高等数学第一章函数与极限

1.2.1 基本初等函数
函数名称
函数表达式
常数函数
y =C
(C 为常数)
幂函数
y x ( 为实数)
指数函数
y ax (a ＞0,a ≠1,a 为常数)
对数函数 三角函数 反三角函数
y =loga x (a ＞0,a ≠1,a 为常数)
y = sin x , y =cos x , y =tan x , y =cot x y =secx, y =csc x
一 x 都满足f ( －x ) = － f ( x )（f ( －x ) = f ( x ) ），
则称函数 f ( x ) 为奇函数（或偶函数）。
（2）单调性
若函数 f ( x ) 在区间 I 上有定义，如果对于区间 I 上
任意两点 x1 及 x2 ，当 x1 x2 时，有
f (x1) f (x2 ) ( f (x1) f (x2 )) ，则称函数 f ( x ) 在区间
全体函数值的集合 M y y f (x), x D
称为函数的值域。
函数的两个要素
函数的对应法则和定义域称为函数的两个要素.
（１）对应法则 例 1 f (x)=2 x2+3 x 1 就是一个特定的函数，
f 确定的对应规律为： f （ ）=2( )2+3( )－1 .
例 2 下列函数是否相同,为什么? (1) y = ln x2与 y = 2ln x; (2) = u 与 y = x ．
（3）y =arcsin u ,u =2+x 2 是不能复合成一个函数的．
两个函数 f 与 g 构成复合函数的关键在于内函
数的值域要包含在外函数的定义域中。
例2 分析下列复合函数的结构：
⑴ y = cot x
2
解 ⑴ y= u, ⑵ y = eu ,
; u cot v ,
u sin v ,
⑵ y esin . x21
y = arcsin x , y arccotx
y arccos x ,
y arctan x
这六种函数统称为基本初等函数，这些函数的性质、 图形必须熟悉．
1.2.2 复合函数
设 y f (u),其中 u (x) ,且 (x) 的值全部或部分落
在 f (u)的定义域内，则称 y f (x)为 x 的复合函数，而 u
解 (1) y = ln x2 与y = 2lnx 不是相同的函数,因为定 义域不同.
(2) = u 与y = x 是相同的函数,因为对应规
律与定义域均相同.
分段函数
分段函数：在定义域的不同部分内用不同的解析式 表示的函数，称为分段函数。
y x
x2
x x
x0 x0
符号函数
1 x0
y
sgn
x
1.1.5 反函数 设函数 y = f ( x ) 的定义域为 D ，值域为 M。 如对于任意的 y ∈M，有x ∈D，使得f ( x ) = y，
则变量 x 是变量 y 的函数，其对应规则记作 f 1 。
这个定义在 M 上的函数 x f 1( y) ，称它为函数
y = f ( x )的反函数，而 y = f ( x ) 称为直接函数。
中任一x （记为 x D ） ，在数集M中存在 y
（记为 y M ）按一定的法则 f 有 唯一确定的 值与之对应，则称 f 是定义在D上的函数。
记作 y = f ( x )
数集D称为该函数 的定义域， x 叫做自变量，
y 叫做因变量。自变量取 x0 时的函数值
记成 f ( x0 ) 、 y( x0 ) 或 y xx0
0
x0
1 x 0
例 作出下面分段函数的图形：
f(x)
0,
f
(
x)
x
2
,
3ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ x,
1 x 0, 0 x 1, 1 x 2.
2 1
-1 O 1 2 x
解 该分段函数的图形如上图所示．
t(10 t) 0 t 5
C(t) 25ek (t5)
t 5
1.1.3 函数的表示方法 （1）解析法：用数学公式或方程来表示变量间的函数关系。 （2）列表法：把一系列自变量的值及其对应的函数 值列成一个表格来表示函数关系。 （3）图象法：用坐标平面内的图形（一般是曲线）表示 变量间的函数关系。
一 函数 二 函数的极限 三 函数的连续性
1.1.1 常量与变量
常量：在某一变化过程中不变化，保持一定的数值的 量叫做常量。
变量：在某一变化过程中变化，可以取不同的数值的
量叫做变量。
A r 2
常量与变量的划分是相对的。
1.1.2 函数的概念
定义1：设x 和 y 为同一过程两个变量 ，若对非空数集D
板蓝根注射液含量破坏百分比与保温时间的关系
保温时间x (h)
含量被破坏百
分比 y
32 4.55
64 96 128 12.27 15.45 18.18
1.1.4 几种特殊的函数性质 （1）奇偶性
设函数 f ( x ) 的定义域为对称区间（-L , L）（也可以 是[-L , L] , （－∞，＋∞）），如果对于定义域的任
vx . 2
v t ,
t x2 1.
例 3 设 f (x) x2 , g(x) 2x , 求 f g(x), g f (x) .
若 f ( x )在 (a，b)既有上界又有下界， 则称f (x )在 (a，b)上有界。 如果函数 f ( x ) 在其定义域内有界，则称f ( x ) 为有界函数。
（4）函数的周期性 设有函数 f ( x ) ，如果存在一个不为零的数 T， 使得对于定义域的任一实数 x ，都有 f ( x+T ) = f ( x ) 则称 f ( x ) 周期函数， T 为函数的周期。
称为中间变量．
例 1 （1）函数 y sin 2 x 是由y u2 , u sin x 复合而 成的复合函数，其定义域为(,)，它也是 u sin x 的定 义域.
（2）函数 y 1 x2 ,是由y u ， u 1 x2 复合
而成的，其定义域为［-1，1］，它是 u 1 x2 的定义域的一 部分.
I 上单调增加（单调递减）。
单调递增或单调递减函数统称为单调函数。
（3）有界性 设函数 y = f ( x ) 定义在区间 (a，b) 上，若存在
一个常 数 k ， 使得当 x ∈ (a，b) 时，恒有 f (x) k
( f (x) k) 成立，则称f ( x )在 (a，b)有上界（下界）。