正切函数的图像和性质-公开课教案

正切函数的图像和性质-公开课教案

1.4.2 正切函数的性质与图象

考纲要求：能画出y=tanx的图象，了解三角函数的周期性.，理解正切函数在

区间（）的单调性.

教学目的

知识目标：了解利用正切线画出正切函数图象的方法；

了解正切曲线的特征，能利用正切曲线解决简单的问题；

掌握正切函数的性质。

能力目标：掌握正弦函数的周期性，奇

偶性，单调性，能利用正切

曲线解决简单的问题。

情感目标：在借鉴正弦函数的学习方法研究正切函数图象、性质的过程中体会类比的思想。

教学重点：正切函数的图象形状及其主要性质

教学难点：1、利用正切线得到正切函数的图象

2、对正切函数单调性的理解

教学方法：探究，启发式教学

教学过程

复习导入： 1. 正切函数的定义及几何表

示，正切函数tan

的定义域是什么？

y x

2. 正弦曲线是怎样画的？

讲授新课：

思考1：能否类比正弦函数图象的作法，画出正切函数的图象呢？

画正切函数选取哪一段好呢?

画多长一段呢?

思考2：正切函数是不是周期函数？若

是，最小正周期是什么？

思考3. 诱导公式 体

现了正切函数的哪种性质？

（一）作tan y x =，x ∈⎪⎭

⎫

⎝

⎛-2

,2ππ的图象

说明：

（1）根据正切函数的周期性，把上述图

象向左、右扩展，得到正切函数

R

x x

y ∈=tan ，且()z k k x ∈+≠ππ

2

的图象，称“正切曲线”。

tan()tan x x

-=-

（2）由图象可以看出，正切曲线是由被相

互平行的直线()2x k k Z ππ=+∈所隔开的无穷多支曲线组成的。

（二）正切函数的性质 引导学生观察，共同获得：

（1）定义域：⎭

⎬⎫

⎩

⎨⎧∈+≠z k k x x ,2

|ππ； （2）周期性：π=T ；

（3）奇偶性：由()x x tan tan -=-知，正切函数是奇函数；

（4）单调性：

思考：正切函数在整个定义域内是增函数

吗？

引导学生观察正切曲线，小组讨论的形式。 师举例说明：

1212121122125,34

,,tan ,tan ,

,22x x x x x x y x y x y k k k Z π

π

ππππ=

=

<==>⎛⎫

-++∈ ⎪⎝⎭

师归纳：不能。如图，取在定义域内，且但y 所以，不能说正切函数你在整个定义域内是增函数，

而只能说，正切函数在开区间内单调递增。

（5）值域：R

观察图象，有：当x 从小于()2k k Z ππ+∈，2

x k ππ

−−→+时，tan x −−

→+∞ 当

x

从大于

()

2

k k Z π

π-

+∈，

2

x k π

π

−−→-

+时，-∞−→−

x tan 。

（三）、典型例题 例1（课本P44 例6）．求函数 的定义域、周期和单调区间。

y tan(x )23

ππ=+

解：函数的自变量x 应满足： 。 即

∴函数的定义域为

周期

因此函数 的周期为2 由

解得

,,

23

2x k k Z ππππ+≠+∈12,.

3

x k k Z ≠+∈1|2,.3x x k k Z ⎧⎫

≠+∈⎨

⎬⎩⎭

22

T π

ππ

ω==

=y tan(x )

23

ππ=+x ,2232k k k Z π

πππ

ππ-+<+<+∈5122,.33

k x k k Z -+<<+∈

因此，函数的单调递增区间为

例2．不通过求值，比较下列两个正切函数值的大小：

与

．

说明：比较两个正切值大小，关键是把相应的角化到y=tanx 的同一单调区间内，再利用y=tanx 的单调性解决。

课堂练习：1 求下列函数的定义域和周期。（课本P45 练习 4）

512,2,.

33k k k Z ⎛⎫

-++∈ ⎪⎝⎭(1)y tan 2x,x (k Z)42

k π

π

=≠+∈(2)y 5tan ,(2k 1)(k Z)

2

x

x π=≠+∈

课堂小结：

1、正切函数的图象：

2布置作业：P46 习题1.4：

A组6、7

B组2