数据同化基础知识和理论

数据同化基础知识和理论

一、基础理论知识

1．高斯概率分布函数

其中，，

2．两个相互独立的联合高斯概率分布函数

3．N个相互独立的联合高斯概率分布函数

4．点的最优估计

假设每组观测都是无偏的，则有

对X的最优估计就是使P达到最大值，即

达到最小值,I对x求导，可得

求I的最小值，则

求得

一个点的最优估计与观测值的方差有关。5．条件概率和贝叶斯理论（Bayes Theorem）

假设：

A：t时刻的模式值

B：0到t时的所有观测值

则

：给定到t时刻的所有观测值后，t时刻模式值的概率分布

：给定t时刻的模式值后，0到t时刻所有观测值的概率分布。相当于给定0到t-1时刻的所有观测值后得到模式值的情况下，t时刻观测值的概率分布

：给定0到t-1时刻的所有观测值后，t时刻模式值的概率分布：给定0到t-1时刻的所有观测值后，t时刻观测值的概率分布

二、最优插值（Optimal Interpolation）

假定有三个变量，两个观测值。

变量的分析值为

求的最优估计，即方差最小因为

代入上式，可得

模式值与观测值是独立的，所以有

把以上五个式子代入（1）式，可得上式对求导：

方差达到最小，则即

写成矩阵形式为

定义

全矩阵形式：

定义

：代表模式变量的N维列向量

：代表观测值的K维列向量

：同化观测值前的模式状态向量，称为背景状态

：同化观测值后的模式状态向量，称为分析状态

：维的权重系数矩阵

：把模式格点值投影到观测点的映射矩阵，又称为观测算子，维数为

一个状态向量的分析值可表示为：

三、卡曼滤波（Kalman Filter）

假设分析方程存在

上标f表示预报（forecast）。

对于一个高斯分布的状态量，概率分布函数（PDF）表示为

使达到最大值，相当于令方差最小，所以

所以，可以得到K（Kalman gain）的表示式

如果是给定的，则卡曼滤波相当于最优插值，因此，最优插值也称为静态卡曼滤波（stationary Kalman Filter）。

四、三维变分（Three dimensional variational algorithm）

假设模式背景场与观测值都符合高斯分布，则有

其中

C为背景误差协方差，R为观测误差协方差。

C可以从模式的历史数据时间序列得到。如果C是预先给定的，则三维变分只是最优插值的另外一种表达形式，也可称为静态卡曼滤波（stationary Kalman Filter）

五、例子

模式：LORENZ 63

方法：最优插值（Optimal Interpolation）

模式：LORENZ 63

方法：集合卡曼滤波（Ensemble Kalman Filter）上图为真值和20个集合的数据图

下图为真值和同化后(20个平均)的模拟值图方差：0.7791