2017中考复习特殊四边形综合题

特殊四边形综合题
1．如图，BD是正方形ABCD的对角线，BC=2，边BC在其所在的直线上平移，将通过平移得到的线段记为PQ，连接PA、QD，并过点Q作QO⊥BD，垂足为O，连接OA、OP．
（1）请直接写出线段BC在平移过程中，四边形APQD是什么四边形？
（2）请判断OA、OP之间的数量关系和位置关系，并加以证明；
，BP=x（0≤x≤2），求y与x之间的函数关系式，并求出（3）在平移变换过程中，设y=S
△OPB
y的最大值．
2．已知在矩形ABCD中，∠ADC的平分线DE与BC边所在的直线交于点E，点P是线段DE 上一定点（其中EP＜PD）
（1）如图1，若点F在CD边上（不与D重合），将∠DPF绕点P逆时针旋转90°后，角的两边PD、PF分别交射线DA于点H、G．
①求证：PG=PF；②探究：DF、DG、DP之间有怎样的数量关系，并证明你的结论．（2）拓展：如图2，若点F在CD的延长线上（不与D重合），过点P作PG⊥PF，交射线DA 于点G，你认为（1）中DF、DG、DP之间的数量关系是否仍然成立？若成立，给出证明；若不成立，请写出它们所满足的数量关系式，并说明理由．
3．已知正方形ABCD的边长为4，一个以点A为顶点的45°角绕点A旋转，角的两边分别与边BC、DC的延长线交于点E、F，连接EF．设CE=a，CF=b．
（1）如图1，当∠EAF被对角线AC平分时，求a、b的值；
（2）当△AEF是直角三角形时，求a、b的值；
（3）如图3，探索∠EAF绕点A旋转的过程中a、b满足的关系式，并说明理由．
4．如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，点M，N分别是边BC，CD上的动点（不与点B，C，D重合），AM，AN分别交BD于点E，F，且∠MAN始终保持45°不变．
（1）求证：=；
（2）求证：AF⊥FM；
（3）请探索：在∠MAN的旋转过程中，当∠BAM等于多少度时，∠FMN=∠BAM？写出你的探索结论，并加以证明．
5．如图，矩形ABCD中，点E为BC上一点，F为DE的中点，且∠BFC=90°．
（1）当E为BC中点时，求证：△BCF≌△DEC；
（2）当BE=2EC时，求的值；
（3）设CE=1，BE=n，作点C关于DE的对称点C′，连结FC′，AF，若点C′到AF的距离是，求n的值．
6．如图1，在菱形ABCD中，AB=6，tan∠ABC=2，点E从点D出发，以每秒1个单位长度的速度沿着射线DA的方向匀速运动，设运动时间为t（秒），将线段CE绕点C顺时针旋转一个角α（α=∠BCD），得到对应线段CF．
（1）求证：BE=DF；
（2）当t=秒时，DF的长度有最小值，最小值等于；
（3）如图2，连接BD、EF、BD交EC、EF于点P、Q，当t为何值时，△EPQ是直角三角形？（4）如图3，将线段CD绕点C顺时针旋转一个角α（α=∠BCD），得到对应线段CG．在点E 的运动过程中，当它的对应点F位于直线AD上方时，直接写出点F到直线AD的距离y关于时间t的函数表达式．
7．已知四边形ABCD是菱形，AB=4，∠ABC=60°，∠EAF的两边分别与射线CB，DC相交于点E，F，且∠EAF=60°．
（1）如图1，当点E是线段CB的中点时，直接写出线段AE，EF，AF之间的数量关系；（2）如图2，当点E是线段CB上任意一点时（点E不与B、C重合），求证：BE=CF；
（3）如图3，当点E在线段CB的延长线上，且∠EAB=15°时，求点F到BC的距离．
8．如图①，AD为等腰直角△ABC的高，点A和点C分别在正方形DEFG的边DG和DE上，连接BG，AE．
（1）求证：BG=AE；
（2）将正方形DEFG绕点D旋转，当线段EG经过点A时，（如图②所示）
①求证：BG⊥GE；
②设DG与AB交于点M，若AG：AE=3：4，求的值．
9．如图①，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点E在AC上（且不与点A，C重合），在△ABC 的外部作△CED，使∠CED=90°，DE=CE，连接AD，分别以AB，AD为邻边作平行四边形ABFD，连接AF．
（1）请直接写出线段AF，AE的数量关系；
（2）将△CED绕点C逆时针旋转，当点E在线段BC上时，如图②，连接AE，请判断线段AF，AE的数量关系，并证明你的结论；
（3）在图②的基础上，将△CED绕点C继续逆时针旋转，请判断（2）问中的结论是否发生变化？若不变，结合图③写出证明过程；若变化，请说明理由．
10．如图（1）矩形ABCD中，AB=2，BC=5，BP=1，∠MPN=90°将∠MPN绕点P从PB处开始按顺时针方向旋转，PM交AB（或AD）于点E，PN交边AD（或CD）于点F，当PN旋转至PC处时，∠MPN的旋转随即停止
（1）特殊情形：如图（2），发现当PM过点A时，PN也恰好过点D，此时，△ABP∽△PCD（填：“≌”或“～”
（2）类比探究：如图（3）在旋转过程中，的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由；
（3）拓展延伸：设AE=t，△EPF面积为S，试确定S关于t的函数关系式；当S=4.2时，求所对应的t的值．
11．已知：点P是平行四边形ABCD对角线AC所在直线上的一个动点（点P不与点A、C重合），分别过点A、C向直线BP作垂线，垂足分别为点E、F，点O为AC的中点．
（1）当点P与点O重合时如图1，易证OE=OF（不需证明）
（2）直线BP绕点B逆时针方向旋转，当∠OFE=30°时，如图2、图3的位置，猜想线段CF、AE、OE之间有怎样的数量关系？请写出你对图2、图3的猜想，并选择一种情况给予证明．
12．如图，在正方形ABCD中，点E为对角线AC上的一点，连接BE，DE．
（1）如图1，求证：△BCE≌△DCE；
（2）如图2，延长BE交直线CD于点F，G在直线AB上，且FG=FB．
①求证：DE⊥FG；
②已知正方形ABCD的边长为2，若点E在对角线AC上移动，当△BFG为等边三角形时，求线段DE的长（直接写出结果，不必写出解答过程）．
13．如图1，在正方形ABCD内作∠EAF=45°，AE交BC于点E，AF交CD于点F，连接EF，过点A作AH⊥EF，垂足为H．
（1）如图2，将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABG．
①求证：△AGE≌△AFE；
②若BE=2，DF=3，求AH的长．
（2）如图3，连接BD交AE于点M，交AF于点N．请探究并猜想：线段BM，MN，ND之间有什么数量关系？并说明理由．
14．如图，将矩形ABCD沿AF折叠，使点D落在BC边的点E处，过点E作EG∥CD交AF于点G，连接DG．
（1）求证：四边形EFDG是菱形；
（2）探究线段EG、GF、AF之间的数量关系，并说明理由；
（3）若AG=6，EG=2，求BE的长．
15．如图1，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，AB=AC，四边形ADEF是正方形，点B、C分别在边AD、AF上，此时BD=CF，BD⊥CF成立．
（1）当△ABC绕点A逆时针旋转θ（0°＜θ＜90°）时，如图2，BD=CF成立吗？若成立，请证明，若不成立，请说明理由；
（2）当△ABC绕点A逆时针旋转45°时，如图3，延长BD交CF于点H．
①求证：BD⊥CF；
②当AB=2，AD=3时，求线段DH的长．
16．如图1，在矩形ABCD中，BC＞AB，∠BAD的平分线AF与BD、BC分别交于点E、F，点O是BD的中点，直线OK∥AF，交AD于点K，交BC于点G．
（1）求证：①△DOK≌△BOG；②AB+AK=BG；
（2）若KD=KG，BC=4﹣．
①求KD的长度；
②如图2，点P是线段KD上的动点（不与点D、K重合），PM∥DG交KG于点M，PN∥KG
=时，求m的值．
交DG于点N，设PD=m，当S
△PMN
17．已知正方形ABCD，P为射线AB上的一点，以BP为边作正方形BPEF，使点F在线段CB 的延长线上，连接EA、EC．
（1）如图1，若点P在线段AB的延长线上，求证：EA=EC；
（2）若点P在线段AB上．
①如图2，连接AC，当P为AB的中点时，判断△ACE的形状，并说明理由；
②如图3，设AB=a，BP=b，当EP平分∠AEC时，求a：b及∠AEC的度数．
18．在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，设锐角∠AOB=α，将△DOC按逆时针方向旋转得到△D′OC′（0°＜旋转角＜90°）连接AC′、BD′，AC′与BD′相交于点M．
（1）当四边形ABCD为矩形时，如图1．求证：△AOC′≌△BOD′．
（2）当四边形ABCD为平行四边形时，设AC=kBD，如图2．
①猜想此时△AOC′与△BOD′有何关系，证明你的猜想；
②探究AC′与BD′的数量关系以及∠AMB与α的大小关系，并给予证明．
19．已知菱形ABCD的边长为1，∠ADC=60°，等边△AEF两边分别交DC、CB于点E、F．（1）特殊发现：如图1，若点E、F分别是边DC、CB的中点，求证：菱形ABCD对角线AC、BD的交点O即为等边△AEF的外心；
（2）若点E、F始终分别在边DC、CB上移动，记等边△AEF的外心为P．①猜想验证：如图2，猜想△AEF的外心P落在哪一直线上，并加以证明；②拓展运用：如图3，当E、F分别是边DC、CB的中点时，过点P任作一直线，分别交DA边于点M，BC边于点G，DC边的延长线于点N，请你直接写出的值．
20．在正方形ABCD中，BD是一条对角线，点E在直线CD上（与点C，D不重合），连接AE，平移△ADE，使点D移动到点C，得到△BCF，过点F作FG⊥BD于点G，连接AG，EG．（1）问题猜想：如图1，若点E在线段CD上，试猜想AG与EG的数量关系是，位置关系是；
（2）类比探究：如图2，若点E在线段CD的延长线上，其余条件不变，小明猜想（1）中的结论仍然成立，请你给出证明；
（3）解决问题：若点E在线段DC的延长线上，且∠AGF=120°，正方形ABCD的边长为2，请在备用图中画出图形，并直接写出DE的长度．
21．如图，正方形ABCD边长为6，菱形EFGH的三个顶点E、G、H分别在正方形ABCD的边AB、CD、DA上，连接CF．
（1）求证：∠HEA=∠CGF；
（2）当AH=DG=2时，
求证：菱形EFGH为正方形；
（3）设AH=x，DG=2x，△FCG的面积为y，试求y的最大值．
22．如图1，四边形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，点E在边AB上，∠DEC=90°，且DE=EC．（1）求证：△ADE≌△BEC；
（2）若AD=a，AE=b，DE=c，请用图1证明勾股定理：a2+b2=c2；
（3）线段AB上另有一点F（不与点E重合），且DF⊥CF（如图2），若AD=2，BC=4，求EF 的长．
23．如图1，正方形ABCD中，AC是对角线，等腰Rt△CMN中，∠CMN=90°，CM=MN，点M 在CD边上，连接AN，点E是AN的中点，连接BE．
（1）若CM=2，AB=6，求AE的值；
（2）求证：2BE=AC+CN；
（3）当等腰Rt△CMN的点M落在正方形ABCD的BC边上，如图2，连接AN，点E是AN的中点，连接BE，延长NM交AC于点F．请探究线段BE、AC、CN的数量关系，并证明你的结论．
24．正方形ABCD的边长为3，点E，F分别在射线DC，DA上运动，且DE=DF．连接BF，作EH⊥BF所在直线于点H，连接CH．
（1）如图1，若点E是DC的中点，CH与AB之间的数量关系是；
（2）如图2，当点E在DC边上且不是DC的中点时，（1）中的结论是否成立？若成立给出证明；若不成立，说明理由；
（3）如图3，当点E，F分别在射线DC，DA上运动时，连接DH，过点D作直线DH的垂线，交直线BF于点K，连接CK，请直接写出线段CK长的最大值．
25．问题：如图（1），点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF=45°，试判断BE、EF、FD之间的数量关系．
【发现证明】小聪把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，从而发现EF=BE+FD，请你利用图（1）证明上述结论．
【类比引申】如图（2），四边形ABCD中，∠BAD≠90°，AB=AD，∠B+∠D=180°，点E、F分别在边BC、CD上，则当∠EAF与∠BAD满足关系时，仍有EF=BE+FD．
【探究应用】如图（3），在某公园的同一水平面上，四条通道围成四边形ABCD．已知AB=AD=80米，∠B=60°，∠ADC=120°，∠BAD=150°，道路BC、CD上分别有景点E、F，且AE⊥AD，DF=40（﹣1）米，现要在E、F之间修一条笔直道路，求这条道路EF的长（结果取整数，参考数据：=1.41，=1.73）
26．如图1，正方形OABC与正方形ODEF放置在直线l上，连结AD、CF，此时AD=CF．AD ⊥CF成立．
（1）正方形ODEF绕O点逆时针旋转一定的角度，如图2，试判断AD与CF还相等吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
（2）正方形ODEF绕O点逆时针旋转，使点E旋转至直线l上，如图3，求证：AD⊥CF．（3）在（2）小题的条件下，AD与OC的交点为G，当AO=3，OD=时，求线段CG的长．
27．如图，在正方形ABCD与等腰直角三角形BEF中，∠BEF=90°，BE=EF，连接PF，点P是FD的中点，连接PE、PC．
（1）如图1，当点E在CB边上时，
求证：PE=CE；
（2）如图2，当点E在CB的延长线上时，线段PC、CE有怎样的数量关系，写出你的猜想，并给与证明．
28．已知：l1∥l2∥l3∥l4，平行线l1与l2、l2与l3、l3与l4之间的距离分别为d1、d2、d3，且d1=d3=1，d2=2．我们把四个顶点分别在l1、l2、l3、l4这四条平行线上的四边形称为“格线四边形”．（1）如图1，正方形ABCD为“格线四边形”，则正方形ABCD的边长为．
（2）矩形ABCD为“格线四边形”，其长：宽=2：1，求矩形ABCD的宽．
（3）如图1，EG过正方形ABCD的顶点D且垂直l1于点E，分别交l2，l4于点F，G．将∠AEG 绕点A顺时针旋转30°得到∠AE′D′（如图2），点D′在直线l3上，以AD′为边在E′D′左侧作菱形AB′C′D′，使B′，C′分别在直线l2，l4上，求菱形AB′C′D′的边长．
29．正方形ABCD边长为4cm，点E，M分别是线段AC，CD上的动点，连接DE并延长，交正方形ABCD的边于点F，过点M作MN⊥DF于H，交AD于N．
（1）如图1，若点M与点C重合，
求证：DF=MN；
（2）如图2，若点M从点C出发，以1cm/s的速度沿CD向点D运动，点E同时从点A出发，以cm/s速度沿AC向点C运动，运动时间为t（t＞0）；
①当点F是边AB的中点时，求t的值；
②连结FM，FN，当t为何值时△MNF是等腰三角形（直接写出t值）．
30．已知，正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边长分别交CB、DC（或它们的延长线）于点M、N，AH⊥MN于点H．
（1）如图①，当∠MAN点A旋转到BM=DN时，请你直接写出AH与AB的数量关系：；（2）如图②，当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时，（1）中发现的AH与AB的数量关系还成立吗？如果不成立请写出理由，如果成立请证明；
（3）如图③，已知∠MAN=45°，AH⊥MN于点H，且MH=2，NH=3，求AH的长．
特殊四边形综合题答案
1．如图，BD是正方形ABCD的对角线，BC=2，边BC在其所在的直线上平移，将通过平移得到的线段记为PQ，连接PA、QD，并过点Q作QO⊥BD，垂足为O，连接OA、OP．
（1）请直接写出线段BC在平移过程中，四边形APQD是什么四边形？
（2）请判断OA、OP之间的数量关系和位置关系，并加以证明；
（3）在平移变换过程中，设y=S
，BP=x（0≤x≤2），求y与x之间的函数关系式，并求出
△OPB
y的最大值．
解：（1）四边形APQD为平行四边形；
（2）OA=OP，OA⊥OP，理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=PQ，∠ABO=∠OBQ=45°，
∵OQ⊥BD，∴∠PQO=45°，
∴∠ABO=∠OBQ=∠PQO=45°，∴OB=OQ，
在△AOB和△OPQ中，
∴△AOB≌△POQ（SAS），
∴OA=OP，∠AOB=∠POQ，
∴∠AOP=∠BOQ=90°，
∴OA⊥OP；
（3）如图，过O作OE⊥BC于E．
①如图1，当P点在B点右侧时，
则BQ=x+2，OE=，
∴y=וx，即y=（x+1）2﹣，
又∵0≤x≤2，
∴当x=2时，y有最大值为2；
②如图2，当P点在B点左侧时，
则BQ=2﹣x，OE=，
∴y=וx，即y=﹣（x﹣1）2+，
又∵0≤x≤2，
∴当x=1时，y有最大值为；
综上所述，∴当x=2时，y有最大值为2；
2．已知在矩形ABCD中，∠ADC的平分线DE与BC边所在的直线交于点E，点P是线段DE 上一定点（其中EP＜PD）
（1）如图1，若点F在CD边上（不与D重合），将∠DPF绕点P逆时针旋转90°后，角的两边PD、PF分别交射线DA于点H、G．
①求证：PG=PF；②探究：DF、DG、DP之间有怎样的数量关系，并证明你的结论．（2）拓展：如图2，若点F在CD的延长线上（不与D重合），过点P作PG⊥PF，交射线DA 于点G，你认为（1）中DF、DG、DP之间的数量关系是否仍然成立？若成立，给出证明；若不成立，请写出它们所满足的数量关系式，并说明理由．
【分析】（1）①若证PG=PF，可证△HPG≌△DPF，已知∠DPH=∠HPG，由旋转可知∠GPF=∠HPD=90°及DE平分∠ADC得△HPD为等腰直角三角形，即∠DHP=∠PDF=45°、PD=PH，即可得
证；
②由△HPD为等腰直角三角形，△HPG≌△DPF知HD=DP，HG=DF，根据DG+DF=DG+GH=DH 即可得；
（2）过点P作PH⊥PD交射线DA于点H，先证△HPD为等腰直角三角形可得PH=PD，HD=DP，再证△HPG≌△DPF可得HG=DF，根据DH=DG﹣HG=DG﹣DF可得DG﹣DF=DP．
解：（1）①∵∠GPF=∠HPD=90°，∠ADC=90°，
∴∠GPH=∠FPD，
∵DE平分∠ADC，
∴∠PDF=∠ADP=45°，
∴△HPD为等腰直角三角形，
∴∠DHP=∠PDF=45°，
在△HPG和△DPF中，
∵，
∴△HPG≌△DPF（ASA），
∴PG=PF；
②结论：DG+DF=DP，
由①知，△HPD为等腰直角三角形，△HPG≌△DPF，
∴HD=DP，HG=DF，
∴HD=HG+DG=DF+DG，
∴DG+DF=DP；
（2）不成立，数量关系式应为：DG﹣DF=DP，
如图，过点P作PH⊥PD交射线DA于点H，
∵PF⊥PG，
∴∠GPF=∠HPD=90°，
∴∠GPH=∠FPD，
∵DE平分∠ADC，且在矩形ABCD中，∠ADC=90°，
∴∠HDP=∠EDC=45°，得到△HPD为等腰直角三角形，
∴∠DHP=∠EDC=45°，且PH=PD，HD=DP，
∴∠GHP=∠FDP=180°﹣45°=135°，
在△HPG和△DPF中，
∵
∴△HPG≌△DPF，
∴HG=DF，
∴DH=DG﹣HG=DG﹣DF，
∴DG﹣DF=DP．
3．已知正方形ABCD的边长为4，一个以点A为顶点的45°角绕点A旋转，角的两边分别与边BC、DC的延长线交于点E、F，连接EF．设CE=a，CF=b．
（1）如图1，当∠EAF被对角线AC平分时，求a、b的值；
（2）当△AEF是直角三角形时，求a、b的值；
（3）如图3，探索∠EAF绕点A旋转的过程中a、b满足的关系式，并说明理由．
【分析】（1）当∠EAF被对角线AC平分时，易证△ACF≌△ACE，因此CF=CE，即a=b．（2）分两种情况进行计算，①先用勾股定理得出CF2=8（CE+4）①，再用相似三角形得出4CF=CE （CE+4）②，两式联立解方程组即可；
（3）先判断出∠AFD=∠CEF，再判断出AF=EF，从而得到△ADF≌△FCE即可．
解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCF=∠DCE=90°
∵AC是正方形ABCD的对角线，
∴∠ACB=∠ACD=45°，
∴∠ACF=∠ACE，
∵∠EAF被对角线AC平分，
∴∠CAF=∠CAE，
在△ACF和△ACE中，
，
∴△ACF≌△ACE，
∴CE=CE，
∵CE=a，CF=b，
∴a=b，
∵△ACF≌△ACE，
∴∠AEF=∠AFE，
∵∠EAF=45°，
∴∠AEF=∠AFE=67.5°，
∵CE=CF，∠ECF=90°，∠AEC=∠AFC=22.5°，∵∠CAF=∠CAE=22.5°，
∴∠CAE=∠CEA，
∴CE=AC=4，
即：a=b=4；
（2）当△AEF是直角三角形时，
①当∠AFE=90°时，∴∠AFD+∠CFE=90°，
∵∠CEF+∠CFE=90°，
∴∠AFD=∠CEF
∵∠AFE=90°，∠EAF=45°，
∴∠AEF=45°=∠EAF
∴AF=EF，
在△ADF和△FCE中
∴△ADF≌△FCE，
∴FC=AD=4，CE=DF=CD+FC=8，
∴a=8，b=4
②当∠AEF=90°时，
同①的方法得，CF=4，CE=8，
∴a=4，b=8．
（3）ab=32，
理由：如图，
∵AB∥CD
∴∠BAG=∠AFC，
∵∠BAC=45°，
∴∠BAG+∠CAF=45°，
∴∠AFC+∠CAF=45°，
∵∠AFC+∠AEC=180°﹣（∠CFE+∠CEF）﹣∠EAF=180°﹣90°﹣45°=45°，
∴∠CAF=∠AEC，
∵∠ACF=∠ACE=135°，
∴△ACF∽△ECA，
∴，
∴EC×CF=AC2=2AB2=32
∴ab=32．
4．（2016•淄博）如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，点M，N分别是边BC，CD上的动点（不与点B，C，D重合），AM，AN分别交BD于点E，F，且∠MAN始终保持45°不变．（1）求证：=；
（2）求证：AF⊥FM；
（3）请探索：在∠MAN的旋转过程中，当∠BAM等于多少度时，∠FMN=∠BAM？写出你的探索结论，并加以证明．
【分析】（1）先证明A、B、M、F四点共圆，根据圆内接四边形对角互补即可证明∠AFM=90°，根据等腰直角三角形性质即可解决问题．
（2）由（1）的结论即可证明．
（3）由：A、B、M、F四点共圆，推出∠BAM=∠EFM，因为∠BAM=∠FMN，所以∠EFM=∠FMN，推出MN∥BD，得到=，推出BM=DN，再证明△ABM≌△ADN即可解决问题．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABD=∠CBD=45°，∠ABC=90°，
∵∠MAN=45°，
∴∠MAF=∠MBE，
∴A、B、M、F四点共圆，
∴∠ABM+∠AFM=180°，
∴∠AFM=90°，
∴∠FAM=∠FMA=45°，
∴AM=AF，
∴=．
（2）由（1）可知∠AFM=90°，
∴AF⊥FM．
（3）结论：∠BAM=22.5时，∠FMN=∠BAM
理由：∵A、B、M、F四点共圆，
∴∠BAM=∠EFM，
∵∠BAM=∠FMN，
∴∠EFM=∠FMN，
∴MN∥BD，
∴=，∵CB=DC，
∴CM=CN，
∴MB=DN，
在△ABM和△ADN中，
，
∴△ABM≌△ADN，
∴∠BAM=∠DAN，
∵∠MAN=45°，
∴∠BAM+∠DAN=45°，
∴∠BAM=22.5°．
5．（2016•丽水）如图，矩形ABCD中，点E为BC上一点，F为DE的中点，且∠BFC=90°．（1）当E为BC中点时，求证：△BCF≌△DEC；
（2）当BE=2EC时，求的值；
（3）设CE=1，BE=n，作点C关于DE的对称点C′，连结FC′，AF，若点C′到AF的距离是，求n的值．
【分析】（1）由矩形和直角三角形斜边上的中线性质得出CF=DE=EF，由等腰三角形的性质得出∠FEC=∠FCE，证出CF=CE，由ASA证明△BCF≌△DEC即可；
（2）设CE=a，则BE=2a，BC=3a，证明△BCF∽△DEC，得出对应边成比例=，得出ED2=6a2，由勾股定理得出DC=a，即可得出结果；
（3）过C′作C′H⊥AF于点H，连接CC′交EF于M，由直角三角形斜边上的中线性质得出∠FEC=∠FCE，证出∠ADF=∠BCF，由SAS证明△ADF≌△BCF，得出∠AFD=∠BFC=90°，证出四边形C′MFH是矩形，得出FM=C′H=，设EM=x，则FC=FE=x+，由勾股定理得出方程，解
方程求出EM=
，FC=FE=+；由（2）得：，把CE=1，BE=n 代入计算即可
得出n 的值． （1）证明；∵在矩形ABCD 中，∠DCE=90°，F 是斜边DE 的中点，
∴CF=DE=EF ，
∴∠FEC=∠FCE ，
∵∠BFC=90°，E 为BC 中点，
∴EF=EC ，∴CF=CE ，
在△BCF 和△DEC 中，
，
∴△BCF ≌△DEC （ASA ）；
（2）解：设CE=a ，由BE=2CE ，得：BE=2a ，BC=3a ，
∵CF 是Rt △DCE 斜边上的中线，
∴CF=DE ，
∵∠FEC=∠FCE ，∠BFC=∠DCE=90°，
∴△BCF ∽△DEC ， ∴=， 即：=，
解得：ED 2=6a 2 由勾股定理得：222265DC DE EC a a a =-=-=，
∴==；
（3）解：过C′作C′H ⊥AF 于点H ，连接CC′交EF 于M ，如图所示：
∵CF 是Rt △DCE 斜边上的中线，
∴FC=FE=FD ，
∴∠FEC=∠FCE ，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∴∠ADF=∠CEF，
∴∠ADF=∠BCF，
在△ADF和△BCF中，，
∴△ADF≌△BCF（SAS），
∴∠AFD=∠BFC=90°，
∵CH⊥AF，C′C⊥EF，∠HFE=∠C′HF=∠C′MF=90°，
∴四边形C′MFH是矩形，
∴FM=C′H=，
设EM=x，则FC=FE=x+，
在Rt△EMC和Rt△FMC中，
由勾股定理得：CE2﹣EM2=CF2﹣FM2，
∴12﹣x2=（x+）2﹣（）2，
解得：x=，或x=﹣（舍去），
∴EM=，FC=FE=+；
由（2）得：，
把CE=1，BE=n代入上式计算得：CF=，
∴，
解得：n=4．
6．如图1，在菱形ABCD中，AB=6，tan∠ABC=2，点E从点D出发，以每秒1个单位长度的速度沿着射线DA的方向匀速运动，设运动时间为t（秒），将线段CE绕点C顺时针旋转一个角α（α=∠BCD），得到对应线段CF．
（1）求证：BE=DF；
（2）当t=6+6秒时，DF的长度有最小值，最小值等于12；
（3）如图2，连接BD、EF、BD交EC、EF于点P、Q，当t为何值时，△EPQ是直角三角形？（4）如图3，将线段CD绕点C顺时针旋转一个角α（α=∠BCD），得到对应线段CG．在点E
的运动过程中，当它的对应点F位于直线AD上方时，直接写出点F到直线AD的距离y关于时间t的函数表达式．
【分析】（1）由∠ECF=∠BCD得∠DCF=∠BCE，结合DC=BC、CE=CF证△DCF≌△BCE即可得；（2）当点E运动至点E′时，由DF=BE′知此时DF最小，求得BE′、AE′即可得答案；
（3）①∠EQP=90°时，由∠ECF=∠BCD、BC=DC、EC=FC得∠BCP=∠EQP=90°，根据AB=CD=6，tan∠ABC=tan∠ADC=2即可求得DE；
②∠EPQ=90°时，由菱形ABCD的对角线AC⊥BD知EC与AC重合，可得DE=6；
（4）连接GF分别角直线AD、BC于点M、N，过点F作FH⊥AD于点H，证△DCE≌△GCF 可得∠3=∠4=∠1=∠2，即GF∥CD，从而知四边形CDMN是平行四边形，由平行四边形得MN=CD=6；再由∠CGN=∠DCN=∠CNG知CN=CG=CD=6，根据tan∠ABC=tan∠CGN=2可得GM=6+12，由GF=DE=t得FM=t﹣6﹣12，
利用tan∠FMH=tan∠ABC=2即可得FH．
解：（1）∵∠ECF=∠BCD，即∠BCE+∠DCE=∠DCF+∠DCE，
∴∠DCF=∠BCE，
∵四边形ABCD是菱形，
∴DC=BC，
在△DCF和△BCE中，
∵，
∴△DCF≌△BCE（SAS），
∴DF=BE；
（2）如图1，
当点E运动至点E′时，DF=BE′，此时DF最小，
在Rt△ABE′中，AB=6，tan∠ABC=tan∠BAE′=2，∴设AE′=x，则BE′=2x，
∴AB=x=6，
则AE′=6
∴DE′=6+6，DF=BE′=12，
故答案为：6+6，12；
（3）∵CE=CF，
∴∠CEQ＜90°，
①当∠EQP=90°时，如图2①，
∵∠ECF=∠BCD，BC=DC，EC=FC，
∴∠CBD=∠CEF，
∵∠BPC=∠EPQ，
∴∠BCP=∠EQP=90°，
∵AB=CD=6，tan∠ABC=tan∠ADC=2，
∴DE=6，
∴t=6秒；
②当∠EPQ=90°时，如图2②，
∵菱形ABCD的对角线AC⊥BD，
∴EC与AC重合，
∴DE=6，
∴t=6秒；
如图3，连接GF分别角直线AD、BC于点M、N，过点F作FH⊥AD于点H，由（1）知∠1=∠2，
又∵∠1+∠DCE=∠2+∠GCF，
∴∠DCE=∠GCF，
在△DCE和△GCF中，
∵，
∴△DCE≌△GCF（SAS），
∴∠3=∠4，
∵∠1=∠3，∠1=∠2，
∴∠2=∠4，
∴GF∥CD，
又∵AH∥BN，
∴四边形CDMN是平行四边形，
∴MN=CD=6，
∵∠BCD=∠DCG，
∴∠CGN=∠DCN=∠CNG，
∴CN=CG=CD=6，
∵tan∠ABC=tan∠CGN=2，
∴GN=12，
∴GM=6+12，
∵GF=DE=t，
∴FM=t﹣6﹣12，
∵tan∠FMH=tan∠ABC=2，
即y=t﹣12﹣．
7．已知四边形ABCD是菱形，AB=4，∠ABC=60°，∠EAF的两边分别与射线CB，DC相交于点E，F，且∠EAF=60°．
（1）如图1，当点E是线段CB的中点时，直接写出线段AE，EF，AF之间的数量关系；（2）如图2，当点E是线段CB上任意一点时（点E不与B、C重合），求证：BE=CF；
（3）如图3，当点E在线段CB的延长线上，且∠EAB=15°时，求点F到BC的距离．
【分析】（1）结论AE=EF=AF．只要证明AE=AF即可证明△AEF是等边三角形．
（2）欲证明BE=CF，只要证明△BAE≌△CAF即可．
（3）过点A作AG⊥BC于点G，过点F作FH⊥EC于点H，根据FH=CF•cos30°，因为CF=BE，只要求出BE即可解决问题．
（1）解：结论AE=EF=AF．
理由：如图1中，连接AC，
∵四边形ABCD是菱形，∠B=60°，
∴AB=BC=CD=AD，∠B=∠D=60°，
∴△ABC，△ADC是等边三角形，
∴∠BAC=∠DAC=60°
∵BE=EC，
∴∠BAE=∠CAE=30°，AE⊥BC，
∵∠EAF=60°，
∴∠CAF=∠DAF=30°，
∴AF⊥CD，
∴AE=AF（菱形的高相等），
∴△AEF是等边三角形，
∴AE=EF=AF．
（2）证明：如图2中，
∵∠BAC=∠EAF=60°，
∴∠BAE=∠CAE，
在△BAE和△CAF中，
，
∴△BAE≌△CAF，
∴BE=CF．
（3）解：过点A作AG⊥BC于点G，过点F作FH⊥EC于点H，
∵∠EAB=15°，∠ABC=60°，
∴∠AEB=45°，
在RT△AGB中，∵∠ABC=60°AB=4，
∴BG=2，AG=2，
在RT△AEG中，∵∠AEG=∠EAG=45°，
∴AG=GE=2，
∴EB=EG﹣BG=2﹣2，
∵△AEB≌△AFC，
∴AE=AF，EB=CF=2﹣2，
在RT△CHF中，∵∠HCF=180°﹣∠BCD=60°，CF=2﹣2，
∴FH=CF•sin60°=（2﹣2）•=3﹣．
∴点F到BC的距离为3﹣．
8．如图①，AD为等腰直角△ABC的高，点A和点C分别在正方形DEFG的边DG和DE上，连接BG，AE．
（1）求证：BG=AE；
（2）将正方形DEFG绕点D旋转，当线段EG经过点A时，（如图②所示）
①求证：BG⊥GE；
②设DG与AB交于点M，若AG：AE=3：4，求的值．
【分析】（1）如图①，根据等腰直角三角形的性质得AD=BD，再根据正方形的性质得∠GDE=90°，DG=DE，则可根据“SAS“判断△BDG≌△ADE，于是得到BG=AE；
（2）①如图②，先判断△DEG为等腰直角三角形得到∠1=∠2=45°，再由△BDG≌△ADE得到∠3=∠2=45°，则可得∠BGE=90°，所以BG⊥GE；
②设AG=3x，则AE=4x，即GE=7x，利用等腰直角三角形的性质得DG=GE=x，由（1）的结论得BG=AE=4x，则根据勾股定理得AB=5x，接着由△ABD为等腰直角三角形得到∠4=45°，BD=AB=x，然后证明△DBM∽△DGB，则利用相似比可计算出DM=x，所以GM=x，于是可计算出的值．
（1）证明：如图①，
∵AD为等腰直角△ABC的高，
∴AD=BD，
∵四边形DEFG为正方形，
∴∠GDE=90°，DG=DE，
在△BDG和△ADE中
，
∴△BDG≌△ADE，
∴BG=AE；
（2）①证明：如图②，
∵四边形DEFG为正方形，
∴△DEG为等腰直角三角形，
∴∠1=∠2=45°，
由（1）得△BDG≌△ADE，
∴∠3=∠2=45°，
∴∠1+∠3=45°+45°=90°，即∠BGE=90°，
∴BG⊥GE；
②解：设AG=3x，则AE=4x，即GE=7x，
∴DG=GE=x，
∵△BDG≌△ADE，∴BG=AE=4x，
在Rt△BGA中，
2222
=+=+=，
AB BG AG x x x
(4)(3)5
∵△ABD为等腰直角三角形，
∴∠4=45°，BD=AB=x，
∴∠3=∠4，
而∠BDM=∠GDB，
∴△DBM∽△DGB，
∴BD：DG=DM：BD，即x：x=DM：x，解得DM=x，∴GM=DG﹣DM=x﹣x=x，
∴==．
9．如图①，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点E在AC上（且不与点A，C重合），在△ABC 的外部作△CED，使∠CED=90°，DE=CE，连接AD，分别以AB，AD为邻边作平行四边形ABFD，连接AF．
（1）请直接写出线段AF，AE的数量关系AF=AE；
（2）将△CED绕点C逆时针旋转，当点E在线段BC上时，如图②，连接AE，请判断线段AF，AE的数量关系，并证明你的结论；
（3）在图②的基础上，将△CED绕点C继续逆时针旋转，请判断（2）问中的结论是否发生变化？若不变，结合图③写出证明过程；若变化，请说明理由．
【分析】（1）如图①中，结论：AF=AE，只要证明△AEF是等腰直角三角形即可．
（2）如图②中，结论：AF=AE，连接EF，DF交BC于K，先证明△EKF≌△EDA再证明△AEF是等腰直角三角形即可．
（3）如图③中，结论不变，AF=AE，连接EF，延长FD交AC于K，先证明△EDF≌△ECA，再证明△AEF是等腰直角三角形即可．
解：（1）如图①中，结论：AF=AE．
理由：∵四边形ABFD是平行四边形，∴AB=DF，
∵AB=AC，
∴AC=DF，
∵DE=EC，
∴AE=EF，
∵∠DEC=∠AEF=90°，
∴△AEF是等腰直角三角形，
∴AF=AE．
故答案为AF=AE．
（2）如图②中，结论：AF=AE．
理由：连接EF，DF交BC于K．
∵四边形ABFD是平行四边形，
∴AB∥DF，
∴∠DKE=∠ABC=45°，
∴EKF=180°﹣∠DKE=135°，EK=ED，
∵∠ADE=180°﹣∠EDC=180°﹣45°=135°，∴∠EKF=∠ADE，
∵∠DKC=∠C，
∴DK=DC，
∵DF=AB=AC，
∴KF=AD，
在△EKF和△EDA中，
，
∴△EKF≌△EDA，
∴EF=EA，∠KEF=∠AED，
∴∠FEA=∠BED=90°，
∴△AEF是等腰直角三角形，
∴AF=AE．
（3）如图③中，结论不变，AF=AE．
理由：连接EF，延长FD交AC于K．
∵∠EDF=180°﹣∠KDC﹣∠EDC=135°﹣∠KDC，
∠ACE=（90°﹣∠KDC）+∠DCE=135°﹣∠KDC，
∴∠EDF=∠ACE，
∵DF=AB，AB=AC，
∴DF=AC
在△EDF和△ECA中，
，
∴△EDF≌△ECA，
∴EF=EA，∠FED=∠AEC，
∴∠FEA=∠DEC=90°，
∴△AEF是等腰直角三角形，
∴AF=AE．
10．如图（1）矩形ABCD中，AB=2，BC=5，BP=1，∠MPN=90°将∠MPN绕点P从PB处开始按顺时针方向旋转，PM交AB（或AD）于点E，PN交边AD（或CD）于点F，当PN旋转至PC处时，∠MPN的旋转随即停止
（1）特殊情形：如图（2），发现当PM过点A时，PN也恰好过点D，此时，△ABP∽△PCD（填：“≌”或“～”
（2）类比探究：如图（3）在旋转过程中，的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由；
（3）拓展延伸：设AE=t，△EPF面积为S，试确定S关于t的函数关系式；当S=4.2时，求所对应的t的值．
【分析】（1）根据矩形的性质找出∠B=∠C=90°，再通过角的计算得出∠BAP=∠CPD，由此即可得出△ABP∽△PCD；
（2）过点F作FH⊥PC于点H，根据矩形的性质以及角的计算找出∠B=∠FHP=90°、∠BEP=∠HPE，由此即可得出△BEP∽△HPE，根据相似三角形的性质，找出边与边之间的关系即可得出结论；
（3）分点E在AB和AD上两种情况考虑，根据相似三角形的性质找出各边的长度，再利用分割图形求面积法找出S与t之间的函数关系式，令S=4.2求出t值，此题得解．
解：（1）∵四边形ABCD为矩形，
∴∠B=∠C=90°，∴∠BAP+∠BPA=90°．
∵∠MPN=90°，∴∠BPA+∠CPD=90°，
∴∠BAP=∠CPD，∴△ABP∽△PCD．
故答案为：∽．
（2）是定值．如图3，过点F作FH⊥PC于点H，
∵矩形ABCD中，AB=2，
∴∠B=∠FHP=90°，HF=AB=2，
∴∠BPE+∠BEP=90°．
∵∠MPN=90°，
∴∠BPE+∠HPE=90°，
∴∠BEP=∠HPE，
∴△BEP∽△HPE，
∴，∵BP=1，
∴．
（3）分两种情况：
①如图3，当点E在AB上时，0≤t≤2．
∵AE=t，AB=2，
∴BE=2﹣t．
由（2）可知：△BEP∽△HPE，
∴，即，
∴HP=4﹣2t．
∵AF=BH=PB+BH=5﹣2t，
∴S=S
矩形ABHF ﹣S
△AEF
﹣S
△BEP
﹣S
△PHF
=AB•AF﹣AE•AF﹣BE•PB﹣PH•FH
=t2﹣4t+5（0≤t≤2）．
当S=4.2时，t2﹣4t+5=4.2，
解得：t=2±．
∵0≤t≤2，
∴t=2﹣；
②如图4，当点E在AD上时，0≤t≤1，过点E作EK⊥BP于点K，
∵AE=t ，BP=1，
∴PK=1﹣t ．
同理可证：△PKE ∽△FCP ， ∴，即，
∴FC=2﹣2t ．
∴DF=CD ﹣FC=2t ，DE=AD ﹣AE=5﹣t ，
∴S=S 矩形EKCD ﹣S △EKP ﹣S △EDF ﹣S △PCF =CD•DE ﹣EK•KP ﹣DE•DF ﹣PC•FC=t 2﹣2t +5（0≤t ≤1）． 当S=4.2时，t 2﹣2t +5=4.2，
解得：t=1±
． ∵0≤t ≤1，
∴t=1﹣．
综上所述：当点E 在AB 上时，S=t 2﹣4t +5（0≤t ≤2），当S=4.2时，t=2﹣
；当点E 在AD 上时，S=t 2﹣2t +5（0≤t ≤1），当S=4.2时，t=1﹣．
11．（2016•龙东地区）已知：点P 是平行四边形ABCD 对角线AC 所在直线上的一个动点（点P 不与点A 、C 重合），分别过点A 、C 向直线BP 作垂线，垂足分别为点E 、F ，点O 为AC 的中点．
（1）当点P 与点O 重合时如图1，易证OE=OF （不需证明）
（2）直线BP 绕点B 逆时针方向旋转，当∠OFE=30°时，如图2、图3的位置，猜想线段CF 、AE 、OE 之间有怎样的数量关系？请写出你对图2、图3的猜想，并选择一种情况给予证明．
【分析】（1）由△AOE ≌△COF 即可得出结论．
（2）图2中的结论为：CF=OE +AE ，延长EO 交CF 于点G ，只要证明△EOA ≌△GOC ，△OFG
是等边三角形，即可解决问题．
图3中的结论为：CF=OE﹣AE，延长EO交FC的延长线于点G，证明方法类似．解：（1）∵AE⊥PB，CF⊥BP，
∴∠AEO=∠CFO=90°，
在△AEO和△CFO中，
，
∴△AOE≌△COF，
∴OE=OF．
（2）图2中的结论为：CF=OE+AE．
图3中的结论为：CF=OE﹣AE．
如图2中的结论证明如下：
延长EO交CF于点G，
∵AE⊥BP，CF⊥BP，
∴AE∥CF，
∴∠EAO=∠GCO，
在△EOA和△GOC中，
，
∴△EOA≌△GOC，
∴EO=GO，AE=CG，
在Rt△EFG中，∵EO=OG，
∴OE=OF=GO，
∵∠OFE=30°，
∴∠OFG=90°﹣30°=60°，
∴△OFG是等边三角形，
∴OF=GF，∵OE=OF，
∴OE=FG，∵CF=FG+CG，
∴CF=OE+AE．
选图3的结论证明如下：
延长EO交FC的延长线于点G，
∵AE⊥BP，CF⊥BP，
∴AE∥CF，
∴∠AEO=∠G，
在△AOE和△COG中，
，
∴△AOE≌△COG，
∴OE=OG，AE=CG，
在Rt△EFG中，∵OE=OG，
∴OE=OF=OG，
∵∠OFE=30°，
∴∠OFG=90°﹣30°=60°，
∴△OFG是等边三角形，
∴OF=FG，
∵OE=OF，
∴OE=FG，
∵CF=FG﹣CG，
∴CF=OE﹣AE．
12．如图，在正方形ABCD中，点E为对角线AC上的一点，连接BE，DE．（1）如图1，求证：△BCE≌△DCE；
（2）如图2，延长BE交直线CD于点F，G在直线AB上，且FG=FB．
①求证：DE⊥FG；
②已知正方形ABCD的边长为2，若点E在对角线AC上移动，当△BFG为等边三角形时，求线段DE的长（直接写出结果，不必写出解答过程）．
【分析】（1）利用判定定理（SAS）可证；
（2）①利用（1）的结论与正方形的性质，只需证明∠FDE+∠DFG=90°即可；
②由DE⊥FG可构造直角三角形，利用等边三角形的性质及三角函数可求DE的长．
解：（1）∵四边形ABCD是正方形，AC是其对角线，
∴∠DCE=∠BCE，CD=CB
在△BCE与△DCE中，
∴△BCE≌△DCE（SAS）．
（2）①证明：∵由（1）可知△BCE≌△DCE，
∴∠FDE=∠FBC
又∵四边形ABCD是正方形，
∴CD∥AB，
∴∠DFG=∠BGF，∠CFB=∠GBF，
又∵FG=FB，
∴∠FGB=∠FBG，
∴∠DFG=∠CFB，
又∵∠FCB=90°，
∴∠CFB+∠CBF=90°，
∴∠EDF+∠DFG=90°，
∴DE⊥FG
②解：如下图所示，。