周长最小值专题(完整版师用)
苏州市2019年中考《坐标系中三角形周长最小值问题》复习指导
利“刃”在手亿“折”成“直”—例析坐标系中三角形周长最小值问题在近几年的各地中考中，与线段相关的最值问题频频出现，已然成为一道亮丽的风景线.而其中以平面直角坐标系为载体来设计三角形周长最小值问题，更是中考命题所关注的热点之一本文以近几年中考题为例，归纳其类型与解法，供参考.1.三角形的三个顶点中仅有一个顶点是动点例1 (2019年河南省，有改动)如图1，边长为8的正方形OABC 的两边在坐标轴上，以点C 为顶点的抛物线经过点A ，点P 是抛物线上点A 、C 间的一个动点(含端点)，过点P 作PF BC ⊥于点F .点D 、E 的坐标分别为(0,6),(-4,0)，连接,,PD PE DE .是否存在点P ，使PDE ∆的周长最小?若存在，求出点P 的坐标;若不存在，请说明理由.分析 存在.理由:易求抛物线的解析式为2188y x =-+.设21(,8)8P m m -+(80)m -≤≤，则2221118(8),2888PF m m PD m =--+===+，故2PD PF =+, PDE ∆的周长=2DE EP PD DE EP PF ++=+++.如图2，过E 点作EG BC ⊥于点G .当,,E P F 三点共线，即点P 为EG 与抛物线的交点时，EP PF +的值最小，此时214,(4)868P E P x x y ==-=-⨯-+=，所以PDE ∆周长最小时点P 的坐标为(-4,6).点评 本例三角形的三个顶点中，点P 为动点，点,D E 均为定点.由于DE 的长为定值，欲使PDE ∆的周长最小，只需满足PD PE +的值最小即可.进而利用“点P 运动的过程中，PD 与PF 的差为定值”这一有力武器，将问题转化为“求定直线BC 上一动点F 与直线外一定点E 的距离的最小值”，最终借助“连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”确定点P 的位置.例2 (2019年山西省，有改动)如图3，在平面直角坐标系中，抛物线223y x x =-++与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，点D 是该抛物线的顶点.请在直线AC 上找一点M ，使BDM ∆的周长最小，求出M 点的坐标.分析 易知(1,0),(3,0),(0,3),(1,4)A B C D -，故4,10AB AC ===，直线AC 的解析式为33y x =+.如图4，作点B 关于直线AC 的对称点B '，连接B D ',交AC 于点M ，则BDM ∆即为符合题意的周长最小的三角形.(证明如下:不妨在直线AC 上取异于点M 的任一点M '，连接,,B M DM BM ''''.由对称性可知:,BM B M BM B M ''''==，于是BDM ∆的周长=B M '+,DM BD BDM '+∆的周长=B M DM BD '''++.而在B DM ''∆中，B M DM B D ''''+>，即B M DM B M DM ''''+>+，所以BDM '∆的周长大于BDM ∆的周长.)若BB '交AC 于点E ，则90,22cos 2cos ABE CAO ACO BB BE AB ABE AB ACO '∠=︒-∠=∠==⋅∠=⋅∠24=⨯=过B '点作B F x '⊥轴于点F ，则362133cos 355B x BF BB ABE ''=-=-⋅∠=-=-，12sin sin 5B y B F BB ABE BB ACO ''''==⋅∠=⋅∠==，故2112(,)55B '-, 易求直线B D '的解析式为4481313y x =+. 联立解方程组448131333y x y x ⎧=+⎪⎨⎪=+⎩，得93513235x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以M 点的坐标为9132(,)3535. 点评 本例三角形的三个顶点中，点M 为动点，点B 、D 均为定点，且均位于动点M 所在直线AC 的同一侧.通过寻找定点B 关于动点M 所在直线AC 的对称点B ' ,将问题转化为“求定直线AC 上一动点M 与直线异侧两定点B ',B 的距离和的最小值”，从而可利用“三角形任意两边之和大于第三边”加似解决(当B '、M 、D 三点共线，即点M 为直线B D '与直线AC 的交点时，DM BM +的值最小，此时BDM ∆的周长最小).2.三角形的三个顶点中有两个顶点是动点例 3 (2019年湖南张家界，有改动)如图5，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠过点(0,1)C ，顶点为(2,3)Q ，点D 在x 轴正半轴上，且OD OC =.将直线CD 绕点C 逆时针方向旋转45°所得直线与抛物线相交于另一点E ，若点P 是线段QE 上的动点，点F 是线段OD 上的动点，问:在P 点和F 点移动过程中，PCF ∆的周长是否存在最小值?若存在，求出这个最小值;若不存在，请说明理由.分析 存在.理由:如图6，分别作点C 关于直线,QE x 轴的对称点,C C '''，连接C C '''，交OD 于点F ，交QE 于点P ，则PCF ∆即为符合题意的周长最小的三角形，此时PCF ∆的周长等于线段C C '''的长.(证明如下:不妨在线段OD 上取异于点F 的任一点F '，在线段QE 上取异于点P 的任一点P '，连接,,,,CF CP F P F C P C '''''''''.由轴对称的性质可知P CF ''∆的周长=F C F P P C '''''''++，而F C F P P C '''''''++的值为折线段C P F C '''''---的长，由两点之间线段最短可知F C F P P C C C ''''''''''++>，即P CF ''∆的周长大于PCF ∆的周长.)如图6，过点Q 作QG y ⊥轴于点G ，过点C '作C H y '⊥轴于点H ，则CGO CHC '∆∆:，可得12CG QG CQ CH C H CC ===''，即2212CH C H =='.所以4,CH C H '==6C H CH CC ''''=+=.在Rt C HC '''∆中，C C '''===所以，在P 点和F 点移动过程中，PCF ∆的周长存在最小值，最小值为 点评 本例三角形的三个顶点中，点C 为定点，点P 、F 均为动点，且分别在定直线QE 、QD 上，通过寻找定点C 关于两个动点所在直线的对称点C '、C ''，就得到由三条与PCF ∆三边分别相等的线段组成的折线，然后借助“两点之间线段最短”化“折”成“直”(当C '、P 、F 、C ''四点共线，即点P 、F 分别为直线QE 、QD 与直线C C '''的交点时，PCF ∆的周长最小).3.三角形的三个顶点都是动点例4 (2019年辽宁沈阳，有改动)如图7，在平面直角坐标系中，抛物线224233y x x =--+与x 轴交于B 、C 两点(点B 在点C 的左侧)，与y 轴交于点A .若点P 是线段BC 上的动点(点P 不与点B 、C 重合)，点Q 是线段AB 上的动点(点Q 不与点A 、B 重合)点R 是线段AC 上的动点(点R 不与点A 、C 重合)，请直接写出PQR ∆周长的最小值.分析 易求(0,2),(3,0),(1,0)A B C -，故AB AC ====如图8，过点B 作BH AC ⊥于点H ，则BC OA BH BH BAC AC BA ⋅==∠==如图9，分别作点P 关于直线,AB AC 的对称点,P P '''，连接P P '''，交AB 于点Q ，交AC 于点R ，则PQR ∆是过点P 的ABC ∆的内接三角形中周长最小的三角形，且PQR ∆的周长等于线段P P '''的长. 若PP '交AB 于点,D PP ''交AC 于点E ，连接DE ，则90,ADP AEP DP ∠=∠=︒,DP EP EP '''==，故2P P DE '''=.连接AP ，取AP 的中点F ，连接EF ，则12DF EF AP ==，所以⊙F 为ADP ∆的外接圆，且点E 在⊙F 上.延长DF 交⊙F 于点G ，连接GE ，则90,DEG BAC DGE ∠=︒∠=∠，所以PQR ∆的周长22sin 2sin 2sin P P DE DG DGE AP BAC AO BAC '''===⋅∠=⋅∠≥⋅∠22=⨯=.如图10，当点P 与点O 重合时，PQR ∆. 点评 本例三角形的三个顶点均为动点，应采取“以退为进”的策略，即:先假设P 点的位置已经确定(即视点P 为一定点)，容易得出结论:待求三角形周长最小时，其周长等于线段P P '''的长，然后继续探究点P 的位置后，发现线段P P '''长度的最小值即为点A 到x 轴的距离.因为,2AP AP AP P AP BAC ''''''==∠=∠，所以AP P '''∆为等腰三角形，且其顶角P AP '''∠为定值.由于本例对解答过程不作要求，也可以根据“顶角为定值的等腰三角形底边长的最小值由腰长的最小值来确定”这一经验来判定点P 的位置.然而，对该例的思考却不止于此，我们还可以再进一步探索BR 和,AC CQ 和AB 的位置关系.参考本例分析问题的方法，我们可以得出这样的结论: ,,AP BR CQ 为锐角三角形ABC 的三条高，以,,P Q R 三个垂足为顶点的三角形即为周长最小的内接三角形证明留待读者自行完成.通过上述问题的探究，我们可以发现，解决此类问题通常可以采取的策略是:把已知问题转化成容易解决的问题，即关联我们熟知的几何基本模型，构造一条以动点为转折点的折线，从而为性质的运用创造条件.如:解答例1时，需分析点在运动的过程中保持不变的关系，将问题转化为“求定直线上一动点与直线外一定点的距离的最小值”问题，然后利用“垂线段最短”把折线化“折”成“直”.解答例2，例3时，则需牢牢抓住图形的几何特征，将问题转化为“求定直线上一动点与直线外两定点的距离之和的最小值”问题，借助轴对称变换使两定点与定直线的位置关系发生改变，即化“同”为“异”，最后利用“三角形任意两边之和大于第三边”或“两点之间线段最短”把折线化“折”成“直”.例4题目的背景看似复杂，但图形上似乎可以捕捉到上述两个几何基本模型的“影子”，认清了这一点，便能使复杂问题简单化，迅速找到问题的突破口.在平面几何的教学中，教师要重视几何基本模型的提炼，帮助学生深刻领悟模型的本质特征，鼓励学生尝试从不同角度拓展模型，并在应用中彰显其魅力，从而促进学生解题经验的积累和思维水平的提升，真正提高学生的数学素养和解决问题的能力.2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．如图，已知⊙O 的半径为2，点A 、B 、C 在⊙O 上，若四边形OABC 是菱形，则图中阴影部分的面积为( )A.π－B.π－C.π－D.π－2．如图，等腰△ABC 中，AB ＝AC ＝5cm ，BC ＝8cm ．动点D 从点C 出发，沿线段CB 以2cm/s 的速度向点B 运动，同时动点O 从点B 出发，沿线段BA 以1cm/s 的速度向点A 运动，当其中一个动点停止运动时另一个动点也随时停止．设运动时间为t （s ），以点O 为圆心，OB 长为半径的⊙O 与BA 交于另一点E ，连接ED ．当直线DE 与⊙O 相切时，t 的取值是（ ）A. B. C. D. 3．已知反比例函数(为常数，)的图象经过点，则当-3<x<-2时，函数值的取值范围是( )A.B.C. D. 4．如图，将ABC △绕点C 顺时针旋转，点B 的对应点为点E ，点A 的对应点为点D ，当点E 恰好落在边AC 上时，连接AD ，36ACB ∠=︒，AB BC =，2AC =，则AB 的长度是（ ）A 1B ．1CD ．325．下面的统计图表示某体校射击队甲、乙两名队员射击比赛的成绩，根据统计图中的信息，下列结论正确的是（ ）A ．甲队员成绩的平均数比乙队员的大B ．乙队员成绩的平均数比甲队员的大C ．甲队员成绩的中位数比乙队员的大D ．甲队员成绩的方差比乙队员的大6．如图，在ABC ∆中，5AB =，3AC =，4BC =，将ABC ∆绕一逆时针方向旋转40︒得到ADE ∆，点B 经过的路径为弧BD ，则图中阴影部分的面积为( )A ．1463π-B ．33π+C ．3338π-D ．259π 7．如图，Rt △ABC 中，AB=9，BC=6，∠B=90°，将△ABC 折叠，使A 点与BC 的中点D 重合，折痕为MN ，则线段BN 的长为（ ）A ．53B ．52C ．4D ．58．下面四个立体图形，从正面、左面、上面对空都不可能看到长方形的是( )A ．B ．C ．D ．9．下列事件属于必然事件的是（ ）A ．抛掷两枚硬币，结果一正一反B ．取一个实数x ，x 0的值为1C ．取一个实数x ，分式11x x -+有意义 D ．角平分线上的点到角的两边的距离相等10．如图，AB 是⊙O 的直径，△ACD 内接于⊙O ，延长AB ，CD 相交于点E,若∠CAD ＝35°，∠CDA ＝40°，则∠E 的度数是（ ）A.20°B.25°C.30°D.35° 11．已知a 2﹣b 2＝6，a+b ＝2，则a ﹣b 的值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．412．如图，在△ABC 中，点D 是AB 边上的一点，若∠ACD ＝∠B ．AD ＝1，AC ＝2，△ADC 的面积为S ，则△BCD 的面积为（ ）A ．SB ．2SC ．3SD ．4S二、填空题 13．若分式11x - 有意义，则x 的取值范围是_______________ .14．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝2，BC sin 2A ＝_____． 15．如图，边长不等的正方形依次排列，第一个正方形的边长为1，第二个正方形的边长是第一个正方形边长的2倍，第三个正方形的边长是第二个正方形边长的2倍，依此类推，…．若阴影三角形的面积从左向右依次记为S 1、S 2、S 3、…、S n ，则S 4的值为_____．16．如图，∠APB=30°，圆心在PB 上的⊙O 的半径为1cm ，OP=3cm ，若⊙O 沿BP 方向平移，当⊙O 与PA 相切时，圆心O 平移的距离为_____cm ．17．8-的立方根是__________．18．利用标杆测量建筑物的高度的示意图如图所示，若标杆的高为米，测得米，米,则建筑物的高为__米．三、解答题19．某贮水塔在工作期间，每小时的进水量和出水量都是固定不变的．从凌晨4点到早8点只进水不出水，8点到12点既进水又出水，14点到次日凌晨只出水不进水．下图是某日水塔中贮水量y（立方米）与x （时）的函数图象．（1）求每小时的进水量；（2）当8≤x≤12时，求y与x之间的函数关系式；（3）从该日凌晨4点到次日凌晨，当水塔中的贮水量不小于28立方米时，直接写出x的取值范围．20．现在A、B两组卡片共5张，A组中三张分别写有数字2、4、6，B组中两张分别写有3、5，他们除数字外完全一样。
周长的最小值
周长的最小值
周长的最小值是一个相对复杂的问题，因为它涉及多个领域和多种形状。
下面我将列举几个常见的场景，帮助你理解如何确定周长的最小值。
等边三角形：在几何学中，等边三角形的周长最小值是当所有边长相等时取得的。
例如，如果每边的长度都是a，那么周长就是3a。
矩形：对于矩形，当长和宽相等时，即变成正方形时，周长达到最小值。
假设边长为a，则周长为4a。
圆形：在二维平面上，给定固定面积的所有形状中，圆的周长是最小的。
这就是为什么轮胎、管道和其他需要最小周长的物体常常采用圆形设计。
曲线与直线：在连接两个固定点的情况下，直线段的周长总是小于任何曲线段的周长。
函数图像：在特定的函数图像中，例如反比例函数y=1/x，当x=y 时，即x=1, y=1，此时到坐标轴的距离之和最小，也就是周长的最小值。
总的来说，周长的最小值取决于具体的形状和条件。
在某些情况下，这可能涉及到复杂的数学计算和优化问题。
如果你有关于特定形状或条件下的周长最小值的问题，请提供更多的细节，我会尽量为你提供更具体的帮助。
求三角形或四边形周长最小问题
三角形或者四边形周长最小问题例一：已知直角坐标系中，A 、B 两点坐标分别为A （4，2）、B （-2，4）、C 点在X 轴上，求：⊿ ABC 周长最小时，C 坐标，并求出这个最小值。
解：画出坐标系如图，作B 点关于X 轴对称点E ，E 点坐标（-2，-4）。
则，AE 直线方程式可列方程组如下，并交X 轴于点C 。
244(2)k b k b =+⎧⎨-=-+⎩×× 解得，K=1，b=-2，则直线AE 解析式为：y=x-2，C 点坐标为（2，0）。
证明：BC=EC ，AC=AC ，当E 、C 、A 三点共线时，AC+EC 最短。
又因为，AB 长是固定值，对周长的大小不具备影响。
所以⊿ ABC 周长最小时，指点B 关于X 轴的对称点与点A 的连线的交点，就是所求的坐标C 点。
⊿ ABC 周长最小值=AE+AB+BC例二：已知直角坐标系中矩形OABC ，坐标点分别为O （0，0）、A （4，0）、C 点（0，2）且D 点为OC 中点，E 、F 分别是OA 上的动点，且EF=2，求：四边形DEFB 周长最小时，E 、F 坐标，并求出这个最小值。
解：画出坐标系如图，过点D 做D 点关于X 轴对称点P ，则P 点坐标（0，-1），过点B沿BC方向平移两个单位，该点坐标H（2，2）。
连结PH，交动点所在轴X轴于点E，则E点就是所求周长最小值所在的动点位置。
将该点E沿X轴正方向平移两个单位，就是F点所在位置。
证明：D点与P点对称，所以DE=PE；又因为HB//=EF，所以BF=HE所以，DE+BF=PE+EH，又因为，PEH在一条直线上，根据“两点之间线段最短”公理，所以点E，就是所求动点在周长最小时所在位置。
P（0，-1），H（2，2），则直线PH解析式为：y=32x-1，设点E横坐标为x，则E点坐标为E（x，0），当y=0时，就是其与X轴的交点，代入解得，x=23，即点E（23，0），点F（83，0），经检算，点E、F都在OA范围内，答案有效。
2020初中数学中考专题复习——四边形中的线段最值问题专项训练5(附答案详解)
1．C
参考答案
【解析】
【分析】
根据三个角都是直角的四边形是矩形，得四边形 AEPF 是矩形，根据矩形的对角线相等，得
EF=AP，则 EF 的最小值即为 AP 的最小值，根据垂线段最短，知：AP 的最小值即等于直角
三角形 ABC 斜边上的高．
【详解】
连接 AP，
∵在△ ABC 中，AB=3，AC=4，BC=5， ∴AB2+AC2=BC2， 即∠BAC=90°， 又∵PE⊥AB 于 E，PF⊥AC 于 F， ∴四边形 AEPF 是矩形， ∴EF=AP， ∵AP 的最小值即为直角三角形 ABC 斜边上的高，即 2.4， ∴EF 的最小值为 2.4， 故选：C． 【点睛】 本题考查了矩形的性质和判定，勾股定理的逆定理，直角三角形的性质的应用，要能够把要 求的线段的最小值转化为便于求的最小值得线段是解此题的关键． 2．C 【解析】 【分析】 根据轴对称确定最短路线问题,作点 P 关于 BD 的对称点 P',连接 与 BD 的交点即为所求的 点 K,然后根据直线外一点到直线的所有连线中垂直线段最短的性质可知 ⊥CD 时
的最小值,求解即可.
【详解】
解：:如图,∵
，
，,
∴点 P'到 CD 的距离为 2× = ,
∴ 故选 C.
的最小值为 .
【点睛】 本题考查了菱形的性质,轴对称确定最短路线问题,熟记菱形的轴对称性和利用轴对称确定最 短路线的方法是解题的关键. 3．C 【解析】 【分析】 先作点 M 关于 AC 的对称点 M′，连接 M′N 交 AC 于 P，此时 MP＋NP 有最小值．然后证明 四边形 ABNM′为平行四边形，即可求出 MP＋NP＝M′N＝AB＝2． 【详解】 解：如图，作点 M 关于 AC 的对称点 M′，连接 M′N 交 AC 于 P，此时 MP＋NP 有最小值， 最小值为 M′N 的长． ∵菱形 ABCD 关于 AC 对称，M 是 AB 边上的中点， ∴M′是 AD 的中点， 又∵N 是 BC 边上的中点， ∴AM′∥BN，AM′＝BN， ∴四边形 ABNM′是平行四边形， ∴M′N＝AB＝2， ∴MP＋NP＝M′N＝2，即 MP＋NP 的最小值为 2， 故选：C.
专题02 特殊平行四边形中的四种最值问题(解析版)-2024年常考压轴题攻略(9年级上册人教版)
专题02特殊平行四边形中的四种最值问题类型一、将军饮马（轴对称）型最值问题A ．5B ．【答案】B 【分析】作点E 关于BD 的对称点为∵E 关于BD 的对称点为'E ，∴'PE PE =，'BE BE =，∵正方形ABCD 的边长为2，点A．0B．3【答案】C【分析】要使四边形APQE的周长最小，由于在BC边上确定点P、Q的位置，可在与BC交于一点即为Q点，过A点作后过G点作BC的平行线交DC的延长线于长度．∵四边形ABCD 是矩形，∴8BC AD ==，90D Ð=°，∠QCE ＝90°，∵2PQ =，∴6DF AD AF =-=,∵点F 点关于BC 的对称点G ，∴FG AD⊥∴90DFG ∠=︒∴四边形FGHD 是矩形，∴GH ＝DF ＝6，∠H ＝90°,∵点E 是CD 中点，∴CE =2，∴EH ＝2+4＝6，∴∠GEH ＝45°，∴∠CEQ ＝45°，设BP ＝x ，则CQ ＝BC ﹣BP ﹣PQ ＝8﹣x ﹣2＝6﹣x ，在△CQE 中，∵∠QCE ＝90°，∠CEQ ＝45°，∴CQ ＝EC ，∴6﹣x ＝2，解得x ＝4．故选：C ．【点睛】本题考查了矩形的性质，轴对称﹣最短路线问题的应用，题目具有一定的代表性，是一道难度较大的题目，对学生提出了较高的要求．例3．如图，在矩形ABCD 中，26AB AD ==,，O 为对角线AC 的中点，点P 在AD 边上，且2AP =，点Q【答案】210【分析】①连接PO并延长交BC 明四边形APHB是矩形可得AB②过点O作关于BC的对称点PQ OQ+的最小值为PO'的长度，延长∵GO AD'⊥，点O是AC的中点，∴132AG AD==，【点睛】本题考查矩形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理及轴对称识是解题的关键．【变式训练1】如图，正方形ABCD的周长为24，P为对角线AC上的一个动点，E是CD的中点，则PE PD+的最小值为（）A ．35B ．32C ．6D ．5【答案】A 【详解】解：如图，连接BE ，设BE 与AC 交于点P'，∵四边形ABCD 是正方形，∴点B 与D 关于AC 对称，∴P'D =P'B ，∴P'D +P'E =P'B +P'E =BE 最小.即P 在AC 与BE 的交点上时，PD +PE 最小，即为BE 的长度.∵正方形ABCD 的周长为24，∴直角△CBE 中，∠BCE =90°，BC =6，CE =12CD =3，∴226335BE =+=故选A.【变式训练2】如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝3，动点P 满足S △PBC ＝14S 矩形ABCD ，则点P 到B ，C 两点距离之和PB +PC 的最小值为（）A 10B 13C 15D ．3【答案】B 【详解】解：设△PBC 中BC 边上的高是h ．∵S △PBC ＝14S 矩形ABCD ．∴12BC •h ＝14AB •AD ，∴h ＝12AB ＝1，∴动点P 在与BC 平行且与BC 的距离是1的直线l 上，如图，作B 关于直线l 的对称点E ，连接CE ，则CE 的长就是所求的最短距离．在Rt △BCE 中，∵BC ＝3，BE ＝BA ＝2，∴CE 2213+AB BC 即PB ＋PC 13故选：B ．【变式训练3】如图，在正方形ABCD 中，4AB =，AC 与BD 交于点O ，N 是AO 的中点，点M 在BC 边上，且3BM =，P 为对角线BD 上一点，则PM PN -的最大值为_____________．【答案】1【分析】作N 关于BD 的对称点E ，连接PE ，ME ，过点M 作MQ ⊥AC ，垂足为Q ，可判定当点P ，E ，M 三点共线时，PM -PE 的值最大，为ME 的长，求出CE ，CQ ，得到EQ ，利用垂直平分线的性质得到EM =CM =1即可．【详解】解：如图：作N 关于BD 的对称点E ，连接PE ，ME ，过点M 作MQ ⊥AC ，垂足为Q ，∴PN =PE ，则PM -PN =PM -PE ，【答案】13【分析】连接CF、AF+=+，故当EF MN EF AF类型二、翻折型最值问题例1．如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD边的中点，N是AB边上的一动点，将△AMN 沿MN所在直线翻折得到△A'MN，连接A'C，则A'C长度的最小值是（）【变式训练1】如图，在矩形ABCD 中，3AB =，4=AD ，E 在AB 上，1BE =，F 是线段BC 上的动点，将EBF △沿EF 所在的直线折叠得到'EB F △，连接'B D ，则'B D 的最小值是（）A ．6B ．4C ．2D ．1-【答案】D 【详解】解：如图，'B 的运动轨迹是以E 为圆心，以BE 的长为半径的圆．所以，当'B 点落在DE 上时，'B D 取得最小值．根据折叠的性质，△EBF ≌△EB’F ，∴E 'B ⊥'B F ，∴E 'B ＝EB ，∵1BE =∴E 'B ＝1，∵3AB =，4=AD ，∴AE =3-1=2，∴DE =D 'B ＝．故选：D ．【变式训练2】如图，在正方形ABCD 中，AB =6，E 是CD 边上的中点，F 是线段BC 上的动点，将△ECF 沿EF 所在的直线折叠得到EC F '△，连接AC '，则的最小值是AC '_______．【答案】3【详解】解：∵四边形ABCD 是正方形，∴6CD AB AD ===，∵E 是CD 边上的中点，∴132EC CD ==∵△ECF 沿EF 所在的直线折叠得到EC F '△，∴3EC EC '==，∴当点A ，C '，E 三点共线时，AC '最小，如图，在Rt ADE △中，由勾股定理得：AE ==3AE EC '-=-，∴AC '的最小值为3．类型三、旋转型最值问题【答案】353-【分析】过点M 作MP CD ⊥，垂足为P ，连接CM ，根据正方形的性质求出CE ，证明EDC DMP △≌△股定理求出CM ，根据CN MN CM +≥即可求出CN 【详解】解：过点M 作MP CD ⊥，垂足为P ，连接由旋转可得：DE DM =，3EF MN ==，90EDM ∠=例2．如图，长方形ABCD 中，6AB =，8BC =，E 为BC 上一点，且2BE =，F 为AB 边上的一个动点，连接EF ，将EF 绕着点E 顺时针旋转30°到EG 的位置，连接FG 和CG ，则CG 的最小值为______．【答案】2+【详解】解：如图，将线段BE 绕点E 顺时针旋转30°得到线段ET ，连接GT ，过E 作EJ CG ⊥，垂足为J ，∵四边形ABCD 是矩形，∴AB =CD =6，∠B =∠BCD =90°，∵∠BET =∠FEG =30°，∴∠BEF =∠TEG ，在△EBF 和△TEG 中，EB ET BEF TEG EF EG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△EBF ≌△ETG （SAS ），∴∠B =∠ETG =90°，∴点G 的在射线TG 上运动，∴当CG ⊥TG 时，CG 的值最小，∵∠EJG =∠ETG =∠JGT =90°，∴四边形ETGJ 是矩形，∴∠JET =90°,GJ =TE =BE =2，∵∠BET =30°，∴∠JEC =180°-∠JET -∠BET =60°，∵8BC =，∴226,3,3EC BC BE EJ CJ EC EJ =-===-=,∴CG =CJ +GJ =332+.∴CG 的最小值为332+.故答案为：332.【变式训练1】如图，已知正方形ABCD 的边长为a ，点E 是AB 边上一动点，连接ED ，将ED 绕点E 顺时针旋转90︒到EF ，连接DF ，CF ，则当DF CF +之和取最小值时，DCF 的周长为______．（用含a 的代数式表示）【答案】()51a +【分析】连接BF ，过点F 作FG AB ⊥交AB 延长线于点G ，先证明AED GFE △≌△，即可得到点F 在CBG ∠的角平分线上运动，作点C 关于BF 的对称点C '，当点D ，F ，C 三点共线时，DF CF DC +='最小，根据勾股定理求出DC DF CF '=+的最小值为35，即可求出此时DCF 的周长为353+．将ED绕点E顺时针旋转90︒到EF，=，∴⊥，EF DEEF DEDEA FEG DEA ADE∴∠+∠=∠+∠=︒，90∴∠=∠，ADE FEG又90，∠=∠=︒DAE FGE(1)试猜想线段BG 和AE 的数量关系，并证明你得到的结论；(2)将正方形DEFG 绕点D 逆时针方向旋转一定角度后（旋转角度大于过观察或测量等方法判断（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请予以证明；如果不成立，请说明理由；(3)若2BC DE ==，在（2）的旋转过程中，①当AE 为最大值时，则AF =___________．ABC 是等腰直角三角形，AD BC ∴⊥，BD CD =，90ADB ADC ∴∠=∠=︒．四边形DEFG 是正方形，DE DG ∴=．在BDG 和ADE V 中，BD AD BDG ADE GD ED =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，(SAS)ADE BDG ∴△≌△，BG AE ∴=；（2）（1）中的结论仍然成立，BG AE =，BG AE ⊥．理由如下：如图②，连接AD ，延长EA 交BG 于K ，交DG 于O ．在Rt BAC 中，D 为斜边BC 中点，AD BD ∴=，AD BC ⊥，90ADG GDB ∴∠+∠=︒．四边形EFGD 为正方形，DE DG ∴=，且90GDE ∠=︒，90ADG ADE ∴∠+∠=︒，BDG ADE ∴∠=∠．在BDG 和ADE V 中，BD AD BDG ADE GD ED =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，(SAS)BDG ADE ∴△≌△，BG AE ∴=，BGD AED ∠=∠，2，==BC DEBG∴=+=．213AE∴=．3在Rt AEF中，由勾股定理，得222=+=+3AF AE EF中，如图②中，在BDGBG∴-≤≤+，2112∴的最小值为1，此时如图④中，AE在Rt AEF中，2=AF EF【点睛】本题属于四边形综合题，考查了旋转的性质的运用，等腰直角三角形的性质的运用，勾股定理的运用，全等三角形的判定及性质的运用，正方形的性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．类型四、PA+KPB型最值问题3A．27B．23【答案】C【分析】连接AC与EF相交于∵四边形ABCD是菱形，∠=∠，∴OAE OCFA．3B．22【答案】D【分析】连接AF，利用三角形中位线定理，可知四边形ABCD是菱形，∴==，AB BC23，H分别为AE，EF的中点，GGH∴是AEF△的中位线，【答案】51-【分析】连接BD交EF的中点，求出OB的长，得到AH AM MH>=-–51直线l平分正方形∴O是BD的中点，四边形ABCD是正方形，∴==，BD AB24【答案】26【分析】利用轴对称的性质作出如图的辅助线，在【详解】解：延长DC '''∴E F G H E '''、、、、在同一直线上时，四边形EFCH 作E K AB '⊥交AB 延长于点K ，则23EK BE CD A E AB CD '''=++=+=，E K BC '=+在△ABH中，∠AHB=90°，∠ABH过点D作DE∥AC交BC延长线于点E，作点C【点睛】本题考查了对称的性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，最值问题，直角三角形的性质，多边形的面积，知识点较多，难度较大，解题的关键是作出辅助线，得出当且仅当B，D，F三点共线时，BD+CD取得最小值．。
(完整版)初中几何最值问题(最新整理)
大值为_______,最小值为________
【例3】如图，已知等边△ABC 的边长为 1，D、E、F 分别是 AB、BC、AC 边上的点（均不与点 A、B、C 重合），
记△DEF 的周长为 p .若 D、E、F 分别是 AB、BC、AC 边上任意点，则 p 的取值范围是
y
B
C
y
B
C
D
D
O E Ax
O
Ax
D （Ⅱ）若 E 、 F 为边 OA 上的两个动点，且 EF 2 ，当四边形 CDEF 的周长最小时，求点 E 、 F 的坐标.
【巩固】已知点 A（3，4），点 B 的坐标为（﹣1，1）时，在 x 轴上另取两点 E，F，且 EF=1．线段 EF 在 x 轴上平移，线段 EF 平移至何处时，四边形 ABEF 的周长最小？求出此时点 E 的坐标．
【例9】已知直线 y 1 x 1 与 y 轴交于点 A，与 x 轴交于点 D，抛物线 y 1 x2 bx c 与直线交于 A、E
2
2
两点，与 x 轴交于 B、C 两点，且 B 点坐标为(1，0).
（1）求该抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上找一点 M，使| AM MC | 的值最大，求出点 M 的坐标。
【 例 2】 AB CD 是 半 径 为 5 的 A O 的 两 条 弦 ， AB 8 ， CD 6 ， MN 为 直 径 ， AB MN 于 点 E , CD MN 于点 F ， P 为 EF 上任意一点，则 PA+PC 的最小值为_________
A C
M
E
2020初中数学中考专题复习——四边形中的线段最值问题专项训练2(附答案详解)
解：∵在△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，
∴AB2+AC2=BC2，
即∠BAC=90°．
又PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，
∴四边形AEPF是矩形，
∴EF=AP．
∵M是EF的中点，
∴AM= EF= AP,
因为AP的最小值即为直角三角形ABC斜边上的高
AP= ,
∴AM的最小值是 ．
故选C．
②根据对称性：连接ED交BC于点P，此时AP+EP＝AD，最小，再过点D作DF垂直AC的延长线于点F，根据勾股定理即可求解．
【详解】
如图所示：
（1）∵BD∥CE，CD∥BE，
∴四边形BDCE是平行四边形，
∵CE⊥AB，
∴∠BEC＝90°，
∴四边形BECD是矩形；
（2）①当BE的长为 时，四边形BECD是菱形．理由如下：
6．C
【解析】
【分析】
根据勾股定理的逆定理可以证明∠BAC=90°，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，则AM= EF，要求AM的最小值，即求EF的最小值；根据三个角都是直角的四边形是矩形得四边形AEPF是矩形，根据矩形的对角线相等，得EF=AP，则EF的最小值即为AP的最小值，根据垂线段最短知：AP的最小值即等于直角三角形ABC斜边上的高．
【详解】
设 与AC交于点O，作 ⊥ 于 ，如图所示：
在Rt△ABC中，∠BAC=90 ，∠ACB=45 ，
∴ ，
∵四边形PAQC是平行四边形，
∴ ，
∵ ⊥ ，∠ACB=45 ，
∴ ，
当 与 重合时，OP的值最小，则PQ的值最小，
∴PQ的最小值
故选：A．
【点睛】
本题考查了勾股定理的运用、平行四边形的性质以及垂线段最短的性质，利用垂线段最短求线段的最小值是解题的关键．
2023年九年级数学中考专题复习——最值问题(将军饮马,胡不归,阿氏圆)
牛吃草最值问题：1.如图，AB 是⊙O 的直径，AB=8，点M 在⊙O 上，∠MAB=20°，N 是弧MB 的中点，P 是直径AB 上的一动点．若MN=1，则△PMN 周长的最小值为．2.如图,点P 是∠AOB 内一定点，点M 、N 分别在边OA 、OB 上运动，若∠AOB =45°，OP =32，则△PMN 周长的最小值为.3.如图,∠AOB 的边OB 与x 轴正半轴重合,点P 是OA 上一动点,点N(6,0)是OB 上的一定点,点M 是ON 中点,∠AOB=30∘，要使PM+PN 最小，则点P 的坐标为.4.如图，Rt △ABC 中，∠ACB=90º，∠CAB=30º， BC=1，将△ABC 绕点B 顺时针转动, 并把各边缩小为原来的一半，得到△DBE ，点A ，B ，E 在一直线上．P 为边DB 上的动点，则AP+CP 的最小值为 ．5.点A 、B 均在由面积为1的相同小矩形组成的网格的格点上，建立坐标系如图所示．若P 是x 轴上使得PA PB -的值最大的点，Q 是y 轴上使得QA+QB 的值最小的点，则OP OQ ⋅＝ ．N M O P B A Ay6.如图，当四边形PABN 的周长最小时，a =．7.矩形OACB 的顶点O 在坐标原点，顶点A 、B 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，OA=3，OB =4，D 为边OB 的中点. 若E 、F 为边OA 上的两个动点，且EF =2，当四边形CDEF 的周长最小时，则点F 的坐标为8.如图，在Rt △ABO 中，∠OBA ＝90°，A （4，4），点C 在边AB 上，且＝，点D 为OB 的中点，点P 为边OA 上的动点，当点P 在OA 上移动时，使四边形PDBC 周长最小的点P 的坐标为三角形条件及隐圆最值问题1.如图，在边长为2的菱形ABCD 中，∠A=60°，M 是AD 边的中点，N 是AB 边上一动点，将△AMN 沿MN 所在的直线翻折得到△A′MN ，连接A′C. 则A′C 长度的最小值是.N (a +2,0)P (a ,0)B (4,-1)A (1,-3)O y x F D C B A x y O E F D C B A x y O E2如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=2，把矩形ABCD沿过点A的直线AE折叠点D落在矩形ABCD内部的点D处，则CD′的最小值是3.如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上的一个动点（不与B、D重合），连结AP，过点B作直线AP的垂线，垂足为H，连结DH，若正方形的边长为4，则线段DH长度的最小值是．4.如图，AB为直径，C为⊙O上一点，其中AB=4，∠AOC=120°，P为⊙O上的动点，取AP中点Q，连CQ，则线段CQ的最大值为5.如图，矩形ABCD中，AC与BD相交于点E，AD：AB＝：1，将△ABD沿BD折叠，点A的对应点为F，连接AF交BC于点G，且BG＝2，在AD边上有一点H，使得BH+EH的值最小，此时BH:CF＝6.如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=6，BC=4，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB=∠PBC，则线段CP长的最小值为_____．7.如图，A(1，0)、B(3，0)，以AB为直径作⊙M，射线OF交⊙M于E、F两点，C为弧AB的中点，D为EF的中点．当射线OF 绕O点旋转时，CD的最小值为________8.如图，点A（1，0），B（1﹣a，0），C（1+a，0）（a＞0），点P在以D（4，4）为圆心，1为半径的圆上运动，且始终满足∠BPC=90°，则a的最大值是______9.AB是半圆O的直径，AB=10，弦AC长为8，点D是弧BC上一个动点，连接AD，作CP⊥AD，垂足为P，连接BP，则BP的最小值是_____10.直线y＝x＋4 分别与x 轴、y 轴相交与点M、N，边长为2 的正方形OABC 一个顶点O 在坐标系的原点，直线AN 与MC 相交与点P，若正方形绕着点O 旋转一周，则点P 到点(0，2)长度的最小值是__________11.如图，在△ABC中，AB=10，AC=8，BC=6，以边AB的中点O为圆心，作半圆与AC相切，点P，Q分别是边BC和半圆上的动点，连接PQ，则PQ长的最大值与最小值的和是x−3与x轴、y轴分别交于A、B两点，P是以C（0，2）为圆心，2为半径的圆上一动点，连结PA、12.如图，已知直线y=34PB．则△PAB面积的最小值是_____．13.如图，C、D是以AB为直径的圆O上的两个动点（点C、D不与A、B重合），在运动过程中弦CD始终保持不变，M是弦CD 的中点，过点C作CP⊥AB于点P．若CD=3，AB=5，PM=x，则x的最大值是14.如图，已知A、B两点的坐标分别为（8，0）、（0，8），点C、F分别是直线x＝﹣5和x轴上的动点，CF＝10，点D是线段CF的中点，连接AD交y轴于点E，当△ABE面积取得最小值时，tan∠BAD的值是15.如图，抛物线y＝x2﹣4与x轴交于A、B两点，P是以点C（0，3）为圆心，2为半径的圆上的动点，Q是线段P A的中点，连结OQ．则线段OQ的最大值是16.如图，正方形ABCD和Rt△AEF，AB＝5，AE＝AF＝4，连接BF，DE．若△AEF绕着点A旋转，当∠ABF最大时，S△ADE ＝17.如图，在直角坐标系中，已知C（3，4），以点C为圆心的圆与y轴相切．点A、B在x轴上，且OA＝OB．点P为⊙C上的动点，∠APB＝90°，则AB长度的最大值为18.在△ABC中，AB＝4，∠C＝60°，∠A＞∠B，则BC的长的取值范围是19.如图，直线y＝x+1与抛物线y＝x2﹣4x+5交于A，B两点，点P是y轴上的一个动点，当△P AB的周长最小时，S△P AB＝20..如图，△ABC是⊙O的内接三角形，且AB是⊙O的直径，点P为⊙O上的动点，且∠BPC＝60°，⊙O的半径为6，则点P到AC距离的最大值是路径问题：1.如图，AB是⊙O的直径，M、N是（异于A、B）上两点，C是上一动点，∠ACB的角平分线交⊙O于点D，∠BAC 的平分线交CD于点E．当点C从点M运动到点N时，则C、E两点的运动路径长的比是2.如图，在圆心角为90°的扇形OAB中，OB＝2，P为上任意一点，过点P作PE⊥OB于点E，设M为△OPE的内心，当点P从点A运动到点B时，则内心M所经过的路径长为3.如图，在矩形ABCD中，AB＝4，∠DCA＝30°，点F是对角线AC上的一个动点，连接DF，以DF为斜边作∠DFE＝30°的直角三角形DEF，使点E和点A位于DF两侧，点F从点A到点C的运动过程中，点E的运动路径长是4.等边三角形ABC的边长为6，在AC，BC边上各取一点E，F，连接AF，BE相交于点P．若AF=BE，当点E从点A运动到点C时，则点P经过的路径长为．5.如图，边长为2 的正方形ABCD 的两条对角线交于点O，把BA 与CD 分别绕点B 和点C 逆时针旋转相同的角度，此时正方形ABCD 随之变成四边形A′BCD′．设A′C，BD′交于点O′，若旋转了60°，则点O 运动到点O′所经过的路径长为6.已知等边三角形ABC 的边长为4，点D 是边BC 的中点，点E 在线段BA 上由点B 向点A 运动，连接DE，以DE 为边在DE 右侧作等边三角形DEF．设△DEF 的中心为O，则点 E 由点 B 向点 A 运动的过程中，点O 运动的路径长为胡不归型问题：当 k≠1 且 k 为正数时，若点 P 在某条直线上运动时，此时所求的最短路径问题称之为“胡不归”问题．那么对于当“PA + k·PB”的值最小时，点 P 的位置如何确定呢?过点 P 作 PQ⊥BN，垂足为 Q，如图3则 k·PB = PB·sin∠MBN = PQ．因此，本题求“PA + k·PB”的最小值转化为求“PA +PQ”的最小值，即 A，P，Q 三点共线时最小．1.如图，四边形ABCD是菱形，AB=4，且∠ABC=60°,M为对角线BD（不含B点）上任意一点，则AM+1BM的最小值为．22.在△ABC中，AB＝AC＝10，tan A＝2，BE⊥AC于点E，D是线段BE上的一个动点，则CD+BD的最小值是阿氏圆模型问题：已知平面上两点 A，B，则所有满足 PA + k·PB(k≠1，且 k 为正数)，若点 P 的轨迹是一个圆，当点 P 在圆周上运动的类型称之为“阿氏圆”（阿波罗尼斯圆）问题．如图所示，⊙O 的半径为 r，点 A，B 都在圆外，P 为⊙O 上的动点，已知 r = k·OB，连接 PA，PB，则当“PA + k·PB”的值最小时，P 点的位置如何确定?在线段 OB 上截取 OC 使 OC = k·r，则可说明△BPO∽△PCO，即 k·PB = PC．因此，求“PA + k·PB”的最小值转化为求“PA + PC”的最小值，即 A，P，C 三点共线时最小1.已知A(-4，-4)、B(0, 4)、C(0, -6)、 D(0, -1)，AB与x轴交于点E，以点E为圆心，ED长为半径作圆，点M为⊙E上AM的最小值．一动点，求CM+122.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CB=4，CA=6，⊙C半径为2，P为圆上一动点，连接AP，BP，则AP+1BP的最小值为．2旋转最值及路径问题：1.如图，点O在线段AB上，OA=1，OB=3，以O为圆心，OA长为半径作⊙O，点M在⊙O上运动，连接MB，以MB为腰作等腰Rt△MBC，使∠MBC=90°，M，B，C三点为逆时针顺序，连接AC，则AC长的取值范围为___________．2.如图，线段AB为⊙O的直径，AB=4，点C为OB的中点，点P在⊙O上运动，连接CP，以CP为一边向上作等边△CPD，连接OD，则OD的最大值为___________．3.如图，在直角坐标系中，已知点A（4，0），点B为y轴正半轴上一动点，连接AB，以AB为一边向下做等边△ABC，连接OC，则OC的最小值为__________4.如图，在Rt△ABC中，AB=BC=2，点P为AB边上一动点，连接CP，以CP为边向下作等腰RT△CPD，连接BD，则BD的最小值为____________．5..如图，在直角坐标系中，已知点A（4，0），点B为直线y=2上一动点，连接AB，以AB为底边向下做等腰Rt△ABC，∠ACB=90°，连接OC，则OC的最小值为__________6.如图，已知点A（3，0），C（0，-4），⊙C的半径为√5，点P为⊙C上一动点，连接AP，若M为AP的中点，连接OM，则OM的最大值为．7．如图，已知△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，AC=2，以点C为圆心，1为半径作圆，点P为⊙C上一动点，连结AP，并绕点A顺时针旋转90°得到AP′，连结CP′，则CP′的取值范围是．8.如图，Rt△ABC中，AC=6，BC=8，∠C=90°．点P是AB边上一动点，D是AC延长线上一点，且AC=CD，连接PD，过点D作．则当点P从点A运动到B点时，点E运动的路径长为DE⊥PD，连接PE，且tan∠DPE=252的一个定点，AC⊥x 轴于点M，交直线y=-x 于点N．若点P 是线段ON 上9.如图，点A 是第一象限内横坐标为3的一个动点，∠APB=30°，BA⊥PA，则点P 在线段ON 上运动时，A 点不变，B 点随之运动．当点P 从点O 运动到点N 时，点B 运动的路径长是旋转构图法（补形）问题：常见旋转模型：1.如图，在△ABC 中，AB=AC=32，∠BAC=120°，点D ，E 都在BC 上，∠DAE=60°，若BD=2CE ，则DE 的长为_____．2.在四边形ABCD 中，AD=4，CD ＝3，∠ABC=∠ACB ＝∠ADC=45°，则BD 的长为；3.如图，在△ABC 中，∠ABC=90°，将AB 边绕点A 逆时针旋转90°得到线段AD ，将AC 边绕点C 顺时针旋转90°得到线段CE ，AE 与BD 交于点F ．若DF=2，EF=22，则BC 边的长为____________．A D CB E FDE CB A4.如图，菱形ABCD的对角线AC上有一动点P，BC=6，∠ABC=150°，则线段AP+BP+PD的最小值为5.如图，在△ABC中,∠ABC＝30°，AB＝4 ,BC＝5 , P是△ABC内部的任意一点，连接PA , PB , PC，则PA + PB + PC 的最小值为．。
四边形周长最小值问题解析
【专题名称】初中数学教与学【专题号】G352【复印期号】2011年01期【原文出处】《初中数学教与学》(扬州)2010年10期第20～23页【作者简介】程峰，江西省彭泽县杨梓中学(332713)。
【关键词】EEUU笔者曾发表过《线段长度的最值问题解析》一文，其中举了两个例子，都是周长的最大值问题。
本文专门讨论四边形周长最小值问题。
四边形周长的最小值问题主要有以下几种情形：一、一边长确定点评当四边形中相对两边的长确定时，要使四边形的周长最小，仍然是通过作对称点加平移，把另外两边转化到同一直线上。
例3 如图3，在平面直角坐标系中，Rt△AOB的顶点坐标分别为A(-2,0),O(0,0),B(0,4)，把△AOB绕点O按顺时针方向旋转90°，得到△COD。
求(1)求C、D两点的坐标；(2)求经过A、B、D三点的抛物线的解析式；(3)在(2)中抛物线的对称轴上取两点E,F（点E在点F的上方），且EF=1，当点E,F在何位置时，四边形ACEF的周长最小，并求出最小值。
图3(1)求A、B、C三点的坐标；(2)若点P为线段AB上的一个动点（与点A、B不重合），以点A为圆心，以AP为半径的圆弧与线段AC交于点M，以点B为圆心，以BP为半径的圆弧与线段BC交于点N，分别连接AN,BM,MN。
①求证：AN=BM；②在点P运动的过程中，四边形AMNB 的周长是否有最小值，若有，求出该最小值。
（2010年济南市。
有改动）图4点评当一边长确定，另两边的长不确定，但其和确定时，要使四边形周长最小，只要使第四边最小。
为此要把第四边与和确定的两边联系起来，得到关于第四边的函数关系式，再运用函数的有关知识确定第四边的最小值。
四、相邻两边的长确定例5 如图5，已知A(-1,5),B(-3,3),C(-4,1)在y轴上找一点D，使得四边形ABED的周长最小，并求出点D的坐标。
解析作点A关于y轴对称的点A'，连接A'C交y轴于点D，则四边形ABCD的周长最小（证明略）。
将军饮马等8类常见最值问题(原卷版)
将军饮马等8类常见最值问题题型一 两定一动型（线段和差最值问题） 题型二 双动点最值问题（两次对称）题型三 动线段问题：造桥选址（构造平行四边形） 题型四 垂线段最短题型五 相对运动平移型将军饮马 题型六 通过瓜豆得出轨迹后将军饮马 题型七 化斜为直，斜大于直 题型八 构造二次函数模型求最值一、单动点问题【问题1】在直线l 上求一点P ，使PA ＋PB 最小问题解决：连接AB ，与l 交点即为P ，两点之间线段最短PA ＋PB 最小值为AB【问题2】在直线l 上求一点P ，使PA ＋PB 最小lA l问题解决：作B 关于l 的对称点B '⇒PB ＝PB '，则PA ＋PB ＝PA ＋PB '，当A ，P ，B '共线时取最小，原理：两点之间线段最短，即PA ＋PB 最小值为AB '【问题3】在直线l 上求一点P ，使|PA －PB |最大 问题解决：连接AB ，当A ，B ，P 共线时取最大原理：三角形两边之和大于第三边，在△AB 'P 中，|PA －PB '|≤AB '【问题4】在直线l 上求一点P ，使|PA －PB |最大问题解决：作B 关于直线l 的对称点B '⇒PB ＝PB '，|PA －PB |＝|PA －PB '| 原理：三角形两边之和大于第三边，连接AB '，在△AB 'P 中|PA －PB '|≤AB 'llllll二、双动点问题（作两次对称）【问题5】在直线1l ，2l 上分别求点M ，N ，使△PMN 周长最小问题解决：分别作点P 关于两直线的对称点P ’和P ''，PM ＝P 'M ，PN ＝P ''N ，原理：两点之间线段最短，P '，P ''，与两直线交点即为M ，N ，则AM ＋MN ＋PN 的最小值为线段P 'P ''的长【问题6】P ，Q 为定点，在直线1l ，2l 上分别求点M ，N ，使四边形PQMN 周长最小 问题解决：分别作点P ，Q 关于直线1l ，2l 的对称点P ’和Q '，PM ＝P 'M ，QN ＝Q 'N原理：两点之间线段最短，连接P 'Q '，与两直线交点即为M ，N ，则PM ＋MN ＋QN 的最小值为线段P 'Q '的长，周长最小值为P 'Q '＋PQl 1l 1l 1l 1【问题7】A ，B 分别为1l ，2l 上的定点，M ，N 分别为1l ，2l 上的动点，求AN MN BM ＋＋最小值 问题解决：分别作A ，B 关于1l ，2l 的对称点'A ，'B ，则'AN A N ＝，'BM B M ＝，''A B 即所求 原理：两点之间距离最短，A '，N ，M ，B '共线时取最小，则AN ＋MN ＋BM ＝A 'N ＋MN ＋B 'M ≤A 'B '三、动线段问题（造桥选址）【问题8】直线m ∥n ，在m ，n 上分别求点M ，N ，使MN ⊥m ，且AM ＋MN ＋BN 的最小值 问题解决：将点B 向上平移MN 的长度单位得B '，连接B 'M ，当AB 'M 共线时有最小值 原理：通过构造平行四边形转换成普通将军饮马，AM ＋MN ＋BN ＝AM ＋MN ＋B 'M ≤AB '＋MNl 2l 2n mn m【问题9】在直线l 上求两点M ，N (M 在左）且MN ＝a ，求AM MN BN ＋＋的最小值问题解决：将B 点向左移动a 个单位长度，再作B '关于直线l 的对称点B ''，当''AB M 共线有最小值原理：通过平移构造平行四边''''BB MN BN B M B M ⇒＝＝，''''AM MN BN AM MN B M AB ≤＋＋＝＋＋四、垂线段最短【问题10】在直线1l ，2l 上分别求点A ，B ，使PB ＋AB 最小问题解决：作P 关于2l 的对称点'P ，作1'P A l ⊥于A ，交2l 于B ，'P A 即所求 原理：点到直线，垂线段最短，''PB AB P B AB P A ≤＋＝＋lll1l 1五、相对运动，平移型将军饮马【问题11】在直线l 上求两点M ，N (M 在左）且MN ＝a ，求AM ＋AN 的最小值问题解决：相对运动或构造平行四边形 策略一：相对运动思想过点A 作MN 的平行线，相对MN ，点A 在该平行线上运动，则可转化为普通饮马问题策略二：构造平行四边形等量代换，同问题9.六、瓜豆轨迹，手拉手藏轨【问题12】如图，点P 在直线BC 上运动，将点P 绕定点A 逆时针旋转90°，得到点Q ，求Q 点轨迹？问题解决：当AP 与AQ 夹角固定且AP :AQ 为定值的话，P 、Q 轨迹是同一种图形．当确定轨迹是线段的时候，可以任取两个时刻的Q 点的位置，连线即可，比如Q 点的起始位置和终点位置，连接即得Q 点轨迹线段．llA''Q 2Q 1ABC原理：由手拉手可知12ABC AQ Q △≌△，故21CB AQ Q A =∠∠,故Q 点轨迹为直线七、化斜为直，斜大于直【问题13】已知：AD 是Rt ABC △斜边上的高 （1）求ADBC的最大值；（2）若2AD =，求BC 的最大值问题解决：取BC 中点M ，（1）则12AD AM BC BC ≤=；（2）224BC AM AD =≤= 八、构造二次函数求最值这类问题一般无法通过纯几何方法来解决或几何方法比较复杂，需要通过面积法或者构造全等、相似建立等量关系，将待求的线段或图形的面积用含有自变量的式子来表示，一般是一个二次函数或者换元后是一个二次函数，然后通过配方得到最值．当然，配方的目的是为了避开基本不等式这个超纲的知识点，如果是选择题或填空题，你可以直接用基本不等式来秒杀，不需要配方．【问题14】正方形ABCD 的边长为6，点Q 在边CD 上，且3CD CQ =，P 是边BC 上一动点，连接PQ ，过点P 作EP PQ ⊥交AB 边于点E ，设BP 的长为x ，则线段BE 长度的最大值为 .问题解决：根据题意，作出图形，根据两个三角形相似的判定得到∽△△PCQ EBP ，进而根据相似比得到()219322BE x =−−+，利用二次函数求最值方法求解即可得到答案 【详解】易知∽△△PCQ EBP ∴，QC PCBP BE ∴=， 3CD CQ =，6CD =，∴2QC =，26x x BE−∴=， ∴()()()()221119663062222BE x x x x x x =−=−−=−−+≤≤，BB102−< ，∴()219322BE x =−−+在3x =时有最大值，最大值为92题型一 两定一动型（线段和差最值问题）2．透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm ，底面周长为10cm ，在容器内壁离底部3cm的点B 处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁且离容器上沿3cm 的点A 处．求蚂蚁吃到饭点C 的坐标为（1，0），且∠AOB =30°点P 为斜边OB 上的一个动点，则P A +PC 的最小值为（ ）4．如图，点A ，B 在直线MN 的同侧，A 到MN 的距离8AC =，B 到MN 的距离5BD =，已知4CD =，5．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝5．动点P 满足S △PBC ＝S 矩形ABCD ．则点P 到B ，C 两点距离之和PB+PC 的最小值为 。
2023中考数学专题复习-利用“两点之间,线段最短”解决最值问题(课件)
问题2：解决以几何图形为背景的最值问题我们
将运用到哪些知识？
“两点之间，线段最短”、轴对称点、勾股定理、
三角形三边关系、垂线段最短、线段垂直平分线的
性质、矩形、菱形……
复习回顾
O
(1)两点之间线段最短。
(1)两点之间线段最短。
(2)线段垂直平分线的性质、轴对称。
(2)线段垂直平分线的性质、轴对称。
第2题答图
3．如图，在菱形 ABCD 中，若 AD＝6，∠ABC＝120°，E 是 BC 的中点，
P 为对角线 AC 上的一个动点，连接 PB，PE，则 PE＋PB 的最小值为
3 3
__________．
【解析】如答图，连接 BD，DP，DE.∵四边形 ABCD 是菱形，∴B，D
关于直线 AC 对称，∴DE 的长即为 PE＋PB 的最小值．∵∠ABC＝120°，
M，N 分别是射线 OA，OB 上异于点 O 的动点，则△PMN 周长的最小
值是__________．
6
【解析】如答图，作点 P 关于 OB 的对称点 P′，作点 P 关于 OA 的对称
点 P″，连接 P′P″，则 P′P″的长就是△PMN 周长的最小值．在△OP′P″
中，OP′＝OP″，∠AOB＝30°，∴∠P′OP″＝60°.∵OP＝6，∴P′P″＝6.
即为所求，△PCD 周长的最小值即为线段 P′P″的长．
“两定两动”型
6．如图，已知正方形 ABCD 的边长为 3，点 E 在边 AB 上且 BE＝1，点
P，Q 分别是边 BC，CD 上的动点(均不与顶点重合)，则四边形 AEPQ 周
2＋2 13
长的最小值是__________．
初中几何图形所有最小值问题
一.已知两定点模型①：将军饮马问题：在直线l上求作点P，使PA＋PB最小。
原理：两点之间，线段最短模型②：在直线l上求作点P，使|PA－PB|最大．原理：两边之差小于第三边，|PA－PB|最大值即为AB长模型③：在直线l上求作点P，使|PA－PB|最小模型④：在直线m、n上分别找两点P、Q，使PA+PQ+QB最小（1）两点都在直线外侧；（2）一个点在内侧，一个点在外侧；（3）两个点都在内侧模型⑤：台球两次碰：已知点A、B位于角的内部，在角的两边上分别找点C、D，使得围成的四边形ABCD周长最小变式…模型⑥：已知点A位于直线m、n内侧，在直线上分别找P、Q，使△APQ 周长最小二.一个动点，一个定点模型⑦：动点在直线上运动点A是定点，动点B在直线n上运动，在直线m上找一点P使PA+PB最小模型⑧：点A是定点，动点B在圆上运动，在直线m上找一点P，使PA+PB最小模型⑨：点A是定点，动点B在直线n上运动，在直线m上找一点P使AB+PB 最小三.两个定点、两个动点模型⑩：P，Q为OA，OB的定点，在OA，OB上求作点M，N，使PN＋NM＋MQ最小．模型11：用平移+对称来解决已知A、B是两个定点，P、Q是直线上两个动点，P在Q的左侧，且PQ之间的长度为定值不变，在直线上找两点P、Q，使得PA+PQ+QB的值最小问题情境：将军从军营A出发，去河边l饮马，饮马完在河边牵马散步a米，回军营B。
模型12：造桥选址问题：直线m∥n，在m上求作点M，在n上求作点N，MN⊥m，且MN为定值；使AM＋MN＋NB最小．四.转化为某个变量的函数，模型13：模型①：如图，已知点A（1，1），B（3，2），且P为x轴上一动点，则△ABP 周长的最小值为_____菱形ABCD中，AB＝2，∠BAD＝60°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE＋PB的最小值是____在边长为2㎝的正方形ABCD中，点Q为BC边的中点，点P为对角线AC上一动点，连接PB、PQ，则△PBQ周长的最小值为_______㎝在△ABC 中，点A 、B 、C 的坐标分别为（x ，0）、（0，1）和（3，2），则当△ABC 的周长最小时，x 的值为_____在平面直角坐标系中，有A （3，－2），B （4，2）两点，现另取一点C （1，n ），当n =______时，AC + BC 的值最小．模型②：已知点A （-1，0），C(0,-3)，在直线x=1上确定一点P 使得|PA-PC|最大，则P 点坐标为__________已知点A （1，3），B （5，-2），在x 轴上找一点P 使|PA-PB|最大，则P 点坐标为__________模型③:去冬今春，济宁市遭遇了200年不遇的大旱,某乡镇为了解决抗旱问题，要在某河道建一座水泵站，分别向河的同一侧张村A 和李村B 送水．经实地勘查后，工程人员设计图纸时，以河道上的大桥O 为坐标原点，以河道所在的直线为x 轴建立直角坐标系（如图），两村的坐标分别为A （2，3），B (12，7)． 水泵站建在距离大桥O 多远的地方，可使它到张村、李村的距离之差最小 模型④：在河中有A （-4，-5）、B （2，-1）两岛（如图），六年级一班组织一次划船比赛，规则要求船从A 岛出发，必须先划到甲岸（y=-6)，又到乙岸(x 轴），再到B 岛，最后回到A 岛，试问应选择怎样的路线才能使路程最短？请在图中画出来，并求出最短路程是多少？模型⑤：如图，已知平面直角坐标系，A 、B 两点的坐标分别为A （2，－3），B （4，－1）。
初中数学几何最值问题(将军饮马、将军过河、费马点、隐圆、瓜豆、胡不归、阿氏圆)
1、如图，在直线上找一点P使得PA+PB最小？2、【一定两动之点点】在OA、OB上分别取点M、N，使得△PMN周长最小．B3、【两定两动之点点】在OA、OB上分别取点M、N使得四边形PMNQ的周长最小。
BB4、【一定两动之点线】在OA、OB上分别取M、N使得PM+MN最小。
BB【将军过桥】1.已知将军在图中点A 处，现要过河去往B 点的军营，桥必须垂直于河岸建造，问：桥建在何处能使路程最短？2.已知A 、B 两点，MN 长度为定值，求确定M 、N 位置使得AM +MN +NB 值最小？军营河1.如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD 的顶点B 在原点，点A 、C 在坐标轴上，点D 的坐标为（6，4），E 为CD 的中点，点P 、Q 为BC 边上两个动点，且PQ =2，要使四边形APQE 的周长最小，则点P 的坐示应为______________．x2.如图，矩形ABCD 中，AD =2，AB =4，AC 为对角线，E 、F 分别为边AB 、CD 上的动点，且EF ⊥AC 于点M ，连接AF 、CE ，求AF +CE 的最小值．AB CDEFM几何图形中的将军饮马正方形中的将军饮马1. 如图，正方形ABCD 的边长是4，M 在DC 上，且DM =1， N 是AC 边上的一动点，则△DMN 周长的最小值是___________．NMD CBA2.如图，在Rt △ABO 中，∠OBA =90°，A （4,4），点C 在边AB 上，且AC :CB =1:3，点D 为OB 的中点，点P 为边OA 上的动点，当点P 在OA 上移动时，使四边形PDBC 周长最小的点P 的坐标为( )A ．(2,2)B ．5(2，5)2C ．8(3，8)3D ．(3,3)3.如图，在△ABC 中，AC =BC ，∠ACB =90°，点D 在BC 上，BD =3，DC =1，点P 是AB 上的动点，则PC +PD 的最小值为( )PDCBAA ．4B ．5C ．6D ．7三角形中的将军饮马1.如图，在等边△ABC 中，AB =6， N 为AB 上一点且BN =2AN ， BC 的高线AD 交BC 于点D ，M 是AD 上的动点，连结BM ，MN ，则BM +MN 的最小值是___________．A BCDMN2. 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AC =6．AB =12，AD 平分∠CAB ，点F 是AC 的中点，点E 是AD 上的动点，则CE +EF 的最小值为( )E AFCDBA ．3B ．4C ．33D ．233. 如图，在锐角三角形ABC 中，BC =4，∠ABC =60°， BD 平分∠ABC ，交AC 于点D ，M 、N 分别是BD ，BC 上的动点，则CM +MN 的最小值是( )NMDCBAA ．3B ．2C ．23D ．44.如图，△ABC 中，∠BAC ＝75°，∠ACB ＝60°，AC ＝4，则△ABC 的面积为_；点D ，点E ，点F 分别为BC ，AB ，AC 上的动点，连接DE ，EF ，FD ，则△DEF 的周长最小值为 ．矩形、菱形中的将军饮马1. 如图，在菱形ABCD 中，AC=BD =6，E 是BC 的中点，P 、M 分别是AC 、AB 上的动点，连接PE 、PM ，则PE +PM 的最小值是( )EPDCBAMA ．6 B．C．D ．4.52.如图，矩形ABOC 的顶点A 的坐标为（-4,5），D 是OB 的中点，E 是OC 上的一点，当△ADE 的周长最小时，点E 的坐标是( )A ．4(0,)3B ．5(0,)3C ．(0,2)D ．10(0,)33.如图，在矩形ABCD 中，AB =6，AD =3，动点P 满足13PAB ABCD S S ∆=矩形，则点P 到A 、B 两点距离之和PA +PB的最小值为( )DCBAPA． B．C．D4.如图，矩形ABCD 中，AB =10，BC =5，点E 、F 、G 、H 分别在矩形ABCD 各边上，且AE =CG ，BF =DH ，则四边形EFGH 周长的最小值为( )H FGEDCB AA．B． C． D．特殊角的对称1. 如图，∠AOB =60°，点P 是∠AOB 内的定点且OPM 、N 分别是射线OA 、OB 上异于点O 的动点，则△PMN 周长的最小值是( )ABMOPNABC ．6D ．32. 如图，∠AOB 的边OB 与x 轴正半轴重合，点P 是OA 上的一动点，点N （3,0）是OB 上的一定点，点M 是ON 的中点，∠AOB =30°，要使PM +PN 最小，则点P 的坐标为 ．x3. 如图，已知正比例函数y =kx （k >0）的图像与x 轴相交所成的锐角为70°，定点A 的坐标为（0，4），P 为y 轴上的一个动点，M 、N 为函数y =kx （k >0）的图像上的两个动点，则AM +MP +PN 的最小值为____________．求两线段差的最大值问题基本图形解析：在一条直线m 上，求一点P ，使PA 与PB 的差最大； （1）点A 、B 在直线m 同侧：解析：延长AB 交直线m 于点P ，根据三角形两边之差小于第三边，P ’A-P ’B ＜AB ，而PA —PB=AB 此时最大，因此点P 为所求的点。
(完整版)二次函数专题训练(三角形周长最值问题)含答案解析-推荐文档
1．如图所示，抛物线y=ax2+bx﹣3与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）如图所示，直线BC下方的抛物线上有一点P，过点P作PE⊥BC于点E，作PF平行于x轴交直线BC 于点F，求△PEF周长的最大值；（3）已知点M是抛物线的顶点，点N是y轴上一点，点Q是坐标平面内一点，若点P是抛物线上一点，且位于抛物线的对称轴右侧，是否存在以P、M、N、Q为顶点且以PM为边的正方形？若存在，直接写出点P的横坐标；若不存在，说明理由．2．如图，抛物线y=﹣x2+2x+3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点D，C关于抛物线的对称轴对称，直线AD与y轴相交于点E．（1）求直线AD的解析式；（2）如图1，直线AD上方的抛物线上有一点F，过点F作FG⊥AD于点G，作FH平行于x轴交直线AD于点H，求△FGH周长的最大值；（3）如图2，点M是抛物线的顶点，点P是y轴上一动点，点Q是坐标平面内一点，四边形APQM是以PM为对角线的平行四边形，点Q′与点Q关于直线AM对称，连接M Q′，P Q′．当△PM Q′与□APQM 重合部分的面积是▱APQM面积的时，求▱APQM面积．3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点A的坐标为（﹣1，0），且OC=OB，tan∠ACO=．（1）求抛物线的解析式；（2）若点D和点C关于抛物线的对称轴对称，直线AD下方的抛物线上有一点P，过点P作PH⊥AD于点H，作PM平行于y轴交直线AD于点M，交x轴于点E，求△PHM的周长的最大值；（3）在（2）的条件下，以点E为端点，在直线EP的右侧作一条射线与抛物线交于点N，使得∠NEP为锐角，在线段EB上是否存在点G，使得以E，N，G为顶点的三角形与△AOC相似？如果存在，请求出点G的坐标；如果不存在，请说明理由．4．如图（1），抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0）两点（x1＜0＜x2），与y轴交于点C（0，﹣3），若抛物线的对称轴为直线x=1，且tan∠OAC=3．（1）求抛物线的函数解析式；（2 若点D是抛物线BC段上的动点，且点D到直线BC距离为，求点D的坐标（3）如图（2），若直线y=mx+n经过点A，交y轴于点E（0，﹣），点P是直线AE下方抛物线上一点，过点P作x轴的垂线交直线AE于点M，点N在线段AM延长线上，且PM=PN，是否存在点P，使△PMN的周长有最大值？若存在，求出点P的坐标及△PMN的周长的最大值；若不存在，请说明理由．5．已知：如图，直线y=﹣x+2与x轴交于B点，与y轴交于C点，A点坐标为（﹣1，0）．（1）求过A、B、C三点的抛物线的解析式．（2）在直线BC上方的抛物线上有一点D，过D作DE⊥BC于E，作DF∥y轴交BC于F，求△DEF周长的最大值．（3）在满足第②问的条件下，在线段BD上是否存在一点P，使∠DFP=∠DBC．若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．6．如图，抛物线y=﹣x2+（m﹣1）x+m（m＞1）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）点D和点C关于抛物线的对称轴对称，点你F在直线AD上方的抛物线上，FG⊥AD于G，FH∥x轴交直线AD于H，求△FGH的周长的最大值；（3）点M是抛物线的顶点，直线l垂直于直线AM，与坐标轴交于P、Q两点，点R在抛物线的对称轴上，使得△PQR是以PQ为斜边的等腰直角三角形，求直线l的解析式．7．如图，已知抛物线y=﹣x2+2x+3与坐标轴交于A，B，C三点，抛物线上的点D与点C关于它的对称轴对称．（1）直接写出点D的坐标和直线AD的解析式；（2）点E是抛物线上位于直线AD上方的动点，过点E分别作EF∥x轴，EG∥y轴并交直线AD于点F、G，求△EFG周长的最大值；（3）若点P为y轴上的动点，则在抛物线上是否存在点Q，使得以A，D，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．8．如图，抛物线y=﹣x2﹣x+3与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），交y轴与点D，已知点C（0，），连接AC．（1）求直线AC的解析式；（2）点P是直线AC上方的抛物线上一动点，过点P作PE∥y轴，交直线AC于点E，过点P作PG⊥AC，垂足为G，当△PEG周长最大时，在x轴上存在一点Q，使|QP﹣QC|的值最大，请求出这个最大值以及点P的坐标；（3）当（2）题中|QP﹣QG|取得最大值时，直线PG交y轴于点M，把抛物线沿直线AD平移，平移后的抛物线y′与直线AD相交的一个交点为A′，在平移的过程中，是否存在点A′，使得点A′，P，M三点构成的三角形为等腰三角形，若存在，直接写出点A′的坐标；若不存在，请说明理由．9．如图，抛物线y=﹣x2+x+3交x轴于A、B两点，点A在点B的左侧，交y轴于点C．（1）求直线AC与直线BC的解析式；（2）如图1，P为直线BC上方抛物线上的一点；①过点P作PD⊥BC于点D，作PM∥y轴交直线BC于点M，当△PDM的周长最大时，求P点坐标及周长最大值；②在①的条件下，连接AP与y轴交于点E，抛物线的对称轴与x轴交于点K，若S为直线BC上一动点，T为直线AC上一动点，连接EK，KS，ST，TE，求四边形EKST周长的最小值；（3）如图2，将△AOC顺时针旋转60°得到△A′OC′，将△A′OC′沿直线OC′平移，记平移中的△A′OC′为△A″O′C″，直线A″O′与x轴交于点F，将△O′C″F沿O′C″翻折得到△O′C″F′，当△CC″F′为等腰三角形时，求此时F点的坐标．参考答案与试题解析 1．如图所示，抛物线y=ax2+bx﹣3与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）如图所示，直线BC下方的抛物线上有一点P，过点P作PE⊥BC于点E，作PF平行于x轴交直线BC 于点F，求△PEF周长的最大值；（3）已知点M是抛物线的顶点，点N是y轴上一点，点Q是坐标平面内一点，若点P是抛物线上一点，且位于抛物线的对称轴右侧，是否存在以P、M、N、Q为顶点且以PM为边的正方形？若存在，直接写出点P的横坐标；若不存在，说明理由．【解答】解：（1）把A（﹣1，0），B（3，0）两点坐标代入抛物线y=ax2+bx﹣3，得到，解得，∴抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3．（2）如图1中，连接PB、PC．设P（m，m2﹣2m﹣3），∵B（3，0），C（0，﹣3），∴OB=OC，∴∠OBC=45°，∵PF∥OB，∴∠PFE=∠OBC=45°，∵PE⊥BC，∴∠PEF=90°，∴△PEF是等腰直角三角形，∴PE最大时，△PEF的面积中点，此时△PBC的面积最大，则有S△PBC=S△POB+S△POC﹣S△BOC=•3•（﹣m2+2m+3）+•3•m﹣=﹣（m﹣）2+，∴m=时，△PBC的面积最大，此时△PEF的面积也最大，此时P（，﹣），∵直线BC的解析式为y=x﹣3，∴F（﹣，﹣），∴PF=，∵△PEF是等腰直角三角形，∴EF=EP=，∴C△PEF最大值=+．（3）①如图2中，当N与C重合时，点N关于对称轴的对称点P，此时思想MNQP是正方形，易知P（2，﹣3）．点P横坐标为2，②如图3中，当四边形PMQN是正方形时，作PF⊥y轴于N，ME∥x轴，PE∥y轴．易知△PFN≌△PEM，∴PF=PE，设P（m，m2﹣2m﹣3），∵M（1，﹣4），∴m=m2﹣2m﹣3﹣（﹣4），∴m=或（舍弃），∴P点横坐标为所以满足条件的点P的横坐标为2或．2．如图，抛物线y=﹣x2+2x+3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点D，C关于抛物线的对称轴对称，直线AD与y轴相交于点E．（1）求直线AD的解析式；（2）如图1，直线AD上方的抛物线上有一点F，过点F作FG⊥AD于点G，作FH平行于x轴交直线AD于点H，求△FGH周长的最大值；（3）如图2，点M是抛物线的顶点，点P是y轴上一动点，点Q是坐标平面内一点，四边形APQM是以PM为对角线的平行四边形，点Q′与点Q关于直线AM对称，连接M Q′，P Q′．当△PM Q′与□APQM 重合部分的面积是▱APQM面积的时，求▱APQM面积．【解答】解：（1）令﹣x2+2x+3=0，解得x1=﹣1，x2=3，∴A（﹣1，0），C（0，3），∵点D，C关于抛物线的对称轴对称，∴D（2，3），∴直线AD的解析式为：y=x+1；（2）设点F（x，﹣x2+2x+3），∵FH∥x轴，∴H（﹣x2+2x+2，﹣x2+2x+3），∴FH=﹣x2+2x+2﹣x=﹣（x﹣）2+，∴FH的最大值为，由直线AD的解析式为：y=x+1可知∠DAB=45°，∵FH∥AB，∴∠FHG=∠DAB=45°，∴FG=GH=×=故△FGH周长的最大值为×2+=；（3）①当P点在AM下方时，如图1，设P（0，p），易知M（1，4），从而Q（2，4+p），∵△PM Q′与▱APQM重合部分的面积是▱APQM面积的，∴PQ′必过AM中点N（0，2），∴可知Q′在y轴上，易知QQ′的中点T的横坐标为1，而点T必在直线AM上，故T（1，4），从而T、M重合，∴▱APQM是矩形，∵易得直线AM解析式为：y=2x+2，∵MQ⊥AM，∴直线QQ′：y=﹣x+，∴4+p=﹣×2+，解得：p=﹣，∴PN=，∴S□APQM=2S△AMP=4S△ANP=4××PN×AO=4×××1=5；②当P点在AM上方时，如图2，设P（0，p），易知M（1，4），从而Q（2，4+p），∵△PM Q′与▱APQM重合部分的面积是▱APQM面积的，∴PQ′必过QM中点R（，4+），易得直线QQ′：y=﹣x+p+5，联立，解得：x=，y=，∴H（，），∵H为QQ′中点，故易得Q′（，），由P（0，p）、R（，4+）易得直线PR解析式为：y=（﹣）x+p，将Q′（，）代入到y=（﹣）x+p得：=（﹣）×+p，整理得：p2﹣9p+14=0，解得p1=7，p2=2（与AM中点N重合，舍去），∴P（0，7），∴PN=5，∴S□APQM=2S△AMP=2××PN×|x M﹣x A|=2××5×2=10．综上所述，▱APQM面积为5或10．3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点A的坐标为（﹣1，0），且OC=OB，tan∠ACO=．（1）求抛物线的解析式；（2）若点D和点C关于抛物线的对称轴对称，直线AD下方的抛物线上有一点P，过点P作PH⊥AD于点H，作PM平行于y轴交直线AD于点M，交x轴于点E，求△PHM的周长的最大值；（3）在（2）的条件下，以点E为端点，在直线EP的右侧作一条射线与抛物线交于点N，使得∠NEP为锐角，在线段EB上是否存在点G，使得以E，N，G为顶点的三角形与△AOC相似？如果存在，请求出点G的坐标；如果不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵点A的坐标为（﹣1，0），∴OA=1．又∵tan∠ACO=，∴OC=4．∴C（0，﹣4）．∵OC=OB，∴OB=4∴B（4，0）．设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x﹣4）．∵将x=0，y=﹣4代入得：﹣4a=﹣4，解得a=1，∴抛物线的解析式为y=x2﹣3x﹣4．（2）∵抛物线的对称轴为x=﹣=，C（0，﹣4），点D和点C关于抛物线的对称轴对称，∴D（3，﹣4）．设直线AD的解析式为y=kx+b．∵将A（﹣1，0）、D（3，﹣4）代入得：，解得k=﹣1，b=﹣1，∴直线AD的解析式y=﹣x﹣1．∵直线AD的一次项系数k=﹣1，∴∠BAD=45°．∵PM平行于y轴，∴∠AEP=90°．∴∠PMH=∠AME=45°．∴△MPH的周长=PM+MH+PH=PM+MP+PM=（1+）PM．设P（a，a2﹣3a﹣4），M（﹣a﹣1），则PM=﹣a﹣1﹣（a2﹣3a﹣4）=﹣a2+2a+3，∵PM=﹣a2+2a+3=﹣（a﹣1）2+4，∴当a=1时，PM有最大值，最大值为4．∴△MPH的周长的最大值=4×（1+）=4+4．（3）如图1所示；当∠EGN=90°．设点G的坐标为（a，0），则N（a，a2﹣3a﹣4）．∵∠EGN=∠AOC=90°，∴时，△AOC∽△EGN．∴=，整理得：a2+a﹣8=0．解得：a=（负值已舍去）．∴点G的坐标为（，0）．如图2所示：当∠EGN=90°．设点G的坐标为（a，0），则N（a，a2﹣3a﹣4）．∵∠EGN=∠AOC=90°，∴时，△AOC∽△NGE．∴=4，整理得：4a2﹣11a﹣17=0．解得：a=（负值已舍去）．∴点G的坐标为（，0）．∵EN在EP的右面，∴∠NEG＜90°．如图3所示：当∠ENG′=90°时，EG′=EG××=（﹣1）×=．∴点G′的横坐标=．∵≈4.03＞4，∴点G′不在EG上．故此种情况不成立．综上所述，点G的坐标为（，0）或（，0）．4．如图（1），抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0）两点（x1＜0＜x2），与y轴交于点C（0，﹣3），若抛物线的对称轴为直线x=1，且tan∠OAC=3．（1）求抛物线的函数解析式；（2 若点D是抛物线BC段上的动点，且点D到直线BC距离为，求点D的坐标（3）如图（2），若直线y=mx+n经过点A，交y轴于点E（0，﹣），点P是直线AE下方抛物线上一点，过点P作x轴的垂线交直线AE于点M，点N在线段AM延长线上，且PM=PN，是否存在点P，使△PMN的周长有最大值？若存在，求出点P的坐标及△PMN的周长的最大值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）在Rt△AOC中，tan∠AOC==3，且OC=3，∴OA=1，则A（﹣1，0），∵抛物线的对称轴为直线x=1，则点A（﹣1，0）关于直线x=1的对称点B的坐标为（3，0），设抛物线的表达式为y=a（x﹣3）（x+1），将点C（0，﹣3）代入上式得﹣3a=﹣3，解得：a=1，∴抛物线的解析式为y=（x﹣3）（x+1）=x2﹣2x﹣3；（2）∵点B（3，0）、C（0，﹣3），则BC=3，∴S△BCD=×3×=3，设D（x，x2﹣2x﹣3），连接OD，∴S△BCD=S△OCD+S△BOD﹣S△BOC=•3•x+•3•（﹣x2+2x+3）﹣×3×3==3，解得x=1或x=2，则点D的坐标为（1，﹣4）或（2，﹣3）；（3）设直线AE解析式为y=kx+b，将点A（﹣1，0）、E（0，﹣）代入得：，解得：，则直线AE 解析式为y=﹣x﹣，AE==，设P（t，t2﹣2t﹣3），则M（t，﹣t﹣），∴PM=﹣t﹣﹣（t2﹣2t﹣3）=﹣t2+t+，作PG⊥MN于G，由PM=PN得MG=NG=MN，由△PMG∽△AEO得=，即=，∴MG=PM=NG，∴C△PMN=PM+PN+MN=PM=（﹣t2+t+）=﹣t2++6=﹣（t﹣）2+，∴当t=时，C△PMN取得最大值，此时P（，﹣）．5．已知：如图，直线y=﹣x+2与x轴交于B点，与y轴交于C点，A点坐标为（﹣1，0）．（1）求过A、B、C三点的抛物线的解析式．（2）在直线BC上方的抛物线上有一点D，过D作DE⊥BC于E，作DF∥y轴交BC于F，求△DEF周长的最大值．（3）在满足第②问的条件下，在线段BD上是否存在一点P，使∠DFP=∠DBC．若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．【解答】解：（1）直线y=﹣x+2与x轴交于B（2，0），与y轴交于C点（0，2），设过A、B、C的抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，把A（﹣1，0）、B（2，0）、C（0，2）的坐标代入，∴a=﹣1，b=1，c=2，∴抛物线的解析式为：y=﹣x2+x+2，（2）设D（x，﹣x2+x+2），F（x，﹣x+2），∴DF=（﹣x2+x+2）﹣（﹣x+2）=﹣x2+2x，所以x=1时，DF最大=1，∵OB=OC，∴△OBC为等腰直角三角形，∵DE⊥BC，DF∥y轴，∴△DEF为等腰直角三角形，∴△DEF周长的最大值为1+（3）如图，当△DEF周长最大时，D（1，2），F（1，1）．延长DF交x轴于H，作PM⊥DF于M，则DB=，DH=2，OH=1当∠DFP=∠DBC时，△DFP∽△DBF，∴，∴DP=，∴=，∴PM=，DM=，∴P点的横坐标为OH+PM=1+=，P点的纵坐标为DH﹣DM=2﹣=，∴P（，）．6．如图，抛物线y=﹣x2+（m﹣1）x+m（m＞1）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）点D和点C关于抛物线的对称轴对称，点你F在直线AD上方的抛物线上，FG⊥AD于G，FH∥x轴交直线AD于H，求△FGH的周长的最大值；（3）点M是抛物线的顶点，直线l垂直于直线AM，与坐标轴交于P、Q两点，点R在抛物线的对称轴上，使得△PQR是以PQ为斜边的等腰直角三角形，求直线l的解析式．【解答】解：（1）把C（0，3）代入y=﹣x2+（m﹣1）x+m得m=3，∴抛物线的解析式为：y=﹣x2+2x+3，（2）令y=﹣x2+2x+3=0，解得：x1=﹣1，x2=3，∴A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3），∵点D和点C关于抛物线的对称轴对称，∴D（1，2），AD的解析式y=x+1，设AD与y轴交于E，∴OA=OE=1，∴∠EAO=45°，∵FH∥AB，∴∠FHA=∠EAO=45°，∵FG⊥AH，∴△FGH是等腰直角三角形，设点F坐标（m，﹣m2+2m+3），∴点H坐标（﹣m2+2m+2，﹣m2+2m+3），∴FH=﹣m2+m+2，∴△FGH的周长=（﹣m2+m+2）+2×（﹣m2+m+2）=﹣（1+）（m﹣）2+∴△FGH的周长最大值为；（3）∵抛物线y=﹣x2+2x+3的定点坐标为（1，4），∴直线AM的解析式为y=2x+2，∵直线l垂直于直线AM，∴设直线l的解析式为y=﹣x+b，∵与坐标轴交于P、Q两点，∴直线l的解析式为y=﹣x+b与y轴的交点P（0，b），与x轴的交点Q（2b，0），设R（1，a），∴PR2=（﹣1）2+（a﹣b）2，QR2=（2b﹣1）2+a2，PQ2=b2+（2b）2=5b2，∵△PQR是以PQ为斜边的等腰直角三角形，∴PR2=QR2，即（﹣1）2+（a﹣b）2=QR2=（2b﹣1）2+a2，∴﹣2a=3b﹣4，①∴PR2+QR2=PQ2，即（﹣1）2+（a﹣b）2+（2b﹣1）2+a2=5b2，∴2a2﹣2ab﹣4b+2=0，②联立①②解得：，，∴直线l的解析式为y=﹣x+或y=﹣x+2．7．如图，已知抛物线y=﹣x2+2x+3与坐标轴交于A，B，C三点，抛物线上的点D与点C关于它的对称轴对称．（1）直接写出点D的坐标和直线AD的解析式；（2）点E是抛物线上位于直线AD上方的动点，过点E分别作EF∥x轴，EG∥y轴并交直线AD于点F、G，求△EFG周长的最大值；（3）若点P为y轴上的动点，则在抛物线上是否存在点Q，使得以A，D，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）将x=0代入得y=3，∴C（0，3）．∵抛物线的对称轴为x=﹣=1，C（0，3），∴D（2，3）．把y=0代入抛物线的解析式得：0=﹣x2+2x+3，解得x=3或x=﹣1，∴A（﹣1，0）．设直线AD的解析式为y=kx+b，将点A和点D的坐标代入得：，解得：k=1，b=1，∴直线AD的解析式为y=x+1．（2）如图1所示：∵直线AD的解析式为y=x+1，∴∠DAB=45°．∵EF∥x轴，EG∥y轴，∴∠GEF=90°，∠GFE=∠DAB=45°∴△EFG是等腰直角三角形．∴△EFG的周长=EF+FG+EG=（2+）EG．依题意，设E（t，﹣t2+2t+3），则G（t，t+1）．∴EG=﹣t2+2t+3﹣（t+1）=﹣（t﹣）2+．∴EG的最大值为．∴△EFG的周长的最大值为+．（3）存在．①以AD为平行四边形的边时，PQ∥AD，PQ=AD．∵A，D两点间的水平距离为3，∴P，Q两点间的水平距离也为3．∴点Q的横坐标为3或﹣3．将x=3和x=﹣3分别代入y=﹣x2+2x+3得y=0或y=﹣12．∴Q（3，0）或（﹣3，﹣12）．②当AD为平行四边形的对角线时，设AD的中点为M，∵A（﹣1，0），D（2，3），M为AD的中点，∴M（，）．设点Q的横坐标为x，则=，解得x=1，∴点Q的横坐标为1．将x=1代入y=﹣x2+2x+3得y=4．∴这时点Q的坐标为（1，4）．综上所述，当点Q的坐标为Q（3，0）或（﹣3，﹣12）或（1，4）时，以A，D，P，Q为顶点的四边形是平行四边形．8．如图，抛物线y=﹣x2﹣x+3与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），交y轴与点D，已知点C（0，），连接AC．（1）求直线AC的解析式；（2）点P是直线AC上方的抛物线上一动点，过点P作PE∥y轴，交直线AC于点E，过点P作PG⊥AC，垂足为G，当△PEG周长最大时，在x轴上存在一点Q，使|QP﹣QC|的值最大，请求出这个最大值以及点P的坐标；（3）当（2）题中|QP﹣QG|取得最大值时，直线PG交y轴于点M，把抛物线沿直线AD平移，平移后的抛物线y′与直线AD相交的一个交点为A′，在平移的过程中，是否存在点A′，使得点A′，P，M三点构成的三角形为等腰三角形，若存在，直接写出点A′的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）令y=0则，﹣x2﹣x+3=0，解得x=﹣3或x=2，∴A（﹣3，0），B（2，0）．设直线AC的解析式为y=kx+b，将点A和点C的坐标代入得：，解得：k=，b=，∴直线AC的解析式为y=x+．（2）延长PE交OA与点F，则PF⊥OA．∵PF⊥OA，PG⊥AC，∴∠EFA=∠PGE．又∵∠PEG=∠FEA，∴∠EAF=∠EPG．∵OC=，AO=3，∴tan∠GPE=tan∠EAF=．∴sin∠GPE=，cos∠GPE=．∴PG=PE，EG=EP．∴△PEG的周长=PE+PG+EG=（1+）PE．∴当PE取得最大值时，△PEC的周长最大．设点P的坐标为（t，﹣t2﹣t+3），则点E的坐标为（t，t+）．∵点P在点E的上方，∴PE=﹣t2﹣t+3﹣（t+）=﹣t2﹣t+=﹣（t+1）2+2．当t=﹣1时，PE取得最大值，此时△PGE的周长取得最大值．∴点P（﹣1，3），点E的坐标为（﹣1，﹣1）．∴PE=3﹣1=2．∴PG=PE=．根据三角形的两边之差小于第三边可知：当点P、G、Q三点共线时，|QP﹣QG|的值最大，此时|QP﹣QG|=PG=（3）如图所示：∵∠PGE=∠PFN，∠P=∠P，∴△PEG∽△PNF，∴=，即=2，解得FN=1.5．∴点N的坐标为（，0）．设PN的解析式为y=kx+b，将点P和点N的坐标代入得：，解得：k=﹣2，b=1．∴M（0，1）．设直线AD的解析式为y=mx+3，将点A的坐标代入得：﹣3m+3=0，解得m=1，∴直线AD的解析式为y=x+3．设点A′的坐标为（x，x+3）．当PM=PA′时，=，整理得：x2+x﹣2=0，解得x=1或x=﹣2，∴点A′的坐标为（1，4）或（﹣2，1）．当PM=MA′时，=，整理得：2x2+4x﹣1=0，解得：x=或x=，∴点A′的坐标为（，）或（，）．当A′P=A′M时，=，整理得：﹣2x=3，解得：x=﹣，∴A′（﹣，）．综上所述，点A′的坐标为（1，4）或（﹣2，1）或（，）或（，）或（﹣，）．9．如图，抛物线y=﹣x2+x+3交x轴于A、B两点，点A在点B的左侧，交y轴于点C．（1）求直线AC与直线BC的解析式；（2）如图1，P为直线BC上方抛物线上的一点；①过点P作PD⊥BC于点D，作PM∥y轴交直线BC于点M，当△PDM的周长最大时，求P点坐标及周长最大值；②在①的条件下，连接AP与y轴交于点E，抛物线的对称轴与x轴交于点K，若S为直线BC上一动点，T为直线AC上一动点，连接EK，KS，ST，TE，求四边形EKST周长的最小值；（3）如图2，将△AOC顺时针旋转60°得到△A′OC′，将△A′OC′沿直线OC′平移，记平移中的△A′OC′为△A″O′C″，直线A″O′与x轴交于点F，将△O′C″F沿O′C″翻折得到△O′C″F′，当△CC″F′为等腰三角形时，求此时F点的坐标．【解答】解：（1）对于抛物线y=﹣x2+x+3，令x=0，得到y=3，可得C（0，3），令y=0，可得y=﹣x2+x+3=0，解得x=﹣1或3，∴A（﹣1，0），B（4，0），∴直线AC的解析式为y=3x+3，直线BC的解析式为y=﹣x+3；（2）①如图在1中，设P（m，﹣m2+m+3），则M（m，﹣m+3）．∵点P运动时，△PDM的形状是相似的，∴PM的值最大时，△PDM的周长的值最大，∵PM=﹣m2+m+3﹣（﹣m+3）=﹣m2+3m=﹣（m2﹣4m+4﹣4）=﹣（m﹣2）2+3，∵﹣＜0，∴m=2时，PM的值最大，此时P（2，），PM的最大值为，∵OC=3，OB=4，∴BC==5，由△PDM∽△BOC，可得==，∴==，∴PD=，DM=，∴△PDM的周长的最大值为++=．②如图2中，作K关于BC的对称点K′，E关于AC的对称点E′，连接E′K′交AC于T，交BC于S，此时四边形EKST的周长最小．四边形EKST的周长的最小值=EK+SK+ST+TE=EK+K′S+ST+TE′=EK+E′K′，∵P（2，），∴直线AP的解析式为y=x+，∴E（0，），∵K（，0），∴OE=OK=，EK=，∵K与K′关于直线BC对称，∴K′（，），∵E，E′关于直线AC对称，∴E′（﹣，），∴E′K′==3，∴四边形EKST周长的最小值为3+=．（3）如图3中，设OF=2m，则FO′=O′F′=m，OO′=m，OC″=m+3．可得F′（m ，m），C″（m+，m+），①当C″C=C″F′时，（m+）2+（m﹣）2=（﹣m）2+（﹣m）2，整理得m2+3m=0，解得m=0或﹣3（舍弃），∴F（0，0）．②当CF′=C″F′时，（﹣m）2+（﹣m）2=m2+（m﹣3）2，整理得m2﹣m=0，解得m=0或，∴F（0，0）或（，3）；③当CF′=CC″时，m2+（m﹣3）2=（m+）2+（m﹣）2，整理得m2﹣9m=0，解得m=0或9，∴F（0，0）或（9，27），综上所述，满足条件的点F坐标为（0，0）或（，3）或（9，27）；。
专题09 几何中最小值计算压轴真题训练(解析版)--2023 年中考数学压轴真题汇编
挑战2023年中考数学选择、填空压轴真题汇编专题09几何中最小值计算压轴真题训练一．轴对称-最短路线问题1．（2022•眉山）如图，点P为矩形ABCD的对角线AC上一动点，点E为BC 的中点，连接PE，PB，若AB＝4，BC＝4，则PE+PB的最小值为．【答案】6【解答】解：如图，作点B关于AC的对称点B'，交AC于点F，连接B′E 交AC于点P，则PE+PB的最小值为B′E的长度，∵四边形ABCD为矩形，∴AB＝CD＝4，∠ABC＝90°，在Rt△ABC中，AB＝4，BC＝4，∴tan∠ACB＝＝，∴∠ACB＝30°，由对称的性质可知，B'B＝2BF，B'B⊥AC，∴BF＝BC＝2，∠CBF＝60°，∴B′B＝2BF＝4，∵BE＝BF，∠CBF＝60°，∴△BEF是等边三角形，∴BE＝BF＝B'F，∴△BEB'是直角三角形，∴B′E＝＝＝6，∴PE+PB的最小值为6，故答案为：6．2．（2022•自贡）如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝2，G是AD的中点，线段EF在边AB上左右滑动，若EF＝1，则GE+CF的最小值为．【答案】3【解答】解：解法一：如图，作G关于AB的对称点G'，在CD上截取CH＝1，然后连接HG'交AB于E，在EB上截取EF＝1，此时GE+CF的值最小，∵CH＝EF＝1，CH∥EF，∴四边形EFCH是平行四边形，∴EH＝CF，∴G'H＝EG'+EH＝EG+CF，∵AB＝4，BC＝AD＝2，G为边AD的中点，∴DG'＝AD+AG'＝2+1＝3，DH＝4﹣1＝3，由勾股定理得：HG'＝＝3，即GE+CF的最小值为3．解法二：∵AG＝AD＝1，设AE＝x，则BF＝AB﹣EF﹣AE＝4﹣x﹣1＝3﹣x，由勾股定理得：EG+CF＝+，如图，矩形EFGH中，EH＝3，GH＝2，GQ＝1，P为FG上一动点，设PG＝x，则FP＝3﹣x，∴EP+PQ＝+，当E，P，Q三点共线时，EP+PQ最小，最小值是3，即EG+CF的最小值是3．故答案为：3．3．（2022•鄂州）如图，定直线MN∥PQ，点B、C分别为MN、PQ上的动点，且BC＝12，BC在两直线间运动过程中始终有∠BCQ＝60°．点A是MN上方一定点，点D是PQ下方一定点，且AE∥BC∥DF，AE＝4，DF＝8，AD ＝24，当线段BC在平移过程中，AB+CD的最小值为（）A．24B．24C．12D．12【答案】C【解答】解：如图，作DL⊥PQ于L，过点A作PQ的垂线，过点D作PQ的平行线，它们交于点R，延长DF至T，使DT＝BC＝12，连接AT，AT交MN于B′，作B′C′∥BC，交PQ于C′，则当BC在B′C′时，AB+CD最小，最小值为AT的长，可得AK＝AE•sin60°＝＝2，DL＝＝4，＝6，∴AR＝2+6+4＝12，∵AD＝24，∴sin∠ADR＝＝，∴∠ADR＝30°，∵∠PFD9＝60°，∴∠ADT＝90°，∴AT＝＝＝12，故答案为：C．4．（2022•贺州）如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，E，F分别是AD，AB的中点，∠ADC的平分线交AB于点G，点P是线段DG上的一个动点，则△PEF的周长最小值为．【答案】5+【解答】解：如图，在DC上截取DT，使得DT＝DE，连接FT，过点T作TH⊥AB于点H．∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠ADT＝90°，∵∠AHT＝90°，∴四边形AHTD是矩形，∵AE＝DE＝AD＝3．AF＝FB＝AB＝4，∴AH＝DT＝3，HF＝AF﹣AH＝4﹣3＝1，HT＝AD＝6，∴FT＝＝＝，∵DG平分∠ADC，DE＝DT，∴E、T关于DG对称，∴PE＝PT，∴PE+PF＝PF+PT≥FT＝，∵EF＝＝＝5，∴△EFP的周长的最小值为5+，故答案为：5+．5．（2022•滨州）如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝10．若点E是边AD 上的一个动点，过点E作EF⊥AC且分别交对角线AC、直线BC于点O、F，则在点E移动的过程中，AF+FE+EC的最小值为．【答案】+【解答】解：如图，过点E作EH⊥BC于点H．∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠BAD＝∠BHE＝90°，∴四边形ABHE是矩形，∴EH＝AB＝5，∵BC＝AD＝10，∴AC＝＝＝5，∵EF⊥AC，∴∠COF＝90°，∴∠EFH+∠ACB＝90°，∵∠BAC+∠ACB＝90°，∴∠EFH＝∠BAC，∴△EHF∽△CBA，∴＝＝，∴＝＝，∴FH＝，EF＝，设BF＝x，则DE＝10﹣x﹣＝﹣x，∵EF是定值，∴AF+CE的值最小时，AF+EF+CE的值最小，∵AF+CE＝+，∴欲求AF+CE的最小值相当于在x轴上找一点P（x，0），使得P到A（0，5），B（，5）的距离和最小，如图1中，作点A关于x轴的对称点A′，连接BA′交xz轴于点P，连接AP，此时PA+PB 的值最小，最小值为线段A′B的长，∵A′（0，﹣5），B（，5），∴A′B＝＝，∴AF+CE的最小值为，∴AF+EF+CE的最小值为+．解法二：过点C作CC′∥EF，使得CC′＝EF，连接C′F．∵EF＝CC′，EF∥CC′，∴四边形EFC′C是平行四边形，∴EC＝FC′，∵EF⊥AC，∴AC⊥CC′，∴∠ACC＝90°，∵AC′＝＝＝，∴AF+EC＝AF+FC′≥AC′＝，∴AF+EF+CE的最小值为+．故答案为：+二．胡不归问题6．（2022•鄂尔多斯）如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠CAB＝30°，AD⊥BC，垂足为D，P为线段AD上的一动点，连接PB、PC．则PA+2PB的最小值为．【答案】4【解答】解：如图，在∠BAC的外部作∠CAE＝15°，作BF⊥AE于F，交AD于P，此时P A+2PB最小，∴∠AFB＝90°∵AB＝AC，AD⊥BC，∴∠CAD＝∠BAD＝，∴∠EAD＝∠CAE+∠CAD＝30°，∴PF＝，∴P A+2PB＝2（）＝2（PF+PB）＝2BF，在Rt△ABF中，AB＝4，∠BAF＝∠BAC+∠CAE＝45°，∴BF＝AB•sin45°＝4×＝2，∴（P A+2PB）＝2BF＝4，最小故答案为：4．三．旋转的性质7．（2022•黄石）如图，等边△ABC中，AB＝10，点E为高AD上的一动点，以BE为边作等边△BEF，连接DF，CF，则∠BCF＝，FB+FD的最小值为．【答案】30°5【解答】解：如图，∵△ABC是等边三角形，AD⊥CB，∴∠BAE＝∠BAC＝30°，∵△BEF是等边三角形，∴∠EBF＝∠ABC＝60°，BE＝BF，∴∠ABE＝∠CBF，在△BAE和△BCF中，，∴△BAE≌△BCF（SAS），∴∠BAE＝∠BCF＝30°，作点D关于CF的对称点G，连接CG，DG，BG，BG交CF的延长线于点F′，连接DF′，此时BF′+DF′的值最小，最小值＝线段BG的长．∵∠DCF＝∠FCG＝30°，∴∠DCG＝60°，∵CD＝CG＝5，∴△CDG是等边三角形，∴DB＝DC＝DG，∴∠CGB＝90°，∴BG＝＝＝5，∴BF+DF的最小值为5，故答案为：30°，5．8．（2022•柳州）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，G是BC的中点，点E是正方形内一个动点，且EG＝2，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF，连接CF，则线段CF长的最小值为．【答案】2﹣2【解答】解：连接DG，将DG绕点D逆时针旋转90°得DM，连接MG，CM，MF，作MH⊥CD于H，∵∠EDF＝∠GDM，∴∠EDG＝∠FDM，∵DE＝DF，DG＝DM，∴△EDG≌△MDF（SAS），∴MF＝EG＝2，∵∠GDC＝∠DMH，∠DCG＝∠DHM，DG＝DM，∴△DGC≌△MDH（AAS），∴CG＝DH＝2，MH＝CD＝4，∴CM＝＝2，∵CF≥CM﹣MF，∴CF的最小值为2﹣2，故答案为：2﹣2．9．（2022•广州）如图，在矩形ABCD中，BC＝2AB，点P为边AD上的一个动点，线段BP绕点B顺时针旋转60°得到线段BP′，连接PP′，CP′．当点P′落在边BC上时，∠PP′C的度数为；当线段CP′的长度最小时，∠PP′C的度数为．【答案】120°，75°【解答】解：如图，以AB为边向右作等边△ABE，连接EP′．∵△BPP′是等边三角形，∴∠ABE＝∠PBP′＝60°，BP＝BP′，BA＝BE，∴∠ABP＝∠EBP′，在△ABP和△EBP′中，，∴△ABP≌△EBP′（SAS），∴∠BAP＝∠BEP′＝90°，∴点P′在射线EP′上运动，如图1中，设EP′交BC于点O，当点P′落在BC上时，点P′与O重合，此时∠PP′C＝180°﹣60°＝120°，当CP′⊥EP′时，CP′的长最小，此时∠EBO＝∠OCP′＝30°，∴EO＝OB，OP′＝OC，∴EP′＝EO+OP′＝OB+OC＝BC，∵BC＝2AB，∴EP′＝AB＝EB，∴∠EBP′＝∠EP′B＝45°，∴∠BP′C＝45°+90°＝135°，∴∠PP′C＝∠BP′C﹣∠BP′P＝135°﹣60°＝75°．故答案为：120°，75°．10．（2022•无锡）△ABC是边长为5的等边三角形，△DCE是边长为3的等边三角形，直线BD与直线AE交于点F．如图，若点D在△ABC内，∠DBC ＝20°，则∠BAF＝°；现将△DCE绕点C旋转1周，在这个旋转过程中，线段AF长度的最小值是．【答案】80，4﹣．【解答】解：∵△ACB，△DEC都是等边三角形，∴AC＝CB，DC＝EC，∠ACB＝∠DCE＝60°，∴∠BCD＝∠ACE，在△BCD和△ACE中，，∴△BCD≌△ACE（SAS），∴∠DBC＝∠EAC＝20°，∵∠BAC＝60°，∴∠BAF＝∠BAC+∠CAE＝80°．如图1中，设BF交AC于点T．同法可证△BCD≌△ACE，∴∠CBD＝∠CAF，∵∠BTC＝∠ATF，∴∠BCT＝∠AFT＝60°，∴点F在△ABC的外接圆上运动，当∠ABF最小时，AF的值最小，此时CD ⊥BD，∴BD＝＝＝4，∴AE＝BD＝4，∠BDC＝∠AEC＝90°，∵CD＝CE，CF＝CF，∴Rt△CFD≌Rt△CFE（HL），∴∠DCF＝∠ECF＝30°，∴EF＝CE•tan30°＝，∴AF的最小值＝AE﹣EF＝4﹣，故答案为：80，4﹣．四．折叠有关最值问题11．（2022•青岛）如图，已知△ABC，AB＝AC，BC＝16，AD⊥BC，∠ABC的平分线交AD于点E，且DE＝4．将∠C沿GM折叠使点C与点E恰好重合．下列结论正确的有：．（填写序号）①BD＝8②点E到AC的距离为3③EM＝④EM∥AC【答案】①④【解答】解：在△ABC中，AB＝AC，BC＝16，AD⊥BC，∴BD＝DC＝BC＝8，故①正确；如图，过点E作EF⊥AB于点F，EH⊥AC于点H，∵AD⊥BC，AB＝AC，∴AE平分∠BAC，∴EH＝EF，∵BE是∠ABD的角平分线，∵ED⊥BC，EF⊥AB，∴EF＝ED，∴EH＝ED＝4，故②错误；由折叠性质可得：EM＝MC，DM+MC＝DM+EM＝CD＝8，设DM＝x，则EM＝8﹣x，Rt△EDM中，EM2＝DM2+DE2，∴（8﹣x）2＝42+x2，解得：x＝3，∴EM＝MC＝5，故③错误；设AE＝a，则AD＝AE+ED＝4+a，BD＝8，∴AB2＝（4+a）2+82，∵＝，∴，∴，∴AB＝2a，∴（4+a）2+82＝（2a）2，解得：a＝或a＝﹣4（舍去），∴tan C＝＝，又∵tan∠EMD＝，∴∠C＝∠EMD，∴EM∥AC，故④正确，故答案为：①④．12．（2022•铜仁市）如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E为AD的中点，将△CDE沿CE翻折得△CME，点M落在四边形ABCE内．点N为线段CE 上的动点，过点N作NP∥EM交MC于点P，则MN+NP的最小值为．【答案】【解答】解：作点P关于CE的对称点P′，由折叠的性质知CE是∠DCM的平分线，∴点P′在CD上，过点M作MF⊥CD于F，交CE于点G，∵MN+NP＝MN+NP′≥MF，∴MN+NP的最小值为MF的长，连接DG，DM，由折叠的性质知CE为线段DM的垂直平分线，∵AD＝CD＝2，DE＝1，∴CE＝＝，∵CE×DO＝CD×DE，∴DO＝，∴EO＝，∵MF⊥CD，∠EDC＝90°，∴DE∥MF，∴∠EDO＝∠GMO，∵CE为线段DM的垂直平分线，∴DO＝OM，∠DOE＝∠MOG＝90°，∴△DOE≌△MOG，∴DE＝GM，∴四边形DEMG为平行四边形，∵∠MOG＝90°，∴四边形DEMG为菱形，∴EG＝2OE＝，GM＝DE＝1，∴CG＝，∵DE∥MF，即DE∥GF，∴△CFG∽△CDE，∴，即，∴FG＝，∴MF＝1+＝，∴MN+NP的最小值为；方法二：同理方法一得出MN+NP的最小值为MF的长，DO＝，∴OC＝＝，DM＝2DO＝，＝DM•OC＝CD•MF，∵S△CDM即×＝2×MF，∴MF＝，∴MN+NP的最小值为；故答案为：．13．（2022•辽宁）如图，正方形ABCD的边长为10，点G是边CD的中点，点E是边AD上一动点，连接BE，将△ABE沿BE翻折得到△FBE，连接GF，当GF最小时，AE的长是．【答案】5﹣5【解答】解：∵将△ABE沿BE翻折得到△FBE，∴BF＝BA＝10，∴点F在以B为圆心，10为半径的圆上运动，∴当点G、F、B三点共线时，GF最小，连接EG，设AE＝x，由勾股定理得，BG＝5，＝S△EDG+S△ABE+S△EBG，∵S梯形ABGD∴（5+10）×10＝++，解得x＝5﹣5，∴AE＝5﹣5，故答案为：5﹣5．14．（2022•台州）如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝6．折叠该菱形，使点A落在边BC上的点M处，折痕分别与边AB，AD交于点E，F．当点M 与点B重合时，EF的长为；当点M的位置变化时，DF长的最大值为．【答案】3，6﹣3．【解答】解：如图1中，∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝AB＝BC＝CD，∠A＝∠C＝60°，∴△ADB，△BDC都是等边三角形，当点M与B重合时，EF是等边△ADB的高，EF＝AD•sin60°＝6×＝3．如图2中，连接AM交EF于点O，过点O作OK⊥AD于点K，交BC于点T，过点A作AG⊥CB交CB的延长线于点G，取AF的中点R，连接OR．∵AD∥CG，OK⊥AD，∴OK⊥CG，∴∠G＝∠AKT＝∠GTK＝90°，∴四边形AGTK是矩形，∴AG＝TK＝AB•sin60°＝3，∵OA＝OM，∠AOK＝∠MOT，∠AKO＝∠MTO＝90°，∴△AOK≌△MOT（AAS），∴OK＝OT＝，∵OK⊥AD，∴OR≥OK＝，∵∠AOF＝90°，AR＝RF，∴AF＝2OR≥3，∴AF的最小值为3，∴DF的最大值为6﹣3．解法二：如图，过点D作DT⊥CB于点T．∵DF＝AD﹣AF，∴当AF最小时，DF的值最大，∵AF＝FM≥DT＝3，∴AF的最小值为3，∴DF的最大值为6﹣3．故答案为：3，6﹣3．五．与圆有关最值计算15．（2022•泸州）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝2，半径为1的⊙O在Rt△ABC内平移（⊙O可以与该三角形的边相切），则点A 到⊙O上的点的距离的最大值为．【答案】2+1【解答】解：当⊙O与BC、BA都相切时，连接AO并延长交⊙O于点D，则AD为点A到⊙O上的点的距离的最大值，设⊙O与BC、BA的切点分别为E、F，连接OE、OF，则OE⊥BC，OF⊥AB，∵AC＝6，BC＝2，∴tan∠ABC＝＝，AB＝＝4，∴∠ABC＝60°，∴∠OBF＝30°，∴BF＝＝，∴AF＝AB﹣BF＝3，∴OA＝＝2，∴AD＝2+1，故答案为：2+1．37．（2022•桂林）如图，某雕塑MN位于河段OA上，游客P在步道上由点O 出发沿OB方向行走．已知∠AOB＝30°，MN＝2OM＝40m，当观景视角∠MPN最大时，游客P行走的距离OP是米．【答案】20【解答】解：如图，取MN的中点F，过点F作FE⊥OB于E，以直径MN作⊙F，∵MN＝2OM＝40m，点F是MN的中点，∴MF＝FN＝20m，OF＝40m，∵∠AOB＝30°，EF⊥OB，∴EF＝20m，OE＝EF＝20m，∴EF＝MF，又∵EF⊥OB，∴OB是⊙F的切线，切点为E，∴当点P与点E重合时，观景视角∠MPN最大，此时OP＝20m，故答案为：20．。
二次函数中最值问题(教师版)
二次函数与几何综合专题----线段最值问题将军饮马：这个将军饮的不是马，是数学！原理：两点间线段最短；点到直线的垂直距离最短；对称（翻折）、平移．策略：对称（翻折）→化同为异、化异为同；化折为直．两村一路（异侧）和最小两村一路（同侧）和最小两路一村和最小两村两路和最小两村一路和最小两村一路（同侧）差最大两村一路（异侧）差最大例：如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y x bx c =++与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，3OA OC ==，顶点为D ，对称轴交x 轴于点E ． （1）求抛物线的解析式、对称轴及顶点D 的坐标．PN y轴交AC于N，求线段PN的最大值及此时点P （2）直线AC下方的抛物线上有一动点P，过点P作//的坐标．于H，求线段PH的最大值及此时点P的坐标．（3）直线AC下方的抛物线上有一动点P，过点P作PH AC（4）直线AC 下方的抛物线上有一动点P ，过点P 作//PN y 轴交AC 于N ，过点P 作PH AC 于H ，求PNH △周长的最大值及此时点P 的坐标．（5）在抛物线对称轴上找一点N ，使得BCN △的周长最小，求BCN △周长的最小值及此时点N 的坐标．⊥交AC于点M，求CM的最小值．（6）在线段OA上找一点N，连接NC，作NM NCMN=，求四边形BNMC周长的最小值及（7）在抛物线对称轴上有两动点N、M（点N在点M上方），且1此时M的坐标．（8）在对称轴上找一点N ，使得NA NC -最大，求点N 的坐标．【答案】（1）223y x x =+-，对称轴为：直线x ＝－1，顶点坐标为：D （－1，－4）；（2）PN 的最大值为94，此时P （－32，154-）；（3）当PN 最大为94时，PH 92P （－32，154-）；（4）当PNH △周9294，此时P （－32，154-）；（5）1032N （－1，－2）；（6）1262-（7）6105（8）10131,M （713-，-）；（9）N 的坐标为：（－1，－6）． 【详解】（1）解：∵3OA OC ==， ∴A （－3，0），C （0，－3），∴()20333b c c ⎧=--+⎪⎨-=⎪⎩，解得：23b c =⎧⎨=-⎩，∴抛物线的解析式为：223y x x =+-，对称轴为：直线x ＝－1，顶点坐标为：D （－1，－4）． （2）解：设P （x ，223x x +-），则N （x ，－x －3），∴PN ＝－x －3－（223x x +-）＝23x x --＝23924x ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，∴当x ＝－32时，PN 的最大值为94，此时P （－32，154-）．（3）解：过点P 作PN ∥y 轴，交AC 于点N ， ∵OA ＝OC ＝3， ∴∠ACO ＝45°， ∵PN ∥y 轴，∴∠PNH ＝45°，即：PNH 是等腰直角三角形，∴PH 2PN ， 设P （x ，223x x +-），则N （x ，－x －3），∴PN ＝－x －3－（223x x +-）＝23x x --＝23924x ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，∴当x ＝－32时，PN 的最大值为94，∴当PN 最大为94时，PH 最大值＝94×22＝928，此时P （－32，154-）．（4）解：∵OA ＝OC ＝3， ∴∠ACO ＝45°， ∵PN ∥y 轴，∴∠PNH ＝45°，即：PNH 是等腰直角三角形， ∴PH ＝NH 2， ∴PNH △周长＝ PH ＋NH ＋PN 22PN 22PN ＋ PN ＝(21)PN ， 设P （x ，223x x +-），则N （x ，－x －3），∴PN ＝－x －3－（223x x +-）＝23x x --＝23924x ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，∴当x ＝－32时，PN 的最大值为94，∴当PN 最大为94时，PNH △周长最大值＝94×)219294，此时P （－32，154-）．（5）解：连接AC 交对称轴于点N ′，∵A、B关于对称轴对称，∴AN′＝BN′∴BCN△的周长＝BC＋CN′＋BN′＝BC＋CN′＋AN′＝BC＋AC，∴此时BCN△的周长最小值＝BCN'的周长＝BC＋AC222213331032++∵直线AC的解析式为：y＝－x－3，∴当x＝－1时，y＝－2，即N（－1，－2）．（6）解：由题意得：点N在以CM为直径的圆上，设CM的中点为E，连接EN，则当圆E与x轴相切时，即：EN⊥x轴时，EN最小，此时CM＝2EN最小，设M（x，－x－3），则E（622x x--，），∴EN＝62x+，CM()222332x x x+--+=∴2×62x +22x 662x =-62x =+， ∴M （662-629）， ∴CM ()()2266262931262-+-+-（7）解：过点N 作作NQ ∥MC 交y 轴于点Q ，连接AQ 交DE 于点N ′，连接BN ′，则Q （－2，0），∵NQ ∥MC ，MN ∥CQ ， ∴四边形MNQC 是平行四边形， ∴CM ＝QN ，∴四边形BNMC 的周长＝BC ＋BN ＋MN ＋CM ＝BC ＋BN ＋1＋QN 101＋BN ＋QN ， ∵B 、A 关于DE 对称， ∴AN ′＝BN ′，∴四边形BNMC 101＋BN ′＋QN ′101＋AN ′＋QN 101＋AQ 101＋222310131+，∵直线AQ 的解析式为：223y x =--，∴N ′（413-，-），∴此时M （713-，-）．（8）解：连接BC ，并延长交ED 于点N ′，连接BN ，∵A 、B 关于DE 对称， ∴AN ＝BN ，∴NA NC -＝NB NC -≤BC ＝N B N C ''-， ∵B （1，0），C （0，－3）， ∴直线BC 的解析式为：33y x =-， 令x ＝－1代入33y x =-得：y ＝－6， ∴N ′（－1，－6），∴NA NC -最大时，N 的坐标为：（－1，－6）．二次函数与几何综合专题---- 胡不归和阿氏圆问题【胡不归最值问题】 求BC +kAC 的最小值．解决思路：构造射线AD 使得sin ∠DAN=k ，即CHk AC，CH=kAC ．将问题转化为求BC+CH 最小值，过B 点作BH ⊥AD 交MN 于点C ，交AD 于H 点，此时BC+CH 取到最小值，即BC+kAC 最小．1．已知抛物线y ＝ax 2+bx +c 与x 轴交于A （﹣1，0），B （5，0）两点，C 为抛物线的顶点，抛物线的对称轴交x 轴于点D ，连结BC ，且tan ∠CBD =43，如图所示． （1）求抛物线的解析式；（2）设P 是抛物线的对称轴上的一个动点．①过点P 作x 轴的平行线交线段BC 于点E ，过点E 作EF ⊥PE 交抛物线于点F ，连结FB 、FC ，求△BCF 的面积的最大值；②连结PB ，求35PC +PB 的最小值．CH=kACsin α=CH AC=kHDαA BCM MCBAαDH2．在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点A（﹣3，0）、B（1，0），交y轴于点N，点M 为抛物线的顶点，对称轴与x轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，连接AM，点E是线段AM上方抛物线上一动点，EF⊥AM于点F，过点E作EH⊥x轴于点H，交AM于点D．点P是y轴上一动点，当EF取最大值时：①求PD+PC的最小值；②如图2，Q点为y轴上一动点，请直接写出DQ+14OQ的最小值．3．如图，抛物线y ＝ax 2﹣2ax +c 的图象经过点C （0，﹣2），顶点D 的坐标为（1，−83），与x 轴交于A 、B 两点．（1）求抛物线的解析式．（2）连接AC ，E 为直线AC 上一点，当△AOC ∽△AEB 时，求点E 的坐标和AE AB的值．（3）在（2）的条件下，点F （0，y ）是y 轴上一动点，当y 为何值时，√55FC +BF 的值最小．并求出这个最小值．（4）点C 关于x 轴的对称点为H ，当√55FC +BF 取最小值时，在抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使△QHF 是直角三角形？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．4．如图1，抛物线y＝x2+（m﹣2）x﹣2m（m＞0）与x轴交于A，B两点（A在B左边），与y轴交于点C．连接AC，BC．且△ABC的面积为8．（1）求m的值；（2）在（1）的条件下，在第一象限内抛物线上有一点T，T的横坐标为t，使∠ATC＝60°．求（t﹣1）2的值．（3）如图2，点P为y轴上一个动点，连接AP，求CP+AP的最小值，并求出此时点P的坐标．【阿氏圆最值问题】计算PA k PB +的最小值时，利用两边成比例且夹角相等构造母子型相似三角形问题：在圆上找一点P 使得PA k PB +的值最小，解决步骤具体如下： ①如图，将系数不为1的线段两端点与圆心相连即OP ，OB ②计算出这两条线段的长度比OPk OB= ③在OB 上取一点C ，使得OC k OP =，即构造△POM ∽△BOP ，则PCk PB=，PC k PB = ④则=PA k PB PA PC AC ++≥，当A 、P 、C 三点共线时可得最小值1．如图，抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于(3A 0)，B 两点（点B 在点A 的左侧），与y 轴交于点C ，且33OB OA OC ==，OAC ∠的平分线AD 交y 轴于点D ，过点A 且垂直于AD 的直线l 交y 轴于点E ，点P 是x 轴下方抛物线上的一个动点，过点P 作PF x ⊥轴，垂足为F ，交直线AD 于点H ． （1）求抛物线的解析式；（2）设点P 的横坐标为m ，当FH HP =时，求m 的值； （3）当直线PF 为抛物线的对称轴时，以点H 为圆心，12HC 为半径作H ，点Q 为H 上的一个动点，求14AQ EQ +的最小值．2．如图1，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴正半轴交于点A，点B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．若线段AB绕点A逆时针旋转120°，点B刚好与点C重合，点B的坐标为（3，0）．（1）求抛物线的表达式；（2）抛物线的对称轴上是否存在一点P，使△ACP为直角三角形？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；（3）如图2，以点B为圆心，以1为半径画圆，若点Q为⊙B上的一个动点，连接AQ，CQ，求AQ+CQ 的最小值．3．如图，已知抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴交于点A，B（点A在点B的右侧），与y轴交于点C．（1）如图①，若点D为抛物线的顶点，以点B为圆心，3为半径作⊙B．点E为⊙B上的动点，连接A，DE，求DE+AE的最小值．（2）如图②，若点H是直线AC与抛物线对称轴的交点，以点H为圆心，1为半径作⊙H，点Q是⊙H 上一动点，连接OQ，AQ，求OQ+AQ的最小值；（3）如图③，点D是抛物线上横坐标为2的点，过点D作DE⊥x轴于点E，点P是以O为圆心，1为半径的⊙O上的动点，连接CD，DP，PE，求PD﹣PE的最大值．4．如图1，抛物线y＝ax2+bx﹣4与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点A的坐标为（﹣1，0），抛物线的对称轴是直线x＝．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P是直线BC下方的抛物线上一个动点，是否存在点P使四边形ABPC的面积为16，若存在，求出点P的坐标若不存在，请说明理由；（3）如图2，过点B作BF⊥BC交抛物线的对称轴于点F，以点C为圆心，2为半径作⊙C，点Q为⊙C 上的一个动点，求BQ+FQ的最小值．【课后训练】1．如图，直线y＝x+2与抛物线y＝x2﹣2mx+m2+m交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，抛物线的顶点为D，抛物线的对称轴与直线AB交于点M．（1）当四边形CODM是菱形时，求点D的坐标；（2）若点P为直线OD上一动点，求△APB的面积；′（3）作点B关于直线MD的对称点B'，以点M为圆心，MD为半径作⊙M，点Q是⊙M上一动点，求QB'+QB的最小值．2．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点C（2，﹣3），且与x轴交于原点及点B（8，0），点A为抛物线的顶点．（1）求二次函数的表达式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在点M，使△ABM是等腰三角形？如果存在，请求出点M的坐标．如果不存在，请说明理由；（3）若点P为⊙O上的动点，且⊙O的半径为，求的最小值．3.抛物线y＝ax2+bx﹣5的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点A坐标为（﹣1，0），一次函数y＝x+k的图象经过点B、C．（1）试求二次函数及一次函数的解析式；（2）如图1，点D（2，0）为x轴上一点，P为抛物线上的动点，过点P、D作直线PD交线段CB于点Q，连接PC、DC，若S△CPD＝3S△CQD，求点P的坐标；（3）如图2，点E为抛物线位于直线BC下方图象上的一个动点，过点E作直线EG⊥x轴于点G，交直线BC于点F，当EF+√22CF的值最大时，求点E的坐标．4.如图①，直线y＝﹣x﹣3分别与x轴、y轴交于点B，C，抛物线y＝ax2+bx+c经过B，C两点，且与x轴的另一交点为A（1，0）．（1）求抛物线的函数解析式；（2）如图①，点P在第三象限内的抛物线上．①连接AC，PB，PC，当四边形ABPC的面积最大时，求点P的坐标；②在①的条件下，G为x轴上一点，当PG+√55AG取得最小值时，求点G的坐标；（3）如图②，Q为x轴下方抛物线上任意一点，D是抛物线的对称轴与x轴的交点，直线AQ，BQ分别交抛物线的对称轴于点M，N．问：DM+DN是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．21Math唐老师22。
初中复习方略数学微专题四 二次函数中几何图形线段、周长、面积的最值
抛物线对称轴为直线 x＝－ 2
＝1，
2×（－1）
3k＋c＝0
设直线 AC 的解析式为 y＝kx＋c，将 A(3，0)，C(0，3)代入，得：
，
c＝3
k＝－1
解得：
，
c＝3
∴直线 AC 的解析式为 y＝－x＋3，∴P(1，2)；
(3)存在．设 P(1，t)，①以 AC 为边时，如图 2，∵四边形 ACPQ 是菱形， ∴CP＝CA， ∴12＋(3－t)2＝32＋32，解得：t＝3± 17 ， ∴P1(1，3－ 17 )，P2(1，3＋ 17 )， ∴Q1(4，－ 17 )，Q2(4， 17 )，
1．(2021·天津中考)已知抛物线 y＝ax2－2ax＋c(a，c 为常数，a≠0)经过点 C(0，－ 1)，顶点为 D. (1)当 a＝1 时，求该抛物线的顶点坐标； (2)当 a＞0 时，点 E(0，1＋a)，若 DE＝2 2 DC，求该抛物线的解析式； (3)当 a＜－1 时，点 F(0，1－a)，过点 C 作直线 l 平行于 x 轴，M(m，0)是 x 轴上 的动点，N(m＋3，－1)是直线 l 上的动点．当 a 为何值时，FM＋DN 的最小值为 2 10 ，并求此时点 M，N 的坐标．
(2021·常德中考)如图，在平面直角坐标系 xOy 中，平行四边形 ABCD 的 AB 边与 y 轴交于 E 点，F 是 AD 的中点，B、C、D 的坐标分别为(－2，0)，(8，0)，(13， 10). (1)求过 B、E、C 三点的抛物线的解析式； (2)试判断抛物线的顶点是否在直线 EF 上； (3)设过 F 作与 AB 平行的直线交 y 轴于 Q，M 是线段 EQ 之间的动点，射线 BM 与抛物线交于另一点 P，当△PBQ 的面积最大时，求 P 的坐标．
周长最小值专题(完整版师用)
周长最小值专题（完整版师用）A.线段和最小值两种基本模型如图，要在街道旁修建一个奶站P，向居民区A、B提供牛奶，奶站P 应建在什么地方，才能使从A，B到它的距离之和最短？为什么？求线段和最小值的一般步骤：①选点P所在直线l为对称轴；画出点A的对称点A’②连结对称点A’与B之间的线段，交直线l于点P，点P即为所求的点，线段A’B的长就是AP+BP的最小值。
基本解法::利用对称性,将“折”转“直”基础训练1.如图11，梯形ABCD中，AD//BC，AB=CD=AD=1，∠B=60°，直线MN为梯形ABCD的对称轴，P为MN上一点，那么PC+PD的最小值为A.1B.C.D.2试题分析：连接AC，与MN所得交点即为所求P点，因为D与A 关于MN对称，的最小值即符合两点之间线段最短，所以AC 与MN交点即为所求P点。
因为，，所以，所以，所以，此时，所以，即2. 如图4，菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值是________。
图4分析：首先分解此图形，构建如图5模型，因为E、B在直线AC 的同侧，要在AC上找一点P，使PE+PB最小，关键是找出点B或E关于AC 的对称点。
如图6，由菱形的对称性可知点B 和D 关于AC 对称，连结DE ，此时DE 即为PE+PB 的最小值，图5 图6由∠BAD=60°，AB=AD ，AE=BE 知，3223DE =⨯= 故PE+PB 的最小值为3。
2.如图，已知点A 是半圆上一个三等分点，点B 是弧AN 的中点，点P 是半径ON 上的动点，若⊙O 的半径长为1，则AP+BP 的最小值为___。
P 位于A ′B 与MN 的交点处，AP+BP 的值最小；作A 关于MN 的对称点A ′，根据圆的对称性，则A ′必在圆上， 连接BA ′交MN 于P ，连接PA ，则PA+PB 最小，此时PA+PB=PA ′+PB=A ′B ，连接OA 、OA ′、OB ，B.三角形周长最小值1.福建彰州）如图4，∠AOB=45°，P 是∠AOB 内一点，PO=10，（福建彰州）如图4，∠AOB=45°，P 是∠AOB 内一点，PO=10，Q 、R 分别是OA 、OB 上的动点，求△PQR 周长的最小值．分析：点P 是角内部的一个定点，要在角的两边各确定一点使这三点连成的三角形周长最小，只需将这三边的和转化为以两定点为端点的一条折线．解：分别作点P 关于OA 、OB 的对称点P 1、P 2，连结P 1P 2，根据轴对称性易知：OP 1=OP 2=OP=10，∠P 1OP 2=2∠AOB=90°，因而P 1P 2=102，故△PQR 周长的最小值为102． 2.如图，抛物线y=-x2+bx+c 与x 轴交于A(1，0)，B(-3，0)两点，（1）求该抛物线的解析式。
八年级上 最小值问题-教师用卷
八年级上最小值问题副标题一、选择题（本大题共5小题，共15.0分）1.多项式5x2-4xy+4y2+12x+25的最小值为（）A. 4B. 5C. 16D. 25【答案】C【解析】解：∵5x2-4xy+4y2+12x+25，=x2-4xy+4y2+4x2+12x+25，=（x-2y）2+4（x+1.5）2+16，∴当（x-2y）2=0，4（x+1.5）2=0时，原式最小，∴多项式5x2-4xy+4y2+12x+25的最小值为16，故选：C．根据配方法将原式写成完全平方公式的形式，再利用完全平方公式最值得出答案．此题主要考查了完全平方公式的应用，正确的将原式分解为两个完全平方公式是解决问题的关键．2.如果多项式p=a2+2b2+2a+4b+2008，则p的最小值是（）A. 2005B. 2006C. 2007D. 2008【答案】A【解析】解：p=a2+2b2+2a+4b+2008，=（a2+2a+1）+（2b2+4b+2）+2005，=（a+1）2+2（b+1）2+2005，当（a+1）2=0，（b+1）2=0时，p有最小值，最小值最小为2005．故选A．把p重新拆分组合，凑成完全平方式的形式，然后判断其最小值．此题主要考查了完全平方式的非负性，即完全平方式的值是大于等于0的，它的最小值为0，所以在求一个多项式的最小值时常常用凑完全平方式的方法进行求值．3.小萌在利用完全平方公式计算一个二项整式的平方时，得到正确结果，不小心把最后一项染黑了，你认为这一项是（）A. 5y2B. 10y2C. 100y2D. 25y2【答案】D【解析】解：∵20xy=2×2x×5y，∴染黑的部分是（5y）2=25y2．故选D．根据乘积二倍项先找出两个数为2x和5y，再根据完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab+b2，把另一个数5y平方即可．本题是完全平方公式的应用，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．此题解题的关键是利用乘积项来确定这两个数．4.如果自然数a是一个完全平方数，那么与a之差最小且比a大的一个完全平方数是（）A. a+1B. a2+1C. a2+2a+1D. a+2+1【答案】D【解析】解：∵自然数a是一个完全平方数，∴a的算术平方根是，∴比a的算术平方根大1的数是+1，∴这个平方数为：（+1）2=a+2+1．故选D．当两个完全平方数是自然数时，其算术平方根是连续的话，这两个完全平方数的差最小．解此题的关键是能找出与a之差最小且比a大的一个完全平方数是紧挨着自然数后面的自然数：+1的平方．5.如图，点P是∠AOB任意一点，且∠AOB＝40°，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，当△PMN周长取最小值时,则∠MPN的度数为（）A. 140°B. 100°C. 50°D. 40°【答案】B【解析】【分析】本题考查了轴对称的性质、最短路线问题、等腰三角形的性质；熟练掌握轴对称的性质是解决问题的关键．分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，连接OC、OD、PM、PN、MN，由对称的性质得出PM=CM，OP=OC，∠COA=∠POA；PN=DN，OP=OD，∠DOB=∠POB，得出，利用等腰三角形的性质，即可得出结果．【解答】解：分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，连接OC、OD、PM、PN、MN，如图所示：∵点P关于OA的对称点为D，关于OB的对称点为C，∴PM=DM，OP=OD，∠DOA=∠POA；∵点P关于OB的对称点为C，∴PN=CN，OP=OC，∠COB=∠POB，∴OC=OP=OD，=40°，∴∠COD=80°，∵△PMN周长=PM+PN+MN=DM+CN+MN，∴当D、M、N、C在一条直线上时，△PMN周长取最小值，∵PM=CM，OP=OC，∠COA=∠POA；PN=DN，OP=OD，∠DOB=∠POB，，∴△OPN≌△OCN，△OPM≌△ODM，∴∠OPN=∠OCN，∠OPM=∠ODM，∴∠MPN=∠OCN+∠ODM，∵OC=OD，∴∠OCN=∠ODM=50°,∴∠MPN=100°；故选B．二、填空题（本大题共9小题，共27.0分）6.多项式x2+y2-6x+8y+7的最小值为______ ．【答案】-18【解析】解：原式=（x-3）2+（y+4）2-18，当两完全平方式都取0时原式取得最小值=-18．故答案为：-18．将原式配成（x-3）2+（y+4）2-18的形式，然后根据完全平方的非负性即可解答．本题考查完全平方式的知识，难度不大，注意运用完全平方的非负性解答．7.已知0≤x≤1．（1）若x-2y=6，则y的最小值是______ ；（2）若x2+y2=3，xy=1，则x-y= ______ ．【答案】-3；-1【解析】解：（1）∵x-2y=6，∴y=-3，∵＞0，∴此函数为增函数，故x=0时，y有最小值，y最小=-3．（2）∵0≤x≤1，xy=1，∴x、y互为倒数，∵x2+y2=3，xy=1，∴（x-y）2=x2+y2-2xy=3-2=1，∴x-y=±1，∵x、y互为倒数，∴x-y=x-，∵0≤x≤1，∴≥1，∴x-y≤0，∴x-y=-1．故答案为：-1．（1）把x-2y=6转化为关于x、y的一次函数，再根据一次函数的性质解答即可．（2）先判断出x、y的关系，再根据完全平方公式求出x-y的值，舍去不合题意的即可．本题考查了完全平方公式，比较复杂，还利用了一次函数的增减性及完全平方公式、倒数的概念等．8.小明在利用完全平方公式计算一个二项整式的平方时，不小心用墨水把最后一项染黑了，得到正确的结果变为4a2-12ab+_____，你觉得这一项应是______ ．【答案】9b2【解析】解：∵4a2-12ab+△=（2a）2-2×2a•3b+△，∴△=（3b）2=9b2．故答案为：9b2．先根据已知平方项和乘积二倍项确定出这两个数，再根据完全平方公式解答即可．本题主要考查了完全平方式，根据平方项确定出这两个数是解题的关键，也是难点，熟记完全平方公式对解题非常重要．9.小明在利用完全平方公式计算一个二项整式的平方时，不小心用墨水把最后一项染黑了，得到正确的结果变为4a2-12ab+●，你认为染黑这一项应该是______ ．【答案】9b2【解析】解：∵4a2-12ab+△=（2a）2-2×2a•3b+△，∴△=（3b）2=9b2．故答案为：9b2．先根据已知平方项和乘积二倍项确定出这两个数，再根据完全平方公式解答即可．本题主要考查了完全平方式，根据平方项确定出这两个数是解题的关键，也是难点，熟记完全平方公式对解题非常重要．10.小丽在计算一个二项式的平方时，得到正确结果m2-10mn+■，但最后一项不慎被墨水污染，这一项应是______．【答案】25n2【解析】解：∵m2-10mn+■是一个二项式的平方，∴■=（5n）2=25n2，故答案为：25n2．根据m2-10mn+■=（m-5n）2求出即可．本题考查了完全平方公式的应用，能熟记公式的特点是解此题的关键，注意：完全平方公式为：①（a+b）2=a2+2ab+b2，②（a-b）2=a2-2ab+b2．11.小兵计算一个二项整式的平方式时，得到正确结果4x2+20xy+（），但最后一项不慎被污染了，这一项应是______ ．【答案】25y2【解析】解：∵20xy=2×2x•5y，∴另一平方项是（5y）2，即25y2故应填25y2．根据乘积二倍项和已知平方项确定出另一个数，再根据完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab+b2，把另一个数平方即可．本题是完全平方公式的应用，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式，确定出另一个数是求解的关键．12.已知△ABC的两边a，b满足a2+2b2-10a-8b+33=0，若第三边整数，则△ABC周长的最小值为______ ．【答案】11【解析】解：∵a2+2b2-10a-8b+33=0，∴（a-5）2+2（b-2）2=0，∴a=5，b=2；∴5-2＜c＜5+2，即：3＜c＜7．要使△ABC周长的最小，则c=4，∴△ABC周长的最小值是5+2+4=11．故答案为：11．由a2+2b2-10a-8b+33=0，得a，b的值，然后利用三角形的三边关系求得c的取值围，得出c的数值，进一步求得答案即可．考查了因式分解的应用、非负数的性质及三角形的三边关系，解题的关键是对方程的左边进行配方．13.如图，∠AOB=30°，∠AOB有一定点P，且OP=12，在OA上有一点Q，OB上有一点R，若△PQR周长最小，则最小周长是______【答案】12【解析】解：设∠POA=θ，则∠POB=30°-θ，作PM⊥OA与OA相交于M，并将PM延长一倍到E，即ME=PM．作PN⊥OB与OB相交于N，并将PN延长一倍到F，即NF=PN．连接EF与OA相交于Q，与OB相交于R，再连接PQ，PR，则△PQR即为周长最短的三角形．∵OA是PE的垂直平分线，∴EQ=QP；同理，OB是PF的垂直平分线，∴FR=RP，∴△PQR的周长=EF．∵OE=OF=OP=12，且∠EOF=∠EOP+∠POF=2θ+2（30°-θ）=60°，∴△EOF是正三角形，∴EF=12，即在保持OP=12的条件下△PQR的最小周长为12．故答案为：12先画出图形，作PM⊥OA与OA相交于M，并将PM延长一倍到E，即ME=PM．作PN⊥OB 与OB相交于N，并将PN延长一倍到F，即NF=PN．连接EF与OA相交于Q，与OB 相交于R，再连接PQ，PR，则△PQR即为周长最短的三角形．再根据线段垂直平分线的性质得出△PQR=EF，再根据三角形各角之间的关系判断出△EOF的形状即可求解．本题考查的是最短距离问题，解答此类题目的关键根据轴对称的性质作出各点的对称点，即把求三角形周长的问题转化为求线段的长解答．14.一次数学活动课上，老师利用“在面积一定的矩形中，正方形的周长最短”这一结论，推导出“式子x+（x＞0）的最小值为2”．其推导方法如下：在面积是1的矩形中，设矩形的一边长为x，则另一边长是，矩形的周长是2（x+）；当矩形成为正方形时，就有x=（x＞0），解得x=1，这时矩形的周长2（x+）=4最小，因此x+（x＞0）的最小值是2，模仿老师的推导，你求得式子（x＞0）的最小值是______．【答案】6【解析】解：原式=x+．在面积是9的矩形中，设矩形的一边长为x，则另一边长是，矩形的周长是2（x+），当矩形成为正方形时，就有x=（x＞0），解得x=3，这时矩形的周长2（x+）=12最小，因此x+（x＞0）的最小值是6．故答案为：6．将原式变形为x+，根据该老师的方法，可在面积为9的矩形中寻找，按其方法可一步步得出结论等于6．本题考查分式方程的应用，解题的关键是读懂题意，将该老师矩形面积换为9，即可求得结论．三、计算题（本大题共3小题，共18.0分）15.若a是绝对值最小的数，b是最大的负整数．先化简，再求值：2（a2-2ab-b2）+（-a2+3ab+3b2）【答案】解：由题意，得a=0，b=-1，原式=2a2-4ab-2b2-a2+3ab+3b2=a2-ab+b2，当a=0，b=-1时，原式=（-1）2=1．【解析】先将原式去括号、合并同类项，再把a=0，b=-1代入化简后的式子，计算即可．本题考查了整式的化简求值．整式的加减运算实际上就是去括号、合并同类项，这是各地中考的常考点．16.（1）猜想：试猜想a2+b2与2ab的大小关系，并说明理由；（2）应用：已知x-，求x2+的值；（3）拓展：代数式x2+是否存在最大值或最小值，不存在，请说明理由；若存在，请求出最小值．【答案】解：（1）猜想a2+b2≥2ab，理由为：∵a2+b2-2ab=（a-b）2≥0，∴a2+b2≥2ab；（2）把x-=5两边平方得：（x-）2=x2+-2=25，则x2+=27；（3）x2+≥2，即最小值为2．【解析】（1）判断两式大小，利用完全平方公式验证即可；（2）已知等式两边平方，利用完全平方公式化简，整理求出所求式子的值即可；（3）利用得出的规律确定出代数式的最小值即可．此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．17.（本小题满分11分）问题探究：如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连接BE.（1）证明：AD=BE；（2）求∠AEB的度数.问题变式：如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°, 点A、D、E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE。
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周长最小值专题（完整版师用）
A.线段和最小值
两种基本模型
如图，要在街道旁修建一个奶站P，向居民区A、B提供牛奶，奶站P应建在什么地方，才能使从A，B到它的距离之和最短？为什么？
求线段和最小值的一般步骤：
①选点P所在直线l为对称轴；画出点A的对称点A’
②连结对称点A’与B之间的线段，交直线l于点P，
点P即为所求的点，线段A’B的长就是AP+BP的最小值。
基本解法::利用对称性,将“折”转“直”
基础训练
1.如图11，梯形ABCD中，AD//BC，AB=CD=AD=1，∠B=60°，直线MN为梯形ABCD的对称轴，P为MN上一点，那么PC+PD的最小值为
A.1
B.
C.
D.2
试题分析：连接AC，与MN所得交点即为所求P点，因为D与A关于MN对称，的最小值即符合两点之间线段最短，所以AC与MN交点即为所求P点。
因为，，所以，所以，所以，此时，所以，即
2. 如图4，菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值是________。
图4
分析：首先分解此图形，构建如图5模型，因为E、B在直线AC 的同侧，要在AC上找一点P，使PE+PB最小，关键是找出点B或E关于AC的对称点。
如图6，由菱形的对称性可知点B和D关于AC对称，连结DE，此时DE即为PE+PB的最小值，
图5 图6
由∠BAD=60°，AB=AD ，AE=BE 知，
322
3DE =⨯= 故PE+PB 的最小值为
3。
2.如图，已知点A 是半圆上一个三等分点，点B 是弧AN 的中点，点P 是半径ON 上的动点，若⊙O 的半径长为1，则AP+BP 的最小值为___。
P 位于A ′B 与MN 的交点处，AP+BP 的值最小；
作A 关于MN 的对称点A ′，根据圆的对称性，则A ′必在圆上， 连接BA ′交MN 于P ，连接PA ，则PA+PB 最小，此时PA+PB=PA ′+PB=A ′B ，连接OA 、OA ′、OB ，
B.三角形周长最小值
1.彰州）如图4，∠AOB=45°，P 是∠AOB 一点，PO=10，
（彰州）如图4，∠AOB=45°，P 是∠AOB 一点，PO=10，Q 、R 分别是OA 、OB 上的动点，求△PQR 周长的最小值．
分析：点P 是角部的一个定点，要在角的两边各确定一点使这三点连成的三角形周长最小，只需将这三边的和转化为以两定点为端点的一条折线．
解：分别作点P 关于OA 、OB 的对称点P 1、P 2，连结P 1P 2，
根据轴对称性易知：OP 1=OP 2=OP=10，∠P 1OP 2=2∠AOB=90°，因而P 1P 2=102，
故△PQR 周长的最小值为102． 2.如图，抛物线y=-x2+bx+c 与x 轴交于A(1，0)，B(-3，0)两点， P 2 P 1 O A B P R Q O 图4
（1）求该抛物线的解析式。
（2）设（1）中的抛物线交y轴于点C，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得QAC
的周长最小？如果存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由。
(3)在第二象限的抛物线上是否存在一点P，是△PBC的面积最大?若存在，求出点P坐标及△PBC面积的最大值;若不存在，请说明理由
重点分析第（2）问，要使△QAC的周长最小即AC+CQ+QA最小，由于AC长度一定，故只要CQ+QA最小时，周长最小。
设抛物线的对称轴为直线MN，则可分解出图形，构建模型，要在直线MN上找点Q，使CQ+QA最小。
由抛物线的对称性可知，点A、点B关于直线MN对称，连结BC交MN于点Q，只要找出点Q的位置，其坐标不难求得。
3. 如图，已知抛物线y=ax2+bx+c过A（3，3.5）、B（4，2）、C（0，2）三点，点P 是x轴上的动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图甲所示，连接AC、CP、PB、BA，是否存在点P，使四边形ABPC为等腰梯形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；
（3）点H是题中抛物线对称轴l上的动点，如图乙所示，求四边形AHPB周长的最小值．
（1）利用待定系数法，将点A，B，C的坐标代入解析式即可求得；
（2）根据等腰梯形的判定方法分别从PC∥AB与BP∥AC去分析，注意不要漏解；（3）首先确定点P与点H的位置，再求解各线段的长即可．
解：∵抛物线y=ax2+bx+c过A（3，3.5）、B（4，2）、C（0，2）三点，
∴
B.四边形周长最小值
基本模型（一）定长不动：做双对称
思路与方法
1）总有两个已知点，即一条边是定值。
2）分别做两个已知点关于xy轴的对称点，则与两坐标轴的焦点就是所求两点3）此时，两个对称点与坐标轴上的两个点在一条直线上，即四点共线，所以最小。
1.在直角坐标系中,设A（4，-5）B（8，-3）C（m，0）D（0，n）,当四边形的周长最短时,m/n的值为_________.
2.在直角坐标系中有四个点A（-6，3），B（-2，5），C（0，m），D（n，0），当四边形ABCD周长最短时，则m+n=_________。