高考总复习 同角三角函数的基本关系
高考复习数学第二节 同角三角函数的基本关系与诱导公式
角度 sin α，cos α 的齐次式问题 [例 2] 已知tatnanα－α 1＝－1，求下列各式的值． (1)ssiinnαα－＋3ccoossαα； (2)sin2 α＋sin αcos α＋2.
解：由已知得 tan α＝12. (1)ssiinnαα－＋3ccoossαα＝ttaann αα－ ＋31＝－53.
D．±2
5 5
所以 cos α＝－23，
则 α 为第二或第三象限角，
所以 sin α＝±
1－cos2
α＝±
5 3.
5
所以
tan
α＝csions
αα＝±－323
＝±
5 2.
答案：C
6．sin 2 490°＝________；cos－523π＝________．
解析：sin 2 490°＝sin(7×360°－30°)＝－sin 30°＝－12. cos－523π＝cos 523π＝cos16π＋π＋π3＝cosπ＋π3＝ －cos π3＝－12. 答案：－12 －12
(2)sin2 α＋sin αcos α＋2＝sins2inα2＋α＋sincoαsc2oαs α＋2＝
tan2 α＋tan tan2 α＋1
α＋2＝121222＋ ＋121＋2＝153.
角度 sin α±cos α 与 sin αcos α 关系的应用
[例 3] 已知 x∈(－π，0)，sin x＋cos x＝15.
1．已知 a∈(0，π)，且 cos α＝－153，则 sinπ2－α· tan α＝( )
由 x∈(－π，0)，知 sin x<0，又 sin x＋cos x>0，
所以 cos x>0，所以 sin x－cos x<0，
同角三角函数基本关系式及诱导公式-高考数学复习
2.(必修第一册P194练习T2改编)(多选)已知x∈R，则下列等式恒成立的是
A.sin(－x)＝sin x
B.sin32π－x＝cos x
√C.cosπ2＋x＝－sin x
√D.cos(x－π)＝－cos x
sin(－x)＝－sin x，故A不成立； sin32π－x＝－cos x，故 B 不成立； cosπ2＋x＝－sin x，故 C 成立； cos(x－π)＝－cos x，故D成立.
3.(必修第一册 P185T6 改编)若 sin α＝ 55，π2<α<π，则 tan α 等于
A.－2
B.2
1 C.2
√D.－12
∵π2<α<π，∴cos α＝－ 1－sin2α＝－255，∴tan α＝csoins αα＝－12.
4.已知
cos
α＝15，－π2<α<0，则tanα＋cπoscoπ2s＋－ααtan
为 －13 .
因为 cosπ6＋α＝－13， 所以 sin23π＋α＝sinπ2＋π6＋α＝cosπ6＋α＝－13.
诱导公式的两个应用 (1)求值：负化正，大化小，化到锐角为终了. (2)化简：统一角，统一名，同角名少为终了.
跟踪训练2 (1)化简：
sinθ－sin5θπ－co32sπ－sin2π－－θθc－os4π8π－θ等于
(2)(2023·全国乙卷)若 θ∈0，π2，tan θ＝12，则 sin θ－cos θ＝
－
5 5
.
因为 θ∈0，π2，则 sin θ>0，cos θ>0， 又因为 tan θ＝csoins θθ＝12，则 cos θ＝2sin θ， 且cos2θ＋sin2θ＝4sin2θ＋sin2θ＝5sin2θ＝1，
2020年高考数学专题复习同角三角函数的基本关系与诱导公式
同角三角函数的基本关系与诱导公式1．同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1． (2)商数关系：tan α＝sin αcos α．[基本关系式变形]sin 2α＝1－cos 2α，cos 2α＝1－sin 2α，sin α＝tan αcos α， cos α＝sin αtan α，(sin α±cos α)2＝1±2 sin αcos α.2．六组诱导公式简记口诀：把角统一表示为k π2±α(k ∈Z )的形式，奇变偶不变，符号看象限．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)对任意的角α，β，都有sin 2α＋cos 2β＝1.( ) (2)若α∈R ，则tan α＝sin αcos α恒成立．( )(3)sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角．( ) (4)若cos(n π－θ)＝13(n ∈Z )，则cos θ＝13.( )答案：(1)× (2)× (3)× (4)×(2019·杭州质检)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝35，α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，则sin(π＋α)等于( )A ．35B ．－35C ．45D ．－45解析：选D.因为sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2＋α＝35，α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以cos α＝35，所以sin α＝45，所以sin(π＋α)＝－sin α＝－45.若sin θcos θ＝12，则tan θ＋cos θsin θ的值是( )A ．－2B ．2C ．±2D ．12解析：选B.tan θ＋cos θsin θ＝sin θcos θ＋cos θsin θ＝1cos θsin θ＝2.sin 2 490°＝________；cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－523π＝________． 解析：sin 2 490°＝sin(7×360°－30°) ＝－sin 30°＝－12.cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－523π＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫16π＋π＋π3＝cos(π＋π3) ＝－cos π3＝－12.答案：－12 －12(教材习题改编)已知tan θ＝2，则sin θ·cos θ＝________． 解析：sin θcos θ＝sin θ·cos θsin 2θ＋cos 2θ＝tan θtan 2θ＋1＝222＋1＝25. 答案：25同角三角函数的基本关系式(高频考点)同角三角函数的基本关系式的应用很广泛，也比较灵活．高考中常以选择题、填空题的形式出现．主要命题角度有：(1)知弦求弦； (2)知弦求切；(3)知切求弦．角度一 知弦求弦(2019·丽水模拟)已知sin θ＋cos θ＝43，θ∈(0，π4)，则sin θ－cos θ的值为( )A ．23 B ．13 C ．－23D ．－13【解析】 (sin θ＋cos θ)2＝169，所以1＋2sin θcos θ＝169，所以2sin θcos θ＝79，由(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝1－79＝29，可得sin θ－cos θ＝±23.又因为θ∈(0，π4)，sin θ<cos θ，所以sin θ－cos θ＝－23.【答案】 C 角度二知弦求切已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝35，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2，则tan α＝( )A ．43 B ．34 C ．－34D ．±34【解析】 因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝35，所以sin α＝－35，显然α在第三象限，所以cos α＝－45，故tan α＝34.【答案】 B角度三 知切求弦若tan α＝34，则cos 2α＋2sin 2α＝( )A ．6425B ．4825C ．1D ．1625 【解析】 法一：由tan α＝sin αcos α＝34，cos 2α＋sin 2α＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝35，cos α＝45或⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝－35，cos α＝－45，则sin 2α＝2sin αcos α＝2425，则cos 2α＋2sin 2α＝1625＋4825＝6425. 法二：cos 2α＋2sin 2α＝cos 2α＋4sin αcos αcos 2α＋sin 2α＝1＋4tan α1＋tan 2α＝1＋31＋916＝6425. 【答案】A同角三角函数基本关系式的应用技巧(1)知弦求弦：利用诱导公式及平方关系sin 2α＋cos 2α＝1求解．(2)知弦求切：常通过平方关系sin 2α＋cos 2α＝1及商数关系tan α＝sin αcos α结合诱导公式进行求解．(3)知切求弦：通常先利用商数关系转化为sin α＝tan α·cos α的形式，然后用平方关系求解．若已知正切值，求一个关于正弦和余弦的齐次分式的值，则可以通过分子、分母同时除以一个余弦的齐次幂将其转化为一个关于正切的分式，代入正切值就可以求出这个分式的值，如a sin α＋b cos αc sin α＋d cos α＝a tan α＋b c tan α＋d；a sin 2α＋b cos 2α＋c sin αcos α＝a sin 2α＋b cos 2α＋c sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝a tan 2α＋b ＋c tan αtan 2α＋1.1．已知sin α＋cos α＝15，那么角α的终边在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第二或第四象限解析：选D.因为sin α＋cos α＝15，所以两边平方得1＋2sin αcos α＝125，即2sin αcos α＝－2425，所以sin αcos α<0，验证可知，角α是第二或第四象限角，故选D. 2．已知sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5，则sin 2α－sin αcos α的值为( )A ．－15B ．－25C ．15D ．25解析：选D.依题意得tan α＋33－tan α＝5，所以tan α＝2.所以sin 2α－sin αcos α＝sin 2α－sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan 2α－tan αtan 2α＋1＝22－222＋1＝25. 3．已知α是第二象限的角，tan α＝－12，则cos α＝________．解析：因为α是第二象限的角，所以sin α＞0，cos α＜0，由tan α＝－12，得cos α＝－2sin α，代入sin 2α＋cos 2α＝1中， 得5sin 2α＝1，所以sin α＝55，cos α＝－255. 答案：－255诱导公式的应用(1)sin(－1 200°)cos 1 290°＋cos(－1 020°)·sin(－1 050°)＝________． (2)已知cos α是方程3x 2－x －2＝0的根，且α是第三象限角，则sin （－α＋3π2）cos （3π2＋α）tan 2（π－α）cos （π2＋α）sin （π2－α）等于________．(3)已知cos(π6－α)＝23，则sin(α－2π3)＝________．【解析】 (1)原式＝－sin 1 200°cos 1 290°－cos 1 020°·sin 1 050°＝－sin(3×360°＋120°)cos(3×360°＋210°)－cos(2×360°＋300°)sin(2×360°＋330°)＝－sin 120°cos 210°－cos 300°sin 330°＝－sin(180°－60°)cos(180°＋30°)－cos(360°－60°)·sin(360°－30°) ＝sin 60°cos 30°＋cos 60°sin 30° ＝32×32＋12×12＝1.(2)因为方程3x 2－x －2＝0的根为x 1＝1，x 2＝－23，由题知cos α＝－23，所以sin α＝－53，tan α＝52. 所以原式＝－cos αsin αtan 2α－sin αcos α＝tan 2α＝54.(3)因为⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫α－2π3＝－π2，所以α－2π3＝－π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－2π3＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－23. 【答案】 (1)1 (2)54 (3)－23(1)诱导公式用法的一般思路 ①化大角为小角．②角中含有加减π2的整数倍时，用公式去掉π2的整数倍．(2)常见的互余和互补的角①常见的互余的角：π3－α与π6＋α；π3＋α与π6－α；π4＋α与π4－α等．②常见的互补的角：π3＋θ与2π3－θ；π4＋θ与3π4－θ等．(3)三角函数式化简的方向 ①切化弦，统一名． ②用诱导公式，统一角．③用因式分解将式子变形，化为最简．1．若sin(π2＋α)＝－35，且α∈(π2，π)，则sin(π－2α)＝( )A ．2425 B ．1225 C ．－1225D ．－2425解析：选D.由sin(π2＋α)＝cos α＝－35，且α∈(π2，π)，得sin α＝45，所以sin(π－2α)＝sin 2α＝2sin αcos α＝－2425，选项D 正确．2．已知角θ的顶点在坐标原点，始边与x 轴正半轴重合，终边在直线3x －y ＝0上，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫3π2＋θ＋2cos （π－θ）sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ－sin （π－θ）＝________．解析：由题意可知tan θ＝3，原式＝－cos θ－2cos θcos θ－sin θ＝－31－tan θ＝32.答案：323．(2019·宁波高三模拟)已知cos(π＋α)＝－12，求sin[α＋（2n ＋1）π]＋sin （π＋α）sin （π－α）·cos （α＋2n π）(n ∈Z )．解：因为cos(π＋α)＝－12，所以－cos α＝－12，cos α＝12.sin[α＋（2n ＋1）π]＋sin （π＋α）sin （π－α）cos （α＋2n π）＝sin （α＋2n π＋π）－sin αsin αcos α＝sin （π＋α）－sin αsin αcos α＝－2sin αsin αcos α＝－2cos α＝－4.诱导公式的再理解诱导公式可简记为：奇变偶不变，符号看象限．“奇”与“偶”指的是k ·π2＋α中的整数k 是奇数还是偶数．“变”与“不变”是指函数名称的变化，若k 是奇数，则正、余弦互变；若k 为偶数，则函数名称不变．“符号看象限”指的是在k ·π2＋α中，将α看成锐角时k ·π2＋α所在的象限．三角函数求值与化简的三种常用方法(1)弦切互化法：主要利用公式tan α＝sin αcos α化成正、余弦．(2)和积转换法：利用(sin θ±cos θ)2＝1±2sin θcos θ的关系进行变形、转化． (3)巧用“1”的变换：1＝sin 2θ＋cos 2θ＝cos 2θ(1＋tan 2θ)＝tan π4＝….易错防范(1)“同角”有两层含义：一是“角相同”，二是代表“任意”一个使三角函数有意义的角．“同角”的概念与角的表达形式有关，如：sin 23α＋cos 23α＝1，sinα2cosα2＝tan α2.(2)在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号． (3)注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化． [基础达标]1．计算：sin 116π＋cos 103π＝( )A ．－1B ．1C ．0D ．12－32解析：选A.原式＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π－π6＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π＋π3＝－sin π6＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π3＝－12－cos π3 ＝－12－12＝－1.2．已知tan(α－π)＝34，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝( )A ．45 B ．－45C ．35D ．－35解析：选B.由tan(α－π)＝34⇒tan α＝34.又因为α∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，3π2，所以α为第三象限的角，sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π2＝cos α＝－45.3．已知sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，|θ|<π2，则θ等于( )A ．－π6B ．－π3C ．π6D ．π3解析：选D.因为sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，所以－sin θ＝－3cos θ，所以tan θ＝ 3. 因为|θ|<π2，所以θ＝π3.4．已知sin(3π－α)＝－2sin(π2＋α)，则sin αcos α等于( )A ．－25B ．25 C ．25或－25D ．－15解析：选A.因为sin(3π－α)＝sin(π－α)＝－2sin(π2＋α)，所以sin α＝－2cosα，所以tan α＝－2，当α在第二象限时，⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝255cos α＝－55，所以sin αcos α＝－25；当α在第四象限时，⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝－255cos α＝55，所以sin αcos α＝－25，综上，sin αcos α＝－25，故选A.5．已知sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5，则sin 2α－sin αcos α的值为( )A ．－15B ．－25C ．15D ．25解析：选D.依题意得tan α＋33－tan α＝5，所以tan α＝2.所以sin 2α－sin αcos α＝sin 2α－sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan 2α－tan αtan 2α＋1＝22－222＋1＝25. 6．已知sin α＋3cos α＋1＝0，则tan α的值为( ) A ．43或34B ．－34或－43C ．34或－43D ．－43或不存在解析：选D.由sin α＝－3cos α－1，可得(－3cos α－1)2＋cos 2α＝1，即5cos 2α＋3cos α＝0，解得cos α＝－35或cos α＝0，当cos α＝0时，tan α的值不存在，当cos α＝－35时，sin α＝－3cos α－1＝45，tan α＝sin αcos α＝－43，故选D.7．化简sin （π2＋α）cos （π2－α）cos （π＋α）＋sin （π－α）cos （π2＋α）sin （π＋α）＝________．解析：原式＝cos αsin α－cos α＋sin α（－sin α）－sin α＝－sin α＋sin α＝0.答案：0 8．已知sin ⎝⎛⎭⎪⎫7π12＋α＝23，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－11π12＝________．解析：cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－11π12＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π12－α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＋α＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＋α，而sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12＋α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＋α ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫π12＋α＝23， 所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－11π12＝－23. 答案：－239．已知θ为第四象限角，sin θ＋3cos θ＝1，则tan θ＝________．解析：由(sin θ＋3cos θ)2＝1＝sin 2θ＋cos 2θ，得6sin θcos θ＝－8cos 2θ，又因为θ为第四象限角，所以cos θ≠0，所以6sin θ＝－8cos θ，所以tan θ＝－43.答案：－4310．(2019·杭州市富阳二中高三质检)若3sin α＋cos α＝10，则tan α的值为________；1cos 2α＋sin 2α的值为________．解析：由3sin α＋cos α＝10，得到cos α＝10－3sin α，代入sin 2α＋cos2α＝1得：sin 2α＋(10－3sin α)2＝1，得10sin 2α－610sin α＋9＝0，即(10sin α－3)2＝0，解得sin α＝31010，cos α＝1010，则tan α＝sin αcos α＝3；1cos 2α＋sin 2α＝sin 2α＋cos 2αcos 2α＋2sin αcos α ＝tan 2α＋11＋2tan α＝9＋11＋6＝107. 答案：310711．已知π＜α＜2π，cos(α－7π)＝－35，求sin(3π＋α)·tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－7π2的值． 解：因为cos(α－7π)＝cos(7π－α)＝cos(π－α)＝－cos α ＝－35，所以cos α＝35.所以sin(3π＋α)·tan ⎝⎛⎭⎪⎫α－7π2＝sin(π＋α)·⎣⎢⎡⎦⎥⎤－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π2－α＝sin α·tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝sin α·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α ＝sin α·cos αsin α＝cos α＝35.12．已知α为第三象限角，f (α)＝sin （α－π2）·cos （3π2＋α）·tan （π－α）tan （－α－π）·sin （－α－π）.(1)化简f (α)；(2)若cos(α－3π2)＝15，求f (α)的值．解：(1)f (α)＝sin （α－π2）·cos （3π2＋α）·tan （π－α）tan （－α－π）·sin （－α－π）＝（－cos α）·sin α·（－tan α）（－tan α）· sin α＝－cos α.(2)因为cos(α－3π2)＝15，所以－sin α＝15，从而sin α＝－15.又α为第三象限角，所以cos α＝－1－sin 2α＝－265，所以f (α)＝－cos α＝265.[能力提升]1．(2019·台州市高三期末评估)已知cos α＝1，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝( ) A ．12 B ．32 C ．－12D ．－32解析：选C.因为cos α＝1⇒α＝2k π，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π－π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝－sin π6＝－12，故选C.2．(2019·金华十校联考)已知sin αcos α＝18，且5π4<α<3π2，则cos α－sin α的值为( )A ．－32B ．32C ．－34D ．34解析：选B.因为5π4<α<3π2，所以cos α<0，sin α<0且|cos α|<|sin α|， 所以cos α－sin α>0.又(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝1－2×18＝34，所以cos α－sin α＝32. 3．sin 43π·cos 56π·tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43π的值是________． 解析：原式＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π3·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π6·tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π－π3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－sin π3·⎝ ⎛⎭⎪⎫－cos π6·⎝ ⎛⎭⎪⎫－tan π3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32×(－3)＝－334.答案：－3344．若sin α＝2sin β，tan α＝3tan β，则cos α＝________． 解析：因为sin α＝2sin β， ①tan α＝3tan β， tan 2α＝9tan 2β.② 由①2÷②得：9cos 2α＝4cos 2β. ③由①2＋③得sin 2α＋9cos 2α＝4. 又sin 2α＋cos 2α＝1， 所以cos 2α＝38，所以cos α＝±64. 答案：±645．已知f (x )＝cos 2（n π＋x ）·sin 2（n π－x ）cos 2[（2n ＋1）π－x ](n ∈Z )． (1)化简f (x )的表达式；(2)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫512π的值． 解：(1)当n 为偶数，即n ＝2k (k ∈Z )时， f (x )＝cos 2（2k π＋x ）·sin 2（2k π－x ）cos 2[（2×2k ＋1）π－x ] ＝cos 2x ·sin 2（－x ）cos 2（π－x ） ＝cos 2x ·（－sin x ）2（－cos x ）2＝sin 2x (n ＝2k ，k ∈Z )；当n 为奇数，即n ＝2k ＋1(k ∈Z )时，f (x )＝cos 2[（2k ＋1）π＋x ]·sin 2[（2k ＋1）π－x ]cos 2{[2×（2k ＋1）＋1]π－x } ＝cos 2[2k π＋（π＋x ）]·sin 2[2k π＋（π－x ）]cos 2[2×（2k ＋1）π＋（π－x ）] ＝cos 2（π＋x ）·sin 2（π－x ）cos 2（π－x ） ＝（－cos x ）2sin 2x （－cos x ）2＝sin 2x (n ＝2k ＋1，k ∈Z )．综上得f (x )＝sin 2x . (2)由(1)得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＋f ⎝⎛⎭⎪⎫512π＝sin 2π12＋sin 25π12＝sin 2π12＋sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－π12 ＝sin2π12＋cos 2π12＝1. 6．在△ABC 中， (1)求证：cos2A ＋B2＋cos 2C2＝1；(2)若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π＋B tan(C －π)＜0. 求证：△ABC 为钝角三角形． 证明：(1)在△ABC 中，A ＋B ＝π－C ， 所以A ＋B 2＝π2－C2， 所以cos A ＋B2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－C 2＝sin C 2，所以cos2A ＋B 2＋cos 2C2＝1.(2)若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋A ·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π＋B ·tan(C －π)＜0， 则(－sin A )(－cos B )tan C ＜0，即sin A cos B tan C ＜0. 因为在△ABC 中，0＜A ＜π，0＜B ＜π，0＜C ＜π且sin A ＞0，所以⎩⎪⎨⎪⎧cos B ＜0，tan C ＞0或⎩⎪⎨⎪⎧cos B ＞0，tan C ＜0， 所以B 为钝角或C 为钝角，所以△ABC 为钝角三角形．。
同角三角函数的基本关系及诱导公式-高考复习
)
√2
A.6
(2)已知 sin
√2
B.
6
2√5
α= 5 ,则
2
C.3
5π
+)
2
5π
cos ( -)
2
sin (
tan(π+α)+
=
2
D.
3
.
答案 (1)D
5
5
(2) 或2
2
解析 (1)sin2θ+sin(3π-θ)cos(2π+θ)-√2cos2θ
sin
θ-2cos2θ=
=
,
2
2
2
sin +cos
tan +1
4+2-2
θ=2,故原式=
4+1
=
4
.
5
解题心得 1.利用 sin2α+cos2α=1 可以实现角 α 的正弦、余弦的互化,利用
tan
sin
α=cos
≠ π +
π
,∈Z
2
可以实现角 α 的弦切互化.
2.“1”的灵活代换:1=cos α+sin α=(sin α+cos α) -2sin αcos
解题心得1.利用诱导公式化简三角函数的基本思路:(1)分析结构特点,选择
恰当公式;(2)利用公式化成单角三角函数;(3)整理得最简形式.
2.化简要求:(1)化简过程是恒等变形;(2)结果要求项数尽可能少,次数尽可
能低,结构尽可能简单,能求值的要求出值.
3.用诱导公式求值时,要善于观察所给角之间的关系,利用整体代换的思想简
【例 1】 (1)若
1
高考数学复习、高中数学 同角三角函数的基本关系与诱导公式附答案解析
第2节 同角三角函数的基本关系与诱导公式考试要求 1.理解同角三角函数的基本关系式22sin sin cos 1,tan cos xx x x x+==；2. 能利用定义推导出诱导公式（2πααπ±±，的正弦、余弦、正切）.【知识衍化体验】【知识梳理】1. 同角三角函数的基本关系式平方关系：22sin cos 1αα+= 商数关系：sin tan cos ααα= 2．诱导公式:诱导公式可概括为：k ·π2±α（k ∈Z ）的各三角函数值的化简公式．记忆规律是：奇变偶不变，符号看象限． 常见的几组为:3.已知一个角的某一个三角函数值,求其余三角函数值时,要特别注意这个角的范围.4.求一个已知的角的三角函数值,其一般步骤为: (1)负角化为正角;(2)大角化为小角. 5．sinα±cosα与sinα·cosα之间的关系：(1) (sinα＋cosα)2＝1＋2sinα·cosα； (2) (sinα－cosα)2＝1－2sinα·cosα ； [微点提醒]1.诱导公式口诀中“奇变偶不变，符号看象限”其中的奇、偶是指的2π的奇数倍和偶数倍. 应用公式有时要先技术处理一下，如33sin()sin(2)()222πππααπα-=-+=+.2.利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号.【基础自测】疑误辨析1. 判断下列结论正误（1）sin()sin παα+=- （ ）（2）3sin()cos 2παα-= （ ）（3）3cos()sin 2παα+=- （ ）（4）2211+tan cos αα= （ ） 教材衍化2．（多选）下列式子化简结果和sin x 相同的是 （ ） A ．()sin x π-B ．()sin x π+C ．cos 2x π⎛⎫-⎪⎝⎭D ．cos 2x π⎛⎫-⎪⎝⎭3．角α的终边在直线2y x =上，则()()()()sin cos sin cos αππαπαπα-+-=+-- （ ）A ．13B ．1C ．3D ．1-考题体验4．（2016年全国III ）若3tan 4α= ，则2cos 2sin 2=αα+ （ ） A ．6425 B ．4825 C ．1 D ． 16255．（2013新课标Ⅱ）设θ为第二象限角，若1tan()42πθ+=，则sin cos θθ+=___． 6．（2016年全国II ）若3cos()45πα-=，则sin2=α （ ） A ． B ． C ． D ．【考点聚焦突破】考点一.同角三角函数基本关系式 角度1 公式的直接运用【例1-1】已知α为第四象限角，化简：ααααααcos 1cos 1sin sin 1sin 1cos +-++-7251515-725-角度2 关于sin ,cos αα的齐次式问题【例1-2】若tan α1）sin cos cos sin αααα+-的值；（2）222sin sin cos cos αααα-+的值．角度3 “sin cos sin sin αααα±⋅，”之间的关系【例1-3】已知sin α和cos α是方程250x x m -+=的两实根，求：（1）m 的值；（2）当(0,)απ∈时，求tan(3)πα-的值；（3）33sin +cos αα的值．(4) 2sin 22sin 1tan ααα+-规律方法 1.已知角的一个三角函数值求其余两个三角函数值，通过22sin cos 1αα+=事先正弦与余弦的互化，通过sin tan cos ααα=实现切和弦的互化.2. 利用2sin cos =1sin cos x x x x ±±⋅（）对sin cos ,sin cos ,sin cos x x x x x x +⋅-知一求二的问题.3.注意公式的逆运用及变形应用，如221=sin cos αα+，221sin cos αα-=，221cos =sin αα-.【训练1】（1）求值（2）已知A 、B 、C ,cos A A -是220x x a -+=方程的两根．①求角A ；②若221+2sin cos 3cos sin B BB B=--，求tanB .（3）已知关于x 的方程221)0x x m -+=的两根为sin ,cos θθ，θ∈(0，2π) ．求：①2sin cos sin cos 1tan θθθθθ+--； ①m 的值； ①方程的两根及此时θ.考点二.诱导公式的应用 【例2】化简：3tan()cos(2)sin()2cos(3)sin(3)ππαπαααππα++-----规律方法 诱导公式的两个简单应用:（1）求值：负化正，大化小，化到锐角为终了. (2)化简：统一角，统一名，同角名少为终了.【训练2】（1）已知72sin()123πα+=，则11cos()=12πα-________ （2）已知角θ的顶点在坐标原点，始边与x 轴正半轴重合，终边在直线2y x =上，则3sin()cos()2sin()sin()2πθπθπθπθ++----＝考点三.同角三角函数基本关系与诱导公式的综合应用 【例3】 是否存在22ππα∈（-,），0βπ∈（,），使得等式sin(3))2ππαβ-=-，))απβ-=+同时成立？若存在，求出αβ，的值，若不存在，请说明理由.规律方法 1.注意角的范围对三角函数值符号的影响，特别是多解时要考虑舍解，一解时要考虑漏解.2.一般情况下首先要注意分析角和角之间的关系，比如+36ππαα-，是互余的角,我们常常要在展开和保留整体角之间作出选择.【训练3】已知sin 3cos 36ππαα⎛⎫⎛⎫-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则sin()=3sin()2αππα+-（ ）A ．-B ．C ．D反思与感悟 [思维升华]1. 有切有弦，常常切化弦，利用sin tan cos xx x=， 2. 关注齐次式2sin cos sin sin cos ,sin cos cos2a x b x x x xc xd x x+++， 3. 互相关联的sin cos ,sin cos ,sin cos x x x x x x +⋅-知一求二的问题，如求sin cos +sin cos y x x x x =+⋅的最大值，令sin cos =x x t +换元.[易错防范]利用诱导公式进行化简求值时，可利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，基本思想是负化正，大化小，钝化锐.第2节 同角三角函数的基本关系与诱导公式【知识衍化体验】 【知识梳理】 2． 常见的几组为:【基础自测】1.(1).对 （2）.错 （3）.错 （4）.对 2． ACD对于A ：()sin sin x x π-=，则A 选项与sin x 相同，故A 选项正确； 对于B ：()sin sin x x π+=-，则B 选项与sin x 不相同，故B 选项不正确； 对于C ：cos sin 2x x π⎛⎫-=⎪⎝⎭，则C 选项与sin x 相同，故C 选项正确； 对于D ：cos cos sin 22x x x ππ⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则D 选项与sin x 相同，故D 选项正确. 3． C ．角α的终边在直线2y x =上，tan 2α∴=，则()()()()sin cos sin sin cos sin cos cso αππαααπαπααα-+---=+---+sin cos tan 13sin cos tan 1αααααα++===--.考题体验 4．A 由sin 3tan cos 4ααα==，22cos sin 1αα+=，得3sin 5α=，4cos 5α=或 3sin 5α=-，4cos 5α=-，所以24sin 22sin cos 25ααα==，则2164864cos 2sin 2252525αα+=+=，故选A ．5. 5-1tan()=42πθ+则1tan 3θ=-，sin θ=，cos θ=，sin cos = 5θθ+-. 6．D因为3cos cos )45πααα⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，所以sin cos 5αα+=， 所以181sin 225α+=,所以7sin 225α=-,故选D ． 【考点聚焦突破】【例1-1】因为α为第四象限角所以原式=αααααα2222cos 1)cos 1(sin sin 1)sin 1(cos --+-- ()ααααααααααsin cos cos 1sin 1sin cos 1sin cos sin 1cos -=---=--+-=【例题1-2】（1）cos sin 1tan 3cos sin 1tan αααααα++===----（2）原式2222222sin sin cos cos 2tan tan 1sin cos tan 1ααααααααα-+-+==++=． 【例1-3】(1)解： 1sin cos 5sin cos 5mαααα⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，11+2sin cos 25αα=，125m =-(2)sin cos 0,(,)2παααπ<∈,4sin 5α=,3cos 5α=-,4tan 3α=-4tan tan 3παα-=-=（3） (3)332211237sin cos (sin cos )(sin sin cos cos )=(1)525125αααααααα+=+-++=。
同角三角函数的基本关系与诱导公式-高考数学复习
3
θ＝ ，
5
cos
π
θ＜0，所以可得θ∈（ ，π），
2
sin θ cos
θ）2＝1－2
sin θ＋ cos
4
θ＝－ ，tan
5
1
θ＝ ，可得
25
sin θ cos
1
θ＝－ ，
5
sin θ cos θ
49
θ＝ ，所以
25
sin θ－ cos
sin θ
7
θ＝ ，联
5
3
θ＝－ ，故B错误，C正确.
4
目录
高中总复习·数学
可求解；
（2）若齐次式为二次整式，可将其视为分母为1的分式，然后将分母
1用 sin 2α＋ cos 2α替换，再将分子与分母同除以 cos 2α，化为只
含有tan α的式子，代入tan α的值即可求解.
目录
高中总复习·数学
考向3 “ sin α±cos α， sin α cos α”之间关系的应用
可以知一求二.
目录
高中总复习·数学
1. 若 sin θ＋ cos
2 3
θ＝
，则
3
解析：由 sin θ＋ cos
θ cos
1
θ＝ ，∴
6
sin 4θ＋ cos 4θ＝（
2 3
θ＝
，平方得1＋2
3
）
sin θ cos
4
θ＝ ，∴
3
sin
sin 4θ＋ cos 4θ＝（ sin 2θ＋ cos 2θ）2－2 sin 2θ cos 2θ
（1）思路：①分析结构特点，选择恰当的公式；②利用公式化成单
（4） sin α＝tan α cos
同角三角函数的基本关系式与诱导公式
课堂互动讲练
考点一
诱导公式的应用
应用诱导公式进行化简或证明时， 首先根据题意选准公式再用，一般是负 变正、大变小的思想．
在使用诱导公式时，α可为任意角， 并不一定要为锐角，只不过是在运用的 过程中把它“看作”是锐角而已．“奇 变偶不变，符号看象限”同样适用于正 切和余切．如tan(270°－α)＝cotα等．
cos2x－1 sin2x＝
cos2x＋sin2x cos2x－sin2x
，想法
使分
子分
母都出现 tanx 即可．
课堂互动讲练
【解】 (1)法一：联立方程：
sinx＋cosx＝15， sin2x＋cos2x＝1.
① 2分
②
①式两边平方得：sin2x＋cos2x＋2sinxcosx
＝215，
∴2sinxcosx＝－2245.4 分 ∵－π2<x<0，∴sinx<0，cosx>0. ∴sinx－cosx＝－ sin2x－2sinxcosx＋cos2x
三基能力强化
5．已知scions2θθ＋＋14＝2，那么(cosθ ＋ 3)(sinθ＋1)的值为________．
解析：∵scions2θθ＋＋14＝2，∴sin2θ＋4＝ 2cosθ＋2，
∴cos2θ＋2cosθ－3＝0，解得 cosθ＝ 1 或 cosθ＝－3(舍去)，由 cosθ＝1 得 sinθ ＝0，∴(cosθ＋3)(sinθ＋1)＝4.
规律方法总结
公式中 k·π2＋α 的整数 k 来讲的．“象
限”指在 k·π2＋α 中，将 α 看作锐角时 k·π2＋
α
所在的象限，如将
cos(32π＋α)写成
π cos(3·2
2025版高考数学总复习第4章三角函数解三角形第2讲同角三角函数的基本关系式与诱导公式
sin x ＋cos x 、sin x －cos x 、sin x cos x 之间的关系(2024·北京东城模拟)已知sin θ＋cos θ＝713，θ∈(0，π)，则tan θ＝ －125 .[解析] 解法一：因为sin θ＋cos θ＝713，θ∈(0，π)所以(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝49169，sin θcos θ＝－60169.由根与系数的关系，知sin θ，cos θ是方程x 2－713x －60169＝0的两根，所以x 1＝1213，x 2＝－513.因为θ∈(0，π)，所以sin θ>0.所以sin θ＝1213，cos θ＝－513，tan θ＝sin θcos θ＝－125.解法二：同解法一，得sin θcos θ＝－60169，所以sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝－60169，弦化切，得 tan θtan 2θ＋1＝－60169，解得tan θ＝－125或tan θ＝－512.又θ∈(0，π)，sin θ＋cos θ＝713>0，sin θcos θ＝－60169<0.∴θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，且sin θ>|cos θ|，∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin θcos θ＝|tan θ|>1，∴tan θ＝－125.解法三：解方程组⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＋cos θ＝713，sin 2θ＋cos 2θ＝1.得⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝1213，cos θ＝－513或⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝－513，cos θ＝1213.(舍去)故tan θ＝－125.名师点拨：sin x ＋cos x 、sin x －cos x 、sin x cos x 之间的关系为(sin x ＋cos x )2＝1＋2sin x cosx ，(sin x －cos x )2＝1－2sin x cos x ，(sin x ＋cos x )2＋(sin x －cos x )2＝2.因此已知上述三个代数式中的任意一个代数式的值，便可求其余两个代数式的值． 【变式训练】1．已知sin 2θ＝14，且π4<θ<π2，则cos θ－sin θ＝( B )A ．32B ．－32C ．12D ．－12[解析] ∵(cos θ－sin θ)2＝1－2sin θcos θ＝1－sin 2θ＝34，∴要求cos θ－sin θ，只需判断cos θ－sin θ的符号． ∵π4<θ<π2，∴cos θ<sin θ，即cos θ－sin θ<0. ∴cos θ－sin θ＝－cos θ－sin θ2＝－32. 2．(2024·山东师大附中模拟)已知－π2<α<0，sin α＋cos α＝15，则1cos 2α－sin 2α的值为( C )A ．75 B ．725 C ．257D ．2425[解析] 解法一：∵sin α＋cos α＝15，∴(sin α＋cos α)2＝125，∴sin αcos α＝－1225，又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，∴sin α<0，cos α>0，∴cos α－sin α＝sin α－cos α2＝1－2sin αcos α＝75.∴1cos 2α－sin 2α＝1cos α－sin αcos α＋sin α＝257，故选C ． 解法二：由⎩⎪⎨⎪⎧sin α＋cos α＝15，sin α－cos α＝－75，得⎩⎪⎨⎪⎧cos α＝45，sin α＝－35.∴tan α＝sin αcos α＝－34.∴1cos 2α－sin 2α＝sin 2α＋cos 2αcos 2α－sin 2α＝1＋tan 2α1－tan 2α ＝1＋9161－916＝257，故选C ．。
高考数学复习知识点讲解教案第22讲 同角三角函数的基本关系式与诱导公式
（2）
5
−
π
1
[2023·全国乙卷] 若 ∈ 0, ,tan = ,则sin − cos =_______.
5
2
2
sin
1
[解析] 方法一：因为tan =
= ，所以cos = 2sin ，
cos
2
1
2
2
2
代入sin + cos = 1得sin = ，
5
π
5
2 5
5
因为 ∈ 0, ，所以sin = ，则cos =
，所以sin − cos = − .
2
5
5
5
2sin cos
2tan
2
方法二： sin − cos = 1 − 2sin cos = 1 − 2
=1−
2
sin +cos
1+tan2
1
π
π
cos
−cos
sin
−sin
_________
正切
tan
tan
_______
−tan
−tan
续表
公式一
口诀
记忆规
律
公式二
公式三
公式四
函数名不变，符号看象限
奇变偶不变，符号看象限
公式五
公式六
函数名改变，符号
看象限
常用结论
1.同角三角函数关系式的常用变形
2
2
（1）sin = 1 − cos = 1 + cos 1 − cos ;
3
π
2
+ = −cos =
高考数学一轮复习第2讲 同角三角函数的基本关系与诱导公式
第2讲 同角三角函数的基本关系与诱导公式1．同角三角函数的基本关系式 (1)平方关系：01sin 2α＋cos 2α＝1.(2)商数关系：02sinαcosα＝tan α.2．六组诱导公式 公式 一 二 三 四 五 六 角 2k π＋ α(k ∈Z ) π＋α －α π－α π2－απ2＋α正弦 sin α －sin α －sin α sin α cos α cos α 余弦 cos α －cos α cos α －cos α sin α －sin α 正切 tan αtan α－tan α－tan α－－口诀函数名不变，符号看象限函数名改变，符号看象限同角三角函数基本关系式的常用变形 (sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α； (sin α＋cos α)2＋(sin α－cos α)2＝2； (sin α＋cos α)2－(sin α－cos α)2＝4sin αcos α； sin α＝tan αcos α⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α≠π2＋kπ，k∈Z ；sin2α＝sin2αsin2α＋cos2α＝tan2αtan2α＋1；cos2α＝cos2αsin2α＋cos2α＝1tan2α＋1.1．若cosα＝13，α∈⎝⎛⎭⎪⎪⎫－π2，0，则tanα等于()A．－24B．24C．－22D．22答案 C解析由已知得sinα＝－1－cos2α＝－1－19＝－223，所以tanα＝sinαcosα＝－22，选C.2．(2021·大同模拟)若角600°的终边上有一点(－4，a)，则a的值是() A．－43B．±43C.3D．43答案 A解析∵tan600°＝a－4＝tan(540°＋60°)＝tan60°＝3，∴a＝－43.故选A.3．已知sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，|θ|＜π2，则θ等于()A．－π6B．－π3C ．π6D ．π3答案 D解析 ∵sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，∴－sin θ＝－3cos θ，∴tan θ＝3.∵|θ|＜π2，∴θ＝π3.4．(2020·杭州学军中学模拟)已知cos31°＝a ，则sin239°·tan149°的值为( ) A.1－a2aB ．1－a2C.a2－1aD ．－1－a2答案 B解析 sin239°tan149°＝sin(270°－31°)tan(180°－31°)＝－cos31°·(－tan31°)＝sin31°＝1－a2.5．化简cos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫α－π2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫5π2＋αsin(α－π)cos(2π－α)的结果为________.答案 －sin 2α 解析 原式＝sinαcosα(－sin α)cos α＝－sin 2α.6．已知α是第二象限的角，tan α＝－12，则cos α＝________.答案 －255解析 因为α是第二象限的角，所以sin α>0，cos α<0，由tan α＝－12，得sin α＝－12cos α，代入sin 2α＋cos 2α＝1中，得54cos 2α＝1，所以cos α＝－255.考向一 诱导公式的应用 例1 (1)化简：错误!＝________. 答案 －1 解析 原式＝错误!＝tanαcosαsi n ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2＋α－cosαsinα＝tanαcosαcosα－cosαsinα＝－tanαcosαsinα＝－sinαcosα·cosαsinα＝－1.(2)已知cos(75°＋α)＝513，α是第三象限角，则sin(195°－α)＋cos(α－15°)的值为________.答案 －1713解析 因为cos(75°＋α)＝513>0，α是第三象限角，所以75°＋α是第四象限角， sin(75°＋α)＝－错误!＝－错误!.所以sin(195°－α)＋cos(α－15°) ＝sin[180°＋(15°－α)]＋cos(15°－α) ＝－sin(15°－α)＋cos(15°－α)＝－sin[90°－(75°＋α)]＋cos[90°－(75°＋α)] ＝－cos(75°＋α)＋sin(75°＋α) ＝－513－1213＝－1713.(3)(2020·潍坊一模)在平面直角坐标系xOy 中，点P (3，1)，将向量OP→绕点O 按逆时针方向旋转π2后得到向量OQ→，则点Q 的坐标是________.答案 (－1，3)解析 ∵OP→＝(3，1)＝(2cos θ，2sin θ)，cos θ＝32，sin θ＝12，∴将向量OP →绕点O 按逆时针方向旋转π2后得到向量OQ →＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫θ＋π2，2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫θ＋π2＝(－2sin θ，2cos θ)＝(－1，3)，∴点Q 的坐标是(－1，3)．1.诱导公式的两个应用方向与原则(1)求值，化角的原则与方向：负化正，大化小，化到锐角为终了． (2)化简，化简的原则与方向：统一角，统一名，同角名少为终了． 2．含2π整数倍的诱导公式的应用由终边相同的角的关系可知，在计算含有2π的整数倍的三角函数式中可直接将2π的整数倍去掉后再进行运算，如cos(5π－α)＝cos(π－α)＝－cos α.1.(2020·江西宜春中学诊断)若α为锐角，且cos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫α＋π6＝13，则cos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫α－π3的值为( )A.223B ．23 C ．26D ．526答案 A解析 ∵0<α<π2，∴π6<α＋π6<2π3，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫α＋π6＝1－cos2⎝⎛⎭⎪⎪⎫α＋π6＝223，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α－π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α＋π6－π2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α＋π6＝223.故选A.2．计算：sin(－1200°)cos1290°＝________. 答案34解析 原式＝－sin1200°cos1290°＝－sin(3×360°＋120°)cos(3×360°＋210°)＝－sin120°cos210°＝－sin(180°－60°)cos(180°＋30°) ＝sin60°cos30°＝32×32＝34.3．化简：错误!. 解 原式＝错误!＝错误! ＝错误!＝错误!. 多角度探究突破考向二 同角三角函数的基本关系 角度1 切弦互化例2 (1)(2020·唐山第二次模拟)已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上一点A (2sin α，3)(sin α≠0)，则cos α＝( )A.12B ．－12C ．32D ．－32答案 A解析 由三角函数定义，得tan α＝32sinα，所以sinαcosα＝32sinα，则2(1－cos 2α)＝3cos α，所以(2cos α－1)(cos α＋2)＝0，则cos α＝12.(2)(2020·济宁三模)已知tan(π－α)＝2，则sinα＋cosαsinα－cosα＝________.答案13解析 因为tan(π－α)＝2，所以tan α＝－2，所以sinα＋cosαsinα－cosα＝tanα＋1tanα－1＝－2＋1－2－1＝13. 同角三角函数的基本关系式的功能是根据角的一个三角函数值求其他三角函数值，主要利用商数关系tan α＝sinαcosα和平方关系1＝sin 2α＋cos 2α.4.已知α为锐角，且tan(π－α)＋3＝0，则sin α等于( )A.13B ．31010C ．377 D ．355答案 B解析 因为tan(π－α)＋3＝0，所以tan α＝3，sin α＝3cos α.因为sin 2α＋cos 2α＝1，所以sin 2α＝910. 又因为α为锐角，故sin α＝31010.故选B.5．已知α是第二象限角，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3π2＋α＝45，则tan α＝________.答案 －43解析 ∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3π2＋α＝45，∴sin α＝45，又α为第二象限角，∴cos α＝－1－sin2α＝－35，∴tan α＝sinαcosα＝－43.角度2 “1”的变换例3 (2021·海口模拟)已知角α的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴，终边上有一点P (1,2)，则sin2α1－3sinαcosα＝________.答案 －4解析 因为角α的终边上有一点P (1,2)，所以tan α＝2. 所以sin2α1－3sinαcosα＝sin2αsin2α＋cos2α－3sinαcosα＝tan2αtan2α＋1－3tanα＝2222＋1－3×2＝－4. 对于含有sin 2α，cos 2α，sin αcos α的三角函数求值题，一般可以考虑添加分母1，再将1用“sin 2α＋cos 2α”代替，然后用分子分母同除以角的余弦的平方的方式将其转化为关于tan α的式子，从而求解．6.已知tan α＝2，则(1)3sinα－2cosαsinα＋cosα＝________；(2)23sin 2α＋14cos 2α＝________. 答案 (1)43 (2)712解析 因为tan α＝2，所以， (1)原式＝3tanα－2tanα＋1＝3×2－22＋1＝43.(2)原式＝23·sin2αsin2α＋cos2α＋14·cos2αsin2α＋cos2α ＝23·tan2αtan2α＋1＋14·1tan2α＋1 ＝23×2222＋1＋14×122＋1＝712. 角度3 sin x ＋cos x ，sin x －cos x ，sin x cos x 之间的关系例4 (1)已知sin αcos α＝18，且5π4＜α＜3π2，则cos α－sin α的值为( )A ．－32B ．32C ．－34D ．34答案 B解析 ∵5π4＜α＜3π2，∴cos α＜0，sin α＜0且|cos α|＜|sin α|，∴cos α－sin α＞0.又(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝1－2×18＝34，∴cos α－sin α＝32.(2)若θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2，π，则 错误!等于( )A ．sin θ－cos θB ．cos θ－sin θC ．±(sin θ－cos θ)D ．sin θ＋cos θ答案 A 解析 因为错误! ＝1－2sinθcosθ＝错误!＝|sin θ－cos θ|，又θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2，π，所以sin θ－cos θ>0，所以原式＝sin θ－cos θ.故选A.(1)已知a sin x ＋b cos x ＝c 可与sin 2x ＋cos 2x ＝1联立，求得sin x ，cos x .(2)sin x ＋cos x ，sin x －cos x ，sin x cos x 之间的关系为 (sin x ＋cos x )2＝1＋2sin x cos x ， (sin x －cos x )2＝1－2sin x cos x ， (sin x ＋cos x )2＋(sin x －cos x )2＝2.因此，已知上述三个代数式中的任意一个代数式的值，便可求其余两个代数式的值．7.若1sin α＋1cosα＝3，则sin αcos α＝( )A ．－13B ．13C ．－13或1D ．13或－1答案 A 解析 由1sinα＋1cosα＝3，可得sin α＋cos α＝3sin αcos α，两边平方，得1＋2sin αcos α＝3sin 2αcos 2α，解得sin αcos α＝－13或sin αcos α＝1.由题意，知－1<sin α<1，－1<cos α<1，且sin α≠0，cos α≠0，所以sin αcos α≠1.故选A.8．已知sin α＋cos α＝12，α∈(0，π)，则1－tanα1＋tanα＝( )A ．－7B ．7 C.3D ．－3答案 A解析 因为(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝14，所以sin αcos α＝－38，又α∈(0，π)，所以sin α>0，cos α<0.因为(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝74，所以cos α－sin α＝－72.所以1－tanα1＋tanα＝cosα－sinαcosα＋sinα＝－7212＝－7.故选A.一、单项选择题1．sin210°cos120°的值为( ) A.14B ．－34C ．－32D ．34答案 A解析 sin210°cos120°＝sin(180°＋30°)cos(180°－60°)＝－sin30°·(－cos60°)＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12＝14.故选A. 2．(2020·潍坊模拟)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3π2－φ＝32，且|φ|<π2，则tan φ等于( )A ．－33B ．33 C ．3 D ．－3答案 D解析 由cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3π2－φ＝－sin φ＝32，得sin φ＝－32，又|φ|<π2，得到－π2<φ<π2，∴cos φ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－322＝12，则tan φ＝－3212＝－3.故选D.3．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2，π，tan α＝－34，则sin(α＋π)＝( )A.35 B ．－35C.45 D ．－45答案 B解析由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧sinαcosα＝－34，sin2α＋cos2α＝1，由此解得sin 2α＝925，又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2，π，因此有sin α＝35，sin(α＋π)＝－sin α＝－35.故选B. 4．已知A ＝错误!＋错误!(k ∈Z )，则A 的值构成的集合是( ) A ．{1，－1,2，－2} B ．{－1,1}C ．{2，－2}D ．{1，－1,0,2，－2}答案 C解析 当k 为偶数时，A ＝sinαsinα＋cosαcosα＝2；当k 为奇数时，A ＝－sinαsinα－cosαcosα＝－2.故A 的值构成的集合是{2，－2}．5．(2020·天津西青区模拟)已知sin α＋cos α＝－2，则tan α＋1tanα＝( )A ．2B ．12C ．－2D ．－12答案 A解析 ∵sin α＋cos α＝－2，∴(sin α＋cos α)2＝2，∴1＋2sin αcos α＝2，∴sin αcos α＝12.tan α＋1tanα＝sinαcosα＋cosαsinα＝sin2α＋cos2αsinαcosα＝112＝2.故选A.6．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α－π12＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α＋17π12的值为( ) A.13B ．223 C ．－13D ．－223答案 A解析 由cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α＋17π12＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α－π12＋3π2＝sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫α－π12＝13. 7．(2020·济宁模拟)直线l ：2x －y ＋e ＝0的倾斜角为α，则sin(π－α)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2＋α的值为( )A ．－25B ．－15C ．15D ．25答案 D解析 ∵直线l ：2x －y ＋e ＝0的倾斜角为α，∴tan α＝2，∴sin(π－α)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2＋α＝sin αcos α＝sinαcosαsin2α＋cos2α＝tanα1＋tan2α＝21＋22＝25.故选D.8．化简1＋sinα＋cosα＋2sinαcosα1＋sinα＋cosα的结果是( )A ．2sin αB ．2cos αC ．sin α＋cos αD ．sin α－cos α答案 C解析 原式＝sin2α＋cos2α＋2sinαcosα＋sinα＋cosα1＋sinα＋cosα＝错误! ＝错误!＝sin α＋cos α.故选C.9．若sin θ＋sin 2θ＝1，则cos 2θ＋cos 6θ＋cos 8θ的值为( ) A ．0 B ．1 C ．－1 D ．5－12答案 B解析 由sin θ＋sin 2θ＝1，得sin θ＝1－sin 2θ＝cos 2θ，∴cos 2θ＋cos 6θ＋cos 8θ＝sin θ＋sin 3θ＋sin 4θ＝sin θ＋sin 2θ(sin θ＋sin 2θ)＝sin θ＋sin 2θ＝1.10．(2020·海口模拟)若对任意x ∈R ，都有cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x －5π6＝sin(ωx ＋φ)(ω∈R ，|φ|<π)，则满足条件的有序实数对(ω，φ)的对数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3 答案 C解析 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x －5π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x －π3－π2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x －π3，由条件知ω＝±2.若ω＝2，由φ＝－π3＋2k π(k ∈Z )且|φ|<π，得φ＝－π3；若ω＝－2，sin(－2x ＋φ)＝sin(2x ＋π－φ)，则π－φ＝－π3＋2k π(k ∈Z )，所以φ＝－2k π＋4π3(k ∈Z )，又|φ|<π，则φ＝－2π3，故满足条件的有序数对(ω，φ)的对数为2.二、多项选择题11．在△ABC 中，下列结论正确的是( ) A ．sin(A ＋B )＝sin C B ．sin B ＋C2＝cos A2C ．tan(A ＋B )＝－tan C ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫C ≠π2D ．cos(A ＋B )＝cos C 答案 ABC解析 在△ABC 中，有A ＋B ＋C ＝π，则sin(A ＋B )＝sin(π－C )＝sin C ；sin B ＋C2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2－A 2＝cos A 2；tan(A ＋B )＝tan(π－C )＝－tan C ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫C ≠π2；cos(A ＋B )＝cos(π－C )＝－cos C .12．(2020·湖北宜昌高三模拟)定义：角θ与φ都是任意角，若满足θ＋φ＝π2，则称θ与φ“广义互余”．已知sin(π＋α)＝－14，下列角β中，可能与角α“广义互余”的是( )A ．sin β＝154B ．cos(π＋β)＝14C ．tan β＝15D ．tan β＝155答案 AC解析 ∵sin(π＋α)＝－sin α＝－14，∴sin α＝14，若α＋β＝π2，则β＝π2－α.sin β＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2－α＝cos α＝±154，故A 符合条件；cos(π＋β)＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2－α＝－sin α＝－14，故B 不符合条件；tan β＝15，即sin β＝15cos β，又sin 2β＋cos 2β＝1，所以sin β＝±154，故C 符合条件；tan β＝155，即sin β＝155cos β，又sin 2β＋cos 2β＝1，所以sin β＝±64，故D 不符合条件．故选AC.三、填空题13．sin 4π3cos 5π6tan ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－4π3的值是________.答案 －334解析 原式＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π＋π3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π－π6tan ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－π－π3＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－sin π3⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－cos π6⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－tan π3＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫－32×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－32×(－3)＝－334.14．已知sin θ＝13，则错误!＝________.答案98解析 原式＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!.15．已知θ是第四象限角，且sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫θ＋π4＝35，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫θ－π4＝________.答案 －43解析 因为θ是第四象限角，且sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫θ＋π4＝35，所以θ＋π4为第一象限角，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫θ＋π4＝45，所以tan ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫θ－π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫θ－π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫θ－π4＝－cos π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫θ－π4sin π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫θ－π4＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫θ＋π4sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫θ＋π4＝－43.16．已知α为第二象限角，则cos α1＋tan2α＋sin α·1＋1tan2α＝________.答案 0解析 原式＝cos αsin2α＋cos2αcos2α＋sin αsin2α＋cos2αsin2α＝cos α1|cosα|＋sin α1|sinα|，因为α是第二象限角，所以sin α>0，cos α<0，所以cos α1|cosα|＋sin α1|sinα|＝－1＋1＝0，即原式等于0.四、解答题17．已知α为第三象限角，f (α)＝错误!.(1)化简f (α)；(2)若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α－3π2＝15，求f (α)的值．解 (1)f (α)＝错误! ＝错误!＝－cos α.(2)因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α－3π2＝15，所以－sin α＝15，从而sin α＝－15.又因为α为第三象限角， 所以cos α＝－1－sin2α＝－265，所以f (α)＝－cos α＝265.18．已知tanαtanα－1＝－1，求下列各式的值．(1)sinα－3cosαsinα＋cosα； (2)sin 2α＋sin αcos α＋2. 解 由已知得tan α＝12.(1)sinα－3cosαsinα＋cosα＝tanα－3tanα＋1＝－53. (2)sin 2α＋sin αcos α＋2＝sin2α＋sinαcosαsin2α＋cos2α＋2＝tan2α＋tanαtan2α＋1＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫122＋12⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫122＋1＋2＝135.19．已知0<α<π2，若cos α－sin α＝－55，试求2sinαcosα－cosα＋11－tanα的值．解 ∵cos α－sin α＝－55，∴1－2sin αcos α＝15.∴2sin αcos α＝45.∴(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝1＋45＝95.∵0<α<π2，∴sin α＋cos α＝355.与cos α－sin α＝－55联立，解得 cos α＝55，sin α＝255.∴tan α＝2.∴2sinαcosα－cosα＋11－tanα＝45－55＋11－2＝55－95. 20．是否存在α∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－π2，π2，β∈(0，π)，使等式sin(3π－α)＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2－β，3cos(－α)＝－2cos(π＋β)同时成立？若存在，求出α，β的值；若不存在，说明理由．解 存在．由sin ()3π－α＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2－β得sin α＝2sin β，①由3cos(－α)＝－2cos(π＋β)得3cos α＝2cos β，②∴sin 2α＋3cos 2α＝2(sin 2β＋cos 2β)＝2，∴1＋2cos 2α＝2，∴cos 2α＝12，又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－π2，π2，∴cosα＝22，从而α＝π4或－π4，当α＝π4时，由①知sinβ＝12，由②知cosβ＝32，又β∈(0，π)，∴β＝π6，当α＝－π4时，由①知sinβ＝－12，与β∈(0，π)矛盾，舍去．∴存在α＝π4，β＝π6，符合题意．21 / 21。
高考数学(理)总复习讲义：同角三角函数的基本关系与诱导公式
第二节同角三角函数的基本关系与诱导公式1．同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1❶；(2)商数关系：tan α＝sin αcos α❷.2．三角函数的诱导公式边所在的象限，从而判断三角函数值的符号．作用：切化弦，弦切互化．[熟记常用结论]同角三角函数的基本关系式的几种变形 (1)sin 2α＝1－cos 2α＝(1＋cos α)(1－cos α)； cos 2α＝1－sin 2α＝(1＋sin α)(1－sin α)； (sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α.(2)sin α＝tan αcos α⎝⎛⎭⎫α≠π2＋k π，k ∈Z . (3)sin 2α＝sin 2αsin 2α＋cos 2α＝tan 2αtan 2α＋1；cos 2α＝cos 2αsin 2α＋cos 2α＝1tan 2α＋1. [小题查验基础]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”) (1)若α，β为锐角，则sin 2α＋cos 2β＝1.( ) (2)sin 2(α－β)＋cos 2(α－β)＝1.( ) (3)若α∈R ，则tan α＝sin αcos α恒成立．( )(4)sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角．( ) (5)若sin(k π－α)＝13(k ∈Z)，则sin α＝13.( )答案：(1)× (2)√ (3)× (4)× (5)× 二、选填题 1．已知sin α＝55，α∈⎣⎡⎦⎤π2，π，则tan α＝( ) A ．－2 B ．2 C.12D ．－12解析：选D 因为π2≤α≤π，所以cos α＝－1－sin 2α＝－1－⎝⎛⎭⎫552＝－255，所以tan α＝sin αcos α＝－12.2．已知sin ⎝⎛⎭⎫5π2＋α＝15，那么cos α＝( ) A ．－25B ．－15C.15D.25解析：选C ∵sin ⎝⎛⎭⎫5π2＋α＝sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝cos α， ∴cos α＝15.3．sin 210°cos 120°的值为( ) A.14 B ．－34C ．－32D.34解析：选A sin 210°cos 120°＝－sin 30°(－cos 60°) ＝－12×⎝⎛⎭⎫－12＝14. 4．若sin θcos θ＝12，则tan θ＋cos θsin θ＝________.解析：tan θ＋cos θsin θ＝sin θcos θ＋cos θsin θ＝1cos θsin θ＝2.答案：25．已知tan α＝2，则sin α＋cos αsin α－cos α的值为________．解析：sin α＋cos αsin α－cos α＝tan α＋1tan α－1＝2＋12－1＝3.答案：36．化简cos ⎝⎛⎭⎫α－π2sin ⎝⎛⎭⎫9π2＋α·sin(α－π)·cos(2π－α)的结果为________． 解析：原式＝sin αcos α·(－sin α)·cos α＝－sin 2α.答案：－sin 2α考点一同角三角函数基本关系式的应用[全析考法过关][考法全析]考法(一) 公式的直接应用[例1] (1)已知cos α＝k ，k ∈R ，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则sin α＝( ) A ．－1－k 2 B.1－k 2 C ．±1－k 2D.1＋k 2(2)sin 21°＋sin 22°＋…＋sin 289°＝________.[解析] (1)由cos α＝k ，k ∈R ，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，可知k ＜0，设角α终边上一点P (k ，y )(y ＞0)，|OP |＝1，所以k 2＋y 2＝1，得y ＝1－k 2，由三角函数定义可知sin α＝1－k 2.(2)因为sin 1°＝cos 89°，所以sin 21°＋sin 289°＝cos 289°＋sin 289°＝1，同理sin 22°＋sin 288°＝1，…，sin 244°＋sin 246°＝1，而sin 245°＝12，故原式＝44＋12＝4412.[答案] (1)B (2)4412考法(二) sin α，cos α的齐次式问题[例2] 已知tan αtan α－1＝－1，求下列各式的值：(1)sin α－3cos αsin α＋cos α； (2)sin 2α＋sin αcos α＋2. [解] 由已知得tan α＝12.(1)sin α－3cos αsin α＋cos α＝tan α－3tan α＋1＝－53.(2)sin 2α＋sin αcos α＋2＝sin 2α＋sin αcos αsin 2α＋cos 2α＋2＝tan 2α＋tan αtan 2α＋1＋2＝⎝⎛⎭⎫122＋12⎝⎛⎭⎫122＋1＋2＝135.考法(三) “sin α±cos α，sin αcos α”之间的关系的应用 [例3] 已知x ∈(－π，0)，sin x ＋cos x ＝15.(1)求sin x －cos x 的值； (2)求sin 2x ＋2sin 2x 1－tan x 的值．[解] (1)由sin x ＋cos x ＝15，平方得sin 2x ＋2sin x cos x ＋cos 2x ＝125，整理得2sin x cos x ＝－2425. ∴(sin x －cos x )2＝1－2sin x cos x ＝4925. 由x ∈(－π，0)，知sin x ＜0， 又sin x ＋cos x ＞0，∴cos x ＞0，则sin x －cos x ＜0， 故sin x －cos x ＝－75.(2)sin 2x ＋2sin 2x 1－tan x＝2sin x (cos x ＋sin x )1－sin x cos x＝2sin x cos x (cos x ＋sin x )cos x －sin x＝－2425×1575＝－24175.[规律探求]1．若角α的终边落在第三象限，则cos α1－sin2α＋2sin α1－cos2α的值为()A．3 B．－3C．1 D．－1解析：选B由角α的终边落在第三象限得sin α＜0，cos α＜0，故原式＝cos α|cos α|＋2sin α|sin α|＝cos α－cos α＋2sin α－sin α＝－1－2＝－3.2．(2019·合肥模拟)已知sin x＋cos x＝3－12，x∈(0，π)，则tan x＝()A．－33 B.33C. 3 D．－ 3解析：选D∵sin x＋cos x＝3－12，且x∈(0，π)，∴1＋2sin x cos x＝1－32，∴2sinx cos x＝－32＜0，∴x为钝角，∴sin x－cos x＝(sin x－cos x)2＝1＋32，结合已知解得sinx＝32，cos x＝－12，则tan x＝sin xcos x＝－ 3.3．若3sin α＋cos α＝0，则1cos2α＋2sin αcos α的值为________．解析：∵3sin α＋cos α＝0⇒cos α≠0⇒tan α＝－13，∴1cos2α＋2sin αcos α＝cos2α＋sin2αcos2α＋2sin αcos α＝1＋tan2α1＋2tan α＝1＋⎝⎛⎭⎫－1321－23＝103.答案：103考点二诱导公式的应用[师生共研过关][典例精析](1)设f (α)＝2sin (π＋α)cos (π－α)－cos (π＋α)1＋sin 2α＋cos ⎝⎛⎭⎫3π2＋α－sin 2⎝⎛⎭⎫π2＋α(1＋2sin α≠0)，则f ⎝⎛⎭⎫－23π6＝________. (2)已知cos ⎝⎛⎭⎫π6－θ＝a ，则cos ⎝⎛⎭⎫5π6＋θ＋sin ⎝⎛⎭⎫2π3－θ的值是________． [解析] (1)因为f (α)＝(－2sin α)(－cos α)＋cos α1＋sin 2α＋sin α－cos 2α＝2sin αcos α＋cos α2sin 2α＋sin α＝cos α(1＋2sin α)sin α(1＋2sin α)＝1tan α，所以f ⎝⎛⎭⎫－23π6＝1tan ⎝⎛⎭⎫－23π6＝1tan ⎝⎛⎭⎫－4π＋π6＝1tan π6＝ 3.(2)因为cos ⎝⎛⎭⎫5π6＋θ＝cos ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π6－θ＝－cos ⎝⎛⎭⎫π6－θ＝－a ，sin ⎝⎛⎭⎫2π3－θ＝sin ⎣⎡⎦⎤π2＋⎝⎛⎭⎫π6－θ＝cos ⎝⎛⎭⎫π6－θ＝a ，所以cos ⎝⎛⎭⎫5π6＋θ＋sin ⎝⎛⎭⎫2π3－θ＝0. [答案] (1)3 (2)0[解题技法]1．利用诱导公式解题的一般思路 (1)化绝对值大的角为锐角．(2)角中含有加减π2的整数倍时，用公式去掉π2的整数倍．2．常见的互余和互补的角[充分利用给定的关系结合诱导公式将角进行转化．特别要注意每一个角所在的象限，防止符号及三角函数名出错．[过关训练]1．sin(－1 200°)·cos 1 290°＋cos(－1 020°)·sin(－1 050°)＋tan 945°＝________. 解析：原式＝sin(－3×360°－120°)cos(3×360°＋180°＋30°)＋cos(－3×360°＋60°)sin(－3×360°＋30°)＋tan(2×360°＋180°＋45°)＝sin 120°cos 30°＋cos 60°sin 30°＋tan 45°＝34＋14＋1＝2.答案：22．已知sin α是方程5x 2－7x －6＝0的根，α是第三象限角，则sin ⎝⎛⎭⎫－α－3π2·cos ⎝⎛⎭⎫3π2－αcos ⎝⎛⎭⎫π2－α·sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α·tan 2(π－α)＝________.解析：因为方程5x 2－7x －6＝0的根为x 1＝2，x 2＝－35，由题意知sin α＝－35，故cos α＝－45，tan α＝34，所以原式＝－cos α·sin α·tan 2αsin α·cos α＝－tan 2α＝－916.答案：－9163．(2018·大连二模)已知sin ⎝⎛⎭⎫π3－α＝13，则cos ⎝⎛⎭⎫5π6－α＝( ) A.13B ．－13 C.222 D ．－23解析：选B 由题意知，cos ⎝⎛⎭⎫5π6－α＝cos ⎣⎡⎦⎤π2＋⎝⎛⎭⎫π3－α＝－sin ⎝⎛⎭⎫π3－α＝－13.故选B. 考点三诱导公式与同角关系的综合应用[师生共研过关][典例精析]已知f (x )＝cos 2(n π＋x )·sin 2(n π－x )cos 2[(2n ＋1)π－x ](n ∈Z)．(1)化简f (x )的表达式； (2)求f ⎝⎛⎭⎫π2 018＋f ⎝⎛⎭⎫504π1 009的值．解：(1)当n 为偶数，即n ＝2k (k ∈Z)时， f (x )＝cos 2(2k π＋x )·sin 2(2k π－x )cos 2[(2×2k ＋1)π－x ]＝cos 2x ·sin 2(－x )cos 2(π－x )＝cos 2x ·(－sin x )2(－cos x )2＝sin 2x ； 当n 为奇数，即n ＝2k ＋1(k ∈Z)时， f (x )＝cos 2[(2k ＋1)π＋x ]·sin 2[(2k ＋1)π－x ]cos 2{[2×(2k ＋1)＋1]π－x }＝cos 2[2k π＋(π＋x )]·sin 2[2k π＋(π－x )]cos 2[2×(2k ＋1)π＋(π－x )]＝cos 2(π＋x )·sin 2(π－x )cos 2(π－x )＝(－cos x )2sin 2x (－cos x )2＝sin 2x ， 综上得f (x )＝sin 2x .(2)由(1)得f ⎝⎛⎭⎫π2 018＋f ⎝⎛⎭⎫504π1 009 ＝sin 2π2 018＋sin 21 008π2 018＝sin 2π2 018＋sin 2⎝⎛⎭⎫π2－π2 018 ＝sin 2π2 018＋cos 2π2 018＝1.[解题技法]求解诱导公式与同角关系综合问题的基本思路和化简要求1．已知α为锐角，且2tan(π－α)－3cos ⎝⎛⎭⎫π2＋β＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)－1＝0，则sin α的值是( )A.355B.377C.31010D.13解析：选C 由已知可得－2tan α＋3sin β＋5＝0. tan α－6sin β－1＝0，解得tan α＝3， 又α为锐角，故sin α＝31010. 2．已知tan(π－α)＝－23，且α∈⎝⎛⎭⎫－π，－π2，则cos (－α)＋3sin (π＋α)cos (π－α)＋9sin α＝________. 解析：由tan(π－α)＝－23，得tan α＝23，则cos (－α)＋3sin (π＋α)cos (π－α)＋9sin α＝cos α－3sin α－cos α＋9sin α＝1－3tan α－1＋9tan α＝1－2－1＋6＝－15.答案：－153．已知sin α＋cos α＝－15，且π2＜α＜π，则1sin (π－α)＋1cos (π－α)的值为________．解析：由sin α＋cos α＝－15平方得sin αcos α＝－1225，∵π2＜α＜π，∴sin α－cos α＝(sin α＋cos α)2－4sin αcos α＝75，∴1sin (π－α)＋1cos (π－α)＝1sin α－1cos α＝cos α－sin αsin αcos α＝－75－1225＝3512. 答案：3512[课时跟踪检测]一、题点全面练1．若sin (π－θ)＋cos (θ－2π)sin θ＋cos (π＋θ)＝12，则tan θ＝( )A ．1B ．－1C ．3D ．－3解析：选D 因为sin (π－θ)＋cos (θ－2π)sin θ＋cos (π＋θ)＝sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝12，所以2(sin θ＋cos θ)＝sin θ－cos θ， 所以sin θ＝－3cos θ，所以tan θ＝－3.2．(2019·黄冈模拟)已知sin(π＋α)＝－13，则tan ⎝⎛⎭⎫π2－α的值为( ) A ．2 2 B ．－2 2 C.24D ．±2 2解析：选D ∵sin(π＋α)＝－13，∴sin α＝13，则cos α＝±223，∴tan ⎝⎛⎭⎫π2－α＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－αcos ⎝⎛⎭⎫π2－α＝cos αsin α＝±2 2. 3．(2019·惠州模拟)已知tan α＝12，且α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，则cos ⎝⎛⎭⎫α－π2＝( ) A ．－55B.55C.255D ．－255解析：选A 由α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2知α为第三象限角， 联立⎩⎪⎨⎪⎧tan α＝sin αcos α＝12，sin 2α＋cos 2α＝1，得sin α＝－55，故cos ⎝⎛⎭⎫α－π2＝sin α＝－55，故选A. 4．(2019·厦门质检)已知sin 2α＝34，π4＜α＜π2，则sin α－cos α的值是( )A.12 B ．－12C.14D ．－14解析：选A ∵π4＜α＜π2，∴sin α＞cos α＞0，∴sin α－cos α＞0.又sin 2α＝34，∴(sin α－cos α)2＝sin 2α－2sin αcos α＋cos 2α＝1－sin 2α＝14，则sin α－cos α＝12.5．(2018·安阳二模)若1＋cos αsin α＝3，则cos α－2sin α＝( ) A ．－1 B ．1 C ．－25D ．－1或－25解析：选C 由已知得sin α≠0，且3sin α＝1＋cos α＞0，即cos α＝3sin α－1，则cos 2α＝1－sin 2α＝(3sin α－1)2，解得sin α＝35，∴cos α－2sin α＝3sin α－1－2sin α＝sin α－1＝－25，故选C. 6．(2019·晋城一模)若|sin θ|＋|cos θ|＝233，则sin 4θ＋cos 4θ＝( ) A.56 B.1718 C.89D.23解析：选B 将|sin θ|＋|cos θ|＝233两边平方，得1＋|sin 2θ|＝43，∴|sin 2θ|＝13，∴sin 4θ＋cos 4θ＝(sin 2θ＋cos 2θ)2－2sin 2θcos 2θ＝1－2sin 2θcos 2θ＝1－12sin 22θ＝1－12×⎝⎛⎭⎫132＝1718，故选B.7．已知sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5，则cos 2α＋12sin 2α的值是________．解析：∵sin α＋3cos α3cos α－sin α＝tan α＋33－tan α＝5，解得tan α＝2，∴cos 2α＋12sin 2α＝cos 2α＋sin αcosα＝cos 2α＋sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝1＋tan α1＋tan 2α＝1＋21＋22＝35.答案：358．已知θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且12sin θ＋12cos θ＝35，则tan θ＝________. 解析：依题意得12(sin θ＋cos θ)＝35sin θcos θ，令sin θ＋cos θ＝t ，∵θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴t ＞0，则原式化为12t ＝35·t 2－12，解得t ＝75⎝⎛⎭⎫t ＝－57舍去，故sin θ＋cos θ＝75，则sin θcos θ＝1225，即sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝1225，即tan θ1＋tan 2θ＝1225，12tan 2θ－25tan θ＋12＝0，解得tan θ＝34或43. 答案：34或439．已知α为第三象限角，f (α)＝sin ⎝⎛⎭⎫α－π2·cos ⎝⎛⎭⎫3π2＋α·tan (π－α)tan (－α－π)·sin (－α－π).(1)化简f (α)；(2)若cos ⎝⎛⎭⎫α－3π2＝15，求f (α)的值． 解：(1)f (α)＝sin ⎝⎛⎭⎫α－π2·cos ⎝⎛⎭⎫3π2＋α·tan (π－α)tan (－α－π)·sin (－α－π)＝(－cos α)·sin α·(－tan α)(－tan α)·sin α＝－cos α.(2)∵cos ⎝⎛⎭⎫α－3π2＝15， ∴－sin α＝15，从而sin α＝－15.又α为第三象限角，∴cos α＝－1－sin 2α＝－265，∴f (α)＝－cos α＝265. 10．是否存在α∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，β∈(0，π)，使等式sin(3π－α)＝2cos ⎝⎛⎭⎫π2－β，3cos(－α)＝－2cos(π＋β)同时成立？若存在，求出α，β的值；若不存在，请说明理由．解：假设存在角α，β满足条件．由已知条件可得⎩⎨⎧sin α＝2sin β， ①3cos α＝2cos β， ②由①2＋②2，得sin 2α＋3cos 2α＝2. ∴sin 2α＝12，∴sin α＝±22.∵α∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，∴α＝±π4. 当α＝π4时，由②式知cos β＝32，又β∈(0，π)，∴β＝π6，此时①式成立；当α＝－π4时，由②式知cos β＝32，又β∈(0，π)，∴β＝π6，此时①式不成立，故舍去．∴存在α＝π4，β＝π6满足条件．二、专项培优练(一)易错专练——不丢怨枉分1．已知sin α＋cos α＝12，α∈(0，π)，则1－tan α1＋tan α＝( )A ．－7 B.7 C. 3D ．－ 3解析：选A 因为sin α＋cos α＝12，所以(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝14，所以sin αcos α＝－38，又因为α∈(0，π)，所以sin α＞0，cos α＜0，所以cos α－sin α＜0， 因为(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝1－2×⎝⎛⎭⎫－38＝74， 所以cos α－sin α＝－72， 所以1－tan α1＋tan α＝1－sin αcos α1＋sin αcos α＝cos α－sin αcos α＋sin α＝－7212＝－7.2．(2019·重庆六校联考)已知θ是第四象限角，且sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝35，则tan ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝( ) A.34B ．－43C ．－34D.43解析：选B ∵θ是第四象限角，∴2k π－π2＜θ＜2k π，k ∈Z ，∴2k π－π4＜θ＋π4＜2k π＋π4，k ∈Z ，∴cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＞0， ∵sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝35，∴cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝ 1－sin 2⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝45，cos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝cos ⎝⎛⎭⎫π4－θ＝cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π4＋θ＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋θ＝35，sin ⎝⎛⎭⎫π4－θ＝sin ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π4＋θ＝cos ⎝⎛⎭⎫π4＋θ＝45，∴sin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝－sin ⎝⎛⎭⎫π4－θ＝－45，∴tan ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝sin ⎝⎛⎭⎫θ－π4cos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝－43. 3．已知sin α＝255，则tan(α＋π)＋sin ⎝⎛⎭⎫5π2＋αcos ⎝⎛⎭⎫5π2－α＝________.解析：tan(α＋π)＋sin ⎝⎛⎭⎫5π2＋αcos ⎝⎛⎭⎫5π2－α＝tan α＋cos αsin α＝sin αcos α＋cos αsin α＝1sin αcos α. ∵sin α＝255＞0， ∴α为第一或第二象限角．当α为第一象限角时，cos α＝1－sin 2α＝55， 则原式＝1sin αcos α＝52；当α为第二象限角时，cos α＝－1－sin 2α＝－55， 则原式＝1sin αcos α＝－52.答案：±52(二)交汇专练——融会巧迁移4．[与集合交汇]A ＝{sin α，cos α，1}，B ＝{sin 2α，sin α＋cos α，0}，且A ＝B ，则sin 2019α＋cos 2 018α＝( ) A ．0 B ．1 C ．－1D ．±1解析：选C 当sin α＝0时，sin 2α＝0，此时集合B 中不符合集合元素的互异性，故舍去；当cos α＝0时，A ＝{sin α，0,1}，B ＝{sin 2α，sin α，0}，此时sin 2α＝1，得sin α＝－1，所以sin 2 019α＋cos 2 018α＝－1.5．[与直线的倾斜角交汇]已知θ为直线y ＝3x －5的倾斜角，若A (cos θ，sin θ)，B (2cos θ＋sin θ，5cos θ－sin θ)，则直线AB 的斜率为( )A ．3B ．－4 C.13D ．－14解析：选D 由题意知tan θ＝3，k AB ＝5cos θ－sin θ－sin θ2cos θ＋sin θ－cos θ＝5－2tan θ1＋tan θ＝－14.故选D.6．[与不等式交汇]已知θ∈[0，π)，若对任意的x ∈[－1,0]，不等式x 2cos θ＋(x ＋1)2sin θ＋x 2＋x ＞0恒成立，则实数θ的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫π12，5π12 B.⎝⎛⎭⎫π6，π4 C.⎝⎛⎭⎫π4，3π4D.⎝⎛⎭⎫π6，5π6解析：选A 令f (x )＝(cos θ＋sin θ＋1)x 2＋(2sin θ＋1)x ＋sin θ，由θ∈[0，π)知cos θ＋sin θ＋1＞0恒成立，若f (x )＞0在[－1,0]上恒成立， 只需满足⎩⎪⎨⎪⎧f (－1)＞0，f (0)＞0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2sin θ＋12(1＋cos θ＋sin θ)＞0⇒⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＞0，sin θ＞0，sin 2θ＞12，解得θ∈⎝⎛⎭⎫π12，5π12.7．[与一元二次方程交汇]已知关于x 的方程2x 2－(3＋1)x ＋m ＝0的两根分别是sin θ和cos θ，θ∈(0,2π)，求：(1)sin 2θsin θ－cos θ＋cos θ1－tan θ的值； (2)m 的值；(3)方程的两根及此时θ的值． 解：(1)原式＝sin 2θsin θ－cos θ＋cos θ1－sin θcos θ＝sin 2θsin θ－cos θ＋cos 2θcos θ－sin θ ＝sin 2θ－cos 2θsin θ－cos θ＝sin θ＋cos θ. 由条件知sin θ＋cos θ＝3＋12，故sin 2θsin θ－cos θ＋cos θ1－tan θ＝3＋12.(2)由已知，得sin θ＋cos θ＝3＋12，sin θcos θ＝m2， 又1＋2sin θcos θ＝(sin θ＋cos θ)2，可得m ＝32. (3)由⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＋cos θ＝3＋12，sin θcos θ＝34，得⎩⎨⎧sin θ＝32，cos θ＝12或⎩⎨⎧sin θ＝12，cos θ＝32.又θ∈(0,2π)，故θ＝π3或θ＝π6.8．[与三角形交汇]在△ABC 中， (1)求证：cos 2A ＋B 2＋cos 2C2＝1；(2)若cos ⎝⎛⎭⎫π2＋A sin ⎝⎛⎭⎫3π2＋B tan(C －π)＜0，求证：△ABC 为钝角三角形． 证明：(1)在△ABC 中，A ＋B ＝π－C ，所以A ＋B 2＝π2－C2， 所以cos A ＋B 2＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－C 2＝sin C2， 所以cos 2A ＋B 2＋cos 2C2＝1.(2)因为cos ⎝⎛⎭⎫π2＋A sin ⎝⎛⎭⎫3π2＋B tan(C －π)＜0， 所以(－sin A )(－cos B )tan C ＜0， 即sin A cos B tan C ＜0.因为在△ABC 中，0＜A ＜π，0＜B ＜π，0＜C ＜π且sin A ＞0，所以⎩⎪⎨⎪⎧ cos B ＜0，tan C ＞0或⎩⎪⎨⎪⎧cos B ＞0，tan C ＜0，所以B 为钝角或C 为钝角，所以△ABC 为钝角三角形．。
高三数学高考一轮复习资料： 同角三角函数的基本关系式与诱导公式
同角三角函数的基本关系式与诱导公式[最新考纲]1．理解同角三角函数的基本关系式：sin 2α＋cos 2α＝1，sin αcos α＝tan α.2．能利用单位圆中的三角函数线推导出π2±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式.知识梳理1．同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1.(2)商数关系：sin αcos α＝tan α.2．三角函数的诱导公式辨析感悟1．对三角函数关系式的理解(1)若α，β为锐角，sin 2 α＋cos 2β＝1. (×) (2)若α∈R ，则tan α＝sin αcos α恒成立． (×) (3)(教材练习改编)已知sin α＝45，α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π，则cos α＝35.(×)2．对诱导公式的认识(4)六组诱导公式中的角α可以是任意角．(√)(5)诱导公式的记忆口诀中“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指π2的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化．(√)(6)角π＋α和α终边关于y 轴对称．(×) 3．诱导公式的应用(7)若cos(n π－θ)＝13(n ∈Z )，则cos θ＝13.(×)(8)(·广东卷改编)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2＋α＝15，则cos α＝－15.(×) [感悟·提升]1．一点提醒 平方关系和商数关系式中的角都是同一个角，且商数关系式中α≠π2＋k π，k ∈Z ，如(1)、(2)．2．两个防范 一是利用平方关系式解决问题时，要注意开方运算结果的符号，需要根据角α的范围确定，如(3)；二是利用诱导公式化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负—脱周—化锐，特别注意函数名称和符号的确定．考点一 同角三角函数基本关系式的应用【例1】 (1)已知tan α＝2，则2sin α－3cos α4sin α－9cos α＝___________，4sin 2 α－3sin αcos α－5cos 2α＝________.(2)(·山东省实验中学诊断)已知sin θ·cos θ＝18，且π4＜θ＜π2，则cos θ－sin θ的值为________． 解析 (1)2sin α－3cos α4sin α－9cos α＝2tan α－34tan α－9＝2×2－34×2－9＝－1，4sin 2α－3sin αcos α－5cos 2α＝4sin 2α－3sin αcos α－5cos 2αsin 2 α＋cos 2α＝4tan 2α－3tan α－5tan 2α＋1＝4×4－3×2－54＋1＝1.(2)当π4＜θ＜π2时，sin θ＞cos θ， ∴cos θ－sin θ＜0，又(cos θ－sin θ)2＝1－2sin θcos θ＝1－14＝34， ∴cos θ－sin θ＝－32. 答案 (1)－1 1 (2)－32规律方法 (1)应用公式时注意方程思想的应用，对于sin α＋cos α，sin α－cos α，sin αcos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α可以知一求二． (2)关于sin α，cos α的齐次式，往往化为关于tan α的式子． 【训练1】 (1)已知sin α＋cos α＝15，0＜α＜π，则tan α＝______. (2)已知sin α＝2sin β，tan α＝3tan β，求cos α＝________. 解析 (1)法一 联立方程⎩⎪⎨⎪⎧sin α＋cos α＝15， ①sin 2α＋cos 2α＝1， ②由①得cos α＝15－sin α，将其代入②，整理得25sin 2α－5sin α－12＝0.又0＜α＜π，∴⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝45，cos α＝－35，∴tan α＝－43.法二 ∵sin α＋cos α＝15，∴(sin α＋cos α)2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫152，即1＋2sin αcos α＝125，∴2sin αcos α＝－2425，∴(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1＋2425＝4925.∵sin αcos α＝－1225＜0且0＜α＜π，∴sin α＞0，cos α＜0，∴sin α－cos α＞0，∴sin α－cos α＝75，由⎩⎪⎨⎪⎧ sin α＋cos α＝15，sin α－cos α＝75，得⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝45，cos α＝－35，∴tan α＝－43.(2)∵sin α＝2sin β，tan α＝3tan β， ∴sin 2α＝4sin 2β，① tan 2α＝9tan 2β，②由①÷②得：9cos 2α＝4cos 2β，③ ①＋③得：sin 2α＋9cos 2α＝4，∵cos 2α＋sin 2α＝1，∴cos 2α＝38，即cos α＝±64. 答案 (1)－43 (2)±64考点二 利用诱导公式化简三角函数式【例2】 (1)sin(－1 200°)cos 1 290°＋cos(－1 020°)·sin(－1 050°)＝________. (2)设f (α)＝2sin (π＋α)cos (π－α)－cos (π＋α)1＋sin 2α＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α(1＋2sin α≠0)，则f⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π6＝________.解析 (1)原式＝－sin 1 200°cos 1 290°－cos 1 020°sin1 050°＝－sin(3×360°＋120°)cos(3×360°＋210°)－cos(2×360°＋300°)sin(2×360°＋330°)＝－sin 120°cos 210°－cos 300°sin 330°＝－sin(180°－60°)cos(180°＋30°)－cos(360°－60°)·sin(360°－30°) ＝sin 60°cos 30°＋cos 60°sin 30°＝32×32＋12×12＝1. (2)∵f (α)＝(－2sin α)(－cos α)＋cos α1＋sin 2α＋sin α－cos 2α＝2sin αcos α＋cos α2sin 2α＋sin α＝cos α(1＋2sin α)sin α(1＋2sin α)＝1tan α，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π6＝1tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π6＝1tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4π＋π6 ＝1tan π6＝ 3. 答案 (1)1 (2) 3规律方法 (1)诱导公式应用的原则：负化正、大化小，化到锐角为终了． (2)诱导公式应用的步骤：锐角三角函数注意：诱导公式应用时不要忽略了角的范围和三角函数的符号．【训练2】 (1)sin(－1 071°)sin 99°＋sin(－171°)sin(－261°)＋tan(－1 089°)tan(－540°)＝________.(2)化简：tan (π＋α)cos (2π＋α)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π2cos (－α－3π)sin (－3π－α)＝________.解析 (1)原式＝(－sin 1 071°)·sin 99°＋sin 171°· sin 261°＋tan 1 089°·tan 540°＝－sin(3×360°－9°)sin(90°＋9°)＋sin(180°－9°)· sin(270°－9°)＋tan(3×360°＋9°)·tan(360°＋180°) ＝sin 9°cos 9°－sin 9°cos 9°＋tan 9°·tan 180° ＝0＋0＝0.(2)原式＝tan αcos αsin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2cos (3π＋α)[－sin (3π＋α)]＝tan αcos αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α(－cos α)sin α＝tan αcos αcos α(－cos α)sin α＝－tan αcos αsin α＝－sin αcos α·cos αsin α＝－1.答案 (1)0 (2)－1考点三 利用诱导公式求值【例3】 (1)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝12，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝______； (2)已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝33，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫56π＋α＝________.解析 (1)∵⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝π2，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝12. (2)∵⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋α＝π，∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫56π＋α＝－tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫56π＋α＝－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－33.答案 (1)12 (2)－33规律方法 巧用相关角的关系会简化解题过程．常见的互余关系有π3－α与π6＋α；π3＋α与π6－α；π4＋α与π4－α等，常见的互补关系有π3＋θ与2π3－θ；π4＋θ与3π4－θ等．【训练3】 (1)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12＋α＝23，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－11π12＝________； (2)若tan(π＋α)＝－12，则tan(3π－α)＝________. 解析 (1)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－11π12＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π12－α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＋α＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＋α，而sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12＋α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＋α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＋α＝23，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－11π12＝－23.(2)因为tan(π＋α)＝tan α＝－12， 所以tan(3π－α)＝tan(π－α)＝－tan α＝12. 答案 (1)－23 (2)121．同角关系及诱导公式要注意象限角对三角函数符号的影响，尤其是利用平方关系在求三角函数值时，进行开方时要根据角的象限或范围，判断符号后，正确取舍．2．三角求值、化简是三角函数的基础，在求值与化简时，常用方法有：(1)弦切互化法：主要利用公式tan x ＝sin xcos x 化成正弦、余弦函数；(2)和积转换法：如利用(sin θ±cos θ)2＝1±2sin θcos θ的关系进行变形、转化；(3)巧用“1”的变换：1＝sin 2 θ＋cos 2θ＝cos 2θ(1＋tan 2 θ)＝tan π4＝….方法优化2——灵活运用同角三角函数的基本关系式求值【典例】 (·浙江卷)已知α∈R ，sin α＋2cos α＝102，则tan 2α＝( )．A.43B.34 C ．－34 D ．－43[一般解法] 由sin α＋2cos α＝102，得sin α＝102－2cos α，① 又sin 2α＋cos 2α＝1，② 联立①②，解得⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝31010，cos α＝1010或⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝－1010，cos α＝31010.所以tan α＝sin αcos α＝3或－13.当tan α＝3时，tan 2α＝2tan α1－tan2α＝2×31－32＝－34；当tan α＝－13时，tan 2α＝2tan α1－tan2α＝2×⎝⎛⎭⎪⎫－131－⎝⎛⎭⎪⎫－132＝－34.综上，tan 2α＝－34.故选C.[优美解法] 法一(直接法)两边平方，再同时除以cos2α，得3tan2α－8tan α－3＝0，tan α＝3或tan α＝－13，代入tan 2α＝2tan α1－tan2α，得到tan 2α＝－3 4.法二(猜想法)，由给出的数据及选项的唯一性，记sin α＝310，cos α＝110，这时sin α＋2cos α＝102符合要求，此时tan α＝3，代入二倍角公式得到答案C.[答案] C[反思感悟] (1)熟记同角三角函数关系式及诱导公式，特别是要注意公式中的符号问题；(2)注意公式的变形应用，如sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α，1＝sin2α＋cos2α及sin α＝tan α·cos α等．这是解题中常用到的变形，也是解决问题时简化解题过程的关键所在．【自主体验】(·东北三校模拟)已知sin θ＋cos θ＝43⎝⎛⎭⎪⎫0＜θ＜π4，则sin θ－cos θ的值为()．A.23B．－23 C.13D．－13解析法一∵0＜θ＜π4，∴cos θ＞sin θ，又(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝16 9，∴2sin θcos θ＝7 9，∴(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝1－79＝29，∴sin θ－cos θ＝－23.法二 ∵sin θ＋cos θ＝43，且θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4.∴θ＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，sin θ＋cos θ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝43，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝223，又cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝1－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝1－⎝⎛⎭⎪⎫2232＝13， ∴sin θ－cos θ＝－(cos θ－sin θ)＝－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝－23.答案 B基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1．已知α和β的终边关于直线y ＝x 对称，且β＝－π3，则sin α等于( )． A ．－32 B.32 C ．－12 D.12解析 因为α和β的终边关于直线y ＝x 对称，所以α＋β＝2k π＋π2(k ∈Z )．又β＝－π3，所以α＝2k π＋5π6(k ∈Z )，即得sin α＝12. 答案 D2．(·临川一中一调)sin 29π6＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－29π3－tan 25π4＝( )．A ．0 B.12 C ．1 D ．－12 解析 原式＝sin(4π＋5π6)＋cos(－10π＋π3)－tan(6π＋π4) ＝sin 5π6＋cos π3－tan π4＝12＋12－1＝0. 答案 A3．(·郑州模拟)1－2sin (π＋2)cos (π－2)＝( )． A ．sin 2－cos 2 B ．sin 2＋cos 2 C ．±(sin 2－cos 2) D ．cos 2－sin 2 解析1－2sin (π＋2)cos (π－2)＝1－2sin 2cos 2＝(sin 2－cos 2)2＝|sin 2－cos 2|＝sin 2－cos 2. 答案 A4．(·石家庄模拟)已知sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5，则sin 2 α－sin αcos α的值是( )．A.25 B ．－25 C ．－2 D ．2 解析 由sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5得tan α＋33－tan α＝5即tan α＝2，所以sin 2α－sin αcos α＝sin 2 α－sin αcos αsin 2 α＋cos 2 α＝tan 2 α－tan αtan 2 α＋1＝25.答案 A5．若sin α是5x 2－7x －6＝0的根，则 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－α－3π2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－αtan 2(2π－α)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αsin (π＋α)＝( )．A.35B.53C.45D.54解析 由5x 2－7x －6＝0，得x ＝－35或 2.∴sin α＝－35.∴原式＝cos α(－cos α)·tan 2αsin α·(－sin α)·(－sin α)＝1－sin α＝53.答案 B 二、填空题6．(·杭州模拟)如果sin(π＋A )＝12，那么cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π－A 的值是________．解析 ∵sin(π＋A )＝12，∴－sin A ＝12.∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π－A ＝－sin A ＝12. 答案 127．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋7π12的值为________． 解析 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋7π12＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫α＋π12＋π2 ＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π12＝－13. 答案 －138．(·江南十校第一次考试)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－α＝13，且－π＜α＜－π2，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－α＝________.解析 ∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－α＝13， 又－π＜α＜－π2， ∴7π12＜π12－α＜13π12，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－α＝－1－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－α＝－223. 答案 －223三、解答题9．化简：sin (k π－α)cos[(k －1)π－α]sin[(k ＋1)π＋α]cos (k π＋α)(k ∈Z )． 解 当k ＝2n (n ∈Z )时，原式＝sin (2n π－α)cos[(2n －1)π－α]sin[(2n ＋1)π＋α]cos (2n π＋α)＝sin (－α)·cos (－π－α)sin (π＋α)·cos α＝－sin α(－cos α)－sin α·cos α＝－1； 当k ＝2n ＋1(n ∈Z )时，原式＝sin[(2n ＋1)π－α]·cos[(2n ＋1－1)π－α]sin[(2n ＋1＋1)π＋α]·cos[(2n ＋1)π＋α]＝sin (π－α)·cos αsin α·cos (π＋α)＝sin α·cos αsin α(－cos α)＝－1.综上，原式＝－1.10．已知在△ABC 中，sin A ＋cos A ＝15.(1)求sin A cos A 的值；(2)判断△ABC 是锐角三角形还是钝角三角形；(3)求tan A 的值．解 (1)∵sin A ＋cos A ＝15，①∴两边平方得1＋2sin A cos A ＝125，∴sin A cos A ＝－1225，(2)由sin A cos A ＝－1225＜0，且0＜A ＜π，可知cos A ＜0，∴A 为钝角，∴△ABC 是钝角三角形．(3)∵(sin A －cos A )2＝1－2sin A cos A ＝1＋2425＝4925，又sin A ＞0，cos A ＜0，∴sin A －cos A ＞0，∴sin A －cos A ＝75，②∴由①，②可得sin A ＝45，cos A ＝－35，∴tan A ＝sin A cos A ＝45－35＝－43.能力提升题组(建议用时：25分钟)一、选择题1．(·辽宁卷)已知sin α－cos α＝2，α∈(0，π)，则tan α＝()．A ．－1B ．－22 C.22 D ．1解析 法一 因为sin α－cos α＝2，所以2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝2，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝1. 因为α∈(0，π)，所以α＝3π4，所以tan α＝－1.法二 因为sin α－cos α＝2，所以(sin α－cos α)2＝2，所以sin 2α＝－1.因为α∈(0，π)，2α∈(0,2π)，所以2α＝3π2，所以α＝3π4，所以tan α＝－1.答案 A2．(·衡水质检)已知α为锐角，且2tan(π－α)－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋β＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)＝1, 则sin α的值是( )． A.355 B.377 C.31010 D.13解析 由已知可得－2tan α＋3sin β＋5＝0，tan α－6sin β＝1，解得tan α＝3，又sin 2α＋cos 2α＝1，α为锐角．故sin α＝31010.答案 C二、填空题3．sin 21°＋sin 22°＋…＋sin 290°＝________.解析 sin 21°＋sin 22°＋…＋sin 290°＝sin 21°＋sin 22°＋…＋sin 244°＋sin 245°＋cos 244°＋cos 243°＋…＋cos 21°＝(sin 21°＋cos 21°)＋(sin 22°＋cos 22°)＋…＋(sin 244°＋cos 244°)＋sin 245°＋sin 290°＝45＋12＝912.答案 912三、解答题4．是否存在α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，β∈(0，π)，使等式sin(3π－α)＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－β，3cos(－α)＝－2cos(π＋β)同时成立？若存在，求出α，β的值；若不存在，请说明理由． 解 假设存在角α，β满足条件，则由已知条件可得⎩⎨⎧ sin α＝2sin β，3cos α＝2cos β， ①②由①2＋②2，得sin 2α＋3cos 2α＝2. ∴sin 2α＝12，∴sin α＝±22. ∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，∴α＝±π4.当α＝π4时，由②式知cos β＝32， 又β∈(0，π)， ∴β＝π6，此时①式成立； 当α＝－π4时，由②式知cos β＝32， 又β∈(0，π)， ∴β＝π6，此时①式不成立，故舍去． ∴存在α＝π4，β＝π6满足条件.。
高三第一轮复习--同角三角函数的关系式及诱导公式
+ cotα + cosα
- sinα - cotα
tan(90°+α) =
sin(2700-α)
=
- cosα
cos(2700- α) = - sinα
tan(2700- α) = + cotα sin(270° +α) = - cosα cos(270° + α) = + sinα tan(270° + α) = - cotα
（2）求 5 sin【思维点拨】 3 sin cos 2 的值。 应体会关于 sin ， cos 的齐次式的 一般处理方法。
2
例3、已知关于x 的方程
作业
《名师伴你行》一轮复习闯关大试卷 第21练：A卷除第11题选做外，其余 题必做；B卷作为课外解题训练用， 不作作业要求。
【思维点拨】,
4 sinห้องสมุดไป่ตู้sin 4 2 1 sin 8 . （ 2 ）灵活运用平方关系是化简的重 1 1 sin 8 ； n z
要手段之一。
例2、已知 tan 2 。
4 sin 2 cos （1）求 的值； 5 sin 3 cos
高三第一轮复习
同角三角函数的关系及 诱导公式
1、同角三角函数的基本关系式：
(1) 倒数关系：
sin csc 1
cos sec 1 tan cot 1
(2) 商数关系：
sin tan cos
(3) 平方关系：
2
cos cot sin
2
sin cos 1 2 2 sec tan 1
高三数学考点-同角三角函数的基本关系及诱导公式
4．2 同角三角函数的基本关系及诱导公式1．同角三角函数的基本关系(1)由三角函数的定义，同角三角函数间有以下两个等式： ①____________________； ②____________________．(2)同角三角函数的关系式的基本用途：①根据一个角的某一三角函数值，求出该角的其他三角函数值；②化简同角的三角函数式；③证明同角的三角恒等式． 2．三角函数的诱导公式 (1)(2)诱导公式的规律：三角函数的诱导公式可概括为：奇变偶不变，符号看象限．其中“奇变偶不变”中的奇、偶分别是指π2的奇数倍和偶数倍，变与不变是指函数名称的变化．若是奇数倍，则正、余弦互变，正、余切互变；若是偶数倍，则函数名称________．“符号看象限”是把α当成________时，原三角函数式中的角⎝⎛⎭⎫如π2＋α 所在________原三角函数值的符号．注意：把α当成锐角是指α不一定是锐角，如sin(360°＋120°)＝sin120°，sin(270°＋120°)＝－cos120°，此时把120°当成了锐角来处理．“原三角函数”是指等号左边的函数． (3)诱导公式的作用：诱导公式可以将任意角的三角函数转化为________三角函数，因此常用于化简和求值，其一般步骤是： 任意负角的三角函数―――――――――→去负（化负角为正角）任意正角的三角函数―――――→脱周脱去k ·360°0°到360°的三角函数―――――――→化锐（把角化为锐角 ）锐角三角函数 3．sin α＋cos α，sinαcos α，sin α－cos α三者之间的关系 (sin α＋cos α)2＝________________； (sin α－cos α)2＝________________；(sin α＋cos α)2＋(sin α－cos α)2＝________________； (sin α＋cos α)2－(sin α－cos α)2＝________________.自查自纠1．(1)①sin 2α＋cos 2α＝1 ②sin αcos α＝tan α2．(1)x 函数sin x cos x tan x －α －sin α cos α －tan α π2±α cos α ∓sin α π±α ∓sin α －cos α ±tan α 3π2±α －cos α ±sin α 2π±α±sin αcos α±tan α(2)不变 锐角 象限 (3)锐角3．1＋sin2α 1－sin2α 2 2sin2α(2017·全国卷Ⅲ)已知sin α－cos α＝43，则sin2α＝( )A ．－79B ．－29 C.29 D.79解：sin2α＝2sin αcos α＝（sin α－cos α）2－1－1＝－79.故选A .(2016·贵州4月适应性考试)若sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝－35，且α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则sin(π－2α)＝( ) A.2425 B.1225 C ．－1225 D ．－2425解：由sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝－35得cos α＝－35，又α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则sin α＝45，所以sin(π－2α)＝sin2α＝2sin αcos α＝－2425.故选D . (2017·重庆检测)已知α是第四象限角，且sin α＋cos α＝15，则tan α2＝( )A.13 B ．－13 C.12 D ．－12解：因为sin α＋cos α＝15，α是第四象限角，所以sin α＝－35，cos α＝45，则tan α2＝sinα2cos α2＝2sin 2α22sin α2cosα2＝1－cos αsin α＝－13.故选B .(2016·四川)sin750°＝________.解：因为sin θ＝sin(k ·360°＋θ)(k ∈Z )，所以sin750°＝sin(2×360°＋30°)＝sin30°＝12.故填12.(2017·郑州质检)已知cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝2sin ⎝⎛⎭⎫α－π2，则sin 3（π－α）＋cos （α＋π）5cos ⎝⎛⎭⎫5π2－α＋3sin ⎝⎛⎭⎫7π2－α的值为________． 解：因为cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝2sin ⎝⎛⎭⎫α－π2，所以－sin α＝－2cos α，则sin α＝2cos α，代入sin 2α＋cos 2α＝1，得cos 2α＝15.所以sin 3（π－α）＋cos （α＋π）5cos ⎝⎛⎭⎫52π－α＋3sin ⎝⎛⎭⎫72π－α＝sin 3α－cos α5sin α－3cos α＝8cos 3α－cos α7cos α＝87·cos 2α－17＝335.故填335.类型一 利用同角三角函数的基本关系式进行化简和求值(1)(2017·全国卷Ⅰ)已知a ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，tan α＝2，则cos ⎝⎛⎭⎫α－π4＝________； (2)已知sin α＝13，求tan α；(3)已知sin α＝m (m ≠0，m ≠±1)，求tan α. 解：(1)由tan α＝2得sin α＝2cos α.又sin 2α＋cos 2α＝1，所以cos 2α＝15.因为α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以cos α＝55，sin α＝255. 因为cos ⎝⎛⎭⎫α－π4＝cos αcos π4＋sin αsin π4， 所以cos ⎝⎛⎭⎫α－π4＝55×22＋255×22＝31010. 故填31010.(2)因为sin α＝13，所以α是第一或第二象限角．当α是第一象限角时， cos α＝1－sin 2α＝1－⎝⎛⎭⎫132＝223，所以tan α＝sin αcos α＝24；当α是第二象限角时，tan α＝－24. (3)因为sin α＝m (m ≠0，m ≠±1)，所以cos α＝±1－sin 2α＝±1－m 2(当α为第一、四象限角时取正号，当α为第二、三象限角时取负号)．所以当α为第一、四象限角时，tan α＝m1－m 2；当α为第二、三象限角时，tan α＝－m1－m 2 .【点拨】给值求值的关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异．①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用；②变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的．(1)设sin α2＝45，且α是第二象限角，则tan α2的值为________．解：因为α是第二象限角，所以α2是第一或第三象限角．①当α2是第一象限角时，有cos α2＝1－sin 2α2＝1－⎝⎛⎭⎫452＝35，所以tan α2＝sinα2cosα2＝43；②当α2是第三象限角时，与sin α2＝45矛盾，舍去．综上，tan α2＝43.故填43.(2)已知sin α－cos α＝2，α∈(0，π)，则tan α＝________. 解法一：由⎩⎨⎧sin α－cos α＝2，sin 2α＋cos 2α＝1，得2cos 2α＋22cos α＋1＝0，即(2cos α＋1)2＝0，所以cos α＝－22.又α∈(0，π)，所以α＝3π4，tan α＝tan 3π4＝－1.解法二：因为sin α－cos α＝2，所以(sin α－cos α)2＝2，得sin2α＝－1.因为α∈(0，π)，所以2α∈(0，2π)，2α＝3π2，所以α＝3π4，tan α＝－1.故填－1.类型二 诱导公式的应用(1)(2016·全国卷Ⅰ)已知θ是第四象限角，且sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝35，则tan ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝________. 解：由题意知，θ＋π4是第一象限角，得cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝45， 根据同角三角函数关系式可得tan ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝34. 所以tan ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝tan ⎝⎛⎭⎫θ＋π4－π2＝－1tan ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝－43.故填－43. (2)化简sin （2π－α）cos （π＋α）cos ()π2＋αcos ()11π2－αcos （π－α）sin （3π－α）sin （－π－α）sin ()9π2＋α. 解：原式＝（－sin α）（－cos α）（－sin α）（－sin α）（－cos α）·sin α·sin α·cos α＝－tan α. 【点拨】①三角式的化简通常先用诱导公式，将角度统一后再用同角三角函数关系式，这可以避免交错使用公式时导致的混乱．②在运用公式时正确判断符号至关重要．③三角函数的化简、求值是三角函数中的基本问题，也是高考常考的问题，要予以重视．④正确理解“奇变偶不变，符号看象限”可以提高解题效率．(1)化简sin 2(π＋α)－cos(π＋α)·cos(－α)＋1.解：原式＝sin 2α－(－cos α)·cos α＋1＝sin 2α＋cos 2α＋1＝2.(2)(2017·北京)在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称．若sin α＝13，则cos(α－β)＝________. 解：因为α和β的终边关于y 轴对称，所以α＋β＝π＋2k π，k ∈Z ，那么sin β＝sin α＝13，cos α＝－cos β，这样cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝－cos 2α＋sin 2α＝2sin 2α－1＝－79.故填－79.类型三 关于sin α，cos α的齐次式问题已知tan αtan α－1＝－1，求下列各式的值．(1)sin α－3cos αsin α＋cos α； (2)sin 2α＋sin αcos α＋2.解：由已知得tan α＝12.(1)sin α－3cos αsin α＋cos α＝tan α－3tan α＋1＝－53.(2)sin 2α＋sin αcos α＋2＝sin 2α＋sin αcos αsin 2α＋cos 2α＋2＝tan 2α＋tan αtan 2α＋1＋2＝⎝⎛⎭⎫122＋12⎝⎛⎭⎫122＋1＋2＝135. 【点拨】(1)形如a sin α＋b cos α和a sin 2α＋b sin αcos α＋c cos 2α的式子分别称为关于sin α，cos α的一次齐次式和二次齐次式，对涉及它们的三角变换通常转化为正切(分子分母同除以cos α或cos 2α)求解．如果分母为1，可考虑将1写成sin 2α＋cos 2α.(2)已知tan α＝m 的条件下，求解关于sin α，cos α的齐次式问题，必须注意以下几点：①一定是关于sin α，cos α的齐次式(或能化为齐次式)的三角函数式．②因为cos α≠0，所以可以用cos n α(n ∈N *)除之，这样可以将被求式化为关于tan α的表示式，可整体代入tan α＝m 的值，从而完成被求式的求值运算．③注意1＝sin 2α＋cos 2α的运用．(荆州2017届质量检测)已知tan(5π－x )＝2，则2cos 2x2－sin x －1sin x ＋cos x＝________.解：tan(5π－x )＝2，即tan(π－x )＝2，得tan x ＝－2.又因为2cos 2x2－1＝cos x ，所以2cos 2x2－sin x －1sin x ＋cos x ＝cos x －sin x sin x ＋cos x＝1－tan x tan x ＋1＝－3.故填－3.1．诱导公式用角度制和弧度制表示都可，运用时应注意函数名称是否要改变以及正负号的选取．2．已知一个角的某一个三角函数值，求这个角的其他三角函数值，这类问题用同角三角函数的基本关系式求解，一般分为三种情况：(1)一个角的某一个三角函数值和这个角所在的象限或终边所在的位置都是已知的，此类情况只有一组解． (2)一个角的某一个三角函数值是已知的，但这个角所在的象限或终边所在的位置没有给出，解答这类问题，首先要根据已知的三角函数值确定这个角所在的象限或终边所在的位置，然后分不同的情况求解．(3)一个角的某一个三角函数值是用字母给出的，此类情况须对字母进行讨论，并注意适当选取分类标准，一般有两组解．3．计算、化简三角函数式常用技巧(1)减少不同名的三角函数，或化切为弦，或化弦为切，如涉及sin α，cos α的齐次分式问题，常采用分子分母同除以cos n α(n ∈N *)，这样可以将被求式化为关于tan α的式子． (2)巧用“1”进行变形，如1＝sin 2α＋cos 2α＝tan45°等． (3)平方关系式需开方时，应慎重考虑符号的选取．(4)熟悉sin α＋cos α，sin α－cos α，sin αcos α三者之间的内在联系，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α进行和积转换，可知一求二．1．sin585°的值为( )A ．－22 B.22 C ．－32 D.32解：sin585°＝sin ()90°×6＋45°＝－sin45°＝－22.故选A .2．(福建四地六校2017届月考)已知cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π2＝45，－π2＜θ＜π2，则sin2θ的值等于( ) A ．－2425 B.2425 C ．－1225 D.1225解：由cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π2＝45，－π2＜θ＜π2，得sin θ＝－45，cos θ＝35，则sin2θ＝2sin θcos θ＝－2425.故选A . 3．(江西上饶2017届一模)已知sin ⎝⎛⎭⎫α－π12＝13，则cos ⎝⎛⎭⎫α＋17π12 的值等于( ) A.13 B.223 C ．－13 D ．－223解：由cos ⎝⎛⎭⎫α＋17π12＝cos ⎝⎛⎭⎫α－π12＋3π2＝sin ⎝⎛⎭⎫α－π12＝13.故选A . 4．(2016·全国卷Ⅲ)若tan α＝34，则cos 2α＋2sin2α＝( )A.6425B.4825 C ．1 D.1625解法一：cos 2α＋2sin2α＝cos 2α＋2sin2αsin 2α＋cos 2α＝1＋4tan α1＋tan 2α＝6425. 解法二：由tan α＝34，得sin α＝34cos α，sin α＝35，cos α＝45或sin α＝－35，cos α＝－45，所以cos 2α＋2sin2α＝1625＋4×1225＝6425.故选A .5．(2016·长春质检)已知tan α＝2，α为第一象限角，则sin2α＋cos α＝( )A. 5B.4＋255C.4＋55D.5－25解：由三角函数定义sin α＝255，cos α＝55，故sin2α＋cos α＝2sin αcos α＋cos α＝4＋55.故选C .6．(2016·淮南二模)已知sin α＋cos α＝12，α∈(0，π)，则1－tan α1＋tan α＝( )A ．－7 B.7 C. 3 D ．－3解：因为(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝14，所以sin αcos α＝－38，又α∈(0，π)，所以sin α>0，cos α<0.因为(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝74，所以cos α－sin α＝－72.所以1－tan α1＋tan α＝cos α－sin αcos α＋sin α＝－7212＝－7.故选A .7．(2016江苏冲刺卷)已知θ是第三象限角，且sin θ－2cos θ＝－25，则sin θ＋cos θ＝________.解：由平方关系得⎝⎛⎭⎫2cos θ－252＋cos 2θ＝1，且cos θ＜0，解得cos θ＝－725，从而sin θ＝－2425，故sin θ＋cos θ＝－3125.故填－3125.8．(2015·四川)已知sin α＋2cos α＝0，则2sin αcos α－cos 2α的值是________．解：因为sin α＋2cos α＝0，所以sin α＝－2cos α，由同角三角函数关系式得cos 2α＋4cos 2α＝1，所以cos 2α＝15，所以2sin αcos α－cos 2α＝－4cos 2α－cos 2α＝－5cos 2α＝－1.故填－1.9．已知sin(3π＋θ)＝13，求值：cos （π＋θ）cos θ[cos （π－θ）－1]＋cos （θ－2π）sin ⎝⎛⎭⎫θ－3π2cos （θ－π）－sin ⎝⎛⎭⎫3π2＋θ.解：因为sin(3π＋θ)＝－sin θ＝13，所以sin θ＝－13.所以原式＝－cos θcos θ（－cos θ－1）＋cos θcos θ·（－cos θ）＋cos θ＝11＋cos θ＋11－cos θ＝21－cos 2θ＝2sin 2θ ＝2⎝⎛⎭⎫－132＝18. 10．已知sin θ－cos θ＝12，求：(1)sin θcos θ； (2)sin 3θ－cos 3θ； (3)sin 4θ＋cos 4θ.解：(1)将sin θ－cos θ＝12两边平方得：1－2sin θcos θ＝14，sin θcos θ＝38.(2)sin 3θ－cos 3θ＝(sin θ－cos θ)(sin 2θ＋sin θcos θ＋cos 2θ)＝12×⎝⎛⎭⎫1＋38＝1116. (3)sin 4θ＋cos 4θ＝(sin 2θ＋cos 2θ)2－2sin 2θcos 2θ ＝1－2×⎝⎛⎭⎫382＝2332.11．(1)已知tan α＝3，求23sin 2α＋14cos 2α的值．(2)已知1tan α－1＝1，求11＋sin αcos α的值．解：(1)23sin 2α＋14cos 2α＝23sin 2α＋14cos 2αsin 2α＋cos 2α＝23tan 2α＋14tan 2α＋1＝23×32＋1432＋1＝58.(2)由1tan α－1＝1得tan α＝2，11＋sin αcos α＝sin 2α＋cos 2αsin 2α＋cos 2α＋sin αcos α＝tan 2α＋1tan 2α＋tan α＋1＝22＋122＋2＋1＝57. (黄冈2017届期末)已知函数y ＝sin(πx ＋φ)－2cos(πx ＋φ)(0<φ<π)的图象关于直线x ＝1对称，则sin2φ＝( ) A.35 B ．－35 C.45 D ．－45解：y ＝f (x )＝sin(πx ＋φ)－2cos(πx ＋φ)＝5sin(πx ＋φ－α)，其中sin α＝25，cos α＝15， 因为函数的图象关于x ＝1对称，所以y ＝f (1)＝±5，即π＋φ－α＝π2＋k π，k ∈Z ，sin2φ＝sin2⎝⎛⎭⎫α－π2＋k π＝sin(2α－π＋2k π)＝sin(2α－π)＝－sin2α＝－2sin αcos α＝－2×25×15＝－45 .故选D .。
高考数学复习讲义：同角三角函数的基本关系与诱导公式
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3．已知 tanπ6－α＝ 33，则 tan56π＋α＝________. 解析：tan56π＋α＝tanπ－π6＋α＝tan[ π－( π6－α ) ] ＝－tanπ6－α＝－ 33.
答案：－
3 3
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研透高考·深化提能
1．利用诱导公式把任意角的三角函数转化为锐角三角函 数的步骤
也就是：“负化正，大化小，化到锐角为终了．”
“切”的表达式，进行求值．常见的结构有：
①sin α，cos α的二次齐次式(如asin2α＋bsin αcos α＋
ccos2α)的问题常采用“切”代换法求解；
②sin
α，cos
α的齐次分式如acssiinn
α＋bcos α＋dcos
αα的问题常采
用分式的基本性质进行变形．
(2)切化弦：利用公式tan
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(2)已知－π2<α<0，sin α＋cos α＝15，则cos2α－1 sin2α＝(
)
7
25
A.5
B. 7
7
24
C.25
D.25
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[解析] ∵sin α＋cos α＝15，
∴1＋2sin αcos α＝215，
∴2sin αcos α＝－2245，(cos α－sin α)2＝1＋2245＝4295.
3
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突破点一 同角三角函数的基本关系
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抓牢双基·自学回扣
[基本知识]
1．同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1(α∈R ) ． (2)商数关系： tan α＝csions ααα≠kπ＋π2，k∈Z .
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2．同角三角函数基本关系式的应用技巧
同角三角函数基本关系
【基础知识精讲】1.同角三角函数的基本关系式根据三角函数定义，容易得到如下关系式(1)平方关系 sin 2α+cos 2α=11+tan 2α=sec 2α1+cot 2α=csc 2α(2)乘积关系 sin α=cos α²tan α,cos α=sin α²cot αcot α=cos α²csc α,csc α=cot α²sec α sec α=csc α²tan α,tan α=sec α²sin α(3)倒数关系 sin α²csc α=1,cos α²sec α=1,tan α²cot α=1说明：(1)以上关系式仅当α的值使等式两边都有意义时才能成立.例如，当α=2πk (k∈Z)时，tan α²cot α=1就不成立.另外，要注意是同角，如sin 2α+cos 2α=1，但sin 2α+cos 2β=1就不恒成立.(2)对公式除了顺用，还应学会逆用、变用、活用.例如，由sin 2α+cos 2α=1变形为cos 2=1-sin 2α,cos α=±α2sin 1-,sin α²cos α=21)cos (sin 2-+αα等等.对于cos α=±α2sin 1-,“±”号的选取要由α所在象限来确定，当α在第一或第四象限时，取“+”；当α在第二或第三象限时，取“-”.而对于其他形式的公式就不必考虑符号问题.如α是第二象限角，tan α=ααcos sin 而不能认为tan α=-ααcos sin (因为α是第二象限角，所以tan α为负值).其实α在第二象限，sin α为正值，cos α为负值，所以tan α=ααcos sin 结果自然得负值，如果再加“-”，结果就得正值了.(3)要注意“1”的代换.如可用sin 2α+cos 2α,sec 2α-tan 2α,sin α²csc α,tan α²cot α等去代换1.(4)记忆方法(如图).首先某函数与它的余函数在同一水平线上. ①在对角线上的两个三角函数值的乘积等于1，如tan α²cot α=1. ②在阴影的三角形中，上面两个顶点上的三角函数值的平方和等于下面顶点上的三角函数值的平方，如1+tan 2α=sec 2α。
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【典例1】 (1)已知sinα=
1 3
,且α为第二象限角,求
tanα;
(2)已知sinα=
1 3
,求tanα;
(3)已知sinα=m(m≠0,m≠±1),求tanα.
[解 ]1 sin 1 , 为 第 二 象 限 角,
3
cos
1 sin 2
1
1 3
2
22 3
,
tan sin 2 . cos 4
1 m(当2 α为第一､四象限角时
取正号,当α为第二､三象限角时取负号),
所以当α为第一､四象限角时,tanα= 当α为第二､三象限角时,tanα=
m 1 m ;2 m. 1 m2
[反思感悟] 本例属同角三角函数关系式的基本题,关键是掌
握住“先平方,后作商”的原则,先求与sinα的平方关系相
第十七讲 同角三角函数的基本关系
式及诱导公式
回归课本
1.同角三角函数基本关系式
平方关系:sin2α+cos2α=1;
商数关系:tanα=
sin . co s
2.α相关角的表示 (1)终边与角α的终边关于原点对称的角可以表示为π+α; (2)终边与角α的终边关于x轴对称的角可以表示为-α(或2π-
4.点P(tan2008°,cos2008°)位于( ) A.第二象限 B.第一象限 C.第四象限 D.第三象限 解析:∵2008°=6×360°-152°, ∴tan2008°=-tan152°=tan28°>0, cos2008°=cos152°<0,∴点P在第四象限. 答案:C
5.若 cos2sin5,则 tan等 于
=-sin30°= 1 . 2
[反思感悟] 如何运用十字诀,可通过下例来体会:设β=α- 且α
3 , 为锐角,则如图所示,可知β可看成是第二象限角,而在第二
2 sin 1 0, 为 第 一 或 第 二 象 限 角.
3
当 为 第 一 象 限 角 时 , cos 1 sin 2 2 2 , tan 2 .
3
4
当 为 第 二 象 限 角 时 ,由 1 知 tan 2 .
4
(3)∵sinα=m(m≠0,m≠±1),
∴cosα=±
1 sin2=±
α); (3)终边与角α的终边关于y轴对称的角可以表示为π-α;
(4)终边与角α的终边关于直线y=x对称的角可以表示为 -α2 .
3.诱导公式 (1)公式一 sin(α+k·2π)=sinα,cos(α+k·2π)=cosα,tan(α+k·2π)=t
anα,其中k∈Z. (2)公式二 sin(π+α)=-sinα,cos(π+α)=-cosα, tan(π+α)=tanα.
【典例2】已知是第三象限角,且
f
(
)
sin(
)cos(2
)tan
3
2
.
cot( )sin( )
1化简f ; 2若coscos32 15,求f 的值; 3若1860,求f 的值.
[分析] 显然应用到诱导公式,既可以直接从诱导公式中合理 选用,也可以直接运用十字诀,一般来说用后一方法记忆负 担较轻.
2
时原函数值的符号.
考点陪练
1.(2010·全国Ⅰ)cos300°=( )
A. 3 2
B. 1 2
C.1
D. 3
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2
2
解析:cos300°=cos(360°-60°)=cos60°= 1 2
答案:C
,故选C.
2.若sin4,且是第二象限角,则tan的值等于
5
A.4 B.3
3
4
C.3 4
D.4 3
sin(2 )cos(4 )tan(3 )
[解]1f
2
2
2
cot(2 )sin(2 )
2
2
sin cos cot cos. (cot)sin
2 cos32cos(32)sin,sin1 5,
cos 5212 6,f()2 6.
55
5
(3)∵-1860°=-21×90°+30°, ∴f(-1860°)=-cos(-1860°) =-cos(-21×90°+30°)
联系的cosα,再由公式求tanα.在(3)中,α为第四象限角,但
tanα=
m
1 m,原2 因是m此时小于0,所以形式上tanα的表
达式前面仍不带负号.
类型二
诱导公式及其应用
解题准备:诱导公式起着变名､变角､变号的作用,应用诱导公 式,着眼点应放在“角”上,重点是“函数名称”和“正负 号”的判断.求任意角的三角函数值问题,都可以利用诱导 公式最终化为锐角三角函数的求值问题,具体步骤是:“化 负为正—化大为小—锐角求值”.
即α+k·2π(k∈Z),-α,π±α的三角函数值,等于α的同名函数值 ,前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号; ±α的正 弦(
2
余弦)函数值,分别等于α的余弦(正弦)函数值,前面加上一个把α 看成锐角时原函数值的符号.
总口诀为:奇变偶不变,符号看象限,其中“奇､偶”是指“k· ±α(k∈Z)”中k的奇偶性;“符号”是把任意角α看作锐角
解析: 为第二象限角,
cos
1 sin2
1
4 5
2
3, 5
tan
sin cos
4 5
5 3
4 3
.
答案:A
3.已知sin 3
13,则cos6
的值为
A.1
B.1
3
3
C.2 3 D.2 3
3
3
解析 :
6
2
3
,
cos
6
cos
2
3
sin
3
1 3
.
答案:B
(3)公式三 sin(-α)=-sinα,cos(-α)=cosα,tan(-α)=-tanα. (4)公式四 sin(π-α)=sinα,cos(π-α)=-cosα, tan(π-α)=-tanα.
(5)公式五
sin 2 cos,cos 2 sin .
(6)公式六
sin 2 cos,cos 2 sin .
A.1 B.2 C.1 D.2
2
2
解析:
cos2sin sin2cos2 1,
5, sin2(
52sin)2 1,
sin
2 5,
5 tan
2.
cos
5. 5
答案:B
类型一 利用同角三角函数基本关系式化简求值
解题准备:本考点的试题难度不大,而对公式的应用要求准确､ 灵活,尤其是利用平方关系sin2α+cos2α=1及其变形形式 sin2α=1-cos2α或cos2α=1-sin2α进行开方运算时,特别注意符 号的判断.如果所给的三角函数值是字母给出的,且没有指 定角在哪个象限,那么就需要结合分类讨论的思想来确定 其他角的三角函数值.