轴对称将军饮马问题
轴对称中的动点问题：将军饮马
轴对称中的动点问题【命题：严学荣 审核：明祥彬】将军饮马问题：如图所示，将军准备从A 点出发，想让马到一条笔直的河流上去饮水，然后再去B 地，那么走怎样的路线最短呢？【题型梳理】一、两点一线型（两定一动） 例1 如图，A 、B 两点在直线l 的异侧，点P 是l 上一动点，若AB ＝5,求P A ＋PB 的最小值．【变式训练】1．如图，直线l 和l 的同侧两点A 、B ，在直线l 上求作一点P ，使P A ＋PB 最小．2． 如图，A 、B 两点在直线l 的同侧，点P 是l 上一动点，若AB ＝5,求PA PB −的最大值．3．如图，直线l 和l 的同侧两点A 、B ，在直线l 上求作一点P ，使PA PB −的最大．l Alll二、一点两线型（一定两动） 例2 如图，点P 是∠MON 内的一点，分别在OM ，ON 上 作点A ，B ．使△P AB 的周长最小【变式训练】1．如图，点A 是∠MON 外的一点，在射线OM 上作点P ，使P A 与点P 到射线ON 的距离之和最小．三、两点两线型（两定两动）例3 如图，点P ，Q 为∠MON 内的两点，分别在OM ，ON 上作点A ，B ．使四边形P AQB 的周长最小【变式训练】如图所示，在一条河的两岸有两个村庄，现要在河上建一座小桥，桥的方向与河流垂直，设河的宽度不变，试问：桥架在何处，才能使从A 到B 的距离最短？【精讲精练】1．如图，在台球桌面ABCD 上，有白和黑两球分别位于M ，N 两点处，问：怎样撞击白球M ，使白球先撞击台边BC ，反弹后再去击中黑球N ？OONAO2．已知，如图△ABC为等边三角形，高AH＝10cm，P为AH上一动点，D为AB的中点，则PD＋PB的最小值为cm．3．如图，MN是正方形ABCD的一条对称轴，点P是直线MN上的一个动点，当PC＋PD 最小时，∠PCD＝°．4．如图所示，正方形ABCD的面积为16，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD＋PE的和最小，则这个最小值为5．如图，在锐角△ABC中，AB＝6，∠BAC＝30°，∠BAC的平分线交BC于点D，M，N 分别是AD和AB上的动点，则BM＋MN的最小值是．6．如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于N，交AC于M，连接MB，若AB＝8 cm，△MBC的周长是14 cm，（1）求BC的长（2）在直线MN上是否存在点P，使PA PC−的值最大，若存在，画出点P的位置，并求最大值，若不存在，说明理由．7．如图，△ABC中，AB=2，∠BAC=30°，若在AC、AB上各取一点M、N，当BM＋MN的值最小时，求AN．DA BCMMNCBA【能力提升】8．直线l 的同侧有两点A 、B ，在直线l 上求两点C 、D ，使得AC 、CD 、DB 的和最小，且CD 的长为定值1cm ，点D 在点C 的右侧．9．长方形OACB ，OA ＝3，OB ＝4，D 为边OB 的中点．若E 、F 为边OA 上的两个动点，且EF ＝2，当四边形CDEF 的周长最小时，画出点E 、F 的位置；10．嘉贡七（2）班举行文艺晚会，桌子摆成两直条（如图中的AO ，BO ），AO 桌面上摆满了桔子，OB 桌面上摆满了糖果，站在C 处的学生小明先拿桔子再拿糖果，然后回到C 处，请你在下图帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短？11．已知：如图，△ABC 中，AB ＝AC ，过点A 的直线MN ∥BC ，点P 是MN 上的任意点．求证：PB ＋PC≥2A B ．lB。
轴对称的应用-将军饮马最短路径问题
QB、QB/，如图所示。
由轴对称的性质知
PB=PB/，QB=QB/
∴PA+PB=PA+PB/=AB/
QA+QB=QA+QB/
又∵AB/＜QA+QB/(两点之间线段最短或三角形中两边之和
大于第三边）
∴PA+PB＜ QA+QB
即此时点P使得PA+PB的值最小
B
A P L
Q
B/
典型例题：
1.要在河边修建一个水泵，分别向张村、李 庄送水（如图），修在河边什么地方，可使 所用水管最短？
照镜子：物和像关 于镜面成抽对称， 镜面上的任意一点 到物和像对应点的 距离相等。
探索新知 5、通过以上学习和讨论，你知道海伦是怎样帮 助将军解决问题的了吗？
B A
l
P B′
6、为什么这样找到的点P，就能使得PA+PB最短 呢？你能尝试证明吗？
探究新知
证明：在直线L上任意取不同于点P的一点Q，连接QA、
2、如图，A,B 两点位于直线L
A
的两侧，你能
在直线L上找一
点P，使得点p
到A、B两点距
离之和最短吗？
图形 B
A
O
L
L P
B
语言描述
两点之间，线段最短。
直线外一点与直线上 所有点的连线中，垂 线段最短。
将直线异侧的两点A、 B直接连接，交直线L 于点P，此时PA+PB 最短。
任务驱动 启迪智慧
问题
李庄
张村
●
●
3.如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是 12，腰AB的垂直平分线EF分别交AB，AC于点E、 F，若点D为底边BC的中点，点M为线段EF上一动 点，则 BDM的周长的最小值为（ ）
将军饮马模型
将军饮马问题将军饮马问题=轴对称问题=最短距离问题（轴对称是工具，最短距离是题眼）。
所谓轴对称是工具，即这类问题最常用的做法就是作轴对称。
而最短距离是题眼，也就意味着归类这类的题目的理由。
比如题目经常会出现线段 a+b 这样的条件或者问题。
一旦出现可以快速联想到将军饮马问题，然后利用轴对称解题。
1.将军饮马故事“将军饮马”问题是数学问题中的经典题目，主要转化成“两点之间线段最短问题”原题：如图，一位将军，从A地出发，骑马到河边给马饮水，然后再到B地，问怎样选择饮水的地点，才能使所走的路程最短？•A•B模型一：一条定直线，同侧两定点在直线l的同侧有两点A,B,在L上求一点P，使得PA+PB值最小。
一般做法：作点 A（B）关于直线的对称点，连接 A’B，A’B 与直线交点即为所求点。
A’B即为最短距离。
理由：A’为 A 的对称点，所以无论 P 在直线任何位置都能得到 AP=A’P。
所以 PA+PB=PA’+PB。
这样问题就化成了求 A’到 B 的最短距离，直接相连就可以了。
例一：某供电部门准备在输电主干线L上连接一个分支线路，分支点为M，同时向新落成的A、B两个居民小区送电。
已知两个居民小区A、B分别到主干线的距离AA1=2千米，BB1=1千米，且A1B1=4千米。
（1）如果居民小区A、B位于主干线L的两旁，如图（1）所示，那么分支点M 在什么地方时总路线最短？最短线路的长度是多少千米？（2）如果居民小区A、B位于主干线L的同旁，如图（2）所示，那么分支点M 在什么地方时总路线最短？此时分支点M与A1的距离是多少千米？模型二：一条定直线，一定点，一动点如图，已知直线L 和定点A ，在直线K 上找一点M，在直线L 上找一点P ，使得AP+PB 值最小。
模型三：一定点，两条定直线如图，在∠OAB 内有一点 P ，在 OA 和 OB 各找一个点 M 、N ，使得△PMN 周长最短（题 眼）。
一般做法：作点 P 关于 OA 和 OB 的对称点 P1、P2。
2将军饮马问题
比较特殊的题型
例题3.∠OAB中有一点P，求在OA、OB上分别找一个点M，N，使 得PM+MN最短（题眼）。
根据前面总结的，首先肯定是作点P的 对称点，那么就面临第一个问题，点P 关于OA和OB的对称都要作吗？这个时 候就要明白，作对称的本质并不是对称 点，而是对称边。换句话说关于OA对 称式在对称线段PM，关于OB对称实际 上是在对称线段PN。那么对于这道题 目，显然PN显然是无用的，所以这道 题目就应该关于OA对称。接下里会面 临第二个问题，对称完连接谁？根据前 面的理论，应该找一个定点相连，这道 题目里面显然没有第二个定点可用。切 记不能直接与N相连，因为N点是个动 点。但是从另一个侧面可以知道这条线 段其实有无数条。但是最终要达到一个 要求连线最短。最后就会想到过P’作 OB垂线。则交点即为所求。
将军饮马最常见的三大模型
类型三
3. 如图，在∠OAB内有两点P、Q，在OA和OB各找一个点M、N， 使得四边形PMNQ周长最短（题眼）。 一般做法：题目中PQ距离 固定。所以只是求PM+MN+QN的最短距离。最终P’Q’+PQ即为所 求最短周长。M、N即为所求的点。 理由：作完对称后，由于 P’M=PM，Q’N=QN，所以 PM+MN+QN=P’M+MN+Q ’N。所以就化成了求P’到Q’ 的最短距离，所以相连即 可。
【点评】
本题考查了二次函数的综合运用， 涉及了顶点坐标的求解、 三角形的面积及轴对称 求最短路径的知识，解答本题的关键是熟练各个知识点，注意培养自己解综合题 的能力．
2．（2015•吉林市一模）如图，抛物线y=x2 +bx+c与x轴交于A （﹣1，0），B（3，0）两点． （1）求b、c的值； （2）P为抛 物线上的点，且满足S△PAB=8，求P点的坐标； （3）设抛物线 交y 轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC 的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）抛物线y=x2 +bx+c与x 轴的两个交点分别为A（﹣1，0），B （3，0），求得b，c值；（2）设点P 的坐标为（x，y），求得y值，分别代 入从而求得点P的坐标；（3）由AC长 为定值，要使△QAC的周长最小，只 需QA+QC最小．又能求得由几何知识 可知，Q是直线BC与对称轴x=1的交点， 再求得BC的直线，从而求得点Q的坐 标．
生活中的轴对称图形：将军饮马
A
O
N
三、课堂练习
【精讲精练】
1．如图，在台球桌面ABCD上，有白和黑两球分别位于M，N两点处，问： 怎样撞击白球M，使白球先撞击台边BC，反弹后再去击中黑球N？
A
D
M
N
B
C
三、课堂练习
【精讲精练】 2． 已知，如图△ABC为等边三角形，高AH＝10cm，P为AH上一动点， D为AB的中点，则PD＋PB的最小值为 cm．
将军饮马
——最短路径问题初探
将军饮马问题：
在古罗马时代，传说亚历山大城有一位 精通数学和物理的学者，名叫海伦．一天， 一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个 百思不得其解的问题：
将军每天骑马从城堡A出发，到城堡B，途中
马要到河边饮水一次。将军问怎样走路程最 短？据说海伦略加思索就解决了它。
这就是被称为"将军饮马"而广为流传的问题。
为
.
A
D
P E
B
C
三、课堂练习
【精讲精练】 5．如图，在锐角△ABC中，AB＝6，∠BAC＝30°，∠BAC的平分线交
BC 于 点 D ， M ， N 分 别 是 AD 和 AB 上 的 动 点 ， 则 BM ＋ MN 的 最 小 值
是
．
C
M
D
A
N
B
三、课堂练习
【精讲精练】 6．如图，△ABC中，AB=2，∠BAC=30°，若在AC、AB上各取一点M、 N，当BM＋MN的值最小时，求AN．
一、两点一线型（两定一动）
【变式训练】 1．如图，直线l和l的同侧两点A、B，在直线l上求作一点P，使PA＋PB最小．
A B l
二、一点两线型（一定两动）
中考复习《轴对称》之“将军饮马”问题
《轴对称》之“将军饮马”问题“将军饮马”的起源:早在古罗马时代，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦．一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题．将军每天从军营A出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的军营B 开会，应该怎样走才能使路程最短？这个问题的答案并不难，据说海伦略加思索就解决了它．而从此以后，这个被称为“将军饮马”的问题便流传至今．【图示】【分析】我们把俯视图视角的问题抽象化，数学化，将河流看作一条直线l，军营看作一个点，转化为一个路程之和的最短问题．即如下图：直线同侧有两点A，B，在直线上选取一点C，使得AC＋BC最短．在思考这个问题之前，我们先来回忆下初一上学期中，涉及线段最短的两个重要结论：1、两点之间，线段最短．2、垂线段最短．请各位同学务必记住，初中阶段的几何最值问题，最后几乎都可以转化为通过这两个结论来求得．如果“将军饮马”问题不能很快回答，那么我们先看这个问题，假如军营A，B在河的两岸，那么这个点C在哪呢？很简单，连接AB，与直线l的交点即为点C．理由，两点之间，线段最短．(当然也可以用三角形一边小于两边之和)那么回到原先的问题，即军营A，B在河的同侧，该如何思考就不难了．根据线段对称性，只需作点A关于直线l的对称点A’，连接A’B，与直线l的交点即为点C．【解答】如图【变式1】若将军骑马从军营出发，先骑马去草地边吃草，再牵马去河边喝水，最后回到军营，问：这位将军怎样走路程最短？【图示】【分析】我们同样把这个问题转化为熟悉的数学问题，把军营看作一个点，而把草地边和河边看作两条直线，当然在图示中，这两条直线相交，形成了一个角．问题即转化为，如下图：在∠MON的部有一点A，在OM上找一点B，在ON上找一点C，使得△BAC周长最短．若点C位置确定，要求AB＋BC最短，同学们肯定已经知道，作点A 关于OM的对称点A’，连接A’C即可，但现在点C的位置不确定，而若点B位置确定，要求AC＋BC最短，则作点A关于ON的对称点A’’，连接A’’B即可．想到这，分别作点A关于OM，ON的对称点，问题不就迎刃而解了吗？【解答】如图，作点A关于OM的对称点A’，作点A关于ON的对称点A’’，连接A’A’’，与OM交于点B，与ON交于点C，连接AB，AC，△ABC即为所求．【变式2】若将军骑马从军营出发，先骑马去草地边吃草，再牵马去河边喝水，最后把马牵回马厩，步行回到军营，问：这位将军怎样走路程最短？【图示】【分析】首先，将问题转化为如下图：在∠MON的部有点A和点B，在OM 上找一点C，在ON上找一点D，使得四边形ABCD周长最短．从马厩步行回军营，则必然“两点之间，线段最短”，问题转化为求AC＋CD＋DB的最小值，方法与变式2类似，过点A作OM的对称点，过点B作ON的对称点即可．【解答】如图，作点A关于OM的对称点A’，作点B关于ON的对称点B’，连接A’B’，与OM交于点C，与ON交于点D，连接AC，BD，AB，四边形ABCD即为所求．【总结&反思】我们已经知道，类似的“将军饮马”问题，最关键的就是要作对称，但怎么做，可能大家并不是十分明确，我们再来好好体会一下：首先，明确定点，定线，动点．军营，马厩，这些不动的点，即为定点．河边，草地边，这些不动的线，即为定线．河边的饮马点，草地边的吃草点等，这些不确定的点，即为动点．1．必然是作定点关于定线的对称点！2．作的次数需要看动点个数！有几个动点在哪些定线上，那么相应的定点就要做关于这些定线的对称点．原题，只要在一条定线(河边)上找一个动点(饮马点)，那只需作定点(军营A)关于定线(河边)的一个对称点．变式1，要在两条定线(河边)(草地边)找两个动点(饮马点)(吃草点)，则需要作作定点(军营)关于定线(河边) (草地边)的两个对称点，即两次．变式2，要在两条定线(河边)(草地边)找两个动点(饮马点)(吃草点)，则需要作作定点(军营)关于定线(河边)的对称点与定点(马厩) 关于定线(草地边)的对称点，也是2个，即2次．3．作完对称点如何连接也需看作对称次数！1. 原题，把对称点直接连接另一个定点(军营B)，则连线与定线(河边)上的交点，即为动点(饮马点)．2. 变式1，把两个对称点连接，与定线(河边)(草地边)上的交点即为动点(饮马点)(吃草点)，分别与定点(军营A)相连．3. 变式2，把两个对称点连接，与定线(河边)(草地边)上的交点即为动点(饮马点)(吃草点)，分别与定点(军营)(马厩)相连．如果用口诀来总结，那就是：定点定线作对称，次数就看动点数．一次对称直连定，两次对称先相连．【练习】如图，黑、白两球分别位于长方形台球桌面OMCN上的A、B两点的位置．（1）怎样撞击白球，使白球A碰撞球桌边OM后，反弹击中黑球？（2）怎样撞击白球，使白球A依次碰撞球桌边OM、ON后，反弹击中黑球？。
轴对称之将军饮马模型练习及其答案
轴对称之将军饮马模型基本图模1.已知：如图，定点A、B分布在定直线l两侧；要求：在直线l上找一点P，使PA+PB的值最小解：连接AB交直线l于点P，点P即为所求,PA+PB的最小值即为线段AB的长度理由：在l上任取异于点P的一点P´，连接AP´、BP´，在△ABP’中，AP´+BP´>AB，即AP´+BP´>AP+BP∴P为直线AB与直线l的交点时，PA+PB最小. 2.已知：如图，定点A和定点B在定直线l的同侧要求：在直线l上找一点P，使得PA+PB值最小（或△ABP的周长最小）解：作点A关于直线l的对称点A´，连接A´B交l于P，点P即为所求；理由：根据轴对称的性质知直线l为线段AA´的中垂线，由中垂线的性质得：PA=PA´，要使PA+PB最小，则需PA´+PB值最小，从而转化为模型1.方法总结：1.两点之间，线段最短；2.三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；3.中垂线上的点到线段两端点的距离相等；4.垂线段最短.模型归纳【典例1】如图，要在街道l设立一个牛奶站O，向居民区A，B提供牛奶，下列设计图形中使OA+OB 值最小的是（）A．B．C．D．【变式1】如图，点A，B在直线l的同侧，在直线l上找一点P，使PA+PB最小，则下列图形正确的是（）A．B．C．D．【典例2】如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10，BD平分∠ABC，如果点M，N分别为BD，BC上的动点，那么CM+MN的最小值是（）A．4B．4.8C．5D．6【变式2-1】已知，等腰△ABC中，AB＝AC，E是高AD上任一点，F是腰AB上任一点，腰AC＝5，BD＝3，AD＝4，那么线段BE+EF的最小值是（）A．5B．3C．D．【变式2-2】如图，在△ABC中，直线l垂直平分AB分别交CB、AB于点D，E，点F为直线l上任意一点，AC＝3，CB＝4．则△ACF周长的最小值是（）A．4B．6C．7D．10【变式2-3】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝7，BD是△ABC的角平分线，点P，点N分别是BD，AC边上的动点，点M在BC上，且BM＝1，则PM+PN的最小值为（）A．3B．C．3.5D．【典例3】如图，等腰三角形ABC的底边BC为4，面积为24，腰AC的垂直平分线EF分别交边AC，AB于点E，F，若D为BC边的中点，M为线段EF上一动点，则△CDM的周长的最小值为（）A．8B．10C．12D．14【变式3-1】如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝4，△ABC的面积是14，AC的垂直平分线EF分别交AC，AB于E，F点．若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则CM+DM的最小值为（）A．21B．7C．4D．2【变式3-2】如图，等腰三角形ABC的底边BC的长为4，面积是16，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点，若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为（）A．7B．8C．9D．10【典例4】如图，已知∠AOB的大小为30°，P是∠AOB内部的一个定点，且OP＝1，点E、F分别是OA、OB上的动点，则△PEF周长的最小值等于（）A．B．C．2D．1【变式4-1】如图，∠AOB＝30°，∠AOB内有一定点P，且OP＝15，若在OA、OB上分别有动点M、N，则△PMN周长的最小值是（）A．5B．15C．20D．30【变式4-2】如图，∠MON＝50°，P为∠MON内一点，OM上有点A，ON上有点B，当△PAB的周长取最小值时，∠APB的度数为（）A．60°B．70°C．80°D．100°【典例5】如图，四边形ABCD中，∠BAD＝130°，∠B＝∠D＝90°，在BC，CD上分别找一点M，N，使△AMN的周长最小时，则∠ANM+∠AMN的度数为（）A．80°B．90°C．100°D．130°【变式5-1】如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，∠BAD＝140°，点E，F分别为BC和CD上的动点，连接AE，AF．当△AEF的周长最小时，∠EAF的度数为（）A．60°B．90°C．100°D．120°【变式5-2】如图，四边形ABCD中，∠BAD＝a，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别找一点M、N，当△AMN周长最小时，则∠MAN的度数为（）A．a B．2a﹣180°C．180°﹣a D．a﹣90°【典例6】如图，在平面直角坐标系中，点C的坐标为（﹣1，5）．（1）若把△ABC向右平移5个单位，再向下平移3个单位得到△A1B1C1，并写出B1的坐标；（2）求出△ABC的面积；（3）在y轴上找一点P，使得PA+PB的值最小（保留作图痕迹，不写作法）．【变式6】如图，在平面直角坐标系中，点C的坐标为（﹣1，5）．（1）若把△ABC向右平移5个单位，再向下平移3个单位得到△A1B1C1，并写出B1的坐标；（2）在x轴上找一点P，使得PA+PB的值最小.随堂练习1．如图，点M，N在直线L的同侧，小东同学想通过作图在直线L上确定一点Q，使MQ与QN的和最小，那么下面的操作正确的是（）A．B．C．D．2．某区计划在公路旁修建一个核酸采集点P，现有如下四种方案，则核酸采集点P到A、B两个小区之间的距离之和最短的是（）A．B．C．D．3．如图，∠AOB内一点P，P1，P2分别是P关于OA、OB的对称点，P1P2交OA于点M，交OB于点N．若△PMN的周长是5cm，则P1P2的长为（）A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm4．已知∠AOB＝30°，在∠AOB内有一定点P，点M，N分别是OA，OB上的动点，若△PMN的周长最小值为3，则OP的长为（）A．1.5B．3C．D．5．如图，点P是∠AOB内任意一点，OP＝6cm，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，若△PMN周长的最小值是6cm，则∠AOB的度数是（）A．15B．30C．45D．606．如图，在四边形ABCD中，∠C＝α°，∠B＝∠D＝90°，E，F分别是BC，DC上的点，当△AEF 的周长最小时，∠EAF的度数为（）A．αB．2αC．180﹣αD．180﹣2α7．如图，在四边形ABCD中，∠C＝72°，∠B＝∠D＝90°，M，N分别是BC，DC上的点，当△AMN 的周长最小时，∠MAN的度数为（）A．72°B．36°C．108°D．38°8．如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，EF垂直平分BC，点P为直线EF上的任一点，则AP+BP的最小值是（）A．4B．5C．6D．79．如图，AD是等边△ABC的BC边上的中线，F是AD边上的动点，E是AC边上动点，当EF+CF取得最小值时，则∠ECF的度数为（）A．15°B．22.5°C．30°D．45°10．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝4，面积是14，AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F 点．若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为（）A．10B．9C．8D．611．如图，在等边△ABC中，点E是AC边的中点，点P是△ABC的中线AD上的动点，且AD＝6，则EP+CP的最小值是（）A．12B．9C．6D．312.如图，已知∠MON＝40°，P为∠MON内一定点，OM上有一点A，ON上有一点B，当△PAB的周长取最小值时，∠APB的度数是°．13.如图，∠AOB＝30°，点P是∠AOB内的一定点，且OP＝6，若点M，N分别是射线OA，OB上异于点O的动点，则△PMN周长的最小值是．14.如图，AB⊥BC，AD⊥DC，∠BAD＝116°，在BC、CD上分别找一点M、N，当△AMN周长最小时，∠AMN+∠ANM的度数是．15.如图，四边形ABCD中，∠C＝50°，∠B＝∠D＝90°，点E，F分别是边BC、DC上的点，当△AEF的周长最小时，∠EAF点的度数为．答案及其解析【典例1】如图，要在街道l设立一个牛奶站O，向居民区A，B提供牛奶，下列设计图形中使OA+OB 值最小的是（）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B交直线l于点O，则点O即为所求点．故选：D．【变式1】如图，点A，B在直线l的同侧，在直线l上找一点P，使PA+PB最小，则下列图形正确的是（）A．B．C．D．【答案】B【解答】解：∵点A，B在直线l的同侧，∴作A点关于l的对称点A'，连接A'B与l的交点为P，由对称性可知AP＝A'P，∴P A+PB＝PA′+PB＝A′B为最小，故选：B．【典例2】如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10，BD平分∠ABC，如果点M，N分别为BD，BC上的动点，那么CM+MN的最小值是（）A．4B．4.8C．5D．6【答案】B【解答】解：如图所示：过点C作CE⊥AB于点E，交BD于点M，过点M作MN⊥BC于点N，∵BD平分∠ABC，∴ME＝MN，∴CM+MN＝CM+ME＝CE．∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10，CE⊥AB，＝•AB•CE＝•AC•BC，∴S△ABC∴10CE＝6×8，∴CE＝4.8．即CM+MN的最小值是4.8，故选：B．【变式2-1】已知，等腰△ABC中，AB＝AC，E是高AD上任一点，F是腰AB上任一点，腰AC＝5，BD＝3，AD＝4，那么线段BE+EF的最小值是（）A．5B．3C．D．【答案】C【解答】解：如图作点F关于AD的对称点F′，连接EF′．作BH⊥AC于H．∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝CD＝3，∴点F′在AC上，∵BE+EF＝BE+EF′，根据垂线段最短可知，当B，E，F′共线，且与H重合时，BE+EF的值最小，最小值就是线段BH 的长．在Rt△ACD中，AC＝5，∵•BC•AD＝•AC•BH，∴BH＝，∴BE+EF的最小值为，故选：C【变式2-2】如图，在△ABC中，直线l垂直平分AB分别交CB、AB于点D，E，点F为直线l上任意一点，AC＝3，CB＝4．则△ACF周长的最小值是（）A．4B．6C．7D．10【答案】C【解答】解：∵直线l垂直平分AB，∴A，B关于直线l为对称，∴F与D点重合时，AF+CF最小，最小值是BC＝4，∴△ACF周长的最小值＝AF+CF+AC＝AC+CD+BD＝AC+BC＝3+4＝7，故选：C．【变式2-3】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝7，BD是△ABC的角平分线，点P，点N分别是BD，AC边上的动点，点M在BC上，且BM＝1，则PM+PN的最小值为（）A．3B．C．3.5D．【答案】A【解答】解：如图所示，作点M关于BD的对称点M'，连接PM'，则PM'＝PM，BM＝BM'＝1，∴PN+PM＝PN+PM'，当N，P，M'在同一直线上，且M'N⊥AC时，PN+PM'的最小值等于垂线段M'N的长，此时，∵Rt△AM'N中，∠A＝30°，∴M'N＝AM'＝×（7﹣1）＝3，∴PM+PN的最小值为3，故选：A．【典例3】如图，等腰三角形ABC的底边BC为4，面积为24，腰AC的垂直平分线EF分别交边AC，AB于点E，F，若D为BC边的中点，M为线段EF上一动点，则△CDM的周长的最小值为（）A．8B．10C．12D．14【答案】D【解答】解：连接AD，MA．∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，∴AD⊥BC，＝BC•AD＝×4×AD＝24，解得AD＝12，∴S△ABC∵EF是线段AC的垂直平分线，∴点A关于直线EF的对称点为点C，MA＝MC，∴MC+DM＝MA+DM≥AD，∴AD的长为CM+MD的最小值，∴△CDM的周长最短＝（CM+MD）+CD＝AD+BC＝12+×4＝14．故选：D【变式3-1】如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝4，△ABC的面积是14，AC的垂直平分线EF分别交AC，AB于E，F点．若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则CM+DM的最小值为（）A．21B．7C．4D．2【答案】B【解答】解：连接AD，∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点．∴AD⊥BC，＝BC•AD＝×4×AD＝14，解得AD＝7，∴S△ABC∵EF是线段AB的垂直平分线，∴点C关于直线EF的对称点为点A，连接AM，则CM+DM＝AM+DM≥AD，∴当点M在线段AD上时，CM+DM的值最小，∴AD的长为CM+MD的最小值．故选：B．【变式3-2】如图，等腰三角形ABC的底边BC的长为4，面积是16，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点，若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为（）A．7B．8C．9D．10【答案】D【解答】解：∵EF是AC的垂直平分线，∴点A与点C关于EF对称．连接AD，与EF的交点为M，则此时点M为使△CDM周长最小时的位置．∵点D是底边BC上的中点，且△ABC是等腰三角形，∴AD⊥BC．＝16，BC＝4，∵S△ABC∴AD＝＝＝8．∵MA＝MC，∴△CDM的周长＝MC+MD+CD＝AD+DC＝8+2＝10．故选：D【典例4】如图，已知∠AOB的大小为30°，P是∠AOB内部的一个定点，且OP＝1，点E、F分别是OA、OB上的动点，则△PEF周长的最小值等于（）A．B．C．2D．1【答案】D【解答】解：作P点关于OA的对称点P'，作P点关于OB的对称点P''，连接P'P''交OA于点E、交BO于点F，连接OP'、OP''，由对称性可知，PE＝P'E，PF＝P''F，∴△PEF周长＝PE+PF+EF＝P'E+P''F+EF＝P'P''，此时△PEF周长最小，∵PO＝OP'，OP＝OP''，∴OP'＝OP''，∵∠AOB＝30°，∴∠P'OP''＝60°，∴△OP'P''是等边三角形，∵OP＝1，∴P'P''＝1，故选：D．【变式4-1】如图，∠AOB＝30°，∠AOB内有一定点P，且OP＝15，若在OA、OB上分别有动点M、N，则△PMN周长的最小值是（）A．5B．15C．20D．30【答案】B【解答】解：作P关于OA的对称点D，作P关于OB的对称点E，连接DE交OA于M，交OB 于N，连接PM，PN，则此时△PMN的周长最小，连接OD，OE，∵P、D关于OA对称，∴OD＝OP，PM＝DM，同理OE＝OP，PN＝EN，∴OD＝OE＝OP＝15，∵P、D关于OA对称，∴OA⊥PD，∵OD＝OP，∴∠DOA＝∠POA，同理∠POB＝∠EOB，∴∠DOE＝2∠AOB＝2×30°＝60°，∵OD＝OE＝15，∴△DOE是等边三角形，∴DE＝15，即△PMN的周长是PM+MN+PN＝DM+MN+EN＝DE＝15，故选：B．【变式4-2】如图，∠MON＝50°，P为∠MON内一点，OM上有点A，ON上有点B，当△PAB的周长取最小值时，∠APB的度数为（）A．60°B．70°C．80°D．100°【答案】C【解答】解：如图，分别作P关于OM、ON的对称点P1、P2，然后连接两个对称点即可得到A、B两点.∴△P AB即为所求的三角形，根据对称性知道：∠APO＝∠AP1O，∠BPO＝∠BP2O，还根据对称性知道：∠P1OP2＝2∠MON，OP1＝OP2，而∠MON＝50°，∴∠P1OP2＝100°，∴∠AP1O＝∠BP2O＝40°，∴∠APB＝2×40°＝80°．故选：C．【典例5】如图，四边形ABCD中，∠BAD＝130°，∠B＝∠D＝90°，在BC，CD上分别找一点M，N，使△AMN的周长最小时，则∠ANM+∠AMN的度数为（）A．80°B．90°C．100°D．130°【答案】C【解答】解：作A点关于CD的对称点F，作A点关于BC的对称点E，连接EF交CD于N，交BC于M，连接AM、AN，∵∠B＝∠D＝90°，∴AN＝NF，AM＝EM，∴△AMN的周长＝AM+AN+MN＝NF+MN+EM＝EF，此时△AMN的周长有最小值，∵∠F AN＝∠F，∠E＝∠EAM，∴∠E+∠F＝180°﹣∠BAD，∵∠BAD＝130°，∴∠E+∠F＝50°，∴∠BAM+∠FAN＝50°，∴∠MAN＝130°﹣50°＝80°，∴∠ANM+∠AMN＝180°﹣∠MAN＝100°，故选：C．【变式5-1】如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，∠BAD＝140°，点E，F分别为BC和CD上的动点，连接AE，AF．当△AEF的周长最小时，∠EAF的度数为（）A．60°B．90°C．100°D．120°【答案】C【解答】解：作A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于E，交CD于F，则A′A″即为△AEF的周长最小值．∵DAB＝140°，∴∠AA′E+∠A″＝180°﹣140°＝40°，∵∠EA′A＝∠EAA′，∠FAD＝∠A″，∴∠EAA′+∠A″AF＝40°，∴∠EAF＝140°﹣40°＝100°．故选：C．【变式5-2】如图，四边形ABCD中，∠BAD＝a，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别找一点M、N，当△AMN周长最小时，则∠MAN的度数为（）A．a B．2a﹣180°C．180°﹣a D．a﹣90°【答案】B【解答】解：延长AB到A′使得BA′＝AB，延长AD到A″使得DA″＝AD，连接A′A″与BC、CD分别交于点M、N．∵∠ABC＝∠ADC＝90°，∴A、A′关于BC对称，A、A″关于CD对称，此时△AMN的周长最小，∵BA＝BA′，MB⊥AB，∴MA＝MA′，同理：NA＝NA″，∴∠A′＝∠MAB，∠A″＝∠NAD，∵∠AMN＝∠A′+∠MAB＝2∠A′，∠ANM＝∠A″+∠NAD＝2∠A″，∴∠AMN+∠ANM＝2（∠A′+∠A″），∵∠BAD＝a，∴∠A′+∠A″＝180°﹣a，∴∠AMN+∠ANM＝2×（180°﹣a）＝360°﹣2a．∴∠MAN＝180°﹣（360°﹣2a）＝2a﹣180°，故选：B．【典例6】如图，在平面直角坐标系中，点C的坐标为（﹣1，5）．（1）若把△ABC向右平移5个单位，再向下平移3个单位得到△A1B1C1，并写出B1的坐标；（2）求出△ABC的面积；（3）在y轴上找一点P，使得PA+PB的值最小（保留作图痕迹，不写作法）．【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求，∴B1的坐标（3，﹣2）；＝3×4﹣×2×2﹣×1×4﹣×2×3＝12﹣2﹣2﹣3＝5；（2）S△ABC（3）作点B关于y轴的对称点B'，连接AB'交y轴于P，则点P即为所求．【变式6】如图，在平面直角坐标系中，点C的坐标为（﹣1，5）．（1）若把△ABC向右平移5个单位，再向下平移3个单位得到△A1B1C1，并写出B1的坐标；（2）在x轴上找一点P，使得PA+PB的值最小.【解答】解：（1）△A1B1C1如图所示．从图象看，B1点的坐标是（﹣3，2）．（2）A点关于x轴的对称点A′坐标为（4，﹣4），连接A'B交x轴于P点，则PA+PB＝PA'+PB＝A'B，此时PA+PB的值最小，随堂练习1．如图，点M，N在直线L的同侧，小东同学想通过作图在直线L上确定一点Q，使MQ与QN的和最小，那么下面的操作正确的是（）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：先作点M关于直线l的对称点，再连接连接N和对称点交l于点Q，则MQ +NQ ＝M ′Q +NQ ＝M ′N ，由“两点之间，线段最短”可知，点Q 即为所求的点，故选：C ．2．某区计划在公路旁修建一个核酸采集点P ，现有如下四种方案，则核酸采集点P 到A 、B 两个小区之间的距离之和最短的是（）A．B．C．D．【答案】B 【解答】解：作点A 关于直线m 的对称点A '，连接A 'B 交直线m 于P ，根据两点之间线段最短，可知选项B 中的核酸采集点P 到A 、B 两个小区之间的距离之和最短．故选：B ．3．如图，∠AOB 内一点P ，P 1，P 2分别是P 关于OA 、OB 的对称点，P 1P 2交OA 于点M ，交OB 于点N ．若△PMN 的周长是5cm ，则P 1P 2的长为（）A．3cmB．4cm C．5cm D．6cm【答案】C 【解答】解：∵P 点关于OA 、OB 的对称点P 1、P 2，∴PM ＝P 1M ，PN ＝P 2N ，∴△PMN 的周长＝PM +MN +PN ＝P 1M +MN +P 2N ＝P 1P 2，∵△PMN 的周长是5cm ，∴P 1P 2＝5cm ．故选：C4．已知∠AOB ＝30°，在∠AOB 内有一定点P ，点M ，N 分别是OA ，OB 上的动点，若△PMN 的周长最小值为3，则OP的长为（）A．1.5B．3C．D．【答案】B【解答】解：分别作点P关于OB、OA的对称点C、D，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，连接OC、OD、PM、PN、MN，如图所示：∵点P关于OA的对称点为D，∴PM＝DM，OP＝OD，∠DOA＝∠POA；∵点P关于OB的对称点为C，∴PN＝CN，OP＝OC，∠COB＝∠POB，∴OC＝OP＝OD，∠AOB＝∠COD，∴∠COD＝60°，∴△COD是等边三角形，∴OC＝OD＝CD＝OP，∵△PMN周长的最小值是3cm，∴PM+PN+MN＝3cm，∴DM+CN+MN＝3cm，即CD＝3cm＝OP，故选：B．5．如图，点P是∠AOB内任意一点，OP＝6cm，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，若△PMN周长的最小值是6cm，则∠AOB的度数是（）A．15B．30C．45D．60【答案】B【解答】解：分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，连接OC、OD、PM、PN、MN，如图所示：∵点P关于OA的对称点为D，关于OB的对称点为C，∴PM＝DM，OP＝OD，∠DOA＝∠POA；∵点P关于OB的对称点为C，∴PN＝CN，OP＝OC，∠COB＝∠POB，∴OC＝OP＝OD，∠AOB＝∠COD，∵△PMN周长的最小值是6cm，∴PM+PN+MN＝6，∴DM+CN+MN＝6，即CD＝6＝OP，∴OC＝OD＝CD，即△OCD是等边三角形，∴∠COD＝60°，∴∠AOB＝30°，故选：B．6．如图，在四边形ABCD中，∠C＝α°，∠B＝∠D＝90°，E，F分别是BC，DC上的点，当△AEF 的周长最小时，∠EAF的度数为（）A．αB．2αC．180﹣αD．180﹣2α【答案】D【解答】解：作A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于E，交CD于F，则A′A″即为△AEF的周长最小值．∵∠C＝α°，∠ACB＝∠ADC＝90°，∴∠DAB＝180°﹣α°，∴∠AA′E+∠A″＝α°，∵∠EA′A＝∠EAA′，∠FAD＝∠A″，∴∠EAA′+∠A″AF＝α°，∴∠EAF＝180°﹣α°﹣α°＝180°﹣2α°．故选：D．7．如图，在四边形ABCD中，∠C＝72°，∠B＝∠D＝90°，M，N分别是BC，DC上的点，当△AMN的周长最小时，∠MAN的度数为（）A．72°B．36°C．108°D．38°【答案】B【解答】解：作A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于M，交CD于N，则A′A″即为△AMN的周长最小值．作DA延长线AH，∵∠DAB＝108°，∴∠HAA′＝72°，∴∠AA′M+∠A″＝∠HAA′＝72°，∵∠MA′A＝∠MAA′，∠NAD＝∠A″，且∠MA′A+∠MAA′＝∠AMN，∠NAD+∠A″＝∠ANM，∴∠AMN+∠ANM＝∠MA′A+∠MAA′+∠NAD+∠A″＝2（∠AA′M+∠A″）＝2×72°＝144°，∴∠MAN＝36°，故选：B．8．如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，EF垂直平分BC，点P为直线EF上的任一点，则AP+BP的最小值是（）A．4B．5C．6D．7【答案】A【解答】解：连接PC．∵EF是BC的垂直平分线，∴BP＝PC．∴PA+BP＝AP+PC．∴当点A，P，C在一条直线上时，PA+BP有最小值，最小值＝AC＝4．故选：A．9．如图，AD是等边△ABC的BC边上的中线，F是AD边上的动点，E是AC边上动点，当EF+CF取得最小值时，则∠ECF的度数为（）A．15°B．22.5°C．30°D．45°【答案】C【解答】解：如图：过点B作BE⊥AC于点E，交AD于点F，连接CF，∵△ABC是等边三角形，∴AE＝EC，AF＝FC，∴∠FAC＝∠FCA，∵AD是等边△ABC的BC边上的中线，∴∠BAD＝∠CAD＝30°，∴∠ECF＝30°．故选：C．10．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝4，面积是14，AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F 点．若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为（）A．10B．9C．8D．6【答案】B【解答】解：连接AD，AM，∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，∴AD⊥BC，＝BC•AD＝×4×AD＝14，解得AD＝7，∴S∵EF是线段AC的垂直平分线，∴AM＝CM，当点M在AD上时，DM+CM最小，最小值为AD，∴△CDM的周长最短＝（CM+MD）+CD＝AD+BC＝7+×4＝7+2＝9．故选：B．11．如图，在等边△ABC中，点E是AC边的中点，点P是△ABC的中线AD上的动点，且AD＝6，则EP+CP的最小值是（）A．12B．9C．6D．3【答案】C【解答】解：作点E关于AD的对称点F，连接CF，∵△ABC是等边三角形，AD是BC边上的中线，∴AD⊥BC，∴AD是BC的垂直平分线，∴点E关于AD的对应点为点F，∴CF就是EP+CP的最小值．∵△ABC是等边三角形，E是AC边的中点，∴F是AB的中点，∴CF是△ABC的中线，∴CF＝AD＝6，即EP+CP的最小值为6，故选：C12.如图，已知∠MON＝40°，P为∠MON内一定点，OM上有一点A，ON上有一点B，当△PAB的周长取最小值时，∠APB的度数是°．【答案】100【解答】解：分别作点P关于OM、ON的对称点P′、P″，连接OP′、OP″、P′P″，P′P″交OM、ON于点A、B，连接PA、PB，此时△P AB周长的最小值等于P′P″．由轴对称性质可得，OP′＝OP″＝OP，∠P′OA＝∠POA，∠P″OB＝∠POB，∴∠P′OP″＝2∠MON＝2×40°＝80°，∴∠OP′P″＝∠OP″P′＝（180°﹣80°）÷2＝50°，又∵∠BPO＝∠OP″B＝50°，∠APO＝∠AP′O＝50°，∴∠APB＝∠APO+∠BPO＝100°．故答案为：100．13.如图，∠AOB＝30°，点P是∠AOB内的一定点，且OP＝6，若点M，N分别是射线OA，OB上异于点O的动点，则△PMN周长的最小值是．【答案】6【解答】解作点P关于OB的对称点P'，作点P关于OA的对称点P''，连接P'P''，则P'P''的长就是△PMN周长的最小值；在△OP'P''中，OP'＝OP''，∠AOB＝30°，∴∠P'OP''＝60°，∵OP＝6，∴P'P''＝6；故答案为6；14.如图，AB⊥BC，AD⊥DC，∠BAD＝116°，在BC、CD上分别找一点M、N，当△AMN周长最小时，∠AMN+∠ANM的度数是．【答案】128°【解答】解：作A点关于BC的对称点E，作A点关于CD的对称点F，连接EF，交BC于M点，交CD于N点，∴AM＝EM，AN＝NF，∴AM+AN+MN＝EM+MN+NF＝EF，此时△AMN周长最小，由对称性可知，∠E＝∠EAM，∠F＝∠NAF，∵∠BAD＝116°，∴∠E+∠F＝180°﹣116°＝64°，∴∠MAN＝116°﹣64°＝52°，∴∠AMN+∠ANM＝180°﹣52°＝128°，故答案为：128°．15.如图，四边形ABCD中，∠C＝50°，∠B＝∠D＝90°，点E，F分别是边BC、DC上的点，当△AEF的周长最小时，∠EAF点的度数为．【答案】80°【解答】解：作A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于E，交CD于F，则A′A″即为△AEF的周长最小值．作DA延长线AH，∵∠C＝50°，∴∠DAB＝130°，∴∠HAA′＝50°，∴∠AA′E+∠A″＝∠HAA′＝50°，∵∠EA′A＝∠EAA′，∠FAD＝∠A″∴∠EAA′+∠A″AF＝50°，∴∠EAF＝130°﹣50°＝80°，故答案为80°．。
作轴对称图形-将军饮马问题(知识讲解)七年级数学下册基础知识专项练习(北师大版)
专题5.16 作轴对称图形-将军饮马问题（知识讲解）【学习目标】1．理解轴对称变换，能作出已知图形关于某条直线的对称图形． 2．能利用轴对称变换设计一些图案，解决简单的实际问题.3．能运用轴对称的性质（将军饮马问题），解决简单的数学问题或实际问题，提高分析问题和解决问题的能力． 【要点梳理】 要点一：对称轴的作法若两个图形成轴对称，其对称轴就是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．因此只要找到一对对应点，再作出连接它们的线段的垂直平分线就可以得到这两个图形的对称轴．轴对称图形的对称轴作法相同．特别说明：在轴对称图形和成轴对称的两个图形中，对应线段、对应角相等.成轴对称的两个图形，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点一定在对称轴上.如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称. 要点二：将军饮马问题的基本作图和解题方法 几何模型1：两定一动型（两点之间线段最短）图一 图二111,B P P B 如图一：A 、B 为直线外一点，过点A 作直线的对称点A 连接A 交直线于点，则点为所求，此时 AP+PB=A 最小。
几何模型2：两动一定型（两点之间线段最短）PBAPMN ''''''∆此处M 、N 均为折点，分别作点P 关于OA 、OB 的对称点，化折线段PM+MN+PN 为P M+MN+P N ，当P 、M 、N 、P 共线时，周长最小。
几何模型3（1）：两定两动型（两点之间线段最短） 在OA 、OB 上分别取点M 、N 使得四边形PMNQ 的周长最小。
PQ PM MN NQ P Q OA OB PM MN NQ P M MN NQ P M N Q PMNQ ++++''''++考虑是条定线段，故只需考虑最小值即可，类似，分别作点、关于、对称，化折线段为，当、、、共线时，四边形的周长最小。
将军饮马模型
将军饮马模型LG GROUP system office room 【LGA16H-LGYY-LGUA8Q8-LGA162】将军饮马问题将军饮马问题=轴对称问题=最短距离问题（轴对称是工具，最短距离是题眼）。
所谓轴对称是工具，即这类问题最常用的做法就是作轴对称。
而最短距离是题眼，也就意味着归类这类的题目的理由。
比如题目经常会出现线段 a+b 这样的条件或者问题。
一旦出现可以快速联想到将军饮马问题，然后利用轴对称解题。
1.将军饮马故事“将军饮马”问题是数学问题中的经典题目，主要转化成“两点之间线段最短问题”原题：如图，一位将军，从A地出发，骑马到河边给马饮水，然后再到B地，问怎样选择饮水的地点，才能使所走的路程最短？AB模型一：一条定直线，同侧两定点在直线l的同侧有两点A,B,在L上求一点P，使得PA+PB值最小。
一般做法：作点 A（B）关于直线的对称点，连接 A’B，A’B 与直线交点即为所求点。
A’B即为最短距离。
理由：A’为 A 的对称点，所以无论 P 在直线任何位置都能得到 AP=A’P。
所以 PA+PB=PA’+PB。
这样问题就化成了求 A’到 B 的最短距离，直接相连就可以了。
例一：某供电部门准备在输电主干线L上连接一个分支线路，分支点为M，同时向新落成的A、B两个居民小区送电。
已知两个居民小区A、B分别到主干线的距离AA1=2千米，BB1=1千米，且A1B1=4千米。
（1）如果居民小区A、B位于主干线L的两旁，如图（1）所示，那么分支点M 在什么地方时总路线最短最短线路的长度是多少千米（2）如果居民小区A、B位于主干线L的同旁，如图（2）所示，那么分支点M 在什么地方时总路线最短此时分支点M与A1的距离是多少千米模型二：一条定直线，一定点，一动点 如图，已知直线L 和定点A ，在直线K 上找一点M，在直线L 上找一点P ，使得AP+PB 值最小。
模型三：一定点，两条定直线如图，在∠OAB 内有一点 P ，在 OA 和 OB 各找一个点 M 、N ，使得△PMN 周长最短（题眼）。
部编数学八年级上册专题21轴对称之将军饮马基础篇(解析版)含答案
专题21 轴对称之将军饮马基础篇1．如图，30AOB Ð=°，M ，N 分别是边,OA OB 上的定点，P ，Q 分别是边,OB OA 上的动点，记,OPM OQN a b Ð=Ð=，当MP PQ QN ++的值最小时，关于a ，b 的数量关系正确的是（ ）A ．60b a -=°B ．210b a +=°C ．230b a -=°D ．2240b a +=°【答案】B【解析】【分析】如图，作M 关于OB 的对称点M′，N 关于OA 的对称点N′，连接M′N′交OA 于Q ，交OB 于P ，则MP+PQ+QN 最小易知∠OPM=∠OPM′=∠NPQ ，∠OQP=∠AQN′=∠AQN ，KD ∠OQN=180°-30°-∠ONQ ，∠OPM=∠NPQ=30°+∠OQP ，∠OQP=∠AQN=30°+∠ONQ ，由此即可解决问题．【详解】如图，作M 关于OB 的对称点M ¢，N 关于OA 的对称点N ¢，连接M N ¢¢交OA 于Q ，交OB 于P ，则此时MP PQ QN ++的值最小．易知¢Ð=Ð=ÐOPM OPM NPQ ，¢Ð=Ð=ÐOQP AQN AQN ．∵18030Ð=°-°-ÐOQN ONQ ，30Ð=Ð=°+ÐOPM NPQ OQP 30Ð=Ð=°+ÐOQP AQN ONQ ，∴303018030210+=°+°+Ð+°-°-Ð=°ONQ ONQ a b ．故选：B.【点睛】本题考查轴对称-最短问题、三角形的内角和定理．三角形的外角的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．2．如图，△ABC 是等腰三角形，底边BC 的长为4，面积是18，腰AC 的垂直平分线EF 分别交AC ，AB 于点E ，F ．若点D 为BC 边的中点，点M 为线段EF 上一动点，则△CDM 周长的最小值是（ ）A ．11B ．13C ．9D ．8【答案】A【解析】【分析】连接AD ，由于△ABC 是等腰三角形，点D 是BC 边的中点，故AD ⊥BC ，再根据三角形的面积公式求出AD 的长，再再根据EF 是线段AC 的垂直平分线可知，点C 关于直线EF 的对称点为点A ，故AD 的长为CM +MD 的最小值，由此即可得出结论．【详解】解：连接AD ，∵△ABC 是等腰三角形，点D 是BC 边的中点，∴AD ⊥BC ，∴1141822ABC S BC AD AD =×=´´=V ，解得AD =9，∵EF 是线段AC 的垂直平分线，∴点C 关于直线EF 的对称点为点A ，∴CM =AM ，∴CD +CM +DM =CD +AM +DM ，∵AM +DM ≥AD ，∴AD 的长为CM +MD 的最小值，∴△CDM 的周长最短=（CM +MD ）+CD =AD +12BC =9+12×4=9+2=11．故选：A ．【点睛】本题考查的是轴对称-最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．3．如图，25AOB Ð=°，点M ，N 分别是边OA ，OB 上的定点，点P ，Q 分别是边OB ，OA 上的动点，记MPQ a Ð=，PQN b Ð=，当MP PQ QN ++的值最小时，b a -的大小=__________（度）．【答案】50【解析】【分析】作M 关于OB 的对称点M ¢，N 关于OA 的对称点N ¢，连接M N ¢¢，交OB 于点P ，交OA 于点Q ，连接MP ，QN ，可知此时MP PQ QN ++最小，此时OPM OPM NPQ OQP AQN AQN ¢¢Ð=Ð=ÐÐ=Ð=Ð，，再根据三角形外角的性质和平角的定义即可得出结论．【详解】作M 关于OB 的对称点M ¢，N 关于OA 的对称点N ¢，连接M N ¢¢，交OB 于点P ，交OA 于点Q ，连接MP ，QN ，如图所示．根据两点之间，线段最短，可知此时MP PQ QN ++最小，即MP PQ QN M N ¢¢++=，∴OPM OPM NPQ OQP AQN AQN ¢¢Ð=Ð=ÐÐ=Ð=Ð，，∵MPQ PQN a b Ð=Ð=，，∴11(180)(180)22QPN OQP a b Ð=°-Ð=°-，，∵QPN AOB OQP Ð=Ð+Ð，25AOB Ð=°，∴11(180)25(180)22a b °-=°+°- ，∴50b a -=° ．故答案为：50．【点睛】本题考查轴对称-最短问题、三角形内角和，三角形外角的性质等知识，灵活运用所学知识解决问题是解题的关键，综合性较强．4．如图，点P 是AOB Ð内任意一点，3cm OP =，点M 和点N 分别是射线OA 和射线OB 上的动点，30AOB Ð=°，则PMN V 周长的最小值是______．【答案】3【解析】【分析】根据“将军饮马”模型将最短路径问题转化为所学知识“两点之间线段最短”可找到PMN V 周长的最小的位置，作出图示，充分利用对称性以及30AOB Ð=°，对线段长度进行等量转化即可．【详解】解：如图所示，过点P 分别作P 点关于OB 、OA 边的对称点P ¢、P ¢¢，连接PP ¢¢、PP ¢、P P ¢¢¢、OP ¢、OP ¢¢，其中P P ¢¢¢分别交OB 、OA 于点N 、M ，根据“两点之间线段最短”可知，此时点M 、N 的位置是使得PMN V 周长的最小的位置．由对称性可知：,PN P N PM P M ¢¢¢==，,P OB POB POA P OA¢¢¢Ð=ÐÐ=Ð 3OP OP OP ¢¢¢===，30POA POB AOB Ð+Ð=Ð=°Q 30P OA P OB ¢¢¢\Ð+Ð=°+=60POA POB P OA P OB P OP ¢¢¢¢¢¢\Ð+ÐÐ+ÐÐ=°P OP ¢¢¢\△为等边三角形=3P P OP OP ¢¢¢¢¢¢\==\PMN V 的周长=PN PM MN ++=P N P M MN P P ¢¢¢¢¢¢++==3故答案为：3【点睛】本题是典型的的最短路径问题，考查了最短路径中的“将军饮马”模型，能够熟练利用其原理“两点之间线段最短”作出最短路径示意图是解决本题的关键．5．如图，ABC V 是等边三角形，AD 是BC 边上的高，E 是AC 的中点，P 是AD 上的一个动点，当PCE V 的周长最小时，ACP Ð的度数为______．【答案】30°##30度【解析】【分析】连接BP，由等边三角形的性质可知AD为BC的垂直平分线，即得出BP=CP，由此可知要使△PCE 的周长最小，即P点为BE与AD的交点时．最后根据等边三角形三线合一的性质，即得出CP平分ACBÐ，从而可求出1==302ACP ACBÐа．【详解】如图连接BP．∵ABCV为等边三角形，∴AD为BC的垂直平分线，∴BP=CP，∵△PCE的周长=PE+CP+CE= PE+BP+CE，∴当PE+BP最小时，△PCE的周长最小，∵PE+BP最小时为BE的长，即此时BE与AD的交点为P，如图．又∵点E为中点，AD为高，ABCV为等边三角形，∴P点即为等边ABCV角平分线的交点，∴CP平分ACBÐ，∴1==302ACP ACBÐа．故答案为：30°【点睛】本题考查等边三角形的性质，线段垂直平分线的判定和性质，两点之间线段最短等知识．理解要使△PCE的周长最小，即P点为BE与AD的交点是解题关键．6．如图，在四边形ABCD中，∠BCD＝50°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别取一点M、N，使△AMN的周长最小，则∠MAN＝_____°．【答案】80【解析】【分析】作点A关于BC、CD的对称点A1、A2，根据轴对称确定最短路线问题，连接A1、A2分别交BC、DC于点M、N，利用三角形的内角和定理列式求出∠A1+∠A2，再根据轴对称的性质和角的和差关系即可得∠MAN．【详解】如图，作点A关于BC、CD的对称点A1、A2，连接A1、A2分别交BC、DC于点M、N，连接AM、AN，则此时△AMN的周长最小，∵∠BCD＝50°，∠B＝∠D＝90°，∴∠BAD＝360°﹣90°﹣90°﹣50°＝130°，∴∠A1+∠A2＝180°﹣130°＝50°，∵点A关于BC、CD的对称点为A1、A2，∴NA＝NA2，MA＝MA1，∴∠A2＝∠NAD，∠A1＝∠MAB，∴∠NAD+∠MAB＝∠A1+∠A2＝50°，∴∠MAN＝∠BAD﹣（∠NAD+∠MAB）＝130°﹣50°＝80°，故答案为：80．【点睛】本题考查了轴对称的最短路径问题，利用轴对称将三角形周长问题转化为两点间线段最短问题是解决本题的关键．7．如图，在锐角△ABC中，∠BAC = 40°，∠BAC的平分线交BC于点D，M，N分别是AD和AB 上的动点，当BM +MN有最小值时，ABMÐ=_____________°．【答案】50【解析】【分析】在AC上截取AE=AN，可证△AME≌△AMN，当BM +MN有最小值时，则BE是点B到直线AC的距离即BE⊥AC，代入度数即可求∠ABM的值；【详解】如图，在AC上截取AE=AN，连接BE，∵∠BAC 的平分线交BC 于点D ，∴∠EAM =∠NAM ，∵AM =AM ，∴△AME ≌△AMN ，∴ME =MN ，∴BM +MN =BM +ME ≥BE ．∵BM +MN 有最小值．当BE 是点B 到直线AC 的距离时，BE ⊥AC ，∴∠ABM =90°-∠BAC =90°-40°=50°；故答案为：50．【点睛】本题考查的是轴对称－最短路线问题，通过最短路线求出角度；解答此类问题时要从已知条件结合图形认真思考，通过角平分线性质，垂线段最短，确定线段和的最短路线，代入即可求出度数．8．如图，直线1l ，2l 交于点O ，点P 关于1l ，2l 的对称点分别为1P ，2P ．若4OP =，127PP =，则12POP △的周长是______．【答案】15【解析】【分析】根据对称的性质可知，OP 1=OP =OP 2=3，再根据P 1P 2=7即可求出△P 1OP 2的周长．【详解】∵P 关于l 1、l 2的对称点分别为P 1、P 2，∴OP 1=OP =OP 2=4，∵P 1P 2=7，∴△P 1OP 2的周长=OP 1+OP 2+P 1P 2=4+4+7=15．故答案为15【点睛】本题考查的是轴对称的性质，熟知轴对称的性质是解答此题的关键．9．如图，等腰三角形ABC 的面积是18，底边BC 长为4，腰AC 的垂直平分线EF 分别交AC ，AB 于点E ，F ．若D 为BC 的中点，G 为线段EF 上一动点，则CDG V 周长的最小值为___________．【答案】11【解析】【分析】连接AD ，由于ABC D 是等腰三角形，点D 是BC 边的中点，故AD BC ^，再根据三角形的面积公式求出AD 的长，再再根据EF 是线段AC 的垂直平分线可知，点C 关于直线EF 的对称点为点A ，故AD 的长为CM MD +的最小值，由此即可得出结论．【详解】解：连接AD ，△ABC 是等腰三角形，点D 是BC 边的中点，AD BC \^，∴S △ABC =1141822BC AD AD ×=´´= ，解得9AD =，EF 是线段AC 的垂直平分线，\点C 关于直线EF 的对称点为点A ，CM AM\=，CD CM DM CD AM DM\++=++，AM+DM≥AD，AD\的长为CM MD+的最小值，CDM\D的周长最短11()94921122CM MD CD AD BC=++=+=+´=+=．故答案为11．【点睛】本题考查的是轴对称-最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．三、解答题10．问题：如图①，要在一条笔直的路边l上建一个燃气站，向l同侧的A、B两个城镇分别铺设管道输送燃气．试确定燃气站的位置，使铺设管道的路线最短．（1）如图②，作出点A关于l的对称点A'，线段A'B与直线l的交点C的位置即为所求，即在点C 处建燃气站，所得路线ACB是最短的．为了证明点C的位置即为所求，不妨在直线l上另外任取一点C'，连接AC'、BC'，证明AC＋CB＜AC'＋C'B．请完成这个证明．（2）如图③，点P为∠MON内的一个定点，在OM上有一点A，ON上有一点B．请你作出点A 和点B的位置，使得△PAB的周长最小．（保留作图痕迹，不写作法）在上述条件下，若∠MON＝40°，则∠APB＝°．【答案】（1）证明见解析；（2）作图见解析，100【解析】【分析】（1）如图②，连接A C ¢¢，由轴对称的性质可得,,AC A C AC A C ¢¢¢¢== 再证明：,A B AC BC ¢=+ 再利用三角形的三边关系可得结论；（2）分别作点P 关于,OM ON 的对称点,,P P ¢¢¢ 连接P P ¢¢¢交OM 于,A 交ON 于,B 则PAB △的周长最短，再由轴对称的性质可得：,,OPB OP B OPA OP A ¢¢¢V V V V ≌≌ 证明,APB OP B OP A ¢¢¢Ð=Ð+Ð 80,P OP ¢¢¢Ð=° 再求解50,OP P OP P ¢¢¢¢¢¢Ð=Ð=° 从而可得答案．【详解】证明：（1）如图②，连接A C ¢¢，∵点A ，点A ¢关于l 对称，点C 在l 上，∴CA CA ¢=，∴AC BC A C BC A B ¢¢+=+=，同理可得：AC C B A C BC ¢¢¢¢¢+=+，∵A B ¢＜A C C B ¢¢¢+，∴AC ＋BC ＜AC C B ¢¢+；（2）如图所示，点A 、B 即为所求，由轴对称的性质可得：,,OPB OP B OPA OP A ¢¢¢V V V V ≌≌,,,,PO P O PO P O OPB OP B OPA OP A ¢¢¢¢¢¢\==Ð=ÐÐ=Ð,,POB P OB POA P OA ¢¢¢Ð=ÐÐ=Ð,APB OPB OPA OP B OP A ¢¢¢\Ð=Ð+Ð=Ð+Ð40,POB POA P OB P OA ¢¢¢Ð+Ð=Ð+Ð=°404080,P OP ¢¢¢\Ð=°+°=°,OP OP ¢¢¢=Q()11808050,2OP P OP P ¢¢¢¢¢¢\Ð=Ð=°-°=° 100,APB OP P OP P ¢¢¢¢¢¢\Ð=Ð+Ð=°故答案为：100°．【点睛】本题考查的是轴对称的作图，利用轴对称的性质求解线段和或周长的最小值，同时考查线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，掌握以上知识是解题的关键．11．如图，在平面直角坐标系中，已知点(2,5)A ，(2,1)B ，(6,1)C ．(1)画出ABC V 关于y 轴对称的111A B C △；(2)在x 轴上找一点P ，使PB PC +的值最小（保留作图痕迹），并写出点P 的坐标．【答案】(1)见解析；(2)见解析，P 的坐标为(4,0)．【解析】【分析】（1）根据轴对称的性质结合坐标系，分别确定点A 、B 、C 关于y 轴的对称点A 1、B 1、C 1，即可作出111A B C △；（2）作出点B 关于x 轴的对称点B 2，连接B 2C ，交x 轴于P ，点P 即为所求做的点．(1)解：解：（1）如图所示，111A B C △即为ABC V 关于y 轴对称的三角形．(2)解：如图所示，点P 即为所求做的点，点P 的坐标为(4,0)．【点睛】本题考查了平面直角坐标系中的轴对称图形，将军饮马问题，熟知轴对称的性质是解题关键，注意坐标系中两个点关于x 轴对称，则横坐标不变，纵坐标互为相反数，两个点关于y 轴对称，则横坐标互为相反数，纵坐标不变．12．如图，在锐角∠AOB的内部有一点P，试在∠AOB的两边上各取一点M，N，使得△PMN的周长最小．（保留作图痕迹）【答案】见详解【解析】【分析】作点P关于直线OA的对称点E，点P关于直线OB的对称点F，连接EF交OA于M，交OB于N，连接PM，N，△PMN即为所求求作三角形．【详解】解：如图，作点P关于直线OA的对称点E，点P关于直线OB的对称点F，连接EF交OA于M，交OB于N，连接PM，PN，△PMN即为所求作三角形．理由：由轴对称的性质得MP＝ME，NP＝NF，∴△PMN的周长＝PM+MN+PN＝EM+MN+NF＝EF，根据两点之间线段最短，可知此时△PP1P2的周长最短．【点睛】本题考查轴对称﹣最短问题、两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会利用对称解决最短问题，属于中考常考题型．13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2，以BC为边向左作等边△BCE，点D 为AB 中点，连接CD ，点P 、Q 分别为CE 、CD 上的动点．（1）求证：△ADC 为等边三角形；（2）求PD +PQ +QE 的最小值．【答案】（1）证明见解析；（2）4．【解析】【分析】（1）先根据直角三角形的性质可得60,BAC AD CD Ð=°=，再根据等边三角形的判定即可得证；（2）连接,PA QB ，先根据等边三角形的性质可得12ACE ACD Ð=Ð，再根据等腰三角形的三线合一可得CE 垂直平分AD ，然后根据线段垂直平分线的性质可得PA PD =，同样的方法可得QB QE =，从而可得PD PQ QE PA PQ QB ++=++，最后根据两点之间线段最短即可得出答案．【详解】证明：（1）Q 在Rt ABC V 中，90,30,2ACB ABC AC Ð=°Ð=°=，60,24BAC AB AC Ð\=°==，Q 点D 是Rt ABC V 斜边AB 的中点，2AD AC \==，ADC \V 是等边三角形；（2）如图，连接,PA QB ，BCE QV 和ADC V 都是等边三角形，60BCE \Ð=°，60ACD Ð=°，1302ACE ACB BCE ACD \Ð=Ð-Ð=°=Ð，CE \垂直平分AD ，PA PD \=，同理可得：CD 垂直平分BE ，QB QE \=，PD PQ QE PA PQ QB \++=++，由两点之间线段最短可知，当点,,,A P Q B 共线时，PA PQ QB ++取得最小值AB ，故PD PQ QE ++的最小值为4．【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质等知识点，熟练掌握等边三角形的性质是解题关键．14．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点．网格中有一个格点ABC V （即三角形的顶点都在格点上）．(1)在图中作出ABC V 关于y 轴对称的111A B C △，并写出点1C 的坐标．(2)在y 轴上求作一点P ，使得PA PC +最短（保留作图痕迹，不需写出作图过程）．(3)求ABC V 的面积．【答案】(1)画图见解析；()11,4C (2)画图见解析(3)6【解析】【分析】（1）利用网格，根据轴对称的性质画出点A 、B 、C 关于y 轴的对称点A 1、B 1，C 1，再连接A 1B 1，A 1C 1，B 1C 1即可；（2）连接A 1C 交y 轴于点P ，即可；（3）利用网格，用矩形面积减去三个直角三角形面积求解即可．(1)解：如图所示，111A B C △就是所要求画的．()11,4C ．(2)解：如图所示，点P 就是所要求作的点．(3)解：111353322156222ABC S =´-´´-´´-´´=△．【点睛】本题考查利用轴对称性质作轴对称图形，利用轴对称求最短路径问题，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．15．如图所示的方格纸中，每个小方格的边长都是1，点A （-4，1）、B （-3，3）、C （-1，2）．(1)请作出△ABC向右平移5个单位长度，下移4个单位长度后的△A₁B₁C₁；(2)作△ABC关于y轴对称的△A₂B₂C₂；(3)在x轴上求作点N，使△NBC的周长最小（保留作图痕迹）．【答案】(1)答案见详解；(2)答案见详解；(3)答案见详解；【解析】【分析】（1）分别作出点A，B，C向右平移5个单位长度，下移4个单位长度后的对应点A₁，B₁，C₁再顺次连接A₁B₁C1；(2)分别作出点A，B，C关于y轴的对称点，再首尾顺次连接可得；(3)作点B关于x轴的对称点B3，再连接B3C交y轴于点N，顺次连接点NB，NC，即可；(1)如图所示：分别作出点A，B，C向右平移5个单位长度，下移4个单位长度后的对应点A₁，B₁，C₁再顺次连接A₁B₁C1；(2)如图所示：分别作出点A，B，C关于y轴的对称点A2，B2，C2，再首尾顺次连接可得；(3)作点B关于x轴的对称点B3，再连接B3C交y轴于点N，顺次连接点NB，NC，△NBC的周长最小；【点睛】本题主要考查作图-轴对称变换，图形的平移，解题的关键是熟练掌握轴对称变换的定义和性质及最短路线问题．。
难关必刷03轴对称之将军饮马模型(3种类型30题专练)(解析版)
难关必刷03轴对称之将军饮马模型（3种类型30题专练）【模型梳理】如图，将军在图中点A处，现在他要带马去河边喝水，之后返回军营，问：将军怎么走能使得路程最短？B军营河如图，在直线上找一点P使得PA+PB最小？这个问题的难点在于PA+PB是一段折线段，通过观察图形很难得出结果，关于最小值，我们知道“两点之间，线段最短”、“点到直线的连线中，垂线段最短”等，所以此处，需转化问题，将折线段变为直线段．【模型解析】作点A关于直线的对称点A’，连接PA’，则PA’=PA，所以PA+PB=PA’+PB当A’、P、B三点共线的时候，PA’+PB=A’B ，此时为最小值（两点之间线段最短）类型一：两定一动在OA 、OB 上分别取点M 、N ，使得△PMN 周长最小．此处M 、N 均为折点，分别作点P 关于OA （折点M 所在直线）、OB （折点N 所在直线）的对称点，化折线段PM +MN +NP 为P ’M +MN +NP ’’，当P ’、M 、N 、P ’’共线时，△PMN 周长最小．类型二：两定两动在OA 、OB 上分别取点M 、N 使得四边形PMNQ 的周长最小。
考虑PQ 是条定线段，故只需考虑PM +MN +NQ 最小值即可，类似，分别作点P 、Q 关于OA 、OB 对称，化折线段PM +MN +NQ 为P ’M +MN +NQ ’，当P ’、M 、N 、Q ’共线时，四边形PMNQ 的周长最小。
类型三：一定两动在OA 、OB 上分别取M 、N 使得PM +MN 最小。
此处M 点为折点，作点P 关于OA 对称的点P ’，将折线段PM +MN 转化为P ’M +MN ，即过点P ’作OB 垂线分别交OA 、OB 于点M 、N ，得PM +MN 最小值（点到直线的连线中，垂线段最短）BBBBBB【题型讲解】类型一：两定一动【例1】如图，在中，，是的两条中线，是上一个动点，则下列线段的长度等于最小值的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【详解】在中，，AD 是的中线，可得点B 和点D 关于直线AD 对称，连结CE ，交AD 于点P ，此时最小，为EC 的长，故选B.【变式】如图，点P 是∠AOB 内任意一点，∠AOB =30°，OP =8，点M 和点N 分别是射线OA 和射线OB 上的动点，则△PMN 周长的最小值为___________．【分析】△PMN 周长即PM +PN +MN 的最小值，此处M 、N 均为折点，分别作点P 关于OB 、OA 对称点P ’、P ’’，化PM +PN +MN 为P ’N +MN +P ’’M ．当P ’、N 、M 、P ’’共线时，得△PMN 周长的最小值，即线段P ’P ’’长，连接OP ’、OP ’’，可得△OP ’P ’’为等边三角形，所以P ’P ’’=OP ’=OP =8．P OBAMNA类型二：两定两动【例2】如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AC =6．AB =12，AD 平分∠CAB ，点F 是AC 的中点，点E 是AD 上的动点，则CE +EF 的最小值为 A ．3B ．4C ．D ．【分析】此处E 点为折点，可作点C 关于AD 的对称，对称点C ’在AB 上且在AB 中点，化折线段CE +EF 为C ’E +EF ，当C ’、E 、F 共线时得最小值，C ’F 为CB 的一半，故选C ．【变式】如图，在锐角三角形ABC 中，BC =4，∠ABC =60°， BD 平分∠ABC ，交AC 于点D ，M 、N 分别是BD ，BC 上的动点，则CM +MN 的最小值是 A()E AFCDB()NMDCBAAB ．2C ．D ．4【分析】此处M 点为折点，作点N 关于BD 的对称点，恰好在AB 上，化折线CM +MN 为CM+MN ’．因为M 、N 皆为动点，所以过点C 作AB 的垂线，可得最小值，选C ．类型三：一定两动【例3】点P 是定点，在OA 、OB 上分别取M 、N ，使得PM+MN 最小。
专题 圆中将军饮马(解析版)
专题圆中将军饮马1．如图，AB是⊙O的直径，AB＝8，点M在⊙O上，∠MAB＝20°，N是弧MB的中点，P 是直径AB上的一动点，若MN＝a，则△PMN周长的最小值为（）A．4 B．4＋a C．2＋a D．3＋a∵点N是的中点，∠BAM＝20°，=40=20°，故选：B．【点睛】本题考查圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系以及轴对称，掌握圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系以及轴对称的性质是解决问题的关键．2．如图，MN是⊙O的直径，MN=4，∠AMN=40°，点B为弧AN的中点，点P是直径MN上的一个动点，则PA+PB的最小值为（）C．D．3A．2 B．3．如图，MN是⊙O的直径，∠AMN=40°，点B为弧AN的中点，点P是直径MN上的一个动点，如果PA+PB O的直径等于（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【分析】首先利用在直线L上的同侧有两个点A、B，在直线L上有到A、B的距离之和最短的点存在，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线L的对称点，对称点与另一点的连线与直线L的交点就是所要找的点P的位置，然后根据弧的度数发现一个等腰直角三角形计算．【详解】解：作点B关于MN的对称点C，连接AC交MN于点P，则P点就是所求作的点．此时PA+PB最小，且等于AC的长．连接OA，OC，∵∠AMN=40°，∴∠AON=80°，AN的度数是80°，则BN的度数是40°，根据垂径定理得CN的度数是40°，则∠AOC=120°，作OQ⊥AC于点Q，,则∠AOQ=60°，AQ=12∴OA=1,∴MN=2OA=2，故选A．【点睛】此题主要考查了轴对称-最短路线问题，垂径定理，直角三角形的性质等，确定点P的位置是本题的关键．4．如图，MN是⊙O的直径，点A是半圆上的三等分点，点B是劣弧AN的中点，点P是直径MN上一动点．若AB=1，则△PAB周长的最小值是（）A．+1 B+1 C．2 D．3 【详解】是⊙A、⊙D上的一动点，P是BC上的一动点，则PE+PF的最小值是（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【详解】试题解析：∵矩形ABCD中，AB=2，BC=3，圆A的半径为1，∴A′D′=BC=3，DD′=2DC=4，AE′=1，∴A′D=5，∴DE′=5-1=4∴PE+PD=PE′+PD=DE′=4，故选C．考点：轴对称-最短路线问题．6．如图，菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝3，⊙A、⊙B的半径分别为2和1，点P、E、F 分别是边CD、⊙A和⊙B上的动点，则PE＋PF的最小值是（）A．1 B．2 C．2.5 D．3【答案】D四边形ABCD是菱形，60∠=︒，AB＝3，BAD∴、△ADB∠=∴BDC∴∠=180ADN∴∠'=∠A DNADB∴∠+∠∴'，D，A由题意可得出：当，AB2的1O过点A，半径为1的2O过点B.P、E、F分别是边CD，1O和2O上的动点.则+的最小值等于()PE PFA ．B ．6C ．3+D ．9 交2O F ，连接交1O 2FO ，连接，根据平行四边形的性质得到C 60∠∠=，求根据已知条件得到1O ，2O 外切，交2O F ，连接交1O 于E ，则此时，PE PF +的值最小，PE PF +的最小值OO EO FO =--，在60，AB 60，3BH 322=，2OO 2O 2BC ∴==AB 6=，半径为的1O 过点A 的2O 过点1O ∴，2O 外切，12O O 3∴=，AB//CD ，2OO CD ，2OO AB ∴⊥，2AO O 90∠∴=，2122OO O O ∴=+PE PF ∴+的最小值9126=--=.故选B ．【点睛】此题主要考查了轴对称-最短路线问题，平行四边形的性质以及相切两圆的性质，勾股定理等知识，根据题意得出P 点位置是解题关键．第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题8．如图所示，AB 是O 的直径，20AB =，30CAB ∠=︒，点D 为弧BC 的中点，点P 是直径AB 上的一个动点，PC PD +的最小值为__________．又∵点C 在⊙O 上，∠CAB =30°，D 为弧BC 的中点，即'，【点睛】本题考查了圆周角定理以及路程的和最小的问题，正确作出辅助线是解题的关键．9．如图，CD是⊙O的直径，点A是半圆上的三等分点，B是弧AD的中点，P点为直线CD 上的一个动点，当CD＝6时，AP+BP的最小值为_____．∵点A与A′关于CD对称，点A是半圆上的一个三等分点，MN上的一个动点，则PA+PB的最小值为_____．为O 的直径，A B 是O 上的两点，过A B BD MN ⊥于点D ，P 为DC 上的任意一点，若20MN =，8AC =，6BD =，则PA PB +的最小值为______．则四边形CDB′E 是矩形，B BD MN ⊥于点D ，P 为DC 上的任意一点，若10MN =，4AC =，3BD =，则PA PB +的最小值是__________．【答案】．【点睛】本题考查了勾股定理、轴对称、等腰直角三角形的判定与性质、矩形的判定与性质三、解答题13．【问题发现】（1）如图①，在△ABC中，AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，D是BC边的中点，E是AB边上一动点，则EC+ED的最小值是．【问题研究】（2）如图②，平面直角坐标系中，分别以点A（﹣2，3），B（3，4）为圆心，以1、3为半径作⊙A、⊙B，M、N分别是⊙A、⊙B上的动点，点P为x轴上的动点，试求PM+PN的最小值．【问题解决】（3）如图③，该图是某机器零件钢构件的模板，其外形是一个五边形，根据设计要求，边框AB长为2米，边框BC长为3米，∠DAB＝∠B＝∠C＝90°，联动杆DE长为2米，联动杆DE的两端D、E允许在AD、CE所在直线上滑动，点G恰好是DE的中点，点F可在边框BC上自由滑动，请确定该装置中的两根连接杆AF与FG长度和的最小值并说明理由．则此时PM+PN＝PM'+PN＝M'N最小，∵∠DAB＝∠B＝∠C＝90°条件：如图，A、B是直线l同旁的两个定点．问题：在直线l上确定一点P，使PA+PB的值最小．方法：作点A关于直线l的对称点A′，连结A′B交l于点P，则PA+PB=A′B的值最小（不必证明）．模型应用：（1）如图1，正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，P是AC上一动点．连结BD，由正方形对称性可知，B与D关于直线AC对称．连结ED交AC于P，则PB+PE的最小值是；（2）如图2，⊙O的半径为2，点A、B、C在⊙O上，OA⊥OB，∠AOC=60°，P是OB 上一动点，求PA+PC的最小值；（3）如图3，∠AOB=45°，P是∠AOB内一点，PO=10，Q、R分别是OA、OB上的动点，求△PQR周长的最小值．∴AD=4，∵点P 与点C 关于OB 对称，与⊙O 上各点之间的最短距离．证明：延长PO 交⊙O 于点B ，显然PB PA >．如图2，在⊙O 上任取一点C （与点,A B 不重合），连结,PC OC ．PO PC OC <+，且,PO PA OA OA OC =+=，PA PC ∴<PA ∴的长是点P 与⊙O 上各点之间的最短距离．由此可得真命题：圆外一点与圆上各点之间的最短距离是这点到圆心的距离与半径的差． 请用上述真命题解决下列问题．（1）如图3，在Rt ABC 中，90,2ACB AC BC ︒∠===，以BC 为直径的半圆O 交AB 于,D P 是弧CD 上的一个动点，连接AP ，则AP 长的最小值是________．（2）如图4，在边长为2的菱形ABCD 中，60,A M ︒∠=是AD 边的中点，点N 是AB 边上一动点，将AMN 沿MN 所在的直线翻折得到A MN '△连接A C '．①点A '的轨迹是______（填直线、线段、圆、半圆）②求线段A C '长的最小值．（3）如图5，已知正方形ABCD 的边长为4，点G 是以BC 为直径的半圆O 上的一动点，点P 是AB 边上另一动点，连接,PG PD ，求PD PG +的最小值．【答案】（1）；（2）①圆；②；（3）（2）①由折叠知A′M=AM，（3）如图，取点D关于直线AB的对称点D′，连接OD′交AB于点P，交半圆O于点G，【点睛】本题主要考查了菱形的性质，翻折的性质，最短距离问题，解直角三角形，理解圆。
《轴对称》之“将军饮马”问题(二)
《轴对称》之“将军饮马”问题（二）【变式3】若将军骑马从军营出发，先骑马去草地边吃草，再牵马去河边喝水，最后将马送入河边上的马厩，问：马厩建在何处，可使将军走的路程最短？【图示】【分析】我们同样把这个问题转化为熟悉的数学问题，把军营看作一个点，而把草地边和河边看作两条直线．问题即转化为，如下图：在∠MON的内部有一点A，在OM上找一点B，在ON上找一点C，使得AB＋BC最短．首先明确各点，线的属性．点A是定点，OM，ON是定线，点B，点C是OM，ON上要找的点，是动点．第一步，显然用“化折为直”，作点A关于OM的对称点A’，连接A’C．但是点C的位置并不确定，如何保证A’C最短呢？此时问题转化为射线ON外一点A’到ON上一点C之间距离的最小值．根据“垂线段最短”，则A’C⊥ON时最短！【解答】【变式4】若将军从军营A出发去河边饮马，之后牵马在河岸散步200米，再骑回军营B，问从河边何处开始散步，可使整个行程最短？【图示】蓝色部分即为散步所走的200米．【分析】我们继续把这个问题转化为熟悉的数学问题，把军营A与军营B看作2个定点，把河看作一条直线．问题即转化为，如下图：在直线l上找两个点C，D，使得AC＋BD最短．本题若作点A关于l的对称点A’，连接A’C和BD，会出现两线段不共线的问题，怎么办？我们能不能把BD进行相应的平移，使得与A’C共线？完全可以，把BD沿着DC方向向左平移200米，问题即迎刃而解．或者我们可以这么想象，把河边散步的200米，挪至回到军营B前，沿着与河平行的方向向右散步200米，问题也可解决．【解答】如图，作点A关于l的对称点A’，将点B向左平移CD的长度到点B’(实际为200米)，连接A’B’，交直线l于点C，将点C向右平移CD的长度到点D，点C，点D即为所求．【变式5】将军每日需骑马从军营出发，去河岸对侧的瞭望台观察敌情，已知河流的宽度为30米，请问，在何地修浮桥，可使得将军每日的行程最短？【图示】灰紫色部分即为长30米的浮桥．【分析】我们还是把这个问题转化为熟悉的数学问题，把军营与瞭望台看作间隔30米的2条直线外侧的定点．问题即转化为，如下图：在直线l1上找一个点C，直线l2上找一个点D，使得AC＋BD＋CD最短．由于CD长度确定，则题目转化为求AC＋BD最短，考虑在河的两侧，要使线段之和最短，则2条线段在同一直线上时即可．但这里并不共线，因此继续考虑平移．我们可以想成从军营出发先“渡河”，即沿CD方向行30米至点A’，再考虑“两点之间，线段最短”．【解答】如图，将点A沿CD方向，平移CD长度(实际30米)至点A’，连接A’B，交l2于点D，过点作DC⊥l2于点C，连接AC．则桥CD即为所求．此时AC＝ A’D，而A’D＋DB＝A’B，最短．【总结&反思】这次的3道题，有涉及到沿河边散步的问题，有造桥选址问题，但无外乎涉及到一个“平移”的思想方法，结合“两点之间，线段最短”解决，另外，有时还需考虑“垂线段最短”．如用口诀来总结，那就是：造桥散步怎么办，想到平移就不难。
轴对称中的最值模型问题(将军饮马)重难点题型专训(学生版)-初中数学
轴对称中的最值模型问题(将军饮马等)重难点题型专训题型一将军饮马之线段和最值题型二将军饮马之线段差最值题型三将军饮马之两定一动最值题型四三点共线最大值题型五双对称关系求周长最小值题型六两定两动型最值题型七两动一定最值题型八费马点最值问题将军饮马中最短路径问题四大模型一两定点在直线的异侧问题1作法图形原理在直线l 上找一点P ,使得P A+PB 的和最小。
连接AB ，与直线l 的交点P 即为所求。
两点之间，线段最短，此时P A +PB 的和最小。
二两定点在直线的同侧问题2：将军饮马作法图形原理在直线l 上找一点P ,使得P A +PB 的和最小。
作B 关于直线l 的对称点C ，连AC ，与直线l 的交点P 即为所求。
化折为直；两点之间，线段最短，此时P A +PB 的和AC 最小。
三两动点一定点问题问题3：两个动点作法图形原理作P 关于OA 的对称点P 1，作P 关于OB 的对称两点之间，线段最短，此时PC +PD +CD点P 在锐角∠AOB 的内部，在OA 边上找一点C ,在OB 边上找一点D ,,使得PC +PD +CD 的和最小。
点P 2，连接P 1P 2。
的和最小。
四造桥选址问题问题4：造桥选址作法图形原理直线m ∥n ，在m ，n 上分别求点M 、N ，使MN ⊥m ，MN ⊥n ，且AM +MN +BN 的和最小。
将点A 乡向下平移MN 的长度得A 1，连A 1B ，交n 于点N ，过N作NM ⊥m 于M 。
两点之间，线段最短，此时AM +MN +BN 的最小值为A 1B +MN 。
注意：本专题部分题目涉及勾股定理，各位同学可以学习完第3章后再完成该专题训练．勾股定理公式：a 2+b 2=c 2【经典例题一将军饮马之线段和最值】1.如图，在△ABC 中，AB =AC ，分别以点A 、B 为圆心，以适当长为半径画弧，两弧分别交于E 、F ，画直线EF ，D 为BC 的中点，M 为直线EF 上任意一点，若BC =5，△ABC 的面积为15，则BM +MD 的最小长度为()A.5B.6C.7D.82.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，AB=10，AD平分∠BAC，若P、Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是()A.1.2B.2.4C.4.8D.9.63.如图，在△ABC中，AB=AC=10，BC=12，AD=8，AD是∠BAC的角平分线，若E，F分别是AD和AC上的动点，则EC+EF的最小值是．4.唐朝著名诗人李颀的代表作品《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，其中隐含着一个有趣的数学问题．如图1，诗中将士在观望烽火之后从山脚下的A点出发，走到河边饮马后再到B点宿营．请问在何处饮马才能使总路程最短？我们可以用轴对称的方法解决这个问题．(1)如图2，作点B关于直线l的对称点B ，连接AB 与直线l交于点C，点C就是所求的位置．理由：如图3，在直线l上另取不同于点C的任一点C ，连接AC ，BC ，B C ，因为点B、B 关于直线l对称，点C、C 在直线l上，所以CB=，C B=，所以AC+CB=AC+CB =，在△AC B 中，依据，可得AB <AC +C B ，所以AC+CB<AC +C B ，即AC+CB最小．(2)迁移应用：如图4，△ABC是等边三角形，N是AB的中点，AD是BC边上的中线，AD=6，M是AD上的一个动点，连接BM、MN，则BM+MN的最小值是．【经典例题二将军饮马之线段差最值】5.如图，在△ABC中，AB=CB，∠B=100°．延长线段BC至点D，使CD=BC，过点D作射线DP∥AB，点E为射线DP上的动点，分别过点A，D作直线EC的垂线AM，DN．当AM-DN的值最大时，∠ACE的度数为．6.如图，AB⎳DP，E为DP上一动点，AB=CB=CD，过A作AN⊥EC交直线EC于N，过D作DM ⊥EC交直线EC于点M，若∠B=114°，当AN-DM的值最大时，则∠ACE=．7.如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，每个小正方形的顶点叫格点．已知△ABC的顶点均在格点上．(1)画出格点三角形ABC关于直线DE对称的△A B C ；(2)△A B C 的面积是(3)在直线DE上找出点P，使P A-PC最大，并求出最大值为．(保留作图痕迹)8.如图，已知△ABC的三个顶点在格点上．(1)画出△A1B1C1，使它与△ABC关于直线MN对称；(2)在直线MN上画出点D，使∠BDM=∠CDN．(3)在直线MN上画出点P，使P A-PC最大．【经典例题三将军饮马之两定一动最值】9.小王准备在红旗街道旁建一个送奶站，向居民区A，B提供牛奶，要使A，B两小区到送奶站的距离之和最小，则送奶站C的位置应该在( )．A. B.C. D.10.(2023春·黑龙江齐齐哈尔·八年级校考阶段练习)如图，一个牧童在小河的南4km的A处牧马，而他正位于他的小屋B的西8km北7km处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家．他要完成这件事情所走的最短路程是多少？11.(2023春·全国·八年级专题练习)如图，正△ABC的边长为2，过点B的直线l⊥AB，且△ABC与△A′BC′关于直线l对称，D为线段BC′上一动点，则AD+CD的最小值是．12.(2023·江苏·八年级假期作业)如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=120°,AB边的垂直平分线DE交AB于点D，若AE=3，(1)求BC的长；(2)若点P是直线DE上的动点，直接写出P A+PC的最小值为．【经典例题四三点共线最大值】13.如图，在△ABC中，AB=AC，AC的垂直平分线交AC于点N，交AB于点M，AB=12cm，△BMC的周长是20cm，若点P在直线MN上，则P A-PB的最大值为.14.如图，AC，BD在AB的同侧，AC=2，BD=8，AB=10，M为AB的中点，若∠CMD=120°，则CD的最大值为()A.12B.15C.18D.2015.如图，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°,M在△ABC的内部，∠ACM=4∠BCM，P为射线CM上一点，当|P A-PB|最大时，∠CBP的度数是．16.如图，方格图中每个小正方形的边长为1，点A、B、C、M、N都在格点上．(1)画出△ABC关于直线MN对称的△A1B1C1．(2)若以N点为原点建立平面直角坐标系，点B的坐标为0，5，则△ABC关于x轴对称△A2B2C2，写出点A2,C2的坐标．(3)在直线MN上找点P使PB-P A的最大值．最大，在图形上画出点P的位置，并直接写出PB-P A【经典例题五双对称关系求周长最小值】17.如图，在五边形ABCDE中，∠BAE=120°，∠B=∠E=90°，AB=BC，AE=DE，在BC、DE上分别找到一点M、N，使得△AMN的周长最小，则∠AMN+∠ANM的度数为()A.100°B.110°C.120°D.130°18.如图，在四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，∠B=32°，在边AB，BC上分别找一点E，F使△DEF的周长最小，此时∠EDF=()A.110°B.112°C.114°D.116°19.如图，在△ABC中，AB=AC=10cm，BC=9cm，AB的垂直平分线交AB于点M，交AC于点N，在直线MN上存在一点P，使P、B、C三点构成的△PBC的周长最小，则△PBC的周长最小值为．20.在草原上有两条交叉且笔直的公路OA、OB，在两条公路之间的点P处有一个草场，如图，∠AOB=30°，OP=6.5．现在在两条公路上各有一户牧民在移动放牧，分别记为M、N，若存在M、N使得△PMN的周长最小，则△PMN周长的最小值是．21.几何模型：条件：如图1，A、B是直线l同旁的两个定点．问题：在直线l上确定一点P，使P A+PB的值最小．解法：作点A关于直线l的对称点A ，连接A B，则A B与直线l的交点即为P，且P A+PB的最小值为线段A B的长．(1)根据上面的描述，在备用图中画出解决问题的图形；(2)应用：①如图2，已知∠AOB=30°，其内部有一点P，OP=12，在∠AOB的两边分别有C、D两点(不同于点O)，使△PCD的周长最小，请画出草图，并求出△PCD周长的最小值；②如图3，∠AOB=20°，点M、N分别在边OA、OB上，且OM=ON=2，点P，Q分别在OB、OA上，则MP+PQ+QN的最小值是．22.如图，在四边形ABCD中，∠BAD=∠B=∠D=90°，AD=AB=4，E是AD中点，M是边BC上的一个动点，N是边CD上的一个动点，则AM+MN+EN的最小值是．23.如图，在等边△ABC中，AC=12，AD是BC边上的中线，点P是AD上一点，且AP=5．如果点M、N分别是AB和AD上的动点，那么PM+MN+NB的最小值为．【经典例题七两动一定最值】24.如图，在锐角三角形ABC中，AB=6，△ABC的面积为18，BD平分∠ABC，若E、F分别是BD、BC上的动点，则CE+EF的最小值为．25.如图所示，在等边△ABC中，点D、E、F分别在边BC、AB，AC上，则线段DE+DF的最小值是()A.BC边上高的长B.线段EF的长度C.BC边的长度D.以上都不对26.如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BC=8，AC=10，点P、Q分别是边BC、AC上的动点，则AP+PQ的最小值等于()A.4B.245C.5 D.48527.如图，在等腰△ABC中，AB=AC=8，∠ACB=75°，AD⊥BC于D，点M、N分别是线段AB、AD上的动点，则MN+BN的最小值是．【经典例题八费马点最值问题】28.【问题提出】(1)如图1，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD(不含B点)上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM，CM．若连接MN，则△BMN的形状是．(2)如图2，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB+AC=10，求BC的最小值．【问题解决】(3)如图3，某高新技术开发区有一个平行四边形的公园ABCD，AB+BC=6千米，∠ABC=60°，公园内有一个儿童游乐场E，分别从A、B、C向游乐场E修三条AE,BE,CE，求三条路的长度和(即AE+ BE+CE)最小时，平行四边形公园ABCD的面积．29.已知点P是△ABC内一点，且它到三角形的三个顶点距离之和最小，则P点叫△ABC的费马点(Fermat po int)．已经证明：在三个内角均小于120°的△ABC中，当∠APB=∠APC=∠BPC=120°时，P就是△ABC的费马点．若点P是腰长为6的等腰直角三角形DEF的费马点，则PD+PE+PF=()A.6B.32+6C.63D.930.定义：若P为△ABC内一点，且满足∠APB=∠BPC=∠CP A=120°，则点P叫做△ABC的费马点．(1)如图1，若点O是等边△ABC的费马点，且OA+OB+OC=18，则这个等边三角形的高的长度为；(2)如图2，已知△ABC，分别以AB、AC为边向外作等边△ABD与等边△ACE，线段CD、BE交于点P，连接AP，求证：点P是△ABC的费马点；(3)应用探究：已知有A、B、C三个村庄的位置如图3所示，能否在合适的位置建一个污水处理站Q，使得该处理站分别连接这三个村庄的水管长度之和最小？如果能，请你说明该如何确定污水处理站Q的位置，并证明该位置满足设计要求．31.定义：若P为△ABC内一点，且满足∠APB=∠BPC=∠CP A=120°，则点P叫做△ABC的费马点．(1)如图1，若点O是高为3的等边△ABC的费马点，则OA+OB+OC=；(2)如图2，已知P是等边△ABD外一点，且∠APB=120°，请探究线段P A，PB，PD之间的数量关系，并加以证明；(3)如图3，已知△ABC，分别以AB、AC为边向外作等边△ABD与等边△ACE，线段CD、BE交于点P，连接AP，求证：①点P是△ABC的费马点；②P A+PB+PC=CD．32.若一个三角形的最大内角小于120°，则在其内部有一点所对三角形三边的张角均为120°，此时该点叫做这个三角形的费马点．如图1，当△ABC三个内角均小于120°时，费马点P在△ABC内部，此时∠APB=∠BPC=∠CP A=120°，P A+PB+PC的值最小．(1)如图2，等边三角形ABC内有一点P，若点P到顶点A，B，C的距离分别为3，4，5，求∠APB的度数．为了解决本题，小林利用“转化”思想，将△ABP绕顶点A旋转到△ACP 处，连接PP ，此时△ACP ≌△ABP，这样就可以通过旋转变换，将三条线段P A，PB，PC转化到一个三角形中，从而求出∠APB=．(2)如图3，在图1的基础上延长BP，在射线BP上取点D，E，连接AE，AD．使AD=AP，∠DAE=∠P AC，求证：BE=P A+PB+PC．(3)如图4，在直角三角形ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=30°，AB=1，点P为直角三角形ABC的费马点，连接AP，BP，CP，请直接写出P A+PB+PC的值．33.(2024八年级上·浙江·专题练习)如图，△ABC中，点D在BC边上，过D作DE⊥BC交AB于点E，P为DC上的一个动点，连接P A、PE，若P A+PE最小，则点P应该满足()A.P A=PCB.P A=PEC.∠APE=90°D.∠APC=∠DPE34.(24-25八年级上·全国·课后作业)如图，在四边形ABCD中，BC∥AD,CD⊥AD，P是CD边上的一动点，要使P A+PB的值最小，则点P应满足的条件是()A.P A=PBB.PC=PDC.∠APB=90°D.∠BPC=∠APD35.(23-24八年级下·四川巴中·期末)如图，在△ABC中，AB=AC，分别以点A、B为圆心，以适当长为半径画弧，两弧分别交于E、F，画直线EF，D为BC的中点，M为直线EF上任意一点，若BC=5，△ABC 的面积为15，则BM+MD的最小长度为()A.5B.6C.7D.836.(23-24八年级下·河南郑州·阶段练习)如图，四边形ABCD中，∠BAD=120°，∠B=∠D=90°，在BC，CD上分别找一点M，N，使△AMN周长最小，则∠AMN+∠ANM的度数为()A.60°B.120°C.90°D.45°37.(23-24八年级上·湖南湘西·期末)在某草原上，有两条交叉且笔直的公路OA、OB，如图，∠AOB=30°，在两条公路之间的点P处有一个草场，OP=4．现在在两条公路上各有一户牧民在移动放牧，分别记为M、N，存在M、N使得△PMN的周长最小．则△PMN周长的最小值是( )．A.4B.6C.8D.1238.(22-23八年级下·福建漳州·期中)如图，在△ABC中，AB=AC，BC=6，S△ABC=18，D是BC中点，EF垂直平分AB，交AB于点E，交AC于点F，在EF上确定一点P，使PB+PD最小，则这个最小值为()A.3B.6C.9D.1239.(23-24八年级上·福建福州·期中)在平面直角坐标系xOy中，A0,4，动点B在x轴上，连接AB，将线段AB绕点A逆时针旋转60°至AC，连接OC，则线段OC长度最小为()A.0B.1C.2D.340.(22-23七年级下·山东济南·阶段练习)如图，在五边形ABCDE中，∠BAE=120°，∠B=∠E=90°，AB=BC，AE=DE，在BC、DE上分别找到一点M、N，使得△AMN的周长最小，则∠AMN+∠ANM的度数为()A.100°B.110°C.120°D.130°41.(21-22八年级上·四川广元·期末)如图所示，在四边形ABCD中，AD=2，∠A=∠D=90°，∠B=60°，BC=2CD，在AD上找一点P，使PC+PB的值最小；则PC+PB的最小值为()A.4B.3C.5D.642.(21-22八年级上·广东广州·期中)在Rt △ABC 中，∠C =90°，∠A =30°，点P 是边AC 上一定点，此时分别在边AB ，BC 上存在点M ，N 使得△PMN 周长最小且为等腰三角形，则此时AP PC 的值为()A.12B.1C.32D.243.(2024七年级下·全国·专题练习)如图，△ABC 中，AB =AC ，BC =5，S △ABC =15，AD ⊥BC 于点D ，EF 垂直平分AB ，交AC 于点F ，在EF 上确定一点P ，使PB +PD 最小，则这个最小值为．44.(23-24七年级下·陕西西安·阶段练习)如图，在四边形ABCD 中，∠B =∠D =90°，在BC ，CD 上分别找一点M ，N ，使△AMN 周长最小，此时∠MAN =80°，则∠BAD 的度数为．45.(23-24七年级下·山东济南·期末)在草原上有两条交叉且笔直的公路OA 、OB ，在两条公路之间的点P 处有一个草场，如图，∠AOB =30°，OP =6.5．现在在两条公路上各有一户牧民在移动放牧，分别记为M、N，若存在M、N使得△PMN的周长最小，则△PMN周长的最小值是．46.(22-23七年级下·广东河源·期末)如图，在四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，∠B=36°，在边AB、BC上分别找一点E、F，使△DEF周长最小，此时∠EDF=．47.(22-23八年级上·广东东莞·期中)如图，点A-2，1，点P是在x轴上，且使P A+PB最小，写，B2，3出点P的坐标．48.(22-23八年级上·湖南岳阳·期中)如图，直线l垂直平分△ABC的AB边，在直线l上任取一动点O，连结OA、OB、OC．若OA=5，则OB=．若AC=9，BC=6，则△BOC的最小周长是．49.(22-23八年级上·四川绵阳·期中)在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标是0,2，点B在x轴的负半轴上且∠ABO=30°，点P与点O关于直线AB对称，在y轴上找到一点M，使PM+BM的值最小，则这个最小值为．50.(22-23八年级上·海南海口·期中)如图，在四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，∠B=36°，在边AB，BC上分别找一点E，F使△DEF的周长最小．此时∠EDF的大小是．51.(22-23八年级上·湖北黄石·期末)如图，已知∠AOB=30°，OC平分∠AOB，在OA上有一点M，OM=103cm，现要在OC,OA上分别找点Q，N，使QM+QN最小，则其最小值为cm．52.(21-22八年级上·福建厦门·期末)小河的两条河岸线a∥b，在河岸线a的同侧有A、B两个村庄，考虑到施工安全，供水部门计划在岸线b上寻找一处点Q建设一座水泵站，并铺设水管PQ，并经由P A、PB 跨河向两村供水，其中QP⊥a于点P.为了节约经费，聪明的建设者们已将水泵站Q点定好了如图位置(仅为示意图)，能使三条水管长PQ+P A+PB的和最小.已知P A=1.6km，PB=3.2km，PQ=0.1km，在A村看点P位置是南偏西30°，那么在A村看B村的位置是．53.(22-23八年级上·云南昆明·期末)如图，△ABC的三个顶点坐标分别为A2,3．，B1,1，C5,3(1)作出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1．(2)求△A1B1C1的面积；(3)在x轴上找一点P，使得PC+PB最小，请直接写出点P的坐标．54.(24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习)如图，在平面直角坐标系中，已知A-3,4，B-1,2，C1,3．(1)在平面直角坐标系中画出△ABC，将△ABC平移得到△A B C ，已知A 1,-1，则C 坐标是．(2)求出△ABC的面积；(3)在x轴上有一点P，使得P A+PB的值最小，保留作图痕迹．55.(23-24八年级下·广东深圳·期末)【综合实践活动】【问题背景】如图1，A，B表示两个村庄，要在A，B一侧的河岸边建造一个抽水站P，使得它到两个村庄的距离和最短，抽水站P应该修建在什么位置？【数学建模】小坤发现这个问题可以用轴对称知识解决，他先将实际问题抽象成如下数学问题：如图2，A，B是直线l同侧的两个点，点P在直线l上．P在何处时，P A+PB的值最小．画图：如图3，作B关于直线l的对称点B ，连结AB 与直线l交于点P，点P的位置即为所求．证明：∵B和B 关于直线l对称∴直线l垂直平分BB∴PB=，∴P A+PB=P A+PB根据“”(填写序号：①两点之间，线段最短；②垂线段最短；③两点确定一列条直线．)可得P A+ PB 最小值为(填线段名称)，此时P点是线段AB 和直线l的交点．【问题拓展】如图4，村庄B的某物流公司在河的对岸有一个仓库C(河流两侧河岸平行，即GD∥EF)，为了方便渡河，需要在河上修建一座桥MN(桥的长度固定不变，等于河流的宽度且与河岸方向垂直)，请问桥MN修建在何处才能使得B到C的路线最短？请你画出此时桥MN的位置(保留画图痕迹，否则不给分)．【迁移应用】光明区某湿地公园如图5所示，四边形AEDC为花海景区，∠CDE=∠E=90°，AE=80米，DE=50米，长方形CFGH为人工湖景区，为了方便市民观景，公园决定修建一条步行观光路线(折线AM-MN-BN)，A为起点，终点B在ED上，BD=30米，MN为湖边观景台，长度固定不变(MN =40米)，且需要修建在湖边所在直线CF上，步行观光路线的长度会随着观景台位置的变化而变化，请直接写出步行观光路线的最短长度．2156.(2023九年级·四川成都·专题练习)在△ABC 中，AC =BC ，点E 在是AB 边上一动点(不与A 、B 重合)，连接CE ，点P 是直线CE上一个动点．(1)如图1，∠ACB =120°，AB =16，E 是AB 中点，EM =2，N 是射线CB 上一个动点，若使得NP +MP 的值最小，应如何确定M 点和点N 的位置？请你在图2中画出点M 和点N 的位置，并简述画法；直接写出NP +MP 的最小值；(2)如图3，∠ACB =90°，连接BP ，∠BPC =75°且BC =BP ．求证：PC =P A ．57.(23-24七年级下·广东深圳·期末)【背景材料】对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，常被用于建筑、器物、绘画、标识等作品的设计上，比如图1．同时，对称在解决生活中的实际问题时，也往往有很大的作用．【问题提出】某小区要在街道旁修建一个奶站，向居民区A ，B 提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使A ，B 到它的距离之和最短？该问题给牛奶公司造成了困扰，现向居民们征求意见．【问题解决】小明同学将小区和街道抽象出的平面图形，并用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题．如图2，作A 关于直线m 的对称点A ，连接A B 与直线m 交于点C ，点C 就是所求的位置．(1)请你在下列阅读、应用的过程中，完成解答并填空：证明：如图3，在直线m 上另取任一点D ，连结AD ，A D ，BD ，∵直线m 是点A ，A 的对称轴，点C ，D 在m 上，22∴CA =，DA =，∴AC +CB =A C +CB =．在△A DB 中，∵A B <A D +DB ，∴A C +CB <A D +DB ．∴AC +CB <AD +DB ，即AC +CB 最小．(2)如图4，在等边△ABC 中，E 是AB 上的点，AD 是∠BAC 的平分线，P 是AD 上的点，若AD =5，则PE +PB 的最小值为．【拓展应用】(3)“龙舟水”来势汹汹，深圳“雨雨雨”模式开启，深圳某学校的志愿者们在查阅地图后，画出了平面示意图5．其中，点A 表示龙潭公园，点B 表示宝能广场，点C 表示万科里，点D 表示万科广场，点E 表示龙城广场地铁站．如图6，志愿者计划在B 宝能广场和D 万科广场之间摆放一批共享雨伞，使得共享雨伞的位置到B宝能广场、C 万科里、D 万科广场和E 龙城广场地铁站的距离的和最小．若点A 与点C 关于BD 对称，请你用尺子在BD 上画出“共享雨伞”的具体摆放位置(用点G 表示)．58.(24-25八年级上·全国·假期作业)如图，B、C 两点关于y 轴对称，点A 的坐标是0,b ，点C 坐标为-a ,-a -b ．(1)直接写出点B 的坐标为；(2)用尺规作图，在x 轴上作出点P ，使得AP +PB 的值最小；(3)∠OAP =度．59.(21-22七年级上·陕西商洛·期末)点C 为∠AOB 内一点．23(1)在OA上求作点D,OB上求作点E，使△CDE的周长最小，请画出图形；(2)在(1)的条件下，若∠AOB=30°，OC=10，求△CDE周长的最小值．60.(23-24八年级上·湖南长沙·期末)在四边形ABCD中，∠BAD=BCD=90°，∠ABC=135°，AB=32，BC=1，在AD、CD上分别找一点E、F，使得△BEF的周长最小，求△BEF周长的最小值．61.(2023八年级上·全国·专题练习)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=6，CD平分∠ACB交斜边AB于点D，动点P从点C出发，沿折线CA-AD向终点D运动．(1)点P在CA上运动的过程中，当CP时，△CPD与△CBD的面积相等；(直接写出答案)(2)点P在折线CA-AD上运动的过程中，若△CPD是等腰三角形，求∠CPD度数；(3)若点E是斜边AB的中点，当动点P在CA上运动时，线段CD所在直线上存在另一动点M，使两线段MP、ME的长度之和，即MP+ME的值最小，则此时CP的长度(直接写出答案)．。
中考复习《轴对称》之“将军饮马”问题
《轴对称》之“将军饮马”问题“将军饮马”的起源:早在古罗马时代，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦．一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题．将军每天从军营A出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的军营B开会，应该怎样走才能使路程最短？这个问题的答案并不难，据说海伦略加思索就解决了它．而从此以后，这个被称为“将军饮马”的问题便流传至今．【图示】【分析】l，我们把俯视图视角的问题抽象化，数学化，将河流看作一条直线军营看作一个点，转化为一个路程之和的最短问题．即如下图：直线同侧有两点A，B，在直线上选取一点C，使得AC＋BC最短．在思考这个问题之前，我们先来回忆下初一上学期中，涉及线段最短的两个重要结论：1、两点之间，线段最短．2、垂线段最短．请各位同学务必记住，初中阶段的几何最值问题，最后几乎都可以转化为通过这两个结论来求得．如果“将军饮马”问题不能很快回答，那么我们先看这个问题，假如军营A，B在河的两岸，那么这个点C在哪呢？很简单，连接AB，与直线l的交点即为点C．理由，两点之间，线段最短．(当然也可以用三角形一边小于两边之和)那么回到原先的问题，即军营A，B在河的同侧，该如何思考就不难了．根据线段对称性，只需作点A关于直线l的对称点A’，连接A’B，与直线l的交点即为点C．【解答】如图【变式1】若将军骑马从军营出发，先骑马去草地边吃草，再牵马去河边喝水，最后回到军营，问：这位将军怎样走路程最短？【图示】【分析】我们同样把这个问题转化为熟悉的数学问题，把军营看作一个点，而把草地边和河边看作两条直线，当然在图示中，这两条直线相交，形成了OM 上一个角．问题即转化为，如下图：在∠MON 的内部有一点A，在找一点B，在ON上找一点C，使得△BAC周长最短．若点C位置确定，要求AB＋BC最短，同学们肯定已经知道，作点 A 关于OM的对称点A’，连接A’C即可，但现在点C的位置不确定，而若点B位置确定，要求AC＋BC最短，则作点A关于ON的对称点A’’，连接A’’B即可．想到这，分别作点A关于OM，ON的对称点，问题不就迎刃而解了吗？【解答】如图，作点A关于OM的对称点A’，作点A关于ON的对称点A’’，OM 交于点B，与ON交于点C，连接AB，AC，连接A’A’’，与△ABC即为所求．【变式2】若将军骑马从军营出发，先骑马去草地边吃草，再牵马去河边喝水，最后把马牵回马厩，步行回到军营，问：这位将军怎样走路程最短？【图示】【分析】首先，将问题转化为如下图：在∠OM上找一点C，在ON上找一点MON 的内部有点D，使得四边形ABCDA和点B，在周长最短．从马厩步行回军营，则必然“两点之间，线段最短”，问题转化为求AC＋CD＋DB的最小值，方法与变式2类似，过点A作OM的对称点，过点B作ON 的对称点即可．【解答】如图，作点A关于OM 的对称点A’，作点B关于ON的对称点B’，连接A’B’，与OM 交于点C，与ON交于点D，连接AC，BD，AB，四边形ABCD 即为所求．【总结&反思】我们已经知道，类似的“将军饮马”问题，最关键的就是要作对称，但怎么做，可能大家并不是十分明确，我们再来好好体会一下：首先，明确定点，定线，动点．军营，马厩，这些不动的点，即为定点．河边，草地边，这些不动的线，即为定线．河边的饮马点，草地边的吃草点等，这些不确定的点，即为动点．1．必然是作定点关于定线的对称点！2．作的次数需要看动点个数！有几个动点在哪些定线上，那么相应的定点就要做关于这些定线的对称点．原题，只要在一条定线(河边)上找一个动点(饮马点)，那只需作定点(军营A)关于定线(河边)的一个对称点．变式1，要在两条定线(河边)(草地边)找两个动点(饮马点)(吃草点)，则需要作作定点(军营)关于定线(河边)(草地边)的两个对称点，即两次．变式2，要在两条定线(河边)(草地边)找两个动点(饮马点)(吃草点)，则需要作作定点(军营)关于定线(河边)的对称点与定点(马厩)关于定线(草地边)的对称点，也是2个，即2次．3．作完对称点如何连接也需看作对称次数！1. 原题，把对称点直接连接另一个定点(军营B)，则连线与定线(河边) 上的交点，即为动点(饮马点)．2. 变式1，把两个对称点连接，与定线(河边)(草地边)上的交点即为动点(饮马点)(吃草点)，分别与定点(军营A)相连．3. 变式2，把两个对称点连接，与定线(河边)(草地边)上的交点即为动点(饮马点)(吃草点)，分别与定点(军营)(马厩)相连．如果用口诀来总结，那就是：定点定线作对称，次数就看动点数．一次对称直连定，两次对称先相连．【练习】OMCN 上的A、B两点的如图，黑、白两球分别位于长方形台球桌面位置．（1）怎样撞击白球，使白球A碰撞球桌边OM后，反弹击中黑球？（2）怎样撞击白球，使白球A依次碰撞球桌边OM、ON后，反弹击中黑球？。
1.1将军饮马问题
将军饮马问题类型一、轴对称变换的应用（将军饮马问题）2、如图所示,如果将军从马棚M出发，先赶到河OA上的某一位置P，再马上赶到河OB上的某一位置Q，然后立即返回校场N．请为将军重新设计一条路线(即选择点P和Q），使得总路程MP＋PQ＋QN最短．举一反三：【变式】如图所示,将军希望从马棚M出发,先赶到河OA上的某一位置P，再马上赶到河OB上的某一位置Q．请为将军设计一条路线(即选择点P和Q），使得总路程MP＋PQ 最短．3、将军要检阅一队士兵，要求(如图所示)：队伍长为a，沿河OB排开（从点P到点Q）；将军从马棚M出发到达队头P，从P至Q检阅队伍后再赶到校场N．请问:在什么位置列队(即选择点P和Q)，可以使得将军走的总路程MP＋PQ＋QN最短?4。
如图，点M在锐角∠AOB内部，在OB边上求作一点P，使点P到点M的距离与点P到OA边的距离之和最小5已知∠MON内有一点P,P关于OM，ON的对称点分别是和，分别交OM, ON与点A、B，已知＝15，则△PAB 的周长为（ )A。
15 B 7。
5 C。
10 D。
246。
已知∠AOB，试在∠AOB内确定一点P，如图，使P到OA、OB的距离相等,并且到M、N两点的距离也相等.7、2、已知∠MON＝40°，P为∠MON内一定点，OM上有一点A，ON上有一点B,当△PAB的周长取最小值时，求∠APB的度数.8。
如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°,AD＝4，连接BD，BD⊥CD，∠ADB＝∠C.若P是BC边上一动点，则DP长的最小值为______.答案:2、如图所示,如果将军从马棚M出发，先赶到河OA上的某一位置P，再马上赶到河OB上的某一位置Q,然后立即返回校场N．请为将军重新设计一条路线（即选择点P和Q），使得总路程MP＋PQ＋QN最短．举一反三：【变式】如图所示，将军希望从马棚M出发，先赶到河OA上的某一位置P,再马上赶到河OB上的某一位置Q．请为将军设计一条路线（即选择点P和Q)，使得总路程MP＋PQ最短．【答案】作点M关于OA的对称点M'，过M'作OB的垂线交OA于P、交OB于Q,侧M→P →Q为最短路线．如图：3、将军要检阅一队士兵，要求(如图所示）：队伍长为a，沿河OB排开(从点P到点Q);将军从马棚M出发到达队头P,从P至Q检阅队伍后再赶到校场N．请问：在什么位置列队(即选择点P和Q）,可以使得将军走的总路程MP＋PQ＋QN最短?【答案与解析】见下图4。
第五章、轴对称与将军饮马及折叠综合习题汇总
是题库不是教案Jt 第五章、轴对称与将军饮马及折叠综合习题汇总一、轴对称与将军饮马1．如图，要在街道l上修建一个奶吧D（街道用直线l表示）．（1）若奶吧D向小区A，B提供牛奶如图①，则奶吧D应建在什么地方，才能使它到小区A，B的距离之和最短？（2）若奶吧D向小区A，C提供牛奶如图②，则奶吧D应建在什么地方，才能使它到小区A，C的距离之和最短？2．传说在古罗马时代的亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦。
一天，一位将军专程去拜访他，想他请叫一个百思不得其解的问题。
将军每天都从军营A出发（如图），先到河边C处饮马，然后再去河岸的同侧B开会，他应该怎样走才能使路程最短？据说当时海轮略加思索就解决了它。
3．白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．诗中隐含着一个有趣的数学问题：诗中将军在观望烽火之后从山脚上的A点出发，奔向小河旁边的P点饮马，饮马后再到B点宿营，若A、B到水平直线L（L表示小河）的距离分别是2，1，AB两点之间水平距离是4，则AP+PB最小值=_____________．4．下图，要在燃气管道L上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气．泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？（不写做法，保留作图痕迹））的内部A处，5．如图，邮递员小王的家在两条公路OM和ON相交成的角（MON小王每天都要到开往OM方向的车上取下快件，然后再送到开往ON方向的车上，这样他就可以回家了，为使小王每天接送快件时的行程最短，请帮助他找出在公路OM和ON上的等车地点．（画草图，保留作图痕迹）6．有一个养鱼专业户，在如图所示地形的两个池塘里养鱼，他每天早上要从住处P分别前往两个池塘投放鱼食，试问他怎样走才能以最短距离回到住地？7．在某一地方，有条小河和草地，一天某牧民的计划是从A处的牧场牵着一只马到草地牧马，再到小河饮马，你能为他设计一条最短的路线吗？（在N上任意一点即可牧马，M上任意一点即可饮马．）（保留作图痕迹，需要证明）8．如图，牧马人从A地出发，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到B处，请画出最短路径．是题库不是教案Jt9．按要求作图（1）已知线段AB和直线l，画出线段AB关于直线l的对称图形；（2）如图,牧马人从A地出发,先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到B处.请画出最短路径.10．作图题（1）如图1，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形中，点A、B、C在小正方形的顶点上．①在图中画出与△ABC关于直线l成轴对称的△AB′C′；②在直线l上找一点P，使PB+PC的长最短．（2）利用网格（图2）作图，请你先在图中的BC边上找一点P，使点P到边AB、AC 的距离相等，再在射线AP上找一点Q，使QB=QC．11．(1)如图，阴影部分是由5个小正方形组成的一个直角图形，请用3种方法分别在下图方格内添涂黑二个小正方形，使阴影部分成为轴对称图形．（2）如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形中，点A、B、C在小正方形的顶点上．①在图中画出与△ABC关于直线l成轴对称的△AB′C′；②△ABC的面积为____________；③在直线l上找一点P，使PB＋PC的长最短.12．在边长为1的小正方形组成的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，已知格点三角形ABC（三角形的三个顶点都在小正方形的顶点上）．(1) 画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1(2) 写出点A1、B1、C1的坐标(3) 在y轴上找D点，使BD+CD最小,由图写出D坐标(保留作图痕迹)13．如图,方格纸中每个小正方形的边长都是单位1,△ABC的三个顶点都在格点(即这些小正方形的顶点)上,且它们的坐标分别是A(2,−3),B(5,−1),C(−1,3)，结合所给的平面直角坐标系，解答下列问题：是题库不是教案Jt(1)请在如图坐标系中画出△ABC；(2)画出△ABC关于x轴对称的△A′B′C′，并写出△A′B′C′各顶点坐标；(3)在x轴上找一点P，使PA+PB的值最小。
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将军饮马问题教案
教学设计
【教材分析】
本节内容的地位与作用
最短路径问题是中考热点问题之一，本课是在初二上学期，学生学完了轴对称、勾股定理、位置与坐标、一次函数等章节后以课本上数学史中的一个经典问题——“将军饮马问题”为载体开展对“最短路径问题”的课题研究，让学生经历将实际问题抽象为数学的线段和最小问题，再利用轴对称将线段和最小问题转化为“两点之间，线段最短”（或“三角形两边之和大于第三边”）问题．主要是运用数形结合和思想，综合轴对称、线段的性质和勾股定理以及一些常见的轴对称图形的性质解决线段之和最短问题，该问题的解决为我们提供了一种解题的思路和线索，触类旁通，由此产生了一系列问题的解题思路。
使学生在操作活动的过程中感受知识的自然呈现，体验数学的神秘与乐趣。
【学情分析】从我平时教学反映出学生不重视学习方法，不注意归纳总结，不会思考，更不善于思考，只懂得机械的重复做题，浪费的大量的时间和精力，再加上来自社会、家长和老师的压力较大，学生学的辛苦，毫无快乐可言．而家长对我们教学的质量的要求较高，不但要学习成绩好，还要孩子学的轻松，玩的高兴．所以想通过本节课引导学生学会学习，学会思考，从而使其感受到学习的快乐，提高学习的兴趣，避免死做题，读死书，以达到“教”是为可不教的目的．我班为平行班，代表了年级的平均水平，学生基础尚可，自觉性较强，学习努力，所以本节课设计为一堂学法研究课，旨在让学生学会思考，感受学习的快乐，体验成功．
教学目标：
【知识技能】
1.能利用轴对称解决简单的最短路径问题，体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感
悟转化思想．
2.能利用轴对称变换解决日常生活中的实际问题。
【过程与方法】．培养学生的探究、归纳、分析、解决问题的能力。
【情感与态度】进一步培养好奇心和探究心理，更进一步体会到数学知识在生活中
重点:利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题.
难点：在实际题目中会运用最短路径模型灵活解决问题。
【教学关键】
运用好数形结合的思想，特别是从轴对称和线段的性质入手，获得求线段之和最短问题的直观形象，以便准确理解本节课的内容。
【教学策略】利用教学资源，通过创设具有启发性的、学生感兴趣的、有助自主学习和探索的问题情境，使学生在活动丰富、思维积极的状态中进行探究学习，组织好合作学习，并对合作过程进行引导，使学生朝着有利于知识建构的方向发展。
【学法指导】：自主学习，小组合作、交流探究。