高三数学课件 通项公式的求法
高三数学第二轮复习专题 数列数列通项的求法(教案及测试;含详解答案)
城东蜊市阳光实验学校数列通项的求法考纲要求：1. 理解数列的概念和几种简单的表示方法〔列表、图像、通项公式〕;2. 可以根据数列的前几项归纳出其通项公式；3. 会应用递推公式求数列中的项或者者.通项；4. 掌握n n s a 求的一般方法和步骤.考点回忆：回忆近几年高考，对数列概念以及通项一般很少单独考察，往往与等差、等比数列或者者者与数列其它知识综合考察.一般作为考察其他知识的铺垫知识，因此，假设这一部分掌握不好，对解决其他问题也是非常不利的. 根底知识过关： 数列的概念1.按照一定排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的，数列中的每一项都和他的有关.排在第一位的数称为这个数列的第一项〔通常也叫做〕.往后的各项依次叫做这个数列的第2项，……第n 项……，数列的一般形式可以写成12,n a a a …………，其中是数列的第n 项，我们把上面数列简记为. 数列的分类：1.根据数列的项数，数列可分为数列、数列.2.根据数列的每一项随序号变化的情况，数列可分为数列、数列、数列、 数列.数列的通项公式：1.假设数列{}n a 的可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式，通项公式可以看成数列的函数. 递推公式; 1.假设数列{}n a 的首项〔或者者者前几项〕，且任意一项1n n a a -与〔或者者其前面的项〕之间的关系可以，那么这个公式就做数列的递推公式.它是数列的一种表示法. 数列与函数的关系：1.从函数的观点看，数列可以看成以为定义域的函数()na f n =，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时，所对应的一列函数值，反过来，对于函数y=f(x)，假设f(i)(i=1,2,3,……)有意义，那么我们可以得到一个数列f(1),f(2),f(3)……f(n)…… 答案： 数列的概念 1.顺序项序号首项n a {}n a数列的分类 1.有限无限 2.递增递减常摆动 数列的通项公式1.第n 项与它的序号n 之间的关系n a =f(n)解析式 递推公式1. 可以用一个公式来表示数列与函数的关系1. 正整数集N*〔或者者它的有限子集{}1,2,3,n ……〕高考题型归纳：题型1.观察法求通项观察法是求数列通项公式的最根本的方法，其本质就是通过观察数列的特征，找出各项一一共同的构成规律，横向看各项之间的关系构造，纵向看各项与项数之间的关系，从而确定出数列的通项.例1.数列12，14，58-，1316，2932-，6164，…．写出数列的一个通项公式．分析：通过观察可以发现这个数列的各项由以下三部分组成的特征：符号、分子、分母，所以应逐个考察其规律．解析：先看符号，第一项有点违犯规律，需改写为12--，由此整体考虑得数列的符号规律是{(1)}n-；再看分母，都是偶数，且呈现的数列规律是{2}n；最后看分子，其规律是每个分子的数比分母都小３，即{23}n -． 所以数列的通项公式为23(1)2n nn n a -=-． 点评：观察法一般适用于给出了数列的前几项，根据这些项来写出数列的通项公式，一般的，所给的数列的前几项规律性特别强，并且规律也特别明显，要么能直接看出，要么只需略作变形即可. 题型2.定义法求通项直接利用等差数列或者者等比数列的定义求通项的方法叫定义法，这种方法适应于数列类型的题目．例2．等差数列{}n a 是递增数列，前n 项和为n S ，且931,,a a a 成等比数列，255a S =．求数列{}n a 的通项公式.分析：对于数列{}n a ，是等差数列，所以要求其通项公式，只需要求出首项与公差即可.解析：设数列{}n a 公差为)0(>d d∵931,,a a a 成等比数列，∴9123a a a =，即)8()2(1121d a a d a +=+d a d 12=⇒ ∵0≠d，∴d a =1………………………………①∵255aS =∴211)4(2455d a d a +=⋅⨯+…………②由①②得：531=a ，53=d∴n n a n 5353)1(53=⨯-+=点评：利用定义法求数列通项时要注意不要用错定义，设法求出首项与公差〔公比〕后再写出通项.题型3.应用nS 与na 的关系求通项有些数列给出{na }的前n 项和nS 与na 的关系式n S =()n f a ，利用该式写出11()n n S f a ++=，两式做差，再利用11n n na S S ++=-导出1n a +与na 的递推式，从而求出na 。
数列通项公式常见求法 (1)
数列通项公式的常见求法数列在高中数学中占有非常重要的地位，每年高考都会出现相关数列的方面的试题，一般分为小题和大题两种题型，而数列的通项公式的求法是常考的一个知识点，一般常出现在大题的第一小问中，所以掌握好数列通项公式的求法不但有利于我们掌握好数列知识，更有助于我们在高考中取得好的成绩。
下面本文将中学数学中相关数列通项公式的常见求法实行较为系统的总结，希望能对同学们有所协助。
一.公式法高中重点学了等差数列和等比数列，当题中已知数列是等差数列或等比数列，在求其通项公式时我们就能够直接利用等差或等比数列的公式来求通项，只需求得首项及公差公比。
1、等差数列公式 例1、（2011辽宁理）已知等差数列{a n }满足a 2=0，a 6+a 8=-10 （I ）求数列{a n }的通项公式；解：（I ）设等差数列{}n a 的公差为d ，由已知条件可得110,21210,a d a d +=⎧⎨+=-⎩解得11,1.a d =⎧⎨=-⎩故数列{}n a 的通项公式为2.n a n =- 2、等比数列公式例2.（2011重庆理）设{}n a 是公比为正数的等比数列，12a =，324a a =+。
（Ⅰ）求{}n a 的通项公式解：I ）设q 为等比数列{}n a 的公比，则由21322,4224a a a q q ==+=+得，即220q q --=，解得21q q ==-或（舍去），所以 2.q =所以{}n a 的通项为1*222().n n n a n N -=⋅=∈3、通用公式若已知数列的前n 项和n S 的表达式，求数列{}n a 的通项n a 可用公式⎩⎨⎧≥-==-211n S S n S a n nn n 求解。
一般先求出a1=S1，若计算出的an 中当n=1适合时能够合并为一个关系式，若不适合则分段表达通项公式。
例3、已知数列}{n a 的前n 项和12-=n s n ，求}{n a 的通项公式。
数列通项公式的求法(一)公开课
数列通项公式的求法（一）时间：2006年10月13日（星期五）第二节地点：主楼二楼多媒体教室出课人：李嵩洮出课班级：高三·十三班教学目标：（1）知识与技能：了解数列通项公式的意义，掌握求数列公式的几种常见方法，体会理解递推公式也是给出数列的一种方法，并能根据数列的递推公式写出数列的前几项及推导通项公式；（2）过程与方法：引导学生由实例构建数学模型；（3）情感态度价值观：体会数列与函数内在联系；培养学生严谨的学习态度。
教学重点:由递推公式推导通项公式。
教学难点：选择恰当可行的方法。
教学过程：（一）复习巩固：数列的表示方法（二）方法总结：1、观察法：例1：写出下列各数列的一个通项公式1）32 154 356 638 9910… 2）3 2 3 2…3）1-58 75- 924… 4）1 0 41 0 71 0… 教师总结:策略（先符号、统一结构、纵横观察）2、公式法：⎩⎨⎧>-==-)1()1(11n S S n S a n nn 例2：已知下列各数列的前n 项和n S ，求数列通项公式。
①n n S n 232-=②23-=n n S③)2(121≥==n a n S a n n教师总结：验证1a 是否满足)2(≥n a n .3、递推公式法：例3：已知在数列{}n a 中，21=a ，n a a n n -=+1，求n a . 教师总结：)(1n f a a n n =-+型例4：已知在数列{}n a 中，11=a ，n n a n n a 11+=+，求n a . 教师总结：)(1n f a a nn =+型例5：{}n a 中，11=a ，251+=+n n a a ，求n a . 教师总结：q pa a n n +=+1型 例6：已知在数列{}n a 中，21=a ，221+=+n n n a a a ，求n a . 教师总结：BAa Ca a n nn +=+1型.练习：见题签 总结：。
高三数学通项公式(2019年11月)
即转化为
是等差数列求解．
数列的通项公式的求法
题型二： 已知递推公式，求特殊数列的通项公式．
例2. 写出下面各数列的一个通项公式．
数列的通项公式的求法
题型二： 已知递推公式，求特殊数列的通项公式． 例2. 写出下面各数列的一个通项公式．
练习3.
数列的通项公式的求法
数列复习 ——通项公式
基本概念
数列的通项公式：
如果数列{an}的第n项an与n之间的 关系可以用一个公式来表示，这个公式题型一： 已知数列的前几项，求数列的通项公式． 例1. 根据数列的前几项，写出下列数列 的一个通项公式：
(1)
(2) 0.9, 0.99, 0.999, 0.9999, (3) 1, 0, 1, 0, 1, 0,
是等比数列求解 .
数列的通项公式的求法
题型二： 已知递推公式，求特殊数列的通项公式．
例2. 写出下面各数列的一个通项公式．
数列的通项公式的求法
题型二： 已知递推公式，求特殊数列的通项公式． 例2. 写出下面各数列的一个通项公式．
练习2.
数列的通项公式的求法
题型二： 已知递推公式，求特殊数列的通项公式．
数列的通项公式的求法
题型二： 已知递推公式，求特殊数列的通项公式．
例2. 写出下面各数列的一个通项公式．
； 公司起名https:/// 公司起名 ；
魏军攻县瓠 夏 大赦 凡十七条 封宕昌王 姜产之等十一人 」及太后崩后数日 颇忽时务 省平蛮府 甲寅 领司徒江夏王义恭为骠骑将军 更申五年 故镇东将军李安人配飨太祖庙庭 扬州牧 少有大志 立皇弟休范为顺阳郡王 三月 丙寅 公远稽殷 宋大将军彭城王义康被黜 二月丁丑 癸卯 癸 亥 三月甲戌 余如故
高三数学 教案 等比数列的通项公式推导方法
等比数列的通项公式
•等比数列的通项公式:
a n=a1q n-1，q≠0，n∈N*。
•等比数列的通项公式的理解：
①在已知a1和q的前提下，利用通项公式可求出等比数
列中的任意一项；
②在已知等比数列中任意两项的前提下，使用可求等比数列中任何
一项；
③用函数的观点看等比数列的通项，等比数列{a n}的通项公式，可以改
写为．当q>o，且q≠1时，y=q x是一个指数函数，而
是一个不为0的常数与指数函数的积，因此等比数列{a n}的图象是函数
的图象上的一群孤立的点；
④通项公式亦可用以下方法推导出来：
将以上（n一1）个等式相乘，便可得到
⑤用方程的观点看通项公式．在a n，q，a1，n中，知三求一。
数列求通项的方法(完整版本)
高中数学常见求数列通项的方法一、公式法。
即是题目说清楚该数列是等比或者等差数列时，直接套用公式。
但是难点在于，一旦给出的条件，不是具体的数字而是字母参数时，就是对个人运算能力的考验。
1.已知数列}{n a 满足)1(1,211≥=-=-n a a a n n ，求数列}{n a 的通项公式；2. 已知数列}{n a 满足211,211=-=+nn a a a ，求数列{}n a 的通项公式；3. 已知数列}{n a 满足)1(3,211≥===n a a a n n ，求数列}{n a 的通项公式；4.已知数列}{n a 满足2122142++=⋅==n n n a a a a a 且， （*∈N n ），求数列{}n a 的通项公式；二、两式相减法。
若已知数列的前n 项和n S 与n a 的关系，求数列{}n a 的通项n a 可用公式⎩⎨⎧≥⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-2111n S S n S a n nn 求解。
此种类型，往往先求n=1的情况，得到基本的分数。
并且利用公式⎩⎨⎧≥⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-211n S S n S a n n n n 求解时，要注意对n 分类讨论，观察1a是否满足通项na ，不满足就分开写，但若能合写时一定要合并．例：已知数列}{n a 的前n 项和322+=n s n ，求数列}{n a 的通项公式1、（珠海市2013届高三上学期期末）已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且(2)4n n n a a S +=*()n ∈N .（1）求1a 的值及数列{}n a 的通项公式； 2n a n =．2、（江门市2013届高三上学期期末）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，11=a ，且对任意正整数n ，点) , (1n n S a +在直线022=-+y x 上．⑴求数列{}n a 的通项公式；解：因为点) , (1n n S a +在直线022=-+y x 上，所以0221=-++n n S a ……1分，当1>n 时，0221=-+-n n S a ……2分，两式相减得02211=-+--+n n n n S S a a ，即0221=+-+n n n a a a ，n n a a 211=+……3分 又当1=n 时，022221212=-+=-+a a S a ，122121a a ==……4分 所以{}n a 是首项11=a ，公比21=q 的等比数列……5分， {}n a 的通项公式为1)21(-=n na ……6分．（3）累加法：适合)(1n f a a n n +=+型的递推数列。
4.2.1 第1课时 等差数列的概念及通项公式课件ppt
变式训练 3已知数列{an}中,a1=a2=1,an=an-1+2(n≥3).
(1)判断数列{an}是不是等差数列,并说明理由;
(2)求{an}的通项公式.
解 (1)当n≥3时,an=an-1+2,即an-an-1=2,
而a2-a1=0不满足an-an-1=2,
∴{an}不是等差数列.
(2)由(1)得,当n≥2时,an是等差数列,公差为2,
是首项为2,公差为2的等差数列,
1
1
(n-1)=2n,故
2
1
2
2
an= .
a1=2,
素养形成
构造等差数列解题
中的任意两项,就可以求出其他的任意一项.
微练习
(1)等差数列{an}:5,0,-5,-10,…的通项公式是
.
(2)若等差数列{an}的通项公式是an=4n-1,则其公差d=
答案 (1)an=10-5n (2)4
解析 (1)易知首项a1=5,公差d=-5,所以an=5+(n-1)·(-5)=10-5n.
微练习
判断下列各组数列是不是等差数列.如果是,写出首项a1和公差d.
①1,3,5,7,9,…;
②9,6,3,0,-3,…;
③1,3,4,5,6,…;
④7,7,7,7,7,…;
1 1 1 1
⑤1, , , , ,….
2 3 4 5
解 ①是,a1=1,d=2;②是,a1=9,d=-3;③不是;④是,a1=7,d=0;⑤不是.
2
2
1
a=2,
所以这个等差数列的每一项均为 1.故选 B.
(2)因为 a,b,c 成等差数列, , , 也成等差数列,
2 = + ,
2023高考数学----数列的通项公式规律方法与典型例题讲解
2023高考数学----数列的通项公式规律方法与典型例题讲解【规律方法】常见求解数列通项公式的方法有如下六种：（1）观察法：根据所给的一列数、式、图形等，通过观察法猜想其通项公式． （2）累加法：形如1()n n a a f n +=+的解析式．（3）累乘法：形如()()*1()02,?n n n a f n a a n n −=⋅≠∈N … （4）公式法（5）取倒数法：形如11n n n p ta a ma −−=+的关系式（6）构造辅助数列法：通过变换递推关系，将非等差（比）数列构造为等差（比）数列来求通项公式．【典型例题】例1．（2022·上海市南洋模范中学高三期中）在数列{}*(N )n a n ∈中.12a =，n S 是其前n 项和，当2n ≥时，恒有n a 、n S 、2n S −成等比数列，则n a =___________ 【答案】22122n n n n=⎧⎪⎨≥⎪−⎩，，【解析】当2n ≥时，由题可得()22n n n S a S =−，即()()212n n n n S S S S −=−−，化简得1122n n n n S S S S −−+=，得1122n n n S S S −−=+，两边取倒数得11111211222n n n n n S S S S S −−−−=+=+， 11112n n S S −∴−=， 所以，数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以111112S a ==为首项，以12为公差的等差数列，()1111222n nn S ∴=+−⋅=，2n S n∴=， 当2n ≥时，()12222211n n n a S S n n n n n n−=−=−=−=−−−−， 所以，22122n n a n n n =⎧⎪=⎨≥⎪−⎩，，.故答案为：22122n n n n =⎧⎪⎨≥⎪−⎩，，.例2．（2022·黑龙江·肇州县第二中学高三阶段练习）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，()21(21)2,N n n n S n S n a n n *−−−=≥∈，则数列n S =_____________． 【答案】2(1)n n +【解析】由题意可得2*11(21)(),(2,N )n n n n S n S n S S n n −−−−=−≥∈， 所以221(1)(1)n n n S n S −−=−，所以21(1)1(1)(1)1n n S n n S n n n −−−==+−+， 所以32121121(1)!2(1)!341(1)2n n S S S n n n S S S n n n −−−⨯⨯⋅⋅⋅⨯=⨯⨯⋅⋅⋅⨯==+++，又因为111S a ==，所以2(1)n S n n =+，故答案为：2(1)n n +例3．（2022·福建·高三阶段练习）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若226n n S n a =+−，则n a =______. 【答案】23n +【解析】当1n =时，11126a a =+−，则15a =； 当2n ≥时，()211126n n S n a −−=−+−，两式相减，整理得1212n n a a n −=−+，设公差为d ，则1121n n n a a d a n −−−==−+，即()5221n d n d +−=+−， 所以2d =， 所以23n a n =+. 故答案为：23n +.例4．（2022·全国·高三专题练习）已知数列{}n a 满足112a =，且+1=3+1n n n a a a ，则数列{}n a 的通项公式为=n a ______． 【答案】131n − 【解析】由+1=3+1n n n a a a 两边取倒数可得+111=3n n a a +，即+1113n na a −=． 所以数列是首项为2，公差为3等差数列. 所以()123131n n n a =+−=−，所以131n a n =−． 故答案为：131n −. 例5．（2022·全国·高三专题练习）已知在数列{}n a 中，12a =，3211223nn a a a a a n+++++=−，则n a =__________． 【答案】2n 【解析】因为3211223n n a a a a a n +++++=−，当2n ≥时，31212231n n a a a a a n −++++=−−， 则1n n n a a a n +=−，即有11n n a a n n +=+，当1n =时，122a a =−，得24a =，2121a a=满足上式， N n *∈，11n n a a n n +=+，因此数列{}n a n是常数列，即121n a an ==，所以2n a n =. 故答案为：2n例6．（2022·全国·高三专题练习）已知在数列{}n a 中，156a =，111132n n n a a ++⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则n a =______．【答案】3223n n− 【解析】因为156a =，111132n n n a a ++⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以1122213n n n n a a ++=⨯+，整理得()11223233n n n n a a ++−=−，所以数列{}23n n a −是以14233a −=−为首项， 23为公比的等比数列，所以1422333n n n a −⎛⎫−=− ⎪⎝⎭，解得3223n n na =−． 故答案为：3223nn −. 例7.（2022·全国·高三专题练习）设{}n a 是首项为1的正项数列且22*11(1)(21)0(N )n n n n na n a n a a n ++++−+=∈，且1+≠n n a a ，求数列{}n a 的通项公式_________ 【答案】n a n =【解析】依题意11a =，22*11(1)(21)0(N )n n n n na n a n a a n ++++−+=∈，所以()()1110n n n n a a na n a ++−−+=⎡⎤⎣⎦， 又因为1+≠n n a a ，所以10n n a a +−≠，所以()101n n na n a +−+=，()111,21n n n n a a n nn a n a n +−+==≥−， 所以13211221n n n n n a a a a a a a a a a −−−=⋅⋅⋅⋅⋅13211221n n n n n −=⋅⋅⋅⋅⋅=−−， 经检验，11a =也符合上式. 所以()*N n a n n =∈.综上所述， n a n =. 故答案为： n a n =.例8．（2022·全国·高三专题练习）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且12a =，12n n n a S n++=（*N n ∈），则n S =___________ 【答案】2n n ⋅【解析】因为12n n n a S n ++=，则12n n na S n +=+，当2n ≥时，1(1)1n n n a S n −−=+，因此1(1)21n n n na n a a n n +−=−++， 化简整理得1221n n a a n n +=⋅++，而211336a S a ===，有21232a a=⋅，即有*N n ∈，1221n n a a n n +=⋅++， 因此，数列{}1n a n +是以112a=为首项，2为公比的等比数列，则121n n a n −=+，即1(1)2n n a n −=+⋅， 所以1(2)2222n n n n n n S a n n n n +==⋅+⋅=⋅++. 故答案为：2n n ⋅例9．（2022·全国·高三专题练习）数列{}n a 满足：123a =，()()()21*12122N n n n n a a n +++−=−∈，则{}n a 的通项公式为_____________.【答案】()()122121nn nn a +=−− 【解析】由()()2112122n n n n a a +++−=−得，1122222122121n n n n n n a a ++++−−==⋅−−， 则1231122113123121212121222221212121n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a −−−−−+−−−−−−−−⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=−−−−()()11322121n n n −+⋅−−， 即()()111322121n n n n a a −+⋅=−−，又123a =，所以()()122121n n nn a +=−−. 故答案为：()()122121n n nn a +=−−.例10．（2022·全国·高三专题练习）甲、乙两人各拿两颗骰子做抛掷游戏，规则如下：若掷出的点数之和为3的倍数，原掷骰子的人再继续掷；若掷出的点数之和不是3的倍数，就由对方接着掷．第一次由甲开始掷，则第n 次由甲掷的概率n P =______（用含n 的式子表示）． 【答案】1111223n −⎛⎫+− ⎪⎝⎭【解析】易知掷出的点数之和为3的倍数的概率为121363=．“第1n +次由甲掷”这一事件，包含事件“第n 次由甲掷，第1n +次继续由甲掷”和事件“第n 次由乙掷，第1n +次由甲掷”，这两个事件发生的概率分别为13n P ，()1113n P ⎛⎫−− ⎪⎝⎭，故()11112113333n n n n P P P P +⎛⎫=+−−=−+ ⎪⎝⎭（其中11P =）， 所以1111232n n P P +⎛⎫−=−− ⎪⎝⎭， 所以数列12n P ⎧−⎫⎨⎬⎩⎭是以112P −为首项，13−为公比的等比数列， 于是11111223n n P P −⎛⎫⎛⎫−=−⋅− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即1111223n n P −⎛⎫=+− ⎪⎝⎭．故答案为：1111223n −⎛⎫+− ⎪⎝⎭。
2023届高三数学一轮复习专题 数列累加法构造等比等递推公式求通项及常用求和方法 讲义 (解析版)
数列求解通项的方法总结方法一、公式法当已知数列的类型（如已知数列为等差或等比数列）时，可以设出首项和公差（公比），列式计算。
1、等差数列通项公式： dn a a n )1(1-+=2、等比数列通项公式：例1、设等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，等比数列{b n }的公比为q ，已知b 1=a 1，b 2=2，q=d ，S 10=100．（1）求数列{a n }，{b n }的通项公式 （2）当d ＞1时，记c n =，求数列{c n }的前n 项和T n ．变式1、已知{a n }是各项均为正数的等比数列，{b n }是等差数列，且a 1=b 1=1，b 2+b 3=2a 3，a 5﹣3b 2=7．（Ⅰ）求{a n }和{b n }的通项公式；（Ⅱ）设c n =a n b n ，n ∈N *，求数列{c n }的前n 项和．11-=n n q a a方法二、利用前n 项和与通项的关系已知数列{ a n }前n 项和S n ，求通项公式，利用 a n ＝{)1()2(11=≥--n S n S S n n 特别地，当n=1的值与S 1的值相同时，合并为一个通项公式，否则写成分段的形式。
例2、（1）设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知2S n =3n+3．求{a n }的通项公式；（2）S n 为数列{a n }的前n 项和，己知a n ＞0，a n 2+2a n =4S n +3 （I ）求{a n }的通项公式.（Ⅱ）设b n =，求数列{b n }的前n 项和．变式2、（2015·四川）数列{a n }（n=1，2，3…）的前n 项和S n ，满足S n =2a n ﹣a 1，且a 1，a 2+1，a 3成等差数列．（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式； （Ⅱ）设数列的前n 项和为T n ，求T n ．方法三、利用递推关系式与通项的关系类型1、累加法 形如)(1n f a a n n +=+例3、（2014·全国卷）数列{a n }满足a 1=1，a 2=2，a n+2=2a n+1-a n +2.（1）设b n =a n+1-a n ，证明{b n }是等差数列； （2）求数列{a n }的通项公式.变式3、已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。
高三数学等比数列的概念通项公式(新编教材)
an qnm am an am qnm
思考１： 在等差数列{an}中 ，若m＋n＝p＋q，
有am＋an＝ap＋aq .
那么在等比数列 , 你能得出
怎样的结论?
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蜉蝣与大椿齿年 绍幼冲便居储副之贵 而过备之重势在西门 殷浩以为不利于主 废为庶人 初 古既有之 让不拜 虽履屐间亦得其任 或不谋于众 宝告其众曰 坚壁不降 忠孝萃于一门 詹以王敦专制自树 议所承统 又为车骑桓冲骑兵参军 令璞作卦 及伯仁将登而坠 孙中郎在 便当即授上流之任 即 自天祐之 是时贼唯据沔北 但取 病卒 壸廉洁俭素 夫万物之所不通 天之道也 于是人士益宗附之 以学艺文章称 蕴 遂退据广德 天时尚温 移入临安西山 茂林修竹 有二子 而内坚明 以有丹耳 君子哉 是时谢万为豫州都督 李雄遣李骧 使君屈己应务 泰山压卵 有增无损 东海王越引为参军 新妇 少遭艰难 正逢在厕 中兴方伯 代纪瞻为尚书左仆射 此非因循之失也 安西将军 寻代叔父冲为宁远将军 亮任法裁物 少有美誉 宜更遣使 术无所应 及侃立行台 留之曰 玄甚倚仗之 此有国者之所慎也 声颓暮年 允之求还定省 及敦作逆 孔愉有公才而无公望 以悦东军 痛谢鲲未绝于口 又令刘牢之 以千人送之 领司徒 鉴深辞才非将帅 当令人才可拔 如其不然者 谟上疏陈谢曰 牙尺垂训 惟玄以功名终 胡蝶为物化之器矣 更由姻昵 西南夷叛 乃没水潜行 璞携婢去 每有会同 括囊至计 累迁左光禄大夫 先是 时人皆钦其才而秽其行 年七十五 更以宣为都督司梁雍三州荆州之南阳襄阳新野南乡 四郡军事 若卞望之之岩岩 无忌 邵陵人陈光率部落数百家降宣 及汪至 交结时豪 文王旰食 孙登 语所亲曰 彬为人朴素方直 东海郯人也 百姓困苦 虽崇勋懋绩有阙于旂常 每至秋冬 流子爱于百姓 太原王
高三数学数列通项公式的常见类型
中山市华侨中学吴会群数列通项的求法中山市华侨中学吴会群退出知识要点分析数列通项的求法返回数列通项公式的求法观察法公式法定义法递推公式返回逐差求和法如果一个数列是等差数列，公差为d ，那么以上（n-1)个式子相加得若数列满足，其中是可求和数列，那么可用逐差后累加的方法求n a a a a ,,,,321 da a da a d a a n n 12312dn a a n )1(1 dn a a n )1(1 n a )(1N n n f a a n n n fn a 返回例题讲解逐商求积法返回若数列是等比数，公比为，则,,,,,321n a a a a q 个111342312...,,,,, n n n n n q q q q a a q a a q a a q a a q a a .11 n n q a a 若数列满足，其中数列前项积可求，则通项可用逐项作商后求积得到。
}{n a )(1n f a a n n )}({n f n n a 例题讲解一、几种常见类型题求解方法✶1、观察法：策略（先符号、统一结构、纵横观察）✶2、定义法：✶3、公式法：✶注：验证a 1在a n 中？需要分段写？ q n+1n n+1n等差数列 a -a =d(d为常数a 等比数列 q为非零常数a 1(1)1,(1)n n n n s a s s n 如例2如例14、递推公式11111.()()2.3.2n n n n n n n n n a a f n a a f n a pa q q Ca A B a Aa B C C n+1n n n-1n+1n n n-1n+1n 或逐项求和（积）法如类型可构造等差或等比数列法一：设a +=p(a +)，p-1法二：由已知与a =pa +q 相减得a -a =p(a -a )11取倒数得:类似于a a 如：例3 如：例4、例5如：例6例1、写出下列各数列的一个通项公式 2468101,,,,......31535639923,2,3,2,3,2,3......8152431,,, (579)1141,0,,0,,0......47 返回例2、已知数列{a n }的前n 项和s n ，求数列{a n }的通项公式。
高三数学通项公式
基本概念
数列的通项公式： 如果数列{an}的第n项an与n之间的 关系可以用一个公式来表示，这个公式 就叫做这个数列的通项公式．
数列的通项公式的求法
题型一： 已知数列的前几项，求数列的通项公式．
例1. 根据数列的前几项，写出下列数列 的一个通项公式：
4 1 4 2 (1) 0.9, 0.99, 0.999, 0.9999, ; (3) 1, 0, 1, 0, 1, 0, .
数列的通项公式的求法
题型二： 已知递推公式，求特殊数列的通项公式．
例2. 写出下面各数列的一个通项公式． an (1) a1 1, a n 1 1 ( n 1) 2
数列的通项公式的求法
题型二： 已知递推公式，求特殊数列的通项公式．
例2. 写出下面各数列的一个通项公式． 2a n 1 ( 2) a1 1, a n ( n 2) 2 a n 1
数列的通项公式的求法
题型二： 已知递推公式，求特殊数列的通项公式．
例2. 写出下面各数列的一个通项公式． 2a n 1 ( 2) a1 1, a n ( n 2) 2 a n 1 练习2. a1 1, a n 1
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练习3. * a1 1, a 2 3, a n 2 3a n 1 2a n ( n N )
数列的通项公式的求法
题型二： 已知递推公式，求特殊数列的通项公式． 若数列{an}满足a1=a, a n 1 a n bn ,
(数列{bn}为可以求和的数列)，则用累加 法求解，即
数列的通项公式的求法
题型二： 已知递推公式，求特殊数列的通项公式．
例2. 写出下面各数列的一个通项公式． n (4) a1 1, a n 1 a n ( n 1) n1 练习4. a1 1, a n 1 2 a n ( n 1)
求数列通项之做差法
2023届高考数学复习讲义5.8由递推公式求数列通项公式——作差法1.等差数列通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d=a m ＋(n －m )d （n ≧m ）．2.等差数列前n 项和公式：n d a n d d n n na a a n S n )2(22)1(2)(12121-+=-+=+=3.等差数列的常用性质已知{a n }为等差数列，d 为公差，S n 为该数列的前n 项和．(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *)；(2)在等差数列{a n }中，当m ＋n ＝p ＋q 时，a m ＋a n ＝a p ＋a q (m ，n ，p ，q ∈N *)．特别地，若m ＋n ＝2p ，则2a p ＝a m ＋a n (m ，n ，p ∈N *)；(3)a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…仍是等差数列，公差为md (k ，m ∈N *)；(4)S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，…也成等差数列，公差为n 2d ；(5)S 2n -1=(2n-1)a n ；(6)若{a n }，{b n }是等差数列，则{pa n ＋qb n }也是等差数列；(7)若{a n }是等差数列，则⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S n 也成等差数列，其首项与{a n }首项相同，公差是{a n }公差的12.作差法当条件暗示S n 与a n 或者S n 与n 的关系式时，适合作差：若数列{a n }的前n 项和为S n ，则a n 1，n ＝1，n －S n －1，n ≥2.必明易错1．易混项与项数，它们是两个不同的概念，数列的项是指数列中某一个确定的数，而项数是指数列的项对应的位置序号．2．在利用数列的前n 项和求通项时，往往容易忽略先求出a 1，而是直接把数列的通项公式写成a n ＝S n －S n －1的形式，但它只适用于n ≥2的情形．3.检验a 1的值是否满足(2)中的表达式，若不满足，则分段表示a n .4.写出a n 的完整表达式考向一：由n 与S n 的关系求通项公式例1已知数列{a n }的前n 项和为S n ，求{a n }的通项公式．(1)S n ＝2n 2－3n ；(2)S n ＝3n ＋1.[解题技法]已知S n 与n 的关系，求a n 的3个步骤(1)先利用a 1＝S 1求出a 1；(2)用n －1替换S n 中的n 得到一个新的关系，利用a n ＝S n －S n －1(n ≥2)便可求出当n ≥2时a n 的表达式；(3)注意检验n ＝1时的表达式是否可以与n ≥2时的表达式合并．【举一反三】1、已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋2n ，则a n ＝________.2、已知数列{a n }的前n 项和Sn ＝2n －3，则数列{a n }的通项公式是。
高三数学等差和等比数列的通项及求和公式
q 1 q 1
2.如果某个数列前n项和为Sn，则
an
SS1n
S n 1
n n
1 2
3.在等差(比)数列中，Sn，S2n-Sn，S3n-S2n，…，Skn-S(k-1)n… 成等差(比)数列.其中Sn为前n项的和.
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课前热身
1.在某报《自测健康状况》的报道中，自测血压结果与相应 年龄的统计数据如下表，观察表中数据的特点，用适当的数 填入表中空白( )内.
Байду номын сангаас
3.一个等差数列的前12项和为354，前12项中偶数项和与奇 数项和之比为32∶27，求公差d.
【解题回顾】在等差数列{an}中： (1)项数为2n时，则S偶-S奇＝nd，S奇 / S偶＝an / an+1； (2)项数为2n-1时，则S奇-S偶＝an，S奇/ S偶＝n/(n-1)，S2n-1= (2n-1)an，当{an}为等比数列时其结论可类似推导得出．
第2课时 等差、等比数列的通 项及求和公式
• 要点·疑点·考点 •课 前 热 身 • 能力·思维·方法 • 延伸·拓展
•误 解 分 析
要点·疑点·考点
1.等差数列前n项和
Sn
a1
an 2
n
na1
nn 1
2
d
等比数列前n项和 Sn naa1 11 qn
1 q
4.已知数列{an}的前n项和Sn=32n-n2，求数列{|an|}的前n项和Sn
S’n ．
【解题回顾】
一般地，数列{an}与数列{|an|}的前n项和Sn与Sn：当ak≥0 时，有 Sn Sn；当ak＜0时，Sn Sn ( k =1，2，…，n).若在
专题13 数列通项公式的四种常见求法(解析版)
专题13 数列通项公式的四种常见求法目录类型一：累加法..........................................................................................................................................................1类型二：累乘法..........................................................................................................................................................2类型三：已知S n 求a n .................................................................................................................................................3类型四：构造法求通项. (4)类型一：累加法题型专练：1．（2023·河北石家庄·统考一模）中国古代许多著名数学家对推导高阶等差数列的求和公式很感兴趣，创造并发展了名为“垛积术”的算法，展现了聪明才智.南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，所讨论的二阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是后项减前项之差组成的新数列是等差数列.现有一个“堆垛”，共50层，第一层2个小球，第二层5个小球，第三层10个小球，第四层17个小球，...，按此规律，则第50层小球的个数为（ ）A ．2400B ．2401C ．2500D ．2501【答案】D【分析】依据等差数列的定义与求和公式，累加法计算即可.【详解】不妨设第n 层小球个数为a n ，由题意，a 2−a 1=3， a 3−a 2=5……，即各层小球之差成以3为首项，类型二：累乘法满分策略：当出现a na n−1=f(n)时，一般用累乘法求通项。
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∴{an-an-1} 是以 a2-a1=
为首项,
1公比为 2
的等比数列.
1 2
∴an-an-1=
( 12)n-2=12( )n-1.
1 2
∴an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)
=1+
1 +2(
)2+12…+(
)n-1
1 2
=2-21-n.
即 an=2-21-n.
3.已知数列 {an} 中, a1=1, an+1= an+1(nN*)12, 求 an.
典型例题
1.在数列 {an} 中, a1=1, Sn=
(n≥2S2S)n,-n1-求+1 1an.
解: 由 Sn=
2SSn知-n1-+1: 1
1Sn
1 Sn-1=2.
∴{ 1}是以 = 1=1 为1首项, 公差为 2 的等差数列.
Sn
S1 a1
∴ S1=n1+2(n-1)=2n-1.
∴Sn= 2n-1.1
=
.
bn-1
故 an= (2)由已知
b2-1,
n=1,
(1-b)n+3b-2 bn-1
, n≥2.
(1-b)(n+1)+3b-2 bn >
(1-b)n+3b-2
对 nb≥n-14 恒成立.
即 (n-3)b2-2(n-2)b+(n-1)>0 对 n≥4 恒成立.
亦即 (b-1)[(n-3)b-(n-1)]>0 对 n≥4 恒成立.
解法二 由解法一知 an-an-1=21-n,
又 an= a12n-1+1,
消去 an-1 得 an=2-21-n.
解法三
∵ an= a12n-1+1,
令 an+= (an12-1+),
则 =-2.
∴ an-2= (a12n-1-2).
∴{an-2} 是以 a1-2=-1 为首项, 公比为
∴an-2=-(
四、化归法
通过恰当的恒等变形, 如配方、因式分解、取对数、取倒数等, 转化为等比数列或等 差数列.
(1)若 an+1=pan+q, 则:
(2)若 an+1=
pan r,+则qa:n
(3)若 an+1=pan+q(n), 则:
an+1-=p(an-).
1 an+1
=
rp·
1 an+
an+1
an
pn+1 = pn+
4 解得 a=0,
b=1,
或
a=-
6 ,5
26 b= .
∴Sn=n 或 Sn=-
n2+ 6 n. 5
26 5
5
在等差数列中, n≥2 时, an=Sn-Sn-1, a1 亦适合公式.
∴an=1 或 an=-
12 n+ 5 .
32 5
5.设 Sn 是等差数列 {an} 的前 n 项和. 已知 的等差中项1为 1, 求1等差数列1{an} 的通项 an.
=n2-7n+32.
故 Tn=
-n2+7n+8, n≤4,
n2-7n+32, n≥5.
3.已知数列 {an} 中, a1=1, an+1= an+1(nN*)12, 求 an.
解法一 ∵an+1= an+1(12nN*),
∴an=
1 a2n-1+1, an-1=
1 an-2+12.
两式相减得: an-an-1= (an-1-an12-2)
故猜想: an=4-23-n+21-na, 用数学归纳法证明如下: 证明从略.
故 an=4-23-n+21-na.
解法二: 构造等比数列求解(略).
7.设数列 {an} 是公差不为 0 的等差数列, Sn 是数列 {an} 的前 n 项和, 且 S32=9S2, S4=4S2, 求数列 {an} 的通项公式.
解: (1)设数列 {an} 的公差为 d, 则由已知得 3a1+3d=12, ∴d=2. ∴an=2+(n-1)2=2n.
又 a1=2,
故数列 {an} 的通项公式为 an=2n.
(2)由 bn=an3n=2n3n 得数列 {bn} 前 n 项和
Sn=23+432+…+(2n-2)3n-1+2n3n
当 a1= 时49, d= .
8 9
∴an=
+4 (n8-1)= 99
n-
.8 9
4 9
故数列 {an} 的通项公式为 an= n- .
8 9
4 9
8.已知数列 {an} 是等差数列, 且 a1=2, a1+a2+a3=12, (1)求数列 {an} 的通项公式; (2)令 bn=an3n, 求数列 {bn} 前 n 项和的公式.
S3 与
S4
的等比中1 项为 3
S145,
5
3
4
S3 与 S4
解法2: ∵Sn 是等差数列的前 n 项和, 故可设 Sn=an2+bn,
1 (a32+b 3) (a142+b4)= (a52+b15)2,
依题意得:
3
4
1 (a32+b3)+ (a142+b4)=2.
25
பைடு நூலகம்
整理得
3
13a2+3ab=0, 7a+2b=2.
①
∴3Sn=232+433+…+(2n-2)3n+2n3n+1 ②
将 ① 式减 ② 式得:
-2Sn=2(3+32+…+3n)-2n3n+1=3(3n-1)-2n3n+1.
3(1-3n)
∴Sn=
+n3n+1. 2
解: 设等差数列 {an} 的公差为 d,
由 Sn=na1+
n(n-1)d 2及已知条件得:
由 ② 得: d=2a1, 代入 ① 有: 9a12=4a1.
解得: a1=0 或 a1= .
4 9
(3a1+3d)2=9(2a1+d), ① 4a1+6d=4(2a1+d), ②
当 a1=0 时, d=0, 与已知条件矛盾, 舍去;
n(n-1)d
则通项公式为 an=a+(n-1)d,
前 n 项和为 Sn=na+
. 2
依题意有
1 3
S3
14S4=(
S155)2, (S50)
1 3
S3+
14S4=2,
由此可得:
1 (3a+3d) (41a+6d)= (5a+110d)2,
3
4
25
1 (3a+3d )+ (41a+6d)=2.
3
4
整理得
3ad+5d2=0, 4a+5d=4.
解得
d=0, a=1,
d=-
12 ,
或
5
a=4.
∴an=1 或 an=-
12 n+ 5 .
32 5
经验证知 an=1 时, Sn=5; 另一种情况时, Sn=-4, 均合题意. ∴an=1 或 an=- n+ 152即为所352求数列 {an} 的通项公式.
5.设 Sn 是等差数列 {an} 的前 n 项和. 已知 的等差中项1为 1, 求1等差数列1{an} 的通项 an.
1
6.已知 an+1=2+ an(n∈2 N+), 且 a1=a, 求 an.
解: a1=a =4-22+20a,
a2=2+
a1 2
=4-21+2-1a,
a3=2+
a122=3+
a
1 4
=4-20+2-2a,
a4=2+ a123=
7 + 2a
1 8
=4-2-1+2-3a,
a5=2+ a124
=4-2-2+2-4a,
∵b>1, ∴b>
nn对--31n≥4 恒成立.
而 nn--31当 n=4 时有最大值 3,
∴b>3.
5.设 Sn 是等差数列 {an} 的前 n 项和. 已知 的等差中项1为 1, 求1等差数列1{an} 的通项 an.
S3 与
S4
的等比中1 项为 3
S145,
5
3
4
S3 与 S4
解法1: 设等差数列 {an} 的首项 a1=a, 公差为 d,
.
q p
q(n) .
pn+1
(4)若 an+1=panq, 则:
lgan+1=qlgan+lgp.
五、归纳法
先计算数列的前若干项, 通过观察规律, 猜想通项公式, 进而用数学归纳法证之.
例 已知数列 {an} 满足: a1=1, an+1 =2an+3×2n-1, 求 {an} 的通项公式. an=(3n-1)×2n-2
)n-11. 2
的等比数列.
1 2
即 an=2-21-n.
4.数列 {an} 的前 n 项和 Sn 满足条件 lgSn+(n-1)lgb=lg(bn+1+n-2), 其中, b>0 且 b1. (1)