比较，若大于9则无危险，否则有危险．【答案】解：（1）由题意得：∠BAC＝90°﹣60°＝30°，∠MBC＝90°﹣30°＝60°，∵∠MBC＝∠BAC+∠ACB，∴∠ACB＝∠MBC﹣∠BAC＝30°，∴∠BAC＝∠ACB，∴BC＝AB＝24×＝12（海里）；（2）该货船无触礁危险，理由如下：。

苏科版九年级数学下册第七章锐角三角函数复习

第七章锐角三角函数复习班级姓名知识要点：1.锐角三角函数、锐角三角函数值的符号、锐角三角函数值的变化规律、特殊角三角函数值、互为余角的三角函数间的关系、同角三角函数间的关系（平方关系、商数关系、倒数关系）2. 锥度、坡度、仰角、俯角、方位角、方向角、解直角三角形、解直角三角形应用典型例题：1.①在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，3a ＝ 3 b ，则∠A ＝，sinA ＝ ②Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若sinA ＝45 ，AB ＝10，那么BC ＝，tanB ＝2.①1－2sin30°·cos30°＝②cos α＝32,α= 3 tan 2α－4tan α＋ 3 ＝0，则α＝3．菱形OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，452AOC OC ∠==°，，则点B 的坐标为。

4.已知一山坡的坡度为1:3，某人沿斜坡向上走了100m ，则这个人升高了 m 。

5．某大学计划为新生配备如图（1）所示的折叠椅．图（2）是折叠椅撑开后的侧面示意图，其中椅腿AB 和CD 的长相等，O 是它们的中点．为使折叠椅既舒适又牢固，厂家将撑开后的折叠椅高度设计为32cm ，∠DOB ＝100°，那么椅腿的长AB 和篷布面的宽AD 各应设计为多少cm ？（结果精确到0.1cm ）6．如图，家住江北广场的小李经西湖桥到教育局上班，路线为A→B →C →D．因西湖桥维修封桥，他只能改道经临津门渡口乘船上班，路线为A →F →E →D ．已知BC EF ∥，BF CE ∥，AB BF ⊥，CD DE ⊥，200AB =米，100BC =米，37AFB ∠=°，53DCE ∠=°．请你计算小李上班的路程因改道增加了多少？（结果保留整数）温馨提示：sin370.60cos370.80tan370.75︒°≈，≈，°≈．随堂演练：1．将宽为2cm 的长方形纸条折叠成如图所示的形状，那么折痕PQ 的长是（）xy O CBAAO D 100º 32 cm D C BF E A 江北广场渡口渡口教育局西湖桥资江 53°37°A ．233cm B ．433cm C ．5cm D ．2cm 2．如图，在矩形ABCD 中，DE ⊥AC 于E ，∠EDC ∶∠EDA=1∶3，且AC=10，则DE 的长度是（） A ．3 B ．5 C ．25 D ．2253．如图5，在ABC △中，C ∠9060B D =∠=°，°，是AC 上一点，DE AB ⊥于E ，且21CD DE ==，，则BC 的长为（） A ．2 B ．433C ．23D ．43 4．如图所示，小华同学在距离某建筑物6米的点A 处测得广告牌B 点．C 点的仰角分别为52°和35°，则广告牌的高度BC 为_____________米(精确到0.1米)．(sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70；sin52°≈0.79，cos52°≈0.62，tan52°≈1.28)5．如图，在平地上种植树木时，要求株距（相邻两树间的水平距离）为4m ．如果在坡度为0.75的山坡上种树，也要求株距为4m ，那么相邻两树间的坡面距离为。