参数方程与齐次化方法在解析几何问题中的应用探究
参数方程在高考解析几何压轴题中的应用
参数方程在高考解析几何压轴题中的应用参数方程，又称参数曲线，是由参数对函数的结构、性质决定的一种曲线。
是数学中一种重要的概念，也是高考解析几何中必考内容之一，而参数方程在解析几何中应用更是十分广泛，下面我们就来分析参数方程在高考解析几何压轴题中的应用。
首先，我们要定义参数方程。
参数方程是指当把空间几何图形的某些参数替换成变量时，所得到的一类方程，它们的一般形式为：$$x=f(t)，y=g(t)$$其中x,y是几何图形的构成要素，t是参数，f(t)与g(t)分别是关于参数t的函数。
参数方程往往可以用来求解所述几何图形的构成要素，同时也能求解两个几何图形间的关系，在解析几何题中，参数方程可以求出解析几何图形的性质，以及其它几何图形与它的关系。
比如：在解决椭圆、双曲线问题时，可以用参数方程求出它们的标准方程，并且可以在改变参数t值时来求解这两种曲线之间的关系；在解决圆锥曲线问题，可以用参数方程来定义圆锥曲线，而且可以快速求出它们的方程和性质；在解决螺线问题时，参数方程可以定义出任意一条螺线，这条螺线上的点可以用参数方程求出；在解决动点、运动轨迹等问题时，可以用参数方程定义运动轨迹，并且可以快速求出动点的位置。
此外，参数方程还能求解高考解析几何压轴题中出现的各种曲线的性质及关系，比如：参数方程可以用来求解三角函数，如正弦函数、余弦函数等；可以用参数方程求解圆的性质，比如圆的周长，圆的面积，圆的正余弦函数等；可以用参数方程求解椭圆的性质，比如其方程、椭圆的长短轴、椭圆的长短半轴等；还可以用参数方程求解解析几何中出现的其它曲线，如抛物线，双曲线，圆锥曲线，螺线，星形线等。
通过以上分析，我们可以明确的得出，参数方程在解析几何压轴题中的应用十分广泛，对解决各种曲线的性质及关系有着重要的作用，而且可以大大提高解题效率。
因此，在备考高考解析几何压轴题时，我们应该把参数方程作为一个重要的备考内容，以便在解题时能够有所帮助，提高解题效率。
参数方程在解析几何中的妙用
参数方程在解析几何中的妙用解析几何是几何学的一个分支，它利用代数的方法来研究几何问题。
在解析几何中，我们经常会用到参数方程来描述曲线、曲面等的运动规律或特性。
参数方程在解析几何中的妙用，不仅可以帮助我们更好地理解几何图形的性质，还可以为我们提供求解问题的新思路和方法。
本文将从几何图形的描述、曲线的方程、曲线的性质等方面探讨参数方程在解析几何中的应用妙用。
一、参数方程在几何图形描述中的应用在解析几何中，我们经常需要描述曲线、曲面等几何图形的特性。
传统的方法是使用直角坐标系下的方程，如直线的斜率截距方程、圆的标准方程等。
但是有些曲线、曲面的特性不易用直角坐标系下的方程来描述，这时就可以使用参数方程来描述。
参数方程由参数t的几组函数组成，t的变化可以描述曲线、曲面的运动规律和特性。
对于平面上的一条曲线，可以用参数方程x=f(t)，y=g(t)来描述，其中x和y分别是曲线上点的横纵坐标，f(t)和g(t)是t的函数，t是参数。
通过对参数t的变化，我们可以得到曲线上各点的坐标，从而准确地描绘出曲线的形状和特性。
二、参数方程在曲线的方程中的应用在解析几何中，我们经常需要求解曲线的方程，以便研究曲线的性质和特性。
对于一些特殊的曲线，使用参数方程可以更方便地求解其方程。
对于一条椭圆曲线，其参数方程可以表示为x=a*cos(t)，y=b*sin(t)，其中a和b分别是椭圆的长短轴，t是参数。
通过对参数t的取值范围进行限定，我们可以得到椭圆曲线的方程，从而方便地进行讨论和研究。
对于一些极坐标方程难以描述的曲线，如双曲线、抛物线等，使用参数方程同样可以更直观地描述其形状和特性，以便更好地分析和研究。
参数方程在解析几何中的妙用
参数方程在解析几何中的妙用在数学中，参数方程是描述曲线或曲面的一种常见方法。
它通过引入一个参数，将曲线或曲面上的点的坐标表示为参数的函数，从而简化了对曲线或曲面的研究和分析。
参数方程在解析几何中有着广泛的应用，可以用来描述各种复杂的曲线和曲面，解决许多几何问题。
本文将介绍参数方程在解析几何中的妙用，并举例说明其在不同领域的应用。
我们来了解一下参数方程的概念。
在平面直角坐标系中，一条曲线可以由以下形式的参数方程来描述：\[x = f(t), y = g(t),\]其中 \(t\) 是参数，\(x\) 和 \(y\) 分别是点 \((x, y)\) 的坐标。
曲线上的每一个点都可以由参数 \(t\) 的取值确定。
类似地，对于平面曲面或者空间曲线，可以使用多个参数来描述。
参数方程的优点在于，它可以将复杂的曲线或曲面化为参数的函数，从而简化了对曲线或曲面的研究和分析。
在解析几何中，参数方程的妙用主要体现在以下几个方面：1. 描述复杂曲线和曲面参数方程可以描述各种复杂的曲线和曲面，包括螺线、双曲线、椭圆、抛物线等。
这些曲线在直角坐标系下的方程通常会比较复杂，但是通过引入参数，可以得到简洁的参数方程。
双曲线的参数方程为：其中 \(a\) 和 \(b\) 为双曲线的参数。
通过这样的参数方程，我们可以方便地研究双曲线的性质和特点，比如焦点、渐近线等。
类似地，其他复杂曲线和曲面也可以通过参数方程来描述，从而为解析几何的研究提供了便利。
2. 研究曲线的长度和曲率在解析几何中，我们经常需要计算曲线的长度和曲率。
参数方程为我们提供了一种简便的方法来计算曲线的长度和曲率。
曲线的长度可以通过参数方程的定积分来计算：\[L = \int_{t_1}^{t_2} \sqrt{(\frac{dx}{dt})^2 + (\frac{dy}{dt})^2} dt,\]其中 \(\frac{dx}{dt}\) 和 \(\frac{dy}{dt}\) 分别是参数方程 \(x = f(t), y = g(t)\) 对 \(t\) 的导数。
“齐次化”思想在求解数学问题中的应用
“齐次化”思想在求解数学问题中的应用
作者：***
来源：《中学生理科应试》2022年第06期
在许多问题解决的过程中，经常利用一些定理、公式等本身有“比值”这一基本特征来构造相关数学元素的“齐次”结构解答问题，这就是数学解题中的“齐次化思想”，运用“齐次化”思想，可以较快地寻找到解决问题的思路或使问题得到较好地解答，
点评由题意化简所给的三角函数式，然后利用关于sinθ，cosθ的“齐二次”式后，利用同角的“商数关系”分子、分母同時除以cos2θ转化为tanθ的式子代人求值.齐次化思想在求解本题中得到了很好地体现.
点评本题（ I）首先利用正弦定理将条件3csinB= 4asinC化为关于边长a、b的“齐一次”式，进而得到a，b，c的比例关系，然后利用余弦定理得到关于a，b，c的“齐二次”式，代入求得cosB的值，充分体现了“齐次化”思想的应用.
点评本题（I）直接利用余弦定理的“齐二次”结构建立边c的方程求解;（Ⅱ）利用正弦定理的“齐一次”结构变形后，利用三角恒等变换和诱导
点评该解法首先进行“1”的代换：1 =2a +b.化为关于a，b的二次齐次分式后变形为基本不等式的结构形式，利用基本不等式求得最值.
通过以上几个方面的应用可以看到，这些可以借助“齐次化”解决的问题的一个共同背景是：某个目标值的取值并不依赖于哪个变量，而是依赖于这些变量的“比值”，这样，构造齐次式以后，可以让这些比值“显现”出来，从而解决问题.
（收稿日期：2022 -03 -03）。
参数方程在解析几何中的妙用
参数方程在解析几何中的妙用在数学的世界里，参数方程是一种描述曲线的方法，它使用参数（通常用t表示）来描述曲线上的点的位置。
参数方程在解析几何中有着广泛的应用，可以用来描述各种几何图形的形状和运动规律，是解析几何中的重要工具之一。
在本文中，我们将探讨参数方程在解析几何中的妙用，并介绍一些相关的具体例子。
参数方程在描述曲线的形状时具有很大的灵活性。
对于一条给定的曲线，可以通过适当选择参数的取值范围和变化规律，来描述曲线上的各个点的位置。
这种描述方法通常比直角坐标系下的方程更加简洁和直观，特别是对于一些复杂的曲线，如椭圆、双曲线等，使用参数方程可以更加清晰地描述其形状和特点。
对于任意给定的椭圆，可以使用参数方程x=a*cos(t)，y=b*sin(t)来描述其上的点的位置，其中a和b分别为椭圆的半长轴和半短轴。
通过改变参数t的取值范围和步长，可以清晰地展示出椭圆的整个形状，这在直角坐标系下可能会比较困难。
参数方程在描述曲线的运动规律时也有着重要的应用。
在现实生活中，很多曲线都是随着时间的推移而变化的，如物体的轨迹、机器的工作原理等。
参数方程可以很好地描述这些曲线的运动规律，使得我们可以通过参数方程来预测曲线未来的位置和状态。
对于抛物线的运动，可以通过参数方程x=v*cos(t)，y=v*sin(t)-g*t^2/2来描述抛物线上的点的位置，其中v为初速度，g为重力加速度，t为时间。
通过适当选择参数t的取值范围，可以清晰地展示出抛物线的整个运动轨迹，包括起始点、最高点、落地点等。
这些信息对于工程设计和科学研究都是非常重要的。
参数方程还可以帮助我们更好地理解一些复杂的几何图形和运动规律。
在解析几何中，有一类特殊的曲线叫做极坐标曲线，其描述形式为r=f(θ)，其中r为极径，θ为极角。
对于某些复杂的极坐标曲线，很难直接通过直角坐标方程来描述其形状和特点，但可以通过参数方程来较为清晰地呈现。
对于心形线（也叫卡西尼曲线），可以使用参数方程x=a*sin(t)*cos(t)，y=a*sin(t)*sin(t)来描述其形状和特点，其中a为常数。
参数思想在解析几何中的应用
参数思想在解析几何中的应用
参数方程是解析几何中常用的一种描述几何图形的方法。
参数方程的基本思想是通过
引入一个或多个参数，将几何图形上的点与参数之间建立一一对应的关系，从而用数学函
数的形式来描述几何图形上的点的坐标。
参数方程的应用广泛，既可以用于平面几何图形，也可以用于空间几何图形。
1. 曲线的参数方程：常见的曲线如直线、圆、椭圆、抛物线、双曲线等都可以通过
参数方程来表示。
直线的参数方程可以表示为x=at+b，y=ct+d；圆的参数方程可以表示为x=a+rcosθ，y=b+rsinθ；椭圆的参数方程可以表示为x=a+acosθ，y=b+bsinθ等。
2. 曲线的参数方程的求导应用：通过对曲线参数方程分别对参数求导，可以得到曲
线的切线方程和曲率半径的表达式。
这对于研究曲线的性质和求解曲线的几何问题非常有用。
3. 曲线的长度、曲率和弧长的参数方程：通过参数方程可以建立曲线上一点处的切
向量和曲率向量，从而计算曲线上的长度、曲率和弧长。
曲线的长度可以表示为
∫(√(dx/dt)²+(dy/dt)²)dt；曲线的曲率可以表示为k=(dθ/ds)=|dθ/dt|/|ds/dt|；曲线的弧长可以表示为s=∫|ds/dt|dt等。
参数思想在解析几何中的应用非常广泛。
通过引入参数，可以用函数的形式来描述和
研究几何图形的性质，求解几何问题，计算几何量等。
参数方程是解析几何中一个重要的
工具和方法，对于进一步深入理解和应用解析几何具有重要意义。
参数方程在解析几何中的应用
参数方程在解析几何中的应用我们知道，参数方程是在参数坐标系中建立的数学模型。
在微分几何中，参数方程和变换的联系非常密切。
由于空间直角坐标系(X， Y)和一般参数坐标系(R， a， c)之间存在对应关系，所以通过微分几何知识可以得到一般参数方程的基本解，进而研究曲线上的点。
由于自变量的个数比较多，自变量又不能用变量代替，所以使用非齐次微分方程。
如果是齐次方程，则有无穷多个解。
对于非齐次方程来说，方程的两个未知函数都是方程的特解。
这里我们需要一个导出变量，只取三个变量建立模型： a， b， t，从而可以得到曲线方程。
当曲线为平面曲线的特殊情况时，可以忽略垂直于平面的条件，把变量的个数减少为两个，但仍然是曲线的特殊情况。
一般来讲，对于简单的，可求得唯一解的参数方程，采用迭代法求解最优解，但对于复杂的参数方程，由于具有多个待定系数，并且每个参数的取值都有一定的范围，在没有足够精确的初值条件下无法解决最优解问题。
因此，在解决复杂的参数方程时，一般选择用动态规划方法。
4、参数方程与相似变换。
5、参数方程与位移法设计的问题。
参数方程可以应用在位移法设计的问题中，如一般均匀载荷问题等。
例如在工程力学中，载荷可以表示为： m=x+y。
这时，通过参数方程的性质，可以将一些位移表示为如下形式： X=e X-2Y+ fY-4x+2Y，其中m和e分别为载荷和位移的大小， F和k为位移法向应力和法向应变， i为应力向量和法向应变向量的夹角。
即为： dx=mx-kX1y-2mx-kX2y。
此时，我们已经可以运用参数方程表示式来求解。
此外，当使用非齐次的方程进行微分求解的时候，应该注意这样几个问题： 1、如果同一点处满足多种的微分方程，那么只取前一种微分方程来求解； 2、求出多个解的函数必须是有界的，否则需要引入额外的边界条件； 3、求解方程组，需要对初始点或者求解的范围进行适当的限制，否则会引起计算量的增加。
四、参数方程的一些应用1、微分方程求解。
参数方程在解析几何中的妙用
参数方程在解析几何中的妙用解析几何是数学中的一个重要分支，它是将代数和几何相结合的学科，通过数学符号和方法来研究几何图形的性质和变换规律。
而参数方程作为解析几何中的重要工具，在研究和描述曲线、曲面方程时发挥着不可替代的作用。
在解析几何中，参数方程的妙用体现在多个方面，包括描述曲线的形状、研究曲线的性质、进行几何变换等。
本文将介绍参数方程在解析几何中的妙用，帮助读者更好地理解和运用参数方程解决相关问题。
第一，参数方程描述曲线的形状。
在解析几何中，曲线的参数方程是指用参数表示的曲线上每个点的坐标。
参数方程可以描述各种不规则和复杂的曲线，而且对于某些曲线来说，使用参数方程描述更为简洁和方便。
对于圆的参数方程为：x = r*cos(t), y =r*sin(t)，其中r为圆的半径，t为参数。
通过改变参数t的取值范围，可以得到圆上的所有点的坐标，从而完整地描述了整个圆的形状。
这种描述方法在研究曲线的形状和性质时很有用，能够帮助我们更好地理解曲线的结构和特点。
第二，参数方程研究曲线的性质。
在解析几何中，通过参数方程，我们可以对曲线的长度、曲率、曲线的方程等性质进行详细的研究。
对于参数方程x = f(t), y = g(t)，我们可以通过求导来计算曲线的切线斜率，从而得到曲线的切线方程，进而可以研究曲线在不同点的切线情况。
根据参数方程，我们也可以计算曲线的长度、曲率等重要性质，从而深入理解并推导出曲线的特性。
这些对于解析几何问题的研究和解决提供了极大的帮助。
参数方程进行几何变换。
在解析几何中，我们经常需要研究图像的平移、旋转、缩放等几何变换，而参数方程提供了一种便捷的方法来描述和理解这些几何变换。
对于参数方程x = f(t), y = g(t)，如果我们要将曲线进行平移操作，只需要在参数方程中适当调整x、y的表达式即可实现平移操作；同样，如果我们要对曲线进行旋转和缩放操作，也可以通过适当调整参数方程来实现。
这种基于参数方程的几何变换方法简洁高效，对于解析几何中的几何变换问题具有重要意义。
齐次化思想在解题中的应用探索
齐 次式 各 项 的次 数相 同 ， 因而 具 有 对 称美 和结构美 的特征 ，这使得运算的处理往往会更 容易 、更 简 洁 、更 容 易发 现 规律 。同时 ，对 于 一些 涉及 非 齐 次式 的数 学 问题 ，如果 学 生 能 够结 合 题设条件 ，将其转化为齐次式问题来处理 ，则往 往能化繁为简 ，优化解题过程 ，起到事半 功倍 的 效果。齐次化方法的本质是消参思想 ，齐次化运 算 步 骤是 各 类 考 试 中普 遍 热 点 ，是 对 学 生 数 学 运算 这 个学 科 素养 的具 体考 察——要 求学 生 “理解运算对象”，合理构造满足题干条件 的算 式 ；“掌握运算法则”，能够正确运用所学 的数学 概 念 、公 式 、定 理 ；“探 究 运 算 方 向 ”—— 消 除 待 求算式 中与题干无关 的参数。笔者 以近年来 的 各类试题为例 ，包括三角函数 、代数式取值 范 围 、解析几何 、证 明代数 不等式 、证明数列不等
【解析 】设 Ｓ＿ｘ２＋ｙ２，则华 ＝１，
然后利用整体思想将原题转化为关于 的一元
二次方程有解 问题 ，使问题 的思路清晰 ，直接套 用 公 式求 取 答 案 。
三 、解 析几 何 问题 众所 周 知 ，在各 类 考 试 中 ，解 析 几 何 解 答 题 通常 以运算量大著称 ，解题的最核心 的方法是 设而不求 ，在涉及直线与圆锥 曲线 的位置关系 的问题 中，常见 的做法是曲线方程组进行 消元 。 然而笔者发现 ，构造齐次式是解答解析几何题 的一 大 利 器 ，具有 一 定 的通 性 通 法 ，视 角 独 特 。 令人耳 目一新 ！由椭 圆与双曲线的离心率公式
参数方程在解析几何中的妙用
参数方程在解析几何中的妙用参数方程是解析几何中的一种重要工具，它能够描述曲线、曲面在空间中的运动和位置。
参数方程的引入，使得解析几何中的研究变得更加简单、直观，进一步拓展了解析几何的应用范围。
本文将探讨参数方程在解析几何中的妙用，介绍参数方程的定义、应用以及相关的数学理论知识，希望能够帮助读者深入了解和掌握参数方程的概念和应用技巧。
一、参数方程的定义与基本概念参数方程是在数学中描述曲线或曲面的一种方法，其基本形式为：x = f(t)y = g(t)x和y是曲线上的点的坐标，t是参数，f(t)和g(t)是t的函数。
通过改变参数t的取值，就可以得到曲线上的一系列点，从而描绘出完整的曲线轨迹。
参数方程的引入，使得解析几何中曲线和曲面的描述更加直观和便捷。
因为通过参数方程，我们可以直接通过参数t的变化来描述曲线上的点的位置，而不需要通过复杂的坐标变换和方程求解来得到结果。
这为解析几何的研究和应用提供了便利。
二、参数方程在曲线与曲面的描述中的应用参数方程在解析几何中有着广泛的应用，特别是在描述复杂曲线和曲面的运动和位置方面具有独特的优势。
下面我们分别介绍参数方程在描述曲线和曲面时的应用。
当我们要描述一条曲线在平面或者空间中的运动和位置时，参数方程可以提供一种简单直观的方法。
对于直线、圆、椭圆等常见的曲线，我们可以通过参数方程来描述其运动轨迹，从而方便地进行分析和计算。
以圆为例，其参数方程可以表示为：r为圆的半径，t为参数，当t在[0, 2π]上变化时，就可以得到圆上的一系列点，从而描绘出整个圆的轨迹。
这种描述方法不仅简洁明了，而且可以直观地反映出圆的几何特征，为进一步的分析和计算提供了便利。
类似地，参数方程也可以用来描述空间中的曲面。
对于球面、柱面、双曲面等常见的曲面，我们同样可以通过参数方程来描绘其形状和位置。
x = r*cos(u)*sin(v)y = r*sin(u)*sin(v)z = r*cos(v)三、参数方程在解析几何中的相关数学理论在应用参数方程描述曲线和曲面时，我们还需要结合一些相关的数学理论知识，这样才能更好地理解和运用参数方程。
参数方程在解析几何中的妙用
参数方程在解析几何中的妙用1. 引言1.1 参数方程的定义参数方程是指以一个或多个参数表示的几何图形的方程。
在解析几何中，通常用参数方程来描述曲线或曲面的形状和特征。
参数方程与传统的代数方程相比，更具有灵活性和直观性，能够更加直观地展现几何图形的特性。
具体来说，如果一个曲线可以用参数t 表示，那么曲线上的每一个点都可以由一对函数关系x=f(t)，y=g(t) 描述，其中x 和y 分别表示该点的横纵坐标。
通过调整参数t 的取值范围，我们可以很方便地控制曲线上的点的位置和走向，从而实现对曲线形状的灵活描述。
参数方程在解析几何中有着广泛的应用。
通过参数方程，我们可以轻松地绘制出各种复杂的曲线，如椭圆、双曲线等。
参数方程也为曲线长度、曲率、面积等性质的计算提供了便利的工具。
参数方程的引入使得解析几何的研究更加灵活多样，为我们深入理解几何图形的特性提供了有力支持。
1.2 参数方程在解析几何中的作用参数方程在解析几何中的作用是十分重要的。
通过参数方程，我们可以更加直观地描述曲线的运动和形状，将几何问题转化为代数问题，并且更加方便地进行计算和分析。
具体来说，参数方程可以帮助我们解决一些传统的几何问题无法轻松解决的问题，比如曲线的长度、曲率和面积计算。
参数方程与代数方程之间有密切的关系。
通过参数方程，我们可以将曲线表示为关于参数的函数，从而将几何问题转化为代数问题。
这种转化可以简化问题的求解过程，让我们更加容易理解和掌握曲线的性质。
参数方程在曲线的绘制中起到了关键的作用。
我们可以通过改变参数的取值来绘制出不同形状的曲线，从而更好地理解曲线的运动和变化。
这对于学习曲线的性质和特点非常有帮助。
参数方程还可以帮助我们计算曲线的长度、曲率和面积。
通过参数方程，我们可以建立起曲线与坐标轴之间的准确对应关系，从而利用微积分的方法计算曲线的相关属性。
这为我们研究曲线提供了更多的手段和途径。
参数方程在解析几何中扮演着不可或缺的角色，它为我们探索几何世界提供了新的视角和方法。
应用齐次化解决解析几何中定点定值问题
(
１)求椭圆 C 的方程 ．
２
．
２
２
２
２
(
２)若过点 A 作圆 M :(
x＋１)
＋y ＝r (
r＞０)的
两条切线分别与椭圆相交于点 B ,
当
D (不 同 于 点 A )．
r 变化时,试问直线 BD 是否过某个定 点? 若 是,求 出
该定点;若不是,请说明理由 ．
x
２
解析:(
１)易得椭圆的方程为 ＋y ＝１．
２
[(
x－２)＋２]
方法 ２:双 曲 线 的 方 程 可 化 为
－
２
直线l 不过点 A ,设其方程为
下面再通 过 两 个 例 题 具 体 解 释 利 用 齐 次 化 方 法
解决问题的详细过程和注意要素 ．
(
２)把原点平移到 点 A ,点 A 坐 标 为 (
０,
０),则 新
解得k＝－１．
１＝０．
２
２
２
２
２
[(
y－１)＋１]＝１,变形整理,得
２
(
a＞b＞０)的上顶点 A (
０,
１),离心率为
x
２
２
可化为 ＋ (
x＋１)
＋
y＋１)＝１,圆 M 的方程可化为(
２
２
m (
x－２)＋n(
m,
n∈R)．
y－１)＝１(
x２ y２
例 １ (
２０２１ 年高三模考)已知椭圆 C: ２ ＋ ２ ＝１
a b
坐标系(下面均指新 坐 标 系 下 的 问 题)中,椭圆的方程
时,则 k１ ＝
k２ ＝
k１ ＋k２ ＝
参数方程在解析几何中的妙用
参数方程在解析几何中的妙用【摘要】参数方程在解析几何中具有广泛的应用价值。
在曲线绘制中，参数方程可以描述各种复杂的曲线形状，如椭圆、双曲线等，使得几何图形更加生动形象。
通过参数方程可以方便地计算曲线长度，曲率等重要参数，为曲线的性质研究提供便利。
参数方程还可以用来分析曲线与曲线的位置关系，解决曲线投影问题等。
参数方程在解析几何中的妙用不仅体现在方便描述曲线形状，还在于为曲线性质研究提供了有效的工具和方法，为几何分析提供了新的视角和思路。
通过深入研究参数方程在解析几何中的应用，可以更好地理解几何图形的本质及其特性。
【关键词】参数方程、解析几何、曲线绘制、曲线长度计算、曲线曲率计算、曲线与曲线的位置关系、曲线的投影问题、结论1. 引言1.1 参数方程在解析几何中的妙用参数方程在解析几何中的妙用可以说是数学领域中一种非常重要且广泛应用的方法。
参数方程的引入，使得我们可以更加灵活地描述曲线的形状和性质，从而深入研究各种几何问题。
通过参数方程，我们可以清晰地描绘出曲线在平面上的轨迹，进一步分析曲线的特征。
在解析几何中，参数方程在曲线绘制中的应用尤为突出。
通过选取适当的参数，我们可以方便地控制曲线的形状，如椭圆、双曲线等，进而对曲线进行可视化展示和分析。
参数方程还可以帮助我们计算曲线的长度、曲率，探讨曲线与曲线之间的位置关系，解决曲线的投影问题等。
可以说参数方程在解析几何中的妙用不仅在理论研究中具有重要意义，也在实际问题求解中发挥着重要作用。
通过对参数方程的灵活运用，我们能够更深入地理解和研究各种曲线及其性质，为解析几何领域的发展与应用提供了强有力支撑。
2. 正文2.1 参数方程在曲线绘制中的应用参数方程在曲线绘制中的应用是解析几何中一个非常重要且广泛使用的领域。
参数方程的引入，能够让我们更加直观地理解和描述曲线的形状和运动特性。
参数方程可以帮助我们描述复杂的曲线形状。
通过引入参数，我们可以将曲线上的每一个点表示成一个参数的函数，这样就能够准确地描绘出曲线的每一个部分。
例谈参数方程在解析几何中的应用
线上任一点，则直线的参数方程为
=x =y
x0 + t cosα （ t 为参数， y0 + t sinα
PP0 = t ）。
（二）圆的参数方程
已知圆的圆心坐标为 (a,b) ，半径为 r ，则圆的参数方程
为
x= y=
a + r cosθ （ θ 为参数，表示动半径的旋转角）。 b + r sinθ
( ) ( ) PF1 = (−1,0) − 5 cosθ ,2sinθ = −1 − 5 cosθ ,−2sinθ ( ) ( ) PF2 = (1,0) − 5 cosθ ,2sinθ = 1 − 5 cosθ ,−2sinθ ( ) ( ) PF1 ⋅ PF2 = −1 − 5 cosθ ,−2sinθ ⋅ 1 − 5 cosθ ,−2sinθ
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2019 年第 23 期（总第 347 期）
教育界 / EDUCATION CIRCLE
例谈参数方程在解析几何中的应用
东莞理工学校 叶春暖
课例评点
【摘要】用代数的方法解决几何问题是解析几何的基本思想。在高职高考中，涉及解析几何动点问题的题目难度较大， 在方法选择上，学生常用普通方程进行解答，运算量大，影响解题速度，而灵活运用参数方程将大大降低运算量。文中通过 一些例子，介绍了参数方程在解析几何中的应用，以供读者参考。
【关键词】参数方程；解析几何；中职数学
一、常见的几种参数方程
参数思想和参数方程在解析几何中有着广泛的应用，在
解决有些问题时，合理地使用参数方程，能减少计算量，从
而化繁为简，提高解题速度。常见的几种参数方程有以下几
种。
（一）直线的参数方程
已知直线过定点 P0 ( x0, y0 ) ，倾斜角为 α ， P ( x, y) 是直
微专题：齐次化运算在解析几何中的应用 教学设计-2022届高考数学专题复习
教学设计：微专题：齐次化运算在解析几何中的应用综述：直线与圆锥曲线位置关系，是高考的一个难点，而其中一个难在于运算，本微专题的目标在于采用齐次化运算解决直线与圆锥曲线的一类：斜率之和或斜率之积的问题。
授课对象为基础较好的同学。
重难点一是在于消元的方法，即怎么构造齐次化方程，二是本方法的适用范围。
亮点是用平面几何的视角解决本问题。
并以圆为载体，提出解决本问题的定理。
（因微课时间所限，本人截取本微专题局部加以录制） 一．齐次化运算的前世—韦达定理韦达定理：设关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=的两根为12,x x ，则1212,b cx x x x a a+=-=.本定理是本节课的理论基础..引例1：关于x 的一元二次方程方程：22210x x --=的两根为12,x x ，求1211x x +的值. 解法一：因为12121212121111,,22x x x x x x x x x x ++==-+==- 解法二：如果可以建立关于以1x为未知数的一元二次方程，那么1211x x +就是对应方程的两根之和了。
显然0x =不是方程22210x x --=的根，方程22210x x --=两边同时除以2x 可得：关于1x 为未知数的一元二次方程: 211220x x ⎛⎫+⋅-= ⎪⎝⎭,则由韦达定理可得：12112x x +=-. 引例2：设()()1122,,,x y x y 是方程组{241y x y x ==-的两组根，求12121212,y y y y x x x x +⋅的值。
分析：如果可以建立关于以y x 为未知数的一元二次方程20y y A B C x x ⎛⎫+⋅+= ⎪⎝⎭，那么12121212,y y y y x x x x +⋅就是对应方程的两根之和了。
所以本运算的关键是如何通过消元得到： 220Ay Bxy Cx ++=，再由0,x ≠方程两边同时除以2x 。
消元得到方程220Ay Bxy Cx ++=是个二次齐次式，所以把本计算方法命名为：齐次化运算。
参数思想在解析几何中的应用
参数思想在解析几何中的应用解析几何作为数学的一个分支，主要研究几何图形在坐标系中的表示和性质。
而在解析几何的学习过程中，参数思想的运用显得尤为重要。
参数思想的运用可以方便地描述和分析几何问题，并且可以得到更加一般的结论。
在解析几何中，参数思想被广泛应用于各种几何问题的解析与讨论中，本文将重点介绍参数思想在解析几何中的应用。
1. 参数方程与几何图形的表示在解析几何中，参数方程是描述几何图形的一个重要工具。
采用参数方程可以将几何图形的特征用数学语言来表达，从而方便分析和推导几何问题。
以直线为例，用参数方程来表示直线方程可以更加直观地描述直线的特性。
设直线L的参数方程为{x = x0 + at, y = y0 + bt}，其中(x0, y0)为直线L上一点的坐标，(a, b)为直线L的方向向量，t为参数。
这样就可以通过参数方程清楚地表达直线上的所有点，而不受传统直线方程y = kx + b的限制。
同样地，对于圆、椭圆、抛物线等曲线，采用参数方程也能更加清晰地表达其几何特性。
参数方程的引入使几何图形的表示更加灵活，为解决几何问题提供了有力的工具。
2. 参数方程与曲线的分析在解析几何中，参数方程可以简化曲线的分析与讨论。
以圆为例，其参数方程为{x = r*cos(t), y = r*sin(t)}，t为参数，r为圆的半径。
通过参数方程可以清晰地表达圆上的所有点，而且可以方便地对圆进行分析。
可以通过参数方程方便地求得圆上任意一点的切线方程，也可以方便地求得圆的弧长和曲率等性质。
对于其他曲线，如椭圆、双曲线等，参数方程也能化繁为简地分析其性质。
参数方程的引入使曲线的分析更加直观和便捷，为解析几何中曲线性质的讨论提供了更多的可能性。
3. 参数方程与几何问题的求解在解析几何中，参数方程可以方便地解决各种几何问题。
在平面几何中，可以利用参数方程来求直线与曲线的交点，也可以利用参数方程来解决曲线之间的位置关系。
在空间几何中，参数方程的运用同样方便地可以解决各种空间几何问题，比如求直线与平面的交点，求曲面之间的位置关系等。
参数方程在解析几何中的应用
参数方程在解析几何中的应用
所谓参数方程，就是在已知点处的切线方程的基础上建立起来的联系两个已知点的方程。
《解析几何》作为一门重要的基础课，它不仅为学习《微积分》和《无穷级数》等后续课程奠定了基础，而且其内容广泛，几乎涉及到工程技术的各个领域，更适合于多方面应用。
因此，要想掌握好《解析几何》这门课程，必须首先对参数方程有一个深刻的认识和理解。
参数方程也称为非齐次方程。
参数方程具有下列性质：(1)方程中只含有非负实数的代数式，并且系数和未知数的指数都是整数；(2)方程中出现了未知数的幂，但方程仍然是整式方程；(3)方程的两边都乘以同一个正数或同一个负数，得到的仍然是原来方程的形式。
其中， n是方程中的非负实数，称为参数。
一般地，若参数方程中只含有非负实数的代数式，且其中参数均为整数，则该方程为线性方程。
也可称为非齐次线性方程。
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参数方程在解析几何中的妙用
参数方程在解析几何中的妙用解析几何是数学经典分支，它研究了几何图形的性质与方程之间的关系。
在解析几何中，参数方程是一种非常重要的工具，在研究几何图形中具有独特的妙用。
下面我们来看一看参数方程在解析几何中的应用。
一、描述几何图形参数方程的主要作用之一是描述几何图形。
通过给双变量(x,y)在不同的取值上设定不同的规则，不断地迭代求值，最终将所有得到的点进行连接，就可以形成一条曲线。
这个过程就是参数方程描述几何图形的过程。
例如，$x=t^2-1\qquad y=t+2$如果我们在平面直角坐标系上分别取$-3<t<3$的数值代入以上两个方程，结果就是一条开口向上的抛物线。
这种方法能够描述出非常多样化的几何图形，从平面曲线到空间曲面，甚至还可以描述出更加复杂的几何图形，如曲线囊、纽结等。
二、求图形的参数方程有时候，我们无法通过已知的方式得到一个几何图形的参数方程，但是我们知道它的形状特征。
这时，我们可以通过分析图形的性质来列出方程，然后再根据求解方程的方法得到参数方程。
例如，我们来求圆的参数方程。
已知圆心坐标为$(a,b)$，半径为$r$。
则圆上的任意一点$(x,y)$必须满足以下方程：$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$将其整理得到:$x=a+r\cos\theta\qquad y=b+r\sin\theta$这样，我们就得到了圆的参数方程。
同样的方法也适用于其他的几何图形的参数方程的求解。
三、求曲线的几何性质在解析几何中，我们可以通过参数方程来求取曲线的切线、法线、弧长、曲率和曲面过渡等几何性质。
例如，我们来求椭圆的切线与法线。
椭圆的参数方程为：则椭圆上的任意一点的切线斜率为：$y'x''-x'y''=b^2\cos\theta\sin\theta(a^2\sin^2\theta+b^2\cos^2\theta)^{-\frac{ 3}{2}}$同时，弧长：曲率：$K=\frac{|x'y''-y'x''|}{(x'^2+y'^2)^{\frac{3}{2}}}$这些公式可以通过参数方程直接求取，因此，参数方程具有很高的实用价值。
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参数方程与齐次化方法在解析几何问题中的应用探究复旦实验中学 袁青2013年高考上海理科试卷第22题为解析几何问题，研究讨论直线与曲线位置关系问题，很多学生看着感觉能做，一做却又做错．其实该题并不用于高三阶段一般的解析几何训练题，简单地将问题转化为联立直线与曲线方程，对方程的根进行讨论，与一般直线与圆锥曲线的关系练习题中联立方程之后直接利用根与系数关系研究弦长、面积、定点等问题有是有很大区别的．尤其在（3）中，如果没有办法利用图像先得知1k >，则会很难寻找到与1k ≤的这样一对矛盾关系，而这体现了学生对“解析几何问题毕竟是个几何问题”这一实质的理解．本文对此题解法做进一步探究，研究一下在把握住“解析几何问题毕竟是个几何问题”这一大原则的基础上，参数方程和齐次化方法可能给解题带来的方便．考题再现：（2013年理科第22题，文科第23题）如图，已知双曲线1C ：2212x y -=，曲线2C ：1y x =+．P 是平面内一点，若存在过点P 的直线与1C 、2C 都有公共点，则称P 为“12C C -型点”．（1）在正确证明1C 的左焦点是“12C C -型点”时，要使用一条过该焦点的直线，试写出一条这样的直线的方程（不要求验证）；（2）设直线y kx =与2C 有公共点，求证：1k >，进而证明原点不是“12C C -型点”；（3）求证：圆2212x y +=内的点都不是“12C C -型点”． 标准答案所给解法：（1）1C的左焦点为()，写出的直线方程可以是以下形式：x =(y k x =，其中k ≥ （2）因为直线y kx =与2C 有公共点，所以方程组1y kx y x =⎧⎨=+⎩有实数解，因此1kx x =+，得11x k x +=>． 若原点是“12C C -型点”，则存在过原点的直线与1C 、2C 都有公共点．考虑过原点与2C 有公共点的直线0x =或y kx =（1k >）．显然直线0x =与1C 无公共点．如果直线为y kx =（1k >），则由方程组2212y kx x y =⎧⎪⎨-=⎪⎩得222012x k =<-，矛盾． 所以，直线y kx =（1k >）与1C 也无公共点．因此，原点不是“12C C -型点”．（3）记圆O ：2212x y +=，取圆O 内的一点Q ．设有经过Q 的直线l 与1C 、2C 都有公共点．显然l 不垂直于x 轴，故可设l ：y kx b =+． 若1k ≤，由于圆O 夹在两组平行线1y x =±与1y x =-±之间，因此圆O 也夹在直线1y kx =±与1y kx =-±之间，从而过Q 且以k 为斜率的直线l 与2C 无公共点，矛盾，所以1k >．因为l 与1C 有公共点，所以方程组2212y kx b x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩有实数解，得()222124220k x kbx b ----=． 因为1k >，所以2120k -≠，因此()()()()222224412228120kb k b b k ∆=----=+-≥，即2221b k ≥-． 因为圆O 的圆心()0,0到直线l的距离d =222121b d k =<+，从而2221212k b k +>>-，得21k <，与1k >矛盾． 因此，圆2212x y +=内的点都不是“12C C -型点”． 解法分析：第（2）、（3）两题由于在研究直线与曲线发生的相交的情况，所以主要切入点为函数与方程的思想，将交点个数问题转化为了方程解的个数问题．即使（3）中的直线是不确定的，也从其一般形态y kx b =+入手，使问题得以顺利解决．但（3）中1k >的得出过程并不是每一位同学都能如此严谨地进行表述的．解法另探：可以从参数方程角度将（2）解决，利用齐次化方法对（3）求解．（2）假设原点可以为“12C C -型点”，通过反证法可以得到并不可能．设直线的参数方程cos sin x t y t θθ=⎧⎨=⎩，则代入1y x =+可得11sin cos 1t t θθ=+，代入2212x y -=可得222222cos 2sin 2t t θθ-=． 所以，()1sin cos 1t θθ-=，()2222cos 2sin 2t θθ-= 由此可知sin cos 0θθ->且22cos 2sin θθ>所以sin cos θθθ>>，则sin 0θ<，并不可能发生，假设不成立．所以得证原点并不是“12C C -型点”．另外，由于y kx =与1y x =+相交时有sin cos θθ>，则可同样得证sin 1cos k θθ=>． （3）记圆O ：2212x y +=，取圆O 内的一点Q ．设有经过Q 的直线l 与1C 、2C 都有公共点．显然l 不垂直于x 轴，故可设l ：y kx b =+．由（1）可知Q 不是()0,0，则0b ≠∵直线过圆内一点∴d=<，则2221b k<+①∵22112y kxbxy-⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩∴2222x y kxyb-⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即()()2222222420b y kxy k b x+-+-=∴()()222222420y yb k k bx x⎛⎫+-+-=⎪⎝⎭∴()()2222224216422216880k b k b k b b b∆=-+-=-++≥，则2221k b≤+②∴由①②可知21b<且21k<∴假设y kx b=+与1y x=+交于第一象限点（注：不可能交于()0,1，与1b≠矛盾）∴1y kxy xb--==，则()1yb b kx-=-∴11y b kx b-=>-∵1b<∴1b k b-<-∴1k>显然与21k<矛盾∴假设不成立因此，圆2212x y+=内的点都不是“12C C-型点”．以上三种方法其实在适当的背景下都可使用，灵活运用可为解题带来极大的方便．如下几例：例1、已知椭圆2212416x y+=，直线l：1128x y+=．点P是l上一点，射线OP交椭圆于点R，又点Q在OP上，且满足2OQ OP OR=g．当点P在l上移动时，求点Q的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．解法一：联立直线与曲线方程解法设OP：y kx=∴1128y kxx y=⎧⎪⎨+=⎪⎩，则2432xk=+，由此可知22424,3223kPk k⎛⎫⎪++⎝⎭∴2212416y kxx y=⎧⎪⎨+=⎪⎩，则R⎛±⎝∴()()2222R R P QOR x k x=+=g g∴248243232Qxkk=++∴()223232Q Q Q k x k y kx ⎧+=⎪+⎨⎪=⎩则2226432xy x x y x +=+，则222346x y x y +=+ ∴2224360x x y y -+-=，除()0,0外．∵OP 斜率不存在时，()0,8P 、()0,4R ∴284OQ =g ，则()0,2Q∴轨迹方程为2224360x x y y -+-=解法二：参数方程设()11cos ,sin P t t θθ、()cos ,sin Q t t θθ、()22cos ,sin R t t θθ ∴212t t t =g 则221t t t =g ∴111128cos sin 1128x y t t θθ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，则1242cos 3sin t θθ=+ 2222222212416cos sin 12416x y t t θθ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，则2222162416cos 24sin t θθ=+g ∴2222416242cos 3sin 16cos 24sin t t θθθθ=++g g g ∴22222cos 3sin 2cos 3sin t t t t θθθθ+=+∴轨迹方程为2224360x x y y -+-=解法三：利用齐次化方法的思想（可设OP ：y kx =，也可不设）由于OQ uuu r 、OP uu u r 、OR uu u r 同向，设(),Q x y ，(),R x y λλ，则()22,P x y λλ（0λ>）222222124161128x y x y λλλλ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，则222416128x y x y +=+，记为点Q 的轨迹方程 利用齐次化方法对“解法二”进行改良： ∵22221122cos sin cos sin 11282416t t t t θθθθ+==+且221t t t =g ∴221111cos sin cos sin 11282416t t tt tt θθθθ+==+ ∴22cos sin cos sin 11282416t t θθθθ+==+ ∴2222cos sin cos sin 11282416t t t t θθθθ+==+∴221282416x y x y +=+例2、若抛物线21y ax =-（0a ≠）上总存在关于直线0x y +=的对称的两点，试确定a 的取值范围． 解法一：参数方程解法设()11,A x y 、()22,B x y 是抛物线上关于直线0x y +=对称的两点，()00,M x y 是中点设直线AB 的参数方程为00cos 4sin 4x x t y y t ππ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，t R ∈ ∴222000cos 2cos sin 10444a t ax t ax y πππ⎛⎫⎛⎫+-+--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ∵120t t += ∴012x a=，则0012y x a =-=- ∴2011122a a a a >⎧⎪⎨⎛⎫->-⎪ ⎪⎝⎭⎩g 或2011122a a aa <⎧⎪⎨⎛⎫-<-⎪ ⎪⎝⎭⎩g ∴34a > 解法二：参数方程解法∵120t t <g 即()200110ax y a --< ∴34a >例3、设P 为椭圆2236x y +=在第一象限内部分上一点，已知60xOP ∠=o ，过点P 的两条弦PA 、PB 的倾斜角互补．求证：直线AB 的斜率k 为定值．解法一：联立方程取OP：y =则(P设PA：(1y k x -=，则PB：(1y k x -=-．∴()22136y kx x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩则()()()222321160k x k x +++-=∴1P A A x x x +=+=，则?A x =，?A y = ∴同理求出B x 、B y的值，则AB k =（代入运算即可）解法二：齐次化方程解法将坐标原点移到(P ，则椭圆方程()(223'1'6x y ++=，即()()223''6''''0x y x ax by ++++=g整理：())2''126630''y y b a x x ⎛⎫+++++= ⎪⎝⎭∵PA 、PB 斜率为1k 、2k 就是方程的两个根∴1260b k k ++==则AB a k b=-=由此可见，其实几种解法在某些背景下都可使用，相互参照还能对现有思路进行更妙的改良．2013年的考题告诉我们在解析几何问题中需要认识到其几何本质，如果单纯地认为解析几何就是联立方程，那很多问题不但会做得很复杂，有时还会无从下手，甚至误入歧途．在此背景下，借助于对图像的理解，参数方程与齐次化方法不失为解决某些问题的好方法，遇到思维卡顿时，不妨一试．。