高数第二章复习题及答案
高数(上)第二章 复习题(含参考答案)
高数上第二章 复习题1. 求下列函数的导数: (1) y =ln(1+x 2); 解 222212211)1(11xx x x x x y +=⋅+='+⋅+='.(2) y =sin 2x ;解 y '=2sin x ⋅(sin x )'=2sin x ⋅cos x =sin 2x .(3)22x a y -=;解[]22212222121222122)2()(21)()(21)(x a x x x a x a x a x a y --=-⋅-='-⋅-='-='--.(4)xx y ln 1ln 1+-=;解 22)ln 1(2)ln 1(1)ln 1()ln 1(1x x x x x x x y +-=+--+-='.(5)xx y 2sin =;解222sin 2cos 212sin 22cos xxx x x x x x y -=⋅-⋅⋅='.(6)x y arcsin =;解2222121)(11)()(11x x x x x x y -=⋅-='⋅-='.(7))ln(22x a x y ++=;解])(211[1)(12222222222'+++⋅++='++⋅++='x a xa x a x x a x x a x y2222221)]2(211[1x a x x a x a x +=++⋅++=.(8)xx y +-=11arcsin .解 )1(2)1(1)1()1()1(1111)11(11112x x x x x x xxx x x x y -+-=+--+-⋅+--='+-⋅+--='.(9)xx y -+=11arctan ;解222211)1()1()1()11(11)11()11(11x x x x xx x x x x y +=-++-⋅-++='-+⋅-++='.(10)x x x y tan ln cos 2tan ln ⋅-=; 解)(tan tan 1cos tan ln sin )2(tan 2tan 1'⋅⋅-⋅+'⋅='x x x x x x x yx x x x x x x x x tan ln sin sec tan 1cos tan ln sin 212sec 2tan 122⋅=⋅⋅-⋅+⋅⋅.(11))1ln(2x x e e y ++=;解xx x x x x x x x x x e ee e e e e e e e e y 2222221)122(11)1(11+=++⋅++='++⋅++='.2. 求下列函数的n 阶导数的一般表达式: (1) y =sin 2 x ;解y '=2sin x cos x =sin2x , )22sin(22cos 2π+==''x x y ,)222sin(2)22cos(222ππ⋅+=+='''x x y ,)232sin(2)222cos(233)4(ππ⋅+=⋅+=x x y , ⋅ ⋅ ⋅,]2)1(2sin[21)(π⋅-+=-n x y n n .(2) y =x ln x ; 解1ln +='x y ,11-==''x xy , y '''=(-1)x -2, y (4)=(-1)(-2)x -3, ⋅ ⋅ ⋅,y (n )=(-1)(-2)(-3)⋅ ⋅ ⋅(-n +2)x -n +1112)!2()1()!2()1(-----=--=n n n n xn xn . (3) y =x e x .解 y '=e x +xe x ,y ''=e x +e x +xe x =2e x +xe x , y '''=2e x +e x +xe x =3e x +xe x , ⋅ ⋅ ⋅,y (n )=ne x +xe x =e x (n +x ) .3. 求方程y =1+xe y 所确定的隐函数的二阶导数22dxyd .解 方程两边求导数得 y '=e y +x e y y ', ye y e xe e y yy y y -=--=-='2)1(11,3222)2()3()2()3()2()()2(y y e y y y e y y e y y e y y y y y --=-'-=-'---'=''.4.求参数方程⎩⎨⎧-=+=t t y t x arctan )1ln(2所确定的函数的三阶导数33dx y d :解t t t t t t t dx dy 2112111])1[ln()arctan (222=++-='+'-=, t t t t t dx y d 4112)21(2222+=+'=,3422338112)41(t t t t t t dx y d -=+'+=. 5. 注水入深8m 上顶直径8m 的正圆锥形容器中, 其速率为4m 2/min . 当水深为5m 时, 其表面上升的速度为多少？解 水深为h 时, 水面半径为h r 21=, 水面面积为π241h S =,水的体积为3212413131h h h hS V ππ=⋅==,dtdh h dt dV ⋅⋅=2312π, dtdVh dt dh ⋅=24π.已知h =5(m )，4=dtdV (m 3/min), 因此 πππ2516425442=⋅=⋅=dt dV h dt dh (m/min).6. 求下列函数的微分: (1)21arcsin x y -=;解 dx x x x dx x x dx x dx y dy 22221||)12()1(11)1(arcsin --=--⋅--='-='=.(2) y =tan 2(1+2x 2); 解dy =d tan 2(1+2x 2)=2tan(1+2x 2)d tan(1+2x 2)=2tan(1+2x 2)⋅sec 2(1+2x 2)d (1+2x2)=2tan(1+2x 2)⋅sec 2(1+2x 2)⋅4x dx =8x ⋅tan(1+2x 2)⋅sec 2(1+2x 2)dx .(3)2211arctan xx y +-=;解)11()11(1111arctan 2222222x x d x x x x d dy +-+-+=+-=dx x x dx x x x x x xx 4222222214)1()1(2)1(2)11(11+-=+--+-⋅+-+=. 7. 讨论函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=000 1sin )(x x xx x f 在x =0处的连续性与可导性.解 因为f (0)=0, )0(01sin lim )(lim 00f xx x f x x ===→→, 所以f (x )在x =0处连续; 因为极限xx x x x f x f x x x 1sin lim 01sin lim )0()(lim000→→→=-=-不存在, 所以f (x )在x =0处不导数.。
高一数学必修2第二章测试题及答案解析
第二章单元测试题一、选择题1．若直线a和b没有公共点，则a与b的位置关系是() A．相交B．平行C．异面D．平行或异面2．平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，既与AB共面也与CC1共面的棱的条数为()A．3B．4C．5D．63．已知平面α和直线l，则α内至少有一条直线与l() A．平行B．相交C．垂直D．异面4．长方体ABCD－A1B1C1D1中，异面直线AB，A1D1所成的角等于()A．30°B．45°C．60°D．90°5．对两条不相交的空间直线a与b，必存在平面α，使得() A．a⊂α，b⊂α B．a⊂α，b∥αC.a⊥α，b⊥α D．a⊂α，b⊥α6．下面四个命题：①若直线a，b异面，b，c异面，则a，c异面；②若直线a，b相交，b，c相交，则a，c相交；③若a∥b，则a，b与c所成的角相等；④若a⊥b，b⊥c，则a∥c.其中真命题的个数为()A．4B．3C．2D．17．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是线段A1B1，B1C1上的不与端点重合的动点，如果A1E＝B1F，有下面四个结论：①EF⊥AA1；②EF∥AC；③EF与AC异面；④EF∥平面ABCD.其中一定正确的有()A．①②B．②③C．②④D．①④B．8．设a，b为两条不重合的直线，α，β为两个不重合的平面，下列命题中为真命题的是()A．若a，b与α所成的角相等，则a∥b B．若a∥α，b∥β，α∥β，则a∥bC．若a⊂α，b⊂β，a∥b，则α∥βD．若a⊥α，b⊥β，α⊥β，则a⊥b9．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，点A∈α，A∉l，直线AB∥l，直线AC⊥l，直线m∥α，n∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是()A．AB∥m B．AC⊥m C．AB∥βD．AC⊥β二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中的横线上)13．下列图形可用符号表示为________．14．正方体ABCD－A1B1C1D1中，二面角C1－AB－C的平面角等于________．15．设平面α∥平面β，A，C∈α，B，D∈β，直线AB与CD交于点S，且点S位于平面α，β之间，AS＝8，BS＝6，CS＝12，则SD＝________. 16．将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A－BD－C，有如下四个结论：①AC⊥BD；②△ACD是等边三角形；③AB与平面BCD成60°的角；④AB与CD所成的角是60°.其中正确结论的序号是________．三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(10分)如下图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，△ABC与△A1B1C1都为正三角形且AA1⊥面ABC，F、F1分别是AC，A1C1的中点．求证：(1)平面AB1F1∥平面C1BF；(2)平面AB1F1⊥平面ACC1A1.18．(12分)如图所示，边长为2的等边△PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，BC＝22，M为BC的中点．(1)证明：AM⊥PM；(2)求二面角P－AM－D的大小．详解答案1[答案] D2[答案] C[解析]AB与CC1为异面直线，故棱中不存在同时与两者平行的直线，因此只有两类：第一类与AB平行与CC1相交的有：CD、C1D1与CC1平行且与AB相交的有：BB1、AA1，第二类与两者都相交的只有BC，故共有5条．3[答案] C[解析]1°直线l与平面α斜交时，在平面α内不存在与l平行的直线，∴A错；2°l⊂α时，在α内不存在直线与l异面，∴D错；3°l∥α时，在α内不存在直线与l相交．无论哪种情形在平面α内都有无数条直线与l垂直．4[答案] D[解析]由于AD∥A1D1，则∠BAD是异面直线AB，A1D1所成的角，很明显∠BAD＝90°.5[答案] B[解析]对于选项A，当a与b是异面直线时，A错误；对于选项B，若a，b不相交，则a与b平行或异面，都存在α，使a⊂α，b ∥α，B正确；对于选项C，a⊥α，b⊥α，一定有a∥b，C错误；对于选项D，a⊂α，b⊥α，一定有a⊥b，D错误．6[答案] D[解析]异面、相交关系在空间中不能传递，故①②错；根据等角定理，可知③正确；对于④，在平面内，a∥c，而在空间中，a与c 可以平行，可以相交，也可以异面，故④错误．7[答案] D[解析]如图所示．由于AA1⊥平面A1B1C1D1，EF⊂平面A1B1C1D1，则EF⊥AA1，所以①正确；当E，F分别是线段A1B1，B1C1的中点时，EF∥A1C1，又AC∥A1C1，则EF∥AC，所以③不正确；当E，F分别不是线段A1B1，B1C1的中点时，EF与AC异面，所以②不正确；由于平面A1B1C1D1∥平面ABCD，EF⊂平面A1B1C1D1，所以EF∥平面ABCD，所以④正确．8[答案] D[解析]选项A中，a，b还可能相交或异面，所以A是假命题；选项B中，a，b还可能相交或异面，所以B是假命题；选项C中，α，β还可能相交，所以C是假命题；选项D中，由于a⊥α，α⊥β，则a ∥β或a⊂β，则β内存在直线l∥a，又b⊥β，则b⊥l，所以a⊥b.9[答案] C[解析]如图所示：AB∥l∥m；AC⊥l，m∥l⇒AC⊥m；AB∥l⇒AB∥β.13[答案]α∩β＝AB14[答案]45°[解析]如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，由于BC⊥AB，BC1⊥AB，则∠C1BC是二面角C1－AB－C的平面角．又△BCC1是等腰直角三角形，则∠C1BC＝45°.15[答案]9[解析]如下图所示，连接AC，BD，则直线AB，CD确定一个平面ACBD.∵α∥β，∴AC∥BD，则ASSB＝CSSD，∴86＝12SD，解得SD＝9.16[答案]①②④[解析]如图所示，①取BD中点，E连接AE，CE，则BD⊥AE，BD⊥CE，而AE∩CE＝E，∴BD⊥平面AEC，AC⊂平面AEC，故AC ⊥BD，故①正确．②设正方形的边长为a，则AE＝CE＝2 2a.由①知∠AEC＝90°是直二面角A－BD－C的平面角，且∠AEC＝90°，∴AC＝a，∴△ACD是等边三角形，故②正确．③由题意及①知，AE⊥平面BCD，故∠ABE是AB与平面BCD 所成的角，而∠ABE＝45°，所以③不正确．④分别取BC，AC的中点为M，N，连接ME，NE，MN.则MN∥AB，且MN＝12AB＝12a，ME∥CD，且ME＝12CD＝12a，∴∠EMN是异面直线AB，CD所成的角．在Rt△AEC中，AE＝CE＝22a，AC＝a，∴NE＝12AC＝12a.∴△MEN是正三角形，∴∠EMN＝60°，故④正确．17[证明](1)在正三棱柱ABC－A1B1C1中，∵F、F1分别是AC、A1C1的中点，∴B1F1∥BF，AF1∥C1F.又∵B1F1∩AF1＝F1，C1F∩BF＝F，∴平面AB1F1∥平面C1BF.(2)在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面A1B1C1，∴B1F1⊥AA1.又B1F1⊥A1C1，A1C1∩AA1＝A1，∴B1F1⊥平面ACC1A1，而B1F1⊂平面AB1F1，∴平面AB1F1⊥平面ACC1A1.18[解析](1)证明：如图所示，取CD的中点E，连接PE，EM，EA，∵△PCD为正三角形，∴PE⊥CD，PE＝PD sin∠PDE＝2sin60°＝ 3.∵平面PCD⊥平面ABCD，∴PE⊥平面ABCD，而AM⊂平面ABCD，∴PE⊥AM.∵四边形ABCD是矩形，∴△ADE，△ECM，△ABM均为直角三角形，由勾股定理可求得EM＝3，AM＝6，AE＝3，∴EM2＋AM2＝AE2.∴AM⊥EM.又PE∩EM＝E，∴AM⊥平面PEM，∴AM⊥PM.(2)解：由(1)可知EM⊥AM，PM⊥AM，∴∠PME是二面角P－AM－D的平面角．∴tan∠PME＝PEEM＝33＝1，∴∠PME＝45°.∴二面角P－AM－D的大小为45°.。
高中数学必修2第二章知识点+习题+答案
__________________________________________________第二章 直线与平面的位置关系2.1空间点、直线、平面之间的位置关系2.1.11 平面含义：平面是无限延展的2 平面的画法及表示（1）平面的画法：水平放置的平面通常画成一个平行四边形，锐角画成450，且横边画成邻边的2倍长（如图）（2）平面通常用希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC 、平面ABCD 等。
3 三个公理：（1）公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内符号表示为D C B A α__________________________________________________A ∈LB ∈L => L αA ∈αB ∈α 公理1作用：判断直线是否在平面内 （2）公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。
符号表示为：A 、B 、C 三点不共线 => 有且只有一个平面α，使A ∈α、B ∈α、C ∈α。
公理2作用：确定一个平面的依据。
（3）公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。
符号表示为：P ∈α∩β =>α∩β=L ，且P ∈L 公理3作用：判定两个平面是否相交的依据2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系α C · B·A · α P· αL β__________________________________________________ 1 空间的两条直线有如下三种关系：相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点。
2 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。
符号表示为：设a 、b 、c 是三条直线a ∥bc ∥b强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。
高等工程数学第二章习题及答案
第2章 线性代数方程组数值解法 研究n 阶线性方程组Ax b =的数值解法.()ij A a =是n n⨯矩阵且非奇异，12(,,,)Tn x x x x = ,12(,,,)Tn b b b b =两类数值方法：(1) 直接法：通过有限次的算术运算，若计算过程中没有舍入误差，可以求出精确解的方法.Ax b Gx d == 等价变换G 通常是对角矩阵、三角矩阵或者是一些结构简单的矩阵的乘积.(2) 迭代法：用某种极限过程去逐次逼近方程组的解的方法.(1)()i i Ax b x Bx k x Bx k +==+−−−−−→=+ 等价变换建立迭代格式，0,1,i =一、向量范数与矩阵范数 1. 向量范数【定义】 若对nK 上任一向量x ，对应一个非负实数x ，对任意,nx y R ∈及K α∈，满足如下条件(向量范数三公理) (1) 非负性：0x ≥，且0x =的充要条件是0x =；(2)齐次性：x xαα=；(3)三角不等式：x y x y+≤+.则称x为向量x的范数.常用的向量范数： (1) 1—范数11nii x x ==∑(2) 2—范数12221()ni i x x ==∑(3) ∞—范数1max ii nxx ∞≤≤=(4) 一般的p —范数11()pnpi pi xx ==∑2. 矩阵范数【定义】 若n nK ⨯上任一矩阵()ij n n A a ⨯=，对应一个非负实数A ，对任意的,n nA B K ⨯∈和K α∈，满足如下条件(矩阵范数公理)：(1) 非负性：0A ≥，且0A =的充要条件是0A =；(2)齐次性：A Aαα=；(3)三角不等式：A B A B +≤+；(4)乘法不等式：AB A B≤.则称A为矩阵A的范数.矩阵范数与向量范数是相容的：Ax A x≤向量范数产生的从属范数或算子范数：10max maxx x AxA Ax x=≠==常见从属范数：(1) 1—范数111max ||nij j ni A a ≤≤==∑(2) ∞—范数11max ||nij i nj A a ∞≤≤==∑(3) 2—范数2A =谱半径1()max ||H i i n A A ρλ≤≤=，iλ为H A A 的特征值.H A 为A 的共轭转置. 注：矩阵A 的谱半径不超过A 的任一范数，即()A A ρ≤范数等价性定理：,s t x x为n R 上向量的任意两种范数，则存在常数12,0c c >，使得12,ns t s c x x c x x R ≤≤ ∀∈.注：矩阵范数有同样的结论. 【定理2.1】是任一向量范数，向量序列()k x 收敛于向量*x 的充要条件是()*0,k x x k -→ →∞二、 Gauss 消去法 1．顺序Gauss 消去法 将方程Ax b =写成如下形式11112211,121122222,11122,1n n n n n n n n nn n n n a x a x a x a a x a x a x a a x a x a x a ++++++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩其中记,1,1,2,,.i n i a b i n +==消元过程：第一次消元：设110a ≠，由第2,3,,n 个方程减去第一个方程乘以1111/(2,3,,)i i m a a i n == ，则将方程组中第一个未知数1x消去，得到同解方程11112211,1(1)(1)(1)22222,1(1)(1)(1)22,1n n n n n n n nn n n n a x a x a x a a x a x a a x a x a ++++++=⎧⎪ ++=⎪⎨⎪⎪ ++=⎩其中， (1)11,2,3,,;2,3,,,1ijij i j a a m a i n j n n =-==+ . 1111/i i m a a =，2,3,,i n = .第二次消元：设(1)220a ≠，.由第2,3,,n 个方程减去方程组中的第2个方程乘以(1)(1)2222/(3,4,,)i i m a a i n == ，则将方程组第2个未知数2x 消去，得到同解方程11112213311,1(1)(1)(1)(1)2222322,1(2)(2)(2)33333,1(2)(2)(2)33,1n n n n n n n n n nnn n n n a x a x a x a x a a x a a x a a x a x a a x a x a ++++++++=⎧⎪ +++=⎪⎪ ++=⎨⎪⎪⎪ ++=⎩其中(2)(1)(1)22, 3,4,,; 3,4,,,1ij ij i j a a m a i n j n n =-==+ . (1)(1)2222/i i m a a =，3,4,,i n = .经过1n -次消元后，原方程组变成等价方程组11112213311,1(1)(1)(1)(1)2222322,1(2)(2)(2)33333,1(1)(1),1n n n n n n n n n n n nn n n n a x a x a x a x a a x a a x a a x a x a a x a +++--+++++=⎧⎪ +++=⎪⎪ ++=⎨⎪⎪⎪ =⎩其中()(1)(1), 1,2,,k k k ij ij ik ij a a m a i k k n --=-=++ ， 1,2,,,1j k k n n =+++ .(1)(1)/k k ik ik kkm a a --=，1,2,,i k k n =++ ；1,2,,1k n =- .回代过程：(1)(1),1(1)(1)(1),1,,1/[]/,1,2,,2,1.n n n n n m n i i i ii n i j j i j j i x a a x a a x a i n n --+---+=+⎧=⎪⎨=-=--⎪⎩∑计算量：按常规把乘除法的计算次数合在一起作为Gauss 消去法总的计算量，而略去加减法的计算次数. 在消去过程中，对固定的消去次数(1,2,,1)k k n =- ，有：除法(1)(1),,/,1,1,,k k ik i k k k m a a i k k n --= =++ 共计n k -次；乘法(1),,1,2,,;1,2,,,1k ik k j m a i k k n j k k n n - =++ =+++ 共计()(1)n k n k --+次.因此，消去过程总的计算量为1311[()(1)]3n k M n k n k n k n-==--++-≈∑ 回代过程的乘除法计算次数为21()2n n +.与消去法计算量相比可以略去不计.所以， Gauss 消去法总的计算量大约为313n .2. Gauss-Jordan 消去法Gauss-Jordan 消去法是Gauss 消去法的一种变形.此方法的第一次消元过程同Gauss 消去法一样，得到(1)(1)(1)(1)11112213311,1(1)(1)(1)(1)22223322,1(1)(1)(1)(1)32233333,1(1)(1)(1)(1)2233,1,,,,n n n n n n n n n nn nn n n n a x a x a x a x a a x a x a x a a x a x a x a a x a x a x a ++++⎧++++=⎪ +++=⎪ +++=⎨ +++= ⎪⎪⎪⎪⎩其中，(1)11,2,,,1jj a a j n n ==+ . 第二次消元：设(1)220a ≠，由第1,3,4,,n 个方程减去第2个方程乘以(1)(1)2222/(1,3,4,,)i i m a a i n == ,则得到同解方程组(2)(2)(2)11113311,1(1)(2)(2)(2)22223322,1(2)(2)(2)33333,1(2)(2)33,1,,,n n n n n n n n n nnn n n n a x a x a x a a x a x a x a a x a x a a x a x a +++++ +++= +++= ++= ++= (2),⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩继续类似的过程，在第k 次消元时，设(1)k kk a -，将第i 个方程减去第k 个方程乘以(1)(1)/k k ik ik kk m a a --=，这里1,3,4,1,1,,i k k n =-+ .经过1n -次消元，得到(2)1111,1(1)(2)2222,1(2)(2)33,1,,,n n n n n a x a a x a a x a +++⎧ =⎪ =⎪⎪ ⎨⎪⎪⎪ =⎩其中()(1)(1),1,2,,1,1,,k k k ij ij ik kj a a m a i k k n --=-=-+ ；1,2,,,1; 1,2,,1j n n k n =+=- .此时，求解回代过程为(1)(1),1/,1,2,,n i i i n iix a a i n --+= = 经统计，总的计算量约为312M n ≈次乘除法. 从表面上看Gauss-Jordan 消去法似乎比Gauss 消去法好，但从计算量上看Gauss －Jordan 消去法明显比Gauss消去法的计算量要大，这说明用Gauss-Jordan 消去法解线性方程组并不可取.但用此方法求矩阵的逆却很方便. 3．列选主元Gauss 消去法在介绍Gauss 消去法时，始终假设(1)0k kk a -≠，称(1)k kka -为主元.若(1)0k kka -=，显然消去过程无法进行.实际上，既使(1)0k kka -≠，但(1)k kka -很小时，用它作除数对实际计算结果也是很不利的.称这样的(1)k kka -为小主元.【例2.2】设计算机可保证10位有效数字，用消元法解方程1112120.3100.7,0.9,x x x x -⎧⨯+=⎪⎨ +=⎪⎩【解】经过第一次消元：第2个方程减去第1个方程乘以212111/m a a =得1112(1)(1)222230.3100.7x x a x a -⎧⨯+=⎪⎨ =⎪⎩其中(1)1222222111/0.333333333310a a a a =-=-⨯，(1)123323211113(/)0.233333333310a a a a a =-⋅=-⨯于是解得(1)(1)223221/0.7000000000,0.0000000000,x a a x ⎧==⎪⎨=⎪⎩而真解为120.2,0.7x x = =注：造成结果失真的主要因素是主元素11a太小，而且在消元过程中作了分母，为避免这个情况发生，应在消元之前，作行交换.【定义】 若 (1)(1)||max ||k k k r k ik k i na a --≤≤=，则称(1)||k k r k a - 为列主元素. k r 行为主元素行，这时可将第 k r行与第k 行进行交换，使(1)||k k r k a - 位于交换后的等价方程组的 (1)k kk a - 位置，然后再施实消去法，这种方法称为列选主元Gauss 消去法或部分主元Gauss 消去法.【例2.3】 应用列选主元Gauss 消去法解上述方程. 【解】 因为2111a a >，所以先交换第1行与第2行，得1211120.9,0.3100.7,x x x x -⎧+=⎪⎨⨯+=⎪⎩ 然后再应用Gauss 消去法，得到消元后的方程组为1220.9,0.7.x x x ⎧+=⎨=⎩回代求解，可以得到正确的结果.即120.2,0.7x x = =.三、三角分解法 设方程组Ax b =的系数矩阵A 的顺序主子式不为零.即1112121222110,1,2,,.kk k k k kka a a a a a k n a a a ∆=≠=在Gauss 消去法中，第一次消元时，相当于用单位下三角阵211131111010010n m L m m -⎡⎤⎢⎥- ⎢⎥⎢⎥=- ⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥- ⎢⎥⎣⎦ ，左乘方程组Ax b =，得11A x b =，其中11121(1)(1)122211(1)200n n n nn a a a a a A L a a -(1)⎡⎤⎢⎥ ⎢⎥==⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥ ⎣⎦ ，1(1)(1)111,11,1,1(,,,)Tn n n n b L b a a a -+++== .第二次消元时，相当于用单位下三角阵1232210101001n L m m - ⎡⎤⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥= - ⎢⎥⎢⎥⎢⎥ - ⎢⎥⎣⎦0 ，左乘方程组11A x b =，得22A x b =其中11121(1)(1)22211(2)(2)221333(2)(2)300000n n n n nn a a a a a A L L A a a a a --⎡⎤ ⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥== ⎢⎥⎢⎥ ⎢⎥ ⎢⎥⎣⎦ ，11(1)(2)(2)2211,12,13,1,1(,,,,).Tn n n n n b L L b a a a a --++++==经过1n -次消元，最后得到等价方程组11n n A x b --=其中11121(1)222111111221(1)n n n n n n nn a a a a a A L L L L A a (1)--------⎡⎤⎢⎥ ⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥ ⎣⎦1111(1)(1)112221,12,1,1(,,,)n Tn n n n n n n b L L L L b a a a --------+++==注意到1n A -是一个上三角阵，记111111221n n n U A L L L L A -------==则121()n A L L L U LU -==其中，121n L L L L -= . 不难验证21313212_1111n n nn m L m m m m m ⎡⎤⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥= ⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥ 1 ⎢⎥⎣⎦是单位下三角阵.于是解线性方程组Ax b =，就转化为解方程 LUx b =，若令Ux y =就得到一个与 Ax b =等价的方程组Ly b Ux y =⎧⎨=⎩【定理2.2】 若 A 为 n 阶方阵，且 A 的所有顺序主子式0k ∆≠，1,2,,k n = .则存在唯一的一个单位下三角矩阵 L 和一个上三角矩阵 U ，使A LU =.在上述过程中，若不假设A 的顺序主子式都不为零，只假设A 非奇异，那么Gauss 消去法将不可避免要应用两行对换的初等变换.第一次消元，将第1行与第1r 行交换，相当于将方程组Ax b =左乘矩阵11r P ：1111r r P Ax P b=经第一次消元得11111111r r L P Ax L P b--=即系数矩阵为11111r A L P A-=，其中110111r P ⎡⎢ ⎢ 1= 1 0 1 ⎣0 0 ⎤⎥⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎦1 列 1r列 类似地，经1n -次消元，有121111111,22,11n n n n n r n n r r A L P L P L P A----------= .如果预先知道每一个(1,2,,1)iir P i n =- ，则在消元之前就全部作交换，得 1211,2,1,n n n r n r r A P P P A PA----== ，其中，1211,2,1,n n n r n r r P P P P ----= .即原方程变为PAx Pb =然后再消元，相当于对PA 做三角分解PA LU =由以上讨论，可得结论 【定理2.3】 若A 非奇异，则一定存在排列矩阵 P ，使得 PA 被分解为一个单位下三角阵和一个上三角1 行1行r阵的乘积，即PA LU =成立.这时，原方程组Ax b = 等价于 PAx Pb =，即等价于求解LUx Pb =令Ux y =则Ly Pb =实际求解时，先解方程组Ly Pb =,再根据 y 求解 Ux y =,即得原方程组Ax b =的解. 这种求解方法称为三角分解法.常用三角分解方法有以下几种. 1．Doolittle 分解方法 假设系数矩阵A 不需要进行行交换，且三角分解是唯一的. 记21121110n n l L l l ⎡⎤⎢⎥ ⎢⎥=⎢⎥ ⎢⎥ ⎢⎥⎣⎦ , 11121222n n nn u u u u u U u ⎡⎤⎢⎥ ⎢⎥=⎢⎥ ⎢⎥ 0 ⎣⎦ 于是有1112111121222212222112111110n n n n n n n n nn a a a u u u u u a a a l l l a a a ⎡⎤ ⎡⎤⎢⎥⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥ ⎣⎦⎣⎦ nn u ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥0 ⎣⎦从前面讨论A 的LU 分解过程可看出,L 、U 的元素都是用有关的(1)k ij a -来表示的，而它们的计算较麻烦.现在给出直接从系数矩阵A ，通过比较等式的两边逐步把L 和U 构造出来的方法，而不必利用Gauss 消去法的中间结果(1)k ij a -.计算步骤： (1) 由L 阵的第1行分别乘U 阵的各列，先算出U 阵的第1行元素 11,1,2,,j j u a j n = = .然后，由L 阵的各行分别去乘U 阵的第1列，算出L 阵的第1列元素1111/,2,3,,i i l a a i n = = .(2)现假设已经算出U 阵的前1r -行元素，L 阵的前1r -列元素，下面来算U 阵的第r 行元素，L 阵的第r 列元素.由L 阵的第r 行分别乘U 阵的第j 列(,1,,)j r r n =+ ，得11r ij rk kj rjk a l u u -==+∑所以，得U 阵的第r 行元素11,,1,,r rj rj rk kj k u a l u j r r n-==- =+∑ .再由L 阵的第i 行(1,2,,)i r r n =++ 分别去乘U 阵的第r 列,得11r ir ik kr ir rrk a l u l u -==+∑,所以，得L 阵的第r 列元素11[]/,1,2,,.r ir ir ik kr rr k l a l u u i r r n -==- =++∑取1,2,,r n = 逐步计算，就可完成三角分解A LU =；(3)解与Ax b = 等价的方程组Ly b Ux y =⎧⎨=⎩逐次用向前代入过程先解Ly b = 得1111,2,3,,.i i i ij j j y b y b l y i n -==⎧⎪⎨=- =⎪⎩∑然后再用逐次向后回代过程解Ux y =得1/,()/,1,2,,2,1.n n nn n i i ij j ii j i x y u x y u x u i n n =+=⎧⎪⎨=- =--⎪⎩∑2．Crout 分解方法仍假设系数矩阵A 不需要进行行交换，且三角分解是唯一的.即ˆA L=ˆU .与Doolittle 分解方法的区别在111212122211n n n n nn a a a a a a a a a ⎡⎤ ⎢⎥ ⎢⎥=⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥ ⎣⎦ 1122ˆˆl l ⎡⎤ 0⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 122ˆ1ˆ10n u u ⎡⎤⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥ ⎢⎥ 1 ⎣⎦ 比较两边，则可推导出与Doolittle 分解方法类似的公式，不过Crout 分解方法是先算ˆL 的第r 列，然后再算ˆU的第r 行.3．Cholesky 分解方法若 A 为对称正定矩阵，则有 ˆT U L =，即11()()TT T A LDL LD LD LL ===其中L 为下三角阵. 进一步展开为1121111211112122221222221212n n n n n n nn n n nn a a a l l l l a a a l l l l l l l a a a ⎡⎤⎡⎤ ⎢⎥⎢⎥ 0 ⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥ ⎢⎥ ⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 0nn l ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥ ⎣⎦ 比较两边对应元素，容易得到12121()r rr rr rk k l a l -==-∑ ，11()/r ir ir ik rk rrk l a l l l -==-∑ 1,2,,;1,2,,.r n i r r n ==++Cholesky 分解的优点：不用选主元. 由21rrr rk k a l ==∑ 可以看出||1,2,,.rk l k r ≤=这表明中间量rk l得以控制，因此不会产生由中间量放大使计算不稳定的现象. Cholesky 分解的缺点：需要作开方运算. 改进的Cholesky 分解： 改为使用分解T A LDL =即11121121121221222121111n n n n n n n n nn a a a d l l l d a a a l l d a a a ⎡⎤ 1 ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥ 1 1 ⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥⎢⎥ ⎢⎥ ⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 2n l ⎡⎤⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥ ⎢⎥ 1⎣⎦其中21ˆl 1ˆn l 2ˆn l ˆnn l 1ˆn u12111()/r r rr rk k k r ir ir ik k rk rk d a l d l a l d l d-=-=⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∑∑，1,2,,;1,2,,.r n i r r n ==++Cholesky 分解方法或平方根法：应用Cholesky 分解可将Ax b =分解为两个三角形方程组T Ly b L x y ⎧= ⎪⎨= ⎪⎩分别可解得111111/,()/.i i i ik k ii k y b l y b l y l i n -=⎧=⎪⎨=-, =2,3,,⎪⎩∑和1/,()/1,.n n nn n i i ki k ii k i x y l x y l x l i n n =+⎧=⎪⎨=-, =--2,,2,1⎪⎩∑改进的Cholesky 分解方法或改进的平方根法：应用改进的Cholesky 分解，将方程组Ax b =分解为下面两个方程组1,,T Ly b L x D y -= ⎧⎨= ⎩同理可解得1111,,2,3,,.i i i ik k k y b y b l y i n ==⎧=⎪⎨=- =⎪⎩∑和1/,/,1,2,,2,1.n n n n i i i ki k k i x y d x y d l x i n n =+⎧=⎪⎨=- =--⎪⎩∑ 4．解三对角方程组的追赶法若()ij n n A a ⨯=满足1||||,1,2,,.nii ij j j ia a i n =≠> =∑则称A 为严格对角占优矩阵.若A 满足1||||,1,2,,.nii ij j j ia a i n =≠≥ =∑且其中至少有一个严格不等式成立，则称A 为弱对角占优矩阵.现在考虑Ax d = 的求解，即11112222211111n n n n n n n n n b c x d a b c x d a b c x d d a b x -----⎡⎤⎡⎤⎡⎤ ⎢⎥⎢⎥⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥ = ⎢⎥⎢⎥⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 系数矩阵A 满足条件11||||0,||||||,,0,2,3,, 1.||||0,i i i i i n n b c b a c a c i n b a ⎧>>⎪≥+ ≠=-⎨⎪>>⎩采用Crout 分解方法11112222221111n n n n n n n b c a b c a b c a b βαβγαγα---⎡⎤ ⎡⎤⎢⎥ 1 ⎢⎥⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥ = ⎢⎥⎢⎥ ⎢⎥ ⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥⎣⎦ ⎣⎦ 1n β-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥1 ⎢⎥⎢⎥ 1 ⎣⎦其中，,,i i i αβγ为待定系数.比较上式两边可得到111111,;,,2,3,,;,2,3,, 1.i i i i i i i i i b c a b i n c i n ααβγγβααβ-= == =+ == =-进而可导出1111111,2,3,,.,/,,2,3,,./(),2,3,, 1.i i i i i i ii i i i a i n b c b b i n c b i n γαβααββαβ--⎧= =⎪= =⎪⎨=- =⎪⎪=- =-⎩由此可看出，真正需要计算的是(1,2,,1)i n β=- ，而i α可由,i i b a 和1i β-产生.因此，实现了A 的Crout 分解后，求解Ax d =就等价于解方程组Ly dUx y =⎧⎨=⎩从而得到解三对角方程组的追赶法公式： (1) 计算i β的递推公式：1111/,/(),2,3,, 1.i i i i i c b c b i n ββαβ-⎧=⎪⎨=- =-⎪⎩(2) 解方程组Ly d =：11111/()/(),2,3,,.i i i i i i i y d b y d a y b a i n β--⎧=⎪⎨=-- =⎪⎩(3) 解方程组Ux y =：1,1,2,,2,1.n n i i i i x y x y x i n n β+⎧=⎪⎨=- =--⎪⎩追赶法的乘除法次数是66n -次.将计算121n βββ-→→→ 及12n y y y →→→ 的过程称之为“追”的过程，将计算方程组Ax d =的解121n n x x x x -→→→→ 的过程称之为“赶”的过程.四、迭代法 将Ax b =改写为一个等价的方程组 x Bx k =+建立迭代公式 (1)(),0,1,2,.i i x Bx k i +=+ =称矩阵B 为迭代矩阵.【定义】 如果对固定的矩阵B及向量k，对任意初始猜值向量(0)x ，迭代公式(1)()i i +()i()*lim i i x x →+∞=成立，其中*x 是一确定的向量，它不依赖于(0)x 的选取.则称此迭代公式是收敛的，否则称为发散的.如果迭代收敛，则应有**,x Bx k =+1. 收敛性()()*,0,1,2,i i x x i ε=- =为第i步迭代的误差向量.则有(1)(1)*()*()(),0,1,2,.x x B x x B i εε++=-=-==所以，容易推出()(0),0,1,2,,i i B i εε= =其中，(0)(0)*xxε=-为初始猜值的误差向量.设n nB K ⨯∈，lim 0i i B →+∞=⇔ ()1B ρ<.迭代法收敛基本定理： 下面三个命题是等价的 (1) 迭代法(1)()i i x Bx k +=+收敛；(2)()1B ρ<；(3) 至少存在一种矩阵的从属范数⋅，使1B <注：当条件()1B ρ<难以检验时，用1B 或B ∞等容易求出的范数，检验11B <或1B∞<来作为收敛的充分条件较为方便.常用迭代法如下. 2．Jacob 迭代 考察线性方程组Ax b =，设A 为非奇异的n 阶方阵，且对角线元素0ii a ≠(1,2,,)i n = .此时，可将矩阵A 写成如下形式A D L U =++,1122(,,,)nn D diag a a a = ，21313212000n n a L a a a a ⎡⎤⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥= ⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥ 0 ⎢⎥⎣⎦ ,12131232000n n a a a a a U ⎡⎤ ⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥= 0 ⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥ ⎢⎥⎣⎦ ,建立Jacobi 迭代公式(1)1()1(),i i x D L U x D b +--=-++迭代矩阵11()J B D L U I D A --=-+=-J B 的具体元素为112111122122221200n n J n n nn nn a a a a a a B a a a a a a ⎡⎤ - -⎢⎥⎢⎥⎢⎥- - ⎢⎥=⎢⎥⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥- - 0 ⎢⎥⎣⎦ Jacobi 迭代法的分量形式如下1(1)()()111(),j n i i i jj jm m jm m m m j jj xb a x a x a -+==+=--∑∑1,2,,;0,1,2,.j n i = =3．Gauss-Seidel 迭代容易看出，在Jacobi 迭代法中，每次迭代用的是前一次迭代的全部分量()(1,2,,)i jx j n = .实际上，在计算(1)i j x +时，最新的分量(1)(1)(1)121,,,i i i j x x x +++- 已经算出，但没有被利用.事实上，如果Jacobi 迭代收敛，最新算出的分量一般都比前一次旧的分量更加逼近精确解，因此，若在求(1)i j x+时，利用刚刚计算出的新分量(1)(1)(1)121,,,i i i j x x x+++- ，对Jacobi 迭代加以修改，可得迭代公式1(1)(1)()111(),j ni i i jj jm m jm m m m j jj xb a x a x a -++==+=--∑∑1,2,,;0,1,2,.j n i = =矩阵形式(1)1()1()(),0,1,2,.i i x D L Ux D L b i +--=-++-+=1()G B D L U -=--+注：（1）两种迭代法均收敛时，Gauss-Seidt 迭代收敛速度更快一些.（2）但也有这样的方程组，对Jacobi 迭代法收敛，而对Gauss-Seidel 迭代法却是发散的. 【例2.4】 分别用Jacobi 迭代法和Gauss-Seidel 迭代法求解下面的方程组121232342,46,4 2.x x x x x x x ⎧- =⎪-+-=⎨⎪-+=⎩初始猜值取0(0,0,0)x =. 【解】 Jacobi 迭代公式为(1)()12(1)()()213(1)()321(2),41(6),0,1,2,41(2),4i i i i i i i x x x x x i x x +++⎧=+⎪⎪⎪=++=⎨⎪⎪=+⎪⎩迭代计算4次的结果如下 (1)(2)(3)(4)(0.5,1.5,0.5),(0.875,1.75,0.875),(0.938,1.938,0.938),(0.984,1.969,0.984).T T T T x x x x ====Gauss-Seidel 迭代公式为(1)()12(1)(1)()213(1)(1)321(2),41(6),0,1,2,41(2),4i i i i i i i x x x x x i x x +++++⎧=+⎪⎪⎪=++=⎨⎪⎪=+⎪⎩迭代计算4次的结果如下(1)(2)(3)(4)(0.5,1.625,0.9063),(0.9063,1.9532,0.9883),(0.9883,2.0,0.9985),(0.9985,1.999,0.9998).T T T T x x x x ====从这个例子可以看到，两种迭代法作出的向量序列(){}i x 逐步逼近方程组的精确解*(1,2,1)T x =,而且Gauss-Seidel 迭代法收敛速度较快.一般情况下，当这两种迭代法均收敛时，Gauss-Seidt 迭代收敛速度更3．超松弛迭代法为了加快迭代的收敛速度，可将Gauss-Seidel 迭代公式改写成1(1)()(1)()11(),j ni i i i jjj jm m jm m m m jjj xx b a x a x a -++===+--∑∑ 1,2,,;0,1,2,.j n i = =并记1(1)(1)()11(),j ni i i jj jm m jm m m m jjj rb a x a x a -++===--∑∑称 (1)i j r + 为 1i + 步迭代的第 j 个分量的误差向量.当迭代收敛时，显然有所有的误差向量(1)0(),1,2,,.i j r i j n +→→∞=为了获得更快的迭代公式，引入因子R ω∈，对误差向量 (1)i j r + 加以修正，得超松弛迭代法（简称SOR 方法）(1)()(1),0,1,2,.i i i j j j x x r i ω++=+ =即1(1)()(1)()1(),j ni i i i jjj jm mjm m m m jjjxx b a xa x a ω-++===+--∑∑1,2,,;0,1,2,.j n i = =适当选取因子ω，可望比Gauss-Seidel 迭代法收敛得更快.称ω为松弛因子.特别当1ω=时，SOR 方法就是Gauss-Seidel 迭代法.写成矩阵向量形式(1)1()1()[(1)](),j i x D L D U x D L b ωωωωω+--=+--++0,1,2,.i =迭代矩阵为1()[(1)].B D L D U ωωωω-=+--实际计算时，大部分是由计算经验或通过试算法来确定opt ω的近似值.所谓试算法就是从同一初始向量出发，取不同的松驰因子ω迭代相同次数(注意：迭代次数不应太少)，然后比较其相应的误差向量()()i i r b Ax =-(或()(1)i i x x --)，并取使其范数最小的松弛因子ω作为最佳松弛因子opt ω的近似值.实践证明，此方法虽然简单，但往往是行之有效的. 4．迭代收敛其它判别方法：用迭代法收敛基本定理来判断收敛性时，当n 较大时，迭代矩阵的谱半径计算比较困难，因此，人们试图建立直接利用矩阵元素的条件来判别迭代法的收敛定理. （1） 若方程组Ax b =中的系数矩阵A 是对称正定阵，则 Gauss-Seidel 迭代法收敛. 对于SOR 方法，当02ω<< 时迭代收敛（2）若A 为严格对角占优阵，则解方程组 Ax b = 的Jacobi 迭代法，Gauss －Seidel 迭代法均收敛. 对于SOR 方法，当01ω<< 时迭代收敛.【例2.5】 设线性方程组为121221,32,x x x x ⎧+=-⎪⎨+=⎪⎩建立收敛的Jacobi 迭代公式和Gauss －Seidel 迭代公式. 【解】 对方程组直接建立迭代公式，其Jacobi 迭代矩阵为0230J B -⎡⎤=⎢⎥- ⎣⎦，显见谱半径()1J B ρ=>，故Jacobi 迭代公式发散.同理Gauss －Seidel 迭代矩阵为0206G B -⎡⎤=⎢⎥ ⎣⎦，谱半径()61G B ρ=>，故Gauss －Seidel 选代公式也发散. 若交换原方程组两个方程的次序，得一等价方程组121232,21,x x x x ⎧+=⎪⎨+=-⎪⎩其系数矩阵显然对角占优，故对这一等价方程组建立的Jacobi 迭代公式，Gauss －Seidel 迭代公式皆收敛. （3）SOR 方法收敛的必要条件是 02ω<<【定理2.5】 如果A 是对称正定阵，且02ω<<，则解Ax b =的SOR 方法收敛.注：当(0,2)ω∈ 时，并不是对任意类型的矩阵A ，解线性方程组Ax b =的SOR 方法都是收敛的.当SOR 方法收敛时，通常希望选择一个最佳的值opt ω使SOR 方法的收敛速度最快.然而遗憾的是，目前尚无确定最佳超松弛因子opt ω的一般理论结果.实际计算时，大部分是由计算经验或通过试算法来确定opt ω的近似值.所谓试算法就是从同一初始向量出发，取不同的松驰因子ω迭代相同次数(注意：迭代次数不应太少)，然后比较其相应的误差向量()()i i r b Ax =-(或()(1)i i x x --)，并取使其范数最小的松弛因子ω作为最佳松弛因子opt ω的近似值.实践证明，此方法虽然简单，但往往是行之有效的.【例2.6】 求解线性方程组Ax b =，其中10.3000900.308980.30009100.4669110.274710.30898A - -- -0.46691 0= - -- 00.274711(5.32088,6.07624,8.80455,2.67600).T b ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥ - ⎣⎦ =-分别利用Jacobi 迭代法，Gauss －Seidel 迭代法，SOR 迭代法求解. 【解】其结果列入下表中，方程组精确解(五位有效数字)为*(8.4877,6.4275, 4.7028,4.0066).T x =-Jacobi 迭代法计算结果i()1i x()2i x ()3i x ()4i x ()2||||i r0 012.3095 1 5.3209 6.0762 －8.8046 2.6760 5.3609 27.97113.5621 －5.2324 1.90143.631820 8.4872 6.4263 －4.7035 4.0041 0.0041 218.48606.4271 －4.7050 4.0063 0.0028Gauss-Seidel 迭代法计算结果i()1i x()2i x()3i x()4i x()2||||i r0 012.3095 1 5.3209 7.6730 －5.2220 2.8855 3.6202 28.51506.1933 －5.1201 3.90040.49098 8.4832 6.4228 －4.7064 4.0043 0.0078 98.48556.4252－4.70554.00550.0038SOR 迭代法计算结果（1.16ω=）i()1i x()2i x()3i x()4i x()2||||i r0 012.3095 1 6.1722 9.1970 －5.2320 3.6492 3.6659 29.69416.1177 －4.8999 4.43351.33136 8.4842 6.4253 －4.7005 4.4047 0.0051 78.48686.4288－4.70314.00650.0016计算结果表明，若求出精确到小数点后两位的近似解，Jacobi 迭代法需要21次，Gauss －Seidel 迭代法需要9次，而SOR 迭代法(选松弛因子 1.16ω=)仅需要7次，起到加速作用.5．误差分析 【定理2.6】设 *x 是方程 Ax b = 的惟一解，v ⋅ 是某一种向量范数，若对应的迭代矩阵其范数1v B <，则迭代法(1)(),0,1,2,.i i xBx k i +=+ = 收敛，且产生向量序列(){}i x 满足()*()(1)||||||||||||1||||i i i vv vvB x x x x B --≤--()*(1)(0)||||||||||||1||||i i vv vvB x x x x B -≤--【证明】 由迭代收敛基本定理的(3)知，迭代法(1)(),0,1,2,.i i x Bx k i +=+ =收敛到方程的解*x .于是，由迭代公式立即得到(1)*()*(1)()()(1)(),().i i i i i i x x B x x x x B x x ++--=--=-为书写方便把v 范数中v 略去，有估计式(1)*()*||||||||||||,i i x x B x x +-≤⋅-(1)()()(1)||||||||||||.i i i i x x B x x +--≤⋅-再利用向量范数不等式||||||||||||x y x y -≥-于是得第一个不等式()(1)(1)()()*(1)*()*||||||||||||||||||||(1||||)||||,i i i i i i i B x x x x x x x x B x x -++ -≥-≥--- ≥--再反复递推即第二个不等式.注：（1）若事先给出误差精度ε，利用第二个不等式可得到迭代次数的估计(1)(0)(1||||)ln ln ||||||||v v v B i B x x ε⎡⎤->⎢⎥-⎣⎦ （2）在||||v B 不太接近1的情况下，由第一个不等式，可用()(1)||||i i v x x ε--<作为控制迭代终止的条件，并取 ()i x 作为方程组 Ax b = 的近似解.但是在||||v B 很接近1时，此方法并不可靠.一般可取1,2,v =∞或F .【例2.7】 用Jacobi 迭代法解方程组123123123202324,812,231530.x x x x x x x x x ⎧++=⎪++=⎨⎪-+=⎩问Jacobi 迭代是否收敛?若收敛，取(0)(0,0,0)T x =，需要迭代多少次，才能保证各分量的误差绝对值小于610-?【解】 Jacobi 迭代的分量公式为(1)()()123(1)()()213(1)()()3121(2423)201(12),0,1,2,81(3022),15i i i i i i i i i x x x x x x i x x x +++⎧=--⎪⎪⎪=-- =⎨⎪⎪=-+⎪⎩Jacobi 迭代矩阵J B 为130102011088210155J B ⎡⎤ - -⎢⎥⎢⎥⎢⎥=- -⎢⎥⎢⎥⎢⎥- ⎢⎥⎣⎦，由5251||||max ,,1208153J B ∞⎧⎫==<⎨⎬⎩⎭知，Jacobi 迭代收敛. 因设(0)(0,0,0)Tx =，用迭代公式计算一次得(1)(1)(1)12363,, 2.52x x x = = =而(1)(0)|||| 2.x x ∞-=于是有6110(1)13ln ln 13.23i -⎡⎤⋅-⎢⎥>=⎢⎥⎢⎥⎣⎦所以，要保证各分量误差绝对值小于610-，需要迭代14次.【例2.8】 用Gauss －Seidel 迭代法解例2.11中的方程组，问迭代是否收敛?若收敛，取(0)(0,0,0)Tx =，需要迭代多少次，才能保证各分量误差的绝对值小于610-?【解】 Gauss －Seidel 迭代矩阵G B 为102403601()03025524000G B D L U - - ⎡⎤⎢⎥=-+= -⎢⎥⎢⎥ 38 -3⎣⎦显然1||||14G B =<，所以迭代收敛. Gauss －Seidel 迭代分量公式为(1)()()123(1)(1)()213(1)(1)(1)3121(2423),201(12),0,1,2,81(3022),15i i i i i i i i i x x x x x x i x x x ++++++⎧=--⎪⎪⎪=-- =⎨⎪⎪=-+⎪⎩因取(0)(0,0,0)T x =，故迭代一次得(1)(1)(1)1231.2, 1.35, 2.11x x x = = =于是有(1)(0)|||| 2.11x x ∞-=，计算得6110(1)14ln ln 10.2.114i -⎡⎤⋅-⎢⎥>=⎢⎥⎢⎥⎣⎦所在，要保证各分量误差绝对值小于610-，需要迭代11次.。
高等数学课后习题答案第二章
=
1 4
1 tan
x 2
sec 2
x 2
5、设、 y =
1 2π D 1 2π D
e
−
( x−a)2 2D
，其中 a, D 是常数，求出使导数 y ′( x ) = 0 的 x 值
( x −a ) 2 2D
解： y ′ =
e
−
( x − a )2 2D
3、证明： （1） 、可导的偶（奇）函数的导数是奇函数（偶） （2） 、可导的周期函数的导数是具有相同周期的函数 证明：设 f ( x ) 是偶函数，且可导 则
f ( x) = f ( − x ) f (− x + ∆x ) − f (− x ) f ( x − ∆x ) − f ( x ) = lim = − f ′( x ) ∆x → 0 ∆x ∆x
[1 − ( x + ∆x ) 2 ] − (1 − x 2 ) − 2 x∆x − (∆x) 2 = lim = −2 x ∆x → 0 ∆x → 0 ∆x ∆x −b ) 2a
：
3、 设函数 f ( x) = ax 2 + bx + c ， 其中 a, b, c 是常数， 求 f ′( x) ， f ′(0) ， f ′( −1) ， f ′( 解
f ′(− x ) = lim
∆x →0
表明 f ′( x) 是奇函数。 设 f ( x) = f ( x + T )
f ′( x + T ) = lim
∆x →0
f ( x + T + ∆x ) − f ( x + T ) f ( x + ∆x ) − f ( x ) = lim = f ′( x) ∆ x → 0 ∆x ∆x
高等数学第2章课后习题及答案
-----高等数学第2章课后习题及答案习题211 设物体绕定轴旋转 在时间间隔 [0 t]内转过的角度为从而转角是 t 的函数(t) 如果旋转是匀速的 那么称为该物体旋转的角速度 如果旋转t是非匀速的 应怎样确定该物体在时刻t 0 的角速度？解 在时间间隔 [t 0 t 0t] 内的平均角速度为(t 0t ) (t 0 )tt故 t 0 时刻的角速度为l i ml i m l i m(tt) (t 0) (t )t 0t 0 tt 0t2 当物体的温度高于周围介质的温度时物体就不断冷却 若物体的温度 T与时间 t 的函数关系为 T T(t) 应怎样确定该物体在时刻t 的冷却速度？解 物体在时间间隔 [t 0 t 0t]内 温度的改变量为T T(tt) T(t)平均冷却速度为T T (t t) T(t) t t故物体在时刻 t 的冷却速度为limT lim T (t t ) T (t ) T (t) t 0t t 0 t 3 设某工厂生产 x 单位产品所花费的成本是 f(x)元 此函数 f(x)称为成本函数成本函数 f(x)的导数 f (x)在经济学中称为边际成本 试说明边际成本 f (x)的实际意义解 f(x x)f(x)表示当产量由 x 改变到 x x 时成本的改变量f (x x) f (x)表示当产量由 x 改变到 x x 时单位产量的成本xf (x)lim 0f (x x) f ( x)表示当产量为 x 时单位产量的成本x x4 设 f(x)10x 2 试按定义 求 f ( 1)解 f ( 1)limf ( 1 x) f ( 1)10( 1x)2 10( 1)2xlimxxx 010 lim0 2 xx 2 10 lim ( 2x) 20xxx 05 证明 (cos x) sin x解 (cosx) limcos(x x) cosxxx2s i nx(x) s i nxlim2 2x 0 xlim [ s i nx(x ) s i n x] s i nx 2 x 0 2x26 下列各题中均假定 f (x 0)存在 按照导数定义观察下列极限指出 A 表示什么(1) lim f ( x 0x) f ( x 0 ) A xx 解 Alim0f (x 0x) f (x 0)xxl i mf ( xx) f (x 0) f ( x 0 )x 0x(2) lim f (x)A 其中 f(0) 0 且 f (0)存在x 0 x解 Alim f ( x) lim f (0 x) f (0) f (0)x 0 x x 0x (3) lim f (x 0 h) f (x 0 h)Ah 0h解A lim f ( x 0 h 0 lim[ f (xh 0limf (xh 0h)f (x 0 h) hh) f ( x 0 )] [ f (x 0 h) f (x 0)]h h) f (x 0)limf (xh) f ( x 0 ) hh 0hf (x 0) [ f (x 0)] 2f (x 0)7 求下列函数的导数(1)y x 4(2) y 3 x 2(3) y x1 6-----(4) y1 x(5) y1x23 5 x(6) y x232(7) y x x解 (1)y (x 4) 4x 4 1 4x 322 1 2 x (2) y (3 x 2 ) ( x 3 )2x 3331 3(3)y (x 1 6) 1 6x 1 6 1 1 6x 0 61 1 x(4) y ( 1) (x 2)x21 121 x 23 2(5) y(1)( x 2 )2x 3x 23 516 16 16 116 11 (6) y (x x) (x 5)x 5 x 555(7) y ( x2 3 x21 111 x ) (x 6) 1 x 6x 5665 68 已知物体的运动规律为 s t 3(m) 求这物体在 t 2 秒 (s)时的速度解 v(s) 3t 2 v|t 2 12(米 /秒)9 如果 f(x)为偶函数且 f(0)存在 证明 f(0)证明 当 f(x)为偶函数时 f( x) f(x)所以f (0) l i mf (x)f (0) l i m f (x) f (0) l i m f ( x) f (0)x 0xx 0x 0x 0x 0从而有 2f (0) 0 即 f (0) 010 求曲线 ysin x 在具有下列横坐标的各点处切线的斜率x 解 因为 y cos x 所以斜率分别为2 1k 1 c o sk 2 cos 13 2f (0)2x311 求曲线 y cos x 上点 ( , 1) 处的切线方程和法线方程式3 2解 ysin x ysin3x3 23故在点 (, 1) 处 切线方程为 y 1 3(x)3 22 23法线方程为 y 1 2(x )23 312 求曲线 y e x在点 (0 1)处的切线方程 解 y e xy |x 0 1 故在 (0 1)处的切线方程为y 1 1 (x 0)即 y x 113 在抛物线 y x 2上取横坐标为 x 1 1 及 x 2 3 的两点 作过这两点的割线问该抛物线上哪一点的切线平行于这条割线？解 yy(3) y(1)9 1 42x 割线斜率为 k132令 2x 4 得 x 2因此抛物线 y x 2 上点 (2 4)处的切线平行于这条割线 14 讨论下列函数在 x 0 处的连续性与可导性(1)y |sin x| (2) yx 2sin 1x 0xx 0解 (1)因为y(0) 0 lim y lim |sin x | lim ( sin x) 0x 0x 0x 0 lim ylim |sin x|lim sin xx 0x 0x所以函数在 x 0 处连续又因为y (0)l i m y( x)y(0) l i m |si nx | |si n0 |l i m s i nx1x 0x 0x 0x 0x 0xy (0) lim y( x) y(0) lim |sin x | |sin0|lim s i nx 1x 0 x 0 x 0x 0 x 0 x而 y (0) y (0) 所以函数在 x 0 处不可导-----解 因为 lim y(x) lim x 2sin10 又 y(0)0 所以函数在 x 0 处连续x 0 x 0x 又因为21 0y(x) y(0)xs i n1 l i mx l i ml i mxs i n 0 x 0xx 0xx 0x所以函数在点 x 0 处可导 且 y (0) 015 设函数 f (x)x 2x 1为了使函数 f(x)在 x 1 处连续且可导a b 应取什ax b x 1么值？解 因为lim f ( x) lim x 21 limf (x) lim (ax b)a b f(1) a bx 1x 1x1x 1所以要使函数在 x1 处连续 必须 a b 1 又因为当 a b1 时f (1)x 2 12l i m1x 1 xf (1) lim ax b 1 lim a( x 1) a b 1 lim a(x 1) ax 1 x 1 x 1 x 1 x 1x 1 所以要使函数在 x 1 处可导 必须 a 2 此时 b 116已知 f (x)x 2x 0求 f (0)及 f(0) 又 f (0)是否存在？x x 0解 因为f(0) lim f (x) f (0)lim x 0x 0 x x 0x f(0) lim f (x) f (0)lim x 2 0xxx 0x 而 f (0) f (0) 所以 f (0)不存在17 已知 f(x)sin x x0 求 f (x)x x解 当 x<0 时 f(x) sin x f (x) cos x 当x>0 时 f(x) x f (x) 11因为 f (0) lim f (x) f (0) lim sin x 0 1x 0 x x 0xf (0) lim f (x)f (0) lim x 0 1所以 f (0) 1 从而x 0x x 0x f (x)cosx x1 x18 证明 双曲线 xy a 2 上任一点处的切线与两坐标轴构成的三角形的面积都等于 2a 2解 由 xy a 2得 ya 2k ya 2xx 2设 (x 0 y 0)为曲线上任一点则过该点的切线方程为y a2x 0 ) y 02 ( xx 02y x 2令 y 0并注意 x 0y 0a 解得 xx 0 2x 0为切线在 x 轴上的距 a 2令 x 0并注意 x 0y 0 a 2 解得 y a 2y 2 y0 为切线在 y 轴上的距x 0 0此切线与二坐标轴构成的三角形的面积为S1|2x 0 ||2y 0 | 2|x 0 y 0 | 2a 22习题221 推导余切函数及余割函数的导数公式(cot x)csc 2x(csc x)csc xcot x解 (cot x)(cosx )sin x sin x cosx cosxsin xsin 2 x2 21 2s i nx c o s x2 2 c s cxs i nxs i nx( c sxc) ( 1 ) c o xsc s cx c o xt s i nx 2s i n x 2 求下列函数的导数(1) y4 7 2 12x 5 x 4x-----(2) y 5x 3 2x 3e x (3) y 2tan x sec x 1 (4) y sin x cos x (5) y x 2ln x (6) y 3e x cos x(7) yln xxx(8) y e 2 ln 3x(9) y x 2ln x cos x(10) s 1 sint1 cost解 (1) y ( 4 7 2 12)(4x 5 7x 4 2x 112)x 5 x 4 x20x628x52x220282x6x5x2(2) y (5x 32x 3e x ) 15x22xln2 3ex(3) y (2tan x sec x 1)2sec x tan x sec x(2sec x tan x)2sec x (4) y (sin x cos x) (sin x) cos x sin x (cos x)cos x cos x sin x ( sin x) cos 2x(5) y (x 2ln x) 2x ln x x 21 x(2ln x 1)x(6) y (3e x cos x) 3e x cos x 3e x ( sin x) 3e x(cos x sin x)ln x1 x ln x1 ln x(7) y ( ) xx x 2 x 2(8) y ( e x ln 3) e x x 2 e x 2x e x ( x 2)x 2 x 43x(9) y221cos x x 2ln x ( sin x)(x ln x cos x) 2x ln x cos x x x2x ln x cos x x cos x x 2 ln x sin x(10) s (1sin t ) cost(1 cost) (1 sin t)( sin t)1 sin t cost1 cost(1 cost)2(1 cost)23 求下列函数在给定点处的导数(1) y sin x cos x 求 y和 yxx46(2)sin1cos 求d2d4(3) f (x)3 x 2求 f (0)和 f (2)5 x 5解 (1)ycos x sin xyc o s s i n3 1 3 1x22266 6yc o s s i n22 2x2 244 4(2)dsincos1sin1sincosd22d1s i nc o s 1 2 422(1)d4 244 4 2 22 42(3) f (x)32x f (0)3 f (2) 17(5 x)2525154 以初速 v 0 竖直上抛的物体其上升高度 s 与时间 t 的关系是 s v 0t 1gt 22求(1)该物体的速度 v(t)(2)该物体达到最高点的时刻解 (1)v(t) s (t) v 0 gt(2)令 v(t) 0 即 v 0 gt 0 得 t v 0这就是物体达到最高点的时刻g5 求曲线 y 2sin x x 2 上横坐标为 x 0 的点处的切线方程和法线方程 解 因为 y 2cos x 2x y |x 0 2又当 x 0 时 y 0 所以所求的切线方程为y 2x所求的法线方程为-----y 1x即x 2y 0 26求下列函数的导数(1)y (2x 5)4(2)y cos(4 3x)(3) y e 3x 2(4)y ln(1x2)(5)y sin2x(6) y a2x2(7)y tan(x2)(8)y arctan(e x)(9)y(arcsin x)2(10) y lncos x解 (1) y4(2x 5)4 1 (2x5) 4(2x 5)3 2 8(2x 5)3 (2)y sin(4 3x) (4 3x)sin(4 3x) ( 3) 3sin(4 3x)(3) y e 3 x2 ( 3x2 )(4)y1 (1 x2)1x2(5)y 2sin x (sin x) e 3x 2(6x)6xe 3x212x2x1 x2 1 x22sin x cos x sin 2x(6) y [( a21] 1 (a211(a2 x2 ) x2) 2x2) 221 (a2x2 )1x2 ( 2x)x2 2a2 (7) y sec2(x2) (x2)2xsec2(x2)(8) y1x2 (e x)e x2x1(e ) 1 e2 arcsin x (9) y2arcsin x (arcsin x)1x2(10) y1 (cosx)1( sin x) tan xcosx cosx 7 求下列函数的导数(1) y arcsin(1 2x)(2) y11 x 2x(3) y e 2 cos3x(4) y arccos 1x(5) y1 ln x1 ln x (6) y sin 2xx(7) y arcsin x(8) y ln(x a 2 x 2 ) (9) y ln(sec x tan x)(10) y ln(csc x cot x)解 (1) y1(1 2x)21 1 (1 2x)2x x 21 (1 2x) 2(2) y [(111 1 x 2)x 2) 2]1(1 x 2) 2(1213x(1 x 2 ) 2 ( 2x)x 22(1 x 2 ) 1xxxx) cos3xx(3) y (e 2) cos3x e 2(cos3x) e 2(e 2( sin 3x)(3x)21 e xxx2 c o 3sx 3e 2 s i n3x 1e 2( c o3sx6s i n3x)22-----(4) y1 1 (1)1 1 ( 1 )|x|1 (2 x 1 ( ) 2x2x 2x21)xx1(1 l n x) (1 ln x)12(5) yxx(1ln x) 2x(1 ln x)2(6) ycos2x 2 x sin 2x 1 2x cos2x sin2xx2x2(7) y1( x)1111 ( x)21 ( x )22 x 2 x x 2(8) y1x 2 (xa 2x 2 )1x 2 [1 1(a 2 x 2) ]xa 2x a 22 a 2 x 21[112 (2x)]1x a 2 22 a 2x a 2x 2x(9) y1(secx tan x) secxtan x(10) y1(csc x cot x)csc x cot xsecx tan x sec 2x secxsecx tan x cscx cot x csc 2 x cscxcscx cot x8 求下列函数的导数(1) y (arcsin x )22(2) y ln tan x2(3) y 1 ln 2 x(4) y e arctan x(5) y sin nxcos nx(6) y arctanx 1x 1(7) y arcsinxarccosx(8) y=ln[ln(ln x)](9) y1x 1 x 1 x1 x(10) y arcsin1 x1 x解 (1) y2(arcsin x ) (arcsin x)2 22( a r c s xi)n 1( x)2 1 ( x )2 222( a r c s xi) n1 x 12 1 ( ) 222x2a r c s i n24 x 2(2) y1x (tan x) 1 x sec 2 x( x)tan 2 tan2 22 2(3) y(4) y1 2 x 1x s e c2 c s cxt a n 22 1 ln 2 x 2 1 (1 ln 2 x)1 ln2 x1 2ln x ( l nx)12ln x12 1 ln 2x2 1 ln 2xxln xx1 ln2 xearctan x(arctan x)e arctan x1 x) 2( x)1 (-----e a r c t axn11x e a r c t axn1( x)2 2 2 x(1 x)(5) y n sin n 1x (sin x) cos nx sin n x ( sin nx) (nx)n sin n 1x cos x cos nx sin n x ( sin nx) nn sin n 1x (cos x cos nx sin x sin nx) n sin n 1xcos(n 1)x(6) y1( x 1) 1(x 1) ( x 1)11 ( x 1) 2x 11 (x 1)2(x 1)2 1 x 2x 1x 11arccosx 1 arcsin x1 x2 1 x 2(7) y(arccos x)21 a r c c oxs a r c s ixn1 x22( ar c c ox)s2 1 x 2 ( a r c cxo)2s(8) y1 ln(ln x)1ln(ln x)[ln(ln x)] 11(ln x)ln(ln x) ln x 1 1 1 ln x x xln x l n ( lxn)(1 1 )( 1 x1 x) ( 1 x1 x)(1 1)(9) y2 1 x 2 1 x2 1 x 2 1 x( 1 x1 x)211 x 21 x2(10) y1 (1 x) 1 (1 x) (1 x)1 1 x 1 x 1 1 x(1 x)21 x1 x1(1 x) 2x(1 x)9. 设函数 f(x)和 g(x)可导且 f 2(x) g 2(x) 0 试求函数 y f 2 (x) g 2 (x) 的导数解 yf 1[ f 2(x) g2 (x)]22 (x)g 2(x)1[2 f (x) f ( x) 2g(x) g ( x)] 2f 2(x)g2(x)f (x) f (x)g(x)g (x)f 2 (x)g 2 (x)10设 f(x)可导求下列函数 y 的导数dy dx(1) y f(x2)(2)y f(sin2x) f(cos2x)解 (1) y f (x2) (x2)f(x2) 2x 2x f (x2)(2)y f(sin2x) (sin2x) f (cos2x) (cos2x)f(sin2x) 2sin x cos x f (cos2x) 2cosx ( sin x)sin 2x[f (sin2x)f(cos2x)]11求下列函数的导数(1)y ch(sh x )(2)y sh x e ch x(3)y th(ln x)(4)y sh3x ch2x(5)y th(1 x2)(6)y arch(x2 1)(7)y arch(e2x)(8)y arctan(th x)(9)y ln chx12 x 2ch(10)y ch2( x 1) x 1解 (1) y sh(sh x) (sh x) sh(sh x) ch x(2) y ch x e ch x sh x e ch x sh x e ch x(ch x sh2x)(3) y1(ln x)12 (ln x)2 (ln x)ch x ch-----(4) y3sh 2x ch x 2ch x sh x sh x ch x (3sh x 2) (5) ych 21 2 (1 x 2)2 2xx 2 )(1 x )ch (1 (6) y1 1(x 2 1)2x( x 2 1)x 4 2x 2 2(7) y1(e 2x)2e2x(e 2x )21 e 4 x 1 (8) y 1(th x) 1 1 1 1 1 (thx) 2 1 th 2 x ch 2 x 1 2 2sh x ch xch 2x 1 1ch 2 x sh 2x 1 2sh 2 x(9) y1 (ch x) 1 (ch 2x)ch x2ch 4 xsh x 1 2ch x shxch x2ch 4 xsh x shx sh x ch 2x shxch xch 3x ch 3xsh x (ch 2 x 1) sh 3x th 3xch 3xch 3x(10) y2ch(x1) [ch(x1)] 2ch(x1) sh(x1) ( x 1)x 1x 1x 1 x 1 x 1sh(2x 1(x 1) (x 1)2sh(2 x 1)(x 1)2( x 1)2 )x 1x 112 求下列函数的导数(1) y e x (x 2 2x 3)(2) y sin 2x sin(x 2) (3) y (arctan x )22(4) yln xx ne t e (5) ye t ett(6) y ln cos 1x(7) y e sin 2 1x(8) y x x(9) yxarcsinx4 x 22(10) y arcsin2t1 t 2解 (1) y e x (x 2 2x 3) e x (2x 2) ex( x 2 4x 5)(2) y2 222sin x cos x sin(x ) sin x cos(x ) 2xsin2x sin(x 2) 2x sin 2x cos(x 2)(3) y 2arctanx1 1 4 arctan x2 1 x 2 2 x 2 4 241 xnln x nxn 11 n ln x(4) yxx 2nx n 1(5) y(e te t )(e t e t ) (e t e t )(e te t )4e 2t(e t e t )2(e 2t 1) 211111 1 1(6) y sec x (cos x ) sec x ( sin x ) ( x 2 ) x 2tanx(7) y esin 21 ( sin 21) e sin 21xxx( 2sin 1) cos1( 1 ) xxx2122 1s i nx 2 s i nexx(8) y1x (x x )2 1 (1 1 ) 2 xxx2 x2 x 1 4 xxx(9) y arcsinxx1 12 1 ( 2x) arcsin x21 x2 2 4 x 2 24-----(10) y1 ( 2t ) 12 (1 t 2) 2t (2t) 1 (2t)2 1 t 21 ( 2t )2 (1 t 2) 21 t21 t21 t22(1 t 2)2(1 t 2)(1 t 2)2 (1 t 2 )2 |1 t 2 |(1 t 2 )习题231 求函数的二阶导数(1) y 2x 2ln x (2) y e2x 1(3) y xcos x (4) y e t sin t (5) y a 2 x 2 (6) y ln(1 x 2)(7) y tan x1(8) yx 3 12(9) y (1 x )arctan x(10) ye xx(11) y x 2xe(12) y ln( x 1 x 2 )解 (1) y 4x1 y4 1xx2(2) y e 2x 12 2e 2x 1y 2e2x 1 2 4e 2x 1(3) y xcos x y cos x xsin xy sin x sin x xcos x2sin x xcos x(4) ye tsin t e tcos t e t(cos t sin t)ye t (cos t sin t) e t ( sin t cos t) 2e t cos t(5) y21x2(a2x2)xx2a2a2a2x2x xa2ya2x2a2 x2(a2 x2 ) a2 x2(6) y11(1x2 )12x x2x2y 2(1x2 )2x (2x)2(1 x2)(1 x2 )2(1x2 )2(7) y sec2 xy2sec x (sec x)2sec x sec x tan x2sec2x tan x(8) y(x31)3x2 (x31) 2(x31)2y 6x ( x31)23x22( x31) 3x6x(2x3 1) (x3 1)4(x31)3(9) y2xarctanx(1x2)112xarctanx1 x2y2a r c t xa n2x1 x2(10)y e x x e x 1e x( x 1)x2x2y [e x( x 1) e x] x2 e x( x 1) 2x e x(x2 2x 2)x4x3(11)y e x 2x e x2(2x)e x2(12x2 )yx22x24xx22 e2x (12x )e2xe(32x )(12)y12( x1x2 )12(12x 2 )12x 1 x x 1 x 2 1 x 1 x y1(1 x2 )12x x1 x2 1 x22 1 x2)(1 x) 2 1 x-----2 设 f(x)(x6(2)?10)f解 f(x) 6(x5f(x)43 10)30(x 10) f (x) 120(x 10)f(2)120(210)32073603若 f (x)存在求下列函数 y 的二阶导数d2ydx2(1)y f(x2)(2)y ln[ f(x)]解 (1)y f(x2) (x2) 2xf(x2)y2f(x2)2x 2xf(x2)2f(x2) 4x2f(x2)(2) y1 f (x)f (x)f(x) f (x) f ( x) f(x)f( x) f (x)[ f ( x)] 2 y[ f ( x)]2[ f ( x)]24试从dx 1导出dy y(1) d 2 x ydy 2( y ) 3(2)d 3x3( y )2y y dy3( y )5解(1) d 2x d dx d1d1dx y1ydy2dy dy dy y dx y dy( y )2y( y )3(2) d3x d y d y dxdy3dy y 3dx y 3dyy ( y )3 y 3( y )2 y13( y )2 y y(y )6y(y )55已知物体的运动规律为s Asin t(A、是常数 )求物体运动的加速度并验证d 2s2 s 0dt 2解dsA cos t dt d2 s A 2 sin t dt 22d s就是物体运动的加速度dt2d2 s 2 s A 2 s i n t2 As i n t 0dt 2C1e x C2e x(6验证函数 y C1 C2是常数 )满足关系式y2y 0解y C1 e x C2 e xy C12e x C22e xy2y (C12e x C22e x)2(C1e x C2e x)(C12e x C22e x) (C12e x C22e x) 0 7验证函数 y e x sin x 满足关系式y2y2y 0解 y e x sin x e x cos x e x(sin x cos x)y e x(sin x cos x)e x(cos x sin x) 2e x cos xyx xcos x)x2y 2y 2e cos x2e (sin x2e sin x 2e x cos x2e x sin x2e x cos x2e x sin x 08求下列函数的 n 阶导数的一般表达式(1) y x n1n 12n 2n 1n 12n 都是常数)a x a x a x a (a a a(2)y sin2x(3)y xln x(4)y xe x解 (1) y nx n 1(n1)a1x n 2 (n2)a2x n 3a n 1y n(n1)x n 21 n 32n 4n 2 (n 1)(n2)a x(n 2)(n 3)a x ay(n) n(n 1)(n 2) 2 1x0 n!(2) y 2sin x cos x sin2xy 2c o 2sx 2s i n2(x)2-----y22 c o s2x()22 s i n2x( 2)22y(4)23 c o s2x(2) 23 s i n2(x 3 )22y(n)2n 1s i n2x[ (n 1)]2(3)y ln x 1y 1 x1xy ( 1)x 2y(4) ( 1)( 2)x 3y(n)(1)( 2)( 3) ( n 2)x n 1( 1)n 2(n 2)!( 1)n (n 2)!x n 1x n 1(4) y e x xe xy e x e x xe x 2e x xe xy 2e x e x xe x 3e x xe xy(n) ne x xe x e x(n x)9求下列函数所指定的阶的导数(1)y e x cos x 求 y(4)(2)y xsh x 求 y(100)(3) y x2sin 2x求y(50) .xv cos x有解 (1)令 u eu u u u(4)e xv sin x v cos x v sin x v(4) cos x所以y(4)u(4) v4u v6u v4u v u v(4)e x[cos x4(sin x)6(cos x)4sin x cos x] 4e x cos x(2)令 u x v sh x则有u 1 u0v ch x v sh x v(99)ch x v(100) sh x所以y(100)u(100)v C1 u(99) v C2u(98) v C 98 u v(98) C99 u v(99)u v(100)100100100100100ch x xsh x(3)令 u x2 v sin 2x则有u2x u 2 u0v(48)248 sin(2x48)248 s i n2x2v(49)249cos 2x v(50)250sin 2x所以y(50)u(50)v C1501u(49) v C502u(48) v C5048u v(48) C5049u v(49) u v(50)C5048u v(48)C5049u v(49) u v(50)50 492 228 sin 2x50 2x 249 c o 2sx x2 (250 s i n2x)250x2sin 2x50xc o 2sx12252 (s i n2x)2习题231求函数的二阶导数(1)y 2x2 ln x(2)y e2x 1(3)y xcos x(4)y e t sin t(5)y a2 x2(6)y ln(1 x2)(7)y tan x1(8) yx3 1(9) y (1 x2)arctan x(10) y e xx-----(11) y xe x2(12) y ln( x1x2 )解 (1) y4x1y41x x2(2) y e2x 1 2 2e2x 1y2e2x 1 2 4e2x 1(3) y xcos x y cos x xsin xy sin x sin x xcos x2sin x xcos x(4) y e t sin t e t cos t e t (cos t sin t)y e t(cos t sin t) e t (sin t cos t)2e t cos t(5) y21x2(a2x2)xx2a2a2a2x2x xx2a2ya2a2 x2(a2 x2 ) a2 x2(6) y11(1x2 )12x x2x2y 2(1x2 )2x (2x)2(1x2)(1 x2 )2(1x2 )2(7) y sec2 xy2sec x (sec x)2sec x sec x tan x2sec2x tan x(8) y(x31)3x2 (x31) 2(x31)2y 6x ( x31)23x22( x31) 3x 6x(2x3 1) (x31)4(x31)3(9) y2xarctanx(1x2)112xarctanx1 x2y2a r c t xa n 2x21 x(10)y e x x e x1 e x( x 1)x2x2y[e x ( x 1) e x ] x 2 e x ( x 1) 2x e x (x 2 2x 2)x4x3(11) ye x 2 x e x 2 (2x) e x 2 (1 2x 2 )yx 22x (1 2x 2x22e 2x ) e4x 2xe (3 2x )(12) y1( x1x 2 ) 1 (1 2x ) 1x 1 x 2x 1 x 22 1 x 21 x 2y1(1 x 2) 12xx1 x21 x 22 1 x 2)(1 x) 21 x2 设 f(x) (x 10)6f (2) ?解 f (x) 6(x 10)5 f (x) 30(x 10)4f (x) 120(x 10)3f(2) 120(2 10)3 2073603 若 f (x)存在 求下列函数(1) y f(x 2)(2) y ln[ f(x)]解 (1)yf(x 2) (x 2) 2xf (x 2) y 2f(x 2) 2x 2xf (x 2) (2) y1 f (x)f (x)f (x) f (x) f( x) f (x) y2[ f ( x)]4 试从dx 1导出dy y(1) d 2xydy 2( y ) 3(2)d 3x 3( y )2 y ydy3( y )5解 (1) d 2xd dxd 1dy2dy dydyyd 2 yy的二阶导数d x 22f (x 2) 4x 2f (x 2)f ( x) f (x) [ f ( x)] 2[ f ( x)]2d1dx y 1y dx y dy( y )2 y( y )3(2) d3x d y d y dxdy3dy y 3dx y 3dyy ( y )3 y 3( y )2 y13( y )2 y y(y )6y(y )55已知物体的运动规律为s Asin t(A、是常数 )求物体运动的加速度并验证d 2s2s 0dt 2解dsA cos t dt d2 s A 2 sin t dt 22d s就是物体运动的加速度dt2d2 s 2 s A 2 s i n t2 As i n t 0dt 2C1e x C2e x(6验证函数 y C1 C2是常数 )满足关系式y2y 0解y C1 e x C2 e xy C12e x C22e xy212e x C22x21x2e x)y (C e ) (C e C(C12e x C22e x) (C12e x C22e x) 0 7验证函数 y e x sin x 满足关系式y2y2y 0解 y e x sin x e x cos x e x(sin x cos x)y e x(sin x cos x)e x(cos x sin x) 2e x cos xyx xcos x)x2y 2y 2e cos x2e (sin x2e sin x 2e x cos x2e x sin x2e x cos x2e x sin x 08求下列函数的 n 阶导数的一般表达式(1) y x n1n 12n 2n 1n 12n 都是常数)a x a x a x a (a a a(2) y sin2x-----(3)y xln x(4)y xe x解 (1) y n 11n 2(n2 n 3n 1nx(n 1)a x2)a x ay n(n1)x n 2 (n1)(n2)a1x n 3(n 2)(n 3)a2x n 4a n 2y(n) n(n 1)(n 2) 2 1x0 n!(2) y2sin x cos x sin2xy2c o 2sx 2s i n2(x)2y22 c o s2x() 22 s i n2x( 2)22y(4) 23 cos(2x2) 23 sin(2x 3 )22(n)n 1y 2 s i n2x[ (n 1)](3)y ln x 1y 1x 1 xy ( 1)x 2y(4) ( 1)( 2)x 3(n)( 1)( 2)( 3)( n 2)x n 1( 1)n 2 (n 2)!( 1)n (n 2)!y x n 1x n 1 (4)y e x xe xy e x e x xe x 2e x xe xy 2e x e x xe x 3e x xe xy(n) ne x xe x e x(n x)9求下列函数所指定的阶的导数(1)y e x cos x 求 y(4)(2)y xsh x 求 y(100)(3)y x2sin 2x 求 y(50) .所以所以xv cos x有解 (1)令 u eu u u u(4)e xv sin x v cos x v sin x v(4)cos xy(4)u(4) v4u v6u v4u v u v(4)e x[cos x4(sin x)6(cos x)4sin x cos x] 4e x cos x(2)令 u x v sh x则有u 1 u0v ch x v sh x(99)ch x(100)sh xv vy(100) u(100) v C1 u(99)v C2u(98)v C 98 u v(98)C99 u v(99)u v(100) 100100100100(3)令 u x2u 2xv(48)100ch x xsh xv sin 2x 则有u 2 u0248 sin(2x 48 )248 s i n2x2v(49)249cos 2x v(50)250sin 2x所以y(50)u(50)v C1501u(49) v C502u(48) v C5048u v(48) C5049u v(49) u v(50) C5048u v(48) C5049u v(49) u v(50)50 492 228 sin 2x50 2x 249 c o 2sx x2 (250 s i n2x)250x 2sin 2x50xc o 2sx1 2 2 52 (2s i n2x)习题241求由下列方程所确定的隐函数 y 的导数dydx(1)y2 2x y 9 0(2)x3 y3 3axy 0(3)xy e x y(4)y 1 xe y解 (1)方程两边求导数得-----2y y 2y 2x y 0于是(y x)y yyyy x(2)方程两边求导数得3x 2 3y 2y 2ay 3axy 0于是(y 2 ax)y ayx 2yay x 2y2ax(3)方程两边求导数得y xy e x y (1 y )于是(x e x y )y e x y ye x yyyx e x y(4)方程两边求导数得y e y xe yy于是(1 xe y )y e yyey1 xey222在点 ( 2a, 2a) 处的切线方程和法线方程2 求曲线 x3y 3a34 4解 方程两边求导数得 2 x31 13 2y 3 y 031于是yx31y3在点 (2a,2a) 处 y 144所求切线方程为y2a ( x2a) 即 x y 2 a442所求法线方程为y2a (x2a) 即 x y 04423 求由下列方程所确定的隐函数 y 的二阶导数d ydx22 2(1) x y 1(2) b 2x 2 a 2y 2 a 2b 2 (3) y tan(x y)(4) y 1 xe y解 (1)方程两边求导数得2x 2yy 0yx yy ( x)y xxy xy y y 2x 21yy 2y 2y 3 y 3(2)方程两边求导数得2b 2 x 2a 2 yy 0yb 2 xa2yy x( b 2 x)b 2 y xy b 2 a 2 y ya2y2a2y 2b 2 a 2 y 2 b 2 x 2b 4a2a 2 y3a 2 y3(3)方程两边求导数得y sec 2(x y) (1 y )2y)1y s e c( x2y) 2y) 11 s e c(xc o s( x2y)21s i n(xc o s(x y)12y)y 2s i n( xy23 y23( 112 )2(1 y 2 )y 5yyy(4)方程两边求导数得yyy e xe y-----yeyeyey1 xe y1 (y 1)2 yye y y (2 y) e y ( y ) e y (3 y) y e 2 y (3 y)(2 y)2(2 y)2(2 y)34 用对数求导法求下列函数的导数(1) y ( x )x1 x (2) y5x 525 x2(3) yx 2(3 x)4( x 1)5(4) y xsin x 1e x解 (1)两边取对数得ln y xln|x| xln|1 x|，两边求导得1 y ln x x 1 l n1( x) x 1y x 1 x 于是y ( x)x[ l nx1 ]1 x 1 x 1x(2)两边取对数得ln y1ln |x 5|1l nx(22)两边求导得5251 y1 1 12x2y5 x 525 x 2于是y 1 5x 5[11 2x ]5 5 x 2 2x 5 5 x 2 2(3)两边取对数得ln y1l nx( 2) 4 l n3( x) 5l n x( 1)2两边求导得1 y 1 3 45y 2(x 2)x x 1于是yx 2(3x)4 [ 12)4 5 ](x 1)52(x x 3 x 1(4)两边取对数得ln y1ln x1ln s i nx1l n1( e x )两边求导得22 41 y1 1 c o xte xy 2x24(1 e x )于是yxs i nx 1 e x[11c o xte x]2x 2 4(1 e x )1 x 22c o tx e x ]4 xs i nx 1 e [ x e x1 dy5求下列参数方程所确定的函数的导数dxx at 2(1)y bt2x (1 sin ) (2)ycos解 (1)dyy t 3bt 2 3b tdxx t 2at 2ady ycos sin(2) dx x 1 sincos6 已知xe tsin t, 求当 t 3 时 dy的值y e tcost. dx解dy y te t cost e t sin t costsin t dxx t e tsin t e tcost sintcostdy 1 3 1 3 当 t 时 2 2 3 2dx 1 3 1 3 32 27 写出下列曲线在所给参数值相应的点处的切线方程和法线方程(1)x sin t在 t处y cos2t4x3at (2)1 t 2在 t=2 处y 3at 21 t 2解 (1) dyy t2sin 2tdxx tcost-----dy 2sin(2)当 t时42 2 2 x02y0 0 dx4cos2242所求切线方程为y 2 2(x2) 即2 2x y 2 0 2所求法线方程为y1(x 2 )即 2x 4y1222(2) y t 6at (1t2 )3at 2 2t6at(1t 2 )2(1t 2 )2x t 3a(1t 2)3at2t3a3at 2 (1t 2 )2(1t 2)2dy y t6at2tdx x t3a3at 21t 2当 t 2 时dy 2 24x 6a ydx1223050所求切线方程为012a 5y12 a 4(x6a)即 4x 3y 12a 0535所求法线方程为y12 a3(x 6a)即 3x 4y 6a 0545d 2 y8求下列参数方程所确定的函数的二阶导数dx2 x t 2(1)2y 1 t. xacost(2)y bsin t(3)x3e t y2e t(4)x f t (t )设 f(t)存在且不为零y tf t (t) f (t)dy y t1 d 2 y(y x)t1解 (1)t 21 dx x t t dx2x t t t3(2) dy y tbcostbcot tdx x t asin t ab 2 d 2 y (y x )t a csc t b dx 2 x t asin ta 2 sin 3 tdy y t 2e t22t(3) dx x t3e t3ed 2y( y x )t2 2t3 2e4 3tdx 2x t3e te9 (4) dy y t f (t) tf (t) f (t)dx x tf (t)td 2 y ( y x )t 1dx 2x tf (t)9 求下列参数方程所确定的函数的三阶导数(1) x 1 t 2y t t3(2)x ln(1 t 2) y t arctan t解 (1)dy (t t 3)1 3t2dx (1 t 2 )2t1 3t 2d 2y ( 2t )1 ( 1 3) dx 22t4 t 3 t1 1 3d 3y 4 ( t 3t )3(1 t 2)dx 32t8t 5dy (t arctan t)11(2)1 t 21 tdx [ln(1 t 2)]2t 21 t21d 2 y ( 2t) 1 t 2 dx 22t 4t1 t 23d y-----1 t 2d 3 y ( 4t ) t 4 1dx 3 2t 8t 31t 210 落在平静水面上的石头 产生同心波纹 若最外一圈波半径的增大率总是6m/s 问在 2 秒末扰动水面面积的增大率为多少？解 设波的半径为 r 对应圆面积为 S 则 S r 2 两边同时对 t 求导得S t 2 rr当 t 2 时 r 6 2 12 r t 6故 S t t 22 126 144( 米 2 秒)| 其速率为 4m 2/min11 注水入深 8m 上顶直径 8m 的正圆锥形容器中 当水深为 5m 时 其表面上升的速度为多少？解水深为 h 时 水面半径为 r1 h 水面面积为 S 1 h 21hS 1 h 1 h 224水的体积为 Vh 33 34 12dV 12 3h 2dh dh 4 dVdt dt dt h 2 dt已知 h 5(m)， dV 4 (m 3/min) 因此 dh 4 dV 4 4 16(m/min)dtdt h 2 dt252512 溶液自深 18cm 直径 12cm 的正圆锥形漏斗中漏入一直径为 10cm 的圆柱形筒中 开始时漏斗中盛满了溶液 已知当溶液在漏斗中深为 12cm 时 其表面下 降的速率为 1cm/min 问此时圆柱形筒中溶液表面上升的速率为多少？解 设在 t 时刻漏斗在的水深为 y 圆柱形筒中水深为 h 于是有1 62 18 1r 2 y 52hy 3y3由 r得 r 代入上式得 6 18 31 62 18 1 ( y ) 2 y 23 3 3 5 h即162 18 1y 3 52 h 两边对 t 3 33求导得1 y2 y 52 h32t当 y 12 时 y t1 代入上式得1 122( 1) 16h t32 52 0.64 (cm/min).25。
高数(高等教育出版社)第一版,第二章习题详解参考
第二章习题解答参考习 题 2-11．设()=8f x x ，试按定义求(1)f '． 解 ()()()0011818(1)=limlim 8x x f x f x f x x∆→∆→+∆-+∆-'==∆∆． 2．设2()=f x ax bx c ++，其中,,a b c 为常数.按定义求()f x '． 解 ()()()0=limx f x x f x f x x∆→+∆-'∆()()()220limx a x x b x x c ax bx c x∆→+∆++∆+-++=∆()202lim 2x ax x a x b x ax b x∆→∆+∆+∆==+∆． 3．证明 (sin )=cos x x '． 证 设()sin f x x =，则()()()sin sin 2cos sin 22x x f x x f x x x x x ∆∆⎛⎫+∆-=+∆-=+ ⎪⎝⎭ ()()()002cos sin 22lim lim x x x x x f x x f x f x x x∆→∆→∆∆⎛⎫+ ⎪+∆-⎝⎭'==∆∆0sin2lim cos cos 22x xx x x x ∆→∆∆⎛⎫=+⋅= ⎪∆⎝⎭， 所以 (sin )=cos x x '．4．下列说法可否作为()f x 在0x 可导的定义 （1）000()()limh f x h f x h h→+--存在；解 不能．因为从极限式中不能判断()0f x 存在，也不能判断000()()limh f x h f x h→+-存在．例如()f x x =在0x =点不可导，但00(0)(0)limlim 0h h h h f h f h h h→→--+--==却存在．（2）000()()lim h f x h f x h +→+-和000()()lim h f x h f x h+→---存在且相等；解 可以．因为()0000()()lim h f x h f x f x h++→+-'=，()0000000()()()()lim lim h h f x h f x f x h f x f x h h+--→-→----'==--，根据导数存在的充要条件，可知()0f x '存在．5．求下列函数的导数：（1）5y x =； （2）y =； （3）y x =； （4）13log y x = ； （5）y =（6）lg y x =．解 （1）51455y x x -'==；（2）132212y x x --'⎛⎫'==-= ⎪⎝⎭（3）221577222277y x x x '⎛⎫'=== ⎪⎝⎭（4）111ln 3ln3y x x '==-； （5）25152326616y x x x +--''⎛⎫⎛⎫'==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（6）1ln10y x '=． 6．已知物体的运动规律为3s t =(米)，求这物体在2t =(秒)时的速度． 解 因为3s t =，23dsv t dt==，所以2t =时，()223212v =⨯=． 7．如果()f x 为偶函数，且(0)f '存在，证明(0)=0f '．证 因为()()0(0)=lim x f x f f x∆→∆-'∆，而()f x 为偶函数，故()()f x f x -∆=∆，所以()()()()000(0)limlim (0)x x f x f f x f f f x x∆→∆→-∆--∆-''==-=-∆-∆， 所以(0)=0f '．8．抛物线2y x =在哪一点的切线平行于直线45y x =-在哪一点的切线垂直于直线2650x y -+=解 由2y x =，可得2y x '=，若切点为()200,x x ，则依题设024x =，即02x =时，切线平行于直线45y x =-；01213x ⋅=-，即032x =-时，切线垂直于直线2650x y -+=；所以抛物线2y x =在点()2,4的切线平行于直线45y x =-在点39,24⎛⎫- ⎪⎝⎭的切线垂直于直线2650x y -+=．9．在抛物线2y x =上取横坐标为11x =及23x =的两点，作过这两点的割线，问该抛物线上哪一点的切线平行于这条割线解 由题设可知2y x '=，所取的两点为()1,1，()3,9，连接两点的直线斜率为4k =，依题设，应有24x =，即2x =，所以所求点为()2,4．10.如果()y f x =在点()4,3处的切线过点()0,2，求()4f '． 解 依题设，曲线在点()4,3处的切线为()()344y f x '-=-，满足()()23404f '-=-，从而()144f '=．11．讨论下列函数在0x =处的连续性与可导性：（1）y = （2）21sin ,0,0,0.x x y xx ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩ 解（1）因为()000x y →==，所以y =0x =点连续，而20031lim x x x →→==+∞，所以y =0x =点不可导；（2）因为()201lim sin 00x x y x →==，所以21sin ,0,0,0.x x y x x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩在0x =点连续， 又 2001sin1limlim sin 0x x x x x x x →→==，所以21sin ,0,0,0.x x y x x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩在0x =点可导． 12．设sin ,0()=,0x x f x ax b x <⎧⎨+≥⎩在0x =处可导，求,a b 的值．解 因为sin ,0()=,0x x f x ax b x <⎧⎨+≥⎩在0x =处可导，所以()0lim ()0x f x f →=，且()()00f f -+''=，又0lim ()0x f x -→=，0lim ()x f x b +→=，()0f b =，故0b =，()00f =， 从而()()()000sin 0lim lim 1x x f x f xf x x---→→-'===， ()()()0000lim lim x x f x f ax f a xx +++→→-'===，所以1a =． 13．已知2,0(),0x x f x x x ⎧≥=⎨-<⎩，求(0)f +'，(0)f -'和(0)f '．解 因为2,0(),0x x f x x x ⎧≥=⎨-<⎩，所以()200()0(0)lim lim 0x x f x f x f x x +++→→-'===， ()00()0(0)lim lim 1x x f x f xf x x---→→--'===-，所以(0)f '不存在． 14．设函数33,0()=,0x x f x x x ⎧≥⎨-<⎩，求()f x '．解 当0x >时，2()3f x x '=，当0x <时，2()3f x x '=-，当0x =时，()()3000(0)limlim 0x x f x f x f xx +++→→-'===， ()()3000(0)lim lim 0x x f x f x f xx ---→→--'===，所以(0)0f '=，所以 223,0()=3,0x x f x x x ⎧≥'⎨-<⎩．15．设所给的函数可导，证明：（1）奇函数的导函数是偶函数；偶函数的导函数是奇函数； （2）周期函数的导函数仍是周期函数． 证 （1）设()f x 为奇函数，则()()f x f x -=-， 而()()()limh f x h f x f x h→+-'=，()()()()()0limlim h h f x h f x f x h f x f x h h→→-+----+'-== ()()0lim h f x h f x h →--=-()()()0lim h f x h f x f x h→--'==-，所以()f x '为偶函数；相似地，若()f x 为偶函数，则()()f x f x -=，于是()()()()()0limlim h h f x h f x f x h f x f x h h→→-+----'-== ()()()0limh f x h f x f x h→--'=-=--，所以()f x '为奇函数．（2）设()f x 为周期函数，则存在T ，使()()f x T f x +=，则()()()0limh f x T h f x T f x T h →++-+'+=()()()0lim h f x h f x f x h→+-'==， 所以()f x '也是以T 为周期的周期函数．16．设有一根细棒，取棒的一端作为原点，棒上任意点的坐标为x ．于是分布在区间[0,]x 上细棒的质量m 是x 的函数()m m x =．应怎样确定细棒在点0x 处的线密度（对于均匀细棒来说，单位长度细棒的质量叫这细棒的线密度）解 设在0x 处的线密度为()0x ρ，给0x 以x ∆的增量， 则在区间00[,]x x x +∆上细棒的平均线密度为()()00m x x m x x+∆-∆，故()()()()00000limx m x x m x x m x xρ∆→+∆-'==∆．17．证明：双曲线2xy a =上任一点处的切线与两坐标轴构成的三角形的面积都等于22a ．证 由2xy a =可得2,0a y x x =≠，于是22,0a y x x '=-≠，若切点为200,a x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则该点处的切线为()220200a a y x x x x -=--，它与两坐标轴的交点分别为()02,0x ，2020,a x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以所求三角形的面积为220012222a S x a x =⨯⨯=． 18．设函数()f x 在0x =处可导，试讨论函数|()|f x 在0x =处的可导性． 解 因为函数()f x 在0x =处可导，所以()()0()0lim0x f x f f x→-'=存在， 而()()()0limx x f x f f x x=→-'=，故（1）若(0)0f =，由()()0()0lim 0x f x f f x →-'=可知：()()0f x f xα'=+，其中lim 0x α→=，从而()()0f x x f α'=+⎡⎤⎣⎦，此时()()()000limlim 0x x x x f xf x f xxαα=→→'+⎡⎤⎣⎦''==⋅+， 因此|()|f x 在0x =点的左导数为()0f '-，右导数为()0f '， 所以|()|f x 在0x =处可导的充要条件是()00f '=；（2）若(0)0f ≠，设(0)0f >，则()0lim ()00x f x f →=>，由保号性定理，0δ∃>，当()0,x U δ∈时，()0f x >， 此时有()()()()0()0()0limlim0x x x f x f f x f f x f xx=→→--''===，相似地， 若(0)0f <，则()0lim ()00x f x f →=<，由保号性定理，0δ∃>，当()0,x U δ∈时，()0f x <，此时有()()()()00()0()0limlim 0x x x f x f f x f f x f x x=→→---⎡⎤⎣⎦''===-； 总之，若()f x 在0x =处可导，则当(0)0f ≠时，|()|f x 在0x =处可导；当(0)0f =时，|()|f x 在0x =处可导的充要条件是()00f '=．习 题 2-21．求下列函数的导数： （1）3cos2y x =；（2）4sin(31)y t =-；（3）32e 4cos2x y x =+； （4）5(1)y x =+；（5）43e 1x y -=+； （6）y =（7）1ln y x x=； （8）23(1)(1)y x x x =++-；（9）3e sin xy x x =；（10）322ln 3ln x x y x x +=+．解（1）()()()()3sin 223sin 226sin 2y x x x x ''=⋅-=-⋅=-； （2）()4cos(31)3112cos(31)y t t t ''=-⋅-=-；（3）()()()()332e 34sin 226e 8sin 2x x y x x x x '''=+-=-； （4）()445(1)15(1)y x x x ''=++=+； （5）()443e 4012e x x y x --''=-+=-；（6）y '==（7）()()()()2221ln ln ln 1ln ln ln x x x x x x y x x x x x x +⋅'+'=-=-=-； （8）()()3222221(1)(1)3(1)(1)522y x x x x x x x x '=+-+++⋅-=-++； （9）()23323e sin e sin e cos e 3sin sin cos x x x x y x x x x x x x x x x x x '=++=++；（10）()()()()()2234222222333ln 2ln 294ln 323ln 3ln x x x x x x x x x x x xx x y x x x x ⎛⎫⎛⎫++-++ ⎪ ⎪-+-+⎝⎭⎝⎭'==++2．证明：（1）2(cot )csc x x '=-； （2） (csc )csc cot x x x '=- ．证 （1）22cos sin sin cos cos (cot )csc sin sin x x x x x x x x x '-⋅-⋅⎛⎫'===- ⎪⎝⎭； （2）21cos 1cos (csc )csc cot sin sin sin sin x x x x x x x x x '⎛⎫'==-=-⋅=- ⎪⎝⎭． 3．证明：（1）(arccos )x '= （2）21(arccot )1x x '=-+． 证 （1）设arccos y x =，则其反函数为cos x y =，,22y ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，由于sin x y '=-，由反函数求导法则，()1arccos sin x y '=-== （2）设arccot y x =，则其反函数为cot x y =，()0,y π∈， 由于2csc x y '=-，由反函数求导法则，()222111arccos csc 1cot 1x y y x'=-=-=-++． 4．求下列函数在给定点处的导数：（1）2cos 3sin y x x =-，求π4x y ='； （2）2233x y x =+-，求(2)f '． 解 （1）因为2sin 3cos y x x '=--，所以π4ππ2sin3cos 442x y ='=--=-； （2）因为()()()22212223333x xy x x ⋅-'=-+=+--，所以()22222103332x y =⋅'=+=-．5．写出曲线122y x x=-与x 轴交点处的切线方程． 解 令0y =，得曲线122y x x =-与x 轴交点为1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭和1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭， 而2122y x '=+，所以142y ⎛⎫'±= ⎪⎝⎭， 所以所求切线有两条，方程分别为42y x =+，42y x =-．6．求下列函数的导数： （1）25(23)y x =+；（2）2sin (52)y x =-；（3）2321e xx y -++=；（4）2sin ()y x =； （5）2cos y x =；（6）y =（7）()arctan x y e =； （8）2(arccos )y x =； （9）lnsin y x =；（10）3log (1)a y x =+．解 （1）242245(23)(23)20(23)y x x x x ''=⋅+⋅+=+； （2）222cos(52)(52)4cos(52)y x x x x ''=-⋅-=--； （3）()()223212321e 32162e xx x x y x x x -++-++''=⋅-++=-+；（4）222cos()()2cos()y x x x x ''=⋅=；（5）()()2cos cos 2cos sin sin 2y x x x x x ''==-=-； （6）()22y a x ''=-==（7）()()221e e 1e 1e xxxx y ''==++； （8）2(arccos )(arccos )2(arccos )y x x x ⎛⎫''=== ⎝ （9）()1cos sin cot sin sin xy x x x x''===； （10）233313(1)(1)ln (1)ln x y x x a x a''=+=++．7．求下列函数的导数：（1）arccos(12)y x =-； （2）1arcsin y x=；（3）1ln 1ln xy x-=+；（4）ln (y x =；（5）sin cos n y x nx =⋅； （6）y =（7）e y =；（8）[]ln ln(ln )y x =；（9）y =（10）1arccot tan 22x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭．解 （1）2)y x ''=-==；（2）211y x x '⎫⎫'==-=⎪⎪⎭⎭； （3）()()()()22111ln 1ln 21ln 1ln x x x x y x x x -+--'==-++； （4）y x ''=+==；（5）()()()1sin sin cos sin sin n n y n x x nx x nx nx -'''=⋅+-()1sin cos cos sin sin n n x x nx x nx -=⋅-()1sin cos 1n n x n x -=+⎡⎤⎣⎦；（6）1sin 21sin 2x y x '-⎛⎫'=⎪+⎝⎭()()()22cos 21sin 21sin 22cos 21sin 2x x x x x -+--=+2cos 21sin 2xx-=+()2cos 2cos 21sin 2x x x =-+；（7）(1ee1y x'''===+ （8）()()()1111ln (ln )ln ln (ln )ln (ln )ln ln ln (ln )y x x x x x x x x '''==⋅=； （9）y'====；（10）211tan 2211tan 22x y x '⎛⎫'=- ⎪⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭2241sec 2224tan 2x x x '⎛⎫=- ⎪⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 222sec 1213cos 4tan 22xx x =-=-⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 8．设1cos ,0()ln (1)cos ,0x x f x x x x x -<⎧=⎨+-≥⎩，求()f x '．解 当0x ≠时，sin ,0()1cos sin ,01x x f x x x x x x<⎧⎪'=⎨-+>⎪+⎩，当0x =时，20002sin sin1cos 022(0)lim limlim sin 022x x x x xx x f xxx ----→→→--'===⋅=，()()100ln 1cos 0(0)lim lim ln 1cos ln 10x x x x x x f x x e x +++→→+--⎡⎤'==+-=-=⎢⎥⎣⎦， 所以()00f '=，从而sin ,0()1cos sin ,01x x f x x x x x x <⎧⎪'=⎨-+≥⎪+⎩．9．求函数cos (sin )x y x =的导函数． 解法1 因为cos cos lnsin (sin )x x x y x e ==，所以()()cos cos lnsin cos cos ln sin sin sin ln sin cos sin x x x x y e x x x x x x x ⎛⎫''=⋅=-+ ⎪⎝⎭()2cos cos sin sin ln sin sin xx x x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭．解法2 对数求导法，由cos (sin )x y x =，得ln cos ln (sin )y x x =， 两边同时对x 求导，得cos sin ln sin cos sin y x x x x y x'=-+， 所以()2cos cos sin sin ln sin sin xx y x x x x ⎛⎫'=-+ ⎪⎝⎭．10．设()sin f x x =，3()x x ϕ=，求[()]f x ϕ'，[()]f x ϕ'，{[()]}f x ϕ'．解 因为()sin f x x =，3()x x ϕ=，所以()cos f x x '=，2()3x x ϕ'=， 所以()()22[()]3sin 3f x f x x ϕ'==，[]()3[()]cos ()cos f x x x ϕϕ'==，()()()()33323{[()]}sin cos 3cos f x x x x x x ϕ''⎡⎤'===⎣⎦. 11．设()f x '存在，求下列函数的导数： （1）(cos )n f x ； （2）cos [()]n f x ．解 （1）[]()11(cos )(cos )(cos )(cos )(cos )cos nn n f x nf x f x nf x f x x --''''⎡⎤==⎣⎦1sin (cos )(cos )n n xf x f x -'=-；（2）{}{}{}()11cos [()]cos [()]cos[()]cos [()]sin[()]n n n f x n f x f x n f x f x f x --'''==-()1sin[()]cos [()]n n f x f x f x -'=-⋅⋅．12. 求曲线()22sin sin f x x x =+所有具有水平切线的点． 解 因为()2cos 2sin cos f x x x x '=+，令()0f x '=，得()cos 1sin 0x x +=，于是cos 0x =，或sin 1x =-， 推得 ,2x k k Z ππ=+∈，或32,2x k k Z ππ=+∈， 所以所求的点为2,32k ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，32,12k ππ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，其中k Z ∈． 习 题 2-31．求下列函数的二阶导数： （1）35e x y -= ；（2）e sin t y t -= ； （3）2sin ln y x x = ；（4）tan y x = ；（5）ln(y x = ； （6）2(1)arctan y x x =+ ． 解 （1）353e x y -'=，359e x y -''=；（2）()e sin e cos e cos sin t t t y t t t t ---'=-+=- ，()()e cos sin e sin cos 2e cos t t t y t t t t t ---''=--+--=-；（3）()221sin 2sin cos ln sin ln sin 2xy x x x x x x x x'=+⋅=⋅+，()()22sin 22sin cos sin ln 2cos 2x x x x xy x x x x ⋅-''=+⋅+ ()()222sin 2sin 2cos 2ln x xx x x x=+⋅-；（4）2sec y x '=，22sec sec tan 2sec tan y x x x x x ''=⋅⋅=⋅；（5）1y ⎛⎫'=+= ⎝ ()3221422y x x -''=-+⋅=；（6）2arctan 1y x x '=+，22arctan 1x y x x ⎛⎫''=+ ⎪+⎝⎭． 2．3e x y x = ，求(5)(0)y ． 解 设3u x =，x v e =，则23u x '=，6u x ''=，6u '''=，()0,4n u n =∀≥；(),nx v e n N +=∀∈， 代入莱布尼兹公式，得 ()()()()5445(5)510105y u v u v u v u v u v uv ''''''''''''=+++++2310610653x x x x e xe x e x e =⋅+⋅+⋅+，所以 (5)(0)60y =．3．22e x y x =，求(20)y ． 解 设2u x =，2x v e =，则2u x '=，2u ''=，()0,3n u n =∀≥；()22,nn x v e n N +=∀∈，代入莱布尼兹公式，得 ()()20(20)200n k k k k yC u v -==∑()()()181920210202020C u v C u v C uv '''=++ 182119202202202019022222x x x e C x e C x e =⋅⋅+⋅+⋅()202229520x e x x =++．4．试从d 1d x y y='导出：（1）223d d ()x y y y ''=-'；（2）3235d 3()d ()x y y y y y ''''''-='．解 因为d 1d x y y ='，所以()()2232d 111d x d d dx y y y dy y dx y dy y y y ''''⎛⎫⎛⎫==⋅=-⋅=- ⎪ ⎪'''''⎝⎭⎝⎭， ()()3333d d x d y d y dx y dy dx dyy y ⎛⎫⎛⎫''''=-=-⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪''⎝⎭⎝⎭ ()()()()()32265331y y y y y y y y y y y '''''''''''''''-⋅-=-⋅='''． 5．证明：函数12e e x x y C C λλ-=+（12,,C C λ是常数）满足关系式20y y λ''-=． 解 因为12e e x x y C C λλ-=+，所以()1212e e e e x x x x y C C C C λλλλλλλλ--'=+-=-，2212e e x x y C C λλλλ-''=+， 所以()22221212e e e e 0x x x x y y C C C C λλλλλλλλ--''-=+-+=． 6. 求常数λ的值，使得函数x y e λ=满足方程560y y y '''+-=．解 因为x y e λ=，所以x y e λλ'=，2x y e λλ''=，代入方程560y y y '''+-=， 得()2560x e λλλ+-=，因为0,x e x R λ≠∀∈，所以2560λλ+-=， 解得16λ=-，21λ=．7. 设()()sin f x x a =+，()sin cos g x b x c x =+，求常数,b c 的值，使得()()00f g =，且()()00f g ''=.解 因为()()sin f x x a =+，()sin cos g x b x c x =+， 所以()()cos f x x a '=+，()cos sin g x b x c x '=-,所以由()()00f g =，()()00f g ''=，可得sin c a =，且cos b a =． 8．求下列函数的n 阶导数．（1）12121n n n n n y x a x a x a x a ---=+++++L （12,,n a a a L 是常数）； （2）e x y x =； （3）2sin y x =； （4）2156y x x =-+．解 （1）()()12312112n n n n y nx n a x n a x a ----'=+-+-++L ，()()()()()23412211223n n n n y n n x n n a x n n a x a ----''=-+--+--++L ，根据幂函数的导数公式特点：每求导一次，幂函数降一次幂，故()!ny n =．（2）()e e e 1x x x y x x '=+=+，()()e 1e e 2x x x y x x ''=++=+，()()e 2e e 3x x x y x x '''=++=+，由此可见，每求一次导数，增加一个e x ， 所以()()e n x y x n =+，n N +∀∈； （3）()()21cos 211sin cos 2222x y x x -===-， ()2sin cos sin 2cos 22y x x x x π⎛⎫'===-+ ⎪⎝⎭，()2cos 22cos 222y x x π⎛⎫''==-+⋅ ⎪⎝⎭，()222sin 22cos 232y x x π⎛⎫'''=-=-+⋅⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭， ()()4332cos 22cos 242y x x π⎛⎫=-=-+⋅⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭， 所以()12cos 22nn y x n π-⎛⎫=-+⋅ ⎪⎝⎭，n N +∀∈．（4）因为 21115632y x x x x ==--+--， 而()2133x x -'⎛⎫=-- ⎪-⎝⎭，()()()311233x x -''⎛⎫=--- ⎪-⎝⎭， ()()()()4112333x x -'''⎛⎫=---- ⎪-⎝⎭， 可见，()()()()()()1112333n n n x x --⎛⎫=----- ⎪-⎝⎭L ()()11!3n n n x --=--，同理，()()()()()()()()11112321!22n n nn n x n x x ----⎛⎫=-----=-- ⎪-⎝⎭L ，所以()()()()()()()1111111!321!32nn n nn n n y n x x n x x ----++⎛⎫⎡⎤=----=-- ⎪⎣⎦ ⎪--⎝⎭．习 题 2-41．求由下列方程所确定的隐函数的导数d d y x： （1）e 0xy x y +-=；（2）22320x y xy y -+=；（3）e ln sin 2xy y x x +=；（4= （0a >的常数）．解 （1）将方程两边同时对x 求导，得1e 0xy dy dy y x dx dx ⎛⎫+-+= ⎪⎝⎭，变形得：e 11e xy xydy y dx x -=-；（2）将方程两边同时对x 求导，得22222230dy dy dy xy x y x y y dx dx dx ⎛⎫⎛⎫+-+⋅+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，变形整理得：2224223dy xy y dx x xy y -+=-+； （3）将方程两边同时对x 求导，得 e ln 2cos 2xy dy dy y y x x x dx dx x ⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，变形整理得：22cos 2e ln exyxy dy x x y xy dx x x x --=+；（4）将方程两边同时对x 求导，得0+=，变形整理得：()0dy x dx =>． 2．求曲线2520x y xy +-=在点(1,1)处的切线方程． 解 将方程两边同时对x 求导，得：42520dy dy x y y x dx dx ⎛⎫+-+= ⎪⎝⎭， 将1x =，1y =代入，解得：()1,10dydx=，所以曲线在点(1,1)处的切线方程为：1y =．3．已知sin cos()0y x x y -+=，求隐函数()y y x =在点π0,2⎛⎫⎪⎝⎭的导数值．解 将方程两边同时对x 求导，得：sin cos sin()10dy dy x y x x y dx dx ⎛⎫⎛⎫++++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，将0x =，2y π=代入，解得：0,212dydxππ⎛⎫ ⎪⎝⎭=--．4．求下列方程所确定的隐函数的二阶导数22d d yx．（1）tan()y x y =+； （2）1e y y x =+；（3）ln y y x y =+； （4）arctan yx=. 解 （1）将方程两边同时对x 求导，得：2sec ()1dy dy x y dx dx ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭， 解得2csc ()dyx y dx=-+， 再求导，得：()222csc()csc()cot 1d y dy x y x y x y dx dx ⎛⎫=-+-+++⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭， 将2csc ()dy x y dx=-+代入，整理得：()22322csc ()cot d y x y x y dx =-++；（2）将方程两边同时对x 求导，得：e e y ydy dyx dx dx=+， 解得：e 1e y y dy dx x =-，再求导，得：()()222e 1e e e e 1e yy y y y y dy dy x x dx dx d ydxx ⎡⎤⎛⎫---+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦=-，将e 1e y y dy dx x =-代入，整理化简得：()()()()222332e 2e e 321e yyyy x y d y dx y x --==--； （3）将方程两边同时对x 求导，得：ln 1dy dy dyy dx dx dx+=+， 解得：1ln dy dx y =，再求导，得：()2221ln dyd yy dxdx y =-， 将1ln dy dx y =代入，整理化简得：()2321ln d y dx y y =-；（4）将方程两边同时对x 求导，得：2222221121dy dy x y x ydx dx x x y y x -+⋅=⋅+⎛⎫+ ⎪⎝⎭， 解得：dy x y dx x y +=-，再求导，得：()()()22211dy dy x y x y d y dx dx dx x y ⎛⎫⎛⎫+--+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=-， 将dy x ydx x y +=-代入，整理化简得：()()222322x y d y dx x y +=-. 5．用对数求导法求下列函数的导数： （1）cos (sin )x y x =；（2）(tan 2)x y x =；（3）1xx y x ⎛⎫= ⎪+⎝⎭；（4）(2y x =-解 （1）两边取自然对数，得：ln cos ln(sin )y x x =， 两边同时对x 求导，得：()1cos sin ln sin cos sin dy xx x x y dx x=-+⋅, 整理化简得：()cos (sin )sin ln sin cos cot x dyx x x x x dx=-+⋅⎡⎤⎣⎦； （2）两边取自然对数，得：ln ln(tan 2)y x x =，两边同时对x 求导，得：()2sec 221ln(tan 2)tan 2x dyx x y dx x ⋅=+⋅， 整理化简得：4(tan 2)ln(tan 2)sin 4x dy x x x dx x ⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦； （3）两边取自然对数，得：()ln ln ln ln 11x y x x x x x ⎛⎫==-+⎡⎤ ⎪⎣⎦+⎝⎭， 两边同时对x 求导，得：()111ln ln 11dy x x x y dx x x ⎛⎫=-++-⎡⎤ ⎪⎣⎦+⎝⎭整理化简得：1ln 111xdy x x dx x x x ⎛⎫⎡⎤=+ ⎪⎢⎥+++⎝⎭⎣⎦； （4）两边取自然对数，得：()111ln ln(21)ln ln(31)ln 1248y x x x x =-++++-，两边同时对x 求导，得：()121312124(31)81dy y dx x x x x =+++-+-，整理化简得：()2131(22124(31)81dy x dx x x x x ⎤=-+++⎢⎥-+-⎦6．求下列参数方程所确定的函数的导数d d yx： （1）cos sin sin cos x a bt b at y a bt b at =+⎧⎨=-⎩（,a b 为常数）； （2）22221(1)1at x t a t y t ⎧=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩（a 为常数）． 解 （1）因为()()sin cos dx ab bt ab at dt =-+，()()cos sin dyab bt ab at dt=+， 所以()()()()()()()()cos sin cos sin d d sin cos sin cos ab bt ab at bt at y x ab bt ab at bt at ++==-+-+； （2）因为()()()()22222221222111a t at t a t dx dt t t +-⋅-==++， ()()()22222221(1)2411at t a t t dy atdt t t -+--⋅-==++ 所以22d 22d 11y t tx t t =-=--． 7．求曲线2e 1(2)ettx t y t t --⎧=+⎪⎨=-⎪⎩在0t =处的切线方程与法线方程． 解 因为e e t t dx t dt --=-，()222e (2)e t t dy t t t dt--=---， 所以221dy t dx t +=-，02t dy dx==，又01,0t t xy====故所求切线为：()21y x =-，法线为：()112y x =--． 8．已知曲线2e 2e tx t mt n y p ⎧=++⎪⎨=-⎪⎩在0t =时过原点，且在该点处的切线与2350x y +-=平行，求常数,,m n p ．解 因为2dx t m dt =+，e tdy p dt=，故e 2t dy p dx t m =+，由题设可知：00t xn ===，02e 0t yp ==-=，23t dy p dxm ===-， 所以所求常数为：0n =，2e p =，3e m =-． 注：此题的书后答案有误．9．求下列参数方程所确定的函数的二阶导数22d d yx：（1）231x t y t t⎧=-⎪⎨=-⎪⎩； （2）e cos e sin t t x t y t ⎧=⎨=⎩； （3）()2ln 1arctan x t y t t⎧=+⎪⎨=-⎪⎩； （4）()()()x f t y tf t f t '=⎧⎨'=-⎩（()f t ''存在且不为零）．解 （1）因为2dx t dt =-，213dy t dt=-，所以21313222dy t t dx t t -==-+-， 于是 22223131313222224d y d t dt t t dx dt t dx t t ++⎛⎫=-+⋅==- ⎪-⎝⎭；（2）因为e cos e sin t t dx t t dt =-，e sin e cos t t dyt t dt=+， 所以e sin e cos sin cos e cos e sin cos sin t t t tdy t t t t dx t t t t++==--，于是 ()()()22222cos sin sin cos sin cos 1cos sin e cos e sin cos sin t tt t t t d y d t t dt dx dt t t dx t t t t -+++⎛⎫==⋅ ⎪--⎝⎭- ()32e cos sin tt t =-；（3）因为221dx t dt t =+，2111dy dt t =-+，所以22111221dy t t t dx t -+==+， 于是2222112241d y t t dx t t+==+； （4）因为()dx f t dt ''=，()()()()dy f t tf t f t tf t dt ''''''=+-=，所以dy t dx=，于是221()d y dx f t =''．10．将水注入深8米、上顶直径8米的正圆锥形容器中，注水速率为4吨/分钟．当水深为5米时，其表面上升的速率为多少解 如图所示，设在t 时刻容器中水面的高度为()h t （米），此时水面的半径为()r t （米），则依题意应有()()2143r t h t t π=，而()()84h t r t =， 所以()31412h t t π=，两边同时对时间t 求导， 可得()2144dh h t dt π=，当()5h t =时，可求得1625dh dt π=， 所以当水深为5米时，其表面上升的速率为16min 25m π． 11．汽车A 以50公里/小时的速度向西行驶，汽车B 以60公里/小时的速度向北行驶，两辆车都朝着两条路的交叉口行驶．当汽车A 距离交叉路口0.3公里，汽车B 距离交叉路口0.4公里时，两辆车以什么速率接近解 如图所示，设在t 时刻，汽车A 距离交叉路口()x t ，汽车B 距离交叉路口()y t ，则两车之间的直线距离为()()()22s t x t y t =+t 求导，可得()()()()22dx dy x t y t ds dt dt dtx t y t +=+50dx dt =，60dy dt =，故当()0.3x t =，()0.4y t =时，22780.30.4ds dt ==+，即当汽车A 距离交叉路口0.3公里，汽车B 距离交叉路口0.4公里时，两辆车以78/km h 的速率接近．12．一个路灯安装在15英尺高的柱子上，一个身高为6英尺的人从柱子下以5英尺/秒的速度沿直线走离柱子，当他距离柱子40英尺时，他身影的顶端以多快的速率移动解 如图所示，设在t 时刻，此人离灯柱的水平距离为()x t ，身影的顶端离灯柱的水平距离为()y t ，则依题意有：5dx dt =，()()()615y t x t y t -=，可见()()53y t x t =， 两边同时对时间t 求导，得52533dy dx dt dt ==， 所以他身影的顶端以25feet /3s 的速率移动，与他离灯柱的水平 距离无关，只与他的前进速度、身高、灯柱高有关．习 题 2-51．函数2y x =，求当1x =，而0.1x ∆=，0.01时，y ∆与d y 之差是多少 解 当1x =，0.1x ∆=时，21.110.21y ∆=-=，d 20.2y x x =∆=， 所以 0.01y dy ∆-=；当1x =，0.01x ∆=时，21.0110.0201y ∆=-=，d 20.02y x x =∆=， 所以 0.0001y dy ∆-=；2．求函数2y x x =+在3x =处，x ∆等于0.1，0.01时的增量与微分． 解 因为2y x x =+，所以()21dy x x =+∆，当3x =，0.1x ∆=时，223.1 3.1330.71y ∆=+--=，0.7dy =； 当3x =，0.01x ∆=时，223.01 3.01330.0701y ∆=+--=，0.07dy =．3．函数3y x x =-，求自变量x 由2变到1.99时在2x =处的微分． 解 因为3y x x =-，所以()231dy x x =-∆，当2x =，0.01x ∆=-时，()()23210.010.11dy =⨯-⨯-=-．4．求下列函数的微分（1）234123y x x x x =+-+；（2）2e x y x -=； （3）21xy x =- ； （4）22tan (1)y x =+； （5）ln cos 3x y = ；（6）e sin ax y bx =．解 （1）()23144dy x x x dx =+-+；（2）()()()2222222e e e e 2e 12x x x x x dy dx x d x dx x x dx x dx -----=+-=+-=-；（3）()()()()()()()222222222211121111x dx xd x x dx x x dx xdy dx x x x ------+===---；（4）2222222tan(1)tan(1)2tan(1)sec (1)(1)dy x d x x x d x =++=+++2224tan(1)sec (1)x x x dx =++；（5）()()ln cos ln cos 13ln 3ln cos 3ln 3cos cos x x dy d x d x x==⋅lncos 3ln 3tan x xdx =-⋅；（6）()()()()()()e sin e cos e sin cos ax ax ax dy d ax bx bx d bx a bx b bx dx =+=+⎡⎤⎣⎦． 5．将适当的函数填入下列括号内，使等式成立： （1）d()sin d t t ω=； （2）2d()sec 3d x x =； （3）d()x =；（4）22d d()xx a =+； （5）2d()e d x x x =；（6）ln d()d xx x=. 解 （1）()1cos t ωω-； （2）()1tan 33x ； （3； （4）1arctan x a a ； （5）21e 2x ； （6）21ln 2x ．6．某扩音器的插头为圆柱形，其截面半径r 为0.15厘米，长度L 为4厘米，为了提高它的导电性能，要在圆柱的侧面镀一层厚度为0.001厘米的铜，问每个插头约需要多少克纯铜（铜的密度为8.9克/立方厘米， 3.1416π≈）解 因为圆柱形的扩音器插头的体积为2V r L π=，侧面镀层的体积约为2V dV rL r π∆≈=∆，当0.15r =，0.001r ∆=，4L =时，32 3.14160.1540.001 3.7699210V -∆≈⨯⨯⨯⨯≈⨯， 故所需铜的重量约为33.76992108.90.03355m -≈⨯⨯≈克．7．设有一凸透镜，镜面是半径为R 的球面，镜面的口径为2h ，若h 比R 小得多，试证明透镜的厚度22h D R≈．解 如下图所示，镜面半径R 、镜面口径2h 、透镜厚度D 之间有关系：()222h R D R +-=，化简得：2220h RD D -+=，得：22222441R R h h D R R --==--若h 比R 小得多，则2222112h h R R-≈-，故222221122h h h D R R R R R R R⎛⎫=--≈--= ⎪⎝⎭．8．利用微分求下列函数值的近似值（1）cos59o ；（2）tan 46o ；（3）lg11； （4） 1.01e ；（526；（63996解 （1）()00cos59cos 601cos cos sin 318033180πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-≈-- ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭o130.51512180π⎫=-≈⎪⎝⎭； （2）()002tan 46tan 451tan tan sec 418044180πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+≈+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭o 12 1.0349180π=+⨯≈；（3）()1lg11lg 101lg101 1.043410ln10=+≈+⨯≈；（4） 1.0110.010.01 2.7455e e e e +=≈+⨯≈； （526251251 5.1225=+≈=； （6()233331996100041000100049.98673-=-≈⨯⨯-≈．9．当||x 较小时，证明下列近似公式： （1）sin x x ≈；（2）(1)1x x αα+≈+；（3）ln(1)x x +≈．解 （1）设()sin f x x =，则()cos f x x '=，当||x 较小时，()sin sin0cos0f x x x x =≈+⋅=，所以sin x x ≈；（2）设()(1)f x x α=+，则()1(1)f x x αα-'=+图2-11当||x 较小时，()()()(1)111f x x f f x x αα'=+≈+=+，所以(1)1x x αα+≈+；（3）设()ln(1)f x x =+，则()11f x x'=+， 当||x 较小时，()()()ln(1)11f x x f f x x '=+≈+=，所以ln(1)x x +≈．习 题 2-61.一飞机在离地面2000米的高度，以200公里/小时的速度飞临某目标之上空，以便进行航空摄影．试求飞机飞至该目标上方时摄影机转动的速度．解 如右图示意，A 为摄影目标，B 为其正上方的点，设t 时刻飞机离B 点的水平距离为()x t ，摄影机镜头C 与A 点连线与飞机的水平飞行方向成θ夹角，则()cot 2000x t θ=，()()20000003600x t x t =-，两边同时对时间t求导，可得()211csc 200036dx t d dt dt θθ-==-，即21sin 36d dt θθ=，当飞机飞至该目标上方时，2πθ=， 代入解得：()13605/362d rad s dt θππ=⨯=． 2.一架飞机着陆的路径如图2-11所示，并且满足下列条件： （ⅰ）降落点为原点，飞机开始降落时水平距离为l ，飞行高度为h ．（ⅱ）在整个降落过程中，飞行员必须使飞机保持恒定的水平速度v ．（ⅲ）垂直方向的加速度的绝对值不能超过常数k （必须比重力加速度小很多）．（1） 求一个三次多项式()32P x ax bx cx d =+++，通过在开始降落和着陆的点对()P x 和()P x '施加一定的条件限制，使它满足条件（ⅰ）；（2） 根据条件（ⅱ）和（ⅲ），试证明：226hv k l≤；（3） 假设一条航线不允许飞机的垂直加速度超过2860k =哩小时．如果 一架飞机的飞行高度为35000呎，速度为300哩小时，飞机应从距离飞机场多远处开始降落（4） 画出满足问题（3）中条件的航线图．解 假设从飞机开始着陆时计时，飞行时间为t ，飞机位置为(),x y ． （1）如要满足条件（ⅰ），应有0t =时，,x l y h ==，0t dy dt==；t T =（T 为着陆时刻）时，0x y ==，0t Tdydt==，因为()32y P x ax bx cx d ==+++，于是()()232dy dx dxP x ax bx c dt dt dt'==++， 所以应有 32h al bl cl d =+++，2320al bl c ++=，0d =，0c =， 解得3223,,0h h a b c d l l =-===，所以()323223h h P x x x l l=-+； （2）由条件（ⅱ）和（ⅲ）可知：dxv dt =，22d y k dt ≤，由()323223h h y P x x x l l==-+，可得：23266dy h h dx x x dt l l dt ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭， 222223232212666d y h h dx h h d xx x x dt ll dt l l dt ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-++-+ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以[]0,x l ∀∈，应有232126hh x v k ll ⎛⎫-+≤ ⎪⎝⎭， 故226hv k l ≤；（3）当2860k =哩，0.62135000350000.305 6.62921000h ==⨯⨯≈呎哩，300v =哩小时，由226hv k l ≤，可解得64.52l ≥≈（哩），即飞机应从距离飞机场约64.52哩的水平距离处开始降落．（4）满足条件（3）的航线为()3232322350003350000.260625.223264.5264.52P x x x x x ⨯⨯=-+≈-+（呎）（注：式中x 的单位哩，图略）．本章复习题A1、填空题（1）()f x 在点0x 可导是()f x 在点0x 连续的_____条件，()f x 在点0x 连续是()f x 在点0x 可导的______条件．解 因为()f x 在点0x 可导，则()f x 在点0x 连续，故第一个空应填“充分”，第二个空应填“必要”．（2）()f x 在点0x 可导是()f x 在点0x 可微的______条件． 解 应填“充分必要”． （3）若假定0()f x '存在，则000()()limh f x h f x h h→+--=______．解 因为()()00000000()()()()limlim h h f x h f x f x f x h f x h f x h h h→→+-+--+--= ()()00000()()lim h f x h f x f x h f x h h →+---⎡⎤=+⎢⎥-⎣⎦()02f x '=， 所以应填“()02f x '”．（4）若()(1)(2)f x x x x =++，则(0)_______f '=．解 因为()(1)(2)(2)(1)f x x x x x x x '=++++++，故(0)2f '=，应填“2”．（5）曲线231x t y t⎧=+⎨=⎩在2t =处的切线方程为________． 解 因为23322t t y dy t t dx x t '==='，所以2t =时，23t dy dx ==，5x =，8y =，切线方程为()835y x -=-，即370x y --=，所以应填“370x y --=”．2、选择题（1）()f x 在点0x 的左导数0()f x -'及右导数0()f x +'都存在且相等是()f x 在点0x 可导的（ ）．A ．充分条件B ．充分必要条件C ．必要条件D ．既非充分条件也非必要条件 解 选B ．（2）设101()n n n f x a x a x a -=+++L ，则()(0)n f =（ ）．A ．n aB ．0aC ．0!n aD ．0 解 选C ．因为()0()!n f x n a =．（3）设函数()y f x =二阶可导，(ln )y f x =，则22d d yx等于（ ）．A ．1(ln )f x x 'B ．21[(ln )(ln )]f x f x x '''- C ．21[(ln )(ln )]xf x f x x '''- D ．21(ln )f x x' 解 选B ．因为1(ln )(ln )f x y f x x x'''=⋅=， 则221(ln )(ln )(ln )(ln )f x x f x f x f x x y x x '''⋅⋅-'''-''==． （4）若函数()y f x =有01()2f x '=，则当0x ∆→时，该函数在0x x =处的微分d y 是（ ）．A ．与x ∆等价的无穷小B ．与x ∆同阶的无穷小C ．比x ∆低阶的无穷小D ．比x ∆高阶的无穷小 解 选B ．因为()0012x x dyy x x x ='=∆=∆，所以001lim 2x x x dy x =∆→=∆．（5）已知方程222x y R +=确定了函数()y y x =，则22d d yx 等于（ ）．A ．xy- B ．23R y C ．33R y - D ．23R y -解 选D ．由222x y R +=可得220x y y '+⋅=，。
高等数学第二章测验题答案
易知 , f ( x ) 在 | x | 1 处连续 . 在 x 1 处 ， x 1 f ( x ) f ( 1) 1 , (1) lim f lim x 1 x 1 x 1 x ( 1)
f (1) lim f ( x ) f ( 1) x 1 x ( 1)
2. f ( x )在x a可导，则F ( x ) | f ( x ) | 在x a
2.
应选 (B ) .
不可导的充要条件是 ( ), 并说明理由 . ( A) f (a ) 0, f (a ) 0; ( B ) f (a ) 0, f (a ) 0;
(C ) f (a ) 0, f (a ) 0; ( D) f (a ) 0, f (a ) 0.
由于 f ( 1) f ( 1) , 故 f ( x ) 在 x 1 处不可导 . 在 x 1 处 ，
x 1 ( x 1)2 lim 4 0. x 1 x 1
x 1 , x 1 x 1 ( x 1)2 , f ( x) 4 1 x 1 x 1, x 1
同样可求导y2 x
tan x
tan x [sec x ln x ] x
2
2 y log 2 log 3 log 5 x;
解：令 y 1 1 (log3 log5 x) ln 2 log3 log5 x
1 1 1 1 (log5 x) ln 2 log3 log5 x ln 3 log5 x 1 1 1 1 1 1 ln 2 ln 3 ln 5 log3 log5 x log5 x x
一、 1.
应选 ( A) .
1. 设f ( x )可导，F ( x ) f ( x )(1 | sin x |),
高数课后习题及答案--第二章-2.7
高数课后习题及答案--第二章-2.71．()()()()211110,11)()21,121,2()(),1,122,()12(),:lim ()0,lim ()lim 213lim ()x x x x x f x x x x x f x f x f x x x f x f x f x x f x -++-→→→→<⎧⎪=+≤<⎨⎪+≥⎩-∞+∞==-∞+∞==+=若若若解：由题设可知是一个分段函数，由分段函数的特点可知在区间，是连续的，因此只要证明出在点，处的连续性，便可得出函数在定义域上的连续性，具体如下因为，12222222lim ()()1lim ()lim 215,lim ()lim 15lim ()lim ()(2)5()2x x x x x x x f x f x x f x x f x x f x f x f f x x +--++-+→→→→→→→≠==+==+=====所以在处不连续又因为，所以在处连续()()()0000sin ,02)()1,0,0()(),0,0,()0(),:sin lim ()lim 1,lim ()lim 1x x x x x x xx x f x x e x f x f x f x x f x xf x f x e x --++--→→→→⎧<⎪⎪==⎨⎪>⎪⎩-∞+∞=-∞+∞====若若解：由题设可知是一个分段函数，由分段函数的特点可知在区间是连续的，因此只要证明出在点处的连续性，便可得出函数在定义域上的连续性，具体如下因为，f(0)=1即0lim ()lim ()()0x x f x f x f x x -+→→===f(0)=1所以在处连续()()()()22001sin ,0;3)()0,0;()(),0,0,()0(),:1lim ()lim sin 0(0),()0(),x x x x f x xx f x f x f x x f x f x x f f x x xf x →→⎧≠⎪=⎨⎪=⎩-∞+∞=-∞+∞====-∞+∞若若解：由题设可知是一个分段函数，由分段函数的特点可知在区间是连续的，因此只要证明出在点处的连续性，便可判定函数在定义域上是否连续，具体如下所以可知函数在处的连续，函数在定义域20001sin()01'(0)limlim lim sin 0x x x x f x x f x x x x→→→-====-上连续。
高等数学第二章习题.doc
第二章极限与连续第一节数列的极限一、观察下列数列｛%…｝的变化趋势，判断是否有极限？若有极限，写出其极限1、2、3^ x z/=lnn4、心=1 + (_1)“ 丄n二、利用数列极限的定义证明:、v 3n + l 3K lim --------- =—；n* 2/7 + 1 22.lim0.999_9=l三、设数列｛x I满足lim兀=01〃T8 n 证明:lim £H—>oo2/1-12〃（-1）〃第二节函数的极限一、填空题1、当x->2吋,y“T4,问当5取_时，只要Ov|兀-2|v5,必有卜-4|<0.001.丫2_12^当兀T8时，y = —------------- 1,问当z取__________ 时，只要\x\ > z,必有|y-l| <0.01.”+3二、用函数极限的沱义证明：三、试证:函数/（兀）当JVTX。
时极限存在的充分必要条件是左极限、右极限各自存在并且相等.四、讨论：函数0（兀）二包在兀T0时的极限是否存在?第三节极限的性质填空题1、 limx —» 2— 3 x-32. v x~l lim——XT 】- 1 3、 4、 5、 limHT8（〃 + l ）G +2）（〃 + 3）limx 2 sin —= “TO x / 】• COS X 6、 lim -----------XTZ x+ 厂 r .. 4x 4 - 2x 2 + x 7^ lim -------- ； ------z ） 32 + 2x8、 lim•Y T8（2兀一 3严（3兀+ 2严 二、求下列各极限2、 lim U + /?）2-x2 D h3、lim （— ------- 二）z \-x \-x 34、lim"Tv 2 + ijxlim （l + 丄 +第四节无穷大、无穷小一、填空题1、凡无穷小量皆以 _________ 为极限2、lim /（兀）=A是/（x） = A + Q _ 条件，（其中limo = 0）XT々）尤-»心3、在同一过程中，若/（兀）是无穷大，则 ____ 是无穷小.4^当XT O时，无穷小l-cosx与mx n等价，贝ij m = ____________ ,n ____ .i _L?r二、根据定义证明:当XT O时,函数丁 =匸2是无穷大，问兀应满足什么条件,x能使卜|〉104・三、证明函数y = -sin丄在区间（0,1］上无界，但当XT（）+时，这个函数不是无穷大. XX四、证明:当兀->0时，兀'一1与3兀2 -兀一2是同阶无穷小第五节极限的存在准则一、填空题-…sin 2x“ sin cox 1、 lim --------- =2、.hm ----------- =go sin 3x 3、cotx lim ------------ = 4、 lim x ・ cot 3x=XT O %XT O 5、 sinx lim =6> 1 lim(l +兀)* =XT8 2X大TO 1 + x 八]r7、 lim( )2r- 8、 lim(l — —Y =XToo %28X二、 求下列各极限1 — cos2x1、 lim -------------2、 lim(tanx),an2xgo xsmx4三、利用极限存在准则证明数列V2J2+V2J2+V2+V2,……的极限存在，并求出该 极限.3、 血(斗XT® x-a 4、 lim("d"T8 n * 1 )"第六节：连续函数及其性质填空题21、 ____________________________________ 指出尸 x j 在x = l 是第 ______ 类间断点；在x = 2是第 _____________________________ 类间断点.兀2 — 3x + 2 2、 _________________________________ 指出• J 在x = 0是第 ________ 类间断点；在x = l 是第 _____________________________ 类间断点；在x|(x 2 -1) x = -1是第 类间断点 3、limln(2cos2x) = _________ .61-®二、讨论函数 /(x)=lim —— 的连续性，若有间断点，判断其类型.三、指出下列函数在指定范围内的间断点，并说明这些间断点的类型，如果是可去间断点 则补充或改变函数的定义使它连续.X2、/(%)=——在XG R 上tanx4.1、 /(兀)=四.五、六、使x<0设f(x) = < 1 , X =()已知/(%)在x = 0处连续，试确定G和b ln(b + x + x ), x>0设Q>0，b>0,证明方程x = asinx + b，至少有一个不超过a^b正根若/（%）在［d,b］上连续，a<x l<x2<-'<x n<b则在［兀］，暫］上必有丁© = /（西）+ /（兀2）+ ……+ /（£）的值.复习题二一、选择题：X1、 函数/(X )= —在定义域为()1 + JT(A)有上界无下界； (B)有下界无上界； (C)有界，且 ^</(x)<^ ；(D)有界，且—25—^52 •L1 +厂2、 当XTO 时，下列函数哪一•个是其它三个的高阶无穷小() (A) x 2 ；(B) 1-cosx ；(C) x-tanx ； (D) ln(l + x)3、设认冲则当()时有卿甞:當:二篇遗(A) m > /7 ；(B) m - n ； (C) m < n ；(D) m. n 任意取4、 设 f(x)= :U 则 limgO< X< 1XTO(A)-l ； (B)l ； (C)0 ；(D)不存在5、 (A)l ；(B)-l ； (C)0； (D)不存在.二、求极限:1、v 2/ + 〃 + l lim -------------- — “T8 (i-/?y 2、1曲"-2XT 3x-33、lim(l + ;r)AXT O 4、lim x(e x -1)XT81x arctan ------四、讨论函数/(x)= --------------- 的连续性，并判断其间断点的类型.• 71sin —x2x< x>\试确定a 的值使/(x)在x = l 连续•x X5、当 xHO 吋，limcos —cos — .............. cos — ........................................................................ ；2 • 丄 x sin — 6、lim / *f 如 2 — i三、设冇函数/(x) =sin ax.五、证明奇次多项式:P(兀)=兔兀2“+1+坷兀2”+..・+夠出(勺北0)至少存在一个实根.六、若/(x)在|0,2°］上连续，/(0)=/(2G),证明在|0卫］上至少存在一点g ,使。
高等数学-习题答案-方明亮-第二章
第二章 导数与微分习题2-11.解：当自变量从x 变到1x 时，y 相应地从()=8f x x 变到11()=8f x x ，所以导数111111()()8()limlim 8x xx x f x f x x x y x x x x→→--'===--. 2.解：由导数的定义可知022020()()()lim()()() lim 2 lim 2h h h f x h f x f x ha x hb x hc ax bx c haxh h bhax bh →→→+-'=++++-++=++==+。
3．解：0022()22()limlimx x x x xsinsin cos x x cos xcos x xx∆→∆→+∆∆-⋅+∆-'==∆∆ 0022lim lim22x x x sinx x -sin sin x x ∆→∆→∆+∆=⋅=-∆ 4. 解：（1）不能，（1）与()f x 在0x 的取值无关，当然也就与()f x 在0x 是否连续无关，故是0()f x '存在的必要条件而非充分条件. （2）可以，与导数的定义等价. （3）可以， 与导数的定义等价.5. 解：（1）45x ； （2）3212x --； （3）157227x ；（4）11ln 3x ； （5）5616x -； （6）22x e .6. 解：物体在t 时刻的运动速度为：2()()3()V t S T t m /s '==，故物体在2t s =时的速度为：22()3212()t V t m /s ==⋅=. 7．证明：由导数定义，知：00()(0)()(0)(0)limlim0x x f x f f x f f x x→→---'==- 00()(0)()(0)lim lim (0)0t x t t f t f f t f f t t =-→→--'==-=---所以，(0)0f '=。
高等数学第二章复习题及答案
高等数学习题集及解答第二章一、 填空题1、设()f x 在x a =可导，则0()()lim x f a x f a x x →+--=。
2、设(3)2f '=，则0______________(3)(3)lim 2h f h f h →--=。
3、设1()xf x e -=，则0_____________(2)(2)limh f h f h→--=。
4、已知00cos (),()2,(0)1sin 2x f x f x x x π'==<<-，则0_______________________()f x =。
5、已知2220x y y x +-=，则当经x ＝1、y ＝1时，_______________dydx =。
6、()x f x xe =，则_______________(ln 2)f '''=。
7、如果(0)y ax a =>是21y x =+的切线，则__________a =。
8、若()f x 为奇函数，0()1f x '=且，则0_________________()f x '-=。
9、()(1)(2)()f x x x x x n =+++，则_________________(0)f '=。
10、ln(13)x y -=+，则____________________y '=。
11、设0()1f x '=-，则0___________00lim(2)()x xf x x f x x →=---。
12、设tan x y y +=，则_________________________dy =。
13、设lny =_______________(0)y '''=。
14、设函数()y f x =由方程42ln xy x y +=所确定，则曲线()y f x =在点（1，1）处的切线方程是______________________。
高等数学第二章练习及答案
第二章一、选择题.1. 函数1y x =+在0x =处（ ）A 、无定义B 、不连续C 、可导D 、连续但不可导 2. 设函数221,0(),0x x f x x x +<⎧=⎨≥⎩，则()f x 在点0x =处 （ ）A 、没有极限B 、有极限但不连续C 、连续但不可导D 、可导3．设函数)(x f y =可微，则当0→∆x 时,dy y -∆与x ∆相比,是（ ）A ．x ∆的等价无穷小B ．x ∆的同阶无穷小C ．x ∆的高阶无穷小D ．x ∆的低阶无穷小 4．函数3y x x =-的单调增区间是（ ）A、(,-∞ B、( C、+)∞ D 、(0,+)∞ 5．函数1()()2x x f x e e -=+的极小值点是 （ ）A 、1B 、1-C 、0D 、不存在二、填空题.1. 已知(sin )cos x x '=，利用导数定义求极限0πsin()12lim =x x x→+-__________.2、如果0()4f x '=，则xx f x x f x ∆-∆-→∆)()3(lim000=______________.3. 函数x x f ln )(=在1=x 处的切线方程是 ．4.设1()f x x=,则()f x '=____ ．5. 函数3()sin(cos )f x x =，则()f x '= ．6. 设函数()ln cos f x x =，则二阶导数()f x ''=______________.7. (arctan 2)d x =________，[]ln(sin 2)d x =__________.8. 函数32()39f x x ax x =++-，已知()f x 在3x =-时取得极值，则a =______. 9．设需求量q 对价格p 的函数为2e 100)(p p q -=，则需求弹性E p =__________.三、判断题.1. 若()f x 在点0x 处可导，则()f x 在点0x 处连续. （ ）2. dy 是曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线纵坐标对应于x ∆的改变量.（ ）3. 函数()y f x =在0x 点处可微的充要条件是函数在0x 点可导. （ ）4. 极值点一定是驻点.（ ）5. 函数y x=在点0x =处连续且可导.（ ）四、计算题.1.求函数y =.2. 求由方程0e e 2=+-+y x y x 所确定的隐函数()y f x =的导数y '.3. 设e xy x =，求y '.4. 求由方程cos()y x y =+所确定的隐函数()y f x =的二阶导数.y ''五、求下列极限.（1）sin lim sin x x x x x →∞-+， （2）xx xx x x x --+-→4240sin 23lim ， （3）11lim 1ln x x x x →⎛⎫- ⎪-⎝⎭， (4）1lim(1)(0)x x a x a →∞->, （5）()1lim 1xx x →+, （6）1lim ()x xx x e →+∞+.六、应用题.1. 求函数32()391f x x x x =--+的单调性、极值与极值点、凹凸区间及拐点．2.某厂生产一批产品，其固定成本为2000元，每生产一吨产品的成本为60元，对这种产品的市场需求量为100010q p =-（q 为需求量,p 为价格）．试求：(1）成本函数，收入函数；（2）产量为多少吨时利润最大？3. 设某产品的总成本函数和总收入函数分别为()3C x =+ 5()1xR x x =+. 其中x 为该产品的销售量，求该产品的边际成本、边际收入和边际利润.4. 某产品的需求量Q 对价格p 的函数关系为11600(),4p Q =求当3p =时的需求价格弹性.5. 求立方抛物线()30y ax a =>上各点处的曲率,并求x a =处的曲率半径.总习题2答案一、1. D 2. A 3. C 4. B 5. C 二、1. 0 2. 12- 3．1=-y x 4.21x-5．2333sin cos(cos )x x x -⋅⋅ 6.2sec x - 7.2214dx x +, 2cot 2xdx 8. 5 , 9.2p-三、1. √ 2. √ 3．√ 4．× 5．× 四、1.y '=2. 22e 1.1ex yy -'=+ 3．e e (e ln ).xxxy x x x'=+4．sin(),1sin()x y y x y -+'=++ []3cos().1sin()x y y x y +''=-++ 五、(1) 1. (2) 1.- (3)1.2(4)ln .a （5）.e （6）.e 六、1. 函数32()395f x x x x =--+的单增区间是()()13-∞-+∞，，,单减区间是()13-，;极大值是(1)6f -=,极小值是(3)26f =-; 极值点为121,3x x ==.凸区间是()1-∞，，凹区间是()1+∞，;拐点是()110-，.2.(1) 成本函数为 ()200060C q q =+． 收入函数为211()(100)100.1010R q p q q q q q =⋅=-⋅=- (2) 利润函数为21()()()402000.10L q R q C q q q =-=--令()0,L q '= 得 200.q =因为200q =是定义域内唯一的驻点, 所以当产量为200吨时利润最大． 3.边际成本为'()C x=边际收入为25()(1)R x x '=+.利润函数为5()()() 3.1xL x R x C x x =-=-+ 边际利润为25()(1)L x x '=+ 4. '()2ln 2.d p E Q p p Q=⋅=- (3)23ln 26ln 2.d E =-⨯⨯=- 5. 36221(19).6a K aρ+==。
高等数学2试题及答案
高等数学2试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 设函数f(x)=x^3-3x+1，求f'(x)的值。
A. 3x^2-3B. x^3-3C. 3x^2-1D. 3x^2+3答案：A2. 计算定积分∫(0,1) x^2 dx的值。
A. 0B. 1/3C. 1/2D. 2答案：B3. 计算级数∑(1/n^2)（n从1到∞）的和。
A. 1B. π^2/6C. eD. ∞答案：B4. 设函数f(x)=sin(x)，则f'(x)等于：A. cos(x)B. -sin(x)C. cos(x)-xD. -cos(x)答案：A二、填空题（每题5分，共20分）1. 设函数f(x)=x^2-4x+4，求f(x)的最小值。
答案：02. 计算极限lim(x→0) (sin(x)/x)的值。
答案：13. 设函数f(x)=e^x，求f''(x)的值。
答案：e^x4. 设函数f(x)=ln(x)，则f(1)的值为：答案：0三、解答题（每题10分，共60分）1. 求函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6的极值点。
解：首先求导数f'(x)=3x^2-12x+11，令f'(x)=0，解得x=1或x=11/3。
经检验，x=1为极小值点，x=11/3为极大值点。
2. 计算定积分∫(0,π) sin(x) dx。
解：∫(0,π) sin(x) dx = (-cos(x))|_0^π = 2。
3. 求级数∑((-1)^n * 1/n)（n从1到∞）的和。
解：该级数为交错级数，且满足收敛条件，因此其和为ln(2)。
4. 求函数f(x)=x^2-4x+c的顶点坐标。
解：顶点的x坐标为x=-b/2a=2，将x=2代入函数得y=-4+c，因此顶点坐标为(2, -4+c)。
5. 求函数f(x)=x^3-3x+1在x=2处的切线方程。
解：首先求导数f'(x)=3x^2-3，将x=2代入得f'(2)=9，f(2)=3。
高数A(一)第二章答案
《高等数学教程》第二章 习题答案习题2-1 (A)1.63. 4. (1) ;)(0x f ' (2) ;)(0x f '- (3) ;)0(f ' (4) .)(20x f '5. (1);54x (2);3231-x (3) ;3.231.x (4) 32--x ; (5) 2527x ; (6) 1013x 103--.6. (1) 19.6 米； 19.6 米/秒 .7. 切线方程 ,0632=--+πy x法线方程 .03232=-+-πy x 8.（2，4）.9. (1)在0=x 连续且可导； (2)在0=x 连续且可导. 10. ;0)0(='+f ;-1)0(='-f )(x f 在点0=x 处不可导.习题2-1 (B)4.e1. 7. 0)0(='f .习题2-2 (A)1.(1) 33464xx x --; (2) 21232121----x x ; (3) x x sin 5cos 3+;(4) x x x x x x tan sec cos sin 22++; (5) 1ln +x ; (6)x x x x x22csc sec tan 21-+; (7) 2ln log 22xx x +; (8) b a x --2; (9)2)cos 1(1sin cos x x x +++;(10)2sin cos x xx x -; (11)2ln 1xx- (12)3)2(xe x x-; (13) x x x x x x x x sin ln cos cos ln 22⋅⋅-+⋅⋅;(14) x x cos 2;2. (1) 218332ππ-; (2) )42(22π-; (3) 181-;(4) 1517)2(,253)0(='='f f . 3. 3t 2t ==或.4. 切线方程 x y 2=，法线方程 x y 21-=.5. (1) 410; (2) 0 ; (3) 410- .13.(1)4)32(10+x ; (2) )31(cos 3x --; (3)212x x+; (4) a a e xxln +; (5)22)110(ln10102e 2+⋅+-x x x x x ; (6) 4x12-x ; (7) 222sin x a x x ---; (8) )(sec 3322x x ;(9) x2x ee +1; (10) a x x x 2ln )1(12+++. 14.(1) 322)41(38-+x x ; (2) )2(cos 2ln 2x x ⋅(3) x e x e xx 3sec 33tan 21222--+-; (4) 122-x x x ;(5)x xarctan 122+; (6)xxx-33sin 3ln 3cos 3;(7)221xx -; (8)22xa +1;(9) sec x ; (10) csc x .15.(1) )(cos 22cos 22x x x-; (2) csc x ; (3)2ln 22)1(22arctanx xx x x e ++; (4))(ln ln ln 1x x x ;(5)22)arccos (12x x x-; (6) -2sec2x .16.(1) cosh(cosh x )sinh x (2))(ln cosh 12x x ; (3) (3sinh x +2)sinh x cosh x (4) ⎪⎭⎫ ⎝⎛+a x a 1x e x cosh 2sinh 22cosh ; (5) )1(cosh 222x x --; (6) 22224++x x x;(7)1242-x x e e ; (8) x 3tanh .17. (1))32(2x x +; (2) )3sin 93cos 7(x x e x --;(3) 2ln 2cos 2sin 2ln 2sin xxxx +; (4)222)arcsin (1arcsin 1x x x -x x --;(5)1ln 1+-n x x n ; (6) 3xx arctan 962+;(7) x cosh 12; (8) 222arctan2x)()4x 1()4x 1(2arctan2x )4x 1(4++-+.习题2-2 (B)1. (1)22)1(2x x-; (2) 23323)2()321()(-)2()211(x x-x-x x x x-x++;(3) )cos (cos )cos sin ()cos (sin )sin (sin αx x αx x x x x α++++-;(4) 23)cos 1(sin 2sin )cos 1(x xx x +++; (5) 22)tan (sec 2-tan 2x x x x x +;(6) )sec 2()ln 2(cos )tan (cos 1)tan ()ln 2(sinx 222x x x x x x x xx x x +-++-+--;(7) )49283(224+-x x x ; (8))ln (1x x 2-+.2.2)()(d xx g x g x dx y -'=. 3. 切线方程：022=--y x 和 022=+-y x .6. (1) 400英尺；(2) v(2) = 96英尺/秒 ； v(8) = - 96英尺/秒 ； (3) 10秒 7. (1) )()(e ()()(x x x f x f x e f x f e )e f e '+'; (2) )()]([x f x f f '';(3) x x f x x f )sin2(cos )sin2(sin 22'-'; (4) )(n n 1n b ax f x a -+'. 8. (1))()()()()()(d 22x x x x x x dx y ψϕψϕϕψ+'-'=. (2))()()()()()(d 22x x x x x x dx y ψϕψϕϕψ+'+'=. 9. x21)(='x f ; 21)21(='f .10. x xx f 121)(3---='. 12. (1) 211x +; (2)xx x xxx +++++2)21(1211; (3) 242x -;(4) xx x 2455ln 212⋅++; (5) a b a b x b b a a x a b xa b ln 11⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-;(6) ()2111ln ln a aa x axa xa a x a a x a a +-+-++; (7) 222-1)(1)-(12xx x +;(8) x e x x 1sin 222sin-; (9) 3/22)(1arcsin x x x -; (10) xx x x 21254e11ln55151++--. 13. )1(sin )1(sin 1cos 22x f x f x x'-. 14.)(22x xcos dx y d =; )()(22x cos x d y d =; )(32)(23x cos x x d y d =. 15. )2arcsin()]([x x f ='ϕ; 411)]([xx f -='ϕ; 412])]([[xx x f -='ϕ.16.1sin cos 222+πππe e e .17.)()1(2x 2x xe sin x xe dx yd +=. 18. 2e .习题2-3 (A)1. (1) 214x-; (2) x e 214-; (3) x x x sin cos 2-; (4) x exsin 22-; (5) 2/3222)(x a a --; (6) 232)1(/x x +-; (7) )23(222x xe x +; (8) 3)22(xx x e 2x +--; (9) x x tan sec 22; (10) 212tan 2xxx arc ++.习题2-3 (B)1. (1) n! (2) 1)1(!2)1(+--n nx n (3) )2(!)2()1(1≥---n xn n n ;(4) ]2)1(2[21π-+n x sin -n ; (5) )(n x e x +;(6) ])1(1)2(1[!)1(11++----n n n x x n ; (7) ])(1)()1([!)1(1nn n nbx a bx a b n -++---; (8) n m x n mm m m -++---1)1()11()21()11(1 ;(9) ]22[2π⋅+-n x cos n(10) 11)21(!2+--n n x n 2. (1) x cos e y x 4)4(-=; (2) x cosh xsinhx y 100)100(+=; (3) )2sin 212252cos 502sin (2250)0(x x x x x y 5++-=; 3. (1) )()(222x f 4x x f 2''+'; (2) 22x f x f x f x f )]([)]([)()('-''. 5. 21+=x y , 3x y )2(2+=''. 7. 0=+y dt yd 22.8. 0=+y dt yd 22.习题2-4 (A)1.(1) x y y -; (2) ax y x ay 22--; (3) yy xe e +-1; (4) y x y x e x y e ++-- (5) )(1)(11xy cos x yxy cos y x +-+ (6) )(1)(2222y x f 2y y x f 2x +'-+'. 3. 切线方程：022=-+a y x ； 法线方程：0=-y x .4. (1) ]1)1([)1(222x2xsinxx cos ln cosx x sinx +++⋅+; (2) ]2cot 2sec cos 22tan ln sin [)tan (2cos x x x x x x x ⋅⋅+⋅-;(3) ]163112[)1(3)1(232x xx x x x x 2++--++-+; (4)])(251121[2)1(3122x x x x x x x 35-+++-+; (5) ])1(21[121xx xe e cotx x e sinx x --+-; (6) )ln 1()ln 1lnln ()ln (21x x xx x x x -++-;(7) )1(1+++-lnx x ln x x x ππππ;(8) ⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛x a b b a ln a x x b b a ba x .5. (1)t 2a 3b dx y d =; (2) t tdx y cos 2cos2d =; (3)ϕtan d -=dxy ; (4) θθθθθθcos -sin -1sin -cos d =dx y . 6. (1) 切线方程：042=-+y x ; 法线方程：032=-+y x . (2) 切线方程：01234=-+a y x ; 法线方程：0643=+-a y x .习题2-4 (B)1. (1) )(ln )()(ln )()(ln )()(2x x x ψx x x ψx ψϕϕϕϕ'-';(2) )()()(ln )()()()()(2)(x x x x x x x x x ψϕψψϕϕψψϕ'-'.2. ye e x y d dx yx y x --=++.3. (1) θθa sec dx y d 222=; (2) )(1t f dxy d 22''=;(3) )1(2222t t 6dyx d +=; (4) )1(832533t t dx y d +-=;(5) 343381tt dx y d -=; 4.4π. 5. 2e .6. 0 .8. (1) a (1)= - 6 (m/s 2) ; a (3)= 6 (m/s 2 ). (2) |v(2)| = 3 (m/s) ;9. 144π (m 2/s)10. 20402516.π≈(m/min). 11.640225144.π=(cm/min).12. 70 英里/小时. 习题2-5 (A)2. (a ) 0dy y 0dy 0y >->>∆∆,,;(b ) 0dy y 0dy 0y <->>∆∆,,; (c ) 0dy y 0dy 0y <-<<∆∆,,; (d ) 0dy y 0dy 0y >-<<∆∆,,.3. (1) dx x x)12(3+-; (2) dx x x x )2cos 22(sin +; (3) dx e x x 2x )1(2+; (4)dx xx412+-; (5) dx x x e x )]cos(3)[sin(3----; (6) dx x x x )21(sec )21(tan 8223++;(7)dx x xx 222)]1([ln 16---; (8)dx x x x xxx +++++2)211(211.4. (1)dx xy x +--182; (2) dx y x csc )(2+-; 5. (1) C x +2; (2) C x +223; (3) C t sin +; (4) C t cos 1+-ωω;(5) C x ++)(1ln ; (6) C e x +--221; (7) C x +2; (8) C x +3tan 31.习题2-5 (B)1. h R 0π2.2. 7683,4,0010,.V l .r l r V 2='===∆π, 0037680.dV V =≈∆; 用铜约为033550.(克).3. 0021021603.π-≈-. 4. 050.T =∆(秒)，设摆长约需加长 d l , d l 2292140050..≈⨯=π(厘米) .5. R 约增加了43.63 cm 2, 扇形面积约增加了 104.72 cm 2 .6. (1) 0. 87476 ; (2) - 0. 96509 .7. (1) 7430''o ; (2) 260'o .8. (3) 01309054tan .≈'; 0020)0021(ln ..≈.9. (1) 9.9867; (2) 2.0052 .总复习题二一、1. B 2. D 3. A 4. A 5. D 二、1. 充分； 必要； 充要.2. t 2e t t f =)(, t 2e 2t t f )1()(+='.3.1)1='-0(x f . 4. 1+=x y . 5. b. 6. [10, 20] .三、1. 212xx y +='.2. (1))]}([)]([)]([)({)]([)(2222222222x f sin x f x f cos x f x 4x f cos x f dx yd 2'-''+'=;(2) )(4)(2)()(2)]([2222222x f x x f x f x f x f dxyd ''+'+''+'=.3.xx ydx y d ln 2-=. 4. 32222)1ln ()1ln ()1ln (++-+=y xy x x y y dx y d . 5. 322)1(f f dx y d '-''=. 6. ⎪⎩⎪⎨⎧>-<≤<='1,110,20,3)(2x x x x x x f7. (1)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-''≠++-'='-0,21)0(0,)1()()()(2x g x x e x x g x g x x f x;(2) )(x f ' 在 ),(∞+-∞上是连续函数。
高等数学第二章习题详细解答答案
1 ⎧ 2 1 ⎪ x sin , x ≠ 0 （2）∵ y = ⎨ ，而 lim y = lim x 2 sin = 0 = y x = 0 ，所以函数在 x = 0 处连续 x x →0 x →0 x ⎪ x=0 ⎩ 0,
1 x = 0 ，所以函数在 x = 0 点处可导. 而 lim x →0 x−0 x 2 sin
−2 sin cos (x + Δx) − cos x 3．解： ( cos x)′ = lim = lim Δx → 0 Δx →0 Δx Δx sin 2 x + Δx 2 = − sin x = - lim sin ⋅ lim Δx → 0 Δx → 0 Δx 2 2
4. 解：（1）不能，（1）与 f ( x ) 在 x0 的取值无关，当然也就与 f ( x ) 在 x0 是否连续无关， 故是 f ′( x0 ) 存在的必要条件而非充分条件. （2）可以，与导数的定义等价. （3）可以， 与导数的定义等价. 5. 解：（1） 5 x
9 −1 = 4 ，而 y′ = (x 2 )′ = 2 x ，令 2 x = 4 ， 3 −1
得： x = 2 ，所以该抛物线上过点 (2, 4) 的切线平行于此割线. 10.解：（1）连续，但因为
f (0+ h )− f (0 ) = h
因而 lim
h→0
3
h −0 1 = 2/ 3 h h
f (0 + h) − f (0) 1 = lim 2 / 3 = +∞ ，即导数为无穷大。 → h 0 h h
∴ f +′(0) ≠ f −′(0) = −1 ，所以 f ′(0) 不存在.
13. 解 ： 当 x > 0 时 ， f ( x) = x 是 初 等 函 数 ， 所 以 f ′( x) = 3 x ； 同 理 ， 当 x < 0 时
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第二章一、单选题1. 如果xe1为无穷小量，则x 的变化趋势是（ ）。
A ．+∞→xB ．-∞→xC ．-→0x D ．+→0x2. =-+→22011lim xx x ( ) A. -2 B. 2 C. 0 D.21 （ ）A ．1 B ．0 C ．2π D ．π3.极限4. 当1→x时，下列变量中是无穷小的是（ ）。
A .13-x B . x sin C . xe D . )1ln(+x5. 当1x →时，21x-是（ ）的无穷小量。
A ．比1x -高阶B ．比1x -低阶C ．与1x -等价D ．与1x -同阶但不等价6.)0()0(-=+a f a f 是函数)(x f 在a x =处连续的（ ）。
A. 必要条件B. 充分条件C. 充要条件D. 无关条件7. =+∞→136limn nn ( ) A. 2 B. ∞ C. 0 D.218. xx x 22lim 22-→=（ ）A ．1 B ．3 C ．5 D ．7 9. 已知下列四个数列：①、2=n x ；②、132+=n x n ；③、132)1(1+-=+n x n n ；④、1313)1(1+--=-n n x n n 。
则其中收敛的数列为（ ） A.① B.①② C.①④ D.①②③10. 若)(limx f x x →=A, 则（ ）。
A. f(x )在x 0处必连续 B. 恒有f(x )=A C. f (x 0)=A D. f(x 0-0)=f(x 0+0)=A11. 初等函数的连续区间一定是（ ）。
A ．定义区间B ．闭区间C ．开区间D ．),(∞+-∞12.1lim(53)x x →--=（ ）A ．2 B ．8 C ．-8 D ．152sin lim x xx π→=11limsin x x x→∞=1lim(2)x x →∞+=1lim x →-21()1x f x x -=-13. 从1)(lim 0=→x f x x 不能推出（ ）。
A. 1)(lim 0=→x f x x －B. 1)0(0＝+x fC. 1)(0＝x fD. 0]1)([lim 0=→－x f x x 14. 当∞→n 时，数列 ,12,,35,23,1nn -的极限是（ ）. A ．1 B ．0 C ．2 D.不存在（ ）A ．1 B ．0 C ．∞ D ．无极限 15.（ ）A ．1 B ．2 C ．3 D ．∞16. 17. xx e 1lim →=（ ）A .0 B.∞+ C. 1 D. 不存在=（ ）A ．0B ．1C ．5D ．lg 518.19. 极限cos lim2x x x →+ =（ ） A ．1 B ．12 C ．13 D ．1420. 设⎪⎩⎪⎨⎧≤+>=)0()0()(x x a x e x f x ,要使 f(x)在x 0=0处连续，则a=( )A .2 B.1 C. 0 D. －121. 1x=是函数的（ ）A ．连续点B ．可去间断点C ．第一类但非可去间断点D ．第二类间断点22. 设函数122+-=x x y ，当x 从1变到5.1时，求自变量x 的增量和函数y 的增量为（ ）。
A . 0.5；1.25B . 0.5； 0.25C . 0.5； -1.25D . 0.5； -0.2523.1x →=（ ）A ．1/2B ．1/4C ．0D ．∞24.4ln tan lim x xπ→=（ ）A ．0 B ．1 C ．2 D ．325.x →=（ ）A ．0 B ．1 C ．2 D ．3212(cot 2)3lim x x π→=二、计算题1. 计算38213limxx x +---→ 2. 计算x x cosln lim 0→ 3. 计算极限22)2(cos lim x x π→4. 计算ππ-→x x x sin lim5. 计算26)2(tan limx x π→6. 计算xx x x x 212022lim -→⎪⎪⎭⎫⎝⎛---7. 计算125lim 1--+→x x x 8. 计算32652lim 2423-+-+-∞→x x x x x x 9. 计算极限212limx xx +∞→。
10. 计算极限)11(lim 22+--++∞→x x x x x 。
11. 计算极限33ln lim 21+-→x x x 。
12. 求极限2)213(lim-+∞→x x x 。
13. 计算1275lim 223+---∞→x x x x x 14. 求极限32323526limx x x x x x x ----∞→。
15. 计算x x x 34lim+∞→16. 求极限)6(sin 2cos sin 620lim π+-+→x x x x x 。
17. 计算224lim 2x x x →-++18. 计算极限)1311(lim 31x x x ---→。
19. 计算极限xx x x )21(lim ++∞→。
20. 求极限13sin lim 0-→x x x 。
21. 计算极限113lim 21++-→x x x 。
22. 计算极限121lim 221---→x x x x 。
23. 计算极限)122(lim 21+-→x x x 。
24. 计算)15(lim 1+→x x 25. 计算极限2232)2(2lim -+→x x x x 。
26. 计算极限2)1(321lim n n n -++++∞→ 。
27. 求极限8232lim --→x x x 。
28. 计算x x x 10)1(lim -→ 29. 计算13cos 5lim +-∞→x x x x 30. 求极限)732(22lim -+→x x x 。
31. 计算x x x x x ∆-∆+→∆330)(lim32. 计算x x k x k x )(lim -+∞→33. 计算⎪⎭⎫ ⎝⎛---→311211lim x x x 34. 计算极限x x x 20)31(lim -→。
三、判断题1. 无限变小的变量称为无穷小。
（ ）2. 数列n x n sin =的极限不存在（ ）3. 极限( ) 4. 非常小的数是无穷小。
（ ）5.xy =在0=x 处不连续。
( )6. 已知数列2)1(1nn x -+=，则0lim =∞→nn x（ ）。
7. 已知)(0x f 不存在，但)(lim 0x f x x →有可能存在。
( )8. 若)0(0+x f 与)0(0-x f 都存在，则)(lim 0x f x x →必存在。
( )9. 无穷小之和仍是无穷小．（ ）10. 函数的间断点处函数一定无意义．（ ） 11. 极限( ） 12. 无限个无穷小的和还是无穷小。
( )13. 0lim 2lim 1lim 321lim 2222=+++=++++∞→∞→∞→∞→n nn n n n n n n n 。
( )14. 设)(x f y =在],[b a 上连续，且无零点，则)(x f 在],[b a 上恒为正或恒为负。
( )15. )524(lim 22+-→x xx =17 ( ) 16. 任何常数都不是无穷小．（ ）17. 无穷小与无穷大互为倒数关系．（ ）18. 当1→x 时，无穷小量21x -比31x -的阶高.（ ）19. 初等函数是连续的．（ ）20. 若A x f x x =→)(lim，则A x f =)(0。
（ ）21. e xxx =-∞→)11(lim 。
( ) 22. 零是无穷小量。
（ ） 四、填空题1.x x )31(lim ∞+→= 。
2. x 由1变到9.0时，函数1)(2+=x x f 的增量是 。
3. 函数121-=x y ，当 ________时是无穷小量，当________ 时是无穷大量。
4. 若A x f x =→)(lim1，则=-)01(f 。
5. 若0x x→时，)(x f 为无穷大量，则()x f x x 1lim→为 。
6. 。
7. 函数22-+=x x y ，当5.0,1-=∆=x x 时，________=∆y 。
3lim1x nn →∞=+0ln(1)1limx x x→+=8. x arctan 在),0[+∞上的最小值为 。
9. 若1)(lim1-=→x f x ，则=+)01(f 。
10. x 由1变到9.0时，函数1)(2-+=x x x f 的增量是 。
11. 若0x x→时, f(x) 为无穷大，则)(1limx f x x →= 。
12. 设)(x f 在()+∞∞-,上连续，2)(lim 0=→x x x ϕ，则=→)]([lim 0x f x x ϕ 。
13. 设)(x α是无穷小量，)(x E 是有界函数，则)()(x E x α为 .14. 设)1ln(1)(x xx f -=，若定义_________)0(=f ，则)(x f 在0=x 处连续。
15. ______________2sinlim=∞→nn n π16. 设)(x f 在()+∞∞-,上连续，()1lim 0=→x f x x ，则()=→]ln[lim 0x f x x 。
17. 若0x x →时，)(x f 为无穷小量，则()x f x x 1lim 0→为 。
18.10(12)lim xx x →+= 。
19. 当n →∞时，数列n n x )32(= 以________为极限。
20.)32(lim 21+-→x x x = 21. ______________)1(lim =-+∞→n n n22. 有限个无穷小量之和为 。
23. 函数)1l n (1)(-=x x f 的连续区间是 。
24. 以零为极限的变量称为 。
25. 若函数f(x)在点0x 处连续，则)]()([0lim 0xf x f x x -→=________ 。
26. )54(lim 2-→x x = 。
五、应用题1. 讨论函数⎩⎨⎧>+≤=2321)(x x x x f 在2=x处的连续性。
2. 一张厚度为0.005厘米的薄纸，把它一裁为二迭起来，再把迭起来的一裁为二迭起来，如此继续一裁一迭n 次，求所得厚度为多少厘米。
3. 设函数22y x x =+，当x 从1变到1.1时，求自变量x 的增量和函数y 的增量。
4. 一种微型汽车的原价10000元，若使用以后，每年以10%的折旧率折旧，第n 年后它的价值为多少？求n →∞时，第n 年后价值的极限。
5. 设⎩⎨⎧>-≤=111)(x x x x x f 求当1→x 时，求)(x f 的左、右极限，并判断当1→x 时，)(x f 的极限是否存在.6. 讨论函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>--=<+=11111111)(x x x x x x x f 在1x=点处的连续性,若间断说明其间断类型。