太原市2017~2018学年第一学期高三期末考试数学理科试卷及答案
山西省太原市2017届高三上学期期末考试数学理试题 Word版含答案
太原市2016—2017学年第一学期高三年级期末考试数学试卷（理科） 第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1.已知集合{}{}0,1,|12A B x x ==-≤≤，则A B = A. {}0,1 B. {}1,0,1- C. []1,1- D.{}12.设复数21iz i=+，则其共轭复数为 A. 1i -- B. 1i - C. 1i -+ D.1i +3.给出下列命题：①若数列{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，则232,,n n n n n S S S S S --是等差数列； ②若数列{}n a 为等比数列，n S 为其前n 项和，则232,,n n n n n S S S S S --是等比数列； ③若数列{}{},n n a b 均为等差数列，则数列{}n n a b +为等差数列； ④若数列{}{},n n a b 均为等比数列，则数列{}n n a b ⋅为等比数列 A. 1 B. 2 C. 3 D.44.设,αβ为两个不同的平面，l 为直线，则下列结论正确的是 A.//,l l ααβα⊥⇒⊥ B. ,//l l ααβα⊥⊥⇒ C. //,////l l ααββ⇒ D. ,//l l ααββ⊥⇒⊥5.已知sin 0αα=，则tan 2α=A.3 B. 3-6.执行如图所示的程序框图，输入1,5x n =-=，则输出s = A. -2 B. -3 C. 4 D.37.如图是一个棱锥的正视图和侧视图，则该棱锥的俯视图可能是8.将函数()2cos sin f x x x x =+的图象上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，再沿x 轴向右平移6π个单位，得到函数()y g x =的图象，则()y g x =的一个递增区间是 A. 5,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B. ,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C. 4,123ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ D. ,04π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦9.在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 相交于点F ，则AF =A. 1142AC BD +B. 1124AC BD +C. 1223AC BD +D. 2133AC BD +10. 已知平面区域()33,,32233x y D x y z x y x y x y ⎧⎫⎪⎪+≥⎪⎪==-⎨⎬-≤⎪⎪⎪⎪+≤⎩⎭，若命题()00",,"x y D z m ∃∈>为假命题，则实数m 的最小值为A. 34B. 74C. 214D. 25411.如图，正方体1111ABCD A BC D -绕其体对角线1BD 旋转θ之后与其自身重合，则θ的值可以是A. 56πB. 34πC. 23πD. 35π12.已知()22,01,0x x e ax x f x ax x e⎧+>⎪=⎨-<⎪⎩，若函数()f x 有四个零点，则实数a 的取值范围是A. 1,e ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭B. (),e -∞-C. (),e +∞D. 1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13.数据0.7,1,0.8,0.9,1.1的方差是 .14.七名同学战成一排照相，其中甲、乙二人相邻，且丙、丁两人不相邻的不同排法总数为 .15.已知数列{}n a 的前n 项和()221n n n S a n N *=-+∈，则其通项公式n a = .16.已知,,a b c 分别是ABC ∆的内角,,A B C 的对边，BC 边上的高为2a ，则cb的最大值为 .三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17.（本题满分12分）已知数列{}n a 是首项为1的单调递增的等比数列，且满足3455,,3a a a 成等差数列. （1）求{}n a 的通项公式；（2）若()()31log n n n b a a n N *+=⋅∈，求数列{}n n a b ⋅的前n 项和n S .18.（本题满分12分）如图，已知AD 是ABC ∆内角BAC ∠的角平分线. （1）用正弦定理证明：AB DBAC DC=； （2）若120,2,1BAC AB AC ∠===，求AD 的长.19.（本题满分12分）甲、乙两人玩一种游戏，游戏规则如下：先将筹码放在如下表的正中间D 处，投掷一枚质地均匀的硬币，若正面朝上，筹码向右移动一格；若反面朝上，筹码向左移动一格.（1）将硬币连续投掷三次，现约定：若筹码停在A 或B 或C 或D 处，则甲赢；否则，乙赢.问该约定对乙公平吗？请说明理由.（2）设甲、乙两人各有100个积分，筹码停在D 处，现约定：①投掷一次硬币，甲付给乙10个积分；乙付给甲的积分数是，按照上述游戏规则筹码所在表中字母A-G 下方所对应的数目；②每次游戏筹码都连续走三步，之后重新回到起始位置D 处. 你认为该规定对甲、乙二人哪一个有力，请说明理由.20.（本题满分12分）如图，在六面体1111ABCD A BC D -中，,M N 分别是棱1111,A B BC 的中点，平面ABCD ⊥平面11A B BA ，平面ABCD 平面11B C CB . （1）证明：1BB ⊥平面ABCD ；（2）已知六面体1111ABCD A BC D -3cos 5BAD ∠=，设平面BMN 与平面11AB D 相交所成二面角的大小为θ求cos θ.21.（本题满分12分）已知函数()()ln xx f x ax x a R e =-∈在1x =处的切线方程为()11.y bx b R e=++∈ （1）求,a b 的值； （2）证明：()2.f x e<（3）若正实数,m n 满足1mn =，证明 ：()112m nm n e e +<+.请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果两题都做，则按照所做的第一题给分；作答时，请用2B 铅笔将答题卡上相应的题号涂黑。
山西省太原市2018届高三数学上学期期末考试试题理
山西省太原市2018届高三数学上学期期末考试试题理第I卷（共60分）、选择题：本大题共12个小题，每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有项是符合题目要求的1.已知集合A={x|3x 2 0}，B ={x|(x 1)(x — 3) 0}，则AR B 二( )2 2A. （ - ：：, J）B- （3，=：） C - （-：：,—1）U（，儿a） D - （—1,）3 3 2.某中学初中部共有110名教师，高中部共有150名教师，根据下列频率分布条形图（部分）可知，该校女教师的人数为（）0.8A. 93 B . 123 C . 137 D . 1673. 已知a , b都是实数，那么“ 2a-2b”是“ a2b2”的（）A.充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件D .既不充分也不必要条件4. 对于复数z ,定义映射f : z》zi.若复数z在映射f作用下对应复数2+3i ,则复数z在复平面内对应的点位于（）A.第四象限B .第三象限 C. 第二象限 D .第一象限5. 等差数列｛a n｝的前n项和为S n, S3 =9 , S6=36，则a^ （）A. 21 B . 15 C.12 D . 91 36. 已知x （3,1）, a = ln x , b = 21 n x , c = In x，那么（）A. a :: b ； c c a : b C. b ：：ac D .b：c：an JI7.已知sin( )那么cos(— 2 )=( )3 3 3A. 10 B . 12 C.60 D . 651 59. (x • 1)5展开式中的常数项为()xA. 1 B . 21C.31 D. 512的球挖去一个三棱锥得到（三棱锥的顶点均在球面上）该几何体的三视图如图所示（侧视图中的四边形为菱形），则该三棱锥的体积为（）16 312.已知函数 f(x)=ln(x+1), g(x)=kx ( k^N )，若对任意的(0,t) (t=0)，恒有55D-2-3-2-3 -B5 - 9 -A8.下图是实现秦九韶算法的一个程序框图，若输入的 则输出的S 二（）x =5，n =2,依次输入的a 为2,2,5，1・10.已知函数y =3-、1-x •、一 3x • 9的最大值为M，最小值为m ，则M 的值为（A. 1 C D .辽22311.已知一个几何体是由半径为 A.C./ 4/L1 ~z| f (x) -g(x) I ：：： X 2，那么k 的取值集合是( )A {1}B . {2} C. {1,2} D . {1,2,3}第n 卷(共90分)二、 填空题(每题 5分，满分20分，将答案填在答题纸上)X +113. 已知函数f(x)，x ・[2,5]，贝U f (x)的最大值是x _114. 不共线的三个平面向量 a , b , c 两两所成的角相等，且|a|=|b|=1 , |c|=3，贝U| a b _ c | 二 __________ .15. 已知 f (log 2 x) =x 270，那么 f (0) f (1) ||| f (6) = _________________ . 16. 已知三棱柱 ABC -ABQ 所有棱长均相等，且• BAA , H /CAA , =60，那么异面直线AB 1与BC 1所成的角的余弦值为 ____________ .三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .)17. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ,且S n 二印(2"-1), a 4 =16 , N * .(1)求a 1及数列{a n }的通项公式;18. ABC 的内角A , B , C 的对边分别为a , b , c ，已知tan A tan B3 = 3 tan Atan B .(1) 求角C ;(2) 若c =3, ABC 的面积为 4，求 ABC 的周长.219.在某年级的联欢会上设计了一个摸奖游戏，在一个口袋中装有 些球除颜色外完全相同，一次从中摸出 3个球.(1)设•表示摸出的红球的个数，求 •的分布列和数学期望;(2)为了提高同学们参与游戏的积极性，参加游戏的同学每人可摸球两次，每次摸球后放回,(2)设b na n，求数列{b n }的最大项.3个红球和7个白球，这| f (x) -g(x) I：：： X2，那么k的取值集合是( )若规定两次共摸出红球的个数不少于n，且中奖概率大于60%寸，即中奖，求n的最大值.2 [320.如图，在四棱锥P 一ABCD 中，PD _ AB , PD _ BC , AB AD , BAD =30 ." " 3(1)证明：AD _ PB ;(2)若PD 二AD , BC 二CD , . BCD 二60，求二面角A - PB -C 的余弦值•21. 已知函数f(x) 丁 ( m = 0 )有极小值.e(1)求实数m的取值范围；(2)若函数h(x) =x2，e x(lnx-ax 1)在x 0时有唯一零点，求实数a的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，写清题号.如果多做，则按所做的第一题记分.22. 选修4-4 :坐标系与参数方程在极坐标系中，曲线C的极坐标方程=2、、2 COST - 2sin .以极点为原点，极轴为x轴非负半轴建立平面直角坐标系，且在两坐标系中取相同的长度单位，直线I的参数方程为(t为参数).y =3(1)写出曲线C的参数方程和直线I的普通方程；(2)过曲线C上任意一点M作与直线l相交的直线，该直线与直线l所成的锐角为30，设交点为A，求|MA |的最大值和最小值，并求出取得最大值和最小值时点M的坐标.23. 选修4-5 :不等式选讲设函数f (x) =| x 1| • |x - 2| g(x) - -X2• 5x-4.(1)求不等式f(x)乞5的解集M ；(2)设不等式g(x) -0的解集为N，当x M「IN时，证明：f(x^ig(x) 3.试卷答案一、 选择题1-5:BCDAB 6-10:CADDB 11 、12: CA二、 填空题亿由题得 a 4 = S 4 -■& = 8a^ = 16，解得 a^ = 2 , 故 S n =2n 1 —2 , 则 n _ 2 时，a^ S n - S n j = 2，令 n = 1 , a^ 2 成立, 所以数列｛a .｝的通项公式为a . =2n .2 2 2—n -- (n 1) n(2)b n n ， 6 1 - b nnrn2 2 22当1乞n 空2时，—n ・2n 1 0，则b n d b n ，2当 n_3时，—n ，2n • 1 ：：： 0，则 b n 1 ::: b n , 故数列｛b n ｝前3项依次递增，从第 3项开始依次递减,9所以数列｛b n ｝的最大项为b s.818. ( 1)由 tan A tan B 、3 = , 3 tan Atan B 得2兀 兀又0 ：： A B ：：二，则 A B ，故 C -(A B) .33sin A sin B ：，3 sin Asin B另解：由已知得3 =cos A cos Bcos A cos B则 sin(A B) 、,3COS (A B) = 0 ,即卩 tan(A B^ - .3， 又0 ：： A B ：： ■:，13.3 14.4 三、解答题15.2017 16.2_66tan (A B)二tan A tan B 1 -tan Atan B3 tan Atan B - ：.31 -tan Atan B-n 22 n 1 2n 1⑵由余弦定理及（"，得c 2 “2 +b 2 —2ab 吨，则宀b 2 4 = 9 , 1 absin C 2则(a b)2 =a 2 b 2 2ab =ab 9 2ab =27，即 a b =3. 3 , 所以 ABC 的周长为3 3、、3.19.=0,1,2,3,（2）设两次共摸出红球的个数为 ，贝U =0,1,2,3,4,5,620. (1)由 PD _ AB , PD _ BC , AB 门 BC = B ，得 PD _ 平面 ABCD ,从而PD _ AD .又在 ABD 中，又余弦定理得BD 2=AD 2AB 2-2AD|_AB COS 30‘ 二1 AD 2,— 3则有 AD 2 BD 2 二 AB 2，所以 ADB =90，即 AD _ DB , 又 PDp|DB 二 D , 则有 AD _ DB = D ,则'的分布列为的数学期望为 7 217 1E( ) =0123 -244040120 910又 S ABC c 3P ( =0) =3C10玉，P （T ）=Cf_7"40，P ( =3)占C101 1201P( =6), P( =5)=120120 口 2716 □ 〜〜 廿P( =3) , P( =3) ,P('.=1) = 120F20 120^120— 门 1 +42+567 +2716 +5439 则有 P( -2) 60.8% , 42 4^ , P( =4) 120 120 5439567 120 120 ，441120 120则有AD _平面PDB ，故AD _ PB •(2)以D 为原点建立如图所示空间直角坐标系 D 一 xyz , 设 AD 「3，则 AC 3,0,0)，P(0,0, . 3)，B(0,1,0)，C(—仝丄0)，2 2£「弓 x -£y=0,令 x=in|_BP - - y . 3z = 0,则有 y = -..3，z = -1，故 n =(1,-、3 -1)，m_n-3 3 所以 cos ：： m, n ：I m n |53由图知，二面角 A - PB - C 的余弦值为5 21.( 1)函数定义域为 R ，f '(x)二 m(x ^1)，令 f '(x) = 0，得 x =1，e当 m • 0时，若 x 1，则 f '(x) • 0 ；若 x : 1，则 f '(x) <0，故 f '(x) ：：： 0 在 x = 1 处取得极 小值，当 m ：：： 0时，若 x 1，贝U f '(x) <0 ；若 x 1，贝U f '(x) 0，故 f '(x) ：：： 0 在 x = 1 处取得极 大值.所以实数m 的取值范围是(0,x ln x +1(2)函数h(x^ x 2 e x (lnx-ax ，1)在x 0时有唯一零点，即方程xa 在e xx 0时有唯一实根，x1 由(1)知函数p(x) x 在x =1处取得最小值-―，eeln x 1八 lnx设 g(x)a , g (x) 厂，令 g '(x) = 0 ,有 x = 1 ,xx设平面PBC 的一个法向量为 n =(x, y,z)，则有设平面APB 的一个法向量为 m=(x,y,z)，则列表如下3，故 X =1 时，g(X )max =g(1) =1 -a , 又 x —. 0时，g(x) )-：： ； x — 时，p(x)r 0 , g(x)r a , x In x 1 1 - 一所以万程 x a 有唯一实根， 1 -a 或-a _ 0 ,此时a 的取值范围为 e x e 1 {a | a = 1 或 a 乞 0} • e 22. (1)曲线C 的直角坐标方程为 x 2 • y 2 -2、.2x-2y =0 , 表示圆心为CC ，2,1)，半径为r = 3的圆， x =近+ J 3 COS 0 化为参数方程为 (二为参数) y =1 + 巧 sin 日 直线l 的普通方程为.2x-y ・3=0. 1 (2)由题知点 M 到直线l 的距离d | MA |， 2 设点 M (、2 、一3cos^1 ；3sin 力. 则有点M 到直线l 的距离d / -忌阮壮込二| _ |4_3sin d )|当 sin(， ) = -1 即 时，d min 二2其中cos sin 屮= ---- ， 3， 当 sin(二:)=1， 即 - = _ 时, 2 d max7^，|MA|max 14、3 此匕时 cos 31 -sin ’ 卫，sin^cos — 3 f ，M(")；此时cos J - - sin 二一—6，sin - cos = —3，M (0,2).33，综上，点M坐标为(2・、2,0)时，|MA |max 二，点M 的坐标为(0, 2)时，I MA |min323. (1) f (x) <5：= |x ■ 1| • |x 一2|冬5 ,工「一1：：：x：：：2, 工x_2, —则有①或②或③[2x + 4 启0, ^<0, 2x—6兰0,解①得-2乞x乞-1，解②得-1 ：：：x :: 2，解③得2乞x乞3 ,则不等式的解集为M二{x | _2乞x乞3}.2(2) g(x)亠0= x -5x 4 込0，解得1^x込4，则N ={x|1 込x 込4}，所以M "N ={x|1乞x乞3}.当1乞x^2时,5 9 f(x)=3，f (x)「g(x)「3 二x2「5x 4 二(x )2 _2 4由一3冬x—5冬一1，有(x -§)2-9乞0，贝U f(x)乞g(x) 3成立.2 2 2 2 4综上，f(x) 一g(x) 3成立.注：以上各题，其他正确解法相应得分。
山西省太原市2017届高三上学期期末考试数学理试题含解析
太原市2016—2017学年第一学期高三年级期末考试数学试卷（理科） 第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1.已知集合{}{}0,1,|12A B x x ==-≤≤，则AB =A. {}0,1B. {}1,0,1-C. []1,1-D.{}12.设复数21iz i=+，则其共轭复数为 A. 1i -- B. 1i - C. 1i -+ D.1i +3.给出下列命题：①若数列{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，则232,,n n n n n S S S S S --是等差数列； ②若数列{}n a 为等比数列，n S 为其前n 项和，则232,,n n n n n S S S S S --是等比数列； ③若数列{}{},n n a b 均为等差数列，则数列{}n n a b +为等差数列； ④若数列{}{},n n a b 均为等比数列，则数列{}n n a b ⋅为等比数列 A. 1 B. 2 C. 3 D.44.设,αβ为两个不同的平面，l 为直线，则下列结论正确的是 A.//,l l ααβα⊥⇒⊥ B. ,//l l ααβα⊥⊥⇒ C. //,////l l ααββ⇒ D. ,//l l ααββ⊥⇒⊥5.已知sin 0αα=，则tan 2α=A.3 B. 3- D.6.执行如图所示的程序框图，输入1,5x n =-=，则输出s = A. -2 B. -3 C. 4 D.37.如图是一个棱锥的正视图和侧视图，则该棱锥的俯视图可能是8.将函数()2cos sin f x x x x +的图象上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，再沿x 轴向右平移6π个单位，得到函数()y g x =的图象，则()y g x =的一个递增区间是A. 5,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B. ,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C. 4,123ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ D. ,04π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦9.在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 相交于点F ，则AF =A.1142AC BD + B. 1124AC BD + C. 1223AC BD + D. 2133AC BD +10. 已知平面区域()33,,32233x y D x y z x y x y x y ⎧⎫⎪⎪+≥⎪⎪==-⎨⎬-≤⎪⎪⎪⎪+≤⎩⎭，若命题()00",,"x y D z m ∃∈>为假命题，则实数m 的最小值为 A.34 B. 74 C. 214 D. 25411.如图，正方体1111ABCD A B C D -绕其体对角线1BD 旋转θ之后与其自身重合，则θ的值可以是 A.56π B.34π C.23πD.35π12.已知()22,01,0x x e ax x f x ax x e⎧+>⎪=⎨-<⎪⎩，若函数()f x 有四个零点，则实数a 的取值范围是A. 1,e ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭B. (),e -∞-C. (),e +∞D. 1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13.数据0.7,1,0.8,0.9,1.1的方差是 .14.七名同学战成一排照相，其中甲、乙二人相邻，且丙、丁两人不相邻的不同排法总数为 .15.已知数列{}n a 的前n 项和()221nn n S a n N*=-+∈，则其通项公式na= .16.已知,,a b c 分别是ABC ∆的内角,,A B C 的对边，BC 边上的高为2a ，则cb的最大值为 .三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17.（本题满分12分）已知数列{}n a 是首项为1的单调递增的等比数列，且满足3455,,3a a a 成等差数列. （1）求{}n a 的通项公式；（2）若()()31log n n n b a a n N *+=⋅∈，求数列{}n n a b ⋅的前n 项和n S . 18.（本题满分12分）如图，已知AD 是ABC ∆内角BAC ∠的角平分线. （1）用正弦定理证明：AB DBAC DC=； （2）若120,2,1BAC AB AC ∠===，求AD 的长.19.（本题满分12分）甲、乙两人玩一种游戏，游戏规则如下：先将筹码放在如下表的正中间D 处，投掷一枚质地均匀的硬币，若正面朝上，筹码向右移动一格；若反面朝上，筹码向左移动一格.（1）将硬币连续投掷三次，现约定：若筹码停在A 或B 或C 或D 处，则甲赢；否则，乙赢.问该约定对乙公平吗？请说明理由.（2）设甲、乙两人各有100个积分，筹码停在D 处，现约定：①投掷一次硬币，甲付给乙10个积分；乙付给甲的积分数是，按照上述游戏规则筹码所在表中字母A-G 下方所对应的数目；②每次游戏筹码都连续走三步，之后重新回到起始位置D 处. 你认为该规定对甲、乙二人哪一个有力，请说明理由. 20.（本题满分12分）如图，在六面体1111ABCD A B C D -中，,M N 分别是棱1111,A B B C 的中点，平面ABCD ⊥平面11A B BA ，平面ABCD 平面11B C CB . （1）证明：1BB ⊥平面ABCD ；（2）已知六面体1111ABCD A B C D -53cos 5BAD ∠=，设平面BMN 与平面11AB D 相交所成二面角的大小为θ求cos θ.21.（本题满分12分）已知函数()()ln x xf x ax x a R e =-∈在1x =处的切线方程为()11.y bx b R e=++∈（1）求,a b 的值；（2）证明：()2.f x e<（3）若正实数,m n 满足1mn =，证明 ：()112m n m n e e+<+. 请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果两题都做，则按照所做的第一题给分；作答时，请用2B 铅笔将答题卡上相应的题号涂黑。
山西省太原市2017届高三模拟考试数学理科试题（一）含答案
⼭西省太原市2017届⾼三模拟考试数学理科试题（⼀）含答案⼭西省太原市2017届⾼三模拟考试（⼀）理科数学第Ⅰ卷（共60分）⼀、选择题：本⼤题共12个⼩题,每⼩题5分,共60分.在每⼩题给出的四个选项中，只有⼀项是符合题⽬要求的.1. 已知集合(){}1A x y lg x ==+，}2{B x x =<，则A B ?= （） A ．()2,0- B ．()0,2 C. ()1,2- D ．()2,1--2. 已知2zi i =-，则复数z 在复平⾯内对应的点的坐标是（） A ．()1,2-- B ．()1,2- C. ()1,2- D ．()1,23．已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，则()()135810336a a a a a a ++++=，则11S =（） A ． 66 B ．55 C.44 D ．33 4．已知()()1,,,1a cosa b sina ==，且0απ<<，若a b ⊥，则α=（）A ．23π B ．34π C. 4π D ．6π 5.函数()cos xf x x=的图像⼤致为（）A ．B ． C. D ．6. 已知圆22:1C x y +=,直线():2l y k x =+,在[]1,1-上随机选取⼀个数k ,则事件“直线l 与圆C 相离”发⽣的概率为（）A ．12B7. 执⾏如图的程序框图，已知输出的[]0,4s ∈。
若输⼊的[],t m n ∈，则实数n m -的最⼤值为（）A ．1B ．2 C.3 D ．48. 某⼏何体的三视图如图所⽰，则该⼏何体的表⾯积为（）A ．61π+ B．(2414π+C. (23142π+ D．(2314π++()1:,,10P x y D x y ?∈++≥ ()2:,,220P x y D x y ?∈-+≤()224:,,2P x y D x y ?∈+≤其中真命题的是（）A ．12,P PB ．23,P P C. 24,P P D ．34,P P10. 已知抛物线24y x =的焦点为F ，过焦点F 的直线交抛物线于A B 、两点，O 为坐标原点，若AOB ?的⾯积为，则AB =（） A ．6 B ．8 C. 12 D ．1611. 已知函数()()0f x sinwx w >=，若⽅程()1f x =-在()0,π上有且只有四个实数根，则实数w 的取值范围为（）A ．137,62?? ???B ．725,26?? ??? C. 2511,62?? ??? D ．1137,26?? ???12. 设函数()()23202f x x ax a -=>与()2f x a lnx b =+有公共点，且在公共点处的切线⽅程相同，则实数b 的最⼤值为（） A ．212e B ．212e C. 1e D ．232e - 第Ⅱ卷（共90分）⼆、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知()()11,,1a b t =-= ，,若()()//a b a b +- ,14. 已知双曲线经过点(1,，其⼀条渐近线⽅程为2y x =，则该双曲线的标准⽅程为．15. 已知三棱锥A -16.三、解答题（本⼤题共6⼩题，共70分.解答应写出⽂字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知,,a b c 分别是ABC ?的内⾓,,A B C 所对的边，2,a bcosB b c =≠. （1）证明：2A B = ；（2）若2222a c b acsinC +=+,求A .18. 某知名品牌汽车深受消费者喜爱，但价格昂贵。
山西省太原市高三上学期期末数学试卷(理科)
山西省太原市高三上学期期末数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共10题；共20分)1. （2分） (2017高一上·闽侯期中) 设集合，，则（）A .B .C .D .2. （2分） (2018高二上·鹤岗期中) 直线的倾斜角为（）A .B .C .D .3. （2分） (2019高一下·山西月考) 在中，角，，所对的对边分别为，，，若，则（）A . 30°B . 60°C . 120°D . 150°4. （2分）(2018·长安模拟) 如果实数满足条件，那么的最大值为（）A .B .C .D .5. （2分） (2017高一上·咸阳期末) 设a=（），b=（），c=log3 ，则a，b，c的大小关系是（）A . b＜a＜cB . c＜b＜aC . c＜a＜bD . b＜c＜a6. （2分）(2017·通化模拟) 命题p：∀x∈（﹣∞，0），2x＞3x；命题q：∃x∈（0，+∞），＞x3；则下列命题中真命题是（）A . p∧qB . （￢p）∧qC . （￢p）∨（￢q）D . p∧（￢q）7. （2分）(2014·辽宁理) 将函数y=3sin（2x+ ）的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数（）A . 在区间[ ， ]上单调递减B . 在区间[ ， ]上单调递增C . 在区间[﹣， ]上单调递减D . 在区间[﹣， ]上单调递增8. （2分）(2017·揭阳模拟) 若 =（cos20°，sin20°）， =（cos10°，sin190°），则• =（）A .B .C . cos10°D .9. （2分）(2017·和平模拟) 已知函数f（x）= ，若关于x的方程f（x）﹣m=0恰有五个不相等的实数解，则m的取值范围是（）A . [0，4]B . （0，4）C . （4，5）D . （0，5）10. （2分）过原点的直线与圆有公共点，则直线的倾斜角的取值范围是（）A .B .C .D .二、填空题 (共5题；共6分)11. （1分）已知随机变量ξ满足Dξ=2，则D（2ξ+3）=________．12. （1分） (2017高一下·会宁期中) 求值：2log3 +log312﹣0.70+0.25﹣1=________．13. （1分）(2017·沈阳模拟) 某班共46人，从A，B，C，D，E五位候选人中选班长，全班每人只投一票，且每票只选一人．投票结束后（没人弃权）：若A得25票，B得票数占第二位，C、D得票同样多，得票最少的E只得4票，那么B得票的票数为________．14. （1分） (2016高二上·怀仁期中) 长方体被一平行于棱的平面截成体积相等的两个几何体，其中一个几何体的三视图如图所示，则长方体的体积为________．15. （2分）已知双曲线与椭圆有相同的焦点，且以x+y为其一条渐近线，则双曲线方程为________ 过其右焦点且长为4的弦有________ 条．三、解答题 (共6题；共60分)16. （10分） (2016高一上·景德镇期中) 已知函数f（x）=sin（2x+ ）+sin（2x﹣）+2cos2x﹣1，x∈R．（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）求函数f（x）在区间[ ]上的最大值和最小值．17. （10分） (2016高二下·阳高开学考) 设数列{an}满足a1+a2+…+an+2n= （an+1+1），n∈N* ，且a1=1，求证：（1）数列{an+2n}是等比数列；（2）求数列{an}的前n项和Sn．18. （15分）“中国人均读书4.3本（包括网络文学和教科书），比韩国的11本、法国的20本、日本的40本、犹太人的64本少得多，是世界上人均读书最少的国家.”这个论断被各种媒体反复引用.出现这样的统计结果无疑是令人尴尬的，而且和其他国家相比，我国国民的阅读量如此之低，也和我国是传统的文明古国、礼仪之邦的地位不相符.某小区为了提高小区内人员的读书兴趣，特举办读书活动，准备进一定量的书籍丰富小区图书站，由于不同年龄段需看不同类型的书籍，为了合理配备资源，现对小区内看书人员进行年龄调查，随机抽取了一天名读书者进行调查，将他们的年龄分成6段：，，，，，后得到如图所示的频率分布直方图．问：（1）估计在40名读书者中年龄分布在的人数；（2）求40名读书者年龄的平均数和中位数；（3）若从年龄在的读书者中任取2名，求这两名读书者年龄在的人数的分布列及数学期望．19. （10分）四棱锥P﹣ABCD中，PC=AB=1，BC=a，∠ABC=60°，底面ABCD为平行四边形，PC⊥平面ABCD，点M，N分别为AD，PC的中点．（1）求证：MN∥平面PAB；（2）若∠PAB=90°，求二面角B﹣AP﹣D的正弦值．20. （10分）(2018·河南模拟) 在平面直角坐标系中，已知椭圆：的离心率，，分别为左、右焦点，过的直线交椭圆于，两点，且的周长为8.（1）求椭圆的方程；（2）设过点的直线交椭圆于不同两点， . 为椭圆上一点，且满足（为坐标原点），当时，求实数的取值范围.21. （5分） (2017高一下·景德镇期末) 设函数f（x）= ﹣ax，e为自然对数的底数（Ⅰ）若函数f（x）的图象在点（e2 ， f（e2））处的切线方程为 3x+4y﹣e2=0，求实数a，b的值；（Ⅱ）当b=1时，若存在 x1 ，x2∈[e，e2]，使 f（x1）≤f′（x2）+a成立，求实数a的最小值．参考答案一、选择题 (共10题；共20分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、二、填空题 (共5题；共6分)11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、三、解答题 (共6题；共60分)16-1、16-2、17-1、17-2、18-1、18-2、18-3、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、。
2018届高三上学期期末联考数学(理)试题有答案-精品
2017—2018学年度第一学期期末联考试题高三数学（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分全卷满分150分，考试时间120分钟．注意：1. 考生在答题前，请务必将自己的姓名、准考证号等信息填在答题卡上．2. 选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，答在试卷上无效．3. 填空题和解答题用0.5毫米黑色墨水签字笔答在答题卡上每题对应的答题区域内．答在试题卷上无效．第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．把答案填在答题卡上对应题号后的框内，答在试卷上无效．1．设集合{123}A =，，，{45}B =，，{|}M x x a b a A b B ==+∈∈，，，则M 中的元素个数为A ．3B ．4C ．5D ．62．在北京召开的第24届国际数学家大会的会议，会议是根据中国古代数学家赵爽的弦图（如图）设计的，其由四个全等的直角三角形和一个正方形组成，若直角三角形的直角边的边长分别是3和4，在绘图内随机取一点，则此点取自直角三角形部分的概率为 A ．125B ．925C ．1625D ．24253．设i 为虚数单位，则下列命题成立的是A ．a ∀∈R ，复数3i a --是纯虚数B ．在复平面内i(2i)-对应的点位于第三限象C ．若复数12i z =--，则存在复数1z ，使得1z z ∈RD ．x ∈R ，方程2i 0x x +=无解4．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知3215109S a a a =+=，，则1a =A ．19B ．19-C ．13D ．13-5．已知曲线421y x ax =++在点(1(1))f --，处切线的斜率为8，则(1)f -=试卷类型：A天门 仙桃 潜江A ．7B ．－4C ．－7D ．4 6．84(1)(1)x y ++的展开式中22x y 的系数是A ．56B ．84C ．112D ．1687．已知一个空间几何体的三视图如图，根据图中标出的尺寸（单位：cm ），可得这个几何体的体积是 A ．4cm 3B ．5 cm 3C ．6 cm 3D ．7 cm 38．函数()sin()(0,0)f x A x A ωϕω=+>>的图像如图所示，则(1)(2)(3)(18)f f f f ++++的值等于ABC 2D ．19．某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量x 在1，2，3…，24 这24个整数中等可能随机产生。
【高三数学试题精选】太原市2018届高三数学上学期期末试题(理科有解析)
太原市2018届高三数学上学期期末试题（理科有解析）
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c
1几何证明选讲]
22．如图，四边形ABcD内接于⊙，BA，cD的延长线相交于点E，EF∥DA，并与cB的延长线交于点F，FG切⊙于G．
（1）求证BE EF=cE BF；
（2）求证FE=FG．
[选修4-4坐标系与参数方程]
23．已知曲线c1的参数方程为，当t=﹣1时，对应曲线c1上一点A，且点A关于原点的对称点为B．以原点为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线c2的极坐标方程为．
（1）求A，B两点的极坐标；
（2）设P为曲线c2上的动点，求|PA|2+|PB|2的最大值．
[选修4-5不等式选讲
24．设函数f（x）=|x﹣2|﹣2|x+1|．
（1）求f（x）的最大值；
（2）若f（x）≤x+3+恒成立，求的取值范围．
1几何证明选讲]
22．如图，四边形ABcD内接于⊙，BA，cD的延长线相交于点E，EF∥DA，并与cB的延长线交于点F，FG切⊙于G．
（1）求证BE EF=cE BF；
（2）求证FE=FG．
【考点】与圆有关的比例线段．。
2017届山西省太原市高三数学(理)一模试题答案
2017 届山西省太原市高三数学（理）一模试题答案一、选择题（共12 小题，每题 3 分，满分 36 分）1．已知会合 A={ x| y=lg（ x+1） } ， B={ x|| x| ＜2} ，则 A∩ B=（）A．（﹣ 2，0）B．（0，2） C．（﹣ 1，2）D．（﹣ 2，﹣ 1）【解答】解：由 x+1＞0，得 x＞﹣ 1∴ A=（﹣ 1， +∞），B={ x|| x| ＜ 2} =（﹣ 2，2）∴ A∩ B=（﹣ 1， 2）．应选： C2．已知 zi=2﹣ i，则复数 z 在复平面对应点的坐标是（）A．（﹣ 1，﹣ 2）B．（﹣ 1， 2） C．（ 1，﹣ 2）D．（1，2）【解答】解： zi=2﹣ i，∴ z===﹣1﹣2i，∴复数 z 在复平面对应点的坐标是（﹣1，﹣ 2），应选： A．3．已知 S n是等差数列 { a n } 的前 n 项和， 2（ a1+a3+a5）+3（a8+a10） =36，则 S11=（）A．66 B．55 C．44D．33【解答】解：∵ S n是等差数列 { a n} 的前 n 项和， 2（ a1 +a3+a5） +3（a8+a10）=36，∴2（ a1+a1+2d+a1+4d）+3（a1+7d+a1+9d）=36，解得 a1+5d=3．∴ a6=3，∴ S11=6．==11a =33应选： D．4．已知=（ 1， cos α）， =（sin α，1），0＜α＜π，若，则α=（）A．B．C．D．【解答】解：=（ 1， cosα）， =（ sin α，1），若，可得? =sin α+cosα=0，即有 tan α==﹣1，由 0＜α＜π，可得α= ．应选： B．5．函数的图象大概为（）A．B．C．D．【解答】解： f（﹣ x）==﹣=﹣ f（ x），∴函数 f（x）为奇函数，则图象对于原点对称，故排A， B，当 x=时，f（）==应选： D6．已知圆 C：x2+y2=1，直线 l：y=k（x+2），在 [ ﹣1，1] 上随机选用一个数k，则事件“直线 l 与圆 C 相离”发生的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：圆 C：x2+y2=1 的圆心为（ 0， 0），半径为 r=1；且圆心到直线 l：y=k（ x+2）的距离为d==，直线 l 与圆 C 相离时 d＞r ，∴＞1，解得 k＜﹣或k＞，故所求的概率为P==．应选： C．7．履行如图框图，已知输出的s∈[ 0， 4] ，若输入的 t∈ [ m， n] ，则实数 n﹣ m 的最大值为（A．1B．2C．3D．4【解答】解：模拟履行程序，可得程序框图的功能是计算并输出分段函数S=的值，做出函数的图象，由题意可得：输出的s∈0，4，[]当 m=0 时， n∈[ 2，4] ， n﹣m ∈[ 2， 4] ，当 n=4 时， m∈[ 0，2] ， n﹣m ∈[ 2， 4] ，因此实数 n﹣m 的最大值为 4．应选： D．8．某几何体的三视图以下图，则该几何体的表面积为（）A．6π+1 B．C．D．【解答】解：由题意，几何体为圆柱与圆锥的组合体，该几何体的表面积为21=，2π?1?2 π?1++++应选 D．9．已知 D=，给出以下四个命题：P1： ? （x，y）∈ D， x+y+1≥0；P2： ? （x，y）∈ D， 2x﹣y+2≤0；P3： ? （x，y）∈ D，≤﹣4；P4： ? （x，y）∈ D， x2+y2≤ 2．此中真命题的是（）A．P1，P2B．P2，P3C．P2，P4D．P3，P4【解答】解：不等式组的可行域如图，p1： A（﹣ 2，0）点，﹣ 2+0+1=﹣1，故 ? （x，y）∈ D，x+y≥ 0 为假命题；p2： A（﹣ 1，3）点，﹣ 2﹣3+2=﹣3，故 ? （x，y）∈ D，2x﹣y+2≤0 为真命题；p3： C（ 0， 2）点，=﹣3，故 ? （x，y）∈ D，≤﹣4为假命题；p4：（﹣ 1， 1）点， x2+y2=2故 ? （x，y）∈ D，x2+y2≤2 为真命题．可得选项 p2，p4正确．应选： C．10．已知抛物线 y2=4x 的焦点为点 F，过焦点 F 的直线交该抛物线于A、B 两点，O 为坐标原点，若△ AOB的面积为，则| AB| =（）A．6B．8C．12D．16【解答】解：抛物线 y2=4x 焦点为 F（ 1，0），设过焦点 F 的直线为： y=k（x﹣1），由? 可得 y2﹣y﹣ 4=0，y A+y B=，y A y B=﹣4，| y A﹣y B| =△ AOB的面积为，可得：| y A﹣y B| =，，解得 k=| AB| =?， | y A﹣y B| =．应选： A．11．已知函数 f（x）=sin ωx﹣cos ωx（ω＞ 0），若方程 f （x）=﹣1 在（ 0，π）上有且只有四个实数根，则实数ω的取值范围为（）A．（，]B．（，]C．（，] D．（，]【解答】解： f（x） =2sin（ωx﹣），作出 f （x）的函数图象以下图：令 2sin（ωx﹣）=﹣1得ωx﹣=﹣2kπ，或ωx﹣ =2kπ，++∴ x=+，或 x=+k Z，， ?设直线 y=﹣1 与 y=f（ x）在（ 0，+∞）上从左到右的第 4 个交点为 A，第 5 个交点为 B，则 x A=，x B=，∵方程 f（x）=﹣1 在（ 0，π）上有且只有四个实数根，∴ x A＜π≤x B，即＜π≤，解得．应选 B．12．设函数 f（x）=与g（x）=a2lnx+b有公共点，且在公共点处的切线方程同样，则实数 b 的最大值为（）A．B．C．D．【解答】解：设 y=f（x）与 y=g（ x）（x＞0）在公共点 P（x0，y0）处的切线同样、f （′x）=3x﹣2a，g′（x）=，由题意 f（x0） =g（x0），f ′（x0）=g′（x0），即 x02﹣2ax0=a2lnx0+b，3x0﹣2a=由 3x0﹣2a=得x0=a或x0=﹣a（舍去），即有 b= a2﹣2a2﹣a2lna=﹣a2﹣a2lna．令 h（t） =﹣ t2﹣t2 lnt（ t＞0），则 h′（t） =2t（ 1+lnt ），于是当 2t（1+lnt ）＞ 0，即 0＜t＜时， h′（ t）＞ 0；当 2t（1+lnt）＜ 0，即 t ＞时， h′（t ）＜ 0．故 h（t）在（ 0，）为增函数，在（，+∞）为减函数，于是 h（t ）在（ 0， +∞）的最大值为h（）=，故 b 的最大值为．应选 A．二、填空题（共 4 小题，每题 3 分，满分 12 分）13．已知，若，则实数t=﹣1．【解答】解：依据题意，，则 + =（1+t ，0），﹣=（1﹣t ，﹣ 2），若，则有（ 1+t）×（﹣ 2）=（1﹣t ）× 0=0，解可得 t=﹣1；故答案为：﹣ 1．14．已知双曲线经过点，其一条渐近线方程为y=2x，则该双曲线的标准方程为﹣x2=1．【解答】解：依据题意，双曲线的一条渐近线方程为y=2x，则能够设其方程为x2﹣=m，（m≠0），又由其经过点，则有 1﹣=m，解可得 m=﹣ 1，则其方程为： x2﹣=﹣1，其标准方程为：﹣ x2=1，故答案为：﹣x2=1．15．已知三棱锥 A﹣BCD中， BC⊥CD， AB=AD=，BC=1，CD=，则该三棱锥外接球的体π ．【解答】解： BC⊥CD， BC=1， CD=，∴ DB=2又因 AB=AD=，∴△ ABD是直角三角形．取 DB 中点 O， OA=OB=OC=OD=1∴ O 三棱外接球的球心，外接的半径R=1，∴ 三棱外接球的体π，故答案：π．16．已知数列 { a n} 中，，其前n和S n=2n+2 4．【解答】解：∵数列 { a n } 中，，∴a2=0，n≥2 ， a n=2a n﹣1 +3n 4，∴a n+1 a n=2a n 2a n﹣1+3，化 a n+1 a n+3=2（a n a n﹣1+3），a2 a1+3=2．∴数列 { a n a n﹣1 +3} 是等比数列，首 2，公比 2．∴a n a n﹣1+3=2n，即 a n a n﹣1 =2n 3．∴a n=（ a n a n﹣1）+（a n﹣1 a n﹣2）+⋯+（ a2 a1）+a1=2n 3+2n﹣1 3+⋯+22 3 1= 3（n 1） 1=2n+13n 2．∴ S n=3×2n=2n+2﹣4﹣．故答案为： 2n+2﹣4﹣．三、解答题17．已知 a，b，c 分别是△ ABC的内角 A， B，C 所对的边， a=2bcosB， b≠ c．（1）证明： A=2B；（2）若 a2+c2=b2+2acsinC，求 A．【解答】解：（1）证明：△ ABC中， a=2bcosB，由，得 sinA=2sinBcosB=sin2B，∵0＜ A， B＜π，∴ sinA=sin2B＞ 0，∴ 0＜ 2B＜π，∴A=2B或 A+2B=π，若 A+2B=π，则 B=C，b=c 这与“b≠c”矛盾，∴A+2B≠ π；∴A=2B；（2）∵ a2+c2=b2+2acsinC，∴，由余弦定理得 cosB=sinC，∵ 0＜ B， C＜π，∴或，①当时，则，这与“b≠c”矛盾，∴；②当时，由（ 1）得 A=2B，∴，∴．18．某著名品牌汽车深受花费者喜欢，但价钱昂贵．某汽车经销商推出 A、B、C三种分期付款方式销售该品牌汽车，并对近期 100 位采纳上述分期付款的客户进行统计剖析，获取以下的柱状图．已知从 A、 B、 C 三种分期付款销售中，该经销商每销售此品牌汽车 1 俩所获取的收益分别是 1 万元， 2 万元， 3 万元．现甲乙两人从该汽车经销商处，采纳上述分期付款方式各购置此品牌汽车一辆．以这100 位客户所采纳的分期付款方式的频次取代 1 位客户采纳相应分期付款方式的概率．（ 1）求甲乙两人采纳不一样分期付款方式的概率；（ 2）记 X（单位：万元）为该汽车经销商从甲乙两人购车中所获取的收益，求 X 的散布列与希望．散布列．【解答】解：（1）由题意得：P（A）==0.35， P（ B） ==0.45，P（C）==0.2，∴甲乙两人采纳不一样分期付款方式的概率：p=1﹣ [ P（A）?P（A）+P（ B） ?P（B）+P（C）?P（ C） ] =0.635．（2）记X（单位：万元）为该汽车经销商从甲乙两人购车中所获取的收益，则 X 的可能取值为 2，3，4，5，6，P（X=2） =P（A）P（A）=0.35× 0.35=0.1225，P（X=3） =P（A）P（B）+P（B）P（A）=0.35×0.45+0.45×0.35=0.315，P（X=4）=P（A）P（C）+P（B）P（B）+P（C）P（ A）=0.35×0.2+0.45×0.45+0.2×0.35=0.3425，P（X=5） =P（B）P（C）+P（C）P（B）=0.45×0.2+0.2× 0.45=0.18，P（X=6） =P（C）P（C）=0.2×0.2=0.04．∴ X 的散布列为：X23456P0.12250.3150.34250.180.04E（X）=0.1225×2 0.315×3 0.3425× 4 0.18× 5 0.04× 6=3.7．++++19．如图，在几何体ABCDEF中，四边形ABCD是菱形， BE⊥平面 ABCD，DF∥BE，且 DF=2BE=2，EF=3．（1）证明：平面 ACF⊥平面 BEFD（2）若二面角 A﹣EF﹣ C 是二面角，求直线 AE与平面 ABCD所成角的正切值．标系，利用向量法能求出直线AE与平面 ABCD所成角的正切值．【解答】证明：（1）∵四边形 ABCD是菱形，∴ AC⊥BD，∵BE⊥平面ABCD，∴BE⊥AC，∴ AC⊥平面 BEFD，∵AC? 平面 ACF，∴平面 ACF⊥平面 BEFD．解：（ 2）设 AC 与 BD的交点为 O，由（ 1）得 AC⊥BD，分别以 OA，OB 为 x 轴， y 轴，成立空间直角坐标系，∵BE⊥平面 ABCD，∴ BE⊥BD，∵DF∥BE，∴ DF⊥BD，222∴ BD=EF﹣（ DF﹣BE） =8，∴ BD=2 ．设 OA=a，（ a＞ 0），由题设得 A（a，0，0），C（﹣ a， 0， 0），E（0，），F（0，﹣，2），设 m=（x， y， z）是平面 AEF的法向量，则，取 z=2，得=（），设是平面 CEF的一个法向量，则，取，得=（﹣，1，2），∵二面角 A﹣EF﹣ C 是直二面角，∴=﹣ +9=0，解得 a= ，∵BE⊥平面 ABCD，∴∠ BAE是直线 AE与平面 ABCD所成的角，∴ AB==2，∴ tan．∴直线 AE与平面 ABCD所成角的正切值为．20．已知椭圆 C：的左右焦点与其短轴的一个端点是正三角形的三个极点，点D在椭圆C上，直线l：y=kx+m与椭圆C订交于A、P两点，与 x 轴、 y 轴分别订交于点 N 和 M ，且 PM=MN，点 Q 是点 P 对于 x 轴的对称点， QM 的延伸线交椭圆于点 B，过点 A、B 分别作 x 轴的垂涎，垂足分别为 A1、B1（1）求椭圆 C 的方程；（2）能否存在直线 l，使得点 N 均分线段 A1B1？若存在，求求出直线 l 的方程，若不存在，请说明原因．【解答】解：（ 1）∵椭圆 C：的左右焦点与其短轴的一个端点是正三角形的三个极点，点D在椭圆C上，∴由题意得，解得 a2，2，=4 b =3∴椭圆 C 的方程为．（ 2）假定存在这样的直线l：y=kx+m，∴ M（0，m ），N（﹣，0），∵ PM=MN，∴ P（，2m），Q（），∴直线 QM 的方程为 y=﹣3kx+m，设 A（x1，y1），由，得（3+4k2）x2+8kmx+4（m2﹣3）=0，∴，∴，设 B（x2，y2），由，得（3+36k2）x2﹣24kmx+4（m2﹣3）=0，∴ x2+ =，∴2﹣，x =∵点 N 均分线段 A1 1，B ，∴∴﹣=﹣，∴ k=，∴ P（± 2m，2m），∴，解得m=，∵ | m| =＜b=，∴△＞0，切合题意，∴直线 l 的方程为 y=．21．已知函数 f（x）=2lnx+ax﹣（a∈ R）在x=2处的切线经过点（﹣4，2ln2）（ 1）议论函数 f （x）的单一性（ 2）若不等式恒成立，务实数m的取值范围．【解答】解：（1）由（f x）=2lnx ax﹣（ a∈R），求导 f（′x）= a，++ +当 x=2 时， f ′（ 2） =1+a+f ′（2），∴ a=﹣1，设切点为（ 2，2ln2+2a﹣2f ′（2）），则切线方程y﹣（ 2ln2+2a﹣2f ′（2）） =f ′（2）（ x﹣2），将（﹣ 4，2ln2）代入切线方程， 2ln2﹣2ln2﹣2a+2f （′2））=﹣6f （′ 2），则 f （′2）=﹣，∴ f （′ x）= ﹣ 1﹣ =≤ 0，∴ f（x）在（ 0， +∞）单一递减；（2）由不等式恒成立，则（2lnx）＞ m，+令φ x）=2lnx，（ x＞ 0）求导φ′（x）= ﹣﹣1=﹣（﹣1）2≤0，（+∴ φ（ x）在（ 0，+∞）单一递减，由φ（1）=0，则当 0＜x＜1 时，φ（x）＞ 0，当 x＞1 时，φ（ x）＜ 0，∴（2lnx+）在（0，+∞）恒大于0，∴m≤0，实数 m 的取值范围（﹣∞， 0] ．四、解答题（共 1 小题，满分 10 分）22．在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的参数方程为（，此中φ为参数），曲线，以原点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴成立极坐标系，射线 l：θ=α（ρ≥0）与曲线 C12，C 分别交于点 A，B（均异于原点 O）（ 1）求曲线 C1，C2的极坐标方程；（2）当时，求OA2OB 2的取值范围．||+||【解答】解：（1）∵，∴，由得曲线 C1的极坐标方程为，∵ x2+y2﹣ 2y=0，∴曲线 C2的极坐标方程为ρ =2sin；θ2）由（ 1）得，OB222α（ρ||==4sin，∴∵，∴ 1＜ 1+sin2α＜，∴，2∴| OA| 2+| OB| 2的取值范围为（ 2，5）．五、解答题（共 1 小题，满分 0 分）23．已知函数（1）若不等式 f （x）﹣ f（ x+m）≤ 1 恒成立，务实数 m 的最大值；（2）当 a＜时，函数 g（x） =f（x）+| 2x﹣ 1| 有零点，务实数 a 的取值范围．【解答】解：（1）∵，∴，∴f（x）﹣ f（x+m ）=| x﹣a| ﹣ | x+m﹣ a| ≤| m| ，∴| m| ≤1，∴﹣ 1≤m≤1，∴实数 m 的最大值为 1；（2）当时，=∴，∴或，∴，∴实数 a 的取值范围是．。
太原市高三上学期期末数学试卷(理科)D卷(模拟)
太原市高三上学期期末数学试卷（理科）D卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）已知全集，集合，，则（）A . （－1,1）B . （－1,3）C .D .2. （2分）若三点共线，则有（）A .B .C .D .3. （2分）若等差数列满足，则的最大值为（）A . 600B . 500C . 800D . 2004. （2分）(2018·陕西模拟) 已知函数的最小正周期为，则该函数的图象（）A . 关于点对称B . 关于点对称C . 关于直线对称D . 关于直线对称5. （2分） (2016高一下·舒城期中) 数列{an}的前n项和为Sn ，若，则S5等于（）A . 1B .C .D .6. （2分） (2017高一上·巢湖期末) 设min{p，q，r}为表示p，q，r三者中较小的一个，若函数f（x）=min{x+1，﹣2x+7，x2﹣x+1}，则不等式f（x）＞1的解集为（）A . （0，2）B . （﹣∞，0）C . （1，+∞）D . （1，3）7. （2分）设函数，对于给定的正数K，定义函数若对于函数定义域内的任意x，恒有，则（）A . K的最大值为B . K的最小值为C . K的最大值为1D . K的最小值为18. （2分）(2017·厦门模拟) 设x，y满足约束条件，若z=ax+2y仅在点处取得最大值，则a的值可以为（）A . ﹣8B . ﹣4C . 4D . 89. （2分） (2018高二下·中山月考) 计算（其中）的结果为（）A .B .C .D .10. （2分） (2017高一下·芮城期末) 若，则一定有（）A .B .C .D .11. （2分） (2017高二下·洛阳期末) 设等差数列{an}满足（1﹣a1008）5+2016（1﹣a1008）=1，（1﹣a1009）5+2016（1﹣a1009）=﹣1，数列{an}的前n项和记为Sn ，则（）A . S2016=2016，a1008＞a1009B . S2016=﹣2016，a1008＞a1009C . S2016=2016，a1008＜a1009D . S2016=﹣2016，a1008＜a100912. （2分）(2017·石嘴山模拟) 函数f（x）=sin（2x+φ）（|φ＜ |）的图象向左平移个单位后关于原点对称，求函数f（x）在[0， ]上的最小值为（）A . ﹣B . ﹣C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）(2020·海安模拟) 设Sn为数列{an}的前n项和，若Sn＝nan﹣3n（n﹣1）（n∈N*），且a2＝11，则S20的值为________．14. （1分）(2017·山东模拟) 已知 =（1，1）， =（2，n），若| + |= • ，则n=________．15. （1分） (2018高一上·台州月考) 在实数的原有运算法则中，补充定义新运算“ ”如下：当时，；当时，，已知函数，则满足的实数m的取值范围是________16. （1分） (2018高二下·赣榆期末) 已知函数是定义在R上的奇函数，且当时，若，则的大小关系为________.（用“<”连接）三、解答题. (共7题；共70分)17. （10分） (2016高三上·襄阳期中) 设p：实数x满足：x2﹣4ax+3a2＜0（a＞0），q：实数x满足：x=（）m﹣1 ，m∈（1，2）．（1）若a= ，且p∧q为真，求实数x的取值范围；（2） q是p的充分不必要条件，求实数a的取值范围．18. （5分）(2017·榆林模拟) 已知函数f（x）= sinωxcosωx﹣cos2ωx﹣（ω＞0，x∈R）的图象上相邻两个最高点的距离为π．（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）若△ABC三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且c= ，f（C）=0，sinB=3sinA，求a，b的值．19. （10分） (2019高一下·哈尔滨月考) 在中，角所对的边分别为，已知（1）求的值；（2）若，求的值20. （10分） (2017高二上·中山月考) 已知等差数列的公差不为零，且满足，成等比数列．（1）求数列的通项公式；（2）记，求数列的前项和．21. （15分） (2016高二上·淮南期中) 设，g（x）=x3﹣x2﹣3．（1）当a=2时，求曲线y=f（x）在x=1处的切线方程；（2）如果存在x1，x2∈[0，2]，使得g（x1）﹣g（x2）≥M成立，求满足上述条件的最大整数M；（3）如果对任意的，都有f（s）≥g（t）成立，求实数a的取值范围．22. （10分） (2016高二下·福建期末) 已知直线l：（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=2．（1）若点M的直角坐标为（2，），直线l与曲线C交于A、B两点，求|MA|+|MB|的值；（2）设曲线C经过伸缩变换得到曲线C′，求曲线C′的内接矩形周长的最大值．23. （10分）(2017·榆林模拟) 设不等式|2x﹣1|＜1的解集为M，a∈M，b∈M（1）试比较ab+1与a+b的大小（2）设max表示数集A的最大数，h=max{，， }，求证h≥2．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题. (共7题；共70分) 17-1、17-2、18-1、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、21-3、22-1、22-2、23-1、23-2、。
太原市高三上学期期末数学试卷(理科)D卷(考试)
太原市高三上学期期末数学试卷（理科）D卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）已知集合,,如果,则m等于（）A . -1B . -2C . -2或-1D .2. （2分）设z=1–i（i是虚数单位），则复数＋i2的虚部是A . 1B . －1C . iD . －i3. （2分）变量x，y有观测数据(xi ， yi)(i＝1,2，，10)，得散点图(1)；对变量u，v有观测数据(ui ， vi)(i ＝1,2，，10)，得散点图(2)．由这两个散点图可以判断（）A . 变量x与y正相关，u与v正相关B . 变量x与y正相关，u与v负相关C . 变量x与y负相关，u与v正相关D . 变量x与y负相关，u与v负相关4. （2分）下列函数中，周期为π的奇函数是（）A . y=sinxB . y=sin2xC . y=tan2xD . y=cos2x5. （2分） (2017高一上·威海期末) 已知函数f（x）=a（x+a）（x﹣a+3），g（x）=2x+2﹣1，若对任意x∈R，f（x）＞0和g（x）＞0至少有一个成立，则实数a的取值范围是（）A . （1，2）B . （2，3）C . （﹣2，﹣1）∪（1，+∞）D . （0，2）6. （2分）给出下列关于互不相同的直线和平面的四个命题：①若，，点，则与不共面；②若、是异面直线，，，且，，则；③若，则；④若，，，，，则.其中为假命题的是（）A . ①B . ②C . ④7. （2分）如果二次函数不存在零点，则m的取值范围是（）A .B .C .D .8. （2分）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出S的值为（）A . -10B . 6C . 14D . 189. （2分）(2016·遵义) 已知点满足方程，则由点向圆所作的切线长的最小值是（）A .B .D .10. （2分）设,则这四个数的大小关系是（）A .B .C .D .11. （2分）一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面积是（）A . 12πB . 4πC . 3πD . 12π12. （2分） (2017高一上·昌平期末) 如图一半径为3米的水轮，水轮的圆心O距离水面2米，已知水轮每分钟旋转4圈，水轮上的点P到水面的距离y（米）与时间x（秒）满足函数关系y=Asin（ωx+φ）+2则有（）A . ω= ，A=3B . ω= ，A=5C . ω= ，A=5D . ω= ，A=3二、二.填空题 (共4题；共5分)13. （1分） (2017高二下·深圳月考) 已知是顶点为腰长为的等腰直角三角形，为平面内一点，则的最小值是________．14. （2分） (2018高三上·嘉兴期末) 已知，则项的二项式系数是________； ________.15. （1分） (2017高一下·滨海期末) 从1，2，3，4，5五个数字中任意取出两个不同的数做加法，其和为6的概率是________．16. （1分）设曲线y=ex在点（0,1）处的切线与曲线y=(x>0)上点P处的切线垂直，则P的坐标为________ 。
2016-2017学年山西省太原市高三上学期期末数学试卷(理科)含答案
2016-2017学年山西省太原市高三上学期数学期末试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1．（5分）已知集合A={x∈N|x≤1}，B={x|﹣1≤x≤2}，则A∩B=（）A．{0，1}B．{﹣1，0，1}C．[﹣1，1]D．{1}2．（5分）设复数z=1+2i，则=（）A．B．C．D．13．（5分）给出下列命题：①若数列{a n}为等差数列，S n为其前n项和，则S n，S2n﹣S n，S3n﹣S2n是等差数列；②若数列{a n}为等比数列，S n为其前n项和，则S n，S2n﹣S n，S3n﹣S2n是等比数列；③若数列{a n}，{b n}均为等差数列，则数列{a n+b n}为等差数列；④若数列{a n}，{b n}均为等比数列，则数列{a n•b n}为等比数列其中真命题的个数为（）A．1B．2C．3D．44．（5分）设α，β为两个不同的平面，l为直线，则下列结论正确的是（）A．l∥α，α⊥β⇒l⊥αB．l⊥α，α⊥β⇒l∥αC．l∥α，α∥β⇒l∥βD．l⊥α，α∥β⇒l⊥β5．（5分）已知sinα=﹣cosα，则tan2α=（）A．B．C．D．6．（5分）执行如图所示的程序框图，输入x=﹣1，n=5，则输出s=（）A．﹣2B．﹣3C．4D．37．（5分）如图是一个棱锥的正视图和侧视图，则该棱锥的俯视图不可能是（）A．B．C．D．8．（5分）将函数f（x）=sinxcosx+sin2x的图象上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，再沿x轴向右平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，则y=g（x）的一个递增区间是（）A．B．C．D．9．（5分）在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD相交于点F，则=（）A．B．C．D．10．（5分）已知平面区域D=，z=3x﹣2y，若命题“∃（x0，y0）∈D，z＞m”为假命题，则实数m的最小值为（）A．B．C．D．11．（5分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1绕其体对角线BD1旋转θ之后与其自身重合，则θ的值可以是（）A．B．C．D．12．（5分）已知f（x）=，若函数f（x）有四个零点，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣e）B．（﹣∞，﹣）C．（﹣∞，﹣）D．（﹣∞，﹣）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）数据0.7，1，0.8，0.9，1.1的方差是．14．（5分）七名同学站成一排照相，其中甲、乙二人相邻，且丙、丁两人不相邻的不同排法总数为．15．（5分）已知数列{a n}的前n项和S n=2a n﹣2n+1（n∈N*），则其通项公式a n=．16．（5分）已知a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C的对边，BC边上的高为，则的最大值为．三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17．（12分）已知数列{a n}是首项为1的单调递增的等比数列，且满足a3，成等差数列．（1）求{a n}的通项公式；（2）若b n=log3（a n•a n+1）（n∈N*），求数列{a n•b n}的前n项和S n．18．（12分）如图，已知AD是△ABC内角∠BAC的角平分线．（1）用正弦定理证明：；（2）若∠BAC=120°，AB=2，AC=1，求AD的长．19．（12分）甲、乙两人玩一种游戏，游戏规则如下：先将筹码放在如下表的正中间D处，投掷一枚质地均匀的硬币，若正面朝上，筹码向右移动一格；若反面朝上，筹码向左移动一格．（1）将硬币连续投掷三次，现约定：若筹码停在A或B或C或D处，则甲赢；否则，乙赢．问该约定对乙公平吗？请说明理由．（2）设甲、乙两人各有100个积分，筹码停在D处，现约定：①投掷一次硬币，甲付给乙10个积分；乙付给甲的积分数是，按照上述游戏规则筹码所在表中字母A﹣G下方所对应的数目；②每次游戏筹码都连续走三步，之后重新回到起始位置D处．你认为该规定对甲、乙二人哪一个有利，请说明理由．20．（12分）如图，在六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分别是棱A1B1，B1C1的中点，平面ABCD⊥平面A1B1BA，平面ABCD平面B1BCC1．（1）证明：BB1⊥平面ABCD；（2）已知六面体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长均为，cos∠BAD=，设平面BMN与平面AB1D1相交所成二面角的大小为θ求cosθ．21．（12分）已知函数f（x）=﹣axlnx（a∈R）在x=1处的切线方程为y=bx+1+（b∈R）．（1）求a，b的值；（2）证明：f（x）＜．（3）若正实数m，n满足mn=1，证明：+＜2（m+n）．四、解答题（共1小题，满分10分）选修4-4：参数方程与极坐标系22．（10分）已知平面直角坐标系xoy中，点P（1，0），曲线C的参数方程为（φ为参数）．以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，倾斜角为α的直线l的极坐标方程为ρsin（α﹣θ）=sinα．（1）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（2）若曲线C与直线l交于M，N两点，且，求α的值．五、解答题（共1小题，满分10分）选修4-5：不等式选讲23．（10分）已知实数a，b，c均大于0．（1）求证：++≤a+b+c；（2）若a+b+c=1，求证：≤1．2016-2017学年山西省太原市高三上学期数学期末试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1．（5分）已知集合A={x∈N|x≤1}，B={x|﹣1≤x≤2}，则A∩B=（）A．{0，1}B．{﹣1，0，1}C．[﹣1，1]D．{1}【分析】集合A与集合B的公共元素构成集合A∩B．【解答】解：∵集合A={x∈N|x≤1}，B={x|﹣1≤x≤2}，∴A∩B={0，1}．故选：A．2．（5分）设复数z=1+2i，则=（）A．B．C．D．1【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．【解答】解：z2=（1+2i）2=﹣3+4i，|z2|==5，则==+i．故选：B．3．（5分）给出下列命题：①若数列{a n}为等差数列，S n为其前n项和，则S n，S2n﹣S n，S3n﹣S2n是等差数列；②若数列{a n}为等比数列，S n为其前n项和，则S n，S2n﹣S n，S3n﹣S2n是等比数列；③若数列{a n}，{b n}均为等差数列，则数列{a n+b n}为等差数列；④若数列{a n}，{b n}均为等比数列，则数列{a n•b n}为等比数列其中真命题的个数为（）A．1B．2C．3D．4【分析】①设等差数列a n的首项为a1，公差为d，则S n=a1+a2+…+a n，S2n﹣S n=a n+1+a n+2+…+a2n=a1+nd+a2+nd+…+a n+nd=S n+n2d，同理：S3n﹣S2n=a2n+1+a2n+2+…+a3n=a n+1+a n+2+…+a2n+n2d=S2n﹣S n+n2d，即可判断出结论．②取数列﹣1，1，﹣1，1，…，S n可能为0，因此不成等比数列，即可判断出；③设a n=a1+（n﹣1）d1，b n=b1+（n﹣1）d2，则a n+b n=（a1+b1）+（n﹣1）（d1+d2），即可判断出结论．④设a n=a1，b n=b1，则a n•b n=a1b1，即可判断出结论．【解答】解：①设等差数列a n的首项为a1，公差为d，则S n=a1+a2+…+a n，S2n﹣S n=a n+1+a n+2+…+a2n=a1+nd+a2+nd+…+a n+nd=S n+n2d，同理：S3n﹣S2n=a2n+1+a2n+2+…+a3n=a n+1+a n+2+…+a2n+n2d=S2n﹣S n+n2d，∴2（S2n﹣S n）=S n+（S3n ﹣S2n），∴S n，S2n﹣S n，S3n﹣S2n是等差数列．正确．②取数列﹣1，1，﹣1，1，…，S n可能为0，因此不成等比数列，不正确；③设a n=a1+（n﹣1）d1，b n=b1+（n﹣1）d2，则a n+b n=（a1+b1）+（n﹣1）（d1+d2），故数列{a n+b n}为等差数列，正确．④设a n=a1，b n=b1，则a n•b n=a1b1，因此数列{a n•b n}为等比数列，正确．其中真命题的个数为3．故选：C．4．（5分）设α，β为两个不同的平面，l为直线，则下列结论正确的是（）A．l∥α，α⊥β⇒l⊥αB．l⊥α，α⊥β⇒l∥αC．l∥α，α∥β⇒l∥βD．l⊥α，α∥β⇒l⊥β【分析】A，选项中，若果l刚好平行于α、β的交线时，l∥α；B，l⊥α，α⊥β⇒l∥β或l⊂β；C，l∥α，α∥β⇒l∥β或l⊂β；D，l⊥α，α∥β⇒l⊥β，；【解答】解：对于A，选项中，如果l刚好平行于α、β的交线时，l∥α，故错；对于B，l⊥α，α⊥β⇒l∥β或l⊂β，故错；对于C，l∥α，α∥β⇒l∥β或l⊂β，故错；对于D，l⊥α，α∥β⇒l⊥β，正确；故选：D．5．（5分）已知sinα=﹣cosα，则tan2α=（）A．B．C．D．【分析】求出tanα的值，根据二倍角公式求出t an2α的值即可．【解答】解：∵sinα=﹣cosα，∴tanα=﹣，∴tan2α===，故选：C．6．（5分）执行如图所示的程序框图，输入x=﹣1，n=5，则输出s=（）A．﹣2B．﹣3C．4D．3【分析】列出循环过程中S与i的数值，不满足判断框的条件即可结束循环．【解答】解：i=4时，s=﹣1，i=3时，s=5，i=2时，s=﹣2，i=1时，s=4，i=0时，s=﹣3，退出循环，故选：B．7．（5分）如图是一个棱锥的正视图和侧视图，则该棱锥的俯视图不可能是（）A．B．C．D．【分析】根据已知中的正视图和侧视图，分析出俯视图可能出现的情况，可得答案．【解答】解：若几何体为三棱锥，由其正视图和侧视图可知，其底面在下方，且为直角三角形，故A，B，D有可能；若几何体为四棱锥，由其正视图和侧视图可知，其底面在下方，且为直角正方形，但对角线应从左上到右下；故该棱锥的俯视图不可能是C，故选：C．8．（5分）将函数f（x）=sinxcosx+sin2x的图象上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，再沿x轴向右平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，则y=g（x）的一个递增区间是（）A．B．C．D．【分析】利用三角恒等变换化简函数的解析式为f（x）=sin（2x﹣）+，由函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换可求函数g（x），令x﹣∈[2kπ﹣，2kπ+]，k∈Z即可得解．【解答】解：f（x）=sinxcosx+sin2x=sin2x﹣cos2x+=sin（2x﹣）+，图象上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，可得对应的函数解析式为y=sin（x﹣）+，再沿x轴向右平移个单位，得到函数解析式为y=g（x）=sin（x﹣﹣）+=sin （x﹣）+，令x﹣∈[2kπ﹣，2kπ+]，k∈Z，解得：x∈[﹣+2kπ，2kπ+]，k ∈Z，取k=0，可得：x∈[﹣，]．故选：A．9．（5分）在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD相交于点F，则=（）A．B．C．D．【分析】根据两个三角形相似对应边成比例，得到DF与FC之比，做FG平行BD 交AC于点G，使用已知向量表示出要求的向量，得到结果．【解答】解：∵△DEF∽△BEADF：BA═DE：BE=1：3；作FG平行BD交AC于点G，∴FG：DO=2：3，CG：CO=2：3，∴=，∵=+=，∴=+=，故选：D．10．（5分）已知平面区域D=，z=3x﹣2y，若命题“∃（x0，y0）∈D，z＞m”为假命题，则实数m的最小值为（）A．B．C．D．【分析】画出约束条件的可行域，利用特称命题的否定是真命题，求出目标函数的最大值，然后求解m的最小值即可．【解答】解：平面区域D=，如图：命题“∃（x0，y0）∈D，z＞m”为假命题，则：∀（x，y）∈D，z≤m是真命题，由z=3x﹣2y，可得，当直线3x﹣2y=z，经过Q时，z由最大值，由解得Q（，），z的最大值就是m的最小值：．故选：D．11．（5分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1绕其体对角线BD1旋转θ之后与其自身重合，则θ的值可以是（）A．B．C．D．【分析】由正方体的特点，对角线BD1垂直于平面AB1C，且三角形AB1C为等边三角形得答案．【解答】解：如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，对角线BD1垂直于平面AB1C，且三角形AB1C为等边三角形，正方体绕对角线旋转120°能与原正方体重合．故选：C．12．（5分）已知f（x）=，若函数f（x）有四个零点，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣e）B．（﹣∞，﹣）C．（﹣∞，﹣）D．（﹣∞，﹣）【分析】由题意可知：函数f（x）为偶函数，只需e x+ax=0有两个正根，即﹣=a 有两个正根，设g（x）=﹣，求导，利用函数的单调性求得g（x）的最大值，即可求得a的取值范围．【解答】解：由函数f（x）为偶函数，可知使函数f（x）有四个零点，只需要e x+ax2=0有两个正根，即﹣=a有两个正根，设g（x）=﹣，x＞0，求导g′（x）=﹣=﹣=，令g′（x）＞0，解得：0＜x＜2，g（x）在（0，2）单调递增，令g′（x）＜0，解得：x＞2，g（x）在（2，+∞）单调递减，∴g（x）在x=2时取最大值，最大值g（2）=﹣，要使﹣=a有两个正根，即使g（x）与y=a有两个交点，∴实数a的取值范围（﹣∞，﹣），故选：B．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）数据0.7，1，0.8，0.9，1.1的方差是0.02．【分析】先求出这组数据的平均数，再计算这组数据的方差．【解答】解：数据0.7，1，0.8，0.9，1.1的平均数为：=（0.7+1+0.8+0.9+1.1）=0.9，∴数据0.7，1，0.8，0.9，1.1的方差为：S2=[（0.7﹣0.9）2+（1﹣0.9）2+（0.8﹣0.9）2+（0.9﹣0.9）2+（1.1﹣0.9）2]=0.02．故答案为：0.02．14．（5分）七名同学站成一排照相，其中甲、乙二人相邻，且丙、丁两人不相邻的不同排法总数为960．【分析】由题设中的条件知，可以先把甲、乙必须相邻，可先将两者绑定，又丙、丁不相邻，可把甲、乙看作是一个人，与丙、丁之外的3个人作一个全排列，由于此4个元素隔开了5个空，再由插空法将丙、丁两人插入5个空，由分析过程知，此题应分为三步完成，由计数原理计算出结果即可【解答】解：由题意，第一步将甲、乙绑定，两者的站法有2种，第二步将此两人看作一个整体，与除丙丁之外的3人看作4个元素做一个全排列有A44种站法，此时隔开了5个空，第三步将丙丁两人插入5个空，排法种数为A52则不同的排法种数为2×A44×A52=960．故答案为：960．15．（5分）已知数列{a n}的前n项和S n=2a n﹣2n+1（n∈N*），则其通项公式a n= n•2n﹣1．【分析】当n=1时，可求得a1=1；当n≥2时，利用a n=S n﹣S n﹣1可得﹣=，从而可判定数列{}是以为首项，为公差的等差数列，可求得a n．【解答】解：①当n=1时，a1=2a1﹣2+1，则a1=1；=2a n﹣1﹣2n﹣1+1，S n﹣S n﹣1=（2a n﹣2n+1）﹣（2a n﹣1﹣2n﹣1+1）②当n≥2时，S n﹣1=2a n﹣2a n﹣1﹣2n﹣1=a n，即a n﹣2a n=2n﹣1，﹣1变形为：﹣=，故数列{}是以为首项，为公差的等差数列，所以，=+（n﹣1）=，所以a n=n•2n﹣1，故答案为：n•2n﹣1．16．（5分）已知a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C的对边，BC边上的高为，则的最大值为1+．【分析】由已知及三角形面积公式，余弦定理可求+=2sin（A+），进而可求的最大值．==a2=bcsinA，可得：a2=2bcsinA，【解答】解：由题意可得：S△ABC又∵a2=b2+c2﹣2bccosA，∴2bcsinA=b2+c2﹣2bccosA，∴同除以bc，可得：+=+=2sin（A+），∴可得的最大值为1+．故答案为：1+．三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17．（12分）已知数列{a n}是首项为1的单调递增的等比数列，且满足a3，成等差数列．（1）求{a n}的通项公式；（2）若b n=log3（a n•a n+1）（n∈N*），求数列{a n•b n}的前n项和S n．【分析】（1）设等比数列{a n}公比为q＞1，由a3，成等差数列．可得a4=a3+a5，化为：3q2﹣10q+3=0，解得q即可得出．（2）b n=log3（a n•a n+1）==2n﹣1，可得a n b n=（2n﹣1）•3n﹣1．利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出．【解答】解：（1）设等比数列{a n}公比为q＞1，∵a3，成等差数列．∴a4=a3+a5，化为：3q2﹣10q+3=0，解得q=3．∴a n=3n﹣1．（2）b n=log3（a n•a n+1）==2n﹣1，∴a n b n=（2n﹣1）•3n﹣1．∴数列{a n•b n}的前n项和S n=1+3×3+5×32+…+（2n﹣1）•3n﹣1．3S n=3+3×32+5×33+…+（2n﹣3）•3n﹣1+（2n﹣1）•3n，∴﹣2S n=1+2（3+32+…+3n﹣1）﹣（2n﹣1）•3n=1+2×﹣（2n﹣1）•3n=（2﹣2n）•3n﹣2，∴S n=1+（n﹣1）•3n．18．（12分）如图，已知AD是△ABC内角∠BAC的角平分线．（1）用正弦定理证明：；（2）若∠BAC=120°，AB=2，AC=1，求AD的长．【分析】（1）根据AD是∠BAC的角平分线，利用正弦定理，即可证明结论成立；（2）根据余弦定理，先求出BC的值，再利用角平分线和余弦定理，即可求出AD的长．【解答】解：（1）∵AD是∠BAC的角平分线，∴∠BAD=∠CAD，根据正弦定理，在△ABD中，=，在△ADC中，=，∵sin∠ADB=sin（π﹣∠ADC）=sin∠ADC，∴=，=，∴=；（2）根据余弦定理，cos∠BAC=，即cos120°=，解得BC=，又=，∴=，解得CD=，BD=；设AD=x，则在△ABD与△ADC中，根据余弦定理得，cos60°=，且cos60°=，解得x=，即AD的长为．19．（12分）甲、乙两人玩一种游戏，游戏规则如下：先将筹码放在如下表的正中间D处，投掷一枚质地均匀的硬币，若正面朝上，筹码向右移动一格；若反面朝上，筹码向左移动一格．（1）将硬币连续投掷三次，现约定：若筹码停在A或B或C或D处，则甲赢；否则，乙赢．问该约定对乙公平吗？请说明理由．（2）设甲、乙两人各有100个积分，筹码停在D处，现约定：①投掷一次硬币，甲付给乙10个积分；乙付给甲的积分数是，按照上述游戏规则筹码所在表中字母A﹣G下方所对应的数目；②每次游戏筹码都连续走三步，之后重新回到起始位置D处．你认为该规定对甲、乙二人哪一个有利，请说明理由．【分析】（1）利用将硬币连续投掷三次，列举出所有8种情况，筹码停在A或B 或C或D处有4种情况，即筹码停在A或B或C或D为，从而得到该约定对乙公平．（2）乙付给甲的积分数可能是20，25，30，45，55，设乙付给甲的积分为X，求出E（X）=＞30，从而该规定对甲有利．【解答】解：（1）该约定对乙公平．将硬币连续投掷三次，共有以下8种情况：D→C→B→A，D→C→B→C，D→C→D→E，D→C→D→C，D→E→F→G，D→E→F→E，D→E→D→E，D→E→D→C．筹码停在A或B或C或D处有4种情况，即筹码停在A或B或C或D为：p=，∴该约定对乙公平．（2）该规定对甲有利．根据（1）中所列的8种情况可得乙付给甲的积分数可能是20，25，30，45，55，设乙付给甲的积分为X，P（X=20）=，P（X=25）=，P（X=30）=，P（X=45）=，P（X=55）=，可得分布列为：E（X）==＞30，∴该规定对甲有利．20．（12分）如图，在六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分别是棱A1B1，B1C1的中点，平面ABCD⊥平面A1B1BA，平面ABCD平面B1BCC1．（1）证明：BB1⊥平面ABCD；（2）已知六面体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长均为，cos∠BAD=，设平面BMN与平面AB1D1相交所成二面角的大小为θ求cosθ．【分析】（1）过点D作DP⊥AB，过点D作DQ⊥BC，推导出DP⊥BB1，DQ⊥BB1，由此能证明BB1⊥平面ABCD．（2）设AC与BD的交点为O，与B1D1的交点为O1，以O为原点，分别以OA，OB，OO1所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出cosθ．【解答】证明：（1）过点D作DP⊥AB，过点D作DQ⊥BC，由平面ABCD⊥平面A1B1BA，BB1⊂平面A1B1BA，得DP⊥BB1，由平面ABCD⊥平面B1BCC1，BB1⊂平面B1BCC1，得DQ⊥BB1，又DP∩DQ=D，∴BB1⊥平面ABCD．解：（2）由AB=AD=，且cos∠BAD=，在△ABD中利用余弦定理得BD=2，设AC与BD的交点为O，与B1D1的交点为O1，以O为原点，分别以OA，OB，OO1所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则B（0，1，0），M（1，，），N（﹣1，，），C（﹣2，0，0），A1（2，0，），A（2，0，0），B1（0，1，），D1（0，﹣1，），设平面BMN的法向量为=（a，b，c），=（1，﹣），=（﹣2，0，0），则，取b=10，得=（0，10，），设平面AB1D1的法向量为=（x，y，z），=（﹣2，1，），=（0，﹣2，0），则，取x=5，得=（5，0，2），∴cosθ==．21．（12分）已知函数f（x）=﹣axlnx（a∈R）在x=1处的切线方程为y=bx+1+（b∈R）．（1）求a，b的值；（2）证明：f（x）＜．（3）若正实数m，n满足mn=1，证明：+＜2（m+n）．【分析】（1）求得f（x）的导数，可得斜率，解方程可得a，b；（2）由题意可得即证﹣＜xlnx，令g（x）=﹣，求出导数，单调区间，可得最大值；又令h（x）=xlnx，求出最小值，即可得证；（3）由（2）可得﹣mlnm＜，即﹣lnm＜，两边乘以e，可得一不等式，同理可得，﹣elnn＜，两式相加结合条件，即可得证．【解答】解：（1）函数f（x）=﹣axlnx的导数为f′（x）=﹣alnx﹣a，由题意可得f′（1）=b=﹣a，f（1）==b+1+，解得a=1，b=﹣1；（2）证明：f（x）=﹣xlnx＜，即为﹣＜xlnx，令g（x）=﹣，g′（x）=，则g（x）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减，g（x）的最大值为g（1）=﹣，当且仅当x=1时等号成立．又令h（x）=xlnx，则h′（x）=1+lnx，则h（x）在（0，）递减，在（，+∞）递增，则h（x）的最小值为h（）=﹣，当且仅当x=等号成立，因此﹣＜xlnx，即f（x）＜；（3）证明：由（2）可得﹣mlnm＜，即﹣lnm＜，两边同乘以e，可得﹣elnm＜，同理可得，﹣elnn＜，两式相加，可得：＜e（lnm+lnn）+2（m+n）=elnmn+=2（m+n）．故＜2（m+n）．四、解答题（共1小题，满分10分）选修4-4：参数方程与极坐标系22．（10分）已知平面直角坐标系xoy中，点P（1，0），曲线C的参数方程为（φ为参数）．以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，倾斜角为α的直线l的极坐标方程为ρsin（α﹣θ）=sinα．（1）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（2）若曲线C与直线l交于M，N两点，且，求α的值．【分析】（1）消去曲线C中的参数，可得普通方程，利用ρsinθ=y，ρcosθ=x，可得直线l的直角坐标方程．（2）利用参数方程的几何意义，求解．【解答】解：（1）曲线C的参数方程为（φ为参数）．cos2φ+sin2φ=1，可得：故得曲线C的普通方程为．直线l的极坐标方程为ρsin（α﹣θ）=sinα⇔ρsinαcosθ﹣ρsinθcosα=sinα⇔（x﹣1）sinα=ycosα⇔y=x•tanα﹣tanα．故得直线l的直角坐标方程为y=x•tanα﹣tanα．（2）由题意，可得直线l的参数方程带入曲线C的普通方程可得：（3sin2α+1）+2cosα•t﹣3=0，可得：，．由，可得：||=||=，即=||，解得：|cosα|=，∴α=或．五、解答题（共1小题，满分10分）选修4-5：不等式选讲23．（10分）已知实数a，b，c均大于0．（1）求证：++≤a+b+c；（2）若a+b+c=1，求证：≤1．【分析】直接利用基本不等式，即可证明．【解答】证明：（1）∵实数a，b，c均大于0，∴a+b≥2，b+c≥2，c+a≥2，三式相加，可得：++≤a+b+c；（2）∵a+b≥2，b+c≥2，c+a≥2，∴≤++≤a+b+c=1．。
山西省太原市2017-2018学年高二上学期期末考试数学理试题(含答案,word版)
太原市 2017~2018 学年第一学期高二期末考试（理科）数学试卷一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 3 分，共 36 分）1.已知命题 p : ∀x ∈ R , x 2 ≥ 0 ,则 ⌝p 是（ ）A. ∀x ∈ R , x 2 < 0B. ∃x 0∈ R , x 02 ≥ 0C. ∀x ∈ R , x 2 ≤ 0D. ∃x 0∈ R , x 02 < 0x 2 y 2 2.椭圆+ = 1 的焦距为（ ） 25 16A.10B.8C.6D.43.已知 a = (1, m , 2), b = (n ,1, -2) ,若 a = λb , 则实数 m , n 的值分别为（ ）A. -1, -1B.1, -1C. -1,1D.1,14.已知平面 α // β , a 是直线，则“ a ⊥ α ”是“ a ⊥ β ”的 （ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 5.抛物线 x 2 = 4 y 的焦点坐标是A. (1, 0)B. (0,1)C. (2, 0)D. (0, 2)6.已知 m = (1, 0, 2) 是直线 l 的一个方向向量， n 是平面 α 的一个法向量，且 l α ，则 n 不可能是A. (0,1, 0) (2, 0, -1) C. (-2,1,1) D. (-1,1, -2)7.已知双曲线的一个焦点是，其渐近线方程为 y = ±2x ，则该曲线的标准方程为 A.2214y x -= B. 2214x y -= C. 2214x y -= D. 2214y x -=8.在空间直角坐标系中， O (0, 0, 0) , A (1, 0, 0) , B (0, 2, 0) , C (0, 0, c ) , D (2, d , -1) ,若直线 OD ⊥ 平面 ABC ，则实数 c , d 的值分别是A.2，-1B.-2,1C. 12- ,1D. 12 , -19.已知命题“ ∃ x 0∈[1, 2], x 02 - 2a x 0 +1 > 0”是真命题，则实数 a 的取值范围为（ ）A.(,1)-∞B. (1,)+∞C. 5(,4-∞D. 5(,)4+∞10.已知i =(1,0,0), j =(0,1,0), k =(0,0,1 )，且m =i + 2 j + 3k ，若m =x(i+j )+y(j +k )+z(k+i )，则实数x, y, z 的值分别是（）A. 0,1, 2 B. 0, 2,1 C. 2,0,1 D. 1, 2,011.已知直线y =kx +2与双曲线22143x y-=的右支相交于A, B两个不同点，则实数k 的取值范围是A.(B.(C.((37(,D.(12.已知直棱柱ABC -A1B1C1 中，AA1 ⊥底面ABC ，AB ⊥AC, AB =AC ，点P 是侧面ABB1 A1 内的动点，点P 到棱AC 的距离等于到平面BCC1B1 的距离，则动点P 的轨迹是A.抛物线的一部分B.椭圆的一部分C.双曲线的一部分D.直线的一部分二、填空题（本大题共4 小题，每小题4 分，共16 分.把答案填在题中横线上）1 3 . 命题“若x >1,则x2 >1”的否命题为.答案：若x ≤1,则x2 ≤114.双曲线x2 -3y2 =3的焦点坐标为.1 5 . 在平面直角坐标系xOy 中，双曲线22221x ya b-=(a > 0, b> 0)的右支与焦点为F 的抛物线x2 =2py( p >0)相交于A, B 两个不同点，若AF +BF= 4 OF ，则该双曲线的离心率是＿＿＿＿.16.在空间直角坐标系中，O(0,0,0),A(1,0,0),B(0,2,0),C(0,0,3),D(x, y, z)，且CD =1 ，则OA +OB +OD 的取值范围是＿＿＿＿.三、解答题（本大题共4 小题，共48 分）17.(本小题满分10 分)已知命题p :直线y =x +m 经过第一、第二和第三象限, q :不等式x2 + 2x +m > 0 在R 上恒成立. (1)若p ∨q 是真命题，求实数m 的取值范围;(2)若(⌝p)∨(⌝q)是假命题，求实数m 的取值范围.18.(10 分)如图，三棱锥O -ABC 各棱的棱长都是1，点D 是棱AB 的中点，点E 在棱OC 上，且OE =λOC ，记OA =a,O B =b,O C =c(1)用向量a,b, c 表示向量DE(2)求DE 的最小值19.(本小题满分10 分)已知双曲线22213x ya-=(a > 0)的离心率e = 2 ,抛物线C 的准线经过其左焦点.（1）求抛物线C 的标准方程及其准线方程；（2）若过抛物线C 焦点F 的直线l 与该抛物线交于A, B 两个不同的点，求证：以AB 为直径的圆与抛物线C 的准线相切2 0 . (本小题满分10 分)说明：请考生在(A),(B)两小题中任选一题解答.(A)如图，在四棱锥P -ABCD 中，点E 是AD 的中点，点F 在棱PB 上，AD ∥BC,AB ⊥AD, PA =PD = 2, BC =1AD =1, AB =2（1）证明：平面CEF ⊥平面PAD;（2）若点F 是PB 的中点，求直线CP 与平面CEF 所成角的正弦值.(B)如图，在四棱锥 P - ABCD 中，点 E 是 AD 的中点，点 F 在棱 PB 上， AD ∥BC , AB ⊥ AD , PA = PD = 2, BC = 1 AD = 1, AB = 2（1）证明：平面 CEF ⊥ 平面 PAD ; 3, PC = 6.（2）设 PF = k PB (0 < k < 1), 且二面角 P - CE - F 的大小为 30︒, 求实数 k 的值.21.(本小题满分 12 分)说明：考生在(A),(B)两小题中任选一题解答.(A)已知点 F 1 , F 2 分别是椭圆 C : 22221x y a b +=(a > b > 0) 的左，右焦点，点 A , B 分别是其右顶点和上顶 点，椭圆 C 的离心率 12e =，且 221F A F B =- (1)求椭圆 C 的方程(2)若过点 F 2 的直线 l 与椭圆 C 相交于 M , N 两个不同点，求 ∆F 1MN 面积的最大值 4 1 (B)已知点 F 1 , F 2 分别是椭圆 C :22221x y a b +=(a > b > 0) 的左，右焦点，点 A , B 分别是其右顶点和上顶点，2F AB S ∆=且221F A F B =- (1)求椭圆 C 的方程(2)若过点 F 2 的直线 l 与椭圆 C 相交于 M , N 两个不同点，求 F 1MN 面积的最大值。
2016-2017学年山西省太原市高三上学期期末数学试卷(理科)含答案
2016-2017学年山西省太原市高三上学期数学期末试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1．（5分）已知集合A={x∈N|x≤1}，B={x|﹣1≤x≤2}，则A∩B=（）A．{0，1}B．{﹣1，0，1}C．[﹣1，1]D．{1}2．（5分）设复数z=1+2i，则=（）A．B．C．D．13．（5分）给出下列命题：①若数列{a n}为等差数列，S n为其前n项和，则S n，S2n﹣S n，S3n﹣S2n是等差数列；②若数列{a n}为等比数列，S n为其前n项和，则S n，S2n﹣S n，S3n﹣S2n是等比数列；③若数列{a n}，{b n}均为等差数列，则数列{a n+b n}为等差数列；④若数列{a n}，{b n}均为等比数列，则数列{a n•b n}为等比数列其中真命题的个数为（）A．1B．2C．3D．44．（5分）设α，β为两个不同的平面，l为直线，则下列结论正确的是（）A．l∥α，α⊥β⇒l⊥αB．l⊥α，α⊥β⇒l∥αC．l∥α，α∥β⇒l∥βD．l⊥α，α∥β⇒l⊥β5．（5分）已知sinα=﹣cosα，则tan2α=（）A．B．C．D．6．（5分）执行如图所示的程序框图，输入x=﹣1，n=5，则输出s=（）A．﹣2B．﹣3C．4D．37．（5分）如图是一个棱锥的正视图和侧视图，则该棱锥的俯视图不可能是（）A．B．C．D．8．（5分）将函数f（x）=sinxcosx+sin2x的图象上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，再沿x轴向右平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，则y=g（x）的一个递增区间是（）A．B．C．D．9．（5分）在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD相交于点F，则=（）A．B．C．D．10．（5分）已知平面区域D=，z=3x﹣2y，若命题“∃（x0，y0）∈D，z＞m”为假命题，则实数m的最小值为（）A．B．C．D．11．（5分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1绕其体对角线BD1旋转θ之后与其自身重合，则θ的值可以是（）A．B．C．D．12．（5分）已知f（x）=，若函数f（x）有四个零点，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣e）B．（﹣∞，﹣）C．（﹣∞，﹣）D．（﹣∞，﹣）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）数据0.7，1，0.8，0.9，1.1的方差是．14．（5分）七名同学站成一排照相，其中甲、乙二人相邻，且丙、丁两人不相邻的不同排法总数为．15．（5分）已知数列{a n}的前n项和S n=2a n﹣2n+1（n∈N*），则其通项公式a n=．16．（5分）已知a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C的对边，BC边上的高为，则的最大值为．三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17．（12分）已知数列{a n}是首项为1的单调递增的等比数列，且满足a3，成等差数列．（1）求{a n}的通项公式；（2）若b n=log3（a n•a n+1）（n∈N*），求数列{a n•b n}的前n项和S n．18．（12分）如图，已知AD是△ABC内角∠BAC的角平分线．（1）用正弦定理证明：；（2）若∠BAC=120°，AB=2，AC=1，求AD的长．19．（12分）甲、乙两人玩一种游戏，游戏规则如下：先将筹码放在如下表的正中间D处，投掷一枚质地均匀的硬币，若正面朝上，筹码向右移动一格；若反面朝上，筹码向左移动一格．（1）将硬币连续投掷三次，现约定：若筹码停在A或B或C或D处，则甲赢；否则，乙赢．问该约定对乙公平吗？请说明理由．（2）设甲、乙两人各有100个积分，筹码停在D处，现约定：①投掷一次硬币，甲付给乙10个积分；乙付给甲的积分数是，按照上述游戏规则筹码所在表中字母A﹣G下方所对应的数目；②每次游戏筹码都连续走三步，之后重新回到起始位置D处．你认为该规定对甲、乙二人哪一个有利，请说明理由．20．（12分）如图，在六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分别是棱A1B1，B1C1的中点，平面ABCD⊥平面A1B1BA，平面ABCD平面B1BCC1．（1）证明：BB1⊥平面ABCD；（2）已知六面体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长均为，cos∠BAD=，设平面BMN与平面AB1D1相交所成二面角的大小为θ求cosθ．21．（12分）已知函数f（x）=﹣axlnx（a∈R）在x=1处的切线方程为y=bx+1+（b∈R）．（1）求a，b的值；（2）证明：f（x）＜．（3）若正实数m，n满足mn=1，证明：+＜2（m+n）．四、解答题（共1小题，满分10分）选修4-4：参数方程与极坐标系22．（10分）已知平面直角坐标系xoy中，点P（1，0），曲线C的参数方程为（φ为参数）．以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，倾斜角为α的直线l的极坐标方程为ρsin（α﹣θ）=sinα．（1）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（2）若曲线C与直线l交于M，N两点，且，求α的值．五、解答题（共1小题，满分10分）选修4-5：不等式选讲23．（10分）已知实数a，b，c均大于0．（1）求证：++≤a+b+c；（2）若a+b+c=1，求证：≤1．2016-2017学年山西省太原市高三上学期数学期末试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1．（5分）已知集合A={x∈N|x≤1}，B={x|﹣1≤x≤2}，则A∩B=（）A．{0，1}B．{﹣1，0，1}C．[﹣1，1]D．{1}【分析】集合A与集合B的公共元素构成集合A∩B．【解答】解：∵集合A={x∈N|x≤1}，B={x|﹣1≤x≤2}，∴A∩B={0，1}．故选：A．2．（5分）设复数z=1+2i，则=（）A．B．C．D．1【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．【解答】解：z2=（1+2i）2=﹣3+4i，|z2|==5，则==+i．故选：B．3．（5分）给出下列命题：①若数列{a n}为等差数列，S n为其前n项和，则S n，S2n﹣S n，S3n﹣S2n是等差数列；②若数列{a n}为等比数列，S n为其前n项和，则S n，S2n﹣S n，S3n﹣S2n是等比数列；③若数列{a n}，{b n}均为等差数列，则数列{a n+b n}为等差数列；④若数列{a n}，{b n}均为等比数列，则数列{a n•b n}为等比数列其中真命题的个数为（）A．1B．2C．3D．4【分析】①设等差数列a n的首项为a1，公差为d，则S n=a1+a2+…+a n，S2n﹣S n=a n+1+a n+2+…+a2n=a1+nd+a2+nd+…+a n+nd=S n+n2d，同理：S3n﹣S2n=a2n+1+a2n+2+…+a3n=a n+1+a n+2+…+a2n+n2d=S2n﹣S n+n2d，即可判断出结论．②取数列﹣1，1，﹣1，1，…，S n可能为0，因此不成等比数列，即可判断出；③设a n=a1+（n﹣1）d1，b n=b1+（n﹣1）d2，则a n+b n=（a1+b1）+（n﹣1）（d1+d2），即可判断出结论．④设a n=a1，b n=b1，则a n•b n=a1b1，即可判断出结论．【解答】解：①设等差数列a n的首项为a1，公差为d，则S n=a1+a2+…+a n，S2n﹣S n=a n+1+a n+2+…+a2n=a1+nd+a2+nd+…+a n+nd=S n+n2d，同理：S3n﹣S2n=a2n+1+a2n+2+…+a3n=a n+1+a n+2+…+a2n+n2d=S2n﹣S n+n2d，∴2（S2n﹣S n）=S n+（S3n ﹣S2n），∴S n，S2n﹣S n，S3n﹣S2n是等差数列．正确．②取数列﹣1，1，﹣1，1，…，S n可能为0，因此不成等比数列，不正确；③设a n=a1+（n﹣1）d1，b n=b1+（n﹣1）d2，则a n+b n=（a1+b1）+（n﹣1）（d1+d2），故数列{a n+b n}为等差数列，正确．④设a n=a1，b n=b1，则a n•b n=a1b1，因此数列{a n•b n}为等比数列，正确．其中真命题的个数为3．故选：C．4．（5分）设α，β为两个不同的平面，l为直线，则下列结论正确的是（）A．l∥α，α⊥β⇒l⊥αB．l⊥α，α⊥β⇒l∥αC．l∥α，α∥β⇒l∥βD．l⊥α，α∥β⇒l⊥β【分析】A，选项中，若果l刚好平行于α、β的交线时，l∥α；B，l⊥α，α⊥β⇒l∥β或l⊂β；C，l∥α，α∥β⇒l∥β或l⊂β；D，l⊥α，α∥β⇒l⊥β，；【解答】解：对于A，选项中，如果l刚好平行于α、β的交线时，l∥α，故错；对于B，l⊥α，α⊥β⇒l∥β或l⊂β，故错；对于C，l∥α，α∥β⇒l∥β或l⊂β，故错；对于D，l⊥α，α∥β⇒l⊥β，正确；故选：D．5．（5分）已知sinα=﹣cosα，则tan2α=（）A．B．C．D．【分析】求出tanα的值，根据二倍角公式求出t an2α的值即可．【解答】解：∵sinα=﹣cosα，∴tanα=﹣，∴tan2α===，故选：C．6．（5分）执行如图所示的程序框图，输入x=﹣1，n=5，则输出s=（）A．﹣2B．﹣3C．4D．3【分析】列出循环过程中S与i的数值，不满足判断框的条件即可结束循环．【解答】解：i=4时，s=﹣1，i=3时，s=5，i=2时，s=﹣2，i=1时，s=4，i=0时，s=﹣3，退出循环，故选：B．7．（5分）如图是一个棱锥的正视图和侧视图，则该棱锥的俯视图不可能是（）A．B．C．D．【分析】根据已知中的正视图和侧视图，分析出俯视图可能出现的情况，可得答案．【解答】解：若几何体为三棱锥，由其正视图和侧视图可知，其底面在下方，且为直角三角形，故A，B，D有可能；若几何体为四棱锥，由其正视图和侧视图可知，其底面在下方，且为直角正方形，但对角线应从左上到右下；故该棱锥的俯视图不可能是C，故选：C．8．（5分）将函数f（x）=sinxcosx+sin2x的图象上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，再沿x轴向右平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，则y=g（x）的一个递增区间是（）A．B．C．D．【分析】利用三角恒等变换化简函数的解析式为f（x）=sin（2x﹣）+，由函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换可求函数g（x），令x﹣∈[2kπ﹣，2kπ+]，k∈Z即可得解．【解答】解：f（x）=sinxcosx+sin2x=sin2x﹣cos2x+=sin（2x﹣）+，图象上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，可得对应的函数解析式为y=sin（x﹣）+，再沿x轴向右平移个单位，得到函数解析式为y=g（x）=sin（x﹣﹣）+=sin （x﹣）+，令x﹣∈[2kπ﹣，2kπ+]，k∈Z，解得：x∈[﹣+2kπ，2kπ+]，k ∈Z，取k=0，可得：x∈[﹣，]．故选：A．9．（5分）在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD相交于点F，则=（）A．B．C．D．【分析】根据两个三角形相似对应边成比例，得到DF与FC之比，做FG平行BD 交AC于点G，使用已知向量表示出要求的向量，得到结果．【解答】解：∵△DEF∽△BEADF：BA═DE：BE=1：3；作FG平行BD交AC于点G，∴FG：DO=2：3，CG：CO=2：3，∴=，∵=+=，∴=+=，故选：D．10．（5分）已知平面区域D=，z=3x﹣2y，若命题“∃（x0，y0）∈D，z＞m”为假命题，则实数m的最小值为（）A．B．C．D．【分析】画出约束条件的可行域，利用特称命题的否定是真命题，求出目标函数的最大值，然后求解m的最小值即可．【解答】解：平面区域D=，如图：命题“∃（x0，y0）∈D，z＞m”为假命题，则：∀（x，y）∈D，z≤m是真命题，由z=3x﹣2y，可得，当直线3x﹣2y=z，经过Q时，z由最大值，由解得Q（，），z的最大值就是m的最小值：．故选：D．11．（5分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1绕其体对角线BD1旋转θ之后与其自身重合，则θ的值可以是（）A．B．C．D．【分析】由正方体的特点，对角线BD1垂直于平面AB1C，且三角形AB1C为等边三角形得答案．【解答】解：如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，对角线BD1垂直于平面AB1C，且三角形AB1C为等边三角形，正方体绕对角线旋转120°能与原正方体重合．故选：C．12．（5分）已知f（x）=，若函数f（x）有四个零点，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣e）B．（﹣∞，﹣）C．（﹣∞，﹣）D．（﹣∞，﹣）【分析】由题意可知：函数f（x）为偶函数，只需e x+ax=0有两个正根，即﹣=a 有两个正根，设g（x）=﹣，求导，利用函数的单调性求得g（x）的最大值，即可求得a的取值范围．【解答】解：由函数f（x）为偶函数，可知使函数f（x）有四个零点，只需要e x+ax2=0有两个正根，即﹣=a有两个正根，设g（x）=﹣，x＞0，求导g′（x）=﹣=﹣=，令g′（x）＞0，解得：0＜x＜2，g（x）在（0，2）单调递增，令g′（x）＜0，解得：x＞2，g（x）在（2，+∞）单调递减，∴g（x）在x=2时取最大值，最大值g（2）=﹣，要使﹣=a有两个正根，即使g（x）与y=a有两个交点，∴实数a的取值范围（﹣∞，﹣），故选：B．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）数据0.7，1，0.8，0.9，1.1的方差是0.02．【分析】先求出这组数据的平均数，再计算这组数据的方差．【解答】解：数据0.7，1，0.8，0.9，1.1的平均数为：=（0.7+1+0.8+0.9+1.1）=0.9，∴数据0.7，1，0.8，0.9，1.1的方差为：S2=[（0.7﹣0.9）2+（1﹣0.9）2+（0.8﹣0.9）2+（0.9﹣0.9）2+（1.1﹣0.9）2]=0.02．故答案为：0.02．14．（5分）七名同学站成一排照相，其中甲、乙二人相邻，且丙、丁两人不相邻的不同排法总数为960．【分析】由题设中的条件知，可以先把甲、乙必须相邻，可先将两者绑定，又丙、丁不相邻，可把甲、乙看作是一个人，与丙、丁之外的3个人作一个全排列，由于此4个元素隔开了5个空，再由插空法将丙、丁两人插入5个空，由分析过程知，此题应分为三步完成，由计数原理计算出结果即可【解答】解：由题意，第一步将甲、乙绑定，两者的站法有2种，第二步将此两人看作一个整体，与除丙丁之外的3人看作4个元素做一个全排列有A44种站法，此时隔开了5个空，第三步将丙丁两人插入5个空，排法种数为A52则不同的排法种数为2×A44×A52=960．故答案为：960．15．（5分）已知数列{a n}的前n项和S n=2a n﹣2n+1（n∈N*），则其通项公式a n= n•2n﹣1．【分析】当n=1时，可求得a1=1；当n≥2时，利用a n=S n﹣S n﹣1可得﹣=，从而可判定数列{}是以为首项，为公差的等差数列，可求得a n．【解答】解：①当n=1时，a1=2a1﹣2+1，则a1=1；=2a n﹣1﹣2n﹣1+1，S n﹣S n﹣1=（2a n﹣2n+1）﹣（2a n﹣1﹣2n﹣1+1）②当n≥2时，S n﹣1=2a n﹣2a n﹣1﹣2n﹣1=a n，即a n﹣2a n=2n﹣1，﹣1变形为：﹣=，故数列{}是以为首项，为公差的等差数列，所以，=+（n﹣1）=，所以a n=n•2n﹣1，故答案为：n•2n﹣1．16．（5分）已知a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C的对边，BC边上的高为，则的最大值为1+．【分析】由已知及三角形面积公式，余弦定理可求+=2sin（A+），进而可求的最大值．==a2=bcsinA，可得：a2=2bcsinA，【解答】解：由题意可得：S△ABC又∵a2=b2+c2﹣2bccosA，∴2bcsinA=b2+c2﹣2bccosA，∴同除以bc，可得：+=+=2sin（A+），∴可得的最大值为1+．故答案为：1+．三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17．（12分）已知数列{a n}是首项为1的单调递增的等比数列，且满足a3，成等差数列．（1）求{a n}的通项公式；（2）若b n=log3（a n•a n+1）（n∈N*），求数列{a n•b n}的前n项和S n．【分析】（1）设等比数列{a n}公比为q＞1，由a3，成等差数列．可得a4=a3+a5，化为：3q2﹣10q+3=0，解得q即可得出．（2）b n=log3（a n•a n+1）==2n﹣1，可得a n b n=（2n﹣1）•3n﹣1．利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出．【解答】解：（1）设等比数列{a n}公比为q＞1，∵a3，成等差数列．∴a4=a3+a5，化为：3q2﹣10q+3=0，解得q=3．∴a n=3n﹣1．（2）b n=log3（a n•a n+1）==2n﹣1，∴a n b n=（2n﹣1）•3n﹣1．∴数列{a n•b n}的前n项和S n=1+3×3+5×32+…+（2n﹣1）•3n﹣1．3S n=3+3×32+5×33+…+（2n﹣3）•3n﹣1+（2n﹣1）•3n，∴﹣2S n=1+2（3+32+…+3n﹣1）﹣（2n﹣1）•3n=1+2×﹣（2n﹣1）•3n=（2﹣2n）•3n﹣2，∴S n=1+（n﹣1）•3n．18．（12分）如图，已知AD是△ABC内角∠BAC的角平分线．（1）用正弦定理证明：；（2）若∠BAC=120°，AB=2，AC=1，求AD的长．【分析】（1）根据AD是∠BAC的角平分线，利用正弦定理，即可证明结论成立；（2）根据余弦定理，先求出BC的值，再利用角平分线和余弦定理，即可求出AD的长．【解答】解：（1）∵AD是∠BAC的角平分线，∴∠BAD=∠CAD，根据正弦定理，在△ABD中，=，在△ADC中，=，∵sin∠ADB=sin（π﹣∠ADC）=sin∠ADC，∴=，=，∴=；（2）根据余弦定理，cos∠BAC=，即cos120°=，解得BC=，又=，∴=，解得CD=，BD=；设AD=x，则在△ABD与△ADC中，根据余弦定理得，cos60°=，且cos60°=，解得x=，即AD的长为．19．（12分）甲、乙两人玩一种游戏，游戏规则如下：先将筹码放在如下表的正中间D处，投掷一枚质地均匀的硬币，若正面朝上，筹码向右移动一格；若反面朝上，筹码向左移动一格．（1）将硬币连续投掷三次，现约定：若筹码停在A或B或C或D处，则甲赢；否则，乙赢．问该约定对乙公平吗？请说明理由．（2）设甲、乙两人各有100个积分，筹码停在D处，现约定：①投掷一次硬币，甲付给乙10个积分；乙付给甲的积分数是，按照上述游戏规则筹码所在表中字母A﹣G下方所对应的数目；②每次游戏筹码都连续走三步，之后重新回到起始位置D处．你认为该规定对甲、乙二人哪一个有利，请说明理由．【分析】（1）利用将硬币连续投掷三次，列举出所有8种情况，筹码停在A或B 或C或D处有4种情况，即筹码停在A或B或C或D为，从而得到该约定对乙公平．（2）乙付给甲的积分数可能是20，25，30，45，55，设乙付给甲的积分为X，求出E（X）=＞30，从而该规定对甲有利．【解答】解：（1）该约定对乙公平．将硬币连续投掷三次，共有以下8种情况：D→C→B→A，D→C→B→C，D→C→D→E，D→C→D→C，D→E→F→G，D→E→F→E，D→E→D→E，D→E→D→C．筹码停在A或B或C或D处有4种情况，即筹码停在A或B或C或D为：p=，∴该约定对乙公平．（2）该规定对甲有利．根据（1）中所列的8种情况可得乙付给甲的积分数可能是20，25，30，45，55，设乙付给甲的积分为X，P（X=20）=，P（X=25）=，P（X=30）=，P（X=45）=，P（X=55）=，可得分布列为：E（X）==＞30，∴该规定对甲有利．20．（12分）如图，在六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分别是棱A1B1，B1C1的中点，平面ABCD⊥平面A1B1BA，平面ABCD平面B1BCC1．（1）证明：BB1⊥平面ABCD；（2）已知六面体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长均为，cos∠BAD=，设平面BMN与平面AB1D1相交所成二面角的大小为θ求cosθ．【分析】（1）过点D作DP⊥AB，过点D作DQ⊥BC，推导出DP⊥BB1，DQ⊥BB1，由此能证明BB1⊥平面ABCD．（2）设AC与BD的交点为O，与B1D1的交点为O1，以O为原点，分别以OA，OB，OO1所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出cosθ．【解答】证明：（1）过点D作DP⊥AB，过点D作DQ⊥BC，由平面ABCD⊥平面A1B1BA，BB1⊂平面A1B1BA，得DP⊥BB1，由平面ABCD⊥平面B1BCC1，BB1⊂平面B1BCC1，得DQ⊥BB1，又DP∩DQ=D，∴BB1⊥平面ABCD．解：（2）由AB=AD=，且cos∠BAD=，在△ABD中利用余弦定理得BD=2，设AC与BD的交点为O，与B1D1的交点为O1，以O为原点，分别以OA，OB，OO1所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则B（0，1，0），M（1，，），N（﹣1，，），C（﹣2，0，0），A1（2，0，），A（2，0，0），B1（0，1，），D1（0，﹣1，），设平面BMN的法向量为=（a，b，c），=（1，﹣），=（﹣2，0，0），则，取b=10，得=（0，10，），设平面AB1D1的法向量为=（x，y，z），=（﹣2，1，），=（0，﹣2，0），则，取x=5，得=（5，0，2），∴cosθ==．21．（12分）已知函数f（x）=﹣axlnx（a∈R）在x=1处的切线方程为y=bx+1+（b∈R）．（1）求a，b的值；（2）证明：f（x）＜．（3）若正实数m，n满足mn=1，证明：+＜2（m+n）．【分析】（1）求得f（x）的导数，可得斜率，解方程可得a，b；（2）由题意可得即证﹣＜xlnx，令g（x）=﹣，求出导数，单调区间，可得最大值；又令h（x）=xlnx，求出最小值，即可得证；（3）由（2）可得﹣mlnm＜，即﹣lnm＜，两边乘以e，可得一不等式，同理可得，﹣elnn＜，两式相加结合条件，即可得证．【解答】解：（1）函数f（x）=﹣axlnx的导数为f′（x）=﹣alnx﹣a，由题意可得f′（1）=b=﹣a，f（1）==b+1+，解得a=1，b=﹣1；（2）证明：f（x）=﹣xlnx＜，即为﹣＜xlnx，令g（x）=﹣，g′（x）=，则g（x）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减，g（x）的最大值为g（1）=﹣，当且仅当x=1时等号成立．又令h（x）=xlnx，则h′（x）=1+lnx，则h（x）在（0，）递减，在（，+∞）递增，则h（x）的最小值为h（）=﹣，当且仅当x=等号成立，因此﹣＜xlnx，即f（x）＜；（3）证明：由（2）可得﹣mlnm＜，即﹣lnm＜，两边同乘以e，可得﹣elnm＜，同理可得，﹣elnn＜，两式相加，可得：＜e（lnm+lnn）+2（m+n）=elnmn+=2（m+n）．故＜2（m+n）．四、解答题（共1小题，满分10分）选修4-4：参数方程与极坐标系22．（10分）已知平面直角坐标系xoy中，点P（1，0），曲线C的参数方程为（φ为参数）．以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，倾斜角为α的直线l的极坐标方程为ρsin（α﹣θ）=sinα．（1）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（2）若曲线C与直线l交于M，N两点，且，求α的值．【分析】（1）消去曲线C中的参数，可得普通方程，利用ρsinθ=y，ρcosθ=x，可得直线l的直角坐标方程．（2）利用参数方程的几何意义，求解．【解答】解：（1）曲线C的参数方程为（φ为参数）．cos2φ+sin2φ=1，可得：故得曲线C的普通方程为．直线l的极坐标方程为ρsin（α﹣θ）=sinα⇔ρsinαcosθ﹣ρsinθcosα=sinα⇔（x﹣1）sinα=ycosα⇔y=x•tanα﹣tanα．故得直线l的直角坐标方程为y=x•tanα﹣tanα．（2）由题意，可得直线l的参数方程带入曲线C的普通方程可得：（3sin2α+1）+2cosα•t﹣3=0，可得：，．由，可得：||=||=，即=||，解得：|cosα|=，∴α=或．五、解答题（共1小题，满分10分）选修4-5：不等式选讲23．（10分）已知实数a，b，c均大于0．（1）求证：++≤a+b+c；（2）若a+b+c=1，求证：≤1．【分析】直接利用基本不等式，即可证明．【解答】证明：（1）∵实数a，b，c均大于0，∴a+b≥2，b+c≥2，c+a≥2，三式相加，可得：++≤a+b+c；（2）∵a+b≥2，b+c≥2，c+a≥2，∴≤++≤a+b+c=1．。