内蒙古赤峰二中2021届高三上学期第二次月考数学(理科)试题含答案

f
x
1
2 e
x
1
cos
x
1 1
ex ex
cos
x
，
f
x
1 1
ex ex
cos( x
)
ex ex
1 1
cos
x
f
(x)
，故
f
(x)
为奇函数，排除选项
A、C；又
f
(1)
1e 1e
cos1
0
，排除
D，选
B.
故选：B.
8．C
设
x
6
，化简函数为
f
(x)
sin
1 2
，得到函数
f
(x)
在
6
,
上前三个零点，
,已知甲乙两名学生获得哪个等级的奖学金相互独立,求甲乙两名学生所获得奖学金之和 的分 布列及数学期望.
附:回归方程
,其中
,
.
20（本题
12
分）．已知椭圆
C
:
x2 a2
y2 b2
1(a
b 0) 的离心率为
1 2
，短轴的一个端点到右焦点
的距离为 2.
（1）求椭圆 C 的方程；
（2）过点 G 0,1 作直线 l 与曲线 C 交于 A 、B 两点，点 A 关
在直角坐标系
xOy
中，直线
l
的参数方程为
x
1
5t 5
（ t 为参数），以坐标原点 O 为极点，
y
4
25 5
t
x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 2 cos 2 4 ．
wenku.baidu.com
（1）求直线 l 的极坐标方程和曲线 C 的直角坐标方程；
（2）曲线 C 与直线 l 交于点 A, B ，点 M 1, 4 ，求 MA MB 的值．
理科数学答案
1．B
M 0,1, 2, A 1, ðU A ,1 M CU A 0,1 ,选 B.
2．D
因为
z 1 2i
3 4i
，所以
z
3 4i 1 2i
3 4i1 2i 1 2i 1 2i
1
2i
，
所以 | z | = 12 22 5 .
故选：D 3．D 【详解】
对于 A，根据命题与逆否命题之间的关系知，命题“若 x2 x 2 0 ，则 x 1 ”的逆否命题为“若
g ' ( x)
0 ,所以函数
的图象,利用函数的图象和所求的代数式特征,求出所求代数式的值.
【详解】
x
令
ex
t ,所以由 x ex
e x1 x ex
m 0 可得 t2 (m 1)t m e 0 ,
设
g(x)
x ex
, g(x)
1 x ex
,当
x
1 时,
g ' ( x)
0
,所以函数
g(x)
x ex
单调递减,
当 x 1时,
2．已知复数 z 满足 z 1 2i 3 4i ，其中 i 为虚数单位，则| z |为（ ）
A．1
B． 2
C．2
D． 5
3．以下有关命题的说法错．误．的是（ ）
A．命题“若 x2 x 2 0 ，则 x 1 ”的逆否命题为“若 x 1 ，则 x2 x 2 0 ”
B．“ x2 x 2 0 ”是“ x 1 ”成立的必要不充分条件
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的．
1．已知全集U R ，集合 M x N x2 2x 0 ，A y y 2x 1 ，则 M CU A （ ）
A．1
B．{0,1}
C．{0,1,2}
D．x 0 x 1
|r
由于 SV MPF1
SV MPF2
1 3
SV
MF1F2
故
1 2
|
PF1
|
r
1 2
|
PF2
|
r+
1 3
1 2
|
F1F2
|
r
因此： e c 3 a
故选：C
12．B
【分析】
x 根据所给的方程的特征,令 ex
t 进行换元,方程转化为 t 2
(m 1)t m e 0 ,画出函数
g(x)
x ex
赤峰二中 2018 级高三上学期第二次月考
理科数学试卷
命题人：吴雪飞；审题人：黄晓娟 孙广仁 注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、座位号填写在答题卡上。本试卷考试时间：120 分钟；满分 150 分。
2．作答时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4t
,故 cos ABG
BG AB
1 2
.
故
BC
2BE
6t
,故
FH
是 △CBE
边
BE
的中位线,故 OF
1 2
FH
1 4
BE
3 4
t
.
AF t 4 故 OF 3t 3 .
4
故选：A
10．C 【解析】
【分析】
设 △PF1F2 的内切圆的半径为
r， SV MPF1
SV MPF2
1 3
SV
MF1F2
1 2
23．[选修 4—5：不等式选讲]（10 分）
已知函数 f (x) | x m | | x 2 | (m 0) .
（1）若函数 f x 的最小值为 3，求实数 m 的值；
（2）在（1）的条件下，若正数
a,
b, c
满足
a
2b
c
m
，求证：
a
1
b
b
1
c
4
.
5
赤峰二中 2018 级高三上学期第二次月考
15.在ABC中，AB AC，AC的中点为D，且BD 2，则ABC的面积的最大值为 __.
16．已知函数 f x lnx a 2 x 2a 4a 0 ，若有且只有两个整数 x1 ， x2 使得 f x1 0 ，且 f x2 0 ，则 a 的取值范围是______.
三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17～21 题为必考题，每个 试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共 60 分。
17．(本题
12
分)如图，在
ABC
中，点
D
在
BC
上，CAD
4
，AC
7 2
，cos
ADB
2 10
.
（1）求 sin C 的值； （2）若 BD 5 ，求 AB 的长. 18.（本题 12 分）．如图，在四棱锥 P ABCD 中，侧面 PAB 底面 ABCD ，且 PAB ABC 90 ， AD / /BC ， PA AB BC 2AD ， E 是 PC 的中点．
为坐标原点，则 AF （
）
OF
4 A．
3
3
B．
4
C．4
5 D．
4
11．已知点
P
是双曲线
y2 a2
x2 b2
1a
0, b
0 下支上的一点， F1 、 F2 分别是双曲线的上、下
焦点，M 是△PF1F2 的内心，且 SMPF1 SMPF2 SMF1F2 ，则双曲线的离心率为（
）
A．2
B． 3

14 3
.
故选：C． 9．A 【详解】
如图,作分别作 A, B 关于准线的垂线,垂足分别为 D, E ,直线 AB 交准线于 C .过 A 作 BE 的垂线交
BE 于 G ,准线与 y 轴交于 H .则根据抛物线的定义有 AF AD, BF BE .
设
AF
AD
t
,
BF
BE
3t
,故
BG
2t
,
AB
C．对于命题 p : x0 R ，使得 x02 x0 1 0 ，则 p : x R ，均有 x2 x 1 0
D．若 p q 为真命题，则 p 与 q至少有一个为真命题
1
4.设a log3 2, b ln 2, c 5 2 ,则( )
A. a b c
B. b c a
C. c a b
f
(x)
在区间
0,
2
上有且只有两个零点，
则 的取值范围为（ ）
A．
2 3
,
2
B．
2 3
,
2
C．
2,
14 3
D．
2,
14 3
9．已知 ABC 中， AB 3, BC 2, AC 4,G 为 ABC 的外心，则 AG BC （ ）
A. 7
B. 5
C. 5
D. 7
2
2
2
2
10．过抛物线 C : x2 2 py p 0 的焦点 F 的直线交该抛物线于 A、B 两点，若 3 AF BF ，O
4
于原点 O 的对称点为 D ，求 ABD 的面积 S 的最大值． 21（本题 12 分）．已知函数 f (x) ln x x2 ax ．
（Ⅰ）若 f (1) 0 ，求函数 f (x) 的单调递减区间；
（Ⅱ）证明当 n 2(n N) 时， 1 1 1 1 1；
ln 2 ln 3 ln 4
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13．已知函数 f(x)＝loga(x－2)＋4(a>0 且 a≠1)，其图象过定点 P，角α的始边与 x 轴的正半轴重
合，顶点与坐标原点重合，终边过点
P，则
sin 2 cos sin cos
________.
14.已知函数f x ex ex 2x,若f a2 f a 2 0,则实数a的取值范围是
x 1 ，则 x2 x 2 0 ”，则 A 正确；
对于 B， x2 x 2 0 时， x 1 或 x 2 ，充分性不成立； x 1 时， x2 x 2 0 ，必要性成
立，是必要不充分条件，则 B 正确；
对于 C，根据特称命题 p : x0 R ，使得 x02 x0 1 0 ，它的否定命题是 p : x R ， x2 x 1 0 ，则 C 正确；
列出不等式组，即可求解．
【详解】
由题意，因为 0 x ，可得 x ，
2
6
6 26
设
x
6
，则函数
f
(x)
sin
x
6
1 2
sin
1 2
则函数
f
(x)
sin
1 2
在
6
,
上，前三个零点分别是
6
, 5 6
, 13 6
，
7
所以 2
2
6
6
5 6
13 6
，解得 2
1) 1)
对于任意
x1
x2 都有
f
(x1) f (x2 ) x1 x2
0 成立，则实数 a
的取值范围是（ ）
A．（1, 3]
B．（1, 3）
C．（1, 2]
D．（1, 2）
7．函数
f
x
2 1 ex
1 cos
x
图象的大致形状是（
）
A．
B．
C．
D．
8．已知函数
f
(x)
sin
x
6
1 2
(
0) ，若函数
C．3
D． 2 1
2
12．若关于
x 的方程
x ex
e x1 x ex
m
0 有三个不等的实数解
x1, x2 , x3 ,且 x1
0
x2
x3
,其中
mR,e
2.71828
为自然对数的底数,则
x1 e x1
m
2
x2 e x2
m
x3 e x3
m
的值为（
）
A． e
B． e2
C． m 2 m4
D． m 1 m4
|
PF1
|
r
1 2
|
PF2
|
r+
1 3
1 2
|
F1F2
|
r
，故得解.
【详解】
，即
8
设 c a 2 b2 ，△PF1F2 的内切圆的半径为 r，则 | PF1 | | PF2 | 2a,| F1F2 | 2c
SMPF1
1 2
|
PF1
|
r,
SMPF2
1 2
|
PF2
| r, SMF1F2
1 2
|
F1F2
AB AC
AB
1
AC
2
AB
.
3
3
3
3
故选：A.
【点睛】
6．C
【解析】
因为
f
x1 f x2
x1 x2
a 3 0
0 ，所以函数是 R 上的减函数，所以 a 1
解得1 a 2
a 2 2a
故选 C.
7．B
利用奇偶性可排除 A、C；再由 f (1) 的正负可排除 D.
【详解】
对于 D， p q 为真命题时， p 与 q至少有一个为真命题，但是 p 与 q也可能都是假命题，则 D 错
误.
故选：D
4. C
5．A
【详解】
因为点
D
是边
BC
的中点，所以
AD
1 2
AB AC
，
6
又 AG
因此 BG
2GADG，所AB以 uAu2GurAD23uAuADurB，
1
D. c b a
5．如图，在
ABC
中，点
D
是边
BC
的中点，AG
2GD
，则用向量
AB,
AC
表示
BG
为（
）
1
A．
BG
2
AB
1
AC
33
C．
BG
2
AB
1
AC
33
B．
BG
1
AB
2
AC
33
D．
BG
2
AB
1
AC
33
6．已知函数
f
x
(a 3)x
2a
log
a
5( x x(x
3
（1）求证： DE 平面 PBC ； （2）求二面角 A PD E 的余弦值．
19（本题 12 分）某校倡导为特困学生募捐,要求在自动购水机处每购买一瓶矿泉水,便自觉向捐款箱
中 至少投入一元钱.现统计了连续 天的售出矿泉水箱数和收入情况,列表如下:
学校计划将捐款以奖学金的形式奖励给品学兼优的特困生,规定:(1)特困生综合考核前 名,获一等 奖学金 元.(2)综合考核 21 至 50 名,获二等奖学金 元.(3)综合考核 名以后的不获得奖学金. (1)若 与 成线性相关,则某天售出 箱水时,预计收入为多少元? (2)甲乙两名学生获一等奖学金的概率均为 ,获二等奖学金的概率均为 ,不获得奖学金的概率均为
ln n
（Ⅲ）若关于 x 的不等式 f (x) ( 1 a 1)x2 (2a 1)x 1 恒成立，求整数 a 的最小值． 2
（二）选考题：共 10 分．请考生在第 22、23 题中任选一题作答。并用 2B 铅笔将所选题号涂黑，多
涂、错涂、漏涂均不给分．如果多做，则按所做的第一题计分．
22．[选修 4—4：坐标系与参数方程]（10 分）