参数方程与齐次化方法在解析几何问题中的应用探究

参数方程与齐次化方法在解析几何问题中的应用探究

复旦实验中学 袁青

2013年高考上海理科试卷第22题为解析几何问题，研究讨论直线与曲线位置关系问题，很多学生看着感觉能做，一做却又做错．其实该题并不用于高三阶段一般的解析几何训练题，简单地将问题转化为联立直线与曲线方程，对方程的根进行讨论，与一般直线与圆锥曲线的关系练习题中联立方程之后直接利用根与系数关系研究弦长、面积、定点等问题有是有很大区别的．尤其在（3）中，如果没有办法利用图像先得知1k >，则会很难寻找到与1k ≤的这样一对矛盾关系，而这体现了学生对“解析几何问题毕竟是个几何问题”这一实质的理解．本文对此题解法做进一步探究，研究一下在把握住“解析几何问题毕竟是个几何问题”这一大原则的基础上，参数方程和齐次化方法可能给解题带来的方便．

考题再现：（2013年理科第22题，文科第23题）

如图，已知双曲线1C ：2

212

x y -=，曲线2C ：1y x =+．P 是平面内一点，若存在过点P 的直线与1C 、

2C 都有公共点，则称P 为“12C C -型点”．

（1）在正确证明1C 的左焦点是“12C C -型点”时，要使

用一条过该焦点的直线，试写出一条这样的直线的方程

（不要求验证）；

（2）设直线y kx =与2C 有公共点，求证：1k >，进而证

明原点不是“12C C -型点”；

（3）求证：圆2212

x y +=内的点都不是“12C C -型点”． 标准答案所给解法：（1）1C

的左焦点为()，写出的直线方程可以是以下形式：

x =

(y k x =

，其中k ≥ （2）因为直线y kx =与2C 有公共点，所以方程组1y kx y x =⎧⎨=+⎩有实数解，因此1kx x =+，得11x k x +=>． 若原点是“12C C -型点”，则存在过原点的直线与1C 、2C 都有公共点．

考虑过原点与2C 有公共点的直线0x =或y kx =（1k >）．

显然直线0x =与1C 无公共点．

如果直线为y kx =（1k >），则由方程组2212

y kx x y =⎧⎪⎨-=⎪⎩得222012x k =<-，矛盾． 所以，直线y kx =（1k >）与1C 也无公共点．

因此，原点不是“12C C -型点”．

（3）记圆O ：2212

x y +=

，取圆O 内的一点Q ．设有经过Q 的直线l 与1C 、2C 都有公共点．显然l 不垂直于x 轴，故可设l ：y kx b =+． 若1k ≤，由于圆O 夹在两组平行线1y x =±与1y x =-±之间，因此圆O 也夹在直线1y kx =±与1y kx =-±之间，从而过Q 且以k 为斜率的直线l 与2C 无公共点，矛盾，所以1k >．

因为l 与1C 有公共点，所以方程组2212

y kx b x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩有实数解，得()222124220k x kbx b ----=． 因为1k >，所以2120k -≠，因此()()()()2

22224412228120kb k b b k ∆=----=+-≥，即2221b k ≥-． 因为圆O 的圆心()0,0到直线l

的距离d =222121b d k =<+，从而2221212k b k +>>-，得21k <，与1k >矛盾． 因此，圆2212

x y +=内的点都不是“12C C -型点”． 解法分析：第（2）、（3）两题由于在研究直线与曲线发生的相交的情况，所以主要切入点为函数与方程的思想，将交点个数问题转化为了方程解的个数问题．即使（3）中的直线是不确定的，也从其一般形态y kx b =+入手，使问题得以顺利解决．但（3）中1k >的得出过程并不是每一位同学都能如此严谨地进行表述的．

解法另探：可以从参数方程角度将（2）解决，利用齐次化方法对（3）求解．

（2）假设原点可以为“12C C -型点”，通过反证法可以得到并不可能．

设直线的参数方程cos sin x t y t θθ

=⎧⎨=⎩，则代入1y x =+可得11sin cos 1t t θθ=+，代入2

212x y -=可得222222cos 2sin 2t t θθ-=． 所以，()1sin cos 1t θθ-=，()2222cos 2sin 2t θθ-= 由此可知sin cos 0θθ->且22cos 2sin θθ>

所以sin cos θθθ>>，则sin 0θ<，并不可能发生，假设不成立．

所以得证原点并不是“12C C -型点”．

另外，由于y kx =与1y x =+相交时有sin cos θθ>，则可同样得证sin 1cos k θθ=

>． （3）记圆O ：2212

x y +=，取圆O 内的一点Q ．设有经过Q 的直线l 与1C 、2C 都有公共点．显然l 不垂直于x 轴，故可设l ：y kx b =+．由（1）可知Q 不是()0,0，则0b ≠

∵直线过圆内一点

∴d=<，则22

21

b k

<+①

∵

2

2

1

1

2

y kx

b

x

y

-

⎧

=

⎪⎪

⎨

⎪-=

⎪⎩

∴

2

2

2

2

x y kx

y

b

-

⎛⎫

-= ⎪

⎝⎭

，即()()

22222

22420

b y kxy k b x

+-+-=

∴()()

2

222

22420

y y

b k k b

x x

⎛⎫

+-+-=

⎪

⎝⎭

∴()()

22222242

16422216880

k b k b k b b b

∆=-+-=-++≥，则22

21

k b

≤+②

∴由①②可知21

b<且21

k<

∴假设y kx b

=+与1

y x

=+交于第一象限点（注：不可能交于()

0,1，与1

b≠矛盾）

∴1

y kx

y x

b

-

-==，则()1y

b b k

x

-=-

∴1

1

y b k

x b

-

=>

-

∵1

b<

∴1

b k b

-<-

∴1

k>显然与21

k<矛盾

∴假设不成立

因此，圆22

1

2

x y

+=内的点都不是“

12

C C

-型点”．

以上三种方法其实在适当的背景下都可使用，灵活运用可为解题带来极大的方便．如下几例：例1、已知椭圆

22

1

2416

x y

+=，直线l：1

128

x y

+=．点P是l上一点，

射线OP交椭圆于点R，又点Q在OP上，且满足

2

OQ OP OR

=

g．当点P在l上移动时，求点Q的轨迹方程，并说

明轨迹是什么曲线．

解法一：联立直线与曲线方程解法

设OP：y kx

=

∴

1

128

y kx

x y

=

⎧

⎪

⎨

+=

⎪⎩

，则

24

32

x

k

=

+

，由此可知

2

2424

,

3223

k

P

k k

⎛⎫

⎪

++

⎝⎭

∴22

1

2416

y kx

x y

=

⎧

⎪

⎨

+=

⎪

⎩

，则R

⎛

±

⎝

∴()(

)

22

22

R R P Q

OR x k x

=+=

g g

∴

2

4824

32

32Q

x

k

k

=

+

+