第七章第七节立体几何中的向量方法(理)

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第七章第七节立体几何中的向量方法（理）

题组一

利用空间向量证明平行、 垂直咨询题

1•在正方体 ABCD — A i B i C i D i 中，假设E 为A i C i 中点，那么直线 CE 垂直于

A. AC

B. BD

C. A i D

解析：如下图，易证BD 丄平面AA i C i C ，又CE?平面ACC i A i , ••• BD 丄CE.

解析：T 正方体棱长为a, A i M _ AN

, 3

• MN // 平面 B i BCC i . 答案：B

D. A i A

答案：B

2.如图，在正方体 ABCD — A i B i C i D i 中，棱长为 a,

M 、N 分不为A i B 和AC 上的点, A i M = AN _V2a

=3

那么MN 与平面BB i C i C 的位置关系是 （

A •相交

B .平行

C .垂直

DA )

D.不能确定

• MB _ 2AB ,

C N

_3CA ,

2 _ 3( A i B i +

_讯+3酣 又••• CD 是平面B i BCC i 的法向量,

< ) 1 9

> Lh

冲

Ct

Ai

即

4,5 9 sin

〈 B.；,5 fl

M

B M

= （1,1,0）是平面A i C i C 的一个法向

量.

AB = (— 2,0,0),

设平面 A i B i C 的一个法向量是 n = (x, y, z).

AC = (— 2,2,— 2),

答案：B 4. （2018上海高考）如图，在直三棱柱 求一面角 B 1一 A 1C — C 1的大小.

ABC —A 1B 1C 1 中，AA 1= BC = AB = 2, AB 丄 BC,

设AC 的中点为M , •/ BM 丄 AC, BM 丄 CC 1. ••• BM 丄平面 A 1C 1C, 解：如图，建立空间直角坐标系. 那么 A(2,0,0), C(0,2,0), A 1(2,0,2), B 1(0,0,2) , C 1(0,2,2),

3.（2018陕西八校模拟）在正方体 ABCD — A 1B 1C 1D 1 1 A.9 M 、N 分不为棱 AA 1和BB 1的中点，那么 sin CM , D N

>的值为 （ 解析：设正方体棱长为 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴建

=(2,— 2,1), cos 〈

DA D 1N

= (2,2 , —

1), 2，以D 为坐标原点,

C M

立空间直角坐标系，可知 C M

, D 1N

> = 题组二 利用空间向量求空间角

中,

面角B i — A i C — C i 的大小为3.

综合咨询

题组三

5•如图，P-ABCD 是正四棱锥， ABCD — A i B i C i D i 是正方体, 其中 AB = 2, PA = .'6 (i)求证：PA 丄 B i D i ；

⑵求平面PAD 与平面BDD i B i 所成锐二面角的余弦值. 以D i 为原点，D i A i 所在直线为x 轴，D i C i 所在直

D i (0,0,0), A i (2,0,0), B i (2,2,0), C i (0,2,0), D(0,0,2), A(2,0,2), B(2,2,2), C(0,2,2),

设平面PAD 的法向量为n= (x, y, z),那么n 丄

2x 2x 令z= 1解得 ••• n =

(0,1,1), x= 0, 设法向量n 与

, 2y 2z 0,

y =

1.

(j),二面角B i — A i C — C i 的大小为e,明显e 为锐角.

的夹角为 ■/ cos0= |cos ⑷=

i

n

2,解得e=n

解:

线为 y 轴，D I D 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系,

那么 P(i,i,4).

(i)证明：•/ A P

T

• AP •D B = — 2+ 2 + 0 = 0, • PA 丄 B i D i .

⑵平面BDD i B i 的法向量为

DA = (2,0,0), OP = (i,i,2).

=(-2,2,0).

=(-i,i,2), =(2,2,0),

2x= 0, x= 0,

6. (2018广州调研)如图，等腰直角三角形

RBC,

其中/ RBC = 90° RB = BC = 2•点 A 、D 分不是 RB 、RC 的中点，现将△ RAD 沿着边AD 折起到 △ PAD 位置，使 PA 丄AB ，连结PB 、PC. (1) 求证：BC 丄PB;

(2) 求二面角A — CD — P 的平面角的余弦值. 解：⑴证明：点A 、D 分不是RB 、RC 的中点，

1

••• AD // BC, AD = 2BC , •••/ PAD = / RAD = / RBC = 90° • PA 丄 AD , • PA 丄 BC, •/ BC 丄AB , PAA AB = A, • BC 丄平面PAB.

•/ PB?平面 PAB , • BC 丄 PB. ⑵法一：取RD 的中点F ，连结AF 、PF. RA = AD = 1 , • AF 丄RC.

•/ AP 丄 AR , AP 丄 AD, • AP 丄平面RBC. •/ RC?平面 RBC , • RC 丄 AP. AF A AP = A , • RC 丄平面PAF.

取 n = (0, - 2,1),

x + y + 2z= 0,

y=— 2z,

设所求锐二面角为 0,那么

cos 0=

|0-4+ 0| ^0 2.2 X .5 = 5