中考数学专题目讲座开放问题目
中考数学复习专题讲座 第二讲 开放性问题
第二讲 开放性问题一．知识网络梳理教育部于1999、接连印发的《关于初中毕业、升学考试改革的指导意见》中明确要求，数学试题应设计一定的“开放性问题”．此后，开放型试题成为各地中考的必考试题．所谓的开放型试题是指那些条件不完整，结论不确定的数学问题，常见的类型有条件观察、比较、分析、综合、抽象、概括和必要的逻辑思想去得出结论，对激发学习兴趣、培养想像、扩散、概括、隐喻等水平思维能力的探索创新能力十分有利，是今后中考的必考的题型．开放型试题重在开发思维，促进创新，提高数学素养，所以是近几年中考试题的热点考题．观察、实验、猜想、论证是科学思维方法，是思维能力新添的内容，学习中应重视并应用．开放题是中考题多样化和时代发展要求的产物，单一的题型和测试目标限制了考生应用知识解决实际问题的能力，不利于激发学生的创造性．开放性试题能为考生提供更大的考虑问题的空间，在解题途径方面也是多样的，这样的试题是十分有利于考生发挥水平的，也有利于考生创新意识的培养．开放题的特征很多，如条件的不确定性，它是开放题的前提；结构的多样性，它是开放题的目标；思维的多向性，它是开放题的实质；解答的层次性，它是开放题的表象；过程的探究性，它是开放题的途径；知识的综合性，它是开放题的深化；情景的模拟性，它是开放题的实践；内涵的发展性，它是开放题的认识．过程开放或结论开放的问题能形成考生积极探究问题情景，鼓励学生多角度、多侧面、多层次地思考问题，有助于充分调动学生的潜在能力．题型1条件开放与探索条件开放探索题的明确特征是缺少确定的条件，问题所需补充的条件不是得出结论的必要条件，所需补充的条件不能由结论推出． 题型2结论开放与探索给出问题的条件，让解题者根据条件探索相应的结论，并且符合条件的结论往往呈现多样性，或者相应的结论的“存在性”需要解题者进行推断，甚至要求解题者探求条件在变化中的结论，这些问题都是结论开放性问题．它要求解题者充分利用条件进行大胆而合理的猜想，发现规律，得出结论，这类题主要考查解题者的发散性思维和所学基本知识的应用能力．题型3解题方法的开放与探索 策略开放性问题，一般指解题方法不惟一或解题途径不明确的问题，这类问题要求解题者不墨守成规，善于标新立异，积极发散思维，优化解题方案和过程． 二、知识运用举例 （一）条件开放例1.(04苏州) 已知（x 1，y 1），(x 2，y 2)为反比例函数图象上的点，当x 1＜x 2＜0时，y 1＜y 2，则k 的一个值可为___________（只需写出符号条件的一个．．k 的值）解： 答案不唯一，只要符合k ＜0即可，如k ＝ —1，或k ＝ —2……．例2.(05深圳市) 如图，已知，在△ABC 和△DCB 中，AC ＝DB ，若不增加任何字母与辅助线，要使△ABC ≌△DCB ，则还需增加一个条件是__．xky例2图解：答案不惟一.如：AB ＝DC ；∠ACB ＝∠DBC ；∠A ＝∠D ＝Rt ∠…．例3（07南京市）已知点位于第二象限，并且，为整数，写出一．个．符合上述条件的点的坐标： ．答：，，，，，六个中任意写出一个即可例4（05梅州）如图，四边形ABCD 是矩形，O 是它的中心，E 、F 是对角线AC 上的点．（1）如果__________ ，则ΔDEC ≌ΔBFA （请你填上能使结论成立的一个条件）； （2）证明你的结论．分析：这是一道探索条件、补充条件的开放型试题，解决这类问题的方法是假设结论成立，逐步探索其成立的条件．解：（1）AE ＝CF （OE ＝OF ；DE ⊥AC ；BF ⊥AC ；DE ∥BF 等等） （2）∵四边形ABCD 是矩形，∴AB ＝CD ，AB ∥CD ，∠DCE ＝∠BAF又∵AE ＝CF ，∴AC －AE ＝AC －CF ，∴AF ＝CE ，∴ΔDEC ≌ΔBAF说明：考查了矩形的性质及三角形全等的判定．例5（06泰州市）已知：∠MAN ＝30°，O 为边AN 上一点，以O 为圆心，2为半径作⊙O ，交AN 于D ，E 两点，设AD ＝x ． （1）如图（1）当相切；（2）如图（2）当相交于B ，C 两点，且∠BOC ＝90°．【解答】（1）在图（1）中，当⊙O 与AM 相切时，设切点为F ．连结OF ，则OF ⊥AM ，•∵在Rt △AOF 中，∠MAN ＝30°，∴OF ＝OA ．∴2＝（x ＋2），∴x ＝2， ∴当相切．（2）•在图（2）中，过点O 作OH ⊥BC 于H ．当∠BOC ＝90°时，△BOC 是等腰直角三角形，∴BC＝，()P x y ，4y x +≤x y ，P (13)-，(12)-，(11)-，(21)-，(22)-，(31)-，1212= D B O∵OH ⊥BC ，∴BH ＝CH ，∴OH ＝BC． 在Rt △AHO 中，∠A ＝30°，∴OH ＝OA（x ＋2），∴x ＝－2． ∴当x ＝－2时，⊙O 与AM 相交于B ，C 两点，且∠BOC ＝90°．【点评】解答这类问题往往是把结论反过来当条件用，本例利用了圆的切线性质和垂径定理，构造特殊直角三角形，使问题得以求解．（二）、结论开放 例1（05湖南湘潭）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC ，D 为垂足．由以上两个条件可得________．(写出一个结论) 解：∠1＝∠2或BD ＝DC 或△ABD ≌△ACD 等．例2（04徐州）如图，◎Ol 与◎O 2相交于点A 、B ，顺次连结0l 、A 、02、B 四点，得四边形01A 02B ．（1）根据我们学习矩形、菱形、正方形性质时所获得的经验，探求图中的四边形有哪 些性质?(用文字语言写出4条性质)性质1．________________________________；性质2．________________________________； 性质3．________________________________； 性质4．________________________________．（2）设◎O 1的半径为尺，◎O 2的半径为r (R ＞r )，0l ，02的距离为d ．当d 变化时， 四边形01A 02B 的形状也会发生变化．要使四边形01A 02B 是凸四边形(把四边 形的任一边向两方延长，其他各边都在延长所得直线同一旁的四边形)．则d 的取 值范围是____________________________ 解：（1）是开放性问题，答案有许多，如： 性质1：相交两圆连心线垂直公共弦； 性质2：相交两圆连心线平分公共弦； 性质3：线段01A ＝线段01B ； 性质4：线段02B ＝线段02A ； 性质5：∠01A 02＝∠01B 02； 等等．（2）实质是相交两圆的d 与R ＋r 的关系，应为R —r ＜d ＜R ＋r ．例3（06莆田市）已知矩形ABCD 和点P ，当点P 在边BC 上任一位置（•如图①所示）时，易证得结论：PA 2＋PC 2＝PB 2＋PD 2，请你探究：当P •点分别在图②、•图③中的位置时，12121221D CB APA 2、PB 2、PC 2和PD 2又有怎样的数量关系？请你写出对上述两种情况的探究结论，•并利用图②证明你的结论．答：对图②的探究结论为__________．对图③的探究结论为_________．证明：如图2．结论均是：PA 2＋PC 2＝PB 2＋PD 2．证明：如图②过点P 作MN ⊥AD 交AD 于点M ，交BC 于点N ． ∵AD ∥BC ，MN ⊥AD ，∴MN ⊥BC 在Rt △AMP 中，PA 2＝PM 2＋MA 2 在Rt △BNP 中，PB 2＝PN 2＋BN 2 在Rt △DMP 中，PD 2＝DM 2＋PM 2 在Rt △CNP 中，PC 2＝PN 2＋NC 2 ∴PA 2＋PC 2＝PM 2＋MA 2＋PN 2＋NC 2 PB 2＋PD 2＝PM 2＋DM 2＋BN 2＋PN 2 ∵MN ⊥AD ，MN ⊥NC ，DC ⊥BC ． ∴四边形MNCD 是矩形． ∴MD ＝NC ． 同理 AM ＝BN ．∴PM 2＋MA 2＋PN 2＋NC 2＝PM 2＋DM 2＋BN 2＋PN 2． 即PA 2＋PC 2＝PB 2＋PD 2．【评析】本题也是一道结论开放题，通过阅读题目已知条件及要求，不难探究出正确结论，但是说明理由时，有一定的难度．正确作出辅助线，创造使用勾股的条件，是解决问题的关键．（三）、综合开放例1（05宁波）如图，△ABC 中，AB ＝AC ，过点A 作GE ∥BC ，角平分线BD 、CF 相交于点H ，它们的延长线分别交GE 于点E 、G .试在图中找出3对全等三角形，并对其中一对全等三角形给出证明．解：△BCF ≌△CBD . △BHF ≌△CHD . △BDA ≌△CFA . (注意答案不唯一) 证明△BCF ≌△CBD ．∵AB ＝AC . ∴∠ABC ＝∠ACB . － ∵BD 、CF 是角平分线. ∴∠BCF ＝∠ACB ，∠CBD ＝∠ABC ． ∴∠BCF ＝∠CBD . 又BC ＝CB . ∴△BCF ≌△CBD ．2121A DH F E G B C例2（05江西省）已知抛物线与轴的交点为A 、B （B 在A 的右边），与轴的交点为C ．（1）写出时与抛物线有关的三个正确结论；（2）当点B 在原点的右边，点C 在原点的下方时，是否存在△BOC 为等腰三角形的情形?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；解：当m ＝1时，抛物线解析式为y ＝－＋1，可从对称轴、顶点坐标、开口方向、最值、增减性等多方面去写出许多正确结论，任写三个就可；（2）存在．m ＝2；（3）是结论开放题，答案有许多，如：抛物线y ＝－＋1与x 轴总有交点，顶点纵坐标为1或函数最大值为1等．例3（07福州市）如图9，直线，连结，直线及线段把平面分成①、②、③、④四个部分，规定：线上各点不属于任何部分．当动点落在某个部分时，连结，构成，，三个角．（提示：有公共端点的两条重合的射线所组成的角是角．）（1）当动点落在第①部分时，求证：；（2）当动点落在第②部分时，是否成立（直接回答成立或不成立）？（3）当动点在第③部分时，全面探究，，之间的关系，并写出动点的具体位置和相应的结论．选择其中一种结论加以证明．解：（1）解法一：如图9－1 延长BP 交直线AC 于点E∵ AC ∥BD ， ∴ ∠PEA ＝ ∠PBD ． ∵ ∠APB ＝ ∠PAE ＋ ∠PEA ， ∴ ∠APB ＝ ∠PAC ＋ ∠PBD ．1)(2+--=m x y x y 1=m m )1(2-x )(2m x -AC BD ∥AB AC BD ，AB P PA PB ，PAC ∠APB ∠PBD ∠0P APB PAC PBD ∠=∠+∠P APB PAC PBD ∠=∠+∠P PAC ∠APB ∠PBD ∠P ABCD①②③ ABCD P① ②③ ④ABCD ① ②③ ④ 图9④解法二：如图9－2过点P作FP∥AC ，∴∠PAC ＝∠APF .∵AC∥BD，∴FP∥BD .∴∠FPB ＝∠PBD .∴∠APB＝∠APF＋∠FPB＝∠PAC ＋∠PBD．解法三：如图9－3，∵AC∥BD，∴∠CAB ＋∠ABD ＝180°即∠PAC ＋∠PAB ＋∠PBA ＋∠PBD ＝180°．又∠APB ＋∠PBA＋∠PAB＝180°，∴∠APB＝∠PAC ＋∠PBD .（2）不成立.（3）(a)当动点P在射线BA的右侧时，结论是∠PBD＝∠PAC＋∠APB ．(b)当动点P在射线BA上，结论是∠PBD ＝∠PAC ＋∠APB ．或∠PAC ＝∠PBD＋∠APB 或∠APB ＝0°，∠PAC＝∠PBD（任写一个即可）．(c) 当动点P在射线BA的左侧时，结论是∠PAC＝∠APB＋∠PBD．选择(a) 证明：如图9－4，连接PA，连接PB交AC于M∵AC∥BD ，∴∠PMC ＝∠PBD ．又∵∠PMC ＝∠PAM ＋∠APM ，∴∠PBD ＝∠PAC ＋∠APB ．选择(b) 证明：如图9－5∵点P在射线BA上，∴∠APB＝0°．∵AC∥BD，∴∠PBD＝∠PAC．∴∠PBD＝∠PAC＋∠APB或∠PAC＝∠PBD＋∠APB或∠APB ＝0°，∠PAC＝∠PBD.选择(c) 证明：如图9－6，连接PA，连接PB交AC于F∵AC∥BD，∴∠PFA ＝∠PBD ．∵∠PAC ＝∠APF ＋∠PFA，∴∠PAC＝∠APB＋∠PBD ．三、知识巩固训练 1（05十堰）代数式的三个实际意义是：_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________2（05荆门市）多项式x 2＋px ＋12可分解为两个一次因式的积，整数p 的值是＿＿＿＿＿（写出一个即可）3（05常德）请写出一个开口向上，对称轴为直线x ＝2，且与y 轴的交点坐标为(0，3)的抛物线的解析式___________________________．4（05绍兴市）平移抛物线，使它经过原点，写出平移后抛物线的一个解析式____________________5（05海安）请给出一元二次方程________＝0的一个常数项，使这个方程有两个不相等的实数根．6（05资阳）已知a ＝sin 60°，b ＝cos 45°，c ＝，d，从a 、b 、c 、d 这4个数中任意选取3个数求和；7（05资阳）甲、乙两同学开展“投球进筐”比赛，双方约定：① 比赛分6局进行，每局在指定区域内将球投向筐中，只要投进一次后该局便结束；② 若一次未进可再投第二次，以此类推，但每局最多只能投8次，若8次投球都未进，该局也结束；③ 计分规则如下：a . 得分为正数或0；b . 若8次都未投进，该局得分为0；c . 投球次数越多，得分越低；d . 6局比赛的总得分高者获胜 ．（1） 设某局比赛第n (n ＝1，2，3，4，5，6，7，8)次将球投进，请你按上述约定，用公式、表格或语言叙述等方式，为甲、乙两位同学制定一个把n 换算为得分M 的计分方案；（2） 若两人6局比赛的投球情况如下(其中的数字表示该局比赛进球时的投球次数，“×”表示该局比赛8次投球都未进)：根据上述计分规则和你制定的计分方案，确定两人谁在这次比赛中获胜．8. （山东省）如图，△ABC 中，D 、E 分别是AC 、AB 上的点，BD 与CE 交于点O ．给出下列三个条件：①∠EBO ＝∠DCO ；②∠BEO ＝∠CDO ；③BE ＝CD ． （1）上述三个条件中，哪两个条件．．．．可判定△ABC 是等腰三角形（用序号写出所有情形）； （2）选择第（1）小题中的一种情形，证明△ABC 是等腰三角形．22(0)m n m n ->>228y x x =+-28x x -+11()2-9（绵阳市）在正方形ABCD 中，点P 是CD 上一动点，连结PA ，分别过点B 、D 作BE ⊥PA 、DF ⊥PA ，垂足分别为E 、F ，如图①．（1）请探索BE 、DF 、EF 这三条线段长度具有怎样的数量关系．若点P 在DC •的延长线上（如图②），那么这三条线段的长度之间又具有怎样的数量关系？若点P 在CD •的延长线上呢（如图③）？请分别直接写出结论；（2）请在（1）中的三个结论中选择一个加以证明．10（07甘肃省白银等7市新课程）探究下表中的奥秘，并完成填空：一元二次方程 两个根 二次三项式因式分解 x 2－2x ＋1＝0 x 1＝1 ， x 2＝1 x 2－2x ＋1＝（x －1）（x －1） x 2－3x ＋2＝0 x 1＝1 ， x 2＝2x 2－3x ＋2＝（x －1）（x －2）3x 2＋x －2＝0 x 1＝， x 2＝－1 3x 2＋x －2＝2（x －）（x ＋1） 2x 2＋5x ＋2＝0 x 1＝－， x 2＝－22x 2＋5x ＋2＝2（x ＋）（x ＋2）4x 2＋13x ＋3＝0x 1＝_____， x 2＝_____4x 2＋13x ＋3＝4（x ＋_____）（x ＋_____）将你发现的结论一般化，并写出来．11（07甘肃省陇南市）在平面几何中，我们可以证明：周长一定的多边形中，正多边形面积最大．使用上面的事实，解答下面的问题：用长度分别为2、3、4、5、6（单位：cm ）的五根木棒围成一个三角形（允许连接，但不允许折断），求能够围成的三角形的最大面积．12（07安徽省）按右图所示的流程，输入一个数据x ，根据y 与x 的关系式就输出一个数据y ，这样可以将一组数据变换成另一组新的数据，要使任意一组都在20～100（含20和100）之间的数据，变换成一组新数据后能满足下列两个要求：（Ⅰ）新数据都在60～100（含60和100）之间； （Ⅱ）新数据之间的大小关系与原数据之间的大小关系一致，即原数据大的对应的新数据也较大．（1）若y 与x 的关系是y ＝x ＋p (100－x )，请说明：当p ＝时，这种变换满足上述两个要求； 【解】（2）若按关系式y ＝a (x －h )2＋k (a ＞0)将数据进行变换，请写出一个满足上述要求的这种关系式．（不要求对关系式符合题意作说明，但要写出关系式得出的主要过程） 【解】2323121212四、知识巩固训练答案：1．、（长：m ＋n 、宽m －n ）；摩托车每辆m 元，自行车每辆ns s 大正小正s 矩形元，m 辆摩托车比n 辆自行车贵多少钱；2．±7，±8，±13（写出其中一个即可）； 3．y ＝(x －2)2＋3等； 4．y ＝＋2x 等；5．12(答案不唯一)； 6．a ＋b ＋c ＝， a ＋b ＋d ＝a ＋c ＋d ＝b ＋c ＋d7．（1(用公式或语言表述正确，同样给分.)（2） 根据以上方案计算得6局比赛，甲共得24分，乙共得分23分， 所以甲在这次比赛中获胜． 8.答案不惟一，符合题意即可9．（1）①BE ＝DF ＋EF ，②BE ＝DF －EF ，③EF ＝BE ＋DF ． （2）•证明略． 10．填空：，3；4x 2＋13x ＋3＝4(x ＋)(x ＋3)． 发现的一般结论为：若一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根为x 1、x 2，则ax 2＋bx ＋c ＝a （x x 1）（x ）的三角形中，以正三角形的面积最大． 取三边尽量接近，使围成的三角形尽量接近正三角形，则面积最大． 此时，三边为6、5＋2、4＋3，这是一个等腰三角形． 可求得其最大面积为12．（1）当P ＝时，y ＝x ＋，即y ＝． ∴y 随着x 的增大而增大，即P ＝时，满足条件（Ⅱ）又当x ＝20时，y ＝＝100．而原数据都在20～100之间，所以新数据都在60～100之间，即满足条件（Ⅰ），综上可知，当P ＝时，这种变换满足要求；（2）本题是开放性问题，答案不唯一．若所给出的关系式满足：（a ）h ≤20；（b ）若，n 能落在60～100之间，则这样的关系式都符合要求． 如取h ＝20，y ＝，∵a ＞0，∴当20≤x ≤100时，y 随着x 的增大令x ＝20，y ＝60，得k ＝60 ① 令x ＝100，y ＝100，得a ×802＋k ＝100 ②x2-14-14--12()11002x -1502x +121100502⨯+12()220a x k -+第11页 共11页 由①②解得， ∴．116060a k ⎧=⎪⎨⎪=⎩()212060160y x =-+。
中考数学复习50个知识点专题专练：41 开放型问题
中考数学50个知识点专练41 开放型问题一、选择题1．(2011·兰州)如图所示的二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象中，刘星同学观察得出了下面四条信息：(1)b2－4ac>0；(2)c>1；(3)2a－b<0；(4)a＋b＋c<0.你认为其中错误．．的个数有()A．2个B．3个C．4个D．1个2．(2010·南通)在平面直角坐标系xOy中，已知点P(2,2)，点Q在y轴上，△PQO是等腰三角形，则满足条件的点Q共有()A．5个B．4个C．3个D．2个3．(2009·沈阳)如图，AC是矩形ABCD的对角线，E是边BC延长线上一点，AE与CD 交于点F，则图中相似三角形共有()A．2对B．3对C．4对D．5对4．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CD⊥AB，DE∥BC，则图中与△ABC相似的三角形的个数为()A．4个B．3个C．2个D．1个5．在等腰△ABC中，AB＝AC，中线BD将这个三角形的周长分为15和12两个部分，则这个等腰三角形的底边是()A．7 B．11C．7或11 D．7或10二、填空题6．(2011·邵阳)请写出一个解为x＝2的一元一次方程：__________________.7．(2010·毕节)请写出含有字母x、y的五次单项式____________(只要求写一个)．8．如图所示，E、F是矩形ABCD对角线AC上的两点，试添加一个条件：______________，使得△ADF ≌△CBE .9．(2009·白银)如图，四边形ABCD 是平行四边形，使它为矩形的条件可以是______________．10．(2010·益阳)如图，反比例函数y ＝kx的图象位于第一、三象限，其中第一象限内的图象经过点A (1,2)，请在第三象限内的图象上找一个你喜欢的点P ，你选择的P 点坐标为________________．三、解答题11．如图，正方形OABC 的面积是4，点B 在反比例函数y ＝kx(k >0，x <0)的图象上，若点R 是该反比例函数图象上异于点B 的任意一点，过点R 分别作x 轴，y 轴的垂线，垂足为M 、N .从矩形OMRN 的面积中减去其与正方形OABC 重合的面积，记剩余部分的面积为S ，则当S ＝m (m 为常数，且0<m <4)时，求点R 的坐标．(用含m 的代数式表示)12．(2011·綦江)在如图的直角坐标系中，已知点A (1,0)、B (0，－2)，将线段AB 绕点A 按逆时针方向旋转90°至AC .(1)求点C 的坐标；(2)若抛物线y ＝－12x 2＋ax ＋2经过点C .①求抛物线的解析式；②在抛物线上是否存在点P (点C 除外)使△ABP 是以AB 为直角边的等腰直角三角形？若存在，求出所有点P 的坐标；若不存在，请说明理由．13．(2011·荆州)如图甲，分别以两个彼此相邻的正方形OABC 与CDEF 的边OC 、OA 所在直线为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系(O 、C 、F 三点在x 轴正半轴上)．若⊙P 过A 、B 、E 三点(圆心在x 轴上)，抛物线y ＝14x 2＋bx ＋c 经过A 、C 两点，与x 轴的另一交点为G ，M是FG 的中点，正方形CDEF 的面积为1.(1)求B 点的坐标；(2)求证：ME 是⊙P 的切线；(3)设直线AC 与抛物线对称轴交于N ，Q 点是此对称轴上不与N 点重合的一动点，①求△ACQ 周长的最小值；②若FQ ＝t ，S ΔACQ ＝S ，直接写出S 与t 之间的函数关系式．。
(整理)中考数学专题目讲座探究操作问题目
中考数学专题讲座 探究、操作性问题【知识纵横】探索研究是通过对题意的理解，解题过程由简单到难，在承上启下的作用下，引导学生思考新的问题，大胆进行分析、推理和归纳，即从特殊到一般去探究，以特殊去探求一般从而获得结论，有时还要用已学的知识加以论证探求所得结论。
操作性问题是让学生按题目要求进行操作，考察学生的动手能力、想象能力和概括能力。
【典型例题】【例1】（江苏镇江)探索研究如图，在直角坐标系xOy 中，点P 为函数214y x =在第一象限内的图象上的任一 点，点A 的坐标为(01)，，直线l 过(01)B -，且与x 轴平行，过P 作y 轴的平行线分别交x 轴，l 于C Q ，，连结AQ 交x 轴于H ，直线PH 交y 轴于R ．（1）求证：H 点为线段AQ 的中点；（2）求证：①四边形APQR 为平行四边形； ②平行四边形APQR 为菱形；（3）除P 点外，直线PH 与抛物线214y x =有无其它公共点？并说明理由． 【思路点拨】（2）①证RAH PQH ∴△≌△；②设214P m m ⎛⎫⎪⎝⎭，，证AP=PQ ;（3）求直线PR 的解析式与抛物线方程214y x =组成联立方程组，讨论方程组解的情况。
x【例2】（福建南平）（1）如图1，图2，图3，在ABC △中，分别以AB AC ，为边，向ABC △外作正三角形，正四边形，正五边形，BE CD ，相交于点O ．①如图1，求证：ABE ADC △≌△； ②探究：如图1，BOC ∠= ； 如图2，BOC ∠= ；如图3，BOC ∠= ．（2）如图4，已知：AB AD ，是以AB 为边向ABC △外所作正n 边形的一组邻边；AC AE ，是以AC 为边向ABC △外所作正n边形的一组邻边．BE CD ，的延长相交于点O ．①猜想：如图4，BOC ∠= （用含n 的式子表示）； ②根据图4证明你的猜想．【思路点拨】（2）②由正n 边形的内角定理，证ABE ADC ∴△≌△。
中考数学复习专题讲座(四)开放探究问题
专题复习（四）——开放探究问题题型概述开放研究型问题是相对于条件和结论明确的封闭试题而言的，是能引起同学们产生联想，并会自然而然的往深处想的一种试题类型，简单来说就是答案不唯一的，解题的方向不确定，条件或者结论不止一种情况的试题，解答此类试题时，需要对问题全方位、多层次、多角度思考审视，尽量找到解决问题的方法。
根据开放性的试题的特点，主要有如下几种类型：条件开放性、结论开放性、选择开放型、综合开放型。
题型例析类型1：条件开放性解决这种类型的开放性问题的一般思路是：由已知的结论反思题目应具备怎样的条件，即从题目的结论出发，结合图形挖掘条件，逆向追索，逐步探寻。
【例题】已知：△ABC中，点E是AB边的中点，点F在AC边上，若以A，E， F为顶点的三角形与△ABC相似，则需要增加的一个条件是．（写出一个即可）考点：相似三角形的判定．专题：开放型．分析：根据相似三角形对应边成比例或相似三角形的对应角相等进行解答；由于没有确定三角形相似的对应角，故应分类讨论．解答：解：分两种情况：①∵△AEF∽△ABC，∴AE：AB=AF：AC，即1：2=AF：AC，∴AF=AC；②∵△AFE∽△ACB，∴∠AFE=∠ABC．∴要使以A、E、F为顶点的三角形与△ABC相似，则AF=AC或∠AFE=∠ABC．故答案为：AF=AC 或∠AFE=∠ABC．点评：本题很简单，考查了相似三角形的性质，在解答此类题目时要找出对应的角和边．【变式练习】如图，已知△ABC中，AB=AC，点D、E在BC上，要使△ABD≌ACE，则只需添加一个适当的条件是BD=CE ．（只填一个即可）考点：全等三角形的判定．专题：开放型分析：此题是一道开放型的题目，答案不唯一，如BD=CE，根据SAS推出即可；也可以∠BAD=∠CAE等．解答：BD=CE，理由是：∵AB=AC，∴∠B=∠C，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），故答案为：BD=CE．点评：本题考查了全等三角形的判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，题目比较好，难度适中．类型2：结论开放性所谓结论性开放题就是给出问题的条件，让解题者根据条件找寻相应的结论，且符合条件的结论往往呈现出多样化，这类问题就是结论的开放性问题。
九年级数学专题讲座：中考开放性题型及策略
12、九年级数学专题讲座：开放性问题及策略姓名【方法提要】数学开放性问题指条件和结论不完备或不确定、解题策略多样化的题目，它一般需要学生通过观察、分析、比较、概括、推理、判断等探索活动来确定所需求的结论或条件或方法，解题的策略是将其转化为封闭性问题，对学生具有挑战性和探究性。
开放探究型问题常见的类型有：（1）条件开放型：结论明确但问题的条件不完善或满足结论的条件不唯一；（2）结论开放型：在给定条件下，结论不唯一；（3）策略开放型：思维策略与解题方法不唯一;（4）存在性开放题:这类问题是指条件、结论、解题方法读不全或未知，而仅提供一种问题情境，需要我们补充条件，设计结论，并寻求解法的一类问题纵观近几年全国各地中考试题，开放性问题已成为一个热点。
这类题对同学们的综合素质要求比较高，这类题往往作为中考试卷中的压轴题出现，本人在对各地中考试题进行学习研究的基础上，就开放探究型问题进行归类，并通过实例探讨其解题策略。
【典型例题评析】条件开放题1．一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程组的解均是⎩⎨⎧==42y x 和⎩⎨⎧-=-=42y x , 试写出符合要求的方程组 (只要填写一个即可)。
2．已知：AB 是⊙O 的直径，弦CD 与AB 相交于E ，若使CB =BD ,则还需要添加什么条件___________（填出一个即可）。
3．如图，P 是四边形ABCD 的DC 边上的一个动点，当四边形ABCD 满足条件： 时，△PBA 的面积始终保持不变。
（注：只需填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形）。
4．已知242--ax x 在整数范围内可以分解因式，则整数a 的值是__________ （只需填一个）。
D P A C B结论开放题1．如图，OE、OF分别是⊙O的弦AB、CD的弦心距，如果OE=OF，那么____________（只需写出一个正确的结论）。
2．如图，已知等腰△ABC中，∠A=21∠C，底边BC为⊙O的直径，两腰AB、AC分别与⊙O交于点D、E，有下列序号的四个结论：①AD=AE；②DE∥BC；③∠A=∠CBE；④BE⊥AC。
中考数学二轮专题复习(专题五 开放探索问题)
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【例题1】 (2012· 浙江义乌)如图，在△ABC中，点D
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是BC的中点，作射线AD，在线段AD及其延长 线上分别取点E、F，连接CE、BF.添加一个条
件，使得△BDF≌△CDE，并加以证明．你添
加的条件是________．(不添加辅助线)．
专 题 突 破
∵点P(x，y)的坐标满足x＋y＝xy，∴x，y符号相
同，代入数字进行验证，符合条件的点的坐标有
(0，0)，(2，2)等．故答案为：(0，0)． 答案 (0，0)(答案不唯一)
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三、综合开放型
这类问题没有明确的条件和结论，并且符合条件的 结论具有多样性，需将已知的信息集中进行分析， 探索问题成立所必须具备的条件或特定的条件应该 有什么结论，通过这一思维活动得出事物内在联 系，从而把握事物的整体性和一般性．
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【例题5】 (2011· 青海)学校在艺术周上，要求学生制
专 题 解 读
作一个精美的轴对称图形，请你用所给出的几何图 形：○○△△ (两个圆，两个等边三角形，
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两条线段)为构件，构思一个独特，有意义的轴对 称图形，并写上一句简要的解说词．
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【例题3】 (2012· 浙江丽水)写出一个比－3大的无理 数是________．
解析 根据这个数即要比－3 大又是无理数，解答出
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中考数学复习专题讲座(精编含详细参考答案14页)：动点型问题
中考数学复习专题讲座：动点型问题（一）应用勾股定理建立函数解析式（或函数图像）例1如图，正方形ABCD 的边长为a ，动点P 从点A 出发，沿折线A→B→D→C→A 的路径运动，回到点A 时运动停止．设点P 运动的路程长为长为x ，AP 长为y ，则y 关于x 的函数图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．思路分析：根据题意设出点P 运动的路程x 与点P 到点A 的距离y 的函数关系式，然后对x 从0到2a+2a 时分别进行分析，并写出分段函数，结合图象得出答案．解：设动点P 按沿折线A→B→D→C→A 的路径运动，∵正方形ABCD 的边长为a ，∴BD=a ，则当0≤x＜a 时，y=x ，当a≤x＜（1+）a 时，y=，当a （1+）≤x＜a （2+）时，y=，当a （2+）≤x≤a（2+2）时，y=a （2+2）﹣x ，结合函数解析式可以得出第2，3段函数解析式不同，得出A 选项一定错误，根据当a≤x＜（1+）a 时，函数图象被P 在BD 中点时，分为对称的两部分，故B 选项错误，再利用第4段函数为一次函数得出，故C 选项一定错误，故选：D ．点评：此题主要考查了动点问题的函数图象问题；根据自变量不同的取值范围得到相应的函数关系式是解决本题的关键．对应训练1．如图，正△ABC 的边长为3cm ，动点P 从点A 出发，以每秒1cm 的速度，沿A→B→C 的方向运动，到达点C 时停止，设运动时间为x （秒），y=PC 2，则y 关于x 的函数的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．解：∵正△ABC 的边长为3cm ，∴∠A=∠B=∠C=60°，AC=3cm ．如图，D 为AB 的中点，连结CD ，则：AD=BD=1.5（cm ），cm ）。
①当0≤x≤1.5时，即点P 在线段AD 上时，AP=xcm （0≤x≤1.5），则2222223()392PC CD DP x x x =+=+-=-+，即y=x 2﹣3x+9（0≤x≤1.5）； ②当1.5<x≤3时，即点P 在线段AD 上时，AP=xcm （1.5<x≤3），则2222223(()3922PC CD DP x x x =+=+-=-+，即y=x 2﹣3x+9（1.5<x≤3）； 综上，当0≤x≤3时，y=x 2﹣3x+9，该函数图象是开口向上的抛物线；③当3＜x≤6时，即点P 在线段BC 上时，PC=（6﹣x ）cm （3＜x≤6）；则y=（6﹣x ）2=（x ﹣6）2（3＜x≤6），∴该函数的图象是在3＜x≤6上的抛物线；故选C ．（二）应用比例式建立函数解析式（或函数图像）例2如图，直角梯形AOCD 的边OC 在x 轴上，O 为坐标原点，CD 垂直于x 轴，D （5，4），AD=2．若动点E 、F 同时从点O 出发，E 点沿折线OA→AD→DC 运动，到达C 点时停止；F 点沿OC 运动，到达C 点是停止，它们运动的速度都是每秒1个单位长度．设E 运动x 秒时，△EOF 的面积为y （平方单位），则y 关于x 的函数图象大致为（ ）DA． B． C．D．思路分析：首先根据点D的坐标求得点A的坐标，从而求得线段OA和线段OC的长，然后根据运动时间即可判断三角形EOF的面积的变化情况．解：∵D（5，4），AD=2．∴OC=5，CD=4 OA=5，∴运动x秒（x＜5）时，OE=OF=x，作EH⊥OC于H，AG⊥OC于点∴EH=x，S△EOF=OF•EH=×x×x=x2，故A、B错误；G，∴EH∥AG，∴△EHO∽△AGO，即：，当点F运动到点C时，点E运动到点A，此时点F停止运动，点E在AD上运动，△EOF的面积不变，点E在DC上运动时，如右图，EF=11﹣x，OC=5，∴S△EOF=OC•CE=×（11﹣x）×5=﹣x+是一次函数，故C正确，故选C．点评：本题考查了动点问题的函数图象，解题的关键是根据动点确定分段函数的图象．对应训练2．如图，Rt△ABC的内切圆⊙O与AB、BC、CA分别相切于点D、E、F，且∠ACB=90°，AB=5，BC=3，点P在射线AC上运动，过点P作PH⊥AB，垂足为H．（1）直接写出线段AC、AD及⊙O半径的长；（2）设PH=x，PC=y，求y关于x的函数关系式；（3）当PH与⊙O相切时，求相应的y值．（1）连接AO、DO．设⊙O的半径为r．在Rt△ABC中，由勾股定理得AC==4，则⊙O的半径r=（AC+BC﹣AB）=（4+3﹣5）=1；∵CE、CF是⊙O的切线，∠ACB=90°，∴∠CFO=∠FCE=∠CEO=90°，CF=CE，∴四边形CEOF是正方形，∴CF=OF=1；又∵AD、AF是⊙O的切线，∴AF=AD；∴AF=AC﹣CF=AC﹣OF=4﹣1=3，即AD=3；（2）在Rt△ABC中，AB=5，AC=4，BC=3，∵∠C=90°，PH⊥AB，∴∠C=∠PHA=90°，∵∠A=∠A，∴△AHP∽△ACB，∴==，即=，∴y=﹣x+4，即y与x的函数关系式是y=﹣x+4；（3）如图，P′H′与⊙O相切．∵∠OMH′=∠MH′D=∠H′DO=90°，OM=OD，∴四边形OMH′D是正方形，∴MH′=OM=1；由（1）知，四边形CFOE是正方形，CF=OF=1，∴P′H′=P′M+MH′=P′F+FC=P′C，即x=y；又由（2）知，y=﹣x+4，∴y=﹣y+4，解得，y=．（三）应用求图形面积的方法建立函数关系式例3 如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=6，D为BC的中点．（1）若E、F分别是AB、AC上的点，且AE=CF，求证：△AED≌△CFD；（2）当点F、E分别从C、A两点同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿CA、AB运动，到点A、B时停止；设△DEF的面积为y，F点运动的时间为x，求y与x的函数关系式；（3）在（2）的条件下，点F、E分别沿CA、AB的延长线继续运动，求此时y与x的函数关系式．思路分析：（1）利用等腰直角三角形的性质得到∠BAD=∠DAC=∠B=∠C=45°，进而得到AD=BD=DC，为证明△AED≌△CFD提供了重要的条件；（2）利用S四边形AEDF=S△AED+S△ADF=S△CFD+S△ADF=S△ADC=9 即可得到y与x之间的函数关系式；（3）依题意有：AF=BE=x﹣6，AD=DB，∠ABD=∠DAC=45°得到∠DAF=∠DBE=135°，从而得到△ADF≌△BDE，利用全等三角形面积相等得到S△ADF=S△BDE从而得到S△EDF=S△EAF+S△ADB即可确定两个变量之间的函数关系式．解：（1）证明：∵∠BAC=90° AB=AC=6，D为BC中点∴∠BAD=∠DAC=∠B=∠C=45° ∴AD=BD=DC （2分）∵AE=CF∴△AED≌△CFD（2）解：依题意有：FC=AE=x，∵△AED≌△CFD∴S四边形AEDF=S△AED+S△ADF=S△CFD+S△ADF=S△ADC=9∴∴；（3）解：依题意有：AF=BE=x﹣6，AD=DB，∠ABD=∠DAC=45°∴∠DAF=∠DBE=135° ∴△ADF≌△BDE∴S△ADF=S△BDE∴S△EDF=S△EAF+S△ADB=∴．点评：本题考查等腰直角三角形的性质及全等三角形的判定与性质，考查的知识点虽然不是很多但难度较大．对应训练3．如图，在边长为4的正方形ABCD中，动点P从A点出发，以每秒1个单位长度的速度沿AB向B点运动，同时动点Q从B点出发，以每秒2个单位长度的速度沿BC→CD方向运动，当P运动到B点时，P、Q两点同时停止运动．设P点运动的时间为t，△APQ的面积为S，则S与t的函数关系的图象是（）A B C D解：①点P在AB上运动，点Q在BC上运动，此时AP=t，QB=2t，故可得S=AP•QB=t2，函数图象为抛物线；②点P在AB上运动，点Q在CD上运动，此时AP=t，△APQ底边AP上的高维持不变，为正方形的边长4，故可得S=AP×4=2t，函数图象为一次函数．综上可得总过程的函数图象，先是抛物线，然后是一次增函数．选D．（四）以双动点为载体，探求函数图象问题例4 如图（1）所示，E为矩形ABCD的边AD上一点，动点P、Q同时从点B出发，点P沿折线BE﹣ED﹣DC运动到点C时停止，点Q沿BC运动到点C时停止，它们运动的速度都是1cm/秒．设P、Q同发t秒时，△BPQ的面积为ycm2．已知y与t的函数关系图象如图（2）（曲线OM为抛物线的一部分），则下列结论：①AD=BE=5；②cos∠ABE=；③当0＜t≤5时，y=t2；④当t=秒时，△ABE∽△QBP；其中正确的结论是（填序号）．思路分析：根据图（2）可以判断三角形的面积变化分为三段，可以判断出当点P到达点E时点Q到达点C，从而得到BC、BE的长度，再根据M、N是从5秒到7秒，可得ED的长度，然后表示出AE的长度，根据勾股定理求出AB的长度，然后针对各小题分析解答即可．解：根据图（2）可得，当点P到达点E时点Q到达点C，∵点P、Q的运动的速度都是1cm/秒，∴BC=BE=5，∴AD=BE=5，故①小题正确；又∵从M到N的变化是2，∴ED=2，∴AE=AD﹣ED=5﹣2=3，在Rt△ABE中，AB===4，∴cos∠ABE==，故②小题错误；过点P作PF⊥BC于点F，∵AD∥BC，∴∠AEB=∠PBF，∴sin∠PBF=sin∠AEB==，∴PF=PBsin∠PBF=t，∴当0＜t≤5时，y=BQ•PF=t•t=t2，故③小题正确；当t=秒时，点P在CD上，此时，PD=﹣BE﹣ED=﹣5﹣2=，PQ=CD﹣PD=4﹣=，∵=，==，∴=，又∵∠A=∠Q=90°，∴△ABE∽△QBP，故④小题正确．综上所述，正确的有①③④．点评：本题考查了动点问题的函数图象，根据图（2）判断出点P到达点E时点Q到达点C是解题的关键，也是本题的突破口．（五）以双动点为载体，探求函数最值问题例5如图，抛物线y=﹣x2+x+2与x轴交于C、A两点，与y轴交于点B，OB=2．点O关于直线AB的对称点为D，E为线段AB的中点．（1）分别求出点A、点B的坐标；（2）求直线AB的解析式；（3）若反比例函数y=的图象过点D，求k值；（4）两动点P、Q同时从点A出发，分别沿AB、AO方向向B、O移动，点P每秒移动1个单位，点Q每秒移动个单位，设△POQ的面积为S，移动时间为t，问：S是否存在最大值？若存在，求出这个最大值，并求出此时的t值；若不存在，请说明理由．思路分析：（1）抛物线的解析式中，令x=0，能确定抛物线与y轴的交点坐标（即B点坐标）；令y=0，能确定抛物线与x轴的交点坐标（即A、C的坐标）．（2）由（1）的结果，利用待定系数法可求出直线AB的解析式．（3）欲求出反比例函数的解析式，需要先得到D点的坐标．已知A、B的坐标，易判断出△OAB是含特殊角的直角三角形，结合O、D关于直线AB对称，可得出OD的长，结合∠DOA的读数，即可得到D点的坐标，由此得解．（4）首先用t列出AQ、AP的表达式，进而可得到P到x轴的距离，以OQ为底、P到x轴的距离为高，可得到关于S、t的函数关系式，根据函数的性质即可得到S的最大值及此时t的值．解：（1）令y=0，即﹣x2+x+2=0；解得 x1=﹣，x2=2．∴C（﹣，0）、A（2，0）．令x=0，即y=2，∴B（0，2）．综上，A（2，0）、B（0，2）．（2）令AB方程为y=k1x+2因为点A（2，0）在直线上，∴0=k1•2+2∴k1=﹣∴直线AB的解析式为y=﹣x+2．（3）由A（2，0）、B（0，2）得：，OA=2，OB=2，AB=4，∠BAO=30°，∠DOA=60°；∵D与O点关于AB对称，∠DOA=60°，∴OD=OA=2，∴D 点的横坐标为，纵坐标为3，即D（，3）．因为y=过点D，∴3=，∴k=3．（4）∵AP=t，AQ=t，P到x轴的距离：AP•sin30°=t，OQ=OA﹣AQ=2﹣t；∴S△OPQ=•（2﹣t）•t=﹣（t﹣2）2+；依题意有，解得0＜t≤4．∴当t=2时，S有最大值为．点评：该题考查的知识点有：函数解析式的确定、二次函数的性质、图形面积的解法等，在解答动点函数问题时，一定要注意未知数的取值范围．（六）因动点产生的最值问题因动点产生的最值问题与一般最值问题一样，一般都归于两类基本模型：1．归于函数模型2．归于几何模型（1）归于“两点两线段之和的最小值”时大都应用这一模型。
中考数学专题复习题：开放性问题
2019-2020年中考数学专题复习题：开放性问题开放性试题是相对于条件和结论明确的封闭题而言的，是能引起同学们产生联想，并会自然而然地往深处想的一种数学问题.简单来说就是答案不唯一，解题的方向不确定，条件(或结论)不止一种情况的试题.解答这类题目时，需要对问题全方位、多层次、多角度思考审视，尽量找到解决问题的方法.根据开放题的特点主要有如下三种题型：(1)条件开放型；(2)结论开放型；(3)综合开放型.题型之一条件开放型例1 (xx·巴中)如图，在四边形ABCD中，点H是边BC的中点，作射线AH，在线段AH及其延长线上分别取点E,F，连接BE,CF.(1)请你添加一个条件，使得△BEH≌△CFH，你添加的条件是，并证明.(2)在问题(1)中，当BH与EH满足什么关系时，四边形BFCE是矩形，请说明理由.【思路点拨】(1)根据已知条件和图形可知，两个三角形有一组边和一组角相等，因此根据全等三角形的判定方法添加一个条件，然后加以证明即可；(2)由(1)中三角形的全等，易得四边形BFCE是平行四边形，然后根据矩形的判定方法，得出EH与BH应满足的条件.【解答】方法归纳：解这种类型的开放性问题的一般思路是：（1）由已知的结论反思题目应具备怎样的条件，即从题目的结论出发，结合图形挖掘条件，逆向追索，逐步探寻.(2)添加的条件，使证明过程越简单越好，且不可自己难为自己.1.（xx·湘潭）如图，直线a、b被直线c所截，若满足，则a、b 平行.2.(xx·内江)如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AD∥BC，请添加一个条件：，使四边形ABCD为平行四边形(不添加任何辅助线).3.(xx·六盘水)如图，添加一个条件：，使△ADE∽△ACB.(写出一个即可)4.(xx·娄底)先化简，再从不等式2x-3<7的正整数解中选一个使原式有意义的数代入求值.5.(xx·邵阳)如图所示，将△ABC绕AC的中点O顺时针旋转180°得到△CDA，请添加一个条件，使得四边形ABCD为矩形，并说明理由.题型之二结论开放型例2 (xx·西安模拟)按图所示的流程，输入一个数据x，根据y与x的关系式输出一个数据y，这样可以将一组数据变换成另一组新的数据，要使任意一组都在20~100(含20和100)之间的数据，变换成一组新数据后能满足下列两个要求：(Ⅰ)新数据都在60~100(含60和100)之间；(Ⅱ)新数据之间的大小关系与原数据之间的大小关系一致，即原数据大的对应的新数据也较大.(1)若y与x的关系是y=x+p(100-x)，请说明：当p=时，这种变换满足上述两个要求；(2)若按关系式y=a(x-h)2+k(a>0)将数据进行变换，请写出一个满足上述要求的这种关系式.(不要求对关系式符合题意作说明，但要写出关系式得出的主要过程)【思路点拨】(1)要验证y=x+(100-x)是否满足题中的两个要求，就是①看y是否随x增大而增大；②看当20≤x≤100时，y的值是否满足60≤y≤100；(2)由于规定了a>0，要使抛物线y=a(x-h)2+k满足题中条件,必经过(20,60),(100,100)两点,且这两点在对称轴的右边,因此其中满足条件的抛物线可以是以(20,60)为顶点,且经过点(100,100).故该解析式不难求出.【解答】方法归纳：所谓结论性开放题就是给出问题的条件,让解题者根据条件寻找相应的结论,且符合条件的结论往往呈现多样化,这类问题就是结论开放型问题.其解题思路是:从已知条件出发,沿着不同方向、不同层次进行观察、分析、验证得到相应的结论.1.(xx·滨州)写出一个运算结果是a6的算式 .2.(xx·赤峰)请你写出一个大于0而小于1的无理数 .3.(xx·邵阳)如图，已知点A，F，E，C在同一直线上，AB∥CD，∠ABE＝∠CDF，AF＝CE.(1)从图中任找两组全等三角形；(2)从(1)中任选一组进行证明.4.(xx·内蒙古)存在两个变量x与y，y是x的函数，该函数同时满足两个条件：①图象经过(1，1)点；②当x＞0时，y随x的增大而减小，请各写出一个满足条件的一次函数、反比例函数和二次函数的解析式.5.(xx·台州)为了估计鱼塘中成品鱼(个体质量在0.5 kg及以上，下同)的总质量，先从鱼塘中捕捞50条成品鱼.称得它们的质量如下表：0.5 0.6 0.7 1.0 1.2 1.6 1.9质量/kg1 8 15 18 5 1 2数量/条然后做上记号再放回水库中，过几天又捕捞了100条成品鱼，发现其中2条带有记号. (1)请根据表中数据补全下面的直方图(各组中数据包括左端点不包括右端点).(2)根据图中数据分组.估计从鱼塘中随机捕一条成品鱼，其质量落在哪一组的可能性最大?(3)根据图中数据分组，估计鱼塘里质量中等的成品鱼，其质量落在哪一组内？(4)请你用适当的方法估计鱼塘中成品鱼的总质量(精确到1 kg).题型之三综合开放型例3 (xx·绍兴有改动)看图说故事.请你编写一个故事，使故事情境中出现的一对变量x，y满足图示的函数关系，要求：(1)指出变量x和y的含义；(2)利用图中的数据和变化规律提出两个问题，并解答这两个问题.【思路点拨】根据情景说明函数关系，注意只有两个变量，涉及其他的量必须是常量.提出问题时要紧扣图象和(1)中实际意义来提出.【解答】、方法归纳：这是一道自编自解的综合开放型的问题，解题时要认真分析已给出的条件，经过适当的尝试，符合要求的答案定会产生.1.看图说故事.请你编写一个故事，使故事情境中出现的一对变量x、y满足图示的函数关系，要求：（1）指出变量x和y的含义；（2）利用图中的数据说明这对变量变化过程的实际意义，其中必须涉及“速度”这个量.2.A，B两地间的距离为15千米，甲从A地出发步行前往B地，20分钟后，乙从B地出发骑车前往A地，且乙骑车比甲步行每小时多走10千米.乙到达A地后停留40分钟，然后骑车按原路原速返回，结果甲、乙两人同时到达B地.请你就“甲从A地到B地步行所用时间”或“甲步行的速度”提出一个用分式方程解决的问题，并写出解题过程.3.如图是一个反比例函数图象的一部分，点A(1，10)，B(10，1)是它的两个端点.(1)求此函数的解析式，并写出自变量x的取值范围；(2)请你举出一个能用本题的函数关系描述的生活实例.33482 82CA 苊37332 91D4 釔/29826 7482 璂24021 5DD5 巕28933 7105 焅 34653 875D 蝝 20534 5036 倶32153 7D99 継 030090 758A 疊B。
中考数学开放性问题
A
E
O
如：∠B= ∠C BF=CF
C
B
F
D
AD⊥BC
AE∥BC
………
专题训练
（三）方法开放型
方法开放题，一般是指解题方法不唯一或 解题路径不明确的问题。
要求根据对条件和结论的不同选择可以得 到的多种符合题意的结果。
例题精讲
例3：先需要将形如⊿ABC的空地平均分成面积相等的4块，然后在上面 分别种上红、黄、蓝、紫4种不同颜色的花（要求分出的同一块地种 相同颜色的花） 请设计出2种平分办法，并在划出的空地上标出红、黄、蓝、紫字 样，分别表示所种不同颜色的花，简要说明你的设计方案。
填写条件时，应符合题意或相关的概念、 性质、定理。
例题精讲
A
D
例1:已知如图,AC=DB,如不增加字母和辅助线
再添加一个适当的条件,_____________,
使得⊿ABC≌⊿DCB。
O
如: AB=BC
B
C
∠ACB= ∠DBC
OB=OC
OA=OB
思考
1:可以添加∠A= ∠D吗? 2:可以添加∠A= ∠D=90°吗?
A
D
象限内y的值随着x的值增大而增大，则b可以是
————。
F
2、如图（1）,E、F是平行四边形ABCD对角线BD上
E
的两点，请你添加一个适当的条件：—————，
使四边形AECF是平行四边形。
3、在多项式4 X 2+1中，添加一个单项式，使所得的
B
（1） C
整式成为一个完全平方式，则添加的单项式是
——————。（只写出一个即可）
D
连结DE、BE，若∠BDE+ ∠BCE=180°
中考数学专题讲座 应用性问题
中考数学专题讲座应用性问题概述：学习数学的目的在于应用，应用性问题已成为近年中考的热点，•在解决这类问题时，要认真理解题意，将问题转化为纯数学问题，用所学数学知识进行解答，在解答过程中要考虑其合理性．典型例题精析例1．在正常情况下，一个人在运动时所能承受的每分钟心跳的最高次数5分（次/分）是这个人年龄n（岁）的一次函数．（1）根据以上信息，求在正常情况下，S关于n的函数的关系式；（2）若一位63岁的人在跑步，医生在途中给他测得10秒心跳为26次，问：他是否有危险？为什么？根据医学上的科学研究表明，人在活动时，心跳的快慢通常和年龄相关．在正常情况下，年龄在15岁和45•岁的人在运动时所能承受的最高心跳次数分别为164次/分和144次/分．解：（1）设S与n之间的函数关系式为S=kn+b，由题意得15164,45144,k bk b+=⎧⎨+=⎩解得2,3174.kb⎧=-⎪⎨⎪=⎩∴S与n之间的函数关系是S=-23n+174．（2）当n=63岁时，S=23×63+174=132．现在这位老人心跳是26×6=156>132．因此，他这时有一定的危险．例2．教室里放有一台饮水机（如图），饮水机上有两个放水管，•课间同学们依次到饮水机前用茶杯接水．假设接水过程中水不发生泼洒，每个同学所接的水量都是相等的．两个放水管同时打开时，他们的流量相同．放水时先打开一个水管，过一会儿，再打开第二水管，放水过程中阀门一直开着．饮水机的存水量y（升）•与放水时间x（分钟）的函数关系如图所示：（1）求出饮水机的存水量y（升）与放水时间x（分钟）（x≥2）的函数关系式；（2）如果打开第一个水管后，2分钟时恰好有4个同学接水结束，则前22•个同学接水结束共需要几分钟？（3）按（2）的放法，求出在课间10分钟内班级中最多有多少个同学能及时接完水？解：设存水量y 与放水时间x 的解析式为y=kx+b 把（2，17），（12，8）代入y=kx+b 得172,812.k b k b =+⎧⎨=+⎩ 解得k=-910，b=945， ∴y=-910x+945．（2≤x ≤1889） （2）由图可得每个同学接水量是， ×22=．存水量y=18-5.5=，∴12.5=-910x+945， ∴x=7．∴前22个同学接水共需7分钟． （3）当x=10时，存水量y=-910×10+945=495， 用去水18-495=， ÷0.25=32.8． ∴≤8.2， z ≤32.8．例3．某通讯器材公司销售一种市场需求较大的新型通讯产品，已知每件产品的进价为40元，每年销售该种产品的总开支（不含进价）总计120万元，•在销售过程中发现，年销售量y （万件）与销售单价x （元）•之间存在着如图所示的一次函数关系． （1）求y 关于x 的函数关系式； （2）试写出该公司销售该种产品的年获利z （万元）关于销售单价x （元）•的函数关系式（年获利=年销售额-年销售产品总进价-年总支开），当销售单位x 为何值时，年获利最大？并求这个最大值；（3）若公司希望该种产品一年的销售获利不低于40万元，借助（2）中函数的图象，请你帮助该公司确定销售单价的X 围．在此情况下，要使产品销售量最大，你认为销售单价应定为多少元？解：（1）设y=kx+b ，它过点（60，5），（80，4），x (分钟)))∴560,480,k b k b =+⎧⎨=+⎩ 解得1,208.k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩ ∴y=-120x+8． （2）z=yx-40y-20=（-120x+8）（x-40）-120=-120x 2+10x-440， ∴当x=100元时，最大年获利为60万元． （3）令z=40，得4=-120x 2+10x-440，整理得：x 2-200x+9600=0， 解得：x 1=80，x 2=120．由图象可知，要使年获利不低于40万元，销售单价应在80元到120元之间，又因为销售单价越低，销售量越大，所以要使销量最大，又要使年获利不低于40万元，销售单价应定为80元．中考样题训练1．据《人民日报》2007年6月11日报道，今年1～4•月某某市完成工业总产值550亿元，比去年同期工业总产值增长21.46%，•请估计去年同期工业总产值在（ ） A ．380～400（亿元） B ．400～420（亿元） C ．420～440（亿元） D ．440～460（亿元）2．在地表以下不太深的地方，温度y （℃）与所处的深度x （km ）之间的关系可以近似用关系式y=35x+20表示，这个关系式符合的数学类型是（ ）A ．正比例函数B ．反比例函数C ．二次函数D ．一次函数3．用一X 面积为900c m 2的正方形硬纸片围成一个圆柱的侧面，•则这个圆柱的底面直径为________cm ．4．如图，某燃料公司的院内堆放着10个外径为1米的空油桶，为了防雨，需搭建简易雨棚，这个防雨棚的高度最低应为_______1.73，•结果精确到）．5．如图，一把纸折扇完全打开后，外侧两竹条AB和AC的夹角为120°，AB长为25cm，贴纸部分的宽BD为17cm，则贴纸部分的面积为_______cm2（•结果用 表示）．6．为庆祝六一儿童节，某市中小学统一组织文艺汇演，甲、•乙两所学校共92人，（其中甲校人数多于乙校人数，且甲校人数不够90人），•准备统一购买服装参加演出，下面是某服装厂给出的演出服装的价格表：购买服装的套数1~45套46~90套91套以上每套服装的价格 60元 50元 40元如果两所学校分别单独购买服装，一共应付5000元．（1）如果甲、乙两校联合起来购买服装，那么比各自购买服装共可以节省多少钱？（2）甲、乙两所学校各有多少学生准备参加演出？（3）如果甲校有10名同学抽调去参加书法绘画比赛而不能参加演出，请你为两所学校设计一种最省钱的购买服装的方案．7．某机械租赁公司有同一型号的机械设备40套，经过一段时间的经营发现：当每套机械设备的月租金为270元时，恰好全部租出．在此基础上，•当每套设备的月租金每提高10元时，这种设备就少租出一套，且未租出的一套设备每月需要支出费用（维护费、管理费等）20元，设每套设备的月租金为x （元），•租赁公司出租该型号设备的月收益（收益=租金收入-支出费用）为y （元）（1）用含x 的代数式表示未租出的设备数（套）以及所有未租出设备（套）的支出费用； （2）求y 与x 之间的二次函数关系式；（3）当月租金分别为300元和350元时，租赁公司的月收益分别是多少元？•此时应该出租多少套机械设备？请你简要说明理由？（4）请把（2）中所求出的二次函数配方成y=a （x+2b a）2+244ac b a 的形式，并据此说明：当x•为何值时，租赁公司出租该型号设备的月收益最大？最大月收益是多少？考前热身训练1．某商品原价100元，现有4种调价方案，其中0<n<m ，则调价后商品价格最高的方案是（ ）（A ）先涨价m%，再降价n% （B ）先涨价n%，再降价m% （C ）先涨价2m n +%，再降价2m n+%（D %%2．某商品标价1375元，按标价的80%售出仍可获利10%，则该商品的进价是____元． 3．某商场计划拨款9万元从厂家购进50台电视机，已知该厂家生产三种不同型号的电视机，出厂价分别为：甲种每台1500元，乙种每台2100元，丙种每台2500元．（1）某商场同时购进其中两种不同型号的电视机50台，用去9万元，请你研究一下商场进货方案；（2）若商场销售一台甲种电视机可获利150元，销售一台乙种电视机可获利200元，销售一台丙种电视机可获利250元，在同时购进两种不同型号电视机的方案中，为使销售的获利最多，你选择哪种进货方案？4．某校组织360名师生去参观三峡工程建设，如果租用甲种客车若干辆刚好坐满；如果租用乙种客车可少租1辆且余40个空位．（1）已知甲种客车比乙种客车少20个座位，求甲、乙两种客车各有多少个座位？（2）已知甲种客车租金是每辆400元，乙种客车租金是每辆480元，•这次参观同时租用这两种客车，其中甲种客车比乙种客车少租1辆，•所用租金比单独租用任何一种客车要节省，按这种方案需用租金多少元？5．如图，有长为24m的篱笆，一面利用墙（墙的最大长度为10m），•围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为xm，面积为Sm2．（1）求S与x的函数关系式；（2）如果要围成面积为45m2的花圃，AB长应为多少m？（3）能围面积比45m2更大的花圃吗？如果能，请求出最大的面积，并说明围法；如不能，请说明理由．答案:中考样题训练1．D 2．D 3．30π4．3．6 5．36．解略．7．（1）未租出的设备为27010x-套，所有未租出设备的支出费用为（2x-540）元；（2）y=（40-27010x-）x-（2x-540）=-110x2+65x+540，∴y=-110x2+65x+540．（说明：此处不要求写出x的取值X围）（3）当月租金为300元时，租赁公司的月收益为11040元，此时租出设备37套；当月租金为350元，租赁公司的月收益为11040元，此时租出设备32套．因为出租37套和32套设备获得同样的收益，如果考虑减少设备的磨损，应该选择出租32套；如果考虑市场的占有率，应该选择出租37套；（4）y=-110x2+65x+540=y-110（x2-2×325x+3252）+540+110×3252=-110（x-3252∴当x=325时，y有最大值11102.5，但是，当月租金为325元时，租出设备套数为34.5，而34.5不是整数，故租出设备应为34（套）或35（套），即当月租金为330元（•租出34套）或月租金为320元（租出35套）时，租赁公司的月收益最大，•最大月收益均为11100元．考前热身训练1．（A ） 2．1000元3．（1）分情况计算比较．①设购甲种电视机x 台，乙种电视机y 台，则501500210090000x y x y +=⎧⎨+=⎩解之得x=25，y=25 ②设甲种电视机购x 台，丙种电视机购z 台，则501500250090000x z x z +=⎧⎨+=⎩解得x=35，z=15 ③设购乙种电视机y 台，丙种电视机z 台，则502100250090000y z y z +=⎧⎨+=⎩解之得y=87.5，z=-37.5（舍去） 故应选①、②方案．（2）①当购甲种25台，乙种25台时，获得：150×25+200×25=8750元； ②当购甲种35台，丙种15台时，获利：150×35+250×15=9000元． 故应选第②种方案．4．（1）设甲种客车有x 个座位，则乙种客车有（x+20）个座位，依题意，3603604020x x +=++1 解之得x 1=60，x 2=-120（舍） （2）设租用甲种客车y 辆，则租用乙种客车（y+1）辆，由于单独租用甲种客车需6辆，单独租用乙种客车需5辆，租金都是2400元，所以得 400y+480（y+1）<2400， y<2411，∴y=1或2． 当y=1时，y+1=2，则60×1+80×2=220<360（舍）． 当y=1时，y+1=3，则60×2+80×3=360． 此时，租金为400×2+480×3=2240（元）． 5．（1）设宽AB 为x 米，则BC 为（24-3x ）米． 这时面积S=x （24-3x ）=-3x 2+24x ． （2）由条件-3x 2+24x=45，化为x 2-8x+15=0，解得 x 1=5，x 2=3． ∵0<24-3x ≤10得143≤x<8， ∴x 2不合，AB=5，即花圃的宽AB 为5米．（3）S=-3x 2+24x=-3（x 2-8x ）=-3（x-4）2+48，∵143≤x<8，当∴x=143时，S有最大值48-3（143-4）2=4623（米2）能，围法：24-3×143=10，花圃的长为10米，宽为423米，这时有最大面积4623平方米．。
中考数学专题目讲座探究操作问题目
中考数学专题目讲座探究操作问题目版权所有@中国教育考试资源网中考数学专题讲座 探究、操作性问题【知识纵横】探索研究是通过对题意的理解，解题过程由简单到难，在承上启下的作用下，引导学生思考新的问题，大胆进行分析、推理和归纳，即从特殊到一般去探究，以特殊去探求一般从而获得结论，有时还要用已学的知识加以论证探求所得结论。
操作性问题是让学生按题目要求进行操作，考察学生的动手能力、想象能力和概括能力。
【典型例题】 【例1】（江苏镇江)探索研究如图，在直角坐标系xOy 中，点P 为函数214y x =在第一象限内的图象上的任一点，点A 的坐标为(01)，，直线l 过(01)B -，且与x 轴平行，过P 作y 轴的平行线分别交x 轴，l 于C Q ，，连结AQ 交x 轴于H ，直线PH 交y 轴于R ．（1）求证：H 点为线段AQ 的中点；（2）求证：①四边形APQR 为平行四边形； ②版权所有@中国教育考试资源网平行四边形APQR 为菱形； （3）除P 点外，直线PH 与抛物线214y x =有无其它公共点？并说明理由．【思路点拨】（2）①证RAH PQH ∴△≌△；②设214P m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，证AP=PQ ;（3）求直线PR 的解析式与抛物线方程21y x =组成联立方程组，讨论方程组解的情况。
【例2】（福建南平）（1）如图1，图2，图3，在ABC △中，分别以AB AC，x l Q C PA O BH Ry为边，向ABC△外作正三角形，正四边形，正五边形，BE CD，相交于点O．①如图1，求证：ABE ADC△≌△；②探究：如图1，BOC∠=；如图2，BOC∠=；如图3，BOC∠=．（2）如图4，已知：AB AD，是以AB为边向ABC△外所作正n边形的一组邻边；AC AE△外所，是以AC为边向ABC作正n边形的一组邻边．BE CD，的延长相交于点O．①猜想：如图4，BOC∠=（用含n的式子表示）；②根据图4证明你的猜想．【思路点拨】（2）②由正n边形的内角定理，证ABE ADC∴△≌△。
中考数学中的开放性问题省公开课一等奖全国示范课微课金奖课件
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都心中有愧啊……”大哥表示十分歉意。 “来来来，让我们弟兄共同敬弟妹一杯……”二哥第一个端起了酒杯。肖燕执意不过哥嫂们一再 催让，只好端起酒杯招呼起大家来，“依我看……我们全家还是共同敬爹妈一杯，祝二老健康长寿，越活越年轻……” “好！ 这酒喝真 香……有滋有味！ ”我不禁脱口而出，二十五年了，我还是第一次同肖燕坐在一起喝酒，这也是她人生之中第一次喝酒，喝下后，用手扇 着嘴巴，向我做个鬼脸。 “来来来，把酒都倒满，我们弟兄八个共同敬老爹一杯……”我招呼着大家把肖燕解脱出来。 “老六啊，娘可把 丑话说在前头，明天小荷和娇娇一起回南方，荷花也要回山西……一大堆儿事等着你处理，今晚你可不准喝多了……”母亲打断了我话一 板一眼地说：“不论是谁说话要有分寸，喝了酒不能说一句醉话！ ”母亲环视着大家，我清楚地感觉到母亲是在提醒知情人，相关娇娇身 世谁也不能提起！ 然而，家宴才开始很快，我们爷们气氛刚才进入状态，我父亲却声称他喝多了……这是我有生以来第一次见父亲喝多了 酒，也是第一次听父亲说他喝醉了话……其实，在我记忆里这是父亲喝酒最少一次。俗话说‘醉汉子醉死都不认半壶酒钱’，我那从来不 认输父亲却认可自己醉了……把父亲安置好，等全家人回到了餐厅。父亲握着我那双手才慢慢松开，一骨碌从床上坐了起来，颤动地对我 说：“六儿啊……你认为爹真喝多了吗？爹喝了一辈子酒从来不知喝醉了酒是啥滋味……今天……爹面对我孙女们……无地自容……心里 添堵啊……” “爹……你这是说哪儿话呢……”我即使极力地控制着自己心情，不过还是情不自禁地流出了泪；经过泪眼，我依稀地看到 父亲已是泪流满面……月白风清，天空中传来了大雁叫声。抬头望去，在雪白月光下，三只大雁摆成人字形欢叫着飞向南方。听老人们说， 大雁是有灵气，他们不论是三个一簇或五个一群，总是有一个领头飞在最前面，每当一个领头累了，就立刻换上另一个去领飞。 他们这种 团结友爱精神不禁使我想起了这么一句话：喜悦分给两个人就变成了两份喜悦；痛苦分给两个人就降低了二分之一痛苦。大雁都知道这种 有福同享受难共当道理，更何况是我们人类呢！ “苏林，天晚了，回屋睡吧……”不知何时，妻子已来到我身旁。 “肖燕，我心里很 乱……想一个人静一静……” “小心别着凉……女儿屋里还亮着灯，可能她们还在收拾行装，我去看看……”肖燕说着便去了女儿卧室。 我知道这是她借口而已，因为女儿背包她已检验过无数遍了。现在她只不过是再去多看女儿一眼，她实在是舍不得女儿们离开……月白风 清，我思绪随风而去。回想起二十多年来走过路，即使没
中考数学复习专题讲座探究型问题(含详细参考答案)
中考数学复习专题讲座探究型问题一、中考专题诠释探究型问题是指命题中缺少一定的条件或无明确的结论，需要经过推断，补充并加以证明的一类问题．根据其特征大致可分为：条件探究型、结论探究型、规律探究型和存在性探究型等四类．二、解题策略与解法精讲由于探究型试题的知识覆盖面较大，综合性较强，灵活选择方法的要求较高，再加上题意新颖，构思精巧，具有相当的深度和难度，所以要求同学们在复习时，首先对于基础知识一定要复习全面，并力求扎实牢靠；其次是要加强对解答这类试题的练习，注意各知识点之间的因果联系，选择合适的解题途径完成最后的解答．由于题型新颖、综合性强、结构独特等，此类问题的一般解题思路并无固定模式或套路，但是可以从以下几个角度考虑：1．利用特殊值（特殊点、特殊数量、特殊线段、特殊位置等）进行归纳、概括，从特殊到一般，从而得出规律．2．反演推理法（反证法），即假设结论成立,根据假设进行推理，看是推导出矛盾还是能与已知条件一致．3．分类讨论法．当命题的题设和结论不惟一确定，难以统一解答时，则需要按可能出现的情况做到既不重复也不遗漏，分门别类加以讨论求解，将不同结论综合归纳得出正确结果．4．类比猜想法．即由一个问题的结论或解决方法类比猜想出另一个类似问题的结论或解决方法，并加以严密的论证．以上所述并不能全面概括此类命题的解题策略，因而具体操作时，应更注重数学思想方法的综合运用．三、中考考点精讲考点一：动态探索型：此类问题结论明确，而需探究发现使结论成立的条件．例1 （2015•自贡）如图所示，在菱形ABCD中，AB=4，∠BAD=120°，△AEF为正三角形，点E、F分别在菱形的边BC、CD上滑动，且E、F不与B、C、D重合．（1）证明不论E、F在BC、CD上如何滑动，总有BE=CF；（2）当点E、F在BC、CD上滑动时，分别探讨四边形AECF 和△CEF的面积是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最大（或最小）值．考点：菱形的性质；二次函数的最值；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质。
中学数学讲座题目精选
中学数学讲座题目精选"浅谈数学教师应如何授课？"浅谈数学教师应如何授课？"激发孩子的好奇心是数学教育的重要任务"激发孩子的好奇心是数学教育的重要任务"浅谈问题与好奇的关系"浅谈问题与好奇的关系"例说中考数学探究性试题的解答策略"例说中考数学探究性试题的解答策略"初中数学教学中思维品质的培养"初中数学教学中思维品质的培养"如何培养学生的思维能力"如何培养学生的思维能力"浅谈初中数学教材使用中的一点思考"浅谈初中数学教材使用中的一点思考"北京京翰教育“虎状元”中高考提分王冲刺行动"北京京翰教育“虎状元”中高考提分王冲刺行动"如何实现师生互动的反思模式构建？"如何实现师生互动的反思模式构建？"浅谈三种学习方法与学习境界"浅谈三种学习方法与学习境界"关于初中数学教改中的能力培养"关于初中数学教改中的能力培养"关于初中数学教学教改的出路"关于初中数学教学教改的出路"关于初中数学教改的困惑"关于初中数学教改的困惑"专题讲座期末考后家长需注意的五个问题"专题讲座期末考后家长需注意的五个问题7"做好期末考试总结的三个方面"做好期末考试总结的三个方面"初三数学有关三角形与四边形的竞赛专题讲座"初三数学有关三角形与四边形的竞赛专题讲座"初中数学专题讲座中考复习方法"初中数学专题讲座中考复习方法"初中数学新课程教学心得体会"初中数学新课程教学心得体会"探究初二学习两极分化的原因"探究初二学习两极分化的原因"浅谈“问题解决”和中学数学课程"浅谈“问题解决”和中学数学课程"浅谈初中学生数学解题错误解析"浅谈初中学生数学解题错误解析"解析中学数学学法指导"解析中学数学学法指导"浅淡数学教学中的合作学习"浅淡数学教学中的合作学习"数学学习与数学迁移"数学学习与数学迁移"关于现代中学数学教育的思考"关于现代中学数学教育的思考浅谈数学教师应如何授课？教师在设计一堂课时，新课的引入，题目的选取及安排是上好一节课的前提条件。
中考数学复习专题讲座3开放性问题含详细参考答案
年中考数学复习专题讲座三：开放性问题一、中考专题诠释开放型问题是相对于有明确条件和明确结论的封闭型问题而言的，它是条件或结论给定不完全、答案不唯一的一类问题．这类试题已成为近年中考的热点，重在考查同学们分析、探索能力以及思维的发散性，但难度适中．根据其特征大致可分为：条件开放型、结论开放型、方法开放型和编制开放型等四类．二、解题策略与解法精讲解开放性的题目时，要先进行观察、试验、类比、归纳、猜测出结论或条件，然后严格证明；同时，通常要结合以下数学思想方法：分类讨论，数形结合，分析综合，归纳猜想，构建数学模型等。
三、中考考点精讲考点一：条件开放型条件开放题是指结论给定，条件未知或不全，需探求与结论相对应的条件．解这种开放问题的一般思路是：由已知的结论反思题目应具备怎样的条件，即从题目的结论出发，逆向追索，逐步探求．例（•义乌市）如图，在△中，点是的中点，作射线，在线段及其延长线上分别取点、，连接、．添加一个条件，使得△≌△，并加以证明．你添加的条件是．（不添加辅助线）．考点：全等三角形的判定。
专题：开放型。
分析：由已知可证∠﹦∠，又∠﹦∠，因为三角形全等条件中必须是三个元素，并且一定有一组对应边相等．故添加的条件是：（或∥或∠∠或∠∠等）；解答：解：（）添加的条件是：（或∥或∠∠或∠∠等）．（）证明：在△和△中点评：三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．考点二：结论开放型：给出问题的条件，让解题者根据条件探索相应的结论并且符合条件的结论往往呈现多样性，这些问题都是结论开放问题．这类问题的解题思路是：充分利用已知条件或图形特征，进行猜想、类比、联想、归纳，透彻分析出给定条件下可能存在的结论，然后经过论证作出取舍．例（•宁德）如图，点、分别是上的两点，∥，，．问：线段、有什么数量关系和位置关系？并加以证明．考点：全等三角形的判定与性质；平行线的性质；平行线的判定与性质。
初中数学试卷命题讲座题目
一、讲座背景随着新课程改革的深入推进，初中数学教学评价方式也在不断变革。
试卷命题作为教学评价的重要手段，其质量直接影响着教学效果和学生的发展。
为了帮助广大初中数学教师更好地掌握试卷命题的策略与技巧，提高试卷命题质量，特举办本次讲座。
二、讲座目的1. 提高教师对初中数学试卷命题重要性的认识；2. 帮助教师掌握试卷命题的基本原则和策略；3. 提升教师试卷命题的技巧，提高试卷的信度和效度；4. 促进教师对初中数学教学评价方法的深入研究。
三、讲座内容1. 初中数学试卷命题概述- 试卷命题的意义和作用- 试卷命题的基本原则- 试卷命题的基本要求2. 试卷命题策略- 确定试卷命题的目标- 选择合适的命题内容- 制定试卷结构- 设计试题类型- 设置试题难度3. 试题设计技巧- 确定试题知识点- 设计题干和选项- 设置试题难度梯度- 避免命题陷阱- 试题语言规范4. 试卷评价与反馈- 试卷评价标准- 试题评分细则- 试卷分析及反馈5. 案例分析- 分析典型试卷的命题特点- 举例说明不同类型试题的设计方法- 讨论试卷命题中的常见问题及解决策略四、讲座形式1. 讲座授课：邀请具有丰富教学经验和命题经验的专家进行专题讲座；2. 互动交流：组织教师针对讲座内容进行讨论，分享命题经验；3. 案例分析：选取具有代表性的试卷进行分析，帮助教师理解命题策略和技巧；4. 试题设计：现场设计试题，检验教师对命题技巧的掌握程度。
五、讲座时间与地点时间：2022年X月X日（星期X）上午9:00-11:30地点：XX中学报告厅六、讲座对象初中数学教师、教研员、教育管理者等相关人员七、讲座报名请有意参加本次讲座的教师于2022年X月X日前通过电话或电子邮件报名，报名电话：XXX-XXXXXXX，报名邮箱：***********。
八、讲座费用本次讲座免费，无需缴纳任何费用。
九、讲座总结通过本次讲座，希望广大初中数学教师能够掌握试卷命题的策略与技巧，提高试卷命题质量，为学生的全面发展提供有力保障。
中考数学专题讲座试题1.docx
［028］已知:抛物线y = ax2+/U + C(QH0)的对称轴为x = -l,与兀轴交于A, B两点, 与y轴交于点C,其中4(-3,0)、C(0,-2).(1)求这条抛物线的函数表达式.(2)已知在对称轴上存在一点P,使得APBC的周长最小•请求出点P的坐标.(3)若点D是线段OC上的一个动点(不与点0、点C重合)•过点D作DE// PC交x轴于点E.连接PD、PE.设CD的长为加，APDE的而积为S.求S与加之间的函数关系式.试说明S是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由.【029】如图14 (1),抛物线yd兀+比与*轴交于4、B两点、,与y轴交于点C(0, -3).［图14 (2)、图14 (3)为解答备用图］(1)k=___________ ，点力的坐标为_____________ ，点B的坐标为__________ ；(2)设抛物线y = x2-2x + k的顶点为M,求四边形ABMC的面积；(3)在x轴下方的抛物线上是否存在一点D,使四边形ABDC的而积最大？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；(4)在抛物线y =〒_2兀+ £上求点Q,使ABCQ是以BC为直角边的直角三角形.图14 (2) 图14 (3)【030】如图所示，在平而直角坐标系中，抛物线y = o? +加+ ©( Q北0 )经过A(-1,0), B(3,0), C(0,3)三点，其顶点为D,连接点P是线段BD上一个动点(不与B、D 重合)，过点P作y轴的垂线，垂足为E,连接BE.(1)求抛物线的解析式，并写出顶点D的坐标；(2)如果P点的坐标为(兀，刃，APBE的面积为求£与兀的函数关系式，写出自变量兀的取值范围，并求出$的最大值；(3)在(2)的条件下，当s取得最大值时，过点P作兀的垂线，垂足为F,连接EF, 把APEF沿直线EF折叠，点P的对应点为P,请直接写出P点坐标，并判断点P是否在该抛物线上.【031】如图18,抛物线F：y = cix2 +bx + c的顶点为P,抛物线：与y轴交于点4, 与直线OP交丁•点B.过点P作PD丄x轴于点D,平移抛物线F使其经过点4、D得到抛物线F : y = a,x2 +b,x + c,f抛物线F'与x轴的另一个交点为C.(1)当a二1, b二一2, c二3时，求点C的朋标(直接写出答案)；⑵若a、b、c满足了b2 = 2ac①求b：b1的值；②探究四边形MBC的形状，并说明理由.[032]已知二次函数y = G F +加+ ©( Q工0 )的图象经过点A(l,0), B(2,0), C(0, — 2), 直线x = m (/?? > 2 )与兀轴交于点D・(1)求二次函数的解析式；(2)在直线x = m (m>2)上有一点E (点E在第四象限)，使得E、D、B为顶点的三角形与以A、0、C为顶点的三角形相似，求E点坐标(用含加的代数式表示)；(3)在(2)成立的条件下，抛物线上是否存在一点F,使得四边形ABEF为平行四边形？若存在，请求出加的值及四边形ABEF的面积；若不存在，请说明理由.【033】如图，在直角他标系中，矩形ABCD的边AD在丿轴止半轴上，点4、C的处标分别为（0, 1）、（2, 4）•点P从点4出发，沿以每秒1个单位的速度运动, 到点C停止；点Q在x轴上，横处标为点P的横、纵处标之和.抛物线），=-丄F+bx + c4经过力、C两点.过点P作x轴的垂线，垂足为M,交抛物线于点R.设点P的运动时间为t （秒），厶PQR的面积为S （平方单位）.（1）求抛物线对应的函数关系式. （2）分別求=1和仁4时，点Q的坐标. （3）当0VfW5时，求S与t之间的函数关系式，并直接写出S的最大值.(2) 连结AC. BC.因为BC 的长度一定，所以APBC 周长最小，就是使PC+PB 最 小. B 点关于对称轴的对称点是A 点，AC 与对称轴x = -l 的交点即为所求的点P.设直线AC 的表达式为心+ b 则；葺"解得二・・・此直线的表达式为尸-討2・4 / 4、把x = -\代入得y = -一 .・・P 点的坐标为-1,-一3 \ 3 ?(3) S 存在最大值，理由：・・・DE 〃PC,即DE 〃AC.・人八人c ・OD OE 2-m OE・・/\OED s △CMC ・・・ = ,即 --------- = .OC OA 2 3A OE = 3--m, AE = 3, OE = -m 2 2S = S 四边形PDOE _ = S^POE + S 厶POD _ SgED方法—k ：S = S^OAC — S\0ED ~ S 、AEP ~ S'PCD1 3 4 1— x — mx xmx2 23 2=_訶+討=一訥_1)= .,_扌＜0,.当,” =1时,S 卄扌 .............................. 9分【028】解: (1) rti 题意得痔“v 9d-3b + c = 02解得r3 c = -27 4此抛物线的解析式为宀厂2....................................................................... 3分方法一：连结OP,1=—X 23--m 23 2 3 =——m + — m4 2・・・弓＜0・••当心时, s 最大= 3 3 ——+ — 4 2 ............ 9分=—x3x2 — x2 2(2_〃2)X ]_*Xx【029】解：(1) k = -3, (_i, o ), B (3, 0) . 3 分(2)如图14 (1),抛物线的顶点为M (1, -4),连结OM.贝I 」AAOC 的而积二2 , AMOC 的而积二2, AMOB 的而积二6,・•・四边形ABMC 的面积二AAOC 的面积+AMOC 的面积+AMOB 的面积二9・6分 说明：也可过点M 作抛物线的对称轴，将四边形ABMC 的而 积转化为求1个梯形与2个直角三角形面积的和.(3)如图 14 (2),设 D (m, m 2-2m-3),连结 OD.则 0<m<3, -2m-3 <o.且 AAOC 的而积二 2 , ADOC 的而积二 2 3ADOB 的面积=2 (m 2 -2m-3),_・•・四边形ABDC 的面积二AAOC 的面积+ADOC 的面积+ADOB 的面积 3 .9 3 3 . 75,3 15. 75 (—, )・•・存在点D 2 4 ,使四边形ABDC 的面积最大为8 .(4)有两种情况:图 14 (2)图14 (3)图14 (4)如图14 （3）,过点B 作BQ1丄BC,交抛物线于点Q1、交y 轴于点E,连接QIC.・・・ ZCB0=45°,・\ZEBO=45°, B0=0E=3.・••点E 的坐标为（0, 3）.・・・直线BE 的解析式为尸-x + 3.12分J y = -x + 3, J Xj = - 2, |x 2 = 3,由兀-3解得汕=5；卩2=°・.・・点QI 的处标为（・2, 5） .13分如图14 （4）,过点C 作CF 丄CB,交抛物线于点Q2、交x 轴于点F,连接BQ2.・・• ZCBO=45°, ・・・ZCFB 二45。
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中考数学专题讲座开放性问题
概述：
这类题在命题条件不变的情况下，命题结论不唯一，•或在命题结论不变的条件下，条件不唯一，解答这类题要求较高，要求对所学基础知识全面掌握．
典型例题精析
例1．如图，D为△ABC边AB上一点，满足________条件时，△ADC∽△ACB．
分析：要求对相似三角形的判定定理全面掌握．
（1）∠ACD=∠B，
（2）∠ADC=∠ACB，
（3）A C2=AD·AB．
例2．如图，四边形ABCD是矩形，O是它的中心，E、F是对角线AC•上的点．
（1）如果_______，则△DEC≌△BFA（请你填上能使结论成立的一个条件）．
（2）证明你的结论．
（1）AE=CF （OE=OF；DE⊥AC、BF⊥AC；DE∥BF等等）
（2）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD且AB∥CD，∴∠CDE=∠BAF．
∵AE=CF，∴AC-AE=AC-CF，
即AF=CE，∴△DEC≌△BFA．
例3．如图，AB是⊙O的直径，CB、CD分别切⊙O于点B、D，CD与BA的延长线交于点E，连结OC、OD．
（1）求证：△OBC≌△ODC；
（2）已知DE=a，AE=b，BC=c，请你思考后，选用以上适当的数，设计
出算⊙O•半径的一种方案：
①你选用的已知数是_____________；
②写出求解的过程．（结果用字母表示）
（1）证明：∵CD、CB是⊙O的切线，
∴∠ODC=∠OBC=90°，OD=OB，OC=OC，
∴△OBC≌△ODC（HL）．
（2）①选择a、b、c，或其中2个均可．
②若选择a、b．由切割线定理：a2=b（b+2r），得r=
22
2
a b
b
-
，
若选择a、b、c．在Rt△EBC中，由勾股定理：（b+2r）2+c2=（a+c）2．
得
．
若选择b、c，则有关系式2r3+br2-bc2=0．
例4．如图所示，△ABC中，点D在AB上，点E在BC上，BD=BE．
（1）请你再添加一个条件，使得△BEA≌△BDC，•并给出证明•，•你添加的条件是：___________，
根据你添加的条件，再写出图中的一对全等三角形_______．（•只要求写出一对全等三角形，不再添加
其他线段，不再标注或使用其他字母，•不必写出证明过程）
解：添加条件列举：BA=BC；∠AEB=∠CDB；∠BAC=∠BCA；∠BCD=
∠BAE等，证明列举（以添加条件∠AEB=∠CDB为例）
∵∠AEB=∠CDB，BE=BD，∠B=∠B，
∴△BEA≌△BDC．
另一对全等三角形是：△ADF≌△CEF或△AEC≌△CDA．
中考样题训练
1．如图1，已知AC=BD，•要使△ABC•≌△DCB，•只需增加的一个条件是__________________．
C
A D
E
C
A
B
D
O
E
C
A
B
D
(1) (2) (3)
2．如图2，AB=AC，要使△ABE≌△ACD，应添加的条件是_________（•添加一个条件即可）．
3．聪明的亮亮用含有30•°角的两个完全相等的三角板拼成如图3所示的图案，并发现图中有等腰三角
形，请你帮他找出两个等腰三角形：________．
4．已知，如图4,AC⊥BC，BD⊥BC，AC>BC>BD，•请你添加一个条件使△ABC∽△CDB，你添加的条件是___．
5．若二次函数y=x2-4x+c的图象与x轴没有交点，其中c为整数，•则c=_______（只要求写出一个）．
6．已知：如图5，点C、D在线段AB上，PC=PD．
请你添加一个条件，使图中存在全等三角形，并给予证明．
所添条件为_____________，得到的一对全等三角形是△_______≌△______．
考前热身训练
E C
A
B
F
D
1．已知x2-ax+6在整数范围内可分解因式，则整数a的值是________（只填一个）．
2．有一个二次函数的图象，三位学生分别说出了它的一些特点．
甲：对称轴是x=4；
乙：与x轴两个交点的横坐标都是整数；
丙：与y轴交点的纵坐标也为整数．
且以这三个交点为顶点的三角形面积为3．
请你写出一个满足上述全部特点的二次函数．
3．如图，已知AD∥BC，要使四边形ABCD为平行四边形，需要增加的条
件__________________．（•只填一个你认为正确的条件即可）
4．以x=1为根，并且包含加减乘除运算的一元一次方程是_________________________．（•只需写满足条件的一个方程即可）
5．如图，⊙O是等边△ABC的外接圆，AB=2，M、N分别是边AB、AC的中点，直线MN交⊙O于E、F两点，BD∥AC交直线MN于点D，求出图中线段DN上已有的线段的长．
6．已知点O是正六边形的中心，现要用一条直线把它的面积分成相等的两
部分，•请分别用两种不同的方法画出这条直线．（画图工具不限）
7．如图，∠1=∠2，若再增加一个条件就能使结论“AB．DE=AD．BC”成立，•则这
个条件可以是__________．
答案:
中考样题看台
1．AB=DC 2．∠B=∠C 3．△ABE，△BEC，△CED，只要写出个即可
4．•∠CAB=•∠BCD或∠CBA=∠BDC或BC2=AC·BD
5．只要大于4的整数均可
6．∠A=∠B（或PA=PB）• •PAC PBD或△APD≌△BPC
考前热身训练
1．5或-5，7或-7
2．y=1
5
x2-
8
5
x+3或y=-
1
5
x2+
8
5
x-3
或y=1
7
x2-
8
7
x+1或y=-
1
7
x2+
8
7
x-1
3．AD=BC或AB∥DC 4．3x-3=0
5．由已知不难得出MN∥BC，MN=
1
2
BC=1，
△BMD≌△AMN，
∴DM=MN=1，连结OA交MN于点G，则OA⊥BC
∴OA⊥EF，
∴EG=FG，MG=NG，
∴EM=FN，ME·MF=MA·MB，
∴EM（EM+1）=1，解之得
，
∴
DE=DM-EM=
3
2
-
．
6．过正六边形的中心画直线．
7．∠B=∠D或∠C=∠AED或AD：AB=AE：AC等．
（本资料素材和资料部分来自网络，仅供参考。
请预览后才下载，期待您的好评与关
注！）
A
E
A
B
D
2
1。