高一数学必修5不等式

高一数学必修5不等式与不等关系总复习学案(教师版)

编写：邓军民

一，复习

1. 不等关系：参考教材73页的8个性质；

2. 一兀二次不等式ax 2bx - C ∙0( a ∙0)与相应的函数y = ax 2∙bx ■ c(a . 0)、相

2

：：：0

2.. .. -L a

ax bx C ：：：0 ( a = 0 )恒成立：= .

L - ：：0

4. 一般地，直线y =kx ∙b把平面分成两个区域(如图)：

y kx b表示直线上方的平面区域；y ：：：kx ∙b表示直线下方的平面区域.

说明：(1) y _kx b表示直线及直线上方的平面区域；

y乞kx ■ b表示直线及直线下方的平面区域.

(2)对于不含边界的区域，要将边界画成虚线.

2

a • 0

ax bx C 0 ( a = 0 )恒成立：= .

二：■ 0

5. 基本不等式：

(1) .如果a, b 三R ，那么a 亠b 亠2 ab .

(2). ab <

a b

(a . 0, b .0).

2

(当且仅当a =b 时取“ J')

2 . _ .

=0的解为X 1

= 3, X 2

= 4 .根据y = X - 7x 12的图象，可

得原不等式X2 -7x ■ 12 - 0的解集是{ x | x ：：: 3或X 4}. (2) 不等式两边同乘以 -1 ,原不等式可化为X 2

∙ 2x - 3 _0 .

方程 X 2

∙ 2x 「3 =0 的解为 X 1

= -3, X 2

=1 .

根据y =χ2

∙ 2x -3的图象，可得原不等式-X 2

-2X • 3 _0的解集是

{ X |一 茫 X 乞 1.}

2

(3) 方程X -2x 1 =0有两个相同的解x 1

= X 2

=1.

根据y =χ2

-2x ' 1的图象，可得原不等式

X 2

-2x ，1 ：：： 0的解集为".

⑷因为■■■： < 0 ,所以方程X 2

-2x 2=0无实数解，根据y =χ2

-2x • 2的图象，可

得原不等式χ2

-2x 2 ：：： 0的解集为•一.

X 3

练习1. (1)解不等式

<0 ；(若改为

< 0呢？)

X+7

X +7

2 X - 3

(2)解不等式

1 ;

X +7

二.例题与练习

例1. 解下列不等式： 2

(1) X -7x 12 ■

0 ；

2 2

(2) 「x 「2x 3_0 ；

2

(4) X -2x 2 ：：: 0 .

解: (1)方程 x 2

-7x 12

由韦达定理知:

-5 1 = m m = —4 -5 1 = n

n = —5

练习2 .已知不等式ax 2

bx 的解集.

C 0的解集为｛ X | 2 ：：: X ：：: 3｝求不等式 ex 2 _ bx a - 0

-5a

C 解：由题意 CI 2汉3 =—

a

即」C= 6a

a ：： 0

代入不等式CX - bx

a ：： 0

0 得： 6a^

5 ax a ∙ 0（ a ：：: 0）.

2

1

1

即6x ■ 5X 1 <0 ,.所求不等式的解集为{X | X }. 3

2

X -4y _ -3 I

例3.设z =2x ∙ y ,式中变量x,y 满足条件 3x 5^25 ,求Z 的最大值和最小值.

X _1

解：由题意，变量X, y 所满足的每个不等式都表示一个平面区域，不等式组则表示这些 平面区域 的公 共区域•由图 知，原 点(0, 0)不在公共 z = 2

X ' y = 0，即点(0,0)在直线 I : 2 X ■ y = 0 上， 作一组平行于I 0

的直线l : 2x y =t , t ∙ R , 可知：当I 在∣0的右上方时，直

线I 上的点(x, y) 满足2x y ■ 0 ,即t 0 , 而且，直线I 往右平移时，t 随之增大. 由图象可知，

当直线I 经过点A(5, 2)时，对应的t 最大， 当直线I 经过点

B(1,1)时，对应的t 最小， 所以，

Z maX =

5 2 ^12 , Z min =1 '^3 .

解：（1）原不等式=（X +7 >0,或 / +7 <,0,二 HoB "x —3 ∙<0 X —3 >0 （该题后的答案:{ X | -7 ：：： X 乞3}）.

X -10

亦

（2）

0 即.{x | _7 ：：：x ：：： 10} •

X 十7

例2.已知关于X 的不等式 X — mx + n 兰0的解牛集是{ X | —5兰X 兰1},求实数 m, n 之值.

2

解：；不等式

0 的解集是{ X I -5 _ X _1}

F B B

X 1 = —5, X 2 =1 是 X - mx ■ n = O 的两个实数根，