定积分习题

定积分习题

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ﻩ

第九章 定 积 分

练 习 题

§１定积分概念

习 题

1．按定积分定义证明：⎰-=b

a a

b k kdx ).(

2．通过对积分区间作等分分割,并取适当的点集{}i ξ，把定积分看作是对应的积分和的极限,来计算下列定积分： （1）⎰∑=+=

1

1

22

33

)1(4

1:;n

i n n i dx x 提示 （2)⎰10;dx e x

(3)⎰b

a x

dx e ; （４）12(0).(:)b i i i a dx a b x x x ξ-<<=⎰提示取

§2 牛顿一菜布尼茨公式

ﻩﻩ1.计算下列定积分:

(1）⎰+1

0)32(dx x ； (2）⎰+-1

022

11dx x x ; (３）⎰2ln e e x x dx ;

(4）⎰--1

2

dx e e x

x ; (５)⎰

30

2tan π

xdx

(6）

⎰

+

9

4

;)1(dx x

x

（７)⎰+4

0;1x dx

（8）⎰e e

dx x x 12

)(ln 1 2．利用定积分求极限:

(１));21(13

34lim n n

n +++∞→ （2);)(1)2(1)1(1222lim ⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++++∞→n n n n n n (3）);21

)2(111(

222lim n n n n n +++++∞

→

（4))1sin 2sin (sin 1lim n n n n n

n -+++∞→ ππ ３．证明：若f 在[a,ｂ］上可积，F 在[a,b]上连续,且除有限个点外

有F ＇（x)＝f (x),则有

()()().b

a f x dx F

b F a =-⎰

§3 可积条件

1．证明：若T ˊ是T 增加若干个分点后所得的分割,则∑∑∆≤∆'

.''T T

i i i i χωχω

2．证明：若ｆ在[a ，b ］上可积,[][][]上也可积在则ββ,,,,a f b a a ⊂． 3.设f ﹑g 均为定义在［a,b]上的有界函数。证明：若仅在［a,b]中有限个点处()(),χχg f ≠则当f 在[a,b ］上可积时，g 在[ａ,ｂ］上也可积，且

()().χχχχd g a b

d f a b ⎰⎰=

3．设f 在[a,b]上有界，{}[],

,b a a n ⊂.lim c a

n

n =∞

→证明：在[a ，ｂ]上只有

() ,2,1=n a n 为其间断点，则ｆ在[ａ,b ］上可积。

4．证明：若ｆ在区间∆上有界，则

()()()()"','".sup sup inf f f f f χ

χχχχχχχ∈∆

∈∆

∈∆

-=-。

§4 定积分的性质

1.证明:若ｆ与ｇ都在[a ，ｂ]上可积,则

∑⎰=→=∆n

i b

a

i i i T dx x g x f x g f 1

0,)()()()(lim ηξ

其中i i ηξ,是Ｔ所属小区间△ｉ中的任意两点，ｉ=1,2…，n ．

２.不求出定积分的值，比较下列各对定积分的大小: (1)⎰⎰101

;2

dx x xdx 与

ﻩ(２)⎰⎰20

20

.sin π

π

xdx xdx 与

3.证明下列不等式:

（1）

20

2

;2

211sin 2

dx x π

π

π

<<-⎰

(２）1201x e dx e <<⎰;

(3）2

sin 12;xdx dx x π

π

<<⎰ （4)4ln 3 6.e e x e dx x

<<⎰

４.设ｆ在[a,b]上连续,且ｆ(x)不恒等于零,证明()()

2

0.b

a

f x dx >⎰

５.设f 与g 都在［a,b]上可积,证明

[]

{}[]

{})(),()(,)(),()(min max ,,x g x f x m x g x f x M b a x b a x ∈∈==

在[a,b]上也都可积.

6.试求心形线πθθ20),cos 1(≤≤+=a r 上各点极径的平均值.

７.设f 在［ａ,ｂ］上可积,且在[a,b ］上满足.0)( m x f ≥证明

f

1

在[a,b]上也可积．

８．进一步证明积分第一中值定理（包括定理９.7和定理9.8）中的中值点ξ∈(a ，b).

9．证明:若f 与ｇ都在[ａ，b]上可积,且g(ｘ）在[a,b ］上不变号,Ｍ、m 分别为 ｆ(x)在[a,ｂ]上的上、下确界，则必存在某实数μ(m ≤μ≤M ）,使得

⎰⎰=b

a

b

a

dx x g dx x g x f .)()()(μ

10.证明:若f 在[a,b]上连续,且⎰⎰==b a

b

a

dx x xf dx x f ,0)()(则在（a ，b)内至

少存在两点ｘ1,x 2,使f(x 1）＝ f(x ２）=０.又若⎰=b

a

dx x f x ,0)(2这时f 在(a,b ）

内是否至少有三个零点?

11.设f 在［a,b ］上二阶可导，且"f (x)>0.证明:

(1）⎰-≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+b a

dx x f a

b b a f ;)(12 (2)又若[],,,0)(b a x x f ∈≤则又有

[].,,)(2)(b a x dx x f a b x f b

a ∈-≥⎰

12.证明: