定积分习题

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定积分练习题(打印版)

定积分练习题（打印版）一、基础计算题1. 计算定积分 $\int_{0}^{1} x^2 dx$。

2. 计算定积分 $\int_{1}^{2} \frac{1}{x} dx$。

3. 计算定积分 $\int_{0}^{2} (3x - 2) dx$。

二、换元积分题1. 计算定积分 $\int e^{2x} dx$，其中上下限为 $0$ 到 $\ln 2$。

2. 计算定积分 $\int \frac{1}{\sqrt{1 + x^2}} dx$，其中上下限为 $0$ 到 $1$。

三、分部积分题1. 计算定积分 $\int x e^x dx$，上下限为 $0$ 到 $1$。

2. 计算定积分 $\int \sin x \cos x dx$，上下限为 $0$ 到$\pi$。

四、几何应用题1. 利用定积分计算圆 $x^2 + y^2 = 1$ 在第一象限内围成的面积。

2. 利用定积分计算抛物线 $y = x^2$ 与直线 $y = 4$ 所围成的面积。

五、物理应用题1. 假设一物体的加速度 $a(t) = 2t$，计算从 $0$ 到 $1$ 秒内物体的位移。

2. 假设一物体的力 $F(x) = 3x + 1$，计算从 $0$ 到 $2$ 米内物体所做的功。

六、综合题1. 利用定积分计算函数 $y = \sqrt{x}$ 与 $x$ 轴，以及直线$x = 1$ 所围成的面积。

2. 利用定积分计算函数 $y = \ln x$ 与 $x$ 轴，以及直线 $x = e$ 所围成的面积。

七、挑战题1. 计算定积分 $\int_{0}^{\pi/2} \sin^3 x \cos x dx$。

2. 计算定积分 $\int_{0}^{1} \frac{\ln x}{x} dx$。

答案提示：- 对于基础计算题，可以直接应用定积分的基本公式进行计算。

定积分练习题

第九章定积分练习题§1定积分概念习题1．按定积分定义证明：⎰-=ba ab k kdx ).(2．通过对积分区间作等分分割，并取适当的点集{}i ξ，把定积分看作是对应的积分和的极限，来计算下列定积分：（1）⎰∑=+=1012233)1(41:;ni n n i dx x 提示（2）⎰10;dx e x （3）⎰ba x dx e ; （4）2(0).(:bi adxa b xξ<<=⎰提示取§2 牛顿一菜布尼茨公式1．计算下列定积分：（1）⎰+10)32(dx x ；（2）⎰+-102211dx x x ；（3）⎰2ln e e x x dx ；（4）⎰--102dx e e xx ；（5）⎰302tan πxdx （6）⎰+94;)1(dx xx（7）⎰+40;1x dx（8）⎰eedx x x12)(ln 1 2．利用定积分求极限：（1）);21(1334lim n nn +++∞→ （2）;)(1)2(1)1(1222lim⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++++∞→n n n n n n （3）);21)2(111(222lim nn n n n +++++∞→ （4）)1sin 2sin (sin 1lim nn n n n n -+++∞→ ππ3．证明：若f 在[a,b]上可积，F 在[a,b]上连续，且除有限个点外有F ＇（x ）=f (x),则有()()().ba f x dx Fb F a =-⎰§3 可积条件1．证明：若T ˊ是T 增加若干个分点后所得的分割，则∑∑∆≤∆'.''T Ti i i i χωχω2．证明：若f 在[a,b]上可积，[][][]上也可积在则ββ,,,,a f b a a ⊂.3.设f ﹑g 均为定义在[a,b]上的有界函数。

证明：若仅在[a,b]中有限个点处()(),χχg f ≠则当f 在[a,b]上可积时，g 在[a,b]上也可积，且()().χχχχd g a bd f a b ⎰⎰=3．设f 在[a,b]上有界，{}[],,b a a n ⊂.lim c ann =∞→证明：在[a,b]上只有() ,2,1=n a n 为其间断点，则f 在[a,b]上可积。

常用积分练习题

常用积分练习题积分是微积分中重要的概念，它在求取函数面积、曲线长度、物理量等方面有广泛的应用。

为了帮助大家更好地理解和掌握积分运算，以下是一些常见的积分练习题，希望对大家的学习能有所帮助。

【题目一】计算下列定积分：(1) $\int_0^1 (2x^2+3x+1)dx$(2) $\int_1^2 \frac{1}{x}dx$【解答一】(1)$$\int_0^1 (2x^2+3x+1)dx =\left.\frac{2}{3}x^3+\frac{3}{2}x^2+x\right|_0^1 =\frac{2}{3}+\frac{3}{2}+1 - (0) = \frac{13}{6}$$(2)$$\int_1^2 \frac{1}{x}dx = \left.\ln|x|\right |_1^2 = \ln|2| - \ln|1| = \ln 2$$【题目二】计算下列定积分：(1) $\int_0^{\pi} \sin xdx$(2) $\int_0^{\pi} \cos^2 xdx$【解答二】(1)$$\int_0^{\pi} \sin xdx = \left. -\cos x\right |_0^{\pi} = -\cos(\pi) - (-\cos(0)) = -(-1) - (-1) = 2$$(2)$$\int_0^{\pi} \cos^2 xdx = \left. \frac{1}{2}(x+\sin x\cos x)\right|_0^{\pi} = \frac{1}{2}(\pi+\sin(\pi)\cos(\pi)) - (0+\sin(0)\cos(0)) =\frac{\pi}{2}$$【题目三】利用积分计算长度，计算曲线$y=x^3$在区间$[0, 1]$上的长度。

【解答三】曲线$y=x^3$在区间$[0, 1]$上的长度可以用积分来表示：$$\text{长度} = \int_0^1 \sqrt{1+(f'(x))^2}dx$$其中$f'(x)$表示曲线对应的导数。

定积分练习题

定积分练习题一、填空题1.由定积分的几何意义可知，定积分⎰-102d 1x x 的值是 .2.由定积分的几何意义知a x -=⎰_ _______.3.由定积分的几何意义知21d x x -=⎰__ ______. 4.由定积分的几何意义知sin d x x ππ-=⎰__ ______.5.一物体以速度23()v t t m s =+做直线运动，则物体在0t =到3t =这段时间内行进的路程为__ ______.6.比较大小，120d x x ⎰ _______130d x x ⎰.（用“≤”、“≥”或“=” 填空）7.比较大小，1x ⎰ ______1x ⎰.（用“≤”、“≥”或“=” 填空） 8.比较大小，20sin d x x π⎰____320sin d x x π⎰.（用“≤”、“≥”或“=” 填空） 9.比较大小，53ln d x x ⎰ _____523(ln )d x x ⎰.（用“≤”、“≥”或“=” 填空）10.120d sin d d x x x =⎰ .11.2dsin d d x x x =⎰ .12.20d sin d d xt t x =⎰ .13.02d sin d d x x x x =⎰ .14.220d sin d d x t t x =⎰ .15.()2de d x t t -=⎰________________________.16.1sin d d x t t t ⎛⎫= ⎪⎝⎭⎰_________________________.17.20d d t t ⎛⎫= ⎪⎝⎭⎰_________________________.18.求极限211e d limln x t x tx→=⎰____________________.19.求极限203sin d limx x t t x→=⎰____________________.20.求极限203arctan d limxx t t x→=⎰.21.若11(2+)d 3ln 2a x x x=+⎰，则a 的值等于____________________.22.若(21)d 4a ax x --=⎰，则a =___________________.23.已知20()d 3f x x =⎰，则2[()+3]d f x x =⎰______________.24.由不等式222x y a +≤所确定区域的面积A = .25.由椭圆22221x y a b+=所围成图形的面积A = .26.由圆y =与直线0y =所围成图形的面积A = . 27.由圆x =0x =所围成图形的面积A = . 28.由曲线y x =，0x =，与直线2y =所围成图形的面积A = . 29.由曲线sin y x =与直线0y =,0,x x π==所围成图形的面积A = . 30.由曲线cos y x =与直线0y =,0,2x x π==所围成图形的面积A = .31.由不等式2214x y ≤+≤所确定区域的面积A = .二、单项选择题1.定积分1212ln d x x x ⎰值的符号为（）.（A ）大于零；（B ）小于零；（C ）等于零；（D ）不能确定.2.下列等于1的积分是（）.（A ）10d x x ⎰；（B ）10(1)d x x +⎰；（C ）11d x ⎰；（D ）101d 2x ⎰.3.1(+)d x x e e x -=⎰（）.（A ）1e e +；（B ）2e ；（C ）2e ；（D ）1e e -.4.220(sin +cos )d 22x xx π=⎰（）.（A ）2π；（B ）12π+；（C ）2π-；（D ）0,5.1(2+)d 2x k x =⎰，则k =（）.（A ）0；（B ）-1；（C ）1；（D ）2.6.10d x m e x =⎰与11d en x x=⎰的大小关系是（）. （A ）m n >；（B ）m n <；（C ）m n =；（D ）无法确定.7.下列式子中，正确的是（）.（A ）11230d d x x x x ≤⎰⎰；（B ）22211ln d ln d x x x x ≤⎰⎰；（C ）22211d d x x x x ≤⎰⎰；（D ）11d d xx e x e x -≤⎰⎰.8.已知自由落体运动的速度v gt =，则落体运动从0t =到0t t =所走的路成为（）.（A ）203gt ；（B ）20gt ；（C ）202gt ；（D ）206gt .9.积分中值定理()d ()()ba f x x fb a ξ=-⎰，其中（）.（A ）ξ是[,]a b 内任一点；（B ）ξ是[,]a b 内必定存在的某一点；（C ）ξ是[,]a b 内唯一的某一点；（D ）ξ是[,]a b 的中点. 10.设()f x 在[,]a b 连续，()()d xa x f t t ϕ=⎰，则（）.（A ）()x ϕ是()f x 在[,]a b 上的一个原函数；（B ）()f x 是()x ϕ的一个原函数；（C ）()x ϕ是()f x 在[,]a b 上唯一的原函数；（D ）()f x 是()x ϕ在[,]a b 上唯一的原函数. 11.设()d 0ba f x x =⎰且()f x 在[,]ab 连续，则（）.（A ）()0f x ≡；（B ）必存在x 使()0f x =；（C ）存在唯一的一点x 使()0f x =；（D ）不一定存在点x 使()0f x =.12.函数()f x 在[,]a b 上连续是()f x 在[,]a b 上可积的（）.（A ）必要条件；（B ）充分条件；（C ）充要条件；（D ）无关条件.13.下列各积分中能够直接应用牛顿—莱布尼茨公式的是（）.（A ）311d 2x x-⎰；（B ）30ln d x x ⎰；（C ）04tan d x x π⎰；（D ）22cot d x x ππ-⎰.14.极限0sin d limd xx x t tt t→=⎰⎰（）.（A ）-1；（B ）0；（C ）1；（D ）2.15.02sin xd t dt dx =⎰（）.（A ）2sin x ；（B ）2sin x -；（C ）22sin x x -；（D ）2sin t -. 16.定积分()()d ba x a xb x --=⎰（）.（A ）3()6b a -；（B ）3()6a b -；（C ）3()3b a -；（D ）336b a -.17.设函数()f x 在[,]a a -上的连续，则()d aa f x x -=⎰ （）.（A ）02()d af x x ⎰；（B ）0；（C ）0[()()]d a f x f x x +-⎰；（D ）0[()()]d af x f x x --⎰.18.已知()f x 为偶函数且60()d 8f x x =⎰，则66()d f x x -=⎰ （）.（A ）0；（B ）4；（C ）8；（D ）16. 19.222d x e x --=⎰（）.（A ）4222d u eu --⎰；（B ）22d te t --⎰；（C ）222d x e x -⎰；（D ）222d x e x --⎰. 20.由椭圆22194x y +=所围成图形的面积A =（）. (A) 6π； (B) 9π； (C) 12π； (D) 36π.21.由圆y =与直线0y =所围成图形的面积A =（）.(A) π； (B) 2π； (C) 3π； (D) 4π.22.由圆x =与直线0x =所围成图形的面积A =（）.(A)212a π； (B) 213a π； (C) 214a π； (D) 2a π. 23.由曲线sin y x =与x 轴，直线0x =，2x π=所围成图形的面积A =（）.(A)12； (B) 1； (C) 2； (D) 3． 24.由不等式22224a x y a ≤+≤所确定区域的面积A =（）.(A) 2a π； (B) 22a π； (C) 23a π； (D) 24a π. 25.设ln 1()()xx F x f t dt =⎰，其中()f x 为连续函数，则()F x '=（）.（A ）2111(ln )()f x f x x x +；（B ）1(ln )()f x f x +；（C ）2111(ln )()f x f x x x -；（D ）1(ln )()f x f x -.26.下面命题中错误的是（）.（A ）若()f x 在(,)a b 上连续，则()d ba f x x ⎰存在；（B ）若()f x 在[,]a b 上可积，则()f x 在[,]a b 上必有界；（C ）若()f x 在[,]a b 上可积，则()f x 在[,]a b 上必可积；（D ）若()f x 在[,]a b 上有界，且只有有限个间断点，则()f x 在[,]a b 上必可积.27.下列积分值为零的是（）.（A ）222cos d x x x ππ-⎰；（B ）220cos d x x x π⎰；．（C ）222sin d x x x ππ-⎰；（D ）022cos d x x x π-⎰.28.下列反常积分收敛的是（）.（A ）1x +∞⎰；（B ）211d x x +∞⎰；（C ）11d x x+∞⎰；（D ）1d x e x +∞⎰.29.下列反常积分收敛的是（）.（A ）ln d e x x x +∞⎰；（B ）1d lne x x x+∞⎰；（C ）21d (ln )ex x x +∞⎰；（D ）e x +∞⎰. 30.1211dx x -=⎰（）. （A ）2；（B ）-1；（C ）；（D ）不存在.三、判断题1.定积分的定义()()01lim nbi i a i f x dx f x λξ→==∆∑⎰中要求[,]a b 是任意分割，但i ξ必须是1[,]i i x x -的中点. （）2.定积分的几何意义是相对应的各曲边梯形面积之和. （）3.220sin 22sin 2xxdx x xdx πππ-=⎰⎰. （）4.定积分的值是一个确定的常数. （）5.若函数(),()f x g x 在区间[,]a b 上可积，且()()f x g x <，则()()bbaaf x dxg x dx <⎰⎰.（）6.若[,][,]c d a b ⊂，则()()d bcaf x dx f x dx <⎰⎰. （）7.若函数()f x 在区间[,]a b 上可积，则函数()f x 在区间[,]a b 上有界.（）8. 11211112dx x x --=-=-⎰. （）9.2200xdx ππ==⎰⎰. （）10.若被积函数是连续的奇函数，积分区间关于原点对称，则定积分必等于零.（）四、计算题1.10(23)d x x +⎰． 2.2211()d x x x x-+⎰． 3.0(cos )d x x e x π-+⎰．4.x x x d )123(1024⎰-+．5.x a x a x a d ))((0⎰+-．6.x xx d )11(94+⎰．7.x x d 1123⎰--+． 8.3sin()d 3x x πππ+⎰． 9.(sin cos )d x x x π-⎰．10.3(sin sin 2)d x x x π-⎰． 11.x x d )sin 21(0⎰-π． 12.222cos d x x ππ-⎰．13.2(1cos )d πθθ-⎰． 14．π220cosd 2θθ⎰． 15.40sec tan d x x x π⎰．16.⎰+33/121d x x ． 17.⎰-21021d x x ．18.10⎰．19.221d 4x x +⎰． 20.2120d 1x x x +⎰．21.322d x ⎰． 22.x x x d 12134⎰-． 23.4120d 1x x x +⎰．24.212212d (1)x x x x ++． 25.11d (21)ex x x +⎰．26.221d (1)xx x + 27.251(1)d x x -⎰． 28.⎰-324)28(d x x． 29.x x x d 1sin /3/22⎰ππ．30.41x ⎰． 31.120arctan d 1xx x +⎰． 32.1d e x x⎰． 33.ln30 d 1xx e x e +⎰．34.2d x xe x ． 35.⎰+302d 1x x x ． 36.20sin cos d t t t π⎰．37.x x x d sin cos 04⎰π．38.20x π⎰． 39.102d x x e x ⎰．40.51x ⎰．41.41x ⎰． 42.x x xd 191⎰+．43.x xx d 4511⎰--． 44.x x d tan 302⎰π． 45.224cot d x x ππ⎰．五、证明题1．证明下列不等式：x x x x d cos d sin 4040⎰⎰≤ππ． 2．证明下列不等式：x x x x d )1(d e 11⎰⎰+≥．3．证明：当0=x 时，函数t t x I xt d e )(02⎰-=取得最小值.4.求证：1212141≤+≤⎰dx x. 5．证明不等式4/1022e 2d e e 22---≤≤-⎰x xx．6.设()f x 是以l 为周期的连续函数，证明：()d a l af x x +⎰的值与a 无关.7.设n 4 0()tan f n xdx π=⎰（n 为正整数），证明：1(3)(5)4f f +=． 8．若函数)(x f 连续，证明⎰⎰-=aa x x a f x x f 0d )(d )(.9．若函数)(x f 连续，证明⎰⎰=2020d )(cos d )(sin ππx x f x x f10．若函数)(x f 连续，证明⎰⎰+=+x x x x x x/112121d 1d )0(>x .11．若函数)(x f 连续，证明⎰⎰-=-110d )1(d )1(x x x x x x m n n m .12．证明等式0()d [()()]d a aaf x x f x f x x -=-+⎰⎰13．⎰⎰=πππd )(sin 2d )(sin x x f x x xf ．14．设函数)(x f 在闭区间]10[，连续，且1)(<x f ，证明方程-x 21d )(0=⎰x t t f 在开区间)10(，有且仅有一个实根. 15.设函数()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，且()0f x '≤，1()()d xa F x f t t x a=-⎰，证明在(,)a b 内()0F x '≤. 16.已知()f x 是连续函数，证明：20()d [()(2)]d a af x x f x f a x x =+-⎰⎰．17.设连续函数()f x 是奇函数，证明： 0() d x f t t ⎰是偶函数．18.若()x f ''在[]π,0连续，()20=f ，()1=πf ，证明：()()0sin d 3f x f x x x π''+=⎡⎤⎣⎦⎰．19.设01()0()0xt f t dtx F x xx ⎧>⎪=⎨⎪=⎩⎰，其中()f x 在[)0,+∞上连续，单调递增，且(0)0f ≥，证明：()F x 在[)0,+∞上连续且单调递增。

高中数学定积分计算习题

定积分的计算班级姓名一、利用几何意义求下列定积分（1）dx x ⎰11-2-1 (2)dx x ⎰22-4（3）dx x ⎰22-2x （4）()dx x x ⎰-24二、定积分计算（1）()dx ⎰107-2x （2）()d x ⎰+21x2x 32（3）dx ⎰31x 3（4）dx x ⎰ππ-sin （5）dx x ⎰e 1ln （6）dx ⎰+1x 112（7）()d x x x⎰+-10232 （8）()dx 2311-x ⎰ （9）dx ⎰+11-2x x 2）（（10）()d x x ⎰+212x1x （11）()d x x x ⎰-+11-352x （12）()d xe e x x ⎰+ln2x -e（13）dx x ⎰+ππ--cosx sin ）（（14）dx ⎰e1x 2（15）dx x ⎰21-x sin -2e ）（（16）dx ⎰++21-3x1x x 2 （17）dx ⎰21x13 （18）()dx 22-1x ⎰+三、定积分求面积、体积1求由抛物线y 2＝2x 与直线y ＝4－x 围成的平面图形的面积。

2．求曲线y ＝x ，y ＝2－x ，y ＝－13x 所围成图形的面积．3．求由曲线y ＝cos x (0≤x ≤2π)与直线y ＝1所围成的图形面积4.如图求由两条曲线y ＝－x 2，y ＝－14x 2及直线y ＝－1所围成的图形的面积．5、求函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1 (－1≤x<0)cosx (0≤x ≤π2)的图象与x 轴所围成的封闭图形的面积。

6．将由曲线y ＝x 2，y ＝x 3所围成平面图形绕x 周旋转一周，求所得旋转体的体积。

7．将由三条直线x ＝0、x ＝2、y ＝0和曲线y ＝x 3所围成的图形绕x 周旋转一周，求所得旋转体的体积。

8.由曲线y ＝x 与直线x ＝1，x ＝4及x 轴所围成的封闭图形绕x 周旋转一周，求所得旋转体的体积。

(完整版)定积分练习题

一、选择题1. 设连续函数f (x )>0，则当a <b 时，定积分⎠⎛a bf (x )d x 的符号( ) A ．一定是正的 B ．一定是负的C ．当0<a <b 时是正的，当a <b <0时是负的D ．以上结论都不对解析：由⎠⎛a bf (x )d x 的几何意义及f (x )>0，可知⎠⎛a b f (x )d x 表示x ＝a ，x ＝b ，y ＝0与y ＝f (x )围成的曲边梯形的面积．∴⎠⎛ab f (x )d x >0.答案：A 2. 若22223,,sin a x dx b x dx c xdx ===⎰⎰⎰，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a <c <bB ．a <b <cC ．c <b <aD ．c <a <b解析：a ＝13x 3 |20＝83，b ＝14x 4 |20＝4，c ＝－cos x |20＝1－cos2，∴c <a <b . 答案：D3. 求曲线y ＝x 2与y ＝x 所围成图形的面积，其中正确的是( )A ．S ＝⎠⎛01(x 2－x )d xB ．S ＝⎠⎛01(x －x 2)d xC ．S ＝⎠⎛01(y 2－y )d yD ．S ＝⎠⎛01(y －y )d y[答案] B[解析] 两函数图象的交点坐标是(0,0)，(1,1)，故积分上限是1，下限是0，由于在[0,1]上，x ≥x 2，故函数y ＝x 2与y ＝x 所围成图形的面积S ＝⎠⎛01(x －x 2)d x .4.11(sin 1)x dx -+⎰的值为( )A. 2B.0C.22cos1+D. 22cos1- 【答案】A 【解析】[][]1111(sin 1)cos (cos11)cos(1)12x dx x x --+=-+=-+----=⎰5. 由曲线22y x x =+与直线y x =所围成的封闭图形的面积为（）A ．16B ．13C ．56D ．23【答案】 A由22,x x x +=解得两个交点坐标为（-1,0）和（0,0），利用微积分的几何含义可得封闭图形的面积为:23201111111((2)()|().32326S x x x dx x x --=-+=--=--=⎰ 二、填空题6. 已知f (x )＝⎠⎛0x(2t －4)d t ，则当x ∈[－1,3]时，f (x )的最小值为________．解析： f (x )＝⎠⎛0x(2t －4)d t ＝(t 2－4t )| x 0＝x 2－4x ＝(x －2)2－4(－1≤x ≤3)，∴当x ＝2时，f (x )min ＝－4.答案：－47. 一物体以v (t )＝t 2－3t ＋8(m/s)的速度运动，在前30 s 内的平均速度为________．解析：由定积分的物理意义有：s ＝3020(38)t t dt -+⎰＝(13t 3－32t 2＋8t )|300＝7890(m)．∴v ＝s t ＝789030＝263(m/s)．答案：263 m/s 三、解答题8.求下列定积分：(1)⎠⎛12⎝⎛⎭⎫x －x 2＋1x d x ；(2)(cos e )d x x x π-⎰＋；(3)⎠⎛49x (1＋x )d x ；(4)⎠⎛0πcos 2x 2d x .解析： (1)⎠⎛12⎝⎛⎭⎫x －x 2＋1x d x ＝⎠⎛12x d x －⎠⎛12x 2d x ＋⎠⎛121x d x ＝x 22| 21－x 33| 21＋ln x |21＝32－73＋ln 2＝ln 2－56. (2)(cos e )d x x x π-⎰＋＝00cosxd e d x x x ππ--+⎰⎰＝sin x ||0－π＋e x 0－π＝1－1eπ. (3)⎠⎛49x (1＋x )d x ＝⎠⎛49(x 12＋x )d x ＝⎪⎪⎝⎛⎭⎫23x 32＋12x 249＝23×932－23×432＋12×92－12×42＝4516. (4)⎠⎛πcos 2x 2d x ＝⎠⎛0π1＋cos x 2d x ＝12x |0π＋12sin x |0π＝π2.9. 已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 的图象如图：直线y ＝0在原点处与函数图象相切，且此切线与函数图象所围成的区域(阴影)面积为274，求f (x )．解：由f (0)＝0得c ＝0， f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b . 由f ′(0)＝0得b ＝0， ∴f (x )＝x 3＋ax 2＝x 2(x ＋a )，由∫－a 0[－f (x )]d x ＝274得a ＝－3. ∴f (x )＝x 3－3x 2.10.已知f (x )为二次函数，且f (－1)＝2，f ′(0)＝0，⎠⎛01f (x )d x ＝－2. (1)求f (x )的解析式；(2)求f (x )在[－1,1]上的最大值与最小值．解析： (1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则f ′(x )＝2ax ＋b .由f (－1)＝2，f ′(0)＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ a －b ＋c ＝2b ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2－ab ＝0.∴f (x )＝ax 2＋(2－a )．又⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01[ax 2＋(2－a )]d x＝⎣⎡⎦⎤13ax 3＋(2－a )x | 10＝2－23a ＝－2， ∴a ＝6，∴c ＝－4. 从而f (x )＝6x 2－4.(2)∵f (x )＝6x 2－4，x ∈[－1,1]，所以当x ＝0时，f (x )min ＝－4；当x ＝±1时，f (x )max ＝2.B 卷：5+2+2一、选择题1. 已知f (x )为偶函数且61(),2f x dx =⎰则66()f x dx -⎰等于( )A ．2B ．4C ．1D ．-1解析：∵f (x )为偶函数，∴661()(),2f x dx f x dx -==⎰⎰∴6660()2() 1.f x dx f x dx -==⎰⎰答案：C2. (改编题)A ． 3 B. 4 C. 3.5 D. 4.5 【答案】C【解析】2220202101102,0()2,()(2)(2)(2)|(2)|2,02232 3.5.2x x x x f x x f x dx x dx x dx x x x x ----≥⎧=-=∴=++-=++-⎨+<⎩=+=⎰⎰⎰3. 已知函数y ＝x 2与y ＝kx (k >0)的图象所围成的阴影部分的面积为92，则k 等于( )A ．2B ．1C ．3D ．4答案：C解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x2y ＝kx 消去y 得x 2－kx ＝0，所以x ＝0或x ＝k ，则阴影部分的面积为 ∫k 0(kx －x 2)d x ＝(12kx 2－13x 3) |k 0＝92. 即12k 3－13k 3＝92，解得k ＝3. 4. 一物体在力F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧10 (0≤x ≤2)3x ＋4 (x >2)(单位：N)的作用下沿与力F 相同的方向，从x＝0处运动到x ＝4(单位：m)处，则力F (x )作的功为( )A ．44B ．46C ．48D ．50解析： W ＝⎠⎛04F (x )d x ＝⎠⎛0210d x ＋⎠⎛24(3x ＋4)d x ＝10x | 20＋⎝⎛⎭⎫32x 2＋4x | 42＝46.答案：B5. 函数()x f 满足()00=f ，其导函数()x f '的图象如下图，则()x f 的图象与x 轴所围成的A ．31 B ．34 C ．2 D ．38 【答案】B【解析】由导函数()x f '的图像可知，函数()x f 为二次函数，且对称轴为1,x =-开口方向向上，设函数2()(0),(0)0,0.()2,f x ax bx c a f c f x ax b '=++>=∴==+因过点（-1,0）与（0,2），则有2(1)0,202,1, 2.a b a b a b ⨯-+=⨯+=∴==2()2f x x x ∴=+，则()x f 的图象与x 轴所围成的封闭图形的面积为232032-22114(2)()|=2)(2).333S x x dx x x -=--=--⨯+-=⎰（- 二、填空题6.（改编题）设20lg ,0(),3,0ax x f x x t dt x >⎧⎪=⎨+≤⎪⎩⎰若((1))1,f f =则a 为。

定积分练习题

定积分练习题1基础题：一．选择题、填空题 1．下列等于1的积分是（）A ．dx x ⎰1B ．dx x ⎰+10)1(C ．dx ⎰101D ．dx ⎰10212．dx x |4|12⎰-=（）A ．321B ．322C ．323D ．325 3．曲线]23,0[,cos π∈=x x y 与坐标周围成的面积（）A ．4B ．2C ．25D ．3 4．dx e ex x⎰-+1)(=（）A ．ee 1+ B ．2e C ．e 2 D ．e e 1-5.若1xm e dx =⎰，11e n dx x =⎰，则m 与n 的大小关系是（）A ．m n >B ．m n <C ．m n =D ．无法确定6．由曲线21y x =-和x 轴围成图形的面积等于S ．给出下列结果： ①121(1)x dx --⎰；②121(1)x dx --⎰；③1202(1)x dx -⎰；④0212(1)x dx --⎰．则S 等于（）A ．①③B ．③④C ．②③D ．②④7.0(sin cos sin )xy t t t dt =+⎰，则y 的最大值是（）A ．1B ．2C ．72-D ．08. 若()f x 是一次函数，且1()5f x dx =⎰，117()6xf x dx =⎰，那么21()f x dx x⎰的值是．9．⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=≠⎰=0,0,)()(2x cx x dt t tf x F x,其中)(x f 在0=x 处连续，且0)0(=f 若)(x F 在 0=x 处连续，则=c （）。

(A).0=c ; (B).1=c ; (C).c 不存在； (D).1-=c .10．设⎪⎩⎪⎨⎧π<≤π=其余0x 3x sin )x (f ，则=⎰π02cos )(xdx x f ( ) （A ）43 （B ）43-（C ）1 （D ）－111．⎰202sin πdx x dxd =________ 12. 定积分 dx x x ⎰-π3sin sin 等于_______13. 定积分dx x x ⎰-π3cos cos 等于( )（A ） 0 （B ）23（C ） 34（D ） 34-14. 定积分⎰-2|cos sin |πdx x x 等于( )（A ） 0 （B ） 1 （C ） 12+ （D ） )12(2- 15.定积分dx x x ⎰-2223}1,,max{等于( )（A ） 0 （B ） 4 （C ）316（D ）129716.设,2arcsin )(,)1ln()(202dt tx g dt t x f xx ⎰⎰=+=则当0→x 时,)(x f 是)(x g 的( ) (A) 同阶无穷小,但不等价 (B) 等价无穷小 (C) 低价无穷小 (D) 高价无穷小17. ⎰-=xttdt ex F 0,cos )(则)(x F 在],0[π上有( )(A) )2(πF 为极大值,)0(F 为最小值(B) )2(πF 为极大值,但无最小值(C) )2(πF 为极小值,但无极大值 (D) )2(πF 为最小值,)0(F 为最大值综合题：11222520022(1)(2)ln(1)(3)(4cos )2x dx x dxx x x x dx x x -+--+--⎰⎰⎰212(8)()[0,2](2)1'(2)0()4''(2)f x f f f x dx x f x dx===⎰⎰已知函数在上二阶可导，且：，及，求：221sin (13)lim()xxx t dt tdt xx→++⎰⎰求极限2330(15)()ln 40:xt dy y y x x e dt y dx-=-++=⎰设隐函数由方程所确定，求2202(1)0(16)(),()00'(0).x t e dt x f x A f x x x A x f ⎧-⎪≠==⎨⎪=⎩⎰设问当为何值时，在点处可导，并求出定积分练习题2一．计算下列定积分的值（1）⎰--312)4(dx x x ；（2）⎰-215)1(dx x ；（3）dx x x ⎰+20)sin (π；（4）dx x ⎰-222cos ππ；（5）π220cos 2d θθ⎰（6）⎰+10)32(dx x ；（7）⎰+-102211dx x x ；（8）⎰2ln e e x x dx ；（9）⎰--102dx e e x x ；（10）⎰302t a n πx d x （11）⎰+94;)1(dx x x （12）⎰+40;1xdx（13）⎰eedx x x 12)(ln 1 （14）⎰205;2s i n c o s πx d x x （15）⎰20;s i n πx d x e x （16）⎰+202;s i n 1c o s πdx x x （17）⎰-+10;x x e e dx二．求下列极限：（1）⎰→x x dt t x 02;cos 1lim（2）.)(02222lim dte dt e x t xt x ⎰⎰∞→三．证明题1'()(,)(()'())()()xadf x x t f t d t f x f a dx-∞+∞-=-⎰（）设在上连续，证明：。

定积分练习题

定积分练习题一、基本概念题1. 计算定积分 $\int_{0}^{1} (3x^2 + 4) \, dx$。

2. 计算定积分 $\int_{1}^{2} (x^3 2x) \, dx$。

3. 设函数 $f(x) = x^2 3x + 2$，求 $\int_{1}^{3} f(x) \,dx$。

4. 已知函数 $g(x) = \sqrt{1 x^2}$，求 $\int_{1}^{1} g(x) \, dx$。

5. 计算 $\int_{0}^{\pi} \sin x \, dx$。

二、定积分的性质题6. 利用定积分的性质，计算 $\int_{0}^{2} (3x^2 + 4x) \,dx$。

7. 已知 $\int_{0}^{1} f(x) \, dx = 2$，求 $\int_{1}^{2}f(x) \, dx$。

8. 设 $f(x)$ 是奇函数，证明 $\int_{a}^{a} f(x) \, dx = 0$。

9. 已知 $\int_{0}^{1} (f(x) + g(x)) \, dx = 5$，$\int_{0}^{1} (f(x) g(x)) \, dx = 3$，求 $\int_{0}^{1} f(x) \, dx$ 和 $\int_{0}^{1} g(x) \, dx$。

三、定积分的计算题10. 计算 $\int_{0}^{\pi} x \cos x \, dx$。

11. 计算 $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \ln(\sin x) \, dx$。

12. 计算 $\int_{1}^{e} \frac{1}{x} \, dx$。

13. 计算 $\int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{1 x^2}} \, dx$。

14. 计算 $\int_{0}^{2} |x 1| \, dx$。

四、定积分的应用题15. 计算由曲线 $y = x^2$，直线 $x = 2$ 和 $y = 0$ 所围成的图形的面积。

定积分专项习题

第五章定积分(A)1．利用定积分定义计算由抛物线12+=x y ，两直线)(,a b b x a x >==及横轴所围成的图形的面积。

2．利用定积分的几何意义，证明下列等式： ⎰=112)1x d x 41)212π=-⎰dx x⎰-=ππ0s i n )3x d x ⎰⎰-=2220cos 2cos )4πππxdx xdx3．估计下列各积分的值 ⎰331a r c t a n )1x d x x dx exx ⎰-022)24．根据定积分的性质比较下列各对积分值的大小 ⎰21ln )1xdx 与dx x ⎰212)(ln dx e x ⎰10)2与⎰+1)1(dx x5．计算下列各导数dt t dx d x ⎰+2021)1 ⎰+3241)2x x t dt dx d⎰xxdt t dx d cos sin 2)cos()3π6．计算下列极限xdt t xx ⎰→020cos lim)1 xdt t xx cos 1)sin 1ln(lim)20-+⎰→2220)1(lim)3x xt x xedt e t ⎰+→7．当x 为何值时，函数⎰-=xt dt tex I 02)(有极值？8．计算下列各积分 dx xx )1()12142⎰+dx x x )1()294+⎰⎰--21212)1()3x dx ⎰+ax a dx3022)4⎰---+211)5e x dx⎰π20sin )6dx xdx x x ⎰-π3sin sin )7⎰2)()8dx x f ，其中⎪⎩⎪⎨⎧+=2211)(x x x f11>≤x x9.设k ，l 为正整数，且l k ≠，试证下列各题：⎰-=ππ0c o s )1k x d x πππ=⎰-kxdx 2cos )2⎰-=⋅ππ0s i n c o s )3l x d x kx ⎰-=ππ0sin sin )4lxdx kx10.计算下列定积分 ⎰-πθθ03)s i n 1()1d ⎰262cos )2ππududx xx ⎰-121221)3 dx x a x a 2202)4-⎰ ⎰+31221)5xxdx dx x ⎰-2132)1(1)6⎰-2221)7x x dx ⎰--1145)8xxdx⎰-axa x d x 20223)9 dt tet ⎰-1022)10⎰-++02222)11x x dx⎰-222cos cos )12ππxdx x⎰--223c o s c o s )13ππdx x x ⎰-++2221)(cos )14xdxx x x ⎰+π2c o s 1)15dx x11.利用函数的奇偶性计算下列积分⎰-224c o s 4)1ππθθd dx xx ⎰--2121221)(arcsin )2dx x x xx ⎰-++55242312sin )312．设f （x ）在[]b a ,上连续，证明：⎰⎰-+=babadx x b a f dx x f )()(13．证明：)0(1111212>+=+⎰⎰x x dx x dx xx14．计算下列定积分⎰-10)1dx xe x⎰342sin )2ππdx x xdx xx⎰41ln )3 ⎰10arctan )4xdx x⎰202c o s )5πx d x e x dx x x ⎰π2)sin ()6⎰edx x 1)sin(ln )7 dx x ee⎰1ln )815.判定下列反常积分的收敛性，如果收敛，计算反常积分的值。

（完整版）定积分习题及答案

第五章定积分(A 层次)1．203cos sin xdx x ；2．a dx x ax222；3．31221xxdx ；4．1145x xdx ；5．411xdx ；6．14311xdx ；7．21ln 1e xx dx ；8．02222xxdx ；9．dx x 02cos 1；10．dx x x sin 4；11．dx x 224cos 4；12．55242312sin dx xxx x ；13．342sin dx xx ；14．41ln dx xx ；15．1xarctgxdx ；16．202cosxdx e x ；17．dx x x 02sin ；18．dx x e 1ln sin ；19．243cos cos dx x x ；20．40sin 1sin dx x x ；21．dx xxx 02cos 1sin ；22．2111lndx xx x ；23．dx xx 4211；24．20sin ln xdx ；25．211dx xxdx0。

(B 层次)1．求由0cos 0x y ttdtdte 所决定的隐函数y 对x 的导数dxdy 。

2．当x 为何值时，函数x tdt tex I 02有极值？3．x xdt t dxd cos sin 2cos 。

4．设1,211,12xx x x xf ，求20dx x f 。

5．1lim22xdtarctgt xx 。

6．设其它,00,sin 21xx xf ，求x dt t f x。

7．设时当时当0,110,11xex xxf x，求201dx xf 。

8．2221limnn nnn。

9．求nk nknknnen e 12lim 。

10．设x f 是连续函数，且12dt t f x x f ，求x f 。

11．若2ln 261xtedt ，求x 。

12．证明：212121222dxeex。

13．已知axxx dx ex axa x 224lim，求常数a 。

定积分练习题

1． a ＝⎠⎛02x d x ，b ＝⎠⎛02e x d x ，c ＝⎠⎛02sin x d x ，则a 、b 、c 的大小关系是( )A ．a <c <bB ．a <b <cC ．c <b <aD ．c <a <b2．由曲线y ＝x 2，y ＝x 3围成的封闭图形面积为( ) A.112 B.14C.13D.7123.设点P 在曲线y ＝x 2上从原点到A (2,4)移动，如果把由直线OP ，直线y ＝x 2及直线x ＝2所围成的面积分别记作S 1，S 2.如图所示，当S 1＝S 2时，点P 的坐标是( )A.⎝⎛⎭⎫43，169B.⎝⎛⎭⎫45，169 C.⎝⎛⎭⎫43，157D.⎝⎛⎭⎫45，1374．由三条直线x ＝0、x ＝2、y ＝0和曲线y ＝x 3所围成的图形的面积为( ) A ．4B.43C.185D ．65． ⎠⎛1－1(sin x ＋1)d x 的值为( )A ．0B ．2C ．2＋2cos1D ．2－2cos16．曲线y ＝cos x (0≤x ≤2π)与直线y ＝1所围成的图形面积是( ) A ．2π B ．3π C.3π2D ．π7．函数F (x )＝⎠⎛0x t (t －4)d t 在[－1,5]上( )A ．有最大值0，无最小值B ．有最大值0和最小值－323C ．有最小值－323，无最大值D ．既无最大值也无最小值8．已知等差数列{a n }的前n 项和S n ＝2n 2＋n ，函数f (x )＝⎠⎛1x 1td t ，若f (x )<a 3，则x 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫36，＋∞ B ．(0，e 21) C ．(e －11，e )D ．(0，e 11)9.如图所示，在一个长为π，宽为2的矩形OABC 内，曲线y ＝sin x (0≤x ≤π)与x 轴围成如图所示的阴影部分，向矩形OABC 内随机投一点(该点落在矩形OABC 内任何一点是等可能的)，则所投的点落在阴影部分的概率是( )A.1πB.2πC.3πD.π410.函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2(－2≤x <0)2cos x (0≤x ≤π2)的图象与x 轴所围成的图形面积S 为( ) A.32B ．1C ．4D.1211.设函数f (x )＝x －[x ]，其中[x ]表示不超过x 的最大整数，如[－1.2]＝－2，[1.2]＝1，[1]＝1.又函数g (x )＝－x3，f (x )在区间(0,2)上零点的个数记为m ，f (x )与g (x )的图象交点的个数记为n ，则⎠⎛mn g (x )d x 的值是( )A ．－52B ．－43C ．－54D ．－7612．已知正方形四个顶点分别为O (0,0)，A (1,0)，B (1,1)，C (0,1)，曲线y ＝x 2(x ≥0)与x 轴，直线x ＝1构成区域M ，现将一个质点随机地投入正方形中，则质点落在区域M 内的概率是( )A.12B.14C.13D.25二、填空题13．已知函数f (x )＝3x 2＋2x ＋1，若⎠⎛1－1f (x )d x ＝2f (a )成立，则a ＝________.14．抛物线y 2＝2x 与直线y ＝4－x 围成的平面图形的面积为________．16．抛物线y 2＝ax (a >0)与直线x ＝1围成的封闭图形的面积为43，若直线l 与抛物线相切且平行于直线2x －y ＋6＝0，则l 的方程为______．17已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2＋bx (a ，b ∈R )的图象如图所示，它与x 轴在原点处相切，且x 轴与函数图象所围成区域(图中阴影部分)的面积为112，则a 的值为________．18．如图所示，在区间[0,1]上给定曲线y ＝x 2，试在此区间内确定t 的值，使图中阴影部分的面积S 1＋S 2最小．一、选择题1．设a ＝⎠⎛01x －13d x ，b ＝1－⎠⎛01x 12d x ，c ＝⎠⎛01x 3d x ，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a >b >cB ．b >a >cC ．a >c >bD ．b >c >a解析：由题意可得a ＝⎠⎛01x －13d x ＝| 1＝32x 23| 10＝32；b ＝1－⎠⎛01x 12d x ＝1－| 1＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫23－0＝13；c ＝⎠⎛01x 3d x ＝x 44| 10＝14，综上a >b >c ，故选A. 答案：A 2．函数y ＝ (cos t ＋t 2＋2)d t (x >0)( )A ．是奇函数B ．是偶函数C ．非奇非偶函数D ．以上都不正确解析：y ＝⎝⎛⎭⎪⎫sin t ＋t 33＋2t ＝2sin x ＋2x 33＋4x ，为奇函数．答案：A3．若函数f (x )＝，则f (2 012)＝( )A ．1B ．2 C.43D.53解析：依题意得，当x ≤0时，f (x )＝2x ＋13sin 3t＝2x ＋13，故f (2 012)＝f (4×503)＝f (0)＝20＋13＝43，选C.答案：C4．由曲线y ＝x 与直线x ＝1，x ＝4及x 轴所围成的封闭图形的面积为( ) A.143 B.53 C.103 D .163解析：所求的封闭图形的面积为S ＝⎠⎛14x d x ＝23x 32| 41＝143. 答案：A5.设f (x )＝⎩⎨⎧x 2，x ∈[0，1]，2－x ，x ∈，2]，则⎠⎛2f (x )d x ＝( )A.34 B.45 C.56D ．不存在解析：⎠⎛02f (x )d x ＝⎠⎛01x 2d x ＋⎠⎛12(2－x )d x＝13x 3| 10＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －12x 2| 21.＝13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4－2－2＋12＝56.答案：C7．曲线y ＝1x＋2x ＋2e 2x ，直线x ＝1，x ＝e 和x 轴所围成的区域的面积是________．解析：由题意得，所求面积为∫e 1⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋2x ＋2e 2x d x ＝∫e 11x d x ＋∫e 12x d x ＋∫e 12e 2x d x ＝ln x | e1＋x 2| e1＋e 2x | e1＝(1－0)＋(e 2－1)＋(e 2e －e 2)＝e 2e .答案：e 2e8.图中阴影部分的面积等于________．解析：所求面积为⎠⎛13x 2d x ＝x 3| 10＝1.答案：19.如图，矩形ABCD 内的阴影部分是由曲线f (x )＝2x 2－2x 与直线y ＝2x 围成的，现向矩形ABCD 内随机投掷一点，则该点落在阴影部分的概率为________．解析：因为曲线f (x )＝2x 2－2x 与直线y ＝2x 的交点为(0,0)和(2,4)，曲线f (x )＝2x 2－2x 与x 轴的交点为(0,0)和(1,0)，其顶点为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－12，所以矩形ABCD的面积为⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋12×2＝9，阴影部分的面积为⎠⎛02(2x －2x 2＋2x )d x ＝⎝⎛⎭⎪⎫2x 2－23x 3| 20＝83，所以该点落在阴影部分的概率为839＝827. 答案：82710．求曲线y ＝x ，y ＝2－x ，y ＝－13x 所围成图形的面积．解析：由⎩⎨⎧y ＝x ，y ＝2－x ，得交点A (1,1)；由⎩⎨⎧y ＝2－x ，y ＝－13x ，得交点B (3，－1)．故所求面积S ＝⎠⎛01⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋13x d x＋⎠⎛13⎝ ⎛⎭⎪⎫2－x ＋13x d x＝⎪⎪⎪1＋⎝⎛⎭⎪⎫2x －13x 2⎪⎪⎪31＝23＋16＋43＝136. 11.(2014年大庆模拟)如图求由两条曲线y ＝－x 2，y ＝－14x 2及直线y ＝－1所围成的图形的面积．解析：⎩⎨⎧y ＝－x 2，y ＝－1，得交点A (－1，－1)，B (1，－1)．由⎩⎨⎧y ＝－14x 2，y ＝－1，得交点C (－2，－1)，D (2，－1)．∴所求面积 S ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤∫1－14x 2＋x 2x ＋⎠⎛12⎝⎛⎭⎪⎫－14x 2＋1d x ＝43.12．(能力提升)如图所示，直线y ＝kx 分抛物线y ＝x －x 2与x 轴所围图形为面积相等的两部分，求k 的值．解析：抛物线y ＝x －x 2与x 轴两交点的横坐标为x 1＝0，x 2＝1，所以，抛物线与x 轴所围图形的面积S ＝⎠⎛01(x －x 2)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22－13x 3| 10＝16.又⎩⎨⎧y ＝x －x 2，y ＝kx ，由此可得，抛物线y ＝x －x 2与y ＝kx 两交点的横坐标为x 3＝0，x 4＝1－k ，所以，S 2＝∫1－k 0(x －x 2－kx )d x＝⎝⎛⎭⎪⎫1－k 2x 2－13x 3| 1－k0＝16(1－k )3. 又知S ＝16，所以(1－k )3＝12，于是k ＝1－312＝1－342.2．由曲线y ＝3－x 2与直线2x ＋y ＝0所围成的图形的面积为________．解析：由⎩⎨⎧y ＝3－x22x ＋y ＝0，消去y 得：x 2－2x －3＝0，解得x ＝－1或x ＝3.所以曲线y ＝3－x 2与直线2x ＋y ＝0的交点为A (3，－6)，B (－1,2)．故围成的图形即为图中的阴影部分，其面积为[(3－x 2)－(－2x )]d x＝(－x 2＋2x ＋3)d x ＝(－13x 3＋x 2＋3x )| 3－1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－13×33＋32＋3×3－ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13－3＋－2＋－＝9＋53＝323.答案：323高二数学微积分练习题一、选择题：1．已知自由落体运动的速率gt v =，则落体运动从0=t 到0t t =所走的路程为（）A ．320gtB ．20gtC ．220gtD ．620gt[解析]要学生理解微积分在物理学中的应用，可用来求路程、位移、功2、如图，阴影部分的面积是A ．32B ．329-C ．332D ．335[解析]让学生理解利用微积分求曲边形的面积 3、若11(2)3ln 2ax dx x+=+⎰，且a ＞1，则a 的值为（）A ．6B 。

定积分习题及答案

(A层次）1. 4.7. 兀f 。

2 s in x cos3 xdx ; r xdx -1✓5-4x ，e 2dx f 1 x ✓l +I n x ;10. f 一冗九x 4s in 汕；冗13. f f-�dx; 4 Sill X 冗16. f 。

2产co sx dx ;冗第五章定积分2. f 。

a x 2✓a 2—x 2dx; 5.「I✓x dx +l ；8. f -o 2 x 2 + d 2xx + 2 ; 冗11. f� 冗4c os 4xdx ;14. 17. 2f14 Jn X｀dx ;f 。

兀(xsinx)2dx ;冗19. f� ✓cosx-cos 3 xdx;20. f 。

4 smx dx · 1 + S lll . X ， 22. 4If 0 2 xln l +x dx ; l -x25. f +00dx0 (1 + x 2 XI + xa \ (B层次）23. f +oo l +x 2 dx · -oo 1 +X 4' 心(a�o )。

3. 6.9. 厂dx1 X 飞l +x2 r dx｀3 斤言-1;f。

冗✓1+ c os2xdx;3· 212 fs x sm xdx · ·-5 x 4 + 2x 2 + 1' 15. f 。

1 xa rct gxdx ; 18. {es in(lnx 雇21. 24. f 。

冗xs mx dx .1 +C OS 2X 冗f 。

2 ln sin x dx ;d y 1. 求由f 。

:e r dt+f x costd t=O所确定的隐函数对x 的导数odx 2. 当x 为何值时，函数I(x)= f x t e -t 2dt有极值？。

3.d厂cos矿t。

dx si n x(}Ix+l, x�14. 设八x )�{归，X > 1'求l。

勹(x )dx 。

2f x(a rc tg t) 2d t5. lirn 。

定积分习题

1、dx x ⎰12的值为（）A 、2B 、4C 、21 D 、12、定积分0sin cos x x dx π-⎰（）的值为（）A.3 B.-2 C.2 D.-13．定积分⎰14xdx = （） A ．4 B ．2 C ．1 D ．84、120(23)x x dx -=⎰ （） A ．1 B ．0 C ．0或1 D ．以上都不对。

5、如果10N 的力能使弹簧压缩10cm ，为在弹性限度内将弹簧从平衡位置拉到离平衡位置6cm 处，则克服弹力所做的功为（）A. 0.28JB. 0.12JC. 0.26JD. 0.18J 6. 右图中,阴影部分的面积是 ( ) A.16 B.18 C.20 D.227．如图所示，阴影部分的面积是（）A．．9-．353D ．3238．由曲线12-=x y ，直线x x x 和2,0==轴围成的封闭图形的面积是（） A ⎰-202)1(dx x B |)1(|22⎰-dx xC⎰-22|1|dx x D⎰⎰-+-102122)1()1(dx x dx x9．dx ee xx⎰-+1)(= （） A ．ee 1+B ．2eC ．e2 D ．ee 1-10. 给出以下命题：⑴ 若()0b af x dx >⎰，则f (x )>0； ⑵ 20sin 4x dx =⎰π;⑶ f (x )的原函数为F (x )，且F (x )是以T 为周期的函数，则0()()a a T Tf x dx f x dx +=⎰⎰；其中正确命题的个数为（）A ．0B ． 1C ．2D ．311．计算20sin xdx π⎰的值是。

12．定积分3221(2)x dx x-⎰的值是13．1(2ln 2)1xe dx x+=⎰14.44cos 2___________xdx ππ-=⎰15、计算：0=⎰。

16. 一物体在力()34F x x =+（单位：N ）的作用下，沿着与力相同的方向从0x =处运动到4x =处（单位：m ）, 则力()F x 所作的功为 . 17．若0)13(02=-⎰dx x a（)0>a ，则实数=a18．由3x y =与x y =所围成的图形（阴影部分）的面积为19．求下列曲线所围成的图形的面积： 32,2+==x y x y20．求2y x =-+1与1y x =+围成图形的面积。

积分问题练习题

积分问题练习题一、基础练习1. 求下列定积分的值：a) ∫(2x - 3)dxb) ∫(3x^2 + 2x - 1)dxc) ∫(4sinx + 5cosx)dx2. 求下列不定积分：a) ∫(3x^2 + 2x - 1)dxb) ∫(6x^3 + cosx)dxc) ∫(e^x + ln x)dx3. 求下列定积分：a) ∫[a, b] (x^3 - 2x^2 + 3x - 4)dxb) ∫[0, 2π] sin2xdxc) ∫[-1, 1] |x|dx二、进阶练习1. 求下列带参数的积分：a) ∫[m, n] (mx^2 - 1)dx （其中m和n为常数）b) ∫[a, b] (ax^2 + bx + c)dx （其中a、b、c为常数）c) ∫[0, π/2] sin^kxdx （其中k为正整数）2. 求下列定积分：a) ∫[0, 1] x^ndx （其中n为正整数）b) ∫[0, π/4] tanxdxc) ∫[-∞, ∞] e^(-x^2)dx3. 已知函数f(x)在区间[0, π]上连续且单调递增，且f(0) = 0，f(π) = 1。

证明函数g(x) = ∫[0, x] f(t)dt在[0, π]上为单调递增函数。

三、挑战练习1. 计算下列积分：a) ∫[0, 1] e^x(x - 1)dxb) ∫[0, π/2] sin^3xdxc) ∫[1, e] lnxdx2. 设函数f(x)在区间[a, b]上连续，且单调递增。

证明在该区间上存在唯一的实数c，使得∫[a, b] f(x)dx = f(c)(b - a)。

3. 求函数f(x) = ∫[0, x] (x - t)f(t)dt的表达式。

结束语：以上就是一些关于积分的问题练习，通过这些练习，相信您对积分的求解有了更深入的理解。

希望您能够灵活运用所学知识，解决更加复杂的积分问题。

如果有任何疑问，请随时向我提问。

祝您学业进步！。

定积分复习习题

−1
x x dx = ∫ x x dx + ∫ x x dx = 0 + ∫ x 2 dx
1 1
（
）
三、单项选择题 1．定积分
1
∫
2
1
−
1 x e dx 的值是 x2
(B) e 2 − e
1
1
（A） e 2 2． I= (A)
(C) 1
（D）不存在
∫
a
0
x 3 f ( x 2 )dx （ a > 0 ）,则 I=
0 0
e 1 e
1
1 0
− ∫ f (2 x)dx
0
1
(
)
∫ x ln x dx = x ln x
1 e
− ∫1 x ⋅
e
e
1 ln e 1 1 dx = e − − e + = (1 − ln e) x e e e
（
）
二、填空题 1． 2．
∫
π
2 0
sin 7 xdx =
。。
∫
π
0
sin 10 xdx =
x →0
sin t dt x3
=
∫ (arctan t ) dt = 。6． lim
x x →∞
x2 +1
=
。
7．
d x2 (x − t )sin tdt =dx ∫0
。8。
∫1+ e
0
1
dx
x
。
9．
∫
2
0
f ( x)dx =
⎧x 2 。其中 f ( x ) = ⎨ ⎩2 − x
0 ≤ x ≤1 1< x ≤ 2

定积分(辅导班、习题课)

例 32.（07.4）设函数 f(x)具有连续的一阶导数, 且满足
f ( x) x ( x 2 t 2 ) f (t)dt x 2 0
求 f(x)的表达公式.
15
例
33.（07.2）设
f(x)是区间[0,
4
] 上的单调、
可导函数，且满足
f (x) f 1(t)dt x t cos t sin tdt
1内至少
2
一点 ζ ，使 f (ζ ) f (ζ ) .
10
例 21.
求函数
f
(x)
x2
0
(2
t )e t dt
的最大值和最
小值。(95.3)
x t2
例 22. 已知函数 f ( x) 0 e 2 dt, x ，
求 f (x) ，并讨论 f ( x) 的单调性，奇偶性及函
数图形的凹凸性，并求 f (x) 的图形的拐点和水平渐近线。（88.4.5）
得
7.积分中值问题
解法思路: 通常是积分中值定理、介值定理和微分中值定理的联合使用。
23
例 41. 设在[a, b]上 f (x)连续.且满足
f (a) f ( x) f (b).证明:c [a, b]使
ab f ( x)dx f (a)(c a) f (b)(b c)
证：令 F( x) f (a)(x a) f (b)(b x)
解法思路:
一．变量代换公式和分部积分公式本身就是高度普遍性的积分等式，亦可用来推出其它积分等式；
二．视为变限积分函数问题，转化为导数的应用问题。
三．用中值定理
17
例 34.设 f ( x) 处处连续，证明：
a x3 f ( x2 )dx 1