特征值与特征向量定义与计算

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特征值与特征向量的求解方式

特征值与特征向量的求解方式

特征值与特征向量的求解方式在线性代数中,特征值与特征向量是重要的概念。

它们的求解在机器学习、图像处理、物理学等诸多领域中具有重要的应用。

本文将介绍特征值与特征向量的概念和求解方式。

一、特征值与特征向量的定义给定一个n阶方阵A,如果存在非零向量x,使得Ax=kx,其中k是一个常数,那么 k 称为矩阵A的特征值,x称为特征值k对应的特征向量。

特别的,当 k=0 时,x称为矩阵A的零向量。

特征值与特征向量有以下重要性质:1. 一个n阶方阵最多有n个不同的特征值。

2. 若A为实对称矩阵,则其特征向量对应的特征值均为实数。

3. 若A为正定矩阵,则其特征值均为正数。

4. 若A可逆,则其特征值均非零。

特征向量的长度一般不为1,我们可以将其归一化得到单位向量,使得 Ax=kx 中的特征向量x满足 ||x||=1。

二、1.利用特征多项式对 n 阶矩阵 A,设λ 为其特征值,用 |A-λI| =0 表示,其中 I 为n 阶单位矩阵。

化简方程,即得到 A 的特征值λ 的解析式。

求得λ 后,代入 (A-λI)x=0,可以得到对应的特征向量 x。

举个例子,对于矩阵 A=[1 2;2 1],我们有| A-λI |= | 1-λ 2; 2 1-λ| = (1-λ)^2 -4 = 0解得λ1=3, λ2=-1。

将λ1,λ2 代入 (A-λI)x=0 中分别求解,即可得到 A 的两个特征向量。

该方法简单易懂,但对于高阶矩阵,求解特征多项式需要高代数计算,计算复杂度较高。

2.利用幂法幂法是求最大特征值与对应特征向量的较为有效的方法。

该方法基于一下简单事实:给定一个向量 x,令 A 去作用若干次,Ax,A^2x,A^3x,...,A^nx,它们的向量长度将快速增长或快速衰减,且它们的比值趋于最大特征对应的幂指数。

假设 A 有一个不为零的特征向量 x,它对应的特征值为λ1,即Ax=λ1x。

那么,A^mx = A^mx/λ1^m λ1x当 m 充分大时, A^mx 与λ1^mx 相比变化就很小了。

特征值与特征向量的计算方法

特征值与特征向量的计算方法

特征值与特征向量的计算方法特征值与特征向量是矩阵理论中的重要概念,用于解决矩阵特征与变换特性的相关问题。

在本文中,将介绍特征值与特征向量的定义和计算方法,以及它们在实际问题中的应用。

一、特征值与特征向量的定义在矩阵理论中,对于一个n阶方阵A,如果存在一个非零向量x,使得Ax=kx(k为标量),那么k称为矩阵A的特征值,x称为对应于特征值k的特征向量。

特征向量可以理解为在矩阵变换下保持方向不变的向量,而特征值则表示特征向量在变换中的伸缩比例。

二、要计算特征值和特征向量,可以使用以下步骤:1. 首先,由于特征值和特征向量的定义基于方阵,所以需要确保矩阵A是方阵,即行数等于列数。

2. 接下来,根据特征值和特征向量的定义方程Ax=kx,将其改写为(A-kI)x=0(I为单位矩阵)。

3. 为了求解此方程组的非零解,需要求出(A-kI)的零空间(核)。

4. 将(A-kI)的零空间表示为Ax=0的齐次线性方程组,采用高斯消元法或其它线性方程组求解方法,求得方程的基础解系,即特征向量。

5. 特征向量已找到,接下来通过将每个特征向量代入原方程式Ax=kx中,计算出对应的特征值。

值得注意的是,特征值是一个多重属性,即一个特征值可能对应多个线性无关的特征向量。

此外,方阵A的特征值计算方法存在多种,如幂迭代法、QR迭代法等。

三、特征值与特征向量的应用特征值与特征向量在物理、工程、经济等领域具有广泛的应用。

1. 物理学中,特征值与特征向量可用于解析力学、量子力学等领域中的问题,如研究振动系统的固有频率、粒子的角动量等。

2. 工程学中,特征值与特征向量可用于电力系统的稳定性分析、机械系统的振动模态分析等。

3. 经济学中,特征值与特征向量可用于描述经济模型中的平衡点、稳定性等重要特征。

此外,特征值与特征向量在图像识别、数据降维、网络分析等领域也有重要的应用。

总结:特征值和特征向量在矩阵理论中有着重要的地位和应用价值。

通过计算特征值和特征向量,可以揭示矩阵在变换中的性质和特点,并应用于各个学科领域,为问题求解提供了有效的工具和方法。

特征值与特征向量定义与计算

特征值与特征向量定义与计算

特征值与特征向量定义与计算特征值(eigenvalue)和特征向量(eigenvector)是线性代数中重要的概念,在许多数学和科学领域中都有广泛的应用。

特征值和特征向量可以帮助我们理解和解决许多实际问题,如物理的振动问题、量子力学中的量子态等。

设A是一个n阶方阵,如果存在一个非零向量x使得Ax=kx,其中k 是一个常数,那么常数k称为矩阵A的特征值,非零向量x称为矩阵A对应于特征值k的特征向量。

特征值和特征向量的计算:对于给定的方阵A,我们可以通过求解特征方程来计算其特征值和特征向量。

设λ为矩阵A的特征值,x为A对应于λ的特征向量,则有方程(A-λI)x=0,其中I是单位矩阵。

求解特征方程的一般步骤如下:1.计算A-λI,形成一个新的矩阵。

2.根据这个矩阵,设置行列式为0,形成特征方程。

3.解特征方程,即求特征值λ的值。

4.将每一个特征值代入(A-λI)x=0,形成一个线性方程组。

5.解线性方程组,求解特征向量x。

需要注意的是,对于一个n阶矩阵A,其特征值的个数不超过n,且特征值可以是复数。

特征值和特征向量的性质:1.矩阵A和其转置矩阵A^T有相同的特征值。

2.两个矩阵A和B的特征值之和等于它们的直和A⊕B的特征值。

3.两个矩阵A和B的特征值之积等于它们的张量积A⊗B的特征值。

4.方阵A与其逆矩阵A^(-1)的特征值互为倒数,非零特征值满足这个特性。

5.方阵A的特征向量张成一个特征子空间,而特征值决定了这个特征子空间的维度。

特征值和特征向量在线性代数中有许多重要应用,包括:2.特征向量的正交性:特征向量张成的特征子空间中的向量是两两正交的,可以用于求解正交变换、对角化、正交投影等。

3.特征值的重要性:特征值大小可以用于判断矩阵的稳定性、收敛性等性质,可以用于分析无线电信号的频域特征等。

总而言之,特征值与特征向量是矩阵分析中非常重要的概念和工具,它们在物理、工程、计算机科学等领域中都有广泛的应用。

线性代数矩阵的特征值与特征向量

线性代数矩阵的特征值与特征向量

线性代数矩阵的特征值与特征向量矩阵的特征值和特征向量是线性代数中非常重要的概念,具有广泛的应用。

在此,我们将详细介绍特征值和特征向量的定义、性质和计算方法。

希望能对读者理解这两个概念有所帮助。

1.特征值和特征向量的定义在线性代数中,对于一个n阶矩阵A,如果存在一个非零向量x,使得Ax=λx,其中λ是一个标量,则称λ是矩阵A的特征值,x是对应于特征值λ的特征向量。

2.特征值和特征向量的性质(1)对于任意矩阵A和非零向量x,如果Ax=λx,则(x,λ)是(A-λI)的一个特征对,其中I是单位矩阵。

(2)对于任意非零常数k,kλ和kx也是特征值λ和特征向量x的特征对。

(3)如果矩阵A的特征向量x1和x2对应于不同的特征值λ1和λ2,则x1和x2线性无关。

(4)若矩阵A的特征值都不相同,则它一定能够对角化。

3.特征值和特征向量的计算(以2阶矩阵为例)对于一个2阶矩阵A,我们可以通过以下步骤来计算其特征值和特征向量:(1)解特征方程det(A-λI)=0,其中I是单位矩阵。

(2)将特征值代入(A-λI)x=0,求解x的向量,即为对应于特征值的特征向量。

4.实对称矩阵的特征值和特征向量对于实对称矩阵,其特征值一定是实数且存在线性无关的特征向量。

具体计算方法为:(1)求解特征方程det(A-λI)=0,得到特征值λ1, λ2, ..., λn。

(2)将特征值代入(A-λI)x=0,解出x的向量,即为对应于特征值的特征向量。

5.正交矩阵的特征值和特征向量对于正交矩阵,其特征值的模一定是1,且特征向量是两两正交的。

具体计算方法同样为求解特征方程和特征向量方程。

6.特征值和特征向量的应用特征值和特征向量有广泛的应用,例如:(1)主成分分析(PCA):利用特征值和特征向量可以找到数据的主要特征方向,用于数据降维和分析。

(2)图像处理:利用特征值和特征向量可以进行图像压缩、增强和分析。

(3)物理学中的量子力学:波函数的特征值和特征向量对应着物理量的测量结果和对应的本征态。

特征值与特征向量的概念与计算

特征值与特征向量的概念与计算

求数量矩阵 的特征值和特征向量.

因此,所有n维非零向量都是此数量矩阵的特征向量,即特征向量可表示为

例 设矩阵 A 可逆, 且 解2 Nhomakorabea1
3

设 为矩阵 的特征值, 求 的特征值;
若 可逆,求 的特征值.
4

01

02


5.1.2 特征子空间
1
因此,(λI - A) X = 0 的解空间就是A 的特征子空间
3
2
特征向量是齐次线性方程组 (λI - A) X = 0 的解
特征值与特征向量的计算
是关于 的一个多项式,称为矩阵A的特征多项式,
称为矩阵A的特征方程,
定义
特征方程
记为 f (λ),
01
04
02
03
5.1 特征值与特征向量的概念与计算
单击此处添加副标题
5.1.1 特征值与特征向量的定义 定义 设 A 是 n 阶方阵, 是方阵A的一个特征值, 为方阵A的对应于特征值 的一个特征向量. 若存在数 和 n 维非零列向量 ,使得 成立,则称



设 A2 = A , 证明:A 的特征值为 0 或 1 .

定理 设n阶方阵 的n个特征值为

称为矩阵A的迹.(主对角元素之和)
注 A可逆的条件.
证明
设A为3阶方阵, A的特征值分别为 -1、4、2, 求
01

02

代入齐次线性方程组
求非零解.
齐次线性方程组为
当 时,
系数矩阵
自由未知量
令 得基础解系
常数)是对应于

特征值和特征向量的基本定义及运算

特征值和特征向量的基本定义及运算

特征值和特征向量的基本定义及运算特征值和特征向量是线性代数中的两个重要概念,广泛应用于机器学习、图像处理、信号处理等领域中。

本文旨在介绍特征值和特征向量的基本定义及运算,并探讨其在实际中的应用。

一、特征值与特征向量的定义在线性代数中,矩阵是一个非常重要的概念。

一个 n × n 的矩阵 A 是由 n 行 n 列的元素组成的,并且可以用列向量的形式表示为 A = [a1, a2, ..., an]。

其中,ai 表示矩阵 A 的第 i 列的列向量。

矩阵 A 的特征向量是指一个非零向量 v,满足Av = λv,其中λ 是一个常数,称作该矩阵的特征值。

通常情况下,特征向量 v 与特征值λ 是成对出现的,即一个特征向量对应一个特征值。

二、特征值与特征向量的求解特征值和特征向量的求解是线性代数中的一个经典问题。

一般情况下,可以通过求解矩阵 A 的特征多项式来求解其特征值。

设矩阵 A 的特征多项式为f(λ) = |A - λI|,其中 I 表示单位矩阵。

则 A 的特征值即为方程f(λ) = 0 的根。

对于每个特征值λ,可通过解如下方程组来求解对应的特征向量:(A - λI)v = 0其中,v 表示特征向量,0 表示零向量。

上述方程组的解空间为 A - λI 的零空间,也称为矩阵 A 的特征子空间。

如果矩阵 A 的特征值λ 是重根,则λ 对应的特征向量有多个线性无关的向量。

此时,可求解齐次线性方程组 (A - λI)v = 0 的基础解系,从中选取线性无关的向量作为特征向量。

三、特征值与特征向量的性质特征值与特征向量有一些重要的性质,其中较为常见的包括:1. 特征值的和等于矩阵的迹设矩阵 A 的特征值为λ1, λ2, ..., λn,则有:λ1 + λ2 + ... + λn = tr(A)其中,tr(A) 表示矩阵 A 的迹,即主对角线上元素的和。

2. 特征值的积等于矩阵的行列式设矩阵 A 的特征值为λ1, λ2, ..., λn,则有:λ1 λ2 ... λn = |A|其中,|A| 表示矩阵 A 的行列式。

矩阵特征值与特征向量的计算方法

矩阵特征值与特征向量的计算方法

矩阵特征值与特征向量的计算方法矩阵是一个广泛应用于线性代数、微积分和物理学等领域的数学对象。

在许多问题中,矩阵和线性变换起着重要作用,并且特征值与特征向量是矩阵理论中的两个核心概念。

本文将介绍矩阵特征值与特征向量的定义、性质以及计算方法。

一、特征值与特征向量的定义给定一个n阶矩阵A,如果存在一个非零向量x,使得A与x的线性组合仍然是x的倍数,即有Ax = λx其中λ为常数,称λ为A的特征值,x为对应于λ的特征向量。

从几何意义上理解,特征向量是不被矩阵变换影响方向,只被影响长度的向量。

特征值则是描述了矩阵变换对于特定方向上的伸缩倍数。

二、特征值与特征向量的性质1. 特征向量构成的向量空间没有零向量。

证明:设x为A的特征向量,有Ax=λx,则A(cx) =cAx=cλx=λ(cx),即A的任意常数倍(cx)仍是x的倍数,因此cx也是A的特征向量。

特别地,对于λ≠0时,x/λ也是A的特征向量。

2. A的特征值的个数不超过n个。

证明:考虑特征值λ1, λ2,…,λt,对应于各自的特征向量x1,x2,…,xt。

利用向量线性无关性可得,至少存在一个向量y不属于x1,x2,…,xt的张成空间内,此时Ay不能被表示成λ1x1,λ2x2,…,λtxt的线性组合,因此Ay与y方向没有重合部分,由此可得λ1, λ2,…,λt最多就是n个。

3. 如果特征向量x1,x2,…,xt彼此不共线,则它们就可以作为Rn空间的一组基。

证明:设x1,x2,…,xt是不共线的特征向量,考虑它们张成的向量空间V,在此空间中,A的作用就是对向量做伸缩变换,且Λ(xj) = λj。

对于每个向量y ∈ V,y可以表示成如下形式:y = c1x1 + c2x2 + ··· + ctxt由于x1,x2,…,xt构成V的基,因此c1,c2,…,ct唯一确定了向量y。

因此,对于任意的向量y,可以得到:Ay = A(c1x1 + c2x2 + ··· + ctxt)= c1Ax1 + c2Ax2 + ··· + ctAxt= λ1c1x1 + λ2c2x2 + ··· + λtctxt由于{x1,x2,…,xt}是V的一组基,c1,c2,…,ct是唯一确定的,因此Ay也被唯一确定了。

线性代数中的特征值与特征向量

线性代数中的特征值与特征向量

线性代数中的特征值与特征向量特征值和特征向量是线性代数中的重要概念,广泛应用于物理、经济、计算机科学等领域。

本文将介绍特征值和特征向量的定义、性质以及其在矩阵对角化和特征分解中的应用。

一、特征值与特征向量的定义在线性代数中,给定一个 n×n 的矩阵 A,我们称零向量v≠0 是矩阵A 的特征向量,如果存在一个实数λ,使得Av=λv。

特征值λ 是使得上述等式成立的实数。

特征向量与特征值是成对出现的,每个特征向量都有一个对应的特征值。

二、特征值与特征向量的性质1. 特征值与特征向量的数目相等对于一个 n×n 的矩阵 A,它最多能有 n 个线性无关的特征向量。

而特征值也最多有n 个。

一个特征值可以对应多个线性无关的特征向量。

2. 特征向量的积性质如果 v 是 A 的特征向量,那么对于任意实数 c,cv 也是 A 的特征向量,且特征值保持不变。

3. 特征向量的加性质如果 v1 和 v2 是 A 的特征向量,对应相同的特征值λ,那么 v1+v2也是 A 的特征向量,对应特征值λ。

三、特征值与特征向量的计算要计算一个矩阵的特征值和特征向量,我们需要求解方程Av=λv。

1. 寻找特征值对于一个 n×n 的矩阵 A,我们需要求解行列式 |A-λI|=0 的根,其中I 是 n 阶单位矩阵。

这样可以得到 A 的特征值。

2. 寻找特征向量对于每个特征值λ,我们需要求解方程组 (A-λI)v=0,其中 v 是特征向量。

解这个齐次方程组可以得到 A 的特征向量。

四、特征值与特征向量的应用1. 矩阵对角化如果一个 n×n 的矩阵 A 有 n 个线性无关的特征向量,那么可以找到对角矩阵 D 和可逆矩阵 P,使得 P^{-1}AP=D。

对角矩阵 D 中的对角元素就是特征值,P 中的列向量就是对应的特征向量。

2. 特征分解对于一个对称矩阵 A(A=A^T),可以进行特征分解,表示为A=QΛQ^T,其中 Q 是由 A 的特征向量组成的正交矩阵,Λ 是对角矩阵,其对角元素是 A 的特征值。

线性代数中的特征值和特征向量

线性代数中的特征值和特征向量

线性代数中的特征值和特征向量线性代数是一门研究向量空间和线性变换的数学分支。

在其核心概念之一中,常常涉及到特征值和特征向量。

特征值和特征向量是在变换下保持方向的向量,这样的向量在研究中经常被用到,因为它们描述了变换对向量空间的作用。

在特征值及其对应的特征向量方面,我们可以从以下几个方面来展开:一、特征值和特征向量的定义特征值是指线性变换作用于某一向量时,其结果与这个向量的数量关系,这个数量关系可以用一个数值来表示,这个数值就称为这个向量在该变换下的特征值。

特征向量是一条非零向量,变换作用在这个向量上时,仅改变向量的长度,而不改变它的方向。

也就是说,这个向量在该变换下的方向不变,只是相应地拉伸或缩短了。

二、特征值和特征向量的计算方法在计算特征值和特征向量时,可以采用以下方法:1.求解对角矩阵对于n阶矩阵A,如果存在一个列向量X,使得AX=kX,其中k为一个数,则称k是矩阵A的一个特征值,而X称为A的对应于特征值k的特征向量。

而一个矩阵的特征值和特征向量可以通过求解其对角化矩阵得到。

2.求解特征多项式特征多项式是矩阵的特征值所满足的多项式方程,我们可以通过求解这个方程来求解矩阵的特征值和特征向量。

对于一个n阶方阵,其特征多项式是由其任意一行(列)对角线上各元素和行(列)号交织奇偶性给出。

三、特征值和特征向量在实际应用中的作用特征值和特征向量在实际应用中有着广泛的应用。

比如说,在图像处理中,我们可以采用特征向量的方法来实现图像的压缩和去噪;在机器学习中,我们可以采用特征值和特征向量的方法来实现数据的降维和特征选择。

另外,在计算机图形学、信号处理、量子力学和金融等领域中,特征值和特征向量也被广泛运用,它们帮助我们将复杂的问题转化成简单的数学运算,提高了问题的解决效率和精度。

总之,特征值和特征向量是线性代数中的重要概念,在实际应用当中发挥着不可替代的作用。

了解它们的定义、计算方法和应用,对于我们掌握基本的数学分析能力和工程应用能力是必不可少的。

特征值与特征向量矩阵特征值与特征向量的求解方法

特征值与特征向量矩阵特征值与特征向量的求解方法

特征值与特征向量矩阵特征值与特征向量的求解方法特征值和特征向量是线性代数中重要的概念,广泛应用于许多领域,如物理学、工程学和计算机科学等。

在本文中,我们将探讨特征值和特征向量的定义、求解方法及其在实际问题中的应用。

一、特征值与特征向量的定义特征值是一个矩阵所具有的与矩阵的线性变换性质有关的一个数值,特征向量是对应于特征值的非零向量。

对于一个n阶矩阵A,如果存在一个非零向量x和一个数λ,使得满足Ax=λx,那么λ就是矩阵A的一个特征值,x是对应于特征值λ的特征向量。

二、求解特征值与特征向量的方法有几种方法可以求解特征值和特征向量,其中比较常用的是特征多项式法和迭代法。

1. 特征多项式法特征多项式法是通过求解特征方程的根来得到特征值。

对于一个n阶矩阵A,其特征多项式定义为det(A-λI)=0,其中I是n阶单位矩阵,det表示行列式运算。

将特征多项式置为零,可以得到n个特征值λ1,λ2,...,λn。

将每个特征值代入原矩阵A-λI,解线性方程组(A-λI)x=0,就可以得到对应的特征向量。

2. 迭代法迭代法是通过不断迭代矩阵的特征向量逼近实际的特征向量。

常用的迭代方法包括幂法、反幂法和Rayleigh商迭代法。

幂法是通过不断迭代向量Ax的归一化来逼近特征向量,其基本原理是向量Ax趋近于特征向量。

反幂法是幂法的反向操作,通过求解(A-λI)y=x逼近特征向量y。

Rayleigh商迭代法是通过求解Rayleigh商的最大值来逼近特征向量,其中Rayleigh商定义为R(x)=x^T Ax/(x^T x),迭代公式为x(k+1)=(A-λ(k)I)^(-1)x(k),其中λ(k)为Rayleigh商的最大值。

三、特征值与特征向量的应用特征值与特征向量在实际问题中有广泛的应用。

其中,特征值可以用于判断矩阵是否可逆,当且仅当矩阵的所有特征值均不为零时,矩阵可逆。

特征向量可用于描述矩阵的稳定性和振动状态,如在结构工程中可以通过求解特征值和特征向量来分析物体的固有频率和振动模态。

矩阵特征值与特征向量

矩阵特征值与特征向量

矩阵特征值与特征向量在线性代数中,矩阵的特征值和特征向量是非常重要的概念。

它们在很多数学和工程领域都有广泛的应用。

本文将详细介绍矩阵特征值和特征向量的定义、性质以及计算方法。

一、特征值与特征向量的定义1. 特征值:对于一个n阶方阵A,如果存在一个非零向量X使得AX=kX,其中k为一个常数,那么k就是矩阵A的特征值。

我们可以把这个等式改写为(A-kI)X=0,其中I是单位矩阵。

这样,求解特征值就等价于求解矩阵(A-kI)的零空间。

2. 特征向量:特征向量是与特征值相对应的非零向量。

对于一个特征值k,其对应的特征向量X满足AX=kX。

二、特征值与特征向量的性质1. 特征值与特征向量是成对出现的,一个特征值对应一个特征向量。

2. 特征值的个数等于矩阵A的阶数。

特征值可以是实数或复数。

3. 特征向量可以乘以一个非零常数得到一个新的特征向量。

4. 如果矩阵A是实对称矩阵,那么其特征值一定是实数。

如果矩阵A是正定或负定矩阵,那么其特征值一定大于0或小于0。

5. 特征向量相互之间线性无关。

三、特征值与特征向量的计算方法1. 求特征值:求解特征值的常用方法是求解矩阵A的特征多项式的根。

特征多项式的形式为|A-kI|=0,其中|A-kI|表示矩阵A-kI的行列式。

2. 求特征向量:已知特征值k后,将k代入(A-kI)X=0即可得到特征向量。

可以使用高斯-约当消元法或者迭代法来求解。

四、矩阵特征值与特征向量的应用1. 特征值与特征向量广泛应用于机器学习和数据分析领域。

在主成分分析(PCA)中,我们可以通过计算数据的协方差矩阵的特征向量来实现数据降维和特征提取。

2. 特征值与特征向量也在图像处理和信号处理中有许多应用。

例如,在图像压缩算法中,我们可以利用矩阵的特征值和特征向量来实现图像的降噪和压缩。

3. 特征值和特征向量还可以应用于动力系统的稳定性分析。

通过求解动力系统的雅可比矩阵的特征值,我们可以判断系统的稳定性和临界点的类型。

特征值与特征向量的求解

特征值与特征向量的求解

特征值与特征向量的求解特征值和特征向量是线性代数中一对重要的概念,广泛应用于物理学、工程学和计算机科学等领域。

在本篇文章中,我们将深入探讨特征值和特征向量的定义、性质以及求解方法。

一、特征值与特征向量的定义在介绍特征值与特征向量的求解方法之前,我们先来了解它们的定义。

在一个n维向量空间V中,若存在一个n阶方阵A和一个非零向量X,使得下式成立:AX = λX其中,λ为标量,称为矩阵A的特征值;X为矩阵A的特征向量。

特征值与特征向量的求解方法有多种,下面将介绍其中两种常用的方法。

二、特征值与特征向量的求解方法1. 特征方程法特征方程法是求解特征值和特征向量的一种常用方法。

假设A是一个n阶方阵,我们的目标是求解它的特征值和特征向量。

首先,我们将上述特征方程AX = λX两边同时左乘一个单位矩阵I,得到:(A-λI)X = 0其中,I为n阶单位矩阵,0为n维零向量。

由于X为非零向量,所以矩阵(A-λI)必须是奇异矩阵,即其行列式为0:|A-λI| = 0这就是特征方程。

接下来,我们需要求解特征方程|A-λI| = 0的根λ,即矩阵A的特征值。

求解得到的特征值λ可以有重根。

然后,将每个特征值λ带入原特征方程(A-λI)X = 0,解得对应的特征向量X。

注意,对于每个不同的特征值,我们都可以对应多个特征向量。

通过特征方程法,我们可以求解出矩阵A的所有特征值和对应的特征向量。

2. 幂法幂法是求解矩阵特征值和特征向量的一种迭代方法,适用于大规模稀疏矩阵。

幂法的基本思想是:通过迭代将初始向量不断与矩阵A进行乘法运算,使得向量的模不断增大,趋向于对应最大特征值的特征向量。

具体做法是:1) 先选择一个非零向量X0作为初始向量。

2) 迭代计算X(k+1) = AX(k),其中k表示迭代次数。

3) 归一化向量X(k+1),即X(k+1) = X(k+1) / ||X(k+1)||,其中||X(k+1)||表示向量X(k+1)的模。

矩阵的特征值和特征向量的计算

矩阵的特征值和特征向量的计算

矩阵的特征值和特征向量的计算矩阵的特征值和特征向量是线性代数中比较重要的概念。

在机器学习、信号处理、图像处理等领域都有着广泛的应用。

本文将会介绍矩阵的特征值和特征向量的概念、意义以及计算方法。

一、特征值和特征向量的定义对于一个n阶方阵A,如果存在一个n维向量v和一个常数λ,使得下面的等式成立:Av=λv那么称λ为矩阵A的特征值,v为矩阵A的特征向量。

特征向量是非零向量,因为如果v为0向量,等式就无法成立。

另外,特征向量不唯一,如果v是A的特征向量,k是任意一个非零常数,那么kv也是A的特征向量。

但特征值是唯一的。

二、特征值和特征向量的意义矩阵的特征值和特征向量有着重要的物理和数学含义。

对于一个矩阵A,它的特征向量v和特征值λ描述的是矩阵A对向量v的作用和量变化。

当一个向量v与矩阵A相乘时,向量v的方向可能会发生变化,而特征向量v就是那些方向不变的向量,仅仅发生了缩放,这个缩放的倍数就是特征值λ。

也就是说,特征向量v在被矩阵A作用后仍保持了原来的方向,并且只发生了缩放。

从物理角度理解,矩阵的特征值和特征向量可以描述线性系统的固有特性。

在某些情况下,如机械振动、电路等自然界现象中,系统本身就带有某种特有的振动频率或固有响应。

而这些系统在一些特殊的情况下可以通过线性代数描述,正是因为它们具有特征值和特征向量。

三、特征值和特征向量的计算矩阵的特征值和特征向量可以通过求解特征方程来计算。

特征方程的形式为det(A-λI)=0,其中det(A-λI)表示A-λI的行列式,I是单位矩阵。

求解特征方程可以得到矩阵A的n个特征值λ1,λ2,…,λn。

接下来,针对每个特征值λi,都可以通过求解线性方程组(A-λiI)v=0来得到一个特征向量vi。

需要注意的是,一个矩阵的特征值和特征向量并不一定都能够求出来,只有在某些情况下才可以求出。

例如,对于一个非方阵,就不存在特征值和特征向量。

另外,如果矩阵的特征值出现重复,那么对应于这些特征值的特征向量可能无法确定,可以使用广义特征向量来处理。

特征值与特征向量定义与计算

特征值与特征向量定义与计算

特征值与特征向量特征值与特征向量的概念及其计算定义1. 设A是数域P上的一个n阶矩阵,l是一个未知量,称为A的特征多项式,记¦(l)=| lE-A|,是一个P上的关于 l的n次多项式,E是单位矩阵。

¦(l)=| lE-A|=l n+a1l n-1+…+a n= 0是一个n次代数方程,称为A的特征方程。

特征方程¦(l)=| lE-A|=0的根 (如:l0) 称为A的特征根(或特征值)。

n次代数方程在复数域内有且仅有n 个根,而在实数域内不一定有根,因此特征根的多少和有无,不仅与A有关,与数域P也有关。

以A的特征值 l0代入 (lE-A)X=q ,得方程组 (l0E-A)X=q,是一个齐次方程组,称为A的关于l0的特征方程组。

因为 |l0E-A|=0,(l0E-A)X=q 必存在非零解X(0),X(0) 称为A的属于 l0的特征向量。

所有l0的特征向量全体构成了l0的特征向量空间。

一.特征值与特征向量的求法对于矩阵A,由AX=l0X,l0EX=AX,得:[l0E-A]X=q 即齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是:即说明特征根是特征多项式 |l0E-A| =0的根,由代数基本定理有n个复根 l1, l2,…, l n,为A的n个特征根。

当特征根 l i(I=1,2,…,n)求出后,(l i E-A)X=q 是齐次方程,l i 均会使 |l i E-A|=0,(l i E-A)X=q 必存在非零解,且有无穷个解向量,(l i E-A)X=q 的基础解系以及基础解系的线性组合都是A的特征向量。

例1. 求矩阵的特征值与特征向量。

解:由特征方程解得A有2重特征值 l1=l2=-2,有单特征值 l3=4对于特征值 l1=l2=-2,解方程组 (-2E-A)x=q得同解方程组 x1-x2+x3=0解为x1=x2-x3 (x2,x3为自由未知量)分别令自由未知量得基础解系所以A的对应于特征值 l1=l2=-2的全部特征向量为x=k1x1+k2x2 (k1,k2不全为零)可见,特征值 l=-2的特征向量空间是二维的。

特征值与特征向量的概念性质及其求法

特征值与特征向量的概念性质及其求法

特征值与特征向量的概念性质及其求法特征值与特征向量是矩阵的一个重要特性,它们描述了矩阵在一些方向上的特殊性质。

特征值是一个标量,特征向量是一个向量。

特征值与特征向量的关系可以用方程表示:A*v=λ*v,其中A是一个矩阵,v是这个矩阵的特征向量,λ是对应的特征值。

换句话说,一个矩阵A作用在它的特征向量v上,结果是一个与v方向相同但大小为λ倍的新向量。

1.特征向量可以是零向量,但非零向量的特征向量被称为非零特征向量。

2.矩阵的特征值与特征向量是成对出现的,一个特征向量可以对应多个特征值,但一个特征值只能对应一个特征向量。

3.如果一个矩阵A的特征向量v对应的特征值λ,那么任意与v成比例的向量都是A的特征向量,且对应的特征值也是λ。

4.一个n×n的矩阵最多有n个特征值,即使重复的特征值,在进行特征值分解的时候也有对应的不同特征向量。

求解特征值与特征向量的方法有很多种,以下介绍两种常用的方法:1. 特征方程法:对于一个n×n的矩阵A,它的特征值可以通过求解特征方程 det(A−λI) = 0 来获得。

其中,λ表示特征值,I表示单位矩阵。

解特征方程得到的根即为特征值。

2. 幂迭代法:该方法适用于大型矩阵的求解。

假设矩阵A的最大特征值为λ1,对应的特征向量为x1、选取一个初始向量x0,通过迭代xk = A*xk−1,可以逼近特征向量x1、最终,通过归一化得到单位特征向量。

1.数据降维:在主成分分析(PCA)中,特征向量被用来定义新的特征空间,从而实现数据降维。

2.图像处理:特征值与特征向量被用来表示图像的特征,例如人脸识别中的特征向量。

3.振动分析:特征向量被用来描述物体的固有振动模式,通过求解特征值和特征向量,可以预测物体在不同频率下的振动表现。

总结来说,特征值和特征向量是矩阵的一个重要特性,它们描述了矩阵在一些方向上的特殊性质。

特征值与特征向量可以通过特征方程法和幂迭代法来求解。

在实际应用中,特征值与特征向量被广泛应用于数据降维、图像处理、振动分析等领域。

特征值与特征向量

特征值与特征向量

特征值与特征向量特征值和特征向量是线性代数中的重要概念,广泛应用于矩阵和向量的分析与计算。

它们在物理、工程、计算机科学等领域起到了至关重要的作用。

本文将介绍特征值和特征向量的定义、性质以及它们的应用。

一、特征值与特征向量的定义在矩阵理论中,我们定义了特征值和特征向量的概念。

给定一个n阶矩阵A,若存在一个非零向量x使得Ax=kx,其中k是一个标量,那么k就称为矩阵A的特征值,而x称为对应于特征值k的特征向量。

特征值和特征向量的定义可以表示为以下矩阵方程:Ax=kx。

这个方程可以进一步变形为(A-kI)x=0,其中I是n阶单位矩阵。

由于x是非零向量,所以(A-kI)必须是一个奇异矩阵,即它的行列式为0。

因此,我们可以通过求解(A-kI)的行列式为零的特征值,然后代入到(A-kI)x=0中,解出特征向量。

二、特征值与特征向量的性质特征值和特征向量有许多重要性质。

首先,特征值的个数等于矩阵的阶数。

其次,特征值可以是实数或复数。

对于实数矩阵,特征值可以是实数或复数共轭对。

对于复数矩阵,其特征值必定是复数。

特征向量也有一些重要性质。

首先,特征向量的长度可以为任意值,但是通常被归一化为单位向量。

其次,不同特征值所对应的特征向量是线性无关的。

最后,特征向量所张成的向量空间称为特征空间,特征空间的维度等于特征值的个数。

三、特征值与特征向量的应用特征值和特征向量在许多领域都有广泛的应用。

在物理学中,特征值和特征向量被用于描述量子力学中的态矢量和算子。

在工程学中,特征值和特征向量被用于结构动力学分析、振动模态分析等。

在图像处理和模式识别领域,特征值和特征向量被用于图像压缩、人脸识别等应用。

特征值和特征向量还有一些其他的应用。

在机器学习中,特征值和特征向量被用于降维算法,如主成分分析(PCA)。

在网络分析中,特征值和特征向量被用于识别网络中的重要节点。

在数值计算中,特征值和特征向量被用于求解线性方程组。

总之,特征值和特征向量是线性代数中的基本概念,为矩阵和向量的分析提供了有力的工具。

线性代数中特征值与特征向量

线性代数中特征值与特征向量

线性代数中特征值与特征向量特征值与特征向量是线性代数中重要的概念,它们在矩阵理论和线性变换中有着广泛的应用。

本文将针对特征值与特征向量展开探讨,介绍其定义、性质、计算方法以及在实际问题中的应用。

一、特征值与特征向量的定义在线性代数中,对于一个n阶方阵A,如果存在一个非零向量x,使得满足以下关系式:A*x = λ*x其中,λ为一个标量,则称λ为矩阵A的特征值,x为对应特征值的特征向量。

特征值与特征向量通常是成对出现的,即一个特征值对应一个特征向量。

特征值与特征向量的定义为我们理解矩阵的性质和行为提供了重要的数学工具。

二、特征值与特征向量的性质1. 特征值和特征向量的性质:(1)特征值与特征向量是成对出现的,一个特征值对应一个特征向量。

(2)特征值可以是复数,但特征向量通常是实数向量。

(3)特征向量的倍数仍为特征向量,即k倍的特征向量仍然是对应的特征向量。

(4)特征向量的长度可以为0,但特征向量不可能为零向量。

2. 特征值和特征向量的关系:(1)特征值和特征向量通过特征方程进行关联,特征方程的形式为:|A-λI| = 0,其中I为n阶单位矩阵。

(2)特征值是特征方程的解,即满足方程|A-λI| = 0的λ即为矩阵A的特征值。

(3)特征向量在特征值所对应的方程中,为非零解。

通过以上性质我们可以发现,特征值与特征向量是矩阵的固有属性,它们具有重要的几何和物理意义,对于理解矩阵的本质和行为起着关键作用。

三、特征值与特征向量的计算方法计算特征值和特征向量是矩阵分析的关键步骤。

常用的计算方法有以下几种:1. 特征值与特征向量的直接计算:对于某些特殊的矩阵,如对角矩阵和上(下)三角矩阵,可以直接通过观察矩阵的对角元素或三角形式,得到特征值和特征向量。

2. 特征值与特征向量的求解算法:本征值问题是一个广义特征值问题,其计算方法较为复杂。

常见的求解算法有幂迭代法、Jacobi迭代法、QR方法等。

这些算法通过迭代过程逼近特征值和特征向量。

特征值与特征向量的计算

特征值与特征向量的计算

特征值与特征向量的计算特征值和特征向量是线性代数中的重要概念,广泛应用于各个领域的数学和工程问题中。

它们的计算方法也是学习线性代数的基础知识之一。

本文将介绍特征值与特征向量的概念以及计算方法。

一、特征值与特征向量的定义在矩阵的运算中,特征值和特征向量是由方阵产生的重要结果。

对于一个方阵A,当存在一个非零向量v使得满足以下等式时:Av = λv其中,λ为标量,称为特征值,而v称为矩阵A对应于λ的特征向量。

特征值和特征向量的计算可以帮助我们理解矩阵的性质,比如矩阵的对角化、矩阵的相似性等。

二、特征值与特征向量的计算方法1. 通过特征方程求解要计算一个矩阵的特征值和特征向量,最常见的方法是通过特征方程求解。

对于一个n阶方阵A,其特征值求解的步骤如下:a) 计算矩阵A与单位矩阵的差值A-λI,其中λ为待求的特征值,I 为n阶单位矩阵。

b) 解特征方程|A-λI|=0,求得特征值λ。

c) 将求得的特征值代入方程A-λI=0,解出特征向量v。

2. 使用特征值分解方法特征值分解是另一种计算特征值和特征向量的方法,适用于对角化矩阵。

对于对角化矩阵A,其特征值分解的步骤如下:a) 求解A的特征值λ和对应的特征向量v。

b) 将特征向量v按列组成矩阵P。

c) 求解对角矩阵D,其中D的对角线元素为特征值。

d) 根据A=PDP^-1,将计算得到的矩阵P和D代入,求解出矩阵A。

三、特征值与特征向量的应用特征值与特征向量的计算方法在实际应用中具有广泛的应用,以下是几个常见的应用场景:1. 机器学习中的主成分分析(PCA)主成分分析是一种常用的降维技术,通过特征值与特征向量的计算可以实现数据降维和分析。

2. 物理学中的量子力学量子力学中,量子态可由特征向量表示,相应的能量则为特征值,通过求解特征值和特征向量,可以揭示微观粒子的性质。

3. 图像处理中的特征提取在图像处理的过程中,通过计算图像的特征值和特征向量,可以提取出图像的关键信息,用于图像识别、分类等任务。

特征值与特征向量定义与计算

特征值与特征向量定义与计算

特征值与特征向量定义与计算特征值(eigenvalue)是指对于一个n阶方阵A,如果存在非零向量x使得Ax=kx,其中k是一个常数,那么k被称为A的特征值,x被称为对应于特征值k的特征向量(eigenvector)。

特征向量是非零向量x,特征向量关于特征值的命名较为模糊,如eigenvector(特征向量)和characteristic vector(特征向量)是指同一概念。

一般通过选取适当的非零向量,使得线性变换矩阵作用于该向量后,只改变向量的长度而不改变方向。

1.对于给定的n阶矩阵A,求解其特征方程。

特征方程的形式为,A-λI,=0,其中λ是待求特征值,I是单位矩阵。

求解特征方程可以得到n个特征值。

2.对于每个特征值λ,求解特征方程(A-λI)x=0,其中x是特征向量。

这是一个线性方程组,通过高斯消元法或其他方法求解,可以得到特征向量。

特征值和特征向量之间的关系可以通过下面的等式描述:Ax=λx。

即矩阵A作用于特征向量x后,结果是特征值λ与特征向量的乘积。

特征向量与特征值的性质:1.对于n阶矩阵A,最多有n个线性无关的特征向量。

2. 特征向量可以通过线性组合得到,即如果x1和x2是矩阵A对应于特征值λ的特征向量,则任意实数a、b,ax1+bx2仍然是对应于特征值λ的特征向量。

3.一个矩阵的不同特征值对应的特征向量是线性无关的。

特征值和特征向量的应用:1.特征值和特征向量在信号处理中常用于图像压缩和模式识别等领域。

2.特征值和特征向量可以用于求解矩阵的指数、对角化、独立性等问题。

3.特征向量可以用于判断矩阵或线性变换的性质,如对称矩阵的特征向量必然正交。

总结:特征值和特征向量是矩阵和线性变换的重要特性,它们可以用于求解矩阵的乘法、对角化、矩阵方程等问题。

特征值和特征向量具有一些重要的性质,如线性无关性、正交性等。

特征值和特征向量在计算机科学、物理、工程和其他领域中有广泛的应用。

特征值与特征向量的概念与计算

特征值与特征向量的概念与计算

1 ( 1, 1, 0, , 0)T , 基础解系为:
x1 x 2 x n
,, 1) . ( 1 0, 0,
1对应的特征向量: k1 1 k 2 2 k n1 n1 ( k i 不全为零)
22
2 ( 1, 0, 1, , 0)T ,
a a
0 0 0

n 1
( na ) 0
1 0 ( n 1重), 2 na .
21
1 0 ( n 1重),
1 I AX 0, 即
1 1 1 a a a a a a 0 0 0 1 I A 0 0 0 a a a
4
定义 设A是n阶方阵,
若存在数 和n维非零列向量 ,使得 A 成立,
则称 是方阵A的一个特征值,
是方阵A的对应于特征值 的一个特征向量.
3 1 1 1 1 例 A 1 3 , 1 , 1 , 0 . 4 3 2 A 2 , A 4 , A k . 4 2 1 2, 4是A的特征值 , 2, , , 分别是A对应于特征值 4 的特征向量
3 A 1
1 1 1 1 , , , . 3 1 1 0 4 1 A 4 4 , 4 1
2 1 A 2 2 , 2 1 3 A k . 1
系数矩阵
3 1 0 1 0 0 2 I A 4 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 自由未知量 x3 0 p1 0 令 x3 1得基础解系 1
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特征值与特征向量
特征值与特征向量的概念及其计算
定义1. 设A是数域P上的一个n阶矩阵,λ是一个未知量,
称为A的特征多项式,记ƒ(λ)=| λE-A|,是一个P上的关于λ
的n次多项式,E是单位矩阵。

ƒ(λ)=| λE-A|=λn+α1λn-1+…+αn= 0是一个n次代数方程,称为A 的特征方程。

特征方程ƒ(λ)=| λE-A|=0的根(如:λ0) 称为A的特征根(或特征值)。

n次代数方程在复数域有且仅有n 个根,而在实数域不一定有根,因此特征根的多少和有无,不仅与A有关,与数域P也有关。

以A的特征值λ0代入(λE-A)X=θ,得方程组(λ0E-A)X=θ,是一个齐次方程组,称为A的关于λ0的特征方程组。

因为
|λ0E-A|=0,(λ0E-A)X=θ必存在非零解X(0),X(0) 称为A的属于λ0的特征向量。

所有λ0的特征向量全体构成了λ0的特征向量空间。

一.特征值与特征向量的求法
对于矩阵A,由AX=λ0X,λ0EX=AX,得:
[λ0E-A]X=θ即齐次线性方程组
有非零解的充分必要条件是:
即说明特征根是特征多项式|λ0E-A| =0的根,由代数基本定理
有n个复根λ1, λ2,…, λn,为A的n个特征根。

当特征根λi (I=1,2,…,n)求出后,(λi E-A)X=θ是齐次方程,λi均会使|λi E-A|=0,(λi E-A)X=θ必存在非零解,且有无穷个解向量,(λi E-A)X=θ的基础解系以及基础解系的线性组合都是A的特征向量。

例1. 求矩阵的特征值与特征向量。

解:由特征方程
解得A有2重特征值λ1=λ2=-2,有单特征值λ3=4
对于特征值λ1=λ2=-2,解方程组(-2E-A)x=θ
得同解方程组x1-x2+x3=0
解为x1=x2-x3 (x2,x3为自由未知量)
分别令自由未知量
得基础解系
所以A的对应于特征值λ1=λ2=-2的全部特征向量为
x=k1ξ1+k2ξ2 (k1,k2不全为零)
可见,特征值λ=-2的特征向量空间是二维的。

注意,特征值在重根时,特征向量空间的维数≤特征根的重数。

对于特征值λ3=4,方程组(4E-A)x=θ
得同解方程组为
通解为
令自由未知量x3=2 得基础解系
所以A的对于特征值λ3=4 得全部特征向量为x= k3 ξ3例2.求矩阵的特征值与特征向量解:由特征方程
解得A有单特征值λ1=1,有2重特征值λ2=λ3=0
对于λ1=1,解方程组(E-A) x = θ
得同解方程组为
同解为
令自由未知量x3=1,得基础解系
所以A的对应于特征值λ1=1的全部特征向量为x=k1ξ1 (k1≠0)
对于特征值λ2=λ3=0,解方程组(0E-A)=θ
得同解方程组为
通解为
令自由未知量x3=1,得基础解系
此处,二重根λ=0 的特征向量空间是一维的,特征向量空间的维数<特征根的重数,这种情况下,矩阵A是亏损的。

所以A的对应于特征值λ2=λ3=0 得全部特征向量为x=k2ξ3
例3.矩阵的特征值与特征向量
解:由特征方程
解得A的特征值为λ1=1, λ2=i, λ3=-i
对于特征值λ1=1,解方程组(E-A)=θ,由
得通解为
令自由未知量x1=1,得基础解系ξ1=(1,0,0)T,所以A的对应于特征值λ1=1得全部特征向量为x=k1ξ1
对于特征值λ2=i,解方程组(iE-A)=θ
得同解方程组为
通解为
令自由未知量x3=1,得基础解系ξ2=(0,i,1)T,所以A对应于特征值λ2=1的全部特征向量为x=k2ξ2 (k2≠0)。

对于特征值λ3=-i,解方程组(-E-A)x=θ,由
得同解方程组为
通解为
令自由未知量x3=1,,得基础解系ξ3=(0,-i,1)T,所以A的对应于λ3=-i的全部特征向量为x=k3ξ3。

特征根为复数时,特征向量的分量也有复数出现。

特征向量只能属于一个特征值。

而特征值λi的特征向量却有无穷多个,他们都是齐次线性方程组(λi E-A)x=θ的非0解。

其中,方程组(λi E-A)x=θ的基础解系就是属于特征值λi的线性无关的特征向量。

性质1. n阶方阵A=(a ij)的所有特征根为λ1,λ2,…, λn(包括重根),则
证第二个式子:
由伟达定理,λ1λ2…λn=(-1)nαn
又|λE-A|=λn+α1λn -1+…+αn-1λ1+αn中用λ=0 代入二边,得:|-A|=αn,而|A|=(-1)nαn= λ1λ2…λn,
性质2. 若λ是可逆阵A的一个特征根,x为对应的特征向量,则是A-1的一个特征根,x仍为对应的特征向量。

证:
可见是A-1的一个特征根。

其中λ≠0,这是因为0不会为可逆阵的特征根,不然,若λi=0, |A|= λ1λ2…λn=0,A奇异,与A可逆矛盾。

性质3. 若λ是方阵A的一个特征根,x为对应的特征向量,则
λm是A m的一个特征根,x仍为对应的特征向量。

. . . .
证:1) Ax=λx,二边左乘A,得:A2x=Aλx=λAx=λλx=λ2x,可见λ2 是A2 的特征根;
2) 若λm 是A m 的一个特征根,A m x= λm x,
二边左乘A,得:A m+1x=AA m x=Aλm x=λm Ax=λmλx=λm+1x,
得λm+1是A m+1的特征根
用归纳法证明了λm 是A m 的一个特征根。

性质4. 设λ1,λ2,…, λm是方阵A的互不相同的特征值。

x j是属于λi的特征向量( i=1,2,…,m),则x1,x2,…,x m线性无关,即不相同特征值的特征向量线性无关。

性质4给出了属于不相同特征值的特征向量之间的关系,因而是一个很重要的结论。

性质4可推广为:设λ1,λ2,…, λm为方阵A的互不相同的特征值,x11,x12,…,x1,k1是属于λ1的线性无关特征向量,……,
x m1,x m2,…,x m,k1是属于λm 的线性无关特征向量。

则向量组
x11,x12,…,x1,k1,…, x m1,x m2,…,x m,k1也是线性无关的。

即对于互不相同特征值,取他们各自的线性无关的特征向量,则把这些特征向量合在一起的向量组仍是线性无关的。

. . . .。

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