高中数学构建仿射坐标系解题
优选仿射坐标系
Ⅳ
xoy面
Ⅶ
x
Ⅷ
e3
z
zox 面
e1
e2
Ⅱ
o
yⅠ
Ⅵ Ⅴ
空间仿射坐标系共有八个卦限
[2]平面仿射标架 向量集合=所有平行于某一平面的向量
二元有序数组集合=所有的(x,y)
平面点集=所有该平面上的点
平面仿射标架： [O ; e1 ,e2]
思考题：怎样建立直线上的仿射标架。
三、仿射坐标
给定仿射坐标系[O; e1 ,e2 ,e3]
设向量、的坐标分别为（a1 ,a2 ,a3）和（b1 ,b2 ,b3）,则
(1) 的坐标为（a1 b1 ,a2 b2 ,a3 b3） (2)对任何实数，的坐标为（a1 ,a2 ,a3)
推论1.1 设点A、B的坐标分别为（a1 ,a2 ,a3）和 （b1 ,b2 ,b3）,则AB的坐标为（b1 - a1,b2 - a2,b3 - a3）。
思考：向量的坐标和向量 AB的坐标的关系。
二、直角坐标系
[1] 空间直角坐标系(向量集合、 空间、三元有序数组）
三要素：
z 竖轴
原点O （0,0,0)
定点 o •
y 纵轴
三个两两垂直不共面
的单位向量
横轴 x
三个坐标轴的正方向
空间直角坐标系
符合右手系：
[2]平面直角坐标系（共面向量集合、平面、
二元有序数组）
仿射标架[O;e1 ,e2 ,e3]三要素:
[1] 原点
[2]三个不共面的向量 [3]三个向量的顺序
[1]轴：x轴、y轴、z轴
x轴是经过原点O、平行于e1、和e1方向相同 的数轴; y轴对应e2 , z轴对应e3 .
[2]坐标平面：xoy，zox,zoy
3. 仿射坐标系
§3 仿射坐标系一、 仿射坐标系与度量系数[仿射坐标] 在三维欧氏空间 中，若取一个直角坐标系，其坐标单位矢量为i ，j ，k 时，则空间中的矢量a 可表示为a ＝a x i ＋a y j ＋a z k一般地，在空间中给定了三个不共面的矢量e 1，e 2，e 3，则空间中任一矢量a 可按这三个矢量分解，令其系数为a 1,a 2,a 3(这里1,2,3不是指数，而是上标)则a 可表示为a ＝a 1e 1＋a 2e 2＋a 3e 3或简计作 a ＝a i e ia ＝{a 1,a 2,a3}＝{ a i }这种坐标系{e 1,e 2,e 3}称为仿射坐标系，e 1,e 2,e 3称为坐标矢量，a 1,a 2,a 3称为矢量a 的仿射坐标.[欧氏空间中度量系数] 当矢量a 写成上面的形式时，则它的长度a 由(a )2＝(a i e i )(a j e j )＝(e i e j )a i aj 给出.令e i e j ＝g ij (＝g ji ) (i ，j ＝1,2,3)则称g ij 为仿射坐标系的度量系数.1矢量a 的长度由(a )2＝g ij a i aj 计算.2 两个矢量a ＝a i e i ，b ＝b j e j的夹角θ由cos θ＝g a b g a a g b bij i j ij ijij i j⋅计算.3 因为g ij a i a j是正定二次型，所以由g ij 所作的行列式欧几里得空间简称欧氏空间，它的定义见第二十一章，§4.这种缩写是张量算法中的写法.如果每个指标在乘积中出现一次，就表示它取一切可能的值；如果每个指标在乘积中出现两次，就表示取一切可能的值，而后再把各项相加，求其总和.这种规定称 为爱因斯坦约定. 这是张量写法.g g g g g g g g g g =>1112132122233132330 混合积(e １,e ２,e ３)2=()()()()()()()()()332313322212312111e e e e e e e e e e e e e e e e e e =g (e １,e ２,e ３)=g[克罗内克尔符号] 对称矩阵()g g g g g g g g g g ij=⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥111213212223313233 的逆矩阵用()⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=333231232221131211g g g g g g g g g g ij来表示.由逆矩阵的性质，有g ij =g ji和g ikg kj =δj i式中δj i =10,,i ji j=≠⎧⎨⎩称为克罗内克尔符号.[互易矢量] 利用这个g ij规定e i =g ije j因而有e j =g ij e ie ie k =(g ije j )e k =g ij(e j e k )=g ijg jk =δk ie i e j=(g ile l )(g jme m )=g il g jm(e l e m )=g il g jmg lm =g ilδl j =g ij对e １,e ２,e ３，可以得到e 1=1g(e 2×e 3), e 2=1g (e 3×e 1), e 3=1g(e 1×e 2)e1,e2,e3称为关于坐标矢量e1,e2,e3的互易矢量. g ij称为互易矢量的仿射坐标系中的度量系数.二、逆变矢量与协变矢量[逆变矢量与协变矢量] 如果矢量a在坐标系{e１,e２,e３}中的仿射坐标a1,a2,a3是由公式a＝a1e1＋a2e2＋a3e3=a i e i给出，则a1,a2,a3称为矢量a的逆变坐标(或称为抗变坐标)，而矢量{a i}称为逆变矢量(或称为抗变矢量).如果关于坐标矢量e１,e２,e３的互易矢量为e1,e2,e3，矢量a在坐标系{e1,e2,e3}中的仿射坐标a1,a2,a3是由公式a＝a1e1＋a2e2＋a3e3=a j e j给出，则a1,a2,a3称为矢量a的协变坐标，而矢量{a j}称为协变矢量.在直角坐标系中，矢量的协变坐标与逆变坐标是一致的.一般地，在仿射坐标系中协变坐标与逆变坐标有关系a i=a·e i=(a j e j)·e i=a j(e j·e i)=a j g ji[逆变矢量与协变矢量的标量积]如果a , b为两个矢量，a1 ,a2 ,a3 ; b1 ,b2 ,b3分别为它们的逆变坐标，则a·b=g ij a i b j如果a , b为两个矢量，a1 ,a2,a3 ; b1,b2 ,b3分别为它们的协变坐标，则a·b=g ij a i a j如果a的逆变坐标为a1,a2,a3,b的协变坐标为b1,b2 ,b3 , 则a·b=a i b i三、n维空间[n维空间的定义] 如果空间中的点与n个独立实数x1，···，x n的有序组的值建立一对一且双方连续的对应，那末，以这样的点作为元素的集合称为n维实数空间 (简称n维空间)，记作R n.所以空间中一点M对应于一组有序数x１，···，x n；反之，一组有序数x１，···，x n对应于一点M.这样的一组有序数(x１，···，x n)称为n维空间R n中一点M的坐标.[n维空间中的矢量] 在n维空间R n中取一定点O，坐标为(0,0,···,0)，另外一点M(x1，x2，···，x n)，r为对应于两点O和M的矢量，称为点M的矢径.假定在R n中可以引进仿射坐标系，使得矢径r与点M(x i)的坐标的关系是r＝x1e1＋···＋x n e n＝x i e in维实数空间另一定义见第二十一章，§3.式中e 1，···，e n 是R n中n 个线性无关的矢量，这种坐标系{e 1,···,e n}称为R n 中的仿射坐标系，x 1，···，x n称为R n中矢量r 的仿射坐标.在三维空间中所讨论的许多结果，在n 维空间中都成立，只要把公式中所出现的指标认为从1到n 就行了.[逆变矢量与协变矢量] 在n 维空间R n 中考虑一个任意坐标变换()x x x x i i n''=⋅⋅⋅1,,()'=''⋅⋅⋅'i n 12,,, (1)其中函数x i '关于x i有连续的各阶导数(讨论中所需要的阶数)，变换的雅可比式不等于零：()()0,,,,,,2121≠⋅⋅⋅∂⋅⋅⋅∂'''nn xx x x x x 因而(1)有逆变换()x x x x x i i n =⋅⋅⋅'''12,,,设a 1,···,a n 为x i的函数，如果在坐标变换下，它们都按坐标微分一样地变换，即ii i i a xx a ∂∂=''则称a i 为坐标系(x i)中一个矢量的逆变坐标，a i '为坐标系()x i '中同一个矢量的逆变坐标.称矢量{}a i 为逆变矢量. 如果a i 按i i ii a xx a ''∂∂=的形式变换，则称a i 为坐标系(x i)中一个矢量的协变坐标，称 a i '为坐标系()x i '中同一矢量的协变坐标，称矢量{}a i 为协变矢量.逆变矢量和协变矢量的变换系数是不同的，但是它们之间有关系式ij jk k i xx x x δ=∂∂∂∂'' 式中δj i 为克罗内克尔符号.这里用x i '表示同一点M （x i ）在另一个坐标系中的坐标，就是说{}x i 和{}x i '表示同一点.用同一个核文字(如x )表示同一个对象，用指标上加一撇表示不同的坐标系（如x x ii ,'等），这种记法叫核 标法.例 标量场的梯度是一个协变矢量.设n 维空间的标量场为()ϕx x x n 12,,⋅⋅⋅,它沿一无限小位移d x i 上的变更i i x d d ∙=ϕϕ是一个在坐标变换下的不变量，式中ii x ∂∂=∙ϕϕ是ϕ的梯度的分量.因此在坐标变换下， i i i i ii i i x xx x x ''∙∙''∂∂==d d d .ϕϕϕ则i i ii xx ∙''=ϕ∂∂ϕ.所以i ∙ϕ是一个协变矢量.。
4-3 用坐标法研究仿射变换
3.1 仿射变换的变换公式
方法2. 把点 (x, y) 经过变换得到的像点的坐标 x, y 看作 x, y 的函数, 用条件来决定变换公式. 直线 2x + y 2 = 0 的原像是 x + y 1 = 0, 从而 2x + y 2 = 0 (其中x, y 看作 x, y 的函数) 与 x + y 1 = 0表示同一条直线的方程, 因此存在数s, 使得 2x + y 2 = s (x + y 1), 再由f 把点(1, 1)变为点(2, 3), 用x = 1, .
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3.1 仿射变换的变换公式
2(a11x + a12y + b1) + (a21x + a22y + b2) 2 = 0 就是直线 x + y 1 = 0, 于是 (2a11+a21) : (2a12+a22) : (2b1+b22) = 1 : 1 : (1), 即 2a11 + a21 = 2a12 + a22 ① 2a11 + a21= (2b1 + b2 2) ② 类似地, 由f 把直线 x+2y = 0变为x+y+1= 0 可得到 (a11+a21) : (a12+a22) : (b1+b2+1) = 1 : 2 : 0, 即 2 (a11 + a21) = a12 + a22 ③ b1 + b2 +1 = 0 ④
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3.1 仿射变换的变换公式
注: 1. 若平面的仿射点变换 f 在一个仿射坐标 系中的公式为 x a11 a12 x b1 , (4.3) y a21 a22 y b2 其中系数矩阵A = (aij)是可逆矩阵, 则其决定的 向量变换在该仿射坐标系中的公式为 x a11 a12 x . (4.4) y a21 a22 y A称为变换矩阵.
巧用仿射变换解决高考中解析几何问题
＝ ｅ２，且 ｅ１＝ （１，０），ｅ２ ＝ （０，１），由 已知得ＣＰ ＝ 精 心设 计和 讲评从 而使 学生 的解题达 到举 一反 三 的 （ ，０）＋（０，Ｙ）＝ （ ，Ｙ），可得 ＝３Ａ，Ｙ＝４—４Ａ， 效 果．，
—
—
—
—
＝ ÷，．’．Ｉ Ａ Ｉ·Ｉ Ｂｃ Ｉ＝１５，．。．Ｉ ＡＢ Ｉ＝５，Ｉ ＡＣ Ｉ＝
３，Ｉ ｃ ｌ＝４，由又 Ｐ为线段 Ａ 上的点，且ｃＰ＝÷
以先根 据条 件 得 到 ＲｔＡＡＢＣ特 征 ，然 后 再 考 虑 利 用 三 点共 线条 件建 立 ，Ｙ之 间关 系找 到 基本 不 等 式 ， 转化 为 Ａ的二 次 函数求 解．
， ＝ × （一２ｎｍ）＝＿２，又因 ＝号，
十 ＝ ０．
ｙ，： ，所 以 ｋｅ，Ａ，： ， ： ．．·． 后船
若 直 线 Ｚ 与 圆 ＋ｙ“ ＝ １的交 点‘有 两个 ，则
解法 １：在ＲｔＡＡＢＣ中，由Ａ ·ＡＣ＝９得 Ｉ ＡＢ Ｉ． Ｉ ＢＣ Ｉ ｃｏｓＡ ＝９，由面积 为 ６，得 ｌ ＡＢ １．Ｉ ＢＣ ｌ ｓｉｎＡ ＝
：１２，由以上 两 式解得 ｔａｎＡ ＝ 亍４ 所以ｓｉｎＡ＝ｉ４， ．
ｃｏｓＡ＝÷，所以ｌＩ ＡＢ Ｉ·ｌ ｃ Ｉ＝１５，所以Ｉ Ａ Ｉ＝５，
学 ），２０１７（７）：７—１０．
‘
巧 用 仿 射 变 换解 决 高 考 中解 析 几何 问题
陕西安康 学院数学与统计 学院 （７２５０００） 王子怡 赵临龙 （指 导教 师）
仿射变换大全秒杀解解析几何(含答案)_20190319135006
（Ⅰ）求椭圆 C 的方程；（Ⅱ）若椭圆 C1 的方程为 + =1（m＞n＞0），椭圆 C2 的方程为 + =λ
（λ＞0，且λ≠1），则称椭圆 C2 是椭圆 C1 的λ倍相似椭圆．已知椭圆 C2 是椭圆 C 的 3 倍相似椭圆．若 过椭圆 C 上动点 P 的切线 l 交椭圆 C2 于 A，B 两点，O 为坐标原点，试证明当切线 l 变化时|PA|=|PB| 并研究△OAB 面积的变化情况．
k PQ
2kPQ
；令
PQ 倾斜角为
， PQ 中点为 M
， OM
2 cos
，
PM QM 1 2 cos 2
，
故
SOPQ 2 cos 1 2 cos 2
2 cos 2 1 2 cos 2 1 ，
2
当 仅 当 2 cos 2 1 2 cos 2 cos 2 时 ， 等 号 成 立 ， 此 时
坐标拉伸秒杀椭圆问题（一）
秒杀秘籍：利用伸缩法解决椭圆问题
x2 a2
y2 b2
1
x x x x
y
a b
y
y
b a
y
x'2 y'2
a2
拉伸后点的坐标变化：A（
x0
,
y0
）→
A'(x0 ,
a b
y0 )
,横坐标不变，纵坐标拉伸
a b
倍。
斜率的变化：如图纵坐标拉 伸了 a 倍，故 k ' a k
2．x2+y2=1 经过伸缩变换
，后所得图形的焦距（ ）
A．4 B．2
仿射坐标在高中数学解题中的应用
仿射坐标在高中数学解题中的应用作者：杨新鹏来源：《数学教学通讯·高中版》2016年第07期[摘要] 高中阶段的几何题，往往采用的是建立直角坐标系，将几何问题转化为代数问题来解决，但是由于直角坐标系的特殊性，并非所有的题目都容易建立直角坐标系，仿射坐标系在建系上比较灵活，而且学生容易掌握.[关键词] 仿射坐标系；直角坐标系；高中数学解题高中阶段的平面几何和立体几何题，往往采用的是建立直角坐标系，将几何问题转化为代数问题来解决，但是由于直角坐标系的特殊性，并非所有的题目都容易建立直角坐标系，仿射坐标系在建系上比较容易，而且学生容易掌握. 在某些题中运用仿射标系可以给运算带来简便.仿射坐标系：平面内任意给定一点O和两个不共线的向量e1，e2，则任意一个向量都可以表示成e1，e2的线性组合，=xe1+ye2，则把e1，e2称为平面内的一组基，则有序数组（x，y）称为m在仿射坐标系[O；e1，e2]中的坐标，类似地可以定义空间中的仿射坐标.易知：当e1，e2（e1，e2，e3）为两两垂直的单位向量时，仿射坐标系变为直角坐标系，仿射坐标系具有以下性质：（1）？摇仿射坐标系中向量坐标的加减运算、数乘运算、线性表示与直角坐标系保持一致，向量的坐标等于终点坐标减去起点坐标.（2）？摇在仿射坐标系中共线向量的判别条件与直角坐标系保持一致，即对应坐标成比例.（3）？摇在仿射坐标系中线段的定比分点公式与直角坐标系保持一致.证明：向量的运算法则在射影坐标系下保持不变，由向量坐标的运算、共线向量的性质，易知结论（1）（2）（3）成立，由（3）可知，射影坐标系可以解决等分点问题.例1 在△ABC中，点M，N满足=2，=，若=x+y，则x=________.解：如图2所示，建立仿射坐标系，设A（0，0），B（b，0），C（0，c），则M0，c，Nb，c，？摇？摇？摇=b+-c，x=，y=-.例2 平面内给定两个向量，已知a=（3，2），b=（2，9），若满足（a+4b）∥（-3a-kb），则求k的值.解：因为a=（3，2），b=（2，9）两向量不共线，所以以a和b为基底的单位向量建立平面方射坐标系，则（a+4b）=（1，4），（-3a-kb）=（-3，-k）.？摇因为（a+4b）∥（-3a-kb），所以1×（-k）=4×（-3），即k=12.例3 证明：四面体对棱中点的连线交于一点.？摇证明：如图3，四面体A-BCD中，E，F，G，H，M，N为棱的中点，取空间仿射坐标系，则各点坐标分别为： E，0，0，F0，，，G，，0，H0，0，，N0，，0，M，0，.设EF与GH交于一点O（x，y，z），设=λ1，=λ2，由定比分点公式可得：x==，y==，z==.解得：λ1=λ2=1. 所以O，，. 设EF与MN交于点O′（x′，y′，z′），同理可得O′，，，所以四面体对棱中点的连线交于一点.（4）仿射坐标系中的直线方程可用两点式、截距式.证明：如图4，在仿射坐标系[O；，]中，设C（x1，y1），D（x2，y2），E（x，y）为直线上任意一点，因为C，D，E三点共线，所以有=λ，即（x-x1，y-y1）=λ（x2-x1，y2-y1），有x-x1=λ（x2-x1），y-y1=λ（y1-y1），所以=（x2≠x1，y2≠y1），当（x2=x1，y2=y1）时，方程为x=x1或y=y1，如图5.截距式证明与以上类似，如图6.例4 证明三角形三边的中线交于一点.证明：如图7在△ABC中，E，F，G分别为三边的中点，以A为原点，建立仿射坐标系[A；AB，AC]，则A（0，0），B（1，0），C（0，1），E，0，F0，，G，，所以直线AG，BF，CE的方程为：y=x，y=-x+，y=-2x+1.可以得到AG与BF的交点为：，，BF与CE的交点为，，所以直线AG，BF，CE交于一点.（5）仿射坐标系下向量的乘法和距离表示.？摇证明：在仿射坐标系下，设向量a，b的坐标分别为（a1，a2），（b1，b2），则a·b=（a1e1+a2e2）·（b1e1+b2e2）=a1b1e1·e1+a1b2e1·e2+a2b1e2·e1+a2b2e2·e2，同理在空间仿射坐标系下：a·b=（a1e1+a2e2+a3e3）·（b1e1+b2e2+b3e3）=a1b1e1·e1+a1b2e1·e2+a1b3e1·e3+a2b1e2·e1+a2b2e2·e2+a2b3e2·e3+a3b1e3·e1+a3b2e3·e2+a 3b3e3·e3.由此可得到向量在仿射坐标系下模表示：a== ，a== ，因此有两点之间的距离公式：=-=（x2-x1，y2-y1），=，或=在具体的题目中，如果将每组基的模取为1，由a·b=a1b1+a2b2+a3b3+（a1b2+a2b1）cosθ1，2+（a1b3+a3b1）cosθ1，3+（a2b3+a3b2）cosθ3，2则（1）（2）（3）（4）可以简化为：？摇a==？摇（1*）a==？摇（2*）AB=？摇（3*）AB=？摇（4*）易见：当基两两垂直，且模为1时，以上表达式与直角坐标系一致. 所以当坐标系不是标准直角坐标系时，只要知道坐标轴之间的夹角，就可以建立仿射坐标系，解决距离、夹角、证明垂直等问题.例5 三棱锥中A-BCD中，AB=AC=BD=CD=3，AD=BC=2，点M，N分别是AD，BC的中点，则异面直线AN，CM所成的角的余弦值是________.证明：以C为原点建立仿射坐标系[C；，，]，则C（0，0，0），D（3，0，0），A （0，0，3），B（0，2，0），所以N（0，1，0），M，0，，=（0，1，-3），=，0，.由AB=AC=BD=CD=3，AD=BC=2，得到cos∠ACD=，cos∠ACB=，cos∠BCD=，所以由（4*）式：==2，==2，所以cosθ===.仿射坐标系作为比直角坐标系更一般的坐标系，使用相对灵活，可以简化一些题目的运算，在高中阶段，平面向量的基本定理中已经引入基底的概念，故学生学习仿射坐标的难度不大，学有余力的学生可以学习仿射坐标系，其使用关键在于基底的选取，选取恰当的坐标系，可以起到事半功倍的效果.。
阿波罗尼奥斯问题的仿射解法
阿波罗尼奥斯问题的仿射解法
阿波罗尼奥斯问题（Apollonius Problem）是古希腊数学中一
个经典的几何问题，要求给定三个圆和一个点，找出与这三个圆相切的圆。
这个问题可以用仿射解法来解决。
首先，我们将问题转化为平面坐标系中的求解问题。
设三个圆的半径分别为r1、r2、r3，圆心分别为(A, r1)、(B, r2)、(C, r3)，要求的与三个圆都相切的圆的圆心为(M, r)。
接下来，我们确定一个变换，将三个已知的圆的圆心和要求的圆的圆心通过仿射变换映射到x轴上。
显然，这个变换不改变问题的解。
假设常数a、b、c分别为(M, r)经过仿射变换之后的坐标
（a≠0）。
根据仿射变换的特性，有以下推导：
1. 根据仿射变换的性质，映射前后的距离比例保持不变。
因此，三个已知圆的半径和圆心到要求圆心的距离的比例为：
r1 / d1 = r2 / d2 = r3 / d3
其中，d1、d2、d3为圆心到要求圆心的距离。
2. 将(A, r1)映射到x轴上，可以得到一个方程：
(a - A)² + r1² = b²
3. 将(B, r2)映射到x轴上，可以得到另一个方程：
(a - B)² + r2² = b²
4. 将(C, r3)映射到x轴上，可以得到第三个方程：
(a - C)² + r3² = b²
通过上述三个方程，可以解得a和b的值。
最后，通过反向变换，将（a，b）映射回平面坐标系，就得到了要求的与三个圆相切的圆的圆心和半径。
仿射坐标系
x1 x 2 y1 y 2 z1 z 2 （2.4） x ,y ,z . 2 2 2
例 用坐标法证明四面体对棱中点的连线交于一点。 证明 设四面体ABCD（图1.12）的AB,AC,AD,BC, CD,DB的中点分别为 B' , C ' , D' , E, F , G 。 取仿射标架 A; AB, AC, AD , 则各点的坐标分别为：
1 2
1 l 0 z 2 1 l
解得k=l=1从而交点P存在，且P的坐标为 1 1 1 C ' G 设 B' F 与 交于 P ' ,同理可得 P' , , , 所以P与P ' 4 4 4 重合，即 B' F , D' E, C ' G 交于一点。 另法：先后求出 B' F , D' E, C ' G 的中点坐标，知道它 们的坐标都相同，因而三线交于一点。
A(0,0,0), B(1,0,0), C (0,1,0), D(0,0,1),
1 1 1 B' ,0,0 , C ' 0, ,0 , D' 0,0, , 2 2 2
1 1 1 1 1 1 E , ,0 , F 0, , , G ,0, . 2 2 2 2 2 2
设{O; e , e , e }为空间的一个标架，过原点O，且分 1 2 3 别以 e1 , e2 , e3为方向的有向直线分别称为x轴、y轴、z轴， 统称为坐标轴。由每两条坐标轴决定的平面称为坐标平 面，它们分别是xOy,yOz,zOx平面。坐标平面把空间分 成八个部分，称为八个卦限（图1.10），z III 在每个卦限内，点的坐标的符号 II IV I 不变。 O VII
仿射坐标系中坐标运算
仿射坐标系中坐标运算在数学中，坐标系是一个非常重要的工具，它可以帮助我们描述平面中点的位置。
而在仿射坐标系中，坐标运算则显得更加重要。
本文将介绍如何在仿射坐标系中进行坐标运算。
在仿射坐标系中，坐标运算与普通坐标系中有很多相似之处，但也有其独特的地方。
首先，在仿射坐标系中，每个点都有一个横坐标和一个纵坐标，这和普通坐标系中的情况是一样的。
不过，在仿射坐标系中，这两个坐标通常是相互关联的，它们共同组成了一个点。
其次，在仿射坐标系中，坐标运算中的加减法运算与普通坐标系中有一些不同。
在普通坐标系中，加减法运算可能是两个点的横坐标或纵坐标之和或之差，但在仿射坐标系中，加减法运算可能是两个点的横坐标或纵坐标之和或之差的相反数。
此外，在仿射坐标系中，坐标运算中的乘法运算也与普通坐标系中有一些不同。
在普通坐标系中，乘法运算可能是两个点的横坐标或纵坐标之积，但在仿射坐标系中，乘法运算可能是两个点的横坐标或纵坐标之和的倒数。
在了解了仿射坐标系中坐标运算的基本概念之后，我们接下来要探讨如何运用这些运算来解决一些实际问题。
例如，在几何学中，我们经常会遇到一些关于点、线、面的问题，这些问题是如何通过坐标运算来解决的，而在仿射坐标系中，这些问题同样可以通过坐标运算来解决。
例如，如何求解点（2，3）关于直线x-y+2=0的对称点？在普通坐标系中，我们可以通过以下步骤来解决这个问题：1.首先，我们需要确定点（2，3）关于直线x-y+2=0的对称点在直线上，因此我们可以将点（2，3）代入直线方程中，得到2-3+2=1。
2.接下来，我们需要找到与点（2，3）对称的点在直线上，因此我们可以通过求点（2，3）关于直线x-y+2=0的对称点在直线上垂足的坐标，再将该点坐标取相反数，即可得到答案。
根据坐标运算的基本概念，我们可以通过以下步骤来求解点（2，3）关于直线x-y+2=0的对称点：1.求点（2，3）关于直线x-y+2=0的对称点A的坐标。
高中数学圆锥曲线系统讲解第31讲《仿射变换》练习及答案
第 1讲 仿射变换知识与方法在椭圆()222210x y a b a b+=>>中，我们运用坐标变换x xa y yb '=⎧⎪⎨'=⎪⎩，则可以得到圆222x y a ''+=，这种操作叫做仿射变换，运用仿射变换，可以将某些椭圆问题转化到圆中来总之，经过仿射变换，绝对量（如坐标、面积、斜率、线段的长等）都发生了变化，相对量（如点、线、面的位置关系，直线与椭圆的位置关系，共线线段长度之比等）却没有发生变化.提醒：①仿射变换常用于解决面积问题（尤其是一个顶点为原点的三角形面积）、斜率问题、共线线段比例问题等；②需要注意的是，仿射变换的方法一般不推荐在解答题中使用，下面通过一些实例来分析在具体问题中如何操作.典型例题【例1】设直线l 与椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>相交于A 、B 两点，则AOB 的面积的最大值为_______.【解析】解法1：当直线l 的斜率不存在时，设其方程为x t =()0a t a t −<<≠且 联立22221x tx y ab =⎧⎪⎨+=⎪⎩解得：y =，所以2221222AOBb a t t abSt a −+==≤⋅=，当且仅当222a t t−=，即2t =时取等号，所以()max 2AOB ab S =当直线l 斜率存在时，设其方程为()0y kx m m =+≠，设()11,A x y ，()22,y B x ， 联立22221y kx m x y ab =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 整理得：()22222222220a k b x kma x a m a b +++−=，判别式()()()2242222222222222444k m a a k b a m a b a b a k m b ∆=−+−=−+①，所以12AB x x =−=，原点O 到直线l 的距离d =，从而1122AOBSAB d =⋅==2222222222ab a k m b m aba kb −++≤⋅=+ 当且仅当22222a k m b m −+=时取等号，此时22222a k b m +=，代入①知22240a b m ∆=>，故()max 2AOB abS =，综上所述，AOB 的面积的最大值为2ab . 解法2：作变换x x a y y b '=⎧⎪⎨'=⎪⎩，则椭圆C 变成圆222x y a ''+=，如图，因为21sin sin 22A OB a SO A O B A O B A O B '''''''''''''=⋅⋅∠=∠， 所以当90A O B '''∠=︒时，A O B S '''∠取得最大值22a ，因为a S S b '=，所以bS S a'=，从而AOB S的最大值为222a b aba ⋅=.【答案】2ab 【例2】已知椭圆22:14x C y +=的左右顶点为A 、B ，P 为椭圆C 上不与A 、B 重合的动点，则直线PA 、PB 的斜率之积为_______.【解析】本题当然可以利用椭圆的第三定义，快速得出结果为14−，其推导方法是设点P 的坐标，运用点P 的坐标满足椭圆的方程来化简PA 、PB 的斜率之积，得出斜率之积为定值，其实也可以用仿射变换来证明这一结果，作变换2x x y y '=⎧⎨'=⎩，则椭圆C 变换成圆22:4O x y '+=，如图，在圆O '中，显然A B ''是直径，所以P A P B ''''⊥，从而1P A P B k k ''''⋅=−， 又2P A PA k k ''=，2P B PB k k ''=，所以41P A P B PA PB k k k k ''''⋅=⋅=−，故14PA PB k k ⋅=−.【答案】14−【例3】已知过点11,22M ⎛⎫⎪⎝⎭的直线l 与椭圆22:142x y C +=交于A 、B 两点，若M 恰好为AB 的中点，则直线l 的方程为_______.【解析】解法1：如图1，由中点弦结论，12OM AB k k ⋅=−，而1OM k =，所以12AB k =−，从而直线l 的方程为111222y x ⎛⎫−=−− ⎪⎝⎭，即2430x y +−=解法2：作变换x xy '=⎧⎪⎨'=⎪⎩，则椭圆C 变换成圆22:4O x y '''+=，如图2，在圆O '中，M '仍为A B ''中点，所以O M A B ''''⊥，且122M ⎛⎫' ⎪ ⎪⎝⎭，所以直线O M ''的斜率为，从而直线A B ''的斜率为2，故直线A B ''的方程为1222y x ⎫''−=−−⎪⎝⎭，即24x y ''+−=，将x xy '=⎧⎪⎨'=⎪⎩代入可得024x −=，即2430x y +−=，所以直线AB 的方程为2430x y +−=【答案】2430x y +−=【例4】已知椭圆22:12x C y +=的A 、B 两点满足直线OA 、OB 的斜率之积为12−，其中O为原点，点P 在射线OA 上，且2OP OA =，若PB 与椭圆交于另一点Q ，则BP BQ=_______.【解析】作变换x xy '=⎧⎪⎨'=⎪⎩，则椭圆C 变成圆22:2O x y '''+=，如图，则O A OA k ''=，O B OB k ''=，由题意，所以21O A O B OA OB k k k k ''''⋅=⋅=−，从而O A O B ''''⊥，显然O P ''=O B ''=，O Q ''=，所以P B ''==，作O G P B '''⊥于G ，则O P O B O G P B ''''⋅'=''，B G '=O B O Q ''''=，所以G 为B Q ''的中点，从而25B Q B G ''''==，故52B P B Q ''=''，所以在变换前的图形中，52BP BQ =.【答案】52【反思】在椭圆()222210x y a b a b +=>>中，若涉及到了两直线的斜率之积为22b a−，则可以考虑利用仿射变换转化为圆，因为变换后两直线的斜率之积为1−，从而产生了两直线垂直这一良好的几何特征，往往可以使得问题简化.强化训练1.（★★★★）已知椭圆22:14x C y +=的右顶点为A ，上顶点为B ，直线()0y kx k =>与椭圆C 交于M 、N 两点，则四边形AMBN 的面积的最大值是_______.【解析】解法1：如图1，()0,1A ，()2,0B ，所以A 、B 两点到直线MN的距离分别为1d =，2d =y kx =代入2214x y +=化简得：()22144k x +=，解得：x =以MN =AMBN 的面积()122121122k S MN d d ⎛⎫+=⋅+=+====≤=当日仅当14k k =，即12k =时取等号，所以四边形AMBN 的面积的最大值是 解法2：作变换2x xy y '=⎧⎨'=⎩，则椭圆C 变成圆22:4O x y '''+=，如图2，显然4M N ''=，由图可知A '和B '到直线M N ''的距离之和在A B M N ''''⊥时取得最大值，且最大值为A B ''=A M B N ''''的面积S '的最大值为11422M N A B '''⋅=⨯⨯= 因为2S S '=，所以四边形AMBN的面积的最大值是【答案】2.（★★★★）已知椭圆22:13x C y +=的左、右顶点分别为A 和B ，P 为椭圆C 上不与A 、B 重合的动点，过原点O 作PA 、PB 的平行线与椭圆C 交于M 、N 两点，则MON 的面积为_______.【解析】解法1：如图1，由图形的对称性，不妨假设M 在第一象限，N 在第二象限， 由椭圆的第三定义，13PA PB k k ⋅=−，又OM PB k k =，ON PA k k =，所以13OM ON k k ⋅=−，设()0OM k k k =>，则13ONk k =−，联立2213y kx x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 整理得：()22133k x +=，解得：x =，所以M x =，故M y =M ，同理可得N ⎛⎫ ⎝，所以2MONS⎛⎫== ⎝. 解法2：作变换x xy '=⎧⎪⎨'=⎪⎩，则椭圆C 变成圆22:3O x y '''+=，如图2，变换前，由椭圆的第三定义，13PA PB k k ⋅=−，又OM PB k k =，ON PA k k =，所以13OM ON k k ⋅=−，变换后，O M OM k ''=，O N ON k ''=，所以31O M O N OM ON k k k k ''''⋅=⋅=−，从而O M O N ''''⊥，故1322M O N S'''==，又3M O N MONS S'''=，所以MONS=【答案】23.（★★★★）已知椭圆22:12x C y +=上有点2P ⎝⎭，过P 作两条倾斜角互补的直线交椭圆C 于另外两点M 、N ，则直线MN 的斜率为_______.【解析】作变换x x y '=⎧⎪⎨'=⎪⎩，则椭圆C 变成圆22:2O x y '+=，如图1中，作PQ x ⊥轴交椭圆C 于Q ，则在图2中，P Q x '''⊥轴，由题意，在图1中，MPQ NPQ ∠=∠，所以在图2中，M P Q N P Q ''''''∠=∠，所以M Q N Q ''''=，故Q '是M N ''的中点，从而O Q M N ''''⊥，在图1中，由对称性可得2Q ⎛ ⎝⎭，所以在图2中，2Q '⎝⎭，从而O Q k ''=，所以3M N k ''=，又M N MN k ''=，所以6MN k =.4.（★★★★）已知A 、B 、C 是椭圆22:12x E y +=上的三个动点，则ABC 的面积的最大值为_______.【解析】作变换x xy '=⎧⎪⎨'=⎪⎩，则椭圆E 变成圆22:2O x y '''+=，如图，显然当A B C '''的面积取得最大值时，应有C D A B '''⊥，且C D O D O C ''''=+设(0O D d d '=≤，则C D d '=，A B ''==所以((1122A B C S A B C D d d ''''''=⋅=⨯=+， 从而()()()()23221233A B C S dd ddd ddd '''=−+=−+=++41327344d d d d ⎛⎫++≤⋅= ⎪ ⎪⎝⎭故A B C S'''≤，当且仅当3d d =时取等号，此时，d =，所以A B C '''，又2A B C ABCS S'''=，所以ABC 的面和的最大值为4.2.5.（★★★★）设A 、B 两点在椭圆22:12x C y +=上，且AB 的中点为12Q ⎫⎪⎪⎝⎭，若椭圆C 外的点P 满足PA 、PB 的中点都在椭圆C 上，则直线OP 的斜率为_______. 【解析】不难发现A 为上顶点，B 为右顶点，作变换x x y '=⎧⎪⎨'=⎪⎩，则椭圆C 变成圆22:2O x y '''+=，如图在图2中，22Q ⎛' ⎝⎭，且P A ''和P B ''的中点都在圆O '上，所以点P '在A B ''的中垂线y x ''=上，显然原点O '也在直线y x ''=上，从而直线O P ''的斜率为1，因为O P OP k ''=，所以2OP k =.6.（★★★★）已知直线:20l x +−=与椭圆22:12x C y +=相交于点T ，O 为原点，平行于OT 的直线l '与直线l 相交于点P ，与椭圆C 相交于A 、B 两点，若2PT PA PB λ=⋅，则λ=_______.【解析】解法1：联立222012x x y ⎧+−=⎪⎨+=⎪⎩解得：1x =，y =所以T ⎛ ⎝⎭，直线OT 的斜率为2，因为l '与直线l 平行，所以可设:l x m '=+，设()11,A x y ，()22,B x y ，()00,O x y ，联立20x m x ⎧=+⎪⎨−=⎪⎩解得：)24m y −=，所以)024m y −=，从而0PT y =−=−=，故2238PT m =))10201222344m m PA PB y y y y y y ⎛⎫⎛⎫−−⋅=−−=−− ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，联立2212x mx y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩消去x 整理得：22420y m ++−=①,因为1y 、2y 是方程①的两根，所以()()2212424y m y y y y ++−=−−②， 在②中令)24m y −=可得())))22122222242416444m m m m m y y ⎛⎫−−−−⋅++−=−− ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭化简得：))21222448m m m y y ⎛⎫⎛⎫−−−−= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，从而238mPA PB ⋅=，所以2PT PA PB =⋅，故1λ=.解法2：作变换联立222012x x y ⎧−=⎪⎨+=⎪⎩解得：1x =，y =所以2T ⎛ ⎝⎭，直线OT 的斜率为2，从而变换后，()1,1T '，直线O T ''和直线A B ''的斜率为1，直线P T ''的斜率为1−， 从而P TP T PT x x P T x x ''−==''−，又由变换过程知P P x x '=，T T x x '=，所以2PT P T =''，同理可得，PA P A ==''，PB P B ==''， 所以2234PT P T ''=，34PA PB P A P B ''''⋅=⋅，从而22PT P T PA PB P A P B ''=''''⋅⋅， 在图2中，由切割线定理，2P T P A P B ''''''=⋅，所以21P T P A P B ''=''''⋅，故21PTPA PB=⋅，因为2PT PA PB λ=⋅，所以21PTPA PBλ==⋅.【答案】1【反思】本题改编自2016年四川高考的解析几何大题，可以看到，运用放射变换，问题可以轻松解决。
仿射坐标系在中学几何中的应用
仿射坐标系在中学几何中的应用1.建立仿射坐标系来解决初等几何问题对于仿射性质的几何命题，建立直角坐标系不易求解，可考虑建立直角坐标系，由于仿射坐标系两坐标轴的夹角及单位点的选取，都比直角坐标有较大的任意性，因此在仿射坐标系下常常可以非常便利，可避免一些繁琐的三角运算，起到柳暗花明的功效^ 建立仿射坐标系的一般方法如下：1、坐标轴的选取要尽量利用图中已有的直线和已知的点.2、单位点的选取可以在 x轴上取一已知点坐标设为（1,0）, y轴上取一已知点坐标设为（0,1 ）.3、x轴上及y轴上其它的已知点可设为（a,0）和（0,b）.4、直线Ax+By+c=0上的点的坐标设定要满足此直线方程.5、过两已知点A、B直线上的点的坐标也可设为A+?-B .6、x轴上的两线段（或平行x轴的线段）之比值可用端点x坐标的差之比表示，y轴上的两线段（或平行y轴的线段）之比值可用端点y坐标差之比表示.1.1线段间的比例问题例1.证明三角形中位线定理=1,既E3 (1,1).由直线E2E3与直线0A的斜率相等为y2—'=0, x2 - x1知E2E3110A.又E2E3=x 2— x1 = 1, OA = 2 —1=2,可知E2E3 =-|OA .例2.在MBC中,E在AC上，D为BC中点.E、D交AB于F,则证明：以AB为x轴，AC为y轴，A为原点，建立仿射坐标系(图5).设坐标B (1,0),E (0,1), C (0, b).则BC中点D坐标为(0.5,0.5b),得出直线ED的方程为y= (b-2)1 ...鹏和泊由联立得交点F坐标为(二,°),可推出:证明O —e)G2 ,如图4所示M0B中,使:0E^ = 0^,E I,E2,E3分别为OA,OB,AB的中点，建立仿射坐标系则A, B的坐标分别为(2,0), (0,2).因为E3坐标为二1,y =AE AF1 _0AE 1-0 1 AF 2 b 0 1 EC -b -1 "b-1' BF - 1 b -1-02 -b可见用仿射坐标系来解此题多么方便.1.2 关于图形面积问题例3,在&ABC的三边AB, BC, CA 上各取AZ, BY,CZ 各等于该边的-,求证面积3c 1 - - S XYZ =-S ABC证明：如图6,取B 为原点,BC 为x 轴，BA 为y 轴建立仿射坐标系,设A(0,3 ) .C(3,0). 从而知Y (2,0) .Z(0,1).据定比分点公式Z (1,2).1所以 S XYZ =-S ABC若已知顶点坐标 A( 1 x , 1 y)，玲(x 2 , y .) C!U x(y,1 △ABC 的面积=-2 X 1 X 2 X 3y 1 1y 2 1 y 1的绝对值1所以 saBC=30 0 1912.SX YZ= 21.3 关于点共线和直线共点的问题M 1,M 2,M 3分别是三直线Ax + B i y+G =0上的点，也可以证明SM 〔=SM 2 = SM 3.(点S 般可以是原点，也可以是其它的点)(4)如图7.设在MBC 的三边各取一点L 、M N,则L 、M N 共线的充要条件是故L 、M N 三点共线的充要条件是LN 与LM 共线.X i 要证三点 A(x i ,y i ),B(X 2, y 2),C(X 3,y 3)共线,可证 X 2 X 3y 1y 2y 3=0 ，也可证AB=^BC .要 直线 Ax + B i y+G=0 ( i=1,2,3)共点A 1A 2 A 3B 1 B 2 B 3gC 20 .若 C 3也与 CMNB LC MA-1证明：建立仿射坐标系｛B;BC,BA),则B(0,0),A(0,1),C(1,0),设L 、M N 分有向线段BC CA AB 的比分别为馥、人v .则11L(k)、M(溟,二卜 N (0，G )1所以LN =(一厂，K)山=().图7( -------- )=01 11化简得，出V =-1,也就是ANX月LMCMt -1NB LC MA例4.证明对于任意梯形两底的中点、两对角线的交点及两腰的交点4点共线.图8证明：设ABCM任意梯形，其中AB//CD, P为两腰交点，M,N分别为两底的中点，如图8建立仿射坐标系，则下列各点的坐标分别为A(0,0) , B (1,0), C (c,1 ), D (0,1), M (0.5,0), N (0.5c, 1),直线 AP, BP,AC,BD的方程分别为：AR x=0 BP : x+ (1-c) y=1AC x-cy=0 BD : x+y=1于是AP, BP的交点P坐标为'0,— |';AC与BD的交点Q的坐标为'—,-I.1 -c 1 c 1 c直线MN勺方程为：2x+ (1-c) y=1 (1)而点P,Q的坐标满足方程(1),故M,N,P,Q, 4点共线例5.用坐标法证明四面体对棱中点的连线交于一点.证明：设四面体ABCD图9)的棱AB, AC, AD BC CD DB的中点分别为B',C',D',E,F,G .寸八占”由 TTT 一八”,取仿射标架{A;AB,AC,AD},则各点的坐标分别为第4页共13页图9A (0,0,0 ) ,B (1,0,0 ),C (0,1,0 ),D (0,0,1 )'1'c 1'1 B ,0,0 ,C0 0,— ,0 ,D0,0,, 2 221 1 c 1 C 1G 0 _ 2‘2' ' '2'2 ,G 2,0,2假设 B'F 与D'E 交于 P(x,y,z),设 B 'P = kPF ,D 'P = l 1 1 0k- 0 k- v 2 7 2 ,y 二 ,z 二1 k 1 k c । 1 1 0 l、/ 272 ,y=▼，…一… …一、. ，， 一 ......... C 1 1、解得k=l=1 ,从而父点P 存在，且P 的坐标为.-,-,-L （4 44JP 'TJ,11所以P 与P 重合，即B 'F ,D 'E ,C G交于一点 4 4 41.4关于向量的线性关系问题一一. 一. ............................................................ ...................................................... . ........... ... T 、，一…右已知A （x 1, %,乙）和B （x 1, y 1,z 1 ）两点.而在AB 直线上的点M 分有向线段AB 为两部分1 1 1 1 E , — ,0 ,F IPE ,则P 的坐标为1—k 021 k 0 l 12设B 'F 与C 'G 交于P,同理可得AM、MB,使它们的值的比等于某数九（九#1）,即徵=九，可求出分点坐标 MBM i乂上22,32_冬芽）刍M为中点时，M的坐标为「上孥,立总,立2；I 1 +九'1十九'1 I 2 2 2 J例 10.在AABC 中，OA = a,OB = b.点 M 点 N 分别在AB OA±,且 AM MB=2:1,•ION NA=3:1, OMtf BN 交于点 P,用 3、b 表示 OP.解：建立如图10所示仿射坐标系.则A (1,0), B(0,1).图101 2 3 .....由AM MB=2:1.ON:NA=3:1,及定比分点坐标公式.可得M (一 ,—), N(—,0).则直线 OM BN的方程分别为:2x-y = 0,4x 3y-3 = 0设P(x,y).联立方程组，得3 3x .y =一10 53 3故OP - a -b10 5例7.如图11所示平行四边形ABCD中，M为DC中点.N为BC中点.设T 3T TT T .............. —一 ................ 个……AB =吹AD = d、AM = mi AN = n；( 1)以b、d为基底，表小MN ； (2) A以m> n为基底表示AB第9页共13页图11解(1)建立仿射坐标系{A;b,d}.则 A (0,0), D (0,1 ) ,B(1,0),C(1,1),1 1 1 1 _________________ 公式.得M (1,1),N(1,」).所以MN=(1,二)即得2 2 2 2 .......... --f 1 -1 1(2)由(1)得 AM =(—,1),AN =(1,—).即2 2AD, F 1F n = AB — AD 24- 2T—n — m33 2.建立仿射坐标系在数学解题中的几点注意事项建立仿射坐标系不是所有题目都能用此方法解题而是要在解题过程中对题目进行合理 有效的分析。
2024年高考数学专项教材上的仿射变换背景及应用(解析版)
教材上的仿射变换背景及应用一．引例．(《人教A 版选择性必修第一册》第115页“综合应用”第9题)如图，DP ⊥x 轴，垂足为D，点M 在DP 的延长线上，且|DM ||DP |=32，当点P 在圆x 2+y 2=4上运动时，求点M 的轨迹方程，并说明轨迹的形状．二．知识与方法在椭圆x 2a2+y 2b 2=1a >b >0 中，我们运用坐标变换x =x y =a b y，则可以得到圆x 2+y 2=a 2，这种操作叫做仿射变换，运用仿射变换，可以将某些椭圆问题转化到圆中来解决，从而使得问题简化，上述变换过程有如下对应关系：项目变换前变换后点的坐标P x 0,y 0 P x 0,aby 0 直线的斜率k k =a b k图形的面积SS =a b S点与点的位置关系AB 中点为MA B 中点为M线与线的位置关系直线m 和直线n 相交直线m 和直线n 相交直线m 和直线n 平行直线m 和直线n 平行点与线的位置关系点A 在直线l 上点A 在直线l 上点A 不在直线l 上点A 不在直线l 上等倾斜程度线段长的关系AB AC=λABAC=λ总之，经过仿射变换，绝对量(如坐标、面积、斜率、线段的长等)都发生了变化，相对量(如点、线、面的位置关系，直线与椭圆的位置关系，共线线段长度之比等)却没有发生变化.提醒：①仿射变换常用于解决面积问题(尤其是一个顶点为原点的三角形面积)、斜率问题、共线线段比例问题等；②需要注意的是，仿射变换的方法一般不推荐在解答题中使用，下面通过一些实例来分析在具体问题中2024年高考数学专项教材上的仿射变换背景及应用（解析版）如何操作.三．更多案例1(2023届合肥一模)已知曲线C：x2+y2=2，从曲线C上的任意点P x,y作压缩变换x =xy =y2得到点Px ,y．(1)求点P x ,y所在的曲线E的方程；(2)设过点F-1,0的直线l交曲线E于A，B两点，试判断以AB为直径的圆与直线x=-2的位置关系，并写出分析过程．2在同一平面直角坐标系xOy中，圆x2+y2=4经过伸缩变换φ:x =xy =12y后，得到曲线C.(1)求曲线C的方程；(2)设直线l与曲线C相交于A，B两点，连接BO并延长与曲线C相交于点D，且AD=2.求△ABD面积的最大值.3(2023届广东省一模)已知点A ，点B 和点C 为椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)上不同的三个点.当点A ，点B 和点C 为椭圆的顶点时，△ABC 恰好是边长为2的等边三角形.(1)求椭圆C 标准方程；(2)若O 为原点，且满足OA +OB +OC=0，求△ABC 的面积.4(23届南京盐城一模)已知双曲线C :x 2a 2−y 2b2=1(a >0,b >0)的离心率2，直线l 1:y =2x +43与双曲线C 仅有一个公共点.(1)求双曲线C 的方程；(2)设双曲线C 的左顶点为A ，直线l 2平行于l 1，且交双曲线于M ,N 两点，求证：ΔAMN 的垂心在双曲线C 上.下证：若ΔABC 的顶点在反比例函数xy =m 的图像上，则ΔABC 的垂心也在反比例函数的图像上.5设直线l与椭圆相交于A、B两点，则△AOB的面积的最大值为.6已知椭圆C:x24+y2=1的左右顶点为A、B，P为椭圆C上不与A、B重合的动点，则直线PA、PB的斜率之积为.7已知过点M12,12的直线l与椭圆C:x24+y22=1交于A、B两点，若M恰好为AB的中点，则直线l的方程为.8已知椭圆C:x22+y2=1的A、B两点满足直线OA、OB的斜率之积为-12，其中O为原点，点P在射线OA上，且OP=2OA，若PB与椭圆交于另一点Q，则BPBQ=.四：强化训练1已知椭圆C :x 24+y 2=1的右顶点为A ，上顶点为B ，直线y =kx k >0 与椭圆C 交于M 、N 两点，则四边形AMBN 的面积的最大值是.2已知椭圆C :x 23+y 2=1的左、右顶点分别为A 和B ，P 为椭圆C 上不与A 、B 重合的动点，过原点O 作PA 、PB 的平行线与椭圆C 交于M 、N 两点，则△MON 的面积为.3已知椭圆C :x 22+y 2=1上有点P 22,32，过P 作两条倾斜角互补的直线交椭圆C 于另外两点M 、N ，则直线MN 的斜率为.4已知A 、B 、C 是椭圆E :x 22+y 2=1上的三个动点，则△ABC 的面积的最大值为.5设A 、B 两点在椭圆C :x 22+y 2=1上，且AB 的中点为Q 22,12，若椭圆C 外的点P 满足PA 、PB 的中点都在椭圆C 上，则直线OP 的斜率为.6已知直线l :x +2y -2=0与椭圆C :x 22+y 2=1相交于点T ，O 为原点，平行于OT 的直线l 与直线l 相交于点P ，与椭圆C 相交于A 、B 两点，若PT 2=λPA ⋅PB ，则λ=.教材上的仿射变换背景及应用一．引例．(《人教A 版选择性必修第一册》第115页“综合应用”第9题)如图，DP ⊥x 轴，垂足为D ，点M 在DP 的延长线上，且|DM ||DP |=32，当点P 在圆x 2+y 2=4上运动时，求点M 的轨迹方程，并说明轨迹的形状．解析：设点M 的坐标为x ,y ，点P x 0,y 0 ，由题意可知y 0≠0，则由题可得x =x 0y =32y 0 ，即x 0=xy 0=23y ，∵点P 在圆x 2+y 2=4上运动，∴x 2+23y 2=4,(y ≠0)，即点M 的轨迹方程为x 24+y 29=1,(y ≠0)，点M的轨迹为椭圆，除去与x 轴的交点．这个问题就是用仿射变换把圆变换为椭圆．二．知识与方法在椭圆x 2a 2+y 2b 2=1a >b >0 中，我们运用坐标变换x =x y =a b y ，则可以得到圆x 2+y 2=a 2，这种操作叫做仿射变换，运用仿射变换，可以将某些椭圆问题转化到圆中来解决，从而使得问题简化，上述变换过程有如下对应关系：项目变换前变换后点的坐标P x 0,y 0 P x 0,a by 0 直线的斜率k k =a b k图形的面积SS =a b S点与点的位置关系AB 中点为MA B 中点为M线与线的位置关系直线m 和直线n 相交直线m 和直线n 相交直线m 和直线n 平行直线m 和直线n 平行点与线的位置关系点A 在直线l 上点A 在直线l 上点A 不在直线l 上点A 不在直线l 上等倾斜程度线段长的关系AB AC=λABAC=λ总之，经过仿射变换，绝对量(如坐标、面积、斜率、线段的长等)都发生了变化，相对量(如点、线、面的位置关系，直线与椭圆的位置关系，共线线段长度之比等)却没有发生变化.提醒：①仿射变换常用于解决面积问题(尤其是一个顶点为原点的三角形面积)、斜率问题、共线线段比例问题等；②需要注意的是，仿射变换的方法一般不推荐在解答题中使用，下面通过一些实例来分析在具体问题中如何操作.三．更多案例1(2023届合肥一模)已知曲线C ：x 2+y 2=2，从曲线C 上的任意点P x ,y 作压缩变换x =xy=y2得到点Px,y．(1)求点P x ,y 所在的曲线E 的方程；(2)设过点F -1,0 的直线l 交曲线E 于A ，B 两点，试判断以AB 为直径的圆与直线x =-2的位置关系，并写出分析过程．解析：(1)由x =x y =y 2得x =x y =2y ，代入x 2+y 2=2得x 22+y 2=1，∴曲线E 的方程为x 22+y 2=1．(2)由题知，当直线l 的斜率存在时，设l ：y =k x +1 ，由x 22+y 2=1y =k x +1 消去y 整理得，1+2k 2x 2+4k 2x +2k 2-2=0．设A x 1,y 1，B x 2,y 2，则x 1+x 2=-4k21+2k 2x 1x 2=2k 2-21+2k 2，∴以AB 为直径的圆的圆心横坐标为-2k 21+2k 2．又∵AB =1+k 2x 1-x 2 =1+k 2x 1+x 2 2-4x 1x 2=1+k 2-4k 21+2k 22-4⋅2k 2-21+2k 2=221+k 2 1+2k 2，∴以AB 为直径的圆的半径为R =21+k 2 1+2k 2，圆心到直线x =-2的距离为d =2-2k 21+2k 2=2k 2+21+2k 2，d -R =2k 2+21+2k 2-21+k 2 1+2k 2=2-2 1+k 21+2k 2>0，即d >R ，∴以AB 为直径的圆与直线x =-2相离．当直线l 的斜率不存在时，易知以AB 为直径的圆的半径为22，圆的方程是x +1 2+y 2=12，该圆与直线x =-2相离．综上可知，以AB 为直径的圆与直线x =-2相离．2在同一平面直角坐标系xOy 中，圆x 2+y 2=4经过伸缩变换φ:x =xy =12y 后，得到曲线C .(1)求曲线C 的方程；(2)设直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，连接BO 并延长与曲线C 相交于点D ，且AD =2.求△ABD 面积的最大值.解析：(1)设圆x 2+y 2=4上任意一点M x ,y 经过伸缩变换ω:x =xy =12y得到对应点M x ,y .将x =x ，y=2y 代入x 2+y 2=4，得x 2+2y 2=4，化简得x 24+y 2=1.∴曲线C 的方程为x 24+y 2=1；(2)△ABD 面积得最大值为2.3(2023届广东省一模)已知点A ，点B 和点C 为椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)上不同的三个点.当点A ，点B 和点C 为椭圆的顶点时，△ABC 恰好是边长为2的等边三角形.(1)求椭圆C 标准方程；(2)若O 为原点，且满足OA +OB +OC=0，求△ABC 的面积.解析1：(仿射变换)考虑变换φ:x =x y =a b y ，则在φ的作用下椭圆x2a 2+y 2b2=1对应圆x 2+y 2=a 2，则在压缩变换下，x O y 平面对应封闭图形面积S 是原来xOy 平面上封闭图形面积S 的a b 倍，即S =abS ．设点A ,B ,C 分别对应点A ,B ,C , 由O 为ΔA B C 的重心，又O 为ΔA B C的外心，从而ΔA B C 为正三角形．易得圆x 2+y 2=a 2的内接正三角形的面积为定值S ΔP AB=334a 2⋅S ΔP ABS ΔPAB =ab从而S ΔPAB =b a S ΔP AB=334ab 为定值．一般地，已知ΔABC 是椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的内接三角形，若其重心恰为椭圆的中心O ，那么ΔABC 的面积为定值，即S ΔABC =334ab4(23届南京盐城一模)已知双曲线C :x 2a 2−y 2b2=1(a >0,b >0)的离心率2，直线l 1:y =2x +43与双曲线C 仅有一个公共点.(1)求双曲线C 的方程；(2)设双曲线C 的左顶点为A ，直线l 2平行于l 1，且交双曲线于M ,N 两点，求证：ΔAMN 的垂心在双曲线C 上.下证：若ΔABC 的顶点在反比例函数xy =m 的图像上，则ΔABC 的垂心也在反比例函数的图像上.证明：由于点A 、B 在反比例函数xy =m (m ≠0)的图像上，所以x A y A =m ,x B y B =m .故y A −y B =m x A −m x B =m (x B −x A )x A x B ，则k AB =y A −y B x A −x B =−mx A x B =−y A y B m.由于k AB =−mx A x B ，则过点C 与直线AB 垂直的直线l C 的斜率为x A x B m，所以l C 为.x A x B x -my =x A x B x C-my C同理，过点B 且与直线AC 垂直的直线l B 为x A x C x −my =x A x B x C −my B .联立l B 、l C 的方程解得x H =m y B -y C x A x B -x C =m 2x A x B x C ,y H =x A x B x C m 2=-m 2y A y B y C .故x H y H =m ，即垂心H 也在反比例函数图象上.5设直线l 与椭圆相交于A 、B 两点，则△AOB 的面积的最大值为.解法1：直接法当直线l 的斜率不存在时，设其方程为x =t -a <t <a 且t ≠0联立x =tx 2a2+y 2b2=1解得：y =±ba a 2-t 2，所以S △AOB =12⋅2b a a 2-t 2⋅t =b a a 2-t 2 t 2≤b a ⋅a 2-t 2+t 22=ab 2C :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 ，当且仅当a 2-t 2=t 2，即t =22a 时取等号，所以S △AOB max =ab2当直线l 斜率存在时，设其方程为y =kx +m m ≠0 ，设A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，联立y =kx +mx 2a2+y 2b2=1消去y 整理得：a 2k 2+b 2 x 2+2kma 2x +a 2m 2-a 2b 2=0，判别式Δ=4k 2m 2a 4-4a 2k 2+b 2 a 2m 2-a 2b 2 =4a 2b 2a 2k 2-m 2+b 2 ①，所以AB =1+k 2⋅x 1-x 2 =1+k 2⋅2ab a 2k 2-m 2+b 2a 2k 2+b 2，原点O 到直线l 的距离d =mk 2+1，从而S △AOB =12AB ⋅d =12⋅1+k 2⋅2ab a 2k 2-m 2+b 2a 2k 2+b 2⋅m k 2+1=ab a 2k 2-m 2+b 2 m 2a 2k 2+b 2≤ab a 2k 2+b2⋅a 2k 2-m 2+b 2+m 22=ab 2当且仅当a 2k 2-m 2+b 2=m 2时取等号，此时a 2k 2+b 2=2m 2，代入①知Δ=4a 2b 2m 2>0，故S △AOB max =ab2，综上所述，△AOB 的面积的最大值为ab2.解法2：仿射变换作变换x =xy =a b y ，则椭圆C 变成圆x 2+y 2=a 2，如图，因为S △AO B=12O A ⋅O B ⋅sin ∠A O B=a 22sin ∠A O B ，所以当∠A O B =90°时，S ∠AO B取得最大值a 22，因为S=a bS ，所以S =b a S ，从而S △AOB 的最大值为a 22⋅b a =ab 2.6已知椭圆C :x 24+y 2=1的左右顶点为A 、B ，P 为椭圆C 上不与A 、B 重合的动点，则直线PA 、PB 的斜率之积为.解法1.第三定义本题当然可以利用椭圆的第三定义，快速得出结果为-14，其推导方法是设点P 的坐标，运用点P 的坐标满足椭圆的方程来化简PA 、PB 的斜率之积，得出斜率之积为定值，解法2.仿射变换其实也可以用仿射变换来证明这一结果，作变换x =x y =2y ，则椭圆C 变换成圆O :x 2+y 2=4，如图，在圆O 中，显然A B 是直径，所以P A ⊥P B ，从而k P A⋅k P B=-1，又k P A=2k PA ，k P B=2k PB ，所以k P A⋅k P B=4k PA ⋅k PB =-1，故k PA ⋅k PB =-14.7已知过点M 12,12 的直线l 与椭圆C :x 24+y 22=1交于A 、B 两点，若M 恰好为AB 的中点，则直线l 的方程为.解法1：点差法如图1，由中点弦结论，k OM ⋅k AB =-12，而k OM =1，所以k AB =-12，从而直线l 的方程为y -12=-12x -12，即2x +4y -3=0解法2：仿射变换作变换x =xy =2y，则椭圆C 变换成圆O :x 2+y 2=4，如图2，在圆O 中，M 仍为A B 中点，所以O M ⊥A B ，且M 12,22，所以直线O M的斜率为2，从而直线A B 的斜率为-22，故直线A B 的方程为y-22=-22x -12 ，即22x +y -324=0，将x =x y=2y 代入可得22x +2y -324=0，即2x +4y -3=0，所以直线AB 的方程为2x +4y -3=08已知椭圆C :x 22+y 2=1的A 、B 两点满足直线OA 、OB 的斜率之积为-12，其中O 为原点，点P 在射线OA 上，且OP =2OA ，若PB 与椭圆交于另一点Q ，则BPBQ=.解析：作变换x =xy =2y，则椭圆C 变成圆O :x 2+y 2=2，如图，则k O A=2k OA ，k O B=2k OB ，由题意，所以k O A⋅k O B=2k OA ⋅k OB =-1，从而O A ⊥O B ，显然O P =22，O B =2，O Q=2，所以P B =O B2+O P 2=10，作O G ⊥P B 于G ，则OG =O P ⋅O BPB=2105，BG =O B2-O G 2=105，因为O B =O Q ，所以G 为B Q 的中点，从而B Q =2B G =2105，故BPB Q=52，所以在变换前的图形中，BP BQ=52.【答案】52【反思】在椭圆x 2a 2+y 2b 2=1a >b >0 中，若涉及到了两直线的斜率之积为-b 2a2，则可以考虑利用仿射变换转化为圆，因为变换后两直线的斜率之积为-1，从而产生了两直线垂直这一良好的几何特征，往往可以使得问题简化.四：强化训练1已知椭圆C :x 24+y 2=1的右顶点为A ，上顶点为B ，直线y =kx k >0 与椭圆C 交于M 、N 两点，则四边形AMBN 的面积的最大值是.【解析】解法1：如图1，A 0,1 ，B 2,0 ，所以A 、B 两点到直线MN 的距离分别为d 1=1k 2+1，d 2=2k k 2+1，将y =kx 代入x 24+y 2=1化简得：1+4k 2x 2=4，解得：x =±21+4k 2，所以MN =1+k 2⋅41+4k2，从而四边形AMBN 的面积S =12MN ⋅d 1+d 2 =12⋅1+k 2⋅41+4k 21k 2+1+2kk 2+1=21+2k 1+4k 2=21+4k +4k 21+4k 2=21+4k 1+4k 2=21+41k+4k ≤21+421k⋅4k =22，当日仅当1k=4k ，即k =12时取等号，所以四边形AMBN 的面积的最大值是2 2.解法2：作变换x =xy =2y，则椭圆C 变成圆O :x 2+y 2=4，如图2，显然M N =4，由图可知A 和B 到直线M N 的距离之和在A B ⊥M N 时取得最大值，且最大值为A B =22，所以四边形A M B N 的面积S 的最大值为12M N ⋅A B =12×4×22=42因为S =2S ，所以四边形AMBN 的面积的最大值是2 2.2已知椭圆C :x 23+y 2=1的左、右顶点分别为A 和B ，P 为椭圆C 上不与A 、B 重合的动点，过原点O 作PA 、PB 的平行线与椭圆C 交于M 、N 两点，则△MON 的面积为.【解析】解法1：如图1，由图形的对称性，不妨假设M 在第一象限，N 在第二象限，由椭圆的第三定义，k PA ⋅k PB =-13，又k OM =k PB ，k ON =k PA ，所以k OM ⋅k ON =-13，设k OM =k k >0 ，则k ON =-13k ，联立y =kx x 23+y 2=1消去y 整理得：1+3k 2 x 2=3，解得：x =±31+3k 2，所以x M =31+3k 2，故y M =3k 1+3k 2，从而M 31+3k 2,3k 1+3k 2，同理可得N -3k 3k 2+1,13k 2+1，所以S △MON =1231+3k 2⋅13k 2+1--3k 3k 2+1⋅3k 1+3k2=32.解法2：作变换x=xy =3y，则椭圆C 变成圆O :x 2+y 2=3，如图2，变换前，由椭圆的第三定义，k PA ⋅k PB =-13，又k OM =k PB ，k ON =k PA ，所以k OM ⋅k ON =-13，变换后，k O M =3k OM ，k O N =3k ON ，所以k O M ⋅k O N=3k OM ⋅k ON =-1，从而O M ⊥O N ，故S △MON=12×3×3=32，又S △MON=3S △MON ，所以S △MON =32.3已知椭圆C :x 22+y 2=1上有点P 22,32，过P 作两条倾斜角互补的直线交椭圆C 于另外两点M 、N ，则直线MN 的斜率为.【解析】作变换x =xy =2y ，则椭圆C 变成圆O :x 2+y 2=2，如图1中，作PQ ⊥x 轴交椭圆C 于Q ，则在图2中，P Q ⊥x 轴，由题意，在图1中，∠MPQ =∠NPQ ，所以在图2中，∠M P Q =∠N P Q ，所以M Q=N Q ，故Q 是M N的中点，从而O Q ⊥M N ，在图1中，由对称性可得Q 22,-32，所以在图2中，Q22,-62 ，从而k OQ=-3，所以k MN=33，又k MN=2k MN ，所以k MN =66.4已知A 、B 、C 是椭圆E :x 22+y 2=1上的三个动点，则△ABC 的面积的最大值为.【解析】作变换x =xy =2y ，则椭圆E 变成圆O :x 2+y 2=2，如图，显然当△A B C 的面积取得最大值时，应有C D ⊥A B ，且C D =O D +O C设O D =d 0≤d <2 ，则C D =d +2，A B =2O A 2-O D 2=22-d2所以S △A BC=12A B ⋅C D =12×22-d 2×d +2 =2-d 2×d +2 ，从而S △A BC 2=2-d 2 d +2 2=2-d 2+d 3=1332-3d 2+d 2+d 2+d≤13⋅32-3d +2+d +2+d +2+d 44=274故S △A BC≤332，当且仅当32-3d =2+d 时取等号，此时，d =22，所以△A B C 的面积的最大值为332，又S △A BC=2S △ABC ，所以△ABC 的面和的最大值为364.【答案】364【反思】圆的内接三角形中，正三角形面积最大，等于334R 2.5设A 、B 两点在椭圆C :x 22+y 2=1上，且AB 的中点为Q 22,12，若椭圆C 外的点P 满足PA 、PB 的中点都在椭圆C 上，则直线OP 的斜率为.【解析】不难发现A 为上顶点，B 为右顶点，作变换x =xy=2y ，则椭圆C 变成圆O :x 2+y 2=2，如图在图2中，Q 22,22，且P A 和P B 的中点都在圆O 上，所以点P 在A B 的中垂线y =x 上，显然原点O 也在直线y =x 上，从而直线O P 的斜率为1，因为k O P=2k OP ，所以k OP =22.【答案】226已知直线l :x +2y -2=0与椭圆C :x 22+y 2=1相交于点T ，O 为原点，平行于OT 的直线l 与直线l 相交于点P ，与椭圆C 相交于A 、B 两点，若PT 2=λPA ⋅PB ，则λ=.【解析】解法1：联立x +2y -2=0x 22+y 2=1解得：x =1，y =22，所以T 1,22 ，直线OT 的斜率为22，因为l与直线l 平行，所以可设l :x =2y +m ，设A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，O x 0,y 0 ，联立x =2y +mx +2y -2=0 解得：y =22-m4，所以y 0=22-m4，从而PT =1+-2 2⋅22-y 0=3⋅22-22-m 4=64m ，故PT 2=38m 2PA ⋅PB =1+2 2⋅y 1-y 0 ⋅1+2 2⋅y 2-y 0 =3y 1-22-m 4y 2-22-m 4，联立x =2y +mx22+y 2=1消去x 整理得：4y 2+22my +m 2-2=0①,因为y 1、y 2是方程①的两根，所以4y 2+22my +m 2-2=4y -y 1 y -y 2 ②，在②中令y =22-m4可得4⋅22-m 216+22m ⋅22-m 4+m 2-2=422-m 4-y 1 22-m 4-y 2化简得：22-m4-y 122-m 4-y 2=m 28，从而PA ⋅PB =3m 28，所以PT 2=PA ⋅PB ，故λ=1.解法2：作变换联立x +2y -2=0x 22+y 2=1解得：x =1，y =22，所以T 1,22 ，直线OT 的斜率为22，从而变换后，T 1,1 ，直线O T 和直线A B 的斜率为1，直线P T 的斜率为-1，从而PT PT=1+-22 2⋅x P -x T1+-1 2⋅x P -x T=32⋅x P -x Tx P-x T，又由变换过程知x P=x P ，x T=x T ，所以PT P T =32，同理可得，PA P A=1+2221+12=32，PBP B=1+2221+12=32，所以PT 2=34P T 2，PA ⋅PB =34P A ⋅P B，从而PT 2PA ⋅PB =P T 2P A ⋅P B，在图2中，由切割线定理，P T 2=P A ⋅P B，所以P T 2P A ⋅P B=1，故PT 2PA ⋅PB=1，因为PT 2=λPA ⋅PB ，所以λ=PT 2PA ⋅PB=1.【答案】1【反思】本题改编自2016年四川高考的解析几何大题，可以看到，运用放射变换，问题可以轻松解决.。
仿射坐标系在高中数学中的应用
证 明 建立 仿 射
坐标 系 ｛ Ｂ； ， ） ，
则 Ｂ（ Ｏ ， Ｏ， ）， Ｏ， ） Ａ（ １
射坐标系介绍如下 ：
在 平 面 上 取 定 点 Ｏ 与两 不 共 线 矢 量 ｅ ， 那 么 ｅ，
图 １
Ｂ ０ １ ， Ａ ：馏 一 ２： ，Ｎ ： Ａ 一 ３ １及定 比 （ ，） 由 Ｍ ？ １Ｏ Ｎ ：，
分点坐 标公式， 可得Ｍ （ 告） Ｎ（ ）则直线 去， ， ÷， ， １ｎ ｎ０
３ ３
为 ｅ ，２的线 性 组合 ， ｒ ｚ ｌ ｙ 这样 平面上 ｌｅ 即 ＝ ｅ＋ ｅ， ２ 的任意 矢量 ｒ 与有 序实数对 （ ， ） 间建立 起一一 ｚ 之
对 应关 系 ， 而平 面上 的任 意点 Ｐ， 通过 径 矢ＯＰ也 与 有 序 实数 对 （ ）建 立 起 一 一 对 应 ， 序 实 数 对 ， 有 （ ， ）就是 点 Ｐ在坐标 系 中的坐 标 ， 是矢 量 Ｏ 也 Ｐ
ｚ一 ’ 一 ｉ ’
故 ０Ｐ 一 ｎ ＋ ｂ 。
上Ｕ
例 ２ 如 图 ２点 Ｄ、 ，
Ｅ Ｆ分 别 是 △ Ｃ 的边 、 Ａ ｔ 、Ａ 的 中 点 ， Ｂ、 Ｃ Ｃ ３ 求 证 ： 中 线 能 、Ｆ、 Ｄ 三 Ｂ Ｃ 相交于同一点 Ｇ 。 证 明 建立仿射坐
的坐标ｎ 。 面举 例说 明仿射 坐 标 系在 高 中数 学 中 ］下
的妙用 ： 例 １ 在 △ ＢＣ 中 ， Ａ 一 ｎ∞ ， 一 ｂ点 Ｍ、 ， 点
图２
Ｎ 分 别 在 ＡＢ、 上 ， Ａ ： ｆ 且 Ｍ
仿射变换 方程怎么解
仿射变换方程怎么解以仿射变换方程怎么解引言：仿射变换是一种常见的几何变换方法，可以用于对图像进行旋转、平移、缩放和错切等操作。
本文将介绍仿射变换方程的解法，帮助读者更好地理解和应用仿射变换。
一、什么是仿射变换？仿射变换是指在平面上对点进行旋转、平移、缩放和错切等操作的变换方式。
它可以通过一个线性变换和一个平移向量来表示。
具体而言，对于平面上的点 (x, y)，经过仿射变换后的点 (x', y') 可以通过以下公式计算得出：x′=xx+xx+xx′=xx+xx+x其中，a、b、c、d、e 和 f 是仿射变换的参数。
二、仿射变换方程的解法1.已知三对点坐标的情况下当给定三对点的坐标时，我们可以利用这些已知点来求解仿射变换方程的参数。
假设已知的点分别为 (x1, y1) -> (x1', y1')，(x2, y2) -> (x2', y2') 和 (x3, y3) -> (x3', y3')，则可以得到以下三个方程：x1′=xx1+xx1+xx1′=xx1+xx1+xx2′=xx2+xx2+xx2′=xx2+xx2+xx3′=xx3+xx3+xx3′=xx3+xx3+x通过解这个方程组，我们可以求解出a、b、c、d、e 和f 的值，从而得到仿射变换的参数。
2.已知变换矩阵的情况下除了通过已知点来求解仿射变换方程的参数，我们还可以通过已知变换矩阵的方式来解方程。
假设已知的变换矩阵为 M，即[x′1 x′1] = [x1 x1 1] x其中，[x′1 x′1] 是经过仿射变换后的点的坐标，[x1 x1 1] 是原始点的齐次坐标。
则根据仿射变换的定义，可以得到以下方程：x′1=x1x+x1x+xx′1=x1x+x1x+x通过解这个方程组，我们可以求解出仿射变换的参数。
三、应用实例仿射变换在计算机图形学和计算机视觉领域有着广泛的应用。
仿射坐标系
A(1,2,3) , C ( 2,3,4) ,
B( 2,3,4) , D(2,3,1) .
思考题解答 A:IV; B: 载
a2 b2
0 a1b2 a2b1 0
a1b2 a2a1 0 b2 a2
同理可由 a1 b1
a3 b3
0推出b3
a3 .
于是 ，所以 // .
推论1.3 设[O;e1 ,e2]是平面 上的一个平面仿射
坐标系， 上的三点A、B、C的坐标分别是（a1 ,a2）,
(b1 ,b2)和（c1 ,c2）,则
仿射标架[O;e1 ,e2 ,e3]三要素:
[1] 原点
[2]三个不共面的向量 [3]三个向量的顺序
[1]轴：x轴、y轴、z轴
x轴是经过原点O、平行于e1、和e1方向相同 的数轴; y轴对应e2 , z轴对应e3 .
[2]坐标平面：xoy，zox,zoy
[3]卦限： 空间仿射坐标系共有八个卦限
Ⅲ
对（e1 ,e2 ,e3）分解（x, y,z)
向量集合一一对应 三元有序数组的集合
取定空间中的一个点O,对任意一个向量，以O 为起点作向量，则存在唯一的点A,使得 OA
以固定点O为起点作 A
向量集合一一对应 空间点集
空间点集 一一对应 三元有序数组的集合
A [O ;e1 ,e2,e3](x, y,z)
思考：向量的坐标和向量 AB的坐标的关系。
二、直角坐标系
[1] 空间直角坐标系(向量集合、 空间、三元有序数组）
z 竖轴
三要素：
原点O （0,0,0)
三个两两垂直不共面
的单位向量
横轴
三个坐标轴的正方向
仿射坐标系在中学几何中的应用
仿射坐标系在中学几何中的应用1.建立仿射坐标系来解决初等几何问题对于仿射性质的几何命题，建立直角坐标系不易求解，可考虑建立直角坐标系，由于仿射坐标系两坐标轴的夹角及单位点的选取，都比直角坐标有较大的任意性，因此在仿射坐标系下常常可以非常便利，可避免一些繁琐的三角运算，起到柳暗花明的功效.建立仿射坐标系的一般方法如下：1、坐标轴的选取要尽量利用图中已有的直线和已知的点.2、单位点的选取可以在x 轴上取一已知点坐标设为（1,0），y 轴上取一已知点坐标设为（0,1）.3、x 轴上及y 轴上其它的已知点可设为（a,0）和(0,b).4、直线Ax+By+c=0上的点的坐标设定要满足此直线方程.5、过两已知点A 、B 直线上的点的坐标也可设为A B λ+.6、x 轴上的两线段（或平行x 轴的线段）之比值可用端点x 坐标的差之比表示，y 轴上的两线段（或平行y 轴的线段）之比值可用端点y 坐标差之比表示.1.1 线段间的比例问题例1．证明三角形中位线定理图4证明 如图4所示AOB ∆中，123,,E E E 分别为OA,OB,AB 的中点，建立仿射坐标系12O e e -，使1122,e OE e OE ==，则A ，B 的坐标分别为（2,0），（0,2）.因为3E 坐标为02021,122x y ++====，既3E （1,1）.由直线23E E 与直线OA 的斜率相等为21210y yx x -=-,知23E E ||OA.又23212311,202,2E E x x OA E E OA =-==-==可知. 例2．在ABC ∆中,E 在AC 上，D 为BC 中点.E 、D 交AB 于F ，则AE AFCE BF=.图5证明：以AB 为x 轴，AC 为y 轴，A 为原点，建立仿射坐标系（图5）.设坐标B （1,0），E （0,1），C （0，b ）.则BC 中点D 坐标为（0.5,0.5b ），得出直线ED 的方程为y=（b-2）x+1，和x 轴联立得交点F 坐标为（1,02b-），可推出：110112,111102AE AF b EC b b BF b b ---====----- 可见用仿射坐标系来解此题多么方便.1.2 关于图形面积问题若已知三角形三顶点坐标1122(,),(,),(,A x yB xy C x y .则112233x y 11=x y 12x y 1ABC ∆的面积的绝对值例3．在ABC ∆的三边AB ，BC ，CA 上各取AZ ，BY,CZ 各等于该边的23，求证面积13S XYZ S ABC ∆∆=.图6证明：如图6,取B 为原点，BC 为x 轴，BA 为y 轴建立仿射坐标系，设A （0,3）.C(3,0).从而知Y （2,0）.Z(0,1).据定比分点公式Z （1,2）.所以0311900122301S ABC ∆==.0111320122121S XYZ ∆== 所以 13S XYZ S ABC ∆∆=1.3 关于点共线和直线共点的问题要证三点112233(,),(,),(,)A x y B x y C x y 共线，可证1122331101x y x y x y =，也可证AB BC λ=.要证三直线0i i i A x B y C ++=（i=1,2,3）共点.可证1112223330A B C A B C A B C =.若123i 123,,0i i M M M x B y C SM SM SM ++===分别是三直线A 上的点，也可以证明.（点S 一般可以是原点，也可以是其它的点）.（4）如图7.设在ABC ∆的三边各取一点L 、M 、N,则L 、M 、N 共线的充要条件是:1AN BL CMNB LC MA⨯⨯=-图7证明：建立仿射坐标系{;,}B BC BA ，则B(0,0),A(0,1),C （1,0），设L 、M 、N 分有向线段BC 、CA 、AB 的比分别为v λμ、、.则1(,0)M(,))11+1L λμλμμν++1、、N(0,1+ 所以111(,),(,)11111LN LM λλλνμλμ=-=-+++++.故L 、M 、N 三点共线的充要条件是LM LN 与共线.即111()011111λλλμνμλ-⨯-⨯-=+++++ 化简得AN CM-1,= -1NB MABL LC λμν=⨯⨯也就是例4．证明对于任意梯形两底的中点、两对角线的交点及两腰的交点4点共线.图8证明：设ABCD 为任意梯形，其中AB//CD ，P 为两腰交点，M,N 分别为两底的中点，如图8建立仿射坐标系，则下列各点的坐标分别为A(0,0)，B （1,0），C （c,1），D （0,1），M （0.5,0），N （0.5c ，1），直线AP ，BP,AC,BD 的方程分别为：AP ：x=0 BP ：x+（1-c ）y=1 AC ：x-cy=0 BD ：x+y=1于是AP ，BP 的交点P 坐标为10,1c ⎛⎫ ⎪-⎝⎭;AC 与BD 的交点Q 的坐标为1,11cc c ⎛⎫ ⎪++⎝⎭.直线MN 的方程为： 2x+（1-c ）y=1 （1）而点P,Q 的坐标满足方程（1），故M,N,P,Q ，4点共线例5．用坐标法证明四面体对棱中点的连线交于一点.证明：设四面体ABCD(图9)的棱AB ，AC ，AD ，BC ，CD ，DB 的中点分别为''',,,,,B C D E F G .取仿射标架{;,,}A AB AC AD ，则各点的坐标分别为图9 A （0,0,0），B （1,0,0），C （0,1,0），D （0,0,1）'''111,0,0,0,,0,0,0,,222B C D ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭111111,,0,0,,,,0,.222222E F G ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭假设'D'E B F 与交于P(x,y,z)，设'',,B P kPF D P lPE ==则P 的坐标为111000222,,111k k k x y z k k k+⋅+⋅+⋅===+++ 111000222,,111l l l x y z l l l+⋅+⋅+⋅===+++ 解得k=l=1，从而交点P 存在，且P 的坐标为111,,.444⎛⎫⎪⎝⎭设'',B F C G '与交于P 同理可得'111,,,444P ⎛⎫⎪⎝⎭所以P 与'P 重合，即''',,B F D E C G 交于一点.1.4 关于向量的线性关系问题若已知()()111111A ,,,,x y z x y z 和B 两点.而在AB 直线上的点M 分有向线段AB 为两部分AM MB 、，使它们的值的比等于某数()1,λλ≠即,AMMBλ=可求出分点坐标121212,,.111x x y y z z M λλλλλλ+++⎛⎫ ⎪+++⎝⎭当M 为中点时，M 的坐标为121212,,.222x x y y z z +++⎛⎫ ⎪⎝⎭例10．在ABC ∆中，,OA a OB b ==.点M 、点N 分别在AB 、OA 上，且AM ：MB=2:1，ON ：NA=3:1，OM 与BN 交于点P ，用b a 、表示OP .解：建立如图10所示仿射坐标系.则A （1,0），B(0,1).图10由AM ：MB=2:1.ON:NA=3:1,及定比分点坐标公式.可得123(,),(,0)234M N .则直线OM 、BN 的方程分别为：20,4330x y x y -=+-= 设P(x,y).联立方程组，得33.105x y ==故33105OP a b =+ 例7. 如图11所示平行四边形ABCD 中，M 为DC 中点.N 为BC 中点.设AN ;AB b AD d AM m n ====、、、（1）以b d 、为基底，表示MN ；（2）A 以n m 、为基底表示AB图11解（1）建立仿射坐标系{;,}A b d.则A（0,0），D（0,1）,B(1,0),C(1,1),由中点坐标公式.得1111(,1),(1,).MN=-2222M N所以（，）即得11MN=b-d22（2）由（1）得11(,1),(1,).22 AM AN==即12m AB AD=+12AB AD=+n反解得4233 AB n m =-2.建立仿射坐标系在数学解题中的几点注意事项建立仿射坐标系不是所有题目都能用此方法解题而是要在解题过程中对题目进行合理有效的分析。
高中集合题建立坐标系
高中集合题建立坐标系
摘要：
一、问题的背景和条件
二、解题思路和方法
三、具体解题过程
四、结论和总结
正文：
一、问题的背景和条件
这是一道高中时期的排列组合题目，题目要求我们建立一个坐标系，使得坐标系中的点能够满足一定的条件。
题目中给出的条件比较复杂，需要我们运用排列组合的知识进行求解。
二、解题思路和方法
对于这道题目，我们可以采用两种方法来求解。
第一种方法是利用排列组合的公式进行计算，但这种方法比较复杂，需要对排列组合有一定的了解。
第二种方法是假设坐标系中的元素已经按照升序排列，然后根据题目给出的条件进行推导，这种方法相对简单，容易理解。
三、具体解题过程
我们以第二种方法为例，假设坐标系中的元素已经按照升序排列。
首先，我们需要确定坐标系中点的个数，根据题目给出的条件，我们可以得到这个数字。
然后，我们需要确定每个点在坐标系中的位置，这也可以通过题目给出的条件推导出来。
在确定了每个点在坐标系中的位置后，我们可以根据题目给出的条件，判
断哪些点需要被选择。
根据题目的要求，我们需要选择一定数量的点，这些点需要满足一定的条件。
通过观察可以发现，只有某些位置的点满足这些条件，因此我们可以直接选择这些位置的点，而不需要考虑其他位置的点。
最后，我们可以根据选择的点的个数，计算出满足题目要求的方案数。
这个方案数就是题目要求的答案。
四、结论和总结
通过以上的解题过程，我们可以得到题目的答案。
这道题目主要考察了我们对于排列组合知识的理解和应用，以及对于题目条件的理解和推导能力。
高考数学知识点复习：仿射大法大破天机
专题8仿射大法大破天机秒杀秘籍：第一讲仿射大法：将坐标进行伸缩变换，实现化橢为圆仿射大法定理一：若经过椭圆的对称中心的直线构成的直径三角形，则两条弦的斜率乘积22a b k k BC AC 仿射大法定理二：b a S S '（拉伸短轴）；abS S ''（压缩长轴）拉长短轴后点的坐标变化：),('),(0000y b a x A y x A ,横坐标不变，纵坐标拉伸ba倍．斜率的变化：如图纵坐标拉伸了b a 倍，故k bak '，由于1'''' C B C A k k ．'''22''''C B A ABC C B C A BCAC S a bS ab k a b k a b k k △△， (水平宽不变，铅锤高缩小)压缩长轴后点的坐标变化：),('),(0000y x a b A y x A ,纵坐标不变，横坐标缩小ab倍．斜率的变化：如图横坐标缩小了a b 倍，故k bak '，由于1'''' C B C A k k ．'''22''''C B A ABC C B C A BCAC S b aS ab k a b k a b k k △△， （水平宽扩大，铅垂高不变）【例1】（2013•新课标）椭圆134:22 y x C 的左、右顶点分别为1A 、2A ，点P 在C 上且直线2P A 斜率的取值范围是]1,2[ ，那么直线1P A 斜率的取值范围是（）A ．]43,21[B ．43,83[C ．]1,21[D ．]1,43[【解析】由椭圆22:143x y C 可知122234PA PA b k k a ，221PA k ∵，13214PA k，解得13384PA k ．故选B ．【例2】（2016•北京）已知椭圆22:1C a b+=过点 0,2A ， 1,0B 两点．（1）求椭圆C 的方程及离心率；（2）设P 为第三象限内一点且在椭圆C 上，直线P A 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ，求证：四边形ABNM 的面积为定值．【解析】（1）∵椭圆2222:1x y C a b 过点(2,0)A ，(0,1)B 两点，2a ，1b ，则22413c a b ， 椭圆C 的方程为2214x y ，离心率为32e ；（2）如图，作224122x x x x x y y y y y ¢ì=¢ì=ïïⅱ揶+=眄¢¢==镲îî,则=4545P P BO P AO ，ⅱ邪��，令P AO q ¢Ð=，()()()11122tan 4522tan 2244ABNM AB NMS S AN B M q q ⅱⅱ==×=+°-+=．例2图例3图【例3】（2014•新课标Ⅰ）已知点 2,0 A ，椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>离心率为23，F 是椭圆的右焦点，直线AF 的斜率为332，O 为坐标原点．（1）求E 的方程；【解析】（1）由题意2233c ，得3c 又32c a ，所以2a ，2221b a c ，故E 的方程2214x y ．（2）如图，作221212x x x x x y y yy y 좢ì==ïïⅱ揶+=眄¢=镲î¢=î,取P Q ⅱ中点M ¢，令P AO q ¢Ð=，则2sin OM q ¢=，22114sin P M OMq ⅱ=-=-，()2222sin 14sin 24sin 14sin 212OPQ OP Q S S q q q q ⅱ+-==-Ｗ=当仅当()222sin 14sin ,q q =-即42sin时等号成立此时11cos 722sin 2PQ P Qk k q q ⅱ¢===±，则l ：722y x 或722y x ．秒杀秘籍：第二讲椭圆的角平分线定理仿射大法定理三：若点A 、B 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上的点，AB 与椭圆长轴交点为N ，在长轴上一定存在一个点M ，当仅当则2a x x N M 时，BMN AMN ，即长轴为角平分线；若点A 、B 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上的点，AB 与椭圆短轴交点为N ，在短轴上一定存在一个点M ，当仅当则2b y y N M 时，BMN AMN ，即短轴为角平分线；【例4】（2018•全国卷1）设椭圆12:22y x C 的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于A ，B 两点，点M 的坐标为 02，.（1）当l 与x 轴垂直时，求直线AM 的方程；（2）设O 为坐标原点，证明：OMB OMA .【解析】（1）由已知得 0,1F，l 的方程为1 x .由已知可得，点A 的坐标为2(1,)2或2(1,)2.所以AM 的方程为222y x或222y x .（2）如图，作222222x x x x x y y y y y ¢ì=¢ì=ï镲ⅱ揶+=眄¢¢镲==îïî连结,'OA OB ¢'2,'2A M AM B M BMk k k k ⅱ==由于222OA OBOM OF ⅱ==×=,根据相似三角形性质，OA F OMA ∽△△ⅱ,OB F OMB ∽△△ⅱ故13Ð=Ð，24Ð=Ð，,所以1234Ð=Ð=Ð=Ð，即A MO B MO ⅱÐ=Ð，0MA MB k k ⅱ+=220MA MB k k \+=AMO BMO \Ð=Ð．秒杀秘籍：第三讲仿射后圆心角为直角问题仿射大法定理四：若以椭圆12222 by ax 的对称中心引出两条直线交椭圆于A、B 两点，且22ab k k OBOA ,则经过仿射变换后1'' OB OA k k ，所以AOB S △为定值。
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构建仿射坐标系解题
湖北省阳新县高级中学邹生书
直角坐标系和斜角坐标系统称为仿射坐标系，直角坐标系是仿射坐标系的特例，斜角坐标系是直角坐标系的类比推广.本文通过类比直角坐标系下点的坐标、向量坐标、直线方程等有关知识，构建仿射坐标系解决向量共线、向量线性表示以及线性规划等有关问题.
一、仿射坐标系下的向量共线问题
我们知道在直角坐标系下共线向量有如下结论：若，则。
同样在仿射坐标系下此结论仍然成立。
例1已知向量，则实数的值是( )
解法1(常规解法)因，故，
.又，所以
，解得，故选.
解法2由，知不共线，以原直角坐标系的原点作为原点，
以作为单位基底建立仿射坐标系，则，因为
，所以，所以，故选.
例2已知向量其中不共线，向量.问是
否存在这样的非零实数，使向量与共线?
解法1（常规解法）因为
，若与共线，因，所以存在实数，使得，即，所以，消去得，故存在这样的非零实数，只要，就能使向量与共线.
解法2因不共线，在向量平面内任取一点作为原点，以作为单位基底
建立仿射坐标系，则，同法1得
.
若向量与共线，则，解得，故存在这样的非零实数，只要，就能使向量与共线.
二、仿射坐标系下向量的线性表示问题
例3如图1，在中，，和交于点.试用向量
和表示向量.
解以为坐标原点，以作为仿射坐标系的单位基底，
建立平面仿射坐标系如图1所示.因为，所以
，.所以直
线在仿射坐标系下的“截距式”方程为即①.
直线在仿射坐标系下的“截距式”方程为即②.解①②得
，则点的坐标为，所以.
图1
例4在平行四边形中，，与相交于点，若，则( )
解以为坐标原点，以作为仿射坐标系的单位基底，建立平面仿射坐标系
如图2所示.因为，所以
，.所以直线在仿射坐
标系下的“截距式”方程为即①.直线在仿射坐标系下的“斜率”
为，故直线在仿射坐标系下的“点斜式”方程为②.解①②得，则点的坐标为，所以，故选.
图2
三、仿射坐标系下的线性规划问题
下面在类比思想的引领下用仿射坐标系下的线性规划解法解一类向量创新问题.
例5(2011南昌联考)已知是内任一点(不包括三角形边上的点)，且满足
，则的取值范围是＿＿
解以为原点以作为轴轴上的单位向量建立仿射坐标系如图3所示，设
则，又因为，于是有，则，设即该方程表示直线，当直线过点时，
，当直线过点时，。
因是内任一点，所以的取值范围是.
图3
例6(2009年高考安徽理科第14题)如图4，给定两个长度为1的两个向量和，
它们的夹角为，点在以为圆心的圆弧上变动，若，其中，则的最大值是
图4 图5
解以为原点以作为轴轴上的单位向量建立仿射坐标系如图5所示.设
则，又因为，于是有，则
，设该方程表示直线.而直线的方程是，
所以平行于，当直线与圆弧相切于点时，直线在轴上的截距最大，
，故的最大值是2.
例7(2011年唐山市)在平行四边形中，分别为的中点，记
三边及其内部组成的区域为，，当点在上运动时，
则的最大值为
解以为原点以作为轴轴上的单位向量建立仿射坐标系如图6所示，
设则，又因为，于是有，则，设即该方程表示直线，因为直线的“斜率”，所以当直线过点时，。
图6
例8如图7，正六边形中，是内（包括边界）的动点，设
，则的取值范围是＿＿
图7 图8
解如图8，以为原点以作为轴轴上的单位向量建立仿射坐标系.设
则，又因为，于是有，则
，设该方程表示的直线与直线平行.由图2知，
，当直线与重合即直线过点时在轴上的截距最小，;当直线过点时在轴上的截距最大，，故的取值范围是.
例9(06年湖南高考题改编)如图9，，点在由射线线段及的延长线围成的阴影区域内)不含边界)运动，且.(1)实数对可以是
（）
(2)的取值范围是＿＿;当时，的取值范围是＿＿
解（特殊化）特别地，取且并建立直角坐标系如图1所示，则
.又直线的方程为，直线的方程为
，因点在阴影区域内，所以，经检验知，(1)应选.
(2)因直线与直线和直线交点的纵坐标分别为和，由图12知，当时，的取值范围是.
图9 图10
坐标法是数学方法中最重要的方法之一，解析几何的核心思想是“坐标法”，坐标法就是数形结合思想的体现.综上所述，构建仿射坐标系解决向量共线、向量线性表示以及线性规划等有关问题具有独特的解题功能，方法坐标化运算化、解法直观快捷，学生容易掌握便于运用“仿射坐标系”是在学生熟悉的“直角坐标系”相关知识和思想方法的类比拓展，符合“最近发展处”的理论要求.构建仿射坐标系解题，同时也是培养学生类比推理能力、知识思想方法迁移能力和创新思维能力的良好载体.。