树与图的最小树
最小树的名词解释
最小树的名词解释最小树是图论中的一个概念，它是指在一个连通的无向图中，通过选择最少的边将所有的顶点连接起来的一棵树。
最小树通常用于解决最优路径问题和网络设计等领域，它能够在保证所有顶点连通的前提下，使整个图的总权重最小。
为了更好地理解最小树的概念，我们可以通过一个简单的例子来说明。
假设我们有一个无向图，其中有四个顶点A、B、C和D，以及相应的边AB、AC、AD、BC、BD和CD。
现在的问题是如何通过选择最少的边，将所有的顶点连接起来。
为了解决这个问题，我们可以使用Kruskal算法或Prim算法来构建最小树。
这两种算法在解决最小树问题上非常有效。
在Kruskal算法中，首先将所有边按照权重从小到大进行排序。
之后，依次从最小权重的边开始选择，但要保证所选择的边不会形成环路。
当所有的顶点都被连接起来，即形成一棵树时，这棵树就是最小树。
而在Prim算法中，则是从一个初始顶点开始，逐渐将与该顶点相连的边加入最小树中，直到所有的顶点都被连接起来。
无论是Kruskal算法还是Prim算法，它们都能够快速地找到最小树。
通过这种方式，我们可以在保证图的连通性的前提下，选择最少的边来构建一棵最小树。
最小树不仅仅在图论中有应用，它也可以被应用在其他领域。
例如，最小树经常被用于解决计算机网络设计中的问题。
在设计网络拓扑结构时，我们希望通过尽可能少的连接来保证所有节点之间的可达性和通信效率。
使用最小树可以帮助我们找到一个经济高效的网络设计方案。
此外，最小树还可以用于解决最优路径问题。
在网络路由或交通规划中，我们经常需要找到一条连接所有目标点的最短路径。
使用最小树可以帮助我们找到连接所有目标点的最短路径，从而提高路由的效率和减少通信成本。
总之，最小树是图论中一个重要的概念，它通过选择最少的边来保证图的连通性，并在此过程中使整个图的总权重最小。
最小树不仅仅在图论领域有应用，它还可以被广泛应用于网络设计和最优路径问题等领域。
运筹学(第6章 图与网络分析)
(v2)钱
a2 a3 a4 a14 a15
a8 a9
a7 (v4) 李
(v3)孙
a5 (v5) 周 a6 a10 (v6)吴
图6-3
a12 a11 a13
(v7)陈
定义: 图中的点用v表示，边用e表示。对每条边可用它
所连接的点表示，记作：e1=[v1,v1]; e2=[v1,v2];
树是图论中结构最简单但又十分重要的图。在自然和社会领 域应用极为广泛。 例6.2 乒乓求单打比赛抽签后，可用图来表示相遇情况，如 下图所示。
运动员 A
B C
D
E
F G
H
例6.3 某企业的组织机构图也可用树图表示。
厂长
人事科
财务科
总工 程师
生产副 厂长
经营副 厂长
开发科
技术科
生产科
设备科
供应科
动力科
e2
(v1) 赵
e1
e3
e4 孙(v3) 李(v4)
周(v5)
图6-2
e5 吴(v6) 陈(v7)
(v2)钱
如果我们把上面例子中的“相互认识”关系改为“认识” 的关系，那么只用两点之间的联线就很难刻画他们之间的关 系了，这是我们引入一个带箭头的联线，称为弧。图6-3就是 一个反映这七人“认识”关系的图。相互认识用两条反向的 弧表示。
端点,关联边,相邻 若有边e可表示为e=[vi,vj]，称vi和
e2 v2 e6 e1 e4 v1 e3 v3 e8
vj是边e的端点，反之称边e为点vi
或vj的关联边。若点vi、vj与同一条 边关联，称点vi和vj相邻；若边ei和
e5
e7
最小树_运筹学_[共8页]
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156运筹学图6.17 生成树此时41k E V ==−+，这样得到了生成树。
6.2.3 最小树最小树是网络优化中的一个重要概念，在交通网、电力网、通讯网等的设计中均有广泛的应用。
定义6.2.3 设连通图G V E =（，）。
每条边i j e v v =（，）上都有一个非负权数ij w e w =（）。
若1T V E =（，）是G 的一个生成树，则称1E 中所有边的权之和为生成树T 的权，记为()ij w T w =∑。
称具有最小权的生成树为G 的最小生成树，简称为最小树。
显然，对于最小树，有如下结论成立。
定理6.2.2 若把连通网络图的所有点分成V 和V 两个集合，则两集合之间连线的最短边一定包含在最小树内。
下面介绍如何寻找或构建一个最小树的几种算法。
算法1 Kruskal 算法1956年Kruskal 给出了求最小树问题的一种算法。
其基本思想是从网络中逐步挑选边构成最小生成树。
每次挑选的边对应的权要尽可能小，但必须保证已选好的边不产生圈。
这种方法称为Kruskal 算法，也称为避圈法。
这种方法与求生成树的避圈法类似。
避圈法步骤如下。
Step1 把图中的所有顶点分成V 和V 两个集合。
从图中任选一点i v ，让i v V ∈，图中其余点均包含在V 中。
Step2 从V 和V 的连线中找出最小边，这条边一定包含在最小树内，不妨设最小边为i j v v （，），将i j v v （，）标记成最小树内的边。
令{}j V V v =∪，{}\j V V v =。
Step3 若V =Φ，则算法终止。
否则转入Step2。
例6.6 一个乡有9个自然村，其间道路及各个道路长度如图6.18所示，各边上的数表示距离，问如何拉线才能使用线最短。
解 用Kruskal 算法。
Step1 令{}1V v =，{}02345678V v v v v v v v v =，，，，，，，。
Step2 {}12101818min 1w w w w ==，，。
图的steiner最小树问题及其求解
图的steiner最小树问题及其求解作者：杨凌云来源：《电脑知识与技术》2009年第25期摘要:斯坦纳树问题是组合优化学科中的一个问题。
属于NP-难问题,即无法在多项式时间内得到最优解。
本文主要讨论了图的steiner最小树问题,并给出了近似算法,该算法是在破圈法的基础上进行了改进,并且引用了agent的思想。
最后对算法进行了分析。
关键词:Steiner最小树 NP-难题破圈法中图分类号:TP312文献标识码:A文章编号:1009-3044(2009)25-7312-02Graphical Steiner Minimum Tree Problem and SolusionYANG Ling-yun(College of Computer and Information Engineering, Henan University, Kaifeng 475001,China)Abstract: Steiner tree problem is one of the subject of combinatorial optimization problem. It belongs to NP-hard problems that cann’t find the optimal solution in polynomial time. This article discusses the minimum steiner tree problem in graphs, and gives the approximate algorithm, which is improved on loop damage method, and quoted the agent's thinking. Finally, an analysis of the algorithm.Key words: steiner minimum tree; NP-hard problem; loop damage method现实生活中经常要求解决这样的问题,即将若干给定点相连并使连线的总长最短。
最小树与最小树形图(数学建模)讲解
最小树与最小树形图（数学建模）讲解一、最小树的定义及性质1. 定义：最小树，又称最小树，是指在给定的带权无向图中，包含图中所有顶点的一个树形结构，且树中所有边的权值之和最小。
2. 性质：（1）最小树中不存在回路；（2）对于最小树中的任意两个顶点，它们之间有且仅有一条路径；（3）最小树中边的数量等于顶点数量减一；（4）在最小树中添加任意一条边，都会形成一条回路；（5）最小树不唯一，但权值之和相同。
二、求解最小树的方法1. Prim算法Prim算法是一种贪心算法，其基本思想是从图中的一个顶点开始，逐步添加边和顶点，直到形成最小树。
具体步骤如下：（1）初始化：选择一个顶点作为最小树的起点，将其加入最小树集合；（2）迭代：在最小树集合和非最小树集合之间，寻找一条权值最小的边，将其加入最小树集合；（3）重复步骤2，直到所有顶点都加入最小树集合。
2. Kruskal算法Kruskal算法同样是一种贪心算法，其基本思想是将图中的所有边按权值从小到大排序，然后依次选择权值最小的边，判断是否形成回路，若不形成回路，则将其加入最小树集合。
具体步骤如下：（1）初始化：将所有顶点视为独立的树；（2）按权值从小到大排序所有边；（3）迭代：选择权值最小的边，判断其是否形成回路，若不形成回路，则将其加入最小树集合；（4）重复步骤3，直到所有顶点都在同一棵树中。
三、最小树形图的定义及求解方法1. 定义：最小树形图，又称最优树形图，是指在给定的有向图中，找到一个包含所有顶点的树形结构，使得树中所有边的权值之和最小。
2. 求解方法：朱刘算法（Edmonds' Algorithm）朱刘算法是一种用于求解最小树形图的算法，其基本思想是通过寻找图中的最小权值环，进行收缩和扩展操作，最终得到最小树形图。
具体步骤如下：（1）寻找最小权值环；（2）对最小权值环进行收缩操作，将环中的顶点合并为一个新顶点；（3）在新图中寻找最小树形图；（4）将新图中的最小树形图扩展回原图，得到原图的最小树形图。
图论经典问题
图 论哥尼斯堡七桥问题：图论发源于18世纪普鲁士的哥尼斯堡。
普雷格河流经这个城市，河中有两个小岛，河上有七座桥，连接两岛及两岸。
如图所示，当时城里居民热衷于讨论这样一个问题：一个人能否走过这七座桥，且每座桥只经过一次，最后仍回到出发点。
将上面问题中的两座小岛以及两岸用点表示，七座桥用线（称为边）表示，得到下图：于是，上述问题也可叙述为：寻找从图中的任意一个点出发，经过所有的边一次且仅一次并回到出发点的路线。
注意：在上面的图中，我们只关心点之间是否有边相连，而不关心点的具体位置，边的形状以及长度。
一、基本概念：图：由若干个点和连接这些点中的某些“点对”的连线所组成的图形。
顶点：上图中的A ，Ｂ，Ｃ，D ．常用表示。
n 21 v , , v , v 边：两点间的连线。
记为（Ａ，Ｂ），（Ｂ，Ｃ）．常用表示。
m 21e , , e , e次：一个点所连的边数。
定点ｖ的次记为d(v)．图的常用记号：Ｇ＝（Ｖ，Ｅ），其中，}{v V i =，}{e E i =子图：图Ｇ的部分点和部分边构成的图，成为其子图。
路：图Ｇ中的点边交错序列，若每条边都是其前后两点的关联边，则称该点边序列为图Ｇ的一条链。
圈（回路）：一条路中所含边点均不相同，且起点和终点是同一点，则称该路为圈（回路）。
有向图：，其中(,)G N A =12{,,,}k N n n n = 称为的顶点集合，A a 称为G 的弧集合。
G {(,)ij i j }n n ==若，则称为的前驱， 为n 的后继。
(,)ij i j a n n =i n j n j n i 赋权图（网络）：设是一个图，若对G 的每一条边（弧）都赋予一个实数，称为边的权，。
记为。
G (,,)G N E W =两个结论：１、图中所有顶点度数之和等于边数的二倍； ２、图中奇点个数必为偶数。
二、图的计算机存储：1. 关联矩阵简单图：，对应(,)G N E =N E ×阶矩阵()ik B b =10ik i k b ⎧=⎨⎩点与边关联否则简单有向图：，对应(,)G N A =N A ×阶矩阵()ik B b =110ik ik ik a i b a i ⎧⎪=−⎨⎪⎩弧以点为尾弧以点为头否则2. 邻接矩阵简单图：，对应(,)G N E =N N ×阶矩阵()ij A a =10ij i j a ⎧=⎨⎩点与点邻接否则简单有向图：，对应(,)G N A =N N ×阶矩阵()ij A a =10ij i ja ⎧=⎨⎩有弧从连向否则5v 34v01010110100101011110101000110111101065432166654321⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=×v v v v v v A v v v v v v3. 权矩阵：简单图：，对应(,)G N E =N N ×阶矩阵()ij A a =ij ij i j a ω⎧=⎨∞⎩点与点邻接否则123456781234567802130654.5061002907250473080 v v v v v v v v v v v v v v v v 48∞∞∞∞⎡⎤⎢⎥∞∞∞∞∞⎢⎥⎢⎥∞∞∞∞∞⎢⎥∞∞∞∞∞⎢⎥⎢⎥∞∞∞∞⎢⎥∞∞∞∞⎢⎥⎢⎥∞∞∞∞⎢⎥∞∞∞∞∞∞⎢⎥⎣⎦三、图的应用：例：如图，用点代表7个村庄，边上的权代表村庄之间的路长，现在要在这7个村庄中布电话线，如何布线，使材料最省？分析：需要将图中的边进行删减，使得最终留下的图仍然连通，并且使总的权值最小。
最小树问题
i 2在 , X 2 中e 2 选 ,4 边 E 3 E 2 e 2 4e 1,e 2 2,e 3 2,4 3 X X 2 v 4 v 1 ,v 2 ,v 3 ,v 4 ,X 3 v 5 ,v 6 ,
i 3在 , X 3 中e 4 选 ,5 边 E 4 E 3 e 4 5e 1,e 2 2,e 3 2,e 4 4,5 4 X X 3 v 5 v 1 ,v 2 ,v 3 ,v 4 ,v 5 ,X 4 v 6 ,
i 4在 , X 4 中e 5 选 ,6 边 E 5 E 4 e 5 6e 1,e 2 2,e 3 2,e 4 4,e 5 5,6 5 X X 4 v 6 v 1 ,v 2 ,v 3 ,v 4 ,v 5 ,v 6 V ,
设v1是T的一个悬挂点，考虑图T-｛v1｝，则图T｛v1｝ 的顶点数为K，由归纳假设可得 ：
，因为 m T(v1) nT(v1)1 nT(v1) nT 1 ， nT(v1) nT 1，则 mT(v1) mT1 ，证毕。
定理3：图T是树的充分必要条件是任意两个顶点之间恰 有一条链。
证明：必要性 因T是连通的，故任两个点之 间至少有一条链。但如果某两个点之间有两条链 的话，那么图T中含有圈，这与树的定义矛盾， 从而任两个点之间恰有一条链。
7
4 v6
5
v4
v2 2
v5
4
3
4 v6 v4
v5
4
3
4 v6 v4
v3 5
6
v1 1
7
5
v2 2
v5
v3 5
4
6
3
v1 1
7
4 v6 5
v4
v2 2
v5
4
3
4 v6 v4
图的生成树
设w(e) > w(e’),令T’ = T* - e + e’，则w(T* ) > w(T’) 8
2.1树的基本概念
-
最小树的“割最优条 件”
T*
e
e’
充分性.设T*是生成树并满足定理中的条件但不是最小树，
设最小树为T0. 记eT*\ T0, 将e从T*中删除后产生一个割.
保证不形成圈. （避圈法） 如果当前弧加入后不形成圈, 则加入这条弧, 如果当前 弧加入后会形成圈, 则不加入这条弧, 并考虑下一条弧.
STEP0. 令i=1, j=0, T=.把G的边按照权由小到大排列，即
w ( e 1 ) w ( e 2 ) ; w ( e m )
STEP1. 判断T {ei}是否含圈. 若含圈, 转STEP2, 否则转STEP3.
15
Kruskal 算法的计算复杂性改进
算法实现改进：利用三个数组
size - 用来记录每个链表中所含节点的个数(链表规模)； last - 用来记录每个链表中最后的节点编号 first - 用来记录每个节点所在链表的第一个节点.
如果链表L={1，2，4，5} ，则size(L)=|L|=4, last(L)=5, first(1)= first(2)= first(4) = first(5)=1.
STEP2. 令i=i+1. 若i m,转STEP1;否则结束,此时G不连通,所以没有最小树.
STEP3. 令T=T {ei}, j =j+1.若 j=n-1, 结束，T是最小树; 否则转STEP1.
正确性：圈最优条件 13
2.2 最小树算法 2.2.1 Kruskal 算法（1956 ）
求最小树的计算方法
求最小树的计算方法最小生成树是指在一个连通的无向图中，找到一棵生成树，使得这棵生成树的边权之和最小。
最小生成树问题是图论中的经典问题，有着广泛的应用。
目前，最小生成树问题有两种经典的算法：Prim算法和Kruskal算法。
1. Prim算法Prim算法是一种贪心算法，它从一个点开始，每次选择一条最短的边连接到已经选中的点集合中的一个点，直到所有的点都被选中，构成一棵生成树。
具体实现步骤如下：（1）初始化：选定一个起始点，将该点加入已选中的点集合中，将与该点相连的边加入边集合中。
（2）重复以下步骤，直到所有点都被选中：- 从边集合中选出一条权值最小的边，该边所连接的点如果已经被选中，则跳过该边，否则将该点加入已选中的点集合中，将与该点相连的边加入边集合中。
时间复杂度为O(ElogV)，其中E为边数，V为点数。
2. Kruskal算法Kruskal算法也是一种贪心算法，它从所有边中选取权值最小的边，如果该边所连接的两个点不在同一个连通分量中，则将这两个点所在的连通分量合并，直到所有点都在同一个连通分量中，构成一棵生成树。
具体实现步骤如下：（1）将所有边按照权值从小到大排序。
（2）初始化：将所有点看成一个连通分量。
（3）重复以下步骤，直到所有点都在同一个连通分量中：- 从排好序的边集合中选出一条权值最小的边，如果该边所连接的两个点在同一个连通分量中，则跳过该边，否则将这两个点所在的连通分量合并，将该边加入边集合中。
时间复杂度为O(ElogE)，其中E为边数。
以上就是最小生成树的两种经典算法，它们都是基于贪心策略的，但具体实现方式略有不同。
在实际应用中，可以根据具体情况选择合适的算法。
数据结构之最小生成树Prim算法
数据结构之最⼩⽣成树Prim算法普⾥姆算法介绍 普⾥姆（Prim）算法，是⽤来求加权连通图的最⼩⽣成树算法 基本思想：对于图G⽽⾔，V是所有顶点的集合；现在，设置两个新的集合U和T，其中U⽤于存放G的最⼩⽣成树中的顶点，T存放G的最⼩⽣成树中的边。
从所有uЄU，vЄ(V-U) (V-U表⽰出去U的所有顶点)的边中选取权值最⼩的边(u, v)，将顶点v加⼊集合U中，将边(u, v)加⼊集合T中，如此不断重复，直到U=V为⽌，最⼩⽣成树构造完毕，这时集合T中包含了最⼩⽣成树中的所有边。
代码实现1. 思想逻辑 （1）以⽆向图的某个顶点（A）出发，计算所有点到该点的权重值，若⽆连接取最⼤权重值#define INF (~(0x1<<31)) （2）找到与该顶点最⼩权重值的顶点（B），再以B为顶点计算所有点到改点的权重值，依次更新之前的权重值，注意权重值为0或⼩于当前权重值的不更新，因为1是⼀当找到最⼩权重值的顶点时，将权重值设为了0，2是会出现⽆连接的情况。
（3）将上述过程⼀次循环，并得到最⼩⽣成树。
2. Prim算法// Prim最⼩⽣成树void Prim(int nStart){int i = 0;int nIndex=0; // prim最⼩树的索引，即prims数组的索引char cPrims[MAX]; // prim最⼩树的结果数组int weights[MAX]; // 顶点间边的权值cPrims[nIndex++] = m_mVexs[nStart].data;// 初始化"顶点的权值数组"，// 将每个顶点的权值初始化为"第start个顶点"到"该顶点"的权值。
for (i = 0; i < m_nVexNum; i++){weights[i] = GetWeight(nStart, i);}for (i = 0; i < m_nVexNum; i ++){if (nStart == i){continue;}int min = INF;int nMinWeightIndex = 0;for (int k = 0; k < m_nVexNum; k ++){if (weights[k]!= 0 && weights[k] < min){min = weights[k];nMinWeightIndex = k;}}// 找到下⼀个最⼩权重值索引cPrims[nIndex++] = m_mVexs[nMinWeightIndex].data;// 以找到的顶点更新其他点到该点的权重值weights[nMinWeightIndex]=0;int nNewWeight = 0;for (int ii = 0; ii < m_nVexNum; ii++){nNewWeight = GetWeight(nMinWeightIndex, ii);// 该位置需要特别注意if (0 != weights[ii] && weights[ii] > nNewWeight){weights[ii] = nNewWeight;}}for (i = 1; i < nIndex; i ++){int min = INF;int nVexsIndex = GetVIndex(cPrims[i]);for (int kk = 0; kk < i; kk ++){int nNextVexsIndex = GetVIndex(cPrims[kk]);int nWeight = GetWeight(nVexsIndex, nNextVexsIndex);if (nWeight < min){min = nWeight;}}nSum += min;}// 打印最⼩⽣成树cout << "PRIM(" << m_mVexs[nStart].data <<")=" << nSum << ": ";for (i = 0; i < nIndex; i++)cout << cPrims[i] << "";cout << endl;}3. 全部实现#include "stdio.h"#include <iostream>using namespace std;#define MAX 100#define INF (~(0x1<<31)) // 最⼤值(即0X7FFFFFFF)class EData{public:EData(char start, char end, int weight) : nStart(start), nEnd(end), nWeight(weight){} char nStart;char nEnd;int nWeight;};// 边struct ENode{int nVindex; // 该边所指的顶点的位置int nWeight; // 边的权重ENode *pNext; // 指向下⼀个边的指针};struct VNode{char data; // 顶点信息ENode *pFirstEdge; // 指向第⼀条依附该顶点的边};// ⽆向邻接表class listUDG{public:listUDG(){};listUDG(char *vexs, int vlen, EData **pEData, int elen){m_nVexNum = vlen;m_nEdgNum = elen;// 初始化"邻接表"的顶点for (int i = 0; i < vlen; i ++){m_mVexs[i].data = vexs[i];m_mVexs[i].pFirstEdge = NULL;}char c1,c2;int p1,p2;ENode *node1, *node2;// 初始化"邻接表"的边for (int j = 0; j < elen; j ++){// 读取边的起始顶点和结束顶点p1 = GetVIndex(c1);p2 = GetVIndex(c2);node1 = new ENode();node1->nVindex = p2;node1->nWeight = pEData[j]->nWeight;if (m_mVexs[p1].pFirstEdge == NULL){m_mVexs[p1].pFirstEdge = node1;}else{LinkLast(m_mVexs[p1].pFirstEdge, node1);}node2 = new ENode();node2->nVindex = p1;node2->nWeight = pEData[j]->nWeight;if (m_mVexs[p2].pFirstEdge == NULL){m_mVexs[p2].pFirstEdge = node2;}else{LinkLast(m_mVexs[p2].pFirstEdge, node2);}}}~listUDG(){ENode *pENode = NULL;ENode *pTemp = NULL;for (int i = 0; i < m_nVexNum; i ++){pENode = m_mVexs[i].pFirstEdge;if (pENode != NULL){pTemp = pENode;pENode = pENode->pNext;delete pTemp;}delete pENode;}}void PrintUDG(){ENode *pTempNode = NULL;cout << "邻接⽆向表:" << endl;for (int i = 0; i < m_nVexNum; i ++){cout << "顶点:" << GetVIndex(m_mVexs[i].data)<< "-" << m_mVexs[i].data<< "->"; pTempNode = m_mVexs[i].pFirstEdge;while (pTempNode){cout <<pTempNode->nVindex << "->";pTempNode = pTempNode->pNext;}cout << endl;}}// Prim最⼩⽣成树void Prim(int nStart){int i = 0;int nIndex=0; // prim最⼩树的索引，即prims数组的索引char cPrims[MAX]; // prim最⼩树的结果数组int weights[MAX]; // 顶点间边的权值cPrims[nIndex++] = m_mVexs[nStart].data;// 初始化"顶点的权值数组"，// 将每个顶点的权值初始化为"第start个顶点"到"该顶点"的权值。
运筹学-13图论概念及最小树
第一节 图的基本概念与模型
起点与终点相重合的链，称做圈。 起点与终点相重合的路，称做回路。 若在一个图中，每一对顶点之间至少存 在一条链，称这样的图为连通图。 否则，称该图不是连通的。
第一节 图的基本概念与模型
• 一个简单图中任意两点之间有边相连，称这样的图为完全图。
• 其边数有
Cn2
1 2
nn
树，称为该图的最小部分树（也称最小支撑树） (minimum spanning tree) • 定理1：图中任一点i，若 j是相邻点中距离最近的，则 边[i,j]一定必含在该图的最小树内。
• 推论：把图的所有点分成V和 V 两个集合，则两个集
合之间连线的最短的边一定包含在最小部分树内。
2-3 避圈法求最小部分树
图G1={V1,E1}和G2={V2,E2}，如果有V1 V2 和E1 E2 ，称 G1是G2的一个子图。 若有V1= V2 ， E1 E2 ，则称G1是G2的一个部分图。
第一节 图的基本概念与模型
• 要对研究的问题确定具体对象及这些对象间的性质联系，并 用图形式表示出来，这就是对研究的问题建立图的模型，用
例：e1为环 如果两个点之间的边多于一条，则 称为具有多重边；（平行边） 例：e4和e5为多重边。 对无环，无多重边的图称为简单图；
有平行边，不是简单图
有环边，不是简单图
简单图
第一节 图的基本概念与模型
与某一个点vi相关联的边的数目称为点 的次，（也叫度或线数）记为d(vi)。 例： d(v1) = 4 d(v3) = 5 d(v5) = 1
树图。
• 说明1：树图上只要任意再加上一条边，必定 会出现圈；
• 说明2：由于树图是无圈的连通图，即树图上 任意两点之间有一条且仅有一条惟一通路。是 最脆弱的连通图。
运筹学_树
D A Huffman算法 算法_B 算法
叶子上带权的二叉树, 个叶子的权分别为p 叶子上带权的二叉树 s 个叶子的权分别为 i 根到各叶子 的距离(层次 层次) 二叉树的总权数： 的距离 层次 为l i (i=1,…,s) , 二叉树的总权数： s m (T) = ∑ p i l i i=1 算法) 算法 (D A Huffman算法 算法 例8 s=6, 其权分别为 1.s个叶子按权由小至大排序 个叶子按权由小至大排序 4,3,3,2,2,1, 求最优二 叉树。 叉树。 15 2.最小权的二个叶子合并成 2.最小权的二个叶子合并成 一个分支点， 一个分支点，其权为二者之和 将新分支点作为一个叶子。 将新分支点作为一个叶子。 9 则停； 令s←s-1,若s=1则停；否则转 若 则停 否则转(1). 5 5 6 3 6 3 1 2 2 3 3 4 4 1 2 2 3 3
T
找生成树的两种方法-深探法 深探法 (1) 深探法 在点集V中任取一点 中任取一点v, ① 在点集 中任取一点 给 v 以标号 0 . 在某点u集已得标号 检查一端点为u的各边 集已得标号i 的各边, ②在某点 集已得标号 , 检查一端点为 的各边 另一 端点是否均已标号。 端点是否均已标号。 若有(u, w)边之w未标号, 则给w以标号i+1, 记下边(u, w), 记下边(u, w). 令w代u, 重复②. ② 若这样的边的另一端均已有标号, 就退到标号为i-1的r 0 点, 以r 代u ,重复②. ② 1 直到全部点得到标号为止。 2 3 1 2 8 7 6 4 10 11 7 5 0 3 8 10 13 12 6 9 11 9 12 4 5 13
找生成树的两种方法-广探法 广探法
(2) 广探法 在点集V中任取一点 中任取一点v, ① 在点集 中任取一点 给 v 以标号 0 . 令所有标号为i的点集为 检查[V, V\Vi]中的边端 的点集为V, ②令所有标号为 的点集为 检查 中的边端 点是否均已标号 对所有未标号之点均标以i+1 , 记 标号。 点是否均已标号。对所有未标号之点均标以 下这些边。 下这些边。 对标号i+1的点重复步骤②, 直到全部点得到标号为至 ② 直到全部点得到标号为至. 0 1 1 2 1 1 2 0 2 1 2 4 3 2 1 2
大树与小树
大树与小树大树与小树1妈妈是一棵大树，我是一棵小树，妈妈为我遮风避雨。
妈妈是一片叶子，我是一朵花，妈妈提供我营养。
妈妈是一个太阳，我是一棵小树，让我成长变大树。
我喜欢您妈妈，我爱您，我非常感谢您。
大树与小树2朋友们，你们好!我是一棵生长在森林里的一棵小树苗，我们一家人还有我的许多小伙伴们一起生活在一个大森林里。
这个森林山清水秀，小溪在我身边哗啦啦地流着，我们这里更是鸟的天堂，动物们的世界。
每天一早，鸟儿们就在大树上唱歌，在森林里刨虫子吃，生活得很快乐。
可是，一场灾难正在悄悄地逼近我们。
清晨，鸟儿在树上唧唧地叫着，鸟叫声衬托着小溪的叮咚声，好似一支乐曲，动听极了。
这时候，森林里冒出了几个不明人物。
看样子，他们是有企图而来的。
其中有一个人说：“我们就在这里住下来吧!”另外几个人不约而同地同意了这个提议。
于是，在跟接着下来的日子里，原本欢乐祥和的家园就开始远离我们了。
要不就是到处都是生活垃圾，丑化了我们的形像，要不就是浓烟滚滚，我们可爱的邻居们都纷纷择地而跑了。
刚开始时，我们还可以忍受这些人类所带来的折磨，可是过不了几天，们们竟然为了一私已欲，为了家里的生活变得更美好，拿着一个叫作“斧头”的东西上山了。
刚开始时，我们还不知是怎么回事，但紧跟着来他们的行为令我们大惊失色。
只见有一个人拿着斧头使劲地往我哥哥身上砍去，最后，哥哥无助地瘫倒在地上。
任由这些所谓的人类宰割了。
树上的鸟宝宝们也因为这突如其来的灾难，还没来得及看清这个世界，便永远地离开了亲爱的爸爸妈妈。
曾经的鸟儿们的天堂，一下子沦为人间的地狱!目睹着家破人亡的人间悲剧，鸟妈妈们难过地飞走了。
接着，我那可怜的爸爸妈妈无一幸免，我眼睁睁地看着我的家人都被伐倒，被大卡车拉走，被送入工场，然后被做成各种各样的桌椅，餐台，基至是那些一次性的筷子!我的心在滴血，我非常憎恨那些所谓的人类，那些杀人不眨眼的刽子手!我愤怒地想：人类一定会被自已的所作所为遭到报应的!灾难终于降临了，那无休无止的洪水泛滥，紧跟着又是旱灾这个恶魔的摧残，没有了我们这一大片森林的顶力保护，人类在这个时候是如些的不堪一击，原本安静祥和的村庄，也遭受了致命的打击，人民生活在水深火热之中。
运筹学里最小树的名词解释
运筹学里最小树的名词解释运筹学（Operations Research，简称OR）是一门研究优化问题的科学，它主要运用数学、统计学和计算机科学的方法，从而使得人们可以更好地进行决策和规划。
在运筹学里面，最小树（Minimum Spanning Tree）是一个重要的名词，它在许多实际问题中都有着广泛的应用。
本文将从定义、性质、算法和应用四个方面对最小树进行解释。
1. 定义最小树是指在一个连通无向图中，连接所有顶点并具有最小权值的树。
其中，连通无向图是指任意两个顶点之间都存在路径的无向图，而权值则可以表示为图中两个顶点之间的距离、代价或其他度量标准。
最小树的目标是寻找一棵边权和最小的树，这样可以在最小的代价下连接所有的顶点。
2. 性质最小树具有一些重要的性质。
首先，最小树是一个树，因此没有环；其次，最小树的边数为顶点数减一，因为连接n个顶点的树需要n-1条边；再次，最小树中的任意两点之间有且只有一条路径，这样才能保证连通性；最后，最小树的边权和是所有连通无向图中最小的。
3. 算法在求解最小树的过程中，有许多经典的算法被开发出来，其中最著名的是Prim 算法和Kruskal算法。
Prim算法通过贪心策略从一个顶点开始，逐步扩展最小树的规模，直到覆盖所有顶点。
具体步骤为：选择一个起始顶点，将其加入最小树，并将与之相邻的边加入候选边集；从候选边集中选择一个权值最小的边，并将其连接的顶点加入最小树，然后将该边加入最小树的边集；重复以上步骤直到树中包含所有的顶点。
而Kruskal算法则通过排序边的权值，逐个加入最小树的边集，直到树中包含所有的顶点为止。
4. 应用最小树在实际问题中有着广泛的应用。
以电力传输系统为例，若要将多个城市用最短的线路连接起来，最小树可以帮助确定连接方式，从而降低电力传输的成本。
此外，最小树还被应用于通信网络的优化设计、物流配送的路径规划、城市规划的交通布局等方面。
通过构建合理的最小树，可以有效地优化资源利用和减少成本。
分析漫画一棵大树两棵小树写作文
分析漫画一棵大树两棵小树写作文无私的爱在一个漫画中我看到了一幅图，是两棵大树中间有一棵小树，一棵大树为小树挡着太阳，一棵大树为小树挡着雨，我的脑海里立刻产生了一个爱的故事：从前，在一片森林里，有两棵大树有了自己的孩子——小树宝宝。
两棵大树为了让小树健健康康变为它遮风挡雨，不想让小树受到一点伤害……春天，小树在春雨中嬉戏玩耍，树妈妈总是提醒小树：“孩子，小心点！别感冒了！”小树不听妈妈的话，还在雨中玩，最后真生病了，在树妈妈细心照料下终于康复了！小树长的很挺拔，很结实。
寒冷的夏天去了，太阳像是一个火球似的，蒸煮着大地。
一棵爸爸则用茂盛的枝叶为小树遮阳，小树在树荫下嬉戏着，很难受。
这样，小树奈良的渡过了一个寒冷的夏天。
渐渐的小树长大了点，也听话了，懂了父母的艰辛。
秋天去了，秋风吹起着，树叶都落下了，只剩光秃秃的树干。
小树笑脸蜡黄很疲惫，因为秋天没营养，一棵妈妈和树爸爸把营养都运送给了小树，使小树健健康康。
小树很敬佩一棵妈妈和树爸爸，心想长大后一定必须告慰父母的恩情！炎热的冬天至了，寒风隆隆的吹起着，雪花宛若，小树在玩玩着雪，一棵妈妈和树爸爸则用结实的树干维护着小树。
小树终于长大了！而两棵大树也慢慢变老了，小树为了告慰它们，便已经开始照料它们，于是它们过上了温暖的生活！这个故事不仅在讲树的爱，他们多么像是我们的自己的父母，它们无私的为我们无私奉献着，不敢使我们受一点危害，我们也必须像是小树一样关怀关怀自己的父母吧！在一个漫画中我看到了一幅图，是两棵大树中间有一棵小树，一棵大树为小树挡着太阳，一棵大树为小树挡着雨，我的脑海里立刻产生了一个爱的故事：从前，在一片森林里，有两棵大树有了自己的孩子——小树宝宝.两棵大树为了让小树健健康康变为它遮风挡雨，不想让小树受到一点伤害……春天，小树在春雨中玩耍嬉戏，一棵妈妈总是告诫小树：“孩子，小心点！别哮喘了！”小树不听到妈妈的话，还在雨中玩玩，最后真生病了，在树妈妈细心照料下终于康复了！小树短的非常丰满，很结实.炎热的夏天来了，太阳像一个火球似的，烘烤着大地.树爸爸则用茂密的枝叶为小树遮阳，小树在树荫下玩耍着，很舒服.这样，小树平安的度过了一个炎热的夏天.渐渐的小树长大了点，也听话了，懂了父母的艰辛.一棵小树生长在一棵大树底下，风吹不着，雨淋不着，太阳晒不着，他感到很舒服。
大树和小树
大树和小树
在辽阔的草原原野上，有一棵高大的树，和一棵矮小的树。
大树对于小树来说很重要。
因为雨肆虐地拍打小树时，大树会为它遮雨；在干旱的夏天，大树会为它送去一片阴凉；恐怖的黑夜，大树会沙沙摇着枝叶，哄小树睡去。
哪怕这只是一点点的帮助，但小树很爱大树。
渐渐的小树长大了，他觉得已经不再需要大树的帮助了。
它却总是在无助时再次得到来自大树的关爱。
它已经长得很大了，可却比不上大树。
它不气馁，它相信大叔老了，它会超越大树。
大树也鼓励它，总是在清晨送去甜甜的露水。
小树真的长高了。
当秋天来临，一些鸟儿栖息在大树上。
而小树却没无人问津。
它觉得那是对它的侮辱。
它不再向大树寻求帮助。
于是，它们开始暗暗较量。
它们比春天的花，比夏天的叶，比秋天的果，比冬天的枝。
可，有一天。
草原上来了一些工人，在大树与小树之前筑起来一道高高的墙，超越了它们的高度。
从此，它们分离了。
大树没有了伴儿，开始寂寞，树冠黄了，树干皱了。
小树没有了大树的庇护，总在风雨天气里受伤，有时是些树叶，有时是些枝干。
小树安慰大树，别急，我来了。
大树在这句话中等了数年。
这天，小树说，不要急，我来了。
大树失望的望着墙头，却突然看见了一片树叶。
它们见面了。
谁也分不开它们了，因为它们的枝条已触及对方，紧紧缠绕住了。
大树是我的母亲，小树则是我。
而那墙呢，它就是青春期。
大树和小树的故事
大树和小树的故事从前，有一个大树和一个小树住在一起。
大树是森林中最高大的树，他的树冠茂盛，树干粗壮，是森林中的长者。
而小树则是大树的邻居，他虽然个子不高，但是茁壮成长，充满了朝气和活力。
大树和小树是好朋友，他们经常在一起玩耍。
大树总是在小树面前自豪地说，“我是森林中最高大的树，我的树冠可以遮阳挡雨，我的树干可以抵挡风雨，我是这片森林的守护者。
”小树听了大树的话，心里有些羡慕，但也很感慨，“我虽然个子小，但我也会努力成长，将来我也要成为一棵高大的树，保护这片森林。
”。
有一天，一场大风袭来，森林中的树都在摇摆不定，大树的树冠在风中摇摆，但仍然稳如泰山。
而小树的树干在风中摇摆，他担心自己会被风吹倒。
大树看到小树的样子，便对他说，“小树，不要害怕，你要像我一样坚强，风雨过后，你会变得更加坚强。
”小树听了大树的话，便努力使劲地抵挡风雨，终于熬过了风雨。
日子一天天过去，小树长大了，他的树干变得更加粗壮，树冠也变得更加茂盛。
大树看着小树，笑着说，“看，你已经长大了，你也成为了一棵坚强的树，你将来一定会成为这片森林的守护者。
”小树听了大树的话，感到非常开心和自豪。
从此以后，大树和小树一起守护着这片森林，他们成为了这片森林中最美丽的风景。
大树教会了小树坚强和勇敢，小树则让大树感受到了生命的勃勃生机。
他们相互依偎，相互扶持，共同成长，共同守护着这片美丽的家园。
就这样，大树和小树的故事在森林中传颂开来，成为了一道美丽的风景线。
他们的故事告诉我们，无论个子高矮，无论年龄大小，只要心怀勇敢和坚强，就能成为生命中最美丽的风景。
愿我们都能像大树和小树一样，坚强勇敢，共同守护着这片美丽的家园。
《树与最小树》教案
§1—2 树与最小树教学目的：1、理解树的相关概念2、理解最小树问题3、掌握求最小树的方法教学重点：避圈法、破圈法教学难点：树的概念的理解教学过程：一、树与图的部分树1、定义：一个无圈的连通图称为树例1 12级会计一班班级结构如图：（日常生活中还有很多树形图的运用，例如黄石冶钢集团组织结构，家族族谱等等，大家可以想想平时还看到过哪些树形图）从最简单的树开始观察起，大家能发现有什么规律吗？2、树的性质：设T 是一棵有p 个顶点的树，则树T 的边数是（p-1）条图有部分图，树有部分树，什么是部分树呢？3、定义：如果G 的一个部分图T 是棵树，则称T 为G 的一棵部分树注：部分树首先得是部分图，必须包含图G 的所有顶点。
二、最小树1、定义：如果图G 中的每一条边[j i v v ,],相应地有一个数ij w ，称为边[j i v v ,]的权。
图G 连同在它边上的权称为赋权图.2、定义：在赋权图G 中，部分树T 的各边上权的总和称为部分树T的权.3、最小树问题：求赋权图G中权最小的部分树.三、最小树算法1、避圈法步骤：（1）.画出赋权图G的各个顶点。
（2）.在G中画一条权最小的边。
（3）.在G中余下的边中，选一条权最小的边加在图上，并要使它与已选入的边不形成圈（避圈）.（4）.重复步骤（3），直至各顶点都连通为止（此时的边数应等于顶点数减1）例 2 本学院要沿如图所示的道路架设电话线，将六个部门连成网.已知每条道路的长度，求使电话线总长最小的架设方案.注意：在避圈法中，如遇到两条或几条边的权相等且最小时，可以从中任取一条，但不可与已选的边成圈2、破圈法步骤：（1）在赋权图G中任取一个圈，在该圈中去掉权最大的边（破圈）.（2）在余下的部分图中，重复步骤1，直至无圈为止，所得的部分图即为最小树.例3 用破圈法求例2的图的最小树课中练习拟在黄石四个县镇之间建设高速公路，请确定建造告诉公路时的最小树，县镇之间的距离（km）如下图.知识点总结：1、树的基本概念2、树的重要性质3、部分树的概念4、最小树问题的定义5、最小树问题的算法课后作业: P243习题1—2 1、2、4。
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避圈法: 去掉G中所有边，得到n个孤立点；然后加边。
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加边的原则为：从最短边开始添加，加边的过程中不能形成 圈，直到点点连通(即:n-1条边)。 v1 5 v2 8 4 3 v3 7 5 v5 1 v6
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练习：应用避圈法求最小树 v1 23 v6 36 1 v7 20 4 v2 15
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求树的方法：破圈法和避圈法 破圈法
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部分树
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避圈法
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性质5：树无回圈，但不相邻的两个点之间加一条边，恰 得到一个圈。
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图的最小部分树(支撑树)
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如果G2是G1的部分图，又是树图，则称G2是G1的部分树 （或支撑树）。树图的各条边称为树枝，一般图G1含有多 个部分树，其中树枝总长最小的部分树，称为该图的最小 部分树（或最小支撑树）。
经营副 厂长
开发科
技术科
生产科
设备科
供应科
动力科
销售科
检验科
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树：无圈的连通图即为树
性质1：任何树中必存在次为1的点。 性质2：n 个顶点的树必有n-1 条边。 v6
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v5 性质3：树中任意两个顶点之间，恰有且仅有一条链。
性质4：树连通，但去掉任一条边，必变为不连通。
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赋权图中求最小树的方法：破圈法和避圈法 破圈法：任取一圈，去掉圈中最长边，直到无圈。 v3 v1 v5 8 7 5 v2 4 3
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得到最小树： v1 4 2 v2 3 v4
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树是图论中结构最简单但又十分重要的图。在自然和社会领 域应用极为广泛。 例6.2 乒乓求单打比赛抽签后，可用图来表示相遇情况，如 下图所示。
运动员 A
B C
D
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例6.3 某企业的组织机构图也可用树图表示。
厂长
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人事科
财务科
总工 程师
生产副 厂长
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课堂练习：
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答案：
Min C(T)=12
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