(完整版)三角函数恒等变换高一

三角函数恒等变换

()sin sin cos cos sin sin 22sin cos 令αβ

αβαβαβααα=±=±−−−→= ()()2222222cos cos cos sin sin cos 2cos sin 2cos 112sin tan tan 1+cos2tan cos 1tan tan 2

1cos2sin 2

2tan tan 21tan 令 ＝

＝

αβαβαβαβααα

αααβα

αβααβα

αα

αα=±=−−−→=-↓=-=-±±=

⇒-↓=

-m m

说明：和差角公式和二倍角公式主要用于诱导公式无法使用的复合角求值问题，对于已知部分，要尽量和所求部分找出角度之间的关系。公式优先级：二倍角》诱导公式》和差角。 题型一，和差角公式的直接应用

分为展开计算和合并计算两类。对于展开计算即给角求角问题，无论所给的是否为单角，一律看成单角并用其凑出所求角；合并计算针对于给出正余弦的和差式，要想法朝角度的和差角展开式式凑，具体为先统一为两角再合并。 1计算：

（1）︒︒+︒︒20sin 80sin 20cos 80cos = ； （2）︒︒+︒︒55cos 10cos 35cos 80cos = ；

（3）cos 5πcos 103π-sin 5πsin 103π＝ ；

（4）－sin 3πcos 6π+sin 6πcos 3π

=__________；

（5） sin 2πcos 6π－cos 2πsin 6π

= _________ ；

（6）cos 3πcos 6π+sin 6πsin 3π

=____________；

（7）cos 4πcos 2π－sin 2πsin 4

π

=_____________；

2，已知4sin 5α=

，,,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭5cos ,13

ββ=-是第三象限角，求()cos αβ-的值。

3，已知sin α=53

，cos β=13

12求cos(α-β)的值。

4，化简：

（1），cos(2x －4π)cos χ+sin(2x －4π

)sin x =_______； （2），－sin(x －3π)sin(3x +6π)－cos(3x +6π)cos(x －3π

)=______；

（3），cos(x －12π)sin(2x －6π)－sin(x －12

π)cos(2x －6π

)=_____；

（4），cos(2x －3π)cos(x +6π)－sin(2x －3π)sin(x +6π

)=_________；

（5），-sin(2x +8π)cos(x -8π)+cos(2x +8π)sin(x -8π

)=___________；_

（6），sin(x +4π)cos2x -cos(x +4

π

)sin2x =-_______。

5，已知3

2

4sin =⎪⎭⎫

⎝

⎛+πα，求sin α。

6，已知2112sin =⎪⎭⎫

⎝

⎛+πα，求⎪⎭⎫ ⎝

⎛

+3cos πα。

7，已知212tan =⎪⎭

⎫

⎝

⎛+

πx ，求 （1）⎪⎭

⎫

⎝

⎛+3tan πx ；（2)⎪⎭

⎫

⎝

⎛-

6tan πx ；（3）⎪⎭

⎫

⎝

⎛-

6sin πx 。

题型二，二倍角公式

先找出未知角之间有无倍数关系，确定公式的应用。倍数关系高于其他所有公式。 二倍角公式的主要作用在于升降次和连乘问题。 1，计算：

（1）sin22︒30’cos22︒30’= ； （2）=π

πππ12

cos 24cos 48cos 48sin 8 ； （3）=π

-ππ+π)12

5cos 125)(sin 125cos 125(sin ； （4）=π

πππ12

cos 24cos 48cos 48sin 8 ； （5）=α

-α2

sin 2cos

44

。

2，若

25π≤α≤2

7π，则ααsin 1sin 1-++等于( ) A.2cos

B.2cos 22

C.2sin

D.2sin

22

αα

αα

--

3，4cos 2sin 22+-的值等于( )

Ａ，sin2 Ｂ，－cos2 Ｃ，3 cos2 Ｄ，－3cos2

4，已知sin ｘ＝215-，则sin2（ｘ－4

π

）的值等于 。

5，已知5sin()(0),4134

ππαα-=<<。

6，求证：

θ

θ

θθθθ2tan 14cos 4sin 1tan 24cos 4sin 1-++=

-+。

7，sin6°cos24°sin78°cos48°的值为 。

8，9

4cos

93cos 92cos

9

cos π

πππ

的值等于 。

常用配角（已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换. 如()()ααββαββ=+-=-+，2()()ααβαβ=++-，

2()()αβαβα=+--，22

αβ

αβ++=⋅

，

(

)()

2

2

2αβ

β

ααβ+=-

--

等），

4、821

.,sin ,cos(),cos .1729

αβααββ=-=已知为锐角，求的值 5，

12

cos ,sin ,,0,cos .2923222βαππαβαβαπβ+⎛⎫⎛⎫-=--=<<<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

已知且求

题型三，三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路是：一角二名三结构。即首先观察角与角之间的关系，注意角的一些常用变式，角的变换是三角函数变换的核心！第二看函数名称之间的关系，通常“切化弦”；第三观察代数式的结构特点。

1、已知2tan()5αβ+=，1tan()44πβ-=，那么tan()4

π

α+的值是_____

2、已知02

π

βαπ<<<<，且129cos()β

α-

=-，2

23

sin()αβ-=，求cos()αβ+

3、已知,αβ为锐角，sin ,cos x y αβ==，3cos()5

αβ+=-，则y 与x 的函数关系为_____