空间中的角比较大小
空间角总结
空间角总结什么是空间角？空间角是几何学中的一个重要概念，用来描述两个向量之间的夹角。
空间角通常用希腊字母θ（theta）表示，其单位是弧度（rad）。
空间角的概念可以扩展到三维空间中，帮助我们描述物体之间的方向关系和位置关系。
空间角的特征空间角具有以下几个重要特征：1.空间角是无向角：空间角没有方向之分，只关注两个向量之间夹角的大小，与向量的起点和终点无关。
2.空间角的大小范围：空间角的取值范围是0到π（也就是0到180度）。
3.水平角和垂直角：当两个向量在同一平面内，夹角为水平角；当两个向量互相垂直，夹角为垂直角。
4.空间角的计算方法：可以使用余弦定理或向量的点积来计算空间角的大小。
空间角的计算方法余弦定理余弦定理是计算空间角的常用方法之一。
设有两个向量A和B，它们之间的夹角θ满足以下关系：cos(θ) = (A·B) / (|A| * |B|)其中，A·B表示向量A和向量B的点积，|A|和|B|表示向量A和向量B的模。
通过余弦定理，我们可以根据向量的数值计算出它们之间的夹角。
向量的点积另一种计算空间角的方法是使用向量的点积。
向量A·B的点积可以通过以下公式计算得到：A·B = |A| * |B| * cos(θ)其中，θ表示向量A和向量B的夹角。
通过这个公式，我们可以根据两个向量的点积来计算它们之间的夹角。
球面角与立体角除了空间角之外，还有两个相关概念：球面角和立体角。
球面角球面角是指由球心发出的射线与球面上两个端点所夹的角。
球面角的单位是球面度（sr），1球面度是球面上的一个单位面积所占的立体角。
球面角可以通过球面面积和球半径来计算。
立体角立体角用来描述三维空间中的角度，是由空间中一点发出的射线与空间中的两个向量所夹的角。
立体角的单位是立体度（steradian，sr），1立体度表示空间中的一个单位面积所占的立体角。
立体角可以通过空间角和距离来计算。
角的比较教案：如何安排课堂讨论,帮助学生学会角的比较方法？
角的比较教案：如何安排课堂讨论，帮助学生学会角的比较方法？在初中数学学习中，角的概念是一个非常重要的内容。
学习角不仅有助于提高孩子的空间想象力，而且还能够为之后的学习奠定坚实的数学基础。
角的比较在数学中也起到了非常重要的作用。
本文将讲解如何通过课堂讨论帮助学生学会角的比较方法。
一、引导学生理解角的大小引导学生理解角的大小对于比较角的大小至关重要。
角的大小是指其张角的大小。
通常我们使用角度制来来表示角大小。
在初中数学中，我们学习到角的基本单位是度，圆周角是360度。
在讨论角的大小时，应让学生通过观察、测量、比较等方式对角度的大小有一个真正意义上的了解。
这样才能更好的进行角的比较。
二、教授比较角大小的方法1.利用角平分线角平分线是一个用于比较两个角的大小的重要工具。
通过画出两个角的平分线，可以将它们分成两个大小相等的角。
通过比较这两个小角的大小来判断原来两个大角的大小关系。
例如，如果两个角的平分线所得到的小角大小相等，则可以判断这两个角的角度大小相等。
2.利用角的组合我们可以利用旋转、翻转、剪接等方法来比较角的大小。
例如，将角A旋转或翻转后与角B 放在一起进行比较。
如果角A能够与角B重合，那么两个角就是大小相等的。
3.利用三角函数三角函数在数学中也是非常重要的一个概念。
通过利用三角函数，我们可以将任意角转化成这个角的一个三角函数值。
通过比较这个三角函数值，我们可以判断两个角的大小。
例如，我们可以利用正弦函数来比较两个角的大小。
如果两个角的正弦值相等，那么这两个角就是大小相等的。
三、课堂讨论的具体步骤在课堂上，老师应该引导学生先理解角的大小概念，然后教授比较角大小的方法。
具体步骤如下：1.引入问题。
展示两个或多个角，让学生通过观察判断它们的大小。
2.分组讨论。
将学生分为小组，让他们通过讨论来得出结论。
老师可以引导学生通过角平分线、角的组合、三角函数等方式来比较角的大小。
3.讨论分享。
让每个小组分享他们的讨论结果，并让其他小组进行评价和核对。
补上一课 空间角的大小比较及最值(范围)问题
补上一课 ,空间角的大小比较及最值(范围)问题)1．空间角的大小比较是每年高考的常考题型，以选择题的形式考查，主要类型有线线角间的大小比较、线面角间的大小比较、面面角间的大小比较及线线角、线面角、面面角间的大小比较，主要方法有计算法、元素比较法、三角函数值比较法及利用最小角定理(线面角是最小的线线角，二面角是最大的线面角)等方法． 2．立体几何动态问题中空间角的最值及范围也是常见到的题型，常与图形翻折、点线面等几何元素的变化有关，常用方法有几何法、函数(导数)法，不等式法等．题型一 空间角的大小比较 角度1 同类角间的大小比较【例1－1】 (1)(2021·嘉兴测试)已知长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 为正方形，AA 1＝a ，AB ＝b ，且a ＞b ，侧棱CC 1上一点E 满足CC 1＝3CE ，设异面直线A 1B 与AD 1，A 1B 与D 1B 1，AE 与D 1B 1的所成角分别为α，β，γ，则( ) A ．α＜β＜γ B ．γ＜β＜α C ．β＜α＜γ D ．α＜γ＜β(2)(2017·浙江卷)如图，已知正四面体D －ABC (所有棱长均相等的三棱锥)，P ，Q ，R 分别为AB ，BC ，CA 上的点，AP ＝PB ，BQQC ＝CRRA ＝2，分别记二面角D －PR－Q ，D －PQ －R ，D －QR －P 的平面角为α，β，γ，则( )A ．γ＜α＜βB ．α＜γ＜βC ．α＜β＜γD ．β＜γ＜α 答案 (1)A (2)B解析 (1)以D 为原点，DA 所在直线为x 轴，DC 所在直线为y 轴，DD 1所在直线为z 轴建立空间直角坐标系，∵长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面为正方形，AA 1＝a ，AB ＝b ，且a ＞b ，侧棱CC 1上一点E 满足CC 1＝3CE ，∴A 1(b ，0，a )，B (b ，b ，0)，A (b ，0，0)，D 1(0，0，a )，B 1(b ，b ，a )，E (0，b ，a 3)，A 1B →＝(0，b ，－a )，AD 1→ ＝(－b ，0，a )，D 1B 1→ ＝(b ，b ，0)，AE → ＝(－b ，b ，a 3)，cos α＝|A 1B → ·AD 1→||A 1B → |·|AD 1→|＝a 2a 2＋b 2·a 2＋b 2＝a 2a 2＋b 2，cos β＝|A 1B → ·D 1B 1→||A 1B → |·|D 1B 1→ |＝b 2a 2＋b 2·b 2＋b2，cos γ＝|AE → ·D 1B 1→||AE → |·|D 1B 1→ |＝0，∵a ＞b ＞0，∴cos α＞cos β＞cos γ＝0，∴α＜β＜γ，故选A.(2)如图①，作出点D 在底面ABC 上的射影O ，过点O 分别作PR ，PQ ，QR 的垂线OE ，OF ，OG ，连接DE ，DF ，DG ，则α＝∠DEO ，β＝∠DFO ，γ＝∠DGO . 由图可知它们的对边都是DO ， ∴只需比较EO ，FO ，GO 的大小即可．如图②，在AB 边上取点P ′，使AP ′＝2P ′B ，连接OQ ，OR ，则O 为△QRP ′的中心．设点O 到△QRP ′三边的距离为a ，则OG ＝a ， OF ＝OQ ·sin ∠OQF ＜OQ ·sin ∠OQP ′＝a ， OE ＝OR ·sin ∠ORE ＞OR ·sin ∠ORP ′＝a ， ∴OF ＜OG ＜OE ，∴OD tan β＜OD tan γ＜ODtan α，∴α＜γ＜β.角度2 不同类型角间的大小比较【例1－2】 (1)(2019·浙江卷)设三棱锥V －ABC 的底面是正三角形，侧棱长均相等，P 是棱VA 上的点(不含端点)．记直线PB 与直线AC 所成的角为α，直线PB 与平面ABC 所成的角为β，二面角P －AC －B 的平面角为γ，则( ) A ．β<γ，α<γ B ．β<α，β<γ C ．β<α，γ<α D ．α<β，γ<β(2)(一题多解)(2018·浙江卷)已知四棱锥S －ABCD 的底面是正方形，侧棱长均相等，E 是线段AB 上的点(不含端点)．设SE 与BC 所成的角为θ1，SE 与平面ABCD 所成的角为θ2，二面角S －AB －C 的平面角为θ3，则( ) A ．θ1≤θ2≤θ3 B ．θ3≤θ2≤θ1 C ．θ1≤θ3≤θ2 D ．θ2≤θ3≤θ1 答案 (1)B (2)D解析 (1)由题意，不妨设该三棱锥的侧棱长与底面边长相等．因为点P 是棱VA 上的点(不含端点)，所以直线PB 与平面ABC 所成的角β小于直线VB 与平面ABC 所成的角，而直线VB 与平面ABC 所成的角小于二面角P －AC －B 的平面角γ，所以β<γ；因为AC ⊂平面ABC ，所以直线PB 与直线AC 所成的角α大于直线PB 与平面ABC 所成的角β，即α>β.故选B.(2)法一 由题意知四棱锥S －ABCD 为正四棱锥，如图，连接AC ，BD ，记AC ∩BD ＝O ，连接SO ，则SO ⊥平面ABCD ，取AB 的中点M ，连接SM ，OM ，OE ，易得AB ⊥SM ，则θ2＝∠SEO ，θ3＝∠SMO ，易知θ3≥θ2.因为OM ∥BC ，BC ⊥AB ，SM ⊥AB ，所以θ3也是OM 与平面SAB 所成的角，即BC 与平面SAB 所成的角，再根据最小角定理知θ3≤θ1，所以θ2≤θ3≤θ1，故选D.法二 如图，不妨设底面正方形的边长为2，E 为AB 上靠近点A 的四等分点，E ′为AB 的中点，S 到底面的距离SO ＝1，以EE ′，E ′O 为邻边作矩形OO ′EE ′，则∠SEO ′＝θ1，∠SEO ＝θ2，∠SE ′O ＝θ3.由题意得tan θ1＝SO ′EO ′＝52，tan θ2＝SO EO ＝152＝25，tan θ3＝1，此时tan θ2＜tan θ3＜tan θ1，可得θ2＜θ3＜θ1，当E 在AB 中点处时，θ2＝θ3＝θ1，故选D.【训练1】 (2021·宁波适考)在正四面体S －ABC 中，点P 在线段SA 上运动(不含端点)．设PA 与平面PBC 所成角为θ1，PB 与平面SAC 所成角为θ2，PC 与平面ABC 所成角为θ3，则( ) A ．θ2<θ1<θ3 B ．θ2<θ3<θ1 C ．θ3<θ1<θ2 D ．θ3<θ2<θ1 答案 D解析 由题意可得，正四面体S －ABC 的四个顶点在正方体上，如图所示，不妨设点A (1，0，0)，B (0，1，0)，C (0，0，1)，S (1，1，1)，且AP → ＝λAS →，0<λ<1，则点P (1，λ，λ)，所以平面PBC 的一个法向量为a ＝(1－2λ，1，1)，平面SAC 的一个法向量为b ＝(1，－1，1)，平面ABC 的一个法向量为c ＝(1，1，1)．因为PA→＝(0，－λ，－λ)，PB → ＝(－1，1－λ，－λ)，PC →＝(－1，－λ，1－λ)．所以sin θ1＝|PA →·a ||PA →||a |＝24λ2－4λ＋3，sin θ2＝|PB → ·b ||PB → ||b |＝23λ2－3λ＋3，sin θ3＝|PC →·c ||PC → ||c |＝2λ3λ2－3λ＋3，所以θ1>θ2>θ3，故选D.题型二 空间角的最值【例2】 (1)如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点P 是棱AB 上的动点(P 点可以运动到端点A 和B )，设在运动过程中，平面PDB 1与平面ADD 1A 1所成的最小角为α，则cos α＝________．(2)(一题多解)(2021·浙江名师预测二)在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AD ＝1，AA 1＝2，点P ，Q 分别为直线AC 1，BB 1上的动点，则平面APQ 与平面BCC 1B 1所成二面角的最小值为( ) A.π6 B.π4 C.π3 D.π2 答案 (1)63 (2)A解析 (1)以点D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，AP ＝a (0≤a ≤1)，则易得D (0，0，0)，P (1，a ，0)，B 1(1，1，1)，则DP → ＝(1，a ，0)，DB 1→＝(1，1，1)，设平面PDB 1的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则{DP →·n ＝x ＋ay ＝0，DB 1→·n ＝x ＋y ＋z ＝0，令x ＝a ，得平面PDB 1的一个法向量为n ＝(a ，－1，－a ＋1)，易得平面ADD 1A 1的一个法向量为m ＝(0，1，0)，由图易得平面PDB 1与平面ADD 1A 1所成的二面角为锐角，设其为θ，则其余弦值为cos θ＝|n ·m|n ||m ||＝|－1|a 2＋（－1）2＋（－a ＋1）2＝12(a －12)2 ＋32，易得当二面角取得最小值α时，a ＝12，此时有cos α＝63.(2)法一 如图，因为点P ∈AC 1，所以平面APQ 即为平面AC 1Q ，根据二面角与线面角的大小关系知，当Q 运动到点B 时，动平面AC 1Q 与平面BCC 1B 1所成二面角的最小值即为直线AC 1与平面BCC 1B 1所成角∠AC 1B .由题意得AB ＝1，AC 1＝2，所以sin ∠AC 1B ＝12，所以∠AC 1B ＝π6，故平面APQ 与平面BCC 1B 1所成二面角的最小值为π6，故选A.法二 如图，以D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，由题意可知平面BCC 1B 1的一个法向量为n ＝(0，1，0)，平面APQ 即为平面AC 1Q ，则点A (1，0，0)，C 1(0，1，2)，Q (1，1，a )，则AC 1→ ＝(－1，1，2)，AQ →＝(0，1，a )，设平面AC 1Q 的法向量为m ＝(x ，y ，z )，则{AC 1→·m ＝－x ＋y ＋2z ＝0，AQ →·m ＝y ＋az ＝0，解得m ＝(a －2，a ，－1)．设平面AC 1Q 与平面BCC 1B 1所成二面角为θ，则cos θ＝|a |（a －2）2＋a 2＋1＝1(3a －63)2 ＋43，所以当a ＝322时，(cos θ)max ＝32，所以θmin ＝π6，故选A.【训练2】 (1)(2021·义乌市联考)如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1，点P 在AB 1上运动(不含端点)，点E 是AC 上一点(不含端点)，设EP 与平面ACD 1所成角为θ，则cos θ的最小值为( )A.13B.33C.53D.63(2)(2021·金华十校期末调研)如图，四边形ABCD 和ADPQ 均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点M 在线段PQ 上，E ，F 分别为AB ，BC 的中点．设异面直线EM 与AF 所成的角为θ，则cos θ的最大值是________．答案 (1)A (2)25解析 (1)点P 在AB 1上运动(不含端点)，点E 是AC 上一点(不含端点)，即EP 的运动区域为△AB 1C ，当cos θ取最小值时，θ最大，即为平面AB 1C 与平面AC 1D 所成的角，以点D 为坐标原点，DA 所在的直线为x 轴，DC 所在的直线为y 轴，DD 1所在的直线为z 轴，建立空间直角坐标系D －xyz 如图所示，平面AB 1C 的一个法向量n ＝(1，1，－1)，平面AC 1D 的一个法向量m ＝(1，1，1)，所以cos θ＝|cos 〈m ，n 〉|＝|m ·n |m ||n ||＝13×3＝13，故选A.(2)以A 点为坐标原点，AB ，AD ，AQ 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，设AB ＝1，则AF →＝(1，12，0)，E (12，0，0)，设M (0，y ，1)(0≤y ≤1)，则EM →＝(－12，y ，1)，∴cos 〈AF → ，EM →〉＝－12＋12y 1＋14·14＋y 2＋1＝－1－y 52·4y 2＋5.则cos θ＝|cos 〈AF → ，EM→〉|＝1－y 52·4y 2＋5 ＝255·1－y 4y 2＋5，令t ＝1－y ，则y ＝1－t ，∵0≤y ≤1，∴0≤t ≤1， 那么cos θ＝255·t 4t 2－8t ＋9＝255t 24t 2－8t ＋9＝25514－8t ＋9t 2， 令x ＝1t ，∵0≤t ≤1，∴x ≥1，那么cos θ＝25514－8x ＋9x 2，又∵z ＝9x 2－8x ＋4在[1，＋∞)上单调递增， ∴x ＝1时，z min ＝5，此时cos θ的最大值为255·15＝255·55＝25.题型三 空间角的范围【例3】 (1)(2021·浙江名师预测四)在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝1，将△ABC 与△ADC 沿AC 所在的直线进行随意翻折，在翻折过程中直线AD 与直线BC 成的角范围(包含初始状态)为( )A.[0，π6]B.[0，π3]C.[0，π2] D.[0，2π3] (2)在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点P 在A 1C 上运动(包括端点)，则BP 与AD 1所成角的取值范围是( ) A.[π4，π3] B.[π4，π2] C.[π6，π2] D.[π6，π3]答案 (1)C (2)D解析 (1)根据题意，初始状态，直线AD 与直线BC 成的角为0，当BD ＝2时，AD ⊥DB ，AD ⊥DC ，且DB ∩DC ＝D ，所以AD ⊥平面DBC ，又BC ⊂平面DBC ，故AD ⊥BC ，直线AD 与BC 成的角为π2，所以在翻折过程中直线AD 与直线BC 成的角范围(包含初始状态)为[0，π2].(2)建立如图坐标系，设正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1棱长为1，则AD 1→＝(1，0，－1)，A 1C → ＝(1，1，1)．设A 1P → ＝λA 1C → ＝(λ，λ，λ)，其中0≤λ≤1.则BP →＝(λ，λ－1，λ－1)．又设BP 与AD 1所成角为θ，所以cos θ＝|cos 〈BP → ，AD 1→ 〉|＝|BP → ·AD 1→||BP → ||AD 1→|＝16(λ－23)2 ＋43.由0≤λ≤1得12≤cos θ≤32，而0≤θ≤π2，所以π6≤θ≤π3.【训练3】(1)如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，所有的棱长均为2，M是AB的中点，动点P在底面A1B1C1内，若BP∥平面A1MC，记∠PCC1＝α，则sin α的取值范围是________．(2)(2021·杭州二中月考)在等腰梯形ABCD中，已知AB＝AD＝CD＝1，BC＝2，将△ABD沿直线BD翻折成△A′BD，如图所示，则直线BA′与CD所成角的取值范围是( )A.[π3，π2]B.[π6，π3]C.[π6，π2]D.[0，π3]答案 (1)[0，217] (2)A解析 (1)如图，取A1B1的中点D，连接BD，C1D，BC1，则BD∥A1M，又A1M⊂平面A1MC，BD⊄平面A1MC，所以BD∥平面A1MC，又C1D∥CM，C1D⊄平面A1MC，CM⊂平面A1MC，所以C1D∥平面A 1MC ，又BD ∩C 1D ＝D ，所以平面BC 1D ∥平面A 1MC ，所以点P 在线段C 1D 上，点P 的轨迹的长度C 1D ＝3，连接CD ，在Rt △CDC 1中，0≤α≤∠C 1CD ，CD ＝7， sin ∠C 1CD ＝217，所以0≤sin α≤217.(2)取BC 的中点E ，连接AE ，交BD 于点O ，则由AB ＝AD ＝CD ＝1，BC ＝2得AE ⊥BD ，则点A ′在以点O 为圆心，AO 为半径，垂直于直线BD 的平面内的圆上运动．以点O 为坐标原点，OE ，OD 所在直线为x ，y 轴，过点O 垂直平面BCD 的直线为z 轴建立空间直角坐标系如图所示，易得点A (－12，0，0)，B (0，－32，0)，C (1，32，0)，D (0，32，0).设点A ′(12cos θ，0，12sin θ)，θ∈[0，π]，则BA ′→＝(12cos θ，32，12sin θ)，CD →＝(－1，0，0)，设直线BA ′与直线CD 的夹角为α，则cos α＝cos 〈BA ′→ ，CD → 〉＝BA ′→ ·CD →|BA ′→ |·|CD →|＝－12cos θ∈[－12，12].又因为α∈[0，π2]，所以α∈[π3，π2]，故选A.1．如图，二面角α－l －β中，P ∈l ，射线PA ，PB 分别在平面α，β内，点A 在平面β内的射影恰好是点B ，设二面角α－l －β、PA 与平面β所成的角、PB 与平面α所成的角的大小分别为δ，φ，θ，则( )A ．δ≥φ≥θB ．δ≥θ≥φC ．φ≥δ≥θD ．θ≥δ≥φ答案 A解析 因为点A 在平面β内的射影为点B ，则φ＝∠APB ，由二面角的定义易得δ≥φ，设PB 在平面α内的射影为PB ′，则θ＝∠BPB ′，则由最小角定理得∠BPB ′≤APB ，则θ≤φ.综上所述，故选A.2．(2015·浙江卷)如图，已知△ABC ，D 是AB 的中点，沿直线CD 将△ACD 翻折成△A ′CD ，所成二面角A ′－CD －B 的平面角为α，则( )A ．∠A ′DB ≤α B ．∠A ′DB ≥αC ．∠A ′CB ≤αD ．∠A ′CB ≥α 答案 B解析 ∵A ′C 和BC 都不与CD 垂直，∴∠A ′CB ≠α，故C ，D 错误．当CA ＝CB 时，容易证明∠A ′DB ＝α.不妨取一个特殊的三角形，如Rt △ABC ，令斜边AB ＝4，AC ＝2，BC ＝23，如图所示，则CD ＝AD ＝BD ＝2，∠BDH ＝120°，设沿直线CD 将△ACD 折成△A ′CD ，使平面A ′CD ⊥平面BCD ，则α＝90°.取CD 中点H ，连接A ′H ，BH ，则A ′H ⊥CD ，∴A ′H ⊥平面BCD ，且A ′H ＝3，DH ＝1.在△BDH 中，由余弦定理可得BH ＝7.在Rt △A ′HB 中，由勾股定理可得A ′B ＝10.在△A ′DB 中，∵A ′D 2＋BD 2－A ′B 2＝－2<0，可知cos ∠A ′DB <0，∴∠A ′DB 为钝角，故排除A.综上可知答案为B.3．(2021·七彩阳光联盟适考)如图1，梯形ABCD 中，AB ∥DC ，AD ＝DC ＝BC ＝AE ＝12AB ，现将四边形ADCE 沿EC 折起，得到几何图形B －ECD ′A ′(如图2)，记直线D ′C 与直线EB 所成的角为α，二面角B －EC －D ′的平面角的大小为β，直线A′E与平面BCE所成角为γ，则( )A．α>γ，β>γB．α<β，β>γC．α>β>γD．β>α>γ答案 A解析 在折叠过程中，由线面角是最小的线线角可知α>γ；由二面角是最大的线面角可知β>γ，故选A.4．(2021·宁波十校联考)正方体ABCD－A1B1C1D1，P是线段BD1(不含端点)上的点．记直线PC与直线AB所成角为α，直线PC与平面ABC所成角为β，二面角P－BC－A的平面角为γ，则( )A．β<γ<αB．α<β<γC．γ<β<αD．γ<α<β答案 A解析 由题意知，二面角P－BC－A为平面D1CB与平面ABCD所成的角，其平面角即为∠D1CD，则γ＝∠D1CD.如图，因为直线与平面所成的角是此直线与该平面内的直线所成角中的最小角，而∠D1CD是直线AB与平面D1CB所成的角，PC⊂平面D1CB，则有γ<α.又∠D1CD也是直线CD与平面D1CB所成的角，故β<γ，所以β<γ<α，故选A.5.(2018·衢州二中二模)如图，△BCD是以BC为斜边的等腰直角三角形，在△ABC中，∠BAC＝90°，△ABC沿着BC翻折成三棱锥A－BCD的过程中，直线AB与平面BCD所成的角均小于直线AC与平面BCD所成的角，设二面角A－BD－C，A－CD－B的大小分别为α，β，则( )A．α>βB．α<βC．存在α＋β>πD．α，β的大小关系不能确定答案 B解析 作AH⊥平面BCD，分别作HM⊥BD，HN⊥CD于M，N两点．由AB与平面BCD所成的角∠ABH总小于AC与平面BCD所成的角∠ACH，则AB>AC.设O为BC的中点，则点H在DO的右侧，所以有HM>HN，故tan α＝tan∠AMH＝AHHM，tan β＝tan∠ANH＝AHHN，因此，tan α<tan β，即α<β，故选B.6．已知在矩形ABCD中，AD＝2AB，沿直线BD将△ABD折成△A′BD，使得点A′在平面BCD上的射影在△BCD内(不含边界)，设二面角A′－BD－C的大小为θ，直线A′D，A′C与平面BCD所成的角分别为α，β，则( )A．α<θ<βB．β<θ<αC．β<α<θD．α<β<θ答案 D解析 设点A′在平面BCD内的射影为点O，过点A′作BD的垂线，垂足为点E，设AB＝1，则在Rt△A′BD中易得A′E＝63，∠A′DO＝α，∠A′CO＝β，∠A′EO＝θ，且α，β，θ均为锐角，tan∠A′DO＝A′OOD，tan∠A′CO＝A′OOC，tan∠A′EO＝A′OOE，又由翻折及解三角形知识易得当点A′在平面BCD内的射影在△BCD内(不含边界)时，有OE<OC<OD，所以A′OOD<A′OOC<A′OOE，即tan∠A′DO<tan∠A′CO<tan∠A′EO，所以∠A′DO<∠A′CO<∠A′EO，即α<β<θ，故选D.7．(2021·宁波期末)如图，已知在平面四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，BC＝CD，AB>AD，现将△ABD沿对角线BD翻折得到三棱锥A′－BCD，在此过程中，二面角A′－BC－D，A′－CD－B的大小分别为α，β，直线A′B与平面BCD所成角为γ，直线A′D与平面BCD所成角为δ，则( )A．γ<δ<βB．γ<α<βC．α<δ<βD．γ<α<δ答案 B解析 在平面四边形ABCD中，过点A作BD的垂线，交BD于点H，则易得在翻折的过程中，点A′在底面BCD内的投影点O在直线AH上，连接OB，OD，过点O作CD，BC的垂线，垂足分别为点E，F，则∠A′FO＝α，∠A′EO＝β，∠A′BO＝γ，∠A′DO＝δ，则tan α＝A′OOF，tan β＝A′OOE，tan γ＝A′OOB，tan δ＝A′OOD.由题设易得OF>OE，OB>OD，所以tan α<tan β，tan γ<tan δ，所以α<β，γ<δ.又由最小角定理得γ<α，δ<β.综上所述，γ<α<β，故选B.8．(2021·杭州二中仿真模拟)空间线段AC⊥AB，BD⊥AB，且AC∶AB∶BD＝1∶3∶1，设CD与AB所成的角为α，CD与平面ABC所成的角为β，二面角C－AB－D的平面角为γ，则( )A．β≤α≤γ2B．β≤γ2≤αC．α≤β≤γ2D．α≤γ2≤β答案 A解析 如图所示，过点B作BE∥AC，且BE＝AC，连接DE.则可知α＝∠DCE，γ＝∠DBE.由最小角定理可得β≤α.在△DBE中，DE＝2sin γ2.在Rt△DCE中，sinα<tan α＝23sinγ2<sinγ2，所以α<γ2.若DB⊂平面ABC，则β＝α＝γ2＝0，所以β≤α≤γ2，故选A.9．(2021·浙江新高考仿真三)在四面体ABCD中，AB⊥BC，BC⊥CD，AB＝BC＝CD＝1，AD＝3，点E为线段AB上动点(包含端点)，设直线DE与BC所成角为θ，则cos θ的取值范围为( )A.[0，33]B.[0，22]C.[22，53]D.[33，22]答案 D解析 由题意得|AD → |2＝(AB → ＋BC → ＋CD → )2＝|AB → |2＋|BC → |2＋|CD → |2＋2AB → ·BC →＋2AB → ·CD → ＋2BC → ·CD →＝3，又因为AB ⊥BC ，BC ⊥CD ，AB ＝BC ＝CD ＝1，所以AB → ·CD →＝0，则可将四面体ABCD 放到棱长为1的正方体内，如图所示，以点C 为坐标原点，CD 所在直线为x 轴，CB 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系，则易得C (0，0，0)，B (0，0，1)，D (1，0，0)，E (0，a ，1)，a ∈[0，1]，所以BC →＝(0，0，－1)，DE →＝(－1，a ，1)，所以|cos θ|＝12＋a2∈[33，22]，故选D.10．(2021·金华十校模拟)设三棱锥V －ABC 的底面是以A 为直角顶点的等腰直角三角形，VA ⊥底面ABC ，M 是线段BC 上的点(端点除外)，记VM 与AB 所成角为α，VM 与底面ABC 所成角为β，二面角A －VC －B 为γ，则( ) A ．α<β，β＋γ>π2 B ．α<β，β＋γ<π2C ．α>β，β＋γ>π2D ．α>β，β＋γ<π2答案 C解析 因为VA ⊥底面ABC ，AB 在平面ABC 内，则由最小角定理得α>β，β＝∠VMA ，则β＋∠MVA ＝π2.过点A 作AN ⊥VC ，连接BN ，则γ＝∠BNA ，tan γ＝tan ∠BNA ＝ABAN ， 而tan ∠BVA ＝ABAV ，AN <AV ，所以tan ∠BVA <tan ∠BNA ，则γ>∠BVA .又因为tan ∠MVA ＝AMAV，AB >AM ，所以tan ∠MVA <tan ∠BVA ，所以γ>∠BVA >∠MVA ，则β＋γ>π2，故选C.11．如图1，在平面多边形ABCDE 中，四边形ABCD 是正方形，△ADE 是正三角形．将△ADE 所在平面沿AD 折叠，使得点E 达到点S 的位置(如图2)．若二面角S －AD －C 的平面角θ∈[π6，π3]，则异面直线AC 与SD 所成角的余弦值的取值范围是( )A.[216，24]B.[616，24]C.[216，6＋216] D.[0，28]答案 D 解析 如图，取AD 的中点O ，BC 的中点G ，连接OS ，OG ，则OG ⊥AD ，以OG 所在直线为x 轴，OD 所在直线为y 轴，过点O 且垂直于平面ABCD 的直线为z 轴，建立空间直角坐标系．设AB ＝2，则A (0，－1，0)，C (2，1，0)，D (0，1，0)．因为△SAD 为正三角形，O 为AD 的中点，所以SO ⊥AD ，又OG ⊥AD ，所以∠SOG 是二面角S －AD －C 的平面角，即∠SOG ＝θ，则S (3cos θ，0，3sin θ)．因为AC →＝(2，2，0)，DS →＝(3cos θ，－1，3sin θ)，所以cos 〈AC → ，DS →〉＝23cos θ－222×2.又θ∈[π6，π3]， 所以cos θ∈[12，32]，所以cos 〈AC → ，DS →〉∈[6－228，28]，故异面直线AC 与SD 所成角的余弦值的取值范围是[0，28].12．(2021·金华十校期末调研)如图，在底面为正三角形的棱台ABC －A 1B 1C 1中，记锐二面角A 1－AB －C 的大小为α，锐二面角B 1－BC －A 的大小为β，锐二面角C 1－AC －B 的大小为γ，若α＞β＞γ，则( )A ．AA 1＞BB 1＞CC 1 B ．AA 1＞CC 1＞BB 1 C ．CC 1＞BB 1＞AA 1D ．CC 1＞AA 1＞BB 1 答案 D解析 分别延长AA 1，BB 1，CC 1交于点D ，过点D 作DO ⊥底面ABC ，过点O 分别作△ABC 三边的垂线，分别交于点M ，N ，P ，则tan α＝DO OM，tan β＝DO ON ，tan γ＝DO OP，因为α＞β＞γ，所以OM ＜ON ＜OP ，则点O 一定在△BEF 内部(不包括边界)，所以OB ＜OA ＜OC ，又因为AD ＝OA 2＋OD 2，BD ＝OB 2＋OD 2，CD ＝OC 2＋OD 2，所以BD ＜AD ＜CD ，所以CC 1＞AA 1＞BB 1，故选D.13．(2016·浙江卷)如图，已知平面四边形ABCD ，AB ＝BC ＝3，CD ＝1，AD ＝5，∠ADC ＝90°，沿直线AC 将△ACD 翻折成△ACD ′，直线AC 与BD ′所成角的余弦的最大值是________．答案 66解析 设直线AC 与BD ′所成角为θ，平面ACD 翻折的角度为α，设O 是AC 中点，由已知得AC ＝6，如图，以OB 为x 轴，OA 为y 轴，过O 与平面ABC 垂直的直线为z 轴，建立空间直角坐标系， 则A (0，62，0)，B(302，0，0)，C (0，－62，0)，作DH ⊥AC 于H ，连接D ′H ，翻折过程中，D ′H 始终与AC 垂直，CH ＝CD 2CA ＝16＝66，则OH ＝63，DH ＝1×56＝306， 因此可设D ′(－306cos α，－63，306sin α)，则BD ′→＝(－306cos α－302，－63，306sin α)， 与CA →平行的单位向量为n ＝(0，1，0)， 所以cos θ＝|cos 〈BD ′→ ，n 〉|＝|BD ′→ ·n |BD ′→|·|n ||＝639＋5cos α，所以cos α＝－1时，cosθ取最大值6 6.。
空间几何中的角度和角度关系
空间几何中的角度和角度关系在空间几何中，角度是一个非常重要的概念。
角度指两条射线之间的夹角，通常用度数来表示。
通过研究角度和角度关系，我们可以深入理解空间中的图形和结构，进而解决各种几何问题。
一、角度的概念角度是描述两条射线之间夹角大小的量度。
一般来说，角度是以直线为基准的，从一条射线按逆时针方向转过去，所转过的度数就是角度的度数。
角度通常用“度”来表示，单位符号为“°”。
在空间几何中，角度的大小一般为0°到360°之间，0°表示射线重合，180°表示射线相互平行，360°表示射线重合。
不同大小的角度所代表的夹角也不同，小于90°的角称为锐角，等于90°的角称为直角，大于90°小于180°的角称为钝角，等于180°的角称为平角，大于180°小于360°的角称为全角。
二、角度的关系1. 同位角：同位角是指两条射线被第三条射线相交，形成角度对应的两对角。
同位角有三种关系，即内角、外角和对顶角。
内角是相交射线之间的角，外角是相邻射线之外的角，对顶角是位于相交射线两侧且不相邻的角。
2. 相关角：相关角是指两角可能相等、互补或补角的特殊角度。
相关角可以帮助我们简化计算，通过相关角的关系，我们可以推导出更多的几何性质和定理。
3. 平行线和角度：在空间几何中，平行线之间的夹角关系是非常重要的。
对于平行线和交叉线组成的角，我们可以根据平行线的性质来求解这些角度。
三、角度的应用1. 角度的测量：在几何学中，测量角度是解决问题的第一步。
通过工具如量角器可以准确测量角度的大小，进而进行相关计算和分析。
2. 角度的计算：在解决几何问题时，经常需要计算不同角度的大小。
通过角度的相关性质和计算方法，可以快速求解各种角度。
3. 角度的证明：在证明几何问题时，经常需要利用角度关系来推导出结论。
通过严谨的推理和分析，可以证明各种与角度有关的几何定理。
空间角及其计算
建筑学中的应用
建筑设计
空间角在建筑设计中具有重要应用，如确定建筑物的朝向、布局和采光等。通 过合理利用空间角，可以优化建筑物的空间布局和采光效果，提高居住和使用 质量。
室内设计
在室内设计中，空间角的应用同样重要。通过合理调整室内家具和装饰品的摆 放角度，可以营造出更加舒适和美观的室内环境。
物理学中的应用
物理学
在物理学的力学、电磁学和光学等 领域，空间角也具有重要应用，如 描述带电粒子的运动轨迹、光的折 射和反射等。
02
空间角的计算方法
几何法
定义
几何法是利用空间几何知识，通 过作垂线、平行线、中线等手段， 将空间角转化为平面角或线线角，
然后进行计算的方法。
步骤
1. 作出相关垂线、平行线或中线； 2. 将空间角转化为平面角或线线 角；3. 利用平面几何知识计算角
空间角在其他领域的应用拓展
航天工程
利用空间角计算，优化航天器的轨道设计和姿态控制，提高航天 任务的可靠性和成功率。
机器人技术
通过空间角的计算，实现机器人的精准定位和自主导航，拓展机器 人在工业、医疗等领域的应用。
虚拟现实与游戏设计
利用空间角技术，提升虚拟环境的真实感和沉浸感，为游戏玩家和 设计师提供更加丰富的体验。
空间角及其计算
• 空间角的基本概念 • 空间角的计算方法 • 空间角的应用实例 • 空间角与空间几何的关系 • 空间角的未来发展与展望
01
空间角的基本概念
定义与性质
定义
空间角是指两个非平行直线或平 面在三维空间中形成的角度。
性质
空间角具有方向性，其大小和方 向可以通过几何学和三角函数来 描述。
光学研究
在光学研究中，空间角是描述光线传播方向和角度的重要参数。通过测量和计算 空间角，可以研究光线的反射、折射和散射等现象，进一步探索光与物质之间的 相互作用。
北师大版小学数学二年级下册第六单元《认识角》教学设计建议及课本习题解析
认识角（初步认识角）学习目标1.结合生活实际，经历从实际物体中抽象出角的过程，直观认识平面图形中的角，初步发展空间观念。
2.结合直观操作活动，了解比较角的大小的方法。
编写说明在本节内容中，学生将第一次接触角的概念。
角作为一个抽象的图形，与学生头脑中想象的生活中的墙角、桌角不尽相同，本节内容学习的是平面上的角。
教科书在主情境中首先呈现了三个学生熟悉的生活物品——剪刀、钟表、红领巾。
剪刀张开的两个刀刃、钟面上的两根指针及红领巾的两边都可以组成“角”，教科书特意在三个物品上用红线描出了角的图形，并向学生介绍“，这些都是角”，这个过程是让学生经历从实际物体中抽象出角的过程，是直观认识角的活动之一。
之后，教科书又通过第一个问题让学生尝试“自由”画角，第二个问题认识角的顶点和边，第三个问题在图形中辨认角，从多角度帮助学生加强对角的认识。
“试一试”则借助操作活动，直观体会角的大小与张口有关、与边的长短无关的特征。
·画一画。
为进一步加强学生对角的概念的体会，教科书安排了画一画的活动。
需要说明的是，这里不是正式学习画角的技能，它是在学生初步有了角的概念后，借助“自由”画角活动进一步体会角的组成，即角是由一个顶点和两条边组成的。
角的位置和张口方向可以不同。
·认一认。
介绍角各部分的名称、写法和读法。
·在下面的图中各找出三个角，标一标。
通过在平面图形中辨认角，再一次加深学生对角的认识。
其中在桥洞图中，曲边与底部相交的地方形成的不是角，教科书呈现这个反例的目的是更好地衬托“角是由一个顶点和两条直边组成”的特点。
试一试·剪下附页3中图1的两个角，比一比，大的画“√”。
因为在第二学段，还要再次认识角，所以本单元教科书只强调用直观操作的方法，进行角的大小比较。
教科书通过直观操作叠合的方法比较角的大小，这种方法在本单元后续通过直角认识锐角或钝角也将用到，而且在第二学段角的度量也会再次使用。
角的比较方法
角的比较方法在几何学中，角是两条射线共同端点所形成的图形。
角的比较是几何学中非常重要的一部分，它涉及到角的大小、角的性质以及角的比较方法。
本文将介绍几种常见的角的比较方法，希望能够帮助读者更好地理解和掌握这一知识点。
首先，我们来谈谈角的大小比较方法。
在几何学中，我们通常使用角度的大小来比较角的大小。
角度是用来衡量角的大小的单位，通常用符号“°”表示。
当两个角的度数相同时，我们可以认为它们是相等的；当一个角的度数大于另一个角的度数时，我们可以认为前者是大于后者的；当一个角的度数小于另一个角的度数时，我们可以认为前者是小于后者的。
通过比较角的度数大小，我们可以清晰地了解角的大小关系。
其次，我们来讨论角的性质比较方法。
在几何学中，角可以根据其性质进行比较。
例如，我们可以比较两个角的对顶角、邻补角、邻角等性质。
对顶角是指两个角的顶点和边分别重合，对顶角相等；邻补角是指两个角的和为90度，邻补角互补；邻角是指共享一个公共边且顶点在同一直线上的两个角，邻角互补。
通过比较角的性质，我们可以发现角之间的关系，从而更好地理解和运用角的知识。
最后，我们来探讨角的比较方法在实际问题中的应用。
在实际问题中，我们经常需要比较不同角的大小和性质。
例如，在建筑设计中，我们需要比较不同角的大小来确定建筑物的结构和形状；在地理测量中，我们需要比较不同角的性质来确定地理位置和方向。
通过运用角的比较方法，我们可以更好地解决实际问题，提高工作效率。
综上所述，角的比较方法是几何学中非常重要的一部分。
通过比较角的大小、性质以及在实际问题中的应用，我们可以更好地理解和掌握角的知识，从而更好地应用到实际问题中。
希望本文介绍的角的比较方法能够帮助读者更好地理解和运用这一知识点。
北师大版高中数学选择性必修第一册 第三章 4.3 第1课时 空间中的角
.
4
答案
5
解析 以 D 为坐标原点,分别以 DA,DC,DD1 所在直线为 x 轴,y 轴,z 轴建立空
间直角坐标系 D-xyz,设 AB=1.则 B(1,1,0),A1(1,0,2),A(1,0,0),D1(0,0,2),
1 ·1
-4
4
1 =(0,1,-2),1 =(-1,0,2),cos<1 , 1 >=
16
∴二面角 A1-BC1-B1 的余弦值为25.
(3)解 设 D(x,y,z)是直线 BC1 上一点,且=λ1 ,
∴(x,y-3,z)=λ(4,-3,4).
解得 x=4λ,y=3-3λ,z=4λ,
∴=(4λ,3-3λ,4λ).
由 ·1 =0 得 9-25λ=0,解得
9
λ=25.
A1B与平面BDE所成的角为(
π
A.6
π
B.3
π
C.2
5
D.6π
)
答案 B
解析 以 D 为原点建立空间直角坐标系,可求得平面 BDE 的法向量 n=(1,-1,2),
1+2
3
而1 =(0,-1,1),所以 cos θ=
= ,则 θ=30°,故直线 A1B 与平面 BDE 成
2
2 3
60°角.
探究三
探究一
利用向量方法求两异面直线所成的角
例1如图所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥底面ABC,AB=BC=AA1,
∠ABC=90°,E,F分别是棱AB,BB1的中点,试求直线EF和BC1所成的角.
分析建立空间直角坐标系,求出直线EF和BC1的方向向量的坐标,求它们的
角的比较和运算
角的比较和运算角是物体运动和变形过程中最重要的空间量度，在数学中也被广泛地用于计算各种几何关系和建立数学模型。
角的表示方式有很多种，其中度数角和弧度角是最常用的表示形式。
同时，在角的比较和运算中，要根据表示形式的不同来进行正确的运算，并正确地转换表示形式。
一、角的表示形式1、度数角度数角是最常用的表示形式，它由圆心到圆周上任意一点的两条弧线的夹角组成，其定义为：在以圆心为原点的坐标系中，起点为原点，终点距离原点的长度为1的线段所与X轴正半轴之间的夹角的大小，单位为度（°）。
2、弧度角弧度角是一种非常常用的表示形式，它由弧形与X轴正半轴之间的夹角组成，其定义为：在以圆心为原点的坐标系中，以圆心为原点，以圆周中某点为终点，且两点之间距离为圆周长度的一半时，这样的角被称为弧度角，其单位为弧度（rad）。
二、角的比较在比较角的大小时，首先需要考虑到它们的表示形式。
如果两个角的表示形式都是度数角，则可以按照一般的数理比较的方法进行比较。
如果一个角的表示形式是度数角，另一个角的表示形式是弧度角，则需要先将弧度角转换为度数角，然后再进行比较。
三、角的运算1、加法运算加法运算也是角运算中比较重要的一个部分。
在角的加法运算中，同样要根据表示形式的不同来进行正确的运算，如果两个角均为度数角，则将它们的角度相加即可；如果一个角表示形式是度数角，另一个角的表示形式是弧度角，则先将弧度角转换为度数角，然后再进行加法运算。
2、减法运算减法运算也是角运算中比较重要的一个部分。
在角的减法运算中，同样要根据表示形式的不同来进行正确的运算，如果两个角均为度数角，则将它们的角度相减即可；如果一个角表示形式是度数角，另一个角的表示形式是弧度角，则先将弧度角转换为度数角，然后再进行减法运算。
3、乘法运算乘法运算是角运算中比较常见的一种运算，它可以用来计算两个角的乘积，即两个角的乘积是比原来的角更长的一个新角。
在进行乘法运算时，首先要确定每个角的表示形式，然后将想要乘以的角转换为度数角，最后再进行乘法运算即可。
改变观念 巧妙转化 坚定信念——谈最小角定理在比较空间角大小层
题也就不在话 下了． 但甚为遗憾 ， 从试后结果调查来看， 仍有
为数不少 的学生根本没有想到运用最小角定 理．
问题 简 解 因为 ０ １ 是 直线 Ｐ 与平 面 ＡＢＣ 所 成 的角 ．
条 直线垂 直于平 面， 我 们说它们 所成 的角是 直角； 一条 直线
而 ０ ２是 直线 Ａｌ Ｐ 与直 线 ＢＣ 所 成角， 由最小 角定 理可 知 ０ ｌ≤ ０ ２ ， 又因为 直线 ＢＣ在 平面 ＡＢ Ｃ 内且不 可能与 Ａ１ Ｐ 的射影 ＡＰ 共线， 所以０ １＜０ ２ ． ２ ． ２巧妙转化理解定理
２ ０ １ ６年 第 ｌ ２期 （ 上）
中学数 学研 究
３ ７
改变观念
一
巧 妙 转 化 坚 定信 念
谈最小角定理在 比较 空间角大小层面 的三种意境
浙江省德清县高级 中学 （ ３ １ ３ ２ ０ ０ ） 江战明
对于平 面 内两角大 小的 比较， 一般 采用 的方法是计 算它
三 棱锥 Ｂ —Ａｌ Ｂ１ １中， Ｐ 是棱 Ｂ 上 的动点． 记 直线 １ Ｐ与平 面 ＡＢ 所成 的角为 ０ １ ， 与直线 Ｂ 所 成角为 ０ ２ ， 则０ １ ， ０ ２的大小关系是 （ ）
Ａ．
图２
图３
Ｄ Ｂ ≤
Ｂ． ＺＡ Ｄ Ｂ ≥ Ｄ． Ａ Ｂ ≥
设 Ａ Ｂ ＝ ｎ ， Ａ 。 ＝ ， Ａ Ａ ： ｚ ， ∈ （ 。 ，
ｓ ｉ ｎ ＢＡ ＝ —
ａ
为 在 翻折 过 程 中， ＡＢ ＝ Ａ Ｂ， Ａ０ ： Ａ ０ ＝ ＯＣ， 所 以
） ． 因
以 自圆其说 ． 其 实这个 问题 仍然在 考查最小 角定理， 只不过 呈现形式 变成了线线角与二面角大小 的 比较 ． 那么如何把这 个 二面角转化到 与线 面角 相关 ， 如何 把两个角转化到一 条直 线 与另外两条直线所成 角， 如何让这 两个 角与最小角定 理产 生联 系， 这也就是本题的 “ 亮点” 所在．
空间几何中的角度和角度关系
空间几何中的角度和角度关系在空间几何中，角度是一种十分重要的概念，它可以帮助我们描述和研究各种几何形状之间的关系。
本文将介绍空间几何中的角度及其相关的角度关系。
一、角度的定义和性质角度是由两条射线（或者线段）所围成的图形，常用字母“∠”来表示。
我们常见的角度有直角、锐角和钝角。
1. 直角是最简单的角度关系，指的是两条相互垂直的射线所围成的角，其大小为90度。
直角在空间几何中有重要的应用，例如矩形的四个内角都是直角。
2. 锐角是两条射线夹角小于90度的角，其大小处于0度到90度之间。
锐角常常出现在各种三角形中，它决定了三角形的形状和性质。
3. 钝角是两条射线夹角大于90度但小于180度的角，其大小处于90度到180度之间。
钝角在空间几何中也有重要的角度关系，例如平行四边形的一个内角是钝角。
角度的性质有：1. 角度可以通过直角转化。
例如，两个相互垂直的直角是互补角（两个角的和为180度）。
互补角在三角形的补角关系中也有重要的作用。
2. 角的大小是相对的。
我们通常用角的大小来比较和描述角的大小关系，而不是单纯地依靠图形的形状。
例如，一个角度小于另一个角度表示前者比后者更为锐利。
3. 角度可以分解。
一个角度可以分解成若干个小角的和，这种分解可以帮助我们研究复杂问题。
例如，一个平行四边形的内角可以分解成两个互补角的和。
二、角度关系除了上述基本的角度类型和性质外，空间几何中还存在着一些重要的角度关系。
1. 对顶角：对顶角是指两条交叉直线所形成的相对的角。
对顶角的特点是大小相等，即它们的度数相同。
对顶角在各种几何形状中都有广泛的应用。
2. 夹角：夹角是指两条相交直线之间的角度。
夹角的大小可以决定直线的相对位置，例如两个平行直线的夹角为零。
3. 垂直角：垂直角是指两条相交直线互相垂直形成的角度，其度数为90度。
垂直角在研究垂直和垂直性的相关问题时起到重要作用。
4. 互补角和补角：互补角是指两个角度之和为90度，而补角是指两个角度之和为180度。
角的比较大小 角的比较
角的比较大小角的比较教学建议一、知识结构二、重点、难点分析本节教学的重点是角的大小比较，角平分线的意义，两个角的和、差、倍、分的意义．难点是空间观念，几何识图能力的培养．角的比较的相关知识是进一步学习角的度量和画法，以及进一步研究平面几何图形的基础.1﹒角的大小的比较有两种方法：（1）重合法：即把要比较的两个角的顶点和一条边重合，再比较另一条边的位置；（2）度量法；即比较两个角的度数．两种方法的比较结果是一致的．2．利用比较角大小的上述两种方法，就可以画出角的和、差、倍、分，并进而比较角的和、差、倍、分的大小．3．对于角平分线的概念，要注意以下两点：（1）它是角的内部的一条射线，并且是一条特殊的射线，它把角分成了相等的两部分．（2）要掌握角平分线的数学表达式：若OC 是的平分线，则或4．在比较角的大小时，应注意角的大小只与开口的大小有关，而与角的边画出部分的长短无关．这是因为角的边是射线而非线段．若用射线旋转成角的定义，也可以说转得较多的角较大．三、教法建议1．本节教材，完全可以对照线段的比较，线段的和差倍分，以及中点的意义来进行．两者是十分相似的．2．比较两个角的大小时，把角叠合起来，一定要使两个角的顶点及一边重合，另一边落在第一条边的同旁，否则不能进行比较．这可以通过叠合两块三角尺比较角的大小的实例来说明．这和线段大小比较十分相似．3．由于前面学过线段的大小比较和线段的和、差、倍、分．本课教学的指导思想就是运用类比联想的思维方法，引导学生利用旧知识，解决新问题．4．在本课的练习中，在可能的情况下，将以后经常遇到的图形，提前让学生见到，为以后的学习奠定了基础．5．在角的和、差、倍、分的计算中，由于度、分、秒的四则运算还没有讲到，因此只进行度的加、减．教学设计示例一、素质教育目标（一）知识教学点1．理解两个角的和、差、倍、分的意义．2．掌握角平分线的概念3．会比较角的大小，会用量角器画一个角等于已知角．（二）能力训练点1．通过让学生亲自动手演示比较角的大小，画一个角等于已知角等，培养训练学生的动手操作能力．2．通过角的和、差、倍、分的意义，角平分线的意义，进一步训练学生几何语言的表达能力及几何识图能力，培养其空间观念．（三）德育渗透点通过具体实物演示，对角的大小进行比较这一由感性认识上升到理性认识的过程，培养学生严谨的科学态度，对学生进行辩证唯物主义思想教育．（四）美育渗透点通过对角的大小比较，提高学生的鉴赏力，通过学生自己作角及角平分线，使学生进一步体会几何图形的形象直观美．二、学法引导1．教师教法：直观演示、尝试、指导相结合．2．学生学法：主动参与、积极思维、动手实践相结合．三、重点·难点·疑点及解决办法（一）重点角的大小比较，角平分线的意义，两个角的和、差、倍、分的意义．（二）难点空间观念，几何识图能力的培养．（三）疑点角的和、差、倍、分的意义．（四）解决办法通过学生主动参与，在自觉与不自觉中掌握知识点，再经过练习，解决难点和疑点．四、课时安排1课时五、教具学具准备投影仪或电脑、一副三角板、自制胶片（软盘）、量角器．六、师生互动活动设计七、教学步骤（一）明确目标通过教学，使学生在角的比较中掌握方法，理解相应概念，并掌握角平分线的概念．（二）整体感知通过现代化教学手段与学生的画图相结合，完成本节教学任务．（三）教学过程创设情境，引出课题师：请同学们拿出你的一副三角板，你能说出这几个角的大小吗？学生基本知道一副三角板各角的度数，他们可能利用度数比较，也可能通过观察，也会有同学用叠合法．这里可以让学生讨论，说出采用的比较方法，但叙述可能不规范．教师既不给予肯定也不否定，只是再提出新问题．投影显示：两个度数相差1度以内的角，不标明度数，只凭眼观察不能确定两个角的大小．师：对于这两个角你能说出它们哪一个大？哪一个小吗？（学生困惑时教师点出课题．）这节课我们就学习角的比较．同学们提出的比较一副三角板各角的方法有些很好，但不规范．希望同学们认真学习本节内容，掌握角的比较等知识，为以后的学习打好基础．（板书课题）［板书］ 1.5 角的比较【教法说明】由学生熟知的三角板各角的比较入手，把学生带入比较角的大小的意境．但问题一转，出现了不标度数，观察又不能确定大小的角，当学生束手无策时，教师提出这就是我们要学习的新内容，调动学生的积极性，吸引其注意力．探究新知1．角的比较（1）叠合法教师通过活动投影演示：两个角设计成不同颜色，三种情况：，，，如图1所示．图1演示：移动，使其顶点与的顶点重合，一边和重合，出现以下三种情况，如图2所示．图2师：请同学们观察的另一边的位置情况，你能确定出两个角的大小关系吗？学生活动：观察教师演示后，同桌也可以利用两副三角板演示以上过程，帮助理解比较两角的大小，回答教师提出的问题．教师根据学生回答整理板书．［板书］① 与重合，等于，记作．② 落在的内部，小于，记作．③ 落在的外部，大于，记作．【教法说明】通过直观的实物演示和投影（电脑）显示，既加强了角的比较的直观性，又可提高学生的兴趣．注意再次强调角的大小只与开口大小有关，与边的长短无关，以及角的符号与小于号、大于号书写时的区别．（2）测量法师：小学我们学过用量角器测量一个角，角的大小也可以按其度数比较．度数大的角则大，度数小的则小．反之，角大度数大，角小度数小．学生活动：请同桌分别画两个角，然后交换用量角器测量其度数，比较它们的大小．【教法说明】测量前教师可提问使用量角器应注意的问题．即三点：对中；重合；读数．让学生动手操作，培养他们动手能力．反馈练习：课本第32页习题1.3A组第3题，用量角器测量、、的大小，同桌交换结果看是否准确．2．角的和、差、倍、分投影显示：如图1，、．图1提出问题：如图1，，把移到上，使它们的顶点重合，一边重合，会有几种情况？请同学们在练习本上画出．你如何把移到上，才能保证的大小不变呢？学生活动：讨论如何移到上，移动后有几种情况，在练习本上画出图形．（有小学测量的基础，学生不会感到困难，可放手让学生自己动手操作．）教师根据学生回答小结：量角器可起移角的作用，先测量的度数，然后以的顶点为顶点，其中一边为作作一个角等于，出现两种情况．如图2及图3所示：（1）在内部时，如图2，是与的差，记作：．（2）在外部时，如图3，是与的和，记作：．【教法说明】在以上教学过程中，一定要注意训练学生的看图能力和几何语句表达能力，如与的和差所得到的两个图形中，还可让学生观察得到图2中是与的差，记作：，或与的和等于，记作：，图3中是与的差，记作：等进行看图能力的训练．图2 图3反馈练习：学生在练习本上完成画图．已知如图4，，画，使．师：两个的和是，那么是的2倍，记作，或是的，记作：．同样，有角的3倍和等等．角的和、差、倍、分的度数等于它们的度数的和、差、倍、分．图43．角平分线学生观察以上反馈练习中的图形，，也就是把分成了两个相等的角，这条射线叫的平分线．［板书］定义：一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线．几何语言表示：是的平分线，（或）．说明：若，则是的平分线，同样有两条三等分线，三条四等分线，等等．变式训练，培养能力投影显示：1．如图1填空：图1①②2．是的平分线，那么，①②图23．如图2：是的平分线，是的平分线①若，则② ，，则度【教法说明】练习中的第1、2题可口答，第3题在教师引导下写出过程，初步渗透推理过程，培养学生的逻辑推理能力，推理过程由已知入手，联想得出结论．（四）总结、扩展找学生回答：今天学习了哪些内容？教师归纳得出以下知识结构：八、布置作业课本第33页B组第1、2题．作业答案1．解：，若，那么，2．解：∵ 是的平分线，∴ ．又∵ 是的平分线，∴ ．又∵ ，∴ ．说明：学生作业或回答问题，尽量要求用“∵ ∴”的形式，为以后解证明题打好基础．九、板书设计同七、（四）的格式．。
二上数学每日一练：角的大小比较练习题及答案_2020年判断题版
二上数学每日一练：角的大小比较练习题及答案_2020年判断题版答案答案答案答案答案答案答案答案答案答案2020年二上数学：空间与图形_基本图形的认识_角的大小比较练习题~~第1题~~(2020青岛.二上期末) 角的两条边越长，角越大。
（ ）考点： 角的大小比较;~~第2题~~(2020云浮.二上期中) 直角是角中最大的角。
（ ）考点： 角的大小比较;~~第3题~~(2020十堰.二上期末) 一个角的两边越长，这个角就越大。
（ ）考点： 角的大小比较;~~第4题~~(2018麒麟.二上期末) 书上的直角比黑板上的直角小。
考点： 角的大小比较;~~第5题~~(2020高密.二上期中) 角的两条边开口越大，角就越大。
（ ）考点： 角的大小比较;~~第6题~~(2020微山.二上期中) 角的大小跟两条边的长短没有关系，跟两边叉开的大小有关。
（ ）考点： 角的大小比较;~~第7题~~(2019微山.二上期中) 角的大小跟边的长短没有关系。
( )考点： 角的大小比较;~~第8题~~(2020京山.二上期中) 角的两边越长，角就越大。
考点： 角的大小比较;~~第9题~~(2020云南.二上期中) 锐角比直角小，钝角比直角大。
（ ）考点： 角的大小比较;~~第10题~~(2017云南.二上期中) 角的两条边张开得越大，角就越大。
考点： 角的大小比较;2020年二上数学：空间与图形_基本图形的认识_角的大小比较练习题答案1.答案：2.答案：3.答案：4.答案：5.答案：6.答案：7.答案：8.答案：9.答案：10.答案：。
空间几何中的角度与三角关系
空间几何中的角度与三角关系在空间几何中，角度与三角关系是非常重要的概念和内容。
角度是指由两条射线或线段的端点共同确定的空间中的一部分，代表了空间中两个方向的夹角关系。
三角关系则是指由三条射线或线段所形成的图形，常见的三角形是最基本的三角关系。
一、角度的概念与性质角度可以通过度数或弧度来表示，度数是指角所占据的平面角度，而弧度则是指角所占据的圆的周长比例。
角度的度数表示常用度（°）、分（'）和秒（''）来表示，而弧度用弧长与半径的比值来表示。
在空间几何中，角度有一些重要的性质。
首先是角的大小，角的大小与其所占据的弧长或平面角度成正比。
其次是角的平分问题，当一条射线平分另一条射线所形成的角时，可以得到两个相等的角。
另外，角的合角问题也十分重要，当两个角的顶点和一边相同，并且另一边互相重合时，可以得到一个合角。
二、三角关系中的角度关系在三角关系中，角度是非常重要的，不同的角度关系可以帮助我们求解三角形的各种性质。
首先，直角三角形中的角度关系。
直角三角形是指其中一个角为 90°的三角形。
在直角三角形中，直角的两个边称为腿，而直角的斜边称为斜边。
直角三角形中的角度关系可以由勾股定理来表示，即直角三角形的两条腿长度的平方之和等于斜边长度的平方。
其次，锐角三角形中的角度关系。
锐角三角形是指其中所有角都小于 90°的三角形。
在锐角三角形中，根据三角函数的定义，可以得到正弦、余弦和正切的关系式。
其中，正弦是指锐角的对边与斜边之比，余弦是指锐角的邻边与斜边之比，正切是指锐角的对边与邻边之比。
最后，钝角三角形中的角度关系。
钝角三角形是指其中一个角大于90°的三角形。
在钝角三角形中，可以利用钝角的补角来求解其余两个角的大小，即补角定理。
钝角的补角是指与钝角相加等于 180°的角。
三、角度和三角关系在实际应用中的意义角度和三角关系在空间几何中有广泛的应用，不仅在学术研究中起着重要的作用，也在实际应用中具有重要的意义。
对三种空间角之间关系的探讨
对三种空间角之间关系的探讨
角是几何学中非常重要的一个概念，它是由两条射线以相同起点所组成的图形。
在三维立体空间中，存在许多不同种类的角，其中三种常见的角是：直角、锐角和钝角。
今天我们将来探讨这三种角之间的关系。
直角
直角是一种非常特别的角，它的度数为90度。
在三维空间中，直角是由垂线和水平线所组成的，我们可以用两个直线的夹角来表示它。
直角在三维空间中的应用非常广泛，它经常出现在建筑设计、工程测量和物理学中。
锐角
锐角是小于90度的角度，它是由两条射线在同一平面内所组成的，这两条射线的端点组成了角的顶点。
在三维空间中，锐角的大小可以用两个射线的夹角来表示。
锐角通常会出现在远距离相机拍摄中，如景观照片和城市建筑摄影中。
钝角
钝角是大于90度的角度，它也是由两条射线在同一平面内所组成的，只是这两条射线的端点不在角的内部。
在三维空间中，钝角的大小同
样可以用两个射线的夹角来表示。
钝角经常会出现在工程设计中，如构建桥梁或船舶时需要计算不同部件之间的钝角角度。
以上我们对三种空间角之间的关系进行了探讨。
虽然它们在大小和组成方式上非常不同，但它们却在解决日常问题中都起着非常重要的作用。
无论是在建筑设计中、工程测量、物理学或是美学领域中，我们都需要用角度来描述物体或景观的特征，这使得三维立体空间的研究变得更加精确、深入和丰富。
3.角的初步认识(探秘角的大小)(教案)-二年级上册数学人教版
3.角的初步认识（探秘角的大小）-二年级上册数学人教版一、教学目标1. 让学生初步认识角，理解角的含义，能够识别出生活中的角。
2. 培养学生观察、操作和表达能力，提高学生的空间观念和几何直观。
3. 激发学生对数学的兴趣，培养学生合作交流、积极思考的良好学习习惯。
二、教学重点与难点1. 教学重点：初步认识角，理解角的含义，能够识别出生活中的角。
2. 教学难点：正确理解角的概念，掌握角的表示方法。
三、教学准备1. 课件或黑板，用于展示角的图片和示意图。
2. 学生用三角板、直尺等学习工具。
3. 学生分组，每组准备一张大白纸和彩笔。
四、教学过程1. 导入新课- 利用课件或黑板展示一些生活中常见的角的图片，如剪刀、钟表、扇子等，引导学生观察并说出这些物品的共同特征。
2. 探索角的大小- 学生分组，每组用三角板和直尺在白纸上画出一个角，然后观察并讨论角的大小与边的长短的关系。
- 每组汇报讨论结果，教师总结：角的大小与边的长短无关，与两边叉开的大小有关。
3. 认识角的含义- 教师引导学生通过观察和操作，理解角的含义：由两条射线共同确定的图形叫做角。
- 学生用自己的语言描述角的含义，教师点评并给出正确的定义。
4. 认识角的表示方法- 教师通过课件或黑板展示角的表示方法，如用大写字母表示角的顶点，用小写字母表示角的两个端点。
- 学生模仿教师的示例，用彩笔在白纸上画出不同大小的角，并用字母表示。
5. 巩固练习- 学生独立完成练习册上的相关题目，巩固对角的认识和表示方法。
- 教师巡回指导，解答学生的疑问。
6. 课堂小结- 教师引导学生回顾本节课所学内容，总结角的初步认识、角的大小与边的长短的关系、角的含义和表示方法。
- 学生分享自己的学习收获，教师给予鼓励和肯定。
五、课后作业（布置作业）1. 完成练习册上的相关题目。
2. 观察生活中还有哪些物品上有角，与家长分享角的初步认识。
六、板书设计1. 角的初步认识- 角的含义- 角的大小与边的长短的关系- 角的表示方法2. 教学反思本节课通过观察、操作和讨论，学生对角有了初步的认识，能够正确理解角的含义和表示方法。
角的大小和角的种类：二年级数学教案二详解
二年级数学教案二详解：角的大小和角的种类在数学中，角是一个非常重要的概念，处理角度问题不仅可以有效地计算和解决许多形状和空间问题，更能够提升我们的空间想象和思维能力。
本文将针对二年级数学教案二中的角的大小和角的种类进行详细解析，帮助学生更好地理解和掌握这一知识点。
一、角的大小1. 弧度制和角度制角的大小一般可以用角度制或弧度制来表示，其中角度制常用于初、高中的几何学中，而物理学则多使用弧度制。
在角度制中，一个圆一周总共有360度，而在弧度制中，一个圆一周总共有2π弧度。
通常，我们可以将两种制度间进行转换，其中一度等于rad/180（弧度制下的角度）。
2. 角的度数角的度数一般是用一个数值来表示的，这个数值就是角的度数。
一条半径所对应的弧，内夹角为1度的角就是一度角。
显然，一度角可以由任何一个角平分得出。
3. 角的比较当两个角的度数相等时，它们是相等的角，当两个角的度数不等时，我们就可以进行角的比较了，通过比较两个角的大小，我们可以知道它们哪个更大或更小，也可以判断它们是否相等。
在比较角的大小时，我们需要用到直角、钝角、锐角等概念。
二、角的种类1. 直角角所在的平面被分成了两部分，每部分的角度为90度的角就是直角，常用符号为∟。
2. 钝角如果角的度数大于90度小于180度，这个角就是钝角，常用符号为∠。
3. 锐角如果角的度数小于90度，这个角就是锐角，常用符号为∠。
至此，我们已经介绍了数学中角的大小和角的种类这一知识点，读者是否学会了呢？不妨通过下面的例题来测试一下。
例1. 下图中，直线OA与OB相交于点O，角AOB的度数是多少度？解：如图，角AOB刚好是两个垂线所夹的角，可以判断它是个直角，故其度数为90度。
例2. 下图中，角AOB和角BOC的度数分别是多少度？解：如题图所示，由于角AOB是直角，角BOC实际上是个锐角，角BOC的度数小于90度。
我们可以通过以下步骤求解：$\angle AOB=90^{\circ}$,$\angle AOC=\angle AOB+\angleBOC=90^{\circ}+\angle BOC$；又因为$\angle BOC$是小于90度的角，$\angle AOC$也小于90度，角BOC是个锐角，其度数小于90度。
3.角的初步认识(探秘角的大小)(教案)人教版数学二年级上册
角的初步认识（探秘角的大小）教材分析这节课是在学生在已经初步认识角的图形的基础上教学的。
教材中特别注意让学生动手操作，折纸制角、动手操作比较角的大小，以促进学生空间观念的发展，学生熟练掌握这部分内容就为以后学习锐角、钝角和直角奠定了基础，起着承前启后的作用。
学情分析角对于二年级学生来说比较抽象，学生接受起来较为困难，因此为了帮助学生更好地认识角的大小的影响因素，整个课时将观察、操作、演示、讨论等方法有机地贯穿于教学各环节中，引导学生感知的基础上加以抽象概括，让他们在大量的实践活动中掌握知识形成能力。
对于二年级学生来说注意力集中的时间较短，喜欢做小动作，感觉数学枯燥无味，因此我充分发挥现代教学多媒体组合的优势，通过形象生动的教学手段吸引学生的注意力，并让学生尝试运用不同的工具自己制作角，并进行讨论分享，把静态的课本材料变成动态的教学内容，让学生在动手中思维、在观察中分析，把角的直观形象印在大脑里，从而进一步调动他们的学习兴趣，在培养严谨的数学思维的同时，努力做到教法、学法的最优结合，使全体学生都能参与探索新知的过程。
教学目标1、结合生活情境及操作活动，初步认识角是有大有小的。
2、知道角有大有小，角的大小与角的张开程度有关系。
3、经历操作角的过程，在活动中发现角有大有小、感知角、认识角，培养学生的观察能力、思维能力和动手操作能力。
教学重难点重点：掌握角的大小是由角的两边的张口决定的，并能用观察法和重合法比较两个角的大小。
难点：掌握角的大小与角的两边长度是无关的，用重合法比较两个角的大小。
教学过程一、创设情境，引入新课（1）情境：师：同学们，图形王国里有一个小朋友想邀请我们39班的孩子们去她的王国玩一玩，不过她的出场方式有些特别。
一个尖尖的顶点，两条直直的边，你能猜出她是谁吗？生：肯定是角啦！（设计意图：教学开始，设计猜图形的环节，吸引孩子们的学习兴趣。
）（2）导入课题：师：你们可真厉害，一猜就对。
角可不仅仅只有顶点和两条直直的边，她也像我们的个子一样也有大有小，今天就让我们一起走进角的王国，探秘角的大小之旅！二、观察实践，探究新知1.第一关：比比谁的手儿巧：探究角的大小与张口的关系：学具准备：四根扣条，圆形纸片，塑料吸管师：老师给你们四人小组准备了一个信封，信封里有一些学具，请每个人任取其中一份学具，用你的巧手做一个角行吗？（由小组长分配材料，看哪个小组的四位同学能做到不争不抢快速地做出四个角）师：同学们，角都做得非常好，接下来我们完成一个游戏，请同学们仔细听口令，做动作。
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空间中的角比较大小：
一、高考真题
1、（2018浙江高考）已知四棱锥S-ABCD 的底面是正方形，侧棱长均相等，E 是线段AB 上的点（不含端点）。
设SE 与BC 所成角为α，SE 与平面ABCD 所成的角为β，二面角S-AB-C 的平面角为γ，则
（ ） A ．α≤β≤γ
B ．γ≤β≤α
C ．α≤γ≤β
D ．β≤γ≤α
2、（2017浙江高考）如图，已知正四面体D ﹣ABC （所有棱长均相等的三棱锥），P 、Q 、R 分别为AB 、BC 、CA 上的点，AP=PB ，==2，分别记二面角D ﹣PR ﹣Q ，D ﹣PQ ﹣R ，D ﹣QR ﹣P 的平面角为α、β、γ，则（ ）
A ．γ＜α＜β
B ．α＜γ＜β
C ．α＜β＜γ
D ．β＜γ＜α
3、（2015浙江高考）如图，已知ABC ∆，D 是AB 的中点，
沿直线CD 将ACD ∆折成A CD '∆，所成二面角A CD B '--
的平面角为α，则 （ ）
A.A DB α'∠≤
B.A DB α'∠≥
C.A CB α'∠≤
D.A CB α'∠≤
二、模拟题集
1、正四面体P-ABC 中，点M 在底面△ABC 内，记点M 到面PAB 、面PBC 、面PCA 的距离分别为h 1、h
2、h 3，直线PM 与AB 、BC 、CA 所成的角分别为α、β、γ，若h 1、h 2、h 3成单调递增的等差数列，则有（
） （A ）α=β （B ）α＞β （C ）β＜γ （D ）β=γ
2、三棱锥P-ABC 中，PA ⊥ABC ，∠BAC =90°，D 、E 分别为BC 、AB 的中点，且AB ≠AC ，AC ＞AD ，设异面直线PC 与DE 所成角为α，PD 与平面ABC 所成角为β，二面角P-BC-A 的平面角的大小为γ，试将α、β、γ由大到小排序：_______。
3、已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1边长为1，点E 、O 分别在线段B 1D 1和BD 上，满足5|EB 1|=4|B 1D 1|，|DO |=|OB |，动点F 在线段AA 1上，满足|AF |=λ|AA 1|（0＜λ＜21），分别记二面角F-OB 1-E 、F-OE -B 1、F-EB 1-O 的平面角为α、β、γ，试将α、β、γ由大到小排序：_______。
4、已知三棱锥S-ABC 的底面为正三角形，SA ＜SB ＜SC ，平面SBC 、SCA 、SAB 与平面ABC 所成的锐二面角分别为α、β、γ，则
（A ）α＜β （B ）α＞β （C ）β＜γ （D ）β＞γ
5、（2018诸模）矩形ABCD 中，AB =1，BC =3，E 是线段BC 上一动点，把△ABE 沿AE 折起得到△AB 1E ，使得平面B 1AC ⊥平面ADC ，分别记B 1A 、B 1E 与平面ADC 所成角为α、β，平面B 1AE 与平面ADC 所成锐角为θ，则
（A ）θ＞α＞β （B ）θ＞2α （C ）θ＞2β （D ）tan θ＞2tan α
6、平面α与平面β相交于直线CD ，点A 、B 分别在平面α、β内，且点A 到平面β的距离和点B 到平面α的距离都等于，记异面直线AB 、CD 所成角为θ，二面角α-CD -β的平面角为ϕ，则
（A ）12cos 2cos =⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+
ϕθϕθ （B ）12cos 2cos =⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛+ϕθϕθ （C ）12sin 2sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛
+ϕθϕθ （D ）12sin 2sin =⎪⎭⎫ ⎝
⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛+ϕθϕθ。