塑性力学应力状态

应力强度 或广义剪应力
i
3 1 0 ( 1 2 )2 ( 2 3 )2 ( 3 1 )2 3J 2 2 2 1 2 2 2 ( x y )2 ( y z )2 ( z x )2 6( xy yz zx ) 2
解得
3 3 2 6 8 0
1 4, 2 1, 3 2
斜截面上的正应力和剪应力
设斜截面上的正应力为v , 则由投影可得
v lpvx mp vy npvz
l 2 x m 2 y n 2 z 2lm xy 2mn yz 2nl zx
1 0
2 i 3
应力星圆
应力状态与 应力星圆
【例】已知应力状态为：1=150MPa, 2=50MPa, 3= -50MPa，试画出应力星圆。 【解】 2 R i
3 2 1 (150 50) 2 (50 50) 2 ( 50 150) 2 3 2 200 / 3MPa
0 = (150+50-50)/3 = 50MPa
cos
1 0
2 i 3
150 50 3 2 200 / 3
( x v )l xy m xz n 0 yx l ( y v )m yz n 0 zx l zy m ( z v )n 0
几何关系
l m n 1
2 2 2
l , m , n 不能同时为零，因此前式为包括三个未知量
最大剪应力
max
1 ( 1 2 ) 2
1 1 p ( x y ), q ( x y ) 2 2
摩尔应力圆
1－2 三维应力状态
x面的应力： x , xy , xz y面的应力： y , yx , yz z面的应力： z , zx , zy
面，等倾面的法线方向也与三个主应力轴成相同的 角度。法线v为空间对角线，也称为等倾线。等倾面 法线的方向余弦l, m, n可由下式确定
l m n 1 l mn l m n
2 2 2
1 3
则等倾面上的正应力和剪应力
1 1 v ( 1 2 3 ) m I1 3 3
作用于任一斜截面上的应力向量分量可以用
作用在与坐标轴垂直的三个面上的应力向量 分量来表示。 pv pvx pvy pvz
上式可作为力的边界条件的表达式。
1－3 三维应力状态的主应力
在过任一点所作任意方向的单元面积上都有正应力
和剪应力。如果在某一方向剪应力为零，则此方向 即称为主方向（应力主向），而这时在该面上的正 应力便称为主应力。 如果v方向为主应力平面的方向，则有pvx = x l，pvy ＝y m，pvz = z n，则得
x xy xz 用矩阵表示： yx y yz zx zy z
其中，只有6个量独立。
z
z
xy yx yz zy zx xz
剪应力互等定理
O x
xz xy y y yx yz x zx zy z
第1章 应力分析
1. 应力状态
2. 三维应力状态分析
3. 三维应力状态的主应力
4. 最大剪应力
5. 等倾面上的正应力和剪应力 6. 应力罗德参数与应力罗德角 7. 应力张量的分解 8. 平衡微分方程
1－1 应力状态
1. 外力
体力、面力
(1) 体力 —— 弹性体内单位体积上所受的外力
Q —— 体力分布集度 F lim （矢量） V 0 V F Xi Yj Zk
等倾面及其上应力





等倾面上一点的应力状态
向量 p 在等倾线上的投影 0 1 ( 1 2 3 ) 3 向量 p 在等倾面上的投影 0
0与轴1在等倾面上的投影之间的夹角
1 2 2 2 2 0 ( 1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 1 ) J2 3 3
X、Y、Z为体力矢量在坐标轴上的投影 单位： N/m3 kN/m3
z
Z
Q
k i
O j
X
V Y
y
(1) F 是坐标的连续分布函数； x 说明：(2) F 的加载方式是任意的 (如：重力，磁场力、惯性力等) (3) X、Y、Z 的正负号由坐标方向确定。
(2) 面力
Q —— 面力分布集度（矢量） F lim S 0 S
求解主应力时，先求出各应力张量不变量，
再解一元三次方程。
【例】已知一点的应力状态由如下应力分量确 定，即
x 3, y z 0, xy zx 1, yz 2
试求主应力的值。
【解】求各应力张量不变量，I1 = 3，I2= -6，I3 = -8，代入一元三次方程得
l,m,n的线性齐次方程。若有非零解，则此方程组的 系数行列式应当等于零，即
x v xy xz yx y v yz 0 zx zy z v
展开行列式得到 其中
v I1 v I 2 v I 3 0
3 2
2 2 2 I 2 x y y z z x ( xy yz zx ) 2 2 2 I 3 x y z 2 xy yz zx ( x yz y zx z xy ) I1 x y z
y
yx
zx
zy yz
与材力中剪应力τ正负号规定的区别： 规定使得单元体顺时转的剪应力τ 为正，反之为负。
yx y
x
y
xy yx
xy
xy
yx
y
x
x
在用应力莫尔圆时必须用此规定求解问题
四面体受力图
在某点处取出 一无限小四 面体。它的 三个面分别 与x、y、z三 个轴相垂直。 另一面即为 任意倾斜面， 其法线为v， 其方向余弦 为l、m、n。
F Xi Yj Z k
—— 作用于物体表面单位面积上的外力
z
Q
X Y Z —— 面力矢量在坐标轴上投影
单位： 1N/m2 =1Pa (帕 )
Z
k i
x O j
X
S Y
y
1MN/m2 = 106Pa = 1MPa (兆帕)
(1) F 是坐标的连续分布函数；
说明： (2) F 的加载方式是任意的;
(3) X Y Z的正负号由坐标方向确定。
2. 应力 (1) 一点应力的概念
内力 (1) 物体内部分子或原子间的相互 作用力; (不考虑) (2) 由于外力作用引起的相互作用力.
dP (1) M点的内力面分布集度 ----M点的应力 lim dS (2) 应力矢量 dP 的极限方向
由外力引起的在 P点的某一面上内力分布集度 应力的法向分量 应力的切向分量
八面体上 的正应力 与剪应力
p 0 0
称为应力状态的特征角， cos为应力形式指数 。
1 1 ( 2 3 ) 2 1 2 3 2 cos i 2 i
偏平面
如果等倾面上的正应力0= 0，？？
如果0= 0，等倾面过原点，则此等倾面称为 平面。平面上没有正应力，只有剪应力，只 有应力偏张量，所以平面又叫偏平面。
y
yx
zx
zy
yz
应力符号的意义：
xy
第1个下标 x 表示τ所在面的法线方向；
第2个下标 y 表示τ的方向. 应力正负号的规定： 正应力—— 拉为正，压为负。 剪应力—— 坐标正面上，与坐标正向一致时为正； 坐标负面上，与坐标正向相反时为正。
z
z
O x
xz xy y y yx yz x zx zy z
1－4 最大Biblioteka Baidu应力
主应力平面上
的剪应力为零； 最大剪应力位 于坐标轴分角 面上，而三个 最大剪应力分 别等于三个主 应力两两之差 的一半。
在主应力坐
标系中（1, 2, 3分别代 表 1, 2, 3） 主应力与最 大剪应力作 用面及其方 向余弦
1-5 等倾面上的正应力和剪应力
等倾面就是和三个主应力轴成相同角度（5444'）的
0 为平均应力或静
水压力，只引起物 体体积的变化，i 或0只引起物体形 状的变化， 与应 力状态有关。
应力偏量分量、主应力用应力强度、 平均应力与应力状态状态角表示
应力偏量 主应力
s1+s2+s3 = 0
1+2+3 = 30
应力星圆
应力星圆是以距原点O为0的一点为圆心，以
1 2 2 2 2 v ( 1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 1 ) J2 3 3
主应力空间：以三个主 应力为轴而组成的笛卡 儿坐标系
p1
1
3
,
p2
2
3
,
p3
3
3
若将1, 2, 3轴在等倾
面上投影，则在等倾面 上可以得到互相成 120 角的三个坐标轴。

M dS
dP

n
(法线)
应力分量 单位:

—— 正应力 —— 剪应力

与面力相同
MPa (兆帕)
应力关于坐标连续分布的
( x, y, z ) ( x, y, z )
斜截面上的应力
斜截面上的总应力
P P cos S S / cos
斜截面上的正应力和剪应力
I 1 、 I 2 、 I 3 不随坐标方向不同而变，称为应力
张量不变量，分别称为应力张量第一（一次） 不变量、第二（二次）不变量与第三（三次） 不变量。 解一元三次方程，得三个主应力1, 2, 3。 I1、I2、I3可用主应力表示如下：
I1 1 2 3 I 2 1 2 2 3 3 1 I 3 1 2 3
pv
x xy xz y yz yx zx zy z
l cos(v , x ), m cos(v , y ), n cos(v , z )
利用力的平衡条件，可得任意斜截面上的应
力 pv
pvx x l xy m xz n pvy yx l y m yz n pvz zx l zy m z n
若三个坐标轴的方向为主方向，且主应力大小顺序
按x, y, z排列，则
v l 2 1 m 2 2 n 2 3
总应力为
2 2 2 pv pvx pvy pvz
斜截面上的剪应力为
v
p
2 v
2 v
三维应力圆
三维应力状态
下任意斜截面 上的正应力和 剪应力，在以 三个主应力组 成的应力圆所 围成的阴影的 范围之内。 最大剪应力等 于最大和最小 正应力值之差 的一半。
v cos ,
2
1 v sin2 2
平面应力状态
p q cos 2 xy sin 2 q sin 2 xy cos 2
主应力与应力主向
1 2 2 p q xy 2
tan 2 0
xy
q
2i / 3为半径所画的圆。由圆心O点开始作与 轴O成 角的直线，则此直线与圆的交点在 O 轴上的投影即为 1。由OA线顺时针旋转 120作一直线，此直线与圆的交点在 轴上的 投影即为2。而由OA线顺时针旋转240所作 的直线与圆的交点在 轴上的投影即为3。
cos