周长最小值专题(完整版师用)
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周长最小值专题(完整版师用)
A.线段和最小值
两种基本模型
如图,要在街道旁修建一个奶站P,向居民区A、B提供牛奶,奶站P应建在什么地方,才能使从A,B到它的距离之和最短?为什么?
求线段和最小值的一般步骤:
①选点P所在直线l为对称轴;画出点A的对称点A’
②连结对称点A’与B之间的线段,交直线l于点P,
点P即为所求的点,线段A’B的长就是AP+BP的最小值。
基本解法::利用对称性,将“折”转“直”
基础训练
1.如图11,梯形ABCD中,AD//BC,AB=CD=AD=1,∠B=60°,直线MN为梯形ABCD的对称轴,P为MN上一点,那么PC+PD的最小值为
A.1
B.
C.
D.2
试题分析:连接AC,与MN所得交点即为所求P点,因为D与A关于MN对称,的最小值即符合两点之间线段最短,所以AC与MN交点即为所求P点。因为,,所以,所以,所以,此时,所以,即
2. 如图4,菱形ABCD中,AB=2,∠BAD=60°,E是AB的中点,P是对角线AC上的一个动点,则PE+PB的最小值是________。
图4
分析:首先分解此图形,构建如图5模型,因为E、B在直线AC 的同侧,要在AC上找一点P,使PE+PB最小,关键是找出点B或E关于AC的对称点。如图6,由菱形的对称性可知点B和D关于AC对称,连结DE,此时DE即为PE+PB的最小值,
图5 图6
由∠BAD=60°,AB=AD ,AE=BE 知,
322
3DE =⨯= 故PE+PB 的最小值为
3。 2.如图,已知点A 是半圆上一个三等分点,点B 是弧AN 的中点,点P 是半径ON 上的动点,若⊙O 的半径长为1,则AP+BP 的最小值为___。
P 位于A ′B 与MN 的交点处,AP+BP 的值最小;
作A 关于MN 的对称点A ′,根据圆的对称性,则A ′必在圆上, 连接BA ′交MN 于P ,连接PA ,则PA+PB 最小,此时PA+PB=PA ′+PB=A ′B ,连接OA 、OA ′、OB ,
B.三角形周长最小值
1.彰州)如图4,∠AOB=45°,P 是∠AOB 一点,PO=10,
(彰州)如图4,∠AOB=45°,P 是∠AOB 一点,PO=10,Q 、R 分别是OA 、OB 上的动点,求△PQR 周长的最小值.
分析:点P 是角部的一个定点,要在角的两边各确定一点使这三点连成的三角形周长最小,只需将这三边的和转化为以两定点为端点的一条折线.
解:分别作点P 关于OA 、OB 的对称点P 1、P 2,连结P 1P 2,
根据轴对称性易知:OP 1=OP 2=OP=10,∠P 1OP 2=2∠AOB=90°,因而P 1P 2=102,
故△PQR 周长的最小值为102. 2.如图,抛物线y=-x2+bx+c 与x 轴交于A(1,0),B(-3,0)两点, P 2 P 1 O A B P R Q O 图4
(1)求该抛物线的解析式。
(2)设(1)中的抛物线交y轴于点C,在该抛物线的对称轴上是否存在点Q,使得QAC
的周长最小?如果存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由。
(3)在第二象限的抛物线上是否存在一点P,是△PBC的面积最大?若存在,求出点P坐标及△PBC面积的最大值;若不存在,请说明理由
重点分析第(2)问,要使△QAC的周长最小即AC+CQ+QA最小,由于AC长度一定,故只要CQ+QA最小时,周长最小。设抛物线的对称轴为直线MN,则可分解出图形,构建模型,要在直线MN上找点Q,使CQ+QA最小。由抛物线的对称性可知,点A、点B关于直线MN对称,连结BC交MN于点Q,只要找出点Q的位置,其坐标不难求得。
3. 如图,已知抛物线y=ax2+bx+c过A(3,3.5)、B(4,2)、C(0,2)三点,点P 是x轴上的动点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)如图甲所示,连接AC、CP、PB、BA,是否存在点P,使四边形ABPC为等腰梯形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明理由;
(3)点H是题中抛物线对称轴l上的动点,如图乙所示,求四边形AHPB周长的最小值.
(1)利用待定系数法,将点A,B,C的坐标代入解析式即可求得;
(2)根据等腰梯形的判定方法分别从PC∥AB与BP∥AC去分析,注意不要漏解;(3)首先确定点P与点H的位置,再求解各线段的长即可.
解:∵抛物线y=ax2+bx+c过A(3,3.5)、B(4,2)、C(0,2)三点,
∴
B.四边形周长最小值
基本模型(一)定长不动:做双对称
思路与方法
1)总有两个已知点,即一条边是定值。
2)分别做两个已知点关于xy轴的对称点,则与两坐标轴的焦点就是所求两点3)此时,两个对称点与坐标轴上的两个点在一条直线上,即四点共线,所以最小。
1.在直角坐标系中,设A(4,-5)B(8,-3)C(m,0)D(0,n),当四边形的周长最短时,m/n的值为_________.
2.在直角坐标系中有四个点A(-6,3),B(-2,5),C(0,m),D(n,0),当四边形ABCD周长最短时,则m+n=_________