第1讲-常微分方程的物理背景

微分方程是与实际问题联系紧密的数学分 支, 他能对许多物理问题的动力学机制进 行定性刻画.
英国天文学家亚当斯和法国天文学家勒维 烈使用微分方程各自计算出那时尚未发现 的海王星的位置等, 与后来的天文观测误 差很小.
本讲再通过两个简单的物理模型: • 落体运动
• 人口的增长 引入常微分方程的基本概念.
30 24 66e
于是有 我们得到
1 k ln11. 5
5k
,
u 24 66e
1 t ln11 5
.
(3)
上式称为方程(1)的特解 .
特解的图形为:
u
90
u(t)
24
O
t
微分方程这么深奥的知识是谁发现的呢？ 微分方程差不多是和微积分同时产生的, 牛顿 和莱布尼兹奠定微积分基本思想的同时, 他们 也于17世纪正式提出了微分方程的概念.
公式(1)就是描述茶水变凉的简单数学模型. 像(1)那样, 包含未知函数以及未知函数导数 (微分)的等式, 称为常微分方程. 而出现的未知函数的最高阶导数的阶数, 称 为微分方程的阶.
常数的导数为0, 于是
d(u ua ) k (u ua ). dt
u ua 是什么类型的函数？
第一讲: 微分方程的物理背景 ——动力机制的数学模型
内蒙古大学 阿拉坦仓 教 授
alatanca@imu.edu.cn
课件制作： 阿拉坦仓 侯国林
1. 茶水的变凉
刚泡完的茶一喝会很烫， 那什么时候喝呢？茶水是 如何变凉的？你们能给出 一个精确的时间吗？
“……数学之所以有高声誉, 一个理由就是数 学使得自然科学实现定理化, 给予自然科学 某种程度的可靠性” . ——爱因斯坦
——卡罗斯
n
（9）
n
dy d y dy d y 这里 F ( x, y, ,, n ) 是 x,y, , , n dx dx dx dx
的已知函数, 而且
dn y d xn
一定出现.
n阶显示微分方程的一般形式为:Leabharlann Baidu
y
( n)
( n1) f ( x, y, y , , y ).
(10)
如n=1时, 变为1阶微分方程 y'= f (x, y).
dN aN , a 0. dt
(7)
——马尔萨斯（Malthus）人口律
如果N(t0)=N0, 类似于方程(1)解的分析,(7)的解 为 N (t ) N0ea(t t0 ) .
指数增长, 人口大爆炸？
统计研究表明, 人口增长与人口总数成正比, 并受与人口的平方成正比的负增长率的限制, 即:
dN aN bN 2 , dt
（8 ）
—— Logistic人口律
其中a>0, b>0, a>>b. (8)式可改写为
dN a b( N ) N , dt b
上述方程为非线性方程.
(8)
通过3个引例, 我们介绍了常微分方程 的物理背景. 一般地 n阶微分方程的一般形式为:
dy dn y F (x,y, ,, n ) 0, dx dx
热茶什么时候喝可靠？用数学怎么回答？
茶水的温度为时间t的一元函数, 记为u(t). 假设空气的温度恒为ua=24℃. 物体温度的变 化速度与物体和外界温度的差值成比例.设比 例系数为k (k>0),于是有
du k (u ua ). dt
(1)
du k (u ua ). dt
(1)
2. 落体运动？ 如果是自由落体, 真空环境, 即 物体只受重力作用, 由牛顿第 二运动定律 F=ma, 有:
d s F mg , a 2 . dt
2
从而位移 s (t ) 满足的等式为
d2 s g, 2 dt
(4)
其中 s=s(t) 是未知函数.
g是一个常数, 什么函数的二阶导数为一个常 数呢？
u ua ce
kt
(2)
像(2)那样, 含有与方程的阶数相同的任意独 立常数的解称为通解.
假设环境温度恒为ua=24℃, t=0时茶水的温度 为u0=90℃, 则c=66. 从而
u 24 66e .
k与物质的特性有关, 做实验: 5分钟后测得茶 水的温度为u1=30℃ , 则
kt
1 2 s (t ) gt c1t c2 . 2
(5)
(5)为(4)的通解.
自由落体的位移为双曲线, 下降速度很快, 而 且越来越快(只要高度足够高)!
如果是这样, 高空跳伞岂不是很危险？ 绝对的真空环境是不存在的, 一般情况下, 物 体的下落还要受到空气阻力的影响!
设阻力与速度成正比, 比例系数为k>0, 阻力方向与运动方向相反, 于是: 2 d s d s F mg kv(t ), a 2 , v (t ) . dt dt 于是得到如下方程模型:
d2 s k d s g 0 2 m dt dt
(6)
d2 s k d s g 0 2 m dt dt
(6)
像(6)那样, 未知函数及其各阶导数的次数都 是一次的方程称为线性方程, 否则称为非线 性方程.
3. 世界人口增长的Logistic模型 某地区的人口总数N=N(t), 人口是怎么增长 的？一个人能增长吗？
莱布尼兹(1646-1716) 德国哲学家、数学家
牛顿(1643-1727)
英国物理学家、
数学家、哲学家
“如果说我比别人看得更远些, 那是因为我 站在了巨人的肩上”. —— 牛顿
对于牛顿而言, 一个“巨人”可能是开普勒.
牛顿研习了开普勒等天文学家的先进思想, 提出了万有引力定律和基于万有引力定律 的描述天体运动规律的牛顿二体运动方程. 牛顿二体运动方程就是常微分方程.
最后, 总结一下常微分方程在实际问题中 应用的过程: 实际问题 常微分方程（建模）
求解方程
实际问题
一个例子比十个定理重要.
—— 牛顿
数学对观察自然做出重要的贡献, 它解释了规律结构中简单的原始元素, 而天体就是用这些原始元素建立起来的. ——开普勒
实践证明, 常微分方程数学正是研究天体运 动机理的一门重要学问！ 没有哪门学科能比数学 更为清晰地阐明自然界的和谐性.