角平分线的专题复习ppt课件
2024辽宁中考数学二轮专题复习 微专题 遇到角平分线如何添加辅助线(课件)
2. 如图，AB∥CD，∠ABC的平分线与∠BCD的平分线相交于点E， AD过点E，且与AB互相垂直，点P为线段BC上一动点，连接PE.若 AD＝8，则PE的最小值为___4___．
第2题图
3. 如图，∠MON＝30°，OP平分∠MON，过点P作PQ∥OM交ON于 点Q.若OQ＝4，则点P到OM的距离为___2__．
微专题 遇到角平分线如何添加辅助线
方法一 过角平分线上一点向角两边作垂线
方法解读 如图，已知∠MON，点P是∠MON平分线上一点．
过角平分线上的点向角两边作垂线． 已知PA⊥OM， 添加辅助线，作PB⊥ON于点B.
结论：PA＝PB，OA＝OB，∠APO＝∠BPO等．
1. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°4 ，AD平分∠BAC交BC于点D，若 AC＝4，BC＝3，则CD的长为____3____．
第7题图
方法四 作角平分线的垂线，构造等腰三角形
方法解读 过角平分线上的点作角平分线的垂线，三线合一试试看． 已知AP⊥OP，延长AP交ON于点B.
结论：__R_t_△__A_O__P_≌__R_t_△__B_O__P_，__O_A__＝__O_B_，__A__P_＝__B_P__. __
8. 如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BD⊥CD，∠A＝∠ABD. 若BD＝1，BC＝3，则AC的长为__5___．
结论：____△__A__O_P_≌__△__B__O_P_，__A__P_＝__B_P______
6. 如图，在△ABC中，∠A＝2∠B，CD是∠ACB的平分线，若AC＝ 16，AD＝8，则线段BC的长为__2_4___．
第6题图
7. 如图，四边形ABCD中，AC平分∠BAD，∠B＋∠ADC＝180°， 若BC＝2，则DC的长为__2___．
角平分线、线段垂直平分线、三线合一练习复习
角平分线、线段垂直平分线、三线合一练习例1.如图11所示，AD平分∠BAC,DE⊥AB于E, S∆ABC=28㎝2, AB=20㎝，AC=8㎝，求：DE例2.如图12，∠B=∠C=900，M是BC的中点，DM平分∠ADC，（1）求证：AM平分∠BAD；（2）试说明线段DM与AM又怎样的位置关系？例3.如图2，DE是AB的垂直平分线，AB=AC，C∆BCD=13，C∆ABC=20，求AC例4.如图14所示，在△ABC中，AB=AC,D是BC的中点，过D作DE⊥AB，DF⊥AC，①求证：DE=DF；②若∠A=600，BE=1，求C∆ABC.图2EDCBA例5.如图15，等边三角形ABC中，D是AC的中点，延长BC到E使CE=CD，过D作DF⊥BC，求证：F是BE的中点。
练习：1. 如图3，∠C=900，AC=BC,AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，若AB=8㎝,求C∆DEB2.如图5，OB 、OC 分别平分∠ABC 、∠ACB ，OD ⊥BC ，OD=3，C ∆CAB =12, 求S ∆ABC3. 如图9，△ABC 中∠C=900，AD 平分∠BAC ，AB=10，AC=8，求S ∆ABD ：S ∆ADC 的值4.如图2， DE 是AB 的垂直平分线， AE=3，C ∆BCD =13，求C ∆ABC5.如图2， DE 是AB 的垂直平分线，BC=3，C ∆BCD =13，求ACOD 图5CBA图2EDCBA6.如图2，DE是AB的垂直平分线，AB=AC，C∆BCD=13，C∆ABC=20，求AB7.如图12，AB=AC，点D是BC的中点，AB平分∠DAE，AE⊥BE，求证：AD=AE。
三角形的角平分线专题复习
三角形的角平分线专题复习一、三角形两角平分线夹角与第三个角的关系1、：如图,在』ABC 中,BD 平分/ ABC CE 平分/ ACB BD 与CE 交于点P .试确定/ P 与/ A 的数量关系.A2、：如图,在』ABC 中,BP 平分/ CBD CP 平分/ BCE 试确定/ P 与/ A 的数量关系.4、：如图,在』ABC 中,BPi 平分/ ABC CR 平分/ ACD BP 2平分/ P i BC CP 2平分/ P i CD,试确定〔1〕 / P2与/A 的数量关系.〔2〕 /Pn 与/A 的数量关系.二、三角形内角或外角平分线交点与三角形三边所在直线距离的关系1、：如图,在』ABC 中,BD 平分/ ABC CE 平分/ ACB BD 与CE 交于点P .求证：点 P 在/ A 的平分线上.3、 P：如图,在』ABC 中,BP 平分/ABC CP 平分/ ACD 试确定/ P 与/ A 的数量关系.P EDA PCD A P iP 2CA练习1、找出到』ABC三边距离相等的点点P到AB边的距离为1, △ ABC的周长为10,那么△ ABC的面积为ABC的外角,BP平分/ CBD CP平分/ BCE判断点P是否在/ A的平分线上?3、：如图,/ AC皿/ABC的外角,BP平分/ ABC CP平分/ ACQ判断点P是否在/ A的平分线上练习3、找出到a, b, c 三条直线距离相等的点练习4、〔思考题〕如图,在^ ABC 中,/ ABC=105 , / ACB=40 , CE 是角平分线,F 是CB 延长线上的一点, D 是AC 上一点, / CBD=30 ,求/ ABF 和/ ADE 的度数.三、角平分线与平行线1、如图,在』AB8, / ABG 口/ ACB 勺平分线交于点 Q 过O 点作EF// BC 交AB 于E,交AC 于F, BE=5, CF =3, 求EF 的长.2、,在』ABC 中,/ ABC 的平分线与/ ACB 的外角平分线交于点 D,过D 作DE//BC 交AC 与F,交AB 于E, 求证：EF=BE- CF例1.如图,：AD 是 ABC 的角平分线,DE 、DF 分别是 ABD 和 ACD 的高. 求证：AE AF.a例2.：如图,BD 是 ABC 的平分线, AB BC , P 在BD 上,PM AD , PN CD .求证：PM PN .例4,：如图,在 ABC 中, 求证：ACCD AB .例5、如图, AB//DC , A D 90 ,点E 在AD 上,BE 平分 ABC, CE 平分 BCD .例6.：如图,在 ABC 中,BE 、CF 分别平分 求证：点O 在A 的平分线上.例3.如图,：在求证：AD EF ABC 中AD 是 BAC 的平分线, DE AB 于 E, DF AC 于 F.求证：BC AB DC .1、以下说法正确的有几个〔同步测试(1)角的平分线上的点到角的两边的距离相等； (2)三角形两个内角的平分线交点到三边距离相等； (3)三角形两个内角的平分线的交点到三个顶点的距离相等； (4)点E 、F 分别在/ AOB 的两边上,P 点到E 、F 两点距离相等,所以 P 点在/ AOB 的平分线上； (5) 假设OC 是/ AOB 的平分线,过 OC 上的点P 作OC 的垂线,交 OB 于D,交OA 于E,那么线段 PD 、PE 的长分别是P 点到角两边的距离A. 2 B 3 C 4D 5 2、在^ ABC 中,/ C= 900 , BC= 16cm, / A 的平分线 AD 交 BC 于 D ,且CD: DB=3: 5,那么D 到AB 的距离等于23、：如图 1, BD 是/ ABC 的平分线,DELAB 于 E, S ABC 36cm AB = 18cm,BC = 12cm,求 DE 的长4.如图,： BD CD, BF AC 于 F, CE AB 于 E.求证：D 在 BAC 的平分线上.5、：如图 2, /B = /C=90°, M 是BC 中点,DM 平分/ ADC求证：AM 平分/ DAB6 .如图,ABC 是等腰直角三角形,的周长. A 90 ,BD 是 ABC 的平分线,DE BC 于 E, BC 10cm,求 DEC7.如图,：在 ABC 中,外角 CBD 和求证：点F 在 DAE 的平分线上. 8、如图,AD 〃BC>^E 在线段AB 上,ADE CDE, DCE ECB,图2BCE 的平分线求证：CD AD BC.9、：如图3,在△ ABC中,/ B=60°, △ ABC的角平分线AD、CE线相交于点O 求证：AE+CD = AC A,/ACB=20° ,CE 是/ACB 的平分线,D 是BC上一点,假设/ DAC= 20° ,10.如图在^ABC 中,/BAC=100 求/CED的度数.C11.在四边形ABCD 中,BC> BA,AD= CD,BD平分/ ABC,/C= 72°,求/ BAD的度数ADBC。
微专题(六) 与角平分线有关的四种基本模型 课件(共19张PPT) 2024年中考数学总复习专题突破
5
.所以
6
= 4 =
10
.
3
10
【答案】
3
图34
17
微专题（六） 与角平分线有关的四种基本模型
模型四 角平分线+轴对称
构造
复习讲义
全等三角形
6.如图6，在 △ 中， ∠ = 108∘ ， = ，
图6
平分 ∠ ，交 于点 .求证： = + .
B. 2 + 3
C. 2 + 3
D.3
图2
12
微专题（六） 与角平分线有关的四种基本模型
模型二 角平分线+角平分线的垂线
复习讲义
构造
等腰三角形
3.如图3，在 △ 中， < ， 平分
∠ ， ⊥ 于点 ，连接 .若 △ 的
面积为4，求 △ 的面积．
复习讲义
学习至此，请完成微专题练习（六） （第267页）
10
微专题（六） 与角平分线有关的四种基本模型
复习讲义
微专题练习（六）
与角平分线有关的四种基本模型
模型一 角平分线+边的垂线
构造
双垂直
1.如图1， 平分 ∠ ， ⊥ 于点 ，
△ = 8 ， = 2 ， = 4 ，则 的长是
= 8 ，所以 = 10 .所以 : : = : : = 3: 4: 5 .设
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微专题（六） 与角平分线有关的四种基本模型
复习讲义
= = 3 ，则 = = 4 ， = 5 .因为 = 10 ，所以
3 + 5 + 4 = 10 .所以 =
中考数学复习：专题4-11 角平分线的一个结论及其推广
专题11 角平分线的一个结论及其推广【专题综述】角平分线的意义及性质是三角形中的重要解题应用性质之一，也是中考题型常出现的重要性质之一，本文将三角形角平分线定理作一推广,并探讨其解平面几何题上的一些应用。
【方法解读】一、双内角平分线例1 如图，△ABC 中，∠ABC 、∠AC B 的平分线相交于点I.你能归纳出∠BIC 和∠A 的关系吗？ICBA【举一反三】（2016春•东台市月考）如图，△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的角平分线相交于点I ，爱动脑筋的小明同学在写作业时，发现了如下规律：（1）若∠A=50°，则∠BIC=115°=90°+250︒； （2）若∠A=90°，则∠BIC=135°=90°+290︒；（3）若∠A=130°，则∠BIC=155°=90°+2130︒；（4）根据上述规律，或∠A=150°，则∠BIC= ． （5）请你用数学表达式归纳出∠BIC 与∠A 的关系： ． （6）请证明你的结论．二、双外角平分线例2 如图，点 O 是△ABC 的外角∠DBC 和∠BCE 的平分线的交点，试判断∠BOC 和∠A 有何关系？O EDIC BA【举一反三】（2015秋•津南区校级期中）（1）如图a，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线相交于点O，①若∠ABC=40°，∠ACB=50°，则∠BOC的度数为；②若∠A=76°，则∠BOC的度数为；③你能找出∠A与∠BOC之间的数量关系吗？注明理由．（2）如图b，点O是△ABC的两外角平分线BO，CO的交点，那么∠BOC与∠A有怎样的数量关系？注明理由．三、内外角平分线例3 如图，点D是△ABC的内角∠ABC和外角∠ACE的平分线的交点，试探究∠D与∠A有何关系？【举一反三】已知如图1，∠ABC，∠ACB的平分线交于I，根据下列条件分别求出∠BIC的度数；你能发现∠BIC与∠A的关系吗？并说明理由．（1）变式一：如图2，点P是△ABC的中外两角∠DBC与∠ECB平分线的交点，试探索∠BPC与∠A的数量关系，并说明理由．（2）变式二：如图3，已知在△ABC中，BD平分∠ABC，CD平分△ABC的外角∠ACE，BD、CD相交于D，试探索∠A与∠D的数量关系，并说明理由．【强化训练】1.（探索题）如图△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线相交于点O．（1）若∠ABC=40°，∠ACB=80°，求∠BOC；（2）你能找出∠A与∠BOC之间的数量关系吗？2.（2017秋•抚顺县期中）如图，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点O．（1）如图1，∠A=90°，则∠BOC=；（2）如图2，∠A=80°，求∠BOC的度数；（3）从上述计算中，你能发现∠BOC与∠A的关系吗？请直接写出∠B0C与∠A的关系．3.如图1，在△ABC中，∠A=72°，∠ABC与∠ACB的平分线交于I．（1）求∠BIC的度数；（2）如图2，如果∠ABC和∠ACB的三等分线分别交于点D，E，求∠BDC和∠BEC的度数；（3）设想一下，如果∠ABC和∠ACB的n等分线相交，你能求出它们所成钝角的度数吗？4.（2016•内江）问题引入：（1）如图①，在△ABC中，点O是∠ABC和∠ACB平分线的交点，若∠A=α，则∠BOC=（用α表示）；如图②，∠CBO=∠ABC，∠BCO=∠ACB，∠A=α，则∠BOC=（用α表示）拓展研究：（2）如图③，∠CBO=∠DBC ，∠BCO=∠ECB ，∠A=α，请猜想∠BOC= （用α表示），并说明理由． 类比研究：（3）BO 、CO 分别是△ABC 的外角∠DBC 、∠ECB 的n 等分线，它们交于点O ，∠CBO=n1∠DBC ，∠BCO=n1∠ECB ，∠A=α，请猜想∠BOC= ．5.（2017春•雨城区校级期中）如图，BI ，CI 分别平分△ABC 的外角∠DBC 和∠ECB ， （1）若∠ABC=40°，∠ACB=36°，求∠BIC 的大小； （2）若∠A=96°，试求∠BIC ；（3）根据前面问题的求解，请归纳∠BIC 和∠A 的数量关系并进行证明．6.已知：如图，O 是△ABC 的内角∠ABC 和外角∠ACE 的平分线的交点． （1）若∠A=46°，求∠BOC ；（2）若∠A=n°，用n 的代数式表示∠BOC 的度数．7.（2015秋•德州校级月考）如图1，在△ABC 中，∠A=40°，BP 平分∠ABC ，CP 平分∠ACB ， （1）∠BPC= 度；（2）猜想∠A 与∠P 之间有什么关系？并证明你的猜想；（3）如图2，若点P为∠ABC与外角∠ACE的角平分线的交点，试猜想并证明∠A与∠P的关系．8.（2015秋•舟山校级月考）如图，已知∠A=n°，若P1点是∠ABC和外角∠ACE的角平分线的交点，P2点是∠P1BC和外角∠P1CE的角平分线的交点，P3点是∠P2BC和外角∠P2CE的交点…依此类推，则∠P n=（）A． B． C．D．9.（2012春•相城区期中）（1）如图1，BO、CO分别是△ABC中∠ABC和∠ACB的平分线，则∠BOC与∠A的关系是（直接写出结论）；（2）如图2，BO、CO分别是△ABC两个外角∠CBD和∠BCE的平分线，则∠BOC与∠A的关系是，请证明你的结论．（3）如图3，BO、CO分别是△ABC一个内角和一个外角的平分线，则∠BOC与∠A的关系是，请证明你的结论．（4）利用以上结论完成以下问题：如图4，已知：∠DOF=90°，点A、B分别是射线OF、OD上的动点，△ABO的外角∠OBE的平分线与内角∠OAB的平分线相交于点P，猜想∠P的大小是否变化？请证明你的猜想．10.（2016春•雅安校级期中）认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹角的探究片段，完成所提出的问题．（1）探究1：如图1，在△ABC中，O是∠ABC与∠ACB的平分线BO和CO的交点，试分析∠BOC与∠A有怎样的关系？请说明理由．（2）探究2：如图2中，O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO和CO的交点，试分析∠BOC与∠A有怎样的关系？请说明理由．（3）探究3：如图3中，O是外角∠DBC与外角∠ECB的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A有怎样的关系？（直接写出结论）（4）拓展：如图4，在四边形ABCD中，O是∠ABC与∠DCB的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A+∠D有怎样的关系？（直接写出结论）．（5）运用：如图5，五边形ABCDE中，∠BCD、∠EDC的外角分别是∠FCD、∠GDC，CP、DP分别平分∠FCD和∠GDC且相交于点P，若∠A=140°，∠B=120°，∠E=90°，则∠CPD=度．。
(完整版)中考复习2角平分线专题
角平分线专题类型一】角平分线倒角模型例1、把一副学生用三角板(30 、60 、90 )和(45 、45 、90 )如图(1)放置在平面直角坐标系中,点 A在y轴正半轴上,直角边AC与y轴重合,斜边AD与y轴重合,直角边AE交x轴于F,斜边AB交x 轴于G,O是AC中点, AC 8.(1)把图 1 中的Rt AED 绕 A 点顺时针旋转度(0 90 )得图2, 此时AGH 的面积是10, AHF的面积是8,分别求F、H、B三点的坐标;(2)如图3, 设AHF 的平分线和AGH 的平分线交于点M, EFH 的平分线和FOC 的平分线交于点N,当改变的大小时, N M 的值是否会改变?若改变,请说明理由;若不改变,请求出其值.检测1、如图，已知点A是y轴上一动点，B是x轴上一动点，点C在线段OB 上，连接AC，AC 正好是OAB的角平分线，ABD DBx ，问动点A，B在运动的过程中，AC与BD所在直线的夹角是否发生变化，请说明理由；若不变，请直接写出具体值。
检测2、如图探究与发现：探究一：我们知道，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．那么，三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在何种数量关系呢？已知：如图1，∠ FDC与∠ ECD分别为△ ADC的两个外角，试探究∠ A与∠FDC+∠ECD的数量关系．探究二：三角形的一个内角与另两个内角的平分线所夹的钝角之间有何种关系？已知：如图2，在△ ADC中，DP、CP分别平分∠ ADC和∠ ACD，试探究∠ P与∠ A的数量关系．探究三：若将△ ADC改为任意四边形ABCD呢？已知：如图3，在四边形ABCD中，DP、CP分别平分∠ ADC和∠ BCD，试利用上述结论探究∠ P 与∠ A+∠B的数量关系．探究四：若将上题中的四边形ABCD改为六边形ABCDE（F 图4）呢？请直接写出∠ P与∠A+∠B+∠E+∠F 的数量关系：．【类型二】点在线，垂两边例2、如图（1），Rt ABC中，ACB 90 ，CD AB ，垂足为 D 。
2019中考数学复习尺规作图专题之角平分线和垂直平分线(原创优质课件)
S
如图,有A,B,C三个村庄,现准备修建一所学校, 要求学校到三个村庄的距离相等,请在图中作 出学校的位置.
B
C A
圆内接三角形的画法： (1)如图,作直径AD； (2)作半径OD的垂直平分线，交⊙O于B,C两点； (3)连接AB,AC,BC,那么△ABC即为所求的三角形。
如图,校园里有两条路OA,OB在交叉口附近有两块宣传牌 C,D,学校准备在这里(∠AOB内部)安装一盏路灯,要求灯 柱的位置P离两块宣传牌一样远,并且到两条路的距离也 一样远,请你帮助画出灯柱的位置P，并说明理由。 A P
B
A
如图,已知直线l的两侧各有一点A,B,在直线l 上求作一点P,使PA=PB.
B
A
如图,电信部门要 在S区修建一座电 视信号发射塔.按 照设计要求,发射 塔到两个城镇A,B 的距离必须相等, 到两条高速公路m 和n的距离也必须 相等.发射塔应修 建在什么位置?在 图上标出它的位置.
m
B O A n
拓展与延伸
2、直线表示三条相互交叉的公路,现要建 一个货物中转站,要求它到三条公路的距 离相等,则可供选择的地址有:( ) A.一处 B.两处 C.三处 D.四处
l1
D
l3
A
B
l2
C
如图,某地由于居民增多,要在公路l上增加一 个公共汽车站,A,B是路边两个新建小区,这个 公共汽车站建在什么位置,能使两个小区规作图
1角平分线的作法； 2垂直平分线的作法；
练一练 1、如图，为了促进 当地旅游发展，某地要 在三条公路围成的一块 平地上修建一个度假村. 要使这个度假村到三条 公路的距离相等,应在 何处修建? 在确定度假村的位置时,一定 想一想 要画出三个角的平分线吗?你是怎 样思考的?你是如何证明的?
专题16角平分线及中点问题
二轮复习之角平分线问题【考点一：角平分线+平行一等腰三角形】典例1.已知：如图，在平行四边形 ABCD 中，AB=4，AD=7，/ ABC 的平分线交 AD 于点E ,则ED 的长为（）7A . 4B . 3 C. - D . 22关键点分析：关注题目中有无平行线环境，这个平行线环境包括题目给出来的平行线条件，也包括平行四边形中的隐 性平行线环境，在这样的题目中我们要积极地寻找等腰三角形。
模型图总结:【考点二：角平分线+垂直—等腰三角形】典例2•如图，D 为△ABC 内一点，CD 平分/ ACB , BD 丄CD , / A =Z ABD ，若AC = 5, BC = 3,贝U CD 的长是（ 关键点分析： 关注题目中有无 双重身份”的线，即角平分线还有另外一重身份 垂线”这样的题目中图形中也都隐藏着等腰三角形，需要我们作辅助线把这个等腰三角形找出来。
模型图总结: B . 2.5 MBD .A . 2 R MB【考点三：见角平分线一作双垂】典例3.如图，△ABC 中，BC 的垂直平分线 DP 与/ BAC 的角平分线相交于点 D ，垂足为点P ,/ BAC=84，则/关键点分析：遇到角的平分线作双垂，应用角平分线的性质定理解题是基本的辅助线。
模型图总结：【考点四：见角平分线一作对称】典例 4.如图，在 A ABC 中，AD 平分/ BAC , / C=2/ B ，若 AC=3 , CD=2，贝U AB=轴对称性是角平分线的本质属性，所以遇到含有角平分线的题目经常需要将角平分线一侧的三角形作对称处理，利用角的轴对称性来解决问题。
模型图总结:【模型应用】1. 已知0C 平分/ AOB ，点P 为0C 上一点，PD 丄OA 于D ,且 PD=3cm ,过点 P 作 PE // 0A 交 0B 于 E , /AOB=30° ,2.如图，在矩形 ABCD 中，AB=5 , AD=3，点M 在边 3. M 是A ABC 的边BC 的中点，AN 平分/ BAC , BN 丄AN 于点N ，且AB=10 , BC=15, MN=3，则A ABC 的周长等4. 如图，在Rt A ABC 中，/ ACB=90 0, CD 丄AB ,垂足为D , AF 平分/ CAB ,交CD 于点E ,交CB 于点F ,若AC=3 ,AB=5，贝U CE 的长为（ ）。
九年级中考专题复习微专题5 角平分线模型课件人教版
微专题5
角平分线模型
1.角平分线上的点向两边作垂线
如图,P是∠MON的平分线上一点,过点P作PA⊥OM于点
A,PB⊥ON于点B,则PB=PA.
【模型分析】利用角平分线的性质:角平分线上的点到角
两边的距离相等,构造模型,为边相等、角相等、三角形全等
创造更多的条件,进而可以快速找到解题的突破口.
,∠A=90°,AB=AC,BD平分∠ABC,CE⊥BD,交BD的延长线于
E. 求证:BD=2CE.
【解析】如图,延长CE,BA交于点F.
∵CE⊥BD交BD的延长线于E, ∠BAC=90°,
∴∠BAD=∠CED.
∴∠ABD=∠ACF.
又AB=AC, ∠BAD=∠CAF=90°,
∴△ABD≌△ACF.∴ BD=CF.
50°.
2.截取构造对称全等
如图,P是∠MON的平分线上的一点,点A是射线OM上任意
一点,在ON上截取OB=OA,连接PB,则△OPB≌△OPA.
【模型分析】利用角平分线图形的对称性,在角的两边构
造对称全等三角形,可以得到对应边、对应角相等,利用对称
性把一些线段或角进行转移,这是经常使用的一种解题技巧.
如图,P是∠MON的平分线上一点,AP⊥OP于点P,延长AP交
ON于点B,则△AOB是等腰三角形.
【模型分析】构造此模型可以利用等腰三角形的“三线合
一”,得到两个全等的直角三角形,进而得到对应边、对应角相
等.这个模型巧妙地把角平分线和“三线合一”联系了起来.
例5 如图,已知等腰直角三角形ABC中
∵AD 为∠BAC 的平分线,∴∠BAD=∠CAD.
∵AE=AE,∴∠AEB=∠AEF=90°,
∴△AEB≌△AEF.∴AB=AF, BE=EF,
湖南省2024年数学中考第一轮复习微专题9 角平分线常见问题及辅助线作法课件
A.16
B.20
C.40
D.80
)
5.(2023·郴州桂阳县模拟)如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=20,DC= AD,BD平分
∠ABC,则点D到AB的距离等于_______.
5
6.(2023·永州道县模拟)如图,已知四边形ABCD中,对角线BD平分∠ABC,∠DCB=
52
117°,∠ABC=50°,∠BAD+∠CAD=180°,那么∠DAC为________度.
湖南2024年数学中考第一轮复习
微专题9 角平分线常见
问题及辅助线作法
类型1 相遇平行线,联想等腰三角形性质
特点
过角平分线上的一点作角一边的平行线,从而构造等腰三角形
示例
结论
点P是∠MON的平分线上一点,过点P作PQ∥ON交OM于点Q,则△QOP
为等腰三角形
【针对训练】
1.如图,在△ABC中,已知∠ABC和∠ACB的平分线相交于点F.过点F作DE∥BC,
∴AE⊥BE;
(2)过点E作EF∥AD,如图所示:
∴∠DAE=∠AEF,
∵AE平分∠BAD,
∴∠DAE=∠BAE,
∴∠BAE=∠AEF,∴AF=EF,
∵AD∥BC,∴EF∥BC,
同理可证得:BF=EF,
∴AF=BF,
∴点F是AB的中点,∴点E是CD的中点,
∴DE=CE.
类型2 相遇角两边的垂线,联想角平分线定理
且AE平分∠BAD,BE平分∠ABC.求证:
(1)AE⊥BE;
(2)DE=CE.
【证明】(1)∵AD∥BC,
∴∠ABC+∠BAD=180°,
∵AE平分∠BAD,BE平分∠ABC,
2023年中考数学二轮复习专题课件——角平分线四大模型
1）在CA的延长线上截 取AE＝AB，连接DE △EAD≌△BAD（SAS） ∴∠AED＝∠ABD，DB＝DE ∵AB＝BC，∠ABC＝90°
∴∠C＝45°
∠AED＝∠ABD=90°
∴∠EDC=45°
BD=DE=EC=AB+AC
例10 （1）已知：如图1，等腰直角三角形ABC中，∠B＝90°，AD是 ∠BAC的外角平分线，交CB边的延长线于点D．求证：BD＝AB+AC； （2）对于任意三角形ABC，∠ABC＝2∠C，AD是∠BAC的外角平分线，交CB边的 延长线于点D，如图2，请你写出线段AC、AB、BD之间的数量关系并加以证明．
AD=CD=ED DCE≌△DCF ∠ECA=∠DCF=40°
例8 如图,已知△ABC中，AB＝AC，∠A＝108°，BD平分∠ABC，求证： BC＝AC+CD．
在BC上截取BF=BA 则△ABD≌△DBF ∠CDF=∠CFD=72° CD=CF BC=BF+FC=AB+CD=AC+CD
例9 如图,在四边形ABCD中，BC＞BA，AD＝DC， （1）若BD⊥CD，∠C＝60°，BC＝10，求AD的长； （2）若BD平分∠ABC，求证：∠A+∠C＝180°．
1）延长AD交BC于点F 则△ADB≌△FDB ∠2=∠DFB=∠1+∠C
2）∠ABD=∠FBD=28° ∠DFB=∠62=90°-28°=62° ∵DE∥BC ∴∠ADE=∠DFC=180°-∠DFB=118°
例12 如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AE平分∠BAD，BE平分∠ABC，且AE、 BE交CD于点E．试说明AD＝AB﹣BC的理由．
取BF的中点E，连接AE，AD 则AE为RT△ABF斜边上的中点 则AE=BE，△AEB为等腰三角形 A、B、C、D四点共圆
三角形角平分线的夹角——专题复习)
E B
A
O
O
E F
O
B
C
E B
A
C
图1
F
A 图2
FC 图3
练习
在△ABC中，延长AB到E, 延长AC到F, 点O是∠BCF与 ∠CBE的角平分线的交点
（1）如图1, ∠A=40° ， 则∠BOC =( B ) A.60°B.70°C.80°
（2）如图2, ∠A=80° ， 则∠BOC= ( B ) A.40°B.50°C.60° （3）如图3, ∠A=100°， 则∠BOC=( A) A.40°B.50°C.60°
解：∵ ∠A=80°∴∠ACB+∠ABC=100°， ∵ PB，PC分别是△ABC的角平分线, ∴∠1+∠2=50° ∴∠CPB=130°
1
2
变化：如图，PB，PC分别是△ABC的角平分线，且PB，
PC交点为点P，已知∠A=α，求∠P的度数。
1
2
变化：如图，PB，PC分别是△ABC的角平分线，且PB，
2
1
2
=180°- 1 （∠A+180°）
2
E
D
=90°- 1 ∠A
2
=90°-30°
=60°
法2：
解：∵CP平分∠BCE，BP平分∠CBD
E
D
∴∠BCP =∠ECP, ∠CBP =∠DBP
∴∠P =180°—(∠BCP+∠CBP) =180°— 1 (∠BCE+∠CBD)
2 1
=180°— 2 〖360°— (∠ACB+∠ABC)〗
PC交点为点P，已知∠A=α，求∠P的度数。
解：∵ ∠A=α，∴∠ACB+∠ABC=180°－α，
专题(6)三角形的“角平分线”“中线”和“高线”教师版
高三第二轮专题复习专题（6）——三角形的“角平分线”、“中线”和“高线”类型1、三角形的内角平分线问题例1、如图，在ABC ∆中，D 是BC 上的点，AD 平分BAC ∠，ABD ∆面积是ADC ∆面积的2倍.（1）求sin sin B C；（2）若1,2AD DC ==，求BD 和AC 的长.答案：（1）12；（2）1. 变式1、已知AD 为ABC ∆内角A 的角平分线，03,5,120AB AC BAC ==∠=，求AD 的长度.答案：158.变式2、在ABC ∆中，2,1AB AC ==,角A 的平分线1AD =，求ABC ∆的面积S .类型2、三角形的中线问题例2、在ABC ∆中，2,3,AB AC BC ==边上的中线2AD =，求ABC ∆的面积S .答案：4. 变式：在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边长分别为,,a b c ，已知函数()sin(2)6f x x π=-满足： 对于任意,()()x R f x f A ∈≤恒成立．（1）求角A 的大小；（2）若a =BC 边上的中线AM 长的取值范围．解（1）由题意，∵对于任意,()()x R f x f A ∈≤恒成立， ∴()sin(2)6f x x π=-的最大值为()f A ， 当()f x 取得最大值时，22,62x k k Z πππ-=+∈，即,3x k k ππ=+∈Z ， ∴,3A k k ππ=+∈Z ，又∵A 是三角形的内角，即0A π<<，∴3A π=．（2）∵AM 是BC 边上的中线，∴在ABM ∆中，2232cos 4AM AM AMB c +-∠=， ①在ACM ∆中，2232cos 4AM AM AMC b +-∠=， ② 又∵AMB AMC π∠=-∠，∴cos cos AMB AMC ∠=-∠，①＋②得 222324b c AM +=-．由余弦定理222222cos 33a b c bc b c bc π=+-=+-=， ∵2222032b c b c bc +<+-=≤，∴2236b c <+≤，∴23944AM <≤32AM <≤ 类型3、三角形的高线例3、在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且满足sin a A =. （1）求角B 的大小；（2）若点M 为BC 的中点，且AM AC =，求sin BAC ∠的值.答案：（1）3π；（2. 变式：已知ABC ∆的一个内角为0120，并且三边长构成公差为4的等差数列，求ABC ∆的面积.答案：类型4、四边形问题例4、在平面四边形ABCD 中，075,2A B C BC ====，求AB 的取值范围.答案：.变式：在平面四边形ABCD 中，内角A C 与互补，1,3,2AB BC CD DA ====.（1）求角C 和边BD ；（2）求四边形ABCD 的面积.答案：（1）,3C BD π∠==（2）。
三角形的证明专题复习与角平分线有关的常见模型+课件+-2023-2024学年人教版数学八年级下册+
A
B
C
A P
三个角平分线夹角 之间有什么关系？
D
P
E
B
C
D
练习提高
如图，在△ABC 中，AD 是高，AE，BF 是角平分线，它们相交于点 O， ∠CAB＝50°，∠C＝60°，求∠DAE 和∠BOA 的度数．
解：因为∠C AB＝50°，∠C ＝60°， 所以∠ABC＝180°－50°－60°＝70°. 因为 AD 是高， 所以∠ADC＝90°. 所以∠DAC＝90°－∠C＝30°. 因为 AE，BF 是角平分线， 所以∠C BF ＝∠ABF ＝35°，∠E AF ＝∠E AB＝25°. 所以∠DAE ＝∠DAC －∠E AF ＝5°， ∠BOA＝180°－∠EAB－∠ABF＝120°.
A
A
A
B
D E 图1
C
B(D)
E 图2
CD
BE
C
图3
三、与三角形角平分线的夹角相关的模型
1、如图，在△ABC中，∠ABC与∠ ACB的角平分线BP、CP交于点P，
若∠A=60°， ∠P =____？
若∠A=100°，∠P =____？
探索∠A与∠P的关系
A
P
B
C
三、与三角形角平分线的夹角相关的模型
解：能．理由： A
因为∠B＋∠C＋∠BAC＝180°，
所以∠BAC＝180°－∠B－∠C．
因为 AE 平分∠BAC，
B
DE
C
所以∠BAE＝21∠BAC＝21(180°－∠B－∠C)＝90°－12(∠B＋∠C)．
因为 AD⊥BC，
所以∠ADB＝90°.
所以∠BAD＝90°－∠B．
所以∠DAE＝∠BAE－∠BAD＝90°－21(∠B＋∠C)－(90°－∠B)＝
专题课探究与三角形角平分线有关的几个常见的结论-新人教版(广东)八级数学上册课件
∠PCD＝∠PBC＋∠P， ∴∠P＝∠PCD－∠PBC ＝12(∠ACD－∠ABC) ＝12∠A.
【变式 1】 如图，∠ACD 是△ABC 的外角，BE 平分∠ABC，CE 平 分∠ACD，且 BE，CE 交于点 E，∠ABC＝∠ACE. (1)求证：AB∥CE； (2)猜想：若∠A＝50°，求∠E 的度数．
02 课堂精讲精练
变式类型 1 一个内角平分线与一个外角平分线的夹角 【例 1】 如图所示，点 P 是△ABC 的内角∠ABC 和外角∠ACD 的 平分线的交点，试探究∠P 与∠A 之间的数量关系．
解：∵BP 平分∠ABC， ∴∠PBC＝12∠ABC. ∵CP 平分∠ACD， ∴∠PCD＝12∠ACD. ∵∠ACD＝∠ABC＋∠A，
解：(1)证明：∵CE 平分∠ACD， ∴∠ECD＝∠ACE. ∵∠ABC＝∠ACE， ∴∠ABC＝∠ECD. ∴AB∥CE.
(2)∵∠ACD 是△ABC 的一个外角， ∴∠ACD＝∠ABC＋∠A. ∵BE 平分∠ABC，∴∠ABE＝∠EBC. ∴∠E＝∠ECD－∠EBC＝12∠ACD－12∠ABC＝12∠A＝25°.
第章专题课 探究与三角形角平分线有关的几个常 见的结 论-新人 教版（ 广东） 八级数 学上册 课件
解：∵三角形的外角∠DAC 和∠ACF 的平分线交于点 E， ∴∠EAC＝12∠DAC，∠ECA＝12∠ACF. 又∵∠B＝47°(已知)，∠B＋∠BAC＋∠BCA＝180°(三角形内角和定 理)， ∴12∠DAC＋12∠ACF＝12(∠B＋∠B＋∠BAC＋∠BCA)＝2227°(外角定 理)． ∴∠E＝180°－(12∠DAC＋12∠ACF)＝66.5°.
数学
第十一章 三角形
专题课 探究与三角形角平分线有关的几个常见的结论
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8
三、角平分线+垂线，三线合一等腰现 （1）典型例题 1.如图，CE平分∠ACB，且CE⊥DE，∠DAB=∠DBA， AC=18，△CDB的周长为28，则BD的长为___8_现
例. 如图，等腰三角形ABC中，AB=AC，∠A=108°，BD平分 ∠ABC. 求证：BC=AB+DC.
证明：在BC上截取点E，使BE=BA，连接DE
∵ BD是∠ABC的平分线 ∴ ∠1=∠2， 又∵BD为公共边 ∴△ABD≌△EBD（SAS）
A
108°
D
∴ ∠BED=∠A=108°
1
关于角平分线的模型构造
2
学习目标:
1.能够灵活运用角平分线的性质和判定解决一些综合性题目 2.掌握在角平分线的两旁添加辅助线的方法
重点 ：角平分线的性质和判定的综合运用 难点：在角平分线上添加辅助线构造全等的方法
3
角平分线的定义？ 角平分线的性质？ 角平分线的判定？
4
◆ 角平分线 ◆ 定义：像OC这样，从一个角的顶点出发，
\ OP 是 AOB 的平分线
用途：判定一条射线是角平分线或者两个角相等。
6
一、角平分线，作垂线，对称全等要记全 (1)典型例题： 1.如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA于C， PD⊥OB于D，M为OP上任一点， 连接CM、DM，则有CM和DM的 大小关系是（ B ） A. CM>DM B. CM=DM C. CM<DM D. 不能确定
（4）
（2）角平分线平行线，等腰三角形必呈现
（3）角平分线加垂线，三线合一等腰现
（4）截长补短在角边，对称以后关系现
11
例1.如图，在△ABC中，∠ABC=60°，AD、CE 分别平分∠BAC、∠ACB，AD、CE交于O. (1)求∠AOC的度数； (2)求证：OD=OE. (3)可证AC=AE+CD
12
变式1.如图,△PQR的外角∠PRN的平分 线PM与内角∠PQR的平分线QM交于点 M,∠QMR=40°，则∠RPM的度数为 _5_0_°.
变式2：如图，在△ABC中，D为BC中 点，DE⊥BC交∠BAC的平分线AE于E， EF⊥AB于F，EG⊥AC交AC的延长线于 G， 求证：BF=CG
13
∴ ∠DEC=72°
又∵A=108°, AB=AC
∴ ∠C=∠ABC=36°
B
∴∠EDC=∠DEC=72°
∴EC= DC
∴ BC= BE+EC=AB+DC
72°
108° 72°
E
36°
C
10
模型总 结
EA
A
A E
EA
E
P
P
P
P
O
FB O
BO
F BO
FB
（1）
（2）
（3）
（1）角平分线，作垂线，对称全等要记全
2.如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的高， BE平分∠ABC，交CD于点E，BC=5，DE=2， 则△BCE的面积等于__5_.
7
二、角平分线+平行线，等腰三角形必呈现 （1）典型例题 1.如图,OP平分∠AOB,∠AOP=15°, PC∥OA，PD⊥OA于点D，OC=4， 则PD=_2__.
畅所欲言谈收获……
14
把这个角分成相等的两个角的射线，叫作 这个角的角平分线．
A
C O
B
5
复习
性质定理 角的平分线上的点到角的两边的距离相等。
∵ OP 是 AOB 的平分线
PD OA PE OB
\ PD = PE
O
用途：证线段相等
D
A
C P
判定定理 角的内部到角的两边的距离 相等的点 在角的平分线上。
E B
∵ PD OA PE OB PD = PE