人教版初二数学上册因式分解复习

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人教版八年级上册数学课件：第14章整式的乘法与因式分解单元复习

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23.请认真观察图形，解答下列问题： (1)根据图中条件，用两种方法表示两个阴影图形的面积的和 (只需表示，不必化简)； (2)由(1)，你能得到怎样的等量关系？请用等式表示；
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(3)如果图中的 a，b(a＞b)满足 a2＋b2＝53，ab＝14，求：
①a＋b 的值；②a2－b2 的值．
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17.若 xm＝3，xn＝5，则 x2m＋n 的值为 45 .
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9.【例 4】已知 a2＋a－4＝0，则代数式 a(a＋1)的值是( A )
A．4
B.8
C.12
D.16
小结：用整体思想解决问题，a2＋a＝4.
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18.已知 a＋b＝m，ab＝－4，化简(a－2)(b－2)的结果是( D )
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解：原式＝x2－4xy＋4y2－(x2－y2)－2y2 ＝x2－4xy＋4y2－x2＋y2－2y2＝－4xy＋3y2. (1)当 x＝1，y＝－3 时，原式＝－4×1×(－3)＋3×(－3)2＝39. (2)当 4x－3y＝0 时，原式＝－y(4x－3y)＝0. 小结：(1)先化简后直接代入求值；(2)对多项式进行变形后运用整体思想代入求值.
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解：(1)两个阴影图形的面积和可表示为 a2＋b2，(a＋b)2－2ab. (2)a2＋b2＝(a＋b)2－2ab (3)①∵a2＋b2＝53，ab＝14， ∴(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab＝53＋2×14＝81，∴a＋b＝±9. 又∵a＞0，b＞0，∴a＋b＝9. ②∵(a－b)2＝a2＋b2－2ab＝53－2×14＝25，∴a－b＝±5. 又∵a＞b＞0，∴a－b＝5， ∴a2－b2＝(a＋b)(a－b)＝9×5＝45.

2021-2022学年人教版八年级数学上册《因式分解》期末综合复习训练1(附答案)

2021-2022学年人教版八年级数学上册《因式分解》期末综合复习训练1（附答案）1．已知x﹣y＝2，xy＝，那么x3y+3x2y2+xy3的值为（）A．3B．6C．D．2．若＝9×11×13，则k＝（）A．12B．11C．10D．93．如图所示，长方形中放入5张长为x，宽为y的相同的小长方形，其中A，B，C三点在同一条直线上．若阴影部分的面积为52，大长方形的周长为36，则一张小长方形的面积为（）A．3B．4C．5D．64．4张长为m，宽为n（m＞n）的长方形纸片，按如图的方式拼成一个边长为（m+n）的正方形，图中空白部分的面积为S1，阴影部分的面积为S2，若S1＝S2，则m，n满足的关系式是（）A．m＝1.5n B．m＝2n C．m＝2.5n D．m＝3n5．224﹣1可以被60和70之间某两个数整除，这两个数是（）A．64，63B．61，65C．61，67D．63，656．若（20212﹣4）（20202﹣4）＝2023×2019×2018m，则m的值是（）A．2020B．2021C．2022D．20247．一个自然数若能表示为相邻两个自然数的平方差，则这个自然数称为智数，比如：22﹣12＝3，3就是智数，从0开始，不大于2021的智数共有（）A．1009B．1010C．1011D．以上都不对8．已知x2+3x﹣3＝0，则代数式x3+5x2+3x﹣10的值为（）A．﹣1B．10C．6D．﹣49．若s+t＝4，则s2﹣t2+8t的值是（）A．8B．12C．16D．3210．已知a﹣2b＝2，那么a2﹣4b2﹣8b+1的值为．11．已知x2﹣3x+1＝0，则﹣2x2+6x＝；x3﹣2x2﹣2x+9＝．12．把多项式2x2﹣4x分解因式的结果是．13．分解因式：﹣9a2+b2＝．14．若4x2﹣（k﹣1）x+9能用完全平方公式因式分解，则k的值为．15．分解因式：﹣（a+2）2+16（a﹣1）2＝．16．因式分解：x4﹣18x2+81＝．17．因式分解：（a+2b）2﹣8ab的结果是．18．因式分解：x3+x2y﹣xy2﹣y3．19．分解因式：a2+4b2+c4﹣4ab﹣2ac2+4bc2﹣1．20．选择适当的方法分解下列多项式（1）x2+9y2+4z2﹣6xy+4xz﹣12yz（2）（a2+5a+4）（a2+5a+6）﹣120．21．分解因式：（1）（x﹣1）（x+3）+4（2）﹣3ab3+12ab2﹣12ab．22．阅读下列材料：已知二次三项式2x2+5x+m有一个因式是（x+3），求另一个因式以及m 的值．解：设另一个因式为（2x+n），得2x2+5x+m＝（x+3）（2x+n）展开，得2x2+5x+m＝2x2+（n+6）x+3n∴解得∴另一个因式为（2x﹣1），m的值为﹣3．仿照以上做法解答下题：已知二次三项式2x2+3x+k有一个因式为（x﹣1），求另一个因式及k的值．23．分解因式：x2+12x﹣189，分析：由于常数项数值较大，则将x2+12x﹣189变为完全平方公式，再运用平方差公式进行分解，这样简单易行．x2+12x﹣189＝x2+2*6x+62﹣36﹣189＝（x+6）2﹣225＝（x+6）2﹣152＝（x+6+15）（x+6﹣15）＝（x+21）（x﹣9）请按照上面的方法分解因式：x2﹣60x+884．24．阅读下列材料：材料1、将一个形如x2+px+q的二次三项式因式分解时，如果能满足q＝mn且p＝m+n，则可以把x2+px+q因式分解成（x+m）（x+n）（1）x2+4x+3＝（x+1）（x+3）（2）x2﹣4x﹣12＝（x﹣6）（x+2）材料2、因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1解：将“x+y”看成一个整体，令x+y＝A，则原式＝A2+2A+1＝（A+1）2再将“A”还原，得：原式＝（x+y+1）2上述解题用到“整体思想”，整体思想是数学解题中常见的一种思想方法，请你解答下列问题：（1）根据材料1，把x2﹣6x+8分解因式．（2）结合材料1和材料2，完成下面小题：①分解因式：（x﹣y）2+4（x﹣y）+3；②分解因式：m（m+2）（m2+2m﹣2）﹣3．25．阅读理解应用待定系数法：设某一多项式的全部或部分系数为未知数、利用当两个多项式为恒等式时，同类项系数相等的原理确定这些系数，从而得到待求的值．待定系数法可以应用到因式分解中，例如问题：因式分解：x3﹣1．因为x3﹣1为三次多项式，若能因式分解，则可以分解成一个一次多项式和一个二次多项式的乘积．故我们可以猜想x3﹣1可以分解成（x﹣1）（x2+ax+b），展开等式右边得：x3+（a﹣1）x2+（b﹣a）x﹣b，根据待定系数法原理，等式两边多项式的同类项的对应系数相等：a﹣1＝0，b﹣a＝0，﹣b＝﹣1可以求出a＝1，b＝1．所以x3﹣1＝（x﹣1）（x2+x+1）．（1）若x取任意值，等式x2+2x+3＝x2+（3﹣a）x+s恒成立，则a＝；（2）已知多项式x3+2x+3有因式x+1，请用待定系数法求出该多项式的另一因式；（3）请判断多项式x4+x2+1是否能分解成两个整系数二次多项式的乘积，并说明理由．参考答案1．解：∵x﹣y＝2，xy＝，∴原式＝xy（x2+3xy+y2）＝xy（x2﹣2xy+y2+5xy）＝xy[（x﹣y）2+5xy]＝×（4+）＝3．故选：D．2．解：＝9×11×13，（10+1）（10﹣1）（12+1）（12﹣1）＝9×11×13k，11×9×13×11＝9×11×13k，∴k＝11．故选：B．3．解：依题意得：，即，（①2﹣②）÷2，得：xy＝5．∴一张小长方形的面积为5．故选：C．4．解：大正方形的面积为（m+n）2，阴影部分的面积S2＝n（m+n）×4＝S1，因此有（m+n）2＝S1+S2，即（m+n）2＝n（m+n）×4×2，整理得，m2﹣2mn﹣3n2＝0，∴（m﹣3n）（m+n）＝0，∵m＞0，n＞0，∴m﹣3n＝0，即m＝3n，故选：D．5．解：224﹣1＝（212﹣1）（212+1）＝（26﹣1）（26+1）（212+1）＝63×65×（212+1），则这两个数为63与65．故选：D．6．解：∵20212﹣4＝20212﹣22＝（2021+2）（2021﹣2）＝2023×2019，20202﹣4＝20202﹣22＝（2020+2）（2020﹣2）＝2022×2018，又∵（20212﹣4）（20202﹣4）＝2023×2019×2018m，∴2023×2019×2022×2018＝2023×2019×2018×m，∴m＝2022．故选：C．7．解：∵（n+1）2﹣n2＝（n+1+n）（n+1﹣n）＝2n+1，∴所有的奇数都是智慧数，∵2021÷2＝1010......1，∴不大于2021的智慧数共有：1010+1＝1011（个）．故选：C．8．解：∵x2+3x﹣3＝0，∴x2+3x＝3，x3+5x2+3x﹣10＝x3+3x2+2x2+3x﹣10＝x（x2+3x）+2x2+3x﹣10＝3x+2x2+3x﹣10＝2x2+6x﹣10＝2（x2+3x）﹣10＝2×3﹣10＝﹣4．故选：D．9．解：∵s+t＝4，∴s2﹣t2+8t＝（s+t）（s﹣t）+8t＝4（s﹣t）+8t＝4s﹣4t+8t＝4s+4t＝4（s+t）＝4×4＝16，故选：C．10．解：∵a﹣2b＝2，∴原式＝（a+2b）（a﹣2b）﹣8b+1＝2（a+2b）﹣8b+1＝2a+4b﹣8b+1＝2a﹣4b+1＝2（a﹣2b）+1＝2×2+1＝4+1＝5．故答案为：5．11．解：∵x2﹣3x+1＝0，∴x2﹣3x＝﹣1，∴﹣2x2+6x＝﹣2（x2﹣3x）＝﹣2×（﹣1）＝2，x3﹣2x2﹣2x+9＝x3﹣3x2+x2﹣3x+x+9＝x（x2﹣3x）+（x2﹣3x）+x+9＝﹣x+（﹣1）+x+9＝8，故答案为：2，8．12．解：2x2﹣4x＝2x（x﹣2）．故答案为：2x（x﹣2）．13．解：﹣9a2+b2＝b2﹣9a2＝（b+3a）（b﹣3a）．故答案为：（b+3a）（b﹣3a）．14．解：∵4x2﹣（k﹣1）x+9是一个完全平方式，∴k﹣1＝±12，解得：k＝13或k＝﹣11，故选：13或﹣11．15．解：﹣（a+2）2+16（a﹣1）2＝[4（a﹣1）]2﹣（a+2）2＝（4a﹣4+a+2）（4a﹣4﹣a﹣2）＝（5a﹣2）（3a﹣6）＝3（5a﹣2）（a﹣2）故答案为：3（5a﹣2）（a﹣2）．16．解：x4﹣18x2+81＝（x2﹣9）2＝（x+3）2（x﹣3）2．故答案为：（x+3）2（x﹣3）2．17．解：原式＝a2+4ab+4b2﹣8ab＝a2﹣4ab+4b2＝（a﹣2b）2．故答案为：（a﹣2b）2．18．解：原式＝（x3+x2y）﹣（xy2+y3）＝x2（x+y）﹣y2（x+y）＝（x+y）2（x﹣y）．19．解：a2+4b2+c4﹣4ab﹣2ac2+4bc2﹣1＝（a2+4b2﹣4ab）+（﹣2ac2+4bc2）+（c4﹣1）＝（2b﹣a）2+2c2（2b﹣a）+（c2+1）（c2﹣1）＝（2b﹣a+c2+1）（2b﹣a+c2﹣1）．20．（1）解：原式＝（x﹣3y）2+4z（x﹣3y）+4z2＝（x﹣3y+2z）2；（2）解：原式＝（a2+5a）2+10（a2+5a）+24﹣120＝（a2+5a）2+10（a2+5a）﹣96＝（a2+5a+16）（a2+5a﹣6）＝（a﹣1）（a+6）（a2+5a+16）．21．（1）原式＝x2+2x+1＝（x+1）2．（2）原式＝﹣3ab（b2﹣4b+4）＝﹣3ab（b﹣2）2．22．解：设另一个因式为（2x+n），得：2x2+3x+k＝（x﹣1）（2x+n）展开得：2x2+3x+k＝2x2+（n﹣2）x﹣n．所以解得：n＝5，k＝﹣5．所以另一个因式为2x+5．23．解：x2﹣60x+884＝x2﹣2×30x+900﹣900+884＝（x﹣30）2﹣16＝（x﹣30+4）（x﹣30﹣4）＝（x﹣26）（x﹣34）．24．解：（1）x2﹣6x+8＝（x﹣2）（x﹣4）；（2）①令A＝x﹣y，则原式＝A2+4A+3＝（A+1）（A+3），所以（x﹣y）2+4（x﹣y）+3＝（x﹣y+1）（x﹣y+3）；②令B＝m2+2m，则原式＝B（B﹣2）﹣3＝B2﹣2B﹣3＝（B+1）（B﹣3），所以原式＝（m2+2m+1）（m2+2m﹣3）＝（m+1）2（m﹣1）（m+3）．25．解：（1）根据待定系数法原理，得3﹣a＝2，a＝1．故答案为1．（2）设另一个因式为（x2+ax+b），（x+1）（x2+ax+b）＝x3+ax2+bx+x2+ax+b＝x3+（a+1）x2+（a+b）x+b∴a+1＝0 a＝﹣1 b＝3∴多项式的另一因式为x2﹣x+3．答：多项式的另一因式x2﹣x+3．（3）多项式x4+x2+1能分解成两个整系数二次多项式的乘积．理由如下：方法一：设多项式x4+x2+1能分解成①（x2+1）（x2+ax+b）或②（x2+x+1）（x2+ax+1），①（x2+1）（x2+ax+b）＝x4+ax3+bx2+x2+ax+b＝x4+ax3+（b+1）x2+ax+b∴a＝0，b+1＝1 b＝1由b+1＝1得b＝0≠1②（x2+x+1）（x2+ax+1）＝x4+（a+1）x3+（a+2）x2+（a+1）x+1∴a+1＝0，a+2＝1，解得a＝﹣1．即x4+x2+1＝（x2+x+1）（x2﹣x+1）；方法二：多项式x4+x2+1能分解成两个整系数二次多项式的乘积，（x2+ax+b）（x2+cx+d），解得a＝1，c＝﹣1，b＝d＝1，即x4+x2+1＝（x2+x+1）（x2﹣x+1）∴x4+x2+1能分解成两个整系数二次三项式的乘积．答：多项式x4+x2+1能分解成两个整系数二次三项式的乘积．。

人教版八年级数学上册14.整式的乘除与因式分解--复习课件

不是完全平方式，不能进行分解
例2 把下列各式分解因式. (1)(a+b)2-4a2 ； (2)1-10x+25x2； (3)(m+n)2-6(m+n)+9
解:(1)(a+b)2-4a2=(a+b)2-(2a)2 =(a+b+2a)(a+b-2a) =(3a+b)(b-a)
(2)1-10x+25x2 =1-10x+(5x)2 =(1-5x)2 (3)(m+n)2-6(m+n)+9=(m+n-3)2.
5, 求(a
1 )2的值. a
(2)若x y2 2, x2 y2 1, 求xy的值.
(3)如果(m n)2 z m2 2mn n2 ,
则z应为多少?
(4)(x 3y 2z)(x 3y 2z)
(5)19992, (6)20012 19992
练习：计算下列各题。
(1)( 1 a6b4c) ((2a3c) 4
1、 205×195 2、 (3x+2) (3x-2) 3、(-x+2y) (-x-2y) 4 、 (x+y+z)(x+y-z)
（2）、完全平方公式
一般的，我们有：
(a b)2 a2 2ab b2;
(a b)2 a2 2ab b2 其中a, b既可以是数, 也可以是代数式.
即: (a b)2 a2 2ab b2
探索与创新题例4 若9x2+kxy+36y2是完全平方式，则k= —
分析:完全平方式是形如：a2±2ab+b2即两数的平方和与这两个数乘积的2倍的和(或差).
∵9x2+kxy+36y2=(3x)2+kxy+(6y)2 ∴±kxy=2·3x·6y=36xy ∴k=±36

2021-2022学年人教版八年级数学上册《因式分解》期末综合复习训练2(附答案)

2021-2022学年人教版八年级数学上册《因式分解》期末综合复习训练2（附答案）1．因式分解a2b﹣2ab+b正确的是（）A．b（a2﹣2a）B．ab（a﹣2）C．b（a2﹣2a+1）D．b（a﹣1）22．下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（）A．﹣a2﹣b2B．x2+（﹣y）2C．（﹣x）2+（﹣y）2D．﹣m2+13．若4x4﹣（y﹣z）2分解因式时有一个因式是2x2+y﹣z，则另一个因式是（）A．2x2﹣y+z B．2x2﹣y﹣z C．2x2+y﹣z D．2x2+y+z4．下列多项式不能用公式法进行因式分解的是（）A．a2﹣10a+25B．a2+a C．﹣a2﹣16D．a2﹣645．已知x﹣y＝2，xy＝，那么x3y+3x2y2+xy3的值为（）A．3B．6C．D．6．n为正整数，若2a n﹣1﹣4a n+1的公因式是M，则M等于（）A．a n﹣1B．2a n C．2a n﹣1D．2a n+17．已知a、b、c为△ABC的三边，且满足a2c2﹣b2c2＝a4﹣b4，则△ABC是（）A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰三角形或直角三角形D．等腰直角三角形8．把多项式x2﹣y2﹣2x﹣4y﹣3因式分解之后，正确的结果是（）A．（x+y+3）（x﹣y﹣1）B．（x+y﹣1）（x﹣y+3）C．（x+y﹣3）（x﹣y+1）D．（x+y+1）（x﹣y﹣3）9．甲、乙两个同学分解因式x2+ax+b时，甲看错了b，分解结果为（x+2）（x+4）；乙看错了a，分解结果为（x+1）（x+9），则多项式x2+ax+b分解因式的正确结果为．10．已知a2+a+1＝0，则代数式a3+2a2+2a+3＝．11．若实数x满足x2﹣2x﹣1＝0，则2x3﹣2x2﹣6x+2020＝．12．已知a﹣2b＝2，那么a2﹣4b2﹣8b+1的值为．13．分解因式：（1﹣x2）（1﹣y2）﹣4xy＝．14．分解因式：（p+1）（p﹣4）+3p＝．15．若x+y＝2，x﹣y＝1，则代数式（x+1）2﹣y2的值为．16．因式分解：（1）2x2﹣12xy2+8x；（2）n2（m﹣2）﹣n（2﹣m）；（3）（a2+4）2﹣16a2；（4）（m+n）2﹣6（m+n）+9．17．分解因式（1）（x2﹣3）2﹣2（x2﹣3）+1；（2）m2（a﹣2）+（2﹣a）．18．因式分解（1）6x2﹣3x；（2）16m3﹣mn2；（3）25m2﹣10mn+n2；（4）9a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）．19．分解下列因式（1）m2n﹣mn2+mn；（2）4x2﹣（y2﹣2y+1）．20．阅读下面的问题，然后回答，分解因式：x2+2x﹣3，解：原式＝x2+2x+1﹣1﹣3＝（x2+2x+1）﹣4＝（x+1）2﹣4＝（x+1+2）（x+1﹣2）＝（x+3）（x﹣1）上述因式分解的方法称为配方法．请体会配方法的特点，用配方法分解因式：（1）x2﹣4x+3（2）4x2+12x﹣7．参考答案1．解：a2b﹣2ab+b＝b（a2﹣2a+1）＝b（a﹣1）2．故选：D．2．解：A．根据平方差公式的结构特征，﹣a2﹣b2不能用平方差公式进行因式分解，那么A 不符合题意．B．根据平方差公式的结构特征，x2+（﹣y）2＝x2+y2不能用平方差公式进行因式分解，那么B不符合题意．C．根据平方差公式的结构特征，（﹣x）2+（﹣y）2＝x2+y2不能用平方差公式进行因式分解，那么C不符合题意．D．根据平方差公式的结构特征，﹣m2+1＝﹣（m2﹣1）＝﹣（m+1）（m﹣1），﹣m2+1能用平方差公式进行因式分解，那么D符合题意．故选：D．3．解：4x4﹣（y﹣z）2＝（2x2）2﹣（y﹣z）2＝（2x2+y﹣z）（2x2﹣y+z），故选：A．4．解：A．a2﹣10a+25＝（a﹣5）2，故此选项不合题意；B．a2+a+＝（a+）2，故此选项不合题意；C．﹣a2﹣16无法分解因式，故此选项符合题意；D．a2﹣64＝（a﹣8）（a+8），故此选项不合题意；故选：C．5．解：∵x﹣y＝2，xy＝，∴原式＝xy（x2+3xy+y2）＝xy（x2﹣2xy+y2+5xy）＝xy[（x﹣y）2+5xy]＝×（4+）＝3．故选：D．6．解：因为2a n﹣1﹣4a n+1＝2a n﹣1（1﹣a2），所以2a n﹣1﹣4a n+1的公因式是2a n﹣1，即M＝2a n﹣1，故选：C．7．解：移项得，a2c2﹣b2c2﹣a4+b4＝0，c2（a2﹣b2）﹣（a2+b2）（a2﹣b2）＝0，（a2﹣b2）（c2﹣a2﹣b2）＝0，所以，a2﹣b2＝0或c2﹣a2﹣b2＝0，即a＝b或a2+b2＝c2，因此，△ABC等腰三角形或直角三角形．故选：C．8．解：x2﹣y2﹣2x﹣4y﹣3＝（x2﹣2x+1）﹣（y2+4y+4）＝（x﹣1）2﹣（y+2）2＝[（x﹣1）+（y+2）][（x﹣1）﹣（y+2）]＝（x+y+1）（x﹣y﹣3）．故选：D．9．解：∵甲看错了b，分解结果为（x+2）（x+4），但a是正确的，（x+2）（x+4）＝x2+6x+8，∴a＝6，∵（x+1）（x+9）＝x2+10x+9，乙看错了a，但b是正确的，∴b＝9，∴x2+ax+b＝x2+6x+9＝（x+3）2，故答案为：（x+3）2．10．解：∵a3+2a2+2a+3＝a3+a2+a+a2+a+1+2＝a（a2+a+1）+（a2+a+1）+2＝2，故答案为：2．11．解：∵x2﹣2x﹣1＝0，∴x2＝2x+1，x2﹣2x＝1，∴原式＝2x•x2﹣2x2﹣6x+2020＝2x（2x+1）﹣2x2﹣6x+2020＝4x2+2x﹣2x2﹣6x+2020＝2x2﹣4x+2020＝2（x2﹣2x）+2020＝2×1+2020＝2022．12．解：∵a﹣2b＝2，∴原式＝（a+2b）（a﹣2b）﹣8b+1＝2（a+2b）﹣8b+1＝2a+4b﹣8b+1＝2a﹣4b+1＝2（a﹣2b）+1＝2×2+1＝4+1＝5．故答案为：5．13．解：（1﹣x2）（1﹣y2）﹣4xy＝1﹣x2﹣y2+x2y2﹣4xy＝1﹣2xy+x2y2﹣x2﹣y2﹣2xy＝（xy﹣1）2﹣（x+y）2＝（xy﹣1+x+y）（xy﹣1﹣x﹣y）．故答案为：（xy﹣1+x+y）（xy﹣1﹣x﹣y）．14．解：（p+1）（p﹣4）+3p＝p2﹣3p﹣4+3p＝p2﹣4＝（p+2）（p﹣2）．15．解：∵x+y＝2，x﹣y＝1，∴（x+1）2﹣y2＝2×3＝6．故答案为：6．16．解：（1）2x2﹣12xy2+8x＝2x（x﹣6y2+4）；（2）n2（m﹣2）﹣n（2﹣m）＝n2（m﹣2）+n（m﹣2）＝n（m﹣2）（n+1）；（3）（a2+4）2﹣16a2＝[（a2+4）+4a][（a2+4）﹣4a]＝（a2+4a+4）（a2﹣4a+4）＝（a+2）2（a﹣2）2；（4）（m+n）2﹣6（m+n）+9＝（m+n﹣3）2．17．解：（1）（x2﹣3）2﹣2（x2﹣3）+1＝（x2﹣3﹣1）2＝（x+2）2（x﹣2）2；（2）m2（a﹣2）+（2﹣a）＝m2（a﹣2）﹣（a﹣2）＝（a﹣2）（m2﹣1）＝（a﹣2）（m﹣1）（m+1）．18．解：（1）6x2﹣3x＝3x（2x﹣1）；（2）16m3﹣mn2＝m（16m2﹣n2）＝m（4m+n）（4m﹣n）；（3）25m2﹣10mn+n2＝（5m﹣n）2；（4）9a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）＝9a2（x﹣y）﹣4b2（x﹣y）＝（x﹣y）（3a+2b）（3a﹣2b）．19．解：（1）原式＝mn（m﹣n+1）；（2）原式＝（2x）2﹣（y﹣1）2＝（2x+y﹣1）（2x﹣y+1）．20．解：（1）x2﹣4x+3＝x2﹣4x+4﹣4+3＝（x﹣2）2﹣1＝（x﹣2+1）（x﹣2﹣1）＝（x﹣1）（x﹣3）（2）4x2+12x﹣7＝4x2+12x+9﹣9﹣7＝（2x+3）2﹣16＝（2x+3+4）（2x+3﹣4）＝（2x+7）（2x﹣1）。

人教版八年级数学上册 14.3 因式分解大归类讲义

因式分解大归类知识点：因式分解：【定义】把一个单项式或多项式化成几个整式的乘积的形式，这种式子变形叫做这个单项式或多项式因式分解，也叫做把个单项式或多项式分解因式。

整式乘法与因式分解的对比如：x x x x +=+2)1(，称这种式子变形为整式的乘法。

反过来，)1(2+=+x x x x ，像这种式子的变形过程，称为多项式的因式分解。

一、提公因式法例1：把c ab b a 323128+分解因式（温馨提示：方法是先“找”，再“提”）“找”238b a 与c ab 312的公因式：（1）先看系数：8和12的最大公约数是；（2）再找字母部分：3a 和a 的公因式是（指数最小的就是它们的公因式），2b 和3b 的公因式是，所以，238b a 与c ab 312的公因式就是。

解，原式=bc ab a ab 3424222⋅+⋅例2：把()()c b a c b a +-+236分解因式（分析：“找”公因式，是）针对性练习：1、找下列各式的公因式（1）n m 2与3mn 公因式是（2）102x 与x 15的公因式是（3） 23x 与212xy 的公因式是（4）bc a ab c ab 223201612+-的公因式是2、把下列各式分解因式（1）abc a -2 （2）a a +2 （3）a a 2552+-（4）mn n m 282+ （5）10+2x x 15 （6）2293xy x -（7）22912y x xyz - （8）bc a ab c ab 223201612+-（9）()()c b c b a +-+32 （10）()()2222b a q b a p +-+（11）()()712742+-+x x a（12）()()q p q q p p +-+46 (13)(x －2)2－x ＋2二、利用“平方差公式”进行因式分解整式乘法的平方差公式：=-+))((b a b a ，，这个变形过程是因式分解。

人教版八年级数学上册课件：14章整式的乘法与因式分解--知识点复习 (共53张PPT)

A.(6a3+3a2)÷
1 2
a=12a2+6a
B.(6a3-4a2+2a)÷2a=3a2-2a
C.(9a7-3a3)÷(﹣
1 3
a3)=﹣27a4+9
C.( 14a2+a)÷(﹣12a)=﹣12 a-2
5.一个多项式与﹣2x2的积为﹣2x5+4x3﹣x2，则这个多项式
为
.
6.计算：⑴
(9x2y-6xy2)÷3xy;
2.已知M＝ a-1，N＝a2- a(a为任意实数)，则M，N的
大小关系为( A ) A. M＜N B. M=N C. M＞N D.不能确定
3.若x2+y2+ =2x+y，则y-x= .
3、am﹣n=am ÷ an(a≠0,m,n都
是正整数，并且m＞n).
10
知识点一：幂的运算性质
巩固练习
1.(易错题)若(1-x)1-3x＝1，则x的取值有（ C ）个.
A.0 B.1 C.2 D.3 4
2.若3x＝4，9y＝7，则3x-2y的值为 7 . 3.已知am＝3，an＝2，则a2m-n的值为 4.5 .
为( B ) A M<N
B M＞N
C M=N D.不能确定
10.计算：(1)(x+1)(x+4)； (2)(y-5)(y-6)； (3)(m-3)(m+4)
(x+p)(x+q)
18
知识点二：整式的运算
知识回顾
单项式的除法法则：系数、同底数幂分别相除只在被除式里含有的字母
19Βιβλιοθήκη 知识点二：整式的运算2
重点难点
重点:运用整式的乘法法则和除法法则进行运算;因式分解. 难点:应用整式的乘法和因式分解决问题.

人教版初二数学上册知识点归纳总结

三一文库（）/初中二年级〔人教版初二数学上册知识点归纳总结[1]〕因式分解1. 因式分解：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解；注意：因式分解与乘法是相反的两个转化.2．因式分解的方法：常用“提取公因式法”、“公式法”、“分组分解法”、“十字相乘法”.3．公因式的确定：系数的最大公约数·相同因式的最低次幂.注意公式：a+b=b+a； a-b=-(b-a)； (a-b)2=(b-a)2；(a-b)3=-(b-a)3.4．因式分解的公式：(1)平方差公式： a2-b2=（a+ b）（a- b）；(2)完全平方公式： a2+2ab+b2=(a+b)2, a2-2ab+b2=(a-b)2. 5．因式分解的注意事项：（1）选择因式分解方法的一般次序是：一提取、二公式、三分组、四十字；（2）使用因式分解公式时要特别注意公式中的字母都具有整体性；（3）因式分解的最后结果要求分解到每一个因式都不能分解为止；（4）因式分解的最后结果要求每一个因式的首项符号为正；（5）因式分解的最后结果要求加以整理；（6）因式分解的最后结果要求相同因式写成乘方的形式. 6．因式分解的解题技巧：（1）换位整理，加括号或去括号整理；（2）提负号；（3）全变号；（4）换元；（5）配方；（6）把相同的式子看作整体；（7）灵活分组；（8）提取分数系数；（9）展开部分括号或全部括号；（10）拆项或补项.7．完全平方式：能化为（m+n）2的多项式叫完全平方式；对于二次三项式x2+px+q，有“ x2+px+q是完全平方式 # 分式A#p####q#2#2”.1．分式：一般地，用A、B表示两个整式，A÷B就可以表示为B的形式，如果BA中含有字母，式子B 叫做分式.#整式有理式##分式2．有理式：整式与分式统称有理式；即 . 3．对于分式的两个重要判断：（1）若分式的分母为零，则分式无意义，反之有意义；（2）若分式的分子为零，而分母不为零，则分式的值为零；注意：若分式的分子为零，而分母也为零，则分式无意义. 4．分式的基本性质与应用：（1）若分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不为零的整式，分式的值不变；（2）注意：在分式中，分子、分母、分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变；即##分子#分母##分子分母#分子#分母##分子分母（3）繁分式化简时，采用分子分母同乘小分母的最小公倍数的方法，比较简单. 5．分式的约分：把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分；注意：分式约分前经常需要先因式分解.6．最简分式：一个分式的分子与分母没有公因式，这个分式叫做最简分式；注意：分式计算的最后结果要求化为最简分式.acac##,bdbd7．分式的乘除法法则：nnab#cd#adad##bcbc.a#a####n.（n为正整数）b8．分式的乘方：#b#.9．负整指数计算法则：1（1）公式： a0=1(a≠0), a-n=a (a≠0)；（2）正整指数的运算法则都可用于负整指数计算；。

2022年初二数学上册期末专题复习因式分解(人教版)-全国

2022年初二数学上册期末专题复习因式分解（人教版）-全国解答题3x(a-b)-6y(b-a）.【答案】3(a-b)(x+2y)【解析】首先提取公因式3x（a-b），进而分解因式得出答案.解:3x(a-b)-6y(b-a）=3x (a-b)+6y(a-b）=3(a-b)(x+2y)解答题2x(a﹣b)﹣(b﹣a)【答案】(a﹣b)(2x+1）【解析】把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫作把这个多项式分解因式。

本题直接找出公因式，进而提取公因式得出答案.原式= 2x(a﹣b)＋(a﹣b)＝(a﹣b)(2x+1）解答题分解因式：6a2b﹣4a3b3﹣2ab【答案】2ab(3a﹣2a2b2﹣1)【解析】运用提取公因式法因式分解.6a2b﹣4a3b3﹣2ab=2ab(3a﹣2a2b2﹣1).解答题利用因式分解计算：482-472【答案】95【解析】直接利用平方差公式因式分解得出答案.482-472=（48+47）（48-47）=95解答题3x2﹣12xy+12y2；【答案】3（x﹣2y）2【解析】首先提取公因式，然后利用完全平方公式因式分解.原式=3x2﹣12xy+12y2=3 （x2﹣4xy+4y2）=3（x﹣2y）2 解答题(x﹣y)2+16(y﹣x)．【答案】（x﹣y）（x﹣y﹣16）【解析】把后面括号里的y-x提出-1，变为x-y，然后提取公因式.原式=(x﹣y)2-16(x﹣y)=（x﹣y）（x﹣y﹣16）解答题(x2+x)2﹣8(x2+x)+12．【答案】（x﹣1）（x+2）（x﹣2）（x+3）【解析】先把x2+x看做一个整体，然后根据十字相乘法的分解方法和特点分解因式，本题需要两次利用十字相乘法．原式=解：（x2+x）2-8（x2+x）+12，=（x2+x-2）（x2+x-6），=（x-1）（x+2）（x-2）（x+3）．解答题(x2+2x)2-(2x+4)2．【答案】(x+2)3(x﹣2)【解析】原式=[ (x2+2x)+(2x+4) ] [ (x2+2x)-(2x+4) ]=(x+2)3(x﹣2) 解答题(x-1)(x-3)+1【答案】(x-2)2【解析】原式先利用整式乘法整理后，利用完全平方公式分解即可.原式=原式=x2-3x-x+4=x2-4x+4= =(x-2)2解答题18a3－2a；【答案】2a(3a＋1)(3a－1)【解析】原式先提取公因式，再利用平方差公式分解即可.原式=2a（9a2－1）=2a(3a＋1)(3a－1)解答题ab2﹣2ab+a【答案】a(b﹣1)2【解析】原式先提取公因式，再利用完全平方公式分解即可.原式= a（b2﹣2b+1）=a(b﹣1)2解答题分解因式：4x3y+4x2y2+xy3．【答案】xy（2x+y）2【解析】试题分析：先提取公因式，再用完全平方公式分解因式即可.试题解析：原式（略）（略）解答题－3x3+6x2y﹣3xy2．【答案】﹣3x(x﹣y)2【解析】先提公因式，再利用完全平方公式进行因式分解．原式）-3x3+6x2y-3xy2=-3x（x2-2xy+y2）=-3x（x-y）2．解答题m4﹣2m2+1．【答案】(m+1)2(m﹣1)2【解析】先利用完全平方公式，再利用平方差公式进行因式分解，是两个公式的综合运用．原式=（ｍ２－１）２＝[（ｍ－１）（ｍ＋１）]２＝(m+1)2(m﹣1)2解答题x2(a﹣2)+4(2﹣a)【答案】(a﹣2)(x+2)(x﹣2)【解析】根据先提取公因式、再平方差公式，可分解因式．原式= x2(a﹣2)-4(a﹣2)=(a﹣2)（x2-4）=(a﹣2)(x+2)(x﹣2)解答题ab(ab－6)＋9【答案】(ab－3)2【解析】先根据单项式乘以多项式计算，再用完全平方公式进行因式分解即可．原式=a2b2-6ab+9=(ab－3)2解答题12x3－3x【答案】3x(2x+1)(2x-1)【解析】先提公因式，再根据平方差公式因式分解即可.原式=3x（4x2－1）=3x(2x+1)(2x-1)解答题2a3-12a2＋18a【答案】2a(a-3)2【解析】先提公因式，再利用完全平方公式进行因式分解．原式=2a3-12a2＋18a=2a（a2-6a+9）=2a(a-3)2解答题2(a-1)2-12(a-1)+18【答案】2(a-4)2【解析】先提公因式，再利用完全平方公式进行因式分解．原式=2 [(a-1)2-6(a-1)+9]=2(a-1-3)2=2(a-4)2解答题9a2(x﹣y)+4b2(y﹣x)【答案】(x﹣y)(3a+2b)•(3a﹣2b)【解析】先提公因式，再利用平方差公式进行因式分解.原式=9a2(x﹣y)-4b2(x﹣y)=(x﹣y)（9a2-4b2）=(x﹣y)(3a+2b)•(3a﹣2b)解答题9(a+b)2﹣25(a﹣b)2【答案】4(4b﹣a)(4a﹣b)【解析】先对所给多项式进行变形，然后套用公式a2-b2=（a+b）（a-b），再进一步分解因式．原式=）9（a+b）2-25（a-b）2，=[3（a+b）]2-[5（a-b）]2，=（8a-2b）（-2a+8b），=4 (4a﹣b) (4b﹣a)解答题﹣2a2x4+16a2x2﹣32a2【答案】﹣2a2(x+2)2(x﹣2)2【解析】先提公因式，再利用完全平方公式和平方差公式分解因式.﹣2a2x4+16a2x2﹣32a2=﹣2 a2（x4-8x2+16）=﹣2 a2（x2-4）2=﹣2 a2[(x+2) (x﹣2)]２=﹣2a2(x+2)2(x﹣2)2解答题利用因式分解计算：2022+202×196+982【答案】90000【解析】利用完全平方公式因式分解后即可很容易的得到结论．原式=2022+2×202×98+982=（202+98）2=3002=90000 解答题(a+1)(a-1)-8.【答案】(a+3)(a-3)【解析】先做多项式乘以多项式，再利用公式进行因式分解，即先去括号、合并，再利用平方差公式分解即可．原式=a2-1-8=a2-9=（a+3）（a-3）．解答题4+12(x-y)+9(x-y)2.【答案】(3x-3y+2)2【解析】直接运用完全平方公式分解即可．4+12（x-y）+9（x-y）2，=[2+3（x-y）]2，=（3x-3y+2）2．解答题(a-3)(a-5)+1.【答案】(a-4)2【解析】解：①（a－3）（a-5）+１=a2-8a＋15+１=a2-8a+16=（a-4）2解答题m4﹣16n4；【答案】(m2+4n2)(m+2n)(m﹣2n)【解析】连续运用平方差公式进行因式分解.原式=（m2+4n2）（m2-4n2）=（m2+4n2（m+2n）（m-2n）. 解答题3m(2x-y)2-3mn2；【答案】3m(2x-y+n)(2x-y-n)【解析】先提公因式，再利用平方差公式分解因式.3m(2x-y)2-3mn2=3m [(2x-y)2-n2]=3m(2x-y+n)(2x-y-n)解答题分解因式：(a－b)m2＋(b－a)n2；【答案】原式=（a-b）(m2-n2)=( a-b）(m+n)(m-n)【解析】先提取公因式，然后再利用平方差公式分解因式。

人教版八年级数学上册因式分解(含知识点)

因式分解同步练习一、选择题：1．若(2x)n −81 = (4x 2+9)(2x+3)(2x −3)，那么n 的值是（）A ．2B ． 4C ．6D ．82．若9x 2−12xy+m 是两数和的平方式，那么m 的值是（）A ．2y 2B ．4y 2C ．±4y 2D ．±16y 23．把多项式a 4− 2a 2b 2+b 4因式分解的结果为（）A ．a 2(a 2−2b 2)+b 4B ．(a 2−b 2)2C ．(a −b)4D ．(a+b)2(a −b)24．把(a+b)2−4(a 2−b 2)+4(a −b)2分解因式为（）A ．( 3a −b)2B ．(3b+a)2C ．(3b −a)2D ．( 3a+b)25．计算：(−21)2001+(−21)2000的结果为（） A ．(−21)2003 B ．−(−21)2001 C ．21 D ．−21 6．已知x ，y 为任意有理数，记M = x 2+y 2，N = 2xy ，则M 与N 的大小关系为（） A ．M>N B ．M≥N C ．M≤N D ．不能确定7．对于任何整数m ，多项式( 4m+5)2−9都能（）A ．被8整除B ．被m 整除C ．被(m −1)整除D ．被(2n −1)整除8．将−3x 2n −6x n 分解因式，结果是（）A ．−3x n (x n +2)B ．−3(x 2n +2x n )C ．−3x n (x 2+2)D ．3(−x 2n −2x n )9．下列变形中，是正确的因式分解的是（）A ． 0.09m 2− 4916n 2 = ( 0.03m+ 74)( 0.03m −74) B ．x 2−10 = x 2−9−1 = (x+3)(x −3)−1C ．x 4−x 2 = (x 2+x)(x 2−x)D ．(x+a)2−(x −a)2 = 4ax10．多项式(x+y −z)(x −y+z)−(y+z −x)(z −x −y)的公因式是（）A ．x+y −zB ．x −y+zC ．y+z −xD ．不存在11．已知x 为任意有理数，则多项式x −1−41x 2的值（） A ．一定为负数B ．不可能为正数C ．一定为正数D ．可能为正数或负数或零二、解答题：分解因式：(1)(ab+b)2−(a+b)2(2)(a 2−x 2)2−4ax(x −a)2(3)7x n+1−14x n +7x n −1(n 为不小于1的整数)参考答案：一、选择题：1．B 说明：右边进行整式乘法后得16x 4−81 = (2x)4−81，所以n 应为4，答案为B ．2．B 说明：因为9x 2−12xy+m 是两数和的平方式，所以可设9x 2−12xy+m = (ax+by)2，则有9x 2−12xy+m = a 2x 2+2abxy+b 2y 2，即a 2 = 9，2ab = −12，b 2y 2 = m ；得到a = 3，b = −2；或a = −3，b = 2；此时b 2 = 4，因此，m = b 2y 2 = 4y 2，答案为B ．3．D 说明：先运用完全平方公式，a 4− 2a 2b 2+b 4 = (a 2−b 2)2，再运用两数和的平方公式，两数分别是a 2、−b 2，则有(a 2−b 2)2 = (a+b)2(a −b)2，在这里，注意因式分解要分解到不能分解为止；答案为D ．4．C 说明：(a+b)2−4(a 2−b 2)+4(a −b)2 = (a+b)2−2(a+b)[2(a −b)]+[2(a −b)]2 =[a+b −2(a −b)]2 = (3b −a)2；所以答案为C ．5．B 说明：(−21)2001+(−21)2000 = (−21)2000[(−21)+1] = (21)2000 •21= (21)2001 = −(−21)2001，所以答案为B ． 6．B 说明：因为M −N = x 2+y 2−2xy = (x −y)2≥0，所以M≥N ．7．A 说明：( 4m+5)2−9 = ( 4m+5+3)( 4m+5−3) = ( 4m+8)( 4m+2) = 8(m+2)( 2m+1)．8．A9．D 说明：选项A ，0.09 = 0.32，则 0.09m 2−4916n 2 = ( 0.3m+74n)( 0.3m −74n)，所以A 错；选项B 的右边不是乘积的形式；选项C 右边(x 2+x)(x 2−x)可继续分解为x 2(x+1)(x −1)；所以答案为D ．10．A 说明：本题的关键是符号的变化：z −x −y = −(x+y −z)，而x −y+z≠y+z−x ，同时x −y+z≠−(y+z −x)，所以公因式为x+y −z ．11．B 说明：x −1−41x 2 = −(1−x+41x 2) = −(1−21x)2≤0，即多项式x −1−41x 2的值为非正数，正确答案应该是B ．二、解答题：(1) 答案：a(b−1)(ab+2b+a)说明：(ab+b)2−(a+b)2 = (ab+b+a+b)(ab+b−a−b) = (ab+2b+a)(ab−a) =a(b−1)(ab+2b+a)．(2) 答案：(x−a)4说明：(a2−x2)2−4ax(x−a)2= [(a+x)(a−x)]2−4ax(x−a)2= (a+x)2(a−x)2−4ax(x−a)2= (x−a)2[(a+x)2−4ax]= (x−a)2(a2+2ax+x2−4ax)= (x−a)2(x−a)2 = (x−a)4．(3) 答案：7x n−1(x−1)2说明：原式= 7x n−1•x2−7x n−1•2x+7x n−1 = 7x n−1(x2−2x+1) = 7x n−1(x−1)2．人教版八年级数学上册必须要记、背的知识点第十一章三角形一、知识框架：二、知识概念：1.三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.2.三边关系：三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边.3.高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高.4.中线：在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线.5.角平分线：三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线.6.三角形的稳定性：三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫三角形的稳定性.7.多边形：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形.8.多边形的内角：多边形相邻两边组成的角叫做它的内角.9.多边形的外角：多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角.10.多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线.11.正多边形：在平面内，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫正多边形.12.平面镶嵌：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，叫做用多边形覆盖平面，13.公式与性质：⑴三角形的内角和：三角形的内角和为180°⑵三角形外角的性质：性质1：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.性质2：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.⑶多边形内角和公式：n边形的内角和等于(2)n-·180°⑷多边形的外角和：多边形的外角和为360°.⑸多边形对角线的条数：①从n边形的一个顶点出发可以引(3)n-条对角线，把多边形分成(2)n-个三角形.②n边形共有(3)2n n-条对角线.第十二章全等三角形一、知识框架：二、知识概念：1.基本定义：⑴全等形：能够完全重合的两个图形叫做全等形.⑵全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.⑶对应顶点：全等三角形中互相重合的顶点叫做对应顶点.⑷对应边：全等三角形中互相重合的边叫做对应边.⑸对应角：全等三角形中互相重合的角叫做对应角.2.基本性质：⑴三角形的稳定性：三角形三边的长度确定了，这个三角形的形状、大小就全确定，这个性质叫做三角形的稳定性.⑵全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等.3.全等三角形的判定定理：⑴边边边（SSS）：三边对应相等的两个三角形全等.⑵边角边（SAS）：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等.⑶角边角（ASA）：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等.⑷角角边（AAS）：两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等.⑸斜边、直角边（HL）：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.4.角平分线：⑴画法：⑵性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等.⑶性质定理的逆定理：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.5.证明的基本方法：⑴明确命题中的已知和求证.（包括隐含条件，如公共边、公共角、对顶角、角平分线、中线、高、等腰三角形等所隐含的边角关系）⑵根据题意，画出图形，并用数字符号表示已知和求证.⑶经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程.第十三章轴对称一、知识框架：二、知识概念：1.基本概念：⑴轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形.⑵两个图形成轴对称：把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称.⑶线段的垂直平分线：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线.⑷等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角.⑸等边三角形：三条边都相等的三角形叫做等边三角形.2.基本性质：⑴对称的性质：①不管是轴对称图形还是两个图形关于某条直线对称，对称轴都是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.②对称的图形都全等.⑵线段垂直平分线的性质：①线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.②与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.⑶关于坐标轴对称的点的坐标性质①点P (,)x y 关于x 轴对称的点的坐标为'P (,)x y -.②点P (,)x y 关于y 轴对称的点的坐标为"P (,)x y -.⑷等腰三角形的性质：①等腰三角形两腰相等.②等腰三角形两底角相等（等边对等角）.③等腰三角形的顶角角平分线、底边上的中线，底边上的高相互重合.④等腰三角形是轴对称图形，对称轴是三线合一（1条）.⑸等边三角形的性质：①等边三角形三边都相等.②等边三角形三个内角都相等，都等于60°③等边三角形每条边上都存在三线合一.④等边三角形是轴对称图形，对称轴是三线合一（3条）.3.基本判定：⑴等腰三角形的判定：①有两条边相等的三角形是等腰三角形.②如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边）.⑵等边三角形的判定：①三条边都相等的三角形是等边三角形.②三个角都相等的三角形是等边三角形.③有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.4.基本方法：⑴做已知直线的垂线：⑵做已知线段的垂直平分线：⑶作对称轴：连接两个对应点，作所连线段的垂直平分线.⑷作已知图形关于某直线的对称图形：⑸在直线上做一点，使它到该直线同侧的两个已知点的距离之和最短.第十四章整式的乘除与分解因式一、知识框架:二、知识概念：1.基本运算：⑴同底数幂的乘法：m n m n a a a +⨯=⑵幂的乘方：()n m mn a a = ⑶积的乘方：()nn n ab a b =2.整式的乘法：⑴单项式⨯单项式：系数⨯⨯同字母，不同字母为积的因式. ⑵单项式⨯. ⑶多项式⨯多项式：用一个多项式每个项乘以另一个多项式每个项后相加.3.计算公式：⑴平方差公式：()()22a b a b a b -⨯+=-⑵完全平方公式：()2222a b a ab b +=++；()2222a b a ab b -=-+4.整式的除法：⑴同底数幂的除法：m n m n a a a -÷=⑵单项式÷单项式：系数÷系数，同字母÷同字母，不同字母作为商的因式. ⑶多项式÷单项式：用多项式每个项除以单项式后相加.⑷多项式÷多项式：用竖式.5.因式分解：把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个式子因式分解.6.因式分解方法：⑴提公因式法：找出最大公因式.⑵公式法：①平方差公式：()()22a b a b a b -=+-②完全平方公式：()2222a ab b a b ±+=±③立方和：3322()()a b a b a ab b +=+-+④立方差：3322()()a b a b a ab b -=-++⑶十字相乘法：()()()2x p q x pq x p x q +++=++⑷拆项法 ⑸添项法第十五章分式一、知识框架：二、知识概念：1.分式：形如A B，A B 、是整式，B 中含有字母且B 不等于0的整式叫做分式.其中A 叫做分式的分子，B 叫做分式的分母.2.分式有意义的条件：分母不等于0.3.分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变.4.约分：把一个分式的分子和分母的公因式(不为1的数）约去，这种变形称为约分.5.通分：异分母的分式可以化成同分母的分式，这一过程叫做通分.6.最简分式:一个分式的分子和分母没有公因式时，这个分式称为最简分式，约分时，一般将一个分式化为最简分式.7.分式的四则运算：⑴同分母分式加减法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减.用字母表示为：a b a b c c c±±= ⑵异分母分式加减法则：异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法法则进行计算.用字母表示为： a c ad cb b d bd±±= ⑶分式的乘法法则：两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母.用字母表示为：a c ac b d bd⨯= ⑷分式的除法法则：两个分式相除,把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘.用字母表示为：a c a d ad b d b c bc÷=⨯= ⑸分式的乘方法则：分子、分母分别乘方.用字母表示为：n n n a a b b⎛⎫= ⎪⎝⎭ 8.整数指数幂：⑴m n m n a a a +⨯=（m n 、是正整数）⑵()nm mn a a =（m n 、是正整数） ⑶()nn n ab a b =（n 是正整数）⑷m n m n a a a -÷=（0a ≠，m n 、是正整数，m n >） ⑸n n n a a b b⎛⎫= ⎪⎝⎭（n 是正整数） ⑹1n na a -=（0a ≠，n 是正整数） 9.分式方程的意义:分母中含有未知数的方程叫做分式方程.10.分式方程的解法:①去分母(方程两边同时乘以最简公分母,将分式方程化为整式方程);②按解整式方程的步骤求出未知数的值;③验根(求出未知数的值后必须验根,因为在把分式方程化为整式方程的过程中,扩大了未知数的取值范围,可能产生增根).2021-2022学年度秋季八年级上学期人教版数学。

人教版八上数学第十四章整式的乘法与因式分解复习(知识点、典型例题)课件

(3) (-2xy-1)(2xy-1) =1-2xy2
=(-1)2-(2xy)2 =1-4x2y2
填空：
(1)(a __3_)2 a2 6a _9__ (2)(2x _5__)2 4x2 _2_0x_ 25 (3)a2 b2 (a b)2 __2a_b__ (4)(x y)2 __4_x_y__ (x y)2
(2) 先化简，再求值:
(a2 -2b2) (a+2b) -2ab(a-b)
其中
a=1,b=
1 2
.
公式的反向使用
amn am n an m
已知10a＝4，1 0b＝7，求下列各式的值（1）1 02a3b （2）1 02a 103b
公式的反向使用
(ab)n = an·bn（m,n都是正整数）反向使用: an·bn = (ab)n
= abc mmm
你找到了多项式除以单项式的规律吗？
多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加。
例题
例题解析
例3 计算：
（2）原式= =
xy2 (1 xy)
2
2 y
(1)(-2a4b3c)3÷(-8a4b5c) =a8b4c2
(2)(6x2y3)2÷(3xy2)2 =4x2y2
幂的乘方
a a ( m ) n = mn
整式
积的乘方
( ab
n
)=
an b n
的乘
单项式的乘法
4a2x5 ·(-3a3bx2)
法
单项式与多项式相乘 m(a+b)= ma+mb
多项式的乘法(a+b)(m+n)= am+an+bm+bn

部编数学八年级上册专题07因式分解的六种方法大全(解析版)(人教版)含答案

专题07 因式分解的六种方法大全题型一、提取公因式法与公式法综合例．分解因式：32214a ab ab -+＝______．【答案】21()2a ab -【详解】解：32214a a b ab -+＝221()4a a ab b -+＝21()2a ab -．故答案是：21()2a ab -．【变式训练1】因式分解：322882x x y xy -+=________________．【答案】22(2)x x y -【详解】解：原式=2x (4x 2−4xy +y 2)=2x (2x −y )2故答案为：2x (2x −y )2．【变式训练2】因式分解：21222a b ab b -+=_________．【答案】21(2)2b a -【详解】22211122(44)(2)222a b ab b b a a b a -+=-+=-故答案为：21(2)2b a -．【变式训练3】分解因式：a 4﹣3a 2﹣4＝_____．【答案】（a 2+1）（a +2）（a ﹣2）【详解】解：a 4﹣3a 2﹣4＝（a 2+1）（a 2﹣4）＝（a 2+1）（a +2）（a ﹣2），故答案为：（a 2+1）（a +2）（a ﹣2）．【变式训练4】小军是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：x y -，-a b ，c ，22x y -，a ，x y +，分别对应下列六个字：抗，胜，必，利，我，疫．现将()()2222ac x y bc x y ---因式分解，结果呈现的密码信息可能是（）A ．抗疫胜利B ．抗疫必胜C ．我必胜利D ．我必抗疫【答案】B【详解】解：原式＝()()22x y ac bc --()()()c a b x y x y =-+-Q x y -，-a b ，c ，22x y -，a ，x y +，分别对应下列六个字：抗，胜，必，利，我，疫．x y \-对应抗，x y +对应疫，c 对应必，-a b 对应胜故结果呈现的密码信息可能是为：抗疫必胜故选：B题型二、十字相乘法例．将多项式()211a a --+因式分解，结果正确的是（）A ．1a -B ．()()12a a --C ．()21a -D ．()()11a a +-【答案】B【详解】解：()211a a --+=2211a a a -+-+=232a a -+=()()12a a --．故选B ．【变式训练1】多项式239514x x +-可因式分解成(3)()x a bx c ++，其中a 、b 、c 均为整数，求2a c +之值为何？（）A ．12-B ．3-C ．3D ．12【答案】A【详解】解：利用十字相乘法，把239514x x +-多项式因式分解，可得，239514(32)(137)x x x x +-=+-∵多项式239514x x +-可因式分解成（3x +a ）（bx +c ）∴ 2a =，13b =，7c =-∴222(7)12a c +=+´-=-故选：A ．【变式训练2】分解因式：321024a a a +-=____．【答案】()()122a a a +-【详解】解：()()()32210241024122a a a a a a a a a +-=+-=+-．故答案为：()()122a a a +-【变式训练3】因为()()22331x x x x +-=+-，这说明多项式223x x +-有一个因式为1x -，我们把1x =代入此多项式发现1x =能使多项式223x x +-的值为0．利用上述阅读材料求解：(1)若()3x +是多项式212x kx ++的一个因式，求k 的值；(2)若()3x -和()4x -是多项式3212x mx x n +++的两个因式，试求m ，n 的值．(3)在（2）的条件下，把多项式3212x mx x n +++因式分解．【答案】(1)7k =；(2)7m =-，0n =；(3)(3)(4)x x x --【解析】(1)解：Q 3x +是多项式212x kx ++的一个因式，\当3x =-时，21293120x kx k ++=-+=，解得7k =；(2)Q (3)x -和(4)x -是多项式3212x mx x n +++的两个因式，\3232331230441240m n m n ì+´+´+=í+´+´+=î，解得70m n =-ìí=î．\7m =-，0n =．(3)解：由（2）得3212x mx x n +++即为32712x x x -+，\32712x x x-+2(712)x x x =-+(3)(4)x x x =--．题型四、分组法例．分解因式：4322221x x x x ++++【答案】22(1)(1)x x ++【详解】解：4322221x x x x ++++423(21)(22)x x x x =++++，222(1)2(1)x x x ++=+，22(1)(1)2x x x +=++22(1)(1)x x =++【变式训练1】已知221m a b =+-，4614n a b =--，则m 与n 的大小关系是（）A ．m n ³B ．m >nC ．m n £D ．m <n【答案】A【详解】解：∵221m a b =+-，4614n a b =--，∴()()2214614b a m b n a -=---+-2246114b b a a =+--++()()224469a a b b =-++++()()2223a b =-++0³m n \³，故选A【变式训练2】分解因式：224b 12c 9c -++．【答案】()()23c b 23c b +++-【详解】解：224b 12c 9c -++=()22412c 9c b ++-=()2223c b +-=()()23c b 23c b +++-【变式训练3】分解因式：2244x y y -+-=__________．【答案】(2)(2)x y x y +--+【详解】解：2244x y y -+-22(44)x y y =--+22(2)x y =--(2)(2)x y x y =+--+故答案为：(2)(2)x y x y +--+．【变式训练4】阅读理解：把多项式am an bm bn +++分解因式．解法：()()am an bm bn am an bm bn +++=+++()()a m nb m n =+++()()m n a b =++观察上述因式分解的过程，回答下列问题：(1)分解因式：222mb mc b bc -+-．(2)ABC V 三边a 、b 、c 满足2440a bc ac ab -+-=，判断ABC V 的形状．【答案】(1)(2)()b c m b -+；(2)等腰三角形【解析】(1)解：222mb mc b bc-+-()2(2)2mb mc b bc =-+-(2)(2)m b c b b c =-+- (2)()b c m b =-+(2)解：∵2440a bc ac ab -+-=，∴2440a ab ac bc -+-=，∴()()40a a b c a b -+-=，∴()()40a b a c -+=，∵40a c +>，∴0a b -=，∴a b =，∴ABC V C 的形状是等腰三角形．题型四、添项、拆项法例．分解因式；．x 3﹣3x 2﹣6x +8=_______．【答案】（x ﹣4）（x ﹣1）（x +2）【详解】解：x 3﹣3x 2﹣6x +8=3232268x x x x x -+--+=()()323288x x x x -+--=()()()1281x x x x ----=()()128x x x ---éùëû=()()2128x x x ---=（x ﹣4）（x ﹣1）（x +2），故答案为：（x ﹣4）（x ﹣1）（x +2）．【变式训练1】把多项式分解因式：x 3﹣2x 2+1＝_________________．【答案】(x ﹣1)(x 2﹣x ﹣1)【详解】解：原式＝x 3﹣x 2﹣x 2+1＝x 2(x ﹣1)﹣(x +1)(x ﹣1)＝(x ﹣1)(x 2﹣x ﹣1)故答案为：(x ﹣1)(x 2﹣x ﹣1)【变式训练2】因式分解：a a a 32+3+3+2【答案】()()a a a 2=+2++1【详解】原式()a a a 32=+3+3+1+1()a 33=+1+1()()()a a a 2éù=+1+1+1-+1+1ëû()()a a a 2=+2++1．故答案为：()()a a a 2=+2++1【变式训练3】添项、拆项是因式分解中常用的方法，比如分解多项式21a -可以用如下方法分解因式：①()()()()22111111a a a a a a a a a -=-+-=-+-=-+；又比如多项式31a -可以这样分解：②()()()()()3322221111111a a a a a a a a a a a a a a -=-+-+-=-+-+-=-++；仿照以上方法，分解多项式51a -的结果是______．【答案】()()43211a a a a a -++++【详解】解：51a -54433221a a a a a a a a a =-+-+-+-+-()()()()43211111a a a a a a a a a =-+-+-+-+-()()43211a a a a a =-++++，故答案为：()()43211a a a a a -++++题型五、换元法（整体思想）例．因式分解：()()()()222222261516121x x x x x x ++++++++【答案】()()229411x x x +++【解析】解：()()()()222222261516121x x x x x x ++++++++()()2222212216122x x x x x x =++++++++()()2294121x x x x =++++()()229411x x x =+++【变式训练1】分解因式：()()()222241211y x y x y +--+-【答案】()2221x y x y -++【详解】()()()222241211y x y x y +--+-=()()()()222412111y x y y x y +-+-+-=()()2211y x y éù+--ëû=()2221x y x y -++【变式训练2】因式分解：（x 2+4x ）2﹣（x 2+4x ）﹣20．【答案】2(5)(1)(2)x x x +-+【详解】解：原式＝（x 2+4x ﹣5）（x 2+4x +4）＝（x +5）（x ﹣1）（x +2）2．【变式训练3】因式分解：（1）2223238x x x x +-+-()() （2）421x x x --+【答案】（1）()()()()1241x x x x +++-；（2）()()3211x x x -+-.【详解】解：（1）原式=()()223234x x x x +++-=()()()()1241x x x x +++-；（2）原式=()()2211xx x ---=()()()2111x x x x +---=()()2111x x x éù-+-ëû=()()3211x x x -+-.题型六、主元法例．分解因式：2222372x y z xy yz xz --+++.【答案】(2)(3)x y z x y z =+--+【详解】解：2222372x y z xy yz xz--+++222(2)(273)x y z x y yz z =++--+=2(2)(2)(3)x y z x y z y z ++---∴原式(2)(3)x y z x y z =+--+．【变式训练1】因式分解：（1）a b c ab ac bc abc1+++++++（2）()()a a b b b 6+11+4+3-1-2（3）()()()y y x x y y 22+1+1+2+2+1【答案】（1）()()()a b c =+1+1+1；（2）()()b b 3+2-1；（3）()()yx y yx x y =++1++【详解】（1）把a 视为未知数，其它视为参数．原式a ab ac abc b c bc =++++1+++()()a b c bc b c bc =1++++1+++()()a b c bc =+11+++()()()a b c =+1+1+1；（2）原式=()a b a b b 226+11+4+3--2，b b 23--2=()()b b 3+2-1，再次运用十字相乘法可知原式()()a b a b =2+3+23+-1；（3）选x 为主元，原式()()yx y yx x y =++1++．【变式训练2】因式分解：（1）a b ab bc ac222--++2（2）()x a b x a ab b 222+2+-3+10-3【答案】（1）()()a b b c 2+-+；（2）()()x a b x a ab b x a b x a b 222+2+-3+10-3=+3--+3【详解】（1）首先将原式按a 的降幂排列，写成关于a 的二次三项式()a c b a bc b 222+2-+-，此时的“常数bc b 2-”提取公因式b 即可分解成()b c b -，再运用十字相乘法便可很快将原式分解成()()a b a b c 2+-+；（2）这是x 的二次式，“常数项”可分解为()()a ab b a b a b 22-3+10-3=-3--3再对整个式子运用十字相乘()()()x a b x a ab b x a b x a b 222+2+-3+10-3=+3--+3．【变式训练3】因式分解：a b ab a c ac abc b c bc 222222-+--3++【答案】()()a b c ab ac bc =--+-【详解】原式()()()b c a b c bc a b c bc 22222=+-++3++()()()b c a b c bc a bc b c 222=+-++3++[()][()]a b c b c a bc =-++-()()a b c ab ac bc =--+-．课后作业1．如果2240m m +-=，那么20182019202032m m m --的值为（）A ．2018m B ．2018m -C ．1D ．－1【答案】B【详解】解：∵2m 2+m -4=0，∴-2m 2-m =-4，∴3m 2018-m 2019-2m 2020=m 2018×（3-m -2m 2）=m 2018×（3-4）=m 2018×（-1）=-m 2018，故选：B ．2．如图，有一张边长为b 的正方形纸板，在它的四角各剪去边长为a 的正方形．然后将四周突出的部分折起，制成一个无盖的长方体纸盒．用M 表示其底面积与侧面积的差，则M 可因式分解为（）A ．()()62b a b a --B ．()()32b a b a --C ．()()5b a b a --D ．()22b a -【详解】解：底面积为（b ﹣2a ）2，侧面积为a •（b ﹣2a ）•4＝4a •（b ﹣2a ），∴M ＝（b ﹣2a ）2﹣4a •（b ﹣2a ），提取公式（b ﹣2a ），M ＝（b ﹣2a ）•（b ﹣2a ﹣4a ），＝（b ﹣6a ）（b ﹣2a ）故选：A ．3．已知250x y -+=，则224201x y y -+-=______．【答案】24【详解】解：250x y -+=Q ，25x y \-=-，224201x y y \-+-()()22201x y x y y =+-+-()52201x y y =-++-5101x y =-+-()521x y =--- 251=-24=，故答案为：24．4．分解因式：2232x y xy y -+=____________．【答案】2()y x y -【详解】解：222223(2)(2)=-++=--x y xy y x xy y y x y y ；故答案为：2()y x y -5．阅读下列材料：因式分解的常用方法有提公因式法和公式法，但有的多项式仅用上述方法就无法分解，如22216x xy y -+-．我们细心观察这个式子就会发现，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合再运用平方差公式进行分解．22216x xy y -+-()216x y =--()()44x y x y =-+--．这种因式分解的方法叫分组分解法．利用这种分组的思想方法解决下列问题：(1)因式分解：226925a ab b -+-；(2)因式分解：22424x y x y --+；(3)△ABC 三边a 、b 、c 满足2222220a c b ab bc ++--=，判断△ABC 的形状并说明理由．【答案】(1)()()3535a b a b ---+；(2)()()222x y x y -+-；(3)△ABC 是等边三角形，理由见解析【解析】(1)解：226925a ab b -+-()2325a b =--()()3535a b a b =---+；(2)解：22424x y x y--+()()()2222x y x y x y =-+--()()222x y x y =-+-；(3)解：△ABC 是等边三角形，理由如下：∵2222220a c b ab bc ++--=，∴()()2222220a ab b c bc b -+-++=，∴()()220a b b c -+-=，∵()20a b -³，()20b c -³，∴a －b ＝0，且b －c ＝0，∴a ＝b ，且b ＝c ，∴a ＝b ＝c ，∴△ABC 是等边三角形．6．把下列各式因式分解：(1)2416x -；(2)23216164a b a ab --．【答案】(1)4(2)(2)x x +-(2)24(2)a a b --【解析】(1)解：2224164(2)4(2)(2)x x x x -=-=+-．(2)23216164a b a ab --224(44)a ab a b =--224(2)4a a ab b éù=--+ëû24(2)a a b =--．7．（1）把下面四个图形拼成一个大长方形，并据此写出一个多项式的因式分解．（2）已知ABC V 的三边长为a ，b ，c ，且满足220a b ac bc --+=，请判断ABC V 的形状．【答案】（1）答案见解析（2）ABC V 是等腰三角形【详解】（1）拼接如图：拼接成的长方形的面积还可以表示为一个正方形和三个长方形的面积之和：22212132x x x x x +++´=++g g ；拼接成的长方形的面积：长´宽()()21x x =++；∴据此可得到因式分解的式子为：()()23221++=++x x x x ．故答案为：()()23221++=++x x x x ．（2）∵220a b ac bc --+=，∴()()()0a b a b c a b +---=，∴()()0a b a b c -+-=．∵ABC V 的三边长为a ，b ，c ，∴a b c +>，∴0a b c +->，∴0a b -=，∴a b =，V是等腰三角形．∴ABCV是等腰三角形．故答案为：ABC。

八年级上册数学因式分解考试复习知识点归纳

八年级上册数学因式分解考试复习知识点归纳八年级上册数学因式分解考试复习知识点归纳(1)因式分解：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.(2)公因式：一个多项式每一项都含有的相同的因式叫做这个多项式的公因式.(3)确定公因式的方法：公因数的系数应取各项系数的最大公约数;字母取各项的相同字母，而且各字母的指数取次数最低的.(4)提公因式法：一般地，如果多项式的各项有公因式可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.(5)提出多项式的公因式以后，另一个因式的确定方法是：用原来的多项式除以公因式所得的`商就是另一个因式.(6)如果多项式的第一项的系数是负的，一般要提出“-”号，使括号内的第一项的系数是正的，在提出“-”号时，多项式的各项都要变号.(7)因式分解和整式乘法的关系：因式分解和整式乘法是整式恒等变形的正、逆过程，整式乘法的结果是整式，因式分解的结果是乘积式.(8)运用公式法：如果把乘法公式反过来，就可以用来把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运用公式法.(9)平方差公式：两数平方差，等于这两数的和乘以这两数的差，字母表达式：a2-b2=(a+b)(a-b)(10)具备什么特征的两项式能用平方差公式分解因式①系数能平方，(指的系数是完全平方数)②字母指数要成双，(指的指数是偶数)③两项符号相反.(指的两项一正号一负号)(11)用平方差公式分解因式的关键：把每一项写成平方的形式，并能正确地判断出a，b分别等于什么.(l2)完全平方公式：两个数的平方和，加上(或者减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或者差)的平方.字母表达式：a2±2ab+b2=(a±b)2(13)完全平方公式的特点：①它是一个三项式.②其中有两项是某两数的平方和.③第三项是这两数积的正二倍或负二倍.④具备以上三方面的特点以后，就等于这两数和(或者差)的平方.(14)立方和与立方差公式：两个数的立方和(或者差)等于这两个数的和(或者差)乘以它们的平方和与它们积的差(或者和).(15)利用立方和与立方差分解因式的关键：能把这两项写成某两数立方的形式.(16)具备什么条件的多项式可以用分组分解法来进行因式分解：如果一个多项式的项分组并提出公因式后，各组之间又能继续分解因式，那么这个多项式就可以用分组分解法来分解因式.(17)分组分解法的前提：熟练地掌握提公因式法和公式法，是学好分组分解法的前提.(18)分组分解法的原则：分组后可以直接提出公因式，或者分组后可以直接运用公式.(19)在分组时要预先考虑到分组后能否继续进行因式分解，合理选择分组方法是关键.(20)对于一个一般形式的二次项系数为1的二次三项式x2+px+q，如果将常数项q分解成两个因数a，b，而a+b等于一次项系数P，那么它就可以分解因式.即x2+px+q=x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)这里的关键：掌握a，b与原多项式的常数项，一次项系数之间的关系，这个关系主要是：ab=q，a+b=p(21)十字相乘法：借助画十字交叉线分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法.(22)十字相乘法分解因式：主要用于某些二次三项式的因式分解.(23)对于一个一般形式的二次项的系数不是1的二次三项式ax2+bx+c，用十字相乘法分解因式的关键：找出四个因数，使a1a2=a，c1c2=c，a1c2+a2c1=b.这四个因数的找出，要经过反复尝试，为了减少尝试的次数，使符号问题简单化，当二次项的系数为负数时，应先把负号提出，使二次项的系数为正数，将二次项系数分解因数时，只考虑分解为两个正数的积.即ax2+bx+c=a1a2x2+(a1c2+a2c1)x+c1c2=(a1x+c1)(a2x+c2)(24)二次三项式ax2+bx+c在有理数范围内分解因式的充分必要条件是b2-4ac为一个有理数的平方.(25)因式分解的一般步骤：①如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式;②如果各项没有公因式，那么可以尝试运用公式来分解;③如果用上述方法不能分解，那么可以尝试用分组分解法或其他方法分解.(26)从多项式的项数来考虑用什么方法分解因式.①如果是两项，应考虑用提公因式法，平方差公式，立方和或立方差公式来分解因式.②如果是二次三项式，应考虑用提公因式法，完全平方公式，十字相乘法.③如果是四项式或者大于四项式，应考虑提公因式法，分组分解法.(27)因式分解要注意的几个问题：①每个因式分解到不能再分为止.②相同因式写成乘方的形式.③因式分解的结果不要中括号.④如果多项式的第一项系数是负数，一般要提出“-”号，使括号内的第一项系数为正数.⑤因式分解的结果，如果是单项式乘以多项式，把单项式写在多项式的前面.。

人教版八年级数学上册第14章整式的乘法与因式分解小结与复习

四、乘法公式 1. 平方差公式
两数___和___与这两数__差____的积，等于这两数的
_平__方__差___. (a + b)(a - b) = _a_2_-__b__2 .
2. 完全平方公式
两个数的和(或差)的平方，等于它们的_平__方__和__，
加上(或减去)它们的__积____的 2 倍.
针对训练
7．下列计算中，正确的是 ( C )
A．(a＋b)2＝a2－2ab＋b2
B．(a－b)2＝a2－b2
C．(a＋b)(－a＋b)＝b2－a2
D．(a＋b)(－a－b)＝a2－b2
8．已知 (x＋m)2＝x2＋nx＋36，则 n 的值为 ( B )
A．±6 B．±12
C．±18 D．±72
9．若 a＋b＝5，ab＝3，则 2a2＋2b2＝___3_8__．
(a + b)2 = _a_2_+__2_a_b__+__b_2.
五、因式分解 1. 因式分解的定义
把一个多项式化为几个__整__式__的__积____的形式，像
这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做
把这个多项式分解因式.
步骤：
2. 因式分解的方法
1. 提公因式；
(1) 提公因式法
2. 套用公式；
＝a2－(b－3)2＝a2－b2＋6b－9. (3) 原式＝[(3x－2y)(3x＋2y)]2
＝(9x2－4y2)2＝81x4－72x2y2＋16y4.
11. 用简便方法计算 (1) 2002－400×199＋1992； (2) 999×1001.
解：(1) 原式＝ (200－199)2 ＝ 1. (2) 原式＝ (1000－1)(1000＋1) ＝ 10002－1 ＝ 999999.

人教版八年级数学上册《因式分解》复习课件

公因式提到括号外面，将多项式写成乘积的形式。
这种分解因式的方法叫做提公因式法。
即： ma + mb + mc❖= m（a+b+c）例题：把下列各式分解因式
① 6x3y2-9x2y3+3x2y2
②p（y-x）-q（x-y）
解：原式=3x2y2(2x-3y+1)
③ (x-y)2-y(y-x)2 解：原式=(x-y) 2(1-y)
三查检查：特别看看多项式因式是否分
解彻底
把下列各式分解因式：
(1) 4x2-16y2
解:原式=4(x2-4y2) =4(x+2y)(x-2y)
⑶ -x3y3-2x2y2-xy
(2)
１２
x2+xy+
１
１２
y2.
解:原式 = ２ (x2+2xy+y2)
=
１２
(x+y)2
(4)81a4-b4
解:原式=-xy(x2y2+2xy+1) =-xy(xy+1)2
复习课
定义方法步骤练习小结
把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做多项式的分解因式。也叫做因式分解。
即：一个多项式 →几个整式的积
注：必须分解到每个多项式因式不能再分解为止
（二）分解因式的方法：
（1）、提取公因式法（2）、运用公式法
（1）、提公因式法：
❖
如果多项式的各项有公因式，可以把这个
例题：把下列各式分解因式
①x2－4y2
② 9x2-6x+1
解：原式= x2-(2y)2
解：原式=(3x)2-2·(3x) ·1+1

人教版初二数学上册知识点归纳

人教版初二数学上册因式分解1. 因式分解：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解；注意：因式分解与乘法是相反的两个转化. 2．因式分解的方法：常用“提取公因式法”、“公式法”、“分组分解法”、“十字相乘法”.3．公因式的确定：系数的最大公约数·相同因式的最低次幂.注意公式：a+b=b+a ； a-b=-(b-a)； (a-b)2=(b-a)2； (a-b)3=-(b-a)3. 4．因式分解的公式：(1)平方差公式： a2-b2=（a+ b ）（a- b ）；(2)完全平方公式： a2+2ab+b2=(a+b)2, a2-2ab+b2=(a-b)2. 5．因式分解的注意事项：（1）选择因式分解方法的一般次序是：一提取、二公式、三分组、四十字；（2）使用因式分解公式时要特别注意公式中的字母都具有整体性；（3）因式分解的最后结果要求分解到每一个因式都不能分解为止；（4）因式分解的最后结果要求每一个因式的首项符号为正；（5）因式分解的最后结果要求加以整理；（6）因式分解的最后结果要求相同因式写成乘方的形式. 6．因式分解的解题技巧：（1）换位整理，加括号或去括号整理；（2）提负号；（3）全变号；（4）换元；（5）配方；（6）把相同的式子看作整体；（7）灵活分组；（8）提取分数系数；（9）展开部分括号或全部括号；（10）拆项或补项. 7．完全平方式：能化为（m+n ）2的多项式叫完全平方式；对于二次三项式x2+px+q ，有“ x2+px+q 是完全平方式 ⇔ q2p 2=⎪⎭⎫⎝⎛”.分式1．分式：一般地，用A 、B 表示两个整式，A ÷B 就可以表示为B A的形式，如果B 中含有字母，式子B A叫做分式.2．有理式：整式与分式统称有理式；即⎩⎨⎧分式整式有理式. 3．对于分式的两个重要判断：（1）若分式的分母为零，则分式无意义，反之有意义；（2）若分式的分子为零，而分母不为零，则分式的值为零；注意：若分式的分子为零，而分母也为零，则分式无意义. 4．分式的基本性质与应用：（1）若分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不为零的整式，分式的值不变；（2）注意：在分式中，分子、分母、分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变；即分母分子分母分子分母分子分母分子-=-=-=---（3）繁分式化简时，采用分子分母同乘小分母的最小公倍数的方法，比较简单. 5．分式的约分：把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分；注意：分式约分前经常需要先因式分解.6．最简分式：一个分式的分子与分母没有公因式，这个分式叫做最简分式；注意：分式计算的最后结果要求化为最简分式.7．分式的乘除法法则：,bdac d c b a =⋅ bc ad c d b a d c b a =⋅=÷.8．分式的乘方：为正整数）（n .b a b a n n n=⎪⎭⎫⎝⎛.9．负整指数计算法则：（1）公式： a0=1(a ≠0), a-n=na 1(a ≠0)；（2）正整指数的运算法则都可用于负整指数计算；（3）公式：nna b b a ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-，n mm n a b b a =--；（4）公式：（-1）-2=1，（-1）-3=-1.10．分式的通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分；注意：分式的通分前要先确定最简公分母.11．最简公分母的确定：系数的最小公倍数·相同因式的最高次幂.12．同分母与异分母的分式加减法法则：;cb ac b c a ±=±bd bcad bd bc bd ad d c b a ±=±=±.13．含有字母系数的一元一次方程：在方程ax+b=0(a ≠0)中,x 是未知数,a 和b 是用字母表示的已知数，对x 来说，字母a 是x 的系数，叫做字母系数，字母b 是常数项，我们称它为含有字母系数的一元一次方程.注意：在字母方程中,一般用a 、b 、c 等表示已知数，用x 、y 、z 等表示未知数. 14．公式变形：把一个公式从一种形式变换成另一种形式，叫做公式变形；注意：公式变形的本质就是解含有字母系数的方程.特别要注意：字母方程两边同时乘以含字母的代数式时，一般需要先确认这个代数式的值不为0.15．分式方程：分母里含有未知数的方程叫做分式方程；注意：以前学过的，分母里不含未知数的方程是整式方程.16．分式方程的增根：在解分式方程时，为了去分母，方程的两边同乘以了含有未知数的代数式，所以可能产生增根，故分式方程必须验增根；注意：在解方程时，方程的两边一般不要同时除以含未知数的代数式，因为可能丢根.17．分式方程验增根的方法：把分式方程求出的根代入最简公分母（或分式方程的每个分母），若值为零，求出的根是增根，这时原方程无解；若值不为零，求出的根是原方程的解；注意：由此可判断，使分母的值为零的未知数的值可能是原方程的增根.18．分式方程的应用：列分式方程解应用题与列整式方程解应用题的方法一样，但需要增加“验增根”的程序. 数的开方1．平方根的定义：若x2=a,那么x 叫a 的平方根，（即a 的平方根是x ）；注意：（1）a 叫x 的平方数，（2）已知x 求a 叫乘方，已知a 求x 叫开方，乘方与开方互为逆运算.2．平方根的性质：（1）正数的平方根是一对相反数；（2）0的平方根还是0；（3）负数没有平方根.3．平方根的表示方法：a 的平方根表示为a 和a -.注意：a 可以看作是一个数，也可以认为是一个数开二次方的运算.4．算术平方根：正数a 的正的平方根叫a 的算术平方根，表示为a .注意：0的算术平方根还是0.5．三个重要非负数： a2≥0 ,|a|≥0 ，a ≥0 .注意：非负数之和为0，说明它们都是0.6．两个重要公式：（1） ()a a 2=; (a ≥0)（2）⎩⎨⎧<-≥==)0a (a )0a (a a a 2 .7．立方根的定义：若x3=a,那么x 叫a 的立方根，（即a 的立方根是x ）.注意：（1）a 叫x 的立方数；（2）a 的立方根表示为3a ；即把a 开三次方.8．立方根的性质：（1）正数的立方根是一个正数；（2）0的立方根还是0；（3）负数的立方根是一个负数.9．立方根的特性：33a a -=-. 10．无理数：无限不循环小数叫做无理数.注意：π和开方开不尽的数是无理数.11．实数：有理数和无理数统称实数.12．实数的分类：（1）⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧无限不循环小数负无理数正无理数无理数数有限小数与无限循环小负有理数正有理数有理数实数0（2）⎪⎩⎪⎨⎧负实数正实数实数0.13．数轴的性质：数轴上的点与实数一一对应.14．无理数的近似值：实数计算的结果中若含有无理数且题目无近似要求，则结果应该用无理数表示；如果题目有近似要求，则结果应该用无理数的近似值表示.注意：（1）近似计算时，中间过程要多保留一位；（2）要求记忆：414.12=732.13=236.25=.三角形几何B级概念：（要求理解、会讲、会用，主要用于填空和选择题）一基本概念：三角形、不等边三角形、锐角三角形、钝角三角形、三角形的外角、全等三角形、角平分线的集合定义、原命题、逆命题、逆定理、尺规作图、辅助线、线段垂直平分线的集合定义、轴对称的定义、轴对称图形的定义、勾股数. 二常识：1．三角形中，第三边长的判断：另两边之差＜第三边＜另两边之和.2．三角形中，有三条角平分线、三条中线、三条高线，它们都分别交于一点，其中前两个交点都在三角形内，而第三个交点可在三角形内，三角形上，三角形外.注意：三角形的角平分线、中线、高线都是线段.3．如图，三角形中，有一个重要的面积等式，即：若CD ⊥AB ，BE ⊥CA ，则CD ·AB=BE ·CA.4．三角形能否成立的条件是：最长边＜另两边之和. 5．直角三角形能否成立的条件是：最长边的平方等于另两边的平方和. 6．分别含30°、45°、60°的直角三角形是特殊的直角三角形. 7．如图，双垂图形中，有两个重要的性质，即：（1） AC ·CB=CD ·AB ；（2）∠1=∠B ，∠2=∠A .8．三角形中，最多有一个内角是钝角，但最少有两个外角是钝角. 9．全等三角形中，重合的点是对应顶点，对应顶点所对的角是对应角，对应角所对的边是对应边.10．等边三角形是特殊的等腰三角形. 11．几何习题中，“文字叙述题”需要自己画图，写已知、求证、证明. 12．符合“AAA ”“SSA ”条件的三角形不能判定全等. 13．几何习题经常用四种方法进行分析：（1）分析综合法；（2）方程分析法；（3）代入分析法；（4）图形观察法. 14．几何基本作图分为：（1）作线段等于已知线段；（2）作角等于已知角；（3）作已知角的平分线；（4）过已知点作已知直线的垂线；（5）作线段的中垂线；（6）过已知点作已知直线的平行线. 15．会用尺规完成“SAS ”、“ASA ”、“AAS ”、“SSS ”、“HL ”、“等腰三角形”、“等边三角形”、“等腰直角三角形”的作图.16．作图题在分析过程中，首先要画出草图并标出字母，然后确定先画什么，后画什么；注意：每步作图都应该是几何基本作图. 17．几何画图的类型：（1）估画图；（2）工具画图；（3）尺规画图. ※18．几何重要图形和辅助线：（1）选取和作辅助线的原则：① 构造特殊图形，使可用的定理增加； ② 一举多得；③ 聚合题目中的分散条件，转移线段，转移角； ④ 作辅助线必须符合几何基本作图.A BC EDA B CD12。

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长郡雨花外国语学校教案
二、课前演练
1 •计算(x+2)2的结果为/+□ x+4，则“□”中的数为( )
A.—2
B. 2 C • - 4 D • 4
1
2 •分解因式：-a3+a 2b-•
2
3. 计算：2000 —1999 X 2001= .
4. 十字相乘法
(1)分解因式：X2-6X+8=
(2)分解因式：2a2-a-6= .
三、例题分析
例1分解因式：
2 2,/、 /~/、2 2 2、2, 22
(1) mn(m- n)-4mn(n-m); (2) (x+y)+64-16(x+y); (3) (x +y ) -4 x y ;
练习.长沙中考基础
（1）（2016年长沙）分解因式：x2y-4y=
（2）（2014长沙）分解因式：a2-4b2= .
（3）（2013 长沙）分解因式：x2+2x+1= .
长沙中考因式分解拓广
（2015年•长沙25题）
在直角坐标系中，我们不妨将横坐标，纵坐标均为整数的点称之为“中国结”。

（1）求函数y = 3x 2的图像上所有“中国结”的坐标
k
⑵求函数y =一（k工0, k为常数）的图像上有且只有两个“中国结”，试求出常数k的值与
X
相应“中国结”的坐标.
⑶若二次函数y =（k2-3k 2）x2（2k2-4k 1）x k2-k（k 为常数）
的图像与x轴相交得到两个不同的“中国结”，试问该函数的图像与x轴所围成的平面图形中（含边界），一共包含有多少个“中国结”？
因式分解：（k2-3k+2）x2+（2k2-4k+1）x+k2-k
四、巩固练习
1. 若实数x、y、z满足（X
—z)2—4( x
-
-V 6/h 日( 、y）（ y z） =0，则下列式子定成立的是（）
A. x+y+z=O
B.x+y-2 z=0
C. y+z-2 x=0
D. z+x-2 y=0
2. 因式分解：
“八 3 八2
⑴ a —6a b+ 9ab; ⑵2 3
介2 2 “c、，
“
x -8 x y+8xy ；(3)-4(
2 2
x-2 y) +9( x+y);
3. （2015大庆）已知a、b
、c是厶ABC的三边长，且满足a3+ab
2 2
3 2 2
+ bc =b +a b+ac ,
判断△ ABC的形状.
五、作业：
全效
教
学
后
记。