第九章动力学微分方程(陆)

"千克"标准是一个用铂（90％）铱（10％）合金制成的、 直径和高度均为39毫米的圆柱体形状的标准砝码。
★理论力学电子教案
第9章 约束 质点动力学微分方程
5
§9-2 质点的运动微分方程
ma Fi
或
m
d2r dt 2
Fi
1 、在直角坐标轴上的投影
z
M
r
O
x
F F
i
y
d2 x m
dt 2
Fxi ,
★理论力学电子教案
第9章 约束 质点动力学微分方程
1
第九章
质点动力学的基本方程
1、本章内容您大都学过. 2、是基本内容.
★理论力学电子教案
第9章 约束 质点动力学微分方程
2
§9-1 动力学的基本定律
第一定律 (惯性定律):
不受力作用的质点，将保持静止或作匀速直线运动。
第二定律
ma F Fi
vx |t0 v0 c v0
x
v0m
(1
kt
em
)
k
★理论力学电子教案
第9章 约束 质点动力学微分方程
11
第二个方程的解：
dv y dt
k (mg mk
vy )
dy vydt
y
y0
mg k
( k m
kt
em
t)
y
v O
F
h
mg
dvy k dt
vy
mg k
m
ln(v
y
mg k
)
k m
t
c
vy
mg k
kt
ce m
初始条件：
o
y
|t0
h
y0
m2g k2
y
mg
(
m
kt
em
t
m)
kk
k
x
初始条件：
vy
|t0 0 c
mg k
vy
mg k
kt
(e m
1)
★理论力学电子教案
第9章 约束 质点动力学微分方程
例题 一小球在光滑圆弧面顶部以初速
度为零向下滑动。试求运动过程中小
球的速度和圆弧面的约束力，并确定
脱离时FN =0
3cos0 2 0 0 arccos(2 / 3)
★理论力学电子教案
第9章 约束 质点动力学微分方程
14
质点系的动力学问题：
求运动微分方程组（混合问题）
难！难！难！
★理论力学电子教案
第9章 约束 质点动力学微分方程
15
§9-3 非惯性系中的质点运动微分方程
A
a
转轮
坐在车或转轮上观看，小球的运动显然不遵循牛顿定律。 问题：能否建立适用于非惯性系的运动微分方程？
d2 y m
dt 2
Fyi ,
d2 z m
dt 2
Fzi
★理论力学电子教案
第9章 约束 质点动力学微分方程
6
2、在自然轴上的投影
z
M
r
a
a
t
n
y
F
F i
由 a at ann, ab 0,
O
x
有
mat
Fti ,
m v2
Fni ,
0 Fbi
md 2s / dt 2 Fit mv 2 / Fin
解:
Fx
ma x
m
d2x dt 2
mbk 2
cos(kt)
mk 2 x
y
or
F
Fy
ma y
m
d2y dt 2
mck
2
sin(kt)
mk 2 y
F F i F j mk 2 ( xi yj ) mk 2r
x
y
有心力作用.
8
M x
★理论力学电子教案
第9章 约束 质点动力学微分方程
9
例题 一质点以水平初速度v0在空中受重力和空气阻力作自由 落体运动,若空气阻力大小F=kv（k为常数）,方向与速度相反。
M
g sin
r
v
r
d g sind
r
1 2
2
g cos
r
c
|t0 0, |t0 0 c g / r
2 2g (1 cos)
r
v r 2gr(1 cos)
代入方程1求FN
FN mg cos man mg cos 2mg / r(1 cos)r mg(3cos 2)
试求质点的运动方程。
解： 1、受力分析，画示力图
y
v
O
2、建立质点运动微分方程，求解。
F
m d 2 x F kv
dt 2
ix
x
d2y
m F mg kv
dt 2
iy
y
h mg
初始条件：
y(t x(t
) )
|t |t
0 0
h, 0,
y(t ) |t0 0 x (t ) |t0 v0
重力
P mg, g 9.8ms2
力的单位:牛[顿], 1N 1kg 1m s2
第三定律 (作用与反作用定律):
两个物体间的作用力与反作用力总是大小相等,方向相反,
沿着同一直线,且同时分别作用在这两个物体上。
★理论力学电子教案
第9章 约束 质点动力学微分方程
3
牛顿定律·惯性参考系
牛顿定律适用范围： 惯性参考系
★理论力学电子教案
第9章 约束 质点动力学微分方程
7
3 、质点动力学的两类基本问题
第一类问题：已知运动求力.
第二类问题：已知力求运动.
混合问题：第一类与第二类问题的混合.
(未知量既有力也有加速度)
★理论力学电子教案
第9章 约束 质点动力学微分方程
例题 一质点M在xy平面内运动，已知运动 轨迹为x=b cos(kt)，y=c sin(kt),b,c,k为常数。 试分析质点的受力。
小球在什么位置开始脱离圆弧面。
r
解：1 受力分析画示力图
2 运动分析，确定运动描述方法和坐标。
s r an r 2 at r
3 建立运动微分方程，求解。
man mg cos FN
ma t
mg sin
12
M mg
FN
a
n
a
t
★理论力学电子教案
第9章 约束 质点动力学微分方程
13
第二个方程的解：
单位制和量纲
速度、尺度要求
基本量：长度（m），时间（s），质量（kg） 量 纲：长度[L]，时间[T]，质量[M]
★理论力学电子教案
第9章 约束 质点动力学微分方程
4
1米的定义：1／299792458秒的时间间隔内光在真空中行程 的长度.
1秒的定义：铯133原子基态的两个超精细能阶间跃迁对应辐 射的9,192,631,770个周期的持续时间。这个定义提到的铯原 子必须在绝对零度时是静止的，而且在地面上的环境是零磁场。
o
x
★理论力学电子教案
第一个方程的解：
dv x dt
k m
v
x
dvx k dt
vx
m
ln vx
k m
t
c
kt
vx ce m
初始条件：
第9章 约束 质点动力学微分方程
kt
vx v0e m
kt
dx v0e m dt
x
x0
mv 0 k
kt
em
10
y
v O
F
h
mg
o
x
初始条件： x |t0 0 x0 v0m / k
★理论力学电子教案
y`
y o` x`
ox y
y`
A
o
o`
转轮
第9章来自百度文库约束 质点动力学微分方程
16
1. 取定系oxy(惯性系)，
动系o`x`y`(非惯性系)；
a
2.oxy中
maa F
3.
加速度关系
aa
ae
ar
aC
mar F mae maC
4. 记
FIe mae , FIC maC