高考专题突破一

高考专题突破一 高考中的不等式问题

【考点自测】

1.若a ，b ，c ∈R ，且a >b ，则下列不等式一定成立的是( ) A.a ＋c ≥b －c B.(a －b )c 2≥0 C.ac >bc D.c 2a －b

>0 答案 B

解析 A 项，当c <0时，不等式a ＋c ≥b －c 不一定成立；C 项，当c ＝0时，ac ＝bc ；D 项，c ＝0时，c 2

a －

b ＝0；

B 项，由a >b 可得a －b >0， 因为c 2≥0，所以(a －b )c 2≥0. 故选B.

2.若当x >－3时，不等式a ≤x ＋2

x ＋3恒成立，则a 的取值范围是________.

答案 (－∞，22－3]

解析 设f (x )＝x ＋2x ＋3＝(x ＋3)＋2

x ＋3－3，

因为x >－3，所以x ＋3>0， 故f (x )≥2

(x ＋3)×2x ＋3

－3＝22－3，

当且仅当x ＝2－3时等号成立， 所以a 的取值范围是(－∞，22－3]. 3.若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪

⎧

x ＋y ≥0，x ≤1，

x －2y ≥0，则|x |＋|y |的取值范围是________.

答案 [0,2]

解析 |x |＋|y |表示可行域内一点到x ，y 轴的距离之和，作出不等式组表示的可行域，由可行域可知在点(0,0)处取得最小值0，在点(1，－1)处取得最大值2，所以|x |＋|y |∈[0,2]. 4.若关于x 的方程x 2＋4x ＋|a －2|＋|a ＋1|＝0有实根，则实数a 的取值范围为________.

答案 ⎣⎡⎦

⎤－32，52 解析 由方程x 2＋4x ＋|a －2|＋|a ＋1|＝0有实根，可得Δ＝42－4×1×(|a －2|＋|a ＋1|)≥0，整理得|a －2|＋|a ＋1|≤4.∵|a －2|＋|a ＋1|代表数轴上的点a 到2和－1两点的距离和，故由|a －2|＋|a ＋1|≤4得a 的取值范围为⎣⎡⎦

⎤－32，5

2.

题型一 含参数不等式的解法

例1 解关于x 的不等式x 2＋ax ＋1>0(a ∈R ). 解 对于方程x 2＋ax ＋1＝0，Δ＝a 2－4.

(1)当Δ>0，即a >2或a <－2时，方程x 2＋ax ＋1＝0有两个不等实根x 1＝－a －

a 2－4

2

，x 2＝

－a ＋

a 2－4

2，

且x 1

所以原不等式的解集为

⎩⎨⎧⎭

⎬⎫x ⎪⎪⎪

x <－a －a 2－42或x >

－a ＋a 2－42； (2)当Δ＝0，即a ＝±2时，

①若a ＝2，则原不等式的解集为{x |x ≠－1}； ②若a ＝－2，则原不等式的解集为{x |x ≠1}；

(3)当Δ<0，即－2

思维升华 解含参数的一元二次不等式的步骤

(1)若二次项含有参数应讨论是否等于0，小于0，和大于0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式.

(2)判断方程的根的个数，讨论判别式Δ与0的关系.

(3)当方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式.

跟踪训练1 (1)若不等式ax 2＋8ax ＋21<0的解集是{x |－7

解析 由题意可知－7和－1为方程ax 2＋8ax ＋21＝0的两个根. ∴－7×(－1)＝21

a

，故a ＝3.

(2)若关于x 的不等式|x －1|＋|x ＋m |>3的解集为R ，则实数m 的取值范围是__________. 答案 (－∞，－4)∪(2，＋∞)

解析 依题意得，|x －1|＋|x ＋m |≥|(x －1)－(x ＋m )|＝|m ＋1|，即函数y ＝|x －1|＋|x ＋m |的最小值是|m ＋1|，于是有|m ＋1|>3，m ＋1<－3或m ＋1>3，由此解得m <－4或m >2.因此实数m 的取值范围是(－∞，－4)∪(2，＋∞). 题型二 线性规划问题

例2 若实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪

⎧

x －y ＋2≥0，2x －y －5≤0，

x ＋y －4≥0， 则z ＝|x ＋2y －4|的最大值为________.

答案 21

解析 方法一 作出不等式组表示的平面区域.如图中阴影部分(含边界)所示.

z ＝|x ＋2y －4|＝

|x ＋2y －4|

5

·5，则几何含义为阴影区域内的点到直线x ＋2y －4＝0的距离的5倍.由⎩⎪⎨⎪⎧

x －y ＋2＝0，2x －y －5＝0，

得点B 的坐标为(7,9)，显然，点B 到直线x ＋2y －4＝0的距离最大，

此时z max ＝21.

方法二 由图可知，阴影区域内的点都在直线x ＋2y －4＝0的上方，显然此时有x ＋2y －4>0，于是目标函数等价于z ＝x ＋2y －4，即转化为一般的线性规划问题.显然，当直线经过点B 时，目标函数取得最大值，z max ＝21.

思维升华 对线性规划问题的实际应用，关键是建立数学模型，要找准目标函数及两个变量，

准确列出线性约束条件，然后寻求最优解，最后回到实际问题.

跟踪训练2 (1)(2017·浙江“超级全能生”联考)若实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪

⎧

x －2y ＋2≥0，x ＋2y ＋2≥0，

2x －y －1≤0，则

2|x ＋1|＋y 的最大值为( ) A.14

3 B.193 C.

4 D.1

答案 B

解析 可行域为如图所示阴影部分，即△ABC 及其内部，

其中A (－2,0)，B ⎝⎛⎭⎫

43，53，C (0，－1)，

因此当x ≥－1时，z ＝2x ＋2＋y 过点B 时取最大值193；

当x ＜－1时，z ＝－2x －2＋y 过点A 时取最大值2. 综上，2|x ＋1|＋y 的最大值是19

3

. 故选B.

(2)(2017·杭州调研)一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐4吨，硝酸盐18吨；生产1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐1吨，硝酸盐15吨.现库存磷酸盐10吨，硝酸盐66吨，在此基础上生产这两种混合肥料.如果生产1车皮甲种肥料产生的利润为10 000元，生产1车皮乙种肥料产生的利润为5 000元，那么适当安排生产，可产生的最大利润是________元. 答案 30 000

解析 设生产甲种肥料x 车皮，生产乙种肥料y 车皮，则z ＝10 000x ＋5 000y ，约束条件为