第2章-张量分析(清华大学张量分析-你值得拥有
张量分析清华大学张量分析你值得拥有
g是正实数（右手系）
斜角直线坐标系旳基矢量与矢量分量
➢ 三维空间中旳斜角直线坐标系和基矢量
定义逆变基矢量 g j，满足对偶条件：
g j gi ij (i, j = 1, 2,3)
问题：已知 gi，怎样求 g j ？
※ 根据几何图形直接拟定
由对偶条件可知， g1与 g2 、g3 均正交，所以正交于 g2与 g3所
第1章 矢量与张量
2023年12月12日
张量旳两种体现形式
实体形式
分量形式
几何形式 定义式
代数形式 计算式
概念旳内涵和外 延（定量）
怎样计算？
主要内容
➢ 矢量及其代数运算 ➢ 斜角直线坐标系旳基矢量与矢量分量 ➢ 曲线坐标系及坐标转换关系 ➢ 并矢与并矢式 ➢ 张量旳基本概念 ➢ 张量旳代数运算 ➢ 张量旳矢积
g1 1
g2 x1(cos x2 cos x3i cos x2 sin x3 j sin x2k) g2 x1
g3 x1注sin:x2(()s式in 只x3i对 c正os交x3曲j) 线坐标系成立，g3 x1 sin x2
☆正交曲可作线为坐求标正系交与系L中am度é量常张数量旳一种措施。
y
※平面极坐标系
(x, y) (x1, x2)
r
g gr
(r, ) (x1, x2 )
矢径：
r x1i x2 j
j
x1
x2
(x1)2 (x2)2
arctan
x2 x1
x1
x1
cos
x2
x2 x1 sin x2
i
x
平面极坐标系
xi' = xi' xi
r g1 i cos x2 j sin x2
(最新整理)张量基础知识
2021/7/26
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二阶张量 三阶张量 四阶张量
Tij* aik a Tjl kl
T* ijk
aila jmaknTlmn
T* ijkl
aima jnakoalpTmnop
Tij akialjTk*l
Tijk
ali
amj
ank
T* lmn
Tijkl
ami
anj
aok
a
pl
T* mnop
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xi' x i' j j
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同理
xi x ij' j'
同二维问题，可得
ij' j'k
ik
（正交性）
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于是得到最终的矢量变换法则如下
P*P A 1PA
a11 a21 a31
P1* P2* P3* P1 P2 P3a12 a22 a32
a13 a23 a33
有些量虽然在坐标变换时数值不变，但其符号在第二类 点操作时发生改变，这称为赝标量。
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二、矢量
有一些物理量，它既有大小，又有方向，如力、速度、 电场强度等，这些物理量需要指明其大小和方向才能完全描
述，称为矢量。取直角坐标系OX1X2X3,设有矢量 f ，在三 个坐标轴方向上的投影分别为 f 1, f 2, f 3 ，于是我们将 f 表 为： f (f1, f2, f3)。
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1 同一个方程中各项自由标必须相同
2 不能改变某一项的自由标，但所有项的 自由标可以改变
如： ajixi bj
第2章 张量分析(清华大学张量分析,你值得拥有)
( Nij ij )a j 0 det( Nij ij ) 0
利用指标升降关系 a为非0矢量 利用主不变量
N ( ) 3 J1N 2 J 2 J3N 0
二阶张量的标准形: 张量最简单的形式
非对称二阶张量
•
请研究以下领域的同学关注。 1、应变梯度理论，偶应力理论 2、电流场，电磁流变（有旋场）
x
x
椭圆曲线的坐标变换
正交变换可使椭圆曲线的方程由以下一般形式
ax bxy cy d 0
任意二阶张量将一线性相关的矢量集映射为线性相 关的矢量集：
(i)u(i) 0
i 1
l
l l 0 T (i)u(i) (i)(T u(i)) i 1 i 1
正则与退化的二阶张量
•
3D空间中任意二阶张量T将任意矢量组u，v，w映射 为另一矢量组，满足：
N S
1 p
S S1e1e1 S2e2e2 S3e3e3
Si N i
1 p
几种特殊的二阶张量
正张量的对数
N N1e1e1 N2e2e2 N3e3e3
ln N ln N1 e1e1 ln N2 e2e2 ln N3 e3e3
Nij N ji Ni j Nij Nij N ji N ij N ji
N 1 NT 1
( ) , ( ) , ( ) ,
N T 1 N 2 N T 3 N 3 N T 2 N 4
NT 4
N T ( 4 )
反对称张量与其转置张量分量及二者所对应的矩阵
二阶张量的行列式
张量分析第二部分
2.6 张量函数的导数1.张量函数的定义张量函数是指自变量是张量，而函数值是标量、矢量和张量的函数。
例如()B f f =，()ij B f f = (2.6.01)()B a a =，()ijkkB a a = (2.6.02) ()BC C =，()ijk k B C C 11= (2.6.03)分别称作二阶自变量张量B 的标量值、矢量值和二阶张量值的张量函数。
一般说来，这些分量函数的形式在不同坐标系中是不同的，如果它们对所有的单位正交基是相同的，我们就称它们是各向同性张量函数。
2.张量函数的梯度现在考虑只有一个二阶自变量B 的标量值张量函()B f 数。
B 的增量d B 和f 的微分df 仍然是二阶张量和标量。
这时ij ijdB B fdf ∂∂=(2.6.04) 写成不变性形式，则有B Bd d dfdf :=(2.6.05) 根据商法则可知Bd df也是二阶张量，称之为f 的梯度。
若B 是二阶对称张量，则f 是B 的六个独立分量的函数。
这时在求f 的梯度时，需先在f 里用()ji ijB B+21代替ij B ，求得扩充后的九个偏导数后再按ji ij B B =简化。
例如()()()2211221241B B B f +==B (2.6.06) 于是()1221121221B B B B f =+=∂∂ (2.6.07) 121221B fB B f ∂∂∂∂== (2.6.08) 这一点需要切记，否则如果对()212B f 直接求导，就会导致12212B B f =∂∂的错误结果。
任意二阶张量B 的三个主不变量也是张量函数。
现求它的梯度如下。
由式(1.11.07)—式(1.11.09)知ir ri βδ=1I (2.6.09)js ir rst ijt B B e e 212=I (2.6.10) kt js ir rst ijk B B B e e 613=I (2.6.11)于是mn rn im ri mnrri mn B B B I δδδδ∂∂δ∂∂===11 (2.6.12) ()mnjs ir rst ijt mn B B B e e B I ∂∂∂∂212= (2.6.13) ()()sn jm ir js rn im rj is js ir B B δδδδδδδδ+-=21()[]nm jj mn B B -=δ221()Tmn mn jj B B -=δ (2.6.14)()mnkt js ir rst ijk mn B B B B e e B I ∂∂∂∂613= ()tn km js ir kt js sn jm ir kt js rn im rst ijk B B B B B B B e e δδδδδδ++=61kt js nst mjk B B e e 21=()()()[]kt js js kn ks jn mt jt kn kt jn ms ks jt kt js mn B B δδδδδδδδδδδδδδδ-+---=21()[]mm jj km nk km nt kk nm kt tk kk jj mn B B B B B B B B B B B B -++--=δ21()()()tn T mt T Tmn kk mn kt tk kk jj B B B B B B B B +--=δ21 (2.6.15)把上列三式写成对任何坐标系都适用的不变性形式，则有I B =d dI 1(2.6.16) T I d dI B I B -=12(2.6.17) ()2123T T I I d dI B B I B+-= (2.6.18) 利用式凯莱—哈密顿定理(1.12.09)，我们可将式(2.6.18)写成下列形式：()313I B B-=T d dI (2.6.19)在实际应用中常出现复合函数的情形，这时可以利用链式法则进行运算。
弹性力学-第二章 张量基础知识
′ x1 = a11 x1 + a12 x2 + a13 x3
′ x2 = a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 ′ x3 = a31 x1 + a32 x2 + a33 x3
张量基础知识§ 第二章 张量基础知识§2-1
坐标系和矢量
e′ = Aije j i
表示
i 为自由指标，j 为哑标 为自由指标，
x3
(2.2)
e3 x1
e1 e2
x2
张量基础知识§ 第二章 张量基础知识§2-1
坐标系和矢量
A:求和约定、 A:求和约定、哑指标 求和约定 S = a1 x1 + a2 x2 + ⋯ an xn
= ∑ ai xi = ∑ a j x j = ∑ ak xk
i =1 j=1 k =1 n n n
显然， 与求和无关，可用任意字母代替。 显然，指标 i, j, k 与求和无关，可用任意字母代替。 为简化表达式，引入Einstein求和约定： Einstein求和约定 为简化表达式，引入Einstein求和约定：每逢某个指 标在一项中重复一次 就表示对该指标求和， 重复一次， 标在一项中重复一次，就表示对该指标求和，指标取 遍正数1 这样重复的指标称为哑标 哑标。 遍正数1，2，…，n。这样重复的指标称为哑标。 于是 or or
i, j, k为顺序排列 为顺序排列 i, j, k为逆序排列 为逆序排列 i, j, k有两个相等 有两个相等 (2.5)
例如： 例如：
e123 = e231 = e312 = 1 e321 = e213 = e132 = −1 e111 = e121 = e232 = ⋯ = 0
数学张量分析
divT T
divT T Tkiek ei e j j
ij
Tki x j
ek
Tki xi
ek
iTkiek
一般地，divT di，vT当T为对称张量的时候，两者相等
5 旋度
矢量场的旋度：
左旋度：
r
r
curla a
展开后有：
uur
ur
(ekk )(ai ei )
uur
＝ ekijk ai ej
(i j f )ij
ii f 11 f 22 f 33 f
2 f 2 f 2 f
x2 y2 z2
2.3 物质导数
r 若 f f (t, r(t))
则：Df f f r f f x f y f z
Dt t r t t x t y t z t
f
x
y
z
t (1 f ) t (2 f ) t (3 f ) t
ur ur 原式 (i ei )(a j ej )
ia j ij iai
1a
右散度表示为： diva a
diva a
ei i a je j
ij
a j xi
ai xi
iai
a1 a2 a3 x1 x2 x3
ur
uur
ur
(2a3 3a2 )e1 (3a1 1a3)e2 (1a2 2a1)e3
（ az
-
ay
r ）i （
ax
-
az
r ）j
（
ay
-
ax
r ）k
y z
z x
x y
右旋度：
curla a a j e j ei i
ej
第2章 张量分析(6.8)
第2章 张量分析§2.1矢量空间、基、基矢1．线性矢量空间设有n 个矢量,1,2,,i i n =a ，它们构成一个集合R ，其中每个矢量i a 称为R 的一个元素。
如()i j i j +≠a a 唯一地确定R 的另一个元素，及i k a （k 为标量）也给定R 内唯一确定的元素，则称R 为线性（矢量）空间。
R 中的零元素记为O ，且具有i ⋅=O a O .2．空间的维数设i α为m 个标量，若能选取i α，使得10mi ii =α=∑a且i α不合为零，则称此m 个矢量线性相关，否则，称为线性无关。
例1 位于同一平面内的两个矢量1a 和2a （如图）是线性无关的，即11220α+α≠a a 若1α和2α为任意值，且不全为零。
例2 位于同一平面内的三个矢量1a ，2a ，3a 是线性相关的，则恒可找到1α,2α,3α（不全为零）使1122330α+α+α=a a a 如图： 21133''=α+αa a a集合R 内线性无关元素的最大个数称为集合或空间的维数。
设R 的维数为n ，则记为n R ，欧氏空间为3R 。
3．空间的基和基元素n R 中任意n 个线性无关元素的全体称为n R 的一个基。
基的每个元素称为基元素，由于n R 的n 确良基元素是线性无关的。
于是n R 内任一个元素r 可表示成基元素的线性组合。
设(1,2,,)i i n =a 为n R 的任选的基，则有：10ni ii ='α≠∑a，i α'为任意的不全为零的标量但总可选取00≠α及i α不全等于零，使得010ni i i =α=α=∑r a或者2a1a21x2x3xi i x =r e110()nnii i i i i ==α=-=ξα∑∑r a a①i αα,00≠ 不全等于零，所以i ξ不全等于零，且为有限值。
② n R 内有无限个基，但只有一个基是独立的，因为n R 内至少只有n 个元素是线性无关的。
张量分析第二章
x2 x i2 i1 i2 r x1 o i1 图2－11
1
n
1
n
x = x1 (t1 , L , tn )i1 + x2 (t1 , L , tn )i2 + x3 (t1 , L , tn )i3 = xi (t1 , L , tn )ii
（2.3-4）
称为多参数变量矢量函数的矢量方程。 x (t , L , t ), x (t , L , t ), x (t , L , t ) 称为多参数变量矢量函数的参数方 程。参数方程在 {o；i1，i2，i3} 中描绘的曲线称为矢端曲 线（面）。 具有一个参数的矢量函数矢端曲线（二维映射分析）： 设x = x (t) , b≤t≤a。在平面坐标系{o；i1，i2}中，矢量x 随t的变化，且： x = x (t )i + x (t )i x完全由x1(t), x2(t)的变化确定。 对t的每一个给定值t = t * (b≤ t*≤a)，由 x1(t), x2(t)在i1，i2 坐 标轴上确定两个点。其坐标值为 x (t ), x (t )（如图2－12所示）。 同时在坐标系{o；i1，i2 }中 uur x (t ), x (t ) 坐标确定一点A*。位置矢量 oA* = x (t ) 显然随t在[a ，b]区间的不同取值x (t)位置矢量平面描绘一条曲线。
1 1 n 2 1 n 3 1 n
的坐标 x (t , L , t ) , x (t , L , t ) , x (t , L , t ) 当 t → t 存在，且极限值为 x , x , x ，则当 t → t 的极限存在。且 x (t , L , t ) 的极限为：
0
01
, L , t n → t0 n
张量分析
张量分析研一 熊焕君 2017.9.281.引论：我们对标量和矢量都非常熟悉。
标量是在空间中没有方向的量，其基本特征是只需要一个数就可以表示，且当坐标系发生转动时这个数保持不变，因此也称其为不变量。
而矢量是个有方向的量，三维空间中矢量需要一组三个数（分量）来表示，其基本特征是当坐标系发生转动时，这三个数按一定规律而变化。
然而在数学物理问题中，还常出现一些更为复杂的量，如描述连续体中一点的应力状态或一个微元体的变形特征等，仅用标量和矢量不足以刻画出他们的性质。
要描述这些量则有必要将标量和矢量的概念加以引申和扩充，即引入新的量——张量。
在概念上，张量和矢量有许多类同之处。
一方面张量也表示某一客观存在的几何量或物理量，显然张量作为一个整体是与描述它所选取的坐标系无关，可像矢量代数那样，用抽象法进行描述；另一方面也可像矢量一样采用坐标法进行描述，此时张量包含有若干个分量元素，各个分量的取值与具体的坐标系相关联。
张量的主要特征是，在坐标系发生变化时，其分量取值遵守着一定的转化定律。
张量方法的核心内容是研究一个复杂的量集坐标转换规律。
我们知道，一个物理定律如果是正确的，就必须不依赖于用来描述它的任何坐标系，张量方法就是既采用坐标系，而又摆脱具体坐标系的影响的不变方法。
于是我们可以在简单的直角坐标系中建立描述某一运动法则的支配方程，如果需要可以用张量方法将其转换到任意一个曲线坐标系中去。
例如对于很大一类边值问题，若选用恰当的曲线坐标系，其边界条件可以简化的表达，那么我们就可以将支配方程用张量方法转化到所采用的坐标系中来，从而使问题的求解容易处理。
2.记号与约定张量是包含有大量分量元素的复杂量集，必须使用适当的记号和约定，才能使其表达形式简化紧凑，从而使分析和讨论有序地进行。
从某种意义上讲，可以说张量是对记号的研究。
所以我们必须熟悉各种约定记号，才能对张量这个工具运用自如。
在张量方法中对一个量的标记采用字母标号法。
张量分析-第2讲
张量分析 ( Tensor analysis)
华中科技大学力学系 罗俊
版权所有 2011 华中科技大学力学系
1
1.5 坐标变换
已知某物理量或数学物理方程在一个坐标系的表达式, 求它在其它坐标系的相应形式。 旧坐标系 新坐标系
10
3. n阶张量 设物理量T共有3 个分量，且满足坐标变换关系:
n
T
' ' i1 i n
T
' ' i1 in
' i1 j1
' i2 j2
' in j2
j1 j n
则称T为n阶张量。 T
称为n阶张量T的逆变分量。
总共多少种分量? 每种多少个分量? 坐标变换关系如何写? 指标升降关系如何写?
T ab 是二阶张量，将a, b在基矢上分解 :
T ab a i g i b j g j ai g i b j g j a i b j g i g j ai b j g i g j
相应地:
T T g i g Ti g g j T g i g j Tij g g
5
坐标变换系数求法
协变变换 旧---新
j x i 'j i ' x
j' x i j ' i x
逆变变换
i' x ij ' j x
i x ij ' j ' x
互逆
新---旧
4. 矢量分量的坐标变换关系 根据基矢的坐标变换关系可以得到矢量分量的坐标变 换关系:
附录：张量分析
ui ei (2)分解式记法： u＝u1e1+u2e2+u3e3= i 1
分量和基矢量
(3)分量记法：
ui(i＝1，2，3)的集合
张量是具有多个分量的复杂物理量，为表达简洁，需引入一些记号和约定
指标符号
指标符号： 对于一组性质相关的n个量用相同的字母加不同的指标符号来表示
举例——
◈
a的n个分量
∑：通过哑指标可把多个项缩写成一项，通过自由指标又把多个方程缩写成一个方程。
指标符号使书写简洁，但也必须小心，因为许多重要的含义往往只表现在指标的细微变化上。
§ A.2 符号δij与erst
本节介绍两个张量分析中的常用符号
一、符号δij ，称为“Kronecker delta” 【使重复下标求和约定更加方便】
内容梗概
【坐标变换揭示各类量的性质、张量方程的特点等】 求和约定: 多项简写 自由标: 多个方程简写 符号δij 符号erst
哑标
⇒
自由标
⇒
换标符δij
⇒ 排列符erst
张量分析引论
张量分析以简洁的表达形式和清晰的推导过程描述复杂问题，被近代力学文献和教科书普遍采用。 本附录着重介绍笛卡儿坐标系和正交曲线坐标系中的张量。
❷ 同一项中出现两对（或几对）的不同哑标，表示重复求和。(共九项求和)
❸ 若对在同项内出现两次以上的指标进行遍历求和，一般应加求和号，或者，在多余指标下加一横， 表示该指标不计指标数。如：
❹ 当自由指标在同项内出现两次时，应申明该指标不求和。 或者，在其中一个指标下加一横，表示该指标不求和。例如：s＝aii原表示s＝a11+a22+a33 , 但
§A.1
矢量和张量的记法，求和约定
第二章张量分析
rT
ij
k
r i
g
j
g
k
rT rj k g j k
若 T a ai )
gr [(rai )gi ai pri g p ]
r
ai
r i
ai
p r ri p
rar
ai
r ri
r ri
i (log
g ) r (log
g)
div a rar arr (log
每项偏导只对其后带点的符号求导
2.10.1协变导数
i p
gr[(rT ij k )gi
gj
gk
T ij k
(
g p ri p
gj
gk
g p rj i
gp
gk
g k rp i
gj
g p )]
j p
k p
g r [(rT ij k ) gi
gj
gk
T ijk (
g i
rp i
gj
gk
g j
rp i
iak
ak ;i
iak
ap
k ip
2.10.2 逆变导数
协变导数的指标是张量指标，故可通过逆 变度量张量升高协变导数的指标来定义逆变 导数如下：
sT ij k g srrT ij k
2.10 不变性微分算子
––– 梯度、散度、旋度、拉普拉斯算子
以三阶混合张量
T T ij k gi g j gk T ij k gij k
若 T a ai gi ，则 curla grr (ai gi ) gr r (ai gi )
gr r ai gi gr gir ai srir ai gs
2.10.4拉普拉斯算子 设 T T ij k gi g j gk 2T T rrT ij k gij k
第二章 张量分析
P P x1' , x 2' , x 3' P x i'
这种坐标系记为 xi。' 这两组变量
x1 , 和x 2 , x 3 表示x同1' 一, x空2' , x 3'
间点的位置。两者由下列坐标变换联系起来：
xi xi xi'
aigi a jg j aia j gi g j
aiaj 0
令
gij gi g j
g ij g i g j
gi j gi g j g j gi
它们分别称为协变度量张量、逆变度量张量和混合度量张量
考虑到矢量a的任意性 g ji gi g j i j
可知：基矢量 g与i 是g i 正交的，它们称为互逆基矢量 互逆基矢量间具有下列关系：
gig j g k gi g j g k gig j g k eijk
这两个量定义为爱丁顿(Eddington)张量并分别记为 和ijk 。ijk
由此定义可知
123 g1g 2g3
123 g1g 2g3
对于矢量 a 0 ，则有
a 2 a a a i g i a j g j a i a j g i g j ai gi a j g j ai a j gi g j
(ii) x 2' (常 数 C)为2 通过z轴的平面； (iii) x3' (常z 数 C)3为垂直于z轴的平面；
和坐标曲线：
(i) x1' 和r C1 x的2' 交线 (zC线2 )是直线； (ii) x 2' 和 C2 的x3'交线z (r线C3)是直线；
张量分析各章要点
各章要点第一章：矢量和张量指标记法：哑指标求和约定 ：同一项中出现一对相同的协、逆变指标则对该指标求和 自由指标规则：同一项中只能出现一次，不同项中保持在同一水平线上 协变基底和逆变基底：ki k i i x ∂∂==∂ξ∂ξr g e j j i i ⋅=δg giik k x∂ξ=∂g e123 ===g g g 张量概念i i'i'i =βg g i'i'ii =βg g i k i k j j''''ββ=δ i'i'i i v v =β ii 'i 'iv v =β i 'j'i 'j'k l ij ..k 'l'i j k 'l'..kl T T =ββββ i i i i v v ==v g g ..kl ij ijk l T =⊗⊗⊗T g g g g 度量张量ij i i i j i i g =⊗=⊗=⊗G g g g g g g⋅=⋅=⋅=⋅=v G G v v T G G T T.j kj i ik T T g =张量的商法则lm ijk T(i,j,k,l,m)S U = ijk...lmT(i,j,k,l,m)T = 置换符号312n 1n123n i i i i i 123n 1n i i i ...i A a a a ......a a e -- i j k Lmnijk .L.m .n a a a e e A = i j k .L .m .n ijk Lmn a a a e e A =置换张量i j k ijk ijk i j k =ε⊗⊗=ε⊗⊗εg g g g g gijk i j k ()e ε=⋅⨯=g g gijk ijk i j k ()ε=⋅⨯=g g gi j k ijk ijk i j k a b a b ()::()⨯=ε=ε=⊗=⊗a b g g a b εεa b广义δ符号i ii r s tj j j ijk ijk ijk r s t rst rst rst k k k r s te e δδδδδδ==εε=δδδδijk j k j k jk ist s t t s st δ=δδ-δδδijk k ijt t 2δ=δijk ijk 6δ=性质：是张量重要矢量等式：()()()⨯⨯=⋅-⋅a b c a c b a b c第二章： 二阶张量重要性质：T =T.u u.T 主不变量i 1.i Tr()T ζ==T i j l m2l m .i .j 1T T 2ζ=δ 3det()ζ=T1()()(())(())()⋅⋅⨯⋅⋅⨯⋅⨯⋅=ζ⋅⨯T u v w +u T v w +u v T w u v w2)[)][()(]()[()]()⋅⋅⋅⨯⋅⋅⨯⋅⋅⋅⨯⋅=ξ⋅⨯T u (T v w +u T v T w)+T u (v T w u v w （ ()[()()]det()()⋅⋅⋅⨯⋅=⋅⨯T u T v T w T u v w 标准形1. 特征值、特征向量⋅=λT v v ()-λ⋅=T G v 0 321230λ-ζλ+ζλ-ζ= 2. 实对称二阶张量标准形i 123i 112233=⋅⊗=λ⊗+λ⊗+λ⊗N N g g g g g gg g 3. 正交张量（了解方法）12112233(cos()sin())(sin()cos())=ϕ+ϕ⊗+-ϕ+ϕ⊗+⊗R e e e e e e e e4. 反对称二阶张量的标准形21123=μ⊗-μ⊗=μ⨯Ωe e e e e G⋅=⨯Ωu ωu31:2=-=μ⨯ωεΩe u=-⋅Ωεω5. 正则张量极分解=⋅=⋅T R U V R第三章 张量函数概念：各项同性张量函数、解析函数 计算 e T ， sin()T 重要定理：1. Hamilton-Cayley 定理：32321231230λ-ζλ+ζλ-ζ=⇒-ζ+ζ-ζ=T T T G 0 2.对称各向同性张量函数表示定理：2012f ()k k k ==++H N G N N ；其中T T ;==H H N N ；而系数i k 是N 的主不变量的函数。
第二章 正交曲线坐标系中的张量分析与场论
第二章 正交曲线坐标系中的张量分析与场论上一章讨论了张量的代数运算，而连续介质力学要求研究连续介质微元体之间的关系，这就要求把微积分引入张量的运算中，从而形成了张量分析与场论。
本章我们将重点介绍正交曲线坐标系中的张量分析及一些有关场论的知识，关于一般曲线坐标系中张量分析的知识不在我们课程讲授的范围之内，我们在第三章中给出有关内容的简单介绍，供有兴趣者参考。
相对于一般曲线坐标系，有些文献和教科书上也把正交曲线坐标系称为非完整系物理标架。
2.1、矢量函数、及其导数与微分1）.如果一个矢量A 随着某一参数q 在变化，则称这个矢量()q A为矢量函数，在直角坐标，也称笛卡尔坐标中()q A可表示为()()()()k q A j q A i q A q A z y x++=如果把矢量A 的起点放在原点，随着q 的变化，A的端点将在空间描述出一条曲线，这条曲线称为A的矢端曲线，矢端曲线是以参数形式给出的。
矢端曲线上一点M ，矢量叫做点M 的矢径，用r表示。
矢端曲线的参数方程为A r=，即其分量满足的方程为()q A x x =； ()q A y y =； ()q A z z = 例：圆柱螺旋线。
参数方程为：()k a j a i a rθθθθ++=sin cos其中θ为参数。
2）.矢量函数的导数矢量函数的导数的定义为：如()()qq A q q A q A q q ∆-∆+=∆∆→∆→∆ 00lim lim存在，则称为()q A 在q 点的导数或导矢，记为qA ∆∆或A '。
在直角坐标中，由于i e是常矢量，因此导数的表达式为()()()()i i i i i q i i i i q q e qA e q q A q q A q e q A e q q A q Adq A d∂∂=∆-∆+=∆-∆+=∆∆=→∆→∆→∆000lim lim lim即k dqdA j dq dA i dq dA dq A d z y x++=s导矢()q A '的几何意义：如果导矢A ' 存在，且0≠'A ，则A '的方向表示矢端曲线的切线方向，并指向q 增加的方向。
张量分析2
第二章 张量代数 §2.1 张量的加法（减法）两个同阶、同变异（结构）的张量可以相加（或相减），张量相加（或相减）是相加（或相减）其同名的分量。
设i jk .A 、i jk .B 是张量，则i jk .i jk .i jk .B A C += (2.1-1)也是张量。
可以证明，i jk .A 、i jk .B 相加（相减）的结果是一个同阶同变异的张量。
今证明如下。
设坐标系由i x 作容许变换为另一新坐标系i x ,则张量i jk .A 、i jk.B 按以下法则变换：)x (A xx x x x x )x (A pqr .k j p r q i ijk .∂∂∂∂∂∂=)x (B xx x x x x )x (B pqr .k j p r q i i jk .∂∂∂∂∂∂=将上两式相加得)]x (B )x (A [xx x x x x )x (B )x (A p qr .p qr .k j p rq i i jk .i jk .+∂∂∂∂∂∂=+上式表明))x (B )x (A (p qr .p qr .+是张量，它与i jk .A 、i jk .B 服从同样的变换法则，因此，它与i jk .A 、i jk .B 是同阶同变异的张量，记为i jk .C ,即p qr .kjp r q iijk.C xx x x x x C ∂∂∂∂∂∂=由此证明，两个同阶、同变异的张量相加（或相减），其结果是一个同阶同变异的新张量（（201-1）式）。
§2.2 对称张量、反对称张量一、对称张量一般来说，ji ij C C ≠。
但在以前和以后的讨论中都可看到，对于许多张量来说，滿足如下的关系式：jiijC C = (2.2-1)这样的张量，称为二阶对称张量。
同样，ij C 也是二阶对称张量，若它们滿足以下的关系式：ji ij C C = (2.2-2)例如，基本度量张量mk g 和相伴度量张量mk g 都是对称张量，见（1.5-4）式和（1.6-3a ）式对称张量的对称性质在坐标变换时是不变的。
张量分析简介
ji,j fii 0
张量基本概念
★ 自由指标表示：若轮流取该指标范围内的任何值， 关系式将始终成立。
例如：表达式 xi aij x j
在自由指标 i 取1，2，3时该式始终成立，即有
xx21
a11x1 a21x1
a12x2 a22x2
a13x3 a23x3
a1jxj a2jxj
x3 a31x1 a32x2 a33x3 a3jxj
张量基本概念
★ 同时取值的自由指标必须同名，独立取值的自由指 标应防止重名。
ji, j fi 0
★ 自由指标必须整体换名，即把方程或表达式中出现 的同名自由指标全部改成同一个新名字。
ji, j fi 0 i 换成k jk, j fk 0
张量基本概念
ij
1 0
(i = j) (i, j=1, 2, …, n) (i j)
➢ 特性
1. 对称性，由定义可知指标 i 和 j 是对称的，即
ij ji
26
符号ij 与erst
2. ij 的分量集合对应于单位矩阵。例如在三维空间
11 12 13 1 0 0
21
22
23
0
1
0
31 32 33 0 0 1
42
坐标与坐标转换
➢ 笛卡尔坐标系(单位直角坐标系)
r ( x 1 ,x 2 ,x 3 ) x 1 e 1 x 2 e 2 x 3 e 3 x ie i
ei ej eijkek 而对于左手系，有： ei ej eijkek
e3 e2
e3 e1
e1
e2
32
符号ij 与erst
2. 矢量的点积：
ab(ajej)(bkek)ajbk(ej ek)
第2章-张量分析(清华大学张量分析-你值得拥有)
N
i
j
Nij
Nij
N
i j
N ij N ji
1N
N 1
T
(1N
)T
,
N 2
(
N 3
)T
,
N 3
(
N 2
)T
,
N 4
N 4
T
(
N 4
)T
➢ 反对称张量与其转置张量分量及二者所对应的矩阵
ij ji
j i
i j
i j
ji
ij ji
1
1
T
(1
)T
,
2
(
3
)T
,
3
(
2
)T
,
4
4
T
(
4
σ σ0 σd
0 (1 2 3 ) / 3
d(i) i 0
：由 σ产生的应变能密度可分解为： V d
V：由体积变形引起； P：体积变，形状不变； d：由形状变形引起。 D：体积不变，形状变。
塑性流动条件：
J
D 2
=
Const.
一般塑性流动条件：
f
J
D 2
,
J
Q1 QT
Q1 Q Q Q1 G QT Q Q QT G
detQ2 1
J
Q 3
1
几种特殊的二阶张量
• 正交张量只有一个实特征根
3Q 1
实数标准形
对应特征方向，轴向 e3
cos sin 0
Q sin
cos
0
0
0 1
Q cos e1e1 e2e2 sin e2e1 e1e2 e3e3
➢ 非负张量的构造：任意二阶张量T
张量分析及其应用及应用
δ ki Ai = δ kk Ak = Ak
思路：把要被替换的指标 i 变成哑标，哑标能 用任意字母，因此可用变换后的字母 k 表示
例2： Tk j → Ti j
特别
δ ikTk j = δ i iTij = Tij
地，
δ ikδ k j = δ ij , δ ikδ k jδ jm = δ im
bi = Vimcm
m
bm = Vmncn
n or else
1.4 指标记法的运算
1.4.2 乘积
不符合 求和约
定设 则Βιβλιοθήκη p = U mam q = Vmbm
p q ≠ U mamVmbm
p q = U mamVnbn
1.4 指标记法的运算
1.4.3 因式分解
考虑 Ti j nj − λ ni = 0
为简化表达式，引入Einstein求和约定：
每逢某个指标在一项中重复一次，就表示对该指标求 和，指标取遍正数1，2，…，n。这样重复的指标称为哑 标。
于是
or
or
S = ai xi = ajxj = ak xk
n
a b x ∑ i i i 是违约的，求和时要保留求和号 aibi xi i=1
n 表示空间的维数，以后无特别说明，我们总取n=3。 例题
即得（ i ），将（ i ）作相应的指标替换， 展开化简，将得其余三式。
二维置换符号 eαβ (α, β = 1, 2)
从三维退化得到
eαβ = ei j3 = eαβ 3
其中
e11 = e22 = 0, e12 = −e21 = 1
有下列恒等式
eαβ eγδ = δαγ δ βδ − δαδ δ βγ
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Nija j ai
分量形式
(Nij ij )a j 0
利用指标升降关系
det(Nij ij ) 0
a为非0矢量
()
3
J1N 2
J
N 2
J
N 3
0
利用主不变量
二阶张量的标准形: 张量最简单的形式
➢ 非对称二阶张量
二阶张量的标准形: 张量最简单的形式
➢ 实对称二阶张量的标准形
• 简单的例子
复杂应力状态分析中的主应力
σ ijeie j
σ 1e1e1 2e2e2 3e3e3
应力张量的三个主方向是正交的。
• 对称二阶张量 N Nij gi g j 必定存在一组正交基矢量 g1 ，g2 ，g3 ，使得
二阶张量的不变量（代数）
➢ 二阶张量T与三个线性无关矢量间的线性变换
T u v wu T v wu v T w J1T u v w
T u
T v
wu
T v
T wT u
v
T
w
J
T 2
u
v
w
T u T v T w J3T u v w
正则二阶张量，有Nanson公式
T uT v J3T T T 1 u v
ij ji
j i
ij
i j
ji
ij ji
1
1
T
(
1
)T
,
2
(
3
)T
,
3
(
2
)
T
,
4
T 4
(
4
)T
二阶张量的矩阵
➢ 二阶张量的行列式
det(1) g det( 2 ) g det(3) g 2 det( 4 )
通常定义
T 3
的行列式为张量T的行列式
det T
det(
N
N 1 1
g1
g1
N 2 2
g2
g 2
N 3 3
g3
g 3
则 N11，N22，N33 为N的主分量，g1 ，g2 ，g3为N的主方向。
二阶张量的标准形: 张量最简单的形式
➢ 实对称二阶张量的标准形
存在以下等式：
N
g1
N 1 1
g1
N a a
N
g2
N 2 2
g2
特征方程，λ即N的特征
N g3 N特33 g征3 值为什么值是，三a即个N？的特征向量。
C3
二阶张量的不变量（代数）
➢ 二阶张量T的三个主不变量：
J1
G
:T
Ti l
l i
Tii
J2
1
2!
T T ij l
lm i
m j
1 2
(TiiTll
TliTil )
J3
31!limjknTilT
Tm n
j k
det(T )
➢ 二阶张量T的矩：
J1 tr(T ) Tii
J2
tr(T
T)
T
埃米·诺特 Emmy Noether （1882-1935）
二阶张量的不变量（代数）
➢ 二阶张量T的标量不变量：
G
:T
G
T
Tii
tr(T )
C1
T i i
（力学中，11 22 33 对应静水应力）
T
:T
T
Ti j
j i
tr(T
T)
C2
T
Ti j
j i
ijk
T T T lmn i j k l m n
第2章 二阶张量
2020年5月17日
主要内容
二阶张量的矩阵 正则与退化的二阶张量 二阶张量的不变量 二阶张量的标准型 几种特殊的二阶张量 二阶张量的分解 正交相似二阶张量
二阶张量的矩阵
➢ 二阶张量的分量包含协变、逆变和两种混变形式
T
Tij gi g j
Ti j gi g j
T
i j
gi
g
j
T ij gi g j
TT 1
(1T )T
TT 2
(
T 3
)T
TT 3
(
T 2
)T
TT 4
(
T 4
)T
➢ 对称张量与其转置张量分量及二者所对应的矩阵
Nij N ji
Ni j Nij
Nij
N
i j
Nij N ji
1N
1NT
(1N
)T
,
N 2
(
N 3
)T
, 3N
(
N 2
)T
,
N 4
N 4
T
(
N 4
)T
➢ 反对称张量与其转置张量分量及二者所对应的矩阵
u(i))
正则与退化的二阶张量
• 3D空间中任意二阶张量T将任意矢量组u，v，w映射 为另一矢量组，满足：
T u T v T w detT u v w
➢ 正则二阶张量的特性：
• 正则的二阶张量T的转置张量TT也是正则的，正则的 二阶张量T存在唯一的逆T-1。
• 二阶张量T是正则的充要条件是 T u 0，当且仅当 u 0。
Ti j
j i
J3
tr(T
T
T)
T
T T i j k
j k i
二阶张量的不变量（代数）
➢ 二阶张量T的三个主不变量与各阶矩之间的关系
J1 J1
J2
1 2
(J1 )2
J
2
J3
1 6
(J1 )3
1 2
J1
J
2
1 3
J
3
以及
J1 J1
J
2
( J1 )2
2J2
J
3
( J1 )3
3J1J2
3J3
➢ 行列式值不为零的二阶张量T称为正则的，否则称 为退化的。
➢ 二阶张量将整个矢量空间中的任意矢量映射为矢量。 • 任意二阶张量将零矢量映射为零矢量：T 0 0
• 任意二阶张量将一线性相关的矢量集映射为线性相 关的矢量集：
l
(i)u(i) 0
i 1
0
T
l i1
(i)u(i)
l i1
(i)(T
➢ 以上四种分量形式对应着张量的四种矩阵形式
1 Tij
2 Ti j
3
T
i j
4 T ij
其中， 3矩阵是最重要的张量矩阵。
➢ 二阶张量的转置张量
WHY?
T T Tji gi g j Tij gi g j Tji gi g j T ji gi g j
二阶张量的矩阵
➢ 二阶张量的转置张量所对应的矩阵
求迹运算，即缩并，对应于求 3 矩阵的对角线元
素之和。 二阶张量与矢量的点积，即线性变换。例如：
w Tu
该运算具有线性性质：
T (u v) T u T v
两个二阶张量的点积
只有取 2 ， 3 矩阵时，才与矩阵乘法相对应。
二阶张量的某些运算没有对应的矩阵运算 例如，并乘运算。
正则与退化的二阶张量
T 3
)
T
i j
det T T
由于两个互为转置的矩阵的行列式相等，所以
det(
T 1
T
)
det(
T 1
),
det(
T 4
T
)
det(
T 4
)
det(
T 2
T
)
det(
T 3
),
det(
T 3
T
)
det(
T 2
)
二阶张量的矩阵
➢ 二阶张量的代数运算与矩阵的代数运算
张量的加法和乘法运算与矩阵运算一一对应。
• 单射性。若 T u T v ， 则 u v • 满射性。若 T u w，则存在唯一的逆变换 T 1 w u
二阶张量的不变量（代数）
➢ 力学是用张量的不变量写成的！ ➢ Gorldan猜想：代数结构中有无穷多不变量，但基
本不变量只有有限个。
伟大的抽象代数之母诺特，石 破天惊的思想： 任何对称性，都对应某种形式 的守恒律！！