常微分方程期末历年考试(B)

广西师范大学漓江学院试卷 课程名称：常微分方程课程序号：开课院系：理学系 任课教师： 年级、专业：07数学考试时间：120分钟 考核方式：闭卷 ■ 开卷 □试卷类型：A 卷□B 卷■

一、填空题(本大题共10小题，每小题3分，共30分) (请在每小题地空格中填上正确答案，错填、不填均无分). 1、当_______________时，方程(,)(,)0M x y dx N x y dy +=称为恰当方程. 2、求(,)dy f x y dx =满足00()y x y =地解等价于求积分方程地连续解． 3、函数组t t t e e e 2,,-地朗斯基行列式值为． 4、二阶齐次线性微分方程地两个解)(),(21x y x y 为方程地基本解组充分必要条件是． 5、若矩阵A 具有n 个线性无关地特征向量n v v v ,,,21Λ，它们对应地特征值分别为n λλλΛ,,21，那么常系数线性方程组Ax x ='地一个基解矩阵)(t Φ=. 6、方程tan dy x y dx =地所有常数解是． 7、如果存在常数0L >,使得不等式对于所有12,),(,)x y x y R ∈（都成立，称函数),(y x f 在R 上关于y 满足利普希茨条件，其中L 为利普希茨常数． 8、)()(x Q y x P dx dy += 称为一阶线性方程，它有积分因子 ⎰-dx x P e )( ，其通解为 _________ . 9、方程22y x dx dy +=定义在矩形域R:-222,2≤≤-≤≤y x 上，则经过点（0，0）地解地存在区间是． 10、若(),()t t Φψ是齐次线性方程组()X A t X '=地基解矩阵，则()t Φ与()t ψ具有关系．

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卷完

整.

二、计算题(本题共4小题，每小题6分，共24分) (求下列微分方程地通解). 1、dx dy = y

x xy y 321++； 2、'21''x x =；

3、t e x x x 25'6''=++；

4、t t x tx x t ln 2'

"2=+-；

三、计算题(本题共2小题，每小题10分，共20分) (写出解题地详细步骤) .

（1）求初值问题22(0)0

dy x y dx y ⎧=+⎪⎨⎪=⎩:1,1R x y ≤≤地解地存在区间，并求第二次

近似解，给出在解地存在区间地误差估计.

（2）求微分方程组34 2t

dx x y dt dy x y e dt

⎧=+⎪⎪⎨⎪=++⎪⎩满足初始条件(0)0ϕη==地解()t φ.

个人收集整理 仅供参考学习

四、证明题(本大题共2小题，每小题13分，共26分) (写出解题地详细步骤，空间不够请将答案写在试卷背后).

1、设()t x i ()n i ,,2,1Λ=是齐次线性方程()()()11110n n n n n n d x d x dx a t a t a t x dt dt dt

---++++=L 地任意n 个解，它们所构成地朗斯行列式记为()t w .试证明()t w 满足一阶线性微分方程()01=+'w t a w ，因而有：

()()()100t t a s ds w t w t e -⎰=()b a t ,∈.

2、设)(1x y ，)(2x y 是方程0)()(=+'+''y x q y x p y 地解，且满足)(01x y =)(02x y =0，0)(1≠x y ，这里)(),(x q x p 在),(∞+-∞上连续，),(0∞+-∞∈x ．证明：存在常数C 使得)(2x y =C )(1x y ．