微积分的基本运算
高等数学中所涉及到的微积分公式汇总
高等数学中所涉及到的微积分公式汇总微积分是高等数学中的一门重要学科，涉及到很多重要的公式和定理。
下面是一些微积分中常用的公式的汇总：1.导数公式：- 函数f(x)在点x处的导数：f'(x) = lim (f(x+h)-f(x))/h,其中h -> 0- 常见函数的导数公式：常数函数导数为0，幂函数导数为nx^(n-1)，三角函数的导数等-乘法法则：(f*g)'(x)=f'(x)*g(x)+f(x)*g'(x)-商法则：(f/g)'(x)=(f'(x)g(x)-f(x)g'(x))/(g(x))^22.积分公式：- 不定积分和定积分的基本定理：若F'(x) = f(x)，则∫f(x) dx = F(x) + C- 基本不定积分：∫x^n dx = (1/n+1)*x^(n+1) + C （其中n不等于-1）- 定积分的性质：∫(a to b) f(x) dx = -∫(b to a) f(x) dx，∫(a to b) [f(x) ± g(x)] dx = ∫(a to b) f(x) dx ± ∫(a to b)g(x) dx3.微分学的基本定理：- 导数的基本定理：如果F(x)是f(x)的一个原函数，那么∫(a to b) f(x) dx = F(b) - F(a)- 牛顿-莱布尼茨公式：若F(x)是f(x)的一个原函数，那么∫(a tob) f(x) dx = F(x)，_(a to b) = F(b) - F(a)4.极限定理：- 极限的四则运算定理：设lim (x -> a) f(x) = L，lim (x -> a) g(x) = M，则lim (x -> a) [f(x)±g(x)] = L±M，lim (x -> a)[f(x)*g(x)] = L*M，lim (x -> a) [f(x)/g(x)] = L/M （其中M不等于0）- L'Hospital法则：设lim (x -> a) f(x) = 0，lim (x -> a) g(x) = 0，并且lim (x -> a) f'(x)/g'(x) 存在，则lim (x -> a) f(x)/g(x) = lim (x -> a) f'(x)/g'(x)- 夹逼定理：如果数列{a_n}、{b_n}、{c_n}满足a_n <= b_n <=c_n，并且lim (n -> ∞) a_n = lim (n -> ∞) c_n = L，则lim (n -> ∞) b_n = L5.泰勒级数：-函数f(x)的泰勒级数展开：f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)*(x-a)^2/2!+...+f^n(a)*(x-a)^n/n!+...，其中f^n(a)表示函数f(x)在点a处的n阶导数以上仅是微积分中涉及到的一些公式，实际上微积分的公式和定理非常丰富，还有更多的公式可以在相关的教材和文献中找到。
微积分24个基本公式
微积分24个基本公式微积分是数学中一个重要的分支，它的重要意义在于它关于空间、时间和速度的结构描述，它把自然界的复杂结构描述为简单的几何形状和数学结构，能够为任何一类科学研究提供客观、系统和深入的解释。
微积分的基本公式是非常重要的，它们不仅反映了微积分的基本概念和定律，而且支持了整个微积分体系的发展和实用应用，是科学研究的基石。
在实际运用中，24个基本公式是微积分中最为重要的公式之一，可以解释许多微积分的基本概念，并可用来解决各种不同的实际问题。
24个基本公式可以分为函数概念、导数概念、几何概念和无穷小概念四大块。
在函数概念中，包括函数定义、函数图像、最大最小值、函数极限等；在导数概念中，包括导数定义、导数方程、隐函数导数等；在几何概念中，包括几何变换、向量、曲线长度、曲率等；而在无穷小概念中，包括无穷小量与无穷大量的基本定律。
其中，函数概念的24个基本公式是：函数的定义：f（x）=y；函数的图像：图解函数的增减性；最大最小值：....；函数极限：极限的定义；极限的性质：极限的运算法则。
而在导数概念中包括：导数定义：导数的定义；导数方程：求导法则；隐函数导数：反函数求导公式；偏导数：多元函数的偏导数；曲率：曲率的定义。
在几何概念中，24个基本公式主要围绕几何变换、向量、曲线长度、曲率等概念构建而成，包括：几何变换：变换后图形的基本性质；向量：向量的定义及其运算；曲线长度：计算曲线长度的方法；曲率：曲率公式、曲率半径等。
最后，在无穷小概念中，24个基本公式包括：无穷小量与无穷大量的基本定律，以及无穷小量的定义和无穷大量的运算法则，几何意义上的无穷大量的定义，微积分法的求微分、积分计算等。
以上就是24个基本公式的详细内容，它们不仅涵盖了函数概念、导数概念、几何概念和无穷小概念四大块，而且介绍了一些能够解决实际问题的技巧：如图解函数的增减性、多元函数的偏导数、计算曲线长度的方法等，可以说，24个基本公式为学习微积分提供了非常重要的参考依据。
微积分的公式大全
微积分的公式大全一、极限公式1.无穷小量定义：若当x→0时，Δx是x的函数之一，且满足Δx/x→0，则称Δx为x的一个无穷小量。
2.极限的基本性质：-函数f(x)的极限即为f(x)的左极限和右极限存在且相等的值。
-函数的极限与函数的值在有限点无关，只与趋向于该点的方式有关。
-函数有界，且极限存在，则函数必定有极大值和极小值。
3.基本极限：-极限的四则运算规则：设x→x0时有f(x)→A，g(x)→B，则f(x)±g(x)→A±B，f(x)g(x)→AB，f(x)/g(x)→A/B。
- 幂函数极限：若m是正整数，则lim(x→a) (x^m) = a^m。
- e 的指数函数极限：lim(x→∞) (1+1/x)^x = e。
- 自然对数函数极限：lim(x→0) (ln(1+x)/x) = 1-三角函数极限：- lim(x→0) (sinx/x) = 1- lim(x→0) (cosx-1)/x = 0。
四、导数公式1. 基本定义：函数 y=f(x) 在 x0 处可导，当且仅当函数在 x0 处存在极限lim(x→x0) (f(x)-f(x0))/(x-x0)，即导数 f'(x0) 存在。
2.基本导数：- 常数函数的导数为 0：d/dx(c) = 0。
- 幂函数的导数：d/dx(x^n) = nx^(n-1)。
- 指数函数的导数：d/dx(e^x) = e^x。
- 对数函数的导数：d/dx(loga(x)) = 1/(xln(a))。
-三角函数的导数：- d/dx(sin(x)) = cos(x)。
- d/dx(cos(x)) = -sin(x)。
- d/dx(tan(x)) = sec^2(x)。
-反三角函数的导数：- d/dx(arcsin(x)) = 1/√(1-x^2)。
- d/dx(arccos(x)) = -1/√(1-x^2)。
- d/dx(arctan(x)) = 1/(1+x^2)。
高数微积分公式大全3篇
高数微积分公式大全第一篇：高数微积分公式大全（上）微积分是数学中的重要分支，也是物理、工程、经济等领域中不可或缺的工具。
下面将介绍一些高等数学中常用的微积分公式，包括极限、导数、微分等，供读者参考。
1. 极限极限是微积分中的基本概念，它描述的是函数在某一点附近的取值趋近于某个常数的情况。
极限公式如下：（1）左极限$$\lim_{x\to x_{0}^{-}}f(x)=A$$（2）右极限$$\lim_{x\to x_{0}^{+}}f(x)=A$$（3）无穷远处的极限$$\lim_{x\to \infty}f(x)=A$$（4）无穷小量$$\lim_{x\to x_{0}}\frac{f(x)}{g(x)}=0$$2. 导数导数是微积分中的重要概念，它描述的是函数在某一点处的变化率。
导数公式如下：（1）切线的斜率$$k=\lim_{x\to x_{0}}\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}} $$（2）函数的导数$$f'(x)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$$3. 微分微分是微积分中的基本运算，它可以帮助我们研究函数的变化趋势。
微分公式如下：$$df=f'(x)dx$$其中，$dx$表示自变量$x$的微小变化量，$df$表示因变量$y$的微小变化量。
4. 泰勒公式泰勒公式是微积分中的重要定理，它可以帮助我们将一个函数表示为一系列多项式的和，从而简化函数的计算。
泰勒公式如下：$$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^{n} $$其中，$f^{(n)}(x)$表示函数$f(x)$的$n$阶导数。
5. 柯西-黎曼方程柯西-黎曼方程是复分析中的重要定理，它描述了复函数的导数和复共轭函数的关系。
柯西-黎曼方程如下：$$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partialv}{\partial y},\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}$$其中，$u(x,y)$和$v(x,y)$分别表示复函数$f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$的实部和虚部。
积分的加减乘除运算法则
积分的加减乘除运算法则积分是微积分中的重要概念，用于求解曲线下的面积、曲线的长度以及相关物理问题等。
积分运算的加减乘除法则是基于导数的运算法则进行推导而来的。
下面我将详细介绍积分运算的加减乘除法则的相关内容。
1. 加法法则：设函数 f(x) 和 g(x) 在区间 [a, b] 上都可导，则两个函数的积分和的导数相等，即有：∫[a,b] (f(x) + g(x)) dx = ∫[a,b] f(x) dx + ∫[a,b] g(x) dx简单来说，对于积分运算来说，两个函数的和的积分等于两个函数分别积分再相加。
2. 减法法则：设函数 f(x) 和 g(x) 在区间 [a, b] 上都可导，则两个函数的差的积分等于两个函数分别积分再相减，即有：∫[a,b] (f(x) - g(x)) dx = ∫[a,b] f(x) dx - ∫[a,b] g(x) dx3. 乘法法则：设函数 u(x) 和 v(x) 在区间 [a, b] 上都可导，则两个函数的乘积的积分等于一个函数积分再乘以另一个函数，再减去另一个函数积分再乘以一个函数，即有：∫[a,b] u(x) v'(x) dx = u(x) v(x)|[a,b] - ∫[a,b] u'(x) v(x) dx其中，u'(x) 和 v'(x) 分别表示 u(x) 和 v(x) 的导数。
4. 除法法则：设函数 u(x) 和 v(x) 在区间 [a, b] 上都可导，且v(x) ≠ 0，则一个函数除以另一个函数的积分等于一个函数积分再除以另一个函数的平方，再减去一个函数的导数积以另一个函数积分再除以另一个函数的平方，即有：∫[a,b] (u(x)/v(x)) dx =( ∫[a,b] u(x) v'(x) dx ) / (v(x))^2 - ∫[a,b] [u'(x) v(x)] / (v(x))^2 dx需要注意的是，这个除法法则在 v(x) = 0 的情况下不成立。
微积分的基本思想和运算法则
微积分的基本思想和运算法则微积分是数学的一个重要分支，研究的是变化与运动的规律。
它的基本思想和运算法则是我们学习微积分的起点。
本文将介绍微积分的基本思想和运算法则，并探讨其在实际问题中的应用。
一、微积分的基本思想微积分的基本思想可以概括为两个方面：极限和导数。
1. 极限极限是微积分的核心概念之一，它描述了函数在某一点或无穷远处的趋势。
在数学中，我们用极限来研究函数的连续性、收敛性以及函数值的变化趋势等。
对于一个函数f(x)，当x趋向于某个特定的值a时，我们可以用以下符号表示：lim(x→a) f(x)其中，lim代表极限的意思，x→a表示x趋向于a，f(x)表示函数f在x处的取值。
通过求解极限，我们可以得到函数在a点的性质和行为。
2. 导数导数是微积分的另一个核心概念，它描述了函数在某一点的变化率。
对于一个函数f(x)，它在某一点x处的导数可以表示为：f'(x) 或 dy/dx其中，f'(x)表示函数f在x处的导数，dy/dx表示函数y关于x的导数。
导数可以理解为函数曲线在某一点处的切线斜率，它告诉我们函数在该点的变化速度和方向。
二、微积分的运算法则微积分的运算法则是指在对函数进行求导和积分时所遵循的规则和方法。
下面介绍几个常用的运算法则。
1. 基本导数法则基本导数法则包括常数法则、幂函数法则、指数函数法则、对数函数法则、三角函数法则等。
这些法则可以帮助我们求解各种类型函数的导数，从而更好地理解函数的变化规律。
2. 链式法则链式法则是求解复合函数导数的一种方法。
对于复合函数f(g(x))，其导数可以通过链式法则表示为：(f(g(x)))' = f'(g(x)) * g'(x)链式法则在求解复杂函数的导数时非常有用，可以将复杂问题简化为简单问题的组合。
3. 积分法则积分法则是求解函数积分的一种方法。
常用的积分法则包括换元法、分部积分法、定积分法则等。
这些法则可以帮助我们求解各种类型函数的积分，从而计算函数的面积、曲线长度、体积等。
微积分的公式
微积分的公式引言微积分是数学中的一个重要分支，研究函数的变化规律和求解与变化相关的问题。
在微积分的学习中，有一些经典的公式是我们必须掌握和熟练运用的。
本文将介绍微积分中常见的几个重要公式，并通过例子进行说明。
导数的定义和运算法则定义函数f(x)在点x=a处的导数定义为：f'(a) = lim┬(Δx→0)(f(a+Δx)−f(a))/Δx导数的运算法则•常数法则d/dx (c) = 0其中c为常数。
•幂法则d/dx(x^n) = n * x^(n-1)其中n为自然数。
•乘法法则d/dx(f(x)g(x)) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)常用微积分公式极限公式•极限的四则运算法则lim┬(x→a)(f(x)±g(x)) = lim┬(x→a)f(x) ± lim┬(x→a)g(x)lim┬(x→a)(f(x)g(x)) = lim┬(x→a)f(x) * lim┬(x→a)g(x)•无穷小与无穷大的关系lim┬(x→∞)(f(x)) = ∞，当且仅当lim┬(x→∞)(1/f (x)) = 0lim┬(x→∞)(f(x)) = a，当且仅当lim┬(x→∞)(1/f(x)) = 1/a求和公式•等差数列求和公式∑┬(k=1)(n)k = n(n+1)/2积分公式•基本积分公式∫(f(x) + g(x))dx = ∫(f(x))dx + ∫(g(x))dx ∫(k * f(x))dx = k * ∫(f(x))dx其中k为常数。
•微元法∫(f(x))dx = F(x) + C其中F(x)为函数f(x)的一个原函数，C为常数。
应用示例示例1：求函数的导数已知函数f(x) = 2x^2 + 3x - 1，求f'(x)。
解: 根据幂法则，对于函数f(x) = 2x^2 + 3x - 1，我们可以先对每一项求导，再相加得到f'(x)。
微分与积分的基本性质与运算规则
微分与积分的基本性质与运算规则微分与积分是微积分学的基础概念，它们的基本性质和运算规则对于求解各种数学问题至关重要。
本文将对微分与积分的基本性质和运算规则进行详细的介绍与阐释。
一、微分的基本性质与运算规则1. 微分的定义：微分代表了函数对自变量的变化率。
设函数y=f(x)，当自变量x在某一点x₀发生微小变化Δx时，对应的函数值变化量为Δy=f(x₀+Δx)−f(x₀)。
微分dy定义为当Δx趋近于0时Δy的极限，即dy=lim(Δx→0)(Δy/Δx)，也可用更加简洁的形式表示为dy=f'(x₀)dx。
2. 运算规则：a. 常数微分法：对常数C，其微分为dC=0。
b. 基本函数微分法：对于基本函数的导数，有以下规则：- 导数和差积法则：设u(x)和v(x)是可导函数，常数k，有(d/du(u+v))=du+dv和(d/du(u−v))=du−dv；- 常数倍法则：对于y=kf(x)，有(d/dx(y))=k(df(x)/dx)；- 幂函数：对于函数y=x^n，有(d/dx(y))=nx^(n-1)；- 指数函数和对数函数：对于函数y=a^x和y=log_a(x)，有(d/dx(y))=a^x·ln(a)和(d/dx(y))= 1/(xln(a))。
3. 高阶微分：在函数的微分的基础上，还可以进行高阶微分。
如果函数f(x)的一阶导数f'(x)可导，那么f'(x)的导数称为f(x)的二阶导数，以此类推。
二、积分的基本性质与运算规则1. 积分的定义：积分代表了函数下方曲线与x轴之间的“面积”。
设函数y=f(x)，在区间[a, b]上的积分是由x=a到x=b之间的所有小矩形的面积之和的极限，记为∫[a, b]f(x)dx。
2. 运算规则：a. 常数积分法：对常数C，其积分为∫Cdx=Cx；b. 基本函数积分法：对于基本函数的积分，有以下规则：- 常数倍法则：∫k·f(x)dx=k∫f(x)dx；- 恒函数积分法：∫f(x)dx=F(x)+C，其中F(x)是f(x)的原函数，C是常数；- 幂函数积分法：对于y=x^n，当n≠-1时，有∫x^n dx = x^(n+1)/(n+1)+C；- 指数函数和对数函数积分法：对于y=e^x和y=1/x，它们的积分分别为∫e^xdx=e^x+C和∫1/x dx=ln|x|+C。
微积分的公式大全
微积分的公式大全1.导数公式：- 限定义导数：f'(a) = lim[h->0] (f(a+h)-f(a))/h-幂函数的导数：(x^n)'=n*x^(n-1)-指数函数的导数：(e^x)'=e^x- 对数函数的导数：(ln(x))' = 1/x-三角函数的导数：- (sin(x))' = cos(x)- (cos(x))' = -sin(x)- (tan(x))' = sec^2(x)-反三角函数的导数：- (arcsin(x))' = 1/√(1-x^2)- (arccos(x))' = -1/√(1-x^2)- (arctan(x))' = 1/(1+x^2)2.积分公式：- 不定积分的基本公式：∫[f(x)+g(x)]dx = ∫f(x)dx + ∫g(x)dx - 幂函数的积分：∫x^n dx = x^(n+1)/(n+1) + C (其中C为常数) - 指数函数的积分：∫e^x dx = e^x + C- 对数函数的积分：∫1/x dx = ln，x， + C (其中C为常数)-三角函数的积分：- ∫sin(x) dx = -cos(x) + C- ∫cos(x) dx = sin(x) + C- ∫tan(x) dx = -ln，cos(x)， + C-反三角函数的积分：- ∫1/√(1-x^2) dx = arcsin(x) + C- ∫-1/√(1-x^2) dx = arccos(x) + C- ∫1/(1+x^2) dx = arctan(x) + C3.基本定理：- 第一基本定理：∫[a, b] f'(x)dx = f(b) - f(a) (即导函数的积分等于原函数在区间上的差)- 第二基本定理：∫[a, b] f(x)dx = F(b) - F(a) (即函数的积分等于其原函数在区间上的差)4.微分方程：- 一阶线性ODE通解：y = ∫[a, x] f(t)*e^(∫[a, t] p(u)du) dt + Ce^(∫[a, x] p(t)dt)-二阶常系数齐次线性ODE通解：y=C1e^(r1x)+C2e^(r2x)-二阶常系数非齐次线性ODE通解：- 非齐次线性ODE的特解：y = yp- 齐次线性ODE的通解：y = yp + C1e^(r1x) + C2e^(r2x)5.极限公式：- 极限定义：lim[x->a] f(x) = L (当x趋近于a时，f(x)趋近于L) -极限的四则运算法则：- lim[x->a] [f(x) + g(x)] = lim[x->a] f(x) + lim[x->a] g(x) - lim[x->a] [f(x) - g(x)] = lim[x->a] f(x) - lim[x->a] g(x) - lim[x->a] [f(x) * g(x)] = lim[x->a] f(x) * lim[x->a] g(x) - lim[x->a] [f(x) / g(x)] = lim[x->a] f(x) / lim[x->a] g(x) (其中g(a)不等于0)- 极限函数的连续性：如果lim[x->a] f(x) = f(a)和lim[x->a]g(x) = g(a)，则lim[x->a] [f(x) + g(x)] = f(a) + g(a)和lim[x->a] [f(x) * g(x)] = f(a) * g(a)。
高数常用微积分公式24个
高数常用微积分公式24个为了更好地帮助大家理解高等数学中的微积分，本文主要介绍高数常用的微积分公式24个。
首先，介绍最基本的微积分概念。
微积分是一个广义的概念，它包括微分学和积分学。
微分学是研究变动数量的变化率，变量可以表达为函数。
积分学则是将某一函数在不同区域上的积分和运算，可以表示为面积、重量或其他距离变化的概念。
其次，介绍高数常用的微积分公式。
1、微分中的基本公式：（1）函数的定义域x的导数，表示为f′(x)（2）复合函数的导数，表示为f′(g(x))（3）二阶导数的定义，表示为f″(x)2、积分中的基本公式：（1）求解定积分，表示为∫[a, b]f(x)dx（2）定积分的换折叠公式，表示为∫[a, b]f(x)dx=[a,c]f(x)dx+[c, b]f(x)dx（3）求解不定积分，表示为∫f（4）二重积分的定义，表示为∫[a, b]∫[c, d]f(x,y)dydx （5）定义域积分，表示为∫[S]f(x,y)ds3、微分与积分的关系：微分与积分有着相互联系的关系。
积分是将函数某一段区间的值累积为某一量，而微分则是积分的反过程，求出函数在有限的区间内的变化率。
这一关系也被称为微分法和积分法的反射关系。
4、偏微分的基本公式：偏微分是指关于同一变量的偏导数。
它是微分中比较复杂的一种形式，通常与多元函数相关，旨在研究函数变化率在同一点上受其他变量影响的情况。
它的基本公式为f′(x, y)=f/x, f′(x, y)=f/y。
5、常见的微分与积分公式：（1）指数函数的求导公式，表示为f′(x)=ae^(ax)（2）对数函数的求导公式，表示为f′(x)=1/x（3）三角函数的求导公式，表示为f′(x)=cos(x),f′(x)=sin(x)（4）椭圆函数的求导公式，表示为f′(x)=2a(a+bx)/(b^2-a^2)（5）反椭圆函数的求导公式，表示为f′(x)=-2a(a+bx)/(b^2-a^2)（6）求极限的求导公式，表示为limX→0f′(x)=f(0)（7）求微积分的积分公式，表示为∫[a,b]f(x)=F(b)-F(a)最后，本文介绍了高数常用的微积分公式24个，包括微分、积分、偏微分以及极限的求导公式，利用这些公式，大家就可以更好地理解微积分的概念，从而更好地学习高等数学中的微积分内容。
1.8微积分基本定理
授课主题 微积分基本定理教学目标1．直观了解并掌握微积分基本定理的含义． 2．会利用微积分基本定理求函数的积分．教学内容1. 微积分基本定理：如果f (x )是区间[a ，b ]上的连续函数，并且F ′(x )＝f (x )，那么ʃb a f (x )d x ＝F (b )－F (a ) .定理中的式子称为“牛顿—莱布尼茨公式”，通常称F (x )是f (x )的一个原函数．在计算定积分时，常常用记号F (x )|b a来表示F (b )－F (a )，于是牛顿—莱布尼茨公式也可写作ʃb a f (x )d x ＝F (x )|ba ＝F (b )－F (a ).2. 定积分和曲边梯形面积的关系：设曲边梯形在x 轴上方的面积为S 上，x 轴下方的面积为S 下，则 (1)当曲边梯形的面积在x 轴上方时，如图(1)，则ʃb a f (x )d x ＝S 上. (2)当曲边梯形的面积在x 轴下方时，如图(2)，则ʃb a f (x )d x ＝－S 下.(3)当曲边梯形的面积在x 轴上方、x 轴下方均存在时，如图(3)，则ʃba f (x )d x ＝S 上－S 下，若S 上＝S 下，则ʃb a f (x )d x ＝0.题型一 利用微积分基本定理求定积分 例1 (1)求定积分⎰202x d x 的值；(2)求定积分⎰1－1(2x －x 2)d x 的值；(3)求定积分⎰0－π(sin x ＋2e x )d x 的值． 解析：(1) ⎰202x d x ＝2⎰20x d x ＝2×⎪⎪12x 220＝22－02＝4.(2) ⎰1－1(2x －x 2)d x ＝⎰1－12x d x ＋⎰1－1(－x 2)d x ＝x 2|1－1－13x 3|1－1＝－23. (3) ⎰－π(sin x ＋2e x )d x ＝⎰0－πsin x d x ＋2⎰－πe x d x ＝－cos x |0－π＋2e x |0－π＝－cos 0＋cos(－π)＋2(e 0－e －π)＝－2eπ. 点评：应用微积分基本定理求定积分时，首先要求出被积函数的一个原函数，在求原函数时，通常先估计原函数的类型，然后求导数进行验证，在验证过程中要特别注意符号和系数的调整，直到原函数F (x )的导函数F ′(x )＝f (x )为止(一般情况下忽略常数)，然后再利用微积分基本定理求出结果． 巩 固 求下列定积分的值．(1) ⎰10(2x ＋3)d x ； (2) ⎰1－2(1－t 3)d t ；(3) ⎰π02sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4d x ； (4) ⎰31⎣⎡⎦⎤6x ⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2d x . 分析：利用微积分基本定理，关键是求出相应被积函数的一个原函数． 解析：(1)∵(x 2＋3x )′＝2x ＋3，∴⎰10(2x ＋3)d x ＝(x 2＋3x )|10＝1＋3＝4.(2)∵⎝⎛⎭⎫t －14t 4′＝1－t 3， ∴⎰1－2(1－t 3)d t ＝⎪⎪⎝⎛⎭⎫t －14t 41－2＝1－14－⎣⎡⎦⎤－2－14(－2)4＝7－14＝274. (3)因为2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝2⎝⎛⎭⎫sin x ·22＋cos x ·22＝sin x ＋cos x ， 又(－cos x ＋sin x )′＝sin x ＋cos x ，所以 ⎰π02sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4d x ＝⎰π0( sin x ＋cos x ) d x ＝(－cos x ＋sin x )|π0 ＝(－cos π＋sin π)－(－cos 0＋sin 0)＝2. (4) ⎰31⎣⎡⎦⎤6x ⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2d x ＝⎰31(6x 2+6+12x ) d x ＝(2x 3+6x +6x 2)|31＝(54＋18＋54)－(2＋6＋6)＝112 题型二 求分段函数的定积分例2 若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ∈[0，1]，x ，x ∈(1，2]，2x ，x ∈(2，3]，求⎰30f (x )d x 的值．解析：由积分的性质，知：⎰30f (x )d x ＝⎰10f (x )d x ＋⎰21f (x )d x ＋⎰32f (x )d x ＝14＋432－23＋8ln 2－4ln 2＝－512＋432＋4ln 2. 点评：分段函数在区间[a ，b ]上的定积分可分成n 段定积分和的形式，分段的标准可按照函数的分段标准进行；带绝对值号的解析式，可先化为分段函数，然后求解． 巩 固 ⎰3-3 (|2x ＋3|＋|3－2x |)d x .解析：设y＝|2x＋3|＋|3－2x|＝⎩⎪⎨⎪⎧－4x，x≤－32，6，－32<x<32，4x，x≥32.所以⎰3－3(|2x＋3|＋|3－2x|)d x＝323(4)x---⎰d x＋32326-⎰d x＋3324x⎰d x＝＝(－2)×⎝⎛⎭⎫322－(－2)×(－3)2＋6×32－6×⎝⎛⎭⎫－32＋2×32－2×⎝⎛⎭⎫322＝45.题型三利用定积分求参数例3已知f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，且f(－1)＝2，f′(0)＝0，⎰10f(x)d x＝－2，求a，b，c的值．解析：由f(－1)＝2得a－b＋c＝2.①因为f′(x)＝2ax＋b，所以f′(0)＝b＝0.②又⎰10f(x)d x＝⎰10(ax2＋bx＋c)d x＝⎪⎪⎝⎛⎭⎫13ax3＋12bx2＋cx10＝13a＋12b＋c，所以13a＋12b＋c＝－2③解①②③组成的方程组得a＝6, b＝0，c＝－4.点评：利用定积分求参数，根据题设条件列出关于参数的方程(组)，解方程(组)得参数的值．巩固f(x)是一次函数，且⎰10f(x)d x＝5，⎰10xf(x)d x＝176，求f(x)的解析式．解析：设f(x)＝ax＋b(a≠0)，则⎰10(ax＋b)d x＝⎰10ax d x＋⎰10b d x＝12ax2⎰10＋bx⎰10＝12a＋b，⎰10x(ax＋b)d x＝⎰10(ax2＋bx)d x＝13ax3⎰10＋12bx2⎰10＝13a＋12b，由⎩⎨⎧12a＋b＝5，13a＋12b＝176，解得a＝4，b＝3，故f(x)＝4x＋3.A组1．下列各定积分等于1的是()A.⎰10x d xB.⎰10(x＋1)d xC.⎰101d xD.⎰1012d x解析：⎰10x d x ＝12x 2⎰10＝12； ⎰10(x ＋1)d x ＝⎝⎛⎭⎫12x 2＋x ⎰10＝32；⎰101d x ＝x |10＝1； ⎰1012d x ＝12x ⎰10＝12. 答案：C 2． ⎰421xd x 等于( ) A ．－2ln 2 B ．2ln 2 C ．－ln 2 D ．ln 2 解析：⎰421xd x ＝ln x |42＝ln 4－ln 2＝ln 2. 答案：D3．函数y ＝⎰x 0cos x d x 的导数是( )A ．cos xB ．－sin xC ．cos x －1D ．sin x 答案：AB 组一、选择题1. ⎰10(e x＋2x )d x ＝( )A ．1B ．e －1C ．eD ．e ＋1 答案：C2．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，－1≤x ≤0，1，0＜x ≤1，则⎰1－1f (x )d x 的值为( )A.32B.43C.23 D ．－23 答案：B3．由曲线y ＝x 2－1，直线x ＝0，x ＝2和x 轴围成的封闭图形的面积(如图阴影部分)是( )A. ⎰20(x 2－1)d xB. |⎰20(x 2－1)d x |C. ⎰20|x 2－1|d xD. ⎰20(x 2－1)d x ＋⎰21(x 2－1)d x答案：C4．下列定积分计算正确的是( )A. ⎰π－πsin x d x ＝4 B. ⎰102xd x ＝1C. ⎰21⎝⎛⎭⎫1－1x d x ＝ln e 2D. ⎰1－13x 2d x ＝3解析：⎰π－πsin x d x ＝－cos x|π－π＝0； ⎰102xd x ＝12ln 2x＝log 2e ； ⎰21⎝⎛⎭⎫1－1x d x ＝ |(x －ln x )21＝1－ln 2＝ln e 2； ⎰1－13x 2d x ＝x 3|1－1=2.故选C.答案：C5.若⎰a 1⎝⎛⎭⎫2x ＋1x d x ＝3＋ln 2，则正数a 的值为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．5解析：⎰a 1⎝⎛⎭⎫2x ＋1x d x ＝ |(x 2＋ln x )a 1＝a 2＋ln a －1＝3＋ln 2，所以a 2－1＝3，所以a ＝－2(舍去)，a ＝2.故选B. 答案：B 二、填空题6．定积分⎰21x d x ＝__________. 答案：23(22－1)7．若⎰T 0x 2d x ＝9，则常数T 的值为________．解析：因为⎝⎛⎭⎫x 33′＝x 2，所以⎰T 0x 2d x ＝⎝⎛⎭⎫x 33|T 0＝9，所以T ＝3. 答案：38．计算定积分⎰1－1(x 2＋sin x )d x ＝________. 答案：23三、解答题9．计算下列定积分：(1) ⎰30|2－x |d x ；解析： ⎰30|2－x |d x ＝⎰20(2－x )d x ＋⎰32(x －2)d x ＝ ⎪⎪⎝⎛⎭⎫2x －12x 220＋⎪⎪⎝⎛⎭⎫12x 2－2x 32＝2＋12＝52. (2)⎰π2－π2cos 2x d x .解析：10．若函数f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，且⎰10f (x )d x ＝1，求证：⎰10[f (x )]2d x >1.证明：由于⎰10f (x )d x ＝⎰10(ax ＋b )d x ＝⎪⎪⎝⎛⎭⎫12ax 2＋bx 10＝12a ＋b ， 所以12a ＋b ＝1，所以⎰10[f (x )]2d x ＝⎰10(ax ＋b )2d x ＝⎰10(a 2x 2＋2abx ＋b 2)d x ＝⎪⎪⎝⎛⎭⎫13a 2x 3＋abx 2＋b 2x 10＝13a 2＋ab ＋b 2＝⎝⎛⎭⎫12a ＋b 2＋112a 2＝1＋112a 2>1(a ≠0)，故原不等式成立．1． 设函数f (x )＝x m ＋ax 的导函数f ′(x )＝2x ＋1，则ʃ21f (－x )d x 的值等于 ( )A.56 B.12 C.23 D.16答案 A解析 由于f (x )＝x m ＋ax 的导函数为f ′(x )＝2x ＋1， 所以f (x )＝x 2＋x ，于是ʃ21f (－x )d x ＝ʃ21(x 2－x )d x ＝⎝⎛⎭⎫13x 3－12x 2|21＝56. 2．(sin x －a cos x )d x ＝2，则实数a 等于( )A ．－1B ．1C ．－ 3 D. 3 答案 A 解析＝－a ＋1＝2，a ＝－1.3． 由直线x ＝－π3，x ＝π3，y ＝0与曲线y ＝cos x 所围成的封闭图形的面积为 ( )A.12 B ．1 C.32D. 3答案 D 解析4． 设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ∈[0，1]，1x ，x ∈[1，e](其中e 为自然对数的底数)，则ʃe 0f (x )d x 的值为( )A.43B.54C.65D.76答案 A解析 根据定积分的运算法则，由题意，可知ʃe 0f (x )d x ＝ʃ10x 2d x ＋ʃe 11x d x ＝13x 3|10＋ln x |e 1＝13＋1＝43. 5． ʃ30(x 2＋1)d x ＝________.答案 12解析 ʃ30(x 2＋1)d x ＝⎝⎛⎭⎫13x 3＋x |30＝13×33＋3＝12. 6. 如图所示，函数y ＝－x 2＋2x ＋1与y ＝1相交形成一个闭合图形(图中的阴影部分)，则该闭合图形的面积是________．答案 43解析 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x 2＋2x ＋1y ＝1，得x 1＝0，x 2＝2.∴S ＝ʃ20(－x 2＋2x ＋1－1)d x ＝ʃ20(－x 2＋2x )d x ＝⎝⎛⎭⎫－x 33＋x 2|20＝－83＋4＝43.。
微积分基础认识微积分的基本概念和运算法则
微积分基础认识微积分的基本概念和运算法则微积分基础：认识微积分的基本概念和运算法则微积分，作为数学的一个重要分支，是研究变化和运动的工具。
它有着广泛的应用领域，从物理学到经济学，从工程学到生物学，微积分无处不在。
本文将介绍微积分的基本概念和运算法则，帮助读者初步了解微积分的重要性和基础知识。
一、微积分的基本概念微积分的核心思想是研究变化的量。
在微积分中，最基本的概念是函数。
函数是一种映射关系，将一个自变量的取值映射到一个因变量的取值。
常用的表示方式是y=f(x)，其中x表示自变量，y表示因变量。
对于一个函数，我们可以通过求导和积分来研究其变化情况。
1. 导数导数描述了函数的变化率。
对于函数y=f(x)，它的导数可以表示为dy/dx或f'(x)。
导数可以理解为函数在某一点处的切线斜率，或者说函数在该点附近的线性近似。
导数有很多计算方法，其中最基本的是使用极限。
通过计算函数在一点处的极限，可以得到该点处的导数值。
导数可以帮助我们判断函数的增减性、极值点以及曲线的凹凸性等。
2. 积分积分是导数的逆运算。
对于函数f(x)，它的积分可以表示为∫f(x)dx。
积分可以理解为函数所代表的曲线与x轴之间的面积。
积分也具有很多计算方法，其中最基本的是使用定积分。
通过将函数切割成无穷小的矩形，然后计算这些矩形面积的和，可以得到函数的积分值。
积分可以帮助我们计算曲线围成的面积、求解定积分问题以及求解微分方程等。
二、微积分的运算法则在微积分中，导数和积分有着一系列的运算法则，这些法则可以帮助我们简化复杂的计算过程。
1. 导数的运算法则（1）常数法则：对于常数c，它的导数为0。
（2）乘法法则：对于两个函数u(x)和v(x)，它们的乘积的导数可以表示为(uv)'=u'v+uv'。
（3）除法法则：对于两个函数u(x)和v(x)，它们的商的导数可以表示为(u/v)'=(u'v-uv')/v^2。
微积分重要公式
微积分重要公式微积分是数学中的一门重要学科，它研究的是变化和积累的数学方法。
微积分有许多重要的公式，这些公式在各种数学和科学领域都有广泛的应用。
本文将介绍一些微积分中的重要公式，并探讨它们的用途和意义。
1. 导数的定义公式导数是微积分中最基本的概念之一，它描述了函数在某一点的变化率。
导数的定义公式为：f'(x) = lim(h->0) [f(x+h) - f(x)] / h。
这个公式告诉我们，导数是函数在无穷小变化下的极限。
导数的概念和公式在物理学、经济学等领域具有重要的应用，如速度、加速度、边际效应等。
2. 导数的四则运算法则导数的四则运算法则是微积分中的重要工具，它们描述了导数在加减乘除运算中的性质。
这些法则包括常数法则、幂法则、和法则、差法则和乘法法则。
通过这些法则，我们可以计算出复杂函数的导数，进而研究函数的性质和变化规律。
3. 不定积分的定义公式不定积分是微积分中的另一个基本概念，它是导数的逆运算。
不定积分的定义公式为：∫f(x)dx = F(x) + C，其中F(x)是f(x)的一个原函数，C是常数。
不定积分的概念和公式在求解曲线下的面积、求解定积分和解微分方程等问题中起着重要的作用。
4. 定积分的定义公式定积分是微积分中的另一个重要概念，它描述了函数在一个区间上的积累效应。
定积分的定义公式为：∫[a,b]f(x)dx = lim(n->∞)Σf(xi)Δx，其中[a,b]是积分区间，f(x)是被积函数，Δx是区间的等分长度。
定积分的概念和公式在求解曲线下的面积、计算物体的质量和体积等问题中有广泛的应用。
5. 牛顿-莱布尼茨公式牛顿-莱布尼茨公式是微积分中的一条重要定理，它将不定积分和定积分联系起来。
牛顿-莱布尼茨公式的表达式为：∫[a,b]f(x)dx = F(b) - F(a)，其中F(x)是f(x)的一个原函数。
这个公式告诉我们，定积分可以通过不定积分来计算，进一步简化了积分的计算过程。
微分的计算公式
微分的计算公式微积分是数学的一个重要分支，常常被运用到自然科学和工程学领域中。
微分在微积分中是其中的一个重要概念，它表示了函数在某个点上的斜率或者变化率。
微分运算是微积分中最基本的运算之一，本文将会介绍微分的计算公式，并以例子进行讲解。
首先，我们先来定义微分。
如果有一个函数f(x)，那么f(x)在点x=x₀处的微分df就可以表示成：df = f'(x₀)dx其中f'(x₀)是函数f(x)在点x=x₀处的导数，dx表示自变量x 在取值点x₀处的一个微小变化量。
这个式子的意思是：函数f(x)在x=x₀处的微分df等于函数在x=x₀处的导数与自变量x的微小变化量dx的乘积。
接下来，我们来介绍常见的微分公式。
为了方便讲解，我们把x₀表示成x，也就是说微分是在点x处进行计算的。
1.常数函数的微分如果f(x)是一个常数函数，那么它在任何点的导数都是0，因此f(x)在点x处的微分df等于0。
2.幂函数的微分如果f(x) = xⁿ，那么它在点x处的导数是f'(x) = nxⁿ⁻¹。
因此，在点x处的微分df等于：df = f'(x)dx = n xⁿ⁻¹ dx3.指数函数的微分如果f(x) = aˣ，其中a是大于0且不等于1的常数，那么它在点x处的导数是f'(x) = aˣln a。
因此，在点x处的微分df等于： df = f'(x)dx = aˣlna dx4.三角函数的微分如果f(x) = sin(x)，那么f'(x) = cos(x)。
在点x处的微分df 等于：df = f'(x)dx = cos(x) dx如果f(x) = cos(x)，那么f'(x) = -sin(x)。
在点x处的微分df等于：df = f'(x)dx = -sin(x) dx以上是微分的一些常见公式，不同的函数有不同的导数公式，计算微分的过程就是根据函数在某个点上的导数来算出微分。
最简单易懂的微积分
最简单易懂的微积分微积分，是数学中的一门重要分支，它的核心概念是导数和积分。
对于初学者来说，微积分看似晦涩难懂，但只要掌握了它的基本概念和思想，它就能让我们更好地理解物理、工程学等领域的理论和应用。
以下是最简单易懂的微积分入门指南。
一、导数的概念导数是函数值随着自变量变化的变化率。
我们可以把导数看作一个函数的瞬时斜率。
以 f(x) 为例，它的导数用 f'(x) 或者 df/dx 表示。
导数可以用极限的概念表示，即一个函数在某一点的导数是它与该点的切线的斜率。
导数的计算公式可以用简单的求导法则得到。
二、导数的应用导数在物理、经济、生物等领域中都有广泛的应用。
例如在物理中，速度等与运动相关的概念都可以用导数来描述。
在经济学中，边际效益的概念也依赖于导数的概念。
三、积分的概念积分是导数的逆运算。
它可以将一个函数从变化率的角度转化为一个以面积为度量的量。
积分符号表示为∫，积分后的结果函数称为原函数。
积分的计算公式可以用不定积分或定积分的方法得到。
四、积分的应用积分在物理、经济、生物等领域中也有广泛的应用，例如在物理中，位移、质心等物理量都可以用积分来求解；在经济学中，积分的概念也被应用于累计收益和累计花费等问题。
五、常见函数的导数和积分常见函数的导数和积分公式是学习微积分的基础。
例如指数函数、对数函数、三角函数等，在微积分中都有其特殊的导数和积分计算公式。
熟练掌握这些公式有利于更好地理解微积分的概念和应用。
六、微积分的思想微积分的思想是变化的思想，即将不连续的量化问题转化为连续的变化问题，通过求导和积分计算出变化率和变化量。
当我们熟练掌握微积分的基本概念和计算方法后，就能够更好地理解和掌握微积分的思想。
以上就是最简单易懂的微积分入门指南，希望对初学者有所帮助。
微积分的基本解法
微积分的基本解法引言微积分是数学中的一门重要学科，用于研究变化与积累的关系。
它是现代科学和工程学的基石，对于解决许多实际问题具有重要意义。
本文将介绍微积分的基本解法。
一、导数的计算导数是微积分的重要概念，表示函数在某一点处的变化率。
计算导数的方法有以下几种：1.极限法：通过取极限的方式计算导数，简洁常用。
例如，对于函数f(x)=3x^2-2x+1，可使用极限法计算其导数为f'(x)=6x-2.1.极限法：通过取极限的方式计算导数，简洁常用。
例如，对于函数f(x)=3x^2-2x+1，可使用极限法计算其导数为f'(x)=6x-2.1.极限法：通过取极限的方式计算导数，简洁常用。
例如，对于函数f(x)=3x^2-2x+1，可使用极限法计算其导数为f'(x)=6x-2.2.基本函数的导数：基本函数的导数有固定的公式，例如多项式函数导数的计算公式为求每一项的导数，再相加。
其他常见函数的导数计算公式如指数函数、对数函数、三角函数等，通过记忆这些公式可以快速计算函数的导数。
2.基本函数的导数：基本函数的导数有固定的公式，例如多项式函数导数的计算公式为求每一项的导数，再相加。
其他常见函数的导数计算公式如指数函数、对数函数、三角函数等，通过记忆这些公式可以快速计算函数的导数。
2.基本函数的导数：基本函数的导数有固定的公式，例如多项式函数导数的计算公式为求每一项的导数，再相加。
其他常见函数的导数计算公式如指数函数、对数函数、三角函数等，通过记忆这些公式可以快速计算函数的导数。
3.隐函数求导：对于隐函数，可以通过求偏导数的方式计算导数。
例如，对于方程x^2 + y^2 = 1，可以通过对x和y分别求导得到dy/dx的表达式。
3.隐函数求导：对于隐函数，可以通过求偏导数的方式计算导数。
例如，对于方程x^2 + y^2 = 1，可以通过对x和y分别求导得到dy/dx的表达式。
3.隐函数求导：对于隐函数，可以通过求偏导数的方式计算导数。
微积分基本公式推导过程
微积分基本公式推导过程
微积分的基本公式包括导数与定积分互为逆运算的关系，以及用反导数计算定积分的方法。
以导数与定积分互为逆运算为例，其推导过程如下：
对于一条连续曲线y=f(x)，其下从0到x的面积可以表示为一个面积函数A(x)。
在x和x+h 之间的曲线下面积，可以通过找到0和x+h之间的面积，然后减去0和x之间的面积来计算，即A(x+h)-A(x)。
另一方面，h*f(x)是矩形的面积，这个矩形的面积与x和x+h之间的曲线下面积大致相同。
当h趋向于0时，h*f(x)与曲线下面积的差值也趋向于0。
这就是导数与定积分互为逆运算的基本思想。
微分（导数）的过程可以看作是找出函数在某一点的切线斜率，或者说是将函数“分解”成无穷多个微小的部分；而积分（定积分）的过程则是将这些微小的部分“组合”起来，以求得整个函数在某一区间上的面积。
关于用反导数计算定积分的方法，其基本原理是牛顿-莱布尼茨公式，即定积分的值等于被积函数的原函数在积分区间两端点的函数值之差。
至于其他微积分基本公式的推导过程，例如洛伦兹因子、杜邦公式、圆的面积、三角函数公式等，由于涉及到较为复杂的数学理论和推导过程，需要深入的数学知识和专业的推导方法，因此在这里无法一一详述。
如果对某个特定的公式或推导过程感兴趣，建议查阅相关的数学教材或专业文献，以获取详细的推导过程和解释。
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第4章微积分的基本运算本章学习的主要目的：1．复习高等数学中有关函数极限、导数、不定积分、定积分、二重积分、级数、方程近似求解、常微分方程求解的相关知识.2．通过作图和计算加深对数学概念：极限、导数、积分的理解.3．学会用MatLab软件进行有关函数极限、导数、不定积分、级数、常微分方程求解的符号运算；4．了解数值积分理论,学会用MatLab软件进行数值积分;会用级数进行近似计算.1 有关函数极限计算的MatLab命令(1)limit(F,x,a) 执行后返回函数F在符号变量x趋于a的极限(2)limit(F,a) 执行后返回函数F在符号变量findsym(F)趋于a的极限(3)limit(F) 执行后返回函数F在符号变量findsym(F)趋于0的极限(4)limit(F,x,a,’left’) 执行后返回函数F 在符号变量x 趋于a 的左极限(5)limit(F,x,a,’right’) 执行后返回函数F 在符号变量x 趋于a 的右极限注:使用命令limit 前,要用syms 做相应符号变量说明. 例7 求下列极限 (1)4220x cos lim xex x -→-在MatLab 的命令窗口输入: syms xlimit((cos(x)-exp(-x^2/2))/x^4,x,0) 运行结果为 ans =-1/12理论上用洛必达法则或泰勒公式计算该极限: 方法1=-+-=---=---→-→-→2222220x 322x 4220x 12cos lim4)(sin limcos limx x eex x x ex x ex x x x x12112112)2(2lim 1211cos lim222220x 2222220x -=--+=--++--→--→x x x e x x x x x e e x 方法2442224420x 4220x ))(2)2()2(1()(!421limcos limx x o x x x o x x x ex x +-+---++-=-→-→121)(121lim444x -=+-=→x x o x (2)x3x )xt 21(lim +∞→ %自变量趋于无穷大,带参数t在MatLab 的命令窗口输入: syms x tlimit((1+2*t/x)^(3*x),x,inf) 运行结果为 ans =exp(6*t)理论上用重要极限计算:t t t xe 662x x 3x ))xt21((lim )x t 21(lim =+=+∞→∞→ (3)x 1lim0x +→ %求右极限在MatLab 的命令窗口输入: syms xlimit(1/x,x,0,’right’) 运行结果为 ans = inf2 有关函数导数计算的MatLab 命令(1)diff(F,x) 表示表达式F 对符号变量x 求一阶导数，允许表达式F 含有其他符号变量，若x 缺省，则表示对由命令syms 定义的变量求一阶导数。
(2)diff(F,x,n) 表示表达式F 对符号变量x 求n 阶导数。
例10 求下列函数的导数 （1） 已知242arcsin x x x y -+=,求)3(,'y y ；在MatLab 的命令窗口输入如下命令序列: syms xy=x*asin(x/2)+sqrt(4-x^2)diff(y,x) %执行结果ans = asin(1/2*x)与理论推导)2xa r c s i n ('＝y 完全吻合。
diff(y,x,3) %执行结果ans = 1/(4-x^2)^(3/2)*x 与理论推导2323)4(x x y -＝）（完全吻合。
（2） 已知y xz 2sin 2=,求yx z x z x z ∂∂∂∂∂∂∂222,,在MatLab 的命令窗口输入如下命令序列: syms x y z z=x^2*sin(2*y);diff(z,x) %执行结果ans =2*x*sin(2*y) diff(z,x,2) %执行结果ans =2*sin(2*y)diff(diff(z,x),y) %执行结果ans =4*x*cos(2*y) （3） 已知22zy)-x (u yx z ＋==,求yx u y u x u ∂∂∂∂∂∂∂2,, (复合函数求导偏导数)在MatLab 的命令窗口输入如下命令序列: syms x y z u z=x^2+y^2; u=(x-y)^z; diff(u,x)%执行结果＝xu ∂∂ (x-y)^(x^2+y^2)*(2*x*log(x-y)+(x^2+y^2)/(x-y)) diff(u,y,2)%执行结果＝yu∂∂(x-y)^(x^2+y^2)*(2*y*log(x-y)-(x^2+y^2)/(x-y))^2+ (x-y)^(x^2+y^2)*(2*log(x-y)-4*y/(x-y)-(x^2+y^2)/(x-y)^2) diff(diff(u,x),y)%执行结果＝yx u∂∂∂2 (x-y)^(x^2+y^2)*(2*y*log(x-y)-(x^2+y^2)/(x-y))*(2*x*log(x-y)+(x^2+y^2)/(x-y))+(x-y)^(x^2+y^2)*(-2*x/(x-y)+2*y/(x-y)+(x^2+y^2)/(x-y)^2)3 极值问题MatLab 软件提供了求一元和多元函数极值问题的命令： fmin(f,x1,x2) 求函数f(x)在x1<x<x2区间取到极小值对应的x 值。
fmins('f',[x1,x2]),求二元函数在点（x1 x2）附近的极值点。
例12 求函数71862)(23+--=x x x x f 的极值，并作图。
在MatLab 的命令窗口输入如下命令序列: syms xf=2.*x.^3-6.*x.^2-18.*x+7;xmin=fmin('2.*x.^3-6.*x.^2-18.*x+7',-5,5) x=xmin; miny3=subs(f)a31='-2.*x.^3+6.*x.^2+18.*x-7'; xmax=fmin(a31,-5,5) x=xmax; maxy3=subs(f)fplot('2.*x.^3-6.*x.^2-18.*x+7',[-5 5]) grid on 执行结果：xmin =3.0000 %在x ＝3处取极小值 miny3 =-47.0000 %极小值为－47 xmax = -1.0000 %在x ＝－1处取极大值 maxy3 =17.0000 ％极大值为17图154方程的数值求解方法fzero(‘f’，x 0) %在x ＝x0附近求f(x)=0的近似解。
例14 用MatLab 函数、编程二分法、切线法三种方法求方程04.19.01.123=-++x x x 的实根的近似值，使误差不超过310-。
解 令4.19.01.1)(23-++=x x x x f ,显然f(x)在）（+∞∞-,内连续。
-5-4-3-2-112345-350-300-250-200-150-100-50050因为09.02.23)('2>++=x x x f ，故f(x)在）（+∞∞-,内单调递增，0)(=x f 至多有一个实根。
由06.1)1(,04.1)0(>=<-=f f ，知0)(=x f 在[0,1]内有唯一的实根。
取a=0,b=1,[0,1]即是一个隔离区间。
先画出函数f(x)的图形,如图17, 在MatLab 的命令窗口输入如下命令： f= 'x^3+1.1*x^2+0.9*x-1.4 ' fplot(f,[0,1]) grid on图17f= 'x^3+1.1*x^2+0.9*x-1.4 ' fzero(f,1)运行结果为：ans =0.6707 5 有关计算函数不定积分的MatLab 命令int(f) 求函数f 关于syms 定义的符号变量的不定积分；00.51-2-1012int(f,v) 求函数f 关于变量v 的不定积分。
注：MatLab 在不定积分结果中不自行添加积分常数C 例15 用MatLab 软件，计算下列不定积分dx ex x ⎰-23在MatLab 的命令窗口输入如下命令： syms xint('x^3*exp(-x^2)',x)执行结果：ans =-1/2*x^2/exp(-x^2)-1/2/exp(-x^2) 6 有关计算函数定积分的MatLab 命令int(f,a,b) 求函数f 关于syms 定义的符号变量从a 到b 的定积分；int(f,v,a,b) 求函数f 关于变量v 从a 到b 的定积分。
例17 用MatLab 软件求下列定积分： （1）dx x⎰41lnx（2）⎰∞+＋03)1(x dx x在MatLab 的命令窗口输入如下命令序列: （1）syms x;y=log(x)*x^(-0.5);int(y,1,4)运行结果:ans = 8*log(2)-4（2）syms x;y=(x*(1+x)^3)^(-0.5);int(y,x,0,inf)8二重积分目前,MatLab还没有求二重积分的命令,我们用定积分的int命令,结合函数图形的观察,完成对二重积分的计算.例19 计算⎰⎰Ddxdyyx22,其中D为直线xyxyxy-===12,2,2围成区域.具体步骤如下: (1)划定积分区域: syms xy1=2*x;y2=x/2;y3=12-x;ezplot(y1,[-2,12]) hold onezplot(y2,[-2,12]) ezplot(y3,[-2,12])-2024681012 051015y=x/2y=2*xy=12-xABC积分区域title('积分区域')结果如图20 ,三条直线相交所围区域即为积分区域. (2) 确定交点的横坐标: xa=fzero('2*x-x/2',0)xb=fzero('2*x-12+x',4)xc=fzero('12-x-x/2',8) 图20 结果为:xa = 0 xb = 4 xc = 8 (3)化二重积分σd yx 22⎰⎰D为累次积分⎰⎰⎰⎰+84x-122x 2242x 2x 22dx dxdy yx dy y x .在MatLab 的命令窗口输入: syms x y z z=x^2/y^2;dx1=int(z,y,x/2,2*x);j1=int(dx1,0,4); dx2=int(z,y,x/2,12-x);j2=int(dx2,4,8); jf=j1+j2结果为: jf =132-144*log(2)9 MatLab级数求和命令:symsum(s) %s为待求和的级数的通项表达式,求出关于系统默认变量如k从0到k-1的级数有限项的和,如不能确定s的默认变量,则用findsym(s)来查.symsum(s,v) %v为求和变量,求出v由0到v-1的级数有限项的和.symsum(s,v,a,b) %求出v由a到b的级数有限项的和.例22 syms ksimple(symsum(k)) 1/2*k*(k-1)simple(symsum(k,0,n-1)) 1/2*n*(n-1)simple(symsum(k,0,n)) 1/2*n*(n+1)simple(symsum(k^2,0,n))1/6*n*(n+1)*(2*n+1)symsum(k^2,0,10) 385symsum(k^2,11,10) 0symsum(1/k^2,1,Inf) 1/6*pi^210 幂级数MatLab完成泰勒展开命令:下面f代表待展开的函数表达式,taylor(f) %求出函数f关于系统默认变量的麦克劳林型的6阶近似展开.taylor(f,n) %求出函数f关于系统默认变量的麦克劳林型的n 阶近似展开.taylor(f,v) %求出函数f关于变量v的麦克劳林型的6阶近似展开.taylor(f,a) %求出函数f关于系统默认变量等于a处的麦克劳林型的6阶近似展开.taylor(f,n,v,a) %求出函数f关于变量v等于a处的麦克劳林型的n阶近似展开.例23 求函数x ey 在x=1处的3阶泰勒展式.syms xtaylor(exp(x),x,4,1)执行后得到:ans =exp(1)+exp(1)*(x-1)+1/2*exp(1)*(x-1)^2+1/6*exp(1)*(x-1) ^311常微分方程在MatLab中的表达方式为:符号D表示对变量的求导,Dy表示对变量y求一阶导数, Dny表示对变量求n阶导数.dsolve (‘diff_equation’) % diff_equation 为待求解的常微分方程,自变量为t,得方程的通解dsolve (‘diff_equation’,’var’) % diff_equation 为待求解的常微分方程,自变量为vardsolve (‘diff_equation’,’cond1, cond2,…’,’var’) %带初始条件的常微分方程例27 解常微分方程x x y 2cos y ''=+ syms xdiff_equ='D2y+y=x*cos(2*x)'; y=dsolve(diff_equ, 'x') 解得结果为: y =(1/2*cos(x)+1/2*x*sin(x)+1/18*cos(3*x)+1/6*x*sin(3*x))*si n(x)+(-1/18*sin(3*x)+1/6*x*cos(3*x)+1/2*sin(x)-1/2*x*cos(x))*cos(x)+C1*sin(x)+C2*cos(x)例28 求常微分方程x ''y ''y'=-满足4)1('',7)1(',8)1(y ===y y 的特解. syms xdiff_equ='D3y –D2y=x';y=dsolve(diff_equ, 'y(1)=8', 'Dy(1)=7', 'D2y(1)=4','x') 解得结果为:y =-1/2*x^2-1/6*x^3+1/6+5/2*x+6/exp(1)*exp(x) 4.9 上机实验内容1 用描点法列出数列}2cos n1{πn 从第1项到第1000项,观察数列的极限,若001.0=ε,N 可以取多少?2作图观察当2x →时,2x y =的极限,若001.0=ε,δ取多少,使当δ<-<2x 0时,001.04<-y ?3 用MatLab软件求极限x x x cos 112ln 2lim 0x ---→,并理论上推导计算.4 用MatLab 软件求下列函数的导数： （1）已知,)1()3(254+-+=x x x y 求1'=x y（2）已知cos x e x =y ，求）（4y（3）已知yx y x z *)ln(2+=,求yx zx z x z ∂∂∂∂∂∂∂222,,5 已知函数[-2,2]x 2)-x -sin(x x y 22∈=，,按要求完成下面的任务：（1）用MatLab 软件求函数的一阶，二阶导函数（2）画出函数y 及其一阶、二阶导函数曲线，观察单调区间，凹凸区间以及极值点，拐点（3）用作图观察法找出函数的四个零点，四个极值点和四个拐点，与其相应的理论值比较。