定义构造函数的四种方法
构造函数详解
这样便可以用默认或特定的初始值创建CoOrd对象,如下所示:CoOrds p1=new CoOrds();CoOrds p2=new CoOrds(5,3);注意:此类包含公共数据成员。
建议不要使用这种编程方法,因为它使程序中任何位置的任何方法都可以不受限制、不经验证地访问对象的内部组件。
数据成员通常应当为私有的,并且只应当通过类方法和属性来访问。
实例:(类)class Employee{private string name;public string Name{get{return name;}set{name=value;}}private int age;public int Age{get{return age;}set{age=value;}}private int gongzhi;public int Gongzhi{get{return gongzhi;}//set{gongzhi=value;}}//无参数构造函数public Employee(){}public Employee(string_name,int_age,int_gongzhi){//如果变量的属性是只读的,就直接给变量本身赋值=_name;this.Age=_age;this.gongzhi=_gongzhi;}}实例:(类)//结构,结构是值类型的//结构在定义变量时不能给定初始值struct Employeestruct{private string name;public string Name{get{return name;}set{name=value;}}private int age;public int Age{get{return age;}set{age=value;}}private int gongzhi;public int Gongzhi{get{return gongzhi;}//set{gongzhi=value;}}//无参数构造函数//public Employeestruct()//{//}//有参数构造函数public Employeestruct(string_name,int_age,int_gongzhi){//如果要在结构中使用构造函数则必须给所有的变量赋值(在构造函数中赋值)=_name;this.age=_age;this.gongzhi=_gongzhi;}}私有构造函数:私有构造函数是一种特殊的实例构造函数。
高中数学6种构造函数法
高中数学6种构造函数法1、几何体构造法:几何体构造法是高中数学中常见的构造函数,即根据给定的条件,从原点出发,通过叠加若干条定义运算,利用实际工具画出题目要求构造的图形或者要求构造的几何体。
例如:根据给定的定义三角形ABC,在其外接圆上构造一个直角,使得构造出的四边形的一条边和三角形的一条边等长。
2、用线段构造法:用线段构造法是高中数学中常见的构造函数,是根据给定的条件,几何体和直线的位置,及题目要求的其他条件,按照一定的步骤和规律来画出要构造的几何体或其他东西。
例如:依据给定的线段AB,在其上端点A处构造一个半径等于原线段AB一半长度的圆,使得线段AB的端点A和圆的交点坐标相同;并在构造出的圆上构造一个到线段AB 端点B距离等于原线段AB一半长度的直线段。
3、从原点构造法:从原点构造法是高中数学中常见的构造函数,是指从某一原点出发,根据给定的情况,经过若干步的构造,建立若干定义关系,确定一个几何体的形状和大小,并与给定的几何体完全相同或满足给定条件的几何体。
例如:在原点构造一个半径等于原点O到给定点A的距离的圆,从这个圆上构造与 OA 相等的直线段,在这个直线段依次画上给定的点B、C。
4、标准图形构造法:标准图形构造法是在高中数学中学习的构造函数,即根据给定的它定义的图形和要求画出的图形之间的规律,采用实际的工具画出要求的图形。
例如:构造出与正方形相等的长方形(15cm×20cm),方法为:在一根边长15cm的尺子上划分出4等分点,然后再在另一根尺子上划分出5等分点,将它们相互链接,即可构造出长方形。
5、参数方程构造法:参数方程构造法是高中数学中学习的构造函数,即根据给定的参数条件所决定的几何体的特征,可利用参数方程的技巧,根据参数条件用参数方程来求出构造出几何体的函数,并且利用函数求出相应的构造过程,或者利用参数方程既定的几何图形,求出给定点的位置。
例如:求出构造出半径为 2 的半圆的函数,可以用参数方程 x = 2cos t,其中x 为构造出的半圆的横坐标,t 为角度参数。
高中数学常见函数构造
高中数学常见函数构造以高中数学常见函数构造为题,我们来探讨一下数学中常见的函数及其构造方法。
一、线性函数线性函数是最简单的函数之一,其表达式为f(x) = kx + b,其中k 和b为常数。
线性函数的图像是一条直线,其斜率k决定了直线的倾斜方向和斜率的大小,截距b则决定了直线与y轴的交点位置。
二、二次函数二次函数是高中数学中重要的函数之一,其表达式为f(x) = ax² + bx + c,其中a、b和c为常数且a ≠ 0。
二次函数的图像是一条抛物线,其开口方向由a的正负决定,开口向上为a > 0,开口向下为a < 0。
抛物线的顶点坐标为(-b/2a, f(-b/2a)),对称轴为x = -b/2a。
三、指数函数指数函数是以底数为常数的指数函数,其表达式为f(x) = a^x,其中a为常数且a > 0且a ≠ 1。
指数函数的图像是一条过点(0, 1)的递增曲线。
指数函数的特点是在自变量增大时,函数值以指数形式增长。
四、对数函数对数函数是指数函数的反函数,其表达式为f(x) = logₐx,其中a为常数且a > 0且a ≠ 1。
对数函数的图像是指数函数的镜像,其特点是在自变量增大时,函数值以对数形式增长。
对数函数的底数a 决定了函数的增长速度。
五、三角函数三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数等。
这些函数的图像是周期性的曲线。
正弦函数的表达式为f(x) = sin(x),余弦函数的表达式为f(x) = cos(x),正切函数的表达式为f(x) = tan(x)。
三角函数的图像在一个周期内重复,其中正弦函数和余弦函数的周期为2π,正切函数的周期为π。
六、反三角函数反三角函数是三角函数的反函数,包括反正弦函数、反余弦函数和反正切函数等。
这些函数的图像是非周期性的曲线。
反三角函数的表达式为f(x) = arcsin(x),f(x) = arccos(x)和f(x) = arctan(x)。
微专题 常用构造函数的四种方法 2023高考数学二轮复习课件
所以 H(x0)>H1e,即-x02-x0+1>-e12-1e+1, 而-e12-1e+1>1e,所以-x02-x0+1>1e,即 F(x)min=F(x0)>1e=G(x)max. 故当x>0时,F(x)>G(x)恒成立, 所以f(x)>g(x)成立,得证. |技法点拨| 由本例知,将问题转化为证明 xln x+x2+1>exx,构造双函数,即设 G(x) =exx(x>0),求导判断其单调性,求解最大值,再设 F(x)=xln x+x2+1,求导 判断其单调性,求解最小值,从而可证明不等式.
目录
|技法点拨| 与ex和ln x相关的常见同构模型
(1)aea≤bln b⇔ealn ea≤bln b,构造f(x)=xln x(或aea≤bln b⇔aea≤(ln b)eln b, 构造g(x)=xex);
(2)
ea a
<
b ln b
⇔
ea ln ea
<
b ln b
,
构
造
f(x)
=
x ln x
目录
lnx-1a在 x∈12,1上恒成立.令 g(x)=x-lnx-1ax∈12,1,则 g′(x)= x-x-1a-1a 1,又 x∈12,1,a>2,所以 x-1a-1<0,x-1a>0,即 g′(x)<0,故 g(x)在12,1上单调递减,所以 ln a≤g(x)min=g(1)=1-ln1-1a,故 ln a+ ln1-1a≤1,即 ln(a-1)≤1,可得 a≤e+1.综上,2<a≤e+1,故 a 的最大值 为 e+1.故选 A.
目录
|技法点拨| 构造新函数的方法
题目中出现含f(x),f′(x)的不等式,一般应考虑逆用导数的运算法则构造 新函数,然后再逆用单调性等解决问题. (1)对于f′(x)>a,构造h(x)=f(x)-ax+b; (2)对于xf′(x)+f(x)>0(<0),构造h(x)=xf(x);一般地,对于xf′(x)+nf(x)> 0(<0),构造h(x)=xnf(x); (3)对于 xf′(x)-f(x)>0(<0),构造 h(x)=f(xx);一般地,对于 xf′(x)-nf(x) >0(<0),构造 h(x)=f(xxn);
导数中的构造函数(最全精编)
导数中的构造函数(最全精编)导数小题中构造函数的技巧函数与方程思想、转化与化归思想是高中数学思想中比较重要的两大思想。
在导数题型中,构造函数的解题思路恰好是这两种思想的良好体现。
下面我将分享导数小题中构造函数的技巧。
一)利用 $f(x)$ 进行抽象函数构造1、利用 $f(x)$ 与 $x$ 构造;常用构造形式有 $xf(x)$ 和$\frac{f(x)}{x}$。
在数导数计算的推广及应用中,我们对 $u\cdot v$ 的导函数观察可得,$u\cdot v$ 型导函数中体现的是“加法”,$\frac{u}{v}$ 型导函数中体现的是“除法”。
由此,我们可以猜测,当导函数形式出现的是“加法”形式时,优先考虑构造$u\cdot v$ 型;当导函数形式出现的是“除法”形式时,优先考虑构造 $\frac{u}{v}$ 型。
我们根据得出的“优先”原则,看一看例1和例2.例1】$f(x)$ 是定义在 $\mathbb{R}$ 上的偶函数,当$x0$ 的解集为?思路点拨:出现“加法”形式,优先构造 $F(x)=xf(x)$,然后利用函数的单调性、奇偶性和数形结合求解即可。
解析】构造 $F(x)=xf(x)$,则 $F'(x)=f(x)+xf'(x)$。
当$x0$ 的解集为 $(-\infty,-4)\cup(0,4)$。
例2】设 $f(x)$ 是定义在 $\mathbb{R}$ 上的偶函数,且$f(1)=2$。
当 $x0$ 恒成立。
则不等式 $f(x)>0$ 的解集为?思路点拨:出现“除法”形式,优先构造$F(x)=\frac{f(x)}{x-f(x)}$,然后利用函数的单调性、奇偶性和数形结合求解即可。
解析】构造 $F(x)=\frac{f(x)}{x-f(x)}$,则$F'(x)=\frac{xf'(x)-2f(x)}{(x-f(x))^2}$。
因为 $xf'(x)-f(x)>0$,所以 $F'(x)>0$,$F(x)$ 在 $(-\infty,0)$ 上单调递增。
导数中的构造函数(最全精编)
f (x) enx
,
F
'(x)
f
' (x)enx nenx e2nx
f
(x)
[
f
' (x) nf enx
(x)]
;
结论:1、出现 f '(x) nf (x) 形式,构造函数 F (x) enx f (x) ;
2、出现
f '(x) nf (x) 形式,构造函数
F(x)
f (x) enx
f
(x) ex
是比较简单常见的
f (x) 与ex 之间的函数关系式,如果碰
见复杂的,我们是否也能找出此类函数的一般形式呢?
F (x) enx f (x) , F ' (x) n enx f (x) enx f ' (x) enx [ f ' (x) nf (x)];
F (x)
f (2 x) f (x)e22 x F (2 x) F (x) F (x) 关于 x 1 对称,根据单调性和图像, 可知选 C.
5
(3) 利用 f (x) 与 sin x, cos x 构造.
sin x, cos x 因为导函数存在一定的特殊性,所以也是重点考察的范畴,我们一 起看看常考的几种形式.
e2
x
【变式提升】若定义在 R 上的函数 f (x) 满足 f ' (x) 2 f (x) 4 0, f (0) 1, 则不等式 f (x) e2 x 2 的解集为
❀❀❀思路点拨:利用通式构造函数时考虑 4 如何转化.构造函数 F (x) fe(2xx ) e22x
x
v
函 数导数计算的推广及应用,我们对u
高中数学:构造函数方法(经典)
高中数学:构造函数常见构造函数方法:1.利用和差函数求导法则构造(1))()()()0(0)()(x g x f x F x g x f +=⇒<>'+'或;(2))(-)()()0(0)(-)(x g x f x F x g x f =⇒<>''或;(3)kx x f x F k x f -=⇒<>')()()(k )(或;2.利用积商函数求导法则构造(1))()()()0(0)()()(g )(x g x f x F x g x f x x f =⇒<>'+'或;(2))0)(()(g )()()0(0)()(-)(g )(≠=⇒<>''x g x x f x F x g x f x x f 或;(3))()()0(0)()(x x xf x F x f x f =⇒<>+'或;(4))0(x)()()0(0)(-)(x ≠=⇒<>'x x f x F x f x f 或;(5))()()0(0)(n )(x x f x x F x f x f n =⇒<>+'或;(6))0(x)()()0(0)(n -)(x n ≠=⇒<>'x x f x F x f x f 或;(7))(e )()0(0)()(x f x F x f x f x =⇒<>+'或;(8))0(e )()()0(0)(-)(x≠=⇒<>'x x f x F x f x f 或;(9))(e )()0(0)(k )(x f x F x f x f kx =⇒<>+'或;(10))0(e )()()0(0)(k -)(kx≠=⇒<>'x x f x F x f x f 或;(11))(sin )()0(0tanx )()(x xf x F x f x f =⇒<>'+或;(12))0(sin sinx)()()0(0tan )(-)(≠=⇒<>'x x f x F x x f x f 或;(13))0(cos cos )()()0(0)(tanx )(≠=⇒<>+'x xx f x F x f x f 或;(14))(cos )()0(0)(tanx -)(x f x F x f x f =⇒<>'或;(15)()+lna ()0(0)()()x f x f x F x a f x '><⇒=或;(16)()()lna ()0(0)()x f x f x f x F x a '-><⇒=或;考点一。
定义函数的几种方法
定义函数的几种方法函数是编程中用来封装可重复使用的代码块的一种机制。
函数可以接受输入参数,并通过执行一系列的操作来产生输出结果。
在大多数编程语言中,函数是代码重用和模块化开发的主要方式之一、下面是函数定义的几种方法。
1.无参数无返回值函数:这种函数接受没有任何输入参数,也不返回任何结果。
它可以用来执行一些特定的操作或打印信息。
例如:```def say_hello(:print("Hello, world!")```此函数称为`say_hello`,它没有参数,也没有返回值。
调用该函数时,它会打印"Hello, world!"。
2.带参数无返回值函数:这种函数接受一个或多个参数作为输入,但不返回任何结果。
它可以在执行操作时使用这些参数。
例如:```def greet_person(name):print("Hello, " + name + "!")```此函数称为`greet_person`,它接受一个名为`name`的参数。
调用该函数时,它会打印"Hello, "并附加`name`的具体值。
3.无参数带返回值函数:这种函数不接受任何参数,但会返回一个结果。
它通过执行一些操作来生成结果,并将其返回给调用者。
例如:```def get_current_year(:year = 2024return year```此函数称为`get_current_year`,它没有参数并返回一个代表当前年份的整数。
调用该函数时,它会返回整数值20244.带参数带返回值函数:这种函数接受一个或多个参数,并返回一个结果。
它执行一些操作并使用这些参数生成结果。
例如:```def square_number(x):return x * x```此函数称为`square_number`,它接受一个名为`x`的参数,并返回`x`的平方值。
必须掌握的7种构造函数方法——合理构造函数,巧解导数难题
必须掌握的7种构造函数方法——合理构造函数,巧解导数难题近几年高考数学压轴题,多以导数为工具来证明不等式或求参数的范围,这类试题具有结构独特、技巧性高、综合性强等特点,而构造函数是解导数问题的最基本方法,但在平时的教学和考试中,发现很多学生不会合理构造函数,结果往往求解非常复杂甚至是无果而终.因此笔者认为解决此类问题的关键就是怎样合理构造函数,本文以近几年的高考题和模考题为例,对在处理导数问题时构造函数的方法进行归类和总结,供大家参考.一、作差构造法1.直接作差构造评注:本题采用直接作差法构造函数,通过特殊值缩小参数范围后,再对参数进行分类讨论来求解.2.变形作差构造二、分离参数构造法分离参数是指对已知恒成立的不等式在能够判断出参数系数正负的情况下,根据不等式的性质将参数分离出来,得到一个一端是参数,另一端是变量的不等式,只要研究变量不等式的最值就可以解决问题.三、局部构造法1.化和局部构造2.化积局部构造四、换元构造法换元构造法在处理多变元函数问题中应用较多,就是用新元去代替该函数中的部分(或全部)变元.通过换元可以使变量化多元为少元,即达到减元的目的.换元构造法是求解多变元导数压轴题的常用方法.评注:本题的两种解法通过将待解决的式子进行恰当的变形,将二元字母变出统一的一种结构,然后用辅助元将其代替,从而将两个变元问题转化一个变元问题,再以辅助元为自变量构造函数,利用导数来来求解。
其中解法1、解法2还分别体现了化积局部构造法和变形作差构造法.五、主元构造法主元构造法,就是将多变元函数中的某一个变元看作主元(即自变量),将其它变元看作常数,来构造函数,然后用函数、方程、不等式的相关知识来解决问题的方法.六、特征构造法1.根据条件特征构造2.根据结论特征构造七、放缩构造法1.由基本不等式放缩构造2.由已证不等式放缩构造评注:本题第二问是一道典型且难度比较大的求参问题,这类题目很容易让考生想到用分离参数的方法,但分离参数后利用高中所学知识无法解决,笔者研究发现不能解决的原因是分离参数后,出现了“0/0型”的式子,解决这类问题的有效方法就是高等数学中的洛必达法则;若直接构造函数,里面涉及到指数函数、三角函数及高次函数,处理起来难度很大.本题解法中两次巧妙利用第一问的结论,通过分类讨论和假设反正,使问题得到解决,本题也让我们再次体会了化积局部构造法的独特魅力.。
构造函数解不等式问题的四种策酪
构造函数解不等式问题的四种策酪解不等式问题的四种常用策略如下:策略一:移项法移项法是解不等式问题的最基本的策略之一、它的基本思想是通过移动项的位置,使不等式中只剩下一个未知数,从而能够直观地找到不等式的解集。
具体步骤如下:1. 合并同类项,将不等式转化为形如 ax + b < c 或 ax + b > c 的形式。
2. 移动常数项,将不等式转化为形如 ax < c 或 ax > c 的形式。
3.移动系数项,将不等式转化为形如x<c/a或x>c/a的形式。
4.根据不等式的不同性质(大于或小于号),确定解集的范围。
策略二:乘法法则乘法法则是解不等式问题的另一种常用策略。
它的基本思想是通过对不等式两边同乘一个正数或负数,改变不等式的方向,从而求得不等式的解集。
具体步骤如下:1.找到合适的乘法因子,使得乘法后的不等式中的未知数的系数为12.根据乘法因子的正负性,确定解集的范围。
策略三:绝对值法绝对值法是解不等式问题的一种常用策略,特别适用于含有绝对值符号的不等式。
它的基本思想是通过分析绝对值的取值范围,将不等式转化为多个子不等式,并通过求解子不等式来确定不等式的解集。
具体步骤如下:1.将不等式中的绝对值表达式拆分成两种情况,即绝对值为正和绝对值为负。
2.分别解这两个不等式,并根据解的情况确定解集的范围。
策略四:容斥原理容斥原理是解不等式问题的一种复杂但强大的策略,特别适用于多个不等式的交集或并集问题。
它的基本思想是通过使用排除的方法,将多个不等式的解集通过运算得到问题的最终解集。
具体步骤如下:1.将不等式问题转化为多个不等式的交集或并集问题。
2.使用容斥原理,逐步排除不符合条件的解集,最终得到问题的解集。
这四种策略在解不等式问题时可以相互结合使用,根据具体问题的特点和要求选择合适的策略。
通过灵活运用这些策略,可以更加高效地解决各种不等式问题。
几种高等数学中的构造函数法1汇总
编号几种高等数学中的构造函数法摘要构造函数法在高等数学中是一种重要的思想方法,它体现了数学发现、类比、化归、猜想、实验和归纳等思想,对于开阔思路,培养分析问题、解决问题和创新的能力是有益的.本文结合实例简单的介绍这一方法及其应用.关键词构造;分析;数形结合法;作差法;观察法中图分类号 O172The constructor of higher mathematicsChengyan Instructor Wang Renhu(N. O. 06, Class 1 of 2009. Specialty of Mathematics and Applied Mathematics, Department ofMathematics, Hexi University, Zhangye, Gansu, 734000, China)Abstract The constructor method in higher mathematics is an important way of thinking,Study found, analogy, and guess, experiment and induction, etc,To widen, training analysis problem, problem-solving ability and the innovation is beneficial.This paper briefly introduced the method and its application.Key words tectonic;analysis;Several form combination;For poor method;observation 1 分析法分析法即从结论出发,从后向前一步一步的进行分析,通过对条件和结论的分析,构造出辅助函数,架起一座连接条件和结论的桥梁,最后获得证明.例1.1[1] 拉格朗日中值定理如果函数f(x)在闭区间上连续,在开区间内可导,那么在内至少有一点使等式成立.分析由于罗尔定理是这一定理的特例,于是定理的证明归结为利用罗尔定理.这里关键是要引进一个满足罗尔定理条件的新的函数F(x).欲证需证f(ξ)-'f(b)-f(a)b-af(b)-f(a)⎡=0,而等式左边可转化为⎢f(x)-b-a⎣⋅x⎤,于是,可取函数x⎥⎦x=ξ'F(x)=f(x)-f(b)-f(a)b-a,容易验证F(x)满足罗尔定理的条件,顺此思路,即可证本定理.例1.2[3] 设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导,又f(x)不是线性函数,且f(b)>f(a).试证ξ∈(a,b),使得f'(ξ)>f(b)-f(a)b-a.f(b)-f(a)b-a(x-a)分析过点(a,f(a))与(b,f(b))的线性函数为y=f(a)+是线性函数,则F(x)≡f(x)-f(a)-f(b)-f(a)b-a,因f(x)不(x-a)≠0,只要证明F'(ξ)=f'(ξ)-f(b)-f(a)b-a>0即可.f(b)-f(a)b-a(x-a)证明设辅助函数F(x)=f(x)-f(a)-,则F(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,F(a)=F(b).由于F(x)≠0,存在x0∈(a,b),使F(x0)≠0.当F(x0)>0时,由Lagrange中值定理,∃ξ∈(a,x0)使F'(ξ)=即f'(ξ)>F(b)-F(a)b-aF(x0)-F(a)x0-a>0,.F(b)-F(x0)b-x0>0,即f(ξ)>'当F(x0)<0时,同理, ∃ξ∈(x0,b),使F'(ξ)=F(b)-F(a)b-a.例1.3[5] 计算n阶行列式a+x1D=a+x1a+x1na+x2a+x2a+x2na+xna+xna+xnn.分析该题直接利用行列式“两项和性质”显然无法实现,如果后一列乘(-1)加到前一列,虽然每一列有公因式可提,但行列式中的元素却变得更复杂,无法进行计算.但从行列式D中可以捕捉到“范德蒙行列式的影子”,所以,应想办法构造一个行列式,既让它等于D,又能转化为范德蒙行列式.于是,有下列解法.解构造行列式,即先将原n阶行列式D加边成一个n+1阶行列式,100 0n21a+x1a+x1a+x1n2221a+x2a+x2a+x2n221a+xna+xn, a+xn2n2然后将此n+1阶行列式第一行乘-ai(i=1,2,…,n)加到第i+1行,再将所得行列式按第一列拆成两个n+1阶行列式相减,并根据范德蒙行列式可得,1-a1x1x1x11x1x1x1221x2x2x21x2x2x2221xn21xnxn xnn2D=-a2-a20nnn1a21x1x1x121x2x2x221xnxn xnn2=0xn--a xnnnnannn=2x1x2 xn∏(x1≤i≤j≤ni-xj)-∏(xi-a)⋅i=1n∏(x1≤i≤j≤ni-xj)n⎡⎤=∏(xi-xj)⎢2x1x2 xn-∏(xi-a)⎥.1≤i≤j≤ni=1⎣⎦2 数形结合法建立在数形结合基础上的几何图像常能引导人们去获得解决问题的方法,通过对几何图像的观察,构造出符合条件的辅助函数,使问题得以解决.例2.1[2] 设f(x)在[a,+∞)内连续、可导,且当x>a时f'(x)>k>0(k为常数),如果f(a)⎤⎡f(a)<0,则方程f(x)=0在⎢a,a-k⎥⎣⎦内有且仅有一个根,如图2.线段AB的斜率刚好为k,y=f(x)在AB的上方,因此很容易找到辅助函数(曲线与直线之差)证明 (1)存在性.作辅助函数F(x)=f(x)-[k(x-a)+f(a)],则F(a)=0,f(a)⎤f(a)⎤⎡⎡, F⎢a-=fa-⎥⎢⎥kk⎣⎦⎣⎦因为F'(x)=f'(x)-k>0,所以F(x)单调增加,故f(a)⎤f(a)⎤⎡⎡F⎢a-=fa->F(a)=0, ⎥⎢⎥k⎦k⎦⎣⎣因此,由f(a)<0,f⎢a-⎣根.(2)唯一性. ⎡f(a)⎤>0k⎥⎦及连续函数的性质,f(x)在⎢a,a-⎣⎡f(a)⎤k⎥⎦内至少有一个由f'(x)>0,f(x)单调增加,所以f(x)在⎢a,a-⎣⎡f(x)⎤k⎥⎦内至少有一个根,问题得证.例2.2[4] 某人身高1.5米,站立在离河岸3米处往水中看去恰好看到对岸河边一根电线杆在水中的倒影,已知水面低于河岸0.5米,河宽15米,求电线杆的高度.解我们如下构造图形,河宽为FD,离河岸CB处身高为AB的人从A点往河中看,正好看到电线杆GH在水中整个倒影FM.F,E,D点在水面所处的直线上, H,C,B在河岸所处的直线上. 其中AB=1.5m,BC=3m,FE+ED=15m,HF=CD=0.5m,求GH.易证∆ABC∽∆CDE,∆ABC∽∆GEF.因此 EDCD=BCAB⇒ED=1m,GH+HFEF=ABBC⇒GH=6.5m,即电线杆的高为6.5m.例2.3[4] 设x,y,z都在(0,1)内,求证:x(1-y)+y(l-z)+z(1-x)<1.分析证明代数不等式,直接从条件人手难达目的,注意结论并考虑条件可知:x,y,z,1-y,1-z,1-x均为正数,且似两线段积之和,给每个正数赋予线性形象,从线性联想三角形面积公式S=12absinc构造一边长为1的正三角形ABC.在AB,BC,CD上各取一点P,Q,E使得AP=x,BQ=z,CD=y,则BP=1-x,CQ=1-z,AE=1-y,由图易知S∆ABC=S∆APE+S∆BPQ+S∆CQE不等式成立.3 作差法通过作差的方法构造辅助函数对于形如f(x)>g(x)(或f(x)<g(x))的函数不等式,常构造辅助函数F(x)=f(x)-g(x)(或F(x)=g(x)-f(x))用单调性证之,其步骤为:1.构造函数F(x)=f(x)-g(x);2.证F'(x)>0(或<0)得出单调性;3.求出f(x)在区间端点之一处的函数值或极限值;4.最后根据函数单调性及区间端点的函数值得出所证的不等式. 例3.1[2] 证明当x>0时,x>ln(1+x).证明令F(x)=x-ln(1+x), x≥0,当x>0时F'(x)=1-11+x=x1+x>0,所以F(x)在(0,∞)上单调递增.又x>ln(1+x).F(0)=0,故当x>0时,F(x)>F(0)=0,即x-ln(1+x)>0,所以例3.2[2] 设f(x)在[a,b]上连续且单调增加,求证⎰baxf(x)dx≥a+b2⎰baf(x)dx分析将要证明的不等式中的b换成x,构造变上限定积分F(x)=⎰xatf(t)dt-a+x2⎰xaf(t)dt,然后证明F(b)≥0.证明令F(x)=F(x)=xf(x)-'⎰xatf(t)dt-a+x2a+x2⎰xaf(t)dt,则F(a)≥0,且对任意的x∈[a,b],有1212⎰xaf(t)dt-f(x)=x-a2f(x)-⎰xaf(t)dt=12⎰[f(x)-axf(t)]dt≥0因此,f(x)在[a,b]上单调递增,又a≤t≤x,所以f(x)≥f(t). 可见F(x)单调递增,从而F(b)≥F(x)=0,即得⎰xf(x)dx≥aba+b2⎰baf(x)dx.例3.3[3] 设f(x)在[a,b]上连续且a<b<c<d,证明在(a,b)内至少存在一点ξ使得pf(c)+qf(d)=(p+q)f(ξ)(p,q)为正常数.证明作辅助函数F(x)=(p+q)f(x)-pf(c)-qf(d),因为F(x)在[c,d]⊂[a,b]上连续,又F(c)=q[f(c)-f(d)],F(d)=p[f(d)-f(c)], 且p,q为正常数,所以F(c)⋅F(d)=-pq[f(c)-f(d)]≤0.2(1)当f(c)=f(d)时,F(c)=F(d)=0,则当ξ取c或d时,F(ξ)=0. 即pf(c)+qf(d)=(p+q)f(ξ).(2)当f(c)≠f(d)时,F(c)⋅F(d)<0,由零点定理,至少存在一点ξ∈(c,d)⊂(a,b),使F(ξ)=0,即pf(c)+qf(d)=(p+q)f(ξ)此方法在证明函数单调性、证明不等式等等证明题中经常用到.4 观察法将欲证结果适当等价变形;替换;找原函数;作辅助函数.关键是适当"等价变形". 例4.1[2] 设f(x)在[a,b](0<a<b)上连续在(a,b)内可导,且f'(x)>0(a<x<b), af(b)-bf(a)=0,证明在(a,b)内至少存在一点ξ,使'f(ξ)f(ξ)'=ξ.分析 (1)变形f(ξ)f(ξ)''=ξ,ξf(ξ)-f(ξ)=0,'ξf(ξ)-f(ξ)ξ2=0,(2)替换 xf(x)-f(x)x2=0,⎡f(x)⎤ (3)找原函数⎢=0, ⎥⎣x⎦'(4)作辅助函数 F(x)=证明作辅助函数F(x)=F(a)=f(a)a,F(b)=f(b)bf(x)x. ,因为F(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,又f(x)x,且af(b)-bf(a)=0,所以F(a)=F(b),F(x)满足罗尔定理,可得存在ξ∈(a,b),使F'(ξ)=0.因此F(ξ)='ξf(ξ)-f(ξ)'ξ2=0,即ξf(ξ)-f(ξ)=0,所以'f(ξ)f(ξ)'=ξ.例4.2[3] 设函数f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f(0)=0,f(1)=1,试证对任意的λ∈R,必存在ξ∈(0,1),使得f'(ξ)-λ(f(ξ)-ξ)=1.分析由f'(ξ)-λ(f(ξ)-ξ)=1得到f'(x)-λf(x)=1-λx,由一阶非齐次微分方程的通解公式得λdx⎡-λdx⎰dx+c⎤=eλxxe-λx+c=ceλx+x, ()f(x)=e⎰1-λxe⎰⎢⎥⎣⎦[]即(f(x)-x)e-λx=c,于是便得到要找的辅助函数F(x)=(f(x)-x)e-λx.证明设F(x)=(f(x)-x)e-λx,则F(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且F(0)=F(1)=0,所以满足罗尔定理,即对任意的λ∈R,必存在ξ∈(0,1),使得F(ξ)=f(ξ)-1-λ(f(ξ)-ξ)e'[']-λξ=0,即f'(ξ)-λ(f(ξ)-ξ)=1.总之,通过构造辅助函数,我们可以利用知道的结论和定理来解决目前的题目,需要注意的是原题和辅助题目应是等价的,构造辅助函数的方法是多种多样的,具体问题应具体分析,只要我们仔细分析各类数学问题与函数的直接或间接联系,大胆联想、猜测、推理,就可以构造出合适的函数,恰当地使用构造函数法在高等数学解题中往往能起到事半功倍的功效.参考文献[1]袁继红.浅析构造思想在高等数学中的应用[J].数学的实践与认识, 1997, 27 (4): 367~371.[2]黄光谷,余尚智.高等数学方法导论[M].第2版.武汉:武汉测绘科技大学出版社,1996. 86~93.[3]杜先能,孙国正.高等数学[M],合肥:安徽大学出版社,2003.[4]西北工业大学高等数学教研室编.高等数学专题指导[M].上海:同济大学出版社,1999.[5]李兆强.“辅助函数法”在数学分析中的应用[J].漯河职业技术学院学报,2009.。
构造函数比较大小的四种类型
构造函数比较大小的四种类型1.构造相同函数,比较不同函数值2.构造不同函数,比较相同函数值这类问题虽然可能几个数的形式不一致,但它们的特别是不同的函数取了相同的函数值,所以实质在比较不同函数差值或者商的性质,当然,这种问题下,如果自变量取值靠近基本初等函数的麦克劳林级数展开点,利用泰勒展开来近似估计绝对是一个很好的方法! 3.构造不同函数,比较不同函数值这个时候,不等式放缩就是首选之道了!下面的这些不等式放缩需要你的注意. 4.先同构,再构造,再比较当题干呈现一个较复杂的等式或者不等式关系,并没有前几类那么明显的数字时,往往可能现需要同构(变形)出一个函数之后再来比较大小. 例1.已知ln 22a =,ln33b =,ln 55c =,则a ,b ,c 的大小关系为( ) A .b<c<a B .c<a<b C .c b a << D .a c b <<解析:方法1. ln 22a =ln33b =ln 5=5c =<=<<又=ln y x 为()0+∞,上增函数,则c<a<b ,故选:B 方法2.设()ln x f x x =,则()21ln ()0-'=>xf x x x ,当()0,e x ∈时,()0f x '>,所以()f x 在(0,e)上递增,()f x 在()e ,+∞上递减. 由于5432<<<<e ,)4()2(f f a ==,故选B .例2.若ln2ln3,,23a b c == ) A .a b c << B .b c a << C .a c b << D .c b a <<解析:设()ln x f x x =,则()21ln ()0-'=>xf x x x,当()0,e x ∈时,()0f x '>,所以()f x 在(0,e)上递增,()f x 在()e ,+∞上递减,因为e 3<<,所以(()3>f f ,c b >,因为ln 3ln 22ln 33ln 2ln 9ln803266---=-==>b a ,所以a b >;故a b c <<.故选:A. 注:在这里,我们需要特别注意函数xxx f ln )(=在相关比较大小问题中的出镜率,以及结合对数性质,所出现的x x x exe e x g ==ln )(型等等,比如可以看下例.例3.设a =b =24ln 4e c -=,则( ) A .a b c << B .c b a << C .a c b << D .b c a <<解析:设()ln xf x x=,,()0x ∈+∞,所以()f x 在(0,e)上单调递增,在(e,)+∞上单调递减.而a f ==,12ln 2ln 4ln 2(2)(4)24b f f =====,22222e ln 4ln 42ln 2e 2e e e 222c f ⎛⎫--==== ⎪⎝⎭,因为02e <<<2e 42<,所以a b c <<.故选:A .二.构造不同函数,比较相同函数值这类问题虽然可能几个数的形式不一致,但它们的特别是不同的函数取了相同的函数值,所以实质在比较不同函数差值或者商的性质,当然,这种问题下,如果自变量取值靠近基本初等函数的麦克劳林级数展开点,利用泰勒展开来近似估计绝对是一个很好的方法! 例4.(2022新高考1卷)设0.110.1e ,ln 0.99a b c ===-,,则( )A .a b c <<B .c b a <<C .c<a<bD .a c b <<解析:方法1.构造函数,作差(商)比较大小,即讨论差(商)函数的性质. 令e =x a x ,1xb x=-,ln(1)c x =--, 为了方便比较,做如下处理:ln ln ln [ln ln(1)]-=+---a b x x x x ,ln(1),(0.0.1]y x x x =+-∈;1'1011xy x x-=-=<--,所以0y ,所以ln ln 0-a b ,所以b a > e ln(1),(0,0.1]-=+-∈xa c x x x ,1(1)(1)e 1'e e 11+--=+-=--x xxx x y x x x,令()(1)(1)1x k x x x e =+--,所以2'()(12)e 0=-->x k x x x ,所以()(0)0k x k >>,所以'0y >, 所以0a c ->,所以a c >.方法2.构造函数,利用泰勒展开直接估值.构造函数.则可以看到: ,由于1.0较小,所以对上述三个函数在0=x 处进行二阶泰勒展开:;(公众号:凌晨讲数学) ;.在处,显然,故. 例5.设ln1.1a =,0.1e 1b =-,tan0.1c =,0.4d π=,则( )A .a b c d <<<B .a c b d <<<C .a b d c <<<D .a c d b <<<解析:方法1.(构造函数,泰勒展开估计)设()()ln 1a x x =+,()e 1xb x =-,()tanc x x =,()4d x x π=,注意到题干实质在比较:)1.0(),1.0(),1.0(),1.0(d c b a ,且考虑到1.0接近于0,故对上述函数在0=x 进行泰勒展开即:π4.0)(,3)(,2)(,2)(322=+≈+≈-≈x d x x x c x x x b x x x a ,代入1.0=x 到上式,显然易得:d b c a >>>,故选:B 方法2.(构造函数,作差比大小) 易得()()()()0000a b c d ===. 设()()4e 1x y d x b x x π=--+=,则令0e 4x y π'=-=有4lnx π=,故()()y d x b x =-在4,ln π⎛⎫-∞⎪⎝⎭上单调递增. ①因为10101055544525243e 3.2416162π⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫>==>=> ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭,即104e π⎛⎫> ⎪⎝⎭,故410ln 1π>,即4ln 0.1π>,故()()()()0.10.1000d b d b ->-=,即d b >.)1ln()(,110)(,)(x x h xx g xe x f x--=-==)1.0(),1.0(),1.0(h c g b f a ===)(2)](21[)(23222x o x x x x o x x x x f +++=+++=)(101010)](1[10)(2222x o x x x o x x x g +++=+++=)(2)](2[)(2322x o x x x o x x x h ++=+---=1.0=x )1.0()1.0()1.0(h c f a g b =>=>=c a b >>①设()()e 1tan xy b x c x x --=-=,则222e 1cos 1c e os cos x x y x x x'=--=,设()2cos e 1x f x x =-,则()()()22cos 2si e e n sin 2sin 1x x x x f x x x '==---+.设()sin g x x x =-,则()1cos 0g x x '=-≥,故()sin g x x x =-为增函数,故()()00g x g ≥=,即sin x x ≥.故()()()2221e e 12x xx x x f x ⎡⎤≥--+=-++⎣'⎦,当[]0,0.1x ∈时()0f x '>, ()2cos e 1x f x x =-为增函数,故()02cos 01e 0f x ≥-=,故当[]0,0.1x ∈时()()y b x c x =-为增函数,故()()()()0.10.1000b c b c ->-=,故b c >.①设()()()tan ln 1y c x a x x x -==+-,()2221sin cos co 111s x xy x x x x +-++'==,易得当()0,0.1x ∈时0y '>,故()()()()0.10.1000c a c a ->-=,即c a >. 综上d b c a >>>三.构造不同函数,比较不同函数值这个时候,不等式放缩就是首选之道了!下面的这些不等式放缩需要你的注意. 1.切线不等式:高中几个重要的函数x y x y e y xsin ,ln ,===都具有凸凹性,这样我们便可通过切线来构造不等式,具体的原理请见《高观点:函数凸凹性》,这里只列举一些重要的切线不等式: 1.1 0,1≥+≥x x e x; 1.2 0,1ln >-≤x x x ; 将这两个切线不等式进行合适的取值与加减项,又可得到更多的不等式:①n nx n xx x xx xxx xnx e x e x e x e >−−−→−>−−−→−>−−−→−>===令:令:令:;;27;43322②)0(,1<<−−→−->-x xe x ex x取倒数;;③)1(,111<-<−−→−+->-x xe x e x x取倒数;; 1ln 11ln ln 1-≥⇔-≥⇒≥-x x x xx x x 2. 高次不等式放缩2.1 1212++≥x x e x; 2.2 0,2)1ln(2≥-≥+x x x x ; 2.3 0,6sin 3≥-≥x x x x ; 2.4 21cos 2x x -≥. 3.分式不等式放缩3.1 0,11ln >-≥x x x 3.2 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<+-<≥+-≥10,1)1(2ln 1,1)1(2ln x x x x x x x x例6.已知910a =,19eb -=,101ln 11c =+,则a ,b ,c 的大小关系为( )A .a b c <<B .b a c <<C .c b a <<D .c a b <<解:设()e 1x f x x =--,()e 1xf x '=-,令0fx,解得0x =.(),0x ∈-∞,0fx ,()f x 单调递减,()0,x ∞∈+,0fx,()f x 单调递增.所以()()00f x f ≥=,即e 10xx --≥,当且仅当0x =时取等号.所以()e 10xx x >+≠.又1911101e 199b a=>+==,故11b a >,所以b a <;设()ln 1g x x x =-+,()111x g x x x-'=-=,令0g x ,解得1x =. ()0,1∈x ,0g x ,()g x 单调递增,()1,x ∈+∞,0g x ,()g x 单调递减.所以()()10g x g ≤=,即ln 10x x -+≤,当且仅当1x =时取等号.所以()ln 11x x x <-≠,故11111ln1101010<-=,又1011011ln ln ln ln1011101110c a -=+>+==,所以c a >,故b a c <<. 故选:B.例7.设1sin 6111,e 1,ln 59a b c ==-=,(e 是自然对数的底数),则( )A .a b c >>B .a c b >>C .c a b >>D .b c a >>解析:由于1,1)1(2ln >+->x x x x ,故519209221911)1911(2911ln =⨯=+-> 所以对1-x e 也用帕德逼近x x e e x xxe x<<-<-∈-+<sin 11),2,0(,226161sin5155115510112111131612612161=<==-=--+<-e ,故b a c >>. 四.先同构,再构造,再比较当题干呈现一个较复杂的等式或者不等式关系,并没有前几类那么明显的数字时,往往可能现需要同构(变形)出一个函数之后再来比较大小. 例8. 已知5a <且5e 5e ,4a a b =<且44,3b be e c =<且3e 3e c c =,则( )A. c b a <<B. b<c<aC. a c b <<D.a b c <<解析:因为5e 5e ,5aa a =<,故0a >,同理0,0bc >>,令(),0x e f x x x=>,则()()21x e x f x x-'=,当01x <<时,()0f x '<,当1x >时,0fx ,故()f x 在()0,1为减函数,在()1,+∞为增函数,因为5e 5e ,5aa a =<,故5e e5a a=,即()()5f f a =,而05a <<,故01a <<,同理01b <<,01c <<,()()4f f b =,()()3f f c =因为()()()543f f f >>,故()()()f a f b f c >>,所以01a b c <<<<.故选:D .设()ln f x x x =,可得(e )()eab f f <,因为0a >,可得e 1a >,又因为(ln 1)0,0b b b ->>,所以ln 1b >,即e b >,。
必须掌握的7种构造函数方法——合理构造函数,巧解导数难题2
必须掌握的7种构造函数方法——合理构造函数,巧解导数难题近几年高考数学压轴题,多以导数为工具来证明不等式或求参数的范围,这类试题具有结构独特、技巧性高、综合性强等特点,而构造函数是解导数问题的最基本方法,但在平时的教学和考试中,发现很多学生不会合理构造函数,结果往往求解非常复杂甚至是无果而终.因此笔者认为解决此类问题的关键就是怎样合理构造函数,本文以近几年的高考题和模考题为例,对在处理导数问题时构造函数的方法进行归类和总结,供大家参考.一、作差构造法1.直接作差构造评注:本题采用直接作差法构造函数,通过特殊值缩小参数范围后,再对参数进行分类讨论来求解.2.变形作差构造二、分离参数构造法分离参数是指对已知恒成立的不等式在能够判断出参数系数正负的情况下,根据不等式的性质将参数分离出来,得到一个一端是参数,另一端是变量的不等式,只要研究变量不等式的最值就可以解决问题.三、局部构造法1.化和局部构造2.化积局部构造四、换元构造法换元构造法在处理多变元函数问题中应用较多,就是用新元去代替该函数中的部分(或全部)变元.通过换元可以使变量化多元为少元,即达到减元的目的.换元构造法是求解多变元导数压轴题的常用方法.评注:本题的两种解法通过将待解决的式子进行恰当的变形,将二元字母变出统一的一种结构,然后用辅助元将其代替,从而将两个变元问题转化一个变元问题,再以辅助元为自变量构造函数,利用导数来来求解。
其中解法1、解法2还分别体现了化积局部构造法和变形作差构造法.五、主元构造法主元构造法,就是将多变元函数中的某一个变元看作主元(即自变量),将其它变元看作常数,来构造函数,然后用函数、方程、不等式的相关知识来解决问题的方法.六、特征构造法1.根据条件特征构造2.根据结论特征构造七、放缩构造法1.由基本不等式放缩构造2.由已证不等式放缩构造评注:本题第二问是一道典型且难度比较大的求参问题,这类题目很容易让考生想到用分离参数的方法,但分离参数后利用高中所学知识无法解决,笔者研究发现不能解决的原因是分离参数后,出现了“0/0型”的式子,解决这类问题的有效方法就是高等数学中的洛必达法则;若直接构造函数,里面涉及到指数函数、三角函数及高次函数,处理起来难度很大.本题解法中两次巧妙利用第一问的结论,通过分类讨论和假设反正,使问题得到解决,本题也让我们再次体会了化积局部构造法的独特魅力.。
java定义构造方法
Java定义构造方法在Java编程语言中,构造方法(Constructor)是一种特殊的方法,用于创建和初始化对象。
通过定义构造方法,我们可以在创建对象时为其设置初始值和执行一些必要的操作。
构造方法的基本概念构造方法与类名相同,没有返回类型(包括void),并且在创建对象时会自动调用。
它可以有参数,也可以没有参数。
如果没有显式地定义构造方法,默认会有一个无参的构造方法。
public class MyClass {// 无参构造方法public MyClass() {// 初始化代码}// 带参数的构造方法public MyClass(int value) {// 初始化代码}}构造方法的作用1.初始化对象:构造方法用于为对象分配内存空间,并初始化其成员变量。
通过构造方法,我们可以确保对象在创建后处于合法和可用的状态。
2.设置初始值:通过传递参数给构造方法,我们可以在创建对象时设置初始值,避免了在创建后再调用setter方法进行赋值的繁琐过程。
3.执行必要操作:有些类在创建对象时需要执行一些必要的操作,例如打开数据库连接、读取配置文件等。
这些操作可以放在构造方法中完成,以保证对象正确地初始化。
构造方法的特点1.与类同名:构造方法的名称必须与类名完全相同,包括大小写。
2.无返回类型:构造方法没有返回类型,包括void。
这是与普通方法的一个重要区别。
3.自动调用:在创建对象时,构造方法会自动调用,无需手动调用。
每次创建对象时都会执行相应的构造方法。
4.可重载:与普通方法一样,构造方法也可以进行重载。
通过定义不同参数列表的构造方法,可以根据需要创建不同初始化方式的对象。
构造方法的使用默认构造方法如果我们没有显式地定义构造方法,Java编译器会自动生成一个无参的默认构造方法。
默认构造方法没有任何参数,并且执行空操作。
public class MyClass {// 默认构造方法public MyClass() {// 空操作}}带参构造方法当我们需要在创建对象时设置初始值或执行一些必要操作时,可以定义带参数的构造方法。
构造函数的八种方法
构造函数的八种方法
1. 隐式默认构造函数:如果类没有定义任何构造函数,编译器会自动生成一个隐式默认构造函数。
2. 显式默认构造函数:类显式声明无参数构造函数,也称为默认构造函数。
3. 带参数的构造函数:类可以定义多个构造函数,每个构造函数可以有不同的参数列表。
4. 复制构造函数:接受同一类对象作为参数,并创建新对象与之相同的属性和值。
5. 移动构造函数:C++11新增,通过"移动"原来的对象来构造
新的对象。
适用于临时对象或需要转移资源所有权的情况。
6. 拷贝赋值操作符:重载"="操作符,使得对象可以通过赋值
操作来拷贝另一个对象的属性和值。
7. 移动赋值操作符:C++11新增,通过"移动"原来的对象来赋
值给新的对象。
适用于临时对象或需要转移资源所有权的情况。
8. 转换构造函数:通过一个参数,将其他类型的对象转换为当前类对象。
例如,如果有一个int型参数的构造函数,就可以
将int型转换为当前类的对象。
priority_queue 构造函数
priority_queue 构造函数
默认构造函数没有参数,创建一个空的 priority_queue 对象。
2. 拷贝构造函数
拷贝构造函数接受一个 priority_queue 对象作为参数,创建一个与该对象相同的新对象。
3. 区间构造函数
区间构造函数接受两个迭代器(指向某个容器的起始和结束位置),创建一个包含该区间内所有元素的 priority_queue 对象。
4. 比较函数构造函数
比较函数构造函数接受一个函数指针或函数对象作为参数,用于比较 priority_queue 中的元素大小。
如果不指定比较函数,则使用默认的 std::less 比较函数。
注意:在使用比较函数构造函数时,需要保证该函数或函数对象满足严格弱序关系,即不仅满足传递性和反对称性,还满足非对称性。
以上是 priority_queue 构造函数的四种不同方式。
根据实际需求选择相应的构造函数,即可创建一个合适的 priority_queue 对象。
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利用导数证明不等式常见的四种构造法
解题篇创新题追根溯源高二数学2021年4月利用导数证明不等式常见的四种构造法■河南省长葛市第一高级中学牛英在新课标高考命题中,导数与函数问题一般出现在压轴题的位置,该题主要考查导数在函数中的应用,具有一定的难度,尤其是利用导数证明不等式问题,在高考中的“出镜率”最高。
解决这类问题的关键是构造恰当的函数,再利用导数考查该函数的单调性,那么,函数该如何构造呢?下面介绍四种常见的方法,供同学们参考。
一、直接构造法1W/已知a e r,函数fs=£-ax.—1,g(工)=jr—ln(je H-1)o(1)讨论函数于(鼻)极值点的个数;(2)若a=l,当鼻W[O,+co)时,求证:(工)o分析:(1)求得导数_f'(d)=eZ—a,分a <0和a>0两种情况,求得函数的单调性,结合函数极值点的定义,即可求解;(2)构造函数FGO=/'(H)-ga)=e'+ln(H+l)一2鼻一1,利用导数求得函数的单调性与最值,即可求解。
解:(1)因为于(小—力一1,所以f r(x)=e x—a o当a<0时,对于VrceR,/,(^)=e"-a>0,所以于(工)在(一oo,+oo)上是单调增函数,此时函数不存在极值。
当a>0时(鼻)=X—a,令/*'(#)= 0,解得h=ln a o若x G(—oo»In a),则f f(x)<0,所以f5)在X—00»In a)上是减函数;若xE(ln a,-Foo),则f Q)>0,所以于(鼻)在(In a, +x)上是增函数。
当rr=ln a时,于(工)取得极小值,函数于(鼻)有且仅有一个极小值点H=ln a e 所以当a<0时,于(工)没有极值点,当a>0时JGc)有一个极小值点。
(2)设F(x)=/(rc)—g(広)=e”+ln(rc +1)—2jc—19且F(0)=0°则F'(e)=e"--一2,且F'(0)=0。
定义构造函数的四种方法
定义构造函数的四种方法构造函数是一种特殊的函数,用于创建和初始化类的对象。
在不同的编程语言中,构造函数可以有多种不同的定义方式,常见的有以下四种方法:1. 默认构造函数(Default Constructor)默认构造函数是一种没有参数的构造函数,它在创建对象时使用默认值对对象的成员变量进行初始化。
当用户没有显式地定义构造函数时,编译器会自动生成默认构造函数。
默认构造函数的作用是为了确保创建对象时对象的成员变量都有合适的初始值,避免访问未初始化的变量引发错误。
例如,在C++中,默认构造函数可以用来初始化类的成员变量为零或空。
2. 带参数的构造函数(Parameterized Constructor)带参数的构造函数是一种有参数的构造函数,它接收外部传入的参数,并使用这些参数对对象的成员变量进行初始化。
带参数的构造函数可以根据不同的参数组合来创建对象,并初始化对象的成员变量。
带参数的构造函数在创建对象时可以为对象的成员变量赋予不同的初始值,为程序提供了更大的灵活性。
例如,在Java中,我们可以使用带参数的构造函数为一个图形对象指定不同的宽度和高度。
3. 拷贝构造函数(Copy Constructor)拷贝构造函数是一种通过拷贝一个已存在的对象来创建一个新对象的构造函数。
拷贝构造函数将一个对象的成员变量的值复制到另一个对象中,以创建新对象的副本。
拷贝构造函数通常用于对象的赋值或传递。
当对象作为函数参数传递或对象之间进行赋值操作时,拷贝构造函数将被自动调用。
例如,在C++中,可以使用拷贝构造函数将一个数组的元素拷贝到另一个数组中。
4. 移动构造函数(Move Constructor)移动构造函数是一种通过移动一个已存在的对象来创建一个新对象的构造函数。
移动构造函数在对象的赋值或传递中,可以避免临时对象的创建和销毁,提高程序的性能。
移动构造函数通常用于处理临时对象,特别是在复制大型对象时,它可以避免不必要的内存拷贝操作。
定义构造函数的四种方法
class ShangPin
{
std::string PM;//品名
long SL;//数量
double DJ;//单价
double JE;//金额
…!…
};
其成员有品名、数量、单价、金额。显然金额的初始化不是直接完成的,只有数量和单价已知后它才能确定。尽管工作有点麻烦,但初始化列表也能胜任。
定义类的构造函数
作者:lyb661时间:20150613
定义类的构造函数有如下几种方法:
1、使用默认构造函数(类不另行定义构造函数):能够创建一个类对象,但不能初始化类的各个成员。
2、显式定义带有参数的构造函数:在类方法中定义,使用多个参数初始化类的各个数据成员。
3、定义有默认值的构造函数:构造函数原型中为类的各个成员提供默认值。
这个类在此处的价值的就是说明类构造函数的工作方式。
1、第一个构造函数,就是编译器合成的默认构造函数。它用于创建一个类对象而不显式地初始化各个类成员。
Student(){}
................
Student st1;
这里创建一个学生类的对象st1。但对st1的姓甚名谁、学号大小、学分多少一无所知。
Student(const string& na,long nu,double sc);
................
Student st2("LiuYang",0803,96.5);
这里创建了一个学生类st2。他的姓名、学号、学分分别为LiuYang,0803,96.5。
值得注意的是:由于我们显式地定义了一个带有参数的构造函数,编译器合成的默认构造函数将不再工作。因此,在用户程序中声明一个没有成员值的学生类对象就不允许了。即下面的代码是非法的!
Bean的四种构造方式
Bean的四种构造方式1.通过构造函数创建Xml代码<bean id='injectBean' class="di.InjectBean"></bean><bean id="diConstruct" class="di.DependencyInjectConstruct"><constructor-arg type="ng.String" value="Inject construct test"/><constructor-arg ref="injectBean"/></bean>Java代码package di;public class DependencyInjectConstruct {private final String value;private final InjectBean injectBean;public DependencyInjectConstruct(String value, InjectBean injectBean) {this.value = value;this.injectBean = injectBean;}public void print() {System.out.println(value);System.out.println(injectBean);}}2.通过Setter注入Xml代码<bean id="diSetter" class="di.DependencyInjectSetter"><property name="value" value="Inject setter test"/><property name="injectBean" ref="injectBean"/></bean>Java代码package di;public class DependencyInjectSetter {private String value;private InjectBean injectBean;public void setValue(String value) {this.value = value;}public void setInjectBean(InjectBean injectBean) {this.injectBean = injectBean;}@Overridepublic String toString() {return "DependencyInjectSetter [value=" + value + ", injectBean=" + injectBean + "]";}}3.通过工厂方法Xml代码<beanid="diStaticMethod"class="di.DependencyInjectStaticMethod"factory-method="create"></bean> Java代码package di;public class DependencyInjectStaticMethod {private final String value;private final InjectBean injectBean;private DependencyInjectStaticMethod(String value, InjectBean injectBean) {this.value = value;this.injectBean = injectBean;}public static DependencyInjectStaticMethod create() {return new DependencyInjectStaticMethod("Dependency inject for status method", new InjectBean());}@Overridepublic String toString() {return "DependencyInjectStaticMethod [value=" + value + ", injectBean=" + injectBean + "]";}}4.如果需要的非static的工厂方法可以用factory-bean类引用一个对象来创建beanXml代码<bean id="factoryBean" class="di.DependencyInjectMethod"></bean><bean id="diMethod" class="di.DependencyInjectStaticMethod"factory-bean="factoryBean" factory-method="create"></bean>Java代码package di;public class DependencyInjectMethod {private String value;private InjectBean injectBean;public DependencyInjectMethod() {}private DependencyInjectMethod(String value, InjectBean injectBean) {this.value = value;this.injectBean = injectBean;}public DependencyInjectMethod create() {return new DependencyInjectMethod("Dependency inject for method", new InjectBean());}@Overridepublic String toString() {return "DependencyInjectMethod [value=" + value + ", injectBean=" + injectBean + "]";}}。
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1、第一个构造函数,就是编译器合成的默认构造函数。它用于创建一个类对象而不显式地初始化各个类成员。
Student(){}
................
Student st1;
这里创建一个学生类的对象st1。但对st1的姓甚名谁、学号大小、学分多少一无所知。
例如有一个商品类:
class ShangPin
{
std::string PM;//品名
long SL;//数量
double DJ;//单价
double JE;//金单价、金额。显然金额的初始化不是直接完成的,只有数量和单价已知后它才能确定。尽管工作有点麻烦,但初始化列表也能胜任。
Student(const string& na,long nu,double sc);
................
Student st2("LiuYang",0803,96.5);
这里创建了一个学生类st2。他的姓名、学号、学分分别为LiuYang,0803,96.5。
值得注意的是:由于我们显式地定义了一个带有参数的构造函数,编译器合成的默认构造函数将不再工作。因此,在用户程序中声明一个没有成员值的学生类对象就不允许了。即下面的代码是非法的!
Student(const std:;string& na="none",long nu=0,double sc=0.0):name(na),number(nu),scores(sc){}
不但因为它是带有默认参数的构造函数,也因为它初始化成员的方式最为直观,最为简洁。
这使构造函数也好像被封装在类声明里了。尽管构造函数初始化列表看起来简单,其实也能完成复杂的初始化工作。
................
Student st3;//实际上st3也是有默认值的了
st3=Student("LiMing",0705,88.3);
Student st3("LiMing",0705,88.3); //同理
在所有类型的构造函数中,带有默认值的构造函数最为实用,也最为简洁。
4、正因为此,构造函数初始化列表的应用才被广泛地应用。
定义类的构造函数
作者:lyb661时间:20150613
定义类的构造函数有如下几种方法:
1、使用默认构造函数(类不另行定义构造函数):能够创建一个类对象,但不能初始化类的各个成员。
2、显式定义带有参数的构造函数:在类方法中定义,使用多个参数初始化类的各个数据成员。
3、定义有默认值的构造函数:构造函数原型中为类的各个成员提供默认值。
可以在大括号中,调用一个私有的函数来完成金额的初始化工作。
ShangPin(const std::string& m_PM="nothing",long m_SL=0,double m_DJ=0.0):PM(m_PM),SL(m_SL),DJ(m_DJ){set_JE();}
................
void ShangPin::set_JE()
{
JE=SL*DJ;
}
类成员的初始化工作是十分重要的。有时我们编写好的程序,在运行时会输出些莫名其妙的乱码,这可能与我们初始化工作做不到位有关。
根据程序对类的需求,我们应该更清晰地选择构造函数的编写方法。对于一般的类,构造函数初始化列表通常是最好的选择。
Student(const std::string& na,long nu,double sc);
Student(const std:;string& na="",long nu=0,double sc=0.0);
Student(const std:;string& na="none",long nu=0,double sc=0.0):name(na),number(nu),scores(sc){}
scores=sc;
}
void Student::display()const
{
std::cout<<"Name: "<<name<<",Number: "<<number<<",Score: "<<scores<<"\n\n";
}
这个学生类极为简单:除了创建和显示学生的姓名、学号、学分以外;什么工作也不做,什么工作也做不了。
当然,我们必须必须熟悉各种构造函数的工作方式,才能作出最恰如其分的选择。
对于一个简单的类:我们无需显式地定义这个构造函数,因为编译器会隐式地调用它来创建类对象。为了创建一个具体的类对象,有时可定义一个私有成员函数来初始化类的各个成员。
比如Set_name(string),Set_score(double)…..
2、第二个构造函数带有三个参数:分别对应于三个类成员。经过类方法中的定义,我们可以在用户程序中创建一个各个成员赋有初值的类对象。
………..
void display() const;
//void set(std::string na,long nu,double sc);
};
.........
Student::Student(const std::string& na,long nu,double sc)
{
name=na;
number=nu;
Student st2;
3、对于第二个构造函数的问题,我们有两种方法来解决:一是同时显式地调用默认的构造函数。即第1第2个构造函数同时调用。这样既可创建一个类对象,也能对其进行初始化。
另一个办法是定义一个参数带有默认值的构造函数。它兼有第1第2个构造函数的功能。即创建一个类对象,同时为它赋初值。
Student(const std::string& na="none,long nu=0,double sc=0.0);
4、使用构造函数初始化列表:这个构造函数初始化成员的方式显得更紧凑。
例如:有一个学生类。其中存储了学生的姓名、学号和分数。
class Student
{
private:
std::string name;
long number;
double scores;
public:
Student(){}//1:default constructor