完整版相似三角形的判定方法
(完整版)相似三角形的判定方法
(一)相似三角形1、定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形，叫做相似三角形．①当一个三角形的三个角与另一个(或几个)三角形的三个角对应相等，且三条对应边的比相等时，这两个(或几个)三角形叫做相似三角形，即定义中的两个条件，缺一不可；②相似三角形的特征：形状一样，但大小不一定相等；③相似三角形的定义，可得相似三角形的基本性质：对应角相等，对应边成比例．2、相似三角形对应边的比叫做相似比．①全等三角形一定是相似三角形，其相似比k=1．所以全等三角形是相似三角形的特例．其区别在于全等要求对应边相等，而相似要求对应边成比例．②相似比具有顺序性．例如△ABC∽△A′B′C′的对应边的比，即相似比为k，则△A′B′C′∽△ABC的相似比，当它们全等时，才有k=k′=1．③相似比是一个重要概念，后继学习时出现的频率较高，其实质它是将一个图形放大或缩小的倍数，这一点借助相似三角形可观察得出．3、如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形．4、相似三角形的预备定理：平行于三角形的一条边直线，截其它两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似．①定理的基本图形有三种情况，如图其符号语言：∵DE∥BC，∴△ABC∽△ADE；（双A型）②这个定理是用相似三角形定义推导出来的三角形相似的判定定理．它不但本身有着广泛的应用，同时也是证明相似三角形三个判定定理的基础，故把它称为“预备定理”；③有了预备定理后，在解题时不但要想到“见平行，想比例”，还要想到“见平行，想相似”．(二)相似三角形的判定1、相似三角形的判定：判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
可简单说成：两角对应相等，两三角形相似。
例1、已知：如图，∠1=∠2=∠3，求证：△ABC∽△ADE．例2、如图，E 、F 分别是△ABC 的边BC 上的点，DE ∥AB,DF ∥AC , 求证：△ABC ∽△DEF.判定定理2：如果三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。
相似三角形的定义和判定方法
相似三角形的定义和判定方法相似三角形是指两个三角形的对应角度相等，且对应边的比值相等的情况下成为相似三角形。
相似三角形的判定方法包括角-角-角（AAA）相似定理、边-边-边（SSS）相似定理和边-角-边（SAS）相似定理。
下面将依次介绍相似三角形的定义和判定方法。
1. 相似三角形的定义相似三角形的定义是指两个三角形的对应角度相等，且对应的边长成比例。
具体而言，对于三角形ABC和DEF来说，如果∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F，并且AB/DE=BC/EF=AC/DF，则称三角形ABC与三角形DEF相似。
2. 角-角-角（AAA）相似定理角-角-角（AAA）相似定理是指如果两个三角形的对应角度相等，则这两个三角形是相似的。
根据该定理，如果∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F，则可以判定三角形ABC与三角形DEF是相似的。
3. 边-边-边（SSS）相似定理边-边-边（SSS）相似定理是指如果两个三角形的对应边长成比例，则这两个三角形是相似的。
根据该定理，如果AB/DE=BC/EF=AC/DF，则可以判定三角形ABC与三角形DEF是相似的。
4. 边-角-边（SAS）相似定理边-角-边（SAS）相似定理是指如果两个三角形的两条边分别成比例，且夹角相等，则这两个三角形是相似的。
根据该定理，如果AB/DE=AC/DF，且∠A=∠D，则可以判定三角形ABC与三角形DEF是相似的。
总结：相似三角形是指两个三角形的对应角度相等，且对应边的比值相等的情况下成为相似三角形。
相似三角形的判定方法包括角-角-角（AAA）相似定理、边-边-边（SSS）相似定理和边-角-边（SAS）相似定理。
通过这些判定方法，我们可以确定两个三角形是否相似，并且进一步分析它们的性质和关系。
相似三角形在几何学中具有重要的应用，可以用于解决各种问题，如比例求解、测距等。
以上是关于相似三角形的定义和判定方法的介绍。
相似三角形的几何性质和应用领域涉及广泛，深入理解和掌握相似三角形的定义和判定方法可以为几何学的研究和实际问题的解决提供有力的工具和方法。
相似三角形的性质及判定方法
相似三角形的性质及判定方法相似三角形是指具有相同形状但可能不同大小的两个或多个三角形。
在几何学中，相似三角形具有一些特定的性质和判定方法。
本文将探讨相似三角形的性质以及如何判定两个三角形是否相似。
一、相似三角形的性质1. 对应角相等性质：如果两个三角形的对应角相等，那么它们是相似的。
具体而言，如果两个三角形的对应角分别相等，则它们是相似的。
记为AA相似性质。
2. 对应边的比例性质：如果两个三角形的两对对应边的比例相等，那么它们是相似的。
具体而言，如果两个三角形的对应边所对应的长度比例相等，则它们是相似的。
记为SSS相似性质。
3. 角和对边的比例性质：如果两个三角形的对应角相等且对应边的长度比例相等，那么它们是相似的。
具体而言，如果两个三角形的对应角相等且对应边的长度比例相等，则它们是相似的。
记为SAS相似性质。
二、相似三角形的判定方法1. AA判定法：如果两个三角形的两个角分别相等，则它们一定是相似的。
即，如果两个三角形的两个角分别相等，则它们的第三个角也必然相等，从而满足AA相似性质。
2. SSS判定法：如果两个三角形的三对对应边的长度比例相等，则它们一定是相似的。
即，如果两个三角形的三对对应边的长度比例相等，则它们满足SSS相似性质。
3. SAS判定法：如果两个三角形的一个对应角相等，且对应边的长度比例相等，则它们一定是相似的。
即，如果两个三角形的一个对应角相等，且对应边的长度比例相等，则它们满足SAS相似性质。
三、实例分析为了更好地理解相似三角形的判定方法，我们来看一个实例。
已知三角形ABC和三角形DEF，已知∠A=∠D，∠B=∠E，且AB/DE = BC/EF = CA/FD，我们需要判定这两个三角形是否相似。
根据给定条件可知，∠A=∠D，∠B=∠E，且BC/EF = CA/FD。
根据SAS判定法，如果对应角相等且对应边的长度比例相等，则两个三角形相似。
由此得出结论，三角形ABC和三角形DEF是相似的。
三角形相似的判定条件
两角对应相等，两个三角形相似；两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似；三边对应成比例，两个三角形相似；三边对应平行，两个三角形相似；斜边与直角边对应成比例，两个直角三角形相似；全等三角形相似。
1.如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
(简叙为：两角对应相等，两个三角形相似。
)
2.如果两个三角形的两组对应边成比例，并且对应的夹角相等，那么这两个三角形相似。
(简叙为：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似。
)
3.如果两个三角形的三组对应边成比例，那么这两个三角形相似。
(简叙为：三边对应成比例，两个三角形相似。
)
4.两三角形三边对应平行，则两三角形相似。
(简叙为：三边对应平行，两个三角形相似。
)
5.如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。
(简叙为：斜边与直角边对应成比例，两个直角三角形相似。
)
6.如果两个三角形全等，那么这两个三角形相似。
(简叙为：全等三角形相似。
)。
三角形相似的判定方法
三角形相似的判定方法一1、定义法：三个对应角相等，三条对应边成比例的两个三角形相似．2、平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．3、判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似．4、判定定理2：如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似． 5、判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这 两个三角形相似．简述为：三边对应成比例，两三角形相似． 特殊、判定直角三角形相似的方法：(1)以上各种判定均适用．(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．(3)直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似． 注：射影定理：在直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。
每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。
如图，Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AD 是斜边BC 上的高， 则AD 2=BD ·DC ，AB 2=BD ·BC ，AC 2=CD ·BC 。
二 相似三角形常见的图形三、1，下面我们来看一看相似三角形的几种基本图形：（1） 如图：称为“平行线型”的相似三角形（有“A 型”与“X 型”图）(2) 如图：其中∠1=∠2，则△ADE ∽△ABC 称为“斜交型”的相似三角形。
（有“反A 共角型”、“反A 共角共边型”、 “蝶型”）ACD E 12AADDEE12412DBCEAD(3)BCAE (2)CB（3） 如图：称为“垂直型”（有“双垂直共角型”、“双垂直共角共边型（也称“射影定理型”）”“三垂直型”）(4)如图：∠1=∠2，∠B=∠D ，则△ADE ∽△ABC ，称为“旋转型”的相似三角形。
三角形相似的判定方法
三角形相似的判定方法在几何学中，相似三角形是指具有相同形状但大小不同的三角形。
相似三角形在几何学中具有重要的应用，因此我们需要了解如何判定三角形是否相似。
下面将介绍三角形相似的判定方法。
1. AAA（全等角）判定法。
当两个三角形的对应角分别相等时，这两个三角形就是相似的。
这个判定方法也叫做全等角判定法。
例如，如果三角形ABC和三角形DEF，∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F，那么三角形ABC与三角形DEF就是相似的。
2. AA（对应角）判定法。
如果两个三角形的两个对应角相等，则这两个三角形是相似的。
例如，如果三角形ABC和三角形DEF，∠A=∠D，∠B=∠E，那么三角形ABC与三角形DEF就是相似的。
3. SSS（全等边）判定法。
当两个三角形的对应边的比值相等时，这两个三角形就是相似的。
这个判定方法也叫做全等边判定法。
例如，如果三角形ABC和三角形DEF，AB/DE=BC/EF=AC/DF，那么三角形ABC与三角形DEF就是相似的。
4. SAS（边角边）判定法。
如果两个三角形的一个对应边和夹在这两个边之间的两个对应角分别相等，则这两个三角形是相似的。
例如，如果三角形ABC和三角形DEF，AB/DE=BC/EF，∠A=∠D，那么三角形ABC与三角形DEF就是相似的。
5. 直角三角形相似判定法。
如果两个直角三角形的一个锐角与另一个直角相等，那么这两个直角三角形是相似的。
例如，如果∠A=∠D，∠B=∠E，那么三角形ABC与三角形DEF就是相似的。
通过以上介绍，我们可以清楚地了解到三角形相似的判定方法。
在实际问题中，我们可以根据不同的情况选择不同的判定方法来判断三角形是否相似，从而应用相似三角形的性质解决问题。
相似三角形的性质在实际生活和工作中有着广泛的应用，例如在建筑设计、地图测绘、影视特效等领域都有着重要的作用。
总之，掌握了三角形相似的判定方法，我们就能更好地理解和应用相似三角形的性质，为解决实际问题提供更多的思路和方法。
相似三角形的五种判定方法
相似三角形的五种判定方法
1.两角分别对应相等的两个三角形相似；
2、两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；
3、三边成比例的两个三角形相似；
4、一条直角边与斜边成比例的两个直角三角形相似；
5、用一个三角形的两边去比另一个三角形与之相对应的两边，分别对应成比例，如果三组对应边相比都相同，则三角形相似。
方法一:定理法，即平行于三角形一边的直线和其他俩边（或他的延长线）相交，所截得的三角形与原三角形相似，俗话来讲就是一个大的三角形包含一个小的三角形，小的三角形两边延长就成为了大三角形的两边；
方法二:俩角对应相等的三角形相似，俗话来讲先找到这两个三角形的对应
边，间接找出三角形三组对应角有俩组相等则相似；
方法三:两边对应成比例且夹角相等的三角形相似，俗话来讲:先找到各对应边对应角，一一对应后会很方便。
两边对应成比例:两组对应边之比相等，即按同一种比法相比。
夹角相等:即所成比例的两边之间的那个角相等；方法四:三边
对应成比例，俗话来讲:如上均先找到对应边对应角,将其一一对应。
三边对应成比例:就是三组对应边之比相等，比法均一致；
判定五:只适用于直角三角形:直角边和斜边对应成比例则这俩个三角形相
似，俗话来讲俗话来讲:某种意义上直角三角形一个直角边和一个斜边对应成比例也同时代表着另外一个直角边也对应成比例。
三角形的相似性质与判定方法总结
三角形的相似性质与判定方法总结相似三角形是指两个三角形的对应角度相等，对应边比例相等的三角形。
在几何学中，相似性质是研究三角形形状和大小关系的重要基础。
本文将总结相似三角形的性质和判定方法，帮助读者更好地理解和应用相关概念。
一、相似三角形的性质：1. 对应角相等性质：如果两个三角形的内角分别相等，则这两个三角形是相似的。
2. 对应边比例相等性质：如果两个三角形的对应边的比例相等，则这两个三角形是相似的。
3. 侧角定理：如果两个三角形的两个内角和对应的两条边比例相等，则这两个三角形是相似的。
4. 相似三角形的比例性质：相似三角形的对应边比例相等，可以用一个等式表示：a/b = c/d = e/f。
二、相似三角形的判定方法：1. AA判定法：如果两个三角形的两个角分别相等，则这两个三角形是相似的。
证明方法：在两个相等的角旁边，做一条平行线，构成平行四边形。
通过平行线相交定理可证明对应边比例相等。
2. SAS判定法：如果两个三角形的两个边比例相等，并且夹角相等，则这两个三角形是相似的。
证明方法：通过侧角定理，可以证明这两个三角形的三个角相等，从而满足相似性质。
3. SSS判定法：如果两个三角形的三个边比例相等，则这两个三角形是相似的。
证明方法：通过使用数学定理证明较困难，一般通过构造平行线或使用其他的相似三角形进行证明。
4. 边角边（SAB）判定法：如果两个三角形的一个角相等，另外两边分别与另一个三角形的两边成比例，则这两个三角形是相似的。
证明方法：通过使用带线绘制、角分割和平行线等方法，可以将问题转化为其他简单的相似性质而得出结论。
在实际应用中，我们可以根据以上的相似性质和判定方法解决一些几何问题，例如计算简单的边长和角度，求解高度和面积等。
总结一下，相似三角形的性质及判定方法是解决几何问题重要的工具，通过对角度和边比例的分析与计算，我们可以得出两个三角形是否相似的结论。
了解和应用这些性质和方法，有助于我们更好地理解和解决几何学中的各种问题。
三角形的相似判定
三角形的相似判定相似三角形是高中数学中非常重要的概念之一。
在几何图形中，如果两个三角形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个三角形就是相似三角形。
本文将从相似三角形的定义、判定方法和一些相关性质进行探讨。
1. 相似三角形的定义相似三角形是指两个三角形的对应角相等，对应边成比例。
具体而言，如果三角形ABC和三角形DEF满足∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F，并且AB/DE=AC/DF=BC/EF，那么三角形ABC和三角形DEF就是相似三角形。
2. 判定相似三角形的方法（1）AA判定法当两个三角形的两个对应角相等时，如果它们的第三个对应角也相等，那么这两个三角形是相似的。
具体而言，若∠A=∠D，∠B=∠E，则可推出∠C=∠F，从而得出两个三角形相似。
（2）SAS判定法当两个三角形的一个对应边成比例，两个对应角相等时，这两个三角形是相似的。
具体而言，若AB/DE=AC/DF，且∠A=∠D，则可推出∠B=∠E，从而得出两个三角形相似。
（3）SSS判定法当两个三角形的对应边成比例时，这两个三角形是相似的。
具体而言，若AB/DE=AC/DF=BC/EF，则得出两个三角形相似。
3. 相似三角形的性质（1）相似三角形内角相等如果两个三角形相似，那么它们的对应角都相等。
这一性质可以通过AA判定法和SAS判定法得到证明。
（2）相似三角形边长比例如果两个三角形相似，那么它们的对应边之比相等。
这一性质可以通过SAS判定法和SSS判定法得到证明。
（3）相似三角形面积比如果两个相似三角形的边长比为k，则它们的面积之比为k²。
也就是说，如果三角形ABC和三角形DEF相似且AB/DE=AC/DF=BC/EF=k，那么三角形ABC的面积与三角形DEF的面积之比为k²。
4. 常见应用相似三角形的概念在几何问题中有广泛的应用。
例如，可以利用相似三角形的性质解决高塔定影问题、测量无法直接获得的长度等。
5. 实例分析现举一个例子来说明相似三角形的判定及应用。
三角形相似的判定方法
三角形相似的判定方法三角形相似的判定方法一1、定义法：三个对应角相等，三条对应边成比例的两个三角形相似．2、平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．3、判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似．4、判定定理2：如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似． 5、判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．简述为：三边对应成比例，两三角形相似．特殊、判定直角三角形相似的方法：(1)以上各种判定均适用．(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．(3)直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似．注：射影定理：在直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。
每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。
如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜边BC上的高，则AD=BD·DC，AB=BD·BC ，AC=CD·BC 。
22二相似三角形常见的图形三、1，下面我们来看一看相似三角形的几种基本图形：BC（1）如图：称为“平行线型”的相似三角形（有“A型”与“X型”图）(2)B(3)(2) 如图：其中∠1=∠2，则△ADE∽△ABC称为“斜交型”的相似三角形。
（有“反A共A角型”、“反A共角共边型”、“蝶型”）A4DCDEADE1E（3）如图：称为“垂直型”（有“双垂直共角型”、“双垂直共角共边型（也称“射影定理型”）”DEB(D)B(4)如图：∠1=∠2，∠B=∠D，则△ADE∽△ABC，称为“旋转型”的相似三角形。
(word完整版)相似三角形证明技巧(整理)
1相似三角形解题方法、技巧、步骤、辅助线解析一、相似三角形(1）三角形相似的条件：① ；② ；③ 。
二、两个三角形相似的六种图形：只要能在复杂图形中辨认出上述基本图形，并能根据问题需要舔加适当的辅助线，构造出基本图形,从而使问题得以解决。
三、三角形相似的证题思路：判定两个三角形相似思路：1）先找两对内角对应相等(对平行线型找平行线),因为这个条件最简单； 2）再而先找一对内角对应相等，且看夹角的两边是否对应成比例； 3）若无对应角相等,则只考虑三组对应边是否成比例; 找另一角 两角对应相等，两三角形相似找夹边对应成比例 两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似找夹角相等 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似找第三边也对应成比例 三边对应成比例，两三角形相似找一个直角 斜边、直角边对应成比例，两个直角三角形相似 找另一角 两角对应相等，两三角形相似找两边对应成比例 判定定理2a ）已知一对b)己知两边对应成c)己知一个2找顶角对应相等 判定定理1找底角对应相等 判定定理1找底和腰对应成比例 判定定理3e ）相似形的传递性 若△1∽△2，△2∽△3，则△1∽△3四、“三点定形法”，即由有关线段的三个不同的端点来确定三角形的方法。
具体做法是：先看比例式前项和后项所代表的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形，若能,则只要证明这两个三角形相似就可以了，这叫做“横定”;若不能，再看每个比的前后两项的两条线段的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形，则只要证明这两个三角形相似就行了，这叫做“竖定”。
有些学生在寻找条件遇到困难时,往往放弃了基本规律而去乱碰乱撞,乱添辅助线，这样反而使问题复杂化，效果并不好，应当运用基本规律去解决问题。
例1、已知：如图，ΔABC 中，CE ⊥AB ，BF ⊥AC. 求证: BAAC AF AE（判断“横定”还是“竖定”？ ）例2、如图,CD 是Rt △ABC 的斜边AB 上的高，∠BAC 的 平分线分别交BC 、CD 于点E 、F ，AC ·AE=AF ·AB 吗？ 说明理由。
三角形相似的判定方法6种
三角形相似的判定方法6种三角形相似是几何学中的一个重要概念，它描述了两个三角形形状相同，大小可能不同的关系。
判断两个三角形是否相似，主要依靠六种判定方法，它们分别是：AA相似、SSS相似、SAS相似、ASA相似、AAS相似以及HL相似（仅限于直角三角形）。
本文将详细阐述这六种判定方法，并辅以例题和图形说明，力求全面、深入地讲解三角形相似的判定。
一、 AA相似（角角相似）如果两个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
这是最常用的相似判定方法，其简洁性使其在解题中应用广泛。
原理：两个角对应相等，则第三个角也必然相等（因为三角形内角和为180°）。
三个角对应相等，保证了两个三角形的形状完全一致，从而判定它们相似。
图形说明：A A'/ \ / \/ \ / \/ \ / \B-------C B'-------C'如果∠A = ∠A’ 且∠B = ∠B’，则△ABC ∽△A’B’C’。
例题1：已知△ABC中，∠A = 60°，∠B = 80°；△DEF中，∠D = 60°，∠E = 80°。
判断△ABC与△DEF是否相似，并说明理由。
解答：因为∠A = ∠D = 60°，∠B = ∠E = 80°，根据AA相似判定定理，△ABC ∽△DEF。
二、 SSS相似（边边边相似）如果两个三角形的对应边成比例，那么这两个三角形相似。
这是基于比例关系的相似判定方法。
原理：对应边成比例意味着两个三角形形状相同，只是大小不同。
比例关系保证了三角形的形状不变，从而判定它们相似。
图形说明：A A'/ \ / \/ \ / \/ \ / \B-------C B'-------C'如果AB/A’B’ = BC/B’C’ = AC/A’C’，则△ABC ∽△A’B’C’。
例题2：已知△ABC的三边长分别为6cm、8cm、10cm；△DEF的三边长分别为3cm、4cm、5cm。
相似三角形的判定(边角边(9.28)
5.如图，D为ΔABC内一点，E为ΔABC外一点，
且∠1=∠2，∠3=∠4. (1)ΔABD与ΔCBE相似吗？请说明理由. (2)ΔABC与ΔDBE相似吗？请说明理由.
6、如图，◇ABCD中，AD＝10cm，
AB＝6cm，E为AB的中点，在BC上取点F，
使△DCF∽△DAE，求CF的长.
AB AC / 若 / / / / , 且B B AB AC
A A'
则 ΔABC 和ΔA‘B’C‘不相似
B C B' C'
在ΔADE 和 ΔACB中
AD DE 若 AC BC
D
则 ΔADE 和ΔACB相似吗？ 不相似
E
A
B
C
相似三角形的 判定的应用
1.如图,求证：
△AEB∽△FEC
相似三角形的判定定理：边角边法
若两个三角形有两条边对应成比例，且 其夹角相等，那么这两个三角形相似
用几何语言表示为：
在ΔABC 和 ΔA‘B’C‘中
AB BC 若 / / / / , 且B B / AB BC
A A'
∴ ΔABC ∽ ΔA'B'C'
B
C B'
C'
在ΔABC 和 ΔA‘B’C‘中
A
F
D
E B C
9、如图6,在正方形ABCD中，P是BC上一点，
且BP＝3PC，Q是CD得中点。 （1）、证明△ADQ∽△QCP。 （2）、求证：AQ⊥QP
A
D Q
B
P
C
已知：如图，△ABC中，AE＝CE，BC
＝CD，求证：ED＝3EF。
A F
(完整版)相似三角形证明技巧(整理)
相似三角形解题方法、技巧、步骤、辅助线解析一、相似三角形(1)三角形相似的条件：①；② ；③ . 二、两个三角形相似的六种图形：只要能在复杂图形中辨认出上述基本图形，并能根据问题需要舔加适当的辅助线，构造出基本图形，从而使问题得以解决.三、三角形相似的证题思路：判定两个三角形相似思路：1）先找两对内角对应相等(对平行线型找平行线)，因为这个条件最简单； 2）再而先找一对内角对应相等，且看夹角的两边是否对应成比例； 3）若无对应角相等，则只考虑三组对应边是否成比例；找另一角 两角对应相等，两三角形相似找夹边对应成比例 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似找夹角相等 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似找第三边也对应成比例 三边对应成比例，两三角形相似找一个直角 斜边、直角边对应成比例，两个直角三角形相似找另一角 两角对应相等，两三角形相似找两边对应成比例 判定定理2 找顶角对应相等 判定定理1找底角对应相等 判定定理1 找底和腰对应成比例 判定定理3e)相似形的传递性 若△1∽△2，△2∽△3，则△1∽△3四、“三点定形法”，即由有关线段的三个不同的端点来确定三角形的方法。
具体做法是：先看比例式前项和后项所代表的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形，若能，则只要证明这两个三角形相似就可以了，这叫做“横定”；若不能，再看每个比的前后两项的两条线段的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形，则只要证明这两个三角形相似就行了，这叫做“竖定”。
有些学生在寻找条件遇到困难时，往往放弃了基本规律而去乱碰乱撞，乱添辅助线，这样反而使问题复杂化，效果并不好，应当运用基本规律去解决问题。
例1、已知:如图,ΔABC 中,CE ⊥AB,BF ⊥AC. 求证: BAAC AF AE（判断“横定”还是“竖定”？ ）a)已知一对等b)己知两边对应成比c)己知一个直d)有等腰关例2、如图，CD是Rt△ABC的斜边AB上的高，∠BAC的平分线分别交BC、CD于点E、F，AC·AE=AF·AB吗？说明理由。
三角形相似的判定方法
三角形相似的判定方法相似三角形是指三角形的对应角相等，对应边成比例。
在几何学中，判定三角形是否相似是一个常见的问题。
下面我们将介绍三角形相似的判定方法。
1. AAA相似判定法。
如果两个三角形的对应角相等，则这两个三角形是相似的。
这是最简单的相似判定方法之一。
例如，如果三角形ABC和三角形DEF的对应角分别相等，即∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F，则可以判定三角形ABC与三角形DEF是相似的。
2. AA相似判定法。
如果两个三角形的一个角相等，且它们的对应边成比例，则这两个三角形是相似的。
例如，如果∠A=∠D，∠B=∠E，并且AB/DE=BC/EF，则可以判定三角形ABC与三角形DEF是相似的。
3. SSS相似判定法。
如果两个三角形的对应边成比例，则这两个三角形是相似的。
例如，如果AB/DE=BC/EF=AC/DF，则可以判定三角形ABC与三角形DEF是相似的。
4. 直角三角形的相似判定方法。
对于直角三角形，如果一个角相等，且斜边成比例，则这两个直角三角形是相似的。
例如，如果∠A=∠D，且AB/DE=AC/DF，则可以判定直角三角形ABC与直角三角形DEF是相似的。
5. 重要提示。
在判定三角形相似时，需要注意以下几点：判定相似时，必须保证对应角相等，并且对应边成比例。
对应边成比例时，可以利用辅助线或者相似三角形的性质来进行判定。
在判定时，要注意排除特殊情况，例如对应角相等但对应边不成比例的情况。
总结。
三角形相似的判定方法主要包括AAA相似判定法、AA相似判定法、SSS相似判定法以及直角三角形的相似判定方法。
在实际问题中，通过这些方法可以准确地判定三角形是否相似，从而解决各种相关的几何问题。
希望通过本文的介绍，读者能够掌握三角形相似的判定方法，提高对几何学知识的理解和运用能力。
相似三角形的判定方法五种缩写
相似三角形的判定方法五种缩写
AAA相似定理：如果两个三角形的三个内角分别相等，则它们是相似的。
AA相似定理：如果两个三角形中有两个角分别相等，则它们是相似的。
SSS相似定理：如果两个三角形的对应边长度成比例，则它们是相似的。
SAS相似定理：如果两个三角形中有两条对应边的比例相等，且这两个对应边夹角的大小也相等，则它们是相似的。
RHS相似定理：如果两个直角三角形的斜边长度相等，且其中一个非直角角度相等，则它们是相似的。
这些相似定理是判断相似三角形的基本方法，其中AAA相似定理和AA相似定理仅需要角的大小相等，不需要考虑边长的比例关系。
而SSS相似定理和SAS相似定理需要考虑边长的比例关系，RHS相似定理则是只考虑直角三角形的情况。
在实际运用中，我们可以根据题目所给出的条件，选择合适的相似定理进行判断。
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（一）相似三角形1定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形，叫做相似三角形.①当一个三角形的三个角与另一个（或几个）三角形的三个角对应相等，且三条对应边的比相等时，这两个（或几个）三角形叫做相似三角形，即定义中的两个条件，缺一不可；②相似三角形的特征：形状一样，但大小不一定相等；③相似三角形的定义，可得相似三角形的基本性质：对应角相等，对应边成比例.2、相似三角形对应边的比叫做相似比.①全等三角形一定是相似三角形，其相似比k=1 •所以全等三角形是相似三角形的特例•其区别在于全等要求对应边相等，而相似要求对应边成比例.②相似比具有顺序性.例如△ ABC A B，的对应边的比，即相似比为k，则△ A B' 0△ ABC的相似比「当它们全等时，才有k=k' =1③相似比是一个重要概念，后继学习时出现的频率较高，其实质它是将一个图形放大或缩小的倍数，这一点借助相似三角形可观察得出.3、如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形.4、相似三角形的预备定理：平行于三角形的一条边直线，截其它两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似.①定理的基本图形有三种情况，如图其符号语言：•/ DE // BC ,•••△ ABC ADE ;②这个定理是用相似三角形定义推导出来的三角形相似的判定定理. 它不但本身有着广泛的应用，同时也是证明相似三角形三个判定定理的基础，故把它称为预备定理”；③有了预备定理后，在解题时不但要想到见平行，想比例”，还要想到见平行，想相似（二）相似三角形的判定1、相似三角形的判定：判定定理1:如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
可简单说成：两角对应相等，两三角形相似。
例1、已知：如图，/ 仁/ 2=7 3,求证：△ AB（0A ADEA（双A型）例2、如图，E、F分别是△ ABC的边BC上的点，DE // AB,DF // AC , 求证：△ ABC DEF.判定定理2:如果三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。
简单说成：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似.2例1 >△ AB(中，点D 在AB上，如果AC=AD?AB,那么△ ACDf A AB®似吗？说说你的理由.强调：①②已有一对对应角相等(包括隐含的公共角或对顶角)时，可考虑利用判定定理1或判定定理2；③已有两边对应成比例时，可考虑利用判定定理2或判定定理3 .但是，在选择利用判定定理2时，一对对应角相等必须是成比例两边的夹角对应相等.例2、如图，点C、D在线段AB上，△ PCD是等边三角形。
(1 )当AC CD DB满足怎样的关系时，△ AC3A PDB?(2)当厶ACP^A PDB时，求/ APB的度数。
判定定理3:如果三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。
简单说成：三边对应成比例，两三角形相似.7£C1——A iB iC i和A? B2C2，，求出相似比；如果C如图在正方形网格上有它们相似吗？如果相似不相似，请说明理由。
2、直角三角形相似的判定：斜边和一条直角边对应成比例，两直角三角形相似.例1、已知：如图，在正方形ABC［中, P是BC上的点，且BP= 3PC Q是CD的中点.求证:例2、如图，AB 丄BD,CD 丄BD,P 为BD 上一动点，AB=60 cm,CD=40 cm,BD=140 cm,当P 点在BD上由B点向D点运动时,PB的长满足什么条件，可以使图中的两个三角形相似巧青说明理特殊情况：第一：顶角(或底角)相等的两个等腰三角形相似。
第二：腰和底对应成比例的两个等腰三角形相似。
第三：有一个锐角相等的两个直角三角形相似。
第四：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似。
第五：如果一个三角形的两边和其中一边上的中线与另一个三角形的两边和其中一边上的中 线对应成比例，那么这两个三角形相似。
类型斜三角形直角三角形全等三角形的判定SAS SSS AAS (ASA ) HL例3、如图 AD 丄AB 于D , CE 丄AB 于E 交AB 于F ,则图中 相似三角形的对数有 _____________________ 对。
例4、已知：AD 是Rt △ ABC 中/ A的平分线，/ C=90 ° ,EF 是AD 的垂直平分线交 AD 于M , EF 、BC 的延长线交于一点 N 。
求证：（"△ AMENMD2（2）ND 2=NC • NB①由于直角三角形有一个角为直角， 因此，在判定两个直角三角形相似时， 只需再找一 对对应角相等，用判定定理 1，或两条直角边对应成比例，用判定定理 2，一般不用判定定 理3判定两个直角三角形相似；②如图是一个十分重要的相似三角形的基本图形，图中的三角形，可称为母子相似三角形”，其应用较为广泛.（直角三角形被斜边上的高分成的两个直三角形的与原三角形 相似）③ 如图，可简单记为：在 Rt △ ABC 中，CD 丄AB ，则△ ABC CBD ACD .④ 补充射影定理。
相似三角形的判定两边对应成比例夹角相等三边对应成比例两角对应相等一条直角边与斜边对应成比例、重点难点疑点突破1寻找相似三角形对应元素的方法与技巧正确寻找相似三角形的对应元素是分析与解决相似三角形问题的一项基本功.下几种方法：(1)相似三角形有公共角或对顶角时，公共角或对顶角是最明显的对应角；相似三角形中最大的角(或最小的角)一定是对应角；相似三角形中，一对相等的角是对应角，对应角所对的边是对应边，对应角的夹边是对应边；(2)相似三角形中，一对最长的边(或最短的边)一定是对应边；对应边所对的角是对应角; 对应边所夹的角是对应角.(3)对应字母要写在对应的位置上，可直接得出对应边，对应角。
2、常见的相似三角形的基本图形：学习三角形相似的判定，要与三角形全等的判定相比较，把证明三角形全等的思想方法迁移到相似三角形中来；对一些出现频率较高的图形判定思路要善于总结，形成一整套完整的判定方法•如:(2) 相交线型”相似三角形，如上图•其中各图中都有一个公共角或对顶角. 见一对等通常有以(1) 平行线型”相似三角形，基本图形见前图. 见平行，想相似”是解这类题的基本思路;要善于归纳和记忆；对相似三角形的(3) 旋转型”相似三角形，如图.若图中/ 1 = / 2，/ B= / D(或/ C= / E)，则△ ADE s△ ABC，该图可看成把第一个图中的厶ADE绕点A旋转某一角度而形成的.从基本图形入手能较顺利地找到解决问题的思路和方法，能帮助我们尽快地找到添加的辅助线•以上平行线型”是常见的，这类相似三角形的对应元素有较明显的顺序，相交线型”识图较困难，解题时要注意从复杂图形中分解或添加辅助线构造出基本图形.练习：1、如图，下列每个图形中，存不存在相似的三角形，如果存在，把它们用字母表示出来，并简要说明识别的根据。
2、如图27-2-1-12,在大小为4>4的正方形方格中，△ ABC的顶点A,B,C在单位正方形的顶点上，请在图中画一个△ A1B1C1,使厶A1B1C1SA ABC(相似比不为1),且点A1,B1,C1都在单位正方形的顶点上AC H图27-2-1-121、寻找相似三角形的个数例1、（吉林）将两块完全相同的等腰直角三角形摆成如图的样子，假设图形中所有点、线都在同一平面内，回答下列问题：（1）图中共有多少个三角形？把它们一一写出来；⑵图中有相似（不包括全等）三角形吗？如果有，就把它们一一写出来.如图，△ ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，连接并延长DE交BC的延长线于点F,连接DC、BE，若/ BDE +Z BCE = 180°。
⑴写出图中3对相似三角形（注意：不得添加字母和线）⑵请在你所找出的相似三角形中选取1对，说明它们相似的理由。
1、如图，在正方形网格上有6个三角形：① ABC ,② BCD ,③ BDE ,④ BFG ,⑤ FGH ,⑥ EFK ,其中②-⑥中与①相似的是________________ 。
2、画符合要求的相似三角形例1、（上海）在大小为4X4的正方形方格中，△ ABC的顶点A、B、C在单位正方形的顶点上，请在图中画出一个△ A1B1C1，使得△ A1B1C1SA ABC（相似比不为1），且点A1、B1、C1都在单位正方形的顶点上.3、相似三角形的判定例1、（1）如图，O是厶ABC内任一点，D、E、F分别是OA、OB、OC的中点，求证：△DEFABC ;（2）如图，正方形ABCD中，E是BC的中点，DF=3CF，写出图中所有相似三角形，并证明.A例2、如图，在△ ABC中，DF经过△ ABC的重心G,且DF // AB , DE // AC ,连接EF，如果BC=5 , AC= 2 AB.求证：△ DEF s\ ABC4、直角三角形中相似的判定例1 如图，△ ABC 中，/ BAC=90 ° , AD 丄BC 于D , DE 为AC 的中线，延长线交AB的延长于F，求证：AB • AF=AC • DF。
例2、已知：如图，在△ ABC中，/ ACB=90 ° , CD丄AB于D ,AC 上一点，CF 丄BE 于F。
求证：EB - DF=AE - DB5、相似三角形的综合运用D垂直于AB例1、如图，CD是Rt△ ABC斜边AB上的中线，过点的直线交BC于E,交AC延长线于F .求证：("△ ADF EDB ; (2)CD2=DE・DF .例2、如图，AD是厶ABC的角平分线，BE丄AD于E, CF丄ADAB _DE于F. 求证:例3、如图，在正方形 ABCD 中，M 、N 分别是AB 、BC 上的点，BM=BN , BP 丄MC 于点P .求证：PN 丄PD .6、相似三角形中辅助线的添加(1)、作垂线3.如图从虫BCD 顶点C 向AB 和AD 的延长线引垂线 CE 和CF ，垂足分别为 E 、F ,求(3) 、作中线例1、 如图， ABC 中，AB 丄AC , AE 丄BC 于E , D 在AC 边上，若 BD=DC=EC=1，求 AC 。
证：AB AE AD AFAC 2。
(2)、作延长线例1、如图，RtABC 中，CD 为斜边AB 上的高，E 为CD 的中点，AE 的延长线交 BC于 F , FG AB 于 G ,求证：FG 2=CF ?BF练习:1、ABC中，ACB 90 , AC=BC , P是AB上一点，Q是PC上一点(不是中点)，MN 过Q 且MN 丄CP,交AC、BC 于M、N,求证：PA： PB CM : CN。