高中数学限时训练20(必修2)
人教版2020-2021学年高二第一学期数学必修2限时训练
2020-2021学年度高二第一学期数学限时训练6完成时间：60分钟 使用时间：2020.10.14一、选择题（单选每题5分，多选题每题5分，少选得三分，错选不得分，共60分）1．已知圆锥的高和底面半径都为1，则其侧面积为（ ）A ．B ．πC ．D ．（）π2.已知圆锥的高和底面半径都为1，则其侧面积为（ ）A ．B ．πC ．D ．（）π 3．直线l 与平面α内的两条直线都垂直，则直线l 与平面α的位置关系是 （ ）A 、平行B 、垂直C 、在平面α内D 、无法确定4．不同直线,m n 和不同平面,αβ，给出下列命题① 若////m m αββα⎫⇒⎬⊂⎭ ② 若//////m n n m ββ⎫⇒⎬⎭③ 若,m m n n αβ⊂⎫⇒⎬⊂⎭异面 ④ 若//m m αββα⊥⎫⇒⊥⎬⎭其中假命题有（ ） A 、0个 B 、1个 C 、2个 D 、3个5．正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为1,则点A 到△A 1BD 所在平面的距离为（ ）A 、1B 、33C 、23D 、216．在三棱锥A ﹣BCD 中，AD ⊥CD ，AB ＝BC ＝2，，，则该三棱锥的外接球的表面积为（） A ．8π B ．9π C ．10π D ．12π7．如图所示，在四面体中，若直线EF 和GH 相交，则它们的交点一定（ ）A ．在直线DB 上 B ．在直线AB 上C ．在直线CB 上D ．都不对8．用与球心距离为1的平面去截球，所得截面圆的面积为π，则球的表面积为（ ）A ．B ．C ．8πD ．9．设，为两条不同的直线，，为两个不同的平面，下列命题中正确的为（ ） A ．若，，，则 B ．若，，，则C ．若，，，则D ．若，，，则 m n αβαβ⊥m α⊂n β⊂m n ⊥αβ∥m α⊂n β⊂m n ∥αβ⊥m αβ=m n ⊥n β⊥αβ∥m α⊥n β∥m n ⊥10．矩形中，，，，分别是边，的中点，将正方形沿位置，使得二面角的大小为，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）A ．B ．C ．D ．11.（多选题）如图，四边形ABCD 中，AB ＝AD ＝CD ＝1，BD ，BD ⊥CD ．将四边形ABCD 沿对角线BD 折成四面体A ′﹣BCD ，使平面A ′BD ⊥平面BCD ，则下列结论错误的是（ ）A ．A ′C ⊥BDB ．∠BA ′C ＝90°C ．CA ′与平面A ′BD 所成的角为30° D ．四面体A ′﹣BCD 的体积为12．（多选题）如图,ABCD -A 1B 1C 1D 1为正方体,下面结论正确．．的是（ ）（A ）BD ∥平面CB 1D 1;(B)AC 1⊥BD ;(C)AC 1⊥平面CB 1D 1;(D)异面直线AD 与CB 1所成的角为60°二、填空题（每题5分，共20分）13．如图，△A 'O 'B '为水平放置的△AOB 斜二测画法的直观图，且O 'A '＝2，O 'B '＝3，则△AOB 的周长为 ．14．在一个长方体形的铁盒内有一个小球，铁盒共一顶点的三个面的面积分别是、、，则小球体积的最大值为 ．15．已知一条与平面α相交的线段，长度为10cm ，两端点到平面α的距离分别是2cm ，3cm ，这条线段与平面α所成角是 .16．若将一个圆锥的侧面沿一条母线展开，其展开图是半径为5，面积为15π的扇形，则与该圆锥等体积的球的半径为 ．二、解答题（每题12分，共24分）17、如图四边形ABCD 为菱形，G 为AC 与BD 交点，BE ⊥平面ABCD ，ABCD 2AB =1AD =E F AB CD ADFE 11A D FE 1A EF B --120︒1A F CE 51034121010（Ⅰ）证明：平面AEC⊥平面BED；（Ⅱ）若，AE⊥EC三棱锥E﹣ACD的体积为，求BE的长．18．如图，已知直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AB＝1，BC＝2，，过A作AE⊥CD，垂足为E，现将△ADE沿AE折叠，使得DE⊥EC．（1）求证：BC⊥面CDE；（2）在线段AE上是否存在一点R，使得面BDR⊥面DCB，若存在，求出点R的位置；若不存在，请说明理由．高二晚测6（A卷）参考答案1-5 AADDB 6-10 AACDB 11. ACD 12.ABC13. 12 14.615.030 16.39 17.【解析】解：（Ⅰ）证明：∵四边形ABCD 为菱形，∴AC ⊥BD ，又BE ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ， ∴BE ⊥AC ，由BD ∩BE ＝B ，BD ，BE 都在平面BDE 内，∴AC ⊥平面BDE ，又AC ⊂平面AEC ，∴平面AEC ⊥平面BED ；（Ⅱ）不妨设菱形的边长为x ，AC 与BD 的交点为O ，则，∵AE ⊥EC ， ∴，∴，∴，解得x ＝2， ∴．18.【解析】解：（1）∵AE ⊥CD ，∴AE ⊥CE ，AE ⊥DE ，又CE ∩DE ＝E ，∴AE ⊥平面CDE ．由已知易得AE ∥BC ，∴BC ⊥平面CDE ；（2）存在，当R 点满足时，面BDR ⊥面BDC ．证明：如图，过点E作EF⊥CD交CD于F，易得，由（1）可知BC⊥平面CDE，则BC⊥EF，∴EF⊥平面BCD，过点F作FG∥BC交BD于G，连结GR，则，又，且BC∥AE，∴四边形EFGR是平行四边形，∴EF∥GR，∴GR⊥平面BCD，又GR⊂平面BDR，∴面BDR⊥面BDC．。
高中数学必修2课后限时训练28 圆的一般方程
高中数学必修2课后限时训练28 圆的一般方程一、选择题1．两圆x 2＋y 2－4x ＋6y ＝0和x 2＋y 2－6x ＝0的圆心连线方程为( )A ．x ＋y ＋3＝0B ．2x －y －5＝0C ．3x －y －9＝0D ．4x －3y ＋7＝0答案：C解析：两圆的圆心分别为(2，－3)、(3,0)，直线方程为y ＝0＋33－2(x －3)即3x －y －9＝0，故选C. 2．圆C ：x 2＋y 2＋x －6y ＋3＝0上有两个点P 和Q 关于直线kx －y ＋4＝0对称，则k ＝( )A ．2B ．－32C ．±32D ．不存在 答案：A解析：由题意得直线kx －y ＝4＝0经过圆心C (－12，3)，所以－k 2－3＋4＝0，解得k ＝2.故选A. 3．当a 取不同的实数时，由方程x 2＋y 2＋2ax ＋2ay －1＝0可以得到不同的圆，则( )A ．这些圆的圆心都在直线y ＝x 上B ．这些圆的圆心都在直线y ＝－x 上C ．这些圆的圆心都在直线y ＝x 或y ＝－x 上D ．这些圆的圆心不在同一条直线上答案：A解析：圆的方程可化为(x ＋a )2＋(y ＋a )2＝2a 2＋1，圆心为(－a ，－a )，在直线y ＝x 上．4．若圆x 2＋y 2－2ax ＋3by ＝0的圆心位于第三象限，那么直线x ＋ay ＋b ＝0一定不经过( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案：D解析：圆x 2＋y 2－2ax ＋3by ＝0的圆心为(a ，－32b )， 则a <0，b >0.直线y ＝－1a x －b a ，其斜率k ＝－1a >0，在y 轴上的截距为－b a>0，所以直线不经过第四象限，故选D.5．在圆x 2＋y 2－2x －6y ＝0内，过点E (0,1)的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面只为( )A ．5 2B ．102C ．15 2D ．202答案：B解析：圆x 2＋y 2－2x －6y ＝0化成标准方程为(x －1)2＋(y －3)2＝10，则圆心坐标为M (1,3)，半径长为10.由圆的几何性质可知：过点E 的最长弦AC 为点E 所在的直径，则|AC |＝210.BD 是过点E 的最短弦，则点E 为线段BD 的中点，且AC ⊥BD ，E 为AC 与BD 的交点，则由垂径定理可是|BD |＝2|BM |2－|ME |2＝210－[(1－0)2＋(3－1)2]＝2 5.从而四边形ABCD 的面积为12|AC ||BD |＝12×210×25＝10 2. 6．已知两定点A (－2,0)，B (1,0)，如果动点P 满足|P A |＝2|PB |，则点P 的轨迹所包围的图形的面积等于( )A ．πB ．4πC ．8πD ．9π答案：B解析：设点P 的坐标为(x ，y )，则(x ＋2)2＋y 2＝4[(x －1)2＋y 2]，即(x －2)2＋y 2＝4，所以点P 的轨迹是以(2,0)为圆心，2为半径长的圆，故面积为π×22＝4π.二、填空题7．圆心是(－3,4)，经过点M (5,1)的圆的一般方程为________．答案：x 2＋y 2＋6x －8y －48＝0解析：只要求出圆的半径即得圆的标准方程，再展开化为一般式方程．8．设圆x 2＋y 2－4x ＋2y －11＝0的圆心为A ，点P 在圆上，则P A 的中点M 的轨迹方程是________． 答案：x 2＋y 2－4x ＋2y ＋1＝0解析：设M (x ，y )，A (2，－1)，则P (2x －2,2y ＋1)，将P 代入圆方程得：(2x －2)2＋(2y ＋1)2－4(2x －2)＋2(2y ＋1)－11＝0，即为：x 2＋y 2－4x ＋2y ＋1＝0.9．已知圆C ：x 2＋y 2＋2x ＋ay －3＝0(a 为实数)上任意一点关于直线l ：x －y ＋2＝0的对称点都在圆C 上，则a ＝________.答案：－2解析：由题意可知直线l ：x －y ＋2＝0过圆心，∴－1＋a 2＋2＝0，∴a ＝－2. 三、解答题10．判断方程x 2＋y 2－4mx ＋2my ＋20m －20＝0能否表示圆，若能表示圆，求出圆心和半径．解析：解法一：由方程x 2＋y 2－4mx ＋2my ＋20m －20＝0，可知D ＝－4m ，E ＝2m ，F ＝20m －20，∴D 2＋E 2－4F ＝16m 2＋4m 2－80m ＋80＝20(m －2)2，因此，当m ＝2时，D 2＋E 2－4F ＝0，它表示一个点，当m ≠2时，D 2＋E 2－4F >0，原方程表示圆的方程，此时，圆的圆心为(2m ，－m )，半径为r ＝12D 2＋E 2－4F ＝5|m －2|.解法二：原方程可化为(x －2m )2＋(y ＋m )2＝5(m －2)2，因此，当m ＝2时，它表示一个点，当m ≠2时，原方程表示圆的方程．此时，圆的圆心为(2m ，－m )，半径为r ＝5|m －2|.[点评] (1)形如x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0的二元二次方程，判定其是否表示圆时有如下两种方法：①由圆的一般方程的定义判断D 2＋E 2－4F 是否为正．若D 2＋E 2－F >0，则方程表示圆，否则不表示圆．②将方程配方变形成“标准”形式后，根据圆的标准方程的特征，观察是否可以表示圆．(2)在书写本题结果时，易出现r ＝5(m －2)的错误结果，导致这种错误的原因是没有理解对一个数开偶次方根的结果为非负数．11．自A (4,0)引圆x 2＋y 2＝4的割线ABC ，求弦BC 中点P 的轨迹方程．解析：方法1：(直接法)设P (x ，y )，连接OP ，则OP ⊥BC ，当x ≠0时，k OP ·k AP ＝－1，即y x ·y x －4＝－1， 即x 2＋y 2－4x ＝0. ①当x ＝0时，P 点坐标(0,0)是方程①的解，∴BC 中点P 的轨迹方程为x 2＋y 2－4x ＝0(在已知圆内的部分)．方法2：(定义法)由方法1知OP ⊥AP ，取OA 中点M ，则M (2,0)，|PM |＝12|OA |＝2， 由圆的定义知，P 的轨迹方程是(x －2)2＋y 2＝4(在已知圆内的部分)．12．已知圆经过点(4,2)和(－2，－6)，该圆与两坐标轴的四个截距之和为－2，求圆的方程．解析：设圆的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0.∵圆经过点(4,2)和(－2，－6)，代入圆的一般方程，得⎩⎪⎨⎪⎧4D ＋2E ＋F ＋20＝0， ①2D ＋6E －F －40＝0. ②设圆在x 轴上的截距为x 1、x 2，它们是方程x 2＋Dx ＋F ＝0的两个根，得x 1＋x 2＝－D .设圆在y 轴上的截距为y 1、y 2，它们是方程y 2＋Ey ＋F ＝0的两个根，得y 1＋y 2＝－E .由已知，得－D ＋(－E )＝－2，即D ＋E －2＝0. ③由①②③联立解得D ＝－2，E ＝4，F ＝－20.∴所求圆的方程为x 2＋y 2－2x ＋4y －20＝0.。
高中数学必修2同步训练试卷20 必修2 章节测试题
20期 必修2 章节测试题一、选择题(本大题共12题,每小题5分,共60分)1. 斜率为2的直线经过(3，5)、(a ,7)、(－1,b )三点，则a 、b 的值是( ) A.a =4,b =0 B.a =－4,b =－3 C.a =4,b =－3 D.a =－4,b =32. 若直线Ax+By+C=0与直线x+y=0平行，则（ ） A.A=1，B=1且C ≠0 B.A=B 且C ≠0 C.B=C 且A ≠0 D.A=C 且B ≠03. 过点（2，1）作直线l ，使A （1，1）、B （3，5）两点到l 的距离相等，则直线l 的方程是（ ）A.2x-y-3=0B.x=2C.2x-y-3=0或x=2D.以上都不对 4. 若直线过(－23，9)和(63，－15)两点，则直线l 的倾斜角为（ ）A.60︒B.120︒C.45︒D.135︒ 5. 直线2x －y +k =0和4x －2y +1=0的位置关系是( ) A.平行 B.不平行 C.平行或重合 D.既不平行又不重合6. 如图，已知M (1，0)、N (－1，0)，直线2x +y =b 与线段MN 相交， 则b 的取值范围是( ) A ．［－2,2］ B ．［－1，1］ C ．［－21,21］ D ．［0，2］7. 直线l 的方程为Ax +By +C =0,若l 过原点和二、四象限，则( )A.⎩⎨⎧>=00B CB.⎪⎩⎪⎨⎧>>=000A B C C.⎩⎨⎧<=00AB C D.⎩⎨⎧>=00AB C 8. 点(3，9)关于直线x +3y －10=0对称的点的坐标是( ) A ．(－1,－3) B ．(17,－9) C ．(－1,3) D ．(－17,9) 9. 方程(a －1)x －y +2a +1=0(a ∈R )所表示的直线( ) A ．恒过定点(－2,3) B ．恒过定点(2，3) C ．恒过点(－2,3)和点(2，3) D ．都是平行直线 10. 与已知直线y =－34x +1平行，且不过第一象限的直线的方程是( ) A.3x +4y +7=0B.4x +3y +7=0C.4x +3y －42=0D.3x +4y －42=011. 点P (x ,y )到直线5x －12y +13=0和直线3x －4y +5=0的距离相等，则点P 的坐标应满足的是( )A ．32x －56y +65=0或7x +4y =0B ．x －4y +4=0或4x －8y +9=0C ．7x +4y =0D ．x －4y +4=0 12. 到直线2x +y +1=0的距离为55的点的集合是( ) A.直线2x +y －2=0 B.直线2x +y =0C.直线2x +y =0或直线2x +y －2=0D.直线2x +y =0或直线2x +y +2=0 二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分)13. 直线2x +11y +16=0关于点P (0，1)对称的直线方程是_____. 14. 直线mx+y-m=0，无论m 取什么实数，它都过点 .15. 已知三点A (1，3)、B (－1，－1)、C (2，1)，直线l 平行于BC ，分别交AB 、AC 于点P 、Q ，若△APQ 的面积是△ABC 面积的91，则直线l 的方程是_____. 16. 点P 到直线y=3x-2的距离等于11，则点P 的坐标（x ，y ）应满足的关系式为 . 三、解答题(本大题共6小题, 共74分, 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.（本小题满分12分）求过直线4x －2y －1=0与直线x －2y +5=0的交点且与两点P 1(0，4)、P 2(2,0)距离相等的直线方程．18.（本小题满分12分）求直线x －2y －1=0关于直线x +y －1=0对称的直线的方程． 19.（本小题满分12分）一根弹簧挂6公斤的物体时，长11 cm ，挂9公斤的物体时,长17cm.已知弹簧长度l ( cm)和所挂物体的重量ω(公斤)的关系可以用直线方程来表示.用两点式表示这个方程，并且根据这个方程，求弹簧长为13cm 时所挂物体的重量．20.（本小题满分12分）已知两条直线l 1:ax －by +4=0,l 2:(a －1)x +y +b =0,求分别满足下列条件的a 、b 的值．(1)直线l 1过点(－3,－1)，并且直线l 1与直线l 2垂直；(2)直线l 1与直线l 2平行，并且坐标原点到l 1、l 2的距离相等．21.（本小题满分12分）已知函数f (x )=842222--++-x x x x ，求f (x )的最小值．并求取得最小值时x 值.22.（本小题满分14分）直线y =2x 是△ABC 中∠C 的平分线所在的直线，若A ，B 坐标分别为A (－4，2)，B (3，1)，求点C 的坐标，并判断△ABC 的形状．数学参考答案与解析1. A 解析:由题意得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=---=--.2315.2357b a解得⎩⎨⎧-==34b a .2. B 解析:直线x+y=0斜率为-1且截距为0, 则A=B 且C ≠03.C 解析: 直线l 过AB 的中点或与直线AB 平行.4. B 解析:设直线的倾斜角为α，则tan α=338243632159-=-=--+.∴α=120︒. 5. C 解析:当k ≠21时，两直线平行，当k =21时，两直线重合. 6. A 解析:当直线过点M 时，b 的值最大为2．当直线过N 点时，b 的值最小为－2. 7. D 解析:∵l 过原点，∴C =0,又l 过二、四象限，∴l 的斜率－BA<0,即AB >0. 8. A 解析:设所求点的坐标为(x 0，y 0)，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-⨯--=-+⨯++1)31(39010293230000x y y x 解之得⎩⎨⎧-=-=.3100y x 9. A 解析:把点(－2,3)和点(2，3)的坐标代入方程(a －1)x －y +2a +1=0.验证知：(－2，3)适合方程，而(2，3)不一定适合方程. 10. B 解析:排除法.直线y =－34x +1化为一般式为4x +3y －3=0,所以与直线y =－34x +1平行的直线应为B 项和C 项中的直线，但C 项中直线的截距为正，直线过第一象限，不符合条件. 11. A 解析:∵5|543|13|13125|+-=+-y x y x ,∴32x －56y +65=0或7x +4y =0.12. D 解析:设点P (x ,y )到直线2x +y +1=0的距离为55，则5512|12|22=+++y x ，即2x +y +1=±1， ∴2x +y =0或2x +y +2=0为所求．13. 2x +11y －38=0 解析: ∵直线2x +11y +16=0关于点P (0，1)的对称直线，与直线2x +11y +16=0平行，∴可设对称直线的方程为2x +11y +c =0,由点到直线的距离公式得2222112|11|112|1611|++=++c ,即|c +11|=27,∴c =16(2x +11y +16=0为已知直线应舍)或c =－38, 故对称直线的方程为2x +11y －38=0.14. （1，0） 解析: mx+y-m=0可写成m(x-1)+y=0. 由⎩⎨⎧==-.0,01y x 得⎩⎨⎧==.0,1y x15. 6x －9y +13=0解析:k BC =321211=++,∵l ∥BC ,∴k 2=32且△APQ ∽△ABC , 又S △APQ =91S △ABC ， ∴91)(2==∆∆ABC APQ S S AB AP ，∴31=AB AP ，∴12AP PB = , ∴)35,31(P ,由点斜式得：直线l 的方程为y －)31(3235-=x ,即6x －9y +13=0.16.3x-y-24=0或3x-y+20=0.解析: 把直线的方程写成3x-y-2=0，由点到直线的距离公式，得13|23|+--y x =11.∴3x-y-2=±22.∴3x-y-24=0或3x-y+20=0.17. 解析: 由方程组⎩⎨⎧=+-=--0520124y x y x 得⎪⎩⎪⎨⎧==272y x ,∴两已知直线的交点为A (2，27)．由中点公式得线段P 1P 2的中点坐标为B (1，2)，k 21P P =－2，直线AB 的方程满足题中条件，过交点A 与直线P 1P 2平行的直线也满足题中的条件，所以21227227--=--x y 和y －27=－2(x －2)为所求，即3x －2y +1=0和4x +2y －15=0. 18. 解析:设P (x ，y )是所求直线上的任一点，P 关于直线x +y －1=0对称的点为P 0(x 0，y 0)，则P 0在直线x －2y －1=0上，∴x 0－2y 0－1=0x x y y k PP--=，线段PP 0的中点是)2,2(00y y x x M ++. ∵点P 与点P 0关于直线x +y －1=0对称，∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+++-=-⨯--01221)1(000y y x x x x y y ∴⎩⎨⎧-=-=x y y x 1100，代入x 0－2y 0－1=0，得1－y －2(1－x )－1=0,即2x －y －2=0为所求．19. 解析:以O ω为横坐标轴，以O l 为纵坐标轴建立直角坐标系（如图）.由题意知直线过(6，11)和点(9，17).由直线的两点式方程得所求直线方程为696111711--=--ωl .把l =13代入，得69611171113--=--ω，∴ω=7．即弹簧长为13 cm 时所挂物体的重量为7公斤．20. 解析:(1)∵l 1⊥l 2,∴a (a +1)+(－b )·1=0． a 2－a －b =0. ①又点(－3,－1)在l 1上 ∴－3a +b +4=0. ② 由①②解得a =2,b =2.(2)∵l 1∥l 2且l 2的斜率为1－a . ∴l 1的斜率也存在,aa b a b a -=-=1,1. 故l 1和l 2的方程可分别表示为l 1:(a －1)x +y +a a )1(4-=0, l 2：(a －1)x +y +aa -1=0. ∵原点到l 1和l 2的距离相等． ∴322|,1||1|4==-=-a a a a a a 或因此⎪⎩⎪⎨⎧==⎩⎨⎧-==23222b a b a 或21. 解析:∵f (x )=842222--++-x x x x2222)20()2()10()1(-+-+-+-=x x它表示点P (x ,0)与点A (1，1)的距离加上点P (x ,0)与点B (2，2)的距离之和,即在x 轴上求一点P (x ,0)与点A (1，1)、B (2，2)的距离之和的最小值．由图7—17可知，转化为求两点A ′(1，－1)和B (2，2)间的距离，其距离为函数f (x )的最小值． ∴f (x )的最小值为10)21()21(22=--+-．再由直线方程的两点式得A ′B 方程为3x －y －4=0. 令y =0得x =34，当x =34时，f (x )的最小值为10． 22. 解析:点A (－4，2)关于直线l :y =2x 对称的点为A ′(4，－2),由等腰三角形性质知A ′在直线BC 上，故直线BC 的方程是3x +y －10=0.由⎩⎨⎧=-+=,0103,2y x x y 得C (2，4)，∴k BC =－3，k AC =31．∵k BC ·k AC =－1， ∴△ABC 是∠ACB 为直角的直角三角形．。
高一数学必修第二册 解答题专项训练(解析版).docx
2020—2021学年度第二学期高一数学必修第二册解答题专项训练题组A2 _ _人1.已知复数z =——————+ (m2 -2m-15)z (i是虚数单位)m + 3 ' '(1)复数z是实数,求实数加的值；(2)复数z是虚数,求实数加的取值范围；(3)复数z是纯虚数，求实数加的值.【答案】(1) m = 5 ； (2) m^5且加工—3； (3)加=3或2.—— 1 S — 0【解析】⑴ 复数z是实数，贝I] ",解得m = 5；m + 3^0加彳—2加—[5 H 0(2)复数z是虚数，贝寸，解得m丰、且加工-3；m^-3m2 -m-6 = 0(3)复数是纯虚数，贝卜加北―3 ,解得m = 3或2・m2—2m —15 H 02.设观，〃是两个单位向量夹角为60。
，若Q = 2m + n,b = -3m + 2n ,(1)求° •方;r(2)求 a ；(3)求方与方夹角；(4)求5在方的投影向量.I~I r\-I【答案】(1) (2)护;(3) y ; (4)【分析】由已知得制=”| = 1, m-n = |m|'l^lcos60° = + .(1)a-b = {2m+nj^-3m+2nj展开可得答案；(2)間=〔2也+ H =』(2肌+ “)再展开可得答案；.(4) 由(3)得，方在方的投影为円cos@Z )可得答案.【解析】m|-|n| cos 60° =* . 2加+ 〃）（-3加+ 2”） = -6（耐 +2（〃） +m-n,,,__— 丄，因为两个向量的夹角的范围在［0,刃,V7xV7 20 JT所以方与5夹角为辛._ _冈 cos@.»||T (4)由(3)得，“在a 的投影向量为「'I 3. 在厶佔©中，角A,B,C 所对的边分别为a,b,c.已知a = 2血,b = 5,c =辰.(1) 求角C 的大小；(2) 求sinA 的值;(3) 求sin (2A +咼的值.【答案】(1) C = -. (2)空叵.(3) W 4 13 26【解析】(1)解：在"BC 中，由余弦定理及a = 2忑,b = 5,c =屈，有 cosC=°2+b 2 一疋二⑫•又因为 Ce(0,n),所以 C = Z2ab 2 4,c …1 7 = -6 + 2 + lxlx — =——. （3） |S| = |—3m+2n| «| = q (—3m + 2n)展开可得答案; 由已知得（1） a-b = cos 〈诃=a 'b 1 - ——a 2(2) 解：在△ABC 中，由正弦定理及C = -,O = 2A /2,C = 713 ,可得 4.A asinC 2 屁 sin A = ------ = ----- . c 13(3) 解：由 ° < c 及sin A = 2^^ ,可得 cos A = J1 一 sir? A = ,进而 13 13]2 5sin 2A = 2sin Acos A =—,cos2A = 2cos 1 2 A-l =—.所 以， 13 1312 5 72 17^2 y I y — 13 2 13 2 ~ 264. 为了解某市家庭用电量的情况，该市统计局调查了 100户居民去年一年的 月均用电量，发现他们的用电量都在50kW • h 至350kW ・h 之间，进行适当分 组后，画出频率分布直方图如图所示.1 求a 的值；(II) 求被调查用户中，用电量大于250kW ・h 的户数；(III) 为了既满足居民的基本用电需求，又提高能源的利用效率，市政府计 划采用阶梯定价，希望使80%的居民缴费在第一档(费用最低)，请给出第一档 用电标准(单位：kW ・h)的建议，并简要说明理由.【答案】(I) 0.006； (II) 18； (III) 245.5 kW - h.【解析】(1)因为(0.0024 +0.0036 + a+0.0044+0.0024+0.0012)x50 = 1,所以 a = 0.006 ；2 根据频率分布直方图可知：“用电量大于250kW • h"的频率为(0.0024+0.0012)x50 = 0.18 ,=sin 2A cos — + cos 2A sin —= 频率所以用电量大于250kW « h的户数为：100x0.18 = 18,故用电量大于250kW • h有18户；(3)因为前三组的频率和为：(0.0024 + 0.0036 + 0.006)x50 = 0.6<0.8,前四组的频率之和为(0.0024 + 0.0036 + 0.006 + 0.0044)x50 = 0.82>0.8 ,所以频率为0.8时对应的数据在第四组，所以第一档用电标准为：200+。
2020年高二第二学期限时训练(文科)
紫荆中学2019-2020学年度第二学期限时训练高二文科 数学 【必修1 函数】(提示：时间120分钟，满分150分，答案全部写在答题卡上)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.集合{}|03P x Z x =∈≤≤,{}2|9M x Z x =∈<,则P M ⋂= ( ) A. {}1,2 B. {}0,1,2 C. {}|03x x ≤< D. {}|03x x ≤≤2.已知函数21232xy x x -=--，则其定义域为( )A.(],1-∞B.(],2-∞C.11,,122⎛⎫⎛⎫-∞-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U D.11,,122⎛⎫⎛⎤-∞-- ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦U 3.设奇函数()f x 的定义域为[]5,5-,若当[]0,5x ∈时，函数()f x 图象如图所示，则不等式()0f x ≤的解集为( ) A.[][]5,22,5--U B.[][]2,02,5-U C.[]2,2- D.[][]5,20,2--U4.设 1a >，函数 ()log a f x x = 在区间 [,2]a a 上的最大值与最小值之差为 12，则 a 等于（ ） A.2 B.2 C. 22 D.45.已知函数()1y f x =+的定义域是[]2,3-，则()21y f x =-的定义域是( ) A.50,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦B.[]1,4-C.[]5,5-D.[]3,7-6.集合{}230,A x ax bx x =-+=∈R ,(){}2120,B x x b x a x =--+=∈R ,若{}1A B =I ，则A B =U ( )A.{}1,2,3B.{}1,3C.{}1,2D.{}1 7、设 ,,给出下方四个图形,其中能表示集合到集合的函数关系的有( )A.0个B.1个C.2个D.3个8.设定义在R 上的奇函数()f x 满足对任意t ∈R 都有()()1f t f t =-，且当10,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()2f x x =-，则()332f f ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭( )A.12-B.13-C.14-D.15- 9.已知函数()7532f x ax bx cx =-++，且()5f m -=，则()()55f f -+=( ) A.4 B.0 C.2m D.4m -+ 10.函数()f x 对于任意实数x ,满足()()12f x f x +=,若()15f =-,则()()5f f 等于( ) A. 2 B. 5 C. 5- D. 15-11.若函数()()221f x ax a b x a =+-+-是定义在()(),00,22a a ⋃--上的偶函数,则225a b f ⎛⎫+= ⎪⎝⎭( ) A. 1 B. 3 C.52 D. 7212.下列函数中,值域是()0,+∞的是( ) A. 221y x x =-+ B. ()()20,1x y x x +=∈+∞+ C. ()21N 21y x x x =∈++D. 1|1|y x =+ 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡题中的横线上)13.函数()223f x x x =+-的单调递减区间是 .14.设函数()221,1{22,1x x f x x x x +≥=--<,若()01f x >,则0x 的取值范围为__________.15.已知集合{}1,|24,2|x A x y x B x ⎧⎫===<<⎨⎬⎩⎭则()R C A B ⋂=__________16.已知奇函数()f x 是定义在()2,2-上的减函数,且()f x 为奇函数, ()()1210f m f m -+->,则实数m 的取值范围是______.三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17.已知集合 ,{}210B x x =<<,{}C x x a =<. (1)求A B U ，(A )B I ;(2)若A C =∅I ，求a 的取值范围.18.利用函数的单调性定义证明函数()[],2,41xf x x x =∈-是单调递减函数,并求该函数的值域.19.已知一次函数()f x 满足()()21253f x f x x +-+=+，试求该函数的解析式，并求()3f 的值.20.已知函数()mf x x x=+,且(1)3f =, (1)求m ;(2)判断函数()f x 的奇偶性.21.已知函数()f x 的定义域是R ，对任意实数,x y ，均有()()()f x y f x f y +=+，且当0x >时，()0f x >.(1)证明()f x 在R 上是增函数； (2)判断()f x 的奇偶性，并证明；(3)若()12f -=-，求不等式()244f a a +-<的解集.22.已知()f x 是定义在[]1,1-上的奇函数,且()11f =,若a ,[]1,1?b ∈-,0a b +≠时,有()()0f a f b a b+>+成立.(1)判断()f x 在[]1,1-上的单调性,并证明;(2)若()221f x m am ≤-+对所有的[]1,1a ∈-恒成立,求实数m 的取值范围.参考答案1.答案：B解析：∵集合{}|03P x Z x =∈≤≤, ∴{0,1,2,3}P =, ∵{}2|9M x Z x =∈<, ∴{}2,2,0,1,2M =-- ∴{}0,1,2P M ⋂=, 故选B. 2.答案：D解析：要使式子2232x x --有意义，则2102320x x x -≥⎧⎨--≠⎩，即1122x x x ≤⎧⎪⎨≠≠-⎪⎩且，所以1x ≤且12x ≠-.即该函数的定义域为11,,122⎛⎫⎛⎤-∞-- ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦U .3.答案：B解析：因为函数()f x 在[]5,5-上为奇函数，所以()()f x f x -=-. 由图可知，当[]0,2x ∈时，()0f x ≥， 当[]2,5x ∈时，()0f x ≤， 所以当[]5,2x ∈--时，[]2,5x -∈，()()0f x f x =--≥，当[]2,0x ∈-时，[]0,2x -∈，()()0f x f x =--≤.所以不等式()0f x ≤的解集为[][]2,02,5-U .故选B.4.答案：D解析：∵1a >，∴()log a f x x = 在 [,2]a a 上递增，∴1log (2)log 2a a a a -=，即 121log 2,2,42a a a =∴==。
2020年高中数学(人教版必修2)配套练习 3.1.2
3.1.2 两条直线平行与垂直的判定一、基础过关1．下列说法中正确的有( )①若两条直线斜率相等，则两直线平行；②若l 1∥l 2，则k 1＝k 2；③若两直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则两直线相交；④若两条直线的斜率都不存在，则两直线平行 A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个2．已知过点A (－2，m )和B (m,4)的直线与斜率为－2的直线平行，则m 的值为 ( ) A ．－8 B ．0 C ．2D ．10 3．已知l 1⊥l 2，直线l 1的倾斜角为45°，则直线l 2的倾斜角为( )A ．45°B ．135°C ．－45°D ．120° 4．已知A (m,3)，B (2m ，m ＋4)，C (m ＋1,2)，D (1,0)，且直线AB 与直线CD 平行，则m 的值为( )A ．1B ．0C ．0或2D ．0或15．经过点A (1,1)和点B (－3,2)的直线l 1与过点C (4,5)和点D (a ，－7)的直线l 2平行，则a ＝________.6． 直线l 1，l 2的斜率k 1，k 2是关于k 的方程2k 2－3k －b ＝0的两根，若l 1⊥l 2，则b ＝________；若l 1∥l 2，则b ＝________.7．(1)已知四点A (5,3)，B (10,6)，C (3，－4)，D (－6,11)，求证：AB ⊥CD .(2)已知直线l 1的斜率k 1＝34，直线l 2经过点A (3a ，－2)，B (0，a 2＋1)且l 1⊥l 2，求实数a的值．8. 如图所示，在平面直角坐标系中，四边形OPQR 的顶点坐标按逆时针顺序依次为O (0,0)、P (1，t )、Q (1－2t,2＋t )、R (－2t,2)，其中t >0.试判断四边形OPQR 的形状．二、能力提升9．顺次连接A (－4,3)，B (2,5)，C (6,3)，D (－3,0)所构成的图形是( )A ．平行四边形B ．直角梯形C ．等腰梯形D ．以上都不对10．已知直线l 1的倾斜角为60°，直线l 2经过点A (1，3)，B (－2，－23)，则直线l 1，l 2的位置关系是____________．11．已知△ABC 的顶点B (2,1)，C (－6,3)，其垂心为H (－3,2)，则其顶点A 的坐标为________． 12．已知△ABC 三个顶点坐标分别为A (－2，－4)，B (6，6)，C (0，6)，求此三角形三边的高所在直线的斜率．三、探究与拓展13．已知四边形ABCD的顶点A(m，n)，B(5，－1)，C(4，2)，D(2,2)，求m和n的值，使四边形ABCD为直角梯形．答案1．A 2．A 3.B 4.D 5．52 6．2 －987．(1)证明 由斜率公式得：k AB ＝6－310－5＝35，k CD ＝11－(－4)－6－3＝－53，则k AB ·k CD ＝－1，∴AB ⊥CD .(2)解 ∵l 1⊥l 2，∴k 1·k 2＝－1，即34×a 2＋1－(－2)0－3a＝－1，解得a ＝1或a ＝3. 8．解 由斜率公式得k OP ＝t －01－0＝t ，k QR ＝2－(2＋t )－2t －(1－2t )＝－t －1＝t ，k OR ＝2－0－2t －0＝－1t ，k PQ ＝2＋t －t 1－2t －1＝2－2t ＝－1t .∴k OP ＝k QR ，k OR ＝k PQ ，从而OP ∥QR ，OR ∥PQ . ∴四边形OPQR 为平行四边形． 又k OP ·k OR ＝－1，∴OP ⊥OR ， 故四边形OPQR 为矩形． 9．B 10．平行或重合 11．(－19，－62) 12．解 由斜率公式可得k AB ＝6－(－4)6－(－2)＝54，k BC ＝6－66－0＝0，k AC ＝6－(－4)0－(－2)＝5.由k BC ＝0知直线BC ∥x 轴，∴BC 边上的高线与x 轴垂直，其斜率不存在．设AB 、AC 边上高线的斜率分别为k 1、k 2，由k 1·k AB ＝－1，k 2·k AC ＝－1，即k 1·54＝－1，k 2·5＝－1，解得k 1＝－45，k 2＝－15.∴BC 边上的高所在直线的斜率不存在；AB 边上的高所在直线的斜率为－45；AC 边上的高所在直线的斜率为－15.13．解 ∵四边形ABCD 是直角梯形，∴有2种情形： (1)AB ∥CD ，AB ⊥AD ， 由图可知：A (2，－1)． (2)AD ∥BC ，AD ⊥AB ， ⎩⎪⎨⎪⎧k AD ＝k BC k AD ·k AB ＝－1 ⇒⎩⎪⎨⎪⎧n －2m －2＝3－1n －2m －2·n ＋1m －5＝－1∴⎩⎨⎧m ＝165n ＝－85.综上⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2n ＝－1或⎩⎨⎧m ＝165n ＝－85......................................使用本文档删除后面的即可致力于打造全网一站式文档服务需求，为大家节约时间文档来源网络仅供参考欢迎您下载可以编辑的word文档谢谢你的下载本文档目的为企业和个人提供下载方便节省工作时间，提高工作效率，打造全网一站式精品需求!欢迎您的下载，资料仅供参考!（本文档收集于网络改编，由于文档太多，审核难免疏忽，如有侵权或雷同，告知本店马上删除）。
人教版高中数学(必修2)全套训练习题含答案
高中数学必修二训练集锦目录：数学2（必修）数学2（必修）第一章：空间几何体[ 基础训练A组] 数学2（必修）第一章：空间几何体[ 综合训练B 组] 数学2（必修）第一章：空间几何体[ 提高训练C 组] 数学2（必修）第二章：点直线平面[ 基础训练A组] 数学2（必修）第二章：点直线平面[ 综合训练B 组] 数学2（必修）第二章：点直线平面[ 提高训练C 组] 数学2（必修）第三章：直线和方程[ 基础训练A组] 数学2（必修）第三章：直线和方程[ 综合训练B 组] 数学2（必修）第三章：直线和方程[ 提高训练C 组] 数学2（必修）第四章：圆和方程[ 基础训练A组] 数学2（必修）第四章：圆和方程[ 综合训练 B 组] 数学 2（必修）第四章：圆和方程 [ 提高训练 C 组]33 3 （ 数 学 2 必 修 ） 第 一 章 空 间 几 何 体[ 基础训练 A 组] 一、选择题1 ． 有 一 个 几 何 体 的 三 视 图 如 下 图 所 示 ， 这 个 几 何 体 应 是 一 个 ()A . 棱 台B . 棱 锥C . 棱 柱 D. 都 不 对主 视 图左 视 图俯 视 图2 ． 棱 长 都 是 1 的 三 棱 锥 的 表 面 积 为 （）A .B .2 C .3 D.43 ． 长 方 体 的 一 个 顶 点 上 三 条 棱 长 分 别 是 3,4 ,5 ， 且 它 的 8 个 顶 点 都 在同 一 球 面 上 ， 则 这 个 球 的 表 面 积 是 （ ）A ． 2 5B ． 5 0C ． 1 2 5D ． 都 不 对4 ． 正 方 体 的 内 切 球 和 外 接 球 的 半 径 之 比 为 （）A ．: 1 B ． : 2C ． 2 :D ． 35 ． 在 △ A B C 中 ， AB 2 , B C 1 . 5 , AB C1 2 0 ,若 使 绕 直 线 B C 旋 转 一 周 ，则 所 形 成 的 几 何 体 的 体 积 是 （ ）9 7 5 3 A .B .C .D.22226 ． 底 面 是 菱 形 的 棱 柱 其 侧 棱 垂 直 于 底 面 ， 且 侧 棱 长 为 5 ， 它 的 对 角 线 的 长分 别 是 9 和 1 5 ， 则 这 个 棱 柱 的 侧 面 积 是 （ ） A ． 1 3 0B ． 1 4 0C ． 1 5 0D ． 1 6 0二、填空题1 ． 一 个 棱 柱 至 少 有 _____ 个 面 ， 面 数 最 少 的 一 个 棱 锥 有 ________个 顶 点 ，顶 点 最 少 的 一 个 棱 台 有________条 侧 棱 。
苏教版必修2高一数学限时训练20
第20练 班级 姓名
1、一个直棱柱（侧棱垂直于底面的棱柱）的底面是菱形，棱柱的对角线长分别是9cm 和15c m ，高是5cm ，则这个直棱柱的侧面积是
2、如图，已知圆柱体底面圆的半径为2π
，高为2，AB CD ，分别是两底面的直径，AD BC ，是母线．若一只小虫从A 点出发，从侧面爬行到C 点，则小虫爬行的最短路线的长度是 （结果保留根式）．
3、已知圆柱与圆锥的底面积相等，高也相等，它们的体积分别为1V 和2V ，则12:V V =
4、设A 、B 、C 、D 是球面上的四个点，且在同一平面内，AB =BC =CD =DA =3，球心到该平面的距离是球半径的一半，则球的体积是
5、给出下列说法：① 梯形的四个顶点共面；② 三条平行直线共面；③ 有三个公共点的两个平面重合；④ 每两条都相交并且交点全部不同的四条直线共面. 其中说法正确的序号依次是 .
6、正方体''''ABCD A B C D -中，AB 的中点为M ，'DD 的中点为N ，
异面直线'B M 与CN 所成的角是
7、两条直线a ,b 分别和异面直线c , d 都相交，则直线a ，b 的位置关
系是
8、已知直线 024=-+y mx 与 052=+-n y x 互相垂直，垂足为 (1，)p 则 =+-p n m ________
9、圆锥底面半径为１cm
cm ，其中有一个内接正方体，求这个内接正方体的棱长
10、过点()
--54，作一直线l ，使它与两坐标轴相交且与两轴所围成的三角形面积为5．
[来源:学科网
]
11、已知空间四边形ABCD各边长与对角线都相等，求AB和CD所成的角的大小。
人教版高中数学必修第二册 专题强化训练二 解三角形综合问题 同步精练(含解析)
人教版高中数学必修第二册专题强化训练二解三角形综合问题同步精练一、单选题1．（2021·河南·）在ABC 中，22223sin a b c ab C ++=，则ABC 的形状是（）A ．等腰直角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等边三角形2．（2021·新疆昌吉·（理））在ABC 中，75,45,3BAC ABC AC ∠=︒∠=︒=，则AB =（）A ．362B ．463C ．564D ．6653．（2022·全国·）《易经》中记载着一种几何图形一一八封图，图中正八边形代表八卦，中间的圆代表阴阳太极图，图中八块面积相等的曲边梯形代表八卦田.某中学开展劳动实习，去测量当地八卦田的面积如图，现测得正八边形的边长为8m ，代表阴阳太极图的圆的半径为2m ，则每块八卦田的面积为（）2m .A ．162162π+-B ．1622π-C ．16282π+-D ．16216π+-4．（2021·河南信阳·（理））在ABC 中，已知1AC =，3BC =，6B π=，则角C 为（）A ．34πB ．4πC ．2π或6πD ．6π或56π5．（2021·江西·贵溪市实验中学）在ABC 中，根据下列条件解三角形，则其中有二个解的是（）A ．10,45,70b A C ===B ．60,48,60a c B ===C ．5,7,8a b c ===D ．14,16,45a b A ===6．（2021·全国·）如图所示，有四座城市A ，B ，C ，D ，其中B 在A 的正东方向，且与A 相距120km ，D 在A 的北偏东30°方向，且与A 相距60km ，C 在B 的北偏东30°方向，且与B 相距6013km ，一架飞机从城市D 出发，以360km/h 的速度向城市C 飞行，飞行了15min ，接到命令改变航向，飞向城市B ，此时飞机距离城市B 有（）A ．120kmB ．606kmC ．605kmD ．603km7．（2021·全国·）满足条件4a =，32b =，45A =︒的三角形的个数是（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．不存在8．（2021·贵州·黔西南州赛文高级中学（理））在ABC 中，若60A ∠=︒，2BC =，且ABC 的面积为2，则ABC 的解数为（）A ．0B ．1C ．2D ．49．（2021·江苏江苏·）在ABC 中，最大角A ∠是最小角C ∠两倍，且7,8AB AC ==，则BC =（）A ．72B ．10C ．105D ．7310．（2021·云南红河·（文））ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若1cos 3A =，3b =，2c =，则ABC的面积为（）A ．1B ．2C ．22D ．22311．（2021·四川达州·（理））ABC 中，1cos 4A =，2AB =，4BC =，则BC 边上的高为（）A ．153B ．154C ．152D ．15512．（2021·全国全国·）在ABC 中，D 为边BC 上的一点，H 为ABC 的垂心，2021AB AC ⋅=，则AD AH ⋅=（）A ．2019B ．2020C ．2021D ．2022二、多选题13．（2021·全国·）人民英雄纪念碑位于北京天安门广场中心，是中华人民共和国政府为纪念中国近现代史上的革命烈士而修建的纪念碑．正面镌刻着毛泽东同志所题写的“人民英雄永垂不朽”八个金箔大字．在中国共产党百年华诞到来之际，某学校计划组织学生去瞻仰人民英雄纪念碑，并用学到的数学知识测量其高度．现准备了三种工具：测角仪（可测量仰角与俯角）、米尺（可测量长度）、量角器（可测量平面角度）（工具不一定都要使用），不同小组设计了如下不同的测量方案，其中一定能测量出纪念碑高度的方案有（）A ．在水平地面上任意寻找两点A ，B 分别测量纪念碑顶端的仰角α，β，再测量A ，B 两点间距离B ．在水平地面上寻找两点A ，B 分别测量纪念碑顶端的仰角α，β，再测量A ，B 两点间距离和两点相对于纪念碑底部的张角θC ．在纪念碑正东方向找到一座建筑物AB （低于纪念碑），测得建筑物AB 的高度为h ，在该建筑物顶部和底部分别测得纪念碑顶端的仰角α和βD ．在纪念碑的正前方A 处测得纪念碑顶端的仰角α，正对纪念碑前行5米到达B 处再次测量纪念碑顶端的仰角β14．（2021·河北·石家庄市第一中学东校区）在ABC 中，a b c 、、分别为A B C ∠∠∠、、的对边，下列叙述正确的是（）A ．若sin cos AB =，则ABC 为直角三角形B ．若cos cos a bB A=则ABC 为等腰三角形C ．若cos sin cos A B Ca b c==，则ABC 为等腰直角三角形D ．若sin cos a b C c B =+，则4C π=15．（2020·江苏·南通市海门实验学校）设0a >，0b >，称2ab a b +为,a b 的调和平均数，称222a b+为,a b 的加权平均数如图，C 为线段AB 上的点，且AC a =，CB b =，O 为AB 中点，以AB 为直径作半圆，过点C 作AB 的垂线交半圆于D ，连接OD ，AD ，BD ，过点C 作OD 的垂线，垂足为E ，取弧AB 的中点F ，连接FC ，则（）A ．OD 的长度是a ，b 的几何平均数B ．DE 的长度是a ，b 的调和平均数C ．CD 的长度是a ，b 的算术平均数D ．FC 的长度是a ，b 的加权平均数16．（2021·吉林·汪清县汪清第四中学）ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，则下列说法正确的是（）A ．若A B >，则sin sin A B>B ．若30A =，4b =，3a =，则ABC 有两解C ．若ABC 为钝角三角形，则222a b c +>D ．若60A =，2a =，则ABC 面积的最大值为317．（2021·黑龙江·哈尔滨市教育局）如图，设ABC 的内角A ，B ，C ，所对的边分别为a ，b ，c ，若3sin cos sin cos 2a B C c B Ab +=，且3CAB π∠=．点D 是ABC 外一点，1,3DC DA ==，下列说法中，正确的命题是（）A ．ABC 的内角3B π=B ．ABC 的内角3C π=C ．四边形ABCD 的面积最大值为5332+D ．四边形ABCD 的面积无最大值．18．（2021·江苏·南京二十七中）在ABC 中，给出下列4个命题，其中正确的命题是（）A ．若AB >，则sin sin A B >B ．A B <，则cos cos A B >C ．若A B >，则tan tan A B>D ．A B <，则22cos cos A B>三、填空题19．（2021·宁夏·石嘴山市第三中学（文））ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分BAC ∠，ABD △面积是ADC 面积的2倍，1AD =，22DC =，则AC =___________.20．（2021·山东泰安·）在相距1000米的A ，B 两点处测量目标点C ，若60CAB ∠=︒，75CBA ∠=︒，则B ，C 两点之间的距离为___________米.21．（2021·江苏江苏·）已知四边形ABCD 的面积为2022，E 为AD 边上一点，ABE △，BCE ，CDE △的重心分别为1G ，2G ，3G ，那么123G G G 的面积为___________．22．（2021·四川成都·（理））在ABC 中，已知角2π3A =，角A 的平分线AD 与边BC 相交于点D ，AD =2.则AB +2AC 的最小值为___________.23．（2021·河南信阳·（理））在三角形ABC 中，已知a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，3A π=，1b c -=，2213b c +=，D 在BC 上，且ABDACDbScS=，则BD 的长为________．24．（2021·河南·永城高中（文））在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若22223sin a b c ab C ++=，则C =______．四、解答题25．（2021·全国全国·）如图，在ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边且是三个连续的正整数，其中a b c <<，2C A =．（1）求b ；（2）将线段AB 绕点A 顺时针旋转02πθθ⎛⎫<< ⎪⎝⎭到AD ，且7cos 3θ=，求CAD 的面积．26．（2021·上海·高一课时练习）在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.已知sin cos 6b A a B π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.（1）求角B 的大小；（2）设a =2，c =3，求b 和()sin 2A B -的值.27．（2020·黑龙江·双鸭山一中高一期末（理））已知a ，b ，c 分别为ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，且3cos 2sin a A c C+=.（1）求角A 的大小；（2）若5b c +=，且ABC 的面积为3，求a 的值.28．（2021·江西省铜鼓中学高一阶段练习（文））ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知A 为锐角，22sin cos 2c a B C ab--=.（1）求A ；（2）若34b c =，且BC 边上的高为23，求ABC 的面积.29．（2019·浙江省宁波市鄞州中学高一期中）在ABC 中，内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知2222sin sin sin b c a B Abc C+--=．（1）求角C 的值；（2）若4a b +=，当边c 取最小值时，求ABC 的面积．30．（2021·广东·东莞四中高一阶段练习）在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若1sin cos sin cos 2a B C c B Ab +=，且c b >.（1）求角B 的值；（2）若6A π=，且ABC 的面积为43，求BC 边上的中线AM 的长.31．（2021·广东·深圳市龙岗区布吉中学高一期中）ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知()2cos cos b a C c A -=．（1）求角C 的大小；（2）若2a =，()2cos cos c a B b A b -=，求ABC 的面积．32．（2018·上海大学市北附属中学高一期中）已知函数()()221cos sin ,0,2f x x x x π=-+∈．（1）求()f x 的单调递增区间；（2）设ABC 为锐角三角形，角A 所对边19a =，角B 所对边5b =，若()0f A =，求ABC 的面积．33．（2021·浙江浙江·高一期末）在锐角ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若cos 3sin 2B B +=，cos cos 2sin 3sin B C Ab c C+=．（1）求角B 的大小和边长b 的值；（2）求ABC 面积的最大值．参考答案1．D 【分析】在ABC 中，22223sin a b c bc C ++=，由余弦定理知，2222cos b a c ab C +-=，两式相加，利用基本不等式及正弦函数的有界性即可判断出该ABC 的形状．【详解】在ABC 中，22223sin a b c ab C ++=，又由余弦定理知，2222cos b a c ab C +-=，两式相加得：222()2(3sin cos )4sin()6a b ab C C ab C π+=+=+，222sin()1622b a C a bab abπ+∴+== （当且仅当c b =时取“=”)，又sin()16C π+ ，sin()16C π∴+=（当且仅当a b =时成立），C 为ABC ∆的内角，62C ππ∴+=，3C π=，又a b =，ABC ∴的形状为等边△．故选：D ．2．A 【分析】由条件结合内角和定理可求ACB ∠，再由正弦定理求AB .【详解】∵75,45BAC ABC ∠=︒∠=︒，++180BAC ABC ACB ∠∠∠=∴60ACB ∠=︒，由正弦定理得，sin 6036sin 452AC AB ︒=︒=．故选：A .3．A 【分析】根据正八边形分割成8个全等的等腰三角形，顶角为360458=，设等腰三角形的腰长为a ，由正弦定理求得a 的值，求得三角形的面积S ，进而求得每块八卦田的面积.【详解】由图可知，正八边形分割成8个全等的等腰三角形，顶角为360458=，设等腰三角形的腰长为a ，由正弦定理可得8135sin 45sin 2a =，解得13582sin2a =，所以三角形的面积为211351cos135(82sin )sin 4532216(21)222S -=⋅=⨯=+，则每块八卦田的面积为22116(21)216216()82m ππ+-⨯=+-.故选：A.4．C 【分析】由正弦定理可得3sin 2A =，根据三角形的性质确定角A 的大小，进而求角C .【详解】由正弦定理知：sin sin AC BCB A =，可得：3sin 2A =，∴3A π=或23A π=，又AC BC <，∴6B A π=<，则有3A π=或23A π=，∴2C π=或6π．故选：C ．5．D 【分析】已知两角和一边，三角形确定，可判断A ；已知两边及夹角用余弦定理，可判断B ；已知三边三角形确定可判断C ；正弦定理与大边对大角可判断D 【详解】A ：10,45,70b A C ===，已知两角和一边，三角形确定，只有一解；B ：60,48,60a c B ===，已知两边及夹角用余弦定理，只有一解；C ：5,7,8a b c ===已知三边三角形确定，只有一解；D ：因为216sin 422sin 1147b AB a⨯===<，且b a >，故B A >，故有两解．故选：D.6．D 【分析】设15min 后飞机到了E 处，求出DE ，ABD △中由余弦定理求得BD ，由勾股定理逆定理知90ADB ∠=︒，这样易得,ABD DBC ∠∠，从而得出cos BDC ∠，然后在BDE 中由余弦定理得出BE ．【详解】设15min 后飞机到了E 处，则136090km 4DE =⨯=，由题意60DAB ∠=︒，//DA BC ，60AD =，120AB =，221601202601206032BD =+-⨯⨯⨯=，所以222AD BD AB +=，所以90DB ∠=︒，从而30ABD ∠=︒，于是90DBC ∠=︒2222(603)(6013)240DC BD BC =+=+=，6033cos 2404BD BDC CD ∠===，DBE 中，2222232cos (603)90260390360034BE BD DE BD DE BDE =+-⋅∠=+-⨯⨯⨯=⨯，603BE =．故选：D ．7．B 【分析】由正弦定理求得sin 3sin 4b A B a ==，得到B 有两解，即可得到答案.B 【详解】在ABC 中，因为4a =，32b =，45A =︒，由正弦定理sin sin a b A B =，可得sin 32sin 453sin 44b A B a ===，因为432<，即a b <，则0135B ︒︒<<有两解，所以三角形的个数是2个.故选：B .8．C 【分析】结合圆的几何性质判断A 点的轨迹，结合三角形ABC 的面积确定三角形ABC 的解的个数.【详解】同弧所对的圆周角相等，如图，满足条件的A 点在一段优弧CDB 上运动（不包括B ，C ），三角形ABC 的高的最大时，A 在D 点位置，此时三角形ABC 为等边三角形，边长为2，高为3，此时三角形ABC 面积为12332⨯⨯=.若ABC 的面积为2，则此时的高为2，所以此时A 点可以在如图的1A ，2A 处．故选：C9．C 【分析】根据正弦定理，结合余弦定理、二倍角的正弦公式进行求解即可.【详解】设7,8,c AB b AC a BC =====,由正弦定理可知：77cos sin sin sin 2sin 2sin cos sin 14a c a a aC A C C C C C C =⇒=⇒=⇒=，由余弦定理可知：222222cos 49641610510514ac b a ab C a a a a =+-⇒=+-⋅⇒=⇒=，或105a =-（舍去），故选：C 10．C 【分析】利用平方关系求得sin A ，再利用三角形的面积公式即可得解.【详解】解：因为1cos 3A =，所以22sin 3A =，所以1sin 222ABC S bc A ==△.故选：C .11．C 【分析】先根据余弦定理求出4b =，然后利用等面积法即可求出BC 边上的高.【详解】在ABC 中，设AB c =，BC a =，AC b =，则2c =，4a =，1cos 4A =，且222cos 2b c a A bc +-=，21416422b b +-∴=⨯，2120b b ∴--=，()()430b b ∴-+=，4b ∴=，1cos 4A =,2115sin 144BAC ⎛⎫∴∠=-= ⎪⎝⎭,设BC 边上的高为h ，在ABC 中利用等面积法，则11sin 22ABCSBC h AB AC BAC =⨯=⨯∠,1115424224h ∴⨯⨯=⨯⨯⨯,152h ∴=.故选:C 12．C 【分析】令BC ，AB 边上的高分别为AE ，CF ，利用向量共线及向量数量积可得||||AD AH AE AH ⋅=，再借助面积法及正弦定理计算可得||||AE AH AB AC =⋅即可得解.【详解】设BC ，AB 边上的高分别为AE ，CF ，则AE 与CF 交点为H ，如图，由B ，C ，D 三点共线可得：(01)CD tCB t =≤≤，于是有(1)AD t AC t AB =-+，则(1)(1)||||cos ||||cos AH t AC AH t AB AD AH t AC AH CAE t AB AH BAE =-⋅+⋅=-∠∠⋅+(1)||||||||||||t AE AH t AE AH AE AH =-+=，在ABC 中，1|||||si 1|2n 2||ABCSAE AB AC BC BAC =∠=，则||||sin ||||AB AC BAC AE BC ∠=，在ACH 中，由正弦定理得||||sin sin AH AC ACH AHC=∠∠，则||||||sin()sin sin()2AH AC AC ABC ABC BAC ππ==-∠∠-∠，在ABC 中，由正弦定理有||||sin sin AC BC ABC BAC =∠∠，于是得||cos ||sin BC BACAH BAC∠=∠，因此，||||sin ||cos ||||||||cos sin ||AB AC BAC BC BACAD AH AE AH AB AC BACBAC BC ∠∠⋅==⋅=∠∠2021AB AC =⋅=，所以AD AH ⋅=2021.故选：C 13．BCD 【分析】根据各选项的描述，结合正余定理的边角关系判断所测数据是否可以确定纪念碑高度即可.【详解】A ：如果A ，B 两点与纪念碑底部不在一条直线上时，就不能测量出纪念碑高度，故不正确．B ：在直角三角形△ADC 和△BDC 中用CD 来表示AC ，BC ，在△ABC 中用余弦定理就可以计算出纪念碑高度，故正确．C ：如下图，△ABD 中由正弦定理求AD ，则纪念碑高sin CD h AD α=+，正确；D ：如下图，△ABD 中由正弦定理求AD ，则纪念碑高sin CD AD α=，正确；故选：BCD.14．CD 【分析】利用诱导公式和正弦函数的性质判断A ，利用正弦定理结合正弦函数的性质两角和的正弦公式，判断B ，C ，D.【详解】∵sin cos A B=∴sin sin()2A B π=-∴22A B k ππ-+=或22A B k πππ+-=+，∴2+2A B k ππ+=或22A B k ππ-=+，又0A B π<+<，A B ππ-<-<，∴2A B π+=或2A B π-=，A 错，∵cos cos a b B A=∴sin sin cos cos A BB A=∴sin 2sin 2A B =,∴222+A B k ππ+=或222A B k π-=，又0A B π<+<，A B ππ-<-<，∴2A B π+=或0A B -=，∴ABC 为等腰三角形或直角三角形，B 错，∵cos sin cos A B Ca b c ==∴s c i os sin n sin cos sin A B CA B C ==∴tan tan 1A C ==，又0A π<<，0C π<<∴4A C π==,∴ABC 为等腰直角三角形，C 对，∵sin cos a b C c B =+，∴sin sin sin sin cos A B C C B=+∴sin()sin sin sin cos B C B C C B+=+∴sin cos sin sin B C B C =，又sin 0B ≠，∴tan 1C =，又0C π<<，∴4C π=，D 对，故选：CD.15．BD 【分析】由题意可得：2a b OC -=，CD ab =，2a b OD +=，在Rt OCD △中，2CD DE OD =，在Rt OCF中，22CF OF OC =+，再根据几何平均数，调和平均数，算术平均数，加权平均数即可得出答案．【详解】解：由题意可得：2a bOC -=，CD ab =，2a b OD +=，故A 错误，C 错误；在Rt OCD △中，由射影定理可得：222CD ab abDE a b OD a b ===++，故B 正确；在Rt OCF 中，由勾股定理可得：222222()()222a b a b a b CF OF OC +-+=+=+=，故D 正确.故选：BD ．16．ABD 【分析】对于A 选项，由A B >，得到a b >，再利用正弦定理判断；对于B 选项，由sin b A a b <<判断；对于C 选项，由ABC 为钝角三角形且C 为钝角，利用余弦定理判断；对于D 选项，利用余弦定理与基本不等式集合三角形面积公式求解判断.【详解】对于A 选项，若A B >，则a b >，由正弦定理可得sin sin a bA B=，所以，sin sin A B >，A 选项正确；对于B 选项，sin 4sin 302b A ==，则sin b A a b <<，如图：所以ABC 有两解，B 选项正确；对于C 选项，若ABC 为钝角三角形且C 为钝角，则222cos 02a b c C ab+-=<，可得222a b c +<，C 选项错误；对于D 选项，由余弦定理与基本不等式可得2222242cos 2a b c bc A b c bc bc bc bc ==+-=+-≥-=，即4bc ≤，当且仅当2b c ==时，等号成立，所以13sin 324ABC S bc A bc ==≤△，D 选项正确．故选：ABD 17．ABC 【分析】由正弦定理化边为角后求得B ，从而得三角形的内角，判断AB ，用D 角表示出四边形的面积（先由余弦定理求得2AC ），然后由三角函数知识得最值判断CD ．【详解】因为3sin cos sin cos 2a B C c B Ab +=，由正弦定理得3sin sin cos sin sin cos sin 2A B C C B A B +=，B 为三角形内角，sin 0B ≠，所以3sin cos cos sin 2A C A C +=，3sin()2A C +=，所以3sin sin()2B AC =+=，3B π=或23B π=，又3CAB π∠=，所以23B π=不合题意，所以3B π=，从而3ACB π∠=，AB 正确；ACD △中，2222cos 91231cos 106cos AC AD CD AD CD D D D =+-⋅=+-⨯⨯⨯=-，所以21333353sin sin cos 24222ABCD S AD CD D AC D D =⋅+=-+533sin()32D π=-+，(0,)D π∈，2,333D πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，所以32D -=ππ，即56D π=时，5332ABCD S =+为最大值，无最小值．C 正确，D 错．故选：ABC ．18．ABD 【分析】利用正弦定理判断A，D，利用余弦函数，正切函数的单调性判断B,C，由此确定正确选项.【详解】∵A >B ，∴a >b ，∴sin A >sin B ，A 对，∵A >B ，且(0)A B π∈，，，又函数cos y x =在(0)π，上为减函数，∴cos cos A B >，B 对，取236A B C ππ===，，则A >B ，但tan tan A B <，C 错，∵A <B ，(0)A B π∈，，∴22sin sin A B <，∴22cos cos A B >，D 对，故选：ABD.19．1【分析】设ABC 中BC 边上的高为h ，进而根据题意得2AB AC =，22BD DC ==，再结合cos cos 0BDA CDA ∠+∠=求解即可.【详解】解：因为AD 平分BAC ∠，ABD △面积是ADC 面积的2倍，所以CAD BAD ∠=∠，1sin 2ABDS AB AD BAD =⋅⋅⋅∠，1sin 2ADCAC A S AD C D ⋅⋅⋅∠=，所以2AB AC =，设ABC 中BC 边上的高为h ，因为12ABDSBD h =⋅⋅，12ADCDC h S ⋅=⋅，所以22BD DC ==，因为1AD =，所以在ABD △中，222234cos 222AD BD AB AC BDA AD BD +--∠==⋅，在ADC 中，222232cos 22AC AD DC AC CDA AD DC -+-∠==⋅.因为()cos cos cos BDA CDA CDA π∠=-∠=-∠，所以cos cos 0BDA CDA ∠+∠=，即2233420222AC AC --+=，解得1AC =故答案为：120．5006【分析】由题可得45ACB ∠=︒，利用正弦定理即可求出.【详解】由题可得180607545ACB ∠=︒-︒-︒=︒，由正弦定理可得sin sin AB BCACB CAB=∠∠，即31000sin 25006sin 22AB CABBC ACB⨯⋅∠===∠米.故答案为：5006.21．6743##【分析】以点A 为原点，射线AD 为x 轴非负半轴建立坐标系，设出点B ，C ，D ，E 的坐标，由此表示出点1G ，2G ，3G ，再借助向量探求123G G G 的面积与四边形ABCD 的面积的关系即可计算作答.【详解】以点A 为原点，射线AD 为x 轴非负半轴建立平面直角坐标系，如图，设00(,),(,),(,0),(,0)(0)B a b C c d D e E x x e ≤≤，因ABE △，BCE ，CDE △的重心分别为1G ，2G ，3G ，则01(,)33G a x b +，02(,)33G a c x b d+++，03(,)33c e x G d ++，1232(,),(,)3333c d a e b G G G G -==，123G G G 面积1232212321231232123211||||sin (||||)()22G G G S G G G G G G G G G G G G G G G =∠=-⋅22222211[()()][()()]()()23333333323333c d a e b c a e d b c b d a e ---=++-⋅+⋅=⋅-⋅11||2333318c bd ae bc de ad -=⋅-⋅=+-(,),(,)AC c d DB a e b ==-，同理可得四边形ABCD 的面积：111||||sin ,|()|||222ABCD S AC BD AC BD bc d a e bc de ad =〈〉=--=+-，于是得123116742022993ABC G G D G S S ==⨯=，所以123G G G 的面积为6743.故答案为：674322．642+【分析】根据三角形的面积公式列方程，结合基本不等式来求得正确答案.【详解】,,,2AB c AC b BC a AD ====，依题意AD 是角A 的角平分线，由三角形的面积公式得1π1π12π2sin 2sin sin 232323c b bc ⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=⨯⨯，化简得22c b bc +=，1112b c +=，()112222223c b AB AC c b c b b c b c ⎛⎫⎛⎫+=+=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2232642c b b c ⎛⎫≥+⋅=+ ⎪ ⎪⎝⎭.当且仅当2,2c bc b b c==，2222,22,222b b b b b c ⋅+=⋅=+=+时等号成立.故答案为：642+23．275##【分析】由已知可得3b =，2c =，根据余弦定理求a ，再由题设三角形面积间的等量关系可得23BD CD =，即可求BD 的长.【详解】∵1b c -=，2213b c +=，∴()222()62bc b c bc +--==，易得：3b =，2c =，在三角形ABC 中，由余弦定理得：222cos 1312cos73a b c bc A π=+-=-=，∵ABDACD bScS=，即ABD ACDS c Sb=，∴23BD CD =，又7BD CD +=，∴275BD =．故答案为：275.24．3π【分析】应用余弦定理，结合已知等量关系、辅助角公式可得222sin 6ab C a b π⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，由基本不等式可得sin 16C π⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭，最后根据正弦函数的性质即可求C 的大小.【详解】在△ABC 中，由余弦定理2222cos c a b ab C =+-，代入22223sin a b c ab C ++=．得22222cos 23sin a b ab C ab C +-=，∴222sin cos 3sin 26ab C ab C ab C a b ab π⎛⎫+=+=+ ≥⎪⎝⎭，即2sin 26ab C ab π⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭．∴sin 16C π⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭，即sin 16C π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，又0C π<<．∴3C π=．故答案为：3π.25．（1）5b =（2）351524+【分析】(1)根据题意可得1a b =-，1c b =+，由正弦定理可得()1cos 21b A b +=-，利用余弦定理可得()4cos 21b A b +=+，列出方程，解方程即可；(2)根据题意和三角函数的同角关系可得2sin 3θ=，利用两角和的正弦公式求出sin CAD ∠，结合三角形的面积公式计算即可.（1）由题意知a ，c 可以分别表示为1b -，1b +，由正弦定理，得1111sin sin sin 22sin cos b b b b A C A A A-+++===，得()1cos 21b A b +=-．由余弦定理得()()()()222114cos 2121b b b b A b b b ++--+==++，所以()()412121b b b b ++=+-，解得5b =．（2）由（1）知5b =，6c =，3cos 4BAC ∠=，则7sin 4BAC ∠=．因为7cos 3θ=，且02πθ<<，所以2sin 3θ=，所以()7732732sin sin sin cos cos sin 434312CAD BAC BAC BAC θθθ+∠=∠+=∠+∠=⨯+⨯=则CAD 的面积1173235152sin 5622124S bc CAD ++=∠=⨯⨯⨯=．26．(Ⅰ)3π；(Ⅱ)7b =，3314.【详解】分析：（Ⅰ）由题意结合正弦定理边化角结合同角三角函数基本关系可得3tanB =，则B =π3．（Ⅱ）在△ABC 中，由余弦定理可得b =7．结合二倍角公式和两角差的正弦公式可得()33214sin A B -=．详解：（Ⅰ）在△ABC 中，由正弦定理a b sinA sinB=，可得bsinA asinB =，又由π6bsinA acos B ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，得π6asinB acos B ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，即π6sinB cos B ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，可得3tanB =．又因为()0πB ∈，，可得B =π3．（Ⅱ）在△ABC 中，由余弦定理及a =2，c =3，B =π3，有22227b a c accosB =+-=，故b =7．由π6bsinA acos B ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，可得37sinA =．因为a <c ，故27cosA =．因此43227sin A sinAcosA ==，212217cos A cos A =-=．所以，()222sin A B sin AcosB cos AsinB -=-=4311333727214⨯-⨯=．点睛：在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．27．(Ⅰ)23π；(Ⅱ)21.【分析】（Ⅰ）由题意结合正弦定理边化角，整理计算可得sin 16A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则23A π=.（Ⅱ）由三角形面积公式可得：4bc =，结合余弦定理计算可得221a =，则21a =.【详解】（Ⅰ）由正弦定理得，，∵，∴，即．∵∴，∴∴．（Ⅱ）由：可得．∴，∵，∴由余弦定理得：，∴.【点睛】在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．28．（1）6π；（2）73．【分析】（1）先用余弦定理化余弦为边，再用正弦定理化边为角从而求得A ；（2）由余弦定理用c 表示a ，然后把三角形的面积用两种方法表示求得c ，从而可计算出面积．【详解】（1）由22sin cos 2c a B C ab--=得222sin 2cos ab B ab C c a -=-，由余弦定理得222222sin ab B c a b c a +--=-，所以2sin a B b =，由正弦定理得2sin sin sin A B B =，B 是三角形内角，sin 0B ≠，所以1sin 2A =，又A 为锐角，所以6A π=．（2）由（1）22222332cos 2cos 1646a b c bc A c c c c π=+-=+-⨯⋅⋅2716c =，74a c =，所以11sin 2322ABC S bc A a ==⨯△，即2131172324224c c ⨯⨯=⨯⨯，47c =，3214b c ==，111sin 214773222ABC S bc A ==⨯⨯⨯=△．【点睛】思路点睛：本题考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式．利用正弦定理和余弦定理进行边角互化是解题关键．三角形的面积采取了二次计算，通过不同的计算方法得出等式，从而求解．这是一种解题技巧．29．（1）π3C =；（2）3ABCS =．【分析】（1）根据正弦定理，将角化为边的表达形式；结合余弦定理即可求得角C 的值．（2）由余弦定理求得2c 与ab 的关系，结合不等式即可求得c 的最小值，即可得到ab 的值，进而求得三角形面积．【详解】（1）由条件和正弦定理可得2222b c a b a b+-=-，整理得222b a c ab +-=从而由余弦定理得1cos 2C =．又∵C 是三角形的内角，∴π3C =．（2）由余弦定理得222222cos c a b ab C a b ab =+-=+-，∵4a b +=，∴()22223163c a b ab a b ab ab =+-=+-=-，∴2216316342a b c ab +⎛⎫=-≥-= ⎪⎝⎭（当且仅当2a b ==时等号成立）．∴c 的最小值为2，故1sin 32ABCSab C ==．【点睛】本题考查了正弦定理与余弦定理的简单应用，边角关系的转化及不等式在求最值中的用法，属于基础题．30．（1）6π；（2）27.【分析】（1）先由正弦定理边角互化，计算求得sin B ；（2）由（1）可知ABC 是等腰三角形，根据面积公式求边长a ，AMC 中，再根据余弦定理求中线AM 的长.【详解】（1）∵1sin cos 2a B Ab =，由正弦定理边角互化得1sin sin cos sin sin cos sin 2A B C C B A B +=，由于(0,),sin 0B B π∈≠，∴1sin cos sin cos 2A C C A +=，即1sin()2A C +=，得1sin 2B =.又c b >，∴02B π<<，∴6B π=.（2）由（1）知6B π=，若6A π=，故a b =，则2112sin sin 43223ABC S ab C a π∆===，∴4a =，4a =-（舍）又在AMC 中，22222cos3AM AC MC AC MC π=+-⋅，∴222221121()2cos42242()282232AM AC AC AC AC π=+-⋅⋅⋅=+-⋅⋅⋅-=，∴27AM =.31．（1）4π；（2）12.【分析】（1）利用正弦定理化边为角，利用三角恒等变换公式化简，得到2cos 2C =，从而求得C 的大小；（2）利用余弦定理化简()2cos cos c a B b A b -=，得到222a b =，求出b ，再计算面积即可.【详解】解：（1）由已知及正弦定理，得2sin cos sin cos sin cos B C A C C A -=．∴()2sin cos sin cos cos sin sin B C A C A C A C =+=+．∵πA C B +=-，∴()sin sin A C B +=．∴2sin cos sin B C B =．又∵sin 0B ≠，∴2cos 2C =．∵()0,πC ∈，∴π4C =．（2）由已知及余弦定理，得222222222a c b b c a ac bc b ac bc +-+-⋅-⋅=．222222222a cb bc a b +-+--=化简，得222a b =．又∵2a =，∴1b =．∴ABC 的面积1121sin 212222ABC ab C S ==⨯⨯⨯=△．【点睛】在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．32．（1）,2p p 轹÷ê÷÷êøë；（2）1534【分析】（1）利用降次公式化简()f x ，然后利用三角函数单调区间的求法，求得()f x 的单调递增区间.（2）由()0f A =求得A ，用余弦定理求得c ，由此求得三角形ABC 的面积.【详解】（1）依题意()()2211()cos sin cos 20,π22f x x x x x =-+=+Î，由2ππ22πk x k -≤≤得πππ2k x k -≤≤，令1k =得ππ2x ≤≤.所以()f x 的单调递增区间,2p p 轹÷ê÷÷êøë.（2）由于a b <，所以A 为锐角，即π0,02π2A A <<<<.由()0f A =，得11cos 20,cos 222A A +==-，所以2ππ2,33A A ==.由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-⋅，2560c c -+=，解得2c =或3c =.当2c =时，22219cos 0238a cb B ac +-==-<，则B 为钝角，与已知三角形ABC 为锐角三角形矛盾.所以3c =.所以三角形ABC 的面积为113153sin 532224bc A =⨯⨯⨯=.【点睛】本小题主要考查二倍角公式，考查三角函数单调性的求法，考查余弦定理解三角形，考查三角形的面积公式，属于基础题.33．（1）3B π=，32b =；（2）3316.【分析】（1）根据cos 3sin 2B B +=得出sin 16B π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，然后根据角B 是锐角得出3B π=，最后根据正弦定理与余弦定理对cos cos 2sin 3sin B C Ab c C+=进行转化，即可得出结果；（2）由正弦定理得出sin a A =、sin c C =，然后根据23A C π+=得出,62A ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，再然后根据解三角形面积公式得出1sin 2ABC S ac B =△，并将其转化为33sin 28616ABC S A △π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，最后根据正弦函数的性质即可求出最值.【详解】（1）因为cos 3sin 2B B +=，所以13cos sin 122B B +=，sin 16B π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，因为角B 是锐角，所以3B π=，因为cos cos 2sin 3sin B C Ab c C+=，所以由正弦定理与余弦定理易知，2222222223a c b a b c aabc abc c +-+-+=，整理得222323a a abc c=，解得32b =.（2）因为1sin sin sin a b cA B C===，所以sin a A =，sin c C =，因为02A π<<，02C <<π，23A C π+=，所以,62A ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则1133sin sin sin sin sin 222423ABC S ac B A C A A △π⎛⎫==⨯-⨯⨯= ⎪⎝⎭221cos cos sin cos sin 33333sin sin sin 4422A A A A A A ππ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-+()23333sin sin sin 21cos 288161cos 6A A A A A =+=+-33333sin 2cos 2sin 21616168616A A A π⎛⎫=-+=-+⎪⎝⎭，因为,62A ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以52666A ，πππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，则1sin 2,162A π骣纟琪ú-Î琪琪ú桫û，33333sin 2,8616816A π⎛⎤⎛⎫-+∈ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦，故333,816ABC S △⎛⎤∈ ⎥ ⎝⎦，ABC 面积的最大值为3316.。
高中必修二数学练习题及讲解答案
高中必修二数学练习题及讲解答案### 高中必修二数学练习题及讲解答案#### 练习题一：函数的性质题目：已知函数 \( f(x) = 2x^2 - 3x + 1 \) ，求该函数的单调区间。
解答：首先，我们需要找到函数的导数来确定其单调性。
对 \( f(x) \) 求导得到 \( f'(x) = 4x - 3 \)。
令 \( f'(x) = 0 \) 求得极值点：\[ 4x - 3 = 0 \]\[ x = \frac{3}{4} \]接下来，我们分析 \( f'(x) \) 的正负来确定单调性：- 当 \( x < \frac{3}{4} \) 时，\( f'(x) < 0 \)，所以 \( f(x) \) 在 \( (-\infty, \frac{3}{4}) \) 上单调递减。
- 当 \( x > \frac{3}{4} \) 时，\( f'(x) > 0 \)，所以 \( f(x) \) 在 \( (\frac{3}{4}, +\infty) \) 上单调递增。
因此，函数 \( f(x) \) 的单调递减区间为 \( (-\infty,\frac{3}{4}) \)，单调递增区间为 \( (\frac{3}{4}, +\infty) \)。
#### 练习题二：三角函数的图像与性质题目：已知 \( \sin(\alpha) = \frac{3}{5} \)，且 \( \alpha \) 位于第一象限，求 \( \cos(\alpha) \) 的值。
解答：根据正弦和余弦的关系，我们知道：\[ \sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1 \]已知 \( \sin(\alpha) = \frac{3}{5} \)，代入上式得：\[ \left(\frac{3}{5}\right)^2 + \cos^2(\alpha) = 1 \]\[ \frac{9}{25} + \cos^2(\alpha) = 1 \]\[ \cos^2(\alpha) = 1 - \frac{9}{25} \]\[ \cos^2(\alpha) = \frac{16}{25} \]因为 \( \alpha \) 在第一象限，余弦值为正，所以：\[ \cos(\alpha) = \frac{4}{5} \]#### 练习题三：不等式的解法题目：解不等式 \( |x - 2| + |x + 3| > 8 \)。
新教材高一数学必修第二册期末模块冲刺训练---十分钟限时提升02(原卷版)
新教材高一数学必修第二册期末模块冲刺训练-----十分钟限时提升02模块六----复数1.若复数z 满足2z i =-，则复数z 的虚部是（ ）A ．2B ．1-C ．2iD ．i -2.复数34z i =+，则z 的共轭．．复数在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3.若复数(a 2－3a ＋2)＋(a －1)i 是纯虚数，则实数a 的值为( )A.1B.2C.1或2D.－14.已知2(1i)32i z -=+，则z =( ) A.31i 2-- B.31i 2-+ C.3i 2+ D.3i 2- 5.已知(26)12i x yi +=+，其中x ､y 是实数，则||x yi +=（ ）A ．12B ．32CD ．26.已知()()214Z m m i =++-在复平面内对应的点在第二象限，则实数m 的取值范围是____.模块七---抽样方法1．甲校有3600名学生，乙校有5400名学生，丙校有1800名学生，为统计三校学生某方面的情况，计划采用比例分配的分层随机抽样法抽取一个容量为90的样本，应在这三校分别抽取学生( )A ．30人，30人，30人B ．30人，45人，15人C ．20人，30人，10人D ．30人，50人，10人2.某居民区有5000人自愿接种了抗病毒疫苗，其中60~70岁的老人有1400人，16~19岁的中学生有400人，其余为符合接种条件的其它年龄段的居民．在一项接种疫苗的追踪调查中，要用分层抽样的方法从该居民区5000名接种疫苗的人群中抽取50人，则从其余符合接种条件的其它年龄段的居民中抽取的人数为（）A．14 B．18 C．32 D．503.某中学的高一、高二、高三共有学生1350人，其中高一500人，高三比高二少50人，为了解该校学生健康状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有高一学生120人，则该样本中的高二学生人数为（）A．80 B．96 C．108 D．1104.用分层抽样的方法从高一、高二、高三3个年级的学生中抽取1个容量为60的样本，其中高一年级抽取15人，高三年级抽取20人，已知高二年级共有学生500人，则3个年级学生总数为人．5.比例分配的分层随机抽样中，总体共分为2层，第1层的样本量为20，样本平均数为3，第2层的样本量为30，样本平均数为8，则该样本的平均数为____.6.某社会爱心组织面向全市征召义务宣传志愿者．现从符合条件的志愿者中随机抽取100名按年龄分组：第1组[20,25)，第2组[25,30)，第3组[30,35)，第4组[35,40)，第5组[40,45)，得到的频率分布直方图如图所示．若从第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参与广场的宣传活动，应从第3组抽取__________名志愿者．模块八---用样本估计总体1.如图，是统计某样本数据得到的频率分布直方图，已知该样本容量为300，则样本数据落在内的频数为（ ）A ．68B ．170C ．204D ．2402.已知甲、乙两组是按大小顺序排列的数据．甲组：27，28，37，m ，40，50；乙组：24，n ，34，43，48，52．若这两组数据的第30百分位数、第50百分位数分别对应相等，则m n 等于（ ） A ．127 B ．107 C ．43 D ．743.已知某6个数据的平均数为4，方差为8，现加入2和6两个新数据，此时8个数据的方差为（ ）A ．8B ．7C ．6D ．54.为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调査，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：[6,14)根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是( )A.该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%B.该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10%C.估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元D.估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间5.现统计出甲、乙两人在8次测验中的数学成绩如下（其中乙的一个成绩被污损）：甲：86，79，82，91，83，89，94，89乙：90，92，x，80，84，95，94，90已知乙成绩的平均数恰好等于甲成绩的60%分位数，则乙成绩的平均数为________，x的值为________.6.某次数学竟赛有100位同学参加，如图为这100位同学此次竞赛成绩的频率分布直方图，则a ______，这100位同学此次竞赛成绩的中位数约为______.(中位数精确到0.01.)模块九---事件、概率的性质及古典概型1.从装有2个红球和2个黒球的袋内任取2球，那么互斥不对立的两个事件是（）A．至少有一个黒球与都是黒球B．至多有一个黒球与都是黒球C．至少有一个黒球与至少有一个红球 D．恰有一个黒球与恰有两个黒球2.抛掷一颗质地均匀的骰子，观察掷出的点数，设事件A为“出现奇数点”，事件B为“出现2点”，已知P(A)＝12，P(B)＝16，则“出现奇数点或2点”的概率为( )A．16 B．13C．12D．233.若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人,这五人被录用的机会均等,则甲或乙被录用的概率为( )A. 23 B. 25C. 35D. 9104.为了调查某厂2 000名工人生产某种产品的能力,随机抽查了20名工人某天生产该产品的数量(单位:个),产品数量的分组区间为[10,15),[15,20),[20,25),[25,30),[30,35],频率分布直方图如图所示.工厂规定从生产低于20个产品的工人中随机选取2名进行培训,则这2名工人不在同一组的概率是( )A. 110 B. 715C. 815D. 13155.个袋子中有5个红球，4个绿球，8个黑球，如果随机地摸出一个球，记事件A＝{摸出黑球}，事件B＝{摸出绿球}，事件C＝{摸出红球}，则P(A)＝________；P(B∪C)＝________.(第一空2分，第二空3分)6.从含有3件正品和1件次品的4件产品中不放回地任取2件，则取出的2件中恰有1件是次品的概率为________．模块十---事件的独立性1.若P(AB)＝19，P(A)＝23，P(B)＝13，则事件A与B的关系是( )A．事件A与B互斥B．事件A与B对立C．事件A与B相互独立D．事件A与B既互斥又独立2..打靶时甲每打10次，可中靶8次；乙每打10次，可中靶7次．若两人同时射击一个目标，则它们都中靶的概率是( )A.35B．34C.1225D.14253.甲2.、乙两名同学将参加2021年高考，根据高三年级一年来的各种大、中、小型数学模拟考试总结出来的数据显示，甲、乙两人能考140分以上的概率分别为12和45，甲、乙两人是否考140分以上相互独立，则预估这两个人在2021年高考中恰有一人数学考140分以上的概率为( )A.12B.23C.34D.134.有两名射手射击同一目标，命中的概率分别为0.8和0.7，若各射击一次，则目标被击中的概率是（）A．0.56 B．0.92C．0.94 D．0.965.2021年第31届世界大学生夏季运动会将在成都举行．为营造“爱成都迎大运”全民运动和全民健身活动氛围，某社区组织甲、乙两队进行一场足球比赛，根据以往的经验知，甲队获胜的概率是25，两队打平的概率是110，则这次比赛乙队不输的概率是_______________________．6.有甲、乙两台机床生产某种零件，甲获得正品乙不是正品的概率为14，乙获得正品甲不是正品的概率为16，且每台获得正品的概率均大于12，则甲乙同时生产这种零件，至少一台获得正品的概率是___________.。
人教A版选修2-2双基限时练20.docx
高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作双基限时练(二十)1．若(x2－x)＋(x－1)i是纯虚数，则实数x的值为()A．1或0 B．1C．0 D．以上都不对答案 C2．如果(x＋y)i＝x－1，那么实数x，y的值为()A．x＝1，y＝－1 B．x＝0，y＝－1C．x＝1，y＝0 D．x＝0，y＝0答案 A3．(3－1)i的实部是()A. 3 B．1C．－1 D．0答案 D4．若x，y∈R，且z＝x＋y i是虚数，则有()A．x＝0，y∈R B．x≠0，y∈RC．x∈R，y＝0 D．x∈R，y≠0答案 D5．以－5＋2i的虚部为实部，以5i＋2i2的实部为虚部的新复数是()A ．2－2iB ．－5＋5iC ．2＋iD.5＋5i解析 －5＋2i 的虚部为2，5i ＋2i 2＝－2＋5i ，它的实部为－2，故新复数为2－2i.答案 A 6．下列命题：①ab ＝0，则a ＝0，或b ＝0； ②a 2＋b 2＝0，则a ＝0，且b ＝0；③z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，z 为纯虚数的充要条件是a ＝0； ④z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，若z ＞0，则a ＞0，b ＝0. 其中正确命题的序号是__________． 答案 ①④7．复数4－3a －a 2i 与复数a 2＋4a i 相等，则实数a 的值为__________．解析 由4－3a －a 2i ＝a 2＋4a i ，得⎩⎪⎨⎪⎧4－3a ＝a 2，－a 2＝4a ，解得a ＝－4. 答案 －48．复数cos2θ＋2isin 2θ的实部与虚部的和等于________． 解析 cos2θ＋2sin 2θ＝1－2sin 2θ＋2sin 2θ＝1. 答案 19．若log 2(m 2－3m －3)＋ilog 2(m －2)为纯虚数，求实数m 的值． 解 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧log 2(m 2－3m －3)＝0，log 2(m －2)≠0，∴⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m －3＝1，m －2＞0，m －2≠1，解得m ＝4.10．求适合方程xy －(x 2＋y 2)i ＝2－5i 的实数x ，y 的值．解 由复数相等的充要条件得⎩⎪⎨⎪⎧xy ＝2，x 2＋y 2＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1，y ＝－2，或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝－1.11．已知关于x 的方程x 2＋(1－2i)x ＋(3m －i)＝0有实根，求实数m 的值．解 设x ＝a 为方程的一个实数根． 则有a 2＋(1－2i)a ＋(3m －i)＝0 即(a 2＋a ＋3m )－(2a ＋1)i ＝0∵a ，m ∈R ，由复数相等的充要条件，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋a ＋3m ＝0，2a ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝112，a ＝－12.故实数m 的值为112.12．已知z 1＝sin2θ＋icos θ，z 2＝cos θ＋i 3sin θ，若z 1＝z 2，试求θ的值．解 ∵z 1＝z 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＝sin2θ，cos θ＝3sin θ.∴⎩⎨⎧sin θ＝12，cos θ＝32，解得θ＝2k π＋π6(k ∈Z )．。
人教B版高中数学必修二双基限时练20
双基限时练(二十)基础强化1．经过点(3，a )，(－2,0)的直线与直线x －2y ＋3＝0垂直，则a 的值为( )A.52 B.25 C.10 D ．－10解析a －03－(－2)＝－2，∴a ＝－10.答案 D2．已知A (2,4)与B (3,3)关于直线l 对称，则直线l 的方程为( )A ．x ＋y ＝0B ．x －y ＝0C ．x ＋y －6＝0D ．x －y ＋1＝0解析 k AB ＝4－32－3＝－1，AB 中点⎝ ⎛⎭⎪⎫52，72，∴直线l 的斜率为1，且经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫52，72，∴y －72＝x －52，即x －y ＋1＝0.答案 D3．已知直线mx ＋4y －2＝0与2x －5y ＋n ＝0互相垂直，垂足为(1，p )，则m －n ＋p 的值为( )A ．24B ．20C ．0D ．－4解析 2m －20＝0，∴m ＝10. ∴10＋4p －2＝0，∴p ＝－2. ∴2＋10＋n ＝0，∴n ＝－12. ∴m －n ＋p ＝20. 答案 B4．△ABC 的顶点是A (3,6)，B (2,3)，C (－2,4)，则AB 边上的高线所在直线方程为( )A ．x ＋3y －10＝0B ．x ＋3y ＋10＝0C ．3x ＋y ＋2＝0D ．3x －y ＋2＝0 解析 k AB ＝6－33－2＝3，∴k 高＝－13.∴高线所在直线：y －4＝－13(x ＋2)，即x ＋3y －10＝0.答案 A5．已知点M (0，－1)，点N 在直线x －y ＋1＝0上，若直线MN 垂直于直线x ＋2y －3＝0，则N 点的坐标是( )A ．(－2，－3)B ．(2,1)C ．(2,3)D ．(－2，－1)解析 k MN ＝2，∴l MN ：y ＝2x －1.⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝0，y ＝2x －1， ∴x ＝2，y ＝3，∴N (2,3)．答案 C6．入射光线在直线l 1：2x －y －3＝0上，经过x 轴反射后所在直线为l 2，再经过y 轴反射后所在直线为l 3，则直线l 3的方程为( )A ．x －2y ＋3＝0B ．2x －y ＋3＝0C ．2x ＋y －3＝0D ．2x －y ＋6＝0解析 根据光的反射原理，l 1与l 2关于x 轴对称，l 2与l 3关于y 轴对称，∴直线l 1与l 3关于原点对称．∵l 1：2x －y －3＝0，∴l 3：2x －y ＋3＝0. 答案 B7．过点(1,3)且与直线x ＋2y －1＝0垂直的直线方程为_________________________________________________________．解析 直线x ＋2y －1＝0的斜率为－12，故所求直线的斜率为2，∴y －3＝2(x －1)， 即2x －y ＋1＝0. 答案 2x －y ＋1＝08．若直线(m ＋2)x ＋3my ＋1＝0与直线(m －2)x ＋(m ＋2)y －3＝0互相垂直，则m ＝________.解析 由(m ＋2)(m －2)＋3m (m ＋2)＝0，得(m ＋2)·(4m －2)＝0，∴m ＝－2或12.答案 －2或12能力提升9．M (－1,0)关于直线x ＋2y －1＝0的对称点M ′的坐标为________．解析 设M ′的坐标为(x 0，y 0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧y 0x 0＋1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－1，x 0－12＋y 02×2－1＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－15，y 0＝85.∴M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－15，85. 答案 M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－15，8510．求经过直线l 1：3x ＋2y －1＝0和l 2：5x ＋2y ＋1＝0的交点，且垂直于直线l 3：3x －5y ＋6＝0的直线l 的方程．解 方法一 先解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y －1＝0，5x ＋2y ＋1＝0，得l 1与l 2的交点(－1,2)，再由l 3的斜率35求出l 的斜率为－53，于是由直线的点斜式方程求出l ：y －2＝－53(x ＋1)，即5x ＋3y －1＝0.方法二 ∵l ⊥l 3，故l 是直线系5x ＋3y ＋C ＝0中的一条，而l过l 1与l 2的交点(－1,2)，故5×(－1)＋3×2＋C ＝0，由此求出C ＝－1，故l 的方程为5x ＋3y －1＝0.方法三 ∵l 过l 1与l 2的交点，故l 是直线系3x ＋2y －1＋λ(5x ＋2y ＋1)＝0中的一条，将其整理，得(3＋5λ)x ＋(2＋2λ)y ＋(－1＋λ)＝0.其斜率为－3＋5λ2＋2λ＝－53，解得λ＝15，代入直线系方程即得l 的方程为5x ＋3y －1＝0.11．已知A (1,0)，B (3,2)，C (0,4)，点D 满足AB ⊥CD ，且AD ∥BC ，试求点D 的坐标．解 设D (x ，y )，则k AB ＝23－1＝1，k BC ＝4－20－3＝－23，k CD ＝y －4x ，k DA ＝yx －1.∵AB ⊥CD ，AD ∥BC ， ∴k AB ·k CD ＝－1，k DA ＝k BC .∴⎩⎪⎨⎪⎧1×y －4x＝－1，y x －1＝－23.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝10，y ＝－6，即D (10，－6)．12．已知直线l ：x ＋2y －2＝0，试求： (1)点P (－2，－1)关于直线l 的对称点坐标；(2)直线l 1：y ＝x －2关于直线l 对称的直线l 2的方程； (3)直线l 关于点A (1,1)对称的直线方程．解 (1)设点P 关于直线l 的对称点为P ′(x 0，y 0)，则线段PP ′的中点M 在直线l 上，且PP ′⊥l .∴⎩⎪⎨⎪⎧y 0＋1x 0＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－1，x 0－22＋2×y 0－12－2＝0，解之得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝25，y 0＝195，即P ′点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫25，195.(2)直线l 1：y ＝x －2关于直线l 对称的直线为l 2，则l 2上任一点P 1(x ，y )关于l 的对称点P 1′(x ′，y ′)一定在直线l 1上，反之也成立．由⎩⎪⎨⎪⎧y －y ′x －x ′×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－1，x ＋x ′2＋2×y ＋y ′2－2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x －4y ＋45，y ′＝－4x －3y ＋85.把(x ′，y ′)代入方程y ＝x －2并整理，得7x －y －14＝0，即直线l 2的方程为7x －y －14＝0.(3)设直线l 关于点A (1,1)的对称直线为l ′，则直线l 上任一点P 2(x 1，y 1)关于点A 的对称点P 2′(x ，y )一定在直线l ′上，反之也成立．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋x 12＝1，y ＋y 12＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2－x ，y 1＝2－y .将(x 1，y 1)代入直线l 的方程得，x ＋2y －4＝0， 即直线l ′的方程为x ＋2y －4＝0.品味高考13.如图，△ABC 的顶点B (3,4)，AB 边上的高CE 所在直线方程为2x ＋3y －16＝0，BC 边上的中线AD 所在直线方程为2x －3y ＋1＝0，求边AC 的长．解 设点A ，C 的坐标分别为A (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)． ∵AB ⊥CE ，k CE ＝－23，∴k AB ＝－1k EC ＝32.∴直线AB 的方程为3x －2y －1＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧3x 1－2y 1－1＝0，2x 1－3y 1＋1＝0，得A (1,1)．∵D 是BC 的中点，∴D ⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋32，y 2＋42. 而点C 在直线CE 上，点D 在直线AD 上， ∴⎩⎪⎨⎪⎧2x 2＋3y 2－16＝0，2·x 2＋32－3·y 2＋42＋1＝0.∴C (5,2)．|AC |＝(5－1)2＋(2－1)2＝17.。
2020年高中数学(人教版必修2)配套练习 第二章2.2.2
2.2.2平面与平面平行的判定一、基础过关1．直线l∥平面α，直线m∥平面α，直线l与m相交于点P，且l与m确定的平面为β，则α与β的位置关系是() A．相交B．平行C．异面D．不确定2．平面α与平面β平行的条件可以是() A．α内的一条直线与β平行B．α内的两条直线与β平行C．α内的无数条直线与β平行D．α内的两条相交直线分别与β平行3．给出下列结论，正确的有()①平行于同一条直线的两个平面平行；②平行于同一平面的两个平面平行；③过平面外两点，不能作一个平面与已知平面平行；④若a，b为异面直线，则过a与b平行的平面只有一个．A．1个B．2个C．3个D．4个4．若正n边形的两条对角线分别与面α平行，则这个正n边形所在的平面一定平行于平面α，那么n的取值可能是() A．12 B．8 C．6 D．55．已知平面α、β和直线a、b、c，且a∥b∥c，a⊂α，b、c⊂β，则α与β的关系是________．6．有下列几个命题：①平面α内有无数个点到平面β的距离相等，则α∥β；②α∩γ＝a，α∩β＝b，且a∥b(α，β，γ分别表示平面，a，b表示直线)，则γ∥β；③平面α内一个三角形三边分别平行于平面β内的一个三角形的三条边，则α∥β；④平面α内的一个平行四边形的两边与平面β内的一个平行四边形的两边对应平行，则α∥β.其中正确的有________．(填序号)7．如图所示，矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，BE∥CF，求证：AE∥平面DCF.8. 在长方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F、E1、F1分别是AB、CD、A1B1、C1D1的中点．求证：平面A1EFD1∥平面BCF1E1.二、能力提升9．α、β是两个不重合的平面，a、b是两条不同的直线，在下列条件下，可判定α∥β的是() A．α，β都平行于直线a、bB．α内有三个不共线的点到β的距离相等C．a，b是α内两条直线，且a∥β，b∥βD．a、b是两条异面直线，且a∥α，b∥α，a∥β，b∥β10. 正方体EFGH—E1F1G1H1中，下列四对截面中，彼此平行的一对截面是()A．平面E1FG1与平面EGH1B．平面FHG1与平面F1H1GC．平面F1H1H与平面FHE1D．平面E1HG1与平面EH1G11. 如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F、G、H分别是棱CC1、C1D1、D1D、CD的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M满足________时，有MN∥平面B1BDD1.12．已知在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、E、F、N分别是A1B1、B1C1、C1D1、D1A1的中点．求证：(1)E、F、D、B四点共面；(2)平面AMN∥平面EFDB.三、探究与拓展13．如图所示，B为△ACD所在平面外一点，M、N、G分别为△ABC、△ABD、△BCD的重心．(1)求证：平面MNG∥平面ACD；(2)求S△MNG∶S△ADC.答案1．B 2．D 3．B 4.D 5．相交或平行 6．③7．证明 由于AB ∥CD ，BE ∥CF ，故平面ABE ∥平面DCF .而直线AE 在平面ABE 内，根据线面平行的定义，知AE ∥平面DCF . 8．证明 ∵E 、E 1分别是AB 、A 1B 1的中点，∴A 1E 1∥BE 且A 1E 1＝BE .∴四边形A 1EBE 1为平行四边形． ∴A 1E ∥BE 1.∵A 1E ⊄平面BCF 1E 1， BE 1⊂平面BCF 1E 1. ∴A 1E ∥平面BCF 1E 1. 同理A 1D 1∥平面BCF 1E 1， A 1E ∩A 1D 1＝A 1，∴平面A 1EFD 1∥平面BCF 1E 1. 9．D 10.A 11.M ∈线段FH12．证明 (1)∵E 、F 分别是B 1C 1、C 1D 1的中点，∴EF 綊12B 1D 1，∵DD 1綊BB 1，∴四边形D 1B 1BD 是平行四边形， ∴D 1B 1∥BD . ∴EF ∥BD ，即EF 、BD 确定一个平面，故E 、F 、D 、B 四点共面． (2)∵M 、N 分别是A 1B 1、A 1D 1的中点， ∴MN ∥D 1B 1∥EF . 又MN ⊄平面EFDB ， EF ⊂平面EFDB . ∴MN ∥平面EFDB .连接NE ，则NE 綊A 1B 1綊AB . ∴四边形NEBA 是平行四边形．∴AN ∥BE .又AN ⊄平面EFDB ，BE ⊂平面EFDB .∴AN ∥平面EFDB . ∵AN 、MN 都在平面AMN 内，且AN ∩MN ＝N ， ∴平面AMN ∥平面EFDB .13．(1)证明 连接BM 、BN 、BG 并延长交AC 、AD 、CD 分别于P 、F 、H .∵M 、N 、G 分别为△ABC 、△ABD 、△BCD 的重心，则有BM MP ＝BN NF ＝BGGH ＝2.连接PF 、FH 、PH ，有MN ∥PF . 又PF ⊂平面ACD ，MN ⊄平面ACD ， ∴MN ∥平面ACD .同理MG ∥平面ACD ，MG ∩MN ＝M ， ∴平面MNG ∥平面ACD .(2)解 由(1)可知MG PH ＝BG BH ＝23，∴MG ＝23PH .又PH ＝12AD ，∴MG ＝13AD .同理NG ＝13AC ，MN ＝13CD .∴△MNG ∽△DCA ，其相似比为1∶3，∴S △MNG ∶S △ADC ＝1∶9......................................使用本文档删除后面的即可致力于打造全网一站式文档服务需求，为大家节约时间文档来源网络仅供参考欢迎您下载可以编辑的word文档谢谢你的下载本文档目的为企业和个人提供下载方便节省工作时间，提高工作效率，打造全网一站式精品需求!欢迎您的下载，资料仅供参考!（本文档收集于网络改编，由于文档太多，审核难免疏忽，如有侵权或雷同，告知本店马上删除）。
2020年高中数学(人教版必修2)配套练习 3.1.1
第三章直线与方程§3.1直线的倾斜角与斜率3.1.1倾斜角与斜率一、基础过关1．下列说法中：①任何一条直线都有唯一的倾斜角；②任何一条直线都有唯一的斜率；③倾斜角为90°的直线不存在；④倾斜角为0°的直线只有一条．其中正确的个数是() A．0 B．1 C．2 D．32．斜率为2的直线经过点A(3,5)、B(a,7)、C(－1，b)三点，则a、b的值为() A．a＝4，b＝0 B．a＝－4，b＝－3C．a＝4，b＝－3 D．a＝－4，b＝33．在平面直角坐标系中，正三角形ABC的边BC所在直线的斜率是0，则AC，AB所在直线的斜率之和为() A．－2 3 B．0 C. 3 D．2 34．直线l过原点(0,0)，且不过第三象限，那么l的倾斜角α的取值范围是() A．[0°，90°]B．[90°，180°)C．[90°，180°)或α＝0°D．[90°，135°]5．若直线AB与y轴的夹角为60°，则直线AB的倾斜角为____________，斜率为__________．6．若经过点P(1－a,1＋a)和Q(3,2a)的直线的倾斜角为钝角，则实数a的取值范围为_______．7. 如图所示，菱形ABCD中，∠BAD＝60°，求菱形ABCD各边和两条对角线所在直线的倾斜角和斜率．8．一条光线从点A(－1,3)射向x轴，经过x轴上的点P反射后通过点B(3,1)，求P点的坐标．二、能力提升9．设直线l过坐标原点，它的倾斜角为α，如果将l绕坐标原点按逆时针方向旋转45°，得到直线l1，那么l1的倾斜角为() A．α＋45°B．α－135°C．135°－αD．当0°≤α<135°时，倾斜角为α＋45°；当135°≤α<180°时，倾斜角为α－135°10. 若图中直线l 1、l 2、l 3的斜率分别为k 1、k 2、k 3，则 ( )A ．k 1<k 2<k 3B ．k 3<k 1<k 2C ．k 3<k 2<k 1D ．k 1<k 3<k 211．已知直线l 的倾斜角为α－20°，则α的取值范围是________．12．△ABC 为正三角形，顶点A 在x 轴上，A 在边BC 的右侧，∠BAC 的平分线在x 轴上，求边AB 与AC 所在直线的斜率． 三、探究与拓展13．已知函数f (x )＝log 2(x ＋1)，a >b >c >0，试比较f (a )a ，f (b )b ，f (c )c 的大小．答案1．B 2．C 3.B 4．C5．30°或150° 33或－336．(－2,1)7．解 直线AD ，BC 的倾斜角为60°，直线AB ，DC 的倾斜角为0°，直线AC 的倾斜角为30°，直线BD 的倾斜角为120°.k AD ＝k BC ＝3，k AB ＝k CD ＝0， k AC ＝33，k BD ＝－ 3.8．解 设P (x,0)，则k P A ＝3－0－1－x ＝－3x ＋1，k PB ＝1－03－x ＝13－x ，依题意，由光的反射定律得k P A ＝－k PB ，即3x ＋1＝13－x ，解得x ＝2，即P (2,0)． 9．D 10．D 11.20°≤α<200°12．解 如右图，由题意知∠BAO ＝∠OAC ＝30°，∴直线AB 的倾斜角为180°－30°＝150°，直线AC 的倾斜角为30°，∴k AB ＝tan 150°＝－33，k AC ＝tan 30°＝33.13．解 画出函数的草图如图，f (x )x可视为过原点直线的斜率．由图象可知：f (c )c >f (b )b >f (a )a......................................使用本文档删除后面的即可致力于打造全网一站式文档服务需求，为大家节约时间文档来源网络仅供参考欢迎您下载可以编辑的word文档谢谢你的下载本文档目的为企业和个人提供下载方便节省工作时间，提高工作效率，打造全网一站式精品需求!欢迎您的下载，资料仅供参考!（本文档收集于网络改编，由于文档太多，审核难免疏忽，如有侵权或雷同，告知本店马上删除）。
新课标A版高中数学,必修4,限时训练(二)
新课标A 版高中数学必修4限时训练双基限时练(二)1．终边在y 轴的非负半轴上的角的集合是( ) A ．{α|α＝k π，k ∈Z }B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪α＝k π＋π2，k ∈Z C ．{α|α＝2k π，k ∈Z }D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪α＝2k π＋π2，k ∈Z 解析 A 选项表示的角的终边在x 轴上；B 选项表示的角的终边在y 轴上；C 选项表示的角的终边在x 轴非负半轴上；D 选项表示的角的终边在y 轴非负半轴上，故选D.答案 D2．在半径为5 cm 的圆中，圆心角为周角的23的角所对的圆弧长为( )A.4π3cm B.20π3cm C.10π3cmD.50π3cm解析 记r ＝5，圆心角α＝23×2π＝4π3， ∴l ＝|α|r ＝203π. 答案 B3．将－1485°化成α＋2k π(0≤α<2π，k ∈Z )的形式是( ) A ．－π4－8π B.74π－8π C.π4－10πD.7π4－10π解析 ∵－1485°＝－5×360°＋315°， 又2π＝360°，315°＝74π，∴－1485°＝－5×2π＋74π＝7π4－10π. 答案 D4．把－114π表示成θ＋2k π(k ∈Z )的形式，使|θ|最小的θ为( ) A ．－34π B.π4 C.34πD ．－π4解析 ∵－11π4＝－2π－3π4，∴θ＝－34π. 又－11π4＝－4π＋5π4，∴θ＝5π4. ∴使|θ|最小的θ＝－3π4. 答案 A5．若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数的绝对值为( )A.π3B.2π3C. 3 D ．2解析 设所在圆的半径为r ，圆内接正三角形的边长为2r sin60°＝3r ，所以弧长3r 的圆心角的弧度数为3rr ＝ 3.答案 C6．用集合表示终边在阴影部分的角α的集合为( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪ π4≤α≤π3B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪ π4≤α≤5π3C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪2k π＋π4≤α≤2k π＋π3，k ∈Z D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪ 2k π＋π4≤α≤2k π＋5π3，k ∈Z解析 由图可知在[0,2π)内角的终边落在阴影部分时π4≤α≤5π3， ∴满足条件的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪2k π＋π4≤α≤2k π＋5π3，k ∈Z .答案 D7．圆的半径变为原来的12，而弧长不变，则该弧所对的圆心角变为原来的________倍．解析 由公式θ＝l r 知，半径r 变为原来的12，而弧长不变，则该弧所对的圆心角变为原来的2倍．答案 28．将下列弧度转化为角度： (1)π12＝________； (2)－7π8＝________； (3)13π6＝________； (4)－512π＝________. 答案 (1)15° (2)－157°30′ (3)390° (4)－75°9．将下列角度化为弧度： (1)36°＝________rad ； (2)－105°＝________rad ； (3)37°30′＝________rad ； (4)－75°＝________rad.解析 利用1°＝π180rad 计算． 答案 (1)π5 (2)－7π12 (3)5π24 (4)－5π1210．在直径为20 cm 的圆中，圆心角为150°时所对的弧长为________．解析 150°＝150×π180＝5π6， ∴l ＝5π6×10＝25π3(cm)． 答案 25π3 cm11．如图所示，分别写出适合下列条件的角的集合： (1)终边落在射线OM 上； (2)终边落在直线OM 上；(3)终边落在阴影区域内(含边界)．用弧度制表示终边在图中阴影区域内角的集合(包括边界)并判断2 012°是不是这个集合的元素．解 ∵150°＝5π6.∴终边在阴影区域内角的集合为S ＝{β|5π6＋2k π≤β≤3π2＋2k π，k ∈Z }．∵2012°＝212°＋5×360°＝⎝ ⎛⎭⎪⎫53π45＋10πrad ，又5π6＜53π45＜3π2. ∴2012°＝503π45∈S . 12.如图所示，动点P 、Q 从点A (4,0)出发沿圆周运动，点P 按逆时针方向每秒钟转π3弧度，点Q 按顺时针方向每秒钟转π6弧度，求P 、Q 第一次相遇所用的时间及P 、Q 各自走过的弧长．解 设P 、Q 第一次相遇时所用的时间为t 秒，则：t ·π3＋t ·⎪⎪⎪⎪⎪⎪－π6＝2π，解得t ＝4， 即第一次相遇时所用的时间为4秒． P 点走过的弧长为：43π×4＝163π， Q 点走过的弧长为：8π－16π3＝8π3. 13．扇形AOB 的周长为8 cm.(1)若这个扇形的面积为3 cm 2，求圆心角的大小；(2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长AB . 解 (1)设扇形的圆心角为θ，扇形所在圆的半径为R ，依题意有⎩⎨⎧2R ＋Rθ＝8，12θ·R 2＝3，解得θ＝23或6.即圆心角的大小为23弧度或6弧度．(2)设扇形所在圆的半径为x cm，则扇形的圆心角θ＝8－2xx，于是扇形的面积是S＝12x 2·8－2xx＝4x－x2＝－(x－2)2＋4.故当x＝2 cm时，S取到最大值．此时圆心角θ＝8－42＝2弧度，弦长AB＝2 ·2sin 1＝4sin1 (cm)．即扇形的面积取得最大值时圆心角等于2弧度，弦长AB等于4sin1 cm.。
2020年高中数学(人教版必修2)配套练习 第四章4.2.1
§4.2 直线、圆的位置关系4.2.1 直线与圆的位置关系一、基础过关1．直线3x ＋4y ＋12＝0与圆(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝9的位置关系是( )A ．过圆心B ．相切C ．相离D ．相交2．直线l 将圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0平分，且与直线x ＋2y ＝0垂直，则直线l 的方程为( )A ．y ＝2xB ．y ＝2x －2C ．y ＝12x ＋32D ．y ＝12x －323．若圆C 半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x －3y ＝0和x 轴都相切，则该圆的标准方程是( )A ．(x －2)2＋(y －1)2＝1B ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1C ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1D ．(x －3)2＋(y －1)2＝14．若直线ax ＋by ＝1与圆x 2＋y 2＝1相交，则点P (a ，b )的位置是( )A ．在圆上B ．在圆外C ．在圆内D ．都有可能5．过原点O 作圆x 2＋y 2－6x －8y ＋20＝0的两条切线，设切点分别为P 、Q ，则线段PQ 的长为________．6．已知圆C 过点(1,0)，且圆心在x 轴的正半轴上，直线l ：y ＝x －1被该圆所截得的弦长为22，则圆C 的标准方程为____________．7．已知圆C 和y 轴相切，圆心C 在直线x －3y ＝0上，且被直线y ＝x 截得的弦长为27，求圆C 的方程．8．已知圆C ：x 2＋y 2－2x ＋4y －4＝0.问是否存在斜率为1的直线l ，使l 被圆C 截得的弦AB 满足：以AB 为直径的圆经过原点． 二、能力提升9．由直线y ＝x ＋1上的一点向圆(x －3)2＋y 2＝1引切线，则切线长的最小值为 ( )A ．1B ．2 2 C.7D ．310．圆x 2＋y 2＋2x ＋4y －3＝0上到直线l ：x ＋y ＋1＝0的距离为2的点有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个11．由动点P 向圆x 2＋y 2＝1引两条切线P A 、PB ，切点分别为A 、B ，且∠APB ＝60°，则动点P 的轨迹方程为__________________．12．已知P 是直线3x ＋4y ＋8＝0上的动点，P A 、PB 是圆C ：x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的两条切线，A 、B 是切点．(1)求四边形P ACB 面积的最小值；(2)直线上是否存在点P ，使∠BP A ＝60°，若存在，求出P 点的坐标；若不存在，说明 理由．三、探究与拓展13．圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝25，直线l：(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0(m∈R)．(1)证明：不论m取什么数，直线l与圆C恒交于两点；(2)求直线l被圆C截得的线段的最短长度，并求此时m的值．答案1．D 2．A 3．A 4．B 5．46．(x －3)2＋y 2＝47．解 设圆心坐标为(3m ，m )，∵圆C 和y 轴相切，得圆的半径为3|m |，∴圆心到直线y＝x 的距离为|2m |2＝2|m |.由半径、弦心距的关系得9m 2＝7＋2m 2，∴m ＝±1.∴所求圆C 的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝9或(x ＋3)2＋(y ＋1)2＝9.8．解 假设存在且设l 为：y ＝x ＋m ，圆C 化为(x －1)2＋(y ＋2)2＝9，圆心C (1，－2)．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m y ＋2＝－(x －1)得AB 的中点N 的坐标N (－m ＋12，m －12)，由于以AB 为直径的圆过原点，所以|AN |＝|ON |. 又|AN |＝|CA |2－|CN |2＝9－(m ＋3)22，|ON |＝(－m ＋12)2＋(m －12)2.所以9－(3＋m )22＝⎝⎛⎭⎫－m ＋122＋⎝⎛⎭⎫m －122，解得m ＝1或m ＝－4.所以存在直线l ，方程为x －y ＋1＝0和x －y －4＝0，并可以检验，这时l 与圆是相交于两点的． 9．C 10．C 11．x 2＋y 2＝412．解 (1)如图，连接PC ，由P 点在直线3x ＋4y ＋8＝0上，可设P 点坐标为(x ，－2－34x )．圆的方程可化为(x －1)2＋(y －1)2＝1，所以S 四边形P ACB ＝2S △P AC ＝2×12×|AP |×|AC |＝|AP |.因为|AP |2＝|PC |2－|CA |2＝|PC |2－1，所以当|PC |2最小时，|AP |最小．因为|PC |2＝(1－x )2＋(1＋2＋34x )2＝(54x ＋1)2＋9.所以当x ＝－45时，|PC |2min ＝9. 所以|AP |min ＝9－1＝2 2.即四边形P ACB 面积的最小值为2 2. (2)假设直线上存在点P 满足题意．因为∠APB ＝60°，|AC |＝1， 所以|PC |＝2.设P (x ，y )，则有⎩⎪⎨⎪⎧(x －1)2＋(y －1)2＝4，3x ＋4y ＋8＝0.整理可得25x 2＋40x ＋96＝0，所以Δ＝402－4×25×96<0.所以这样的点P 是不存在的．13．(1)证明 ∵直线l 的方程可化为(2x ＋y －7)m ＋(x ＋y －4)＝0(m ∈R )．∴l 过⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －7＝0x ＋y －4＝0的交点M (3,1)．又∵M 到圆心C (1,2)的距离为d ＝(3－1)2＋(1－2)2＝5<5， ∴点M (3,1)在圆内，∴过点M (3,1)的直线l 与圆C 恒交于两点．(2)解 ∵过点M (3,1)的所有弦中，弦心距d ≤5，弦心距、半弦长和半径r 构成直角三角形，∴当d 2＝5时，半弦长的平方的最小值为25－5＝20. ∴弦长AB 的最小值|AB |min ＝4 5.此时，k CM ＝－12，k l ＝－2m ＋1m ＋1.∵l ⊥CM ，∴12·2m ＋1m ＋1＝－1，解得m ＝－34.∴当m ＝－34时，取到最短弦长为4 5......................................使用本文档删除后面的即可致力于打造全网一站式文档服务需求，为大家节约时间文档来源网络仅供参考欢迎您下载可以编辑的word文档谢谢你的下载本文档目的为企业和个人提供下载方便节省工作时间，提高工作效率，打造全网一站式精品需求!欢迎您的下载，资料仅供参考!（本文档收集于网络改编，由于文档太多，审核难免疏忽，如有侵权或雷同，告知本店马上删除）。
【北师大版】2020高中数学必修2：全册配套同步习题(打包33份,含答案)
1 / 169第一章立体几何初步1 简单几何体1.1 简单旋转体1.下列说法正确的是( ) A.圆锥的母线长等于底面圆直径 B.圆柱的母线与轴垂直 C.圆台的母线与轴平行 D.球的直径必过球心 答案:D2.下面左边的几何体是由选项中的哪个图形旋转得到的 ( )解析:选项B 中的图形旋转后为两个共底面的圆锥;选项C 中的图形旋转后为一个圆柱与一个圆锥的组合体;选项D 中的图形旋转后为两个圆锥与一个圆柱的组合体. 答案:A3.用一个平面去截一个几何体,得到的截面一定是圆面,则这个几何体是( ) A.圆锥 B.圆柱C.球D.圆台答案:C4.AB为圆柱下底面内任一不过圆心的弦,过AB和上底面圆心作圆柱的一截面,则这个截面是()A.三角形B.矩形C.梯形D.以上都不对解析:如图所示,由于圆柱的上下底面相互平行,故过AB和上底面圆心作圆柱的一截面与上底面的交线CD必过上底面圆心,且CD∥AB,在圆柱的侧面上,连接A,C(或B,D)两点的线是曲线,不可能是直线.故这个截面是有两条边平行、另两边是曲线的曲边四边形.故选D.答案:D5.以钝角三角形的较短边所在的直线为轴,其他两边旋转一周所得的几何体是()A.两个圆锥拼接而成的组合体B.一个圆台C.一个圆锥D.一个圆锥挖去一个同底的小圆锥解析:如图所示.旋转一周后其他两边形成的几何体为在圆锥AO的底部挖去一个同底的圆锥BO.答案:D6.点O1为圆锥高上靠近顶点的一个三等分点,过O1与底面平行的截面面积是底面面积的()A2 / 1693 / 169解析:如图所示,由题意知SO 1∶SO=1∶3,∴O 1B ∶OA=1∶3,O =1∶9,故选D. 答案:D7.下列说法中错误的是 .①过圆锥顶点的截面是等腰三角形; ②过圆台上底面中心的截面是等腰梯形;③圆柱的轴截面是过母线的截面中面积最大的一个.答案:②8.若过轴的截面是直角三角形的圆锥的底面半径为r ,则其轴截面的面积为 . 解析:由圆锥的结构特征,可知若过轴的截面为直角三角形,则为等腰直角三角形,其斜边上的高为r ,所以S答案:r 29.已知圆锥的母线与旋转轴所成的角为30°,母线的长为 则其底面面积为解析:如图所示,过圆锥的旋转轴作截面ABC ,设圆锥的底面半径为r ,底面圆心为O.∵△ABC 为等腰三角形, ∴△ABO 为直角三角形.又∠BAO=30°,∴BO=r∴底面圆O 的面积为S=πr 2答案10.把一个圆锥截成圆台,已知圆台的上、下底面的半径比是1∶4,母线长是10 cm,求这个圆锥的母线长.分析:处理有关旋转体的问题时,一般要作出其过轴的截面,在这个截面图形中去寻找各元素之间的关系.解:设圆锥的母线长为y cm,圆台上、下底面的半径分别为x cm,4x cm.作圆锥过轴的截面如图所示.在Rt△SOA中,O'A'∥OA,则即-解得y故圆锥的母线长为cm.11.圆锥的底面半径为r,母线长是底面半径的3倍,在底面圆周上有一点A,求一个动点P自点A出发在侧面上绕一周回到点A的最短路程.解:沿圆锥的母线SA将侧面展开,如图所示.则线段AA1就是所求的最短路程.∵弧A1A的长为2πr,SA=3r,设弧A1A所对的圆心角为α,·3r=2πr,∴α=120°.4 / 169∴AA1=SA·cos 30°×2=3r即所求最短路程是5 / 1691.2简单多面体1.关于棱柱,下列说法正确的是()A.只有两个面平行B.所有的棱都相等C.所有的面都是平行四边形D.两底面平行,侧棱也互相平行解析:正方体可以有六个面平行,故选项A错误;长方体并不是所有的棱都相等,故选项B错误;三棱柱的底面是三角形,故选项C错误;由棱柱的概念知,两底面平行,侧棱也互相平行,故选项D正确.答案:D2.一个正棱锥的底面边长与侧棱长相等,则该棱锥一定不是()A.正三棱锥B.正四棱锥C.正五棱锥D.正六棱锥解析:由于正六边形的中心到顶点的距离与边长都相等,故正六棱锥的侧棱长必大于底面边长.答案:D6 / 1693.棱台不一定具有的性质是()A.两底面相似B.侧面都是梯形C.侧棱都相等D.侧棱延长后都交于一点解析:由棱台的定义可知,棱台是用平行于棱锥底面的平面去截棱锥而得到的,所以A,B,D选项都成立,只有选项C不一定成立.答案:C4.下列图形中,不是三棱柱的展开图的是()解析:根据三棱柱的结构特征知,A,B,D中的展开图都可还原为三棱柱,但是C中展开图还原后的几何体没有下底面,故不是三棱柱的展开图.答案:C5.下列说法正确的个数为()①存在斜四棱柱,其底面为正方形;②存在棱锥,其所有面均为直角三角形;③任意的圆锥都存在两条母线互相垂直;④矩形绕任意一条直线旋转都可以形成圆柱.A.1B.2C.3D.4解析:①存在斜四棱柱,其底面为正方形,正确.②正确.如图所示.③不正确,圆锥轴截面的顶角小于90°时就不存在.④不正确,矩形绕其对角线所在直线旋转,不能围成圆柱.故答案为B.7 / 1696.用一个平行于棱锥底面的平面截这个棱锥,截得的棱台上、下底面的面积之比为1∶4,截去的棱锥的高是3 cm,则棱台的高是()A.12 cmB.9 cmC.6 cmD.3 cm解析:棱台的上、下底面的面积之比为1∶4,则截去的棱锥的高与原棱锥的高的比为1∶2,棱台的高是3 cm.答案:D7.有下列四个结论:①各侧面是全等的等腰三角形的四棱锥是正四棱锥;②底面是正多边形的棱锥是正棱锥;③三棱锥的所有面可能都是直角三角形;④四棱锥中侧面最多有四个直角三角形.其中正确的有(填正确结论的序号).答案:③④8.如图所示,将装有水的长方体水槽固定底面一边后将水槽倾斜一个小角度,则倾斜后水槽中的水形成的几何体的形状是.解析:如图所示,假设以AB边固定进行倾斜,则几何体BB2C2C-AA2D2D一定为棱柱.8 / 1699.在侧棱长为的正三棱锥中∠APB=40°,E,F分别是PB,PC上的点,过点A,E,F作截面AEF,则△AEF周长的最小值是.解析:将正三棱锥的三个侧面展开,如图所示.则当E,F为AA1与PB,PC的交点时,△AEF的周长最小,最小值为2AP·cos 30°=2×答案:610.把右图中的三棱台ABC-A1B1C1分成三个三棱锥.解:如图所示,分别连接A1B,A1C,BC1,则将三棱台分成了三个三棱锥,即三棱锥A-A1BC,B1-A1BC1,C-A1BC1.(本题答案不唯一)11.试从正方体ABCD-A1B1C1D1的八个顶点中任取若干,连接后构成以下空间几何体,并且用适当的符号表示出来.(1)只有一个面是等边三角形的三棱锥.9 / 169(2)四个面都是等边三角形的三棱锥.(3)三棱柱.解:(1)如图所示,三棱锥A1-AB1D1(答案不唯一).(2)如图所示,三棱锥B1-ACD1(答案不唯一).(3)如图所示,三棱柱A1B1D1-ABD(答案不唯一).★12.如图所示,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=3,AA1=4,M为AA1的中点,P是BC上的一点,且由点P沿棱柱侧面经过棱CC1到M的最短路线的长为设这条最短路线与的交点为求:(1)该三棱柱的侧面展开图的对角线的长;(2)求PC和NC的长.解:(1)正三棱柱ABC-A1B1C1的侧面展开图是一个长为9,宽为4的矩形,其对角线长为10 / 16911 / 169(2)如图所示,将侧面BB 1C 1C 绕棱CC 1旋转120°使其与侧面AA 1C 1C 在同一平面上,则点P 旋转到点P 1的位置,连接MP 1交CC 1于点N ,则MP 1的长等于由点P 沿棱柱侧面经过棱CC 1到点M 的最短路线的长.设PC=x ,则P 1C=x.在Rt △MAP 1中,由勾股定理, 得(3+x )2+22=29,解得x=2,所以PC=P 1C=2,又所以NC§2 直观图1.关于用斜二测画法所得的直观图,以下说法正确的是 ( )A.等腰三角形的直观图仍是等腰三角形B.正方形的直观图为平行四边形C.梯形的直观图不是梯形D.正三角形的直观图一定为等腰三角形解析:根据斜二测画法的规则知,正方形的直观图为平行四边形. 答案:B2.水平放置的△ABC ,有一条边在水平线上,它的斜二测直观图是正三角形A'B'C',则△ABC 是( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形D.任意三角形解析:根据斜二测画法的规则,可知△ABC 中有一个角是钝角,所以△ABC 是钝角三角形. 答案:C12 / 1693.如图所示为一平面图形的直观图,则此平面图形可能是 ( )答案:C4.对于一条边在x 轴上的三角形,采用斜二测画法作出其直观图,则其直观图的面积是原三角形面积的( ) A.2倍 BC解析:由于平行于y 轴的线段其平行性不变,长度变为原来的一半,又直观图中∠x'O'y'=45°,设原三角形的面积为S ,其直观图的面积为S',则S'答案:B5.一个水平放置的三角形的直观图是等腰直角三角形A'B'O',如图所示,若O'B'=1,那么原△ABO 的面积是( ) A解析:由斜二测画法,可知原三角形为直角三角形,且∠AOB=90°,OB=1,OA=2O'A'=∴S △AOB故选C .答案:C6.已知△A'B'C'为水平放置的△ABC 的直观图,如图所示,则在△ABC 的三边及中线AD 中,最长的线段是()A.ABB.ADC.BCD.AC解析:由斜二测画法,可知原图形为直角三角形.AC为斜边,D为BC的中点,故AC>AD,故最长线段为AC.答案:D7.一个平面图形的斜二测直观图是腰长为2的等腰直角三角形,如图,则其平面图形的面积为.答案:48.已知正三角形ABC的边长为a, 则水平放置的△ABC的直观图△A'B'C'的面积为. 解析:图①、图②分别为实际图形和直观图.由图可知A'B'=AB=a,O'C'在图②中作C'D'⊥A'B'于点D',则C'D'所以S△A'B'C'·C'D'答案9.在等腰梯形ABCD中,上底边CD=1,AD=CB下底边按平行于上、下底边取轴则直观图的面积为解析:等腰梯形ABCD的高为1,且直观图A'B'C'D'仍为梯形,其高为45°故面积为13 / 169答案10.画出如图所示放置的直角三角形的直观图.解:画法:(1)画x'轴和y'轴,使∠x'O'y'=45°(如图②所示);(2)在原图中作BD⊥x轴,垂足为D(如图①所示);(3)在x'轴上截取O'A'=OA,O'D'=OD,在y'轴上截取O'C'=OC,过D'作B'D'∥y'轴,使D'B'=BD;(4)连线成图(擦去辅助线)(如图③所示).11.用斜二测画法得到一水平放置的Rt△ABC,AC=1,∠ABC=30°,如图所示,试求原三角形的面积.解:如图所示,作AD⊥BC于点D,令x'轴与y'轴的交点为E,则DE=AD,在Rt△ABC中,由∠ABC=30°,AC=1,可知BC=2,AB由AD⊥BC,AD=DE,可知AD14 / 16915 / 169由斜二测画法可知,原三角形A'B'C'中,B'C'=BC=2,A'E'=2AE 且A'E'⊥B'C', 所以S △A'B'C'·A'E'★12.画水平放置的圆锥的直观图.分析用斜二测画法画水平放置的圆锥的直观图,由于圆锥底面可以看作是水平放置的,因此,只需先画轴,再画底面和高即可.解:(1)画轴,如图所示,画x 轴、y 轴、z 轴,使∠xOy=45°,∠xOz=90°;(2)画圆锥的底面,画出底面圆的直观图,与x 轴交于A ,B 两点; (3)画圆锥的顶点,在Oz 上截取点P ,使得PO 等于圆锥的高;(4)连线成图,连接PA ,PB ,并加以整理(擦去辅助线,将被遮挡的部分改为虚线),得圆锥的直观图.§3 三视图3.1 简单组合体的三视图1.用一个平行于水平面的平面去截球,得到如图所示的几何体,则它的俯视图是( )解析:截去的平面在俯视图中看不到,故用虚线,因此选B . 答案:B2.下列各几何体的三视图中,有且仅有两个视图相同的是 ()A.①②B.①③C.①④D.②④解析:①中正方体的三视图均相同;②中圆锥的主视图和左视图相同;③中三棱台的三视图各不相同;④中正四棱锥的主视图和左视图相同.答案:D3.某几何体的主视图和左视图均如图所示,则该几何体的俯视图不可能是()解析:D选项的主视图为,故不可能是D选项.答案:D4.如图所示,若△A'B'C'为正三角形,与底面不平行,且CC'>BB'>AA',则多面体的主视图为()解析:因为△A'B'C'为正三角形,面A'B'BA向前,所以主视图不可能是A,B,C三个选项,只能是D.16 / 16917 / 169答案:D 5.“牟台方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体.它由完全相同的四个曲面构成,相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上,好似两个扣合(牟合)在一起的方形伞(方盖).其直观图如图所示,图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线.当其主视图和左视图完全相同时,它的俯视图可能是( )答案:B6.如图所示,画出四面体AB 1CD 1三视图中的主视图,若以面AA 1D 1D 为投影面,则得到的主视图为( )解析:显然AB 1,AC ,B 1D 1,CD 1分别投影得到主视图的外轮廓,B 1C 为可见实线,AD 1为不可见虚线.故A 正确. 答案:A★7.如图所示,在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,E 为棱BB 1的中点,若用过点A ,E ,C 1的平面截去该正方体的上半部分,则剩余几何体的左视图为()18 / 169设过点A ,E ,C 1的截面与棱DD 1相交于点F ,且F 是棱DD 1的中点,该正方体截去上半部分后,剩余几何体如图所示,则它的左视图应选C . 答案:C8.如图所示,图①②③是图④表示的几何体的三视图,其中图①是 ,图②是 ,图③是 (填写视图名称).解析:由三视图可知,①为主视图,②为左视图,③为俯视图. 答案:主视图 左视图 俯视图9.如图(a)所示,在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,P 为正方体的中心,则△PAC在该正方体各个面上的射影可能是图(b)中的(把可能的序号都填上).图(a)图(b)解析:要考虑△PAC在该正方体各个面上的射影,在上、下两个面上的射影是①,在前后左右四个面上的射影是④.答案:①④10.(1)画出如图①所示组合体的三视图;(2)图②所示的是一个零件的直观图,试画出这个几何体的三视图.图①图②解(1)该组合体是由一个四棱柱和一个圆锥拼接而成,其三视图如图所示.19 / 169(2)作出三视图如图所示.★11.如图是根据某一种型号的滚筒洗衣机抽象出来的几何体,数据如图所示(单位:cm).试画出它的三视图.解这个几何体是由一个长方体挖去一个圆柱体构成的,三视图如图所示.3.2由三视图还原成实物图1.若一个几何体的主视图和左视图都是等腰梯形,俯视图是两个同心圆,则这个几何体可能是()A.圆柱B.圆台C.圆锥D.棱台答案:B2.某几何体的三视图如图所示,则该几何体是()20 / 16921 / 169A .棱台B .棱柱C .棱锥D .以上均不对解析:由相似比,可知几何体的侧棱相交于一点. 答案:A3.如图所示是底面为正方形、一条侧棱垂直于底面的四棱锥的三视图,则该四棱锥的直观图是下列各图中的( )解析:由俯视图排除B,C 选项;由主视图、左视图可排除A 选项,故选D . 答案:D4.某几何体的三视图如图所示,则这个几何体是( )A .三棱锥B .四棱锥C .四棱台D .三棱台解析:因为主视图和左视图为三角形,可知几何体为锥体.又俯视图为四边形,所以该几何体为四棱锥,故选B . 答案:B5.如图所示,网格纸的各小格都是正方形,粗实线画出的是一个几何体的三视图,则这个几何体是()22 / 169A.三棱锥B.三棱柱C.四棱锥D.四棱柱解析:由题知,该几何体的三视图为一个三角形,两个四边形,经分析可知该几何体为三棱柱,故选B . 答案:B6.一块石材表示的几何体的三视图如图所示,将该石材切削、打磨,加工成球,则能得到的最大球的半径等于( )A .1B .2C .3D .4解析:由三视图画出直观图如图所示,判断这个几何体是底面边长为6,8,10的直角三角形,高为12的躺下的直三棱柱,直角三角形的内切圆的半径为r= -=2,这就是做成的最大球的半径.答案:B7.把边长为的正方形ABCD沿对角线BD折起,连接AC,得到三棱锥C-ABD,其主视图、俯视图均为全等的等腰直角三角形(如图所示),其左视图的面积为.解析:如图所示,根据两个视图可以推知折起后∠CEA=90°,其侧视图是一个两直角边长为1的等腰直角三角形,所以左视图的面积为.答案:8.用n个体积为1的正方体搭成一个几何体,其主视图、左视图都是如图所示的图形,则n的最大值与最小值之差是.解析:由主视图、左视图可知,正方体个数最少时,底层有3个小正方体,上面有2个,共5个;个数最多时,底层有9个小正方体,上面有2个,共11个.故n的最大值与最小值之差是6.答案:69.下图是一个几何体的三视图,想象该几何体的几何结构特征,画出该几何体的形状.23 / 169解由于俯视图中有一个圆和一个四边形,则该几何体是由旋转体和多面体构成的组合体,结合左视图和主视图,可知该几何体是由上面一个圆柱、下面一个四棱柱拼接成的组合体.该几何体的形状如图所示.★10.已知几何体的三视图如图所示,用斜二测画法画出它的直观图.解由三视图可知其几何体是底面边长为2,高为3的正六棱锥,其直观图如图所示.§4空间图形的基本关系与公理第1课时平面性质1.两个平面重合的条件是()A.有四个公共点B.有无数个公共点C.有一条公共直线D.有两条相交公共直线24 / 169解析:由两条相交直线确定一个平面知D选项正确.答案:D2.与“直线l上两点A,B在平面α内”含义不同的是()A.l⫋αB.直线l在平面α内C.直线l上只有这两个点在平面α内D.直线l上所有的点都在平面α内答案:C3.有下列说法:①梯形的四个顶点在同一平面内;②三条平行直线必共面;③有三个公共点的两个平面必重合.其中正确的个数是()A.0B.1C.2D.3解析:梯形是一个平面图形,所以其四个顶点在同一个平面内,故①正确;两条平行直线确定1个平面,三条平行直线确定1个或3个平面,故②错误;三个公共点可以同在两个相交平面的交线上,故③错误.答案:B4.设P表示一个点,a,b表示两条直线,α,β表示两个平面,给出下列四个命题,其中正确的命题是()①P∈a,P∈α⇒a⫋α;②a∩b=P,b⫋β⇒a⫋β;③a∥b,a⫋α,P∈b,P∈α⇒b⫋α;④α∩β=b,P∈α,P∈β⇒P∈b.A.①②B.②③C.①④D.③④答案:D5.三棱台ABC-A'B'C'的一条侧棱AA'所在直线与平面BCC'B'之间的关系是()25 / 169A.相交B.平行C.直线在平面内D.平行或直线在平面内解析:棱台就是棱锥被一个平行于底面的平面截去一个棱锥得到的,所以延长棱台各侧棱可以恢复成棱锥的形状,由此可知三棱台的一条侧棱所在直线与其对面所在的平面相交.答案:A6.如图所示,平面α∩平面β=l,A∈α,B∈α,AB∩l=D,C∈β,且C∉l,则平面ABC与平面β的交线是()A.直线ACB.直线BCC.直线ABD.直线CD解析:由题意知,平面ABC与平面β有公共点C,根据公理3,这两平面必定相交,有且只有一条经过C的交线,由于两点确定一条直线,所以只要再找到两平面的另一个公共点即可.显然点D在直线AB上,从而它在平面ABC内,而点D又在直线l上,所以它又在平面β内,所以点D 也是平面ABC与平面β的公共点.因此平面ABC与平面β的交线是直线CD.答案:D7.已知点P在平面α外,点A,B,C在平面α内且不共线,A',B',C'分别在PA,PB,PC上,若A'B',B'C',A'C'与平面α分别交于D,E,F三点,则D,E,F三点()A.成钝角三角形B.成锐角三角形C.成直角三角形D.在一条直线上解析:本题考查三点关系,根据两平面公共点在其交线上,知D,E,F三点共线,故选D.26 / 1698.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P,Q,R分别是AB,AD,B1C1的中点,那么,正方体的过P,Q,R的截面图形是()A.三角形B.四边形C.五边形D.六边形解析:如图所示,作GR∥PQ交C1D1于G,延长QP与CB延长线交于M,连接MR交BB1于E,连接PE.同理延长PQ交CD延长线于点N,连接NG交DD1于F,连接QF.所以截面PQFGRE为六边形.故选D.答案:D9.四条线段首尾相接得到一个四边形,当且仅当它的两条对角线时,能得到一个平面图形.解析:由公理1,2知当两条对角线相交时为平面图形,当两条对角线不共面时为空间四边形.答案:相交10.一个平面内不共线的三点到另一个平面的距离相等且不为零,则这两个平面的位置关系是.解析:当三点在另一个平面同侧时,这两个平面平行,当三点不在另一个平面同侧时,这两个平面相交.答案:平行或相交11.过已知直线a外的一点P,与直线a上的四个点A,B,C,D分别画四条直线,求证:这四条直线在同一平面内.27 / 169如图所示,因为点P在直线a外,所以过直线a及点P可作一平面α,因为A,B,C,D均在a上,所以A,B,C,D均在α内,所以直线PA,PB,PC,PD上各有两个点在α内,由公理2可知,直线PA,PB,PC,PD均在平面α内,故这四条直线在同一平面内.12.如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,M,N分别是AA1,D1C1的中点,过D,M,N三点的平面与正方体下底面相交于直线l.试画出直线l的位置,并说明理由.解:如图所示,连接DM并延长,交D1A1的延长线于点P',连接NP',则直线NP'即为所求直线l.理由如下:如图所示,连接DN, ∵P'=DM∩D1A1,且DM⫋平面DMN,D1A1⫋平面A1B1C1D1,∴P'∈平面DMN∩平面A1B1C1D1.28 / 169又N∈平面DMN∩平面A1B1C1D1,∴由公理3知,直线NP'为平面DMN与平面A1B1C1D1的交线.第2课时异面直线所成的角1.若直线a∥b,b∩c=A,则直线a与c的位置关系是()A.异面B.相交C.平行D.异面或相交答案:D2.在三棱锥A-BCD中,E,F,G分别是AB,AC,BD的中点,如果AD与BC所成的角是60°,那么∠FEG为()A.60°B.30°C.120°D.60°或120°解析:异面直线AD与BC所成的角可能等于∠FEG,也可能等于∠FEG的补角.答案:D3.若空间中四条两两不同的直线l1,l2,l3,l4满足l1⊥l2,l2∥l3,l3⊥l4,则下列结论一定正确的是()A.l1⊥l4B.l1∥l4C.l1与l4既不垂直也不平行D.l1与l4的位置关系不确定解析:因为l2∥l3,所以l1⊥l3,l3⊥l4.实质上就是l1与l4同垂直于一条直线,所以l1⊥l4,l1∥l4,l1与l4既不垂直也不平行都有可能成立,故l1与l4的位置关系不确定.答案:D29 / 1694.如图,在某个正方体的表面展开图中,l1,l2是两条面对角线,则在正方体中,l1与l2()A.互相平行B.异面且互相垂直C.异面且夹角为60°D.相交且夹角为60°解析:将表面展开图还原成正方体如图所示,则B,C两点重合.故l1与l2相交,连接AD,△ABD 为正三角形,所以l1与l2的夹角为60°.答案:D5.在三棱柱ABC-A1B1C1中,若点E,F分别在AB,AC上,且AE=AB,AF=AC,则下列说法正确的是()A.EF⊥BB1B.EF∥A1B1C.EF∥B1C1D.EF∥AA1解析:∵AE=AB,AF=AC,∴EF∥BC.又ABC-A1B1C1为棱柱,∴BC∥B1C1.∴EF∥B1C1.答案:C6.下列说法正确的是()A.空间中没有交点的两条直线是平行直线B.一条直线和两条平行直线中的一条相交,则它和另一条也相交C.空间四条直线a,b,c,d,如果a∥b,c∥d,且a∥d,那么b∥cD.分别在两个平面内的直线是平行直线30 / 169解析:A,B选项中,两直线可能异面,D选项中两直线可能相交,也可能异面.答案:C7.如图是一个正方体的表面展开图,如果将它还原为正方体,那么AB,CD,EF,GH这四条线段所在直线是异面直线的有对.解析:将图形还原成正方体,观察有AB与CD,AB与GH,EF与GH共3对异面直线.答案:38.如图,已知长方体ABCD-A1B1C1D1中,A1A=AB,E,F分别是BD1和AD中点,则异面直线CD1,EF所成的角的大小为.答案:90°9.如图所示,在四棱锥C-ABED中,底面ABED是梯形.若AB∥DE,DE=2AB,且F是CD的中点,P是CE的中点,则AF与BP的位置关系是.解析:连接PF,∵P,F分别是CE,CD的中点,∴PF∥ED,且PF=ED.又AB∥ED,且DE=2AB,∴AB∥PF,且AB=PF,即四边形ABPF是平行四边形,∴BP∥AF.31 / 16932 / 169答案:平行10.如图所示,在三棱锥P-ABC 中,D ,E 是PC 上不重合的两点,F ,H 分别是PA ,PB 上的点,且与点P 不重合.求证:EF 和DH 是异面直线.证明∵PA ∩PC=P ,∴PA ,PC 确定一个平面α. ∵E ∈PC ,F ∈PA , ∴E ∈α,F ∈α,∴EF ⫋α. ∵D ∈PC ,∴D ∈α,且D ∉EF.又PB ∩α=P ,H ∈PB ,且点H 与点P 不重合,∴H ∉α,DH ∩α=D ,且DH 与EF 不相交,于是直线EF 和DH 是异面直线.★11.如图所示,在空间四边形ABCD 中,两条对边AB=CD=3,E ,F 分别是另外两条对边AD ,BC 上的点,且,EF= ,求AB 和CD 所成的角的大小.解如图所示,过点E 作EO ∥AB ,交BD 于点O ,连接OF ,所以,所以, 所以OF ∥CD.所以∠EOF 或其补角是AB 和CD 所成的角. 在△EOF 中,OE=AB=2,OF=CD=1,又EF=,所以EF2=OE2+OF2,所以∠EOF=90°.即异面直线AB和CD所成的角为90°.★12.在梯形ABCD中(如图①所示),AB∥CD,E,F分别为BC和AD的中点,将平面CDFE沿EF翻折起来,使CD到C'D'的位置,G,H分别为AD'和BC'的中点,得到如图②所示的立体图形.求证:四边形EFGH为平行四边形.图①图②证明∵在梯形ABCD中,AB∥CD,E,F分别为BC,AD的中点,∴EF∥AB,且EF=(AB+CD).又C'D'∥EF,∴C'D'∥AB.∵G,H分别为AD',BC'的中点,∴GH∥AB,且GH=(AB+C'D')=(AB+CD).∴GH∥EF,且GH=EF.∴四边形EFGH为平行四边形.33 / 169§5平行关系5.1平行关系的判定第1课时直线与平面平行的判定1.若直线a∥平面α,直线b∥平面α,则a与b的位置关系是()A.平行B.相交C.异面D.以上都有可能答案:D2.在五棱台ABCDE-A1B1C1D1E1中,若F,G分别是AA1和BB1上的点,且,则FG与平面ABCDE的位置关系是()A.平行B.相交C.异面D.FG在平面ABCDE内答案:A3.点E,F,G,H分别是空间四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA的中点,则空间四边形的四条边与两条对角线中与平面EFGH平行的条数为()A.0B.1C.2D.3解析:由线面平行的判定定理可知,BD∥平面EFGH,AC∥平面EFGH.答案:C4.下列四个正方体图形中,A,B为正方体的两个顶点,M,N,P分别为其所在棱的中点,能得出AB ∥平面MNP的图形的序号是()34 / 169A.①②B.①④C.①③D.②④答案:B5.如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,E为AA1的中点,F为BB1的中点,与EF平行的长方体的面有()A.1个B.2个C.3个D.4个解析:∵在长方体ABCD-A1B1C1D1中,E为AA1的中点,F为BB1的中点,∴EF∥CD,EF∥AB,EF∥A1B1,∴由直线与平面平行判定定理得,与EF平行的长方体的面有面CDD1C1,面ABCD,面A1B1C1D1,共3个.故选C.答案:C6.已知两条直线a,b,a∥平面α,b⫋α,则直线a与b的位置关系是.答案:平行或异面7.在空间四边形ABCD中,E,F分别为AB和BC上的点,且AE∶EB=CF∶FB=1∶3,则对角线AC和平面DEF的位置关系是.解析:∵,∴EF∥AC.又AC⊈平面DEF,EF⫋平面DEF,∴AC∥平面DEF.答案:平行8.如图所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,D是AB的中点.求证:BC1∥平面CA1D.35 / 169。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第20练班级
姓名
1、一个直棱柱（侧棱垂直于底面的棱柱）的底面是菱形，棱柱的对角线长分别是9cm和15c m，高是5cm，则这个直棱柱的侧面积是
2、如图，已知圆柱体底面圆的半径为
2
π
，高为2，AB CD
，分别是两底面的直径，AD BC
，是母线．若一只小虫从A点出发，从侧面爬行到C点，则小虫爬行的最短路线的长度是（结果保留根式）．
3、已知圆柱与圆锥的底面积相等，高也相等，它们的体积分别为
1
V和
2
V，则
12
:
V V=
4、设A、B、C、D是球面上的四个点，且在同一平面内，AB=BC=CD=DA=3，球心到该平面的距离是球半径的一半，则球的体积是
5、给出下列说法：①梯形的四个顶点共面；②三条平行直线共面；③有三个公共点的两个平面重合；④每两条都相交并且交点全部不同的四条直线共面. 其中说法正确的序号依次是 .
6、正方体''''
ABCD A B C D
-中，AB的中点为M，'
DD的中点为N，
异面直线'B M与CN所成的角是
7、两条直线a,b分别和异面直线c, d都相交，则直线a，b的位置关
系是
8、已知直线0
2
4=
-
+y
mx与0
5
2=
+
-n
y
x互相垂直，垂足为(1，)p则=
+
-p
n
m________
9、圆锥底面半径为１cm，高为2cm，其中有一个内接正方体，求这个内接正方体的棱长
10、过点()
--
54
，作一直线l，使它与两坐标轴相交且与两轴所围成的三角形面积为5．
11、已知空间四边形ABCD各边长与对角线都相等，求AB和CD所成的角的大小。