正切函数的图像和性质-公开课教案
正切函数的性质与图象教案
正切函数的性质与图象教案一、教学目标：1. 理解正切函数的定义，掌握正切函数的性质。
2. 能够绘制正切函数的图象，理解正切函数图象的特点。
3. 能够运用正切函数的性质与图象解决实际问题。
二、教学重点：1. 正切函数的定义。
2. 正切函数的性质。
3. 正切函数图象的特点。
三、教学难点：1. 正切函数的性质的理解与运用。
2. 正切函数图象的绘制与分析。
四、教学准备：1. 教学课件。
2. 练习题。
五、教学过程：1. 导入：利用正切函数的实际应用情境，引导学生思考正切函数的定义，激发学生的学习兴趣。
2. 新课：讲解正切函数的定义，通过示例让学生理解正切函数的概念。
讲解正切函数的性质，让学生通过观察、实验、探究等方式，理解正切函数的性质。
讲解正切函数图象的特点，让学生通过观察、实验、探究等方式，掌握正切函数图象的特点。
3. 练习：让学生独立完成练习题，巩固所学知识。
5. 作业布置：布置相关作业，让学生进一步巩固正切函数的性质与图象。
六、教学反思：本节课通过引导学生思考正切函数的定义，讲解正切函数的性质与图象，让学生掌握了正切函数的基本知识。
在教学过程中，注意调动学生的积极性，引导学生通过观察、实验、探究等方式，理解正切函数的性质与图象。
但在教学中也存在一些问题，如部分学生对正切函数的理解不够深入，需要在今后的教学中加强引导和讲解。
六、教学拓展：1. 讲解正切函数的周期性，引导学生理解正切函数周期性的含义。
2. 讲解正切函数的奇偶性，引导学生理解正切函数奇偶性的含义。
3. 讲解正切函数的单调性，引导学生理解正切函数单调性的含义。
七、课堂小结：2. 强调正切函数在实际应用中的重要性。
八、课后作业：1. 巩固正切函数的性质与图象，完成课后练习题。
2. 搜集正切函数在实际应用中的例子，加深对正切函数的理解。
1. 课后对学生进行提问，了解学生对正切函数性质与图象的掌握情况。
2. 分析学生的练习作业，评估学生对正切函数性质与图象的掌握程度。
高二数学《正切函数的图像及性质》教案
《正切函数的图像及性质》教案 "数学组一、 教学目标：1、 知识与技能（1）了解任意角的正切函数概念；（2）理解正切函数中的自变量取值范围；（3）掌握正切线的画法；（4）能用单位圆中的正切线画出正切函数的图像；（5）熟练根据正切函数的图像推导出正切函数的性质；（6）能熟练掌握正切函数的图像与性质；（7）掌握利用数形结合思想分析问题、解决问题的技能。
2、 过程与方法类比正、余弦函数的概念，引入正切函数的概念；在此基础上，比较三个三角函数之间的关系；让学生通过类比，联系正弦函数图像的作法，通过单位圆中的有向线段得到正切函数的图像；能学以致用，结合图像分析得到正切函数的诱导公式和正切函数的性质。
3、 情感态度与价值观使同学们对正切函数的概念有一定的体会；会用联系的观点看问题，建立数形结合的思想，激发学习的学习积极性；培养学生分析问题、解决问题的能力；让学生体验自身探索成功的喜悦感，培养学生的自信心；培养学生形成实事求是的科学态度和锲而不舍的钻研精神。
二、教学重、难点重点: 正切函数的概念、诱导公式、图像与性质难点: 熟练运用诱导公式和性质分析问题、解决问题三、学法与教学用具我们已经知道正、余弦函数的概念是通过在单位圆中，以函数定义的形式给出来的，从而把锐角的正、余弦函数推广到任意情况；现在我们就应该与正、余弦函数的概念作比较，得出正切函数的概念；同样地，可以仿照正、余弦函数的诱导公式推出正切函数的诱导公式；通过单位圆中的正切线画出正切函数的图像，并从图像观察总结出正切函数的性质。
教学用具:投影机、三角板第一课时 正切函数的定义、图像及性质一、教学思路【创设情境，揭示课题】 常见的三角函数还有正切函数，在前两次课中，我们学习了任意角的正、余弦函数，并借助于它们的图像研究了它们的性质。
今天我们类比正弦、余弦函数的学习方法，在直角坐标系内学习任意角的正切函数，请同学们先自主学习课本P40。
【探究新知】1． 正切函数的定义在直角坐标系中，如果角α满足：α∈R ，α≠2π＋k π(k∈Z)，那么，角α的终边与单位圆交于点P （a ，b ），唯一确定比值a b .根据函数定义，比值ab 是角α的函数，我们把它叫作角α的正切函数，记作y ＝tan α，其中α∈R ，α≠2π＋k π，k∈Z.比较正、余弦和正切的定义，不难看出：tan α＝ααcos sin (α∈R ，α≠2π＋k π，k∈Z). 由此可知，正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以比值为函数值的函数，我们统称为三角函数。
《正切函数的图像与性质》教案与导学案
《第五章三角函数》《5.4.3正切函数的图像与性质》教案【教材分析】本节课是三角函数的继续，三角函数包含正弦函数、余弦函数、正切函数.而本课内容是正切函数的性质与图像.首先根据单位圆中正切函数的定义探究其图像，然后通过图像研究正切函数的性质.【教学目标与核心素养】课程目标1、掌握利用单位圆中正切函数定义得到图象的方法;2、能够利用正切函数图象准确归纳其性质并能简单地应用.数学学科素养1.数学抽象：借助单位圆理解正切函数的图像；2.逻辑推理：求正切函数的单调区间；3.数学运算：利用性质求周期、比较大小及判断奇偶性.4.直观想象：正切函数的图像；5.数学建模：让学生借助数形结合的思想，通过图像探究正切函数的性质.【教学重难点】重点：能够利用正切函数图象准确归纳其性质并能简单地应用；难点：掌握利用单位圆中正切函数定义得到其图象.【教学方法】：以学生为主体，小组为单位，采用诱思探究式教学，精讲多练。
【教学过程】一、情景导入三角函数包含正弦函数、余弦函数、正切函数.我们已经学过正弦函数、余弦函数的图像与性质，那么根据正弦函数、余弦函数的图像与性质的由来，能否得到正切函数的图像与性质.要求：让学生自由发言，教师不做判断。
而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本209-212页，思考并完成以下问题1.正切函数图像是怎样的？2.类比正弦、余弦函数性质，通过观察正切函数图像可以得到正切函数有什么性质？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。
三、新知探究1.正切函数，且图象：2.观察正切曲线，回答正切函数的性质： 定义域：值域：R （-∞，+∞）最值：无最值渐近线：x =π2+k π(k ∈Z)周期性：最小正周期是奇偶性:奇函数单调性：增区间图像特征：无对称轴，对称中心：(k π2,0)k ∈Z四、典例分析、举一反三 题型一正切函数的性质例1求函数f (x )＝tan 的定义域、周期和单调递增区间．【答案】定义域：{x |x ≠2k ＋13，k ∈Z }；最小正周期为2；R x x y ∈=tan ()z k k x ∈+≠ππ2()z k k x ∈+≠2πππ,,22k k k z ππππ⎛⎫-++∈ ⎪⎝⎭23x ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭单调递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－53＋2k ，13＋2k ，k ∈Z .【解析】由π2x ＋π3≠k π＋π2，得x ≠2k ＋13(k ∈Z )． 所以函数f (x )的定义域是{x |x ≠2k ＋13，k ∈Z }；由于ππ2＝2，因此函数f (x )的最小正周期为2. 由－π2＋k π＜π2x ＋π3＜π2＋k π，k ∈Z ，解得－53＋2k ＜x ＜13＋2k ，k ∈Z . 因此，函数的单调递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－53＋2k ，13＋2k ，k ∈Z . 解题技巧：（求单调区间的步骤）用“基本函数法”求函数y ＝A tan(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的单调区间、定义域及对称中心的步骤：第一步：写出基本函数y ＝tan x 的相应单调区间、定义域及对称中心； 第二步：将“ωx ＋φ”视为整体替换基本函数的单调区间(用不等式表示)中的“x ”；第三步：解关于x 的不等式． 跟踪训练一 1．下列命题中：①函数y ＝tan(x ＋φ)在定义域内不存在递减区间；②函数y ＝tan(x ＋φ)的最小正周期为π；③函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4的图像关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0对称；④函数y＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4的图像关于直线x ＝π4对称．其中正确命题的个数是( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个D ．3个【答案】D ．【解析】 ：①正确，函数y ＝tan(x ＋φ)在定义域内只存在递增区间．②正确．③正确，其对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2π－π4，0(k ∈Z )．④函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4不存在对称轴．所以①②③正确，故选D.题型二比较大小 例2与 【答案】. 【解析】 又在上是增函数解题技巧：(比较两个三角函数值的大小)比较两个同名三角函数值的大小，先利用诱导公式把两个角化为同一单调区间内的角，再利用函数的单调性比较．跟踪训练二1．若f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，则( )A ．f (0)＞f (－1)＞f (1)B ．f (0)＞f (1)＞f (－1)C ．f (1)＞f (0)＞f (－1)D ．f (－1)＞f (0)＞f (1)【答案】A【解析】 f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4在⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π4，π4内是增函数． 又0，－1∈⎝⎛⎭⎪⎫－3π4，π4，0＞－1，∴f (0)＞f (－1)． 又f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4在⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，5π4上也是增函数，f (－1)＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋π4＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫π＋π4－1＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4－1. ∵5π4－1,1∈⎝⎛⎭⎪⎫π4，5π4，且5π4－1＞1，∴f (－1)＞f (1)． 从而有f (0)＞f (－1)＞f (1)． 五、课堂小结0tan1670tan17300tan167tan173<000090167173180<<<tan ,y x =00(90,270)00tan167tan173∴<让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧六、板书设计七、作业课本213页习题5.4.【教学反思】正切函数是在学习了正弦函数、余弦函数的图像与性质的基础上学习的，学生相对而言容易掌握，单调性方面学生需要注意是开区间且只有增区间.《5.4.3 正切函数的图像与性质》导学案【学习目标】知识目标1、掌握利用单位圆中正切函数定义得到图象的方法;2、能够利用正切函数图象准确归纳其性质并能简单地应用.核心素养1.数学抽象：借助单位圆理解正切函数的图像；2.逻辑推理：求正切函数的单调区间；3.数学运算：利用性质求周期、比较大小及判断奇偶性.4.直观想象：正切函数的图像；5.数学建模：让学生借助数形结合的思想，通过图像探究正切函数的性质.【重点与难点】重点：能够利用正切函数图象准确归纳其性质并能简单地应用；难点：掌握利用单位圆中正切函数定义得到其图象. 【学习过程】 一、预习导入阅读课本209-212页，填写。
高中数学必修四《正切函数的性质和图象》优秀教学设计
1.4.3 正切函数的性质和图象一．学习目标1、掌握正切函数的性质及其应用2、理解并掌握作正切函数图象的方法；3二、复习引入 （1）画出下列各角的正切线：三.探究新知 探究一 ）1、利用正切函数的定义xy=αtan 2、正切函数的周期性：由诱导公式()=+πx tanx R ∈且,2x k k Z ππ≠+∈， 可知 ,函数tan y x =（,2x k k Z ππ≠+∈）是 函数，且它的周期是 ．3、正切函数的奇偶性：由诱导公式tan()x -= x R ∈且,2x k k Z ππ≠+∈，所以正切函数tan y x =（,2x k k Z ππ≠+∈）是 函数．4、正切函数的单调性由图（Ⅰ）、（Ⅱ）正切线的变化规律可以得出，正切函数在(,)22ππ-内是 函数，又由正切函数的周期性可知，正切函数在开区间 内都是增函数． 5、 正切函数的值域由图（Ⅰ）可知，当x 大于2π-且无限接近于2π-时，正切线AT 向y 轴的负方向无限延伸；由图（Ⅱ）可知，当x 小于2π且无限接近于2π时，正切线AT 向y 轴的正方向无限延伸．因此，tan y x =在(,)22ππ-内可以取任意实数，但没有最大值、最小值．因此，正切函数的值域是 ．探究二 正切函数的图像1.复习如何用正弦线作正弦函数图象，类比可不可以用正切线作正切函数tan y x = 的图象？2．利用正切线画出tan y x =，x ∈⎪⎭⎫⎝⎛-2,2ππ的图象：3．根据正切函数的周期性，把上述图象向左、右扩展，得到正切函数tan y x =，x R ∈且()z k k x ∈+≠ππ2的图象，称“正切曲线”．4、如何快速作出正切函数的简图？（三点两线法）5、根据图像讨论验证正切函数的性质。
四、新知运用例1.求函数tan()23y x ππ=+的定义域、值域、周期和单调区间. 例2.比较下列每组数的大小（1）tan138与tan143 （2）tan （411π-）与tan （513π-） 例3.解不等式3tan ≥x五、课堂练习1、求函数y=tan3x 的定义域，值域，周期，单调区间。
正切函数的性质与图像教案
正切函数的性质与图像教案第一篇：正切函数的性质与图像教案1．4．3 正切函数的性质和图像一、教学目标1.用单位圆中的正切线作正切函数的图象；2.用正切函数图象解决函数有关的性质；二、课时 1课时三、教学重点正切函数的性质与图象的简单应用.四、教学难点正切函数性质的深刻理解及其简单应用.五、教具多媒体、实物投影仪六、教学过程导入新课思路1.(直接导入)常见的三角函数还有正切函数,前面我们研究了正、余弦函数的图象和性质,你能否根据研究正弦函数、余弦函数的图象与性质的经验,以同样的方法研究正切函数的图象与性质？由此展开新课.思路2.先由图象开始,让学生先画正切线,然后类比正弦、余弦函数的几何作图法来画出正切函数的图象.这也是一种不错的选择,这是传统的导入法.推进新课新知探究提出问题①我们通过画正弦、余弦函数图象探究了正弦、余弦函数的性质.正切函数是我们高中要学习的最后一个基本初等函数.你能运用类比的方法先探究出正切函数的性质吗？都研究函数的哪几个方面的性质？②我们学习了正弦线、余弦线、正切线.你能画出四个象限的正切线吗？③我们知道作周期函数的图象一般是先作出长度为一个周期的区间上的图象,然后向左、右扩展,这样就可以得到它在整个定义域上的图象.那么我们先选哪一个区间来研究正切函数呢？为什么？④我们用“五点法”能简捷地画出正弦、余弦函数的简图,你能画出正切函数的简图吗？你能类比“五点法”也用几个字总结出作正切简图的方法吗？活动:问题①,教师先引导学生回忆:正弦、余弦函数的性质是从定义域、值域、奇偶性、单调性、周期性这几个方面来研究的,有了这些知识准备,然后点拨学生也从这几个方面来探究正切函数的性质.由于还没有作出正切函数图象,教师指导学生充分利用正切线的直观性.(1)周期性由诱导公式tan(x+π)=tanx,x∈R,x≠π+kπ,k∈Z2可知,正切函数是周期函数,周期是π.这里可通过多媒体课件演示,让学生观察由角的变化引起正切线的变化的周期性,直观理解正切函数的周期性,后面的正切函数图象作出以后,还可从图象上观察正切函数的这一周期性.(2)奇偶性由诱导公式 tan(-x)=-tanx,x∈R,x≠π+kπ,k∈Z 2可知,正切函数是奇函数,所以它的图象关于原点对称.教师可进一步引导学生通过图象还能发现对称点吗？与正余弦函数相对照,学生会发现正切函数也是中心对称函数,它的对称中心是(kπ,0)k∈Z.2(3)单调性通过多媒体课件演示,由正切线的变化规律可以得出,正切函数在(-又由正切函数的周期性可知,正切函数在开区间(-ππ22,)内是增函数,π2+kπ,π+kπ),k∈Z内都是增函数.2(4)定义域根据正切函数的定义tanα=y,显然,当角α的终边落在y轴上任意一点时,都有x=0,这时x正切函数是没有意义的；又因为终边落在y轴上的所有角可表示为kπ+数的定义域是{α|α≠kπ+π,k∈Z,所以正切函2ππ,k∈Z},而不是{α≠+2kπ,k∈Z},这个问题不少初学者很不理解,在22解题时又很容易出错,教师应提醒学生注意这点,深刻明了其内涵本质.(5)值域由多媒体课件演示正切线的变化规律,从正切线知,当x大于-切线AT向Oy轴的负方向无限延伸;当x小于向无限延伸.因此,tanx在(-π2且无限接近-π2时,正ππ且无限接近时,正切线AT向Oy轴的正方22ππ22,)内可以取任意实数,但没有最大值、最小值.因此,正切函数的值域是实数集R.问题②,教师引导学生作出正切线,并观察它的变化规律,如图1.图1 问题③,正切函数图象选用哪个区间作为代表区间更加自然呢？教师引导学生在课堂上展开充分讨论,这也体现了“教师为主导,学生为主体”的新课改理念.有的学生可能选取了［0,π］作为正切函数的周期选取,这正是学生作图的真实性的体现.此时,教师应调整计划,把课件中先作出［-ππ,］内的图象,改为先作出［0,π］内的图象,再进行图象的平移,得到整22ππ,)的图象为好.22π+kπ(k∈Z)2个定义域内函数的图象,让学生观察思考.最后由学生来判断究竟选用哪个区间段内的函数图象既简单又能完全体现正切函数的性质,让学生通过分析得到先作区间(-这时条件成熟,教师引导学生来作正切函数的图象,如图2.根据正切函数的周期性,把图2向左、右扩展,得到正切函数y=tanx,x∈R,且x≠的图象,我们称正切曲线,如图3.图2图3问题④,教师引导学生观察正切曲线,点拨学生讨论思考,只需确定哪些点或线就能画出函数y=tanx,x∈(-ππ22,)的简图.学生可看出有三个点很关键:(-π4,-1),(0,0),（π,1),还有两4条竖线.因此,画正切函数简图的方法就是:先描三点(-x=-π4,-1),(0,0),（π,1),再画两条平行线4π2,x=π,然后连线.教师要让学生动手画一画,这对今后解题很有帮助.2讨论结果:①略.②正切线是AT.③略.④能,“三点两线”法.提出问题①请同学们认真观察正切函数的图象特征,由数及形从正切函数的图象讨论它的性质.②设问:每个区间都是增函数,我们可以说正切函数在整个定义域内是增函数吗？请举一个例子.活动:问题①,从图中可以看出,正切曲线是被相互平行的直线x=π+kπ,k∈Z所隔开的无2穷多支曲线组成的.教师引导学生进一步思考,这点反应了它的哪一性质——定义域；并且函数图象在每个区间都无限靠近这些直线,我们可以将这些直线称之为正切函数的什么线——渐近线；从y轴方向看,上下无限延伸,得到它的哪一性质——值域为R；每隔π个单位,对应的函数值相等,得到它的哪一性质——周期π;在每个区间图象都是上升趋势,得到它的哪一性π+kπ),k∈Z,没有减区间.它的图象是关于原点对称22kπ的,得到是哪一性质——奇函数.通过图象我们还能发现是中心对称,对称中心是(,0),k∈Z.2质——单调性,单调增区间是(-+kπ,问题②,正切函数在每个区间上都是增函数,但我们不可以说正切函数在整个定义域内是增函数.如在区间(0,π)上就没有单调性.讨论结果:①略.②略.应用示例略课堂小结1.先由学生回顾本节都学到了哪些知识方法,有哪些启发、收获.本节课我们是在研究完正、余弦函数的图象与性质之后,研究的又一个具体的三角函数,与研究正弦、余弦函数的图象和性质有什么不同?研究正、余弦函数,是由图象得性质,而这节课我们从正切函数的定义出发得出一些性质,并在此基础上得到图象,最后用图象又验证了函数的性质.2.(教师点拨)本节研究的过程是由数及形,又由形及数相结合,也是我们研究函数的基本方法,特别是又运用了类比的方法、数形结合的方法、化归的方法.请同学们课后思考总结:这种多角度观察、探究问题的方法对我们今后学习有什么指导意义？作业课本习题1.4 A组6、8、9.第二篇：正切函数的图像与性质教案高中数学正切函数的图像与性质昆明市教师资格审查教育教学能力测评试讲教案试讲科目：高中数学学校：云南师范大学姓名：何会芳2013年5月3日制高中数学正切函数的图像与性质一.教材分析1、教材的地位和作用本节课是在学生学习了正弦余弦函数图像及基本性质的基础上对又一个具体三角函数的学习，其研究方法与前面正余弦函数图像与性质的研究方法类似，是对学生所学知识的融通和运用，也是学生对学习函数规律的总结和探索。
教学设计6：7.3.4 正切函数的图像与性质
7.3.4 正切函数的性质与图像教学目标1.了解正切函数图像的画法，理解掌握正切函数的性质.2.能利用正切函数的图像及性质解决有关问题． 教学知识梳理 知识点一 正切函数对于任意一个角x ，只要x ≠π2＋k π，k ∈Z .就有唯一确定的正切值tan x 与之对应，因此y ＝tan x是一个函数，称为正切函数． 知识点二 正切函数的图像与性质解析式y ＝tan x图像定义域 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠π2＋k π，k ∈Z 值域 R 最小正周期 π 奇偶性 奇函数单调性在每一个开区间⎝⎛⎭⎫－π2＋k π，π2＋k π(k ∈Z )上都是单调递增的对称性 对称中心⎝⎛⎭⎫k π2，0(k ∈Z )零点k π，k ∈Z案例一 正切函数的定义域、值域问题例1.函数y ＝tan(cos x )的定义域为________，值域为________． 【答案】R [－tan 1，tan 1] 【解析】因为－1≤cos x ≤1， ∴tan(－1)≤tan(cos x )≤tan 1， ∴－tan 1≤tan(cos x )≤tan 1.所以定义域为R ，值域为[－tan 1，tan 1]． 反思感悟 求正切函数定义域的方法(1)求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数y ＝tan x 有意义，即x ≠π2＋k π，k ∈Z .(2)求正切型函数y ＝A tan(ωx ＋φ)(A ≠0，ω>0)的定义域时，要将“ωx ＋φ”视为一个“整体”，令ωx ＋φ≠k π＋π2，k ∈Z ，解得x .跟踪训练1.(1)函数y ＝3tan ⎝⎛⎭⎫π6－x 4的定义域为________．【答案】⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠－4π3－4k π，k ∈Z 【解析】由π6－x 4≠π2＋k π，，k ∈Z ，得x ≠－4π3－4k π，k ∈Z ，即函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠－4π3－4k π，k ∈Z . (2)函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π3，x ∈⎝⎛⎭⎫－π12，7π24的值域是________． 【答案】(－∞，1)【解析】∵－π12<x <7π24，∴－π2<2x －π3<π4，∴tan ⎝⎛⎭⎫2x －π3<1，即函数的值域为(－∞，1)． 案例二 正切函数的单调性及其应用 例2.比较大小：(1)tan 32°________tan 215°； (2)tan18π5________tan ⎝⎛⎭⎫－28π9. 【答案】(1)< (2)<【解析】(1)tan 215°＝tan(180°＋35°)＝tan 35°， ∵当0°<x <90°时，y ＝tan x 单调递增，32°<35°， ∴tan 32°<tan 35°＝tan 215°. (2)tan18π5＝tan ⎝⎛⎭⎫4π－2π5＝tan ⎝⎛⎭⎫－2π5， tan ⎝⎛⎭⎫－28π9＝tan ⎝⎛⎭⎫－3π－π9＝tan ⎝⎛⎭⎫－π9， ∵y ＝tan x 在⎝⎛⎭⎫－π2，π2上单调递增，且－2π5<－π9， ∴tan ⎝⎛⎭⎫－2π5<tan ⎝⎛⎭⎫－π9，即tan 18π5<tan ⎝⎛⎭⎫－28π9. 反思感悟 (1)运用正切函数单调性比较大小的方法 ①运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内．②运用单调性比较大小关系．(2)求函数y ＝tan(ωx ＋φ)的单调区间的方法y ＝tan(ωx ＋φ)(ω>0)的单调区间的求法是把ωx ＋φ看成一个整体，解－π2＋k π<ωx ＋φ<π2＋k π，k ∈Z 即可．当ω<0时，先用诱导公式把ω化为正值再求单调区间． 跟踪训练2.函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的单调递增区间是________． 【答案】⎝⎛⎭⎫k π2－3π8，k π2＋π8，k ∈Z【解析】令k π－π2<2x ＋π4<k π＋π2，k ∈Z ，解得k π2－3π8<x <k π2＋π8，k ∈Z .案例三 正切函数图像与性质的综合应用例3.关于x 的函数f (x )＝tan(x ＋φ)有以下几种说法：①对任意的φ，f (x )都是非奇非偶函数；②f (x )的图像关于⎝⎛⎭⎫π2－φ，0对称；③f (x )的图像关于(π－φ，0)对称；④f (x )是以π为最小正周期的周期函数． 其中不正确的说法的序号是________． 【答案】①【解析】①若取φ＝k π(k ∈Z )，则f (x )＝tan x ，此时，f (x )为奇函数，所以①错；观察正切函数y ＝tan x 的图像，可知y ＝tan x 关于⎝⎛⎭⎫k π2，0(k ∈Z )对称，令x ＋φ＝k π2(k ∈Z )得x ＝k π2－φ(k ∈Z )，分别令k ＝1,2知②，③正确，④显然正确． 反思感悟 解答正切函数图像与性质问题应注意的两点(1)对称性：正切函数图像的对称中心是⎝⎛⎭⎫k π2，0(k ∈Z )，不存在对称轴．(2)单调性：正切函数在每一个开区间⎝⎛⎭⎫－π2＋k π，π2＋k π(k ∈Z )上都是单调递增的，但不能说其在定义域上是递增的．跟踪训练3.画出函数y ＝|tan x |的图象，并根据图象判断其单调区间、奇偶性、周期性．解：由y ＝|tan x |得，y ＝⎩⎨⎧tan x ， (k π≤x ＜k π＋π2 )k ∈Z ，－tan x ， (－π2＋k π＜x ＜k π)k ∈Z ，其图象如图：由图象可知，函数y ＝|tan x |是偶函数， 函数y ＝|tan x |的周期T ＝π.函数y ＝|tan x |的单调递增区间[k π，k π＋π2)(k ∈Z )，递减区间为(k π－π2，k π](k ∈Z )．课堂小结 1．知识清单：(1)正切函数图像的画法． (2)正切函数的性质．2．方法归纳：三点两线法，整体代换法，换元法．3．常见误区：最小正周期T ＝π|ω|，在定义域内不单调，对称中心为⎝⎛⎭⎫k π2，0(k ∈Z )． 当堂检测1．函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的最小正周期是( ) A ．π B ．2π C.π2 D.π6【答案】C【解析】最小正周期为T ＝π|ω|＝π2. 2．函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫π3－x 的定义域是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ∈R ，且x ≠－π3 B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ∈R ，且x ≠5π6 C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ∈R ，且x ≠k π－5π6，k ∈Z D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ∈R ，且x ≠k π＋5π6，k ∈Z 【答案】D【解析】y ＝tan ⎝⎛⎭⎫π3－x ＝－tan ⎝⎛⎭⎫x －π3，∴令x －π3≠π2＋k π，k ∈Z .∴x ≠56π＋k π，k ∈Z ，故选D.3．直线y ＝3与函数y ＝tan ωx (ω>0)的图像相交，则相邻两交点间的距离是( ) A ．π B.πω C.2πω D.π2ω【答案】B【解析】y ＝3与y ＝tan ωx (ω>0)相邻两交点间的距离是一个周期，因为T ＝πω，故选B.4．函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π5的一个对称中心是( ) A ．(0,0) B.⎝⎛⎭⎫π5，0 C.⎝⎛⎭⎫4π5，0 D ．(π，0) 【答案】C【解析】令x ＋π5＝k π2，k ∈Z ，得x ＝k π2－π5，k ∈Z ，所以函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π5的对称中心是⎝⎛⎭⎫k π2－π5，0，k ∈Z . 令k ＝2，可得函数的一个对称中心为⎝⎛⎭⎫4π5，0.5．函数y ＝tan x ⎝⎛⎭⎫π4≤x ≤3π4，且x ≠π2的值域是________________． 【答案】(－∞，－1]∪[1，＋∞)【解析】函数y ＝tan x 在⎣⎡⎭⎫π4，π2上单调递增，在⎝⎛⎦⎤π2，3π4上也单调递增， 所以函数的值域是(－∞，－1]∪[1，＋∞)．。
6.2正切函数的图像与性质(1)教案
6.2正切函数的图像与性质（1）（教案）教学目的：1、建立正切函数的概念2、掌握正切函数的图像特征3、掌握正切函数x y tan =的奇偶性、周期性、单调性和值域教学重点：正切函数的图像和性质 教学过程： （一）、引入 一、双基回顾：1、三角函数线：正切线αtan ==xyAT ，AT 是α的 正切线。
2、αtan 有意义，α应满足的条件为Z k k ∈+≠,2ππα（二）、新课一、定义 对于任意一个实数x （Z k k x ∈+≠,2ππ）都有唯一确定的值x tan 与它对应，按照这个对应法则建立的函数，表示为x y tan =，叫做正切函数二、正切函数的性质1、正切函数的定义域为 },2|{Z k k x x ∈+≠ππ, 用区间表示为 Z k k k ∈+-)2,2(ππππ2、正切函数的值域为 R3、由=-)tan(x x tan -可知，正切函数是奇函数 4、由=+)tan(x πx tan 可知，正切函数是周期 函数，最小正周期为 πx y 21t a n =的最小正周期是π2 ； )43tan(π+=x y 的最小正周期是3π一般地，)tan(ϕω+=x y （)0(≠ω的最小正周期为 ||ωπ5、观察上图中的正切线，当角x 在⎪⎭⎫⎢⎣⎡2,0π内递增时，y tan =递增，由正切函数奇偶性可知x y tan =在区间)2,2(ππ-上单调递增，又由正切函数是以π为周期的周期函数，所以正切函数x y t a n =在 Z k k k ∈+-)2,2(ππππ 内都是增函数证明：在)2,0[π内任取21x x 、，其中21x x <，有112212cos sin cos sin tan tan x x x x x x -=- 2112211212cos cos )sin(cos cos sin cos cos sin x x x x x x x x x x -=-=，因为2021π<<<x x ，所以2012π<-<x x ，于是0)s i n (,0c o s ,0c o s 1221>->>x x x x ，从而正切函数x y tan =在区间)2,0[π内是增函数。
《正切函数的性质与图象》示范公开课教学设计【高中数学人教版】
《正切函数的性质与图象》教学设计1．经历先利用诱导公式、正切函数的定义研究正切函数的部分性质，然后根据性质与定义画图，再依据图象研究其它性质的过程，发展逻辑推理素养．2．初步理解和掌握正切函数的图象与性质，并通过初步应用正切函数的性质，发展数学运算素养．教学重点：正切函数的性质与图象，研究函数图象与性质的一般思路和方法．教学难点：正切函数图象．Geogebra软件、PPT课件．利用Geogebra软件呈现作正切函数图象的过程．资源引用：【知识点解析】如何作正切函数的图象【数学探究】正切函数的图象【知识点解析】正切函数的图象与性质（一）整体感知引导语：前面我们研究了正弦、余弦函数的图象与性质，接下来我们研究正切函数．1．研究思路问题1：（1）根据研究正弦函数、余弦函数的经验，你认为应如何研究正切函数的图象与性质？（2）你能用不同的方法研究正切函数吗？预设的师生活动：师生交流，整理出可能的研究思路．预设答案：可以有两种思路．思路1，按照正余弦函数图象与性质的研究思路，先描点画图，得到图象，根据图象观察获得性质，再证明．思路2，也可以换一种研究思路，即先从数的角度出发，利用函数解析式分析其性质，然后再根据性质画图，之后再观察图象得到更多的性质．追问：我们选择思路2进行研究．结合研究正弦函数、余弦函数图象与性质的经验，你觉得应该先研究哪个性质？预设的答案：先研究周期性，再研究奇偶性．设计意图：规划思路，整体把握，有序研究，在“森林”里研究“树木”．（二）新知探究2．周期性和奇偶性问题2：类比正弦函数周期得出过程，判断正切函数是周期函数吗？如何求正切函数的周期？预设的师生活动：先让学生独立思考，然后交流．预设答案：由诱导公式tan （x ＋π）＝tan x ，x ∈R ，且x ≠2π＋k π，k ∈Z ． 根据周期函数的定义及周期的定义可知：正切函数是周期函数，并且周期是π． 问题3：你能用简洁的办法判断正切函数的奇偶性吗？请你试一试．预设的师生活动：学生可以独立完成，之后互相核对、规范过程．预设答案：由诱导公式tan （－x ）＝－tan x ，x ∈R ，且x ≠2π＋k π，k ∈Z ． 可知：正切函数是奇函数．问题4：你认为正切函数的周期性和奇偶性对研究它的图象及其他性质会有什么帮助？据此确定的研究方案是什么？可以类比正弦函数性质的研究进行思考．预设的师生活动：学生可以独立完成，交流之后进一步确定后续的研究路径．预设答案：根据正切函数的周期性，只要研究正切函数在一个周期，比如区间（－2π，2π）内的图象与性质即可．再根据正切函数的奇偶性，只要研究正切函数在半个周期，比如区间[0，2π）内的图象与性质即可． 因此接下来的研究方案是：先考察函数y ＝tan x ，x ∈[0，2π）的图象与性质，然后再根据奇偶性、周期性进行拓展．3．正切函数的图象问题5：如何画出函数y ＝tan x ，x ∈[0，2π）的图象呢？ 追问1：画函数图象的基本方法是描点法，画正弦函数图象是根据正弦函数定义的几何意义，用几何描点法画图的．那么正切函数定义的几何意义是什么？画图解释．预设的师生活动：先让学生画图，根据定义写出tan x ，并给出几何解释．预设答案：如图1所示，设x ∈[0，2π），在直角坐标系中画出角x 的终边与单位圆的交点B （x 0，y 0）．过点B 作x 轴的垂线，垂足为M 则tan x ＝00x y ＝OMMB ．① 追问2：①式虽然解释清楚了正弦函数的几何意义，但利用①式显然是不方便画图的．回想利用正弦函数的几何意义为什么可以方便地描点？据此你将如何优化①式，以方便描出正切函数图象上的点呢？★资源名称：【知识点解析】如何作正切函数的图象★使用说明：本资源给出作正切函数的图象的两种方法，可以作为课堂展示辅助教师教学，加深学生对于知识的理解和掌握．适合教师课堂进行展示讲解．注：此图片为“知识卡片”缩略图，如需使用资源，请于资源库调用．预设答案：正弦函数的几何意义就是角的终边与单位圆交点的纵坐标，是一条线段，而正切函数的几何意义是两条线段的长度比，因此应该设法优化这个比，使它在数值上也可以表示为一条线段，即让分母中的线段数值上为1．于是得到：如图2，过点A (1，0)作x 轴的垂线与角x 的终边交于点T ，则tan x ＝00x y ＝OM MB ＝OAAT ＝AT ．② 图2由②式可知，当x ∈[0，2π）时，线段AT 的长度就是相应角x 的正切值．因此可以利用线段AT 画出函数y ＝tan x ，x ∈[0，2π）的图象． 追问3：请你利用②式，在坐标纸上画出函数y ＝tan x ，x ∈[0，2π）的图象．并观察图象有哪些特征？预设的师生活动：教师提前给学生准备好坐标纸，纸上画着单位圆及坐标系．先让学生在坐标纸上画图，画完图之后观察图象，说出特征．然后教师用课件直观展现函数y ＝tan x ，x ∈[0，2π）的图象的特征．特别是通过演示，直观解释“无限逼近直线2π=x ”． 预设答案：如图3所示，可以画出函数y ＝tan x ，x ∈[0，2π）的图象． 观察图象可知：当x ∈[0，2π）时，随着x 的增大，线段AT 的长度也在增大，而且当x 趋向于2π时，AT 的长度趋向于无穷大．相应地，函数y ＝tan x ，x∈[0，2π）的图象从左向右呈不断上升趋势，且向右上方无限逼近直线2π=x ，但不会与该直线相交． 设计意图：通过一个个追问，帮助学生理解正切函数的几何意义，并利用它画出函数的图象．问题6：你能借助以上结论，并根据正切函数的性质，画出正切函数的图象吗？正切函数的图象有怎样的特征？预设的师生活动：先由学生独立完成，而且学生应该能够完成该问题．之后师生一起再把过程规范条理了．图3★资源名称：【数学探究】正切函数的图象★使用说明：本资源为“正切函数的图象”知识探究，通过交互式动画的方式，运用了本资源，可以吸引学生的学习兴趣，增加教学效果，提高教学效率．适合教师课堂进行展示讲解．注：此图片为“动画”缩略图，如需使用资源，请于资源库调用．预设答案：如图4，第一步，因为正切函数是奇函数，只要画函数y ＝tan x ，x ∈[0，2π）图象关于原点的对称图形，就可得到y ＝tan x ，x ∈(－2π，0]的图象； 第二步，根据正切函数的周期性，只要把函数y ＝tan x ，x ∈(－2π，2π）图象向左、右平移，每次平移π个单位，就可得到正切函数y ＝tan x ，x ∈R ，且x ≠2π＋k π，k ∈Z 的图象， 我们把它叫做正切曲线(tan gent curve)．观察图象，可以看出：正切曲线是被与y 轴平行的一系列直线x ＝2π＋k π，k ∈Z 所隔开的无穷多支形状相同的曲线组成的．设计意图：画出函数的图象，并观察图象特征．4．单调性和值域 问题7：从函数图象与性质研究的基本套路看，还需要研究正切函数的什么性质？观察图4函数y ＝tan x ，x ∈[0，2π）的图象，你得到的结论是什么？ 预设的师生活动：先让学生独立完成，再进行展示交流，并予以规范．预设答案：还需要研究正切函数的单调性与值域．（1）单调性观察正切曲线可知，正切函数在(−π2，π2)上单调递增．由正切函数的周期性可得，正切函数在每一个区间(−π2+kπ，π2+kπ)(k ∈Z)上都单调递增．（2）值域当x ∈(−π2，π2)时，tan x 在(−∞，+∞)内可取到任意实数值，但没有最大值、最小值． 因此，正切函数的值域是实数集R ．5．应用例1．求函数ππtan 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的定义域、周期及单调区间． 追问：类比正余弦函数图象与性质的应用，求解该题目的思路是什么？预设答案：通过换元转化为函数y ＝tan x 的性质问题求解．解：自变量x 的取值应满足π2x ＋π3≠k π＋π2，k ∈Z ，即x ≠2k +13，k ∈Z ． 所以，函数的定义域是{x|x ≠2k +13，k ∈Z}． 设z =3π2π+x ，由tan (z ＋π)=tan z ，得：tan [(π2x +π3)+π]=tan (π2x +π3)， 即tan [π2(x +2)+π3] =tan (π2x +π3)．因为对任意x ∈{x|x ≠2k +13，k ∈Z}都有 tan [π2(x +2)+π3] =tan (π2x +π3)，所以，函数的周期为2．由−π2＋k π＜π2x ＋π3＜π2＋k π，k ∈Z ，解得：−53＋2k ＜x ＜13＋2k ，k ∈Z ．所以，函数在区间(−53+2k ，13+2k)，k ∈Z 上单调递增．练习：第213页练习第1，2，5题．（三）归纳小结问题7：本节课是按照怎样的研究套路进行的？获得了关于正切函数图像与性质的哪些基本知识、技能？在应用中有哪些经验？★资源名称：【知识点解析】正切函数的图象与性质★使用说明：本资源展现“正切函数的图象与性质”，辅助教师教学，加深学生对于知识的理解和掌握．适合教师课堂小结进行展示播放．注：此图片为“知识卡片”缩略图，如需使用资源，请于资源库调用．预设的师生活动：学生梳理，师生一起完善．预设答案：按照函数研究的基本套路确定了研究内容．并采用了新的研究路径：性质——图象——性质．知道了正切函数的周期、奇偶性、单调性及值域．会画正切函数的图象．特别是知道了函数图象无限逼近直线x ＝2π＋k π，k ∈Z ． 在利用正切函数求解与例1类似的问题时，要先求定义域．（四）布置作业教科书习题5.4第7，8，9，12，13，14，15题．（五）单元检测设计求下列函数的定义域、周期和单调区间：（1）y ＝tan 2x ；（2）y ＝5tan2x ． 预设答案：（1）定义域：{x |x ∈R ，且x ≠π4+kπ2(k ∈Z )}；周期2π； 单调递增区间（－π4+kπ2，π4+kπ2）k ∈Z ； （2）定义域：{x |x ∈R ，且x ≠(2k +1)π(k ∈Z )}；周期2π； 单调递增区间（－π+2k π，π+2k π）k ∈Z ．设计意图：检测学生对本节课学习到的基本知识的掌握情况．。
《正切函数的图像和性质》教学设计
《正切函数的图像和性质》教学设计教学目标1.知识与技能:结合正弦函数和余弦函数的学习，能根据任意角的正切值和正切线分析得出正切函数图像的画法，理解和掌握正切函数的有关性质，并能运用图像和性质解决有关的简单问题。
2.过程与方法：在探究正切函数基本性质和图像的过程中，逐步渗透数形结合的思想，继续培养学生的作图、读图、识图的能力和良好的数学学习习惯． 3.情感态度价值观:在教学中使学生了解问题的来龙去脉,体会事物间相互联系的原理，能在合情推理中得出结论,强调解决问题方法的落实以及数形结合思想的渗透。
教学重点：正切函数的图像及其主要性质教学难点（1）利用正切线画出函数tan y x = ,(,)22x ππ∈-的图像；（2）正切函数定义域的理解及正切曲线与直线()2x k k z ππ=+∈无限接近的性质；（3）正切函数在每一个开区间22,)()k k kz ππππ-+∈（上单调递增，但在定义域上不单调。
重点难点的突破方法由于图像能直观形象的反映出函数的性质，根据性质能够完善和理解图像，所以在本节课中可以通过数形结合的强调使用，降低学生的理解难度，从而达到对正切函数的图像和性质的理解和使用。
课前学情分析与教学用具本节课是在学习了正弦、余弦函数的图像与性质后，继续学习又一种具体的三角函数——正切函数。
学生已经掌握了任意角的正切、正切线和与正切有关的诱导公式，这为本节课的学习提供了一定的知识保障，在此基础上，本节课将类比研究正弦和余弦函数的图像和性质的方法进一步研究正切函数的图像和性质，这也是为后面学习解析几何中，直线的斜率与它的倾斜角之间的关系等内容做好知识储备的课．为了让学生能更加直观、形象地理解正切函数的图像、定义域、值域和它的周期性变化，将采用多媒体课件进行演示，以提高学生的学习兴趣，使之能达到良好的教学效果。
教学过程设计任意一个角都有正弦和余弦值，那么根据定义，是不是任意角，所隔开的无穷多支与tan28π说明：函数（）的周期小结：本节课我们主要学习了正切函数的图象和性质（再次请学生总结性质和图像的特点），尤其是其图象和性质的使用，在后面的学习中，我们要注意数形结合，能将图象和性质融合使用。
正切函数的性质与图象教案
正切函数的性质与图象教案一、教学目标：1. 让学生理解正切函数的定义，掌握正切函数的性质，能够运用正切函数的性质解决问题。
2. 让学生通过观察正切函数的图象，加深对正切函数性质的理解。
3. 培养学生的数学思维能力，提高学生的数学素养。
二、教学重点：1. 正切函数的性质。
2. 正切函数的图象特征。
三、教学难点：1. 正切函数性质的推导。
2. 正切函数图象的绘制。
四、教学方法：1. 采用问题驱动的教学方法，引导学生主动探究正切函数的性质。
2. 利用数形结合的方法，让学生直观地理解正切函数的图象特征。
3. 通过小组讨论，培养学生的合作能力。
五、教学准备：1. 教师准备正切函数的图象和性质的PPT。
2. 学生准备笔记本和文具。
教案内容：一、导入（5分钟）1. 复习正切函数的定义：正切函数是指在直角三角形中，对边与邻边的比值。
2. 提问：正切函数有什么性质呢？它的图象又是怎样的呢？二、探究正切函数的性质（15分钟）1. 引导学生观察正切函数的图象，发现正切函数的周期性。
2. 引导学生观察正切函数的图象，发现正切函数的奇偶性。
3. 引导学生观察正切函数的图象，发现正切函数的单调性。
三、总结正切函数的性质（5分钟）1. 总结正切函数的周期性。
2. 总结正切函数的奇偶性。
3. 总结正切函数的单调性。
四、绘制正切函数的图象（15分钟）1. 引导学生利用函数图象绘制工具，绘制正切函数的图象。
2. 引导学生观察正切函数的图象，验证正切函数的性质。
五、巩固练习（10分钟）1. 让学生完成正切函数性质的练习题。
2. 让学生绘制正切函数的图象，并分析图象的性质。
六、课堂小结（5分钟）1. 回顾本节课学习的内容，总结正切函数的性质。
2. 强调正切函数的性质在实际问题中的应用。
七、作业布置（5分钟）1. 完成正切函数性质的相关练习题。
2. 绘制正切函数的图象，并分析图象的性质。
八、课后反思（教师）1. 反思本节课的教学效果，调整教学方法。
正切函数的性质与图象 教案
第五章三角函数 5.4三角函数的图象与性质5.4.3正切函数的性质与图象[目标]1.能够作出y ＝tan x 的图象；2.理解并记住正切函数的性质；3.会利用正切函数的图象与性质解决相关问题． [重点] 正切函数的性质．[难点]正切函数的图象、性质及其应用．知识点一正切函数y ＝tan x 的图象[填一填]正切函数y ＝tan x 的图象叫做正切曲线.[答一答]1.正切函数y ＝tan x 的图象与x ＝k π＋π2，k ∈Z 有公共点吗？提示：没有．正切曲线是由被互相平行的直线x ＝k π＋π2(k ∈Z )隔开的无穷多支曲线组成的．2.直线y ＝a 与y ＝tan x 的图象相邻两交点之间的距离是多少？ 提示：由图象结合正切函数的周期性可知，两交点之间的距离为π.3.观察正切函数曲线，写出满足下列条件的x 的集合． (1)满足tan x ＝0的集合为．{x |x ＝k π，k ∈Z }(2)满足tan x <0的集合为．{x |k π－π2<x <k π，k ∈Z } (3)满足tan x >0的集合为．{x |k π<x <k π＋π2，k ∈Z }知识点二正切函数y ＝tan x 的性质[填一填](1)定义域是．{x |x ≠k π＋π2，k ∈Z }(2)值域是R ，即正切函数既无最大值，也无最小值． (3)周期性：正切函数是周期函数，最小正周期是π. (4)奇偶性：正切函数是.奇函数(5)单调性：正切函数在开区间内是增函数．(k π－π2，k π＋π2)，k ∈Z(6)对称性：正切函数的图象关于原点对称，正切曲线都是中心对称图形，其对称中心坐标是，正切函数无对称轴．(k π2，0)(k ∈Z )[答一答]4.y ＝tan x 在定义域上是增函数吗？提示：y ＝tan x 在每个开区间(－π2＋k π，π2＋k π)，k ∈Z 内都是增函数，但在整个定义域上不具有单调性．5.正切函数图象与x 轴有无数个交点，交点的坐标为(k π，0)(k ∈Z )，因此有人说正切函数图象的对称中心为(k π，0)(k ∈Z )，这种说法对吗？提示：不对．正切函数的图象不仅仅关于点(k π，0)对称，还关于点(π2＋k π，0)(k ∈Z )对称，因此正切函数y ＝tan x 的对称中心为(k π2，0)(k ∈Z )．类型一利用正切函数图象求定义域及值域[例1] 求下列函数的定义域和值域： (1)y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4；(2)y ＝3－tan x .[解] (1)由x ＋π4≠k π＋π2，k ∈Z 得，x ≠k π＋π4，k ∈Z .所以函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4的定义域为{x ⎪⎪⎭⎬⎫x ≠k π＋π4，k ∈Z ，其值域为(－∞，＋∞)． (2)由3－tan x ≥0得，tan x ≤ 3.结合y ＝tan x 的图象可知，在⎝⎛⎭⎫－π2，π2上，满足tan x ≤3的角x 应满足－π2<x ≤π3，所以函数y ＝3－tan x 的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪k π－π2<x ≤k π＋π3，k ∈Z ，其值域为[0，＋∞)．(1)求与正切函数有关的函数定义域要列出使各部分都有意义的不等式(组)，然后求出x 的范围.(2)求值域要用换元的思想，把tan x 看作可取任意实数的自变量. [变式训练1] (1)求函数y ＝tan x ＋1＋lg(1－tan x )的定义域． (2)求函数y ＝sin x ＋tan x ，x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，π4的值域． 解：(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧tan x ＋1≥0，1－tan x >0，即－1≤tan x <1.∵在⎝⎛⎭⎫－π2，π2内，满足上述不等式的x 的取值范围是⎣⎡⎭⎫－π4，π4.又y ＝tan x 的周期为π，∴所求x 的取值范围是⎣⎡⎭⎫k π－π4，k π＋π4，k ∈Z ，即为此函数的定义域． (2)y 1＝sin x ，y 2＝tan x 均满足在区间⎣⎡⎦⎤－π4，π4上单调递增，∴函数y ＝sin x ＋tan x 也满足在区间⎣⎡⎦⎤－π4，π4上单调递增， ∴此函数在⎣⎡⎦⎤－π4，π4上的值域为⎣⎡⎦⎤－22－1，22＋1. 类型二正切函数的周期性[例2] 求函数y ＝3tan ⎝⎛⎭⎫4x ＋π4与函数f (x )＝tan x ＋|tan x |的最小正周期． [解] 函数y ＝3tan ⎝⎛⎭⎫4x ＋π4的最小正周期为T ＝π4； f (x )＝tan x ＋|tan x |＝⎩⎨⎧0，x ∈⎝⎛⎭⎫k π－π2，k π，2tan x ，x ∈⎣⎡⎭⎫k π，k π＋π2，k ∈Z ，作出f (x )＝tan x ＋|tan x |的简图，如图所示，易得函数f (x )＝tan x ＋|tan x |的最小正周期T ＝π.一般地，函数y ＝A tan (ωx ＋φ)＋B (A ≠0，ω>0)的最小正周期为T ＝πω，常常使用此公式来求周期，也可以借助函数图象求周期.[变式训练2] 若函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫3ax －π3(a ≠0)的最小正周期为π2，则a ＝. ±23 解析：T ＝π|3a |＝π2，所以a ＝±23.类型三正切函数的单调性及应用[例3] (1)求函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫12x －π4的单调区间； (2)比较tan ⎝⎛⎭⎫－13π4与tan ⎝⎛⎭⎫－12π5的大小． [解] (1)由k π－π2<12x －π4<k π＋π2，k ∈Z 得，2k π－π2<x <2k π＋3π2，k ∈Z .所以函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫12x －π4的单调递增区间是⎝⎛⎭⎫2k π－π2，2k π＋3π2，k ∈Z ，无单调递减区间．(2)由于tan ⎝⎛⎭⎫－13π4＝tan ⎝⎛⎭⎫－3π－π4＝tan ⎝⎛⎭⎫－π4＝－tan π4， tan ⎝⎛⎭⎫－12π5＝－tan ⎝⎛⎭⎫2π＋2π5＝－tan 2π5， 又0<π4<2π5<π2，而y ＝tan x 在⎝⎛⎭⎫0，π2上单调递增， 所以tan π4<tan 2π5，所以－tan π4>－tan 2π5，即tan ⎝⎛⎭⎫－13π4>tan ⎝⎛⎭⎫－12π5.(1)求函数y ＝A tan (ωx ＋φ)的单调性时可将ωx ＋φ看成一个整体，利用y ＝tan x 的单调性求解，但需注意A 、ω的正负性对函数单调性的影响.(2)比较正切值的大小时可利用诱导公式将角转化到区间⎝⎛⎭⎫－π2，π2内，再利用正切函数的单调性比较.[变式训练3] (1)函数y ＝3tan ⎝⎛⎭⎫π6－x 4的单调区间是.递减;⎝⎛⎭⎫4k π－4π3，4k π＋8π3，k ∈Z(2)比较大小：tan ⎝⎛⎭⎫－7π4tan ⎝⎛⎭⎫－95π.>解析：(1)y ＝3tan ⎝⎛⎭⎫π6－x 4＝－3tan ⎝⎛⎭⎫x 4－π6，由k π－π2<x 4－π6<k π＋π2，k ∈Z ，得4k π－4π3<x <4k π＋8π3，k ∈Z . 所以y ＝3tan ⎝⎛⎭⎫π6－x 4的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫4k π－4π3，4k π＋8π3，k ∈Z . (2)∵tan ⎝⎛⎭⎫－74π＝－tan ⎝⎛⎭⎫2π－π4＝tan π4， tan ⎝⎛⎭⎫－95π＝－tan ⎝⎛⎭⎫2π－π5＝tan π5， 又0<π5<π4<π2，y ＝tan x 在⎝⎛⎭⎫0，π2内单调递增， ∴tan π5<tan π4，∴tan ⎝⎛⎭⎫－74π>tan ⎝⎛⎭⎫－95π. 类型四正切函数图象与性质的综合应用[例4] 设函数f (x )＝tan(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，0<φ<π2，已知函数y ＝f (x )的图象与x 轴相邻两个交点的距离为π2，且图象关于点M ⎝⎛⎭⎫－π8，0对称． (1)求f (x )的解析式； (2)求f (x )的单调区间；(3)求不等式－1≤f (x )≤3的解集．[解] (1)由题意，知函数f (x )的最小正周期T ＝π2，即π|ω|＝π2.因为ω>0，所以ω＝2. 从而f (x )＝tan(2x ＋φ)．因为函数y ＝f (x )的图象关于点M ⎝⎛⎭⎫－π8，0对称，所以2×⎝⎛⎭⎫－π8＋φ＝k π2，k ∈Z ，即φ＝k π2＋π4，k ∈Z . 因为0<φ<π2，所以φ＝π4.故f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4. (2)令－π2＋k π<2x ＋π4<π2＋k π，k ∈Z ，得－3π4＋k π<2x <k π＋π4，k ∈Z .即－3π8＋k π2<x <π8＋k π2，k ∈Z .所以函数的单调递增区间为⎝⎛ －3π8＋k π2，⎭⎫π8＋k π2，k ∈Z ，无单调递减区间．(3)由(1)，知f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4.由－1≤tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4≤3， 得－π4＋k π≤2x ＋π4≤π3＋k π，k ∈Z .即－π4＋k π2≤x ≤π24＋k π2，k ∈Z .所以不等式－1≤f (x )≤3的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－π4＋k π2≤x ≤π24＋k π2，k ∈Z .(1)正切函数y ＝tan x 与x 轴相邻交点间的距离为一个周期；(2)y ＝tan x 的对称中心为⎝⎛⎭⎫k π2，0，不但包含y ＝tan x 的零点，而且包括直线x ＝π2＋k π(k ∈Z )与x 轴的交点.[变式训练4] 已知函数y ＝tan(2x ＋θ)图象的一个对称中心为点⎝⎛⎭⎫π3，0，若－π2<θ<π2，求θ的值．解：因为函数y ＝tan x 图象的对称中心为点⎝⎛⎭⎫k π2，0，其中k ∈Z ，所以2x ＋θ＝k π2，令x ＝π3，得θ＝k π2－2π3，k ∈Z .又－π2<θ<π2，当k ＝1时，θ＝－π6，当k ＝2时，θ＝π3.所以θ＝－π6或π3.1.若tan x ≥0，则( D ) A ．2k π－π2<x <2k π(k ∈Z )B ．x ≤(2k ＋1)π(k ∈Z )C ．2k π－π2<x ≤k π(k ∈Z )D ．k π≤x <k π＋π2(k ∈Z )2.函数y ＝2tan ⎝⎛⎭⎫3x －π4的一个对称中心是( C ) A ．⎝⎛⎭⎫π3，0 B ．⎝⎛⎭⎫π6，0 C ．⎝⎛⎭⎫－π4，0 D ．⎝⎛⎭⎫－π2，0解析：由3x －π4＝k π2，得x ＝k π6＋π12，令k ＝－2得x ＝－π4.故选C ．3.函数y ＝1tan (π－x )是( )A ．奇函数B ．偶函数C ．既是奇函数也是偶函数D ．非奇非偶函数4.使函数y ＝2tan x 与y ＝cos x 同时为单调增的区间是.⎣⎡⎭⎫－π＋2k π，－π2＋2k π(k ∈Z )和⎝⎛⎦⎤－π2＋2k π，2k π(k ∈Z )解析：由y ＝2tan x 与y ＝cos x 的图象知，同时为单调增的区间为⎣⎡⎭⎫－π＋2k π，－π2＋2k π(k ∈Z )和⎝⎛⎦⎤－π2＋2k π，2k π(k ∈Z )． 5．求函数y ＝tan(π－x )，x ∈⎝⎛⎭⎫－π4，π3的值域． 解：y ＝tan(π－x )＝－tan x ，在⎝⎛⎭⎫－π4，π3上为减函数，所以值域为(－3，1)．——本课须掌握的两大问题1．正切函数的图象正切函数有无数多条渐近线，渐近线方程为x ＝k π＋π2，k ∈Z ，相邻两条渐近线之间都有一支正切曲线，且单调递增．2．正切函数的性质(1)正切函数y ＝tan x 的定义域是{x |x ≠k π＋π2，k ∈Z }，值域是R .(2)正切函数y ＝tan x 的最小正周期是π，函数y ＝A tan(ωx ＋φ)(Aω≠0)的周期为T ＝π|ω|.(3)正切函数在⎝⎛⎭⎫－π2＋k π，π2＋k π(k ∈Z )上单调递增，不能写成闭区间．正切函数无单调递减区间．第五章5.4.3正切函数的性质与图象A 组·素养自测一、选择题1．函数y ＝tan(x ＋π4)的定义域是( A )A ．{x ∈R |x ≠k π＋π4，k ∈Z }B ．{x ∈R |x ≠k π－π4，k ∈Z }C ．{x ∈R |x ≠2k π＋π6，k ∈Z }D ．{x ∈R |x ≠2k π－π6，k ∈Z }[解析] 由正切函数的定义域可得，x ＋π4≠π2＋k π，k ∈Z ，∴x ≠π4＋k π，k ∈Z .故函数的定义域为{x ∈R |x ≠π4＋k π，k ∈Z }．2.已知函数y ＝tan(2x ＋φ)的图象过点(π12，0)，则φ可以是( A )A.－π6B.π6 C.－π12D.π12[解析] ∵函数的图象过点(π12，0)，∴tan(π6＋φ)＝0，∴π6＋φ＝k π，k ∈Z ，∴φ＝k π－π6，k ∈Z ，令k ＝0，则φ＝－π6，故选A ． 3．函数f (x )＝tan(ωx －π4)与函数g (x )＝sin(π4－2x )的最小正周期相同，则ω＝( A )A ．±1B ．1C ．±2D ．2[解析]π|ω|＝2π|－2|，ω＝±1. 4．函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫12x －π3在一个周期内的图象是( A )[解析] 由f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫12x －π3， 知f (x ＋2π)＝tan[12(x ＋2π)－π3]＝tan ⎝⎛⎭⎫12x －π3＝f (x )．∴f (x )的周期为2π，排除B ，D ． 令tan ⎝⎛⎭⎫x 2－π3＝0，得x 2－π3＝k π(k ∈Z )． ∴x ＝2k π＋2π3(k ∈Z )，若k ＝0，则x ＝2π3，即图象过点⎝⎛⎭⎫2π3，0，故选A ．5．函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫π6－x 的定义域为⎝⎛⎭⎫2π3，3π2，则函数的值域为( C ) A ．(3，＋∞) B ．⎝⎛⎭⎫－33，＋∞C ．(－3，＋∞)D ．⎝⎛⎭⎫33，＋∞ [解析] 由2π3<x <3π2，即－3π2<－x <－2π3，得π6－3π2<π6－x <π6－2π3，即－4π3<π6－x <－π2，从而tan ⎝⎛⎭⎫π6－x >tan ⎝⎛⎭⎫－4π3＝－ 3.故函数的值域为(－3，＋∞)． 6．在区间[－2π，2π]内，函数y ＝tan x 与函数y ＝sin x 的图象交点的个数为( B ) A ．3 B ．5 C ．7D ．9[解析] 在同一直角坐标系中画出函数y ＝tan x 与函数y ＝sin x 在区间[－2π，2π]内的图象(图象略)，由图象可知其交点个数为5，故选B ．二、填空题7．函数y ＝3tan(2x ＋π3)的对称中心的坐标为__(k π4－π6，0)(k ∈Z )__.[解析] 令2x ＋π3＝k π2(k ∈Z )，得x ＝k π4－π6(k ∈Z )，∴对称中心的坐标为(k π4－π6，0)(k ∈Z )．8．求函数y ＝tan(－12x ＋π4)的单调区间是__(2k π－π2，2k π＋32π)(k ∈Z )__.[解析] y ＝tan(－12x ＋π4)＝－tan(12x －π4)，由k π－π2<12x －π4<k π＋π2(k ∈Z )，得2k π－π2<x <2k π＋32π，k ∈Z ，∴函数y ＝tan(－12x ＋π4)的单调递减区间是(2k π－π2，2k π＋32π)，k ∈Z .9．函数f (x )＝tan ax (a >0)的图象的相邻两支截直线y ＝π3所得线段长为2，则a 的值为__π2__.[解析] 由题意可得T ＝2，所以πa ＝2，a ＝π2.三、解答题10．求下列函数的周期及单调区间． (1)y ＝3tan ⎝⎛⎭⎫π6－x 4； (2)y ＝|tan x |.[解析] (1)y ＝3tan ⎝⎛⎭⎫π6－x 4＝－3tan ⎝⎛⎭⎫x 4－π6， ∴T ＝π|ω|＝4π，∴y ＝3tan ⎝⎛⎭⎫π6－x 4的周期为4π. 由k π－π2<x 4－π6<k π＋π2(k ∈Z )，得4k π－4π3<x <4k π＋8π3(k ∈Z )，∴y ＝3tan ⎝⎛⎭⎫x 4－π6在⎝⎛⎭⎫4k π－4π3，4k π＋8π3(k ∈Z )内单调递增，无单调递增区间． ∴y ＝3tan ⎝⎛⎭⎫π6－x 4在⎝⎛⎭⎫4k π－4π3，4k π＋8π3(k ∈Z )内单调递减． (2)由于y ＝|tan x |＝⎩⎨⎧tan x ，x ∈⎣⎡⎭⎫k π，k π＋π2(k ∈Z )，－tan x ，x ∈⎝⎛⎭⎫k π－π2，k π(k ∈Z ).∴其图象如图所示，由图象可知，周期为π，单调增区间为⎣⎡⎭⎫k π，k π＋π2(k ∈Z )，单调减区间为⎝⎛⎦⎤k π－π2，k π(k ∈Z )．11．已知－π3≤x ≤π4，f (x )＝tan 2x ＋2tan x ＋2，求f (x )的最值及相应的x 值．[解析] ∵－π3≤x ≤π4，∴－3≤tan x ≤1，f (x )＝tan 2x ＋2tan x ＋2＝(tan x ＋1)2＋1， 当tan x ＝－1，即x ＝－π4时，y min ＝1；当tan x ＝1，即x ＝π4时，y max ＝5.B 组·素养提升一、选择题1．若a ＝log 12tan70°，b ＝log 12sin25°，c ＝log 12cos25°，则( D )A ．a <b <cB ．b <c <aC ．c <b <aD ．a <c <b[解析] ∵0<sin25°<sin65°＝cos25°<1＝tan45°<tan70°， ∴log 12sin25°>log 12cos25°>log 12tan70°.即a <c <b .2．(2019·河北新高考高一模拟选科)已知函数f (x )＝m tan x －k sin x ＋2(m ，k ∈R )，若f (π3)＝1，则f (－π3)＝( C )A ．1B ．－1C ．3D ．－3[解析] ∵f (x )＝m tan x －k sin x ＋2(m ，k ∈R )，f (π3)＝1，∴f (π3)＝m tan π3－k sin π3＋2＝3m －32k ＋2＝1，∴3m －32k ＝－1， ∴f (－π3)＝m tan(－π3)－k sin(－π3)＋2＝－3m ＋32k ＋2＝3.3．(多选题)下列说法正确的是( BD ) A ．tan 8π7>tan 2π7B ．sin 145°<tan 47°C ．函数y ＝tan(ωx ＋φ)的最小正周期为πωD ．函数y ＝2tan x (π4≤x <π2)的值域是[2，＋∞)[解析] A 错误，tan 8π7＝tan(π＋π7)＝tan π7，因为0<π7<2π7<π2，函数y ＝tan x 在(0，π2)上单调递增，所以tan π7<tan 2π7，即tan 8π7<tan 2π7；B 正确，sin145°＝sin35°<1，tan47°>1，故sin145°<tan47°；C 错误，函数y ＝tan(ωx ＋φ)的最小正周期为π|ω|；D 正确，∵π4≤x <π2，∴由函数的单调性可知y ＝2tan x ≥2，故选BD ．4．(多选题)已知函数f (x )＝tan x ，对任意x 1，x 2∈(－π2，π2)(x 1≠x 2)，给出下列结论，正确的是( AD )A ．f (x 1＋π)＝f (x 1)B ．f (－x 1)＝f (x 1)C ．f (0)＝1D ．f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0[解析] 由于f (x )＝tan x 的周期为π，故A 正确；函数f (x )＝tan x 为奇函数，故B 不正确；f (0)＝tan0＝0，故C 不正确；D 表明函数为增函数，而f (x )＝tan x 为区间(－π2，π2)上的增函数，故D 正确．二、填空题5．若函数y ＝tan ωx 在(－π2，π2)内是减函数，则ω的范围为__[－1,0)__.[解析] 若ω使函数在(－π2，π2)上是减函数，则ω<0，而|ω|>1时，图象将缩小周期，故－1≤ω<0.6．给出下列命题：(1)函数y ＝tan|x |不是周期函数； (2)函数y ＝tan x 在定义域内是增函数； (3)函数y ＝⎪⎪⎪⎪tan (2x ＋π3)的周期是π2；(4)y ＝sin ⎝⎛⎭⎫5π2＋x 是偶函数． 其中正确命题的序号是__(1)(3)(4)__.[解析] y ＝tan|x |是偶函数，由图象知不是周期函数，因此(1)正确；y ＝tan x 在每一个区间⎝⎛⎭⎫－π2＋k π，π2＋k π(k ∈Z )内都是增函数但在定义域上不是增函数，∴(2)错；y ＝⎪⎪⎪⎪tan (2x ＋π3)的周期是π2.∴(3)对；y ＝sin ⎝⎛⎭⎫52π＋x ＝cos x 是偶函数，∴(4)对．因此，正确的命题的序号是(1)(3)(4)．7．若tan ⎝⎛⎭⎫2x －π6≤1，则x 的取值范围是__⎝⎛⎦⎤－π6＋k π2，5π24＋k π2(k ∈Z )__. [解析] 令z ＝2x －π6，在⎝⎛⎭⎫－π2，π2上满足tan z ≤1的z 的值是－π2<z ≤π4，在整个定义域上有－π2＋k π<z ≤π4＋k π，解不等式－π2＋k π<2x －π6≤π4＋k π，得－π6＋k π2<x ≤5π24＋k π2，k ∈Z .三、解答题8．当x ∈⎣⎡⎦⎤π6，π3时，若使a －2tan ⎝⎛⎭⎫2x －π3的值总大于零，求a 的取值范围． [解析] ∵x ∈⎣⎡⎦⎤π6，π3，∴0≤2x －π3≤π3. 又y ＝tan x 在⎣⎡⎦⎤0，π3内单调递增， ∴0≤tan ⎝⎛⎭⎫2x －π3≤3， ∴0≤2tan ⎝⎛⎭⎫2x －π3≤2 3. 由题意知a －2tan ⎝⎛⎭⎫2x －π3>0对x ∈⎣⎡⎦⎤π6，π3恒成立， 即a >2tan ⎝⎛⎭⎫2x －π3对x ∈⎣⎡⎦⎤π6，π3恒成立． ∴a >2 3.∴实数a 的取值范围是(23，＋∞)．9．画出函数y ＝|tan x |＋tan x 的图象，并根据图象求出函数的主要性质． [解析] 由y ＝|tan x |＋tan x 知y ＝⎩⎨⎧0，x ∈(k π－π2，k π]，2tan x ，x ∈(k π，k π＋π2)(k ∈Z )．其图象如图所示．函数的主要性质为：①定义域：{x |x ∈R ，x ≠π2＋k π，k ∈Z }；②值域：[0，＋∞)； ③周期性：T ＝π； ④奇偶性：非奇非偶函数；⑤单调性：单调增区间为[k π，k π＋π2)，k ∈Z .。
《正切函数的图象和性质》教学设计.doc
《正切函数的图象和性质》教学设计课型：新授课课时目标：能借助单位圆中的三角函数线画出正切函数的图象，了解正切函数的周期性，借助正切函数的图象理解正切函数在上的性质，体会数形结合的思想。
2 2经历通过研究函数的性质得到函数的图象，再通过函数图象研究函数性质的过程，通过几何法画函数的图象，了解类比思想。
通过对正切函数的图象与性质的学习，培养学生从特殊到一般、从具体到抽象的思维方法，从而达到从感性认识到理性认识的飞跃。
课时重点：正切函数的图象与性质及深化研究函数性质的思想方法。
课时难点：利用正切线画正切函数的图象；对渐近线的理解，函数性质的理解和应用。
教学方法：1 •计算机辅助教学借助多媒体教学手段引导学生理解利用单位圆中的正切线画正切函数的图象，使问题直观，易于突破难点；利用多媒体向学生展示优美的函数图象，给人美的享受。
2.探究式教学分组讨论、交流、总结，自主探究正切函数的主要性质；通过观察“正切函数的几何作图法”课件的演示，分组讨论图象特征，总结函数性质。
教学过程：创设情景兴趣导入询面我们主要研究了正弦函数、余弦函数的图象和性质，我们研究的方法是通过画出函数的图象得到函数的性质，那么我们能否换个角度，先研究函数的一些性质，再通过性质画出函数的图象，本节课我们将以正切函数为例來尝试新的研究方法。
（板书课题：正切函数的图象和性质）•问1：请大家结合正、余弦函数性质的研究，想一想我们主要研究正切函数的哪些性质呢？•引1：从正切函数的定义出发研究（代数定义、几何定义）分组讨论自主探究四人一组（前后两桌）根据各组的势力，确定自己组的研究目标•根据学生回答的结果，追问它们得到的依据是什么？•问：这些性质反应在图象上冇怎样的特征？（由数及形）£ 由正切函数的定义知，正切函数的定义域为{x\xe RKx^k7T + ^k eZ }—当X = k7T + -时，没冇对应的函数值。
（单位圆屮的正切线解释更直观）2丄由诱导公式：tan（x + 7i} - tan x,x e /?月.兀k7i + —k e Z,知正切函数是周期函数, 2 周期为龙——函数值每隔兀个单位是相等的。
正切函数的图象和性质教案1
正切函数的图象和性质（一）教材分析：学习正切函数的图象和性质，主要包括：定义域、值域、周期性、单调性、奇偶性等，以及具体的应用。
（二）素质教育目标： 1. 知识目标：（1）用单位圆中的正切线作正切函数的图象； （2）用正切函数图象解决函数有关的性质； 2. 能力目标：（1）理解并掌握作正切函数图象的方法；（2）理解用函数图象解决有关性质问题的方法； 3. 德育目标：培养研究探索问题的能力； （三）教学三点解析：1. 教学重点：用单位圆中的正切线作正切函数图象；2. 教学难点：性质的研究；3. 教学疑点：正切函数在每个单调区间是增函数，并非整个定义域内的增函数； （四）教学过程设计 1．设置情境前面我们研究了正、余弦函数的图象和性质，但常见的三角函数还有正切函数，今天我们来探讨一下正切函数的图象，以及它具有哪些性质。
2．探索研究由研究正、余弦函数的图象和性质的方法引出正切函数的图象和性质。
下面我们也将利用单位圆中的正切线来绘制tan y x =图象． （1）用正切线作正切函数图象○1分析一下正切函数tan y x =是否为周期函数？ s i n ()s i n()t a n ()t a n ()c o s ()c o sx x f x x x f x x x ππππ+-+=+====+- ∴tan y x = 是周期函数，π是它的一个周期．我们还可以证明，π是它的最小正周期．类似正弦曲线的作法，我们先作正切函数在一个周期上的图象，下面我们利用正切线画出函数tan y x =，,22x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭的图象．作法如下：①作直角坐标系，并在直角坐标系轴左侧作单位圆．②把单位圆右半圆分成8等份，分别在单位圆中作出正切线． ③描点。
（横坐标是一个周期的8等分点，纵坐标是相应的正切线）． ④连线．图1根据正切函数的周期性，我们可以把上述图象向左、右扩展，得到正切函数tan y x = ，(,,)2x R x k k Z ππ∈≠+∈的图象，并把它叫做正切曲线（如图1）．图2（2）正切函数的性质请同学们结合正切函数图象研究正切函数的性质：定义域、值域、周期性、奇偶性和单调性． ①定义域：|,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭②值域：R③周期性：正切函数是周期函数，周期是π．④奇偶性：tan()tan x x -=-，∴正切函数是奇函数，正切曲线关于原点O 对称． ⑤单调性：由正切曲线图象可知：正切函数在开区间(,),22k k k Z ππππ-++∈内都是增函数．强调：a.不能说正切函数在整个定义域内是增函数 b.正切函数在每个单调区间内都是增函数c. 每个单调区间都包括两个象限：四、一或二、三 3．例题分析【例1】求函数tan()4y x π=+的定义域．分析：我们已经知道了tan y z =的定义域，那么tan()4y x π=+与tan y z =有什么关系呢？令4z x π=+，我们把tan()4y x π=+说成由tan y z =和4z x π=+复合而成。
正切函数的图像与性质教案
正切函数的图像与性质教案一、教学目标1. 知识与技能：（1）理解正切函数的定义，掌握正切函数的图像与性质；（2）学会运用正切函数解决实际问题。
2. 过程与方法：（1）通过观察正切函数的图像，探索正切函数的性质；（2）利用数形结合思想，研究正切函数的单调性、周期性等性质。
3. 情感态度与价值观：（1）培养学生的数学审美观，感受数学的对称美；（2）激发学生对数学学习的兴趣，培养学生的探究精神。
二、教学重点与难点1. 教学重点：（1）正切函数的定义；（2）正切函数的图像与性质。
2. 教学难点：（1）正切函数的单调性；（2）正切函数的周期性。
三、教学准备1. 教师准备：（1）正切函数的图像与性质的相关知识；（2）教学课件或黑板。
2. 学生准备：（1）掌握锐角三角函数的基本概念；（2）了解正切函数的定义。
四、教学过程1. 导入新课（1）复习锐角三角函数的基本概念，引导学生回顾正切函数的定义；（2）提问：你们认为正切函数的图像会是什么样的呢？2. 探究正切函数的图像与性质（1）教师展示正切函数的图像，引导学生观察并描述正切函数的图像特点；（2）学生分组讨论，探索正切函数的单调性和周期性；3. 应用拓展（1）教师提出实际问题，引导学生运用正切函数解决问题；（2）学生独立解答，分享解题思路和方法。
五、课堂小结本节课我们学习了正切函数的定义、图像与性质，通过观察图像、探索性质，我们了解了正切函数的特点。
我们还学会了如何运用正切函数解决实际问题。
希望同学们在课后继续深入学习和思考，掌握更多的数学知识。
六、教学反馈与评价1. 课堂提问：在教学过程中，教师应根据学生的回答情况，及时给予评价和反馈，鼓励学生积极参与课堂讨论。
2. 课后作业：布置有关正切函数图像与性质的练习题，要求学生在课后巩固所学知识，提高解题能力。
3. 学习评价：通过课堂表现、课后作业和小组讨论，评价学生在正切函数图像与性质方面的掌握程度。
七、教学改进1. 针对学生的掌握情况，调整教学进度和难度，以便更好地满足学生的学习需求；2. 在教学中，注重引导学生运用数形结合思想，提高学生解决问题的能力；3. 加强与学生的互动，鼓励学生提问、发表见解，提高课堂氛围。
《正切函数的图象与性质》示范课教案【高中数学】
《正切函数的图象与性质》教学设计◆教学目标1.会求正切函数y＝tan(ωx＋φ)的周期.2.掌握正切函数y＝tan x的奇偶性，并会判断简单三角函数的奇偶性.3.掌握正切函数的单调性，并掌握其图象的画法．◆教学重难点◆教学重点：能够利用正切函数图象准确归纳其性质并能简单地应用．教学难点：掌握利用单位圆中正切函数定义得到其图象．◆课前准备PPT课件．◆教学过程【新课导入】孔子东游，见两小儿辩斗，一儿曰：“日初出沧沧凉凉，及其日中如探汤，此不为近者热而远者凉乎？”事实上，中午的气温较早晨高，主要原因是早晨太阳斜射大地，中午太阳直射大地．在相同的时间、相等的面积里，物体在直射状态下比在斜射状态下吸收的热量多，这就涉及太阳光和地面的角度问题．那么这与正切函数的性质与图象有什么联系呢？引语：要解决这个问题，就需要进一步学习正切函数的图象与性质.（板书：7.3.2.3 正切函数的图象与性质）设计意图：情境导入，引入新课。
【探究新知】问题1：（1）正切函数y＝tan x的定义域是什么？(2)诱导公式tan(π＋x)＝tan x说明了正切函数的什么性质？tan(kπ＋x)(k∈Z)与tan x的关系怎样？(3)诱导公式tan(－x)＝－tan x说明了正切函数的什么性质？师生活动：学生分析，给出答案．预设的答案：（1）π{|,π,}2x x x k k ∈≠+∈R Z ．（2）周期性．tan (kπ＋x )＝tan _x (k ∈Z )． （3）正切函数是奇函数．追问：如何画出正切函数的图象？正切函数的图象特征是什么？ 预设的答案：利用正切线作出函数ππtan ,(,)22y x x =∈-的图象（如图）．作法如下： (1)作直角坐标系，并在y 轴左侧作单位圆．(2)把单位圆右半圆分成8等份，分别在单位圆中作出正切线． (3)描点．（横坐标是一个周期的8等分点，纵坐标是相应的正切线） (4)连线．根据正切函数的周期性，把上述图象向左、右扩展，就可以得到正切函数tan ,y x x =∈R ，且ππ(2x k k ≠+∈Z)的图象，我们把它叫做正切曲线(如图)．正切曲线是被相互平行的直线ππ()2x k k =+∈Z 所隔开的无穷多支曲线组成的．在每个开区间 ππ(,)()22k k k Z ππ-++∈上都是增函数。
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正切函数的图像和性质-公开课教案
1.4.2 正切函数的性质与图象
考纲要求：能画出y=tanx的图象，了解三角函数的周期性.，理解正切函数在
区间（）的单调性.
教学目的
知识目标：了解利用正切线画出正切函数图象的方法；
了解正切曲线的特征，能利用正切曲线解决简单的问题；
掌握正切函数的性质。
能力目标：掌握正弦函数的周期性，奇
偶性，单调性，能利用正切
曲线解决简单的问题。
情感目标：在借鉴正弦函数的学习方法研究正切函数图象、性质的过程中体会类比的思想。
教学重点：正切函数的图象形状及其主要性质
教学难点：1、利用正切线得到正切函数的图象
2、对正切函数单调性的理解
教学方法：探究，启发式教学
教学过程
复习导入： 1. 正切函数的定义及几何表
示，正切函数tan
的定义域是什么？
y x
2. 正弦曲线是怎样画的？
讲授新课：
思考1：能否类比正弦函数图象的作法，画出正切函数的图象呢？
画正切函数选取哪一段好呢?
画多长一段呢?
思考2：正切函数是不是周期函数？若
是，最小正周期是什么？
思考3. 诱导公式 体
现了正切函数的哪种性质？
（一）作tan y x =，x ∈⎪⎭
⎫
⎝
⎛-2
,2ππ的图象
说明：
（1）根据正切函数的周期性，把上述图
象向左、右扩展，得到正切函数
R
x x
y ∈=tan ，且()z k k x ∈+≠ππ
2
的图象，称“正切曲线”。
tan()tan x x
-=-
（2）由图象可以看出，正切曲线是由被相
互平行的直线()2x k k Z ππ=+∈所隔开的无穷多支曲线组成的。
（二）正切函数的性质 引导学生观察，共同获得：
（1）定义域：⎭
⎬⎫
⎩
⎨⎧∈+≠z k k x x ,2
|ππ； （2）周期性：π=T ；
（3）奇偶性：由()x x tan tan -=-知，正切函数是奇函数；
（4）单调性：
思考：正切函数在整个定义域内是增函数
吗？
引导学生观察正切曲线，小组讨论的形式。
师举例说明：
1212121122125,34
,,tan ,tan ,
,22x x x x x x y x y x y k k k Z π
π
ππππ=
=
<==>⎛⎫
-++∈ ⎪⎝⎭
师归纳：不能。
如图，取在定义域内，且但y 所以，不能说正切函数你在整个定义域内是增函数，
而只能说，正切函数在开区间内单调递增。
（5）值域：R
观察图象，有：当x 从小于()2k k Z ππ+∈，2
x k ππ
−−→+时，tan x −−
→+∞ 当
x
从大于
()
2
k k Z π
π-
+∈，
2
x k π
π
−−→-
+时，-∞−→−
x tan 。
（三）、典型例题 例1（课本P44 例6）．求函数 的定义域、周期和单调区间。
y tan(x )23
ππ=+
解：函数的自变量x 应满足： 。
即
∴函数的定义域为
周期
因此函数 的周期为2 由
解得
,,
23
2x k k Z ππππ+≠+∈12,.
3
x k k Z ≠+∈1|2,.3x x k k Z ⎧⎫
≠+∈⎨
⎬⎩⎭
22
T π
ππ
ω==
=y tan(x )
23
ππ=+x ,2232k k k Z π
πππ
ππ-+<+<+∈5122,.33
k x k k Z -+<<+∈
因此，函数的单调递增区间为
例2．不通过求值，比较下列两个正切函数值的大小：
与
．
说明：比较两个正切值大小，关键是把相应的角化到y=tanx 的同一单调区间内，再利用y=tanx 的单调性解决。
课堂练习：1 求下列函数的定义域和周期。
（课本P45 练习 4）
512,2,.
33k k k Z ⎛⎫
-++∈ ⎪⎝⎭(1)y tan 2x,x (k Z)42
k π
π
=≠+∈(2)y 5tan ,(2k 1)(k Z)
2
x
x π=≠+∈
课堂小结：
1、正切函数的图象：
2布置作业：P46 习题1.4：
A组6、7
B组2。