完整版相似三角形的判定方法

（一）相似三角形

1定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形，叫做相似三角形.

①当一个三角形的三个角与另一个（或几个）三角形的三个角对应相等，且三条对应边的比相等时，这两个（或几个）三角形叫做相似三角形，即定义中的两个条件，缺一不可；

②相似三角形的特征：形状一样，但大小不一定相等；

③相似三角形的定义，可得相似三角形的基本性质：对应角相等，对应边成比例.

2、相似三角形对应边的比叫做相似比.

①全等三角形一定是相似三角形，其相似比k=1 •所以全等三角形是相似三角形的特例•其

区别在于全等要求对应边相等，而相似要求对应边成比例.

②相似比具有顺序性.例如△ ABC A B，的对应边的比，即相似比为k，则△ A B' 0

△ ABC的相似比「当它们全等时，才有k=k' =1

③相似比是一个重要概念，后继学习时出现的频率较高，其实质它是将一个图形放大或缩小

的倍数，这一点借助相似三角形可观察得出.

3、如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形.

4、相似三角形的预备定理：平行于三角形的一条边直线，截其它两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似.

①定理的基本图形有三种情况，如图其符号语言：

•/ DE // BC ,•••△ ABC ADE ;

②这个定理是用相似三角形定义推导出来的三角形相似的判定定理. 它不但本身有着广泛的

应用，同时也是证明相似三角形三个判定定理的基础，故把它称为预备定理”；

③有了预备定理后，在解题时不但要想到见平行，想比例”，还要想到见平行，想相似

（二）相似三角形的判定

1、相似三角形的判定：

判定定理1:如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角

形相似。可简单说成：两角对应相等，两三角形相似。

例1、已知：如图，/ 仁/ 2=7 3,求证：△ AB（0A ADE

A

（双A型）

例2、如图，E、F分别是△ ABC的边BC上的点，DE // AB,DF // AC , 求证：△ ABC DEF.

判定定理2:如果三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个

三角形相似。

简单说成：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似.

2

例1 >△ AB(中，点D 在AB上，如果AC=AD?AB,那么△ ACDf A AB®似吗？说说你的理由.

强调：

①

②已有一对对应角相等(包括隐含的公共角或对顶角)时，可考虑利用判定定理1或判定定理

2；

③已有两边对应成比例时，可考虑利用判定定理2或判定定理3 .但是，在选择利用判定定

理2时，一对对应角相等必须是成比例两边的夹角对应相等.

例2、如图，点C、D在线段AB上，△ PCD是等边三角形。

(1 )当AC CD DB满足怎样的关系时，△ AC3A PDB?

(2)当厶ACP^A PDB时，求/ APB的度数。

判定定理3:如果三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。简单说成：

三边对应成比例，两三角形相似.

7£

C1

—

—

A i

B i

C i和A? B2C2，

，求出相似比；如果

C

如图在正方形网格上有

它们相似吗？如果相似

不相似，请说明理由。

2、直角三角形相似的判定：

斜边和一条直角边对应成比例，两直角三角形相似.

例1、已知：如图，在正方形ABC［中, P是BC上的点，且BP= 3PC Q是CD的中点.求证:

例2、如图，AB 丄BD,CD 丄BD,P 为BD 上一动点，AB=60 cm,CD=40 cm,BD=140 cm,当P 点在BD上由B点向D点运动时,PB的长满足什么条件，可以使图中的两个三角形相似巧青说明理

特殊情况：

第一：顶角(或底角)相等的两个等腰三角形相似。 第二：腰和底对应成比例的两个等腰三角形相似。 第三：有一个锐角相等的两个直角三角形相似。

第四：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似。

第五：如果一个三角形的两边和其中一边上的中线与另一个三角形的两边和其中一边上的中 线对应成比例，那么这两个三角形相似。

类型

斜三角形

直角三角形

全等三角形的判定

SAS SSS AAS (ASA ) HL

例3、如图 AD 丄AB 于D , CE 丄AB 于E 交AB 于F ,则图中 相似三角形的对数有 _____________________ 对。

例4、已知：AD 是Rt △ ABC 中/ A

的平分线，/ C=90 ° ,

EF 是AD 的垂直平分线交 AD 于M , EF 、BC 的延长线交于一点 N 。 求证：

（"△ AME

NMD

2

（2）ND 2=NC • NB

①由于直角三角形有一个角为直角， 因此，在判定两个直角三角形相似时， 只需再找一 对对应角相等，用判定定理 1，或两条直角边对应成比例，用判定定理 2，一般不用判定定 理3判定两个直角三角形相似；

②如图是一个十分重要的相似三角形的基本图形，图中的三角形，可称为

母子相

似三角形”，其应用较为广泛.（直角三角形被斜边上的高分成的两个直三角形的与原三角形 相似）

③ 如图，可简单记为：在 Rt △ ABC 中，CD 丄AB ，则△ ABC CBD ACD .

④ 补充射影定理。