高等数学第一章函数与极限

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高数红宝书——第一章_函数与极限

高数红宝书——第一章_函数与极限
限;最后检查分界点的左右极限。 时,, 连续 ,在右连续
同理:在连续,在左连续。 在分界点: 所以为第一类跳跃间断点。
【】
解:
【】 解:
【】 解:
【例12】 求 的反函数。(提示:设) 解

【例13】 设 解:令
技巧:利用函数表示法的无关特性。 【例14】 设 (x≠0,1) 求。
解:令
………………① 再令 ………………② 由原式和①、②联立即可得到
1.4 复合函数,一般形式为:,指自变量为函数的函数。
1.4 反函数,存在一一映射的情况下,二者互为反函数,关于反函数 具有下列重要性质:
★ 若为的反函数,则在某些场合,常把的反函数记为或,此时已重新 把视为自变量,在反函数记号的使用中,一定要分清是否需要换变量记
号。
★ 改变记号后,互为反函数的两个函数和的曲线关于直线对称;没有 改变记号,互为反函数的两个函数和的曲线重合。
考试要求
1. 理解函数的概念,掌握函数的表示法,会建立应用问题的函数关系。 2. 了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性。 3. 理解复合函数及分段函数的概念,了解反函数及隐函数的概念。 4. 掌握基本初等函数的性质及其图形,了解初等函数的概念。 5. 理解极限的概念,理解函数左极限与右极限的概念以及函数极限存在与左极限、右极
第一篇 高等数学
第一章 函数与极限
考试内容
函数的概念及表示法 函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性 复合函数、反函数、分段函数 和隐函数 基本初等函数的性质及其图形 初等函数 函数关系的建立 数列极限与函数极限的定义及其性质 函数的左极限和右极限 无穷小量和无穷大量的概念及 其关系 无穷小量的性质及无穷小量的比较 极限的四则运算 极限存在的两个准则:单调有 界准则和夹逼准则 两个重要极限: 函数连续的概念 函数间断点的类型 初等函数的连续性 闭区间上连续函数的性质

高等数学第一章《函数与极限》

高等数学第一章《函数与极限》

第一章 函数与极限一、内容提要(一)主要定义【定义 1.1】 函数 设数集,D R ⊂如果存在一个法则,使得对D 中每个元素x ,按法则f ,在Y 中有唯一确定的元素y 与之对应,则称:f D R →为定义在D 上的函数,记作(),y f x x D =∈.x 称为自变量,y 称为因变量,D 称为定义域.【定义1.2】 数列极限 给定数列{}x n 及常数a ,若对任意0ε>,总存在正整数N ,使得当n N >时,恒有x a n -<ε成立,则称数列{}x n 收敛于a ,记为a x n n =∞→lim .【定义1.3】 函数极限(1)对于任意0ε>,存在()0δε>,当δ<-<00x x 时,恒有()ε<-A x f .则称A 为()f x 当0x x →时的极限,记为A x f x x =→)(lim 0.(2) 对于任意0ε>,存在0X >,当x X >时,恒有f x A ()-<ε.则称A 为()f x 当x →∞时的极限,记为lim ()x f x A →∞=.(3)单侧极限左(右)极限 任意0ε>,存在()0δε>,使得当000(0)x x x x δδ-<-<<-<时,恒有()ε<-A x f .则称当00()x x x x -+→→时)(x f 有左(右)极限A ,记为00lim ()(lim ())x x x x f x A f x A -+→→== 或00(0)((0))f x A f x A -=+=.单边无穷极限 任意0ε>,存在0X >,使得当x X >(x X <-)时, 恒有f x A ()-<ε, 则lim ()x f x A →+∞=(lim ()x f x A →-∞=) .【定义1.4 】 无穷小、无穷大 若函数()f x 当0x x →(或x →∞)时的极限为零(|()|f x 无限增大),那么称函数()f x 为当0x x →(或x →∞)时的无穷小(无穷大).【定义1.5】 等价无穷小 若lim 0,lim 0,lim 1βαβα===,则α与β是等价的无穷小.【定义 1.6】 连续 若)(x f y =在点0x 附近有定义,且)()(lim 00x f x f x x =→,称()y f x =在点0x 处连续.否则0x 为()f x 的间断点.(二)主要定理【定理1.1】极限运算法则 若a x u =)(lim , b x v =)(lim ,则 (1)()lim u v ±存在,()lim lim lim u v u v a b ±=±=±且; (2)()lim u v ⋅存在,()lim lim lim u v u v a b ⋅=⋅=⋅且; (3)当0≠b 时, limu v 存在,lim lim lim u u a v v b==且 推论 ⑴ lim lim Cu C u Ca ==; ⑵ ()lim lim nnnu u a ==. 【定理1.2】极限存在的充要条件⇔=→A x f x x )(lim 0lim ()x x f x -→=0lim ()x x f x A +→=.lim ()x f x A →∞=⇔lim ()x f x →-∞=lim ()x f x A →+∞=【定理1.3】极限存在准则 (1) 单调有界数列必有极限(2) 夹逼准则: 设数列{}n x 、{}n y 及{}n z 满足① n n n y x z ≤≤, ② lim =lim n n n n y z a →∞→∞=,则lim n n x →∞存在,且lim n n x a →∞=.【定理1.4】极限与无穷小的关系 若lim (),f x A =则(),f x A α=+其中lim 0.α=【定理1.5】两个重要极限 1sin lim0=→x x x ,e x xx =⎪⎭⎫⎝⎛+∞→11lim .【定理1.6】 初等函数的连续性 初等函数在其定义区间内连续. 【定理1.7】闭区间上连续函数的性质(1)最值定理 闭区间上连续函数在该区间上一定有最大值M 和最小值m . (2)有界定理 闭区间上连续函数一定在该区间上有界.(3)介值定理 闭区间上连续函数必可取介于最大值M 与最小值m 之间的任何值. (4)零点存在定理 设函数()x f 在[]b a ,上连续,()a f ()0<⋅b f ,则至少存在一个ξ∈()b a ,,使 ()0f ξ=.二、典型题解析函数两要素:定义域,对应关系定义域:使表达式有意义的自变量的全体,方法为解不等式 对应关系:主要方法用变量替换(一)填空题【例1.1】 函数23arccos2xy x =+的定义域是 . 解 由arccos y u =的定义域知11u -≤≤,从而23112xx -≤≤+, 即 (][][),21,12,-∞--+∞.【例1.2】 设()()()2sin ,1f x x f x xφ==-,则函数()x φ的定义域为 .解 由已知()()2sin[()]1fx x xφφ==-,所以()2sin(1)x arc x φ=-,则2111,x -≤-≤即x ≤.【例1.3】设1()(0,1),()([...()])1n n f x x x f x f f f x x =≠≠=+次,试求()n f x 解 由()1xf x x =-,则21()[()]11xx f x f f x x x x -===--,显然复合两次变回原来的形式,所以,2(),211n x n k f x x n k x =⎧⎪=⎨=+⎪-⎩(二)选择题【例 1.9】设函数()f x 在(),-∞+∞上连续,又0a >且1a ≠,则函数()()()sin 2sgn sin F x f x x =-是 [ ](A) 偶函数 (B) 奇函数 (C) 非奇非偶函数 (D) 奇偶函数. 解 因为()()sgn sin sgn sin x x -=-⎡⎤⎣⎦,所以()sgn sin x 为奇函数.而()sin 2f x -为偶函数,故()()sin 2sgn sin f x x -⋅为奇函数,故选 B .【例 1.10】设()f x 是偶函数,当[]0,1x ∈时,()2f x x x =-,则当[]1,0x ∈-时,()f x = [ ](A) 2x x -+(B) 2x x + (C) 2x x - (D) 2x x --.解 因为()()f x f x -=,取[]1,0x ∈-,则[0,1]x -∈,所以()()()22f x x x x x -=---=--, 故选 D .(三)非客观题 1.函数及其性质【例1.16】 求函数()lg(1lg )f x x =-的定义域. 解 要使()f x 有意义,x 应满足0,1lg 0x x >⎧⎨->⎩ 即010x <<,所以()f x 的定义域为 (0,10).【例1.17】 设函数()f x 的定义域是[0,1],试求()f x a ++()f x a -的定义域(0a >).解 由()f x 的定义域是[0,1],则0101x a x a ≤+≤⎧⎨≤-≤⎩,故1a x a ≤≤-,则当1a a =-时,即12a =时,函数的定义域为12x =; 当1a a ->时,即12a <时,函数的定义域为[],1a a -; 当1a a -<时,即12a >时,函数的定义域为空集. 【例1.18】设()2,x f x e =()()1f x x ϕ=-并且()0x ϕ≥,求()x ϕ及其定义域.解 因为()()2[()]1,x fx e x φϕ==-且()0x ϕ≥,故()x ϕ=,为使此式有意义,ln(1)0x -≥,所以函数()x ϕ的定义域为{}0x x ≤.【例1.19】 设()2422x xf x x ++=-,求()2f x -.解( 法一)配方法 ()2(2)422(2)2x f x x +-+=-++,所以()24224.x xf x x --=-+解(法二) 变量代换法 令2x t =-,代入得()2422t f t t -=-+,即()2422xf x x -=-+,则()24224xxf x x --=-+.【例1.20】 设()22,01,12x x f x x x ≤≤⎧=⎨<≤⎩,()ln g x x =,求()f g x ⎡⎤⎣⎦. 解 ()[]ln f g x f x =⎡⎤⎣⎦ 22ln ,0ln 1ln ,1ln 2x x x x ≤≤⎧=⎨<≤⎩[]()()222ln ,1,0, ln , ,0,x x e x x e e ⎧∈+∞⎪=⎨⎡⎤∈+∞⎪⎣⎦⎩[]222ln ,1,ln , ,x x e x x e e ⎧∈⎪=⎨⎡⎤∈⎪⎣⎦⎩【例1.21】 设()1,10,1x x x ϕ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩,()22,12,1x x x x ψ⎧-≤⎪=⎨>⎪⎩,求 ()x ϕϕ⎡⎤⎣⎦,()x ϕψ⎡⎤⎣⎦. 解 ⑴ 当(),x ∈-∞+∞时,()01x ϕ≤≤ ,所以 ()()1,,x x ϕϕ≡∈-∞+∞⎡⎤⎣⎦.⑵ 因为 ()()()1,10,1x x x ψϕψψ⎧≤⎪=⎡⎤⎨⎣⎦>⎪⎩, 且 ()()1,12,1x x x x ψψ⎧==⎪⎨<≤≠⎪⎩ 1,故 ()1,10,1x x x ϕψ⎧=⎪=⎡⎤⎨⎣⎦≠⎪⎩. 【例1.22】 求函数()2312,1,121216,2x x f x x x x x ⎧-<-⎪=-≤≤⎨⎪->⎩的反函数.解 当21121,x y x <- -<-时,=则x =, 当312=8,x y x -≤≤ ≤≤时,-1则x =当212168,x y x > =->时, 则16,12y x +=所以()f x 的反函数为 ()111816,812x y f x x x x -⎧<-⎪⎪⎪==-≤≤⎨⎪+⎪>⎪⎩.【例 1.23】设()f x 在(,)-∞+∞上有定义,且对任意,(,)x y ∈-∞+∞有()()f x f y x y -<-,讨论()()F x f x x =+在(,)-∞+∞上的单调性.解 任取12,(,)x x ∈-∞+∞,不妨设21x x >,则由条件有()()()()21212121f x f x f x f x x x x x -<-<-=-,所以()()1221f x f x x x -<-,则可变形为()()1122f x x f x x +<+,即()()12F x F x <,故()F x 在(,)-∞+∞上单调增加.【例1.24】 求c 的一个值,使()sin()()sin()0b c b c a c a c ++-++=,这里b a >,且均为常数.解 令()sin f x x x =,则()f x 是一个偶函数,则有[]()()f b c f b c +=-+要使()(),()f b c f a c a b +=+≠成立,则有1()()()2a cbc c a b +=-+⇒=-+.极限与连续:不定式,等价关系,特殊极限 极限待定系数的确定原理 连续待定系数确定的原理【例1.4】 设2lim 8xx x a x a →∞+⎛⎫= ⎪-⎝⎭,则a = . 解 因为 233lim lim lim 1x x xx x x x a x a a a x a x a x a →∞→∞→∞+-+⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭3333lim 1x a axa x aa x a e x a --→∞⎛⎫=+= ⎪-⎝⎭再由3ln83ln 28ln 2aee e a ===⇒=.【例1.5】(2004数三)若()0sin lim cos 5x x xx b e a→-=-,则a = ,b = .解 因()0sin limcos 5x x xx b e a→-=-,而()0limsin cos 0x x x b →-=,则0lim 0x x e a →-=, 所以1a =,又0x →时,sin ,1x xx e x -,则()()000sin limcos lim cos limcos51x x x x x x x b x b x b x e →→→-=-=-=-,154b b -=⇒=-. 【例 1.6】 已知当0x →时,123(1)1ax +-与1cos x -是等价无穷小,则常数a = .解 由1230(1)1lim1,1cos x ax x→+-=-而1222ln(1)3112ln(1)2333220000(1)112limlim limlim1cos 1cos 32ax ax ax x x x x ax e a xx x x ++→→→→+--====--,故3.2a = 【例1.7】 (2004数二)设()()21lim1n n x f x nx →∞-=+,则()f x 的间断点为x = .解 ()()()22111limlim ,0110,0n n n x n x x f x xnx nx x →∞→∞⎧--=⋅=≠⎪=⎨++⎪=⎩而 ()001lim lim(0)x x f x f x→→===∞≠,故()f x 的间断点(无穷)为0x =.【例1.8】 设()1sin , 02, 0x x f x x a x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩,在0x =处连续,则a = . 解 要使()f x 在0x =处连续,应有()()0lim 0,x f x f a →==而()0001sin1122lim lim sin lim 222x x x xx f x x x →→→===, 所以12a =.(二)选择题 【例1.11】()1, 10,01x x f x x x --<≤⎧=⎨<≤⎩ ,则()0lim x f x →= [ ](A) -1 (B) 0 (C) 不存在 (D) 1. 解 ()0lim lim 0x x f x x →+→+==, ()()0lim lim 11x x f x x →-→-=-=-.因为()()0lim lim x x f x f x →+→-≠,所以()0lim x f x →不存在,故选 C.【例1.12】 下列结论正确的是 [ ] (A) 若1lim1n n na a +→∞=,则lim n n a →∞存在;(B) 若lim n n a A →∞=,则11lim lim1lim n n n n nn n a a A a a A ++→+∞→∞→∞===; (C) 若lim n n a A →∞=,若lim n n b B →∞=,则()lim n bB n n a A →+∞=;(D) 若数列{}2n a 收敛且()2210n n a a n --→→∞,则数列{}n a 收敛.解 (A)不正确,反例{}n a n =,(B)不正确,因为只有当lim 0n n a →∞≠时,才能运用除法法则:11lim lim lim n n n n nn n a a a a ++→+∞→∞→∞= ,(C)不正确,只有0A ≠时,()lim n b B n n a A →+∞=成立.故选 D.注意无穷大与有界量的乘积关系 【例1.13】 当0x →时,变量211sin x x是 [ ] (A) 无穷小; (C) 有界的,但不是无穷小量; (B) 无穷大; (D) 无界的,但不是无穷大量. 解 M ∀,1,22n x n ππ∃=+只要,2M n π⎡⎤>⎢⎥⎣⎦则()2,2n f x n M ππ=+> 所以211sin x x 无界.再令 12x k π=,()0,1,2,k =±±,则()20lim lim(2)x k f x k π→→∞=⋅ sin 20k π≡,故()lim x f x →∞≠∞.故选 D.趋向无穷大主要是最高次项 趋向无穷小主要是最低次项【例1.14】 当0x →时,下列4个无穷小关于x 的阶最高的是 [ ](A) 24x x + (B)1 (C)sin 1xx- (D)-解 242200lim lim(1)1x x x x x x→→+=+=,所以24x x +是x 的2阶无穷小. 当0x →111sin 22x x ,故(B )是x 的同阶无穷小. 311000sin 11sin 6lim lim lim k k k x x x x x x xx x xx ++→→→---==,要使极限存在2k =,故(C )是x 的2阶无穷小.0x x →→= 3001sin (1cos )1lim lim 24cos k k x x x x x x xx →→-==, 同理(D )是x 的3阶无穷小.故选D.指数函数的极限要注意方向【例1.15】(2005数二)设函数()111xx f x e-=-,则 [ ](A) 0x =,1x =都是()f x 的第一类间断点; (B) 0x =,1x =都是()f x 的第二类间断点;(C) 0x =是()f x 的第一类间断点,1x =是()f x 的第二类间断点; (D) 0x =是()f x 的第二类间断点,1x =是()f x 的第一类间断点. 解 因为()0lim x f x →=∞,则0x =是()f x 的第二类间断点;而()()11111111lim lim 0,lim lim 111xx x xx x x x f x f x ee++--→→→→--====---, 所以1x =是()f x 的第一类(跳跃)间断点,故选 D. (三)非客观题 求极限的各种方法(1) 用N ε-定义证明数列极限定义证明的关键是利用n x A ε-<倒推找正整数N (与ε有关),这个过程常常是通过不等式适当放大来实现.【例1.25】求证lim1n n→∞=. 证明 对0ε∀>,1ε-<成立,则需1-n n =n a n n +-<a nε=<只要1an n ⎡⎤>+⎢⎥⎣⎦,取1a N n ⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦,当n N >时,1ε<.证毕. 【例1.26】 设常数1,a >用N ε-定义证明lim 0!nn a n →∞=. 证明 对0ε∀>,要使0!na n ε-<成立,则需[]0!1[]([]1)[]1n a n a a a a a aa k n a a n a ε-⎛⎫⋅⋅⋅⋅-=<⋅< ⎪⋅⋅+⋅⋅+⎝⎭,(其中1[]a ak a ⋅⋅=⋅⋅)只要lg []lg[]1k n a a a ε>++,为保证0,N >取lg max 1,[]lg []1k N a a a ε⎧⎫⎡⎤⎪⎪⎢⎥⎪⎪⎢⎥=+⎨⎬⎢⎥⎪⎪⎢⎥+⎪⎪⎣⎦⎩⎭,当n N >时,有 0!na n ε-<,证毕. (2)通过代数变形求数列极限 逐项平方差【例1.27】求极限2421111lim(1)(1)(1)(1)2222nn →∞++++解 2421111lim(1)(1)(1)(1)2222n n →∞++++=2111(1)(1)(1)222lim n →∞-++2n 1(1+)211-22(1)12lim(1)22n n +→∞=-=平方差公式【例1.28】求极限lim )n n n →∞.解lim )nn n →∞n =limn →∞=limn =12=. 等比求和【例1.29】 求极限221112333lim 111555nn n →∞+++++++. 解 由等比数列的求和公式2(1)1n nq q q q q q-+++=-将数列变形,则221113211113213333lim lim 11111155551515n n n n n n →∞→∞-+⨯++++-=+++-⨯-112123lim 11145n x n →∞⎛⎫+- ⎪⎝⎭=⎛⎫- ⎪⎝⎭1221014+==. 分项求和【例1.30】 求[]31lim(21)2(23)3(25)n n n n n n →∞-+-+-++.解 []31lim (21)2(23)3(25)n n n n n n →∞-+-+-++()311lim 221nn k k n k n →∞==-+∑()23111lim 212n nn k k n k k n →∞==⎡⎤=+-⎢⎥⎣⎦∑∑()()()()32111211lim 226n n n n n n n n →∞++++⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦()()312111lim63n n n n n →∞++==.拆分原理【例1.31】 求极限2111lim()31541n n →∞+++-.解 因为()()1111212122121n n n n ⎛⎫=-⎪-+-+⎝⎭,则 2111lim()31541n n →∞+++-111111lim [(1)()()]23352121n n n →∞=-+-++--+ 111lim (1)2212n n →∞=-=+. 求和后拆分【例1.32】 求极限111lim(1)1212312n n→∞+++++++++.解 111lim(1)1212312n n→∞+++++++++(由等差数列的前n 项和公式)222lim 12334(1)n n n →∞⎡⎤=++++⎢⎥⨯⨯+⎣⎦ (逐项拆分) 111111lim 12()23341n n n →∞⎡⎤=+-+-++-⎢⎥+⎣⎦2lim 221n n →∞⎛⎫=-= ⎪+⎝⎭(3)利用夹逼准则求数列极限 【例1.33】求lim n解 11111n n ≤+<+,而1lim(1)1n n→∞+=,∴ 由夹逼准则得 lim 1n →∞=. 掌握扩大和缩小的一般方法 【例1.34】 求22212lim()12n nn n n n n n n →∞+++++++++. 解212n n n n +++++2221212nn n n n n n n<+++++++++2121n n n +++<++ 且 2121lim,2n n n n n →∞+++=++ 2121lim 21n n n n →∞+++=++, 由夹逼准则得 22212lim()12n nn n n n n n n →∞+++++++++=12. 【例1.35】 求极限226n nn →∞++.解≤≤,则2221nnnk k k===≤≤且 22111limlim 3nnn nk k →∞→∞====,由夹逼准则得原式21lim3nn k→∞===.以下两题了解一下即可 【例1.36】 证明 1;1(0)n n a ==>证明 1) 1n h =+,则22(1)(1)(1)122n nn n n n n n n n n n h nh h h h --=+=+++>,即 0n h <<由夹逼准则 lim 0,n n h →∞=从而lim(1) 1.n n n h →∞=+=2)当1a >时,0<<由夹逼准则1n =;当01a <<,令11b a=>,则lim lim 1n n →∞→∞==,从而1(0).n a =>注 【例1.36】的结果以后直接作为结论使用. 【例1.37】 求极限nk n a ++.(12,,,0k a a a >,k N ∈)解 记{}12max ,,,k aa a a =,则nk a≤++≤.且,n n n a a a ==⋅=,由夹逼准则得{}12max ,,,nk k n a a a a a ++==.(4)利用单调有界准则求数列极限给出前后项的关系,证明其单调,有界,设出极限解方程数列单调性一般采用证明110,1,nn n n x x x x ---≥≥或函数的单调性;数列的有界性方法比较灵活.【例1.38】 求lim n n a a a a →∞++++个根号.解 设n x a =++,则12x x ==…,n x =,从而 1n nx x -<,数列{}n x 单调增加;又n x =,21n nx a x -=+,111n n n n x a x x x -=+<+=,数列有上界,故{}n x 有极限.不妨设lim n n x A →∞=,将21n n x ax -=+两边取极限,有2A a A =+,故12A ±=【例1.39】 求33n .(共有n 个根号)解 设33n x =,显然1n n x x ->,{}nx单调增加;且1n x x =2x =3n x <,{}n x 有上界,所以数列极限存在.不妨设lim n n x A →∞=,将213n n x x -=两边取极限,有23A A =,则()3,0A A ==舍.【例1.40】 设2110,0,,1,2,2n n nx aa x x n x ++>>==,证明数列{}n x 收敛,并求极限.解 2102nn n na x x x x +--=≤,数列{}n x 单调递减;且21122n n n n n x a a x x x x +⎛⎫+==+ ⎪⎝⎭≥=,{}n x 有界,所以数列{}n x 收敛.令lim n n x A →∞=,对212n n nx a x x ++=两边取极限,有12a A A A ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,则A =. (5)利用无穷小的性质求数列极限 【例1.41】 求下列极限(1)(2)题的方法化为指数形式常用,(3)要说明无穷小乘有界量为无穷小 (1) lim 1)(0)n n a →∞-> (2)1121lim (33)n n n n +→∞- (3)2lim 1n nn →∞+解 (1)当1ln 11ln a nn e a n→∞-时, ,则 1ln lim 1)lim (1)a nn n n n e→∞→∞-=-1lim ln ln n n a a n→∞=⋅=(2)当n →∞时, 1ln 331nn-(n+1)(n+1),则11112211lim (33)lim3(31)nnn n n n n n ++→∞→∞-=-(n+1)121ln 3lim 3lim ln 3n n n n n+→∞→∞⋅=⋅=(n+1)(3)因为0n →∞=,而sin 1n ≤,由于无穷小与有界函数的乘积仍为无穷小,所以2lim 01n nn →∞=+ 注 limsin n n →∞不存在,故不能写成lim sin 0n n n n →∞→∞→∞=⋅=. 综合题了解一下即可【例1.42】 求())()22211131lim arctan !22311n n nn n n n →∞⎡⎤⎛⎫+⨯-+++⎢⎥ ⎪ ⎪⨯--⎢⎥⎝⎭⎣⎦. 解()arctan !2n π≤,()221=()2limarctan !0n n →∞∴=,有界量乘无穷小()1111lim lim 112231n n n n n →∞→∞⎡⎤⎛⎫+++=-=⎢⎥ ⎪⨯-⎝⎭⎣⎦,拆分求和2231lim 31n n n →∞+=-, 则 ()2211131lim 322311n n n n n →∞⎡⎤++++=⎢⎥⨯--⎣⎦ )()222131lim arctan !lim 1lim 1n n x n n n n n →∞→∞→∞+⎛⎫⎡⎤-- ⎪⎢⎥⎣⎦-⎝⎭故原式= 033=-=-.两极限都存在用四则运算法则注利用函数极限求数列极限见第三章;利用定积分定义求数列极限见第六章; 利用级数收敛的性质求极限见第十一章. 3.函数的极限(1)用εδ-定义或X ε-定义证明极限用εδ-定义证明函数极限关键是用倒推法适当放缩找到0x x -与ε的关系,确定()δε;而X ε-定义证明函数极限关键是用倒推法适当放缩找到x 与ε的关系,确定()X ε.【例1.43】 证明 22lim 4x x →= 此题典型要搞清楚自变量的约束范围的确定证明 对于0ε∀>,不妨设21,x -<则222225,x x x +≤+<-++< 要使242252x x x x ε-=+⋅-<⋅-<,只要取min{1,}5εδ=,当02x δ<-<时,有24x ε-<.证毕.注 函数在0x 的极限只与函数在0(,)U x δ的定义有关,与函数的整个定义范围无关.因此上例作了假设2 1.x -<也可假设122x -<等. 【例1.44】 用X ε-定义证明:232lim .33x x x →∞+=证明 对于0ε∀>,要使2322321333x x x x x xε++--==<,只要1.x ε>故取11,X ε=+当x X >时,均有23233x x ε+-<,即232lim .33x x x →∞+=(2)用极限存在的充要条件研讨极限 含有,xxe e-的表达式x →∞的极限;含有[]11,,,xxe e x x -的表达式0x →的极限;分段函数在分段点的极限,一般来说用极限存在的充要条件讨论.注意指数函数的极限,一般要考虑两边趋势【例1.45】 讨论极限 lim x xx xx e e e e --→∞-+.解 221lim lim 11x x x xx x x x e e e e e e --→-∞→-∞--==-++; 221lim lim 11x x xx x x x x e e e e e e--→+∞→+∞--==++. 所以 lim x xx xx e e e e --→∞-+不存在.【例1.46】 求1402sin lim 1x x x e x x e →⎡⎤+⎢⎥+⎢⎥+⎢⎥⎣⎦. 解 1402sin lim 1x x x e x x e +→⎡⎤+⎢⎥+⎢⎥⎢⎥+⎣⎦43402sin lim 0111x xx xe e x x e +--→-⎡⎤+⎢⎥=+=+=⎢⎥⎢⎥+⎣⎦; 1402sin lim 2111x x x e x x e -→⎡⎤+⎢⎥-=-=⎢⎥⎢⎥+⎣⎦; 所以 1402sin lim 1x x x e x x e →⎡⎤+⎢⎥+⎢⎥+⎢⎥⎣⎦1=. 【例1.47】 []x 表示不超过x 的最大整数,试确定常数a 的值,使[]210ln(1)lim ln(1)x x x e a x e →⎧⎫+⎪⎪+⎨⎬⎪⎪+⎩⎭存在,并求出此极限.解 由[]x 的定义知,[][]0lim 1,lim 0,x x x x -+→→=-=故所给极限应分左、右极限讨论. []22211110000ln(1)ln(1)lim lim lim lim .ln(1)ln(1)x x x x x x x x x x xe e e a x a a e a a e e e ----→→→→⎧⎫++⎪⎪+=-=-=-=-⎨⎬⎪⎪++⎩⎭[]222211110002ln(1)ln(1)ln (1)lim lim 0lim 01ln(1)ln (1)ln(1)x xxxx x x x x x xe e e e x a x e e e e x+++--→→→--⎧⎫+++⋅+⎪⎪+=+=+⎨⎬⎪⎪+⋅+++⎩⎭212ln(1)lim 21ln(1)xx xe e +-→-++==++.所以,当2a =-时所给极限存在,且此时极限为2.【例1.48】设21,1,()23, 1.x f x x x x ⎧≥⎪=⎨⎪+<⎩试求点1x =处的极限.解 211(10)lim ()lim(23)5x x f f x x --→→-==+=; 111(10)lim ()lim 1x x f f x x++→→+===; 即(10)(10)f f -≠+,1lim ()x f x →∴不存在.(3)通过代数变形求函数极限 【例1.49】求下列极限(1)22232lim 2x x x x x →-+++- (2)422123lim 32x x x x x →+--+ (3)11lim ,()1n x x n Z x +→-∈- 解 (1)原式222(1)(2)(1)(2)limlim (1)(1)(1)(11)x x x x x x x x x x →-→-++++==-+--++211lim.13x x x →-+==-(2)原式22211(1)(3)(1)(3)limlim 8.(2)(1)2x x x x x x x x x →→-+++===---- (3)原式121(1)(1)lim1n n x x x x x x --→-++++=- (提零因子)121lim(1)n n x xx x n --→=++++=.注 分子分母都为0必有共同的0因子① 因为分母极限为零,所以不能直接用计算法则; ② 当0x x →时,0x x ≠. 【例1.50】求下列极限注意多项式商的三种形式的规律0x x x a →∞→→,,,最高项,最低项,零因子(1)247lim 52x x x x x →∞-+++ (2)()()()3020504192lim 61x x x x →∞++- (3) 3225lim 34x x x x →∞-++解(1)原式234341170lim 0.5211x x x x x x→∞-+==++(2)原式3020501249lim 16x x x x →∞⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⎛⎫- ⎪⎝⎭1030205049263⋅⎛⎫== ⎪⎝⎭. (3)3225lim 34x x x x →∞-=∞++ (因为2334lim 025x x x x →∞++=-) 注 x →∞时有理函数求极限,分子、分母同时除以x 的最高幂次.即抓“大头”.综合题也可直接用结论 0101101,lim0,,m m m n n x n a n m b a x a x a n m b x b x b n m --→∞⎧=⎪⎪+++⎪=>⎨+++⎪∞<⎪⎪⎩. 【例1.51】求下列极限了解共轭因式,尤其是N 方差公式 (1))0lim 0x aa +→>. (2)0x → (3)limx解 ⑴原式0lim x a+→=limx a+→=lim x a+→==⑵ 原式=2x x →x →=32=⑶ 原式2limx=2123lim 1x --==.(4)利用两个重要极限求极限利用0sin lim 1x x x →=,1lim 1nn e n →∞⎡⎤+=⎢⎥⎣⎦求极限,则有0sin 1lim 1,lim(1)e →→∞=+=(此两式中的形式必须相同).【例1.52】 求下列极限 (1)201cos limx xx →-)(2)22sin sin lim x a x a x a→--(3)31lim sin ln(1)sin ln(1)x x x x→∞⎡⎤+-+⎢⎥⎣⎦解 (1)原式22200212sin sin1222limlim 2()2x x x xx x →→==.(2)原式()()sin sin sin sin limx ax a x a x a→-+=-()2limsin cos sin sin 22x a x a x a x a x a →-+=+-()sin2limcos sin sin 22x a x ax a x a x a →-+=⋅+-1cos 2sin sin 2a a a =⨯⨯=. (3)3lim sin ln(1)x x x →∞+ 3sin ln(1)33lim ln(1)0 limln(1)3ln(1)x x x x x x x→∞→∞++=⋅++ 33333lim ln 1ln lim[(1)]3x x x x x x⋅→∞→∞⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭同理 1lim sin ln(1)1x x x→∞+=,所以 31lim sin ln(1)sin ln(1)x x x x →∞⎡⎤+-+⎢⎥⎣⎦312=-=.【例1.53】 求下列极限 趋向常数的极限通常会做变量替换 (1)1lim(1)tan2x xx π→- (2)22sin lim1x xx ππ→- 解 (1)令1,t x =-则 原式02lim tan()lim cotlimlim222tan22t t t t ttt tt t ttππππππ→→→→=⋅-=⋅===(2) 令,x t π=-则原式2222200002sin()sin sin lim lim lim lim .()2(2)221t t t t t t t t t t t t t ππππππππππ→→→→-====----- 【例1.54】 求下列极限(1)32lim 22xx x x →∞-⎛⎫ ⎪-⎝⎭ (2)cot 0lim tan 4xx x π→⎡⎤⎛⎫- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦解 (1)原式1222111lim 1lim 11222222x xx x x x x --→∞→∞⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+⋅+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦1e e =⋅=(2)原式11tan t 001tan 1t lim()lim()1tan 1t x x t x x →→--==++122t 102t lim(1)1tt t t +-⋅-+→-=++02lim1122t02tlim(1)1t t ttt e →-++--→⎡⎤-=+=⎢⎥+⎣⎦.注 1∞型极限的计算还可用如下简化公式:设(),(),u u x v v x ==且lim 1,lim u v ==∞,则lim(1)lim .u vvu e-=(因为 (1)1lim(1)1lim lim [1(1)]u vu vvu u u e---⎧⎫⎪⎪=+-=⎨⎬⎪⎪⎩⎭)和ln lim lim .v v uu e=【例1.55】 求下列极限 (1)lim hx kx ax b ax c +→∞+⎛⎫⎪+⎝⎭(2)1sin sin 20cos lim cos 2x xx x x →⎛⎫⎪⎝⎭解 (1) 原式=()()lim 1lim x x ax b b c hx k hx k ax c ax c e e→∞→∞+-⎛⎫⎛⎫-++ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭=()b c hae-=(2) 原式22000cos 1cos cos 211cos cos 2lim 1lim limcos 2sin sin 2cos 2cos 222x x x x x x x xxx xx xxx eee→→→--⎛⎫⎛⎫-⋅⎪⎪⎝⎭⎝⎭===2222220011(2)1cos 21cos 322lim []lim []22224x x x x x xx x x xeee →→----===.(5)利用函数的连续性求极限① 设()f x 在x a =连续,按定义则有 lim ()()x af x f a →=.因此对连续函数求极限就是用代入法求函数值.② 一切初等函数在它的定义域上连续.因此,若()f x 是初等函数,a 属于它的定义域,则lim ()()x af x f a →=.③ 设lim ()x ag x A →=,若补充地定义()g a A =,则()g x 在x a =连续.若又有()y f u =在u A =连续,则由复合函数的连续性得 lim (())(lim ())()x ax af g x f g x f A →→==.【例1.56】 求下列极限(1)3225lim243x x x x →+++ (2)3x →解 利用函数的连续性得 (1)332252251lim243224233x x x x →+⨯+==++⨯+⨯+,(2)x →==(6)利用无穷小的性质求极限常用的几个重要等价无穷小代换(当0→x 时)有: sin arcsin tan arctan 1ln(1)x xx x x xe x -+x cos 1-~22x , 1-xa ~)0(ln >a a x , )1(log x +α~ln x a.1)1(-+αx ~x α(α为任意实数), 3tan sin ,2x x x -3sin .6x x x - 利用等价无穷小代换时,通常代换的是整个分子、分母或分子、分母的因子. 【例1.57】求下列极限(1)201lim sin 3x x e x →- (2)cos 0lim sin x x e e x x →- (3)0x →解 (1)当0x →时,212,sin 33xex x x -,∴200122limlim sin 333x x x e x x x →→-==. (2)当0x →时,1cos 0x -→,1cos 11cos xex -∴--.原式cos 1cos 1cos cos 22000(1)(1)lim lim lim x x x xx x x e e e e x x--→→→--==⋅20(1cos )1lim2x x x→-==(因为当210,1cos 2x x x →-). (3)原式0x →=0x x →→=012x →=201112lim 1222x xx x →==⋅.【例1.58】 已知()0ln 1sin lim 231x x f x x →⎡⎤+⎢⎥⎣⎦=-,求()20lim x f x x →. 解 由()0lim 310x x →-=及()0ln 1sin lim 231x x f x x →⎡⎤+⎢⎥⎣⎦=-,必有()0limln 10sin x f x x →⎡⎤+=⎢⎥⎣⎦, 所以 ()ln 1sin f x x ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦~()sin f x xln3311x x e -=-~ln 3x 原式()0sin lim ln 3x f x x x →=()201lim ln 3sin x f x x x x →=⋅ ()201lim ln 3x f x x→==2,则 ()2lim2ln 3x f x x→=.【例1.59】 求 30sin tan limsin x x xx→- 解 原式33001sin (1)sin (cos 1)cos limlim sin cos sin x x x x x x x x x →→--==⋅23001()1lim lim cos 22x x x x x x→→⋅-=⋅=-⋅.注 3300sin tan limlim 0.sin sin x x x x x xx x→→--≠= 【例1.60】 求 213sin 2sin lim x x xx x→∞+解 213sin 2sin lim x x xx x→∞+=13sin 1lim2lim sin 1x x x x x x→∞→∞+, 1sin1lim1;lim 0,sin 1,1x x x x x x→∞→∞==≤ 则1lim sin 0x x x →∞=, ∴原式=303+=.(7)利用其它方法求极限① 利用导数定义求极限(见第二章) 利用导数定义=')(0x f 00)()(limx x x f x f x x --→可以将某些求极限问题转化为求导数;② 利用罗必达法则(详见第三章); ③ 利用微分中值定理(详见第三章); 【例1.61】 设()()00,0f f '=存在,求()limx f x x→. 解 因为()()00,0f f '=存在,所以()0limx f x x →()()()00lim 0x f x f f x→-'== *【例1.62】 求lim x→+∞解 令()f t =,显然当0x >时,()f t 在[,1]x x +上满足拉格朗日中值定理,所以有,()()()()f b f a f b a ξ'-=⋅-.所以,原式=cos ξ 其中1x x ξ≤≤+故lim lim cos 0x ξξ→+∞→+∞==4.函数的连续性(1)函数的连续性与间断点的讨论【例1.63】 设()2,0sin ,0a bx x f x bx x x⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩在点0x =处连续,求常数a b 与的关系.解 ()00sin sin lim lim lim x x x bx bx f x b b x bx+++→→→==⋅= ()()200lim lim x x f x a bx a --→→=+=. 因为函数在点0x =连续,所以()0lim x f x +→b =()0lim x f x a -→==,故a b =. *【例1.64】 设()2122lim 1n n n x ax bxf x x +→∞++=+,当,a b 取何值时,()f x 在(),-∞+∞处连续.解 ()2,1,11,121,12a bx x x x ab f x x a b x ⎧+ <⎪>⎪⎪--=⎨=-⎪⎪++⎪=⎩,由于()f x 在()()(),1,1,1,1-∞--+∞上为初等函数,所以是连续的,只要选取适当的,a b ,使()f x 在1x =±处连续即可. 即11lim ()lim ()(1)x x f x f x f -+→→==; ()()()11lim lim 1x x f x f x f -+→-→-==-. 得 1011a b a a b b +==⎧⎧⇒⎨⎨-=-=⎩⎩. 【例1.65】 研究函数(),111,11x x f x x x -≤≤⎧=⎨<->⎩或的连续性,并画出函数的图形.解 ()f x 在(),1-∞-与()1,-+∞内连续, 在1x =-处间断,但右连续,因为在1x =-处,()()11lim lim 11x x f x x f ++→-→-==-=-,但()11lim lim 11x x f x --→-→-==,即()()11lim lim x x f x f x +-→-→-≠.【例1.66】 指出函数22132x y x x -=-+的间断点,说明这些间断点的类型.解 ()22132x f x x x -=-+在1x =、2x =点没有定义,故1x =、2x =是函数的间断点.因为 ()()()()2211111lim lim3212x x x x x x x x x →→-+-=-+--11lim 22x x x →+==--,所以1x =为第一类可去间断点.因为2lim x y →=∞,所以2x =为第二类无穷间断点.【例1.67】 讨论函数()221lim 1nnn x f x x →∞-=+的连续性,若有间断点,判别其类型.解 ()22 11lim0 1 1 1nnn x x x f x x x x x →∞⎧->⎪-===⎨+⎪<⎩, ()11lim lim 1x x f x x ++→→=-=-,()11lim lim 1x x f x x --→→==,()()11lim lim x x f x f x +-→→≠; ()11lim lim 1x x f x x ++→-→-==-,()11lim lim 1x x f x x --→-→-=-=,()()11lim lim x x f x f x +-→-→-≠.故 1x =±为第一类跳跃间断点.(2)闭区间上连续函数的性质【例1.68】 证明方程3910x x --=恰有三个实根. 证明 令()391f x x x =--,则()f x 在[]3,4-上连续,且()()310,290,f f -=-<-=> ()()010,4270f f =-<=>所以()f x 在()()()3,2,2,0,0,4---各区间内至少有一个零点,即方程3910x x --=至少有三个实根. 又它是一元三次方程,最多有三个实根.证毕【例1.69】 若n 为奇数,证明方程110n n n x a x a -+++=至少有一个实根.证 令()11n n n f x x a x a -=+++,则()1(1)nnn a a f x x xx=+++, 于是 lim (),lim ()x x f x f x →-∞→+∞=-∞=+∞,故存在1,x 使()10f x A =>;存在2,x 使()20f x B =<.所以()f x 在[]12,x x 至少有一个零点,即方程至少有一个实根.【例1.70】 设()f x 在[],a b 上连续,且()(),f a a f b b <>,试证:在(),a b 内至少有一点ξ,使得()fξξ=.证 令()()F x f x x =-,()F x 在[],a b 连续,且()0,()0,F a F b <>由介值定理得在(),a b 内至少存在一点ξ,使得()0F ξ=,即()fξξ=.【例1.71】 设()f x 在[]0,2a ()0a >上连续,且()()02f f a =,求证存在()0,a ξ∈,使()()ff a ξξ=+.证 构造辅助函数()()()g x f x a f x =+-,则()()()00g fa f =-,()()()2g a f a f a =-()()0f a f =--⎡⎤⎣⎦()0g =-,即()0g 与()g a 符号相反,由零点存在定理知存在()0,a ξ∈,使()0g ξ=,即()()ff a ξξ=+.【例1.72】 设()f x 在[],a b 上连续,且a c d b <<<,证明:在[],a b 内至少存在一点ξ,使得()()()()pf c qf d p q f ξ+=+,其中,p q 为任意正常数.证()f x 在[],a b 上连续,∴ ()f x 在[],a b 上有最大值M 和最小值m ,则()m f x M ≤≤.由于,[,]c d a b ∈,且,0p q >,于是有(),()pm pf c pM qm qf d qM ≤≤≤≤.⇒ ()()()()p q m pf c qf d p q M +≤+≤+, ⇒()()pf c qf d m M p q+≤≤+.由介值定理,在[],a b 内至少存在一点ξ,使得()()()pf c qf d f p qξ+=+,即()()()()pf c qf d p q f ξ+=+ 5.综合杂例【例1.73】 已知lim 2003,(1)ab bn n n n →∞=--求常数,a b 的值.解 lim lim lim 11(1)[1(1)](1)1aaa bbb n n n b b b n n n n n n n n-→∞→∞→∞-==------ 1lim lim 1a b a b n n n n bb n--+→∞→∞-==- 为使极限为2003,故10,a b -+=且12003,b =所以12002,.20032003b a ==- 【例1.74】 已知221lim2,sin(1)x x ax bx →++=-求常数,a b 的值. 解 由221lim 2,sin(1)x x ax bx →++=-则分子的极限必为0,即21lim()0x x ax b →++=, 从而 10a b ++=;另一方面,当1x →时,22sin(1)1x x --,因此2222221111lim lim 10lim sin(1)11x x x x ax b x ax b x ax a a b x x x →→→+++++--=++=--- 1(1)(1)lim2(1)(1)x x x a x x →-++==-+,从而11211a ++=+,即2,a =又10a b ++=, 得 3.b =【例1.75】已知lim ())0,x ax b →+∞+=求常数,a b 的值.解lim ())lim ())0,x x bax b x a x→+∞→+∞-+=+=而lim ,x x →+∞=∞要使原式极限为0,则lim()0,x ba x→+∞-+=所以 1.a =1lim )lim )lim.2x x x b ax x →+∞→+∞=-===【例1.76】 若 30sin 6()lim 0,x x xf x x →+=求206()lim .x f x x→+ 解 因为30sin 6()lim0,x x xf x x→+=由极限存在与无穷小的关系,得 3sin 6()0,x xf x x α+=+其中0lim 0.x α→=从而 2236()6sin 6,f x xx x x α+=-+ 所以 32233300006()6sin 66sin 6(6)lim lim()lim lim 366x x x x f x x x x x x x x x xα→→→→+-=-+=== 【例1.77】 已知0()lim4,1cos x f x x →=-求10()lim 1.xx f x x →⎛⎫+ ⎪⎝⎭解 因为200()2()limlim 4,1cos x x f x f x x x→→==-则20()lim 2x f x x →=.从而 221()()lim()200()()lim 1lim 1x x f x f x xf x x x x x f x f x e e x x →⋅→→⎛⎫⎛⎫+=+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭注 此题也可用极限存在与无穷小的关系求解.【例1.78】 当0x →x 的几阶无穷小量. 解3255x-=则203limx xx→→==∴x 的23阶无穷小.三、综合测试题。

高等数学(电子版)

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高等数学(电子版)第一章函数与极限1.1 函数的概念函数是数学中最基本的概念之一,它描述了两个变量之间的依赖关系。

在高等数学中,我们主要研究实数集上的函数,即定义域和值域都是实数集的函数。

1.2 函数的性质函数具有许多重要的性质,如单调性、奇偶性、周期性等。

这些性质有助于我们更好地理解和分析函数的行为。

1.3 极限的概念极限是研究函数在某一点附近行为的一种方法。

当我们讨论一个函数的极限时,我们关注的是当自变量趋近于某个特定值时,函数值的变化趋势。

1.4 极限的运算法则极限运算法则是指对于一些基本函数的极限,我们可以通过简单的运算得到它们的极限。

这些运算法则包括极限的四则运算、复合函数的极限、数列的极限等。

1.5 无穷小与无穷大无穷小与无穷大是描述函数极限的两种特殊情况。

无穷小是指当自变量趋近于某个特定值时,函数值趋近于0;无穷大是指当自变量趋近于某个特定值时,函数值趋近于正无穷大或负无穷大。

1.6 连续性与间断点连续性是函数的一个重要性质,它描述了函数在某一点附近的行为。

如果一个函数在某个点连续,那么它在该点附近的极限存在且等于该点的函数值。

间断点是函数不连续的点,它们在函数图像上表现为跳跃或断开。

第二章导数与微分2.1 导数的概念导数是描述函数在某一点附近变化率的一种方法。

它表示了函数在该点的斜率,即函数图像在该点的切线斜率。

2.2 导数的运算法则导数运算法则是指对于一些基本函数的导数,我们可以通过简单的运算得到它们的导数。

这些运算法则包括导数的四则运算、复合函数的导数、幂函数的导数等。

2.3 高阶导数高阶导数是指函数的导数的导数。

它们描述了函数在某一点附近更复杂的变化率。

高阶导数在研究函数的凹凸性、拐点等方面具有重要意义。

2.4 微分的概念微分是导数的一种应用,它描述了函数在某一点附近的微小变化。

微分运算可以用来求解一些实际问题,如曲线的切线问题、最值问题等。

2.5 微分的应用微分在物理学、工程学等领域有广泛的应用。

高数第一章 函数与极限

高数第一章 函数与极限

第一章函数与极限初等数学的研究对象基本上是不变的量,而高等数学的研究对象则是变动的量,所谓函数关系就是变量之间的依赖关系,极限方法是研究变量的一种基本方法,本章将介绍映射、函数、极限和函数的连续性等基本概念,以及它们的一些性质。

一、本章主要内容:1、数列极限的定义,函数极限的定义,函数的左右极限。

2. 极限的性质,函数的极限与其左右极限的关系,极限的唯一性,局部有界性,保号性。

3. 无穷小和无穷大的概念、性质极其运算、无穷小的比较。

4.极限的四则运算、复合运算、等价无穷小代换。

5.极限存在的两个准则与两个重要极限,(1)单调有限准则,重要极限(2)夹逼准则,重要极限6.函数的连续性概念和间断点的类型7.闭区间上连续函数的性质:最大(小)值定理、有界性定理、零点定理、介值定理。

二、内容提要框图三本章重点1. 正确理解函数与复合函数的概念,掌握基本初等函数的性质及图象.2. 建立极限概念与理解ε-N方法, 函数极限的概念与ε-δ方法3. 无穷小的概念与性质4. 单调有界法则与两个重要极限及其应用5. 初等函数的连续性及其应用四本章难点1. 反函数概念,由实际问题建立函数关系式与求分段的复合函数的关系式.2. ε-N, ε-δ极限定义证明法3. 理解无穷小,无穷小与任意小、充分小、很小的数的区别4. 两个重要极限公式,分清各公式的特点及适用时机.5. 闭区间上连续函数的几条性质.第一节映射与函数学习指导1.教学目的读者应理解集合、映射的概念;理解函数概念,了解函数的有界性、单调性、奇偶性和周期性,了解反函数概念。

2.基本练习会求函数的定义域,会求函数的反函数。

会判断函数的有界性、单调性、奇偶性和周期性;熟练掌握基本初等函数的图形和性质。

会把复合函数分解成基本初等函数的组合。

3.应注意的事项本节内容大多数中学阶段已经学过,此处为了教学方便,将中学阶段的内容加以归纳,扩充,提高。

学生可根据自己的知识结构进行复习、有重点地学习,对教材上的练习题,先阅读题目,再适当选做部分练习题。

高等数学定理

高等数学定理

数学基础知识总结第一部分高数第一章函数与极限1、函数的有界性在定义域内有f(x)≥K1则函数f(x)在定义域上有下界,K1为下界;如果有f(x)≤K2,则有上界,K2称为上界。

函数f(x)在定义域内有界的充分必要条件是在定义域内既有上界又有下界。

2、函数的单调性、奇偶性、周期性(指最小正周期)3、数列的极限定理(极限的唯一性) 数列{xn}不能同时收敛于两个不同的极限。

定理(收敛数列的有界性)如果数列{xn}收敛,那么数列{xn}一定有界。

如果数列{xn}无界,那么数列{xn}一定发散;但如果数列{xn}有界,却不能断定数列{xn}一定收敛,例如数列1,-1,1,-1,(-1)n+1…该数列有界但是发散,所以数列有界是数列收敛的必要条件而不是充分条件。

定理(收敛数列与其子数列的关系)如果数列{xn}收敛于a,那么它的任一子数列也收敛于a。

●如果数列{xn}有两个子数列收敛于不同的极限,那么数列{xn}是发散的,如数列1,-1,1,-1,(-1)n +1…中子数列{x2k-1}收敛于1,{xnk}收敛于-1,{xn}却是发散的;同时一个发散的数列的子数列也有可能是收敛的。

4、函数的极限函数极限的定义中0<|x-x0|表示x≠x0,所以x→x0时f(x)有没有极限与f(x)在点x0有没有定义无关。

定理(极限的局部保号性)如果lim (x→x0)时f(x)=A,而且A>0(或A<0),就存在着点那么x0的某一去心邻域,当x在该邻域内时就有f(x) >0(或f(x) >0),反之也成立。

●函数f(x)当x→x0时极限存在的充分必要条件是左极限右极限各自存在并且相等,即f(x0-0)= f(x 0+0),若不相等则lim f(x)不存在。

●一般的说,如果lim(x→∞)f(x)=c,则直线y=c是函数y= f(x)的图形水平渐近线。

如果lim(x →x0)f(x)=∞,则直线x=x0是函数y= f(x)图形的铅直渐近线。

大学高数第一章函数和极限

大学高数第一章函数和极限

x1
x1
x1
x1
3lim x2 2 lim x 1
x1
x1
312 2 11 2
可见,上例求极限,可以直接用定理 1.1 中的(1).
只须将 x x0 之 x0 代入函数中的 x 处运算即可。
例 求 limx(x 2) x2 x2 1
解:lx im 2 x(xx2 12)
limx(x2) xl i2m (x2 1)
必经过点(0,1)
f(x)log2 x
f (x)log0.5 x
正弦、余弦函数基本性质
解析式: ysinx/cosx
基本特征:定义域为实数集R,值域为[-1,1],最小正
周期T为 2
正切、余切函数基本性质
解析式: ytanx/cotx
基本性质:正切函数定义域为 {x|x2k,,余kZ}
医用高等数学
第1章 函数和极限
1.1 函数 1.1.1函数的概念
定义 1.1 设 X ,Y 是非空数集,对于集合 X 中的任意一个数 x , 在集合 Y 中均有确定值 y 与其对应,则称 y 是 x 的函数,记为:
y f (x) ,其中 x 称为自变量, y 称为因变量,
其中,集合 X 称为定义域,集合 Y 称为值域。
无界的。
如:函数 y sin x ,在 ,内有界,且:| y | 1
1.1.3复合函数
定义 1.2 如变量 y 是变量 u 的函数,变量 u 又是 变量 x 的函数,即: y f (u), u (x) , 且 u (x) 的值域与 y f (u) 的定义域有公共部分, 则称 y 是 x 的复合函数,记作: y f [(x)]
例 讨论函数 f (x) | x | 当 x 0 时的极限. x

高等数学-第一章-函数与极限-函数的极限-同济大学

高等数学-第一章-函数与极限-函数的极限-同济大学
f (x) A ,
经过不等式的变形, 得到关系
f (x) A M x x0 ,
其中 M是一个与x无关的常量. 再取 , 则当
0 x x0 时, 有:
M
f (x) A M x x0 ,
此即说明 lim f (x) A. x x0
例1 证明下列极限
⑴ lim(2x 1) 5; x2
xn
是函数 f
x
xx0
定义域中的一个任意数列,
xn
x0 ,

lim
n
xn
x0,
则相应的数列 f xn 收敛, 且
lim
n
f
(xn )
lim
x x0o
f
(x).
o

设 lim f (x) A, xx0
则存在U (x0, ), 当x U (x0, ), 有
f (x) A ,
o
又因
lim
n
x
证令
xn
1,
1
2n
2
yn
1
2n
,

lim
n
xn
lim
n
yn
0,
且 xn
0, yn , 0,

lim
n
f
(xn )
1, lim n
f
( yn )
0,
所以 lim sin π 不存在.
x0
x
对于数列, 相应的归并性定理为
定理
设数列
lim
n
xn 存在,
则对于
xn
的任一子列(xnk )

lim
2x 2(x2 1)
1 x

高等数学第一章:函数与极限

高等数学第一章:函数与极限

第一章:函数与极限第一节:函数1、函数的性质:单调性,有界性(包括有界与无界),奇偶性,周期性。

(重点在于单调性与奇偶性)单调性:)()(,,212121x f x f x x X x x <⇒<∈∀单调增加。

)()(,,212121x f x f x x X x x >⇒<∈∀单调减少 有界性:M x f X x M ≤∈∀>∃)(,,0 无界性:M x f X x M >∈∃>∀)(,,0奇偶性:)()(x f x f -=偶,)()(-x f x f -=奇。

奇函数如果连续则一定经过0点,值为0周期性:)()(T x f x f +=,注意,a T x f a x f ++=+)()(, 如果)()(b ax f x f +=,T 为)(x f 的周期,则周期为aT第二节:极限1、数列极限定义:εε<->>∃>∀⇔=∞→A x N n N A x n n n ,,0,0limM x N n N M x n n n >>>∃>∀⇔∞=∞→,,0,0lim性质:1) 唯一性:收敛数列极限唯一 2) 有界性:收敛数列必有界3) 子数列收敛:注意震荡数列并不是,一个数列收敛,则它的所有子数列都收敛。

4) 保号性:A x n n =∞→lim ,当A>0时,存在从某个N 开始,n x > 0.5) 有序性: n n y x ≤,则n n n n y x ∞→∞→≤lim lim 。

四则运算:1) b a y x n n n +=+∞→)(lim2) b a y x n n n ⋅=⋅∞→)(lim3) bay x n n n =∞→)(lim ,(b ≠0) 2、函数极限定义:εε<->>∃>∀⇔=∞→a x f X x X a x f x )(,0,0)(lim 时,当εδδε<-<-<>∃>∀⇔=→a x f x x a x f x x )(0,0,0)(lim 00,当性质:1) 唯一性,左极限等于右极限。

(完整版)高等数学笔记

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第一章 函数、极限和连续§1.1 函数一、 主要内容 ㈠ 函数的概念1. 函数的定义: y=f(x), x ∈D定义域: D(f), 值域: Z(f).2.分段函数: ⎩⎨⎧∈∈=21)()(D x x g D x x f y3.隐函数: F(x,y)= 04.反函数: y=f(x) → x=φ(y)=f -1(y)y=f -1(x)定理:如果函数: y=f(x), D(f)=X, Z(f)=Y 是严格单调增加(或减少)的; 则它必定存在反函数:y=f -1(x), D(f -1)=Y, Z(f -1)=X且也是严格单调增加(或减少)的。

㈡ 函数的几何特性1.函数的单调性: y=f(x),x ∈D,x 1、x 2∈D 当x 1<x 2时,若f(x 1)≤f(x 2),则称f(x)在D 内单调增加( );若f(x 1)≥f(x 2),则称f(x)在D 内单调减少( );若f(x 1)<f(x 2),则称f(x)在D 内严格单调增加( );若f(x 1)>f(x 2),则称f(x)在D 内严格单调减少( )。

2.函数的奇偶性:D(f)关于原点对称 偶函数:f(-x)=f(x) 奇函数:f(-x)=-f(x)3.函数的周期性:周期函数:f(x+T)=f(x), x ∈(-∞,+∞) 周期:T ——最小的正数4.函数的有界性: |f(x)|≤M , x ∈(a,b) ㈢ 基本初等函数1.常数函数: y=c , (c 为常数)2.幂函数: y=x n, (n 为实数)3.指数函数: y=a x, (a >0、a ≠1) 4.对数函数: y=log a x ,(a >0、a ≠1) 5.三角函数: y=sin x , y=con xy=tan x , y=cot x y=sec x , y=csc x6.反三角函数:y=arcsin x, y=arccon x y=arctan x, y=arccot x ㈣ 复合函数和初等函数1.复合函数: y=f(u) , u=φ(x)y=f[φ(x)] , x ∈X2.初等函数:由基本初等函数经过有限次的四则运算(加、减、乘、除)和复合所构成的,并且能用一个数学式子表示的函数§1.2 极 限一、 主要内容 ㈠极限的概念1. 数列的极限:A ynn =∞→lim 称数列{}n y 以常数A 为极限;或称数列{}n y 收敛于A.定理: 若{}n y 的极限存在⇒{}n y 必定有界. 2.函数的极限:⑴当∞→x 时,)(x f 的极限:A x f A x f A x f x x x =⇔⎪⎪⎭⎫==∞→+∞→-∞→)(lim )(lim )(lim ⑵当0x x→时,)(x f 的极限:A x f xx =→)(lim 0左极限:A x f x x =-→)(lim 0右极限:A x f x x =+→)(lim 0⑶函数极限存的充要条件: 定理:A x f x f A x f x x x x x x ==⇔=+-→→→)(lim )(lim )(lim㈡无穷大量和无穷小量 1.无穷大量:+∞=)(limx f称在该变化过程中)(x f 为无穷大量。

兰大《高等数学1》第一章 函数与极限

兰大《高等数学1》第一章 函数与极限

《高等数学1》第一章函数与极限内容重点:1、函数的定义设数集D⊂D,则称映射D:D→D为定义在D上的函数,通常简记为D=D(D),D∈D,其中D称为自变量,D称为因变量,D称为定义域。

2、函数的性质函数的性质主要有有界性、单调性、奇偶性和周期性。

有界性:设函数D(D)的定义域为D,数集D⊂D。

如果存在数D1,使得D(D)≤D1对任一D⊂D 都成立,则称函数D(D)在D上有上界,而D1称为函数D(D)在D的一个上界。

如果存在数D2,使得D(D)≥D2对任一D⊂D都成立,则称函数D(D)在D上有下界,而D2称为函数D(D)在D的一个下界。

如果存在正D,使得|D(D)|≤M对任一D⊂D都成立,则称函数D(D)在D上有界。

如果这样的M不存在,就称函数D(D)在D上无界。

单调性:设函数D(D)的定义域为D,区间D⊂D。

如果对于区间D上任意两点D1及D2,当D1< D2时,恒有D(D1)<D(D2)则称函数D(D)在区间D上是单调增加的;如果对于区间D上任意两点D1及D2,当D1<D2时,恒有D(D1)>D(D2)则称函数D(D)在区间D上是单调减少的。

单调增加和单调减少的函数统称为单调函数。

奇偶性:设函数D(D)的定义域D关于原点对称,如果对于任一D∈D,D(−D)=D(D)恒成立,则称D(D)为偶函数。

如果对于任一D∈D,D(−D)=−D(D)恒成立,则称D(D)为奇函数。

周期性:设函数D(D)的定义域为D。

如果存在一个整数D,使得对于任一D∈D有(D±D)∈D,且D(D±D)=D(D)恒成立,则称D(D)为周期函数,D称为D(D)的周期,通常我们说的周期函数的周期是指最小正周期。

3、反函数设函数D:D→D(D)是单射,则它存在逆映射D−1:D(D)→D,称此映射D−1为函数D的反函数。

按此定义,对每个D∈D(D),有唯一的D∈D,使得D(D)=D,于是有D−1(D)=D,也就是说,反函数D−1的对应法则是完全由函数D的对应法则所确定。

高职高等数学-Ch1函数与极限

高职高等数学-Ch1函数与极限

第一章 函数与极限§1-1 函数与极限一、 函数1.函数的定义设x ,y 是两个变量,D 是给定的一个集合,若对于D 中的每一个x 值,由某一法则f ,变量y 都有唯一确定的值与之对应,则称变量y 是变量x 的函数,记为(),yf x x D ,其中x 称为自变量,y 称为因变量,x 的取值围D 称为定义域,y 的取值围称为值域。

2.定义域数轴上使函数有意义的一切点的集合。

实际问题中要求根据实际意义具体确定。

3.定义域的求法原则 (1)分母不为零 (2)0≥x x , (3)ln ,0x x >(4)arcsin ,arccos ,11x x x -≤≤(5)同时含有上述四项时,要求使各部分都成立的交集 例1:求211yx 的定义域解:210x定义域为(,1)(1,)例2:求24ln 1yx x 的定义域 解:042≥-x 且10x22≤≤-x 且1x定义域为(1,2)4.函数的表示法 (1)表格法将自变量的值与对应因变量的值列成表的方法。

(2)图像法在坐标系中用图像来表示函数关系的方法。

(3)解析式法将自变量和因变量之间的关系用数学公式表示的方法。

解析式分为三类:(a )显函数函数y 由x 的解析式直接表示出来,如()y f x(b )隐函数函数自变量x 和因变量y 由(,)0F x y 确定,如sin 0xy y(c )分段函数函数在其定义域不同围有不同表达式如符号函数10sgn 0010x yxxx或0()0x x f xxx x 二、反函数1.定义设函数的定义域为f D ,值域为f V 。

对于任意的f V y ∈,在f D 上至少可以确定一个x 与y 对应,且满足()x f y =。

如果把y 看作自变量,x 看作因变量,就可以得到一个新的函数:()y f x 1-=。

我们称这个新的函数()y f x 1-=为函数()x f y =的反函数,而把函数()x f y =称为直接函数。

高等数学第一章函数与极限的总结

高等数学第一章函数与极限的总结


f
(x

3)

1 2
0 x31 1 x32

1 2
3 x 2 2 x 1
故 D f :[3,1]
思考题
设x 0 ,函数值 f ( 1 ) x 1 x2 , x
求函数 y f ( x) ( x 0)的解析表达式.
y M
y M
y=f(x)
o
x
有界 X
x0
o
X
x 无界
-M
-M
数列的有界性:
定义: 对数列 xn, 若存在正数 M , 使得一切正 整数n, 恒有 xn M 成立, 则称数列 xn有界,
否则, 称为无界.
补充内容: 1.单调递增且有上界数列必有极限。 2.单调递减且有下界数列必有极限。
2.函数的单调性:
解 16 x 2 0, x 1 0, x 1 1,
x 4

x

1
x 2
1 x 2及2 x 4,
即(1,2) (2,4).

设f
(
x)

1 2
0

x

1 ,
求函数
f
(x

3)的定义域.
1 x2


f
(x)

1 2
0 x1 1 x2
数l, 使得对于任一x D, ( x l ) D.且 f ( x l) f ( x)
恒成立. 则称f ( x)为周 期函数, l称为f ( x)的周期.
(通常说周期函数的周期是指其最小正周期).
3l 2
l 2

第一章 函数与极限 1

第一章 函数与极限 1
O
称为闭区间 称为闭区间, 记作 [a , b] 闭区间
a
b
x
{ x a ≤ x < b} 称为半闭半开区间 称为半闭半开区间 半闭半开区间, { x a < x ≤ b} 称为半开半闭区间 称为半开半闭区间 半开半闭区间, [a ,+∞ ) = { x a ≤ x }
O
记作 [a , b ) 记作 (a , b]
阶梯曲线
15
取最值函数
y = max{ f ( x ), g ( x )}
y
f ( x)
g( x )
y = min{ f ( x ), g ( x )}
y
f (x)
x
16
某运输公司规定货物的吨公里运价为: 例1. 某运输公司规定货物的吨公里运价为 在400公里 公里 以内, 每公里为K元 超过400公里每增一公里为 公里每增一公里为0.8K, 以内 每公里为 元, 超过 公里每增一公里为 求吨运价Y与里程 的函数关系. 求吨运价 与里程s的函数关系 与里程 的函数关系
例3. 设函数 f ( x )的定义域为 : [0,2),
解:
x 求函数 f ( − 1) + f ( 7 − x )的定义域 . 2 x x f ( − 1)的定义域 : 0 ≤ − 1 < 2, ⇒ x ∈ [2,6), 2 2
f (7 − x )的定义域 : 0 ≤ 7 − x < 2, ⇒ x ∈ (5,7],
当0 < s ≤ 400 Ks , 解: Y = K 400 + 0.8 K ( s − 400), 当400 < s
17
x2, x ≥ 1 例2. 求 y = 的反函数 . 2 x − 1, x < 1

《高等数学》第一章函数与极限第一节 函数

《高等数学》第一章函数与极限第一节 函数
5
4 x 5,
4
5
6
x
5) . 因此,函数的定义域为 D [4,
14
第1 章 函数与极限
1.1 函数
3. 单值函数与多值函数
若自变量在定义域内任取一个数值时,对应的 函数值总是只有一个,这种函数称为单值函数,否 则称为多值函数.
例如,x y a .
2 2 2
y a x

( 0,1)
当 0<a<1 时,函数单调减少
28
第1 章 函数与极限
1.1 函数
3. 对数函数
y loga x (a 0, a 1)
y log a x

对数函数是指数函数 y = ax 的反函数 定义域为(0, +) 图形通过(1, 0)点 当 a>1 时, 函数单调增加 当 0<a<1 时, 函数单调减少
则称 f ( x ) 在I 上有上界, M 为 f ( x ) 的一个上界.
若I D, 数m, x I , 总有 f ( x) m 成立,
则称 f ( x) 在I 上有下界, m为 f ( x ) 的一个下界.
如果 f ( x ) 在 I 上既有上界, 又有下界, 则称函数 f ( x ) 在 I 上有界.
32
第1 章 函数与极限
1.1 函数
5. 反三角函数
y
反正弦函数
y arcsin x
-1
p
2
定义域为[-1, 1]
p p 值域为 , 2 2
O

1 x
p
2
函数单调增加,奇函数,是有界函数
33
第1 章 函数与极限
1.1 函数

高等数学第一章函数与极限

高等数学第一章函数与极限
(3)y =arcsin u ,u =2+x 2 是不能复合成一个函数的.
两个函数 f 与 g 构成复合函数的关键在于内函
数的值域要包含在外函数的定义域中。
例2 分析下列复合函数的结构:
⑴ y = cot x
2
解 ⑴ y= u, ⑵ y = eu ,
; u cot v ,
u sin v ,
单调递增或单调递减函数统称为单调函数。
(3)有界性 设函数 y = f ( x ) 定义在区间 (a,b) 上,若存在
一个常 数 k , 使得当 x ∈ (a,b) 时,恒有 f (x) k
( f (x) k) 成立,则称f ( x )在 (a,b)有上界(下界)。
若 f ( x )在 (a,b)既有上界又有下界, 则称f (x )在 (a,b)上有界。 如果函数 f ( x ) 在其定义域内有界,则称f ( x ) 为有界函数。
指数函数
y ax (a >0,a ≠1,a 为常数)
对数函数 三角函数 反三角函数
y =loga x (a >0,a ≠1,a 为常数)
y = sin x , y =cos x , y =tan x , y =cot x y =secx, y =csc x
y = arcsin x , y arccotx
y arccos x ,
y arctan x
这六种函数统称为基本初等函数,这些函数的性质、 图形必须熟悉.
1.2.2 复合函数
设 y f (u),其中 u (x) ,且 (x) 的值全部或部分落
在 f (u)的定义域内,则称 y f (x)为 x 的复合函数,而 u
1 x0
y
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解 (1) y = ln x2 与y = 2lnx 不是相同的函数,因为定 义域不同.
(2) = u 与y = x 是相同的函数,因为对应规
律与定不同的解析式 表示的函数,称为分段函数。
y x
x2
x x
x0 x0
符号函数
1 x0
y
sgn
x
0
x0
1 x 0
例 作出下面分段函数的图形:
f(x)
0,
f
(
x)
x
2
,
3 x,
1 x 0, 0 x 1, 1 x 2.
2 1
-1 O 1 2 x
解 该分段函数的图形如上图所示.
t(10 t) 0 t 5
C(t) 25ek (t5)
t 5
1.1.3 函数的表示方法 (1)解析法:用数学公式或方程来表示变量间的函数关系。 (2)列表法:把一系列自变量的值及其对应的函数 值列成一个表格来表示函数关系。 (3)图象法:用坐标平面内的图形(一般是曲线)表示 变量间的函数关系。
中任一x (记为 x D ) ,在数集M中存在 y
(记为 y M )按一定的法则 f 有 唯一确定的 值与之对应,则称 f 是定义在D上的函数。
记作 y = f ( x )
数集D称为该函数 的定义域, x 叫做自变量,
y 叫做因变量。自变量取 x0 时的函数值
记成 f ( x0 ) 、 y( x0 ) 或 y xx0
I 上单调增加(单调递减)。
单调递增或单调递减函数统称为单调函数。
(3)有界性 设函数 y = f ( x ) 定义在区间 (a,b) 上,若存在
一个常 数 k , 使得当 x ∈ (a,b) 时,恒有 f (x) k
( f (x) k) 成立,则称f ( x )在 (a,b)有上界(下界)。
vx . 2
v t ,
t x2 1.
例 3 设 f (x) x2 , g(x) 2x , 求 f g(x), g f (x) .
y = arcsin x , y arccotx
y arccos x ,
y arctan x
这六种函数统称为基本初等函数,这些函数的性质、 图形必须熟悉.
1.2.2 复合函数
设 y f (u),其中 u (x) ,且 (x) 的值全部或部分落
在 f (u)的定义域内,则称 y f (x)为 x 的复合函数,而 u
若 f ( x )在 (a,b)既有上界又有下界, 则称f (x )在 (a,b)上有界。 如果函数 f ( x ) 在其定义域内有界,则称f ( x ) 为有界函数。
(4)函数的周期性 设有函数 f ( x ) ,如果存在一个不为零的数 T, 使得对于定义域的任一实数 x ,都有 f ( x+T ) = f ( x ) 则称 f ( x ) 周期函数, T 为函数的周期。
称为中间变量.
例 1 (1)函数 y sin 2 x 是由y u2 , u sin x 复合而 成的复合函数,其定义域为(,),它也是 u sin x 的定 义域.
(2)函数 y 1 x2 ,是由y u , u 1 x2 复合
而成的,其定义域为[-1,1],它是 u 1 x2 的定义域的一 部分.
一 x 都满足f ( -x ) = - f ( x )(f ( -x ) = f ( x ) ),
则称函数 f ( x ) 为奇函数(或偶函数)。
(2)单调性
若函数 f ( x ) 在区间 I 上有定义,如果对于区间 I 上
任意两点 x1 及 x2 ,当 x1 x2 时,有
f (x1) f (x2 ) ( f (x1) f (x2 )) ,则称函数 f ( x ) 在区间
1.2.1 基本初等函数
函数名称
函数表达式
常数函数
y =C
(C 为常数)
幂函数
y x ( 为实数)
指数函数
y ax (a >0,a ≠1,a 为常数)
对数函数 三角函数 反三角函数
y =loga x (a >0,a ≠1,a 为常数)
y = sin x , y =cos x , y =tan x , y =cot x y =secx, y =csc x
一 函数 二 函数的极限 三 函数的连续性
1.1.1 常量与变量
常量:在某一变化过程中不变化,保持一定的数值的 量叫做常量。
变量:在某一变化过程中变化,可以取不同的数值的
量叫做变量。
A r 2
常量与变量的划分是相对的。
1.1.2 函数的概念
定义1:设x 和 y 为同一过程两个变量 ,若对非空数集D
(3)y =arcsin u ,u =2+x 2 是不能复合成一个函数的.
两个函数 f 与 g 构成复合函数的关键在于内函
数的值域要包含在外函数的定义域中。
例2 分析下列复合函数的结构:
⑴ y = cot x
2
解 ⑴ y= u, ⑵ y = eu ,
; u cot v ,
u sin v ,
⑵ y esin . x21
全体函数值的集合 M y y f (x), x D
称为函数的值域。
函数的两个要素
函数的对应法则和定义域称为函数的两个要素.
(1)对应法则 例 1 f (x)=2 x2+3 x 1 就是一个特定的函数,
f 确定的对应规律为: f ( )=2( )2+3( )-1 .
例 2 下列函数是否相同,为什么? (1) y = ln x2与 y = 2ln x; (2) = u 与 y = x .
1.1.5 反函数 设函数 y = f ( x ) 的定义域为 D ,值域为 M。 如对于任意的 y ∈M,有x ∈D,使得f ( x ) = y,
则变量 x 是变量 y 的函数,其对应规则记作 f 1 。
这个定义在 M 上的函数 x f 1( y) ,称它为函数
y = f ( x )的反函数,而 y = f ( x ) 称为直接函数。
板蓝根注射液含量破坏百分比与保温时间的关系
保温时间x (h)
含量被破坏百
分比 y
32 4.55
64 96 128 12.27 15.45 18.18
1.1.4 几种特殊的函数性质 (1)奇偶性
设函数 f ( x ) 的定义域为对称区间(-L , L)(也可以 是[-L , L] , (-∞,+∞)),如果对于定义域的任
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