3.2.3《直线的一般式方程》(必修二,数学,优秀课件)
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人教版高中数学必修二课件：3.2.3直线的一般式方程
斜角为450，则m的值是
（B）
（A）3 （B） 2 （C）-2 （D）2与3
2、若直线(m+2)x+(2-m)y=2m在x轴上的截 距为3，则m的值是___-6_______
例4：利用直线方程的一般式，求过点（0，3） 并且与坐标轴围 成三角形面积是6的直线方程。
解：设直线为Ax+By+C=0， ∵直线过点（0，3）代入直线方程 得3B= -C， B= －C/3 又直线与x，y轴的截距分别为x= -C/A ,y= -C/B
解:(1)当m=0时,l1:y+4=0,l2:x+3=0, 显然l1与l2不平行;
当m
0时, l1的斜率k1
m 2
, 在y轴上的截距b1
4.
l2的斜率k 2
1 m
, 在y轴上的截距b2
3 m
.
l1 //l2 ,k1 k2 ,且b1 b2 (否则两直线重合).
即 m 1 ,且 4 3 ,m 2.
,
l1 //l2,
a 3
2 3
,
a 2.验证知, a 2适合题意.a 2.
总结：两条直线的几种位置关系
位置
直线方 程
l1
:
y
k1 x
b1
关系
l2 : y k2 x b2
重 合 k1 k2且b1 b2
平 行 k1 k2且b1 b2
l1 : A1x B1 y C1 0
y y1 y1 y2
x x1 x1 x2
不垂直于x、 y轴直线
3.2.3 直线的一般式方程 课件(22张PPT)高中数学必修2(人教版A版)
问题探究
对于任意一个二元一次方程:Ax+By+C=0(A,B不同时为零)
1)当B ≠0时,方程可变形为: C 它表示过点(0, B ) ,斜率为
A B
的直线.
x C A
2)当B=0时,由于 A,B不同时为零,必有A ≠0,方程可化为: 它表示一条与x轴垂直的直线.
所以任意一个关于x，y的二元一次方程Ax+By+C=0(A,B不同 时为零)都表示一条直线.
(其中A,B不同时为零)叫做直线的一般式方程, 简称一般式.
问题1：直线方程的一般式Ax+By+C=0与 其他几种特殊形式相比，它有什么优点？ 问题2：一般式Ax+By+C=0中系数A,B,C几 何意义？ 问题3：直线Ax+By+C=0，当AB<0,BC<0时， 此直线不通过的象限是( D ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
§3.2.3
直线的一般式方程
复习回顾
1.直线方程有几种形式？指明它们的条件及应用范围.存在
适合斜率存在
斜截式 y = kx + b
y y1 x x1 ( x1 x2 , y1 y2 ) 两点式 y2 y1 x2 x1
x y 截距式 1a, b 0 a b
A2 x B2 y C2 0
如何用系数表示两条直线的平行与垂直的位置关系?
布置作业：
P99(练习)1,2； p100（习题）A组 2,10,11； B组2
适合与坐标轴不垂直 适合与坐标轴不垂直， 且不过原点
复习回顾
2. 几种特殊的直线的方程
①过点P1(x1, y1)，垂直于x轴的直线的方程： x= x1 ②过点P1(x1, y1)，垂直于y轴的直线的方程： y= y1
必修二：3.2.3直线的一般式方程ppt课件
(1 )x ( 2) y (4 2) 0
1 解得所求直线的斜率为： k 2
由已知得： 1 3 1
2 4 解得: 11 故所求直线方程为：4x+3y-6=0
例1: 求过两直线x-2y+4=0和x+y-2=0的交点， 且满足下列条件的直线L的方程。 (1) 过点(2, 1) (2) 和直线3x-4y+5=0垂直。
（1）解: 设过两直线交点的直线方程为： 将点（2，1）代入方程，得：
x 2y 4 (x y 2) 0
2 2 4 (2 1 2) 0
解得:
4
故所求直线方程为：
x+2y-4=0
例1: 求过两直线x-2y+4=0和x+y-2=0的交点， 且满足下列条件的直线L的方程。 (1) 过点(2, 1) (2) 和直线3x-4y+5=0垂直。
例2: 求过两直线x-2y+4=0和x+y-2=0的交点， 且满足下列条件的直线L的方程。 (1) 过点(2, 1) (2) 和直线3x-4y+5=0垂直。
解（1）：设经二直线交点的直线方程为：
x 2 y 4 ( x y 2) 0
代（2，1）入方程，得：
2 2 4 (2 1 2) 0
4
所以直线的方程为：
点斜式 斜截式
两点式
y y0 k ( x x0 )
y kx b
y y1 x x1 y2 y1 x2 x1
两点坐标
点斜式 两个截距 截距式
y y0 k ( x x0 )
x y 1 a b
2019-2020年人教版必修二数学直线的一般式方程_PPTppt课件
设直线 l1:A1x+B1y+C1=0,直线 l2:A2x+B2y+C2=0,则有: ①l1 与 l2 平行或重合⇔A1B2-A2B1=0; ②l1⊥l2⇔A1A2+B1B2=0.
课堂小结
Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipisicing elit, sed do eiusmod tempor incididunt ut labore et dolore magna aliqua. Ut enim ad minim veniam, quis nostrud exercitation ullamco laboris nisi ut aliquip ex ea commodo consequat. • 本堂课我们学习： • 1.直线一般式方程定义； • 2.一般式与其他各形式的互化及应用； • 3.直线的一般式方程与平行、垂直。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
学习目标 1.记住直线方程的一般式,会把其 他形式的方程化为一般式; 2.能根据需要,把直线的一般式方 程化为其他形式.
重点难点 重点:直线方程的一般式与其他形 式的互化; 难点:二元一次方程与直线关系的 理解,直线的一般式方程的应用.
直线的一般式方程 关于 x,y 的二元一次方程 Ax+By+C=0(A,B 不同时为 0)叫做直线的 一般式方程.
预习交流
(1)当 B≠0 时,方程 Ax+By+C=0(A,B 不同时为0)表示怎样的直线?B=0
呢?
提示:当 B≠0 时,由 Ax+By+C=0 得,y=- A x- C ,所以该方程表示斜率 BB
为- A ,在 y 轴上截距为- C 的直线;当 B=0 时,A≠0,由 Ax+By+C=0 得
人教A版高中数学必修二 3.2.3直线的一般式方程课件
将所求直线方程的结果写成一般式。
（二）直线方程的一般式化为斜截式，以及已 知直线方程的一般式求直线的斜率和截距的方 法。
例2 把直线 l : 3x 5y 15 0 化成斜截式， 求出直线的斜率以及它在y轴上的截距。
解：将直线的一般式方程化为斜截式：y
3 5
x， 3
它的斜率为：
3 5，它在y轴上的截距是3。
思考1：以上三个方程是否都是二元一 次方程?
所有的直线方程是否都是二元一次方程？
思考：对于任意一个二元一次方程
Ax By C 0 （A，B不同时为零）
能否表示一条直线？
B0 时,方程变为
y=-
A B
x-
C B表示过点(0,-C B),斜率为-
A B
的直线
B=0 时,方程变为
x=-
C A
（A
0)
合作探究
2.二元一次方程的系数和常数项对直线的 位置的影响.
探究：在方程 Ax By中 C， 0
1.当 A 0，B 时0，，C方 0程表示的直线与轴
； 平行
2.当 A 0，B 0，时C，为任 方意程实表数示的直线与x轴垂直；
3.当 A 0，B 时0，，C方程0 表示的直线与x轴______ ；重合
l1 : 2x 3y 5 0 l2 : 4x 6 y 7 0
235 467 所以两条直线平行
3.一般式方程与其他形式方程的转化
（一）把直线方程的点斜式、两点式和截距式 转化为一般式，把握直线方程一般式的特点
例题示范：
例1 根据下列条件，写出直线的方程，并把
它化成一般式：
1.过点A(6,-4),斜率为-
4.当 A 0，B 时0，，C方程0 表示的直线与y轴重合 ；
（二）直线方程的一般式化为斜截式，以及已 知直线方程的一般式求直线的斜率和截距的方 法。
例2 把直线 l : 3x 5y 15 0 化成斜截式， 求出直线的斜率以及它在y轴上的截距。
解：将直线的一般式方程化为斜截式：y
3 5
x， 3
它的斜率为：
3 5，它在y轴上的截距是3。
思考1：以上三个方程是否都是二元一 次方程?
所有的直线方程是否都是二元一次方程？
思考：对于任意一个二元一次方程
Ax By C 0 （A，B不同时为零）
能否表示一条直线？
B0 时,方程变为
y=-
A B
x-
C B表示过点(0,-C B),斜率为-
A B
的直线
B=0 时,方程变为
x=-
C A
（A
0)
合作探究
2.二元一次方程的系数和常数项对直线的 位置的影响.
探究：在方程 Ax By中 C， 0
1.当 A 0，B 时0，，C方 0程表示的直线与轴
； 平行
2.当 A 0，B 0，时C，为任 方意程实表数示的直线与x轴垂直；
3.当 A 0，B 时0，，C方程0 表示的直线与x轴______ ；重合
l1 : 2x 3y 5 0 l2 : 4x 6 y 7 0
235 467 所以两条直线平行
3.一般式方程与其他形式方程的转化
（一）把直线方程的点斜式、两点式和截距式 转化为一般式，把握直线方程一般式的特点
例题示范：
例1 根据下列条件，写出直线的方程，并把
它化成一般式：
1.过点A(6,-4),斜率为-
4.当 A 0，B 时0，，C方程0 表示的直线与y轴重合 ；
高中数学人教A版 必修2第三章3.2.3《直线方程的一般式》课件(22张ppt)
任意直线l，在其上任取一点 p0 (x0 , y0 )
当直线l的斜率存在时
yy0k(xx0)
kx(1)yy0kx00①
当直线l的斜率不存在时
xx0
x0yx00
②
结论：方程①②都是二元一次方程，任何直线的方程都可以写 成关于ｘ，ｙ的二元一次方程 Ax+By+C=0,
（其中A、B不同时为0）的形式.
思考3 每一个关于x,y的二元一次方程Ax+By+C=0(其中A,B不 同时为0）都表示一条直线吗？分几种情况讨论？
跟踪练习 根据下列条件写出直线方程，并化为一般式方程． (1)斜率为2，且在y轴上的截距为1； (2)经过点P1(－2,1)，P2(3,2)两点； (3)在x轴、y轴上的截距分别为3、－5； (4)经过点P(4,－3)，且垂直于x轴．
【解】 (1)由题意知，直线的斜截式方程为 y＝2x＋1，化为 一般式方程为 2x－y＋1＝0． (2)由题意知，直线的两点式方程为y－1＝x＋2，化为一般式
y y1 x x1 y2 y1 x2 x1
( y2 y1)x (x1 x2) y x1( y1 y2) y1(x2 x1) 0
x y 1 ab
bx ay (ab) 0
上述四式都可以写成关于x,y的二元一次方程：
Ax+By+C=0, A、B不同时为0的形式。
思考2 任意一条直线都能写成形如Ax+By+C=0（A、B不 同时为0）的统一形式吗？
两方面含义： (1)直线方程都是关于x,y的二元一次方程； (2)以二元一次方程的解为坐标的点构成一条直线.
2.直线方程的一般式与特殊式的互化. 注意B=0
3.数形结合的思想、分类讨论的思想、特殊与一般的 转化
人教A版必修二高二数学教学课件：3.2.3直线的一般式方程.pptx
不垂直于x、 y轴的直线
截距式 在x轴上的截距a, 在y轴上的截距b
x y 1
不垂直于x、y 轴的直线，不
ab
过原点的直线
（二）填空 1．过点(2,1)，斜率为2的直线的方程是__y-1_=2(_x-2)________
23． ．过过点点((22,,11))，，斜斜率率为不存0的在直的线直方线程的是方__程y=1__是_____x=__2 _________
0
(x6)A≠0，B≠0;
例题分析
例1、已知直线经过点A（6，- 4），斜率为 求直线的点斜式和一般式方程.
，
4 3
注意 对于直线方程的一般式，一般作如下约定：x的系数
为正，x,y的系数及常数项一般不出现分数，一般按含x项，
含y项、常数项顺序排列.
例2、把直线l 的方程x –2y+6= 0化成斜截式，求出直
y
(1) A=0 , B≠0 ,C≠0;
0
x
2.二元一次方程的系数和常数项对 直线的位置的影响
在方程Ax+By+C=0中，A，B，C为何值时，方程表 示的直线：
（1）平行于x轴;（2）平行于y轴;（3）与x轴重合;
（4）与y轴重合; （5）过原点;（6）与x轴和y轴相交;
y
(1) A=0 , B≠0 ,C≠0;
在方程Ax+By+C=0中，A，B，C为何值时，方程表 示的直线：
（1）平行于x轴;（2）平行于y轴;（3）与x轴重合;
（4）与y轴重合; （5）过原点;（6）与x轴和y轴相交;
y
(1) A=0 , B≠0 ,C≠0;
(2) B=0 , A≠0 , C≠0;
(3) A=0 , B≠0 ,C=0;
【人教A版】高中数学必修二：3.2.3《直线的一般式方程》ppt课件.pptx
合）的.当 B 0 时,方程 Ax By C 0 可变形为 y A x C ,因此只需确定 A , C 两个
BB
BB
比值即能确定直线; 当 B 0 时,方程 Ax By C 0 可变形为 x C ,因此只需再确定 A
C 的值即可. A
规律:无论哪种形式的直线方程, 都必须有两个确定的条件,就能 确定直线,反之亦然.
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3直线的一般式方程
[设计问题、创设情境]
问题1:我们前面学习了直线的几种形式的方程，它们分别 是什么形式？ 这些方程中都有几个未知数，为什么？ 这些方程的共同特征是什么？
四种；点斜式、斜截式、两点式、截距式;两个 x 和 y ，因为直线的方程是描述直线上任意
一点的坐标 (x, y) 的方程；都是关于 x 和 y 的二元一次方程.
方程和直线能联系起来是谁的“功劳”？
直角坐标系
[变练演编、深化提高] 变式训练： (1)直线 l 过点 P(6,3) ,且它在 x 轴上的截距是它 在 y 轴上截距的 3 倍,求直线 l 的方程. (2)设 P0 (x0 , y0 ) 是直线 Ax By C 0 （其中 A, B 不同时为 0 ）上一点. 证明:这条直线的方程可以写成 A(x x0 ) B( y y0 ) 0 . (1) x 3y 3 0 或 x 2 y 0 . (2)证明:因为点 P0 (x0 , y0 ) 是直线 Ax By C 0 上一点,所以 Ax0 By0 C 0 ,
(1)两个；一般式。
(2)通过直角坐标系使得二元一次方程 Ax By C 0 的每一组解 (x, y) 与直线上的每一
个点有了一一对应的关系；数形结合；应该可以.
问题 2：平面直角坐标系中的每一条直线都可以用
人教版 新课标 高中数学 2019-2020 必修二第三章 3.2.3 直线的一般式方程(共12张PPT)
标轴直线
两截距
x y 1 ab
垂直坐标轴 及过原点直线
复习引入
二元一次方程：
Ax By C 0 ( A, B不同时为0)
问1 : 是否所有的直线都可以用二元一次方程表示?
问2(1:)所倾有斜角 的二元90一时次, k方存在程都表示直线吗?
y y0 k( x x0 ) 即 kx y ( y0 kx0 ) 0
2
2
2
直线的方程
例3.一束光线从点A(8, 3)发出,经x轴反射到y轴,
又被y轴反射后经过B(2, 2)，求光线被y轴反射
后光线所在的直线方程
y
B’
B
A
o
x
A’
直线的方程
1.若 ac 0,b,c 0 ax 则 b直y 线c不过0 第 三象限。
2.若直线 ax by 过c 第 0一、二、三象限， 判断 ab, b的c 符号？
l1 // l2
A1B2 A2B1 0 且不重合
l1 l2
A1 A2 B1B2 0
练1.若l1 : mx 8 y 2 0, l2 : 2x my 1 0互相
平行,则m ____4_.
练2.若l1 : 3ax (1 a) y 3, l2 : (a 1)x (a 1) y 2 互相垂直,则a _____. 1或 1
直线的一般式方程
复习回顾 思考: 这四种直线方程有什么共同点? 方程名称 已知条件 直线方程 局限性
点斜式 斜截式 两点式 截距式
点与斜率 y y0 k(x x0 )
斜率与截距 y kx b
两点
y y1 x x1 y2 y1 x2 x1
两截距
x y 1 ab
垂直坐标轴 及过原点直线
复习引入
二元一次方程：
Ax By C 0 ( A, B不同时为0)
问1 : 是否所有的直线都可以用二元一次方程表示?
问2(1:)所倾有斜角 的二元90一时次, k方存在程都表示直线吗?
y y0 k( x x0 ) 即 kx y ( y0 kx0 ) 0
2
2
2
直线的方程
例3.一束光线从点A(8, 3)发出,经x轴反射到y轴,
又被y轴反射后经过B(2, 2)，求光线被y轴反射
后光线所在的直线方程
y
B’
B
A
o
x
A’
直线的方程
1.若 ac 0,b,c 0 ax 则 b直y 线c不过0 第 三象限。
2.若直线 ax by 过c 第 0一、二、三象限， 判断 ab, b的c 符号？
l1 // l2
A1B2 A2B1 0 且不重合
l1 l2
A1 A2 B1B2 0
练1.若l1 : mx 8 y 2 0, l2 : 2x my 1 0互相
平行,则m ____4_.
练2.若l1 : 3ax (1 a) y 3, l2 : (a 1)x (a 1) y 2 互相垂直,则a _____. 1或 1
直线的一般式方程
复习回顾 思考: 这四种直线方程有什么共同点? 方程名称 已知条件 直线方程 局限性
点斜式 斜截式 两点式 截距式
点与斜率 y y0 k(x x0 )
斜率与截距 y kx b
两点
y y1 x x1 y2 y1 x2 x1
3.2.3直线的一般式方程 课件(人教A必修2)
例1
题型探究 求直线方程的一般式
根据下列条件分别写出直线的方程 ,
并化为一般式方程 . (1)斜率是 3, 且经过点 A(5,3); (2)斜率为 4, 在 y 轴上的截距为－ 2;
栏目 导引
第三章
直线与方程
(3)经过A(－1,5), B(2, －1)两点;
(4)在x、y轴上的截距分别是－3, －1.
栏目 导引
第三章
直线与方程
1 解 : (1)由点斜式得 y－ (－ 2)＝－ (x－8), 2 即 x＋ 2y－ 4＝ 0. (2)由斜截式得 y＝ 2, 得 y－ 2＝ 0. x y (3)由截距式得 ＋ ＝ 1, 即 2x－ y－ 3＝ 0. 3 －3 2 y－－ 2 x －3 (4)由两点式得 ＝ , － 4－－ 2 5－3 即 x＋ y－1＝0.
栏目 导引
第三章
直线与方程
(2)法一: 由题意 , 直线 l1⊥ l2, ①若 1－a＝0, 即 a＝1 时 , 直线 l1: 3x－ 1＝ 0 与直线 l2: 5y＋2＝0, 显然垂直 . 3 ②若 2a＋ 3＝ 0, 即 a＝－ 时 , 2 直线 l1: x＋5y－ 2＝ 0 与直线 l2: 5x－ 4＝ 0 不垂直 . ③若 1－a≠0, 且 2a＋ 3≠ 0, 则直线 l1, l2 的斜率 k1, k2 都存在 ,
栏目 导引
第三章
直线与方程
解 : (1)设所求直线为 3x＋4y＋ C＝ 0, 在 x 轴上截距为 3, 即过定点(3,0). ∴ 3× 3＋ C＝0, ∴C＝－9, ∴方程为 3x＋4y－9＝0. (2)设所求直线为 4x－3y＋ m＝ 0. m 与 y 轴交点为(0, ), 3
栏目 导引
第三章
栏目 导引
题型探究 求直线方程的一般式
根据下列条件分别写出直线的方程 ,
并化为一般式方程 . (1)斜率是 3, 且经过点 A(5,3); (2)斜率为 4, 在 y 轴上的截距为－ 2;
栏目 导引
第三章
直线与方程
(3)经过A(－1,5), B(2, －1)两点;
(4)在x、y轴上的截距分别是－3, －1.
栏目 导引
第三章
直线与方程
1 解 : (1)由点斜式得 y－ (－ 2)＝－ (x－8), 2 即 x＋ 2y－ 4＝ 0. (2)由斜截式得 y＝ 2, 得 y－ 2＝ 0. x y (3)由截距式得 ＋ ＝ 1, 即 2x－ y－ 3＝ 0. 3 －3 2 y－－ 2 x －3 (4)由两点式得 ＝ , － 4－－ 2 5－3 即 x＋ y－1＝0.
栏目 导引
第三章
直线与方程
(2)法一: 由题意 , 直线 l1⊥ l2, ①若 1－a＝0, 即 a＝1 时 , 直线 l1: 3x－ 1＝ 0 与直线 l2: 5y＋2＝0, 显然垂直 . 3 ②若 2a＋ 3＝ 0, 即 a＝－ 时 , 2 直线 l1: x＋5y－ 2＝ 0 与直线 l2: 5x－ 4＝ 0 不垂直 . ③若 1－a≠0, 且 2a＋ 3≠ 0, 则直线 l1, l2 的斜率 k1, k2 都存在 ,
栏目 导引
第三章
直线与方程
解 : (1)设所求直线为 3x＋4y＋ C＝ 0, 在 x 轴上截距为 3, 即过定点(3,0). ∴ 3× 3＋ C＝0, ∴C＝－9, ∴方程为 3x＋4y－9＝0. (2)设所求直线为 4x－3y＋ m＝ 0. m 与 y 轴交点为(0, ), 3
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第三章
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人教A版高中数学必修2课件3.2.3 直线的一般式方程课件(数学人教A版必修2)课件
课堂探究
探究3 如果直线l1，l2的方程为 l1 : A1 x B1 y C1 0， l2 : A2 x B2 y C2 0( A1B1C1 0，A2 B2C2 0)， 若l1 / /l2，则A1，A2，B1，B2，C1，C2 满足什么条件？
A1 A2 C1 C2 ，且 . B1 B2 B1 B2
解：(1)x+2y－4=0. (3)2x－y－3=0.
(2)y－2=0. (4)x+y－1=0.
课堂练习
3.求下列直线的斜率以及在y轴上的截距，并画出图形. x y (1)3x y 5 0. (2) 1. 4 5 (3) x 2 y 0. (4)7 x 6 y 4 0. 5 (2) k , b 5. (1)k 3, b 5. 4
典型例题
例2 把直线l的一般式方程x－2y+6=0化成斜截式，求 出直线l的斜率以及它在x轴与y轴上的截距，并画出图形.
x 解：将原方程化成斜截式得 y 3. 2 1 因此，直线l的斜率k ，它在y轴上的截距是3， 2 -6
y
3
O
x
在直线l的方程x－2y+6=0中， 令y=0，可得 x=－6，即直线l在x轴上的截距是－6.
1 1 3 1 2 所以 2或 , 解得0 m 或- m 0. m m 2 2 3
当m=0时，直线l的方程为x=0，与线段PQ有交点， 2 1 所以，实数m的取值范围为{m | m }. 3 2
课堂小结
1.直线方程的一般式Ax+By+C=0（A，B不同时为0） 2.直线方程的一般式与特殊式的互化. 3.两条直线平行与垂直的判定.
一般式适用于任意一条直线.
数学必修二课件3.2.3直线的一般式方程
1
• 3. 2.3 直线的一般式方程
2
目标定位 重点难点 1.掌握直线的一般式方程． 重点：直线方程 2．了解关于x，y的二元一 的一般式与其 次方程Ax＋By＋C＝0(A， 他形式的相互 B不同时为0)都表示直线 转化． 且直线方程都可以化为Ax 难点：运用直线 ＋By＋C＝0的形式． 的一般式方程 3．会进行直线方程不同形 解决实际问题. 式的转化.
【解题探究】 一般式 化成斜截式方 建立关于 解之即 → → → 方程 程和截距式方程 k的方程 得k值
10
【解析】(1)因为直线 l 的斜率存在，所以直线 l 的方程可 2 2 化为 y＝－ x＋2，由题意得－ ＝－1，解得 k＝5. k－3 k－3 x y (2)直线 l 的方程可化为 ＋ ＝1， 由题意得 k－3＋2＝0， k－3 2 解得 k＝1.
11
•
8
直线的一般式转化为其他形式的步骤 (1)一般式化为斜截式的步骤： ①移项得 By＝－Ax－C； A C ②当 B≠0 时，得斜截式：y＝－Bx－B. (2)一般式化为截距式的步骤：①把常数项移到方程右边， Ax 得 Ax＋By＝－C； ②当 C≠0 时， 方程两边同除以－C， 得 ＋ －C By x y ＝1；③化为截距式： C＋ C＝1. －C －A － B
y－6 x＋5 所以由两点式，得 ＝ ， 8－6 －4＋5 x y 整理得 2x－y＋16＝0，化为截距式得 ＋16＝1. －8
14
所以直线 l 的一般式方程为 2x－y＋16＝0，截距式方程为 x y ＋ ＝1. －8 16 图形如图所示．
15
• • •
•
• 直线方程的应用 【例2】 (1)过点A(2,2)且与直线3x＋4y－20 ＝0平行的直线方程为__________． (2)过点A(2,2)且与直线3x＋4y－20＝0垂直的 直线方程为__________． 【解题探究】若两直线平行，则两直线的斜 率有何关系？若垂直呢？ 【答案】(1)3x＋4y－14＝0 (2)4x－3y－2＝ 0
• 3. 2.3 直线的一般式方程
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目标定位 重点难点 1.掌握直线的一般式方程． 重点：直线方程 2．了解关于x，y的二元一 的一般式与其 次方程Ax＋By＋C＝0(A， 他形式的相互 B不同时为0)都表示直线 转化． 且直线方程都可以化为Ax 难点：运用直线 ＋By＋C＝0的形式． 的一般式方程 3．会进行直线方程不同形 解决实际问题. 式的转化.
【解题探究】 一般式 化成斜截式方 建立关于 解之即 → → → 方程 程和截距式方程 k的方程 得k值
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【解析】(1)因为直线 l 的斜率存在，所以直线 l 的方程可 2 2 化为 y＝－ x＋2，由题意得－ ＝－1，解得 k＝5. k－3 k－3 x y (2)直线 l 的方程可化为 ＋ ＝1， 由题意得 k－3＋2＝0， k－3 2 解得 k＝1.
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直线的一般式转化为其他形式的步骤 (1)一般式化为斜截式的步骤： ①移项得 By＝－Ax－C； A C ②当 B≠0 时，得斜截式：y＝－Bx－B. (2)一般式化为截距式的步骤：①把常数项移到方程右边， Ax 得 Ax＋By＝－C； ②当 C≠0 时， 方程两边同除以－C， 得 ＋ －C By x y ＝1；③化为截距式： C＋ C＝1. －C －A － B
y－6 x＋5 所以由两点式，得 ＝ ， 8－6 －4＋5 x y 整理得 2x－y＋16＝0，化为截距式得 ＋16＝1. －8
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所以直线 l 的一般式方程为 2x－y＋16＝0，截距式方程为 x y ＋ ＝1. －8 16 图形如图所示．
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• 直线方程的应用 【例2】 (1)过点A(2,2)且与直线3x＋4y－20 ＝0平行的直线方程为__________． (2)过点A(2,2)且与直线3x＋4y－20＝0垂直的 直线方程为__________． 【解题探究】若两直线平行，则两直线的斜 率有何关系？若垂直呢？ 【答案】(1)3x＋4y－14＝0 (2)4x－3y－2＝ 0
高一数学必修2课件：3.2.3 直线的一般式方程
高一年级数学必修2
3.2 直线的方程 3.2.3 直线的一般式方程
湖南师大附中 彭萍
第一页，编辑于星期日：二十二点 十八分。
知识回顾
1、直线的点斜式方程
y y0 k(x x0 )
2、直线的斜截式方程
y kx b
斜率
在 y 轴上的截距
第二页，编辑于星期日：二十二点 十八分。
3、直线的两点式方程
第七页，编辑于星期日：二十二点 十八分。
பைடு நூலகம்
理论迁移 例1 已知直线经过点A（6，-4）， 斜
率为 ， 4求直线的点斜式和一般
式方程. 3
第八页，编辑于星期日：二十二点 十八分。
例2 把直线l的一般式方程 x-2y+6=0化成斜截式，求出直线l的斜
率以及它在x轴与y轴上的截距，并画出 图形.
第九页，编辑于星期日：二十二点 十八分。
第五页，编辑于星期日：二十二点 十八分。
（1）如何由直线的一般式方程 Ax By C 0，求直线的斜率及在两
坐标轴上的截距？
第六页，编辑于星期日：二十二点 十八分。
（2）在方程Ax By C 0中，A, B, C为何值时，方程表示的直线 （1）平行于x轴 （2）平行于y轴 （3）与x轴重合 （4）与y轴重合
P99-100练习：1，2. P101习题3.2B组：1，2，5.
第十二页，编辑于星期日：二十二点 十八分。
思考题
已知直线l过点P(-5,-4) ,且与两坐 标轴围成的三角形的面积为5，求直线l
的方程.
第十三页，编辑于星期日：二十二点 十八分。
y y1 x x1 y2 y1 x2 x1
4、直线的截距式方程
x y 1 ab
3.2 直线的方程 3.2.3 直线的一般式方程
湖南师大附中 彭萍
第一页，编辑于星期日：二十二点 十八分。
知识回顾
1、直线的点斜式方程
y y0 k(x x0 )
2、直线的斜截式方程
y kx b
斜率
在 y 轴上的截距
第二页，编辑于星期日：二十二点 十八分。
3、直线的两点式方程
第七页，编辑于星期日：二十二点 十八分。
பைடு நூலகம்
理论迁移 例1 已知直线经过点A（6，-4）， 斜
率为 ， 4求直线的点斜式和一般
式方程. 3
第八页，编辑于星期日：二十二点 十八分。
例2 把直线l的一般式方程 x-2y+6=0化成斜截式，求出直线l的斜
率以及它在x轴与y轴上的截距，并画出 图形.
第九页，编辑于星期日：二十二点 十八分。
第五页，编辑于星期日：二十二点 十八分。
（1）如何由直线的一般式方程 Ax By C 0，求直线的斜率及在两
坐标轴上的截距？
第六页，编辑于星期日：二十二点 十八分。
（2）在方程Ax By C 0中，A, B, C为何值时，方程表示的直线 （1）平行于x轴 （2）平行于y轴 （3）与x轴重合 （4）与y轴重合
P99-100练习：1，2. P101习题3.2B组：1，2，5.
第十二页，编辑于星期日：二十二点 十八分。
思考题
已知直线l过点P(-5,-4) ,且与两坐 标轴围成的三角形的面积为5，求直线l
的方程.
第十三页，编辑于星期日：二十二点 十八分。
y y1 x x1 y2 y1 x2 x1
4、直线的截距式方程
x y 1 ab
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a=1
练习2:已知直线l1：x-ay-1=0和
l2：a2x+y+2=0，若l1⊥l2，求a的值.
a=1或a=0
三、直线系方程:
1)与直线l： Ax By C 0 平行的直线系
方程为： Ax By m 0
(其中m≠C，m为待定系数)
三、直线系方程:
2)与直线l： Ax By C 0 垂直的直线系
x y 1 a b
两个截距 化成一般式
截距式
Ax+By+C=0
作业： P99-100练习：1，2. P101习题3.2B组：1，2，5.
试讨论：(1) l1 // l2 的条件是什么？
(2) l1 l2 的条件是什么？
2 .l1 l2 A1 A2 B1B2 0 3.l1, l2相交 A1B2 A2 B1 0
A1 B2 A2 B1 0 A1 B2 A2 B1 0 1.l1 // l2 或 B1C2 B2C1 0 A1C2 A2C1 0
在方程Ax+By+C=0中，A，B，C为何值时，方程表 示的直线： （1）平行于x轴;（2）平行于y轴;（3）与x轴重合; （4）与y轴重合; （5）过原点;（6）与x轴和y轴相交; y
(3) A=0 , B≠0 ,C=0;
0 x
5.
深化探究
在方程Ax+By+C=0中，A，B，C为何值时，方程表 示的直线： （1）平行于x轴;（2）平行于y轴;（3）与x轴重合; （4）与y轴重合; （5）过原点;（6）与x轴和y轴相交; y
3.2.3《直线的一般式方程》
• 学习目标：知道什么是直线的一般式方程， 会将直线的一般式方程化为点斜式、斜截式、 两点式方程，反之亦然，理解二元一次方程 与直线的关系。 • 学习重点：直线的一般式方程、点斜式方程、 斜截式方程的互化。 • 学习难点：理解二元一次方程与直线的关系。
1、复习回顾
①直线方程有几种形式？指明它们的条件及应用范围.
(4) B=0 , A≠0, C=0;
0
x
5. 深化探究
在方程Ax+By+C=0中，A，B，C为何值时，方程表 示的直线： （1）平行于x轴;（2）平行于y轴;（3）与x轴重合; （4）与y轴重合; （5）过原点;（6）与x轴和y轴相交; y
(5) C=0，A、B不同时为0;
0 x
5. 深化探究
(1) A=0 , B≠0 ,C≠0;
0
x
5.
深化探究
在方程Ax+By+C=0中，A，B，C为何值时，方程表 示的直线： （1）平行于x轴;（2）平行于y轴;（3）与x轴重合; （4）与y轴重合; （5）过原点;（6）与x轴和y轴相交; y
(2) B=0 , A≠0 , C≠0;
0
x
5.
深化探究
结论:(1)直线方程都是关于x,y的二元一次方程 (2)关于x,y的二元一次图象又都是一条直线。
4、新知一：直线方程的一般式
定义：我们把关于 x , y 的二元一 次方程Ax+By+C=0(其中A,B不同 时为0)叫做直线的一般式方程， 简称一般式。
5.
深化探究
在方程Ax+By+C=0中，A，B，C为何值时，方程表 示的直线： （1）平行于x轴;（2）平行于y轴;（3）与x轴重合; （4）与y轴重合; （5）过原点;（6）与x轴和y轴相交; y
点斜式 y－y0 = k（x－x0）
斜截式 y = kx + b
y y1 x x1 两点式 y y x x (x1 x2 ,y1 y 2 ) 2 1 2 1
x y 截距式 1a,b 0 a b
2、问题情境一
数学家笛卡尔在平面直 角坐标系中研究两直线间的 位置关系时，碰到了这样一 个问题：平面直角坐标系中 的任何一条直线l能不能用 一种自然优美的“万能”形 式的方程来表示？
2、设A、B是x轴上的两点，点P的横坐标为2，且 │PA│=│PB│，若直线PA的方程为x-y+1=0，则 直线PB的方程是( ) A.2y-x-4=0 B.2x-y-1=0 C.x+y-5=0 D.2x+y-7=0
例3：设直线l的方程为（m2-2m-3）x+（2m2+m-1） y=2m-6根据下列条件确定m的值（1）l在x轴上的 截距是-3；（2）斜率是-1。 解：（1）由题意得
注意
对于直线方程的一般式，一般作如下约定：x的 系数为正，x,y的系数及常数项一般不出现分数，一般按 含x项，含y项、常数项顺序排列.
例题分析
例2、把直线l 的方程x –2y+6= 0化成斜截式，求出 直线l 的斜率和它在x轴与y轴上的截距，并画图.
y
.
B
.A
O
x
例2:直线 l1 : A1 x B1 y C1 0，l2 : A2 x B2 y C2 0
方程为：Bx Ay m 0 (其中m为待定系数)
练习： 1、直线Ax+By+C=0通过第一、二、三象限，则( (A) A· B>0,A· C>0 (B) A· B>0,A· C<0 (C) A· B<0,A· C>0 (D) A· B<0,A· C<0
小窍门：
)
C C Ａ 一般式方程的横截距为： 纵截距为： 斜率为： A B Ｂ
在方程Ax+By+C=0中，A，B，C为何值时，方程表 示的直线： （1）平行于x轴;（2）平行于y轴;（3）与x轴重合; （4）与y轴重合; （5）过原点;（6）与x轴和y轴相交; y
(6)A≠0，B≠0;
0
x
例题分析
4 例1、已知直线经过点A（6，- 4），斜率为 ， 3
求直线的点斜式和一般式方程.
(2)由题意得
例4：利用直线方程的一般式，求为Ax+By+C=0， ∵直线过点（0，3）代入直线方程 得3B= -C， B= －C/3 又直线与x，y轴的截距分别为x= -C/A ,y= -C/B 由三角形面积为6得
3
y O x
∴A=±C/4 ∴方程为
所求直线方程为3x-4y+12=0或3x+4y-12=0
小结：
斜率和一点坐标 斜率k和截距b 点斜式 斜截式
y y0 k ( x x0 )
y kx b
y y1 x x1 y2 y1 x2 x1
两点坐标
两点式
点斜式
y y0 k ( x x0 )
㈡讲解新课：
①直角坐标系中，任何一条直线的方程都是关于x，y的一 次方程。
⑴直线和Y轴相交时：此时倾斜角α≠90。，直线的斜 率k存在，直线可表示成y =k x+b（是否是二元一次方程？）
⑵直线和Y轴平行（包括重合）时：此时倾斜角α=π/2， 直线的斜率k不存在，不能用y =ｋｘ＋ｂ表示，而只能表 示成ｘ＝ａ（是否是二元一次方程？） 结论：任何一条直线的方程都是关于ｘ，ｙ的二元一次方程。 ②任何关于x，y的一次方程Ax+By+c=0（A，B不同时为零） 的图象是一条直线
②上述四种直线方程，能否写成如下统一形式？
? x+ ? y+ ? =0
y y 0 k ( x x0 )
kx (1) y y0 kx0 0
kx (1) y b 0
( y2 y1 ) x ( x1 x2 ) y x1 ( y1 y2 ) y1 ( x2 x1 ) 0
⑴B≠0时，方程化成 这是直线的斜截 式，
它表示为斜率为 – A/B，纵截距为- C/B的直线。
⑵B＝0时，由于A，B不同时为零所以A≠0，此时，Ax+By+ C=0可化为x= -C / A，它表示为与Y轴平行（当C ≠ 0时）或重合 （当C=0时）的直线。
思考：直线与二元一次方程具有什么样的关系？
y kx b
y y1 x x1 y2 y1 x2 x1
x y 1 a b
bx ay ( ab) 0
上述四式都可以写成直线方程的一般形式：
Ax+By+C=0, A、B不同时为0。
3、问题情境二
数学家笛卡尔接着 思考？
每一个关于x , y的 二元一次方程都 表示直线吗？
A1 B2 A2 B1 0 A1 B2 A2 B1 0 4.l1 , l2重合 或 B1C2 B2C1 0 A1C2 A2C1 0
练习1:已知直线l1：x+(a+1)y-2+a=0和
l2：2ax+4y+16=0，若l1//l2，求a的值.